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Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007 RAPPORT DE PROJET DE FIN D’ETUDES ESISAR 2006/2007 Modélisation, optimisation dynamique et commande d’un méthaniseur par digestion anaérobie. Laboratoire ELIAUS Laboratoire d'ELectronique, Informatique, AUtomatique et Systèmes Université de Perpignan Via Domitia 52 Avenue Paul Alduy, F66860 Perpignan Cedex EYNARD Julien Dates du stage Du lundi 5 février au vendredi 6 juillet 2007 Module d’approfondissement ISC Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes Tuteur Entreprise Grégory François Tuteur ESISAR Laurent Lefèvre 1

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Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

RAPPORT DE PROJET DE FIN D’ETUDES

ESISAR 2006/2007

Modélisation, optimisation dynamique et commande d’un méthaniseur par

digestion anaérobie.

Laboratoire ELIAUS Laboratoire d'ELectronique, Informatique,

AUtomatique et Systèmes Université de Perpignan Via Domitia

52 Avenue Paul Alduy, F66860 Perpignan Cedex

EYNARD Julien

Dates du stage Du lundi 5 février au vendredi 6 juillet 2007 Module d’approfondissement ISC Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes

Tuteur Entreprise Grégory François Tuteur ESISAR Laurent Lefèvre

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RAPPORT DE PROJET DE FIN D’ETUDES

ESISAR 2006/2007 Mots clés : Modélisation, Identification, Optimisation analytique, Principe du Maximum de Pontryaguine, Optimisation numérique, Régulation, Bioréacteur, Méthaniseur, Digesteur Anaérobie, Biofilm, AM2 Résumé : Les bioréacteurs anaérobies sont aujourd’hui des moyens performants pour dépolluer les eaux usées des industries agro-alimentaires. Leur capacité à transformer les polluants en biogaz tel que le méthane offre de plus un intérêt écologique et énergétique non négligeable puisqu’ils s’inscrivent aujourd’hui dans les sources d’énergies renouvelables. Cependant, la mise en œuvre des bioréacteurs anaérobies reste souvent sous optimale, notamment pendant les phases de démarrage pour lesquelles les modèles disponibles sont insuffisamment précis, notamment en ce qui concerne la prédiction des profils de biomasse. A partir d’un modèle existant, un modèle de tendances a été développé pour prédire de façon indépendante la biomasse en solution et la biomasse agglomérée en biofilm. L’identification des paramètres du modèle a été réalisée à partir de données de démarrage d’un bioréacteur appartenant au Laboratoire de Biotechnologie de l’Environnement de l’INRA de Narbonne. Ce modèle a été utilisé pour déterminer le profil de commande optimal du taux de dilution et de la concentration d’alimentation en substrat à appliquer au système pour réduire le temps d’atteinte d’un rendement épuratoire pré-spécifié. Une étude sur la régulation du rendement épuratoire avec le taux de dilution a aussi été réalisée et montre un bon compromis entre un excellent taux d’épuration et une vitesse de démarrage intéressante. Key words: Modelling, Identification, Analytic Optimization, Pontryaguine Maximum Principle, Numerical Optimization, Control, Bioreactor, Methaniser, Anaerobic Digester, Biofilm, AM2 Abstract: Today, anaerobic bioreactors are high-performance industrial facilities that are able to remove polluted wastewaters of the food-processing industries. Their capability to transform pollutant is interesting on an ecologic and energetic perspective, since biogases are deemed to be renewable energy sources. However, anaerobic digestion is often performed in a suboptimal manner, notably during the starting phases since biomass concentration transitory profiles are not correctly modelled. A tendency model has been developed on the basis of an existing dynamic model to predict independently bacteria in the solution and bacteria that are bound together in a biofilm. Model parameter identification has been performed using data obtained on the bioreactor of the Environmental Biotechnology Laboratory of the INRA of Narbonne. With this tendency model, optimal control profiles have been found, in terms of dilution rate and organic substrate inlet concentration. Applying this optimal profile to the system leads to a reducing of the time needed to reach a pre-specified yield. In addition, dilution rate was used to control the purification yield. This case study raised a good compromise between high purification rate and a significant final time reduction of the start-up phase.

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Remerciements

Je souhaite exprimer ma reconnaissance à M. Grégory FRANCOIS qui m’a encadré durant ce stage. Les nombreuses connaissances scientifiques qu’il m’a apportées tout au long de ce projet ont fortement contribué à son bon déroulement.

Je remercie Mme Monique POLIT qui en acceptant ma candidature m’a permis de réaliser ce stage dans le laboratoire ELIAUS de l’Université de Perpignan.

Je remercie également M. Eric LATRILLE et Jean-Philippe STEYER de l’INRA pour leur collaboration scientifique à ce projet. Leurs compétences scientifiques, notamment en biologie et au niveau du bioréacteur ont été très utiles pour guider nos recherches.

Enfin je souhaite remercier tous les membres du laboratoire ELIAUS pour leur accueil chaleureux au cours de mon stage.

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Table des matières 1. Introduction ........................................................................................................................ 5 2. Présentation de l’entreprise ................................................................................................ 6

2.1 L’Université de Perpignan Via Domitia..................................................................... 6 2.1.1 Historique et présentation................................................................................... 6 2.1.2 Formations.......................................................................................................... 6 2.1.3 International ....................................................................................................... 6 2.1.4 Recherche ........................................................................................................... 7

2.2 Laboratoire ELIAUS .................................................................................................. 7 2.2.1 Objectifs scientifiques ........................................................................................ 7 2.2.2 Orientation des recherches ................................................................................. 7 2.2.3 Enseignement ..................................................................................................... 8

2.3 Equipe COSMOS ....................................................................................................... 8 2.3.1 Objectifs scientifiques ........................................................................................ 8 2.3.2 Procédés de dépollution des eaux usées............................................................. 8 2.3.3 Energie solaire, habitat et production d’électricité............................................. 8

2.4 Laboratoire de Biotechnologie de l'Environnement de l’INRA de Narbonne ........... 9 2.4.1 Objectifs scientifiques ........................................................................................ 9 2.4.2 Axes de recherche .............................................................................................. 9

3. Cahier des charges............................................................................................................ 10 3.1 Etude bibliographique .............................................................................................. 10 3.2 Modélisation et Identification .................................................................................. 10 3.3 Optimisation ............................................................................................................. 10

3.3.1 Optimisation analytique ................................................................................... 10 3.3.2 Optimisation numérique................................................................................... 11

4. Développement du sujet de stage ..................................................................................... 12 4.1 Chronologie du travail effectué................................................................................ 12 4.2 Principes de fonctionnement et modélisation d’un bioréacteur méthaniseur anaérobie. ............................................................................................................................. 13

4.2.1 Etude du fonctionnement des biométhaniseurs................................................ 13 4.2.2 Modèles existants de bioréacteur ..................................................................... 19 4.2.3 Positionnement du problème............................................................................ 23

4.3 Principes théoriques de l’optimisation ..................................................................... 24 4.3.1 Problème d’optimisation dynamique ............................................................... 24 4.3.2 Algorithmes d’optimisation numérique ........................................................... 27

4.4 Application de l’optimisation au bioréacteur anaérobie de l’INRA ........................ 31 4.4.1 Amélioration de la modélisation ...................................................................... 31 4.4.2 Identification des paramètres du modèle.......................................................... 35 4.4.3 Recherche de profils de commande optimaux ................................................. 39 4.4.4 Régulation pour l’optimisation......................................................................... 45

4.5 Conclusion sur les résultats du projet....................................................................... 48 5. Conclusion générale du projet.......................................................................................... 49 6. Estimation financière : présentation d’un compte d’exploitation du projet ..................... 50 7. Bibliographie.................................................................................................................... 51 8. Annexes............................................................................................................................ 52

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1. Introduction Aujourd’hui, le retraitement des déchets, œuvrant pour la sauvegarde de l’environnement est

devenu un des thèmes prioritaire à la fois pour l’écologie, la politique et l’industrie. L’eau, symbole de la vie par excellence, a été pendant des siècles utilisée sans considération. Elle a été utilisée, souillée, puis rejetée sans le souci de la gestion de la pollution occasionné dans le milieu naturel.

Cependant, des avancées importantes ont été réalisées, depuis le siècle dernier pour la dépollution

de cette ressource naturelle essentielle. Après une utilisation inconsidérée pendant des siècles, une prise de conscience a favorisée l’essor des moyens de dépollution. Aujourd’hui dans de nombreux pays, les industries se doivent de respecter cette ressource. Son utilisation à des fins industrielles, par exemple, n’est alors permise que si l’entreprise qui l’utilise fait en sorte de la réintroduire dans l’environnement débarrassée des principaux polluants qui pourraient empoisonner les sols, les nappes phréatiques, les fleuves ou les océans. Pour cela des stations d’épurations, ou d’autres moyens de décontamination, ont été développés et sont actuellement utilisés. Cependant, il y a encore de nombreux progrès à faire dans ce domaine.

Ce projet s’intéresse à l’étude et à l’amélioration de l’un de ses moyens de dépollutions de l’eau

usée, sous la forme d’un réacteur biologique à fonctionnement anaérobie (sans oxygène) qui dégrade les polluants présents dans les eaux. Ce procédé est connu depuis longtemps mais reste encore marginal, malgré le développement quasi-exponentiel du marché. Pourtant il présente des avantages certains par rapport aux procédés aérobies utilisés généralement dans les stations d’épuration. Ainsi, ce procédé permet de fabriquer du biogaz qui peut être récupéré et valorisé pour faire de l’énergie et entre de fait dans la catégorie des installations productrices d’énergies renouvelables. Il permet en outre d’atteindre un taux d’épuration très important et rejette beaucoup moins de boues non biodégradables. Ce procédé biologique est aujourd’hui utilisé principalement par les industries agro-alimentaires telles que les laiteries, les brasseries, les producteurs de vin…

L’objectif principal de ce projet consistait à améliorer la modélisation mathématique de ce type de

bioréacteurs ainsi que de déterminer les profils d’alimentation optimaux qui permettent d’amener le plus rapidement possible ce processus de dégradation biologique à son rendement maximal, et de l’y stabiliser, tout en respectant des contraintes d’utilisation. L’idée est de pouvoir démarrer plus rapidement et plus efficacement les bioréacteurs et donc d’améliorer le traitement des eaux usées pendant la phase de démarrage, tout en réduisant les coûts d’exploitation.

Ce stage s’est déroulé au laboratoire ELIAUS de l’Université de Perpignan en collaboration avec le Laboratoire de Biotechnologie et de l’Environnement (LBE) de l’INRA de Narbonne, ce dernier détenant un de ces réacteurs biologiques préindustriel. A partir des données de celui-ci, il a été possible d’effectuer les travaux de modélisation, d’identification, d’optimisation et de régulation.

Ce document présente en premier lieu l’Université de Perpignan et plus particulièrement l’activité du laboratoire ELIAUS. Ensuite, en seconde partie sont abordés la théorie de l’optimisation à travers le principe du maximum de Pontryaguine, et les algorithmes d’optimisation numérique utilisés. La troisième partie définit les problèmes à résoudre et présente les résultats numériques obtenus au niveau de la modélisation, de l’optimisation de la commande et de la régulation dans le cas d’un bioréacteur anaérobie.

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2. Présentation de l’entreprise

2.1 L’Université de Perpignan Via Domitia 2.1.1 Historique et présentation

L’Université de Perpignan a été fondée voilà plus de 650 ans par l’état Catalano-Aragonais pour concurrencer l’Université de Montpellier. C’est en effet, le 20 mars 1350 que Pierre IV le cérémonieux roi d’Aragon, fonde la 1ère Université de Perpignan. Dès la fin du XIVème siècle, l’Université de Perpignan Via Domitia (UPVD) devient l’une des 25 plus grandes universités au monde et se caractérise par sa pluridisciplinarité, qui subsiste encore aujourd’hui. Oubliée par le décret de Napoléon au XIXème siècle, elle ne sera réhabilitée que dans les années 1950 et obtiendra son indépendance financière, administrative et pédagogique en 1979.

Actuellement, l’Université de Perpignan accueille chaque année environ dix mille étudiants dont plus de trois mille étrangers.

2.1.2 Formations L’UPVD est une université pluridisciplinaire dont les formations s’articulent autours de quatre

grands pôles de formation et de recherche qui sont : - Sciences et technologies - Droit - Sciences de l’homme et Humanités - Economie et management

Chacun de ses pôles de formation propose plusieurs mentions. Ces domaines sont au centre des formations des cinq facultés et des trois instituts de l’université.

- La Faculté Lettres et Sciences Humaines (LSH) - La Faculté Sciences Juridiques et Economiques (SJE) - La Faculté Internationale de Droit Comparé des Etats Francophones (FIDCEF) - La Faculté Sports, Tourisme, Hôtellerie Internationale (STHI) - La Faculté Sciences Exactes et expérimentales (SEE) - L’Institut Universitaire de Technologie (IUT) - L’Institut d’Administration des Entreprises (IAE) - L’Institut Franco Catalan Transfrontalier (IFCT)

Les diplômes délivrés par l’UPVD sont conformes à l’organisation européenne des études, qui veut que les diplômes respectent 3 paliers différents : Licence, Master et Doctorat, en vue d’une harmonisation internationale.

Les formations proposées permettent aux étudiants de s’orienter soit vers un parcours professionnel, soit vers la recherche. De nombreuses collaborations existent avec des entreprises, des universités étrangères ou des laboratoires de recherche, notamment pour les écoles doctorales.

2.1.3 International L’Université de Perpignan est résolument tournée vers l’international. Elle soutient une politique

de mobilité et d’accueil puisqu’environ un tiers des étudiants scolarisés sont étrangers. Ceux-ci sont originaires de 64 pays différents. Les étudiants ne sont pas les seuls concernés car l’UPVD participe à des échanges de chercheurs, de formateurs, de responsables administratifs dans le cadre de séjours d’étude, de recherche, d’enseignement ou de formation.

L’UPVD possède un service interne, le Service Universitaire des Relations Internationales (SURI) qui s’occupe de promouvoir et de développer les actions en directions des étudiants étrangers, de développer et de coordonner les actions internationales, et de gérer les accords de coopération interuniversitaires et les formations délocalisées à l’étranger.

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2.1.4 Recherche

La recherche scientifique s’articule autours des quatre domaines principaux de l’UPVD, susmentionnés précédemment.

Laboratoire de recherche L’UPVD compte actuellement plus de 300 chercheurs répartis dans 12 laboratoires de recherche

dont 9 dans le domaine des sciences et technologies. Il y a en outre des unités de recherche en collaboration avec le CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique) et avec l’IRD (Institut de Recherche pour le Développement).

Ecoles doctorales La formation doctorale est assurée par deux écoles doctorales au sein de l’UPVD, l’école

doctorale des Lettres et Sciences Humaines et l’école doctorale Energie et Environnement.

Pôles de compétitivité L’UPVD est membre de deux pôles de compétitivité en région Languedoc Roussillon. Un pôle de

compétitivité correspond à un partenariat, dans un espace géographique donné, entre des entreprises, des centres de formation et des unités de recherche publiques ou privées engagés dans une synergie autour de projets communs au caractère innovant. L’UPVD fait donc partie du pôle de compétitivité DERBI (Développement des Energies Renouvelables dans le Bâtiment et l’Industrie) et Q@limed (Systèmes agroalimentaires durables et qualités de vie en Méditerranée).

2.2 Laboratoire ELIAUS Le laboratoire ELIAUS (ELectronique, Informatique, AUtomatique et Systèmes) est le laboratoire

de l’UPVD dans lequel j’ai effectué mon Projet de Fin d’Etudes.

2.2.1 Objectifs scientifiques Le laboratoire travaille sur des activités de recherche fondamentales et technologiques en relation

avec le milieu industriel. Le laboratoire est très souvent impliqué au sein du pôle de compétitivité DERBI.

2.2.2 Orientation des recherches Durant mon stage, trente trois personnes étaient présentes dans le laboratoire, dont seize

enseignants chercheurs, un professeur détaché du CNRS, un technicien, une secrétaire, cinq doctorants et dix stagiaires. Le laboratoire ELIAUS s’articule autours de 3 équipes de recherches :

- L’équipe COSMOS (COntrôle Supervision MOdèle Systèmes) Cette équipe mène des travaux de recherche sur les sujets suivants :

o Procédés de dépollution des eaux usés o Energie solaire, habitat et production d’électricité

- L’équipe EPROM (Estimation des PROpriétés des Matériaux, Caractérisation de

Composants) Les principaux axes de recherche de l’équipe EPROM sont les suivants :

o Caractérisation physique et thermique de matériaux multicouches o Matériaux de hautes performances thermoélectriques, micro-capteurs o Composants et micro composants pour la microélectronique o L’atmosphère et ses polluants

- L’équipe DALI (Fiabilité numérique et haute performance informatique)

Les quatre thèmes de recherche sont :

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o Augmenter le degré super scalaire des processeurs o Exploiter les architectures émergentes hautes performances o Améliorer la précision des calculs o Certifier les outils et les applications

2.2.3 Enseignement Les permanents du laboratoire participent aux enseignements de l’Université dans la filière

scientifique. Les filières suivantes sont sous la responsabilité du laboratoire : - Master Informatique Automatique - Licence EEA (Electronique, Electrotechnique Automatique) - Licence Sciences Physiques - Diplôme Accès Etudes Universitaire (Diplôme qui permet une fois validé aux personnes

qui n’ont pas passé le baccalauréat de pouvoir poursuivre leurs études à l’université) - Licence Pluridisciplinaire Scientifique L3

2.3 Equipe COSMOS Mon sujet de stage traitant d’automatique et d’optimisation, j’ai effectué celui-ci au sein de

l’équipe COSMOS.

2.3.1 Objectifs scientifiques Les thèmes de travail de cette équipe de recherche sont orientés vers l’énergie et le développement

durable, d’un point de vue automatique, c'est-à-dire, la modélisation, le contrôle, l’optimisation, la supervision, et la prédiction appliqués aux procédés environnementaux. Les chercheurs de l’équipe COSMOS interviennent plus précisément dans deux domaines principaux, les procédés de dépollution des eaux usés ainsi que l’énergie solaire, l’habitat et la production d’électricité.

2.3.2 Procédés de dépollution des eaux usées Cette thématique de recherche propose de modéliser, de contrôler et de superviser des procédés de

dépollution d’eaux usées. Les procédés de dépollutions étudiés sont des procédés biochimiques difficiles à modéliser car ils sont complexes, non linéaires et non stationnaires. Les modèles développés par les biologistes sont souvent composés d’un nombre trop élevé d’équations différentielles et algébriques pour pouvoir les utiliser à des fins de contrôle.

Les chercheurs de l’équipe COSMOS utilisent très souvent les réseaux de neurones et la logique floue pour modéliser et contrôler ces types de procédés. Les principaux facteurs influents de ces procédés sont le débit gazeux en entrée, le débit d’entrée de l’effluent industriel à traiter, et la DCO (Demande Chimique en Oxygène) qui traduit le taux de pollution.

Un des travaux effectués a permis de faire de l’estimation de paramètres biochimiques qui se révèlent être très difficiles à mesurer. Ces recherches d’estimation de paramètres et de diagnostique de capteurs ont par exemple été appliquées sur des stations d’épuration comme celle de Saint-Cyprien.

Des travaux utilisant le clustering et l’analyse en composante principale ont permis d’optimiser les paramètres de modélisation, d’améliorer la robustesse et les prédictions.

Des commandes mixtes par logiques floue et adaptatives ont aussi été développées pour contrôler les procédés de dépollution.

Ces travaux ont nécessité un travail de coopération avec des laboratoires de recherche, notamment avec le LAAS de Toulouse, l’Université de Gérone, l’Université Polytechnique de Catalogne.

2.3.3 Energie solaire, habitat et production d’électricité Cet axe de recherche, basé sur la modélisation prévisionnelle de consommations énergétiques à

partir de prévisions météorologiques, se traduit très souvent par la réalisation de projets labellisés par le pôle de compétitivité DERBI.

Le travail porte sur l’optimisation de l’utilisation d’installations à énergies renouvelables. En fait, l’objectif est de faire de la prédiction météorologique sur quelques jours pour savoir quelle quantité

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d’énergie sera fournie par les installations à énergies renouvelables et optimiser leur utilisation avec les installations énergétiques classiques de type gaz ou fioul. Une bonne gestion de l’utilisation des énergies renouvelables permet d’éviter de déclencher les installations électriques à énergies classiques quand ce n’est pas nécessaire. La prédiction météorologique est faîte grâce à des traitements d’images satellites, des capteurs provenant de stations météorologiques proches et de données Internet.

En plus de la prédiction météorologique, le travail porte aussi sur la prédiction de la consommation électrique qui varie en fonction des saisons, des jours de la semaine, des heures de la journée. Pour prédire cette consommation en fonction des données passées, la logique floue, les réseaux de neurones et les statistiques sont très souvent utilisés.

2.4 Laboratoire de Biotechnologie de l'Environnement de l’INRA de Narbonne

2.4.1 Objectifs scientifiques Le laboratoire de Biotechnologie de l’Environnement (LBE) est un laboratoire de l’INRA (Institut

National de Recherche Agronomique). L’objectif scientifique de l’INRA de Narbonne consiste à mobiliser des sciences du vivant et des sciences pour l'ingénieur en vue d'explorer et d'exploiter le potentiel biochimique des microorganismes pour la protection des ressources physiques que sont l'eau, le sol et l'atmosphère.

2.4.2 Axes de recherche Les principaux axes de recherche du LBE sont les suivants :

- La digestion anaérobie - L’écologie microbienne des procédés de dépollution - Les composés minoritaires des matrices - Les biofilms et les flocs en réacteur - La matière bioréfractaire solide ou soluble

Le LBE comporte 3 équipes de recherche :

L'équipe Ecologie Microbienne étudie la microbiologie des procédés de dépollution sous deux aspects, le rôle de la microflore sur les procédés (rendement, stabilité, résilience) et l'impact de cette microflore lors de son rejet dans l'environnement (survie de micro-organismes indésirables)

L'équipe Transfert Technologique a une double mission. D'une part assurer l'interface entre les équipes de recherche du LBE et le milieu industriel (transposition au stade préindustriel de résultats de recherche) et d'autre part, répondre à des demandes en recherche appliquée ou en développement, provenant des acteurs économiques.

