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RAPPORT DE STAGE

Effectué du 1er Mars au 30 Septembre 2018

Étude expérimentale d’écoulements turbulents confinés avec

effets de flottabilité dominants

par

Alexandre Weppe

Tuteur Ensem : Alexandre Labergue

Tuteurs Pprime : Florian Moreau, Didier Saury

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Remerciements

Je tiens tout d’abord à remercier M. Yves GERVAIS et M. Roland FORTUNIER pour m’avoir permis d’effectuer mon stage au sein de l’institut PPRIME hébergé en partie par l’ENSMA. Je remercie mes maîtres de stage, Florian MOREAU et Didier SAURY, pour m’avoir accueilli au sein du département thermique, pour leur encadrement bienveillant ainsi que pour la confiance et l’aide scientifique précieuse qu’ils m’ont apportées afin que mon stage se déroule dans les meilleures conditions. Je remercie Alexandre LABERGUE pour avoir fait le déplacement jusqu’à l’institut et pour m’avoir transmis d’utiles informations. Je remercie également mes « collègues de bureaux », les thésards Elissa El RASSY et Paul CHORIN, pour m’avoir aussi vite intégré et avoir toujours été sensibles à mes interrogations. Paul a beaucoup donné de son temps afin de m’expliquer en détails son sujet et ses expériences, pour cela je l’en remercie particulièrement. Je remercie aussi Nicolas, Hervé et Jean-Christophe pour leurs compétences techniques indispensables et pour avoir répondu à toutes mes questions. Je n’oublie pas mes « collègues de nourriture » avec qui j’ai passé d’excellents moments au gré des repas : Luc, Saïd, Cyprien, Florian, Carlos. Enfin, c’est l’ensemble du personnel de l’ENSMA que j’ai pu côtoyer que je remercie, tant chaque personne a fait preuve d’amabilité et de compréhension à mon égard.

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Sommaire

Remerciements ....................................................................................................................................... 2

Abstract ................................................................................................................................................... 5

Résumé .................................................................................................................................................... 6

I – Introduction ........................................................................................................................................ 7

II – Présentation de l’Institut Pprime et du groupe de recherche .......................................................... 8

III – Contexte et Présentation du projet .................................................................................................. 9

IV – Présentation technique du stage ................................................................................................... 10

V – Conception de l’expérience ............................................................................................................. 11

V.1 – Phénomènes physiques envisagés ........................................................................................... 11

V.1.1 – Equations ........................................................................................................................... 11

V.1.2 – Rayleigh et longueur de référence .................................................................................... 12

V.1.3 – Rayleigh de transition ........................................................................................................ 13

V.1.4 – Détermination de la plage de Rayleigh ............................................................................. 13

V.2 – Choix techniques ...................................................................................................................... 15

V.2.1 – Les échangeurs .................................................................................................................. 15

V.2.2 – Les faces latérales.............................................................................................................. 17

V.2.3 – Le bloc chauffant ............................................................................................................... 17

V.2.4 – La structure de l’ensemble ................................................................................................ 19

VI – Optimisation de l’homogénéité en température ........................................................................... 20

VI.1 – Intérêt et moyens mis en œuvre ............................................................................................. 20

VI.1.1 – Description du problème.................................................................................................. 20

VI.1.2 – Outils utilisés pour la modélisation .................................................................................. 21

VI.1.3 – Equations et conditions limites ........................................................................................ 21

VI.2 – Particle Swarm Optimisation ................................................................................................... 22

VI.2.1 – Description du problème et premiers essais.................................................................... 22

VI.2.2 – Description du solver........................................................................................................ 23

VI.2.3 – Implémentation du PSO ................................................................................................... 25

VI.3 – Résultats de l’optimisation ...................................................................................................... 26

VI.3.1 – Cas polynomial ................................................................................................................. 26

VI.3.2 – Cas complexe .................................................................................................................... 28

VII – Expériences sur une cavité différentiellement chauffée .............................................................. 29

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VII – 1. Description de la cavité et des expériences .......................................................................... 29

VII.1.1 – la cavité différentiellement chauffée .............................................................................. 29

VII.1.2 – Description des techniques de mesures ......................................................................... 30

VII.1.2 – Dispositif expérimental ................................................................................................... 31

VII.2 - Expériences et résultats .......................................................................................................... 33

VII.2.1 – Profils de températures................................................................................................... 33

VII.2.2 – Champs de vitesse ........................................................................................................... 36

VII.2.3 – Transferts de chaleur et nombre de Nusselt ................................................................... 39

VIII - Conclusion ..................................................................................................................................... 41

Bibliographie.......................................................................................................................................... 42

Annexes ................................................................................................................................................. 43

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Abstract

Turbulent and transient buoyant flows can be encountered in many industrial and environmental

applications, especially in nuclear and automotive industries. Nevertheless, those flows are not

solved by CFD due to their complexity. To answer this industrial issue, experimental data are

required to validate models which are currently being developed.

The purpose of this report is to concretely understand the experimental part of a large project which

focuses on those new models. It concerns the study of the air flows inside a cavity mounted with a

heating block.

Since the project has just begun, the report will present the first but critical steps leading to further

investigations through the future work:

- The experiment design with necessary technical options

- The optimization of heated block surface’s temperature

- The usage of a similar experiment in order to practice the measurements techniques

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Résumé

Les écoulements transitoires turbulents à effets de flottabilité dominants en milieux confinés,

généralement rencontrés dans l’industrie automobile et nucléaire, ne sont pour le moment pas

résolus par la CFD. Des données expérimentales sont nécessaires afin de valider les modèles

actuellement développés pour répondre à ce besoin industriel.

Ce rapport a pour objectif d’appréhender la partie expérimentale d’un projet visant au

développement de ces nouveaux modèles. Cette partie expérimentale concerne l’étude

d’écoulements au sein d’une cavité qui comporte un bloc chauffant.

Le projet est à son commencement. C’est pourquoi le rapport présente les étapes préalables mais

indispensables aux futures investigations qui seront menées au cours de la thèse portant sur ce

sujet :

- Conception de l’expérience avec des choix techniques cruciaux

- Optimisation de l’homogénéité en température sur la surface du bloc chauffant

- Prise en main des techniques de mesures sur une expérience similaire à celle du sujet

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I – Introduction Afin de conclure mon parcours au sein de l’ENSEM, j’ai choisi d’effectuer mon stage de fin d’études

dans un laboratoire de recherche, l’institut Pprime. L’objectif de ce stage était d’appréhender l’étude

expérimentale d’écoulements turbulents à effets de flottabilité dominants au sein d’une cavité

fermée comprenant un bloc chauffant. Comme l’expérience n’est pas encore conçue, mon stage a

pris des contours divers. En effet, après présentation du stage, je m’attarderai sur la partie

conception de la future expérience puis j’enchaînerai sur la partie optimisation de l’élément

chauffant du dispositif pour enfin analyser les résultats d’expériences sur une cavité

différentiellement chauffée, actuel objet d’étude d’un élève doctorant, Paul Chorin. Désireux de

poursuivre en thèse, on m’a donné la chance de pouvoir continuer sur ce sujet pendant les 3

prochaines années ce qui j’espère me permettra d’obtenir des résultats intéressants à même de faire

avancer encore un peu plus notre compréhension des écoulements d’air en milieu confiné et des

transferts thermiques associés.

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II – Présentation de l’Institut Pprime et du groupe de

recherche L’institut P’ est un laboratoire de recherche de Sciences Physiques et de Sciences de l’Ingénierie. Il est

une unité propre du CNRS créée en 2010 en partenariat avec l’ISAE-ENSMA et l’Université de Poitiers.

Les domaines étudiés à l’institut sont nombreux; les sujets de recherche portent aussi bien sur la

mécanique des fluides que la physique des matériaux ou encore le génie mécanique. Leurs

applications directes se concentrent sur les domaines du transport et de l’environnement.

Le travail de recherche est divisé en 3 départements :

- Département « Physique et Mécanique des Matériaux »

- Département « Fluides Thermique Combustion »

- Département « Mécanique et Systèmes Complexes »

Mon stage s’est déroulé dans le département « Fluides Thermique Combustion » qui lui-même se

divise en neuf axes distincts :

- HydEE : Hydrodynamique et Écoulements Environnementaux

- 2AT : Acoustique, Aérodynamique, Turbulence

- TIC : Turbulence Incompressible & Contrôle

- COST : Convection, Optimisation, Systèmes Thermiques

- CT : Structures de flammes et Combustion

- CH : Combustion Hétérogène et milieu poreux

- EFD : Electro-Fluido-Dynamique

- TNR : Thermique aux Nano échelles et Rayonnement

- DETO : Détonique

J’ai ainsi pu travailler au sein de l’équipe COST comprenant 15 chercheurs, dirigée par D. Saury, et

dont une des préoccupations concerne l’étude des écoulements anisothermes sans ou avec couplage

radiatif, notamment la convection naturelle sur laquelle porte mon sujet. La prédiction et la maîtrise

des transferts thermiques par transport fluide, et ce avec ou sans changement de phase, sont des

enjeux majeurs dans les domaines du transport. De plus, les aspects environnementaux ne sont plus

laisser à la marge comme ils ont pu l’être par le passé. Les barrières thermiques, le refroidissement

de composants électroniques de puissance, la climatisation des habitacles sont autant de sujets en

lien avec les problématiques du 21ème siècle et sur lesquels l’institut P’ apporte son expertise.

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III – Contexte et Présentation du projet

On rencontre des écoulements transitoires turbulents avec effets de flottabilité dominants dans de

nombreuses applications environnementales et industrielles. Notamment dans les secteurs de

l’automobile et du nucléaire. Par exemple, aborder la problématique du refroidissement d’un

compartiment moteur est un prérequis essentiel à la conception de ce dernier. Entre autres, suite à

un arrêt brutal du moteur après une forte sollicitation, l’intégrité de celui-ci doit être préservée alors

même qu’il ne peut plus être refroidi par un écoulement externe forcé. C’est ici qu’intervient la

convection naturelle permettant d’assurer le refroidissement. De plus, ce cas n’est pas isolé ; on

retrouve généralement ces problématiques de refroidissement dès lors qu’une panne intervient.

