Rapport PFE Rakhis Ilyas et Ezzouine Fatima - …mcours.net/cours/memoires/Risque_de_credit_quantification_et_mise... · Extérieur a lancé de grands projets pour s’adapter aux

Résumé :

Dans le cadre de la nouvelle réforme de Bâle II, la Banque Marocaine de Commerce Extérieur a lancé de grands projets pour s’adapter aux nouveaux enjeux de la gestion de risque imposés par cette nouvelle réglementation ainsi que les défis caractérisant le marché financier international.

L’objectif du présent projet de fin d’étude est la diversification du portefeuille de la BMCE et ceci via la quantification et la mise en place des limites de concentration de risque de crédit par contrepartie, par secteur d’activité et par zone géographique. Ce travail s’articule autour de trois volets : la mesure de risque de crédit par secteurs d’activités, par rating et zone géographique, la distribution des pertes et consommation des fonds propres économiques afin de déterminer la structure du portefeuille ainsi que les limites de concentration.

Pour la réalisation de cette tâche, nous avons choisi d’appliquer deux modèles de gestion de risque : CreditMetrics et CreditRisk+ tout en faisant appel aux outils informatiques : SPSS, SGBD Access et EXCEL.

Mots clés : risque de crédit, la perte, la probabilité de défaut, rating, la VaR, CreditMetrics,

CreditRisk+, Bâle II.

Citation

Projet de fin d’étude Rapport - 2 -

« BETTER RISK MEASUREMENT, BETTER RISK MANAGEMENT »

Table des matières


Tables des matières :

Remerciement : .................................................................................................................. - 5 - Liste des abréviations : .................................................................................................... - 6 - Figures et Tables : ............................................................................................................ - 7 - Avant-propos : .................................................................................................................. - 8 - Introduction : ................................................................................................................... - 9 - I POLE ENGAGEMENTS ET RISQUES DE LA BMCE BANK : .................... - 11 -

I.1. Présentation de la BMCE BANK : ............................................................... - 11 - I.2. Les activités des entités de la Banque: ......................................................... - 12 -

I.2.1 Les métiers du groupe BMCE BANK : ....................................................... - 12 - I.2.2 Le réseau clientèle Maroc : .......................................................................... - 12 - I.2.3 L’activité internationale : ............................................................................. - 13 - I.2.4 La banque d’affaires : .................................................................................. - 13 - I.2.5 Les filiales : .................................................................................................. - 13 -

I.1. Pôle Engagements et Risques :...................................................................... - 14 - I LE RISQUE : .......................................................................................................... - 16 -

I.1 Définition : ....................................................................................................... - 16 - I.2 Les types de risque : ......................................................................................... - 16 -

II LE RISQUE DE CREDIT : .................................................................................. - 17 - II.1 Définition : ....................................................................................................... - 17 - II.2 Modèle de risque de crédit : ............................................................................. - 17 -

III DE BALE I A BALE II : ................................................................................... - 19 - IV LA MESURE DES RISQUES : ........................................................................ - 22 -

IV.1 Value-at-risque :............................................................................................. - 22 - I LE MODELE DE KMV : ...................................................................................... - 27 -

I.1 Préliminaires: ................................................................................................... - 27 - I.2 Hypothèses du modèle : ................................................................................... - 27 - I.3 Le paramétrage du modèle : ............................................................................. - 27 -

I.3.1 Calcul des probabilités de défaut individuelles : ......................................... - 27 - I.3.2 Le moteur de corrélation : ............................................................................ - 29 -

I LE MODÈLE CREDITMETRICS: ......................................................................... - 32 - I.1 Evaluation du risque de crédit : méthodologie : ......................................... - 33 -

I.1.1 Mesure du risque : ..................................................................................... - 33 - I.1.2 Méthode de valorisation : .......................................................................... - 33 - I.1.3 Calcul des probabilités : ............................................................................ - 34 - I.1.4 Estimation des corrélations entre rendements actifs :............................ - 35 -

I.2 Mise en œuvre de la méthodologie : ............................................................. - 36 - I.2.1 Matrice de transition : ............................................................................... - 36 - I.2.2 Rendements de transition : ....................................................................... - 37 -

I.3 Modélisation des corrélations entre rendements d’actifs : ........................ - 37 - I.4 Simulation des rendements des actifs : ........................................................ - 38 - I.5 Reconstitution des notations à l’horizon : ................................................... - 38 - I.6 Calcul des facteurs d’actualisation : ............................................................ - 38 - I.7 Application aux données de la Bmce Bank: ............................................... - 38 -

Table des matières


I.7.1 Statistique descriptive : ............................................................................. - 38 - I.7.2 Application : ............................................................................................... - 39 -

I LE MODELE CREDITRISK + : ........................................................................... - 45 - I.1 Une approche économique de la gestion du risque de crédit : ................... - 45 -

I.1.1 La mesure du risque de crédit : ................................................................ - 45 - I.1.2 L’objectif : une distribution de perte de crédit : ..................................... - 45 - I.1.3 Principes et hypothèses de base : .............................................................. - 46 -

I.2 Données pour l’implémentation : ................................................................. - 47 - I.2.1 Probabilité de défaut (PD) : ...................................................................... - 47 - I.2.2 La perte en cas de défaillance (loss given default ou LGD) : ................. - 48 - I.2.3 L’exposition en cas de défaillance (Exposure At Default ou EAD) : .......... - 48 - I.2.4 Modèle d’évaluation du risque de crédit : ............................................... - 49 -

I.3 Développement du modèle : .......................................................................... - 49 - I.3.1 Méthodologie du modèle CreditRisk+ du risque de crédit : ................... - 49 -

I.4 Modélisation des probabilités de défaut : ................................................... - 51 - I.5 Formalisation mathématique / Applications : ............................................. - 53 -

I.5.1 Modélisation à taux de défaut fixes : ........................................................ - 53 - I.5.2 Procédures de calcul de la Value-At-Risk : ............................................. - 58 - II.5.3 Modélisation à des taux de défaut aléatoires :..................................... - 60 -

II.6 Allocation de capital : .................................................................................... - 65 - II.6.1 La contribution en risque :.................................................................... - 65 - II.6.2 Concept et analyse RAROC : Risk Adjusted Return On Capital : ... - 67 - II.6.3 Capital économique marginal :............................................................. - 68 - II.7.2 Limites par contrepartie : ..................................................................... - 73 - II.7.3 Limites par zone géographique : .......................................................... - 75 -

II. COMPARAISON ENTRE LES MODELES : ................................................ - 77 -

Remerciement


Remerciement :

On se place dans des situations difficile lorsqu'il nous est demandé de prononcer en faveur de ceux ou celles qui nous ont porté conseil, soutien et bienveillance, des mots de gratitudes qui puissent combler l'immense contrepartie qu'ils nous ont générée.

Nous tenons à remercier vivement notre professeur Mme N.ZAOUJAL pour avoir accepté de nous encadrer ainsi que le temps qu’elle nous a consacré pendant la période de notre stage.

Nous remercions également Mr.Mostapha HABOUCHA pour nous avoir accordé ce stage ainsi que pour son accueil au sein de la D.G.G.R.

Nous tenons à exprimer notre reconnaissance et notre profonde gratitude à Mr.Mounir NOUZHANI et Mr.Mounssif MOUTANABBIR pour nous avoir prodigué tout au long de ce travail, conseils , collaboration et encouragements.

Nos remerciements vont aussi à tout le personnel de la D.G.G.R pour leur accueil et leur soutien.

Nous remercions aussi Mr. Hamid Lotfi pour sa collaboration et ses encouragements.

Nous conservons un remerciement spécial à Mr. Lahcen ACHY d’avoir accepter de faire partie des membres du jury.

Enfin, nous devons exprimer nos remerciements à toute personne ayant participé de près ou de loin à la réalisation de ce mémoire.

Liste des abréviations


Liste des abréviations :

BMCE : Banque Marocaine de Commerce Extérieur RMA : Royale Marocaine des Assurances RCM : Réseau clientèle Maroc CA : Chiffre d’affaires D.G.G.R : Direction gestion globale de risque D.A.G.C : Direction Analyse et Gestion des Crédits RC : Ratio de Cooke FP : Fonds propres EPC : Encours pondérés de crédits VaR : Value-at-risque DD : Distance au défaut EL : Expected loss (Perte attendue, perte anticipée, perte moyenne) ES : Rendement du spread PD : Probabilité de défaut LGD : Loss given default (perte en cas de défaillance) EAD : Exposure at default (exposition en cas de défaillance) RAROC: Risk adjusted return on capital UL: Perte inattendue, perte non anticipée, perte exceptionnelle

Figures et Tables


Figures et Tables :

Figure 1: Le tour de la Table de la Bmce Bank ............................................................... - 11 - Figure 2 : Organigramme de la Direction Gestion Globale de Risque ............................ - 15 - Figure 3 : Les piliers de la réforme de Bâle II ................................................................. - 21 - Figure 4 : Comparaison risque de marché-risque de crédit ............................................. - 33 - Figure 5: Distribution de la valeur actuelle du portefeuille ............................................. - 42 - Figure 6: Eléments de l’output de la modélisation .......................................................... - 46 - Figure 7: Structure de la composition de lois de distribution .......................................... - 50 - Figure 8: Méthodologie du modèle élaboré ..................................................................... - 51 - Figure 9: Portefeuille Moyenne-Variance ....................................................................... - 53 - Figure 10: Représentation graphique de la loi de Poisson de paramètre 2,58 ................. - 55 - Figure 11: Distribution cumulée des pertes agrégées avec taux de défaut fixes ............. - 59 - Figure 12: Distribution cumulée de la perte .................................................................... - 65 -

Table 1: la répartition de la charge en fonds propres selon Bâle II ................................. - 21 - Table 2: Matrice de transition à un an de Standard&Poor’s ............................................ - 35 - Table 3: Statistique descriptive du portefeuille ............................................................... - 39 - Table 4 : Répartition en fonction de la classe de rating ................................................... - 39 - Table 5 : les nouvelles classes de rating avec leurs probabilités de défaut ...................... - 40 - Table 6 : Matrice de transition à un an ............................................................................ - 40 - Table 7: Taux forward pour le portefeuille. ..................................................................... - 41 - Table 8: Valeur actuelle du portefeuille ........................................................................... - 42 - Table 9 : Calcul de la VaR pour notre portefeuille .......................................................... - 43 - Table 10 : La VaR pour notre portefeuille ....................................................................... - 43 - Table 11 : Probabilités de défaut par notation ................................................................. - 48 - Table 12: Notation ........................................................................................................... - 56 - Table 13: Exposition et perte attendue en L .................................................................... - 56 - Table 14 Notation ............................................................................................................ - 57 - Table 15 : Illustration de la simulation de Monte Carlo .................................................. - 58 - Table 16: Calcul de la VaR et perte attendue .................................................................. - 59 - Table 17 : Illustration de la simulation de Monte Carlo .................................................. - 64 - Table 18: la VaR .............................................................................................................. - 65 - Table 19: la contribution de quelques contreparties ........................................................ - 67 - Table 20: le RAROC pour le portefeuille ........................................................................ - 68 - Table 21 : Le ratio rentabilité/risque ................................................................................ - 69 - Table 22: La part d’exposition pour chaque secteur ........................................................ - 72 - Table 23: La contribution en risque de chaque secteur d’activité ................................... - 73 - Table 24: Les limites de concentration de quelques contreparties .................................. - 74 - Table 25: La part d’exposition pour chaque zone géographique ..................................... - 75 - Table 26 : La contribution en risque des zones géographiques ....................................... - 76 - Table 27 : Etude comparative entre les trois modèles ..................................................... - 77 -

Avant-propos


Avant-propos :

Les banques sont présentes dans le système financier afin de servir d’intermédiaires entre les fournisseurs de capitaux et les utilisateurs de ces capitaux qui sont habituellement les contreparties. D’un côté, elles récoltent les dépôts des particuliers et de l’autre, elles les distribuent aux firmes qui désirent financer des projets.

Au cours de ses activités principales, la banque fait face à plusieurs risques, tel que le risque de marché, mais le plus important, et celui ayant le plus d’impact sur les opérations des institutions financières, est sans contredit le risque de crédit. Cette forme de risque est une conséquence des transactions contractées entre les utilisateurs de fonds et ceux qui les offrent. Le risque de crédit est la forme de risque la plus ancienne présente dans les marchés financiers et est vraisemblablement la catégorie de risque la plus importante en terme de volume dans les marchés financiers actuels. De plus, le risque de crédit préoccupe beaucoup les autorités à cause de la perception générale de la relation entre la stabilité des institutions financières et la conjoncture économique.

Introduction


Introduction :

Le secteur bancaire marocain ainsi qu'international connaît un ensemble de changement dans sa réglementation régie par les instances internationale à savoir les réglementations de Bâle.

Cette réglementation, dans sa nouvelle version Bâle II, stipule aux banques d'adopter un système de gestion de risque pour une évaluation plus objective et correct des risques de crédit, de marché et opérationnel.

Les objectifs de notre projet, consacré au risque de crédit, sont la quantification et la mise en place des limites de concentration de risque de crédit. Ce risque de concentration est tout encours unique, ou groupe d’encours, qui peut produire potentiellement une perte importante (par rapport aux fonds propres, au total des actifs et au niveau global des risques de la banque) qui peut menacer la situation d’une banque. Le risque de concentration est la plus importante cause des problèmes majeurs des banques. Avant la détermination de ces limites de concentration, il s’agit d’adopter des modèles pour la détection du risque, la mesure de la perte potentielle associées à un scénario défavorable de crédit, puis le calcul des fonds propres alloués à la couverture du risque de crédit afin de mettre en place une approche optimale d’allocation de capital entre les différentes activités de la banque « consommatrices » de risque. L’objectif de la quantification du risque peut se concrétiser par la réponse à la question « Si l’année à venirSi l’année à venirSi l’année à venirSi l’année à venir estestestest une mauvaise année, combien allonsune mauvaise année, combien allonsune mauvaise année, combien allonsune mauvaise année, combien allons----nous perdre sur notrenous perdre sur notrenous perdre sur notrenous perdre sur notre portefeuille de créditportefeuille de créditportefeuille de créditportefeuille de crédit ???? ».

