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Université de Strasbourg Laboratoire des Sciences de l’Image, de l’Informatique et de la Télédétection Institut National des Sciences Appliquées Rapport de PFE - Mémoire de stage INSA | Département : mécanique - Spécialité : mécatronique Master | Sciences, Technologies, Santé - Imagerie, Robotique et Ingénierie du Vivant Ivan JANIN - Sujet - Stabilisation cardiaque active : Nouvelles stratégies de réalisation, impact sur la conception Professeurs encadrant : Pierre RENAUD François GEISKOPF Septembre 2012

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  • Universit deStrasbourg

    Laboratoire desSciences de lImage, delInformatique et de la

    Tldtection

    Institut National desSciences Appliques

    Rapport de PFE - Mmoire de stageINSA | Dpartement : mcanique - Spcialit : mcatroniqueMaster | Sciences, Technologies, Sant - Imagerie, Robotique et Ingnierie du Vivant

    Ivan JANIN

    - Sujet -Stabilisation cardiaque active :

    Nouvelles stratgies de ralisation, impact sur la conception

    Professeurs encadrant :

    Pierre RENAUDFranois GEISKOPF

    Septembre 2012

  • Une condition essentielle de lhypothse scientifique ;cest quelle soit aussi probable que possible.

    Claude Bernard

  • Remerciements

    Mes premiers remerciements sadressent mon tuteur, Pierre Renaud, pour mavoir incit parti-ciper cette exprience enrichissante en plus de son soutien et de son encadrement. Il a effectivementtmoign dun esprit de synthse et dun il critique bnfiques dans ma progression organisationnellecomme dans la structure de mes prsentations. Soucieux de lavanc du travail, il na pourtant pashsit maccorder quelques jours supplmentaires dans la rdaction de mon rapport ou encore mautoriser un pont au mois de mai. Je retiendrai son ouverture scientifique et sa ractivit primor-diales dans certaines phases de stagnation ainsi que son approche nuance dindulgence, dautonomie,dassistance dans la rsolution de problmes et de jugement qui, malgr ma dispersion lors de mapremire approche, mont rapidement amen prendre les devants et mieux grer les problmes, leplanning. . .

    Je tiens galement remercier mon second tuteur, Franois Geiskopf, pour sa culture techniquepropice de nombreux conseils aviss en termes dusinage, dassemblage et de divers autres procds :mesure, matriaux. . . Son influence et ses contacts industriels nous auront permis dacclrer la ra-lisation du prototype, de mme que son intervention dans lutilisation de la commande numrique.Jen profite pour me tourner vers les techniciens prsents latelier de lINSA dont Vincent Galluzzo,Cdric Roth et plus particulirement, Fabrice Buhl sans qui le prototype naurait probablement pasvu le jour. Sa patience dans la prparation de la FAO, son intervention dans les choix doutils et saformation acclre mhabilitant manipuler la fraiseuse automatique ont t de prcieux atouts dansla confection des pices constitutives du prototype complet.

    Ma gratitude touche prsent le laboratoire pour son ambiance chaleureuse et son contexte scienti-fique stimulant, rythm notamment au travers de prsentations, confrences et sminaires, dchangesentre services et dune cohabitation marque par des spcialits distinctes. Si le srieux de lquipetait affirm dans son engagement au travail, les multiples sorties ntaient pas incompatibles. Au seindu laboratoire, je remercie plus spcifiquement :

    - Lennart pour son accompagnement dans mes premiers pas, son suivi dans un projet qui lui tenait cur et ses conseils personnels- Laure pour la plthore de post-it qui animait mon quotidien- Marcus pour sa pugnacit et son entrain quotidien- Salih qui na jamais hsit mapporter son aide- De nombreux employs et stagiaires pour leur coopration tant professionnelle que ludique ainsi quetoutes les personnes que jai pu croiser durant mon stage, ayant favoris mon intgration au sein dulaboratoire grce leur gentillesse et considration mon gard.

  • Institut National des Sciences Appliques de Strasbourg

    Projet de Fin dtudesAuteur : JANIN Ivan Promotion : Mcatronique 2012 - GalileTitre : Nouvelles stratgies de ralisation,impact sur la conception

    Soutenance : 21 Septembre 2012

    Structure daccueil : LSIIT IRCAD, 1 Place de lHpital 67000 StrasbourgNombre de volume : 1 Nombre de pages : 83Nombre de rfrences bibliographiques : 41Rsum : Dans le dpistage des tumeurs par lastographie, nous proposons de raliser une struc-ture compliante visant guider et amplifier le dplacement dune aiguille en translation. tantdonn les faibles amplitudes de travail et les contraintes imposes en termes de prcision, defrquences de fonctionnement et dencombrement, nous avons recours cette nouvelle topologiede mcanismes monolithiques que sont les mcanismes compliants. Pour pouvoir les utiliser bon escient, il est indispensable dassocier ce type darchitecture des modles rigoureux ; dole travail prsent qui consiste identifier puis valider des outils de modlisation en rigidit au-tour dune configuration en singularit, desquels doit se dgager une mthode gnrique. Danscette tude, nous parcourons les modles analytiques dune liaison charnire compliante, qui-valente une liaison pivot dans une approche corps rigides que nous tendons ensuite lchelledun mcanisme parallle au travers de la "mthode matricielle" qui fait lobjet dune analyseapprofondie. Cette mthode est approche par des outils numriques avant de lprouver surun systme physique. Un banc exprimental a t conu cet effet en prenant soin dintgrerlactionneur et le capteur deffort dans son dimensionnement en plus dtudier le processus demesure.Mots-cls : Robotique mdicale, mcanismes compliants, matrice de raideur, valuation desdplacements, lments finis, singularit, actionneur pizolectriqueAbstract : In the context of tumors detection by means of elastography, we propose to achievea compliant structure, which guides and enhances the movement of a stirring needle. Low workranges besides accuracy, rate and dimensions-environment constraint use emergent monolithictechnology : the compliant mechanisms. In order to employ them efficiently, fine models arerequired. Hence the current study which involves indentification and authentification of stiff-ness modeling tools near the singularity. In this work, compliant hinges analytical models areidentified and more especially circular-hinge, equivalent to a revolute joint with a rigid bodyapproach, before expanding them up to parallel mechanisms through the "matrix method". Thismain tool is subject to further analysis among which finite elements and a prototype whichhas been designed and built in this purpose, taking into account the actuator and the strengthsensors behavior. Moreover, the measurement process has been included.Key words : Medical robotics, compliant mechanisms, spatial stiffness matrix, measure of dis-placements, finite elements, singularity, piezoelectric actuator

  • Sommaire

    Remerciements 3

    Rcapitulatif 4

    1 Introduction 71 Prsentation du laboratoire et de lquipe de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Problmatique du stage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2 Les liaisons compliantes 121 tat de lart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 La liaison de type "notch-circular" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.1 Modlisation analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.1 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Compliance principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.3 Expression gnralise de la compliance . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.4 Comparaison des modles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2 Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Modlisation numrique en petits dplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.3.1 Influence des conditions de simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.2 Apprciation des modles analytiques par lments finis . . . . . . . . 242.3.3 valuation des mouvements angulaires pour la matrice de rigidit . . 26

    3 Les mcanismes parallles 311 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Mthodes destimation de la raideur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.1 Mthode matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.1 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.2 Modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.2 Mthode du travail virtuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 tude de la singularit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 Application des mthodes des modles numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    4 Vrification sur un dispositif exprimental 431 Dimensionnement des paramtres gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 Dispositif de mesure en dplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    5

  • 2.1 Prsentation de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2 Estimation de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3 Ralisation du banc de tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 Exploitation des rsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    5 Conclusion 54

    A Macro Excel - Calcul des coefficients 59

    B Script Matlab - Calcul des dplacements 63

    C Identification des matrices de rotation sur MAPLE 67

    D Script Matlab - Evaluation de la mesure 68

    E Mises en plan 76

  • CHAPITRE 1. INTRODUCTION

    Chapitre 1

    Introduction

    1 Prsentation du laboratoire et de lquipe de travailDevant lacclration de nos modes de vie, de communication et de production, le traitement de

    linformation sinscrit dans une logique organisationnelle et applicative. Une des formes dinformationla plus rpandue concerne limage et ses drives puisquelle joue un rle important dans des domainesphares tels que linformatique et la robotique travers, par exemple, la ralit augmente, lautonomiedes robots par systmes de vision, la modlisation gomtrique, lanalyse dimages ou de squencesdimages dans la dtection ou la prvention. . . La recherche mdicale savre dailleurs tre un trsgros demandeur en traitement dimages pour amliorer les diagnostics faits partir des nombreusestechniques dimagerie mdicale. Cest dans ce contexte que sinscrit le laboratoire qui ma accueillidans la ralisation de mon projet de fin dtudes.

    Le Laboratoire des Sciences de lImage, de lInformatique et de la Tldtection(LSIIT) est une unit mixe de recherche, savoir un regroupement dorganismes de recherche etdtablissements denseignement suprieur rgi par le ministre de la recherche. Au sein de cette entitquadriennale, dont la cration remonte en 1994, lInstitut National des Sciences Appliquesde Strasbourg (INSA), lUniversit de Strasbourg (UdS) via lEcole Nationale Suprieure dePhysiques de Strasbourg (ENSPS) et la dlgation rgionale dAlsace du Centre National deRecherche Scientifique (CNRS) travaillent conjointement autour de projets fdrs par limagerie. Lesdiffrents travaux, tant appliqus que fondamentaux, sarticulent donc autour dun large spectre delinformatique, de lautomatique, de la robotique, du traitement de limage et de la tldtection,comme en tmoignent les quatre programmes transversaux visant mobiliser les comptences et re-grouper les projets de valorisation du laboratoire :

    Imagerie et robotique mdicale et chirurgicale Ralit virtuelle et augmente, simulation et calcul intensif Environnements mobiles embarqus Imagerie physique multivarie

    ainsi que les sept quipes de recherche :

    Informatique Gomtrique et Graphique (IGG)

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  • CHAPITRE 1. INTRODUCTION

    Modles, Images et Vision (MIV) Automatique, Vision et Robotique (AVR) Rseaux Image et Calcul Parallle Scientifique (ICPS) Bioinformatique thorique, Fouille de donnes et Optimisation stochastique (BFO) Tldtection, Radiomtrie et Imagerie Optique (TRIO)