L'équipe Ingénierie des Procédés regroupe des compétences en génie microbiologique, génie des procédés et automatique. Elle met en œuvre et optimise sous l'angle cinétique des réactions microbiennes afin de développer sous contraintes économiques et environnementales des bioprocédés de traitement des effluents et des résidus organiques solides. Ces bioprocédés peuvent être couplés à des traitements physicochimiques dans le but d'améliorer les performances du traitement biologique. L'optimisation des procédés étudiés passe par la connaissance de l'hydrodynamique et des transferts de matière dans les réacteurs, en particulier dans le cas des procédés intensifs à biomasse fixée (biofilm). Il est alors possible, en s'appuyant sur des modèles, d'optimiser les performances et/ou garantir la stabilité des bioprocédés de traitement, en se basant sur le développement de nouveaux capteurs en ligne, la mise en œuvre de lois de commande et de stratégies de supervision.

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3. Cahier des charges Le LBE de l’INRA a déjà travaillé expérimentalement sur la diminution du temps de montée en

charge des digesteurs anaérobies. Des résultats intéressants d’un point de vue pratique ont été obtenus. L’objectif principal de ce projet était de développer les outils de base (un modèle de tendances fiable, et des premiers résultats de contrôle optimal sur le modèle) permettant d’envisager de déterminer de façon théorique ou numérique la meilleure façon de démarrer un digesteur anaérobie à lit fixe, tel qu’utilisé au LBE.

3.1 Etude bibliographique Travail à effectuer :

Le premier objectif de ce projet est de procéder à un état de l’art en ce qui concerne la modélisation des réacteurs biologiques anaérobies qui sont utilisés pour la dépollution des eaux usées et qui produisent du biogaz, essentiellement du méthane.

Le travail consiste à consulter tous les articles et publications scientifiques sur le sujet et à rédiger une synthèse bibliographique pour choisir le type de modèle à utiliser pour la suite du projet.

Délivrables : - Un document rédigé synthétisant les différents modèles de bioréacteurs méthaniseur à

digestion anaérobie développés à ce jour. - Un choix de modèle à partir de la synthèse bibliographique

3.2 Modélisation et Identification Travail à effectuer

A partir de la synthèse bibliographique et des données expérimentales disponibles à l’INRA, un modèle dynamique du procédé doit être développé, sous la forme d’un système algébro-différentiel d’ordre modéré, permettant d’effectuer efficacement des études de commande et d’optimisation, avec les outils usuels (Matlab). L’identification des paramètres se fait par optimisation numérique avec Matlab (minimisation de la distance entre les états simulés et les données expérimentales).

Délivrables - Un ou plusieurs modèles de tendance. - Des fichiers de simulation Matlab permettant de simuler le modèle de méthaniseur choisi

et d’identifier les paramètres du modèle.

3.3 Optimisation Le travail d’optimisation peut se décomposer en deux étapes : une étude analytique, avec les outils

de la géométrie différentielle (crochets de Lie) sur un modèle générique pour étudier la présence d’arcs singuliers (cf. définition [4.3.1.3]), et une étude numérique, avec les outils d’optimisation de Matlab, visant à déterminer le profil de commande optimal d’un modèle ajusté sur les données expérimentales.

3.3.1 Optimisation analytique Travail à effectuer

A partir du modèle choisi à la suite de la synthèse bibliographique, le travail consiste à calculer les arcs singuliers du modèle. Les calculs doivent être vérifiés avec Matlab en utilisant la toolbox

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symbolique. Si les résultats sont assez simples ils pourront être exploités lors de l’optimisation numérique.

Délivrables - des fichiers de calculs symboliques Matlab permettant de faire le calcul analytique des

arcs singuliers du modèle selon le type de commande utilisé pour contrôler le système. - des documents rédigés faisant état des résultats des calculs analytiques d’arcs singuliers et

concluant à l’existence ou non d’arcs singuliers (selon le type de commande utilisé) et à leurs potentielles utilisations lors de l’optimisation numérique selon leur complexité

3.3.2 Optimisation numérique Travail à effectuer

Le travail consiste à définir un problème d’optimisation sous contraintes à résoudre. Pour cela, un travail de bibliographie doit permettre de savoir quel genre de problème d’optimisation a été majoritairement étudié concernant les bioréacteurs et quel formalisme mathématique a été utilisé. Ensuite il faut prédéfinir des structures de commande à appliquer et utiliser des algorithmes d’optimisation numérique qui permettront de déterminer les paramètres optimaux. Enfin un travail de régulation sera envisagé selon les résultats obtenus avec les profils optimaux de commande.

Délivrables - un document de synthèse bibliographique sur l’état de l’art en ce qui concerne la définition

des problèmes d’optimisation pour les bioréacteurs. - un document définissant le problème d’optimisation choisit et les structures de commande

choisies, ainsi que les résultats numériques obtenus. - un document détaillant le type de régulation choisi et les résultats numériques obtenus. - un document comparant les résultats obtenus entre les profils : expérimental, optimal en

boucle ouverte et régulé. - des fichiers de Simulation Matlab permettant de déterminer le profil de commande optimal

(instants de commutation entre les différents profils de commande et amplitudes des commandes)

- des fichiers de simulation Matlab avec des correcteurs permettant de réguler le système

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4. Développement du sujet de stage 4.1 Chronologie du travail effectué

Mon travail a débuté par une étude bibliographique sur la modélisation des méthaniseurs par digestion anaérobie. Cette étude a permis de choisir un modèle de tendance pour modéliser le bioréacteur de l’INRA.

A partir de ce modèle un travail d’optimisation analytique a permis de prouver l’existence de profils optimaux de commande pour le démarrage de ce bioréacteur.

Le projet s’est poursuivit par trois itérations d’un travail en cinq étapes successives : - Une amélioration de la modélisation existante, - Une identification des paramètres du nouveau modèle avec un jeu de données

expérimentales à partir des mesures effectuées sur le bioréacteur de l’INRA - Une recherche de profils optimaux de commande pour accélérer le démarrage du

bioréacteur - Une synthèse simple de correcteur pour contrôler le démarrage du bioréacteur. - Une comparaison des résultats obtenus

A chacune de ces itérations le modèle a été modifié en vue de l’améliorer. Les résultats de modélisation, d’identification, d’optimisation, et de régulation présentés dans le rapport sont les meilleurs qui ont été obtenus lors de la dernière itération.

Tout au long du projet, les biologistes de l’INRA ont été présents pour nous fournir des données, nous guider dans nos recherches et analyser les résultats qui ont été obtenus.

Etude bibliographique sur les bioréacteurs anaérobies Janvier

Etude bibliographique sur l’optimisation analytique

Modélisation numérique

Recherche des arcs singuliers du système Février

Travail de modélisation et d’identification Mars

Travail d’optimisation numérique Avril

Réunion à l’INRA et présentation des résultats

Amélioration de la Modélisation, Identification

Mai

Juin

Optimisation numérique, Régulation

Rédaction Rapport Projet de Fin d’Etudes

Amélioration de la Modélisation, Identification

Optimisation numérique, Régulation

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4.2 Principes de fonctionnement et modélisation d’un

bioréacteur méthaniseur anaérobie. Les deux parties suivantes présentent ce qu’est un bioréacteur à digestion anaérobie, quel est son

fonctionnement biochimique et quelles sont les manières de modéliser mathématiquement ce genre de procédé.

4.2.1 Etude du fonctionnement des biométhaniseurs L’état de l’art sur les bioréacteurs méthaniseurs anaérobies m’a permis de découvrir le

fonctionnement de ces réacteurs et les modèles mathématiques existants. Dans cette partie sera détaillé le fonctionnement biochimique de ce genre de réacteur. Les modèles

associés seront abordés dans la partie suivante qui traite de la modélisation.

4.2.1.1 Le bioréacteur 4.2.1.1.1 Qu’est-ce qu’un bioréacteur ?

Un bioréacteur, ou réacteur biologique est un contenant dans lequel un substrat, généralement des déchets organiques solubilisés dans l’eau, sont réduits puis digérés par des organismes vivants, par exemple des bactéries. [1]

Le bioréacteur permet donc de dépolluer différents types de déchets, tels que les eaux usées, les excréments animaux, etc. En sortie du réacteur on obtient une eau plus ou moins dépolluée, selon le choix des conditions opératoires, et pour nombre de bioréacteurs, du biogaz (méthane, dioxyde de carbone) issu de la décomposition organique peut être récupéré et utilisé à des fins énergétiques pour produire de l’électricité par exemple.

Il existe d’autres moyens bactériens utilisés pour la dépollution des eaux usées comme par exemple les procédés de dépollution aérobies majoritairement mis en œuvre dans les stations d’épuration. Cependant, la digestion anaérobie présente de nombreux avantages par rapport à la digestion aérobie [2] :

- Le volume de boues non biodégradables produites est réduit d’un facteur cinq à dix. - La quantité de composants volatils est fortement réduite. - Le procédé induit une production de méthane gazeux (75% du biogaz) pouvant être

récupéré et valorisé. - Le coût de production est plus faible car il est inutile d’oxygéner le système en mettant en

marche des machines pour aérer la solution. - Ce procédé permet de faire des traitements de charges organiques élevées (jusqu’à 80kg

de DCO par mètre cube de réacteur et par jour). - Le taux d’épuration très élevé est de l’ordre de 80 à 98%. - Ce procédé peut traiter des effluents à teneurs limités en azote et en phosphore.

Cependant certains inconvénients sont à considérer :

- La vitesse de croissance des bactéries est faible ce qui induit que les cinétiques d’épuration sont lentes et que les périodes de démarrage des bioréacteurs peuvent être longues.

- Les populations bactériennes sont sensibles aux perturbations (oxygène, métaux lourds) et aux surcharges organiques ce qui peut rendre le procédé instable

- Le traitement à l’heure actuelle se révèle parfois insuffisant. Il y a donc nécessité de traiter l’effluent de sortie avant le rejet dans la nature, pour éliminer le reste de carbone, de l’azote et du phosphore.

Mais globalement, les avantages des digesteurs anaérobies l’emportent sur les inconvénients, ce

qui explique le développement exponentiel du marché des digesteurs anaérobies au cours des trente dernières années.

13

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.

4.2.1.1.2 Le bioréacteur méthaniseur anaérobie de l’INRA de Narbonne Le bioréacteur sur lequel portait mon stage est un bioréacteur de l’INRA de Narbonne dont le

synoptique de fonctionnement est présenté en annexe 8.[A.1.], tiré de [3]. Il s’agit d’un bioréacteur bactérien en ce sens qu’il s’agit d’une cuve de plusieurs centaines de litres ensemencée avec plusieurs espèces de bactéries. La cuve est alimentée de façon continue en eaux usées, de type vinasse de vin, effluents de laiterie…, qui doivent être dépolluées. Les bactéries se nourrissent du substrat organique présent dans ces effluents et l’utilisent dans leur métabolisme pour croître et se reproduire. Elles rejettent du biogaz, principalement du méthane, qui est récupéré, et un peu de dioxyde de carbone. Cette génération de méthane gazeux justifie la dénomination de « méthaniseur ». Toutes ces réactions biochimiques entre les bactéries et le substrat se font dans un milieu sans oxygène, d’où la dénomination « anaérobie ». La digestion anaérobie fait intervenir différentes étapes physico-chimiques et biochimiques.

Ce bioréacteur est dit à « lit fixe » car les bactéries sont agglutinées en un biofilm (voir partie suivante) sur des supports prévus à cet effet 8.[A.2.] dans le bioréacteur comme on peut le voir sur la photo 8.[A.3.] qui a été obtenue après 54 jours d’utilisation du bioréacteur. Il existe différents types de bioréacteur à lit fixe. Le flux de la solution entrante peut être ascendant, ou descendant comme le présente la figure 8.[A.4.]On peut voir sur la photo 8.[A.5.] des bactéries prélevées sur le biofilm du support.

4.2.1.1.3 Les biofilms On a vu que les bactéries se développées principalement sous la forme d’un biofilm dans les

réacteurs à lit fixe. Comme il a été dit, un biofilm est un agglomérat de bactéries attachées sur un support.

Création du biofilm Le processus de création du biofilm consiste en une succession de cinq étapes 8.[A.6.] :

A) Le conditionnement Lorsque le support solide est immergé, ses surfaces s’ionisent et attirent les macromolécules

organiques (le substrat organique), qui sont présentes en phase liquide. Ainsi, les surfaces du support se recouvrent de substrat.

B) Le transport Sous différents effets hydrodynamiques (convection, écoulement…) et gravitationnels les

bactéries entrent en contact avec les surfaces du support.

C) L’adhésion réversible En raison de forces d’attraction chimiques et électrostatiques présentes entre les bactéries et les

surfaces du support, les bactéries se fixent au support. Celles-ci possèdent également des protubérances en forme de bras leur permettant de s’approcher au plus près de la surface du support. Ces bras permettent de passer au travers du champ de répulsion qui se crée entre une surface plane et un corps sphérique à l’échelle microscopique.

D) La co-adhésion co-agrégation Les cellules qui ont adhéré au support se nourrissent du substrat et secrètent une substance

polysaccharidique leur permettant d’adhérer de façon irréversible au support. C’est ce qu’on appelle le bio-attachement. Une fois que la première couche de cellule a recouvert le support, de nouvelles cellules se développent et adhèrent à leur tour à la première couche. C’est cette co-adhésion qui crée un biofilm.

E) L’ancrage irréversible Une fois que l’étape précédente a débuté et pour peu que l’adhésion soit suffisamment forte,

l’ancrage des cellules est irréversible.

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Une fois les cellules attachées, elles se développent et augmentent la taille du biofilm. Le biofilm organisé en réseaux permet aux cellules de croître dans un environnement optimal. Le substrat se diffuse à l’intérieur de ce réseau pour nourrir toutes les cellules. Cette croissance du biofilm s’effectue cependant jusqu’à un maximum qui est limité par l’accès au substrat des cellules situées dans les niveaux inférieurs du biofilm car au fur et à mesure de la croissance du biofilm, les molécules de substrat ont plus de difficultés à diffuser à l’intérieur du biofilm. Ainsi, la concentration en substrat diminue dans les couches basses du biofilm.

Le détachement Les cellules qui forment le biofilm peuvent s’en détacher à cause de trois phénomènes différents.

A) L’érosion L’érosion peut être à l’origine du détachement des bactéries. En effet, les conditions dynamiques

du fluide entraînent des forces de cisaillement sur la surface du biofilm ce qui peut détacher la partie supérieure du biofilm. De plus dans un réacteur à lit fixe, l’augmentation de la taille du biofilm réduit le volume du réacteur ce qui, à débit volumique constant, augmente la vitesse d’écoulement du fluide et favorise le détachement.

B) La mue La mue, où détachement massif du biofilm apparaît lorsque le réacteur est soumit à des

changements de conditions défavorables telles la surcharge organique où la présence de toxines dans le fluide. Une grosse partie du biofilm peut alors se détacher et être lessivée.

C) La colonisation Par ailleurs, lorsque la taille du biofilm atteint un maximum critique qui ne permet plus

d’alimenter en substrat de nouvelles bactéries, celles-ci ne restent pas dans le biofilm mais rejoignent la solution pour aller coloniser de nouveaux emplacements favorables à la création d’un biofilm.

4.2.1.1.4 Fonctionnement biochimique d’un méthaniseur par digestion anaérobie

Les étapes biochimiques font intervenir de nombreuses espèces de bactéries, jusqu’à plusieurs centaines selon le type d’effluent. Il existe différents groupes de bactéries qui participent à des réactions biochimiques ciblées.

Le modèle 8.[A.7.] inspiré du modèle de Zeikus (1980) schématise les différentes étapes biochimiques impliquées dans le processus anaérobie.

La désagrégation La toute première étape, la désagrégation est une étape physico-chimique principalement non

biologique. Les particules composites du substrat sont décomposées en particules inertes qui sont des particules de composés carbonés, des lipides et des protéines.

Les déchets de cette réaction sont des particules inertes qui ne sont donc pas biodégradables et donc non traitables par la digestion anaérobie.

L’hydrolyse L’étape d’hydrolyse est une étape enzymatique extracellulaire dans laquelle les macromolécules

issues de l’étape de désagrégation sont réduites en monomères de la façon suivante : - Les polysaccharides sont transformés en monosaccharides - les lipides sont transformés en longues chaînes d’acides gras - les protéines sont transformées en acides aminés - les acides nucléiques sont transformés en bases azotées

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L’acidogénèse

Lors de cette étape, les produits de l’hydrolyse sont absorbés par des bactéries fermentaires qui métabolisent les monomères pour produire des acides gras volatils (AGV) (acétate, propionate, butyrate, isobutyrate, valérate et isovalérate), des alcools, du sulfure de dihydrogène, ( ) – responsable de l’odeur caractéristique des méthaniseurs, du dioxyde de carbone ( ), et de l’hydrogène ( ) Ainsi, on obtient des produits fermentés simplifiés. Notons que cette étape est très rapide et que les bactéries y participant ont un temps de duplication très court par rapport aux autres étapes et aux taux de duplications des autres populations de bactéries. Ainsi, il peut y avoir une accumulation de ces produits intermédiaires de digestion anaérobie qui peut déstabiliser et arrêter les autres étapes à cause du pouvoir inhibiteur d’une trop grande concentration de ces éléments.

SH 2

2CO

2H

L’acétogénèse Lors de cette étape, les produits issus de l’acidogénèse sont transformés par les bactéries

acétogènes en acétate, en dioxyde de carbone, et en hydrogène. Le temps de dédoublement de ces bactéries est beaucoup plus long que ceux de l’acidogénèse. On distingue 2 groupes de bactéries qui participent à cette étape :

1. Les premières sont les bactéries productrices obligées d’hydrogène qui produisent de l’acétate, de l’hydrogène et du gaz carbonique à partir des produits de l’acidogénèse. Leur fonctionnement est défavorable d’un point de vue thermodynamique (consommation d’énergie) avec une pression d’hydrogène trop importante. Ainsi l’accumulation d’hydrogène peut conduire à l’arrêt de l’acétogénèse, ce qui implique que ce groupe de bactérie doit être associé à un groupe consommateur d’hydrogène.

Ci-dessous, les réactions chimiques mises en jeu lors de la dégradation :

- De l’éthanol : + − ++↔+ HHCOOCHOHOHCHCH 23223 2- Du propionate : 223223 32 COHCOOCHOHOOCHCH ++↔+ −−

- Du butyrate : ( ) +−− ++↔+ HHCOOCHOHCOOCHCH 232223 222

2. Les secondes produisent principalement de l’acétate à partir de l’hydrogène et du dioxyde de carbone comme le montre la réaction chimique suivante :

OHCOOCHHHHCO 2323 442 +↔++ −+−

La méthanogénèse Lors de cette étape, les produits des réactions précédentes, principalement l’acétate, le formate, le

dioxyde de carbone et l’hydrogène, sont convertis en méthane par les bactéries dites méthanogènes. Leur temps de dédoublement est un peu plus rapide que les populations de bactéries acétogènes. Deux familles principales de bactéries méthanogènes existent :

1. La première population comprend les méthanogènes hydrogénophiles qui produisent du méthane à partir d’hydrogène : - et de dioxyde de carbone : OH CHHHCOH 2432 34 +↔++ +−

- et de formate : O HCHHHHCOO 242 23 +↔++ +−

Ces bactéries permettent donc à l’acétogénèse de se dérouler correctement en utilisant l’hydrogène qui en trop grande quantité peut inhiber l’acétogénèse.

2. La deuxième population comprend les méthanogènes acétoclastes qui produisent le méthane à partir d’acide acétique, de méthanol, et de méthylamine. On rencontre principalement deux types de bactéries méthanogènes acétoclastes dans les digesteurs anaérobies, les premières utilisent uniquement l’acétate pour produire le méthane alors que les secondes peuvent utiliser

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l’acétate, le dioxyde de carbone, l’hydrogène, le méthanol, et les méthylamines comme substrat pour produire le méthane. La réaction suivante montre la conversion de l’acétate en méthane et en dioxyde de carbone :

243 COCHHCOOCH +↔+ +−

La sulfato-réduction En marge de la digestion anaérobie, conduisant à la production de méthane et qui est intéressante

en terme de traitement des eaux polluées, une autre population de bactérie est présente dans les digesteurs anaérobies. Cette population bactérienne réduit différents types de molécules sulfatées, le sulfate ( )−2

4SO , le sulfite ( )−23SO , et le thiosulfate ( )−2

32OS en sulfure ( )−2S . Cette population bactérienne sulfato-réductrice (BSR) intervient au stade terminal de la dégradation anaérobie, tout comme les méthanogènes. L’acide sulfurique ( )SH 2 produit par cette réaction possède un effet inhibiteur sur les méthanogènes, soit de manière directe, soit en faisant précipiter les métaux essentiels nécessaires à la méthanogénèse. Deux comportements de bactéries sulfato-réductrices peuvent être identifiés :

Le premier groupe utilise le lactate afin de l’oxyder en acétate et en dioxyde de carbone. Ce groupe peut en outre utiliser certains produits de la première étape de fermentation tels que l’éthanol, le fumarate, le malate, le pyruvate…

Le deuxième groupe utilise l’acétate, des acides gras à longues chaînes, certains composés aromatiques, et certains des substrats utilisés par le premier groupe, qu’il oxyde entièrement jusqu’à l’obtention de dioxyde de carbone. Les principales réactions chimiques des bactéries sulfato-réductrices sont données ci-dessous :

- Oxydation de l’acétate : −−−− +↔+ HSHCOSOCOOCH 3

243 2

- Oxydation de l’éthanol : OHHHSCOOCHSOOHCHCH 22

12

13

242

123 +++↔+ +−−−

- Oxydation du propionate : +−−− ++↔+ HHSCOOCHSOCOOHCHCH 4

14

33

244

323

- Oxydation du butyrate : +−− ++↔+ HHSCOOHCHSOCOOHCHCHCH 2

12

13

242

1223 2

- Oxydation de l’hydrogène : OHHSHSOH 2

242 44 +↔++ −+−

- Oxydation du thiosulfate :

−−+−

+−−−

+↔+

++↔+

HSSOHSO

HHSSOOHOS24

23

24232

34

Le principal problème est la compétition qui s’opère entre les bactéries méthanogènes et les bactéries sulfato-réductrices, car ces dernières possèdent un meilleur taux de croissance et une limitation de leur croissance plus faible. Ainsi, les composés carbonés utiles à la méthanogénèse sont détournés au profit de la sulfato-réduction.