Pour répondre à cet objectif, nous avons opté pour l’application de deux modèles CREDITMETRICS et CREDITRISK+, dédiés pour ce genre de modélisation, tout en nous basant sur des paramètres quantitatifs et qualitatifs caractérisant un portefeuille représentatif de la clientèle de BMCE Bank. Notre modélisation s’est basée essentiellement sur les critères suivants: le secteur d’activités, la classe de notation rating et la zone géographique, puisqu’ils forment un champ fréquent de risque,

Première Partie : Présentation & Problématique

Première partie :

Présentation & Problématique

Chapitre I : Présentation


Chapitre I :

I POLE ENGAGEMENTS ET RISQUES DE LA BMCE BANK :

I.1. Présentation de la BMCE BANK :

Vers la fin des années cinquante, le Maroc a connu une période de transition que ce soit sur le plan politique, social ou économique. L'état se devait d'intervenir pour remédier aux problèmes pouvant entraver la bonne marche et l'évolution du pays.

En effet, les pouvoirs publics se sont lancés dans la création d'organismes qui seront la base sur laquelle reposera l'économie nationale tels que Bank Al Maghreb et la Caisse de Dépôt et de Gestion.

C'est dans ce cadre qu'a été créée la Banque marocaine du Commerce Extérieur, le 1er septembre 1959 avec pour mission principale le développement du commerce extérieur.

Depuis sa création, la BMCE n'a cessé de se perfectionner en matière de produits bancaires fournis aux clients, en plus de l'augmentation du nombre de ses agences, de ses bureaux de représentation et de son effectif.

La BMCE a été privatisée, par la suite, en 1995, chose qui a considérablement aidé à l'amélioration et l'expansion de la banque sur le plan national et surtout à l'international, puisqu'elle possède des antennes à FRANKFORT, SHANGAI et plusieurs autres villes dans le monde.

BMCE Bank fait aujourd’hui partie intégrante de “Finance.Com”. Un groupe de grande envergure, qui s’est constitué autour de la Royale Marocaine d’Assurances (RMA).

Le tour de table de la Banque est constitué de :

Figure 1: Le tour de la Table de la BMCE Bank

Source : Rapport annuel de le BMCE Bank pour l’an 2005



I.2. Les activités des entités de la Banque:

I.2.1 Les métiers du groupe BMCE BANK :

La diversification des champs de compétence de la BMCE lui permet de mieux s’affirmer sur un marché financier de plus en plus concurrentiel. En effet, ses différents métiers peuvent être classés ainsi:

Les métiers Produits :

• Monétique ; • Crédit à la consommation ; • Assurance ; • Courtage ; • Gestion des actifs ; • Leasing ; • Factoring.

Les métiers intégrés Particuliers :

• Services bancaires de base ; • Epargne ; • RME ; • Crédit Immobilier ; • Change manuel.

Les métiers intégrés Entreprises :

• Services bancaires de base ; • Epargne ; • RME ; • Crédit de fonctionnement ; • Crédit d’équipement ; • International.

I.2.2 Le réseau clientèle Maroc :

La banque du réseau Maroc dédie ses efforts au renforcement du réseau d’agences, au développement commercial et à l’amélioration de la productivité.

L’amélioration de la productivité constitue pour le RCM1, un axe stratégique majeur, notamment à travers le développement des ressources humaines appropriées, l’automatisation des tâches et des actions visant la sensibilisation à l’importance de la maîtrise des frais généraux.

1 RCM : Réseau clientèle Maroc.



Les choix stratégiques de la banque du réseau vont dans le sens de l’amélioration de la qualité du service, de la fidélisation de la clientèle et de l’accroissement du CA2, aussi bien dans les domaines d’activité classique que dans ceux des nouveaux produits financiers.

I.2.3 L’activité internationale :

La BMCE Bank est aussi la banque de l’international. En effet, elle est représentée en France, depuis 1973, à travers sa succursale BMCE Paris et un réseau d’Agences et de bureaux de représentation, en Espagne à travers une filiale de droit espagnol instituée en 1993, au RU, en Allemagne, en chine et en Italie.

I.2.4 La banque d’affaires :

L’entité d’Affaire de la BMCE BANK regroupe l’ensemble de ses activités autour de quatre métiers :

Asset Management - Gestion d’Actif, à travers sa filiale BMCE CAPITAL GESTION ;

Intermédiation en bourse au sein de la filiale société de bourse BMCE CAPITAL BOURSE ;

Les Marchés de Capitaux à travers la création d’une salle des marchés ;

Les métiers de Corporate finance et d’ingénierie financière à travers :

Une unité Corporate chargée du conseil et de l’accompagnement des entreprises pour l’ensemble des opérations du haut de bilan.

Une unité Structured Finance–Financement Structurés, chargée de développer les activités de financement sur le marché des capitaux.

Une unité Capital Développement, en charge de la gestion du fond d’investissement.

I.2.5 Les filiales :

Parallèlement à son activité classique, la BMCE Bank a renforcé ses domaines d’activités par la création d’entités spécialisées dans les métiers de la finance notamment le Factoring, les crédits à la consommation, la gestion du portefeuille, etc.

Le groupe BMCE Bank a développé son activité financière à travers la création ou la participation au capital des filiales financières :

Maroc Inter Titre : Cette société de bourse, filiale à 67,5% de la BMCEBank, se positionne actuellement au deuxième rang de son domaine d’activité avec une part de marché de 18%. MIT demeure l’un des acteurs majeurs de la place de Casablanca.

Maroc Factoring : Créée à l’initiative de la BMCE qui détient 95% de son capital. Cette entité est considérée comme étant pionnière de l’activité

2 CA : Chiffre d’affaires.



factoring aux Maroc. Maroc factoring offre aux entreprises différents produits s’articulant autour de son activité principale :

Le financement immédiat de leurs factures, en totalité ou en partie ; La gestion et le recouvrement des factures lieu et place du client ; La garantie à 100% contre les risques des impayés sur les acheteurs privés.

ACMAR : Cette société d’assurance crédit est le seul opérateur au Maroc dans le secteur. BMCE Bank détient 35% du capital de cette filiale. Elle offre une couverture du risque d’impayés sur toutes les opérations traitées localement. La garantie d’ACMAR s’inscrit dans le cadre d’un ensemble de service :

La prévention du risque en mettant à la disposition des assurés un service de collecte de données économiques et financières sur un grand nombre de sociétés marocaines leur permettant la sélection et la surveillance de leur clientèle ;

Le recouvrement : l’assuré peut s’en permette à ACMAR pour toutes les démarches à entreprendre ;

L’indemnisation des assurés : remboursement des pertes subies du fait de l’insolvabilité de leur client.

SALAFIN : Créée en 1997, SALAFIN est la société de crédit à la consommation. Elle est filiale à 100% de la BMCE Bank, avec un capital de 100 millions de DH, elle se positionne parmi les sociétés de financement les mieux capitalisées au Maroc. SALAFIN intervient principalement en matière de financement de l’acquisition de véhicules, les produits Locasalaf, la carte Oxygène relative au crédit revolving… et s’attache à développer le segment du crédit personnel sous convention employeur.

MAGRHEBAIL : Depuis plus de 25 ans, Magrhebail est le leader des sociétés du crédit bail. Elle est filiale à 39% de la BMCE Bank et elle est à la tête des sociétés avec 25% de part de marché.

INTERFINA : Filiale à 100% de la BMCE Bank, cette société d’investissement créée en 1992, a pour objectif de promouvoir l’investissement et la croissance économique soit dans le cadre de programme de privatisation, soit sous d’autre formes de financement ou de prise de participation directe.

I.1. Pôle Engagements et Risques :

Le Pôle Engagements et Risques est composé de deux directions :

• Direction Gestion Globale des Risques D.G.G.R • Direction Analyse et Gestion des Crédits D.A.G.C

La Direction Gestion Globale des Risques a un rôle normatif critique, elle participe activement à la définition de la stratégie d’intervention de la banque ainsi qu’à la détermination des conditions et des limites de cette politique et ce à travers :

La proportion de la politique des risques de la banque; Le suivi périodique de l’état du portefeuille de risque de la banque en

concordance avec la politique proposée.



Figure 2 : Organigramme de la Direction Gestion Globale de Risque

Source: Direction Gestion Globale de Risque

Quatre départements contribuent à la réalisation de la mission de la D.G.G.R à savoir :

• Le Département Normes et Outils qui a pour mission de définir les normes et les outils permettant la mise en application concrète de la politique des risques ainsi que la participation à la surveillance des risques de crédit, de marché et opérationnel.

• Le Département Politique et Gestion du risque de crédit qui a pour mission la maîtrise globale du risque par l’étude de la composition du portefeuille de crédits en fonction des critères de risques.

• Le Département Risque opérationnel groupe.

• Le Département Surveillance permanente du risque de marché.

Ce projet s’est déroulé au sein de la Direction Gestion globale des Risques (voir figure 2). Il est sensé répondre particulièrement à un parmi les besoins du Département Politique et Gestion des risques de crédit.

Pour l’ensemble de la Direction, il s’agit de proposer la politique de risques de la banque et de s’assurer périodiquement de l’état du portefeuille de risques de la banque par rapport à cette politique.

Chapitre II : Problématique


Chapitre II

I LE RISQUE :

I.1 Définition :

Le risque désigne un danger bien identifié, associé à l’occurrence d’un événement ou d’une série d’événements, parfaitement descriptibles, qui sont probables mais non sûr. C’est la probabilité qu'un effet spécifique se produise dans une période donnée ou dans des circonstances déterminées.

La gestion des risques a pour objet de mesurer les risques pour les suivre et les contrôler. Ses fonctions sont d’assurer une visibilité suffisante sur les résultats futurs et les aléas qui les affectent. Il s’agit d’un outil de pilotage et d’un facteur concurrentiel de première importance.

I.2 Les types de risque :

Les risques se divisent en trois grands types :

a) Le risque de marché :

Le risque de marché intéresse les activités de négociation sur les marchés de capitaux. Le risque de marché est celui de déviations défavorables de la valeur de marché des positions pendant la durée minimale requise pour liquider les positions. Ce type de risque se divise en deux principaux risques :

Le risque de taux d’intérêt :

Le risque de taux d’intérêt est le risque de voir les résultats affectés défavorablement par les mouvements des taux d’intérêt.

Le risque de change :

Le risque de change est analogue au risque de taux. C’est le risque d’observer des pertes à cause des évolutions des taux de change.

b) le risque opérationnel :

Le risque opérationnel est défini comme le risque de perte résultant de processus internes défaillants ou inadéquats, de personnes et de systèmes, ou d’événements externes. Dans ce type de risque, on trouve : risque de désastre, risque de fraude, risque de traitement et risque technologique.

c) le risque de crédit :

C’est l’objet de notre étude. Il sera traiter avec plus de détails dans ce qui suit.

En plus de ces trois risques, on trouve aussi :

d) Le risque de liquidité :

Le risque de crédit fait l’objet de diverses acceptions : l’illiquidité extrême ; le matelas de sécurité que procurent les actifs liquides, ou la capacité à mobiliser des capitaux à un coût normal.


e) Le risque de solvabilité :

Le risque de solvabilité est celui de ne pas disposer de fonds propres suffisants pour absorber des pertes éventuelles. Par contre, le risque de contrepartie désigne le risque de dégradation de la solvabilité des contreparties, et non celui de l’établissement prêteur.

II LE RISQUE DE CREDIT :

II.1 Définition :

Le risque de crédit est le risque de perte inhérent au défaut d'un emprunteur par rapport au remboursement de ses dettes (obligations, prêts bancaires, créances commerciales...). Ce risque se décompose en :

a) Risque de défaut de la contrepartie :

Il se traduit par l’incapacité du débiteur à faire face à ses obligations de paiements (paiement des intérêts ou remboursement du capital). Ce risque concerne les activités traditionnelles de l’établissement de crédit, mais intervient encore dans le cadre de son activité de marché. Les banques réalisent en effet un certain nombre d’opérations sur le marché interbancaire et se trouvent de ce fait engagées les unes vis-à-vis des autres ce qui génère des risques de contrepartie.

b) Risque de dépréciation de la qualité de signature d’un emprunteur :

La valeur des obligations et actions d’une entreprise dépend (au moins en partie) de la confiance qu’elle inspire au marché, ce qui se traduit par la « qualité de la signature » de l’émetteur. Cette composante du risque concerne avant tout les activités de marché. Ainsi une anticipation négative du marché quant à la solidité financière d’un émetteur entraîne la dégradation de la valeur de ses titres, et une banque possédant certains de ces titres subit donc une perte. Ce risque de dépréciation peut avoir indirectement des conséquences sur son activité de banque commerciale : le principe de provisionnement, par le biais de provisions pour bad loans peut dégrader la solvabilité de la banque.

II.2 Modèle de risque de crédit :

Un modèle de risque de crédit a pour objectif d’optimiser la gestion du couple risque/rentabilité d’un portefeuille de crédit. Sa fonction première est de quantifier le risque potentiel maximum que peut générer un portefeuille de crédit, sous certaines hypothèses et notamment du seuil de confiance choisi.

Les modèles de gestion du risque de crédit sont utilisés par les banques pour différents usages :

La mesure des pertes potentielles ;

La mise en place d’un système d’allocation des fonds propres ;

La gestion d’un portefeuille de crédit ;

La tarification des crédits qui prennent en compte du risque économique.