    Depuis sa cration en 2001, le LSIIT prend part diffrents projets dont la notorit accrue pardes prix et une reconnaissance scientifique traduit une forte activit et une implication certaine dansla recherche. En outre, on soulignera son appartenance au ple de comptitivit alsacien Innovationsthrapeutiques , sa participation au projet Laboratoires dExcellence (IRMIA, TRANSPLAN-TEX et CAMI), lobtention du label Carnot, le succs de lquipe AVR au concours OSEO. . . Autantde gratifications menes en partenariat avec le ple Image Alsace (Iconoval), le Centre National de laRecherche Scientifique (CNRS), le Ministre de lEducation Nationale, de lEnseignement Suprieuret de la Recherche (MENESR), le Rseau National de Recherche en Tlcommunications (RNRT), leRseau National Technologies pour la Sant (RNTS), lInstitut National de Recherche en Informatiqueet Automatique (INRIA), lInstitut National des Sciences de lUnivers (INSU), lInstitut National dela Sant et de la Recherche Mdicale (INSERM), lUniversit de Haute-Alsace (UHA), les hpitauxuniversitaires de Strasbourg ou encore avec de nombreux partenaires industriels. Le succs du LSIITpasse galement par la diversit du personnel, avoisinant les 200 personnes : professeurs, matres deconfrences, postdocs et doctorants confondus, auxquels viennent sajouter les stagiaires.Fort dune large communaut scientifique, le laboratoire dispose dinfrastructures consquentes rpar-ties en deux principales zones :

    Le ple dApplication et Promotion de lInnovation (ple API), un com-plexe moderne de 40 000 m2 financ par la Rgion Alsace, le Dparte-ment du Bas-Rhin, la Communaut Urbaine de Strasbourg et la ville dIll-kirch. Situ sur le campus universitaire dIllkirch, au sein du Parc dinno-vation et proximit des partenaires industriels, il accueille un ensemblede grandes coles dont lENSPS qui cohabitent dans le secteur de la re-cherche.

    Des locaux situs au sein de lInstitut de Recherche contre les Can-cers de lAppareil Digestif (IRCAD), implant sur le campus du Nou-vel Hpital Civil de Strasbourg (NHC). Il sagit dun centre priv de re-cherche mdicale fond en 1994 par le professeur Jacques Marescaux dansune volont de rapprocher les secteurs du mdical et de la technique. Trsrapidement reconnu dans le domaine de la laparoscopie 1, lIRCAD a ra-lis plusieurs oprations novatrices dont la premire mondiale en 2001 quiconsistait en une ablation distance, sagissant doprer depuis New York

    1. La laparoscopie, autrement appele clioscopie est une technique dendoscopie chirurgicale mini-invasive visant rduire limpact postopratoire dont les douleurs, squelles, effets secondaires et le temps de rtablissement du patient.Utilise pour diagnostiquer comme pour oprer, cette technique qui combine de petits outils une assistance vido sedroule proximit de la cavit abdominale et semploi de plus en plus sur lappareil digestif, en gyncologie et enurologie.

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  • CHAPITRE 1. INTRODUCTION

    une patiente situe Strasbourg. Cest ainsi que chaque anne, prs de 4000 mdecins viennent dumonde entier pour tre forms aux nouvelles technologies chirurgicales. Lessor connu par ce centrese traduit dailleurs au travers de son implantation de par le monde : un centre Tawan depuis mai2006 et un autre au Brsil depuis juillet 2011, tandis que le centre de Strasbourg amorce, quant lui,une phase dextension.

    Lunit laquelle jtais rattach durant mon stage est lquipe AVR, principalement orienterobotique mdicale. Elle tire ainsi parti de son rattachement lIRCAD en bnficiant de locaux, ma-triels et partenaires industriels mis disposition en plus dune proximit avec le monde mdical quilui garantit une demande permanente, innovante et conforme aux pratiques chirurgicales, une expri-mentation directe par des professionnels et de manire plus gnrale, une interaction privilgie entredeux mondes enclin une collaboration efficiente. Les principaux domaines dactivits, rattachs auprogramme de recherche multi-laboratoires Imagerie et Robotique Mdicale et Chirurgicale (IRMC)de Strasbourg stendent donc de limagerie la robotique et la ralit augmente en passant par lamodlisation gomtrique et bio-mcanique, la simulation et la planification du geste opratoire afindassister le mdecin en lui fournissant des outils adapts ses besoins.Cette quipe de recherche est dirige par le Professeur Michel DE MATHELIN et recense pas moinsde 14 permanents, 15 doctorants ainsi que quelques stagiaires.

    2 Problmatique du stageDans de nombreuses applications technologiques telles que le micro-usinage, le micro-assemblage, la

    tl-chirurgie, la biotechnologie, la microchirurgie et la nanotechnologie, incluant galement des outilsspcifiques (notamment les MEMS 1), il est indispensable de satisfaire certaines exigences en termesprincipalement de prcision, dencombrement et dentretien. Dpendant essentiellement de la topolo-gie de la structure mcanique, les prcisions observes dans les mcanismes usuels se concentrent auniveau des articulations, ce qui explique le rcent attrait pour les mcanismes compliants. Ces dernierspermettent effectivement de pallier divers problmes en termes de frottements, jeux fonctionnels ouencore entretien et lubrification ; la mobilit dun mcanisme compliant tant obtenue par exploitationde llasticit du matriau (utilisation de joints flexibles) et non le mouvement relatif de plusieurs l-ments, comme cest le cas dans les mcanismes standards corps rigides. Ils prsentent de nombreuxavantages dont les principaux :

    Diminution des cots de fabrication Compacit accessible Rduction du phnomne dhystrsis et du bruit lors de la mise en mouvement des articulations Absence de jeu, friction et lubrification du fait dune ralisation monolithique

    En contrepartie, ils peuvent prsenter des facteurs limitant dans le processus de conception. Eneffet, le dveloppement dun mcanisme compliant ne peut se faire indpendamment des propritsmatriaux et topologiques en jeu : les caractristiques intrinsques du matriau telles que la rsistance la fatigue et la limite lastique doivent tre prises en considration dans la gomtrie du systme pour

    1. Micro Electro Mechanical Systems

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  • CHAPITRE 1. INTRODUCTION

    sassurer que les plages gomtrique, cinmatique et dynamique exploiter sont accessibles de mmeque larchitecture du systme qui influera directement sur le processus de fabrication comme les tra-jectoires outils ou techniques employes visant minimiser les dfauts et dformations lors de lusinage.

    Un avant-projet ralis au cours de mon PRT 1 avait permis de mettre ces difficults en exergue.Lapplication consistait entraner une aiguille en vibration le long dun axe vertical au moyen dunestructure compliante prsente sur la figure 1.1. Le systme daiguille active ainsi dvelopp drivaitdu robot parallle "Delta" en configuration singulire, lquivalent compliant de celui-ci rduisant lesrotules des pivots tant donn le seul degr de libert en translation dsir. Bien que motivs parsa valeur ajoute dans le domaine de llastographie 2, ctait pour nous loccasion de se familiariseravec les mcanismes compliants et de mettre en vidence les diffrents problmes qui les caractrisentdont le plus important savre tre celui de la modlisation du mcanisme. Ltude stait nanmoinslimite au seul dplacement port par la direction de travail.

    Figure 1.1 Mise en contexte / quivalent compliant dun robot 3 R-R

    La problmatique du stage de Master sinscrit donc en continuit de mes travaux de PRT, sagis-sant de reprendre la solution propose et de ltudier en tendant la notion de dplacement utile tous ceux de lespace. On cherchera notamment caractriser son comportement spatial travers samatrice de rigidit qui constitue une information lmentaire sur le comportement statique, modal etdynamique. En effet, le comportement des mcanismes compliants peut tre assimil celui dune as-sociation de ressorts qui relient une action mcanique aux dplacements rsultants. La loi cinmatiqueentre sortie couramment employe pour les mcanismes corps rigides, savoir les matrices jaco-biennes, ne traduisant pas ce couplage entre un effort et le dplacement produit, il convient davantagedaborder de tels mcanismes par des matrices de rigidit, y compris pour leurs articulations lmen-taires auxquelles six degrs de liberts sont toujours associs en raison des dformations possibles danstoutes les directions de lespace. On semploiera plus prcisment identifier puis, valider des outilssusceptibles de dcrire la rigidit locale de notre architecture dans les diffrentes directions de lespaceet par extension, celle de nimporte quel mcanisme compliant parallle. Si lobjectif de ce travail estdvaluer des outils gnriques de modlisation en rigidit, tels que la modlisation PRBM (cf. sec-

    1. Projet de Recherche Technologique2. Il sagit dune technique dimagerie rcente dans la caractrisation tissulaire. Elle offre un intrt fondamental

    en diagnostic clinique tant donn quune altration des proprits mcaniques tissulaires est observe en prsence depathologies. La mesure seffectue alors en appliquant une sollicitation extrieure dans les rgions dintrt.

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  • CHAPITRE 1. INTRODUCTION

    tion 3.1), on cherchera par-dessus tout prouver leur fonctionnement au voisinage de la singularit.En raison dune facilit dusinage, il peut effectivement tre intressant de fabriquer les mcanismescompliants dans le plan. Cette situation favorable lusinage correspond nanmoins une singularitpour la plupart des mcanismes parallles. Cest pourquoi lapprciation de la rigidit des mcanismesparallles au voisinage de la singularit peut savrer pertinente, dautant plus quon pourra galementtre amens tirer parti de cette configuration dans la suppression dactionneurs du fait du dcou-plage actionneur-effecteur ou encore dans lamplification des dplacements comme cest le cas dans lestravaux de [1].A terme, le recours ces outils devra assurer une caractrisation en manipulation ou en conception,tant en mesure denvisager une optimisation des paramtres gomtriques, une valuation des effortsncessaires pour engendrer un dplacement donn ou encore un dimensionnement prcis des action-neurs [2] et ce, malgr des dfauts gomtriques rsultant de lusinage ou de lassemblage de la chanedactionnement sur le systme. Disposer de la matrice de raideur permettra donc dvaluer le compor-tement du systme sous laction defforts extrieurs et, par suite, quantifier les dplacements engendrspar lactionnement pizolectrique envisag dont la caractristique premire rside dans le couplageefforts/dplacements.