Le stage s’inscrit dans le cadre d’un projet ANR (Agence Nationale de Recherche) baptisé

MONACO_2025 (MOdelling NAtural COnvection) et qui réunit le département de mathématiques

appliquées de l’université de Pau/CNRS (LMAP), l’institut Pprime du CNRS/ENSMA/Université de

Poitiers (PPRIME), les départements R&D des groupes PSA et EDF.

MONACO_2025 a pour ambition de résoudre les problèmes rencontrés par les partenaires industriels

du projet lors des simulations d’écoulements transitoires turbulents avec effets de flottabilité

dominants. Les objectifs sont multiples :

- Déterminer les phénomènes physiques à prendre en compte dans les modèles de turbulence grâce aux expériences dans la cavité.

- Résoudre le problème de la modélisation des interactions entre la turbulence et les effets de

flottabilité dans le cas d’écoulements transitoires en utilisant un modèle hybride RANS/LES, modèle aux coûts de calcul raisonnables pour l’industrie.

- Apporter de nouvelles méthodes de calcul qui répondront aux problèmes de dimensionnement, de fiabilité et de sécurité pour des écoulements transitoires, turbulents avec effets de flottabilité dominants. Ces problèmes industriels restent, à ce jour, non-résolus par CFD. Les nouvelles méthodes seront confrontées aux résultats des expériences sur la cavité dédiée ainsi que sur une configuration réelle sous capot de voiture.

- Le Benchmark qui résultera des comparaisons expériences/méthodes de calcul devrait permettre aux partenaires industriels de prendre des décisions cruciales, l’un pour le design de véhicules basse émission (PSA Group), l’autre pour la sécurité des centrales nucléaires (EDF Group) et ce sans devoir recourir à des expériences à échelle réelle très coûteuses.

Dans ce projet, les rôles du LMAP, de PSA Group et de EDF Group seront de développer les modèles

de turbulence et de les valider à échelle réelle (PSA Group). L’institut Pprime quant à lui mènera à

bien la partie expérimentale du projet.

Ce projet ambitieux s’étend sur les 4 prochaines années, aussi, l’on procèdera par tâches. L’une

d’entre elle consiste à étudier expérimentalement les phénomènes transitoires turbulents. Mon

stage est dès lors un préambule à cette tâche qui doit durer 3 ans et donner lieu à une thèse.

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IV – Présentation technique du stage La première étape dédiée à la tâche expérimentale consiste à définir une configuration de référence

permettant d’étudier la convection naturelle dans des espaces confinés. La configuration est simple

et représentative de ce que l’on peut généralement rencontrer sous le capot d’une voiture (Figure 1).

Elle sera également applicable au cas d’une centrale nucléaire. La Figure 1 représente la vue

intérieure d’un moteur composé d’une partie de refroidissement avec les échangeurs et la buse

GMV, d’une partie chaude avec le catalyseur, le compresseur de la climatisation ainsi que le turbo, et

enfin d’une partie non chauffante avec la culasse et le carter. L’écoulement d’air monte entre la buse

GMV et le catalyseur avant de continuer son chemin entre l’insonorisation sous capot et la culasse

puis il passe entre la ligne d’échappement et le carter et complète ainsi une boucle. La géométrie

(Figure 2), modulable, se compose donc d’une cavité de 1m3 et d’un bloc en son centre. Ce bloc

partiellement chauffé à une température Tc simule la source de chaleur de la Figure 1. Les parois

horizontales de la cavité devront quant à elles être adiabatiques et les parois latérales maintenues à

une température froide Tf. Un écart de température important 𝑇𝑐 − 𝑇𝑓 ≈ 100℃ , représentatif du

cas réel, doit nous permettre, comme nous le préciserons par la suite, d’aboutir à des nombres de

Rayleigh suffisamment élevés, justifiant du caractère turbulent des écoulements.

Ces écoulements seront caractérisés par de nombreux types d’instabilités. De ce fait, des techniques

de mesures précises seront nécessaires afin d’analyser avec justesse ces phénomènes instables. Il

s’agira d’utiliser la PIV (Particle Image velocimetry) afin d’obtenir les champs de vitesse ainsi que des

micro-thermocouples (12.7 μm) nous autorisant à mesurer localement des températures à une

fréquence pouvant atteindre les 100Hz.

Figure 1 : Vue schématique de l’intérieur du moteur Figure 2 : Schéma de la configuration de base

Au cours de la thèse, on étudiera en premier lieu le régime permanent. Ayant recours aux techniques

préalablement citées, on mesurera les températures moyennes et rms ainsi que les profils de

vitesses à divers emplacements de la cavité. L’analyse des résultats nous servira notamment à

déterminer les tensions de Reynolds, la variance de la température mais également les flux aux

parois. Cette étude nous donnera certaines pistes afin d’appréhender rigoureusement l’étude sur le

régime non-permanent comme par exemple les emplacements optimaux où devront s’effectuer nos

mesures de températures et de vitesses. Enfin, un régime cyclique sera envisagé.

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Mon stage a débuté simultanément avec le lancement du projet. Cette phase de lancement,

primordiale, est bien loin d’être monolithique. J’ai pu d’ores et déjà m’intéresser à divers aspects du

travail d’ingénieur-chercheur. De la conception à l’optimisation en passant par la prise en main des

techniques expérimentales, j’ai goûté à la variété intrinsèque de ce métier et c’est par le biais de ce

rapport que j’essayerai de restituer le plus fidèlement possible mon travail au cours de ces 6 mois.

V – Conception de l’expérience

V.1 – Phénomènes physiques envisagés

V.1.1 – Equations

Les écoulements que nous serons amenés à étudier sont régis par les équations de convection

naturelle. Les équations générales sont identiques à celles rencontrées usuellement en mécanique

des fluides outre la force motrice qui est ici la poussée d’Archimède :

�⃗� = 𝑔 (𝜌 − 𝜌𝑟)

et qui représente la différence entre une force gravitationnelle locale et instantanée en tout point du

fluide (𝜌𝑔 ) et un poids moyen ou représentatif du corps étudié (𝜌𝑟𝑔 ). Le choix de 𝜌𝑟 étant

conditionné par l’écoulement interne considéré (Gebhart, 1988).

Les équations de transports sont donc :

𝐷𝜌

𝐷𝑡+ 𝜌∇ ∙ �⃗� = 0 (é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑡é)

𝜌𝐷�⃗⃗�

𝐷𝑡= 𝜌𝑔 − ∇𝑝 + 𝜇∇2�⃗� +

1

3𝜇∇(∇ ∙ �⃗� ) (é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑢𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡)

𝜌𝑐𝑝

𝐷𝑇

𝐷𝑡= ∇ ∙ 𝜆∇𝑇 + 𝛽𝑇0

𝐷𝑝

𝐷𝑡+ µ𝛷 + 𝑞′′′ (é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙′é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒)

Où :

�⃗� : vecteur vitesse (u, v, w)

𝑇0 : température absolue

∇𝑝 : gradient de pression statique

𝜌𝑔 : poids local

µ𝛷 : dissipation due à la viscosité

𝑞′′′ : production d’énergie

A noter que l’on peut retrouver la poussée d’Archimède en écrivant la différence entre le poids local

et le gradient de pression statique de cette manière :

𝜌𝑔 − ∇𝑝 = �⃗� − ∇𝑝𝑚

Où 𝑝𝑚 = 𝑝 − 𝑝ℎ𝑦𝑑𝑟𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐 : pression motrice

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

12

V.1.2 – Rayleigh et longueur de référence

On caractérise généralement les écoulements de convection naturelle par un nombre adimensionnel

qu’est le nombre de Rayleigh. Celui-ci représente le rapport entre les forces de flottabilité et les

forces visqueuses multipliées par la diffusivité thermique de l’écoulement:

𝑅𝑎 =𝑔𝛽(𝑇𝑐 − 𝑇𝑓)𝐿𝑟𝑒𝑓

3

𝜈𝛼

Avec :

𝐿𝑟𝑒𝑓 : longueur de référence

𝛽 : coefficient de dilatation thermique volumétrique g : accélération de la pesanteur ν : viscosité cinématique α : diffusivité thermique

Au vu de cette équation, il s’agit avant tout de définir une longueur de référence adaptée au cas

étudié. Or notre configuration relativement complexe ne nous permet pas de conclure de prime

abord sur cette longueur. Il nous faut au préalable s’intéresser à des géométries simplifiées mais

proches de notre cas d’étude. Ainsi, lors de l’étude d’un écoulement entre deux parois verticales de

hauteur h et d’espacement l avec h>>l, il semble judicieux de choisir un Rayleigh basé sur la distance

l (Desrayaud and al, 2013). Néanmoins, au sein d’une cavité différentiellement chauffée où h n’est

pas trop grand devant l, la présence de parois hautes et basses (conditions limites fermées) peut

nous amener à préférer un Rayleigh calculé sur la hauteur de la cavité.

La présence, dans notre cas, d’une source de chaleur placée au sein de la cavité implique de faire un

choix entre le Rayleigh calculé sur la hauteur de la source ou bien sur la hauteur de la cavité. Nous

pouvons préférer la première solution en soulignant que la source est le moteur de notre

écoulement (Perrin, 2006). Cependant, tout ceci ne fait sens que sur une seule partie de notre

manipulation (Figure 3, rectangle en pointillés rouges). Et pour cause, choisir une seule et unique

longueur de référence est adapté lorsqu’on dispose d’une géométrie simple mais dès lors que la

géométrie devient plus complexe, il est souvent nécessaire de définir différents rapports de formes

et longueurs de références pour chaque zone d’écoulement (Ménard, 2005). De ce fait, nous

pourrons être amenés à utiliser des Rayleigh locaux pour chacune de ces zones.