En effet, les bactéries sulfato-réductrices, dans un milieu non limitant en terme de sulfate, utilisent l’hydrogène, l’acétate, le dioxyde de carbone, nécessaires à la méthanogénèse. En l’absence de sulfate, ces bactéries utilisent des acides organiques (lactate, pyruvate, formate, malate), des acides gras volatils (acétate), et des alcools (éthanol, propanol, méthanol, butanol). Dans ce cas, certaines populations peuvent échanger de l’hydrogène avec des bactéries méthanogènes.

Dans le cas où le sulfate est présent mais dans un aspect limitant, les bactéries sulfato-réductrices peuvent oxyder le propionate, en syntrophie avec les bactéries méthanogènes. Cependant dans un biofilm les bactéries sulfato-réductrices sont désavantagées en raison de moins bonnes propriétés d’agrégation.

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Par ailleurs si le rapport entre la charge organique et la charge en sulfate est faible la

méthanogénèse devient quasiment inexistante par rapport à la sulfato-réduction. Le schéma 8.[A.8.] permet de voir à partir de quel rapport la méthanogénèse prédomine sur la sulfato-réduction.

4.2.1.1.5 Conditions physico-chimiques Pour comprendre les processus de la digestion anaérobie il tenir compte de l’influence des

conditions physico-chimiques suivantes : • Présence d’accepteurs d’électrons • Potentiels redox • Température • pH • Concentration en nutriments.

Accepteurs d’électrons Le tableau 8.[A.9.] permet de voir les accepteurs d’électrons utiles aux processus de digestion

anaérobie. Il apparaît qu’il y a d’abord une étape de dénitrification, puis de sulfato-réduction (avec la réduction du sulfate en sulfure), puis enfin la méthanogénèse, rendue possible par la réduction du dioxyde de carbone en méthane.

Potentiel redox On voit sur le tableau redox 8.[A.10.] que les bactéries méthanogènes ne peuvent se développer

convenablement en milieu anaérobie que pour des potentiels redox très bas au alentour de -400mV.

Température La température affecte le développement des bactéries ainsi que les réactions biochimiques et

physico-chimiques. Ainsi, on distingue trois comportements bactériens différents, selon la température. - Les psychrophiles qui vivent dans des milieux de 4 à 30 °C avec un optimum de 12 à 18°C. - Les mésophiles qui vivent dans des milieux de 20 à 50°C avec un optimum autour de

35°C - Les thermophiles qui vivent dans des milieux de 45 à 75 °C avec un optimum autour de

65°C. La figure 8.[A.11.] présente le taux de croissance des bactéries méthanogènes selon la température

et leur groupe d’affinité thermique. L’activité enzymatique subit elle aussi l’influence de la température, avec une augmentation de

l’activité avec l’augmentation de la température jusqu’à une activité optimale avant que des températures trop élevées ne dénaturent et ne détruisent l’enzyme.

pH Le pH influence les réactions biochimiques et le développement des bactéries. Il peut se révéler

fortement inhibiteur. Les bactéries des digesteurs anaérobies peuvent généralement vivre dans des conditions de pH compris entre 4 et 9 mais leur développement est optimal entre 6.5 et 7.3 de pH.

L’activité enzymatique est elle aussi fortement influencée par le pH car elle dépend fortement de la concentration du milieu en ions +H .

Concentration en nutriments Afin de comprendre le comportement de croissance des bactéries il est primordial de considérer

les nutriments permettant aux bactéries de se développer. En effet, les bactéries ont besoin à 95% de carbone, d’oxygène, d’azote, d’hydrogène, et de phosphore pour se constituer. Ces matières sont puisées directement dans les effluents pendant les fermentations anaérobies. Cependant, les bactéries ont besoin en petites quantités d’autres éléments plus rares : K+, Ca2+, Cu2+, Mo6+, Co2+, V2+, Mg2+, Fe2+, Fe3+, Mn2+, Zn2+, Ni2+, Na+, B3+, Se2-, Ag+, Au+, I-, Ti2+.

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Ces éléments sont présents en quantités variables dans les effluents et donc parfois en quantités

insuffisantes tout comme l’azote et le phosphore. Il faut donc prévoir une alimentation des bactéries par des mélanges de nutriments adaptés. Cependant une concentration trop élevée de ces minéraux peut inhiber certaines réactions biochimiques et même conduire à l’arrêt du bioréacteur.

A partir de toutes ces connaissances sur le fonctionnement biochimique et physico-chimique des

bioréacteurs, il est possible de créer des modèles mathématiques qui décrivent les processus et les influences des conditions expérimentales.

4.2.2 Modèles existants de bioréacteur 4.2.2.1 Modélisation de processus biologiques

Les articles [4] et [5] présentent de manière détaillée les équations permettant de modéliser des processus biologiques de façon générale. Généralement un processus biochimique dans un bioréacteur parfaitement agité peut se modéliser sous la forme :

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=

−=

XSSS

XDX

in μ

μ&

&

- S : la concentration en substrat dans le bioréacteur - inS : la concentration en substrat d’entrée - X : la concentration de la biomasse - μ : le taux de croissance - D : le taux de dilution (le rapport entre le débit d’entrée et le volume du réacteur)

Plusieurs équations permettent de modéliser des comportements de croissance différents. Par exemple le taux de croissance d’une population de bactéries peut être modélisé par :

- Equation de Monod :

SKSS+

= maxμμ avec, maxμ le taux de croissance maximal, la constante de demi saturation. SK

Cette équation permet de modéliser la croissance d’une population de bactéries se nourrissant d’un substrat et dont la croissance maximale est limitée.8.[A.12.]

- Equation de Haldane :

IS K

SKS

S2max

++= μμ avec la constante d’inhibition. IK

Cette équation permet de modéliser en plus le fait qu’une trop grande concentration en substrat inhibe le développement des bactéries. Il y a donc un taux de substrat optimal pour la croissance des bactéries.

4.2.2.2 Modèles de bioréacteurs anaérobies 4.2.2.2.1 Premiers modèles

Les premiers modèles mathématiques de bioréacteurs anaérobies ont été définis dans les années 1970. De très nombreux modèles ont depuis été développés. Le document [6] présente les modèles les plus connus.

Ces modèles sont plus ou moins complexes selon le nombre de processus biochimiques représentés. Ils essayent de décrire la croissance des bactéries en fonction du substrat, l’inhibition de la croissance des bactéries par le substrat… La dépendance de la croissance des bactéries vis-à-vis des

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.

conditions de température et de pH est parfois explicitée. Ces modèles doivent pouvoir prédire une surcharge organique ou hydrodynamique pouvant altérer le fonctionnement du réacteur, jusqu’à l’arrêt.

4.2.2.2.2 Modèle ADM1 Le modèle ADM1 pour Anaerobic Digestion Model n°1, est un modèle qui a été développé par les

chercheurs de l’IWA (International Water Association) dans le livre [7]. Le but était de créer un modèle très complet basé au plus près du modèle phénoménologique, permettant de simuler au mieux les réacteurs anaérobies.

Comme on peut le constater, par exemple sur le schéma de modélisation 8.[A.13.], ADM1 est un modèle complexe. En effet, il décrit 19 processus biochimiques, 3 processus cinétiques de transferts gaz-liquide et 7 populations bactériennes différentes.

Pour être utilisé par des calculateurs numériques, il peut être implanté sous 2 formes différentes. Soit uniquement avec des équations différentielles, modèle ODE, qui contient 32 variables d’état dynamiques et 6 processus cinétiques d’acide-base, soit avec des équations différentielles et des équations algébriques, modèle ODE-DAE, qui contient 26 variables d’états d’état dynamique. [8] L’ADM1 permet d’accéder jusqu’à 32 sorties de simulation.

Pour pouvoir utiliser ce modèle qui décrit très généralement les procédés de digestion anaérobie, il faut prévoir de régler plus de 80 paramètres. Ce modèle est donc très compliqué à identifier et demande une bonne connaissance des paramètres cinétiques et stœchiométriques du bioréacteur à modéliser.[9]

Des extensions ont été développées pour améliorer et élargir encore la prédiction de l’ADM1, par exemple pour prendre en compte les sulfato-réductions, ou la dégradation de certains substrats.[10] et [11]

Ce modèle est donc très intéressant en ce qui concerne la précision des simulations si le réglage des paramètres s’avère possible pour le type de substrat qu’on veut utiliser. Cependant, sa complexité est un gros handicap pour faire de l’optimisation ou synthétiser des lois de commande basées sur le modèle. De plus, sa complexité le rend difficile à implanter numériquement [12]. C’est pour ces raisons que ce modèle n’a pas été retenu.

4.2.2.2.3 Modèle AM2 Un modèle récent, de bioréacteur anaérobie a été développé par des chercheurs de l’INRA de

Narbonne et de l’INRIA de Sophia-Antipolis, en 2001. [13] Ce modèle appelé AM2 pour Anaerobic Model n°2, est un modèle de tendance beaucoup plus simple à utiliser que le modèle ADM1, pour faire du contrôle ou de l’optimisation. Ce modèle a été développé à partir des résultats expérimentaux obtenus sur le réacteur à lit fixe de l’INRA de Narbonne. La suite décrit de manière détaillée ce modèle de bioréacteur.

A) Processus biochimique La modélisation comprend deux processus et deux populations bactériennes comme on peut le

voir sur la figure 8.[A.14.]

La première étape est celle de l’acidogénèse modélisée par une population de bactéries acido-acétogènes de concentration qui décompose le substrat carboné en acides gras volatiles (AGV qui devient le substrat ), et en dioxyde de carbone. On considère dans ce modèle simplifié que les AGV sont uniquement présents sous forme non ionisée et se comportent comme de l’acide acétique. Notons que les deux substrats sont aussi présents dans l’alimentation du réacteur.

1X 1S

2S

La réaction chimique modélisée est donc la suivante : avec la vitesse de réaction :

24221

1

11 COkSkXSkr

++→

111 Xr μ= .

20

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La croissance de cette population suit une cinétique de Monod: 11

1max11

SKSS+

= μμ 8.[A.15.]

La seconde étape est celle de la méthanogénèse modélisée par une population de bactéries

méthanogènes acétoclastes de concentration qui transforment les AGV (substrat , provenant de l’alimentation et/ou issu de l’acidogénèse) en méthane et en dioxyde de carbone selon la réaction

chimique suivante : avec la vitesse de réaction :

2X 2S

46252

2

23 CHkCOkXSkr

++→ 222 Xr μ= .

La croissance de cette population suit une cinétique de Haldane:

2

2S.

222

2max22

IS K

KS

S

++= μμ

sée. 8.[A.16.] L’inhibition de la méthanogénèse par l’accumulation d’AGV est donc modéli

B) Processus physico-chimiques

Carbone inorganique Ce modèle prédit la concentration de carbone inorganique. Pour un pH entre 6 et 8 celui-ci est égal à la concentration en dioxyde de carbone et de bicarbonate tel que BCOC CCC += 2 . Ces deux éléments

suivent les réactions suivantes en phase liquide : et OHCOHB 22 +↔+ + [ ]2COBHKb

+

= avec

111105.6 −− ⋅×= LmolKb

Alcalinité totale L’alcalinité totale est définie par la somme des acides dissociés dans le milieu liquide. Ainsi . Cette hypothèse n’est cependant pas vérifiée si le pH de l’effluent est assez

faible et il faut prendre en considération l’alcalinité de l’effluent

BSZ += 2

inpHa

ainin S

KK

BZ 210−++= avec

15 .105.1 −−×= LmolK a

C) Modèle d’état dynamique En considérant le vecteur de variables d’états suivantes :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=

einorganiqu carbone de ion totaleConcentrat AGVd' 2substrat du ion Concentrat

carbonés matière de 1substrat du ion Concentrat totaleAlcalinité

eméthanogèn ebactérienn population la deion Concentrat acidogène ebactérienn population la deion Concentrat

2

1

2

1

CCSSZXX

ξ

Le modèle dynamique est alors le suivant :

21

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( )[ ]( )[ ]

[ ]( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

++−−=

−+−=

−−=

−=

−=

−=

=

225114

223112222

111111

222

111

2XkXkqCCDC

XkXkSSDS

XkSSDS

ZZDZ

XDX

XDX

COCCinC

in

in

in

ξμξμξ

ξμξμ

ξμ

αξμ

αξμ

ζ

&

&

&

&

&

&

&

Le termeα représente le degré d’agitation du bioréacteur avec 10 ≤≤α .

1=α implique le réacteur est complètement agité. 0=α implique que le réacteur est parfaitement à lit fixe.

D) Sorties supplémentaires accessibles Les sorties calculables sont donc les valeurs des 6 variables d’état. Il est également possible de

calculer les sorties associées au débit de méthane, au débit de dioxyde de carbone et le pH. Le débit de méthane est calculé de la façon suivante :

2264 XkCH μ= exprimé en [ ]11 −− ⋅⋅ jLmmol . Pour obtenir une valeur comparable avec les signaux

provenant des capteurs, il est nécessaire d’effectuer une conversion en [ ]1−⋅ jL :

10004

4reacteurMolaire

CHVVCH

q⋅⋅

=

Avec le volume du bioréacteur et le volume molaire. LVreacteur 528= 124 −⋅= molLVMolaire

Le débit de dioxyde de carbone est calculé avec la loi de Henry: ( )

222 COHCOLCO PKCakq −=

- est le coefficient de transfert liquide gaz. akL

- est la constante de Henry pour le dioxyde de carbone HK- est la pression partielle de

2COP 2COLes pressions des gaz étant à l’équilibre on la relation entre la pression partielle et le débit de

gaz suivante : 2

2

4

2

CO

CO

CH

COT

qP

qPP

=−

avec la pression totale appliquée au fermenteur donc la pression

atmosphérique.

TP

Ceci permet de déduire la pression partielle de : 2COH

COTHCO K

CPKP

2

42

2

2 −−=

φφ avec

akq

PKCL

CHTHCO

4

2++=φ et ZSCC CCO −+= 22

Il est aussi possible de calculer le pH : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

−=2

210log

SZSZC

KpH Cb

E) Paramètres Les paramètres, identifiés sur le bioréacteur de l’INRA de Narbonne, sont donnés 8.[A.17.] et

8.[A.18.]. Cependant selon le type d’effluent (vinasse, laiterie etc.…) ces paramètres varient fortement. Il faut donc vérifier leurs valeurs et au besoin les réidentifier.

22

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Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

F) Intérêt et limites du modèle Ce modèle présente l’intérêt de reproduire à 97.8% la variabilité du système réel. [9] Son ordre dynamique modéré facilite l’estimation des paramètres cinétiques et stœchiométriques.

Les sorties principales les plus intéressantes sont accessibles directement. L’article [14] illustre la robustesse de ce modèle ce qui rend sont utilisation possible pour des

conditions expérimentales assez variées. Un des défauts principaux de ce modèle est qu’il ne prend pas en compte l’acétogénèse qui est

implicitement intégrée à l’acidogénèse. Ceci implique qu’il est impossible de prédire le taux des différents AGV, comme par exemple le propionate qui a un fort potentiel inhibiteur sur le processus général. Les AGV sont tous comptabilisés comme de l’acétate directement méthanisable. Un des autres défauts majeurs du modèle est que, lors des phases transitoires de démarrage du bioréacteur, la biomasse est mal prédite.

Toutefois, la bonne représentation de la dynamique du système réel et sa relative simplicité par rapport à des modèles beaucoup plus complexes comme l’ADM1 font de ce modèle un très bon candidat pour la synthèse de commande ou des travaux d’optimisation. C’est donc le modèle que nous avons choisit pour ce projet.

Une fois ce modèle choisi, un modèle numérique a été développé sur Matlab pour pouvoir faire de la simulation en fournissant les entrées de commande.

G) Extensions, Amélioration Depuis le développement de ce modèle, certains travaux de recherche ont cherché à l’améliorer.

Par exemple, dans [15] les auteurs considèrent que le milieu réactionnel n’est pas homogène. Ainsi, le modèle tient compte de la dépendance spatio-temporelle des variables d’état : les concentrations des éléments ne sont pas ici réparties de manière uniforme dans le réacteur mais obéissent aux lois d’un système à paramètres distribués.

Un modèle [16] a aussi été développé sur la base de l’AM2 pour permettre d’estimer la concentration en propionate.

4.2.3 Positionnement du problème Nous venons de voir quel est le fonctionnement biochimiques et physico-chimique d’un

bioréacteur anaérobie, ainsi que plusieurs modèles mathématiques disponibles. Au vu des avantages que présente le modèle AM2 pour le contrôle et la commande, nous avons

décidé d’utiliser ce modèle pour simuler le bioréacteur de l’INRA de Narbonne. C’est donc sur ce modèle que se baseront tous les autres travaux de ce projet.

L’objectif de ce projet est de développer, sur la base d’AM2, un modèle capable de simuler le fonctionnement dynamique du bioréacteur de l’INRA de Narbonne et d’optimiser son démarrage et ses performances.

La partie suivante présente les principes mathématiques de l’optimisation ainsi que les algorithmes utilisés pour l’optimisation numérique.

23

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)

4.3 Principes théoriques de l’optimisation Dans cette partie sont présentés les principes mathématiques des méthodes qui ont été employées

dans le cadre de l’optimisation du bioréacteur anaérobie, ainsi que les principes de fonctionnement des algorithmes d’optimisation numérique utilisés.

4.3.1 Problème d’optimisation dynamique La première étape d’un problème d’optimisation dynamique, et sans aucun doute la plus

importante, consiste en la formulation mathématique du problème. Le fait que cette formulation se traduise par une expression mathématique formalisée ne doit pas occulter la réflexion sous-jacente. En effet, avant de se lancer dans un tel type de problèmes, il convient de s’interroger sur la notion même de performance. De nombreux indicateurs peuvent traduire le « bon » ou le « mauvais » fonctionnement d’un procédé. Néanmoins, il convient d’en choisir un (ou plusieurs dans le cas de l’optimisation multi-objectif) et de définir les contraintes associées au problème. Dans le cas d’un procédé soumis à des entrées de commande, le problème consiste à déterminer les entrées optimales qui permettent d’optimiser le ou les objectifs fixés. En pratique, notamment pour les procédés industriels ou semi-industriels, l’expérience montre qu’il est difficile de mettre les différents acteurs (opérateurs, responsables de la production, chercheurs, …) d’accord sur un problème unique. Cette étape est néanmoins cruciale, car les résultats obtenus, s’ils permettent de développer la compréhension que nous avons d’un procédé, dépendent toujours de la formulation choisie.

4.3.1.1 Formulation standard d’un problème d’optimisation [18] [19] Lorsqu’on souhaite optimiser un procédé dynamique, on cherche à minimiser une fonction

objectif ( utx ,,φ . Dans le cas de l’optimisation d’un procédé décrit par un modèle dynamique, , celui-ci est alors considéré comme un ensemble de contraintes à respecter pour

l’optimisation. Si certaines conditions, en plus des équations du modèle, doivent être respectées au cours de l’intégration numérique du modèle, on ajoute des contraintes de chemin

( utxFx ,,=& )

)( utx ,,ϕ pour décrire ces conditions. De la même façon, si certaines conditions doivent être respectées à la fin de l’intégration numérique du modèle, on ajoute des contraintes à temps final ( )( )ftxT . On cherche alors

l’entrée de commande et le temps nécessaire qui permettent de minimiser le critère ( )utxJ ,,φ= Le problème peut alors se formaliser sous une forme directe, où le critère J est minimisé

( )( )

( ) ( )( )( )( ) finals à temps contraintetxT

ns de chemicontrainteutxxutxFx

aintessous contr

utxJ

f

tutf

0 0,,

0x ,,

,,min

0

,

≤≤

==

=

ϕ

φ

&

Avec, par exemple ( )( ) ( )∫+=tf

f dtuxLtxJ0

,φ dans lequel ( )( )ftxφ est un coût terminal et ( )uxL ,

est le coût sur la durée d’intégration. On peut réécrire le même problème sous la forme d’une minimisation du temps final, moyennant

l’ajout d’états artificiels supplémentaires, d’après la théorie de l’optimisation dynamique. Ceci amènera à une solution identique au niveau des entrées de commande.

24

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( )

( ) ( )( )( )( )( )( ) Jtx

finals à temps contraintetxTns de chemicontrainteux

xuxFxaintessous contr

t

f

f

ftutf

≤≤

==

φ

ϕ 0

0,0x ,

min

0

,

&

4.3.1.2 Principe du Maximum de Pontryaguine Il est possible de reformuler le problème d’optimisation précédent en utilisant le Principe du

Maximum de Pontryaguine.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )tf

T

tff

T

T

TT

vttu

xTv

xt

xH

xuxFxaintessous contr

uxuxFH

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+∂∂

=

∂∂

−=

==

+=

φλ

λ

ϕμλμ

&

& 0

,,

0x ,

,,min

Avec : ( ) 0≠tλ le vecteur de taille n des états adjoints (Multiplieur de Lagrange pour le système

d’équations) ( ) 0≥tμ le vecteur de taille ζ des multiplieurs de Lagrange pour les contraintes de chemin.