    On sattachera dans un premier temps dcrire le comportement des articulations flexibles tantdonn quil se rpercute directement sur lensemble du mcanisme. On prcisera dailleurs que le choixde larticulation flexible sera effectu par analogie aux mthodes usuelles bases sur les dplacementsrelatifs des corps rigides. Sen suivra une analyse critique des modles en dplacements de la liaison,par comparaison aux lments finis dont on dispose pour examiner le comportement thorique dunmodle.Une fois la modlisation locale tablie, on dfinira un protocole de mesure sur des outils numriquestels que Mechanica ou Patran qui seront repris, par la suite, sur des systmes sries et parallles. Onsera particulirement vigilants quant la prcision et la rptabilit des rsultats selon lvolution dediffrents facteurs afin de garantir la fiabilit des mesures numriques.On abordera ensuite plusieurs mthodes sur des systmes dits lmentaires avant de sen approprierune en particulier, de manire apprhender son fonctionnement en plus de dceler dventuelles in-cohrences avec les modles par lments finis.La finalit du stage sorganisera autour du systme "Delta" qui comprend alors plusieurs tapes :loptimisation des dimensions en rponse au cahier des charges fix mais aussi aux besoins de lexp-rimentation, lvaluation thorique de la mesure (prcision, dispersion), la modlisation CAO puis lafabrication du dispositif exprimental avant dexploiter les rsultats comme ouverture sur de nouvellesmthodes de conception.

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  • CHAPITRE 2. LES LIAISONS COMPLIANTES

    Chapitre 2

    Les liaisons compliantes

    1 tat de lartDiffrentes formes de liaisons compliantes ont t proposes pour disposer dun bon compromis

    entre :

    la prcision en dplacement : elle nous renseigne sur le comportement cinmatique de la liaisoncompliante par analogie avec son quivalent corps rigides. Autrement dit, une liaison compliantepossde une grande prcision lorsque son torseur cinmatique respecte celui de la liaison corps rigides dont elle sinspire (par exemple, une vitesse linaire nulle du centre de la liaisonpour une approximation une pivot). Par extension, les proprits cinmatiques doivent treconserves pour une sollicitation quelconque, ce qui se traduit par une rigidit leve seloncertaines directions et linverse, de faibles rigidits selon les axes de travail.

    le domaine de validit : outre les limites mcaniques lies la rupture par fatigue du matriau, lemodle retenu doit permettre une description sur tout un espace des paramtres gomtriques,souhait aussi large que possible. Le domaine de validit peut donc se dfinir travers lten-due des paramtres gomtriques pour lesquels les modles dvelopps dcrivent correctementle comportement de la liaison. Pour la liaison circulaire aborde dans la suite du document, onretiendra essentiellement le ratio = tR , dont les valeurs voluent gnralement entre 0.05 et0.8 selon les modles et directions tudis.

    Figure 2.1 Reprsentation des dimensions t et R

    Autant de critres qui ont conduit diverses tudes durant la dernire dcennie, au cours des-quelles deux grandes familles se sont dgages : les liaisons compliantes primitives et celles complexes

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  • CHAPITRE 2. LES LIAISONS COMPLIANTES

    (habituellement, la combinaison de deux ou plusieurs liaisons primitives). Dans [3, 4], sont prsentsdiffrents lments flexibles lmentaires, rpartis en deux classes distinctes : les liaisons compliantes rpartition de matire localise et les liaisons compliantes rpartition de matire distribue.

    Les liaisons rpartition de matire localise possdent des raideurs ngligeables selon des axesprdfinis. En contrepartie, elles souffrent de concentrations de contraintes leves qui restreignentleur plage de travail de petits dplacements uniquement.A linverse, les liaisons rpartition de matire distribue permettent daccder de grands dpla-cements mais savrent plus difficiles modliser : si la thorie des poutres trouve une applicationdirecte dans ce deuxime type de liaison, elle permet difficilement de synthtiser des mcanismes ensappuyant sur leurs quivalents corps rigides.

    Figure 2.2 liaisons primitives, daprs [3]

    On orientera donc la recherche sur les liaisons mouvements localiss (Notch-type) et plus particu-lirement sur les liaison pivots, cest dire celles prsentant un mouvement prpondrant de rotation.En effet, les liaisons compliantes en question rpondent au besoin de mobilit unique en rotation sou-haite et favorisent mme lappropriation des mthodes employes sur les mcanismes corps rigides,du fait dune prcision importante. Dans cette catgorie, il existe diffrentes gomtries provenant destravaux initiaux de Paros & Weisbord [5] ceux de Acer & Sabanovic [6]. On pourra se rfrer laFigure 2.3 pour mieux positionner les travaux prsents dans le paragraphe suivant.

    Figure 2.3 Chronologie : tudes de la compliance pour les charnires flexibles

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  • CHAPITRE 2. LES LIAISONS COMPLIANTES

    En 1965, Paros & Weisbord introduisent la premire liaison circulaire [5] ainsi que les quationsvisant valuer sa compliance (inverse de la raideur). Ds lors, diffrentes configurations sont ana-lyses par la mthode des lments finis, comme le font Xu et King [7] sur des profils circulaires (cf.Figure 4.2a), elliptiques (cf. Figure 4.2b) et rectangulaires (cf. Figure 4.2c), rvlant une rigiditprincipale moindre pour le type rectangulaire que circulaire, au dtriment nanmoins de la prcisionqui savre meilleure pour la configuration circulaire (Figure 4.2a). La mise en place de modles ana-lytiques pour les liaisons profils elliptiques et liaisons paralllpipdiques (leaf-type) par Smith & al.[8, 9] ou encore pour les charnires profils rectangulaires, paraboliques et hyperboliques par Lobontiu[10, 11] conduit plusieurs comparaisons en termes de contrainte, flexibilit et sensibilit pour une sol-licitation donne. Daprs lanalyse tablie par Lobontiu & al [12], les liaisons profils hyperboliquesconservent au mieux la position du centre de rotation lorsquelles sont soumises un moment purautour de laxe de flexion principale et les liaisons profils elliptiques, paraboliques et hyperboliquesprsentent des compliances dcroissantes, largement suprieures celles obtenues pour les liaisons profils circulaires dans le cas dun ratio largeur/paisseur lev. En effet, si le rayon et la largeursont pris suffisamment petits, la liaison profil circulaire devient plus compliante que toutes les autres.

    (a) Profil circulaire :"Notch-circular flexure hinge"

    (b) Profil elliptique :"Elliptical flexure hinge"

    (c) Profil rectangulaire :"Corner-filleted flexure hinge"

    Figure 2.4 Diffrentes gomtries de liaisons

    Bien que de nouvelles configurations aient vu le jour [13], cumulant pour certaines les avantages descharnires circulaires (prcision) et rectangulaires (amplitude), leur rigidit reste trs peu modlisedans les diffrentes directions. Aussi, les deux nouveaux profils hybrides RCCF 1 et RCE 2 proposspar [13] (cf. Figure 2.5) ne seront pas retenus dans le travail futur, en faveur de la charnire sectioncirculaire introduite par Paros & Weisbord qui demeure llment flexible le plus couramment employ.En effet, son centre de rotation se dplaant faiblement, il offre une grande prcision en rotation enplus dune grande compliance autour de laxe de flexion principale. Lexistence de plusieurs modleset tudes comparatives au sein dune communaut scientifique motive galement notre choix pour cetlment.

    2 La liaison de type "notch-circular"

    2.1 Modlisation analytique

    1. Right Circular Corner Filleted hinge2. Right Circular Elliptical hinge

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    Figure 2.5 Aperu de nouveaux profils, daprs [13]

    2.1.1 PrsentationIdalement, une liaison pivot flexible doit favoriser un unique axe de rotation. Dans cette pers-

    pective, la liaison prsente ici consiste en une dcoupe de profil circulaire dans la largeur dun blocmonolithique. On obtient alors un mouvement de flexion principale port par laxe z (cf. Figure 2.6)dont la rigidit est ngligeable au vue de celles portes par les autres directions. En considrant le ratio = tR suffisamment petit, il est possible dassimiler la flexion de llment la rotation dune liaisonpivot, laquelle viendrait sajouter une raideur. On cherchera donc dimensionner cette grandeur quiinflue la fois sur la forme et la prcision de la liaison mais aussi sur la validit des modles qui syrapportent.

    Figure 2.6 Schma dune liaison charnire profil circulaire, daprs [14]

    Pour rappel, si lintroduction dlments flexibles dans un mcanisme lui confre les principauxavantages mentionns pour les systmes compliants comme labsence de jeu ou les petites dimensionsaccessibles, il en rsulte certains inconvnients lis leur modlisation. Il en va de la prcision dumcanisme, tant donn linfluence de la rigidit sur lattitude de lorgane terminal. Par consquent,

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    il est impratif dapprocher plus en dtail le comportement de la liaison, travers des modles quelon apprciera au regard des deux critres prsents en section 2.1. On pourra ventuellement consi-drer un troisime critre, plus subjectif, concernant sa simplicit dcriture en perspective de calculsacclrs.

    Dans un premier temps, on abordera la compliance principale (selon laxe de flexion z) que loncherche maximiser pour tendre vers une liaison pivot parfaite. Il sagit effectivement de la sollicitationla plus significative puisquelle correspond au mouvement attendu de llment flexible considr.

    2.1.2 Compliance principaleDiffrentes tudes ont t menes pour dterminer la rigidit des liaisons charnires profil circu-

    laire. Les mthodes employes reposent sur lintgration des quations diffrentielles dune poutre enflexion [5, 15, 16], le second thorme de Castigliano [16], la transformation conforme inverse [17], lop-timisation par essaims particulaires (mtaheuristique doptimisation) [18] et les quations empiriquestablies partir de simulations par lments finis [19, 20, 14]. On verra par la suite que la pertinencedun modle dpend de la gomtrie, caractrise par lpaisseur et le rayon de lamincissement, cer-taines de ces formulations prvalant sur dautres selon la valeur du paramtre .

    Le premier modle analytique provient du travail de J.Paros et L.Weisbord [5]. Il sappuie surlintgration de lquation diffrentielle dune poutre en flexion dfinie selon le thorme dEuler-Bernoulli et dbouche sur deux formulations : une complte et une simplifie. La seconde expressionassure une simplicit de calcul, du fait de sa taille rduite, malgr un lger cart par rapport lapremire (environ 1% pour une paisseur relative = tR comprise entre 0,01 et 0,05 | 5% 12% pour entre 0,1 et 0,3) [17]. Contre toute attente, Smith et al. [21] concluent sur la pertinence de lqua-tion rduite de Paros & Weisbord, celle-ci prsentant de meilleurs rsultats que lquation complteau vue des rsultats exprimentaux et par lments finis. Il est important de prciser que les deuxformulations divergent, pour de larges valeurs de , des rsultats obtenus par lments finis : lcartprsent par Tseytlin [17] atteignant jusqu 25% pour le ratio = 0,6.