Les composantes du risque de crédit sont le défaut ou la défaillance, l'exposition à la date de défaut, les pertes en cas de défaut (attendues et inattendues), et l'horizon de défaut.


i. Défaillance :

La défaillance d'une entreprise exprime un état d'insolvabilité constaté à une échéance donnée. Celui-ci engage l'entreprise dans un processus économique, juridique, voire judiciaire, impliquant un ou plusieurs prêteurs. Il existe cependant, avant la cessation des paiements et son éventuelle conséquence judiciaire le dépôt de bilan, une période de vulnérabilité durant laquelle les créanciers, les actionnaires ou les régulateurs peuvent être alertes des difficultés rencontrées par l'entreprise et mettre en oeuvre des mesures de prévention (provision ou renégociation de dette, notamment).

Le Comité de Bâle définit le défaut de la façon suivante : « Un défaut de la part d'un débiteur intervient lorsque l'un des événements ci-dessous se produit :

a) La banque estime improbable que le débiteur rembourse en totalité son crédit au groupe bancaire sans qu'elle ait besoin de prendre des mesures appropriées telles que la réalisation d'une garantie (si elle existe).

b) L'arriéré du débiteur sur un crédit important dû au groupe bancaire dépasse 90 jours. »

Remarquons que la définition du défaut est assez peu stricte, et laisse une certaine latitude au prêteur. Ainsi, la première condition peut conduire à un défaut sans qu'il y ait de retard de paiement de la part du débiteur. En pratique, la banque pourrait considérer qu'il y a défaut, si les provisions introduites pour couvrir ce risque potentiel dépassent un certain seuil. Et même la période de 90 jours comme arriéré peut ne pas être la même pour toutes les banques de chaque pays.

ii. Pertes attendues et inattendues :

Chaque établissement de crédit évalue le montant qu'il risque de perdre en moyenne sur son portefeuille de crédits à un horizon donné. Ce montant correspond aux " pertes attendues " et est en théorie couvert par des provisions. Pour chaque ligne de crédit3, cette perte est fonction de la probabilité de défaut (vraisemblance que le défaut survienne), de l'exposition à la date de défaut, c'est-à-dire du montant du capital restant du dans le cas d'un crédit standard, et de la perte en cas de défaut qui dépend du taux de récupération sur un crédit ayant fait défaut.

Les pertes effectives peuvent cependant différer des pertes attendues du fait de l'incertitude, et une banque est tout autant préoccupée par le montant de ses pertes inattendues que par le montant des pertes attendues. La banque cherche alors à connaître le montant maximum des pertes potentielles, qui risquent de survenir à un horizon donné avec un certain degré de (mal) chance.

iii. Notation :

L'analyse et le suivi du risque de crédit n'ont pas débuté avec la nouvelle réglementation mise en place par le Comité de Bâle. Il existe depuis longtemps des instruments de suivi de risque, notamment des notations (rating) permettant de classer les prêts ou emprunteurs selon leur niveau de risque.

3 Ligne de crédit : est un engagement de la banque de prêter à un certain taux et sous certaines conditions négociées d’avance si le client en fait la demande, voire spontanément dans le cas du découvert autorisé.


La notation est l'évaluation du risque de non-paiement en temps et en heure de la totalité du principal et des intérêts relatifs à une obligation financière. Formellement, il s'agit d'une évaluation de la probabilité de défaillance à un certain horizon. On distingue généralement les notations présentées de façon quantitative ou score, de celles présentées de façon qualitative ou rating.

Il existe deux grandes approches pour attribuer des notations à des prêts ou des emprunteurs :

a) Une première approche repose sur l'opinion d'experts ; on parle de score par expertise. Elle reste prépondérante pour les notations des grandes entreprises, des pays, des collectivités locales et des financements de projets. Elle s'appuie sur une analyse approfondie des bilans, des projets... et sur une comparaison avec les notations des agences.

b) Une seconde approche s'appuie sur des analyses statistiques des défaillances observées dans le passé pour des dettes ou des emprunteurs comparables. Elle est prépondérante pour les crédits à la consommation, les prêts hypothécaires, les crédits permanents (cartes de crédit), les prêts aux petites et moyennes entreprises... Par son caractère plus automatique, elle est très adaptée à la gestion des accords de crédit en ligne.

III DE BALE I A BALE II :

Le capital d'une banque est une protection contre les pertes susceptibles de survenir. Ce principe est retenu par les autorités de tutelle qui imposent de respecter un niveau minimal de capital, appelé capital réglementaire ou fonds propres réglementaires.

Mis en place en 1988, le ratio Cooke, élaboré par le Comité de Bâle, avait pour objectif de renforcer la solidité et la stabilité du système bancaire international et de promouvoir des conditions d'égalité de concurrence entre les banques à vocation internationale. Il est définit par la formule suivante :

8%crédits de pondérés Encours

propres Fonds

EPC

FPRC ≥== (1)

Le ratio Cooke repose sur la définition d'une norme de solvabilité, selon une logique de calcul simple : le niveau d'exigence en fonds propres, constitue du capital, des réserves, des provisions générales et de titres subordonnés, doit être égal à au moins 8% des encours risques pondérés. Les pondérations dépendent de la nature juridique du débiteur, de la localisation du risque et de la durée des engagements.

Vers la fin des années 1990, cette approche est apparue dépassée parce qu'elle ne prenait en compte ni les nouveaux instruments financiers (dont, entre autres, le développement de la titrisation des portefeuilles de prêts) ni la nature des divers types de risque supportés par les institutions financières. En particulier, elle ne prenait pas en considération les sûretés dont la banque pouvait disposer, mettait sur le même plan toutes les entreprises emprunteuses, quelle que soit la qualité de leur risque, et traitait trop favorablement les crédits aux Etats. Ainsi dans la réglementation Cooke, un crédit est pondéré à 100% quelle que soit la situation de l'entreprise ou du particulier emprunteur ou quelles que soient les sûretés attachées à ce crédit. Ne bénéficiaient d'une pondération


moindre que les créances sur les administrations centrales ou le secteur public des pays de l'OCDE4 (0%), les avances faites à des banques de pays de l'OCDE (20%) et pour, les opérations hors bilan, les crédits documentes (20% si garantie de marchandises, 50% dans les autres cas) et les garanties émises par la banque (50% pour les garanties de marché et 100% pour les garanties financières). Les financements en crédit bail (leasing) immobilier avaient aussi une pondération de 50%.

Selon Bâle II, la nouvelle pondération repose sur une appréciation plus fine des risques. Ainsi un même crédit à deux emprunteurs différents ne nécessitera pas la même allocation de capital ; deux crédits à des emprunteurs bénéficiant de la même notation, mais n'ayant pas la même structure ou pas les mêmes sûretés, ne consommeront pas les mêmes capitaux propres. En outre, l'amélioration de la gestion des risques dans les grandes banques internationales les a conduit à développer progressivement des modèles sophistiqués de mesure de leurs véritables risques et à calculer un capital économique5 différent du capital réglementaire pour effectuer les allocations internes de capitaux entre leurs départements ou métiers. Ces évolutions ont rendu obsolète un contrôle reposant uniquement sur des normes de fonds propres aussi rigides que le ratio Cooke. Pour remédier à ces défauts, le ratio Cooke, qui couvrait le seul risque de crédit, a été dans un premier temps complété, en 1996, par des dispositions fixant de nouvelles règles de calcul d'une exigence de fonds propres liée aux risques de marché.

Le Comité de Bâle, présidé initialement par W. Mc Donough, qui réunit à la Banque des Règlements Internationaux les contrôleurs bancaires des principaux pays, a proposé en juin 1999 un premier "document consultatif " prenant en compte les autres aspects de risques (risque de crédit et risque opérationnel). Ce document lie plus étroitement les normes de fonds propres au risque effectif, mais aussi renforce le contrôle et uniformise l'information financière avec pour objectif la solidité du système bancaire international.

Depuis lors, plusieurs documents consultatifs ont été rédigés et de nombreuses concertations ont eu lieu avec les banques intéressées et les associations nationales. L'entrée en application du nouvel accord de Bâle est intervenue le 1er janvier 2006. Durant cette année, le ratio Cooke continue d'être calculé en parallèle, mais un nouveau ratio, appelé ratio Mc Donough devient la seule norme à partir du 31 décembre 2006. Ce ratio est donné par la formule suivante :

%8marché de risquecrédit de risqueelopérationn risque

FP ≥++

(2)

Le comité de Bâle II proposait la répartition de la charge en fonds propres :

4 OCDE : Organisme de Coopération et de Développement Economique. 5 Le capital économique est le montant de capitaux propres suffisant pour absorber les pertes prévisibles à un certain niveau de probabilité.


Table 1: la répartition de la charge en fonds propres selon Bâle II

Type de risque Exigence en FP Répartition

Crédit 6% 75%

Marché 0,4% 5%

Opérationnel 1,6% 20%

Total 8% 100%

Source : Comité Bâle II

Cette nouvelle réforme repose sur trois piliers comme montre la figure suivante:

Figure 3 : Les piliers de la réforme de Bâle II

Source : Comité Bâle II

Pilier 1 : Il consiste en une exigence minimale en fonds propres rénovée. C'est le calcul du ratio proprement dit. La logique reste la même, c'est-à-dire un rapport entre des fonds propres et un encours de risques. L'appréciation de ces derniers est cependant modifiée par une reconnaissance des techniques de réduction des risques et par la définition d'une charge en fonds propres pour les risques opérationnels. Au total, toute banque doit avoir, au titre des exigences minimales en fonds propres, un ratio :

marché) de risqueelopérationn risquecrédit de isquepropres/(r fonds ++ égal ou supérieur à 8%.

Pilier 2 : Il règle le processus de contrôle de la gestion des risques et de la couverture en capital par les autorités prudentielles nationales. Les autorités de contrôle examinent de façon qualitative les procédures internes mises en place par les banques pour évaluer l'adéquation des fonds propres aux risques. En fonction de leurs appréciations, elles peuvent exiger des banques un ratio de solvabilité supérieur au minimum réglementaire de 8%.

Pilier 1 : Exigence minimale de fonds propres

Risque de crédit Risque opérationnel

Risque de marché

Bâle II

Pilier 2 : Surveillance prudentielle Pilier 3 : Discipline de marché


C’est ce pilier qui met en évidence la problématique de concentration de risque de crédit, dont nous devons élaborer ses limites.

Pilier 3 : Ce pilier renforce la discipline des marchés et établit des règles en matière d'information publiée.

IV LA MESURE DES RISQUES :

Tous les systèmes de gestion des risques reposent sur des mesures quantifiées du risque. Les mesures sont de deux types : l’instabilité des résultats et les évolutions défavorables des résultats, en amplitude et en probabilité.

Tous les aléas qui affectent l’environnement et les paramètres des marchés financiers- taux d’intérêt, taux de change, indices boursiers- ne sont pas mesurables. En particulier, les événements brutaux et inattendus qui bouleversent l’environnement général en sont l’exemple le plus évident. Pourtant ces risques exceptionnels, anormaux et imprévisibles peuvent être fatals. Les scénarios extrêmes de « pire des cas » ou « catastrophe » sont destinés à évaluer les catastrophes de tels événements.

Un exemple de risque difficilement mesurable est le risque dit « systémique », c’est-à-dire le risque du système financier pris dans son ensemble, avec les possibilités d’amplification et de propagation de crises locales dans l’ensemble de système.

Les techniques de gestion des risques s’adressent principalement aux seuls aléas mesurables en « niveau ». Les aléas majeurs, ponctuels, imprévisibles et exceptionnels ne peuvent s’évaluer qu’en jugeant de leur « plausibilité » et par des scénarios reposant sur des jugements, non des mesures.

IV.1 Value-at-risque :

La valeur en risque, plus connue sous le nom anglais Value-at-Risk ou VaR, est une mesure de la perte potentielle qui peut survenir à la suite de mouvements adverses des prix de marché. Elle permet de répondre à la question suivante :

CoCoCoCombienmbienmbienmbien l’établissement financier peutl’établissement financier peutl’établissement financier peutl’établissement financier peut----il perdre avec une probabilité il perdre avec une probabilité il perdre avec une probabilité il perdre avec une probabilité α pour un horizon de α pour un horizon de α pour un horizon de α pour un horizon de temps T fixétemps T fixétemps T fixétemps T fixé ????

Deux éléments sont donc indispensables pour interpréter le chiffre VaR (qui permet de donner une vision globale du risque d’un portefeuille) :

1. la période de détention T ou holding period qui correspond à la période sur laquelle la variation de valeur du portefeuille est mesurée ;

2. le seuil de confiance α du chiffre VaR qui correspond à la probabilité de ne pas dépasser cette mesure du risque.

Si ces deux paramètres ne sont pas spécifiés, nous ne pouvons pas interpréter le chiffre VaR, car un risque à 10 jours avec une probabilité de 99% est beaucoup plus important qu’un risque à 1 jour avec une probabilité de 90%.

Notons F la distribution de probabilité de la variable aléatoire représentant la perte potentielle. Nous avons:

)(FVaR 1 α= − (3)


Avec la mesure VaR, on passe donc d’une mesure de risque comme volatilité à une mesure de risque comme quantile. Ce chiffre résume l’exposition de la banque au risque.


Conclusion

Le risque de crédit constitue un risque majeur dans le dispositif du risk management d’une banque. Il fait actuellement l’objet d’une grande attention avec la nouvelle réforme du ratio Cooke. Cette dernière établit en effet de nouvelles règles prudentielles afin que le risque de crédit soit mieux mesuré sous un processus de surveillance prudentielle renforcé. Le comité de Bâle autorise ainsi, dans une transparence vis à vis du marché, que les banques développent dans un cadre similaire dans son principe et ses objectifs au modèle interne « marché », leur propre modèle interne pour l’évaluation du risque ce crédit. Toutefois, la modélisation du risque de crédit se trouve confrontée à des difficultés méthodologiques dont la réponse conditionne l’architecture des futurs modèles internes.