0≥v le vecteur de taille τ des multiplieurs de Lagrange pour les contraintes à temps terminal. Les multiplieurs μ et sont non nuls quand les contraintes correspondantes sont actives et nuls

dans les autres cas. Ainsi on a toujours les égalités suivantes :

v( ) 0, =uxTϕμ et ( )( ) 0=f

T txTv . La

condition nécessaire d’optimalité est définie par 0=∂∂

=uHH u . Cette condition implique que

vux ,,,, μλ existent et vérifient les équations :

( )

( )

( )( )( )

0

00,

,,

=∂∂

+∂∂

=∂∂

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+∂∂

=

∂∂

−∂∂

−=∂∂

−=

=

uuF

uH

txTvux

xTv

xt

xxF

xHuxFx

TT

fT

T

tf

T

tff

T

TTT

ϕμλ

ϕμ

φλ

ϕμλλ&

&

4.3.1.3 Expression analytique des entrées optimales. La condition nécessaire d’optimalité pour l’entrée est donnée par : iu

25

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0=+=∂∂

+∂∂

=∂∂

= uiT

uiTTT

iui F

uuF

uHH ϕμλϕμλ

Deux cas peuvent être distingués, qui annulent : uiH

1 Solutions déterminées par les contraintes de chemin actives

0≠uiT Fλ sur un certain intervalle ce qui implique pour respecter l’égalité que 0≠μ sur l’intervalle

considéré. Une des contraintes de chemin est active ce qui implique qu’on peut déterminer l’entrée de commande à partir de cette contrainte active. Par exemple si on considère que les contraintes sont placées uniquement sur l’amplitude de l’entrée du système, c'est-à-dire que 0max ≤− ii uu

et , étant donné que 0min ≤− ii uu 0≥μ alors maxii uu = pour et 0<uiT Fλ minii uu =

pour . Si on a des contraintes sur d’autres variables que l’entrée du procédé, et que l’une d’entre elle est active, alors on peut déterminer l’entrée optimale

0>uiT Fλ

ipathi uu = qui permet de respecter de

maintenir l’entrée sur cette contrainte. iu

2 Solutions à l’intérieur du domaine de faisabilité

Dans le cas où , on ne peut pas obtenir directement l’expression de l’entrée de commande . Dans ce cas la solution qu’on recherche est appelée arc singulier. Cette solution représente un compromis entre les différentes contraintes et objectifs qui pèsent sur l’optimisation. Pour rechercher cette solution on part du fait qu’à chaque instant t on a

0=uiT Fλ iu

icompu

0=uiH . Sachant qu’une fonction nulle sur un

intervalle a toutes ses dérivées temporelles successives qui sont nulles : jdtHd

jui

j

∀= ,0 On peut

alors montrer que 0=∂∂

−Δ= uiT

uiTui F

xSF

dtdH

μλ

avec un opérateur basé sur les crochets de Lie tel que Δ ( )( )∑

∞+

∂∂

+∂∂

−∂∂

=Δ0

1kk u

uvg

xFF

xgg avec

la kième dérivée de par rapport au temps. ( )ku u

Cette expression se généralise à l’ordre j : 01 =Δ∂∂

−Δ= −ui

jTui

jTj

uij

Fx

Fdt

Hd ϕμλ avec

( )gg jj 1−ΔΔ=Δ Afin de se libérer de la contrainte de devoir calculer les multiplieurs de Lagrange, pour un système

d’ordre on différencie jusqu’à l’ordren uiF 1−iρ , c'est-à-dire qu’on calcul les pour

uij FΔ

{ }1,...,1 −= ij ρ .

On peut ainsi construire la matrice [ ]uiuiuii FFFM i 1... −ΔΔ= ρ Le nombre iρ correspond au nombre de différentiation qui n’ajoute plus de rang à la matrice . iM

Le rang de cette matrice est alors fonction des états et des entrées de commande du système. Il a été montré que si la matrice perd un rang, cela signifie que la commande est à l’intérieur du domaine de faisabilité, c'est-à-dire qu’aucune des contraintes n’est active.

Si la commande apparaît explicitement dans l’une des différentiations alors on peut calculer la commande optimale sur cet intervalle qui annule le déterminant de la matrice .

iu uij FΔ

iMSi 1−= ii ρσ alors la commande est un retour de boucle statique dépendant uniquement des états

du système.

26

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En revanche si 1−< ii ρσ cela signifie que la perte de rang est fonction de la commande mais

aussi de ses dérivées temporelles successives . iiuuu σρ −−11 ,...,,Si 1−> ii ρσ cela signifie que la perte de rang n’est pas fonction de la commande. Dans le cas particulier où ni =ρ , faire perdre un rang à la matrice consiste à déterminer

l’expression qui annule le déterminant de la matrice. C’est généralement le cas que nous avons eu à traiter.

L’entrée de commande optimale est alors constituée d’une séquence des entrées de commande qui annulent . La commande optimale est donc scindé en intervalles temporels sur lesquels l’entrée de commande est soit

iu

uiH

maxii uu = , soit minii uu = , soit ipathi uu = , soit icompi uu = . Il existe alors une

unique séquence d’entrée qui permet d’obtenir la structure correcte de la commande . iuLa connaissance de la structure de ces arcs d’entrée et de l’ordre de la séquence permet de

déterminer la structure de la commande optimale. La recherche des meilleures valeurs des instants de commutation entre chaque arc de la séquence permet de déterminer la véritable commande optimale qui permet d’optimiser le procédé pour répondre à l’objectif fixé et généralement, d’assurer le respect des contraintes à temps final.

La séquence des arcs et la valeur des temps de commutation peuvent être déterminées grâce à des considérations expérimentales basées sur l’expérience des personnes ayant une bonne connaissance du procédé et des considérations analytiques basées sur sa modélisation mathématique et sur l’optimisation numérique.

Dans ce projet nous avons utilisé l’optimisation numérique des instants de commutation et des paramètres des arcs de commandes.

4.3.2 Algorithmes d’optimisation numérique Les techniques d’optimisation numérique visent à déterminer un jeu de paramètres

qui rendent un processus optimal. Bien souvent, le caractère optimal d’un

processus est atteint en minimisant une fonction objectif

{ nxxxx ,...,, 21= }( )xf . Le problème général d’optimisation

s’écrit donc : ( )

( )( )⎩

⎨⎧

=≤==

mmixGmixG

cs

xf

ei

ei

x

,..., 0,...,1 0

..

min

Avec les contraintes d’égalités et d’inégalités évalués en( )xG x .

Nous présentons ici les deux méthodes d’optimisation numérique implémentées dans la toolbox d’optimisation de Matlab et qui ont été utilisées au cours de ce projet.

4.3.2.1 Optimisation numérique contrainte et mono objectif Les méthodes utilisées dans l’optimisation d’une fonction objective avec des contraintes parfois

non linéaires sont basées sur les solutions des équations de Kuhn-Tucker. Ces équations représentent les conditions nécessaires d’optimalités pour un problème d’optimisation contraint. Dans le cas où

et sont des fonctions convexes, les équations de Kuhn-Tucker sont à la fois nécessaires et suffisantes pour la solution globale. ( )xf ( )xG

Ces équations s’établissent sous la forme :

27

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( ) ( )( )

mmi

mixG

xGxf

ei

ii

m

iii

,...,1 0

,...,1 0

0

*

**1

***

+=≥

==⋅

=∇⋅+∇ ∑=

λ

λ

λ

La première équation décrit l’annulation du gradient de la fonction objective et des contraintes

actives au point de la solution. Le multiplicateur de Lagrange mii ,...,1, =λ sert à contrebalancer l’amplitude du gradient de la fonction objectif et des contraintes actives.

Les solutions de ces équations forment la base des algorithmes de programmation non linéaires qui calculent directement les multiplicateurs de Lagrange. Ces méthodes sont appelées méthodes de programmation quadratiques successives (SQP pour Sequential Quadratic Programming). Ce sont des algorithmes itératifs qui résolvent à chaque itération un sous problème de Programmation Quadratique (QP pour Quadratic Programming).

La méthode utilisée par ces algorithmes se rapproche de la méthode du gradient de Newton. A chaque itération, la matrice hessienne du Lagrangien est approximée. Ceci génère un sous problème QP dont les solutions servent à définir la direction de recherche de la procédure SQP.

A partir du problème général d’optimisation, le principe de la formulation d’un sous problème QP est basé sur l’approximation du Lagrangien :

( ) ( ) ( )∑=

⋅+=m

iii xgxfxL

1, λλ

On obtient alors le sous problème QP en linéarisant les contraintes non linéaires.

( )

( ) ( )( ) ( ) mmixgdxg

mixgdxg

cs

dxfdHd

ekiT

ki

ekiT

ki

Tkk

T

Rd n

,...,1 0

,...,1 0

..21min

+=≤+∇

==+∇

∇+∈

Avec : la direction de la recherche de la solution, dkH l’approximation de la matrice hessienne du Lagrangien, définie positive lors de

l’itération k . Ce problème QP est résolu par un algorithme QP et la solution est réutilisée pour une nouvelle itération :

kx

kkkk dxx α+=+1 Avec kα le pas de recherche qui est déterminé par une procédure basée sur la décroissance suffisante d’une fonction mérite.

La matrice hessienne du Lagrangien est adaptée selon l’équation (qui peut être rapprochée de la méthode « classique » de quasi-Newton BFGS):

kkTk

kTk

kTk

Tkk

kh sHsHH

sqqq

HH −+=+1

Avec : kkk xxs −= +1

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= =

++ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∇⋅+∇−∇⋅+∇=

n

i

n

ikiikkiikk xgxfxgxfq

1 111 λλ

28

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4.3.2.2 Optimisation numérique contrainte et multi objectif 4.3.2.2.1 Définition du problème d’optimisation multi objectif

Souvent l’optimisation d’un procédé quel qu’il soit ne peut pas se contenter d’un unique objectif et de contraintes. Le plus souvent il y a un vecteur d’objectifs à optimiser.

( ) ( ) ( ) ( ){ }xFxFxFxF m,...,, 21=

L’optimisation concerne la minimisation du vecteur ( )xF qui peut être sujet à des contraintes ou à des limites.

( )

( )( )

ul

ei

ei

Rx

xxxmmixG

mixGcs

xFn

≤≤+=≤

==

,...,1 0,...,1 0

..

min

L’espace de faisabilité Ω correspond à l’espace des paramètres x dans lequel permet de satisfaire toutes les contraintes.

nRx∈

{ }

( )( )

ul

ei

ei

n

xxxmmixg

mixgcs

Rx

≤≤+=≤

==

∈=Ω

,...,1 0,...,1 0

..

On peut définir alors l’espace de faisabilité des fonctions objectif { }mRy∈=Δ comme on peut le voir sur le graphique ci dessous.

Les solutions de cette minimisation sont appelées les solutions non inférieures. Elles

correspondent aux solutions dont une variation de paramètre pour améliorer un objectif dégrade de manière plus importante les autres objectifs. Ainsi, est une solution non inférieur si il n’existe pas de petite variation tel que et

Ω∈*xxΔ Ω∈Δ+ xx* ( ) ( )** xFxxF ii ≤Δ+ pour . mi ,...,1=

Différentes méthodes d’optimisation numérique multi objectif existent. Citons par exemple :

- Weighted Sum Method, - Epsilon-Constraint Method, - Goal Attainment Method.

4.3.2.2.2 La Goal Attainment Method La méthode que nous avons utilisée est la « Goal Attainment Method », [20].

29

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Pour le vecteur de fonctions objectifs ( ) ( ) ( ) ( ){ }xFxFxFxF m,...,, 21= on prédéfinit des objectifs

à atteindre ( ) ( ) ( ) ( ){ }xFxFxFxF m**

2*

1* ,...,,= . Durant l’optimisation, ces objectifs peuvent être atteints

entièrement ou non selon leur importance. Celle-ci est définie par des coefficients de pondération { }mwwww ,...,, 21=

Le problème multi objectif est alors reformulé comme un problème d’optimisation standard :

( ) miFwxF iii

xR

,...,1

min

*

,

=≤−Ω∈∈

γ

γγ

Par exemple dans le cas où on a deux fonctions objectif à minimiser :

( )( ) *

222

*111

,min

FwxF

FwxFxR

≤−

≤−Ω∈∈

γ

γ

γγ

La procédure d’optimisation est illustrée sur la figure ci-dessous :

La spécification des objectifs { }*

2*

1 , FF définie le point objectif . Le vecteur de pondération défini la direction de la recherche de

Pw P vers l’espace de faisabilité ( )γΔ . Pendant l’optimisation, γ varie ce qui change la taille de la région de faisabilité. Les contraintes permettent de converger vers l’unique point de solution en { } SS FF 21 ,

La section suivante présente le travail qui a été effectué à partir du modèle du bioréacteur en terme d’amélioration de la modélisation, de l’utilisation de l’optimisation pour identifier les paramètres du modèle, rechercher des profils de commande optimaux et améliorer la régulation.

30

Page 31: Rapport de PFE

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4.4 Application de l’optimisation au bioréacteur anaérobie de l’INRA

4.4.1 Amélioration de la modélisation Comme cela a été mentionné précédemment, AM2 est un bon modèle de tendance en régime établi

mais modélise mal la biomasse lors des phases transitoires pendant le démarrage du bioréacteur. Une partie du travail effectué durant ce stage a été de compléter cette lacune.

Les phases d’identification ont été basées sur un jeu de données expérimentales, recueillies lors de démarrages du bioréacteur en 2005. Cette identification s’est faite en plusieurs itérations. L’introduction de nouveaux paramètres se faisant après une évaluation du dernier modèle et des essais d’optimisation et de régulation associés.

4.4.1.1 Détermination du rendement épuratoire Le rendement épuratoire se définit comme la différence en pourcentage entre la concentration

totale en substrat en entrée du bioréacteur et la concentration totale en substrat à l’intérieur du

bioréacteur. Nous avons donc modélisé ce rendement épuratoire de la façon suivante : Tin

TTin

SSS −

Avec ininTin SSS 2211 ρρ += et 2211 SSST ρρ +=

Avec 21,ρρ les rapports de transformation qui permettent de revenir en 1−⋅ LgCOD

[ ] [ ]1

1111 07,111−

⋅⋅⋅=⇒= −− ggSS CODLgLgCOD ρρ

[ ] [ ]1

212207,0

51,1%20

07,1%801000

111

−⋅⋅

⋅≈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

×+

××

=⇒= −− mmolg

MM

SS COD

propionateacetate

LmmolLgCODρρ

(pour 80% d’acétate et 20% de propionate) et molgM acetate ⋅= 60 et molgM acetate ⋅= 74

La proportion d’acétate et de propionate composant correspond à la moyenne observée expérimentalement.

2S

4.4.1.2 Prise en compte de la régulation du pH pour l’alcalinité Sur le bioréacteur de l’INRA, le pH est autorégulé par un contrôleur de pH, une pompe à soude,

autours d’une valeur de référence 7≈refpH . Il est alors possible de déterminer l’alcalinité totale en

fonction de cette valeur de référence et en fonction de la concentration du substrat et en fonction de la concentration de carbone inorganique .

2S

CC

Après calcul, nous obtenons alors : ( )

bpH

CbpH

b

KCKKS

Zref

ref

+

++= −

10102

Ceci permet donc de supprimer une des équations différentielles du modèle. L’alcalinité totale peut donc se calculer directement après l’intégration numérique.

4.4.1.3 Modélisation et identification du paramètre alpha La première piste sur laquelle nous avons travaillé pour améliorer la modélisation de la biomasse a

été de jouer sur le termeα . En effet, cette constante permet de décrire à quel degré le bioréacteur est plutôt, complètement agité ( 1=α ), ou parfaitement à lit fixe ( 0=α ). La réalité est intermédiaire, puisque la solution peut être considérée comme un réacteur parfaitement agité, tandis que la croissance des bactéries attachées se déroule sur un lit fixe.

31

Page 32: Rapport de PFE

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Des études biologiques ont montré qu’une valeur constante du degré d’agitation du bioréacteur, ne

permettait pas de représenter le fonctionnement du bioréacteur, notamment pendant les phases transitoires du démarrage. Nous avons donc essayé de faire varier ce paramètre en fonction du temps. Pour cela nous avons essayé différentes structures d’identification dans lesquelles α était fonction de la biomasse, du taux de dilution ou du substrat, avec une valeur de α toujours comprise entre 0 et 1.

Les différents essais d’identification n’ont pas permis de déterminer une structure permettant de modéliser correctementα . C’est pourquoi, cette étape a été abandonnée au profit d’une réflexion sur une autre manière d’améliorer la modélisation du bioréacteur. Cependant, cette étude a permis de conforter l’idée selon laquelle, une modélisation aussi sommaire qu’AM2 ne permettait pas de modéliser correctement le démarrage du méthaniseur considéré.

4.4.1.4 Modélisation des bactéries attachées et des bactéries en solution

Un des problèmes relatifs au modèle AM2 est qu’il ne permet pas de simuler de façon différenciée les populations de bactéries libres et les populations de bactéries attachées. Or cela peut s’avérer intéressant pour l’identification car il est plus facile d’accéder à des mesures de concentrations de biomasse en solution que de biomasse attachée. De plus, les bactéries en solution et les bactéries attachées entrent en compétition pour consommer le substrat nécessaire à leur métabolisme et les bactéries en solution vont être lessivées si le débit d’alimentation est fort, tandis que les bactéries attachées non. En d’autres termes, scinder la population bactérienne en deux est d’un grand intérêt pour l’optimisation du démarrage qui consistera vraisemblablement à trouver un compromis entre des effets hydrodynamiques (essentiellement sur les bactéries en solution) et des effets liés au métabolisme des bactéries attachées.

Dans les bioréacteurs une partie des bactéries attachées au biofilm se détachent de celui-ci pour aller coloniser d’autres parties du réacteur. Une partie des bactéries attachées se détachent donc pour rejoindre les bactéries en solution. Nous avons donc ajouté un coefficient de détachement qui permet aux bactéries attachées de passer à la population détachée.

Le détachement peut aussi provenir de conditions hydrodynamiques. En effet, un fort débit peut arracher certaines bactéries du biofilm et les faire passer dans la solution. Ainsi, en plus d’être fonction du nombre de bactéries le détachement est aussi proportionnel au débit.

Il faut savoir que le bioréacteur est soumis à deux débits. Le premier est lié à l’entrée qui amène du nouveau substrat à épurer. Ce débit peut être variable et reste généralement assez faible, de l’ordre de 22L/h au maximum. Le second est lié au circuit de recirculation de la solution présente dans le bioréacteur qui assure le mélangeage de la solution et permet une meilleure assimilation du substrat par les bactéries. Ce débit, constant, est beaucoup plus important puisqu’il vaut environ 600L/h, mais n’intervient pas directement dans le bilan matière sur le réacteur, puisqu’il est réinjecté à 100%.

Nous avons finalement décidé de modéliser le détachement comme étant proportionnel, à la concentration de bactéries attachées, et à la somme des débits d’entrée et de recirculation. Le détachement reste donc principalement variant par rapport à la concentration de bactéries. Le débit d’entrée n’influe réellement sur le détachement que s’il devient suffisamment important par rapport au débit de recirculation. Ceci assure aussi un détachement, dans le cas où le débit d’alimentation serait

nul, ce qui correspond mieux à la réalité biologique. reacteur

ionrecirculationrecirculattot V

QDDDD +=+=

Des études biologiques ont par ailleurs montrées que lorsque les bactéries attachées forment un biofilm épais, le substrat n’atteint plus aussi bien les bactéries à l’intérieur du biofilm que les bactéries de la surface externe du biofilm. La croissance des bactéries à l’intérieur du biofilm peut donc être inhibée par la concentration de bactéries attachées. En se basant sur les travaux de [17] nous avons inclut ce phénomène dans notre modèle, de façon macroscopique, en considérant une inhibition de la croissance de toutes les bactéries attachées, handicapées au niveau de la concentration bactérienne par une puissance comprise entre 0 et 1.

32

Page 33: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

Ainsi en considérant la croissance des bactéries attachées comme avec . On peut

reformuler cette expression de la façon suivante

PcriAi X⋅μ 01 >> crP

iAi X⋅'μ avec PcriA

ii X −= 1'

μμ . L’inhibition de la

croissance par la concentration des bactéries attachées apparaît alors explicitement car 01 >− crP Le modèle dynamique que nous avons obtenu est alors le suivant :

( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

++++−−=

+−++−=

+−−=

+−=

−=

+−=

−=

DPcrAD

PcrACOCCinC

DPcrAD

PcrAin

DPcrAin

AtotADD

AAPcrAA

AtotADD

AAPcrAA

XXkXXkqCCDC

XXkXXkSSDS

XXkSSDS

XDkXDX

DXkXX

XDkXDX

DXkXX

22251114

22231112222

1111111

2222

2222

1111

1111

2

μμ

μμ

μ

μ

μ

μ

μ

&

&

&

&

&

&

&

)

)

Les chercheurs de l’INRA s’intéressant de près à l’évolution des bactéries en solution un second

modèle un peu plus complexe a été développé. Il permet de distinguer les bactéries en solution qui se sont détachées du biofilm et qui se reproduisent (les bactéries détachées), des bactéries qui sont issues des bactéries originellement en solution au démarrage du bioréacteur (bactéries libres).

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

+−=

iLiiL

iAtotAiDiiD

XDX

XDkXDX

μ

μ&

&

Ainsi nous avons obtenu le modèle général suivant :

( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

++++++−−=

++−+++−=

++−−=

−=

+−=

−=

−=

+−=

−=

LDPcrALD

PcrACOCCinC

LDPcrALD

PcrAin

LDPcrAin

LL

AtotADD

AAPcrAA

LL

AtotADD

AAPcrAA

XXXkXXXkqCCDC

XXXkXXXkSSDS

XXXkSSDS

XDX

XDkXDXDXkXX

XDX

XDkXDXDXkXX

2222511114

2222311112222

11111111

222

2222

2222

111

1111

1111

2

μμ

μμ

μ

μ

μ

μ

μ

μ

μ

&

&

&

&

&

&

&

&

&

On peut voir sur la figure 8.[A.19.] que différencier les bactéries en solution permet de faire

apparaître deux comportements complètement différents. Les bactéries libres initialement très nombreuses dans la solution sont au cours du temps lessivées car leur taux de croissance est plus faible que la vitesse de lessivage à taux de dilution maximal. Les bactéries détachées elles n’existent pas au démarrage. Leur développement suit proportionnellement l’évolution des bactéries attachées. Le détachement toujours présent leur permet de croître sans quoi elles seraient entièrement lessivées comme les bactéries libres.

33

Page 34: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

4.4.1.5 Introduction de l’hydrogène 4.4.1.5.1 Production de l’hydrogène

Comme on peut le lire dans [3] et [7] : lors de l’acétogénèse, une partie des bactéries acétogènes (les productrices obligées d’hydrogène) produisent de l’hydrogène pendant la dégradation de l’éthanol en acétate selon la réaction chimique : +− ++↔+ HHCOOCHOHCOOHCH 2323 2

L’hydrogène produit est réutilisé par une autre espèce de bactéries acétogènes (les bactéries homoacétogènes) qui le convertissent en acétate selon l’équation chimique suivante. . Cette espèce bactérienne est cependant minoritaire dans les bioréacteurs. L’hydrogène est aussi réutilisé par les bactéries méthanogènes hydrogénophiles pour produire du méthane selon l’équation chimique suivante :

OHCOOCHHHHCO 2323 442 +↔++ −+−

OHCHHHHCO 2423 342 +↔++ +−

Cependant, l’hydrogène produit n’est pas réutilisé en entier car des mesures expérimentales ont montré sa présence, certes limité mais vraisemblable, dans le gaz en sortie du réacteur.