    Les quations de Wu & Zhou prsentes dans [15] reprennent les travaux de Paros & Weisbord [5].Les rsultats sont donc identiques, au signe prs.

    Lobontiu et al. [12] quant eux, dduisent du second thorme de Castigliano une nouvelle formede compliance. Les rsultats analytiques pour des ratios gaux 0,05 | 0,1 et 0,2 ont t comparsaux rsultats par lments finis, on observe alors un pourcentage derreur denviron 10%.

    Une autre mthode consiste approcher les mcanismes par des modles numriques afin denextraire des expressions empiriques [19]. Lavantage principal rside dans la justesse des rsultats,une analyse directe par lments finis refltant davantage les mesures ralises sur prototypes. Nan-moins, la modlisation par lments finis na de validit que pour la gomtrie dfinie. Cest pourquoiTseytlin envisage une formulation dpendant des paramtres [17] en ayant notamment recours auxtransformations conformes inverses. Il dfinit alors une nouvelle modlisation, scinde en 3 domaines :"mince" ( 0, 07), "intermdiaire" (0, 07 0, 2) et "pais" (0, 2 0, 6), pour lesquels lana-lyse conjointe des carts analytiques, exprimentaux et par lments finis avoisine les 10% derreur.

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    Cette quation reste nanmoins valable sur un intervalle restreint compris entre 0,1 et 0,5 [17](r-apprci 0,2-0,65 daprs [14]), ce qui explique lapparition de modles plus rcentes, tels quecelui de Schotborgh [20] avec un domaine plus tendu : appartenant la plage 0,05-0,65.

    2.1.3 Expression gnralise de la complianceLa section prcdente traitait de la compliance pour le mouvement principal de rotation autour

    de laxe z. Cette notion est tendue ici toutes les directions de lespace, la relation entre le torseurcinmatique X et le torseur dactions F tant gnralement dcrite par une expression de la forme :

    X = CF (2.1)

    La matrice de compliance, note C, comporte diffrents coefficients intervenant dans lestimationrespective des dplacements linaires et angulaires pour des sollicitations en forces et moments aux-quelles la liaison est susceptible dtre soumise. Dans le cas de ltat de lart, la liaison "notch-circular"est gnralement modlise par huit coefficients. Conformment au repre reprsent en figure 2.6, Cscrit alors :

    xyzxyz

    =

    c1 0 0 0 0 00 c2 0 0 0 c30 0 c4 0 c5 00 0 0 c6 0 00 0 c5 0 c7 00 c3 0 0 0 c8

    FxFyFzMxMyMz

    (2.2)

    En plus de la compliance principale c8, les travaux cits en partie 2.1.2 ont gnralement introduitdes expressions pour les coefficients c1 et c2 afin dvaluer les dplacements contenus dans le plan detravail de la liaison. Toutefois, les compliances prcdentes se limitent aux dplacements de mmenature que la sollicitation, savoir un dplacement linaire (resp. angulaire) pour un effort (resp.moment), do la ncessit du coefficient c3 pour couvrir lensemble des dplacements de lespace 2D,quelle que soit la sollicitation du plan envisage. En travaillant pour de petits dplacements, il estcourant dcrire : c3 = c8R = c2R . On constate alors lquivalence entre un dplacement engendr parun moment et la force provenant dune rotation dont les axes de rfrence sont interchangs.Les autres coefficients, c4 c7 permettent dexprimer les mouvements non contenus dans le plan. Ilsrestent peu tudis depuis leur formulation par Paros & Weisbord, les applications frquentes faisanttravailler la liaison dans le plan. De la mme faon que c3 lie conjointement z fy et y Mz, c5est utilis pour caractriser deux compliances gales : zMy et

    yfz.

    2.1.4 Comparaison des modlesLa richesse de la littrature mise en avant dans les parties prcdentes pour ce type de liaison

    tmoigne de limportance accorde au facteur , ce dernier influant directement sur la prcision des

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    modles. Leur confrontation dans [14, 22] (reporte sur la figure 2.7 et la table 2.1) permet une lecturesynthtique et critique pour guider les concepteurs dans la slection de lquation la plus approprieau cas dtude. Il est important de prciser que lcart est apprci en se rfrant aux analyses parlments finis, les exprimentations ncessitant une disponibilit matrielle, une logistique et une orga-nisation trop coteuse. De plus, cette base fournit des rsultats trs satisfaisants : environ 3% derreursont constats lors de vrifications sur les modles physiques.

    Figure 2.7 Erreurs de la compliance c8par rapport aux lments finis, daprs [22]

    Concernant ltude de la flexion principale dontil tait question en partie 2.1.2, les modles deParos & Weisbord [5], Lobontiu [16] et Wu &Zhou [15] drivent dune mme mthode (intgra-tion de lquation diffrentielle dune poutre enflexion) et offrent, par consquent, les mmes per-formances. On remarque par ailleurs que la pr-cision dcrot avec . Comme le souligne la fi-gure 2.7, le modle de Schotborgh savre treglobalement le plus prcis, avec une erreur in-frieure 2,5% sur toute la plage dtude :0, 05 tR 0, 6.

    Pour une valeur de donne, il nest pas ncessairement le plus prcis, do lutilit dun tableausynthtique qui rcapitule les modles et leurs plages de travail recommandes [14, 22]. Dans ce ta-bleau figurent galement les performances des modles pour certains efforts/dplacements, savoirles compliances c1 et c2. Elles proviennent des mmes travaux que ceux en flexion principale (Paros& Weisbord, Lobontiu, Wu & Zhou, Smith, Tseytlin, Schotborgh) mais aussi de lauteur du tableauqui propose une nouvelle expression polynomiale base sur une approche empirique, dont lerreur nedpasse pas 3% pour une large plage : 0, 05 tR 0, 8. On privilgiera donc cette dernire approchepour la dtermination de c2 plutt que de multiplier c8 par R2, comme cest le cas dans [23]. Onsaffranchit ainsi de lhypothse forte de petits dplacements.

    Table 2.1 quations de compliance suggres pour une plage t/R donne, daprs [22]

    2.2 SynthseParmi la grande varit dlments flexibles, notre choix sest finalement arrt sur la liaison de

    type "notch" qui dispose de nombreux modles et tudes comparatives. A lissue des discussions me-nes sur la prcision des modles en fonction des paramtres intrinsques, il peut tre intressant deprsenter les modles couramment employs en raison de leur prcision et de leur domaine de validit.

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    Comme annonc en partie prcdente, on retiendra lquation de Schotborgh dans lexpression de lacompliance principale. Concernant les coefficients c1 et c2, les quations polynomiales de Yong & al.permettront thoriquement de ne pas dpasser 0,08% derreur et ce, sur un plus grand domaine devalidit que les autres expressions. Quant aux autres coefficients, ils proviennent pour certains destravaux de Paros & Weisbord et drivent, pour dautres dun passage dune variation angulaire unevariation linaire par multiplication par le rayon R (pour rappel, valable uniquement en petits dpla-cements). Les expressions des coefficients c1, c2 et c3 proviennent de [14] tandis que les autres sontissus de [23] :

    c1 = (Eb[nk=0

    ck(t

    R)k])1 (2.3)

    c2 = (Eb[nk=0

    ck(t

    R)k])1 (2.4)

    c3 = c8R (2.5)

    c4 =12r2

    Eb3.[(rt)

    12 14] (2.6)

    c5 = 12rEb3

    .[(rt)

    12 2 + 2 ] (2.7)

    c6 =9r

    12

    4Gbt52

    (2.8)

    c7 =12Eb3

    .[(rt)

    12 2 + 2 ] (2.9)

    c8 =Ebt2

    12 [0, 0089 + 1, 3556

    t

    2R 0, 5227t

    2R ]1

    (2.10)

    Avec :

    - E : module de Young (lasticit longitudinale) [MPa]- G : module de cisaillement (lasticit transversale) [MPa]

    Table 2.2 Coefficients pour c1, c2, daprs [14]

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    2.3 Modlisation numrique en petits dplacements

    2.3.1 Influence des conditions de simulationsEn labsence de prototypes sur lesquels effectuer les simulations, la prcdente caractrisation de la

    charnire circulaire par des modles analytiques doit prsent tre confronte des outils numriques,dont le module Mechanica de Pro-Engineer qui sera exploit comme rfrence. Lidentification de cesrsultats relve donc dune ncessit, dune part dans un souci de validation des quations analytiquesmais galement en projection des tests ultrieurs.En amont de cette calibration, il est important de sassurer que la fiabilit des rsultats ne dpend pasdes conditions de simulation, ce qui, le cas chant, discrditerait les rsultats fournis par Mechanica.En dautres termes, il ne doit exister aucune corrlation entre le paramtrage de lanalyse statique etles dplacements quantifis, do le recours des tests prliminaires sur trois facteurs spcifiques aussibien conditionns par le cas dtude que par le paramtrage de la simulation : lapplication de leffort(entit sollicite et rpartition de leffort), le maillage et le cas de charge (composante et intensit dutorseur daction).Tout dabord, les paramtres gomtriques de la charnire doivent tre fixs afin de conserver unemaquette numrique identique dans les tapes conscutives danalyse des conditions de simulations etdutilisation au sein des futurs mcanismes. Les deux principaux paramtres que sont t et R doiventnotamment satisfaire lensemble des domaines de validit connus pour pouvoir appliquer les modlesanalytiques, cest--dire 0, 05 0, 65 rsultant de lintersection des domaines synthtiss surle tableau 2.1 et qui conduit au choix arbitraire : R=10[mm], t=1[mm] et b=20[mm] (reprsents surla figure 2.6).

    - Application de leffort : la performance dun calcul par lments finis est fonction de nombreuxcritres parmi lesquels figurent les conditions aux limites. En napportant aucune modification lagomtrie de la liaison charnire, on observe par exemple une concentration de contraintes au niveaude ses extrmits qui se traduit par des dformations locales excessives si on exerce un effort de trac-tion rparti uniformment sur la surface extrieure (cf. Figure 2.8).