Deuxième Partie : Modèles & Application


Deuxième partie :

Modèles & Application

Deuxième Partie : Modèles & Application


Introduction :

La modélisation du risque de crédit a un but double. Il s’agit :

• de comprendre et d’expliquer les mécanismes économiques déterminant le défaut d’une entreprise ;

• de retrouver les prix de marché observés dans le cadre d’un modèle qui pourra alors être utilisé pour extrapoler la valeur de produits financiers plus complexes.

Il s’agit d’estimer la perte liée au portefeuille de crédits, que ce soit la perte « dans le pire des cas » ou simplement l’écart-type de cette perte afin de déterminer le capital qui doit être alloué à ce risque de crédit.

Cette deuxième partie sera consacrée entièrement à l’étude des modèles choisis pour résoudre notre problématique portant sur la détermination des limites de concentration de risque de crédit.

Le premier chapitre sera réservé à l’étude de la théorie du modèle KMV, modèle spécialisé uniquement dans la gestion de risque de crédit pour les entreprises cotées en bourse. Ceci représente un handicap pour son application dans notre cas, donc ne sera pas utilisé.

Le premier modèle à appliquer, CreditMetrics de JP Morgan’s, sera consacré à la détermination de la perte potentielle, qui représente la mesure de risque de crédit, ainsi que sa distribution tout en se basant sur les scores de notation « rating » ainsi que leurs probabilités de transition dans l’horizon, et ceci en utilisant la méthode Value-at-Risque VaR.

Le deuxième modèle, CreditRisk+ de Credit Suisse Financial Product (CSFP), déterminera aussi la distribution de la perte de notre portefeuille étudié, et permettra l’allocation optimale des fonds propres de la BMCE avant de déterminer les limites de concentration du risque crédit par secteur d’activités, par contrepartie et par zone géographique en utilisant aussi la méthode VaR.

Chapitre I : Modèle de KMV


Chapitre I

I LE MODELE DE KMV 6 :

I.1 Préliminaires: La firme KMV proposait initialement une mise en oeuvre du modèle de valeur de

la firme de Merton7 pour analyser les différentiels de taux observés sur les obligations d'entreprise. Du fait de la mise en place de la nouvelle régulation, la firme a étendue cette approche à d'autres types de crédits et dérivés de crédit. Notamment, après sa fusion avec Moody's8, elle a introduit dans son modèle de base des effets des notations. Le coeur du modèle est actuellement une boîte noire, où il est difficile de voir comment l'approche de valeur de la firme a pu être rendue compatible avec la procédure de calcul de rating de Moody's. Nous commençons par rappeler la vision KMV du modèle de Merton (voir annexe). Puis nous considérons le moteur de corrélation d'actifs (asset correlation) introduit par cette firme pour corréler de façon plus complexe les risques individuels.

I.2 Hypothèses du modèle : Cette approche repose sur l’hypothèse qu’une firme s’approche du défaut lorsque

la valeur de ses actifs descend au-dessous de la valeur comptable de sa dette. La détermination de la probabilité de défaut s’appuie sur une modélisation stochastique de la valeur des actifs, qui permet d’établir une distribution, à chaque instant futur, de l’écart entre la valeur des actifs et la valeur de la dette. De cette distribution sont directement extraites les probabilités de défaut qui correspondent à la densité de probabilités attachée aux valeurs négatives de la distribution situées au-dessous d’un certain seuil.

Les auteurs du modèle estiment en effet, sur la base d’une observation historique, que le défaut ne survient pas dés que la valeur des actifs franchit à la baisse le seuil de la valeur comptable de la dette, mais à un niveau un peu plus bas, appelé « le seuil de défaut » (default point). La distribution pertinente estimée par KMV est en conséquence celle de l’écart entre la valeur des actifs et le seuil de défaut. La densité de probabilité attachée aux valeurs négatives de cet écart est la vraie mesure de la probabilité de défaut.

L’utilisation du modèle soulève deux grands types de questions :

- la première est celle de son paramétrage. Comment estimer respectivement la valeur des actifs et sa volatilité ? Comment estimer le point de défaut ?

- La seconde est celle des hypothèses sous-jacentes. La modélisation de la constatation du défaut rend-elle correctement compte de la réalité ? Le choix de la valeur comptable de la dette en tant que valeur explicative importante du défaut est en particulier discuté, la valeur de marché de la dette paraissant, à certain, une variable explicative plus pertinente.

I.3 Le paramétrage du modèle : I.3.1 Calcul des probabilités de défaut individuelles :

6 Firme

7 Merton : Firme

8 Moody’s : Agence de notation



La méthode suivie par KMV met en regard l'évolution de la valeur de marché des actifs d'une entreprise et de ses dettes, et considère qu'une firme fait défaut quand la valeur de marché de ses actifs est insuffisante pour payer ses dettes.

La première étape consiste à évaluer la valeur de marché des actifs et leur volatilité qui sont inobservables. A cette fin, KMV propose d'utiliser la valeur de marché des capitaux propres tA et leur volatilité tA,σ comme approximation de la valeur de marché des

actifs et de leur volatilité en s'appuyant sur deux relations:

Le niveau des fonds propres supposé égal à la valeur d'une option d'achat sur les actifs de la firme,

La relation théorique entre la volatilité observable de la valeur des capitaux propres et la volatilité " inobservable " de la valeur des actifs de la firme.

Ainsi, avec deux équations et deux inconnues, il est possible d'obtenir une solution pour le couple );( ,tAtA σ .

Pour les entreprises cotées sur le marché, la valeur de marché des fonds propres et leur volatilité peuvent être considérés observables. Pour les entreprises non cotées, en revanche ce n'est pas le cas. Dans sa version "Private Firm Model " introduite pour ce type d'entreprises, KMV déduit la valeur des fonds propres d'une firme non cotée de celle de firmes cotées comparables.

Plus exactement, le ratio (Ebitda9/fonds propres) est estimé sur les entreprises cotées pour être ensuite appliqué aux entreprises non cotées. KMV reconnaît que cette technique ne fonctionne pas pour certains secteurs, notamment ceux pour lesquels le lien Ebitda- fonds propres est inexistant (institutions financières par exemple). Par ailleurs, cette méthode n'a été testée que sur des données nord-américaines, ce qui incite à une certaine prudence lors de son application aux cas d'entreprises du reste du monde. Finalement, l'Ebitda, qui permet une autre présentation des bilans, parfois plus favorable, a été interdite d'utilisation dans certains pays comme la France.

Une fois la valeur des actifs estimée, KMV calcule une distance au défaut (DD) présentée comme la distance entre la valeur attendue des actifs à horizon fixé (un an par exemple) et le point de défaut (K) , exprimée en termes d'écart-type de la valeur future des

actifs Aσ .

La distance au défaut est un indice de risque individuel, qui est ensuite retranscrit en terme de probabilité de défaut, notion plus parlante pour l'utilisateur. Théoriquement, cette probabilité de défaut se déduit par une relation explicite provenant du modèle de Merton. La confrontation avec les scores de Moody's a montré que cette probabilité reconstituée était sensiblement différente de celle observée historiquement. Ceci provient en grande partie du fait que le modèle de Merton, très simpliste, est mal spécifié. Le système actuel effectue ex-post une correction pour se rapprocher des fréquences observées. Soulignons toutefois que la table de passage a été construite à partir de données nord-américaines

9 L’Ebitda (Earnings before Interest, Taxes, Depreciation and Amortization) peut être considéré comme un indicateur de la rentabilité économique de la firme. L’Ebitda est proche de la notion d’excédent brut d’exploitation.


seulement, c'est-à-dire pour principalement des firmes américaines et des prix d'actifs exprimés en dollar.

I.3.2 Le moteur de corrélation :

Une caractéristique intéressante du modèle KMV est la façon d'introduire la corrélation des risques. La démarche repose sur un modèle de Merton écrit pour plusieurs actifs et dans lequel divers facteurs peuvent induire une dépendance entre risques (lorsqu'ils sont inobservables) : des facteurs généraux, des facteurs régionaux et des facteurs sectoriels.

Le modèle de valeur de la firme étant un modèle à variables latentes, l'écriture factorielle peut être directement introduite sur les rendements des actifs des firmes, et comme ces derniers sont a priori quantitatifs, aussi bien positifs que négatifs, une représentation factorielle linéaire est suffisante. De plus, elle peut être estimée de façon directe dès que les valeurs des actifs sont reconstituées. Il s'agit donc d'une analyse factorielle linéaire standard, dont nous allons rappeler les principes avant de discuter la démarche suivie par KMV. La littérature statistique distingue habituellement plusieurs types d'écritures factorielles, selon que les facteurs sont ou non observables, considérés comme statiques ou dynamiques.

i. Modèle statique non contraint :

Dans le modèle de Merton initial, les rendements des actifs sont supposés indépendants, identiquement distribués selon une loi normale. Dans ce contexte les corrélations marginales et les corrélations conditionnelles des rendements coïncident. Elles peuvent être estimées par leur contrepartie empirique. On parle d'estimation historique ou par moyennage des corrélations.

ii. Modèle statique à facteurs :

Considérons comme auparavant des rendements indépendants, identiquement

distribués ty ; Tt ,...,1= : La matrice de variance-covariance des rendements Φ=)( tyV comprend en pratique un grand nombre d'éléments et il est nécessaire de la structurer. Une approche classique consiste à supposer que :

ttt Zy εβγ ++= '0 (4)

où K facteurs tZ sont introduits. On suppose habituellement que les vecteurs ''' );( tt Zε sont indépendants de même loi tels que :

0);();(;)(,0)(;0)( 2 ==== tttttt ZCovZVIdVZEE εσεε . (5)

Sous ces hypothèses, la matrice de variance-covariance des rendements est la somme d'une matrice diagonale et d'une matrice de rang réduit :

IdId KK2'

1'

12' ... σββββσββ +++=+=Ω (6)

Les paramètres β; σ2; ainsi que les valeurs des facteurs peuvent être estimées en utilisant une décomposition à valeurs singulières (Singular Value Decomposition ou SVD).

iii. Modèle à facteurs observables et décomposition factorielle du terme d'erreur :


Ce modèle s'écrit :

ttt uXy += 'γ (7)

où les variables explicativestX sont supposés observables et le terme d'erreur iid

indépendant des variablestX , admettant une écriture factorielle statique : ttt Zu εβ += ' .

Dans ce modèle, il faut distinguer diverses matrices de variance-covariance des rendements:

la matrice de variance-covariance marginale est :

;)()( 2'' IdXVyV tt σββγγ ++= (8)

la matrice de variance-covariance sachant tX s'écrit :

IdXyV tt2')/( σββ += ; (9)

la matrice de variance-covariance à horizon plus grand est donnée par :

IdXXVXyV htthtt2'' )/()/( σββγγ ++= −− . (10)

Le calcul de ces derniers types de variance-covariance demande une analyse de la dynamique des variables explicatives et est généralement effectué par simulation.

Les paramètres du modèle sont approchés par une méthode en deux étapes :

Étape 1 : Régression de ty sur tX , pour en déduire les estimateurs des moindres carrés

ordinaires ∧γ et les résidus d'estimationtu

∧.

Étape 2 : Application d'une décomposition en valeur singulière sur les résidus )( tu∧

pour en

déduire les estimateurs2

,∧∧σβ et les approximations des valeurs

∧

tZ des facteurs statiques non

observables.

iv. Modèles à facteurs dynamiques

Un exemple simple de tel modèle est :

ttt Zy εβγ ++= '0 (11)

où le processus des facteurs non observables satisfait la dynamique :

ttt uAZZ += −1 (12)

avec des erreurs ''' );( tt uε indépendantes, de loi gaussienne centrée. Ce modèle peut être

estimé et les valeurs des facteurs non observables reconstituées en employant un filtre de Kalman linéaire. Le filtre peut aussi être utilisé pour prévoir les valeurs futures des rendements pour tout horizonh .

Toutes ces approches sont assez simples d'emploi et peuvent être mises en oeuvre à partir de logiciels standards.


La procédure développée par KMV dans "Global Correlation Model" semble relever d'un modèle à facteurs observables. Le risque de chaque firme est dans un premier

temps décomposé en un risque systémiquetX'γ et un risque idiosyncratique, c'est à dire

spécifique à la firme,tε . Dans un deuxième temps, le risque idiosyncratique est lui même décomposé de façon à faire apparaître des risques pays et des risques industrie. De façon plus précise, il est supposé des corrélations constantes entre entreprises d'un même pays, et constantes entre deux firmes de deux pays différents pour le risque pays par exemple. Il

s'agit d'une approche où les vecteurskβ , dont les composantes caractérisent l'appartenance à un pays donné sont connus à priori.

Finalement, les risques de chacune des entreprises sont exprimés en fonction de 14 facteurs communs indépendants : 2 facteurs " Economie globale ", 5 facteurs régionaux, 7 facteurs sectoriels, et 2 facteurs de risque idiosyncratiques correspondant à un Risque Pays et un Risque Industrie.

Le rendement de chaque actif peut alors être exprimé comme une combinaison multifactorielle linéaire pondérée des facteurs fondamentaux, plus une partie idiosyncratique. En limitant ainsi les facteurs de risques pris en compte, KMV réduit considérablement le nombre de corrélations à estimer.

Peu d'information est fournie sur les modes de calcul des facteurs tt ZX ; , et sur la

dynamique supposée des facteurstX , dynamique dont la spécification est nécessaire pour les problèmes de prévision. Cependant, les premiers facteurs communs sont des rendements d'indice de marché standards. L'approche suivie présente diverses limitations. Les premières sont liées au manque de cohérence entre les procédures utilisées :

l'analyse factorielle est effectuée sur des données de rendements d'actif reconstituées, sans que les erreurs de reconstitution soient prises en compte ;

elle suppose des effets de variables explicatives, ce qui est incompatible avec le modèle de Merton, qui sert de base à cette reconstitution et où les rendements sont supposés iid ;

elle ne tient pas compte de l'hétéroscédasticité conditionnelle observée lors de la reconstitution des volatilités tA,σ .