Figure 3 : Zone de détermination du Rayleigh

(6)

13

V.1.3 – Rayleigh de transition

Comme indiqué dans la présentation, nous étudierons dans un premier temps le régime permanent

avant de se pencher sur le régime non-permanent. Dès lors, il semble opportun de caractériser la

transition entre ces deux régimes grâce au nombre de Rayleigh simplement appelé Rayleigh critique

ici.

Il s’avère que la géométrie d’une expérience modifie de façon très significative les Rayleigh de

transition à la turbulence. Dans notre cas, les données sont lacunaires de fait d’une géométrie

relativement originale. Il semble donc approprié de s’intéresser une fois de plus au cas de la cavité

différentiellement chauffée qui se rapproche de la situation que rencontre l’écoulement dans la zone

représentée par la figure 3.

Le Rayleigh critique d’apparition des premières instabilités dépend fortement du rapport de forme

𝐴 =𝐻

𝐿 . Pour une cavité carrée (A=1), nous avons un 𝑅𝑎𝑐 qui est de l’ordre de 2.108 (Le Quéré, 1987).

Si nous nous rapportons à notre configuration, notre rapport de forme est bien supérieur et est

compris entre 8 et 10. Pour A=8, Rac est maintenant de l’ordre de 3.105. Néanmoins il faut souligner

que ce Rayleigh est basé sur la largeur de la cavité et que nous disposons de la relation entre ce

Rayleigh et le Rayleigh sur la hauteur : 𝑅𝑎𝐻 = 𝑅𝑎𝐿 ∗ 𝐴3 . Ainsi, pour A=8, nous avons 𝑅𝑎𝑐𝐻 =

1.5. 108 . Pour obtenir un régime pleinement turbulent, (Lankhorst, 1991) et (Paolucci, 1989)

indiquent un Rayleigh basé sur la hauteur de l’ordre de 1010 avec (A=1) . Les Rayleigh s’étendant

entre 108 et 1010 correspondent alors à une période dite de transition. La transition au régime

pleinement turbulent peut être analysée via une étude chaotique (Paolucci, 1989).

V.1.4 – Détermination de la plage de Rayleigh

Nous décidons suite à un entretien avec les partenaires industriels de choisir le Rayleigh basé sur la

hauteur du bloc chauffant:

𝐿𝑟𝑒𝑓 = 𝐻𝑏𝑙𝑜𝑐

Une fois la hauteur 𝐻𝑏𝑙𝑜𝑐 fixée, faire varier notre Rayleigh revient à faire varier notre différence de

température Tc-Tf. De plus, les différents paramètres β, ν et α sont fortement dépendants de la

température. Aussi, nous les calculons avec les formules suivantes :

β =1

𝑇𝑟𝑒𝑓

𝜈 = −1.363528 ∗ 10−14 ∗ 𝑇3 + 1.00881778 ∗ 10−10 ∗ 𝑇2 + 3.452139 ∗ 10−8 − 3.400747 ∗ 10−6

𝛼 =𝜆

𝜌 ∗ 𝐶𝑝

(7)

(8)

(9)

(10)

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Avec :

𝑇𝑟𝑒𝑓 =𝑇𝑐 + 𝑇𝑓

2

𝜆 = 1.5207 ∗ 10−11 ∗ 𝑇3 − 4.857 ∗ 10−8 ∗ 𝑇2 + 1.0184 ∗ 10−4 ∗ 𝑇 − 3.9333 ∗ 10−4

𝜌 = 1.293 ∗273.15

𝑇𝑟𝑒𝑓

Les résultats que nous obtenons sont calculés pour une hauteur de bloc 𝐻𝑏𝑙𝑜𝑐 = 0.8 (la hauteur

retenue pour les expériences) :

Température chaude (°C) Température froide (°C) Rayleigh (𝑹𝒂𝑯𝒃𝒍𝒐𝒄)

30 20 4.97*𝟏𝟎𝟖

40 20 9.20*𝟏𝟎𝟖

70 20 1.84*𝟏𝟎𝟗

120 10 3.07*𝟏𝟎𝟗

Dès lors, nous pouvons envisager une variation de notre Rayleigh comprise approximativement entre

5*108 et 3*109.

De plus, un des objectifs de ce projet étant de comparer les résultats des expériences avec la

simulation numérique, il semble opportun de vérifier si nous sommes dans une gamme de Rayleigh

comparable aux simulations. Une importante base de résultats numériques nous est donnée par

(Versteegh, 1998) qui emploie la DNS afin d’étudier la convection naturelle entre 2 plaques

différentiellement chauffées. Son étude couvre une gamme de Rayleigh basé sur la largeur entre

5.4*105 et 5*106. Or son rapport de forme est A=12. On peut ainsi définir une nouvelle gamme de

Rayleigh des résultats numériques compris entre 9.3*108 et 8.64*109. On remarque que les plages

de Rayleigh expérimentales et numériques se recoupent pour les écoulements instables, le cœur du

projet MONACO. Nous pourrons ainsi comparer nos résultats avec la simulation numérique.

(11)

(12)

(13)

15

V.2 – Choix techniques

V.2.1 – Les échangeurs

Notre dispositif implique le maintien d’une température froide 𝑇𝑓 aux parois intérieures gauche et

droite de la cavité. Pour assurer ce maintien, nous utiliserons des échangeurs (Figure 4).

Figure 4 : vue isométrique du dispositif + échangeurs

Le matériau dans lequel est fabriqué l’échangeur revêt une importance particulière. Ainsi, il doit à la

fois respecter les conditions de rigidité pour permettre son usinage et être bon conducteur de la

chaleur. En effet, pour la précision de nos mesures et le respect de nos conditions aux limites, les

variations de températures sur l’échangeur doivent être minimales. Notre choix s’est alors arrêté sur

l’aluminium 6082-T6541 ayant pour conductivité 𝜆 = 174 𝑊.𝑚−1. 𝐾−1 , conductivité sensiblement

supérieure aux autres types d’aluminium disponibles à un prix raisonnable.

Une plaque d’aluminium 6082-T6541 de la taille de la cavité (1m*1m), d’épaisseur 40mm avec une

profondeur d’usinage de 25mm sera donc usinée et équipée de:

- Vannes inox en entrée et sortie

- Vis de purge en tête de chaque chicane (pour effectuer des purges si des bulles d’airs se

coincent rainures)

Des cryo-thermostats CC-410WL (Figure 7) seront utilisés afin d’alimenter les échangeurs en fluide

(eau) et de contrôler la température (du fluide). Nous ne pourrons néanmoins pas descendre la

température du fluide en dessous de 10°C en raison de la condensation qui se formerait sur la paroi

de l’échangeur.

Il est à noter que les faibles vitesses des écoulements de convection naturelle impliquent des

mesures très fines. Or ces mesures peuvent être notamment perturbées par des problèmes

d’étanchéité. Il faudra donc s’assurer au mieux de la bonne isolation du dispositif. Ainsi, pour

s’assurer de l’isolation côté échangeur, deux plaques de polycarbonate de 10mm chacune seront

vissées directement sur celui-ci côté extérieur. Comme ces plaques sont légèrement transparentes,

nous pourrons contrôler tout obstacle à la bonne circulation du fluide dans l’échangeur (exemple :

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bulles d’air). Pour limiter les effets radiatifs, les échangeurs seront recouverts d’un film d’aluminium

côté intérieur d’émissivité 𝜀 = 0.04 − 0.09.

Pour s’assurer que les parois des échangeurs soient bien uniformes en température, l’écart de

température sera mesuré par deux thermocouples montés en opposition à l’entrée et sortie des

canaux.

Figure 5 : Cryo-thermostats

Voici une photo des échangeurs reçus:

Figure 6 : Echangeurs

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V.2.2 – Les faces latérales

Les faces latérales du dispositif devront être transparentes pour permettre la visualisation de

l’écoulement par PIV et devront respecter la condition d’adiabaticité.

Nous avons donc choisi un verre d’épaisseur 8mm recevant un traitement basse émissivité face

intérieure couplé à des blocs de Styrodur permettant d’assurer une bonne isolation thermique. Ces

blocs seront agencés de sorte que l’on puisse les déplacer pour laisser une fenêtre de visualisation à

l’instar de ce qui a pu être fait chez [Belleoud 2016] :

Figure 7 : Superposition des blocs de Styrodur sur une cavité différentiellement chauffée

Un cadre avec des profilés en aluminium est envisagé afin de maintenir les parois en verre.

V.2.3 – Le bloc chauffant

L’élément crucial du dispositif est son bloc chauffant composé d’une partie chauffante et d’une

partie isolante (Figure 8). La partie chauffante sera réalisée par assemblage de deux plaques

d’aluminium (0.8m*0.4m) d’épaisseur 30mm, coupées dans une seule et même grande plaque afin

de s’assurer de la même épaisseur. On utilisera le même aluminium que pour les échangeurs du fait

de sa bonne conductivité.

Chacune des plaques devra être usinée pour recevoir un thermo-coaxial de 4mm de diamètre qui

fera office de source de chaleur. (L’optimisation de sa géométrie au sein du bloc sera développée

dans la seconde partie). Le bloc lui-même ne dépassera pas les 160°C.

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Figure 8 : bloc chauffant

La partie isolante est également un enjeu à part entière. En effet, la température doit chuter dans

cette partie du bloc afin d’atteindre une température proche de Tf sur le côté droit du bloc. Pour ce

faire, nous avions dans un premier temps l’idée de placer une plaque d’isolant de faible épaisseur et

pouvant résister aux fortes températures directement en contact avec la partie chauffante. Le POM-

C était cher mais respectait nos conditions de résistance ; il nous aurait permis de faire chuter la

température très rapidement pour que l’on puisse compléter le reste de notre partie isolante avec

du Styrodur, matériau isolant bon marché mais ne résistant pas aux fortes températures. Or le flux

développé par notre source chauffante se divise en deux parties ; l’une se dirigeant vers

l’écoulement et l’autre vers la partie isolante du bloc. De plus, comme la partie gauche (partie

chauffante) est beaucoup moins épaisse et bien plus conductrice que la partie isolante, l’extrême

majorité du flux se dirigeait donc vers cette partie gauche ne laissant ainsi qu’une très maigre partie

du flux migrer dans la partie isolante. Ce faisant, il nous était impossible, avec un flux si faible, de

faire suffisamment diminuer la température avec notre plaque de POM-C sans compromettre la

tenue du Styrodur.