    Figure 2.8 Influence des conditions aux limites

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    Pour corriger ce problme, il est frquent de rajouter de la matire de part et dautre de llmentflexible, de manire dporter leffort sur une section pleine et continue. En revanche, cette faon deprocder induit une distribution des dformations, la dforme de la poutre contribuant aux dplace-ments du point dintrt en plus de devoir recalculer le torseur daction pour quune fois dport, ilgnre les mmes efforts sur la surface initiale. Il nest donc pas envisageable demployer cette alter-native.On adoptera finalement lapplication directe de leffort en un point, moyennant une hypothse fortedindformabilit de la surface laisse libre (oppose celle encastre). La restriction de lextrmit une rgion de surface rigide ne doit pas tre confondue avec une perte de mobilit sachant quellenaffecte pas les dplacements mais seulement les dformations. Cette dmarche facilite la vrificationde la matrice de rigidit puisque le torseur appliqu dans le modle analytique est directement exprimau point dapplication thorique et ne suscite donc aucun calcul intermdiaire.

    On commence par vrifier lquivalence entre les deux approches en prcisant que le dplacementlinaire est obtenu par loutil mesure de simulation paramtr sur le centre de la surface extrieure.La premire (reporte sur la gauche de la figure 2.9a) considre une sollicitation mcanique horizontalede 10N applique au centre de la surface. Dans la seconde (sur la droite de la figure 2.9a), on trans-porte leffort lextrmit dun bloc de matire massif centr autour de la premire configuration. Larsultante en effort pur ainsi obtenue est alors distribue sur la surface en question. Il est noter quecet action mcanique rsulte de limpossibilit de dfinir un moment appliqu une surface, sa valeurdans lespace changeant par dfinition selon son point dancrage dans lespace. La confrontation desdeux mthodes distinctes rvle alors une diffrence ngligeable de 5, 57E5mm pour le premier casdevant 5, 59E5mm, soit une erreur relative de 0,34%.On prcisera au passage que la seconde approche a galement t teste sur un autre logiciel ddi la simulation par lments finis, Patran, qui fournit sensiblement les mmes rsultats. Plus simpledutilisation, on se contentera donc du module Mechanica en appliquant le torseur daction au pointsouhait, aprs avoir pris soin de dfinir la surface extrieure comme indformable. Par ailleurs, linter-section de surfaces angle faible pose rgulirement des difficults de maillage, le manque de matireentre deux surfaces critiques trs rapproches et parallles restreignant lespace disponible. Pour cetteraison, une surpaisseur a t ajoute la commissure des arcs de cercle et de la surface extrieure(cf. Figure 2.9b), souhaite aussi faible que possible pour ne pas interfrer avec les dformations de lacharnire (en loccurrence, une paisseur de 0,1mm).

    - Le maillage : il spcifie les nuds du modle auxquels doivent tre valus les dplacementsrpondant aux sollicitations et contraintes imposes en entre. Il convient donc dtudier la maniredont influe le maillage sur les rsultats.Pour ce faire, on gnre un nouveau maillage qui tient compte des nuds de passage uniformmentrpartis sur chacune des arrtes de la liaison en incrmentant leur quantit en guise de point decontrle. Les simulations sont ralises en conservant un effort constant, conformment aux rglesdapplications dcrites dans le prcdent paragraphe, en distinguant nanmoins les types de sollicita-tions afin dexploiter lvolution des coefficients pris sparment. Enfin, on aura recours une macroExcel ainsi quun script Matlab, tous deux prsents en annexe A et B, pour traiter rapidement lesrsultats dcoulant des diffrentes simulations Mechanica. Les rsultats sont exprims dans le systmeinternational dunits, savoir les [mm], [radians], [N] et [Nmm], sachant quon pourra se rfrer lasection 2.3.3 consacre aux mesures angulaires pour mieux cerner les rotations x, y et z.

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    (a) Confrontation des deux mthodes

    (b) Mise en exergue de la surpaisseur

    Figure 2.9 Dfinition de rgion dapplication de leffort

    A premire vue, les courbes reprsentatives de lvolution des coefficients en fonction du maillage(cf. Figure 2.10) ne possdent pas une croissance monotone ou nulle, mis--part lallure du coefficientc1 qui reste rigoureusement identique du fait dun cas simple de traction. Ces fluctuations proviennentprobablement des asymtries introduites dans la reconstruction optimale du maillage en accord avecles nuds imposs et la gomtrie. Naturellement, laugmentation drastique du nombre de nuds pararrte implique un maillage resserr qui tend alors estomper les dissymtries, do la prsence duneconvergence pour la plupart des coefficients au voisinage du maillage le plus fin (301 points/arrte).Toutefois une telle opration seffectue au dtriment du temps de calcul croissant alors que les dvia-tions ne sont pas alarmantes au vue des carts ports sur la figure 2.10.

    A plus grande chelle, il semblerait que le maillage initial soit suffisamment prcis tant donn queles coefficients varient trs lgrement entre les deux bornes du domaine dtude. Le tableau rcapi-

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    Figure 2.10 volution des coefficients en fonction du maillage

    tulatif 2.3 confirme dailleurs cette observation qui permet de fixer une valeur mdiane de maillageatteinte approximativement pour 40 nuds par arrte. On exploitera ainsi un maillage relativementrapide en plus de conduire sensiblement aux rsultats asymptotiques. Enfin, il est important de prci-ser que la valeur prcdemment calcule est susceptible de diffrer selon les corps dformables analyss.Par exemple, une densit de maillage suprieure peut tre de rigueur pour une gomtrie complexe,linfluence du maillage entre des profils distincts nayant pas t vrifie. Cependant, on supposera lesdformations caractristiques des futurs systmes concentres sur notre lment flexible et la valeurretenue restera donc valide.

    Table 2.3 Dispersions relatives

    - Le cas de charge : lenjeu principal rside dans la linarit des modles lments finis par rapport la sollicitation applique en entre en vue de saffranchir dune quelconque valeur de travail puisquesi tel est le cas, la multiplication de leffort par un scalaire engendrerait le mme ratio au niveau des

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    dformations en sortie. La compliance scrivant comme fraction du dplacement sur leffort, ce quicorrespond lexpression dune quantit de dplacement pour un effort unitaire, sa valeur resteraitalors inchange quelle que soit lintensit de leffort paramtre. Thoriquement, les algorithmes dl-ments finis implments en petits dplacements sont strictement linaires sur un domaine non born,la prise en compte de la limite lastique tant la charge de lutilisateur et non du calcul. On veillenanmoins sen assurer en conduisant des tests similaires ceux effectus sur le maillage : utilisationdes mmes macros, distinction des sollicitations afin de calculer les coefficients indpendamment lesuns des autres et conservation des hypothses vrifies au pralable (maillage gal 40 nuds pararrte, effort toujours appliqu en un point). Cette fois-ci, on part dun effort (resp. moment) unitaireque lon interpole jusqu 106N (resp. Nmm) pour les coefficients rattachs un dplacement linaireet 104N (resp. Nmm) pour les dplacements angulaires.

    Figure 2.11 Fluctuation des coefficients sur une plage defforts

    Toutes les conditions semblent runies pour conclure quant la linarit du modle malgr unelgre altration des rsultats autour de 104N et plus. La non constance la plus sensible concerne lacoefficient c8 pour lequel on passe dune moyenne tablie autour de 2, 89E5 2, 82E5, soit uneerreur relative de 2,4% que le changement radical de configuration peut expliquer. Par consquent, onconservera lhypothse de linarit du modle numrique en restant cependant vigilant aux sollicita-tions en jeu, ce qui permet de certifier une absence de sensibilit au bruit numrique, damplifier lamesure jusqu un certain seuil selon les besoins mais aussi de faciliter la lecture de dplacements lis dinfimes compliances et enfin, de justifier les 10N deffort sur lesquels nous nous concentrerons toutau long des prochaines simulations.

    2.3.2 Apprciation des modles analytiques par lments finisDaprs la section prcdente, les conditions dtude importent peu vis--vis de la pertinence des

    rsultats, lencadrement de ces derniers demeurant relativement resserr quel que soit lenvironnementde simulation dfini. De ce fait, il est possible de procder lidentification des coefficients, ce quirevient laborer la forme matricielle par application du thorme de superposition : on appliqueindpendamment un effort ou un moment pur dont le dplacement mis au regard de la formule 2.1dtermine la compliance propre un type de sollicitation et de dformation.

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    Lobtention par les outils numriques de la matrice de compliance permettra de valider les modlesanalytiques et, le cas chant, dtudier dventuelles sources de divergences avant de retenir le casparticulier appliqu sur le logiciel dlments finis. En effet, la matrice finale de compliance est calquesur les rsultats numriques afin que la construction du modle analytique dun systme concordeavec les vrifications numriques employes. Limportance accorde la modlisation des systmesprdomine donc sur celle des modles locaux de la liaison qui ne doivent pas entraver la recherchedun outil de modlisation lchelle du mcanisme. On retiendra nanmoins quil sagit dune phasede prospection et que, terme, on reviendra sur une utilisation des modles analytiques qui offrent demeilleures performances grce leur modularit et rapidit de calcul.Sappuyant sur la charnire prcdente, le tableau 2.4 recense les mesures de rfrence pour la construc-tion de la matrice de compliance, compares par la mme occasion aux rsultats analytiques. Parconsquent, les maquettes numriques venir devront tre articules par des liaisons aux dimensionsinchanges.