Conclusion :

Ce modèle KMV, dédié essentiellement pour la mesure de la perte potentielle dans le cas d’un portefeuille composé uniquement des entreprises cotées en bourse, ne peut être appliqué dans notre cas car ce type de firmes n’est pas représenté au niveau de ce portefeuille.

Chapitre II : Modèle CREDITMETRICS

Chapitre II

I LE MODÈLE CREDITMETRICS: Le modèle CreditMetrics a été introduit en 1997 par JP Morgan's10 pour mesurer

le risque de crédit et valoriser les portefeuilles d'actifs non négociables tels que les prêts et obligations privées. Son objectif est de permettre aux établissements de crédit d'évaluer la valeur future de leur portefeuille et non plus seulement d'estimer leurs pertes potentielles. En ce sens, il s'agit d'un modèle de transition et non plus de défaut. Dans la suite, nous parlerons donc de probabilité de transition et non plus de probabilité de défaut, le défaut n'étant qu'une des transitions possibles. Essentiellement concentré sur une évaluation des risques au niveau d'un portefeuille, la procédure ne propose pas de technique d'évaluation des probabilités de défaut individuelles. En pratique, l'évaluation des probabilités de transition se fait au niveau des classes de risque (rating) et non au niveau individuel, ce qui implique que toutes les firmes d'une même classe sont supposées porter le même risque.

CreditMetrics modélise l’évolution du spread11 (la prime de risque) de chaque émetteur en supposant que celui-ci dépend du niveau de rating de cet émetteur. Deux émissions de même rating, mais d’émetteurs différents, seront donc supposées avoir le même spread.

La mise en œuvre de la méthode repose sur les étapes suivantes :

1. On attribue une notation à chaque émetteur (ou émission) en fonction de sa solvabilité présumée. Cette notation peut être par exemple celle publiée par les agences spécialisées (Standard&Poors12, Moody’s…) ou une notation interne ;

2. on détermine une matrice de transition de rating. Cette matrice consiste à donner pour un émetteur auquel on a attribué un rating actuel, les différents ratings potentiels de cet émetteur à un horizon de temps donné, ainsi que les probabilités associées de se trouver dans cet état. Nous trouvons dans ce qui suit l’exemple d’une telle matrice. Cette matrice peut être obtenue à partir des matrices historiques fournies par les agences de notation, ou peuvent être établies par estimation statistique ;

3. À chaque type de rating, on attribue une courbe des taux prenant en compte le risque spécifique de cette catégorie de rating par rapport à un émetteur sans risque de crédit. Cette courbe des taux peut être déterminée à partir d’un panel d’émissions ayant ce rating ;

4. À chaque type de rating, on attribue une courbe des taux prenant en compte le risque spécifique de cette catégorie de rating par rapport à un émetteur sans risque de crédit. Cette courbe des taux peut être déterminée à partir d’un panel d’émissions ayant ce rating ;

La méthode permet également de se baser sur l’espérance et la volatilité du taux de recouvrement correspondant au rating et à la séniorité de la dette.

10 JP Morgan’s : Firme 11 Spread =- ln (1-probabilité de défaut) 12 Standard&Poor’s : Agence de notation


I.1 Evaluation du risque de crédit : méthodologie :

I.1.1 Mesure du risque :

L’objectif recherché est de mesurer la variation de la valeur future d’un portefeuille liée à la modification de la qualité de crédit des contreparties des instruments en portefeuille. Les variations de la valeur future sont représentées statistiquement par la distribution de probabilités des valeurs à l’horizon. Cette distribution a approximativement la forme représentée ci-dessous, pour un portefeuille diversifié de bonne qualité. On peut alors comparer cette distribution à celle d’un portefeuille uniquement soumis à un risque de marché. On s’aperçoit alors de la spécificité du problème posé et de la nécessité d’une nouvelle approche pour quantifier le risque crédit.

Figure 4 : Comparaison risque de marché-risque de crédit

Source : CreditMetrics Model’s

La distribution n’est pas normale ; elle est asymétrique, et la queue de distribution est épaisse du côté gauche. Il existe une faible probabilité de perdre beaucoup d’argent, et une forte probabilité d’avoir des gains relativement faibles. Dans ces conditions, l’écart-type de la distribution est une mesure de risque assez mal adaptée, car symétrique. Une mesure plus adaptée est celle des quantiles, c'est-à-dire la mesure d’une VaR à 1 %.

I.1.2 Méthode de valorisation :

Dans un univers déterministe, la valeur d’un portefeuille à une date donnée est égale à la valeur actualisée de ses flux futurs. Dans un univers incertain, elle est égale à l’espérance de la valeur des flux futurs actualisés au taux sans risque. On suppose dans un premier temps que la courbe des taux sans risque reste constante. L’aléa est alors intégralement représenté par la distribution de probabilités des flux futurs.

Plaçons-nous à l’horizon. Nous allons discrétiser la distribution des valeurs du portefeuille, en supposant qu’il existe un nombre fini d’états possibles, qui sont entièrement caractérisés par les « ratings » des émetteurs à l’horizon, ainsi que par les types de créances


(senior, subordonnée…). Le rating est une mesure de la qualité de crédit de l’émetteur, et est supposé discret.

Cas d’un titre isolé : Prenons l’exemple de l’échelle de notation

Standard&Poor’s à 7 gradations. Soit n titre émis par un émetteur dont le rating actuel est A. choisissons un horizon d’un an. Dans un an, le rating de l’émetteur peut prendre les valeurs suivantes : AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC selon sa probabilité de défaut, ou l’émetteur peut avoir fait défaut. Il s’agit alors de calculer la valeur de l’obligation correspondant à chacun de ces états. Plaçons-nous dans un des états de rating possible, excepté l’état de défaut. Considérons un flux de 1F versé dans T années. La valeur actuelle de ce flux est égale à l’espérance de ce flux actualisée au taux sans risque Tr :

TT

i

ii r

pV)1( +

=∑α

(13)

i est un indice de l’état futur de la créance : à chaque état correspond un pourcentage de paiement de la créance, αi, et une probabilité de se trouver dans cet état, pi. Nous avons supposé que chaque état à l’horizon était entièrement caractérisé par le rating de l’émetteur et le type de dette. On peut alors écrire V sous la forme :

TTr

V)1(

1'+

= (14)

Où 'Tr est un taux d’actualisation « risqué ». Ce taux ne dépend que du rating de l’émetteur

à l’horizon et de la maturité de la créance. On définit ainsi un ensemble de facteurs d’actualisation ),( jTf qui s’appliqueront aux flux de maturité T et de rating j à l’horizon. Dans le cas où l’émetteur fait défaut, la valeur du flux est égale au taux de recouvrement correspondant à la notation initiale. Notons )(tCF le flux contractuel versé à la date t. la valeur du titre à l’horizon, dans l’état j (excepté l’état de défaut) est égale à :

∑=

×=T

i

jtftCFjV1

),()()( (15)

Cas d’un portefeuille de titres : Dans le cas d’un portefeuille, il y a Nm états

possibles, m représentant le nombre d’états possibles par émetteur et N le nombre de titres en portefeuille. On note Njjjj ...321 l’état du portefeuille à l’horizon pour lequel le rating

de chacun des titres i est ij . On calcule pour chaque titre i et pour chacun des états ij la

valeur ),( ijiV de ce titre à l’horizon. Soit )(iNom le montant nominal investi sur le titrei .

La valeur du portefeuille dans l’état Njjjj ...321 est égale à :

),()()...( 321 ∑=N

iiN jiViNomjjjjV (16)

I.1.3 Calcul des probabilités :

Nous n’avons jusqu’ici abordé que le calcul des valeurs à l’horizon. Pour obtenir la distribution de ces valeurs, il nous manque les probabilités associées à chacun des états.


Cas d’un titre isolé : À partir d’historiques de changements d’états, il est possible

de construire une matrice de transition représentant la probabilité du passage de l’état initial i à l’état à l’horizonj . Ainsi ; Standard&Poor’s fournit le type de matrice de transition suivant :

Table 2: Matrice de transition à un an de Standard&Poor’s

Source : Standars&Poor’s

La probabilité qu’un émetteur AA devienne A à l’horizon de 1 an est de 7,79%

Cas d’un portefeuille de titres : Etant donné deux émetteurs de rating connu, il

existe, dans le cas d’une échelle de notation à 7 notes (plus l’état de défaut) 6488 =× états possibles à l’horizon. Il semble alors légitime d’étudier les corrélations

entre les migrations de ratings. Une première tâche a été de mettre en évidence cette corrélation, qui n’est pas forcement très intuitive. En effet, on pourrait prétendre que chaque firme est unique et que ses changements de qualité de crédit ne sont donc dus qu’à des événements spécifiques. Cela semble encore plus vrai pour les petites entreprises, nettement moins dépendantes les unes envers les autres que des grands groupes qui sont la plupart du temps amenés à avoir des relations commerciales. Cela reviendrait donc à considérer que la corrélation des transitions de deux firmes est quasi nulle et que son impact sur le risque de défaillance est négligeable.

I.1.4 Estimation des corrélations entre rendements actifs :

Supposons que nous ayons à étudier N émetteurs distincts. La modélisation

proposée précédemment suppose l’estimation et le stockage de 2/)1( −NN corrélations. Ce nombra peut rapidement devenir important. Pour simplifier le problème, nous allons adopter une modélisation des rendements des actifs individuels couramment utilisée en finance. On suppose que la rentabilité de l’actif i est entièrement déterminée par des

composantes ikβ et iσ telles que :

iik

K

kiki fR εσβ +=∑

=1

(17)

On parle de modèle factoriel. La rentabilité des actifs peut être expliquée par K facteurs communs ou facteurs systématiques notés f k et un facteur spécifique au titre. Les facteurs communs peuvent soit être identifiés, taux d’intérêt, taux de change, secteurs industriels, soit être des facteurs statistiques résultant par exemple d’une analyse factorielle. On suppose de plus que :


k∀ 0)( =kfE facteurs communs centrés

k∀ 0)( =kfσ facteurs communs normés

lk,∀ lklk ffE ,)( ρ= facteurs communs corrélés entre eux

i∀ 0)( =iE ε facteurs spécifiques centrés

ji,∀ ijjiE δεε =)( facteurs spécifiques normés et non corrélés entre eux

ki,∀ 0)( =ikfE ε facteurs spécifiques non corrélés aux facteurs communs

On obtient ainsi la corrélation entre deux actifs grâce à l’expression suivante :

ijjilkjlk l

ikji RRCorr δσσρββ +=∑∑ ,),( (18)

Il suffit de connaître les corrélations entre les facteurs communs, ainsi que le risque spécifique de chacun des émetteurs pour construire la matrice de corrélations des rendements des actifs. Si nous notons Λ cette matrice, on a :

Λ BBCt=

Où C est la matrice de corrélation des facteurs de la forme suivante :

Si les facteurs sont déterminés par une analyse factorielle, les K premiers axes retenus sont orthogonaux entre eux ; on en déduit alors que C est la matrice identité et que la matrice de corrélation Λ est égale à BBt .

I.2 Mise en œuvre de la méthodologie :

I.2.1 Matrice de transition :

La matrice de transition représente la probabilité de transition d’un rating initial vers un rating à l’horizon. A priori, pour un horizon donné, une seule matrice de transition est nécessaire. En effet, nous avons supposé que le seul facteur discriminant entre émetteurs était le rating.


Nous pouvons utiliser une échelle de notation « classique » du type de celle proposée Standard & Poor’s ou Moody’s. Nous pouvons aussi développer notre propre échelle de notation, en utilisant par exemple une méthode d’évaluation proche de celle proposée par KMV. Cette méthode est cependant plus coûteuse, dans le sens où nous avons besoin d’estimer les ratings sur une longue période afin de calculer les probabilités de transition.

I.2.2 Rendements de transition :

Les rendements de transition permettent d’établir une bijection entre le rendement de l’actif de chaque émetteur et sa notation à l’horizon. Le rendement de la valeur de l’actif de chaque émetteur est supposé suivre une loi normale de moyenne µ et d’écart-type σ . Dans CreditMetrics, les paramètres du rendement de la valeur de l’actif sont confondus avec les paramètres du rendement de l’action.

Connaissant les paramètres de la loi normale, les rendements de transition sont définis de la manière suivante :

µσ +×= − )(1défautdéfaut pNZ

(19)

µσ +×−= − )(1défautCCCdéfaut ppNZ

(20)

Les probabilités de transition ne dépendant que du rating de l’émetteur, les rendements de transition sont fonction du rating, l’espérance et la volatilité du rendement de l’actif. Nous pouvons dès à présent faire correspondre à la matrice de transition une matrice des rendements de transition Z, les Ζ i,j étant défini par les formules analytiques ci-dessus. Nous n’avons pas besoin à cette étape du détail des espérances et des volatilités des rendements des actifs.

I.3 Modélisation des corrélations entre rendements d’actifs :

Le rendement de l’actif i peut être décomposé de la manière suivante :

iik

K

kiki fR εσβ +=∑

=1

(21)

CreditMetrics propose la méthodologie suivante : on suppose que les principaux facteurs de corrélations entre émetteurs sont des facteurs sectoriels. L’activité de chaque émetteur est décomposée par secteurs, et la proportion risque systématique (ou risque sectoriel) / risque spécifique est définie. Les sensibilités à chaque facteur sont ensuite calibrées afin de retrouver une volatilité totale en accord avec la volatilité mesurée. Cette méthode est cependant assez délicate à implémenter : sur quelle base fait-on reposer la décomposition sectorielle ? La base du chiffre d’affaires est biaisée, car elle ne tient pas compte du rapport de marge entre divers secteurs d’activité. Les chiffres de répartition des résultats par secteurs sont plus difficiles à obtenir.