Nous avons donc cherché un autre matériau. Notre choix s’est arrêté sur de la laine de roche. Ce

matériau possède une conductivité très faible (𝜆~0.040 𝑊.𝑚−1. 𝐾−1) et résiste à des températures

bien supérieures aux nôtres mais n’est pas rigide. Il s’est alors posé la question de la tenue

mécanique.

Afin de rendre le tout stable mécaniquement, nous avons décidé de maintenir la laine de roche par

des tiges métalliques réparties alternativement entre des plaques de PVC (Figure 9). Il nous faudra

compter environ 16 tiges réparties dans l’épaisseur du bloc. Enfin, afin de parfaire la symétrie du

montage, la partie chauffante du bloc sera reproduite côté droit mais cette fois-ci sans chauffage de

la plaque.

Plusieurs thermocouples seront placés au sein du boc ainsi que sur les parois gauche et droite de

celui-ci afin de contrôler les températures et leurs homogénéités.

Les plans de cette partie sont en cours de réalisation par Nicolas Papin, ingénieur d’études.

19

Figure 9 : Coupe intérieur du bloc chauffant

L’ensemble du bloc chauffant sera tenu par 4 pieds traversant le fond en Styrodur. Les pieds seront

composés d’Alu et de POM-C ; l’aluminium pour la tenue mécanique et le POM-C pour limiter les

ponts thermiques.

V.2.4 – La structure de l’ensemble

Les parois hautes et basses seront en Styrodur, permettant ainsi de respecter la condition

adiabatique.

Le dispositif sera quant à lui surélevé à une hauteur de 0.75m environ afin qu’à hauteur d’homme, on

puisse visualiser le centre de la cavité et sera également maintenu par 4 pieds réglables.

L’ensemble de la structure sera composé de profilés en aluminium pour favoriser la tenue tandis

qu’un cadre avec ces mêmes profilés sera envisagé pour maintenir les parois en verre.

20

VI – Optimisation de l’homogénéité en température

VI.1 – Intérêt et moyens mis en œuvre

VI.1.1 – Description du problème

Nous avons évoqué dans la partie précédente l’utilisation d’un thermocoax de 4mm servant de

source de chaleur pour la partie chauffante de notre bloc. C’est en effet la différence de température

entre notre partie chauffante et l’intérieur de la cavité qui mettra en mouvement notre écoulement

par la poussée d’Archimède. Ainsi, pour pouvoir rendre compte précisément des effets que subira

l’écoulement, il est nécessaire de réduire à priori certaines inhomogénéités du dispositif. Et en

premier lieu, il s’agit de minimiser la différence de température sur la surface de notre partie

chauffante en aluminium.

Pour ce faire, nous pouvons essentiellement modifier la géométrie du thermocoax. Ce dernier est un

fil que l’on peut tordre plus ou moins aisément pour lui appliquer une courbure. On parle de rayon

de cintrage (Figure 10).

Figure 10 : Rayon de cintrage [source : www.alexandrewack.fr]

Le rayon de cintrage est généralement défini par la relation :

𝑅𝑎𝑦𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑡𝑟𝑎𝑔𝑒 = 3 ∗ 𝐷𝑖𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑥𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑓𝑖𝑙

Cette équation varie selon les matériaux utilisés mais nous en aurons besoin pour notre optimisation.

La complexité de l’usinage, effectuée en interne, nous oblige également à se limiter sur des formes

géométriques complexes de type spirales, d’autant que ces formes sont difficilement modélisables

avec les outils à notre disposition.

(14)

21

VI.1.2 – Outils utilisés pour la modélisation

Afin de modéliser notre problème, nous avons utilisé deux logiciels, l’un pour la définition de la

géométrie et le programme d’optimisation et l’autre pour la résolution par éléments finis de

l’équation de chaleur. Le premier est Matlab et le second FlexPDE. Nous avons choisi FlexPDE pour sa

simplicité d’utilisation et ses schémas de résolution préprogrammés. L’idée principale étant de

coupler ces deux logiciels afin de créer une boucle d’optimisation. Une fois la géométrie définie,

FlexPDE l’intègre et lance une simulation. Le résultat est traité par Matlab qui modifie en fonction de

celui-ci la géométrie du thermocoax.

VI.1.3 – Equations et conditions limites

L’étude du champ de température dans la partie chauffante du bloc relève d’un problème de

conduction 3D en régime permanent. Ainsi l’équation de la chaleur se réduit à :

∇ ∙ (−𝜆 ∙ ∇�⃗� ) = 𝑆

Où

𝜆 : conductivité thermique (𝑊.𝑚−1. 𝐾−1)

𝑆 : source (𝑊.𝑚−3) Ici le terme de production volumique correspond au flux de chaleur développé par le thermocoax.

La modélisation de notre problème ne se réduit pas à la partie chauffante. Nous modélisons

également la partie isolante. Néanmoins, pour ne pas complexifier inutilement cette modélisation,

nous traitons cette partie comme une plaque de Pom-c de 15mm associée à un bloc de Styrodur

d’épaisseur 75 cm (Figure 11).

Figure 11 : Bloc chauffant modélisé sous FlexPDE

(15)

22

Les conditions limites aux quatre parois du bloc sont toutes de même nature et traduisent un

échange de chaleur par convection avec l’air contenu dans la cavité. On l’exprime avec la loi linéaire

de Newton :

𝜑𝑠 = ℎ ∗ (𝑇 − 𝑇∞)

Où :

ℎ : coefficient d’échange (𝑊.𝑚−2. 𝐾−1)

𝑇∞ : température loin de la paroi On choisit arbitrairement ℎ = 10 𝑊.𝑚−2. 𝐾−1, valeur courante pour des échanges non forcés et

𝑇∞ = 293𝐾, la température de l’échangeur.

VI.2 – Particle Swarm Optimisation

VI.2.1 – Description du problème et premiers essais

La partie optimisation de notre problème s’est donc effectuée sur Matlab. Le logiciel propose en

effet plusieurs programmes prédéfinis permettant d’effectuer l’optimisation voulue.

Afin de bien choisir notre programme d’optimisation, il faut pouvoir définir assez précisément les

caractéristiques de notre problème. Celui-ci s’avère être :

- Multidimensionnel

- Non-linéaire

- Avec contraintes

Il restait donc à trouver un programme compatible avec ces caractéristiques.

J’ai dans un premier temps utilisé le programme d’optimisation fminsearch modifié pour recevoir des

contraintes (D'Errico, 2012). Ce programme qui donnait une solution proche de la solution finale ne

convergeait néanmoins pas et ce malgré des tolérances élevées sur les paramètres optimisés et la

solution. L’auteur du dit programme pointe en effet quelques soucis à ce niveau.

J’ai donc choisi d’utiliser un autre programme ; fmincon. Malheureusement, il s’est avéré que notre

problème contenait de nombreux minima locaux et que fmincon convergeait vers ceux-ci sans jamais

atteindre la solution globale de notre problème. Malgré l’utilisation couplée de fmincon avec un

solver cherchant un minimum global, nous n’arrivions pas à converger.

C’est grâce au programme particle swarm optimization que j’ai pu enfin converger vers le minimum

global de mon problème. Nous allons détailler ce programme dans la partie suivante.

(16)

23

VI.2.2 – Description du solver

Particle swarm optimization (en français : optimisation par essaims particulaires) est une méthode

d’optimisation récente, datant de 1995, développée par Dr. Eberhart et Dr. Kennedy et qui se base

en grande partie sur le comportement des agrégations d’oiseaux et des bancs de poissons.

Cette méthode qui trouve ses racines dans le monde du vivant n’est pas unique. D’autres comme

l’algorithme génétique, méthode proche du PSO car l’initialisation de solutions aléatoires et

l’évolution par générations sont identiques, ou encore l’algorithme de colonies de fourmis sont

autant d’exemples prouvant que le processus d’optimisation est avant tout un phénomène naturel.

Pour comprendre l’idée générale du solver PSO, on peut supposer qu’un groupe d’oiseaux recherche

de la nourriture dans une certaine zone et qu’il n’existe qu’un seul morceau de nourriture à

disposition dans celle-ci. De plus, nous supposons qu’aucun oiseau ne connait l’emplacement du

morceau de nourriture mais qu’en revanche, ils savent parfaitement à quelle distance ils se trouvent

de la nourriture et ce à chaque déplacement. La meilleure stratégie pour trouver la nourriture

consiste donc à suivre l’oiseau qui se trouve être le plus proche du morceau.

Si nous traduisons désormais ce petit scénario dans le PSO, chaque solution représente un oiseau

dans l’espace. Tous les oiseaux, que l’on appellera « particules », ont un certain poids estimé par la

fonction à optimiser et une certaine vitesse qui dirige directement ces particules. Ainsi, les particules

voyagent à travers l’espace de notre problème en suivant les particules optimales.

L’initialisation s’effectue donc avec un groupe de particules aléatoires (les solutions) qui recherchent

un optimum en s’actualisant à chaque itération et ce en suivant les deux « meilleures » solutions. La

première correspond à la meilleure solution (poids) atteinte par la particule jusqu’alors (appelée

pbest) tandis que la seconde est la meilleure solution que l’ensemble de la population de particules a

pu trouver (appelée gbest, g pour global).