Dans notre modèle toutes les bactéries acidogènes et acétogènes sont regroupées sous la famille et décliné en , et selon que ces bactéries soient attachées, détachées ou libres. On

ajoute donc une production d’hydrogène sur ces bactéries acido-acétogènes sous la forme : 1X AX1 DX1 LX1

( )LDPcrAH XXXkH 111122 ++= μ

Avec la constante de rendement de production d’hydrogène. L’hydrogène présent dans la phase liquide passe en phase gazeuse par un transfert qui dépend du coefficient (transfert liquide gazeux). On considérera en première approximation que ce transfert est proportionnel, c'est-à-dire que la quantité d’hydrogène en phase gazeuse est proportionnelle à la concentration de l’hydrogène en phase liquide.

02 >Hk0>akL

Ainsi ( )LDPcrA XXXkH 111172 ++= μ avec 027 >×= HL kakk .

N’ayant pas d’idée précise des valeurs de pour l’hydrogène et pas non plus pour et disposant de données portant sur la quantité d’hydrogène sous forme gazeuse, on entreprendra lors de l’identification de déterminer uniquement la valeur de .

akL 2Hk

7kOn propose de déterminer dans la même unité que , en 2H 4CH [ ]11 −− ⋅⋅ jLmmol Ainsi, s’exprime en 7k [ ]1−⋅mmolg

Afin de connaître le débit en [ ]1−⋅ jL on a la relation 1000

22

reacteurMolaireH

VVHQ

⋅⋅=

4.4.1.5.2 Inhibition par l’hydrogène Dans ces mêmes documents, [3] et [7], on peut voir que la production d’acétate par les bactéries

productrices obligées d’hydrogènes (qui sont majoritaires dans les bioréacteurs) se fait beaucoup mieux si la concentration d’hydrogène est faible. En effet, on peut voir dans [3] que pour que la thermodynamique de la réaction chimique soit favorable il faut que la concentration d’hydrogène soit faible. En accord avec la réaction chimique équilibrée, on voit qu’une concentration élevée de déjà présente en solution, empêche la production d’acétate. L’une des conséquences principales de cette inhibition est que les bactéries produisent moins d’énergie, et donc se développent moins rapidement. Leur taux de croissance est donc ralenti.

2H

Cette inhibition par l’hydrogène se portant principalement sur l’acétogénèse, nous l’introduisons donc dans notre modèle au niveau du développement des bactéries , et , c'est-à-dire sur leur taux de croissance

AX1 DX1 LX1

1μ . Le modèle ADM1 et les biologistes de l’INRA sont d’accord sur la formulation de l’inhibition. Cette inhibition est non compétitive et s’appuie sur une inhibition de la

34

Page 35: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

forme

2

22

1

1

IH

H

KH

I+

= avec la constante d’inhibition. On obtient donc le taux de

croissance acido-acétogène inhibé suivant :

02 >IHK

211

1max11 H

S

IKSS

×+

μ soit

2

211

1max11

1

1

IH

S

KHKS

S

+=

μμ

4.4.2 Identification des paramètres du modèle Une fois qu’on a spécifié la structure du modèle, il est nécessaire d’utiliser des données

expérimentales pour faire une identification paramétrique des constantes du modèle dynamique.

4.4.2.1 Utilisation des données expérimentales Afin de procéder à l’identification des nouveaux paramètres du modèle nous avons utilisé des

données expérimentales de démarrage du bioréacteur anaérobie de l’INRA de Narbonne. Un seul des jeux de données expérimentales qui nous ont été fournis s’est révélé réellement utilisable.

Celui-ci est un essai de démarrage du bioréacteur de novembre à décembre 2007. La stratégie de montée en charge est la suivante. Le taux de dilution est fixé au maximum à et la concentration totale en substrat débute à et atteint au bout de 26 jours en augmentant de façon exponentielle. Les variables du modèle sont alors déterminées à partir des variables mesurées. Bien souvent les mesures obtenues ne sont pas directement des variables exprimés dans la même unité que dans le modèle. Il a donc fallu transformer les données expérimentales pour pouvoir les comparer aux variables du modèle. Le détail complet de la mise en forme des données expérimentales est donné dans l’annexe

-11j10 −⋅ LgCOD

120 −⋅ LgCOD

8.[A.20.]. Le profil des entrées est donné sur la figure 8.[A.21.].

4.4.2.2 Définition du problème d’identification Le critère pour l’identification des paramètres du modèle a bien évidemment été défini comme la

distance aux données expérimentales disponibles. Disposer de plus de données aurait certainement permis de pousser l’identification plus loin, mais l’instrumentation reste un problème général sur de tels réacteurs : mesurer une quantité de matière vivante est complexe et ne peut se faire en ligne, comme les données physico-chimiques courantes (température, pression, pH).

Dans un premier temps on identifie avec un premier jeu de paramètres les concentrations bactériennes, les concentrations en substrat, le débit d’hydrogène et le débit de méthane. Ensuite, on identifie avec un nouveau jeu de paramètres la concentration en carbone inorganique, l’alcalinité totale et le débit de dioxyde de carbone.

L’identification peut en effet être scindée en deux parties, ce qui allège la difficulté que présente une identification exhaustive. En effet, la concentration en carbone inorganique, l’alcalinité totale et le débit de dioxyde de carbone ne modifient ni la concentration en bactéries ni les concentrations en substrat, ni le débit d’hydrogène. On peut faire une remarque identique avec le débit de méthane. Cependant, le fait d’identifier la production de méthane en même temps que les populations bactériennes méthanogènes, permet de guider l’identification de cette population bactérienne. Cette séparation a aussi été réalisée dans ce sens car l’objectif était d’identifier la biomasse, le substrat, le méthane et l’hydrogène, la connaissance des autres variables étant moins pertinentes.

Il s’agit donc à chaque fois d’une identification multi objectif. Afin de pouvoir utiliser des algorithmes de minimisation de critère il a fallut normer le degré de corrélation de chaque variable. Pour cela un facteur de dissemblance a été introduit. Il caractérise en pourcentage le degré d’écart entre les données de l’objet (données expérimentales) et les données du modèle (données obtenues en simulation) :

OO

OM

YYYY

nce dissemblaFacteur de−

−×=100

35

Page 36: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

Avec :

MY : les données issues de la simulation (Modèle)

OY : les données issues de l’expérimentation (Objet)

OY : la valeur moyenne des données issues de l’expérimentation (Objet)

L’utilisation d’un algorithme d’optimisation multi objectifs permet de faire varier les paramètres du modèle pour minimiser le facteur de dissemblance de chaque variable. Pour cela on utilise la fonction fgoalattain de la toolbox d’optimisation de Matlab.

Des tests avec des jeux de paramètres ont montré qu’il est impossible de faire converger toutes les variables avec le même degré de précision. Pour contourner ce problème, et obtenir le meilleur jeu de paramètres possible, on définit pour chaque variable un facteur de dissemblance objectif à atteindre basé sur ce qui a pu être observé. Par exemple, la dynamique des bactéries en solution est moins bien modélisée que la dynamique du substrat méthanogène. Il convient donc de souhaiter une moins grande précision sur la modélisation de la première variable que sur la seconde. Ceci permet de guider l’algorithme de minimisation.

Afin de faire converger l’identification et obtenir une bonne prédiction des mesures expérimentales finales, des contraintes finales sont ajoutées. Ceci permet de trouver un compromis entre qualité de prédiction pendant le transitoire et à l’instant final.

Les valeurs affectées aux contraintes à temps finales sont basées sur la précision qu’on peut souhaiter et ce qui semblait pouvoir être obtenu de façon raisonnable.

Problème d’identification 1 : biomasse, substrat, méthane, hydrogène Dans ce premier cas, les variables du modèle qui sont mesurables expérimentalement, ou bien

qu’il est possible de reconstituer sont les suivantes : - la concentration du substrat acidogène ( )tS1 - la concentration du substrat méthanogène ( )tS2 - la concentration totale de bactéries en solution

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tXtXtXtXtV LLDDSS 2121 +++= - le débit de méthane ( )tQCH 4

- le débit d’hydrogène ( )tQH 2

- la concentration finale des bactéries attachées ( ) ( ) ( )fAfAfA tXtXtX 21 += L’objectif a donc été d’approcher de façon générale les courbes des 5 variables

mesurables , , , ( )tS1 ( )tS2 ( )tVSS ( )tQCH 4 , ( )tQH 2 et d’arriver au temps final au plus près de la valeur de la variable ( )fA tX .

- L’écart objet modèle à temps final pour les bactéries en solution est inférieur à 20% : - L’écart objet modèle à temps final pour les bactéries attachées est inférieur à 10% : - L’écart objet modèle à temps final pour le substrat acidogène est inférieur à 10% : - L’écart objet modèle à temps final pour le substrat méthanogène est inférieur à 10% : - L’écart objet modèle à temps final pour le débit de méthane est inférieur à 10% - L’écart objet modèle à temps final pour le débit d’hydrogène est inférieur à 10%

Le problème se formalise alors ainsi :

36

Page 37: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

−=

−=

−=

−=

−=

exp2exp2

2exp25

exp4exp4

4exp44

expexp

exp3

exp2exp2

2exp22

exp1exp1

1exp11

min

HH

simHH

CHCH

simCHCH

SSSS

SSsimSS

sim

sim

QQ

QQF

QQ

QQF

VV

VVF

SS

SSF

SS

SSF

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

≤−

≤−

≤−

≤−

≤−

≤−

=

%10

%10

%10

%10

%20

%10

,

,..

exp_2

2exp_2

exp_4

4exp_4

exp_2

2exp_2

exp_1

1exp_1

exp_

exp_

exp_

exp_

tfQtfQtfQ

tfQtfQtfQ

tfStfStfS

tfStfStfS

tfVtfVtfV

tfXtfXtfX

tfutfT

uFcs

H

HH

CH

CHCH

SS

SSSS

A

AA

ξ

ξξ&

Avec le jeu de paramètres suivant à identifier : [ ]276321max2max1 IHcrA KkkkkkPk μμ

Problème d’identification 2 : Carbone, Alcalinité totale, CO2 Dans ce deuxième cas, les variables expérimentales utilisées pour l’identification sont les

suivantes : - la concentration en carbone inorganique ( )tCC

- l’alcalinité totale ( )tZ- le débit de dioxyde de carbone ( )tCCO2

L’objectif a donc été d’approcher de façon générale les courbes des 3 variables mesurables ( )tCC ,

, . ( )tZ ( )tCCO2

- L’écart objet modèle à temps final pour les bactéries en solution est inférieur à 20% : - L’écart objet modèle à temps final pour le carbone inorganique est inférieur à 10% : - L’écart objet modèle à temps final pour l’alcalinité totale est inférieur à 10% : - L’écart objet modèle à temps final pour le CO2 est inférieur à 10% :

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ⎟

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

−=

−=

−=

expexp

exp3

exp2exp2

2exp22

exp1exp1

1exp11

min

SSSS

SSsimSS

sim

sim

VnV

nVnVF

SnS

nSnSF

SnS

nSnSF

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

≤−

≤−

≤−

=

%10

%20

%10

,

,

..

exp_2

2exp_2

exp_

exp_

exp_

exp_

tfQtfQtfQ

tfCtfCtfC

tfZtfZtfZ

tfutfT

uF

cs

CO

COCO

C

CCξ

ξξ&

37

Page 38: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

Avec le jeu de paramètres suivant à identifier : [ ]54 kkakL

4.4.2.3 Résultats d’identification De très nombreux essais d’identification ont été réalisés au cours de ce projet. Nous présenterons

ici les meilleurs résultats d’identification obtenus à la fin du projet et qui sont considérés comme étant les plus pertinents. Cependant, de nombreuses évolutions au niveau du modèle, l’utilisation d’une quantité plus importante de données, le choix d’identifier plus ou moins de paramètres, ont augmenté le temps consacré à l’identification.

La figure 8.[A.22.] également présenté ci-dessous, présente les variables simulés en bleu et les

variables à identifier en vert du premier problème d’identification.

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

Temps en jours

S1

en g

/L

Concentration du substrat S1

S1 simulé AM2 modifiéS1 expérimental

0 5 10 15 20 25 300

50

100

Temps en jours

S2

en m

mol

/L

Concentration du substrat S2

S2 simulé AM2 modifiéS2 expérimental

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3Concentration des bactéries libres VSS

Temps en jours

VS

S e

n g/

L

VSS simulé AM2 modifiéVSS expérimental

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4Concentration des bactéries attachées

Temps en jours

XA

en

g/L

XA simulé AM2 modifiéXAtf expérimental

0 5 10 15 20 25 300

500

1000

1500

Temps en jours

Qch

4 en

L/j

Débit de méthane

Qch4 simulé AM2 modifiéQch4 expérimental

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

Temps en jours

H2

en L

/j

Débit d'hydrogène

H2 simulé AM2 modifiéH2 expérimental

On voit que le débit de méthane et le substrat méthanogène sont bien modélisés et suivent bien la

progression expérimentale. De même, la concentration des bactéries attachées à la fin de la simulation est très proche de sa valeur expérimentale.

Au niveau des bactéries en solution on voit qu’on suit la tendance générale, un lessivage au départ puis une croissance due à l’augmentation des bactéries attachées qui se détachent pour obtenir in fine une valeur proche de la valeur expérimentale. Cependant, on voit qu’il existe des dynamiques transitoires qui ne peuvent pas être modélisées avec ce modèle. Il faut cependant considérer que la précision de la mesure sur ces bactéries en solution n’est pas connue mais est faible ce qui explique aussi que le modèle suive assez mal les données expérimentales.

Le substrat méthanogène présente une surestimation qui n’a pas pu être diminuée sans diminuer la précision des autres variables modélisés. De plus si on diminue cette surestimation, la qualité de l’estimation de la valeur finale atteinte en fin de simulation décroît.

L’introduction de l’hydrogène dans le modèle a permis cependant d’améliorer la modélisation de ce dernier substrat.

La figure 8.[A.23.] présente les variables simulés en bleu et les variables à identifier en vert du

second problème d’identification.

38

Page 39: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

.

La modélisation de la concentration en carbone inorganique total et de l’alcalinité totale semble très correcte. Le débit de carbone quand a lui est bon sur la première partie de la simulation mais se dégrade au fur et à mesure. Il y a une surestimation de la croissance du débit de dioxyde de carbone. En fin de simulation on voit qu’il y a un arrêt de la croissance de ce débit qui n’est pas observé en pratique.

Les valeurs finales des paramètres qui ont été identifiés sont reportées dans le tableau 8.[A.24.]Une comparaison avec le modèle AM2 initial 8.[A.25.] montre que les paramètres identifiés

permettent de faire une bien meilleure estimation des variables modélisées. En appliquant ces paramètres au modèle AM2 on s’aperçoit que le travail de modélisation a permis d’améliorer la dynamique du système 8.[A.26.] puisque les résultats avec notre modèle semblent meilleurs et permettent de modéliser un plus grand nombre de variables.

4.4.2.3.1 Robustesse du modèle Une des grandes incertitudes du modèle concerne les conditions initiales en concentration de

bactéries attachées. S’il est connu que cette valeur est très faible, elle doit cependant être non nulle pour que la reproduction bactérienne puisse être activée. Nous avons donc caractérisé la robustesse du modèle à cette incertitude. D’un commun accord avec les chercheurs de l’INRA, la condition initiale utilisée pour l’identification a été de 0.001g/L de bactérie attachée pour chacune des deux types de bactéries. Une fois l’identification terminée nous avons testé la robustesse de prévision du modèle avec des conditions initiales différentes. Les résultats obtenus montrent que pour des valeurs initiales comprises entre 0.1g/L et 10-7g/L le modèle permet de modéliser très correctement les variables à identifier. Assurément, les valeurs initiales réelles se situent dans cette fourchette de valeur, ce qui montre la robustesse de notre modèle à cette forte incertitude de modélisation.

4.4.2.4 Conclusion Les résultats obtenus dans cette partie ont été avalisés par les biologistes de l’INRA comme

pouvant décrire correctement le fonctionnement du bioréacteur anaérobie. Il accroît l’estimation de la biomasse pendant les phases transitoires du démarrage du bioréacteur. L’ajout de l’hydrogène ouvre des perspectives nouvelles, notamment pour la réalisation d’autres projets sur le domaine. Cependant, le risque à vouloir intégrer trop d’effets et de nouvelles variables d’état autour d’AM2 ou d’une version modifiée, serait d’au final, de reconstruire un modèle comparable (en taille) à ADM1, ce qui n’est pas le but.

Cette première partie permet donc de déterminer un modèle suffisamment fiable sur lequel s’appuyer pour faire de l’optimisation et du contrôle.

4.4.3 Recherche de profils de commande optimaux 4.4.3.1 Recherche analytique d’arcs singuliers

Le travail d’optimisation analytique consistait à rechercher les arcs singuliers du modèle AM2. Ce travail a été réalisé sur le modèle initial parce qu’il est intervenu avant le travail de modélisation et que les modèles améliorés découlant du modèle AM2 initial commencent à devenir trop complexes pour envisager une résolution analytique de ce type. On se rendra compte par la suite que le modèle AM2 est déjà suffisamment complexe pour ce genre d’analyse mathématique.

4.4.3.1.1 Définition du problème d’optimisation Objectif :

On désire minimiser le temps de démarrage du processus. Le temps de démarrage est atteint quand la charge volumique appliquée est égale à la consigne qu’on s’est fixé, généralement, quand elle est maximale et que les contraintes à temps final sont respectées (rendement épuratoire) en régime établi.

ft

39

Page 40: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

Variable manipulée

La variable manipulée est donc soit : - le taux de dilution donc uD = - la concentration du substrat uS in =2 - la concentration du substrat uS in =1 - la concentration du substrat total uSTin =

Contraintes Différentes contraintes seront appliquées au système, mais pour la recherche d’arcs singuliers, les

contraintes n’entrent pas en ligne de compte. Celles-ci seront abordées lors de l’optimisation numérique.

Modèle simplifié On peut simplifier le modèle AM2 car l’alcalinité totale Z et la concentration totale de carbone

inorganique n’influent pas sur le problème d’optimisation et n’influent pas les autres états. On obtient alors le modèle simplifié :

CC

[ ][ ]( )( )⎪

⎪⎪

−+−=

−−=

−=

−=

223112222

111111

222

111

XkXkSSDS

XkSSDS

XDX

XDX

in

in

μμ

μ

αμ

αμ

&

&

&

&

11

1max11 avec

SKSS+

= μμ

2

22

22

2max22 avec

IS K

SKS

S

++= μμ

4.4.3.1.2 Quelques exemples de résultats Différents exemples ont été traités.

Le premier exemple concerne la recherche d’arcs singuliers dans un système où les concentrations d’entrée sont constantes et où la variable manipulée est le taux de dilution. L’expression obtenue est très compliquée et pour déterminer la commande ( )tD optimale il est nécessaire de faire une intégration numérique. Cet arc singulier n’est pas utilisable en pratique car beaucoup trop complexe. Cependant cela prouve mathématiquement qu’il existe bel et bien un arc singulier dans le domaine de faisabilité du système.

Le second exemple concerne la recherche d’arcs singuliers dans un système où le taux de dilution et la concentration d’entrée du substrat méthanogène sont constants. La variable manipulée est alors la concentration en substrat acidogène. Le résultat de ce calcul démontre mathématiquement qu’il n’y a pas d’arc singulier associé à cette commande. Cela signifie que si l’on désire faire de l’optimisation il n’y aura pas d’autre arc que des arcs définis par le respect de contraintes de chemin (s’ils existent) dans le domaine de faisabilité et que donc la structure de la commande optimale ne dépendra que des contraintes. Par exemple, si on souhaite favoriser la croissance de la biomasse, il faut maximiser la concentration du substrat acidogène. C’est donc la contrainte de l’actionneur déterminant la concentration maximale de ce substrat qui sera activée. Ce résultat s’explique par le fait que les bactéries acidogènes possèdent un taux de croissance strictement croissant en fonction du substrat acidogène. Ainsi plus ces bactéries sont nourries, plus elles se développent rapidement, comme on peut le voir sur la figure 8.[A.15.]. Cependant, cette étude reste assez théorique car en réalité on ne peut pas contrôler uniquement la concentration du substrat acidogène en conservant une concentration de substrat méthanogène constant.

40

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Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

ne fixe.

Le troisième exemple concerne la recherche d’arcs singuliers dans un système où le taux de dilution et la concentration en substrat acidogène sont constants. La variable manipulée est alors la concentration en substrat méthanogène. Aucun arc singulier n’a pu être obtenu. Ce résultat s’explique par le fait que le substrat méthanogène ne permet pas à lui seul de commander le système. En effet, en agissant uniquement sur cette concentration on ne peut pas agir sur les bactéries acidogènes, ni sur le substrat acidogène.

Une autre approche consiste à déterminer quelle est la concentration optimale pour la croissance des bactéries méthanogènes. En effet, le taux de croissance de cette population bactérienne varie fortement, non linéairement, en fonction du substrat méthanogène. Le taux de croissance commence par évoluer de façon strictement croissante avant d’atteindre un maximum au alentour de 50mmol/L avant de diminuer à cause de l’inhibition par le substrat comme on peut le voir sur la figure 8.[A.16.]. Il y a donc une valeur optimale de concentration en substrat méthanogène pour nourrir les bactéries. Ce résultat reste aussi assez théorique car en pratique on ne peut pas contrôler la concentration du substrat méthanogène en conservant une concentration acidogè

Le quatrième exemple concerne la recherche d’arcs singuliers dans un système où le taux de

dilution est constant. La variable manipulée est la concentration en substrat total qui contient une fraction fixe de substrat acidogène et une fraction fixe de substrat méthanogène. Cette manière de concevoir l’alimentation en substrat est plus proche de la réalité en ce sens où il est impossible de contrôler de façon indépendante la proportion de substrat acidogène et la proportion de substrat méthanogène. La proportion est fixe et dépend du type d’effluent que l’on traite (vinasse, laiterie…). L’alimentation se fait expérimentalement avec le contrôle de la concentration du substrat total. Le résultat de ce calcul est plus simple que celui obtenu en contrôlant le taux de dilution mais reste trop compliqué pour pouvoir être utilisé numériquement. L’expression obtenue dépend de la concentration totale ainsi que de sa dérivée première par rapport au temps. Il faudrait donc ici aussi intégrer cette équation pour obtenir l’arc singulier. Ainsi, suivre cet arc au moyen d’un contrôleur durant un ou plusieurs intervalles correctement choisis, permettrait d’assurer le respect des différents compromis du système. C’est en effet la vocation des arcs singuliers. Même si ce résultat n’est pas exploitable en pratique il démontre qu’il existe mathématiquement un arc singulier au niveau de l’alimentation totale en substrat à l’intérieur du domaine de faisabilité du système.