Une alternative à ceci serait par exemple l’analyse factorielle des rendements. Cette méthode a plusieurs avantages : elle a, en général, un pouvoir explicatif plus important, et elle permet d’obtenir des facteurs orthogonaux. Afin d’obtenir une meilleure


précision, on pourra adopter une distinction géographique entre les gestions, et réaliser une analyse factorielle pour chacune de ces régions.

I.4 Simulation des rendements des actifs :

Nous devons construire de scénario représentant l’évolution de la valeur de l’actif de chacun des émetteurs présents dans le portefeuille. Pour N émetteurs, il est nécessaire de simuler une loi normale multivariée à N dimensions, dont la matrice de covariance est très rarement diagonale. La méthode généralement suivie est de simuler tout d’abord une loi normale multivariée à N dimensions dont la matrice de covariance est égale à l’identité. On

multiplie alors cette loi par la matrice de Cholesky A par : =AAt Λ , où Λ est la matrice de corrélation définie plus haut.. L’algorithme pour obtenir A à partir de Λ est très classique et disponible dans de nombreux ouvrages d’analyse numérique. Si l’on utilise un modèle factoriel à m facteurs orthogonaux, il suffit de simuler N (facteurs spécifiques) + m (facteurs systématiques) lois normales indépendantes, ce qui est beaucoup plus simple. On construit ainsi quelques milliers de scénario. Connaissant les sensibilités de chacun des émetteurs, on reconstruit alors pour chaque scénario et pour chaque émetteur le rendement à l’horizon.

I.5 Reconstitution des notations à l’horizon :

Nous disposons maintenant de quelques milliers de scénario obtenus par Monte Carlo. A chaque scénario correspond un vecteur de N rendements, N étant le nombre d’émetteurs. Pour chaque émetteur de chaque scénario on va comparer le rendement tiré

aux rendements de transition iZ définis plus haut. Ainsi, à l’aide de ces rendements de transition, on reconstitue le rating de chaque émetteur à l’horizon et ce pour chaque scénario. A ce stade, nous disposons de l’ensemble des informations nécessaires pour évaluer la distribution de la valeur de notre portefeuille à l’horizon. Reste à faire correspondre à chaque rating de chaque émetteur la valeur du titre dans cet état de la nature.

I.6 Calcul des facteurs d’actualisation :

Nous avons besoin, pour chaque rating à l’horizon, d’une courbe des taux à l’horizon, ainsi qu’une courbe des spreads. CreditMetrics suggère d’utiliser des courbes standard, fournies par Bridge. Ces courbes ne sont cependant disponibles initialement que pour les USA. Il semble dangereux d’utiliser une seule courbe de spreads par type de rating. En effet, le spread évolue en fonction du niveau absolu des taux d’intérêt, qui peut être différent d’un pays à l’autre. Ceci pose un nouveau problème : même en supposant les taux à l’horizon inchangés, nous ne disposons pas suffisamment de données dans chacune des régions du pays pour tracer une courbe par rating, particulièrement pour les ratings les plus faibles.

I.7 Application aux données de la Bmce Bank:

I.7.1 Statistique descriptive :

Notre portefeuille contient 1721 contreparties réparties entre 15 secteurs d’activités que nous avons noté, pour des raisons de confidentialité, S1, S2, S3,..., S15, et se localisant sur 10 régions du Royaume.


Le tableau ci-dessous nous permet d’avoir une description globale de notre portefeuille :

Table 3: Statistique descriptive du portefeuille Caractéristiques Valeurs

Montant global 22 255 247 250

Moyenne 12 931 578,88

Ecart-type 53 545 853,43

Maximum 971 529 406,58

Minimum 100 000

La répartition en fonction du rating en terme du pourcentage de l’effectif et celui du montant est la suivante :

Table 4 : Répartition en fonction de la classe de rating Classe de rating La part de l’effectif La part du montant

1 1% 0%

1,5 2% 2%

2 6% 12%

2,5 11% 9%

3 16% 12%

3,5 18% 19%

4 15% 15%

4,5 11% 13%

5 10% 12%

5,5 6% 3%

6 5% 5%

I.7.2 Application :

Pour appliquer le modèle CreditMetrics, on a supposé que notre portefeuille est composé d’un seul titre de montant égal au montant global de ce portefeuille et avec une probabilité de défaut égale à la moyenne des probabilités par rating de l’ensemble des contreparties formant notre portefeuille. Ce choix de modéliser notre portefeuille par un seul titre est dû à la complexité d’appliquer ce modèle pour un portefeuille composé de plusieurs titres, car il est essentiellement conseillé dans le cas d’un portefeuille composé d’un seul titre, sinon sa multiplicité rend l’application très lourde.


L’application de ce modèle se base essentiellement sur la matrice de transition, donc adoptera celle de Standar’s&Poor’s avec des probabilités de transition, dans le cas de défaut, relatives à notre base de données.

Notre portefeuille comporte 11 classe de rating 1 ; 1,5 ; 2 ;… ; 6, alors que la matrice utilisée contient seulement 7 classe AAA; AA; A ; BBB; BB; B ;CCC, en plus de la classe de défaut. Alors, pour faire correspondre ces deux éléments, on a aboutit à regrouper les classes de rating au niveau du portefeuille comme suit :

Table 5 : les nouvelles classes de rating avec leurs probabilités de défaut Rating de la Bmce Rating de Standar&Poor’s Probabilité de défaut

1 AAA 0%

1,5 ; 2 AA 5,80%

2,5 A 11,23%

3 BBB 9,42%

3,5 BB 11,54%

4 ; 4,5; 5 B 13,49%

5,5 ; 6 CCC 13,74%

Notre choix de ces sous ensemble se justifie par les combinaisons entre les

probabilités de défaut par contrepartie qui peuvent donner une série croissante de ses probabilités avec la classe de rating. Notre matrice de transition est la suivante :

Table 6 : Matrice de transition à un an

Rating AAA AA A BBB BB B CCC Défaut

AAA 90 ,81 % 8,33% 0,68% 0,06% 0,12% 0,00% 0,00% 0%

AA 0,70% 90,65% 7,79% 0,64% 0,06% 0,14% 0,02% 5,80%

A 0,09% 2,27% 91,05% 5,52% 0,74% 0,26% 0,01% 11,23%

BBB 0,02% 0,33% 5,95% 86,93% 5,30% 1,17% 0,12% 9,42%

BB 0,02% 0,14% 0,67% 7,73% 80,53% 8,84% 1,00% 11,54%

B 0,00% 0,11% 0,24% 0,43% 6,48% 83,46% 4,08% 13,49%

CCC 0,22% 0,00% 0,22% 1,30% 2,38% 5,00% 64,85% 13,74%

Défaut 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 100%

Le montant de notre portefeuille est 22 255 247 250 Dhs. Ce portefeuille est noté A selon, sa probabilité de défaut par rating et par contrepartie.

Sous la double hypothèse de stabilité de la matrice et d’indépendance des changements d’état dans le temps, il est possible de déduire d’une matrice de transition


annuelle, des probabilités conditionnelles de défaut ou probabilités « forward ». Ces probabilités sont les probabilités de défaut sur un espace de temps futur, sachant que l’émetteur n’a pas encore fait défaut. Ces probabilités dépendent du spread (prime de risque) et taux sans risque comme suit :

spreadsquetauxsansridTauxforwar += (22)

Le calcul du taux de forward se fait sur un horizon de 5 ans, ce qui nécessite une simulation des probabilités entre 2002 et 2005, car notre base de données nous offre celle de 2006.

A partir de ce taux, on déduira la valeur actuelle du titre émis (valeur actuelle des paiements restants).

Table 7: Taux forward pour le portefeuille. Année

Rating

2006 2005 2004 2003 2002

AAA 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

AA 0,11 0,11 0,11 0,11 0,11

A 8,49 8,49 8,49 8,59 8,65

BBB 0,43 0,43 0,43 0,44 0,44

BB 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07

B 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03

CCC 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Pour calculer la valeur actuelle du titre, on utilisera un taux d’actualisation de 1%, déduit d’un taux de rentabilité 5,38%. On détermine ainsi, toute les valeurs possibles du titre en fonction des ses migrations possibles vers d’autres notations l’année suivante. Ce sont les valeurs de reventes théoriques dans le marché en cas de revente dans un an. On obtient le tableau suivant :


Table 8: Valeur actuelle du portefeuille Rating Probabilité de transition Valeur actuelle

AAA 0,09 22 264 199 421

AA 2,27 22 261 259 541

A 91,05 22 258 213 458

BBB 5,52 22 254 007 528

BB 0,74 22 240 997 317

B 0,26 22 234 969 015

CCC 0,01 22 231 369 412

Au total, on obtient les différentes valeurs possibles de notre portefeuille en fonction de leurs migrations possibles vers d’autres notations et les probabilités de migration.

De ce tableau, on obtient la distribution de la valeur actuelle du portefeuille selon la probabilité de transition :

Figure 5: Distribution de la valeur actuelle du portefeuille

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

22 2

64 1

99 4

21

22 2

61 2

59 5

41

22 2

58 2

13 4

58

22 2

54 0

07 5

28

22 2

40 9

97 3

17

22 2

34 9

69 0

15

22 2

31 3

69 4

12

Valeur

Pro

babi

lité

Il est clair que notre distribution est normale. Donc, nous allons calculer la VaR normale donnée par :


58,2%5,99

33,2%99

65,1%95

×=×=×=

σσσ

VaR

VaR

VaR

Le tableau suivant illustre la démarche du calcul de la VaR :

Table 9 : Calcul de la VaR pour notre portefeuille Rating Probabilité

de transition

Valeur actuelle Valeur pondérée

Différence à la moyenne

Calcul de la variance

AAA 0,09 16 360 883 754

14 724 795

- 117 287 814

1,23808E+13

AA 2,27 16 488 110 202

374 280 102

9 938 634

2,24223E+12

A 91,05 16 488 184 262

15 012 491 771

10 012 694

9,12813E+13

BBB 5,52 16 488 112 347

910 143 802

9 940 778

5,45481E+12

BB 0,74 16 488 224 823

122 012 864

10 053 254

7,47903E+11

B 0,26 16 488 241 821

42 869 429

10 070 253

2,63666E+11

CCC 0,01 16 488 066 950

1 648 807

9 895 382

9791858213

Somme 100 16 478 171 568,32 1,1238E+14

Moyenne 2 354 024 509,76

On obtient de ce tableau la variance et l’écart-type de ce portefeuille :

141238,1=Variance

39,10600966=− typeEcart

On calcule la VaR pour ce portefeuille, on trouve :

Table 10 : La VaR pour notre portefeuille

VaR95% 17 491 594,54

VaR99% 24 700 251,68

VaR99,5% 27 350 493,28


Ce tableau nous donne une idée sur le volume de la perte au niveau de notre portefeuille à différents ordres de précision. Il peut atteindre le niveau de 24 MDhs à 99%, ce qui représente presque 1% de notre portefeuille.

Conclusion

L’application du CreditMetrics pour le cas d’un portefeuille représentatif de la clientèle de la Bmce Bank a permis de dégager une première idée sur le volume de perte qu’elle peut subir pour le cas de ce portefeuille. Toutefois, ce modèle estime la perte due à la fois au risque de défaut et également au risque de variation du spread de signature ; c'est-à-dire l’évolution au cours du temps du rating de chaque émetteur. Cette évolution étant déterminée à partir des matrices de transition, dont la Bmce, d’ailleurs comme toutes les banques marocaines, ne dispose pas. Ce qui nous a obligé à adopter celle de l’agence Standars&Poor’s, basée essentiellement sur les données des entreprises nord-américaines. En plus, le système de notation rating avec lequel travaille Bmce est ancien (depuis cinq ans). Donc, il ne prend pas en considération les changements qui peuvent affecter la situation financière des contreparties. Ces deux obstacles, en plus de la non disponibilité des données concernant le taux de recouvrement de crédit, rendent les résultats obtenus en appliquant CreditMetrics discutables.

Chapitre III : Modèle CREDITRISK+


Chapitre III

I LE MODELE CREDITRISK + : I.1 Une approche économique de la gestion du risque de crédit :

Les avancées en terme de modélisation conduisent les institutions financières à adopter une approche économique de la gestion du risque de crédit, la Value-at-Risk.

Les objectifs principaux de cette approche adoptée dans notre modèle sont d’une part de quantifier le risque de crédit pour prêt (perte attendue) et d’autre part de déterminer le capital économique permettant d’absorber des pertes extrêmes (perte inattendue) et d’assurer la solvabilité de la banque. Le deuxième modèle élaboré dans ce projet permet ensuite de mesurer la profitabilité de chaque opération, et d’optimiser l’allocation du capital global de l’établissement, ainsi, que déterminer les limites de concentration de ce risque et ceci dans la finalité de diversifier le portefeuille.

La modélisation repose sur l’estimation par la banque de la fonction de densité des pertes de crédit. Cette fonction permet d’estimer la probabilité que les pertes subies au niveau du portefeuille de risque excèdent un certain seuil (seuil de solvabilité, exprimé sous forme de fractile). De manière synthétique, on peut dire qu’un portefeuille est d’autant plus risqué que la queue de distribution est longue et épaisse et dans ce cas, cela requerra de la banque de mettre en réserve une plus grande quantité de capital.

I.1.1 La mesure du risque de crédit :

La mesure du risque de crédit lié au portefeuille est en règle générale mesurée par deux estimateurs, l’espérance de perte et un quantile de perte. L’espérance de perte est la perte moyenne attendue sur le portefeuille. Elle est simplement calculée en sommant le produit des pertes potentielles et des probabilités associées.