Après près avoir trouvé ces meilleures solutions, la particule met à jour sa vitesse et sa position avec

les équations suivantes :

𝑣 = 𝑣 + 𝑐1 ∗ 𝑟𝑎𝑛𝑑 ∗ (𝑝𝑏𝑒𝑠𝑡 − 𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑝) + 𝑐2 ∗ (𝑔𝑏𝑒𝑠𝑡 − 𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑝)

𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑝 = 𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑝 + 𝑣

Où :

𝑣 : vitesse de la particule 𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑝 : particule actuelle (solution)

𝑟𝑎𝑛𝑑 : nombre aléatoire entre 0 et 1

𝑐1𝑒𝑡 𝑐2 : coefficients de pondération (généralement égaux à 2)

(17)

(18)

24

On peut ainsi écrire un pseudo-code retraçant les étapes du PSO :

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Pseudo-code PSO %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Pour chaque particule Initialiser la particule Fin Faire Pour chaque particule Calculer le poids Si le poids calculé est meilleur que le meilleur poids calculé jusqu’alors (pBest) Actualiser le poids avec cette nouvelle valeur Fin Choisir la particule avec le meilleur poids au sein de toutes les particules (gBest) Pour chaque particule Calculer la vitesse de la particule (équation (17)) Actualiser la position de la particule (équation (18)) Fin Tant que le maximum d’itérations ou un critère minimal n’est pas atteint %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Il est à noter qu’une vitesse maximale qu’une particule peut atteindre doit être définie par l’utilisateur.

25

VI.2.3 – Implémentation du PSO

Nous avons donc décidé de nous restreindre à une forme classique en serpentin. Le paramètre à

optimiser sera la hauteur de chaque courbure au sein du bloc chauffant (Figure 12) et ce afin de

rendre la température la plus homogène possible comme évoqué précédemment notamment en

essayant de réduire les effets de bords.

Ce choix a été effectué après avoir remarqué la répartition circulaire et concentrée de la chaleur lors

d’une simulation où le serpentin était dans une géométrie non modifiée (c-à-d même hauteur pour

chaque courbure du serpentin). Ce faisant, diminuer la hauteur centrale du serpentin aurait

éventuellement pu compenser la différence de température.

Figure 12 : Représentation sous FlexPDE de la géométrie et des paramètres à étudier

Nous avons décidé de procéder en 2 étapes. Dans un premier temps, nous chercherons à optimiser

cette hauteur en utilisant deux polynômes associés aux possibles hauteurs dans le bloc.

26

Par la suite, nous avons cherché à optimiser chaque hauteur du serpentin de manière indépendante

(aucunement régie par une fonction polynomiale ou autre).

Les deux optimisations ont été effectuées avec le PSO. Seul le nombre de paramètres à optimiser

diffère selon les utilisations. En effet, pour l’optimisation polynomiale, nous recherchions

uniquement 2 paramètres que sont les coefficients « a » des polynômes (les coefficients « b » et « c »

pouvant être déduits du coefficient « a ») alors que chaque hauteur étant indépendante, nous

devions optimiser 17 paramètres pour la dernière optimisation.

Notre fonction objectif que l’on cherche à minimiser est définie par :

𝐹 = (∆𝑇𝑚𝑎𝑥)

Où ∆𝑇𝑚𝑎𝑥 représente l’écart de température maximum sur la surface du bloc.

VI.3 – Résultats de l’optimisation

VI.3.1 – Cas polynomial

Comme évoqué précédemment, nous avons cherché à optimiser notre problème à l’aide de deux

polynômes du second degré définissant les hauteurs de chaque courbure. Les courbures en haut du

bloc seront appelées par la suite courbures hautes et définies par un polynôme dit supérieur tandis

que les courbures en bas du bloc seront appelées courbures basses et définies par un polynôme dit

inférieur.

Afin de diminuer le nombre de paramètres à optimiser, nous avons posé des conditions sur nos

polynômes que sont :

- 𝑓(𝑥𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒) = 𝑓(𝑥𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒)

- 𝑓′(𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒) = 0

Où la dimension x parcourt la longueur du bloc ; 𝑥𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒 est au centre de la première courbure ;

𝑥𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒 est au centre de la dernière courbure ; 𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒 est au centre de la courbure centrale

Ce faisant, nous avons déterminé les coefficients « b » et « c » des polynômes du second degré

définis par nos conditions ci-dessus :

𝑏 = −0.78𝑎

𝑐 = 0.78 + 0.0296𝑎 (𝑝𝑜𝑙𝑦𝑛ô𝑚𝑒 𝑠𝑢𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟)

𝑐 = 0.01 + 0.0296𝑎 (𝑝𝑜𝑙𝑦𝑛ô𝑚𝑒 𝑖𝑛𝑓é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

27

Ensuite nous avons lancé notre simulation dont voici les résultats (#programme en annexe#):

Figure 13 : Résultats de l’optimisation avec polynômes

Le résultat de notre optimisation nous montre que la forme optimale de notre serpentin (Figure 14)

est très proche de la forme classique non-modifiée. Néanmoins, on peut remarquer une légère

surélévation en bas du bloc (donnée par le polynôme inférieur) et qui peut s’expliquer par la non-

symétrie de cette forme vis-à-vis de l’axe X. En effet, on compte 7 courbures pleines en haut du bloc

contre 8 en bas de celui-ci.

Les valeurs optimisées des deux coefficients « a » des polynômes supérieurs et inférieurs sont :

- 𝑎1 = 0 𝑒𝑡 𝑎2 = −0.1 On peut alors en déduire nos coefficients « b » et « c » avec (23) et (24) :

- 𝑏1 = 0 𝑒𝑡 𝑏2 = 0.078

- 𝑐1 = 0.780 𝑒𝑡 𝑐2 = 0.007

(25)

(26)

(27)

28

L’écart minimal de température calculé est de 1.275°C contre 1.342°C pour une géométrie non-

modifiée. La différence gagnée est donc de l’ordre de 1/10 de degré et n’est pas suffisante dans l’état

pour envisager de modifier la géométrie du thermocoax. Seulement, cette première optimisation

nous aura permis de justifier d’une tendance et de prouver que la géométrie que l’on avait imaginée

de base produit des résultats proches de la géométrie optimale.

VI.3.2 – Cas complexe

Dans un second temps, nous avons décidé de complexifier notre optimisation afin d’être au plus près

de la géométrie optimale. Pour ce faire, chaque hauteur de courbure devient libre et paramétrable.

Dès lors, l’optimisation concerne 17 paramètres.

Dans un premier temps, j’ai limité les hauteurs des courbures basses entre ℎ = 0.01 𝑒𝑡 ℎ = 0.40

ainsi que les hauteurs des courbures hautes entre ℎ = 0.041 𝑒𝑡 ℎ = 0.78 afin que les hauteurs de

chaque courbures ne se croisent pas.

Cependant, le temps de calcul d’une telle simulation s’est avéré beaucoup trop important.

J’ai donc choisi de réduire la plage de recherche des hauteurs de chaque courbure grâce à notre

précédente optimisation et ce en supposant que notre cas polynomial nous donnait une tendance

juste.

Ainsi, les hauteurs de courbures basses sont désormais comprises entre ℎ = 0.01 𝑒𝑡 ℎ = 0.04 tandis

que les hauteurs des courbures hautes sont comprises entre ℎ = 0.75 𝑒𝑡 ℎ = 0.78.

Malheureusement, les temps de calculs toujours aussi conséquents ne me permettent pas de présenter des résultats dans ce rapport. Le mois de stage restant permettra sans aucun doute d’obtenir les résultats escomptés.

29

VII – Expériences sur une cavité différentiellement chauffée

VII – 1. Description de la cavité et des expériences

VII.1.1 – la cavité différentiellement chauffée

Notre dispositif n’étant pas encore conçu, nous avons néanmoins décidé en accord avec mon maître

de stage, Florian Moreau, de s’intéresser à l’expérience d’un doctorant, Paul Chorin, afin que je

puisse prendre en main les techniques de mesures nécessaires à la poursuite en thèse du sujet. Cet

élève travaille actuellement sur la modification des transferts de chaleur en convection naturelle par

perturbation thermique localisée. Les phénomènes de convection naturelle sont étudiés au sein

d’une cavité différentiellement chauffée, c’est-à-dire qu’une paroi latérale est à une température

chaude 𝑇𝑐 tandis que l’autre est à une température froide 𝑇𝑓. Cette cavité a pour dimension

48 ∗ 12 ∗ 14 𝑐𝑚 (𝐻 ∗ 𝐿 ∗ 𝑃) (Figure 14)

Figure 14 : Dimensions de la cavité Figure 15 : Cavité différentiellement chauffée avec les deux obstacles

Comme l’indique son sujet de thèse, un des principaux objectifs de Paul Chorin est d’étudier les

éventuelles modifications thermiques que peuvent engendrer des obstacles placés dans la cavité.

Ainsi, une campagne de mesures qui porte sur le relevé de températures et de vitesses suite à la

mise en place de deux obstacles de longueur 2cm et espacés d’1 cm a été décidée. Cette dernière fait

suite à une première étude sur l’influence des transferts thermiques d’un unique obstacle dans la

cavité qui ne sera pas présentée dans la suite du rapport. Mon objectif se résume donc à comparer

notre étude avec le cas sans bouchon. Les deux bouchons seront en liège, de conductivité

𝜆 = 0.047 𝑊.𝑚−1. 𝐾−1 placés de part et d’autre du plan médian (0.5cm d’écart au plan) à une

hauteur Z=0.25 (ℎ = 12 𝑐𝑚) où Z représente la hauteur adimensionnée (𝑍 =𝑧

𝐿𝑟𝑒𝑓=

𝑧

𝐻) (Figure 15).

30

VII.1.2 – Description des techniques de mesures

VII.1.2.1 – PIV

La PIV (Particle Image Velocimetry) est une technique optique de mesure de vitesses instantanées

(Figure 16). Elle est non-intrusive et consiste à enregistrer le déplacement de particules en

mouvement entre deux impulsions lumineuses. La caméra liée à l’enregistrement est capable de

percevoir et distinguer chaque impulsion comme une image propre du champ des particules. Dès

lors, si une même particule est reconnue au sein des images alors il est possible d’en déduire son

vecteur vitesse connaissant son déplacement et l’intervalle de temps entre les acquisitions.

Finalement, c’est un champ de vitesse complet de l’écoulement qui peut être déterminé en séparant

les images en fenêtres d’interrogation où sont calculées des corrélations sur l’intensité lumineuse

réfléchie par les particules.