    Table 2.4 Dtermination des coefficients - Confrontation analytique/lments finis

    Le premier constat concerne lgalit des coefficients complmentaires. Il rpond lanalyse effec-tue en section 2.1.3, de mme que la proche correspondance des coefficients c2, c3 et c8 au facteur Rprs. La confrontation des rsultats numriques avec ceux escompts analytiquement confirme par lamme occasion la finesse des quations relatives c1, c2 et c8, mme si les pourcentages obtenus d-passent lgrement les diffrences maximales attendues. En revanche, les autres coefficients ne satisfontpas les estimations analytiques avec des carts voluant entre 11% et 49%. On sinterrogera sur uneventuelle optimisation gomtrique visant approcher des conditions qui nous auraient chappes,le respect de la plage de fonctionnement de ces quations ntant pas conditionn par des bornes, dumoins non spcifies dans littrature. Pour ce faire, on met en place une dmarche doptimisation danslaquelle les paramtres gomtriques convergent vers une configuration ou les modles analytiquesaboutissent sensiblement aux mmes rsultats que par lments finis. Les formes obtenues pour lesoptimisations relatives chaque compliance sont visibles sur la figure 2.12

    Avec des carts ramens cette fois-ci 0,5% au maximum, on observe des configurations trs di-verses pour lesquelles le modle numrique diverge peu de lquation dcrivant son comportement. Lesratios qui sy rapportent changent de manire consquente, ce qui souligne lexplication concernantle domaine de validit explique en amont. Pour autant, on stonnera de certaines apparences commela forme octroye au coefficient c6 qui ne ressemble plus une liaison charnire. A ce jour, les mo-

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    Figure 2.12 Optimisation des paramtres gomtriques

    dles disponibles dans la littrature dcrivant les compliances c4 c7 semblent donc inappropris. Onse contentera du taux derreur de 49% en maintenant les paramtres gomtriques initiaux, savoirR=10[mm], t=1[mm] et b=20[mm] ainsi que les mesures sy rapportant dans la dtermination de lamatrice de compliance. Lors du retour aux modles analytiques, on restera cependant vigilant quant lemploi des quations dfinissant les coefficients c4, c5, c6 et c7.Note : des tests similaires ont t conduits sur une gomtrie lmentaire, une poutre section circu-laire. Il en rsulte une parfaite cohrence entre les modles analytiques et les simulations par lmentsfinis, de quoi orienter les inexactitudes sur les quations en question.

    2.3.3 valuation des mouvements angulaires pour la matrice de ri-gidit

    Le concept de mobilit est fondamental dans ltude dun mcanisme. Pour rappel, la mobilitdun mcanisme est le nombre de paramtres dentre que lon doit contrler indpendamment pourfaire atteindre au mcanisme une position particulire. Bien quapproches des liaisons pivots, lesarticulations compliantes retenues dans notre systme prsentent initialement six degrs de libertsque lon retrouve dans les dimensions de la matrice locale de compliance. La prsente section abordela mesure angulaire, ce qui revient ne considrer que les trois degrs de libert en rotation de notrearticulation.Parmi les diffrents outils de mesure accessibles sur ProE/Mechanica, on retrouve des grandeurs gn-riques telles que les contraintes, dformations, dplacements. . . Ce module avait dailleurs permis demesurer les dplacements linaires dans les simulations dj prsentes, la diffrence des variationsangulaires qui ne peuvent tre issues directement dune rsolution par lments finis ; do le recours dautres mthodes dont il est maintenant question.Pour pouvoir mesurer une rotation pure, deux points sont ncessaires. Par extension, lorsquon sin-tresse au cas de trois rotations dans lespace, on tend les rfrences de mesure trois points. Dslors, on peut dfinir deux vecteurs ayant une origine commune et par suite, un repre de rfrence encalculant le troisime par produit vectoriel des deux premiers. La dtermination du repre orient suitle mme processus en prcisant que les coordonnes des trois points drivent de laddition de leurs co-ordonnes initiales avec leurs dplacements dans les directions respectives de lespace. Cest pourquoi

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  • CHAPITRE 2. LES LIAISONS COMPLIANTES

    un systme de rfrencement identique tous les mcanismes ne peut sappuyer sur les contours de lasurface rigide dont lorientation nous proccupe mais requiert un repre prdfini avec des longueursfixes, ce que lon retrouve dans la solution adopte : deux barres rigides extrudes perpendiculairement(cf. Figure 2.12). A leurs extrmits, on implmente des mesures en dplacements projets de faon tablir le nouveau repre, conformment la procdure prcise au-dessus. Une telle ralisationamplifie les dplacements mesurs et est favorable donc au traitement de nombres msoscopiques plu-tt que de prserver inutilement une chelle microscopique dans le cas de faibles rotations que nousrencontrons.Tout au long des sections antrieures, les mesures angulaires se basaient sur cette structure. Les anglesavaient t quantifis par projection ou par rotations successives qui conduisaient alors aux mmesrsultats, le choix dune mthode nayant aucune incidence sur la valeur calcule face une uniquerotation. Se pose alors le problme destimer correctement les rotations, plusieurs mthodes tantpossibles. Par ailleurs, il convient de sinterroger sur la mthode approprie dans le cas dune sollici-tation combine. En effet, lapplication dune sollicitation mixte se traite aisment du point de vue dela matrice de compliance analytique qui prvoit justement dtre multiplie par un torseur dactionsextrieures (on rappelle la relation : X = CF). En revanche, on ne sait pas ce qui a le plus de sensdans la mesure dun tel dplacement, ce qui induit la faon de traiter la mesure sur ProE.

    Un oprateur courant de modlisation de lorientation dun repre par rapport un autre est trela matrice de rotation, note R qui, dans un espace euclidien reprsente les isomtries directes. Endautres termes, cette matrice contient les projections de chacun des trois vecteurs de la base finalesur la base de rfrence. En notant X, Y et Z les vecteurs mesurs sur la modle numrique ramens leur expression unitaire, et avec le repre de rfrence [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]], on a :

    R =

    ~X.[1, 0, 0] ~Y .[1, 0, 0] ~Z.[1, 0, 0]~X.[0, 1, 0] ~Y .[0, 1, 0] ~Z.[0, 1, 0]~X.[0, 0, 1] ~Y .[0, 0, 1] ~Z.[0, 0, 1]

    (2.11)La dfinition des angles et de leur systme de coordonnes varie selon le besoin, do lexistence

    de plusieurs formalismes :

    Les angles projets dsignent les scalaires tablis directement par projection sur le repre de rf-rence. On liste deux mthodes :

    1. La mesure trigonomtrique : chaque angle drive de larc-tangente des deux autres com-posantes dun vecteur normal au vecteur portant la rotation. Aussi : rx = atan(Y (3)/Y (2)),ry = atan(X(3)/X(1)) et rz = atan(X(2)/X(1))

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  • CHAPITRE 2. LES LIAISONS COMPLIANTES

    Figure 2.13 Calcul des angles par trigonomtrie

    2. La rotation autour dun axe : les trois rotations dfinissent les composantes du vecteur di-recteur de laxe dont la norme dfinit la quantit de rotation. Le calcul des scalaires x, y etz sera assur par une fonction gnrique Matlab, la fonction Rodrigues dont la prcision a tvalide par un script personnel : une matrice de rotation est cre partir de trois composantesux, uy et uz dun vecteur ~u via la formule suivante puis galise avec les rsultats que retournentla fonction Rodrigues, une fois celle-ci applique R :

    R =

    ux2 + (1 ux2)c uxuy(1 c) uzs uxuz(1 c) + uysuxuy(1 c) + uzs uy2 + (1 uy2)c uyuz(1 c) uxsuxuz(1 c) uys uyuz(1 c) + uxs uz2 + (1 uz2)c]

    (2.12)

    Figure 2.14 Reprsentation des 3 endomorphismes lis la rotation axiale

    On prcisera quun critre prsent dans la fonction Rodrigues a t rduit afin dtendre sonfonctionnement de trs petites valeurs. En prenant soin de travailler avec des nombres de type

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  • CHAPITRE 2. LES LIAISONS COMPLIANTES

    double, la norme de la matrice de rotation nest pas approxime zro. La restriction visant viter de mauvaises approximations nest donc plus de rigueur.

    - Les rotations successives qui peuvent tre de deux natures : dplacements angulaires conscutifspar rapport au repre initial ou en suivant les repres construits progressivement. Les matrices derotation sobtiennent alors par multiplication matricielle des rotations de base, sachant que lordrede multiplication est altr selon quon travaille par rapport un repre fixe (pr-multiplication) oumobile (post-multiplication). Pour diminuer la quantit de travail, les matrices de bases ont t saisiessur Maple ainsi que les multiplications respectives (cf. Annexe C). On ne prsentera pas ici le calculfinal des angles pour chacune des transformations retenues mais ils figurent en annexe (cf. Annexe B).

    Analyse : La combinaison du script Matlab et dune Macro Excel similaire permet dordonner ra-pidement les rotations issues de simulations Mechanica.Une premire srie de tests consiste solliciter notre articulation par lensemble des quinze pairesdactions mcaniques fixes 10N pour les forces et 10Nmm pour les moments. Parmi tous les rsul-tats, toutes mthodes confondues, on relve un cart maximal de 1,5% entre un calcul en rotation etla multiplication des coefficients en jeu par les efforts appliqus. Il est intressant de constater quetoutes les sollicitations comportant un moment autour de laxe ~y possdent de plus grandes erreurs,la majorit des rsultats avoisinant pour le reste les 0%. On conclut donc qu faibles angles et pourdeux sollicitations combines, la mesure est correctement estime par nimporte quelle mthode. Onprsente par exemple le cas de la mthode Rodrigues sur la figure 2.15 :

    Figure 2.15 Incertitudes de mesures pour les 3 angles par la mthode Rodrigues

    En maintenant le nombre de sollicitations combines deux, on tudie prsent linfluence dac-tionnements symtriques et ce, pour de grandes amplitudes approchant la dizaine de degrs. Dunepart, ces plus grands dplacements entranent de plus grandes erreurs. Dautre part, on remarque que

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  • CHAPITRE 2. LES LIAISONS COMPLIANTES

    dans le cas o la sollicitation seffectue par un effort le long de laxe ~z et un moment autour de ~x, lasymtrie est fonctionnelle pour une inversion de signe du moment uniquement (cf. Figure 2.16). Cetteobservation parait logique en ce sens o la rotation autour de laxe ~x peut tre perue comme unerotation successive autour du dernier repre atteint, ninfluant que sur la rotation finale tandis que larotation autour de laxe ~y (gnre par leffort) doit tre davantage assimile une rotation autour durepre fixe.

    Figure 2.16 valuation des rotations pour un actionnement symtrique

    On poursuit lexploration des conditions de mesure en tendant cette fois-ci le torseur dactions trois composantes. Le constat est sensiblement le mme, savoir quune augmentation de leffortengendre un cart plus grand et qu petits dplacements, la mesure seffectue correctement.Il serait intressant de cerner plus prcisment les facteurs dgradants dans la mesure en rotation :une sollicitation plutt quune autre, une combinaison particulire ou encore un seuil dintensit ne pas dpasser mais il semble en fait quaucune mesure soit rellement approprie au sens o si elleltait, elle prsenterait de trs bon rsultats, y compris pour de grands dplacements. Il est asseztonnant galement de ne pas observer une constance dans le classement des mthodes, un calcul quelon retiendrait dans une situation de sollicitation pouvant empirer et donner de trs mauvais rsultatsdans une autre. Quoi quil en soit, la mesure est correctement value par chacune des mthodes dumoment que la sollicitation est infrieure 1000N (resp. 1000Nmm). On pourra donc poursuivre ltudedu systme en se restreignant la plage defforts indique. Peut-tre serait-il intressant daffiner ladescription de notre articulation en dfinissant plus de coefficients au sein de la matrice de compliance.