Mais la perte peut évidemment se révéler supérieure, et un estimateur du risque de dérivé est indispensable. Le plus courant est la perte maximale associée à un intervalle de confiance. Il s’agit de mesurer la perte (Value-at-Risk) que l’on accepte de supporter dans un scénario défavorable, de faible probabilité d’occurrence. Le calcul s’obtient directement à partir de la distribution.

I.1.2 L’objectif : une distribution de perte de crédit :

L’objectif de notre modèle de CreditRisk+ va être de déterminer la distribution de pertes dues au risque de crédit, afin d’en déduire l’espérance ainsi que les différents quantiles.

On retiendra l’intervalle de confiance de 99% pour estimer la consommation de fonds propres dues au risque de crédit. La représentation graphique de la distribution nous permet de visualiser ainsi les éléments nécessaires (VaR, EL, ES13) à l’allocation du capital économique.

13 Rendement dû au Spread Spread : paiement d’une prime au départ de la part de l’emprunteur afin de compenser la perte attendue. Le taux d’intérêt est alors composé du taux « sans risque », auquel on ajoute un « Spread »



Nous indiquons dans le graphe qui suit ces éléments :

Figure 6: Eléments de l’output de la modélisation

I.1.3 Principes et hypothèses de base :

Les principes de base conduisant à la détermination de la distribution probabilisée des pertes sont les suivants : chaque crédit est analysé et le risque est quantifié sur une base individuelle (en général, toute l’information pour un crédit est résumé par une notation) afin de déterminer directement la probabilité de défaut à un horizon temporel défini. Une estimation du taux de recouvrement (valeur de l’actif après le défaut) est également définie pour chaque crédit. Enfin, l’ensemble de ces analyses individuelles est agrégé afin de mesurer le risque de crédit du portefeuille dans son ensemble.

I.1.3.1 L’horizon du risque de crédit :

La durée cadre utilisée communément pour le risque de crédit est l’année14. Cette pratique repose sur l’hypothèse que la durée nécessaire pour qu’une banque se sépare des créances douteuses, ou modifie la composition de son bilan est au minimum d’un an.

Par ailleurs, l’horizon du risque de crédit est celui de la constatation comptable (exercice comptable) des pertes en fonds propres, réelles ou potentielles, associées à la dégradation de la qualité de crédit du portefeuille exposé.

14 Dans notre cas, il s’agit de l’année 2006.

Pertes non anticipées qui être couvertes par les fonds propres

UL Couvert par les provisions et la

tarification des créances

Montant de perte

Probabilité

EL ES VaR

Rendement Spread en exposition



Le choix d’une durée d’un an n’a pas de fondement strictement établi. Alors que le choix de l’horizon de la position paraît indiscutable. En effet un crédit à 15 ans engage la banque sur un horizon de 15 ans, la durée de l’engagement est celle de la position. Dans la première hypothèse, un montant inutile de fonds propres est engagé dés la première année, entraînant une utilisation sub-optimale du capital.

Cependant, ce choix est plus arbitraire pour un modèle fondé sur les défaillances. D’une part une telle approche doit tenir compte de la durée totale d’exposition au risque pendant laquelle une défaillance peut survenir. D’autre part, les risques de crédit se cumulent en fonction du temps.

I.1.3.2 Modélisation de la corrélation :

Si l’on se réfère au modèle élaboré dans ce mémoire, la corrélation est déterminée implicitement à partir de la variance des lois de défaut. Ce modèle considère que les taux de défauts sont des variables aléatoires continues. De plus, il reconnaît que les défauts sont corrélés (notamment par des facteurs comme la conjoncture économique). Il ne modélise pas explicitement les corrélations (entre autre parce qu’elles sont instables dans le temps et dépendent donc fortement de la période d’étude choisie) entre chaque débiteur. Toutefois, il incorpore ses effets de concentration (corrélations sectorielles) à travers la volatilité du taux de défaut et l’analyse sectorielle. L’économie est supposée être divisé en secteurs économiques. Les secteurs évoluent de manière indépendantes les uns des autres. Chaque émetteur est décomposé sur les différents secteurs de l’économie. La corrélation entre deux émetteurs se calcul à partir des lois de défauts de chaque émetteur et de leurs décompositions sectorielles.

I.2 Données pour l’implémentation :

I.2.1 Probabilité de défaut (PD) :

La probabilité de défaut mesure la probabilité d’occurrence d’un défaut sur une contrepartie donnée, à l’intérieur d’un horizon fixé à 1 ans.

Elle n’est pas en général mesurée directement, mais par le biais d’une notation de la contrepartie :

Chaque emprunteur est noté.

Toutes les contreparties à l’intérieur d’une même notation forment une classe de risque.

A chaque notation est affectée une unique probabilité de défaut : toutes les contreparties avec une note donnée reçoivent la probabilité de défaut associée à cette notation. Il s’agit donc de calculer les probabilités associées à chacune des classes de rating.

C'est le nombre de défauts intervenus sur une année pour une catégorie de crédit, divisé par le nombre de prêts de cette même catégorie.



Table 11 : Probabilités de défaut par notation

I.2.2 La perte en cas de défaillance (loss given default ou LGD) :

La perte en cas défaillance est spécifique à chaque exposition, et prend en compte l’ensemble des éléments pouvant intervenir sur le taux de recouvrement. Il mesure la part du montant de l’exposition au moment du défaut que la contrepartie sera à même de rembourser. Il est défini simplement comme le complémentaire du taux de défaut.

Par ailleurs, la perte considérée est économique, et il faut donc considérer les frais de recouvrement, les intérêts sur la durée du recouvrement…

Le taux de recouvrement est un des aspects les plus difficiles à appréhender. En effet, il existe très peu de données historiques permettant d’estimer les facteurs ayant un impact sur le taux de recouvrement, les cas de défaut des entreprises étant peu fréquents. De plus cette difficulté est renforcée par le fait que pour un même émetteur le taux de recouvrement d’une dette va dépendre de sa séniorité ou d’éventuels collaterals attachés. Enfin, on peut imaginer que le recouvrement va différer selon secteur industriel de l’émetteur

I.2.3 L’exposition en cas de défaillance (Exposure At Default ou EAD) :

L’EAD correspond au montant dû par la contrepartie au moment où elle fera défaut sur un engagement donné à un horizon fixé, devant correspondre à celui utilisé pour la probabilité de défaut.

Dans ce mémoire, l’exposition présente ou future est une mesure de risque dans le pire des cas, et c’est l’exposition en terme de nominal qui est retenu. Elle ne tient compte ni des récupérations possibles, ni de la probabilité de survenance du défaut.

Notation Pb de défaut

1 0%

1,5 3%

2 7%

2,5 11%

3 9%

3,5 12%

4 11%

4,5 14%

5 16%

5,5 14%

6 13%



I.2.4 Modèle d’évaluation du risque de crédit :

I.2.4.1 Distribution des pertes :

Après avoir défini les composantes des calculs (expositions, probabilités de défaillance et taux de recouvrement), il convient de déterminer la distribution des pertes, à savoir, pour le portefeuille considéré, la densité de probabilité de cette distribution, i.e. la probabilité d’occurrence de chaque valeur possible des pertes sur l’ensemble du portefeuille. Le calcul de la distribution des pertes est la dernière étape et le résultat de la modélisation constitue la base quantitative sur laquelle on peut s’appuyer pour l’allocation de capital.

I.2.4.2 Modélisation :

La mise en place d’un modèle de risque de crédit dans la banque répond à trois principaux objectifs :

La mesure des pertes potentielles associées à un scénario défavorable de crédit ;

Le calcul des fonds propres alloués à la couverture du risque de crédit : l’enjeu, dans le cadre de la réforme du ratio Cooke, est la substitution aux actuelles mesures forfaitaires une mesure reposant sur un modèle interne. Une évaluation directe des risques réels de crédit permet de mieux estimer les provisions et les fonds propres requis pour couvrir ces risques ;

La mise en place d’une approche optimale d’allocation de capital entre les différentes activités de la banque « consommatrices » de risque de crédit : la connaissance du rendement de chaque activité et des risques associés permet conceptuellement d’appliquer la théorie moderne du portefeuille et d’allouer le capital économique à l’ensemble des métiers de la banque.

I.3 Développement du modèle :

Afin de développer un modèle de risque de crédit, on s’inspire des techniques mathématiques plus souvent rencontrées dans le domaine de l’assurance. Nous allons proposer un modèle de défaut qui apparaît comme une alternative aux principales méthodologies rencontrées sur le traitement du risque de crédit. Le choix d’un modèle de ce genre se justifie avant tout pour des raisons pratiques, cela réduit en effet le nombre de données nécessaires. Il évite également les complications au niveau de l’implémentation par la mise en œuvre de simulation de Monte Carlo ainsi que la recherche de solutions fermées.

I.3.1 Méthodologie du modèle CreditRisk+ du risque de crédit :

Ce modèle proposé est fondé sur une approche probabiliste du processus de défaut de paiement d’une contrepartie sans faire aucune hypothèse sur la cause du défaut. Le modèle considère le taux de défaut comme une variable aléatoire continue. La prise en compte d’une volatilité du taux de défaut associée à une analyse par secteur permettra de rendre compte à la fois de l’incertitude du niveau de défaut.



Ce modèle cerne les caractéristiques essentielles de l’occurrence et pertes de défauts de paiement permettant le calcul de la distribution des pertes d’un portefeuille comportant un risque de crédit.

Figure 7: Structure de la composition de lois de distribution

Les concepts qui sont à la base de ce modèle sont les suivants :

- Le modèle se centre sur le risque de défaut ;

- Les taux de défaut sont stochastiques ;

- La probabilité de défaut est indépendante de la période et à l’intérieur d’un portefeuille le nombre de défauts est supposé indépendant des défauts antérieurs ;

- Le niveau du taux de défaut à une incidence sur l’occurrence du défaut, mais il n’y a pas de relations causales entre ces occurrences.

Le modèle est alors structuré selon le schéma de la figure ci-dessous.

Dans un premier temps, on focalise notre étude sur un modèle simplifié dans lequel la volatilité des taux de défaut n’est pas prise en compte. Dans ce cas, les procédures de calcul de la distribution des pertes utilisent la simulation de Monte Carlo. Cela est dû à la difficulté de trouver une formule explicite de la fonction de densité des pertes agrégées. Dans un deuxième temps, on intègre la volatilité des taux de défaut dans notre démarche, ce qui au vu des résultats correspond à une dimension aléatoire supplémentaire et donc à une composition de lois de probabilités. Dans ce cas, le calcul est associé à une analyse par secteur. Finalement, on est en mesure d’exploiter les résultats pour déterminer les différentes contributions au risque du portefeuille de crédit.

Modèle de fréquence :

Occurrence de défauts

Modèle de sévérité :

Pertes de défaut

Distribution des pertes agrégées



Figure 8: Méthodologie du modèle élaboré

I.4 Modélisation des probabilités de défaut :

L’objectif consiste à modéliser le risque de défaut en s’appuyant sur des techniques économétriques appropriées. Ces techniques utilisent une variable aléatoire dépendante dont la valeur est le résultat du dénombrement des réalisations d’un certain événement, ici le défaut. La démarche théorique est basée sur les hypothèses suivantes :

On considère un portefeuille composé de N contreparties indépendantes.

Chaque contrepartie j a une probabilité )(tp j de faire défaut à l’horizon t.

Occurrence de défauts avec taux fixes

Expositions avec taux fixes

Distribution des pertes avec taux fixes

Simulation de Monte Carlo

Incertitude des taux de défauts

Analyse par secteurs

Occurrence de défauts avec taux variables Occurrence de défauts

avec taux variables

Distribution des pertes avec taux variables

Simulation de Monte Carlo

Contributions au risque



)(tD j désigne une variable binaire prenant la valeur 1 si la contrepartie j fait défaut

à l’horizon t, et 0 sinon.

Les défauts ne sont pas corrélés.

Le nombre total de contreparties faisant défaut à l’horizon t est alors donné par :

)()(1

tDtDN

jj∑

=

= (23)

Chaque variable aléatoire NjtD j ,...,1);( = suit une loi de Bernoulli de paramètre )(tp j , et

de densité [ ] [ ] xj

xjj tptptpxf −−= 1)(1)())(,( , avec 1,0∈x . Il vient naturellement que la

variable aléatoire )(tD , désignant le nombre de contreparties du portefeuille pour lequel

1)( =tD j suit une loi binomiale de paramètres N et )(tp j . Pour obtenir un estimateur de

la probabilité de défaut )(tPD associé au portefeuille de tailleN , il suffit d’écrire la vraisemblance de l’échantillon à partir des probabilités individuelles :

))(,())(;,...,(1

1 tpxftpxxLN

jjjN ∏

=

= (24)

Ainsi :

))(1log()()(loglog11

tpxNtpxL j

N

jjj

N

jj −−+= ∑∑

==

(25)

Les conditions de premier ordre permettent alors d’obtenir un estimateur du maximum de vraisemblance de )(tPD donné par :

N

tp

tPD

N

jj )(

)( 1∑

== (26)

La loi de probabilité de )(tD peut aussi être obtenue par des approximations asymptotiques d’après le théorème central limite. Pour N grand, on sait que :

))(),(()( 2 tNtNNtD σµ≈ (27)

où :

[ ] [ ])()(,)()( 2 tDVttDEt jj == σµ

Cependant, la probabilité individuelle de défaut )(tp j est souvent faible, si bien

qu’il est préférable d’approcher la loi binomiale par une loi de Poisson, et non par une loi normale comme le fait implicitement l’approximation fondée sur le théorème central limite. Cette troisième approximation suit la démarche du modèle « CreditRisk+ » du groupe



Credit Suisse First Boston. Cette approche présente cependant un inconvénient majeur. L’espérance mathématique et la variance sont égales dans le cas d’une distribution de Poisson. Cette contrainte assez forte présuppose l’égalité entre le nombre moyen de défaut et la variabilité de ce nombre à l’intérieur d’un portefeuille et de chaque classe de rating. Cette hypothèse doit être testée dans la pratique. Une façon simple de la tester consiste à calculer, pour chaque classe de rating donnée, la moyenne empirique )(tµ et la variance

empirique )(2 tσ de chaque lot statique (ou bucket). Il suffit ensuite de reporter sur un

graphique ces points[ ])(),( 2 tt σµ afin de voir comment la variance évolue en fonction de la moyenne. Le graphe ci-dessous illustre l’évolution de la variance de notre portefeuille en fonction de sa moyenne.