Figure 16 : Obtention d’un champ de vitesse par PIV [source : Dantec]

VII.1.2.2 – Micro-thermocouples

Le principe d’un thermocouple repose sur l’effet Seebeck. Celui-ci stipule qu’un potentiel électrique

peut être généré entre deux métaux en boucle ouverte si leurs soudures sont à deux températures

différentes. Si nous récupérons ce potentiel, nous pouvons dès lors remonter à la température par la

formule :

𝑑𝑉 = 𝑆𝑎𝑏(𝑇). 𝑑𝑇

où

𝑆𝑎𝑏 : coefficient de Seebeck

𝑉: tension entre les bornes

𝑇 : température

(28)

31

Les thermocouples dont nous disposons sont de type K (Chromel/Alumel) et sont réalisés au sein

même du laboratoire. Ils sont remarquables par leur taille (12.7 μm de diamètre) et sont soudés par

arc-électrique afin de créer une jonction au centre du fil (Figure 17). De par leur taille, les micro-

thermocouples ont une faible inertie thermique et une zone de mesure localisée. De plus, ils sont

peu intrusifs.

Figure 17 : Zoom sur un microthermocouple

VII.1.2 – Dispositif expérimental

VII.1.2.1 – Mise en place des micro-thermocouples

Toutes les mesures seront effectuées dans le plan médian de la cavité. Afin de déplacer le micro-thermocouple dans celle-ci, un système de translation par le biais d’une canne a été mis au point (Figure 18).

Figure 18 : Canne et système de translation

Le déplacement est contrôlé via un programme implanté dans le logiciel Labview. Dès lors, on peut

aisément déplacer le micro-thermocouple horizontalement et verticalement sur le plan.

Soudure chaude

Céramique creuse contenant les fils de chromel et d’alumel

canne

Fixation thermocouple

Haut de la cavité

32

De plus, du papier millimétré et gradué a été collé au fond de la cavité de sorte que l’on puisse

positionner précisément le thermocouple à l’abscisse et l’ordonnée souhaitées (Figure 19).

Figure 19 : micro-thermocouple devant le papier millimétré

Enfin, avant de procéder aux mesures, il est nécessaire de contrôler les températures des cryos 𝑇𝑐 𝑒𝑡 𝑇𝑓 telles que la différence de température entre la température de la pièce (mesurée par un

thermocouple extérieur) et la température moyennée 𝑇0 =𝑇𝐶+𝑇𝑓

2 soit inférieure à 0.5°C et ce pour

éviter que l’environnement extérieur (la pièce) ait un impact sur les mesures. La pièce n’est en effet pas à la même température en hiver ou en été.

VII.1.2.2 – Mise en place de la PIV

Le laser utilisé est un laser Nd-YAG Litron® de classe 4 à double-tête.

Il est nécessaire d’ensemencer la cavité avec de petites particules avant de pouvoir utiliser la PIV. Pour cela, on utilise un générateur de fumée de spectacle directement relié par un système de tuyaux à la cavité. Une fois la cavité ensemencée, on peut dès lors utiliser le laser afin de procéder aux mesures. Celui-ci, placé latéralement, va couvrir tout le plan médian de la cavité grâce à une ouverture sur la paroi latérale (Figure 20)

Enfin, la caméra haute résolution CCD Phantom® v9.2 de résolution 1632*1200 pixels qui enregistre

le déplacement des particules est reliée à un ordinateur qui lui-même contrôle l’état du laser et la caméra. A noter toutefois que le système n’étant pas parfaitement isolé, la fumée s’échappe lentement de la cavité. Il faut donc être assez rapide pour effectuer nos mesures (en 1 heure environ).

canne

Micro-thermocouple

graduations

33

Figure 20 : Photo du montage annotée

VII.2 - Expériences et résultats

VII.2.1 – Profils de températures

Les profils de températures horizontaux ont été évalués juste en amont et en aval des bouchons, respectivement à Z=0.2 (h=9.6cm) et Z=0.281 (h=13.488) alors que pour rappel, les bouchons sont

placés à Z=0.25 (Figure 21). La température adimensionnée est donnée par 𝜽 =𝑻−𝑻𝟎

∆𝑻 où 𝑻𝟎 =

𝑻𝑪+𝑻𝒇

𝟐

ainsi que la distance à la paroi 𝑿 =𝒙

𝑳𝒓𝒆𝒇=

𝒙

𝑯

Figure 21 : Températures adimensionnées en fonction de la distance (en cm) à la paroi chaude sans présence d’obstacle

La température en Z=0.281 se trouve être légèrement plus élevée qu’en amont (Figure 21). Néanmoins, les profils semblent décrire une même tendance.

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

tem

pé

ratu

res

adim

en

sio

nn

ée

s

distance à la paroi adimensionnée

Z=0.2 (amont)

Z=0.281 (aval)

34

Intéressons-nous désormais aux résultats du cas avec obstacles cylindriques :

Figure 22 : Températures adimensionnées en fonction de la distance (en cm) à la paroi chaude avec présence d’obstacles

On remarque que la température à la paroi est quasiment identique pour les deux hauteurs définies (Figure 22). Cependant, celle-ci chute plus rapidement lorsqu’on est en amont des deux bouchons (Z=0.2) avant de se stabiliser à une valeur proche de celle en aval. Il y aurait donc vraisemblablement un réchauffement de l’écoulement en aval des obstacles. Superposons désormais nos courbes afin de comparer nos deux cas :

Figure 23 : Températures adimensionnées en fonction de la distance (en cm) à la paroi chaude avec et sans présence d’obstacle

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

tem

pé

ratu

res

adim

en

sio

nn

ée

s

distance à la paroi adimensionnée

Z=0.2

Z=0.281

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,05 0,1 0,15

tem

pé

ratu

res

adim

en

sio

nn

ée

s

distance à la paroi adimensionnée

Z=0.2

Z=0.281

Z=0.2 (obstacles)

Z=0.281 (obstacles)

35

Nous remarquons que les deux profils à Z=0.2, avec ou sans obstacle, se superposent (Figure 23). On constate donc que les obstacles cylindriques n’ont pas d’influence sur la température de l’écoulement lorsqu’on se place en amont de ceux-ci. A contrario, les deux profils calculés à Z=0.281, outre le fait qu’ils tendent vers une même température lorsqu’on s’éloigne suffisamment de la paroi, présentent des tendances bien différentes. En effet, la température avec présence des obstacles diminue bien plus lentement que celle dans le cas sans obstacle. Il existe dès lors un réchauffement en aval des bouchons qui pourrait s’expliquer par le passage plus étroit entre les deux obstacles. De plus, nous avons également mesuré un profil de températures vertical à 1cm de la paroi et en débutant juste en aval des bouchons à Z=0.281:

Figure 24 : Représentation de la température adimensionnée le long de la cavité avec et sans obstacle

Alors que l’absence d’obstacle conduit à une élévation régulière de la température le long de la paroi chaude de la cavité, la présence d’obstacles cylindriques perturbe fortement l’écoulement. En effet, avec les deux obstacles, la température juste en aval de ceux-ci est plus élevée que dans le cas sans obstacle (Figure 24). Dans ce dernier cas, la température augmente légèrement entre 13.5cm et 14.5cm puis diminue jusqu’à 19cm avant d’augmenter à nouveau pour enfin rejoindre le profil du cas sans bouchon. Dans la mesure où l’écoulement est perturbé, il apparait judicieux de s’intéresser aux champs de vitesse dans la cavité afin de préciser cette perturbation.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

-0,1 0 0,1 0,2 0,3

hau

teu

r ad

ime

nsi

on

né

e

températures adimensionnées

Représentation de la température adimensionnée le long de la paroi chaude

X=0.021 (avec deux obstacles)

X=0.021 (sans obstacle)

Zone perturbée

36

VII.2.2 – Champs de vitesse

Les profils de vitesses ont été évalués dans le plan médian de toute la cavité. Une superposition des champs moyens calculés par la PIV et analysés sur Matlab nous permet dès lors d’obtenir une visualisation du champ global dans la cavité. Comme nous évaluons les champs dans le plan médian, la vitesse qui nous intéresse ici est la vitesse verticale adimensionnée :

𝑊 =𝑤

𝑉𝑟𝑒𝑓

Où

𝑉𝑟𝑒𝑓 =𝛼

𝐻√𝑅𝑎𝐻

Enfin, on moyenne temporellement ces vitesses afin d’obtenir les champs moyens. Les lignes de courant sont également tracées (Figure 25).

Figure 25 : Représentation des champs de vitesses et superposition des lignes de courant dans la quasi-totalité de la cavité

Il s’agit essentiellement de s’intéresser au comportement de l’écoulement autour de la zone Z=0.25 où sont placés les obstacles. Intéressons-nous dans un premier temps au cas de référence, le cas sans obstacle :

(29)

(30)

37

Figure 26 : Champs de vitesse et lignes de courant sans présence d’obstacle

On remarque que l’écoulement est rapide le long de la paroi et diminue lorsqu’on s’éloigne de celle-ci (Figure 26). De plus, l’écoulement dévie aux alentours de X=0.04 pour descendre dans la cavité avec des vitesses très faibles. On note également la présence d’un écoulement provenant de l’intérieur de la cavité. Zoomons désormais sur notre cas avec obstacles:

Figure 27 : Champs de vitesse et lignes de courant avec présence de deux obstacles cylindriques

38

Naturellement, l’écoulement est dévié par les obstacles cylindriques (Figure 27), entraînant ainsi une augmentation de la composante verticale de vitesse pour les X compris entre 0.04 et 0.1. On remarque également une élévation de la vitesse juste en aval de l’obstacle à Z=0.28. C’est l’effet Venturi du au rétrécissement du passage de l’écoulement entre les deux obstacles qui serait à l’origine de cette élévation de vitesse. Notons tout de même la présence d’une erreur de calcul vers X=0.03. Comparons désormais ce cas avec le cas sans obstacle pour d’affiner nos premières observations. Pour ce faire, nous déterminons également le champ résultant de la soustraction entre le champ de vitesse pour notre cas avec 2 obstacles et le champ de vitesse pour le cas sans obstacle (Figure 29) afin de rendre compte précisément des différences dues à l’obstacle.