4.4.3.1.3 Conclusion sur l’optimisation analytique

Le travail d’optimisation a permis de démontrer mathématiquement l’existence ou l’inexistence d’arcs singuliers dans le système selon la variable qu’on décide d’utiliser pour contrôler le système. Cependant ces résultats mathématiques, de part leur complexité ne permettent pas une utilisation pratique lors de l’optimisation numérique. Ils justifient cependant l’existence de trajectoires de commande optimale pendant la montée en charge.

4.4.3.2 Optimisation numérique Après le travail d’optimisation analytique et la phase de modélisation, le travail d’optimisation

numérique peut débuter. En effet, le travail d’optimisation doit se faire à partir d’un modèle mathématique, donc il est nécessaire d’avoir un modèle le plus précis possible. De plus, en théorie les arcs singuliers déterminés lors de l’optimisation analytique doivent servir à définir la structure du profil optimal de commande. Cependant, en pratique, les résultats des calculs d’arcs singuliers étant extrêmement complexes, il n’est pas vraiment possible de les intégrer à la structure de la commande.

4.4.3.2.1 Définition du problème d’optimisation numérique Objectif :

On désire minimiser le temps de démarrage du processus. Le temps de démarrage est atteint quand la charge volumique appliquée est égale à la consigne qu’on s’est fixé, généralement, quand elle

ft

41

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est maximale et que les contraintes à temps final sont respectées (rendement épuratoire) en régime établi.

Variables manipulées Les variables manipulables sont le taux de dilution et la concentration totale d’entrée du substrat.

Pour l’optimisation nous essayerons successivement de jouer d’abord tour à tour sur chacune de ses deux variables puis sur les deux en même temps.

- le taux de dilution donc ( ) ( )tDtu = et ( ) ctetSTin =

- la concentration du substrat total donc ( ) ( )tStu Tin= et ( ) ctetD =

- les deux variables en même temps donc ( ) ( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡=

tStD

tuTin

Contraintes de chemin Le système est contraint par les actionneurs, du système, c'est-à-dire par la commande choisie

maximale et la commande minimale, c'est-à-dire ( ) MAXMin utuu ≤≤ , ce qui signifie que : et que ( ) MAXTinTinMiINTin StSS ≤≤ ( ) MAXMiIN DtDD ≤≤

Avec : , , , 11.0 −⋅= LgS CODMiINTin120 −⋅= LgS CODMiAXTin

10 −= jDMiIN11 −= jDMiAX

Ces valeurs sont les valeurs limites applicables des actionneurs du système, fournis par le LBE de l’INRA.

On désire pendant le démarrage toujours conserver un rendement épuratoire supérieur à 50% donc :

[ ]( ) [ ]( )

[ ]( ) %501

11

.

.. ≥−

−−

tfS

tfStfS

LgCODTin

LgCODTLgCODTin . La valeur de cette contrainte a été définie en accord avec

les chercheurs de l’INRA, non pas comme une contrainte règlementaire à respecter mais comme une valeur minimale qui permette lors de l’optimisation de ne pas pousser le système numérique dans des conditions trop radicales qui pourraient ne pas faire fonctionner en pratique le bioréacteur.

Contraintes à temps final A la fin du démarrage on désire que certains objectifs fixés soit

On désire obtenir au temps final : ft

• Un rendement épuratoire supérieur à 80% donc [ ]( ) [ ]( )

[ ]( ) %801

11

.

.. ≥−

−−

tfS

tfStfS

LgCODTin

LgCODTLgCODTin

La valeur du rendement épuratoire finale a été définie en accord avec les chercheurs de l’INRA et des expérimentations qui ont eu lieu sur le bioréacteur et qui ont montré que le système en régime établi avait un rendement épuratoire supérieur à 80%. C’est aussi une des contraintes que doit respecter le bioréacteur lorsqu’il est utilisé à des fins commerciales pour traiter des effluents industriels. En effet, un rendement élevé assure que les rejets en sortie de méthaniseur peuvent être envoyés dans le milieu naturel ou dans le réseau d’eau, avec une dépollution efficace. Garantir ce rendement durant le démarrage permet de diminuer la pollution qui pourrait apparaître, compte tenu de la difficulté de monter en charge et de stabiliser ces installations.

• Une charge volumique appliquée maximale égale à la consigne : ( ) ( ) ( ) refTinrefTinref SDtfStfDCVAtfCVA ×=×⇔=

Avec Cette consigne a été fixée à cette valeur car elle correspond à la valeur maximale de CVA qu’il est possible de fournir au système ainsi qu’à la valeur qui est utilisée en régime continu par l’INRA. La concentration maximale en substrat d’entrée étant de

et le taux de dilution maximal applicable étant de . En effet, pour rendre l’exploitation du

1120 −− ⋅⋅= jLgCVA CODref

120 −⋅ LgCOD11 −j

42

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méthaniseur, le meilleur possible, il faut que celui-ci puisse traiter le maximum de déchets, aux débits les plus intéressants.

Formalisation du problème Le problème d’optimisation numérique décrit ci-dessus, se formalise de la façon suivante :

( )( )

( )( )

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

≤≤≤≤

=

%80

20

%50

,,..

min,

f

f

MAXTinTinMiINTin

MAXMiIN

fSTinD

t

tCVA

tStSS

DtDDutxFx

cs

t

ηη

&

4.4.3.2.2 Procédure d’optimisation numérique A partir de la définition de l’objectif à atteindre et des contraintes à respecter on définit une

structure de commande en boucle ouverte qu’on souhaite optimiser. On paramètre ensuite l’amplitude de la commande sur différents intervalles temporels. L’utilisation d’un optimiseur numérique permet ensuite, grâce à des algorithmes d’optimisation, de déterminer la longueur des intervalles temporels ainsi que les amplitudes des commandes sur chacun de ces intervalles. Le choix de la structure est alors déterminant pour les résultats de l’optimisation. Une mauvaise structure même optimisée peut se révéler bien moins bonne qu’une structure différente non optimisée. De la même façon, pour une paramétrisation du vecteur d’entrée choisie, on obtient sous réserve de convergence, la meilleure commande correspondant à cette paramétrisation. Ces résultats ne doivent pas occulter que l’optimisation d’un vecteur de commande paramétré différemment pourrait conduire à de meilleurs résultats.

Généralement les structures de commandes optimales sont composées de phases où la commande atteint ses limites maximales ou minimales, de phases où la commande permet de faire un compromis entre différents objectifs ou contraintes, et de phases où la commande permet d’atteindre certaines contraintes. Il y a donc des phases durant laquelle la commande est constante et des phases durant laquelle la commande suit des trajectoires sous forme d’arcs singuliers qui traduisent généralement des compromis.

Afin de procéder à l’optimisation numérique de la commande du système, nous avons développé des fichiers Matlab qui utilisent la fonction fmincon de la toolbox d’optimisation de Matlab. Cette fonction permet de faire de l’optimisation multi variables d’une fonction objective scalaire sous des contraintes non linéaires. Trois types de structures ont été essayés, une structure constante par morceaux, une structure linéaire par morceaux et une structure avec une transition exponentielle. Pour chacune de ces structures de commande il a été essayé de commander le système soit uniquement avec le taux de dilution, soit uniquement avec la concentration en substrat, soit en jouant sur les deux commandes à la fois.

De même que pour les travaux d’identification, de très nombreux essais d’optimisation numérique ont été effectués. Nous ne présenterons ici que les essais les plus pertinents.

Optimisation constante par morceaux La première des structures de commande que nous avons essayée est une structure constante par

morceaux. Nous avons donc permis à l’optimiseur de déterminer la longueur de quatre intervalles temporels ainsi que l’amplitude constante sur chacun de ces intervalles.

La figure 8.[A.27.] présente le meilleur résultat qui a été obtenu avec une commande constante par morceaux au niveau de la concentration en substrat d’entrée et au niveau du taux de dilution. On voit que la concentration en substrat et le taux de dilution augmente de façon régulière. Au bout du 20ème jour, la concentration et le taux de dilution deviennent maximaux, ce qui amène la CVA au maximum. En comparaison avec le profil de commande expérimental 8.[A.21.] on voit que la phase de démarrage

43

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e de 11%.

est réduite de 10,5 jours. Le débit journalier de méthane pendant le démarrage est beaucoup plus important, de l’ordre de +42%. Le taux d’épuration au cours de cette durée est amélioré de 10%.

Optimisation linéaire par morceaux La deuxième des structures de commande que nous avons essayé est une structure linéaire par

morceaux. Nous avons ici permis à l’optimiseur de déterminer la longueur de quatre intervalles temporels ainsi que l’amplitude de début et de fin de la commande sur chacun des quatre intervalles. Une interpolation linéaire de la commande entre ses deux points permet d’obtenir une commande linéaire par morceaux. Le dernier intervalle est défini comme étant constant.

La figure 8.[A.28.] présente le meilleur résultat qui a été obtenu avec une commande linéaire par morceaux au niveau de la concentration en substrat d’entrée et au niveau du taux de dilution. On voit qu’il y a aussi trois phases principales qui apparaissent. Durant une première phase de 10,5 jours, la concentration et le taux de dilution sont constants et pas trop élevés permettant de conserver un rendement épuratoire suffisant. Ensuite le taux de dilution devient maximal alors que la concentration augmente jusqu’à atteindre le maximum le 18ème jour. En comparaison avec le profil de commande expérimental 8.[A.21.] on voit que la phase de démarrage est réduite de 10,6 jours. Le débit journalier de méthane pendant le démarrage est beaucoup plus important, de l’ordre de +43%. Le taux d’épuration moyen au cours de cette durée est amélioré en moyenn

Optimisation avec transition exponentielle La troisième des structures de commande que nous avons essayé est une structure avec une

transition exponentielle. Nous avons ici permis à l’optimiseur de déterminer la longueur de trois intervalles temporels ainsi que l’amplitude constante sur le premier intervalle, les paramètres de la montée exponentielle sur le deuxième intervalle et l’amplitude constante sur le troisième intervalle.

La figure 8.[A.29.] et la figure ci-dessous présente le meilleur résultat qui a été obtenu avec une commande avec transition exponentielle au niveau de la concentration en substrat d’entrée et au niveau du taux de dilution.

0 20 40 600

0.5

1

1.5

Temps en jours

D e

n /j

Taux de dilution D

D optD exp

0 20 40 600

5

10

15

20

Temps en jours

STi

n en

gC

OD

/L

Concentration en substrat

STin optSTin exp

0 20 40 600

5

10

15

20

Temps en jours

CV

A e

n /j

Charge Volumique Appliquée CVA

CVA optCVA exp

0 20 40 6020

40

60

80

100

Temps en jours

en %

Rendement épuratoire

REp optREp exp

0 20 40 600

1

2

3

4

Temps en jours

S1

en g

/L

Concentration du substrat S1

S1 optS1 exp

0 20 40 600

20

40

60

80

Temps en jours

S2

en m

mol

/L

Concentration du substrat S2

S2 optS2 exp

0 20 40 600

1000

2000

3000

Temps en jours

en L

/j

Débit de méthane

Qch4 optQch4 exp

0 20 40 600

1

2

3

Temps en jours

VS

S e

n g/

L

Concentration des bactéries libres VSS

VSS optVSS exp

0 20 40 600

5

10

15

Temps en jours

XA

en

g/L

Concentration des bactéries attachée XA

XA optXA exp

44

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ée 8.[A.33.].

On voit qu’il y a aussi trois phases principales. Durant une première phase de d’environ 1 jour, la concentration est conservée à un niveau élevé de 20gCOD/L Ceci permet de charger le réacteur en substrat pour favoriser le développement des bactéries. Ensuite, la concentration est ramené autours de 13gCOD/L et augmente exponentiellement jusqu’à atteindre son maximum aux alentours du 18ème jour. Le taux de dilution, permet de respecter un bon rendement épuratoire. Il démarre autours de 0,5/j et augmente exponentiellement jusqu’à 1/j. Ceci permet de respecter la contrainte sur le rendement épuratoire. En comparaison avec le profil de commande expérimental 8.[A.21.] on voit que la phase de démarrage est réduite d’environ 10,8 jours. Le débit journalier de méthane pendant le démarrage est beaucoup plus important, de l’ordre de +44%. Le taux d’épuration moyen au cours de cette durée est amélioré en moyenne de 13,7%.

Etude de sensibilité sur le profil optimal A partir du profil optimal avec transition exponentielle, une étude de sensibilité a été réalisée. Cette étude montre qu’une concentration initiale en substrat fait baisser de façon importante le rendement minimal atteint par le système pendant le démarrage 8.[A.30.]8.[A.31.]. On remarque aussi qu’en augmentant la concentration à traiter par le bioréacteur en régime permanent, cela nécessite d’adapter le profil optimal 8.[A.34.] et d’augmenter le temps de démarrage.8.[A.32.] La contrainte sur le rendement minimal à respecter influe très peu sur la durée du démarrage en lui-même mais modifie l’amplitude de la variation du taux de dilution et de la concentration en substrat d’entr

4.4.3.3 Conclusion sur les résultats d’optimisation numérique Il apparaît que ces différents profils présentés ici ainsi que les nombreux autres essais qui ont

amenés à ces résultats finaux, apportent une amélioration du démarrage du bioréacteur. En effet, on voit que de façon générale, on gagne environ dix jours par rapport à la méthode expérimentale. On voit cependant qu’un profil, continu, linéaire ou exponentiel n’apporte pas d’amélioration de la durée totale, les uns par rapport aux autres. Ils convergent tous vers une limite minimale de démarrage de l’ordre de 28 jours pour arriver à un rendement épuratoire de 80% à CVA maximale. Ceci est du au fait qu’il y a des contraintes à respecter et qu’il est impossible de faire croître ces bactéries plus vite en respectant ces contraintes. Cependant on voit que du profil constant au profil linéaire et du profil linéaire au profil exponentiel, on augmente le gain en termes de débit de méthane journalier ainsi que du taux d’épuration. Il est donc préférable d’utiliser le profil exponentiel qui permet pendant le démarrage, de mieux valoriser économiquement le bioréacteur par une plus forte production de méthane, et qui permet d’améliorer l’écologie du procédé par un meilleur rendement épuratoire.

4.4.4 Régulation pour l’optimisation Une autre approche de l’optimisation est de synthétiser un régulateur qui puisse contrôler le

système et d’optimiser ses performances pour rendre le démarrage le plus rapide possible.

4.4.4.1 Régulation PI du taux d’épuration avec le taux de dilution Synthèse du régulateur

La première approche qui a été essayée est une régulation de type proportionnelle intégrale du rendement épuratoire par une commande en taux de dilution. En effet, suite aux essais d’optimisation numérique il apparaît qu’au démarrage du bioréacteur, c’est la variation du taux de dilution qui influence le plus le rendement épuratoire. Or, en régime nominal, au départ, le rendement épuratoire diminue de façon significative avant de croître à nouveau pour atteindre un maximum. Le temps que met le rendement épuratoire pour atteindre une valeur supérieure à 80%, correspond au temps pendant lequel le bioréacteur ne respecte pas les contraintes industrielles. Parallèlement, si la contrainte est de 80%, il serait sous optimal de forcer le système à effectuer une épuration plus poussée puisque cela limiterait l’augmentation de la charge appliquée au réacteur (soit en débit, soit en concentration) et donc induirait une augmentation du temps de montée. Ainsi, il est intéressant de vérifier si contrôler le rendement épuratoire améliore le démarrage, et en même temps d’étudier la contrôlabilité du rendement.[22]

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On peut donc espérer qu’une régulation du rendement épuratoire soit possible par la manipulation

du taux de dilution : au travers de cette variable, on contrôle la charge totale appliquée au système, et pour une quantité de biomasse donnée, le rendement épuratoire. On synthétise donc un correcteur proportionnel intégral qui permet de faire cette régulation. D’après la définition du rendement épuratoire, réguler le rendement épuratoire pour une concentration de substrat d’entrée donnée, est équivalent à contrôler la concentration totale en substrat à l’intérieur du bioréacteur. La correction proportionnelle et intégrale se fait donc sur l’écart entre la consigne de substrat total

et la valeur réelle . On fixe en premier lieu la consigne pK iK TconsigneS

TS consη telle que ( ) consTinconsconsT SS η−= 1

La correction se fait autours du point de fonctionnement nominal 10 =D . On sait qu’au départ pour augmenter le rendement épuratoire il faut diminuer le taux de dilution donc si on

diminue . Les gains et sont donc positifs. On obtient donc la structure de régulation

suivante :

TconsigneT SS ≥

D pK iK

( ) ( )∫ −+−+= dtSSKSSKDD TTconsigneiTTconsignep0

Le taux de dilution appliquée au système est saturé à ses valeurs théoriques maximales et minimales : Si et si11 =⇒≥ DD 00 =⇒≤ DD .

Résultats de simulation Les figures 8.[A.35.] et 8.[A.36.] présentent un essai avec ce type de contrôleur avec les valeurs

suivantes et1=pK 1=iK . 4 phases principales se dégagent. Durant la première phase très courte du début, le rendement épuratoire est supérieur à 80% donc le taux de dilution reste maximal. Ensuite le taux de dilution passe par une phase transitoire qui permet de limiter la chute du rendement épuratoire. Le retour à 80% se fait en cinq jours. Ensuite, le système converge, par l’action du régulateur, vers un rendement épuratoire constant de 80%. Une fois que le taux de dilution arrive à sa valeur maximale de , donc à CVA maximale le rendement épuratoire tend doucement vers sa valeur maximale de 86%. Le temps de démarrage est donc estimé à 30 jours soit 2 de plus qu’avec un profil optimal mais 8 jours de moins qu’avec le profil expérimental. Le taux d’épuration pendant le démarrage est très proche de 80% ce qui est une amélioration très importante par rapport aux autres profils optimaux ou expérimentaux. Le débit de méthane moyen est très proche de celui obtenu avec le profil expérimental.

11 −j

Un biais positif sur le taux de dilution le 70ème jour montre que le système peut rejeter les perturbations constantes de la commande. La perturbation fait que le système n’atteint plus son rendement épuratoire maximal, mais reste à la consigne car la commande ne sature plus.

De plus, le régulateur semble assez robuste aux bruits de commande qui ont été ajoutés avec des amplitudes de l’ordre de ceux enregistrés en pratique. L’absence de terme dérivé dans le régulateur explique principalement cette robustesse.

4.4.4.2 Autre type de régulateur Au cours de cette étude, d’autres structures de régulateur ont été essayées. Citons entre autre

qu’une action dérivée 8.[A.37.] n’a pas apporté d’amélioration au niveau de la régulation, qu’un effet anti-windup 8.[A.38.] permet d’éliminer quasiment toute la saturation mais ralentit le démarrage du bioréacteur, comme on pouvait s’y attendre. Un correcteur non linéaire a également été synthétisé, basé sur une linéarisation exacte entrée sortie 8.[A.39.]. Ce régulateur fonctionne aussi bien que le Proportionnel Intégral (voir figure 8.[A.40.] et 8.[A.41.]). Il apparaît donc qu’un régulateur PI est suffisant pour contrôler le système.

4.4.4.3 Optimisation de la régulation Dans un objectif d’optimisation du fonctionnement du bioréacteur, des tests ont été réalisés pour

déterminer des conditions optimales au niveau du substrat. Pour cela, la limite maximale de concentration en substrat d’entrée a été éliminée. Nous avons déterminé successivement la concentration en substrat optimal qui permet en régime continu de :

- de maximiser le débit de méthane

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( )

( )( ) ( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

≤≤

−+−+=

=

−=

∫maxmin

0

4

..

min

DtDD

dtSSKSSKDD

F

cs

tQJ

TTconsigneiTTconsignep

fCHSTin

ξξ&

- de maximiser la quantité de biomasse méthanogène : ( ) ( ) ( )( )fLfDfASTin

tXtXtXJ 222min ++−= (mêmes contraintes)

- de maximiser la CVA : ( ) ( )fTinfSTintStDJ ⋅−=min (mêmes contraintes)

- de maximiser le rendement épuratoire : ( )fSTintJ η−=min (mêmes contraintes)

- de maximiser la concentration en substrat d’entrée avec un taux de dilution final maximal : ( )

( ) max

..

min

DtDcs

tSJ

f

fTinSTin

=

−=

(et mêmes contraintes)

Les résultats sont regroupés dans le tableau 8.[A.42.]. Il ressort que le rendement épuratoire maximal est atteignable pour une concentration d’environ

et d’un taux de dilution unitaire. Cette concentration est donc la plus écologique puisque le traitement est le plus efficace.

120 −⋅ LgCOD

Si on regarde d’un point de vu économique, on voit que l’optimum est atteint pour des valeurs de concentration au moins égales à . En effet, à ce niveau de concentration en substrat le rendement épuratoire est seulement de 80% mais le débit de méthane est maximal grâce à la concentration maximale de bactéries méthanogènes. Le gain économique se mesure donc avec la production journalière de méthane qui peut être valorisé. Le gain économique apparaît aussi avec la CVA qui est aussi maximale autours de cette concentration.

165 −⋅ LgCOD

4.4.4.4 Conclusion sur la régulation Les résultats de simulation obtenus avec le régulateur proportionnel intégral sont intéressant car ils

montrent qu’il est possible de façon très simple d’adapter le taux de dilution pour avoir un rendement épuratoire supérieur à 80% en un nombre de jours très court et de converger à long terme vers un rendement épuratoire maximal à CVA maximal après 30 jours. Ainsi, en acceptant de ne pas arriver à CVA maximale dans le délai le plus court, on garantit en cinq jours un rendement épuratoire toujours suffisant. Ce régulateur permet donc assurer le respect des contraintes sur le bioréacteur pendant les phases de démarrage.

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4.5 Conclusion sur les résultats du projet Voici de façon résumée quels ont été les résultats obtenus Pour la partie de modélisation nous avons obtenu un modèle assez simple en comparaison du

modèle ADM1 mais qui permet de modéliser correctement la biomasse sous ses différentes formes (attachée et en solution). Un des résultats de modélisation qui pourrait avoir de grandes répercussions sur la façon dont sont commandés et démarrés les digesteurs anaérobies comme celui du LBE concerne l’absence d’observation d’inhibition par le substrat. Les spécialistes de l’INRA pensaient que l’inhibition par les AGV était l’inhibition dominante. A présent, le modèle simplifié développé au cours de ce projet et qui ne considérait que cette forme d’inhibition, a montré que le substrat seul ne pouvait inhiber la croissance bactérienne, au niveau des concentrations en AGV observées. Les recherches futures essaieront (toujours au travers du développement d’un modèle de tendances) de vérifier l’hypothèse selon laquelle, à ce niveau de concentrations en AGV, l’hydrogène ne serait pas le principal inhibiteur.