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  • CHAPITRE 3. LES MCANISMES PARALLLES

    Chapitre 3

    Les mcanismes parallles

    1 GnralitsUn mcanisme parallle se distingue dun mcanisme srie par la prsence de chanes cinmatiques

    fermes, lorgane terminal tant reli la base par plusieurs chaines cinmatiques indpendantes. Lesplus rpandus sont connus sous des dnominations comme "plate-forme de Gough-Stewart" [24], "ro-bot Delta" [25], tomb dans le domaine public depuis 2007 ou encore "loeil agile" [26], propos parC.Gosselin. Ils prsentent plusieurs avantages dont laugmentation de la raideur et de la prcisionainsi que les charges et dynamiques accessibles. En contrepartie, leurs inconvnients majeurs sont : unespace de travail relativement rduit ainsi quune plus grande complexit de conception, modlisationet de commande en raison de leur comportement non linaire. Enfin, linterconnexion de plusieurschanes cinmatiques ne garantit pas ncessairement une augmentation de la raideur en proportionsattendues, celle-ci se trouvant souvent dgrade par la prsence de dformations lastiques localisesau niveau des articulations et distribues au niveau des liens.En vue dexploiter les avantages prcdemment cits, tout en contournant un certain nombre din-convnients, il est indispensable danalyser finement la raideur quivalente dun mcanisme paralllecompliant. Concernant sa modlisation, on recense deux principales approches [27] : lapproche basecinmatique et la mthode des lments finis (FEM).

    Lanalyse de la raideur seffectue gnralement au travers de la premire approche [4] qui consiste traduire le comportement dlments compliants travers un mcanisme corps rigides : lvaluationdu dplacement se fait par les approches cinmatiques usuelles utilises pour les mcanismes corpsrigides tandis que la relation liant leffort au dplacement est approche par des ressorts modlisantla raideur du membre compliant ; ce qui explique lintitul PRBM 1. Cette approche reste limite auxdirections utiles de travail et ne peut donc pas convenir pour la caractrisation complte de la rigiditdans lespace. Certaines erreurs persistent galement dans lidalisation des lments flexibles, leurmouvement ne reproduisant pas exactement celui de leur quivalent corps rigides [28].

    La mthode des lments finis, quant elle, est utilise pour rsoudre numriquement des quationsaux drives partielles. Elle est notamment utilise dans la dformation des matriaux, exploitant lesquations de la mcanique des solides dformables sur un maillage numrique de la structure tudie.

    1. Pseudo-Rigid-Body Model

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  • CHAPITRE 3. LES MCANISMES PARALLLES

    Figure 3.1 Synthse de modlisations pour les mcanismes compliants

    Figure 3.2 Modlisation dun lment flexible par la mthode PRBM, daprs [4]

    On envisage alors didentifier la matrice de rigidit dans une configuration donne en procdant plusieurs simulations pour des orientations et chargements diffrents. Toutefois, les temps de calculset la confection du modle se rvlent tre deux inconvnients considrables.

    En consquence, on prfre une approche analytique qui se concentre sur la propagation des rai-deurs articulaires au niveau oprationnel travers lanalyse de larchitecture du mcanisme et plusparticulirement la faon dont sont inter-connectes les diffrentes articulations (combinaison srieou parallle, longueur des liens, configuration dtude...). La modlisation par lments finis trouverananmoins une application ultrieure dans la vrification des performances du systme.Aprs ltude des mouvements statiques pour les manipulateurs srie compliants par Svinin & al. [8],lanalyse en raideur pour les mcanismes parallles par Arai & al. [9] et Oiwa & al. [10], Gosselin[11] introduit une mthode danalyse des raideurs pour les mcanismes parallles en considrant lesdformations lastiques, au niveau des liaisons actives seulement. Depuis, plusieurs travaux tententdlaborer des modles analytiques, certains ngligeant la dformations dlments comme les liens quisont souvent considrs rigides, dautres ne sintressant qu une sollicitation extrieure, articulaire ouune combinaison des deux. Malgr les diffrentes hypothses, les publications rcentes convergent versun mme objectif qui rside dans lexpression du dplacement observ en un point de la plateformepar rapport au torseur deffort (intrieur et/ou extrieur) auquel le mcanisme est soumis.

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  • CHAPITRE 3. LES MCANISMES PARALLLES

    2 Mthodes destimation de la raideur

    2.1 Mthode matricielle

    2.1.1 PrsentationLa mise en srie (resp. parallle) de ressorts tant largement explore, elle pourrait constituer une

    rfrence pour la modlisation de la raideur (resp. compliance) dun mcanisme. Pour rappel, le calculdu ressort quivalent dune association en parallle scrit comme la somme des raideurs, traduitpar lquation (Eq. 3.1) tandis quil sagit de sommer les compliances pour obtenir la compliancequivalente de ressorts mis bout bout comme lillustre lquation (Eq. 3.2) :

    K =i

    Ki (3.1)

    1K

    = C =i

    Ci (3.2)

    Ces quations restent vraies lorsque les ressorts ont la mme direction de dformation et que les d-formations ne sont pas amplifies ou mutuellement affectes. Les mcanismes compliants ne rpondantpas aux prcdents critres, on ne peut pas avoir directement recours cette analogie pour calculerla raideur quivalente dun mcanisme, do lintroduction de mthodes spcifiques visant corrigerlexpression des raideurs et compliances. A terme, on doit tre en mesure de caractriser le mcanismepar une raideur quivalente Keq, cest--dire pouvoir crire : F = KeqX avec X dsignant les petitsdplacements et F le torseur dactions au niveau de la plateforme.

    Dveloppe dans le domaine de larchitecture pour analyser des ponts ou autres structures entreillis [29, 30], lanalyse par la mthode de transport matriciel est particulirement adapte pour lesarchitectures cartsiennes aux liaisons charnires circulaires et permet de transporter une matrice decompliance dun repre un autre selon la relation :

    Ci = JCiJT (3.3)

    Avec Ci : matrice de compliance du ime lment exprime dans un autre repre. En rappelantque lexpression de la raideur est obtenue par inversion de de celle de la compliance, lexpression dela raideur quivalente scrit :

    X = CF (3.4) F = C1X = KX (3.5) Ki = JTC1i J

    1 (3.6)

    2.1.2 ModlisationDans une premire partie, nous discutons de lapproche gnrique adopte dans le cas de mca-

    nismes srie. Nous traitons ensuite les mcanismes parallles. Il est important de prciser quune seuleet mme mthode est utilise dans les deux situations mais quune dmarche progressive inspire de[31] facilite lintgration des notations. Seules les grandes tapes de calcul sont introduites de manire

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  • CHAPITRE 3. LES MCANISMES PARALLLES

    identifier les termes de la formule rduite et juger de ses limites vis--vis dune singularit ou delhyperstatisme dun mcanisme.

    Figure 3.3 Modle srie

    1) Modlisation srie :

    Il sagit ici de modliser la raideur quivalentedun manipulateur srie au niveau de son extrmit.Pour conserver la gnricit de la mthode, chacundes m lments (articulations et liens) est assimil un membre flexible avec une matrice 6x6 de com-pliance locale Cij , o i fait rfrence au numro dela chaine srie laquelle llment j appartient. Ennotant eij la matrice 6x1 de dformation et fij letorseur dactions 6x1 rattachs llment ij, tousdeux exprims dans un mme repre de rfrence fixe,on a :

    eij(61) =

    xijyijzijxijyijzij

    = Cij(66) fij(61) (3.7)

    La formulation prcdente peut tre gnralise lchelle du mcanisme en regroupant lensembledes dformations sous une mme matrice eij :

    eij =

    ei1ei2...eim

    =Ci1

    Ci2. . .

    Cim

    fi1fi2...fim

    = CijF ij (3.8)

    A ce stade, la mthode se heurte la connaissance des efforts localiss. En consquence, il estncessaire dexprimer les efforts articulaires en fonction de leffort Fi agissant sur lorgane terminal etrelier les dformations locales au dplacement de leffecteur de manire se ramener une expressiondu type : Xi = CeqFi. Pour ce faire, on exploite la dfinition du Jacobien J (6x6m) tel que :

    eij = CijF ij = CijJTFi (3.9) Xi = Jeij = JCijJTFi = CeqFi (3.10)

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  • CHAPITRE 3. LES MCANISMES PARALLLES

    Comme suggr dans [32], on peut galement envisager travailler avec des sous-matrices Jij , reliantdirectement les dformations de llment ij celles de leffecteur. En observant que le dplacementde lextrmit (Xi) rsulte de la somme des dformations lastiques des lments (eij) exprimes auniveau de leffecteur, puis en procdant de mme que prcdemment (dplacement des efforts articu-laires au niveau de leffecteur et expression des efforts articulaires en fonction de leffort gnralis),la relation devient :

    Xi =mj=1

    Xij =mj=1

    Jijeij =mj=1

    JijCijFij =mj=1

    JijCijJijTF = JCijJTFi (3.11)

    Avec J = [Ji1 Ji2 ... Jim] | Cij = diag(Ci1, Ci2, ..., Cim)

    On retrouve la proprit des robots srie selon laquelle le jacobien J peut tre dcoupl et segmenten sous-matrices Jij rattaches aux articulations respectives. Cette formulation permet notammentdaborder la compliance quivalente comme tant la somme des compliances transportes au niveaude leffecteur. En plus de la similitude avec la mise en srie de ressorts, on saffranchit du JacobienJ proprement parler en ne considrant que les transformations JijCijJijT , lexpression de Jij tantfournie dans de nombreux travaux [33, 23, 34, 35] :

    Jij =(ijRT [ijPT]ijRT

    0 ijRT

    )(3.12)

    o ijRT dsigne la matrice de rotation du repre local Rij au repre rattach leffecteur RT .ijPT = [ijPTx, ijPTy, ijPTz]T correspond au vecteur translation permettant le passage de Rij RTexprim dans le repre local et ijPT son pr-produit vectoriel tel que :

    ijPT =

    0 ijPTz ijPTyijPTz 0 ijPTxijPTy ijPTx 0

    (3.13)

    Figure 3.4 Modle parallle

    2) Modlisation parallle :

    Un robot parallle peut tre dfini comme un en-semble de n chanes sries rattaches une mmeplateforme. En dfinissant Ksi = Csi1, la rai-deur quivalente lextrmit dune chane srie etJi les jacobiens permettant de passer des dplace-ments au bout dune chane srie leffecteur, ilvient :

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  • CHAPITRE 3. LES MCANISMES PARALLLES

    Xeffecteur

    = J1X1 = J2X2 = ... = JnXn

    KeqX = F =ni=1

    JiTFi =

    ni=1

    JiTKsiJ

    1i

    Keq //

    X (3.14)

    On peut constater que :

    Keq // =ni=1

    JiTKsiJ

    1i =

    ni=1

    JiT (

    mj=1

    JijCijJijT )1J1i =

    ni=1

    (mj=1

    JiJijCijJijTJi

    T )1 (3.15)

    Keq // =ni=1

    (mj=1

    JCijJT )1 =

    ni=1

    C1i =ni=1

    Ki (3.16)

    O Ci et Ki correspondent aux matrices de compliances (resp. raideur) quivalentes de la ime chanesrie exprimes dans le repre final, celui de leffecteur.