Figure 28 : Champs de vitesse résultant de la soustraction des champs du cas avec deux obstacles et du cas sans obstacle.

La Figure 28, dont les lignes de courant conservées sont celles du cas avec obstacles, nous montre que les vitesses entre X=0.04 et X=0.1, zone d’influence des obstacles, sont plus élevées pour le cas avec obstacles que sans obstacle et confirme donc la déviation de l’écoulement. Cependant, le champ résultant de la soustraction préalablement définie nous indique également que les vitesses en proche paroi sont plus faibles pour le cas avec obstacles que pour le cas sans. Ce phénomène présent en amont comme en aval du bouchon, serait aussi la conséquence de la déviation de l’écoulement par les bouchons. En effet, une partie se dirigeant vers l’extérieur du bouchon, l’inertie de l’écoulement s’en trouverait modifiée, diminuant de facto les échanges le long de la paroi.

39

Nous pouvons synthétiser l’évolution de l’écoulement pour nos deux cas autour de la position de l’obstacle: Cas sans obstacle:

- Ecoulement rapide le long de la paroi - Ecoulement plus lent à l’écart de la paroi - Présence d’un écoulement provenant de l’intérieur de la cavité

Cas double obstacles :

- Ecoulement dévié vers l’intérieur de la cavité - Ecoulement plus rapide vers l’intérieur de la cavité - Ecoulement plus lent le long de la paroi (en amont et en aval)

VII.2.3 – Transferts de chaleur et nombre de Nusselt

La dernière partie qui nous intéresse concerne les transferts de chaleur à la paroi. Ceux-ci sont caractérisés par le nombre de Nusselt :

𝑁𝑢 = ℎ𝐿𝑐

𝜆

Or nous pouvons la traduire différemment pour notre cas d’étude. En effet,

Avec :

Ainsi, il devient aisé de calculer le Nusselt connaissant notre rapport de forme. Il suffit de calculer la dérivée de notre température adimensionnée en proche paroi. Pour ce faire, on décide de placer notre micro-thermocouple à l’extrême limite avant de toucher la paroi et de prendre une succession de points depuis la paroi jusqu’à 0.5cm. Ces mesures sont très précises et demandent une attention toute particulière, il est notamment nécessaire de contrôler si le coefficient 𝑅2 est suffisamment proche de 1 (>0.995) pour calculer une pente correcte. Les Nusselt sont calculés pour différents Z allant de Z=0.3 à Z=0.8 :

(31)

(32)

(33)

40

Figure 29 : Nusselt en fonction de la hauteur adimensionnée Z

Juste en aval des obstacles cylindriques, les échanges sont moins importants comparés au cas sans obstacle (Figure 29). On peut relier cette diminution d’échanges avec la chute de vitesse observée par la PIV le long de la paroi. Comme l’écoulement met plus de temps à traverser la zone, on peut émettre l’hypothèse que celui-ci se réchauffe. Or si l’écoulement se réchauffe, alors l’écart de température entre la paroi et la cavité diminue et de fait entraîne une diminution des transferts. Cet écart sensible entre les deux cas d’étude est une preuve du rôle majeur de l’obstacle sur l’écoulement. Néanmoins, les deux courbes tendent par se rejoindre lorsqu’on s’élève en hauteur dans la cavité, et montrent donc que l’influence des obstacles sur l’écoulement est localisée. Des investigations sont à mener plus en profondeur.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 2 4 6 8 10

Z

Nusselt (paroi chaude)

Cas avec obstaclescylindriquesCas sans obstaclecylindrique

Zone perturbée

41

VIII - Conclusion

La diversité de mon stage s’oppose à une conclusion méthodique. En effet, il s’agit plus de donner un

état d’avancement sur le sujet à proprement parlé.

La partie conception, bien engagée, a vu l’envoi de plusieurs devis pour les différents matériaux afin

de procéder au plus vite à la mise en place de l’expérience. Nous avons déjà reçu les échangeurs.

Cette partie a donné lieu à plusieurs réunions et de nombreux échanges avec mes encadrants, les

techniciens et les partenaires industriels.

Les résultats de la partie optimisation, s’ils ne diffèrent pas véritablement de ceux que nous avions

imaginés à priori, ont permis tout du moins de les confirmer. La partie complexe reste néanmoins à

être simulée dans la suite et fin de ce stage pour préciser ou peut-être confondre nos premiers

résultats.

Enfin, la partie expérimentale aura été pour moi un excellent moyen de prendre en main les

techniques de mesures afin d’être fin prêt à leur utilisation au cours de la thèse. Elle m’aura

également permis d’appréhender un sujet assez similaire au mien et de me renseigner sur des

phénomènes que je serai à même de rencontrer pendant la thèse.

Cette expérience aura été particulièrement enrichissante et me lance sous les meilleurs auspices

dans un travail de recherche sur 3 ans.

Comme mon stage se termine le 30 septembre, il me reste à terminer l’étude de la partie

optimisation avec notre cas complexe. Nous allons également continuer sur l’avancement de la

partie conception et commencer le montage de notre dispositif.

42

Bibliographie

D'Errico, John. 2012. MathWorks File Exchange. MathWorks. [En ligne] 2012.

https://fr.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/8277-fminsearchbnd-fminsearchcon.

Desrayaud and al. 2013. Benchmark solutions for natural convection flows in vertical channels

submitted to different open boundary conditions. International Journal of Thermal Sciences. 2013,

pp. 18-33.

Gebhart. 1988. Buoyancy-Induced Flows and Transport. s.l. : Springer, 1988.

Lankhorst. 1991. Laminar and turbulent natural convection in cavities. Thèse. 1991.

Le Quéré. 1987. Etude de la transition à l'instationnarité des écoulements de convection naturelle en

cavité verticale différentiellement chauffée par méthodes spectrales chebyshev. Thèse. 1987.

Ménard. 2005. Convection naturelle dans une cavité contenant une source de chaleur. Thèse. 2005.

Paolucci. 1989. Transition to chaos in a differentially heated vertical cavity. J. Fluid Mech. 1989, pp.

vol 201, pp. 379-410.

Perrin. 2006. Analyse expérimentale des écoulements de convection naturelle et mixte en espace

confiné. Thèse. 2006.

Versteegh. 1998. Turbulent budgets of natural convection in an infinite, differentially heated, vertical

channel. International Journal of Heat and Fluid Flow. 1998, pp. 135-149.

43

Annexes

Définition de la géométrie et résolution de l’équation de chaleur

function ecart_min_max = flexgeomMinMax(V) %----------------------------------------------------------% %//nouvelle paramétrisation de la géométrie du thermocoax//% %----------------------------------------------------------%

%% initialisation des paramètres %%

v_1=V(1); v_2=V(2); % e=0.05;

l=0.78; %largeur du bloc chauffant H=0.8; %hauteur du bloc chauffant e=0.04; %espacement du thermocoax d=0.01; %diamètre du thermocoax eb=0.01; %écart au bord dis=e+2*d; %longueur d'un pattern de thermocoax h=H-2*eb; %hauteur du thermocoax a=0.01; % x=[dis,0] % y=[e,0] % z=[0,h] N=1000;

%% initialisation des vecteurs 1ère partie %% vec_a(1)= eb; vec_a(2)= vec_a(1) + dis; vec_a(3)=vec_a(2); vec_a(4)=vec_a(3)+e; vec_b(1)=eb; vec_b(2)=vec_b(1); vec_b(3)=eb+h-d; vec_b(4)=vec_b(3);

%% détermination du premier vecteur (longueur-1ère partie) %%

for i=2:1:(N/4) vec_a(3+2*(i-1))=vec_a(2*i); vec_a(2+4*(i-1))=vec_a(4*(i-1))+dis; vec_a(4*i)=vec_a(2+4*(i-1))+e; end

%% détermination du deuxième vecteur (hauteur-1ère partie) %% for i=2:1:(N/4) vec_b(1+4*(i-1))=vec_b(4*(i-1)-2); vec_b(2+4*(i-1))=vec_b(1+4*(i-1)); vec_b(3+4*(i-1))=vec_b(4*(i-1)); vec_b(4*i)=vec_b(3+4*(i-1)); end

44

%% assemblage %%

for j=1:1:N if vec_a(j)<l && vec_a(j)>0 A(j)=vec_a(j); B(j)=vec_b(j); end end %% concaténation %%

C=transpose(A); D=transpose(B); M = [C D];

%% initialisation des vecteurs 2ème partie %%

vec_c(1)=C(length(C)); m=C(length(C)-1)-C(length(C)-2); if m>dis-0.0001 vec_c(2)=vec_c(1)-d; else vec_c(2)=vec_c(1)+d; end vec_c(3)=vec_c(2); if vec_c(2)==vec_c(1)-d vec_c(4)=vec_c(3)-e; else vec_c(4)=vec_c(3)-dis; end

if D(length(D))>h-0.001 vec_d(1)=D(length(D))+d; else vec_d(1)=D(length(D)); end vec_d(2)=vec_d(1); if vec_d(2)==D(length(D))+d vec_d(3)=vec_d(2)-h+d; else vec_d(3)=vec_d(2)+h; end vec_d(4)=vec_d(3); if vec_d(4)==vec_d(2)-h+d vec_d(5)=vec_d(2); else vec_d(5)=vec_d(1)+d; end vec_d(6)=vec_d(5); vec_d(7)=vec_d(3); vec_d(8)=vec_d(7);

%% détermination du 1er vecteur (longueur-2ème partie) %%

if vec_c(4)==vec_c(3)-e for i=2:1:(N/4) vec_c(3+2*(i-1))=vec_c(2*i); vec_c(2+4*(i-1))=vec_c(4*(i-1))-dis; vec_c(4*i)=vec_c(2+4*(i-1))-e; end

45

else for i=2:1:(N/4) vec_c(3+2*(i-1))=vec_c(2*i); vec_c(2+4*(i-1))=vec_c(4*(i-1))-e; vec_c(4*i)=vec_c(2+4*(i-1))-dis; end end