Pour la partie d’optimisation analytique, les résultats qui ont été obtenus démontrent l’existence ou non d’arcs singuliers selon la stratégie de commande utilisée. Cependant, l’expression analytique de ses arcs s’est révélé être trop compliquée pour pouvoir être implémenté dans une commande. Là encore, cette étude a montré que la représentation d’un tel réacteur en deux compartiments (acidogénèse, méthanogénèse) ne permettait pas, malgré l’extrême simplification que cela induit), d’exhiber un optimum théorique typique pour ces réacteurs.

En ce qui concerne l’optimisation numérique, les simulations qui ont été réalisées préfigurent qu’il est possible de démarrer rapidement le bioréacteur avec des profils de commande exponentiels à la fois en taux de dilution et en concentration. Les profils obtenus suggèrent que le gain en termes de temps serait de l’ordre de deux semaines, pendant lesquelles, le rendement épuratoire et le débit de méthane seraient meilleurs par rapport aux essais expérimentaux. L’apport est donc écologique et économique.

L’utilisation de la régulation pour l’optimisation nous a permis de développer un régulateur très simple qui permet d’assurer un rendement épuratoire presque toujours optimal en contrepartie d’un faible allongement du temps nécessaire pour mettre le système en fonctionnement maximal.

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5. Conclusion générale du projet Ce projet m’a beaucoup intéressé car il s’inscrit dans une thématique environnementale qui est

aujourd’hui d’actualité et plus encore nécessaire. Le contexte du sujet, le bioréacteur méthaniseur, est nouveau pour moi et s’éloigne des types de systèmes classiquement étudiés à l’ESISAR de type électromécaniques. Il m’a donc permis de concevoir l’utilisation des techniques de l’automatique dans des domaines très variées tel que les biotechnologies au service de l’environnement.

D’un point de vue académique ce projet m’a permis d’accroître mes connaissances en automatique puisqu’il m’a fait découvrir l’optimisation dynamique, à la fois sous un formalisme mathématique et une approche numérique.

Effectuer ce stage dans un laboratoire universitaire m’a fait découvrir le principe de la recherche universitaire, à travers la façon de travailler, les moyens à disposition…

Mon travail en collaboration avec l’INRA, a ajouté une dimension pratique à ce projet. Mes résultats ont été discutés avec des chercheurs de l’INRA qui travaillent directement sur le bioréacteur, ce qui donne au projet un intérêt pratique.

Ce projet a permis d’obtenir des résultats intéressants pour les personnes qui continueront à travailler sur ce réacteur anaérobie. En effet, au cours de cinq mois de travaux, nous avons obtenu un modèle de tendances avec une meilleure prédiction, notamment au niveau de la biomasse attachée et détachée qui était mal ou pas du tout modélisée. Ce modèle se révèle suffisamment précis et robuste pour faire des travaux de contrôle. A ce titre nous avons pu montrer qu’il est possible d’améliorer la phase de démarrage des bioréacteurs anaérobie par une séquence optimale des entrées de commande du système. Une meilleure compréhension du démarrage du bioréacteur permet maintenant de gagner du temps et de guider les travaux de recherche futurs.

Un des points négatifs que j’ai a déploré est le temps qu’il a fallu pour obtenir des données expérimentales utilisables pour procéder au travail d’identification, dont le résultat est essentiel pour la suite du projet. Finalement, il apparaît que sur de telles installations, la difficulté à obtenir des données expérimentales interdit en pratique le développement d’algorithmes de commande avancée et rend le travail d’optimisation bien plus difficile. En effet, sans un modèle correct, le travail d’optimisation ne peut se faire dans de bonnes conditions et les résultats obtenus ne seraient pas exploitables.

Le modèle développé ainsi que les résultats d’optimisation obtenus sur ce bioréacteur seront réutilisés dans le cadre d’un projet collaboratif entre L’INRIA de Lille, de Sophia Antipolis et le LBE de l’INRA Narbonne, portant sur les bioréacteurs méthaniseur.

49

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Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

6. Estimation financière : présentation d’un compte d’exploitation du projet

Ce stage s’est effectué au sein d’un laboratoire de recherche universitaire à but non lucratif sur un projet de recherche un peu indépendant au sein du laboratoire ELIAUS.

Aucun budget n’a été alloué par le laboratoire ELIAUS sur le projet sur lequel j’ai travaillé. En effet, aucun matériel n’a du être acheté, aucun matériel n’a été développé, aucun produit n’a

été construit, aucun déplacement important n’a été nécessaire. Aucun fond d’investissement n’a été versé au laboratoire par une institution ou une entreprise extérieure au laboratoire pour développer ce projet de recherche.

Ce projet auquel j’ai participé s’inscrivait dans une coopération entre le laboratoire ELIAUS, le LBE de l’INRA de Narbonne et l’INRIA. Ces deux institutions ont chacune des budgets propres alloués aux projets de recherche concernant l’optimisation du démarrage des bioréacteurs anaérobies. Cependant, je n’ai pu recueillir aucune donnée financière concernant ces projets de recherches, ni d’élément financier en ce qui concerne l’utilisation du bioréacteur de l’INRA de Narbonne.

Ce stage ne me permet donc pas de présenter dans ce document une estimation financière du compte d’exploitation du projet.

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Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

7. Bibliographie [1] C. Henry & R. Koelsch, What is an Anaerobic Digester?, Manure Matters, vol. 7, n°10,

Nebraska, 2001. [2] J. Mata-Alvarez, S. Macé & P. Llabrés, Anaerobic digestion of organic solid wastes. An

overview of research achievements and perspectives, Bioresource Technology, Elsevier 2000. [3] R. Cresson, Etude du démarrage de procédés intensifs de méthanisation, Impact des

conditions hydrodynamique et de la stratégie de montée en charge sur la formation et l’activité du biofilm, Thèse de l’Université de Montpellier, France, 2006.

[4] Bioprocessing Process Kinetics and Modelling. [5] O. Bernard, Mass Balance Modelling of Bioprocesses, Mathematical control theory, France,

INRIA, 2001. [6] G. Lyberatos & I.V. Skiadas, Modelling of Anaerobic Digestion – A Review, Global Nest:

the International. Journal, vol. 1, n°2, p. 63-76, Greece, 1999. [7] Iwa Task Group, D. J. Batstone, International Water Association, The IWA Anaerobic

Digestion Model No 1, IWA Publishing, 2002. [8] C. Rosen & U. Jeppsson, Aspects on ADM1 implementation within the BSM2 framework,

Suède, 2006. [9] O. Bernard, B. Chachuat, A. Hélias & J. Rodriguez, Can we assess the model complexity

for a bioprocess? Theory and example of the anaerobic digestion process, Water Science & Technology, 2006.

[10] A. Wolfsberger & P. Holubar WP7 Biokinetic Data, Modelling and Control 2nd year CROPGEN meeting, Vienne, 2006.

[11] D. J. Batstone, Mathematical modelling of anaerobic reactors treating domestic wastewater: Rational criteria for model use, Environmental Science and Bio/Technology, vol. 5 p. 57–71, Danemark, 2006.

[12] U. Jeppsson, Problems and Progress with Implementation of the ADM1 into the COST 624 Benchmark Simulation Model, COST 624 WG1 Meeting, Belgique, 2002.

[13] O. Bernard, Z. Hadj-Sadock, D. Dochain, A. Genovesi & J-P. Steyer, Dynamical Model Development and Parameter Identification for an Anaerobic Wastewater Treatment Process, Biotechnology and Bioengineering, vol. 75 n°4, France, INRIA, 2001.

[14] J.P. Steyer & O. Bernard, An example of the benefits obtained from the long term use of mathematical models in wastewater biological treatment, 4th MATHMOD International Symposium on Mathematical Modelling,Vienne, 2003

[15] O. Schoefs, D. Dochain, H. Fibrianto, & J.P. Steyer, Modelling and identification of a distributed-Parameter system for an anaerobic wastewater treatment process, France,

[16] V. Alcaraz, R. Salazar, V. González & O. Bernard, Dynamic Modelling of Wastewater Treatment by Anaerobic Digestion Considering Propionic Acid Accumulation, Información Tecnológica, vol. 15 n° 2, p. 63-68, 2004

[17] J. Harmanda, Démarrage des réacteurs à lits fixes, France, 2007 [18] B. Srinivasan, S. Palanki & D. Bonvin, Dynamic Optimization of Batch Processes: I.

Characterization of the Nominal Solution, Computers and Chemical Engineering vol. 27, n°1, p. 1-26, 2003

[19] B. Srinivasan, D. Bonvin, E. Visser & S. Palanki, Dynamic Optimization of Batch Processes: II. Handling Uncertainty Using Measurements, Computers and Chemical Engineering, vol. 27, n°1, p. 27-44, 2003

[20] F.W. Gembicki, Vector Optimization for Control with Performance and Parameter Sensitivity Indices, Ph.D. Thesis, Case Western Reserve Univ., Cleveland, Ohio, 1974.

[21] The MathWorks, Optimization Toolbox 3, User’s Guide, MATLAB, 2007 [22] G. François, B. Srinivasan & D. Bonvin, Use of measurements for enforcing the necessary

conditions of optimality in the presence of constraints and uncertainty, Journal of Process Control, vol. 15, p. 701-712, 2005

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Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

8. Annexes

[A.1.] Schéma synoptique du bioréacteur à lit fixe de l’INRA de Narbonne.

[A.2.] Support de type CloisonyleTM non colonisé

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Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.3.] Photo du biofilm sur le support du bioréacteur après 54 jours d’exploitation

[A.4.] Schéma de configuration des réacteurs à lit fixe : (1) flux ascendant (2) flux descendant G : Gaz, S : Sortie de l’effluant A : Alimentation R : Recirculation

53

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Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.5.] Photo microscopique des bactéries présentes dans le biofilm

[A.6.] Représentation schématique des phases successives de la formation d’un biofilm (Bos et al. 1999)

54

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Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.7.] Schéma du fonctionnement biochimique d’un bioréacteur anaérobie.

[A.8.] Prédominance des populations bactériennes en fonction du rapport entre la DCO et le sulfate.

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[A.9.] Tableau des principaux accepteurs d’électrons inorganiques participant au processus d’atténuation naturelle (Quintard et al 2004)

[A.10.] Potentiel Redox des demi couples impliqués dans les réactions biochimiques.

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Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.11.] Taux de croissance des bactéries méthanogènes en fonction de la température

[A.12.] Taux de croissance en fonction du substrat d’une population bactérienne régit par une cinétique de Monod

0 50 100 150

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Taux de croissance des bactéries en fonction du substrat

Concentration du substrat

Taux

de

croi

ssan

ce p

ar jo

ur

mu1

Mu max

Mu max/2

Ks

57

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Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.13.] Modélisation des processus biochimique dans l’ADM1

(1) Acidogénèse à partir des sucres (2) Acidogénèse à partir des acides aminés (3) Acétogénèse à partir des longues chaînes d’acides gras (LCFA) (4) Acétogénèse à partir du propionate (5) Acétogénèse à partir du butyrate et du valerate (6) Méthanogénèse acétoclastique (7) Méthanogénèse hydrogénotrophique

58

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[A.14.] Schéma de fonctionnement biochimique du modèle AM2

Substrat carboné 1S

Méthanogénèse

Acides gras volatiles AGV

Méthane Dioxyde de carbone

Acidogénèse

4CH

2CO

2S

59

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[A.15.] Tracé du taux de croissance des bactéries acidogènes

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Taux de croissance des bactéries acidogènes en fonction du substrat S1

Concentration du substrat S1 en mmol/l

Taux

de

croi

ssan

ce p

ar jo

ur

mu1

[A.16.] Tracé du taux de croissance des bactéries méthanogènes

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Taux de croissance des bactéries méthanogènes en fonction du substrat S2

Concentration du substrat S2 en mmol/l

Taux

de

croi

ssan

ce p

ar jo

ur

mu2

60

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Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.17.] Tableau d’estimation des paramètres cinétiques du modèle AM2

Paramètres Signification Unités Valeur Déviation

standard max1μ Taux de croissance maximale de la

population bactérienne acidogène 1−j 1.2

1SK Constante de demi saturation associée au substrat acidogène 1S

1−⋅ Lg 7.1 5.0

max2μ Taux de croissance maximale de la population bactérienne méthanogène

1−j 0.74 0.9

2SK Constante de demi saturation associée au substrat méthanogène 2S

1−⋅ Lmmol 9.28 13.7

2IK Constante d’inhibition associée au substrat méthanogène 2S

1−⋅ Lmmol 256 320

α Proportion du taux de dilution pour les bactéries

..us 0.5 0.4

akL Taux de transfert Liquide/Gaz 1−j 19.8 3.5

[A.18.] Tableau d’estimation des coefficients de rendement du modèle AM2 Paramètres Signification Unités Valeur Déviation

standard 1k Rendement pour la dégradation de la DCO ..us 42.14 18.94

2k Rendement pour la production d’AGV 1−⋅ gmmol 116.5 113.6

3k Rendement pour la consommation d’AGV 1−⋅ gmmol 268 52.31

4k Rendement pour la production de dioxyde de carbone 2CO

1−⋅ gmmol 50.6 143.6

5k Rendement pour la production de dioxyde de carbone 2CO

1−⋅ gmmol 343.6 75.8

6k Rendement pour la production de méthane 4CH

1−⋅ gmmol 453.0 90.9

61

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[A.19.] Tracé de la concentration des bactéries en solution

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5Bactéries en solution

Con

cent

ratio

n ba

ctér

ienn

e en

g/L

Temps en jour

Bactéries libresBactéries détachéesBactéries en solution

[A.20.] Exploitation des données expérimentales

Afin de procéder à l’identification des nouveaux paramètres du modèle nous avons utilisé des données expérimentales de démarrage du bioréacteur anaérobie de l’INRA de Narbonne. Un seul des jeux de données expérimentales qui nous ont été fournis s’est révélé réellement utilisable.

Celui-ci est un essai de démarrage du bioréacteur de novembre à décembre 2007. La stratégie de montée en charge est la suivante. Le taux de dilution est fixé au maximum à et la concentration totale en substrat débute à et atteint au bout de 26 jours en augmentant de façon exponentielle. Les variables du modèle sont alors déterminées à partir des variables mesurées de la façon suivante :

-11j10 −⋅ LgCOD

120 −⋅ LgCOD

- Taux de dilution : Le taux de dilution est calculé directement à partir débit d’entrée et du volume du réacteur qui

vaut , soit : LVreacteur 528= [ ][ ]

[ ]Lréacteur

jLinj V

QD

1

1. −

− =

- Substrat acidogène d’entrée Le substrat acidogène est calculé à partir de la concentration totale en substrat d’entrée .

On considère que 25/34ème de l’alimentation correspond au substrat donc : TinS

[ 1.LgCODTinS ] ][ 1.1 LgCODinS

[ ] [ 11 ..1 3425

LgCODTinLgCODin SS = ] . Cette fraction correspond aux observations réalisées par les chercheurs

de l’INRA en analysant l’effluant de vinasse de vin, utilisé pour cet essai.

62

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Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

On considère alors que le substrat est constitué à 33% de glucose dont le rapport de

transformation entre les inS1

[ ]1. −LgCOD et les [ ]1. −Lg est de 1.07 donc :

[ ][ ]07.13

1 1

1.1

.1lgin

lginGLUCOSECOD

SS =

On considère que les 67% restant sont constitués d’acide lactique dont le rapport de transformation entre les [ ]1. −LgCOD et les [ ]1. −Lg est de 1.07 donc :

[ ][ ]07.13

2 1

1.1

..1lgin

lgLACTinACCOD

SS = .

La fraction de glucose et d’acide lactique ainsi que les rapports de transformation ont été fournis par les biochimistes de l’INRA.

Le rapport de transformation étant équivalent on a donc : [ ][ ]07.1

1

1.1

.1lgin

lginCOD

SS = .

- Substrat méthanogène d’entrée

On considère que 9/34ème de l’alimentation correspond au substrat ] donc : [ 1.2 LgCODinS

[ ] [ ]11 ..2 3425

lglginCODCOD

CODinS =

A partir des données mesurées dans le substrat de sortie on considère que ce substrat se compose approximativement :

2S

- à 80% d’acétate C2 dont le rapport de transformation des [ ]1. −L en gCOD [ ]1. −Lg est de

1.07 et dont la masse molaire est 12 .60 −= molgM C

- à 20% de propionate C3 dont le rapport de transformation des [ ]1. −L en gCOD [ ]1. −Lg est

de 1.51 et dont la masse molaire est 13 .74 −= molgM C

Cette fraction entre l’acétate et le propionate a été déterminée approximativement comme étant la moyenne en proportion observée entre ces molécules au niveau du substrat méthanogène dans le bioréacteur. On considère que cette proportion moyenne est approximativement celle du substrat méthanogène d’entrée, conformément aux recommandations des biochimistes de l’INRA.

On obtient donc : [ ] [ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

×=32

.2.2 51.12.0

07.18.01000 11

CClginlmmolin MM

SSCOD

soit :

[ ] [ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×+

××=

7451.12.0

6007.18.01000 11 .2.2 lginlmmolin COD

SS

- Concentration en carbone inorganique total d’entrée : La concentration en carbone inorganique total d’entrée est mesurée en . Afin d’avoir

cette donnée en on utilise la masse molaire du carbone

1−⋅ Lg1−⋅ Lmmol molgM C ⋅=12 :

[ ][ ]

C

LgCinLmmolCin M

CC

1

1 1000−

⋅×=

- Débit de recirculation : Le débit de recirculation est mesuré en donc : 1−⋅ hL

[ ] [ ]11 24 −− ⋅⋅×=

hLionrecirculatjLionrecirculatQQ

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- Alcalinité totale d’entrée : L’alcalinité totale d’entrée n’est pas mesurée. Dans le cas où le pH n’est pas autorégulé, cette

donnée est nécessaire. Le seul moyen d’avoir une approximation de cette donnée est d’utiliser la formule donnée dans le modèle AM2 dans le cas où le pH est assez faible :

[ ] pHa

ainLmmolin k

SkBZ −⋅ +

+=−

102

1 . Cependant, , la concentration en bicarbonate d’entrée n’est pas

mesurée. Si on suppose que le pH de l’effluent est faible,

inB

0=inB . Dans notre cas le pH est autorégulé donc la variable d’entrée n’est pas utile. inZ - Substrat méthanogène du bioréacteur Un capteur permet de mesurer la concentration d’AGV présent dans la solution du bioréacteur.

Pour cela, cet appareil mesure la concentration d’acétate en . On peut donc calculer le substrat

méthanogène :

Lmg /

[ ][ ]

2

.2.2

1

1

C

Lmglmmol M

SS

=

- Substrat acido-acétogène du bioréacteur Un capteur permet de connaître la concentration totale en substrat de la solution du bioréacteur.

Comme on connaît également la concentration du substrat méthanogène, par soustraction on peut déterminer la concentration de substrat acido-acétogène. En considérant que le rapport de transformation de en est de 1,07 pour les 2 substrats on a : 1−⋅ LgCOD

1−⋅ Lg

[ ][ ]

[ ]

07,11000

07,1 1

1

1

.2

.