    Lquation (3.16) peut tre rapproche de lquation (3.1), comme prtendu dans [31]. Aprs avoiropr au changement de repre par substitution de (3.12) dans lquation de transport (3.3), on peutdonc calculer finalement la raideur du mcanisme avec les expressions propres aux ressorts (3.1) et(3.2). Pour cela, il convient donc dtablir les matrices de compliance (resp. raideur) pour chacunedes liaisons et lments dformables en jeu. Par la suite, on procde au transport de celles-ci au pointdintrt choisi. Enfin, linterconnexion des lments par mise en parallle (resp. srie) des diffrentesmatrices conduit une matrice de compliante globale au niveau du mcanisme qui permet de prdireson comportement pour une sollicitation donne.

    (a) liaison pris-matique

    (b) liaison uni-verselle

    (c) Mcanismeplan

    (d) Micro-manipulateur

    Diverses applications rsultent de cette mthode, en raisonde sa simplicit de calcul et de la prcision des rsultats obte-nus. Dans [23] Koseki et al. explicitent le calcul conduisant lexpression de J dans le cas du transport en translation duntorseur de rigidit, par une approche logique en 3 temps : le d-placement du torseur dactions de leffecteur larticulation parla formule de Varignon, lintroduction des compliances localisespour les dplacements induits, le retour au niveau de leffecteurpour quantifier le dplacement final. Ce travail confirme donclassimilation du Jacobien une matrice de changement de re-pre avant dtre tendu la combinaison de la translation et dela rotation. Une dmonstration similaire propose dans [34] met,en plus, laccent sur un lment essentiel : la prise en compte dela dformation des liens. Bien que non nglige dans

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  • CHAPITRE 3. LES MCANISMES PARALLLES

    (e) structure NINJAsimplifie

    (f) Micro-mcanismeparallle 3dll

    Figure 3.5 Exemples dapplica-tions, daprs [33, 34, 23]

    certains travaux, nombre de documents approximent la rai-deur des liens une raideur infinie. Nagai & Liu proposentdailleurs de dplacer les compliances des liens au niveau ar-ticulaire pour faciliter lexpression du Jacobien dans le caso on ne considre pas une somme de transports matri-ciels. On retrouve alors lexpression (3.3) avec J dfini se-lon (3.12), la diffrence prs de la composante en transla-tion absente tant donn que le produit vectoriel de la ma-trice de rotation avec le dplacement est nul dans le casdun systme plan. On recense dautres applications telles que[36, 35, 33] qui fournissent, pour certaines, des modles en rai-deur prdfinie pour des blocs lmentaires (U-joint, prismatic-joint).

    Lefficacit de la mthode prsente est souvent estime au moyen dlments finis. Daprs les pu-blications traitant de cette approche, gnralement applique des mcanismes cartsiens comme lesmicro-manipulateurs (cf. Figure 3.5), la mthode est relativement prcise puisque les erreurs voluententre 5% et 10%. Les principales sources dcarts cites sont :

    lhypothse ventuelle de rigidit infinie pour les liens entre les diffrentes liaisons linfluence de lpaisseur t de lamincissement sur la prcision des rsultats la connaissance prcise de chacune des dimensions en jeu (pour une vrification exprimentale) lapproximation une structure de type treillis lhypothse de relation linaire entre les efforts et dplacements

    Malgr ces carts, au demeurant relativement faibles, il est important de noter le gain de tempsde calcul considrable observ pour cette mthode. De plus, la prdiction comportementale traversdes expressions mathmatiques peut tre implmente pour des phases doptimisation ou servir danslvaluation de lespace de travail, des jeux de paramtres gomtriques.

    2.2 Mthode du travail virtuelLe calcul de la raideur quivalente par le travail virtuel suit une dmarche assez similaire celle de

    la mthode matricielle. Elle apporte cependant quelques particularits tel que le dcouplage des arti-culations dpendantes et indpendantes, les articulations dpendantes dsignant les liaisons prsentesdans lexpression du Jacobien, bien que passives sur le plan des sollicitations mcaniques. En effet, si lamthode matricielle approximait toutes les liaisons des liaisons dpendantes, cette seconde approchedistingue deux Jacobiens, lun permettant le passage de la plateforme aux articulations dpendantes (J)et lautre aux articulations indpendantes (Jp), toutes deux passives. Dans le cas de la publication [37],on dnombre ainsi 3 liaisons dpendantes [11, 21, 31] et 6 indpendantes [12, 13, 22, 23, 32, 33],reports sur la figure 3.6 :

    La mthode consiste alors galiser le travail (force dplacement) actif, cest- dire celui auniveau des parties actionnes par un torseur dactions avec le travail passif qui correspond au travail

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  • CHAPITRE 3. LES MCANISMES PARALLLES

    Figure 3.6 Liaisons dpendantes et indpendantes pour un manipulateur 3dll, daprs [37]

    dans les liaisons passives (dpendantes et indpendantes). Par suite, les petits dplacements sont rap-ports leffecteur via les Jacobiens prsents prcdemment. En redfinissant Jp de telle sorte quilsoit li aux dplacements de la plateforme (qp = JpX) et non ceux articulaires, [38, 37] fournissentfinalement la raideur quivalente suivante :

    Keq = JTKaJ + JT pKpJp (3.17)

    Avec Ka = diag(kdpendants) et Kp = diag(kindpendants)

    Dans ce cas, lexpression du travail virtuel galise le travail des articulations dpendantes et in-dpendantes avec le travail au niveau de la plateforme, ce qui revient ne considrer quun torseurdaction extrieur appliqu au niveau de leffecteur. Dans [39], lauteur choisit dgaliser le travail surles liaisons dpendantes et sur la plateforme avec le travail cumul de toutes les liaisons confondues.Ainsi, il est en mesure de prendre en considration une force dactionnement articulaire en plus dutorseur daction appliqu la plateforme dans le calcul de la raideur quivalente. Notre tude portantplus particulirement sur un torseur daction extrieur seul, il convient de prsenter le rsultat obtenuen supprimant le torseur dactions internes. En dfinissant Ji tel que i = JiX (avec i le torseurcinmatique de toutes les liaisons et X celui pour la plateforme), lexpression de la raideur quivalenteaprs connexion des trois jambes scrit :

    3i=1

    JiTKiJi (3.18)

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    Projet de Fin dtudesNouvelles stratgies de ralisation, impact sur la conception

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  • CHAPITRE 3. LES MCANISMES PARALLLES

    Avec Ki = diag(ktoutes articulations)

    Les travaux [38, 37, 39] confirment, dune part la mise en parallle de raideurs par leur somme et,dautre part, lquation (3.3) prsente dans la mthode matricielle en nomettant pas de prciser quela mthode du travail virtuel ncessite davoir des liens rigides.

    On en vient alors conclure sur ces deux mthodes, premire vue similaires. Tout dabord, ilest important de prciser quelles ne tiennent pas compte du changement de configuration lors de ladformations des diffrents lements et que, par consquent, il sagit bien dune raideur quivalente sta-tique. Daprs les rsultats prsents, on constate limportance de la modlisation des liaisons flexibles.Dailleurs, il est frquent de considrer des matrices de raideurs 3x3 ou 6x6 pour les articulations selonles directions dintrt pour la rigidit quivalente, la mthode demeurant inchange. Nous disposons prsent de mthodes relativement faciles prendre en main pour calculer la raideur quivalentede mcanismes compliants. Comme prcis en introduction, les cas de configurations singulires nousintressent particulirement. Dans une prochaine partie, on semploiera alors dfinir la singularitdes mcanismes parallles avant dvaluer lapplicabilit des deux mthodes aux cas de configurationssingulires afin dvaluer leurs limites et sinterroger sur un moyen de les contourner.

    3 tude de la singularit

    En retenant la relation liant les coordonnes dentre et de sortie UX+V = 0, avec X les coordon-nes gnralises et les coordonnes articulaires, la lecture de [40, 41] stipule 3 modes de singularit :

    U singulire : il existera des vitesses oprationnelles non nulles pour lesquelles les vitesses arti-culaires sont nulles : prsence de mouvements infinitsimaux en labsence de commande

    V singulire : on observera des vitesses articulaires non nulles sans mouvement de la plateforme :on atteint la limite structurelle

    U et V singulires : revient bouger lorgane terminal du robot avec des actionneurs bloqus etrciproquement

    Pour revenir aux deux modlisations de la raideur quivalente, a priori identiques, elles ne secomportent pas de la mme manire au voisinage de la singularit. En effet, lexpression de la rai-deur quivalente obtenue par la somme de transformations gomtriques doit, thoriquement, resterexploitable mme si le mcanisme est en singularit. A linverse, la mthode utilisant les Jacobiens ren-contrera un problme dans le calcul des Jacobiens inverses subissant une chute de rang la singularit.Pour vrifier lquivalence des deux modles (mthode matricielle et mthode du travail virtuel), onpourra dans un premier temps chercher valuer leurs proximit travers un modle hors singularitavant de revenir sur cette configuration particulire.

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  • CHAPITRE 3. LES MCANISMES PARALLLES

    4 Application des mthodes des modles numriquesAprs avoir tudi les diffrentes mthodes et notamment celle du transport matriciel, nous en

    venons la phase de validation. Il sagit dappliquer la mthode des systmes