%% détermination du 2ème vecteur (hauteur-2ème partie) %%

for i=3:1:(N/4) vec_d(1+4*(i-1))=vec_d(4*(i-1)-2); vec_d(2+4*(i-1))=vec_d(1+4*(i-1)); vec_d(3+4*(i-1))=vec_d(4*(i-1)); vec_d(4*i)=vec_d(3+4*(i-1)); end

%% ré-initialisation du vecteur longueur %% vec_a(1)= eb; vec_a(2)= vec_a(1) + dis; vec_a(3)=vec_a(2); vec_a(4)=vec_a(3)+e;

%% détermination du premier vecteur (longueur-1ère partie) %%

for i=2:1:(N/4) vec_a(3+2*(i-1))=vec_a(2*i); vec_a(2+4*(i-1))=vec_a(4*(i-1))+dis; vec_a(4*i)=vec_a(2+4*(i-1))+e; end

%% initialisation de la géométrie particulière dépendante du polynôme %%

for i=1:15 x(i)=(vec_a(2*i-1)+vec_a(2*i))/2; end %v_1=0.3; %coefficient a du polynome supérieur %v_2=-0.3; %coefficient a du polynome inférieur h_1=eb+h-d; %valeur de la hauteur initiale supérieure h_2=eb; %valeur de la hauteur initiale inférieure z_1=[v_1,-0.78*v_1,h_1+0.0296*v_1]; z_2=[v_2,-0.78*v_2,h_2+0.0296*v_2]; j_1=fpolynomial(z_1,x); j_1(length(j_1))=h_1; %respecter la symmétrie % j_1(length(j_1)-1)=h_1; j_2=fpolynomial(z_2,x); j_3=j_1+d; j_4=j_2+d; q=0; if diff(j_1((length(j_1)+1)/2))==0 q=1; end %% initialisation des vecteurs hauteur %% vec_b(1)=eb; vec_b(2)=vec_b(1); vec_b(3)=j_1(2); vec_b(4)=vec_b(3);

46

%% détermination du deuxième vecteur (hauteur-1ère partie) %% for i=2:1:(length(x)-1)/2 vec_b(1+4*(i-1))=j_2(2*i-1); vec_b(2+4*(i-1))=vec_b(1+4*(i-1)); vec_b(3+4*(i-1))=j_1(2*i); vec_b(4*i)=vec_b(3+4*(i-1)); end %% assemblage %% for j=1:1:N if vec_a(j)<l && vec_a(j)>0 A(j)=vec_a(j); B(j)=vec_b(j); end end %% concaténation %% C=transpose(A); D=transpose(B); M = [C D]; %% initialisation des vecteurs 2ème partie %%

vec_c(1)=C(length(C)); m=C(length(C)-1)-C(length(C)-2); if m>dis-0.0001 vec_c(2)=vec_c(1)-d; else vec_c(2)=vec_c(1)+d; end vec_c(3)=vec_c(2); if vec_c(2)==vec_c(1)-d vec_c(4)=vec_c(3)-e; else vec_c(4)=vec_c(3)-dis; end

if D(length(D))>h-0.001 vec_d(1)=D(length(D))+d; else vec_d(1)=D(length(D)); end vec_d(2)=vec_d(1); if vec_d(2)==D(length(D))+d vec_d(3)=vec_d(2)-h+d; else vec_d(3)=vec_d(2)+h; end vec_d(4)=vec_d(3); if vec_d(4)==vec_d(2)-h+d vec_d(5)=j_3(2); else vec_d(5)=vec_d(1)+d; end vec_d(6)=vec_d(5); vec_d(7)=j_4(3); vec_d(8)=vec_d(7);

%% détermination du 1er vecteur (longueur-2ème partie) %%

if vec_c(4)==vec_c(3)-e

47

for i=2:1:(N/4) vec_c(3+2*(i-1))=vec_c(2*i); vec_c(2+4*(i-1))=vec_c(4*(i-1))-dis; vec_c(4*i)=vec_c(2+4*(i-1))-e; end else for i=2:1:(N/4) vec_c(3+2*(i-1))=vec_c(2*i); vec_c(2+4*(i-1))=vec_c(4*(i-1))-e; vec_c(4*i)=vec_c(2+4*(i-1))-dis; end end

%% détermination du 2ème vecteur (hauteur-2ème partie) %%

for i=3:1:(length(x)+1)/2 vec_d(1+4*(i-1))=j_3(2*(i-1)); vec_d(2+4*(i-1))=vec_d(1+4*(i-1)); vec_d(3+4*(i-1))=j_4(2*i-1); vec_d(4*i)=vec_d(3+4*(i-1)); end

%% assemblage-2 %%

for j=1:1:N if vec_c(j)>0 E(j)=vec_c(j); F(j)=vec_d(j); end end

%% concaténation-2 %%

G=transpose(E); H=transpose(F); K = [G H];

%% concaténation-finale %%

L = [M;K]; P = [eb,L(length(L),2)]; L(length(L)/2-1,:)=[]; R = [L;P]; R(1,:)=[]; GEOM = R'; %% transfert sur flexpde %%

fileID = fopen('geometrie.txt','w'); fprintf(fileID,'%f, %f \n',GEOM); fclose(fileID); %type geometrie.txt;

%% Paramètres %%

outFPDE = 'resolution'; Title = 'heatedthermocoax'; lambda= 0; h_air=10;

48

u_amb=293; source=0; eb=0.01; l=0.78; H=0.8; load geometrie.txt; path=geometrie(:,:); pathstring = mat2str(path); newpathstring = strrep(pathstring,' ',','); v = strrep(newpathstring,';',')TO('); v(1,1)='('; v(1,length(v))=')';

%% définition du fichier flexpde %%

filename = sprintf('%s.pde',outFPDE); fid=fopen(filename,'wt+'); fprintf(fid,'\n');

% Title fprintf(fid,'TITLE ''%s'' \n\n ',Title);

% COORDINATES fprintf(fid,'COORDINATES \n Cartesian3 \n\n ');

% VARIABLES fprintf(fid,'VARIABLES \n u \n\n ');

% SELECT fprintf(fid,'SELECT \n thermal_colors painted contours=100 \n '); fprintf(fid,'THREADS=4\n\n');

% DEFINITIONS fprintf(fid,'DEFINITIONS\n'); fprintf(fid,'lambda=%d\n h_air=%d\n u_amb=%d\n source=%d\n eb=%d\n l=%d\n

H=%d\n\n',lambda, h_air, u_amb, source,eb, l, H);

% EQUATIONS

fprintf(fid,'EQUATIONS \nu: div(-lambda*grad(u))=source\n\n');

% EXTRUSION

fprintf(fid,'EXTRUSION\n'); fprintf(fid, 'SURFACE ''Floor'' z=-0.03\n'); fprintf(fid, 'LAYER ''Block''\n'); fprintf(fid, 'SURFACE ''HeaterBottom'' z=0\n'); fprintf(fid, 'LAYER ''Heater''\n'); fprintf(fid, 'SURFACE ''TopHeater'' z=0.005\n'); fprintf(fid, 'LAYER ''Alu''\n'); fprintf(fid, 'SURFACE ''BottomPomc'' z=0.02\n'); fprintf(fid, 'LAYER ''Styrodur''\n'); fprintf(fid, 'SURFACE ''Ceiling'' z=0.77\n\n');

% BOUNDARIES fprintf(fid, 'BOUNDARIES\n'); fprintf(fid, 'SURFACE ''Floor'' NATURAL(u)=h_air*(u-u_amb)\n');

49

fprintf(fid, 'SURFACE ''Ceiling'' NATURAL(u)=h_air*(u-u_amb)\n\n'); fprintf(fid,'REGION 1 ''BLOCK1''\n'); fprintf(fid, 'mesh_spacing=0.03\n'); fprintf(fid, 'LAYER ''Block'' lambda=230\n'); fprintf(fid, 'LAYER ''Heater'' lambda=230\n'); fprintf(fid, 'LAYER ''Alu'' lambda=230\n'); fprintf(fid, 'LAYER ''Styrodur'' lambda=0.031\n'); fprintf(fid,' START(0,0) NATURAL(u)=h_air*(u-u_amb) LINE TO (l,0)

NATURAL(u)=h_air*(u-u_amb) LINE TO (l,H) NATURAL(u)=h_air*(u-u_amb) LINE TO

(0,H) NATURAL(u)=h_air*(u-u_amb) LINE TO CLOSE\n\n'); fprintf(fid, 'LIMITED REGION 2 ''Heater''\n'); fprintf(fid, 'LAYER ''Heater'' lambda=230 source=5000/0.005\n'); fprintf(fid, 'START(eb,eb) LINE TO\n'); fprintf(fid,'%s',v); fprintf(fid, 'TO CLOSE\n\n');

% PLOTS

fprintf(fid,'PLOTS\n\n'); fprintf(fid,'contour(u-273) on z=-0.03 EXPORT FILE="contourtemp.flx" as

"Contour Temp en Face Inf" painted\n\n'); fprintf(fid,'END\n\n'); fclose(fid);

tic; [status,result] = system(sprintf('FlexPDE6.exe -Q %s.pde',outFPDE)); toc;

%% Téléchargement de la solution %%

Res2=sprintf('contourtemp.flx'); [x,y,t]=fpreadsc(Res2); ecart_min_max=max(max(t))-min(min(t)); contour(t) fprintf('ecart = %1.3f, v1=%1.3f, v2=%1.3f\n',ecart_min_max,V(1), V(2));

end

PARTICLE SWARM OPTIMIZATION :

clear; clc; % V_1=0.2; V_2=-V_1; e0=0.04; V0=[V_1 V_2]; options =

optimoptions('particleswarm','UseParallel',true,'FunctionTolerance',1e-3); Lb=[0 -1]; Ub=[1 0]; nvars=2;

[V,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] =

particleswarm(@flexgeomMinMax,nvars,Lb,Ub,options);