.1

×−

=

LmgLgCODT

Lg

SS

S

- Concentration en carbone inorganique total dans le bioréacteur : La concentration en carbone inorganique total dans le bioréacteur est mesurée en . Afin

d’avoir cette donnée en on utilise la masse molaire du carbone :

1−⋅ Lg1−⋅ Lmmol molgM C ⋅=12

[ ][ ]

C

LgCinLmmolCin M

CC

1

1 1000−

⋅×=

- Alcalinité totale dans le bioréacteur : La concentration en alcalinité totale Z dans le bioréacteur est mesurée en . 1−⋅ Lmmol - Bactéries en solution Des prélèvements journaliers sont faits sur la matière en suspension. Cette matière en

suspension inclue les minéraux et la biomasse. Pour mesurer cette matière on étuve le prélèvement à 100°C pendant 24h pour évaporer l’eau et on pèse la matière sèche obtenue. En rapportant au volume de liquide considéré on en déduit donc la concentration de matières en suspension totale . Ensuite on porte le résidu sec à 400°C pendant 24h. Durant cette étape, tous les composés organiques carbonés se volatilisent et il ne reste donc que les minéraux. En faisant la différence entre la masse obtenue sur les deux résidus obtenus successivement on en déduit la masse de la biomasse et donc la concentration de la biomasse en suspensionVSS . Ici on ne dispose que de la mesure de . On considère ici que 90% de la masse sèche correspond à de la biomasse donc :

MES

MESMESVSS ×= 9,0

- Bactéries attachées au support A la fin de l’essai de démarrage, un prélèvement est effectué pour mesurer la concentration de

biomasse attachée. L’approche est la même que pour déterminer la biomasse en suspension sauf que

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dans ce cas, on racle la totalité des supports présents dans le bioréacteur et on rapporte la masse au volume total du réacteur. On obtient après le premier étuvage à 100°C la concentration du biofilm (biomasse et minéraux). Cependant, le biofilm est composé de bactéries et de particules organiques qui relient les bactéries et les aident à former des couches qui restent collées au support. Sur cette concentration totale, 56,5% de la masse correspond à de la biomasse effective, donc :

( ) BiofilmfA ionConcentrattX ×= %5,56

- Débit de méthane Le débit de biogaz qui sort du bioréacteur est mesuré par un débitmètre en et par des

analyseurs de gaz (méthane, dioxyde de carbone et hydrogène). L’analyseur de méthane donne le pourcentage de méthane qui constitue le biogaz. On obtient donc le débit de méthane de la façon suivante :

1−⋅ hL

[ ] [ ] [ ]%44Proportion24 11 CHhLGazjLCH

QQ ××= −− ⋅⋅

- L’Hydrogène Un capteur mesure la proportion d’hydrogène qui est présente dans le biogaz en sortie du

bioréacteur. Cette mesure se fait en ppm (parties par millions :2H

%1.01000 =ppm ). En raison d’un problème lié au CAN relié au capteur, nous ne disposions que des 17 premiers jours de l’essai. De plus, en raison d’une saturation du capteur à , seuls les 12 premiers jours de données sont utilisables.

ppm1000

[ ][ ]

1000000

Proportion24 2

2

1

1

ppmHhLGazjLH

QQ

××=

[A.21.] Tracés des entrées expérimentales du système

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15Concentration du substrat S1in

Temps en jours

S1i

n en

g/L

0 5 10 15 20 25 300

20

40

60

80Concentration du substrat S2in

Temps en jours

S2i

n en

mm

ol/L

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

Taux de dilution D

Temps en jours

D e

n /j

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30Carbone inorganique Ccin

Temps en jours

Cci

n en

g/L

0 5 10 15 20 25 301

1.02

1.04

1.06Pression totale

Temps en jours

PT

en a

tm

0 5 10 15 20 25 30450

500

550

600

650Débit de recirculation

Temps en jours

Qre

circ

ulat

ion

en L

/h

65

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[A.22.] Tracés des variables principales à identifier

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

Temps en jours

S1

en g

/LConcentration du substrat S1

S1 simulé AM2 modifiéS1 expérimental

0 5 10 15 20 25 300

50

100

Temps en jours

S2

en m

mol

/L

Concentration du substrat S2

S2 simulé AM2 modifiéS2 expérimental

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3Concentration des bactéries libres VSS

Temps en jours

VS

S e

n g/

L

VSS simulé AM2 modifiéVSS expérimental

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4Concentration des bactéries attachées

Temps en jours

XA

en

g/L

XA simulé AM2 modifiéXAtf expérimental

0 5 10 15 20 25 300

500

1000

1500

Temps en jours

Qch

4 en

L/j

Débit de méthane

Qch4 simulé AM2 modifiéQch4 expérimental

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

Temps en jours

H2

en L

/j

Débit d'hydrogène

H2 simulé AM2 modifiéH2 expérimental

[A.23.] Tracés des variables supplémentaires à identifier

0 5 10 15 20 25 300

50

100

150

200Alcalinité totale

Temps en jours

Z en

mm

ol/L

Z simulé AM2 modifiéZ expérimental

0 5 10 15 20 25 300

20

40

60

80

100

120Concentration en carbone inorganique

Temps en jours

Cc

en m

mol

/L

Cc simulé AM2 modifiéCc expérimental

0 5 10 15 20 25 306.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5pH

Temps en jours

pH

pH simulé AM2 modifiépH expérimental

0 5 10 15 20 25 300

100

200

300

400

500

Débit de CO2

Temps en jours

CO

2 en

L/j

CO2 simulé AM2 modifiéCO2 expérimental

66

Page 67: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.24.] Tableau des paramètres identifiés du modèle final

Paramètres Signification Unités Valeurs

crP Puissance d’inhibition des bactéries attachées

..us 0.6083

Ak Coefficient de détachement ..us 0.002817

max1μ Taux de croissance maximale de la population bactérienne acidogène

1−j 1.468

max2μ Taux de croissance maximale de la population bactérienne méthanogène

1−j 0.3811

1k Rendement pour la dégradation de la DCO ..us 28.02

2k Rendement pour la production d’AGV 1−⋅ gmmol 209.2

3k Rendement pour la consommation d’AGV 1−⋅ gmmol 154.2

4k Rendement pour la production de dioxyde de carbone 2CO

1−⋅ gmmol 38.61

5k Rendement pour la production de dioxyde de carbone 2CO

1−⋅ gmmol 73.25

6k Rendement pour la production de méthane 4CH

1−⋅ gmmol 212.3

7k Rendement pour la production d’hydrogène 2H

1−⋅ gmmol 0.835

2IHK Constante d’inhibition des bactéries acidogènes par l’hydrogène

11 −− ⋅⋅ jLmmol

0.3467

akL Taux de transfert Liquide/Gaz 1−j 1.638

67

Page 68: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.25.] Comparaison de la prédiction du modèle amélioré et du modèle AM2 initial

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

Temps en jours

S1

en g

/L

Concentration du substrat S1

S1 simulé AM2 modifiéS1 expérimentalS1 simulé AM2

0 5 10 15 20 25 300

50

100

Temps en jours

S2

en m

mol

/L

Concentration du substrat S2

S2 simulé AM2 modifiéS2 expérimental

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

Temps en jours

VS

S e

n g/

L

Concentration des bactéries libres VSS

VSS simulé AM2 modifiéVSS expérimental

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4Concentration des bactéries attachées

Temps en joursX

A e

n g/

L

XA simulé AM2 modifiéXAtf expérimental

0 5 10 15 20 25 300

500

1000

1500

Temps en jours

Qch

4 en

L/j

Débit de méthane

Qch4 simulé AM2 modifiéQch4 expérimentalQch4 simulé AM2

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

Temps en jours

H2

en L

/jDébit d'hydrogène

H2 simulé AM2 modifiéH2 expérimental

0 5 10 15 20 25 300

50

100

150

200

Temps en jours

Z en

mm

ol/L

Alcalinité totale

Z simulé AM2 modifiéZ expérimentalZ simulé AM2

0 5 10 15 20 25 300

20

40

60

80

100

120

Temps en jours

Cc

en m

mol

/L

Concentration en carbone inorganique

Cc simulé AM2 modifiéCc expérimentalCc simulé AM2

0 5 10 15 20 25 306.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

Temps en jours

pH

pH

pH simulé AM2 modifiépH expérimentalpH simulé AM2

0 5 10 15 20 25 30-500

0

500

1000

1500

Temps en jours

Qco

2 en

L/j

Débit de CO2

Qco2 simulé AM2 modifiéQco2 expérimentalQco2 simulé AM2

68

Page 69: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.26.] Comparaison de la prédiction du modèle amélioré et du modèle AM2 calibré

avec les paramètres identifiés

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

Temps en jours

S1

en g

/L

Concentration du substrat S1

S1 simulé AM2 modifiéS1 expérimentalS1 simulé AM2

0 5 10 15 20 25 300

50

100

Temps en jours

S2

en m

mol

/L

Concentration du substrat S2

S2 simulé AM2 modifiéS2 expérimental

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

Temps en jours

VS

S e

n g/

L

Concentration des bactéries libres VSS

VSS simulé AM2 modifiéVSS expérimental

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4Concentration des bactéries attachées

Temps en joursX

A e

n g/

L

XA simulé AM2 modifiéXAtf expérimental

0 5 10 15 20 25 300

500

1000

1500

Temps en jours

Qch

4 en

L/j

Débit de méthane

Qch4 simulé AM2 modifiéQch4 expérimentalQch4 simulé AM2

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

Temps en jours

H2

en L

/j

Débit d'hydrogène

H2 simulé AM2 modifiéH2 expérimental

0 5 10 15 20 25 300

50

100

150

200

Temps en jours

Z en

mm

ol/L

Alcalinité totale

Z simulé AM2 modifiéZ expérimentalZ simulé AM2

0 5 10 15 20 25 300

20

40

60

80

100

120

Temps en jours

Cc

en m

mol

/L

Concentration en carbone inorganique

Cc simulé AM2 modifiéCc expérimentalCc simulé AM2

0 5 10 15 20 25 306.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

Temps en jours

pH

pH

pH simulé AM2 modifiépH expérimentalpH simulé AM2

0 5 10 15 20 25 300

100

200

300

400

500

Temps en jours

Qco

2 en

L/j

Débit de CO2

Qco2 simulé AM2 modifiéQco2 expérimentalQco2 simulé AM2

69

Page 70: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.27.] Résultats d’optimisation numérique pour une commande constante par

morceaux (taux de dilution et concentration totale en substrat d’entrée)

0 20 40 600

0.5

1

1.5

Temps en jours

D e

n /j

Taux de dilution D

D optD exp

0 20 40 600

5

10

15

20

Temps en jours

STi

n en

gC

OD

/L

Concentration en substrat

STin optSTin exp

0 20 40 600

5

10

15

20

Temps en jours

CV

A e

n /j

Charge Volumique Appliquée CVA

CVA optCVA exp

0 20 40 6020

40

60

80

100

Temps en jours

en %

Rendement épuratoire

REp optREp exp

0 20 40 600

1

2

3

4

Temps en jours

S1

en g

/LConcentration du substrat S1

S1 optS1 exp

0 20 40 600

20

40

60

80

Temps en jours

S2

en m

mol

/L

Concentration du substrat S2

S2 optS2 exp

0 20 40 600

1000

2000

3000

Temps en jours

en L

/j

Débit de méthane

Qch4 optQch4 exp

0 20 40 600

1

2

3

Temps en jours

VS

S e

n g/

L

Concentration des bactéries libres VSS

VSS optVSS exp

0 20 40 600

5

10

15

Temps en jours

XA

en

g/L

Concentration des bactéries attachée XA

XA optXA exp

Les entrées de commande associées sont les suivantes :

165,0 −= jD et pour 161,12 −⋅= LgS CODTin [ ]7 ;0∈t 185,0 −= jD et pour 194,13 −⋅= LgS CODTin [ ]14 ;7∈t

11 −= jD et pour 104,19 −⋅= LgS CODTin [ ]6,19 ;14∈t 11 −= jD et pour 120 −⋅= LgS CODTin [ ]28 ;6,19∈t

1600 −⋅= hLQ ionrecirculat

La phase de démarrage dure 28 jours.

70

Page 71: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.28.] Résultats d’optimisation numérique pour une commande linéaire par

morceaux (taux de dilution et concentration totale en substrat d’entrée)

0 20 40 600

0.5

1

1.5

Temps en jours

D e

n /j

Taux de dilution D

D optD exp

0 20 40 600

5

10

15

20

Temps en jours

STi

n en

gC

OD

/L

Concentration en substrat

STin optSTin exp

0 20 40 600

5

10

15

20

Temps en jours

CV

A e

n /j

Charge Volumique Appliquée CVA

CVA optCVA exp

0 20 40 6020

40

60

80

100

Temps en jours

en %

Rendement épuratoire

REp optREp exp

0 20 40 600

1

2

3

4

Temps en jours

S1

en g

/L

Concentration du substrat S1

S1 optS1 exp

0 20 40 600

20

40

60

80

Temps en jours

S2

en m

mol

/L

Concentration du substrat S2

S2 optS2 exp

0 20 40 600

1000

2000

3000

Temps en jours

en L

/j

Débit de méthane

Qch4 optQch4 exp

0 20 40 600

1

2

3

Temps en jours

VS

S e

n g/

L

Concentration des bactéries libres VSS

VSS optVSS exp

0 20 40 600

5

10

15

Temps en jours

XA

en

g/L

Concentration des bactéries attachée XA

XA optXA exp

Les entrées de commande associées sont les suivantes :

16,0 −= jD et pour 196,13 −⋅= LgS CODTin [ ]9,62 ;0∈t 11 −= jD et pour 174,944,0 −⋅+= LgtS CODTin [ ]9,14 ;62,9∈t 11 −= jD et pour 149,009,1 −⋅+= LgtS CODTin [ ]6,17 ;9,14∈t 11 −= jD et pour 120 −⋅= LgS CODTin [ ]27,9 ;6,17∈t

1600 −⋅= hLQ ionrecirculat

La phase de démarrage dure 27,9 jours.

71

Page 72: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.29.] Résultats d’optimisation numérique pour une commande avec transition

exponentielle (taux de dilution et concentration totale en substrat d’entrée)

0 20 40 600

0.5

1

1.5

Temps en jours

D e

n /j

Taux de dilution D

D optD exp

0 20 40 600

5

10

15

20

Temps en jours

STi

n en

gC

OD

/L

Concentration en substrat

STin optSTin exp

0 20 40 600

5

10

15

20

Temps en jours

CV

A e

n /j

Charge Volumique Appliquée CVA

CVA optCVA exp

0 20 40 6020

40

60

80

100

Temps en jours

en %

Rendement épuratoire

REp optREp exp

0 20 40 600

1

2

3

4

Temps en jours

S1

en g

/L

Concentration du substrat S1

S1 optS1 exp

0 20 40 600

20

40

60

80

Temps en jours

S2

en m

mol

/L

Concentration du substrat S2

S2 optS2 exp

0 20 40 600

1000

2000

3000

Temps en jours

en L

/j

Débit de méthane

Qch4 optQch4 exp

0 20 40 600

1

2

3

Temps en jours

VS

S e

n g/

L

Concentration des bactéries libres VSS

VSS optVSS exp

0 20 40 600

5

10

15

Temps en jours

XA

en

g/L

Concentration des bactéries attachée XA

XA optXA exp

Les entrées de commande associées sont les suivantes :

171,0 −= jD et pour 194,19 −⋅= LgS CODTin [ ]1 ;0∈t( )( ) 1114,0exp18,034,0 −−⋅⋅+= jtD et ( )( ) 113,0exp06,083,12 −⋅−⋅+= LgtS CODTin pour [ ]22,7 ;1∈t

11 −= jD et pour 120 −⋅= LgS CODTin [ ]7,27 ;7,22∈t

1600 −⋅= hLQ ionrecirculat

La phase de démarrage dure 27,7 jours.

72

Page 73: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.30.] Rendement épuratoire minimal en fonction des conditions initiales appliquées au profil optimal avec transition exponentiel déterminé pour

1

0 1,0 −⋅= LgS CODT

( )0=tST en 1−⋅ LgCOD minη en %

0,1 50 5 40,58 10 26,6 15 10,22 20 -4,72

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-10

0

10

20

30

40

50Rendement épuratoire en fonction de ST0

ST0 en gCOD/L

Ren

dem

ent E

pura

toire

en

%

73

Page 74: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.31.] Influence des conditions initiales sur le profil optimal

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5Taux de dilution D

Temps en jours

D e

n /j

0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

Concentration en substrat

Temps en joursS

Tin

en g

CO

D/L

0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

Charge Volumique Appliquée CVA

Temps en jours

CV

A e

n /j

0 2 4 6 8 10-50

0

50

100Rendement épuratoire

Temps en jours

en %

0 2 4 6 8 100

5

10

15Concentration du substrat S1

Temps en jours

S1

en g

/L

0gCOD/L5gCOD/L10gCOD/L15gCOD/L20gCOD/L

0 2 4 6 8 100

50

100

150Concentration du substrat S2

Temps en jours

S2

en m

mol

/L

0 2 4 6 8 100

500

1000Débit de méthane

Temps en jours

en L

/j

0 2 4 6 8 100

1

2

3Concentration des bactéries libres VSS

Temps en jours

VS

S e

n g/

L

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2Concentration des bactéries attachée XA

Temps en jours

XA

en

g/L

74

Page 75: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.32.] Variation du temps de démarrage en fonction de la concentration finale en

substrat et de la contrainte de chemin au niveau du rendement épuratoire minimal (temps en jour)

50gCOD/L impossible impossible impossible impossible impossible impossible 40gCOD/L 57,6 57,6 57,6 57,6 57,6 576 30gCOD/L 39,3 39,3 39,3 39,3 39,3 39,3 20gCOD/L 27,6 27,6 27,7 27,6 27,7 28,2 10gCOD/L 20,7 20,7 20,7 21 21,7 impossible

( )fTin tS minη

10% 20% 30% 40% 50% 60%

10 15 20 25 30 35 4020

25

30

35

40

45

50

55

60Temps de démarrage en fonction de STin

STin en gCOD/L

tem

ps e

n jo

ur

75

Page 76: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.33.] Evolution du profil optimal en fonction des contraintes avec concentration

finale exigée à 20gCOD/L

0 20 40 600

0.5

1

1.5Taux de dilution D

Temps en jours

D e

n /j

0 20 40 600

5

10

15

20

Concentration en substrat

Temps en jours

STi

n en

gC

OD

/L

10%20%30%40%50%60%

0 20 40 600

5

10

15

20

Charge Volumique Appliquée CVA

Temps en jours

CV

A e

n /j

0 20 40 600

50

100Rendement épuratoire

Temps en jours

en %

0 20 40 600

2

4

6Concentration du substrat S1

Temps en jours

S1

en g

/L

0 20 40 600

20

40

60

80Concentration du substrat S2

Temps en jours

S2

en m

mol

/L

0 20 40 600

1000

2000

3000Débit de méthane

Temps en jours

en L

/j

0 20 40 600

1

2

3Concentration des bactéries libres VSS

Temps en jours

VS

S e

n g/

L

0 20 40 600

5

10

15Concentration des bactéries attachée XA

Temps en jours

XA

en

g/L

76

Page 77: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.34.] Evolution du profil optimal en fonction de la concentration finale en substrat

exigée et contrainte à 50% sur le rendement épuratoire

0 20 40 60 800

0.5

1

1.5Taux de dilution D

Temps en jours

D e

n /j

0 20 40 60 800

10

20

30

40

Concentration en substrat

Temps en joursS

Tin

en g

CO

D/L

10gCOD/L20gCOD/L30gCOD/L40gCOD/L

0 20 40 60 800

10

20

30

40

Charge Volumique Appliquée CVA

Temps en jours

CV

A e

n /j

0 20 40 60 8040

60

80

100Rendement épuratoire

Temps en jours

en %

0 20 40 60 800

2

4

6Concentration du substrat S1

Temps en jours

S1

en g

/L

0 20 40 60 800

50

100Concentration du substrat S2

Temps en jours

S2

en m

mol

/L

0 20 40 60 800

2000

4000

6000Débit de méthane

Temps en jours

en L

/j

0 20 40 60 800

1

2

3Concentration des bactéries libres VSS

Temps en jours

VS

S e

n g/

L

0 20 40 60 800

10

20

30Concentration des bactéries attachée XA

Temps en jours

XA

en

g/L

77

Page 78: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.35.] Entrées du système avec régulation Proportionnelle Intégrale du rendement

épuratoire avec le taux de dilution

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Taux de dilution D

Temps en jours

D e

n /j

D calculéD réel

0 50 100 1500

5

10

15

20

25

30

Concentration total de substrat STin

Temps en jours

STi

n en

gC

OD

/L

STin calculéSTin réel

0 50 100 1500

5

10

15

20

Concentration du substrat S1in

Temps en jours

S1i

n en

g/L

S1in calculéS1in réel

0 50 100 1500

20

40

60

80

100

120

Concentration du substrat S2in

Temps en jours

S2i

n en

mm

ol/L

S2in calculéS2in réel

[A.36.] Sorties du système avec régulation Proportionnelle Intégrale du rendement

épuratoire avec le taux de dilution

0 50 100 1500

2000

4000

6000Débit de méthane CH4

Temps en jours

Qj

0 50 100 15060

70

80

90

100Rendement épuratoire

Temps en jours

Ren

dem

ent E

pura

toire

en

%

0 50 100 1500

1

2

3

4Concentration du substrat S1

Temps en jours

S1

en g

/L

0 50 100 1500

20

40

60Concentration du substrat S2

Temps en jours

S2

en m

mol

/L

0 50 100 1500

2

4

6

8Débit d'hydrogène H2

Temps en jours

Qh2

en

L/j

78

Page 79: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.37.] Régulateur PID

Equation du régulateur :

( ) ( ) ( )∫ −+−+−

+= dtSSKSSKdt

SSdtKDD TTconsigneiTTconsignep

TTconsigned0

Des valeurs typiques sont : , 5=pK 5=iK , 1=dK

[A.38.] Régulateur PI avec Anti-Windup Equation du régulateur :

( ) ( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−+= ∫ dtDDsat

KTT

SST

SSKDDaw

iTTconsigne

iTTconsigne

10

Une faible saturation de la commande est atteinte pour les valeurs suivantes : 1=K , , , mais présente un faible rendement épuratoire minimal. 1=iT 1,0=awT ( ) 1=Dsat

[A.39.] Régulateur par linéarisation exacte entrée sortie

La sortie à commander est 2211 SSSy T ρρ +== On calcul le degré relatif du système

( )( ) ( ) ( ) (( )22211122223211221111

2211

SSSSDXXXkkkXXXy

SSy

ininLDPcrALD

PcrA −+−+++−−++=

+=

ρρμρρρμ

ρρ&

&&&

) Le degré relatif du système est donc de 1. Il a été vérifié que le système linéarisé autours du point de fonctionnement en régime établi, était à minimum de phase.

( )βα−

=vD Avec Dy ⋅+= βα& tels que :

( )( ) ( )( ) ( )( )⎩

⎨⎧

−+−=++−−++=

222111

22223211221111

SSSSXXXkkkXXX

inin

LDPcrALD

PcrA

ρρβμρρρμα

Et commande auxiliaire du système telle que : v

( ) ( )∫ −+−+= dtSSSSSv TTconsigneiTTconsignepTconsigne λλ&

Les valeurs typiques sont 10=pλ et 10=iλ

79

Page 80: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.40.] Entrées du système avec régulation par linéarisation exacte entrée sortie du

rendement épuratoire avec le taux de dilution

0 20 40 60 80 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Taux de dilution D

Temps en jours

D e

n /j

D calculéD réel

0 20 40 60 80 1000

5

10

15

20

Concentration total de substrat STin

Temps en jours

STi

n en

gC

OD

/L

STin calculéSTin réel

0 20 40 60 80 1000

5

10

15Concentration du substrat S1in

Temps en jours

S1i

n en

g/L

S1in calculéS1in réel

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

Concentration du substrat S2in

Temps en jours

S2i

n en

mm

ol/L

S2in calculéS2in réel

[A.41.] Sorties du système avec régulation par linéarisation exacte entrée sortie du rendement épuratoire avec le taux de dilution

0 20 40 60 80 1000

1000

2000

3000Débit de méthane CH4

Temps en jours

Qch

4 en

L/jo

ur

0 20 40 60 80 10070

80

90

100

X: 4.195Y: 79.96

Rendement épuratoire

Temps en jours

Ren

dem

ent E

pura

toire

en

%

0 20 40 60 80 1000

1

2

3Concentration du substrat S1

Temps en jours

S1

en g

/L

0 20 40 60 80 1000

20

40

60Concentration du substrat S2

Temps en jours

S2

en m

mol

/L

0 20 40 60 80 1000

2

4

6Débit d'hydrogène H2

Temps en jours

Qh2

en

L/j

80

Page 81: Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modélisation et Optimisation d’un biométhaniseur Julien Eynard Ingénierie de la commande des Systèmes Complexes ESISAR 2006/2007

[A.42.] Tableau des résultats d’optimisation de la régulation avec PI

En régime statique

TinS en [ ]1−⋅ LgCOD

CVA en [ ]11 −−⋅ jLgCOD

Débit méthane En [ ]1−⋅ jL

Rendement épuratoire en %

Maximum de bactéries méthanogènes

63.3 58.9 7258.6 80

Débit de méthane maximal

66.1 59.7 7289.6 80

CVA maximale 67.3 59.5 7284.3 80 CVA maximale avec ( ) 1=ftD

57 57 7055.5 80

Rendement épuratoire maximal

20.1 20.1 2707.6 86.9

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