Figure 9: Portefeuille Moyenne-Variance

2,35

2,4

2,45

2,5

2,55

2,6

2,65

2,35 2,4 2,45 2,5 2,55 2,6

moyenne

varia

nce

Puisque les points sont presque tous linéaire autour de la première bissectrice, on

peut considérer que les deux moments conditionnels sont égaux, et cela valide l’hypothèse faite en retenant une loi de Poisson. Lorsque ce n’est pas le cas, il y a généralement un effet

de surdispersion, i.e. des catégories de rating pour lesquelles )()(2 tt µσ > . Ce phénomène de surdispersion peut être partiellement pris en compte en introduisant une famille de loi plus vaste que la famille des lois de Poisson, et dépendant d’un paramètre supplémentaire pouvant être vu comme une mesure de surdispersion. Cette nouvelle paramétrisation permet en fait de rendre possible l’évolution dans le temps des probabilités de défaut.

I.5 Formalisation mathématique / Applications :

I.5.1 Modélisation à taux de défaut fixes :

I.5.1.1 Occurrence de défauts :

Les défauts de crédits ne peuvent être prévus ni dans leur date, ni dans leur nombre, si bien que CreditRisk+ tente de modéliser globalement le risque crédit d’un portefeuille.



On considère un portefeuille composé deN crédits. Nous supposons dans cette partie que chacun de ces titres est sujet à une probabilité de défaut à un horizon d’un an connue.

Notons :

PA=Probabilité Annuelle de Défaut pour A

On introduit alors la fonction génératrice associée au nombre D de défauts survenus parmi les crédits du portefeuille :

∑∞

===

0n

nz.)nD(P)z(F (28)

Or, chaque emprunteur fait ou ne fait pas défaut ; la fonction génératrice d’un portefeuille composé d’un unique prêt s’obtient donc facilement :

)1z(P1z.PP1)z(F AAAA −+=+−= (29)

De plus, les événements sont supposés indépendants, ce qui induit :

∏ ∏ −+==A A

AA ))1z(P1()z(F)z(F (30)

Ce qui revient à écrire :

∑ −+=A

A ))1z(P1(Log))z(F(Log (31)

Or, nous pouvons considérer que les probabilités sont suffisamment faibles pour approximer cette dernière expression par un développement limité au premier ordre, ce qui se traduit par :

)1z()1z(P

ee)z(F A

A

−µ−

=∑

= (32)

avec:

∑=µA

AP

µ représente en fait le nombre moyen de défauts attendus en un an parmi les émissions du portefeuille de crédits considéré. On remarque de plus que la dernière expression peut s’écrire sous une autre forme, grâce aux séries entières, ce qui donne une formule explicite de la répartition de la variable aléatoire D :



∑∞

=

µ−−µ µ

==0n

n

n)1z( z

!n

ee)z(F (33)

Finalement, le nombre D de défauts à survenir parmi les émissions du portefeuille de crédit suit une loi de Poisson de paramètreµ . Ce paramètre est l’unique inconnu du modèle, il ne dépend ni du nombre de titres présents dans le portefeuille ni des probabilité individuelles de défaut de chaque obligation, pourvu qu’elles soient suffisamment petites pour valider les approximations effectuées.

µ : représente le nombre moyen de défauts attendus en un an parmi les émissions du portefeuille considérées.

Dans notre cas, il est égal à 2,58.

Figure 10: Représentation graphique de la loi de Poisson de paramètre 2,58

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

le nombre moyen de défauts

fréq

uenc

es

I.5.1.2 Pertes de défaut :

Il a été important de constater qu’un même niveau de perte peut être obtenu par un seul « gros » défaut aussi bien que pour de nombreux « petits » défauts. Cette constatation nous incite à regrouper les émissions contenues dans un portefeuille par tranche d’exposition. Ceci a pour effet de réduire considérablement le nombre de données pour l’implémentation de ce modèle. Cette approximation sera d’autant plus légitime que les tranches d’exposition seront nombreuses et étroites en comparaison avec l’exposition moyenne du portefeuille. Ainsi, ces approximations seront utiles sans pour autant modifier les résultats significativement.

On adopte alors les notations suivantes :



Table 12: Notation Référence Notation

Emetteur A

Exposition AL

Probabilité de défaut AP

Pertes attendues Aλ

On définit d’abord l’exposition (Aν ) et les pertes attendues ( Aε ) exprimées en L, qui représente une unité arbitraire choisie, de la manière suivante :

LL AA ×=ν et LAA ×= ελ

Dans notre cas :

22255=L

En voici dans le tableau ci-après un exemple concret :

Table 13: Exposition et perte attendue en L

Secteur Exposition Exposition en L Pb de défaut

Perte attendue Perte attendue en L

S1 100 0 0,15 15 0,001

S2 25 158 1,13 0,3 7 547 0,34

S3 25 501 1,15 0,15 3 825 0,17

S4 25 510 1,15 0,05 1 276 0,06

S7 26 184 1,18 0,05 1 309 0,06

S3 45 392 2,04 0,1 4 539 0,2

S9 45 508 2,04 0,08 3 413 0,15

S2 189 714 8,52 0,03 5 691 0,26

S11 300 452 13,5 0,08 22 534 1,01

S15 414 510 18,63 0,02 6 632 0,3

S5 600 000 26,96 0,1 60 000 2,7

S1 735 765 33,06 0,3 220 730 9,92

S2 792 978 35,63 0,02 11 895 0,53

S3 971 529 43,65 0,05 48 576 2,18



Le passage important est de regrouper les expositions en tranche de façon à obtenir une homogénéité intra-groupe. Le portefeuille se retrouve alors divisé en m tranches d’exposition indexées parj . Ce qui revient à ne retenir que les notations suivantes :

Table 14 Notation REFERENCE NOTATION

Exposition dans la tranche j jν

Pertes attendues dans la tranche j jε

Nombre de défauts attendus dans la tranche jµ

La relation suivante relie ces trois variables :

jjj ν×µ=ε (34)

On utilisera par la suite :

∑∑== ν

ε=µ=µm

1jj

jm

1j

j

I.5.1.3 Distribution des pertes :

On adopte ici le même point de vue que pour le nombre de défauts ; on définit la distribution des pertes agrégées à travers sa fonction génératrice :

∑∞

=××==

0n

nz)Lnagrégées.pertes(P)z(G (35)

Nous faisons alors intervenir le fait que les titres ont été regroupés par niveau d’exposition, et que les tranches sont indépendantes entre elles, ce qui s’écrit de manière plus formalisée :

∏=

=m

1j

j )z(G)z(G

jjjj

j

j znm

1j 0n

nj

m

1j 0n

nj ez

!n

ez)nD(P

νµ+µ−ν

=

∞

=

µ−

=

∞

=

ν =µ

=×== ∏∑∏∑

∑ ∑ µ+µ−= =

ν=m

1j

m

1jjjj ze (36)



On remarque que la dernière expression de la fonction génératrice est la composée de deux sources d’incertitude : la loi de Poisson du nombre de défauts et la variabilité des montants d’exposition.

On remarque également qu’elle ne dépend que de deux types de données ν etε . Ainsi, les seules entrées nécessaires à la mesure du risque crédit d’un portefeuille sont la connaissance des différentes tailles d’exposition et les pertes attendues pour chaque taille.

I.5.2 Procédures de calcul de la Value-At-Risk :

I.5.2.1 Simulation de Monte Carlo :

Comme nous l’avons remarqué au niveau de la fonction génératrice, la difficulté provient de la complexité d’en tirer directement une formule analytique de la loi de distribution des pertes agrégées. Pour contourner ce problème, on procède par une simulation de Monte Carlo. Ainsi, on simule une variable aléatoire suivant la loi de Poisson (en vert), et ce pour chaque tranche d’exposition. Par la suite, en utilisant la formule

iii µνε ×= , on peut obtenir la variable des pertes agrégées simulées (en rouge) en multipliant tout simplement par les expositions communes (en bleu) et faisant la sommation sur toutes les tranches.

Le tableau ci-après illustre cette procédure de calcul :

Table 15 : Illustration de la simulation de Monte Carlo Exposition commune

ν1 - - - νj - - ν24

Le nombre moyen de défaut

µ1 - - - µj - - µ24

Pertes agrégées simulées

5000

simulations

- - - 5000

simulations

- - 5000

simulations -

P1 ν1 µ1,1 - - - - - - νj µj,1 - - - - ν24 µµµµ24,1

P2 ν1 µ1,2 - - - - - - νj µj,2 - - - - ν24 µ24,2

- - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - -

P5000 ν1 µ1,5000 - - - - - - νj µj,5000 - - - - ν24 µ24,5000



Une fois la variable simulée des pertes agrégées obtenu, nous pouvons tracer directement sa distribution cumulée. Nous obtenons alors le graphe ci-après :

Figure 11: Distribution cumulée des pertes agrégées avec taux de défaut fixes

Bien entendu, la modélisation du risque de crédit avec taux fixes se résume dans cette représentation graphique. Toutefois, ce ne sont que des objectifs intermédiaires pour aboutir aux objectifs finaux (VaR et perte attendue). Nous avons donc calculé par la suite les quantiles (VaR) à différents niveaux de confiance ainsi que la perte attendue du risque de crédit du portefeuille.

Table 16: Calcul de la VaR et perte attendue EL 24 035 667

VaR 90% 37 864 590

VaR 95% 41 840 044

VaR 97,5% 45 352 219

VaR 99% 49 393 327

VaR 99,50% 51 847 987

VaR 99,75% 53 964 838

VaR 99,99% 57 689 127



Le provisionnement concerne seulement la perte attendue, c’est donc un montant de 24 035 667 de DH. Pour l’ensemble des pertes (perte attendue et inattendue), il faut aller au delà de ce montant. Par exemple, on retient une VaR de 49 393 327, c’est à dire qu’on subi une perte maximale de l’ordre de ce chiffre dans 99 pour cent des cas.

II.5.3 Modélisation à des taux de défaut aléatoires :

II.5.3.1 Incertitude des taux de défaut :

Nous avons considéré jusqu’ici le portefeuille de crédit dont le taux de défaut était connu et fixe. Cependant, les taux de défaut sont sujets à une variabilité non négligeable.

De plus, les statistiques publiées sur la fréquence des défauts montrent des variations assez importantes d’une année sur l’autre. La situation se résume alors en trois points:

• Les probabilités de défaut sont volatiles dans le temps, même pour des émetteurs de qualité crédit comparable.

• La variabilité des probabilités de défaut peut être expliquée par des variabilités sous-jacentes d’un petit nombre de variables liées à l’environnement économique.

• Un changement dans l’économie ou d’un autre facteur ayant de l’influence sur la variabilité des taux de défaut ne doit pas nécessairement induire un défaut. Le défaut d’une contrepartie est un événement rare.

a. Analyse par secteur :

Le second point énoncé souligne l’existence de facteurs susceptibles d’agir sur la qualité crédit de plusieurs émissions à la fois. Pour mesurer cet effet, et donc être en mesure de quantifier l’impact des volatilités des taux de défaut individuelles au niveau du portefeuille, CSFP a eu recours à une analyse par secteur. L’économie est alors divisée en K secteurs, et CreditRisk+ suppose que chaque secteur peut être modélisé par un unique facteur sous-jacent. C’est ce facteur qui nous permettra d’expliquer la variabilité dans le temps du nombre total de défaut mesuré pour ce secteur.

Donc, pour chaque secteur k nous introduisons une variable aléatoire kx qui représente le nombre moyen de défauts dans ce secteur. L’espérance de kx sera notéekµ , et l’écart-type kσ .



Variable par secteur Notation

Unité d'exposition au risque L

Tranche d'exposition

Kk ≤≤1 )(1 kmj ≤≤

Pertes attendues dans chaque tranche d'exposition

Kk ≤≤1 )(1 kmj ≤≤

Sous ces nouvelles notations, on a donc :

∑∑∈=

==kA A

Akm

jk

j

k

j

k νε

νε

µ)(

1)(

)(

(37)

Où A

Aν

ε est la probabilité de défaut sur la période de A. Pour obtenir une estimation

semblable de l’écart-type du taux de défaut pour chaque secteur, on est contraint d’assigner un écart-type pour le taux de défaut de chaque émetteur du secteur considéré. Une manière pratique de faire cela revient à supposer que cet écart-type dépend de la qualité crédit de l’émetteur. On obtient donc kσ à partir desAσ , sachant que la probabilité de défaut de chaque émetteur appartenant au secteur k sera considérée comme proportionnelle à la variable aléatoirekx , ce qui s’écrit :

k

k

A

AA

xx

µνε= (38)

On peut noter que l’espérance de kx vaut A

Aν

ε = AP . Nous sommes alors en mesure de lier

les Aσ à kσ selon l’équation suivante :

k

k

k

kA kA A

AA σ

µσ

νεσ ==∑ ∑

∈ ∈ (39)

Les statistiques montrent que le ratio A

AP

σ est de l’ordre de 1, si bien que l’écart-type du

nombre de défauts parmi les émetteurs d’un même groupe de qualité crédit est du même ordre que le nombre moyen annuel de défauts. C’est la même chose à l’échelle du secteur, comme le montre :

LL k

j

k

j ×= )()( ν

Lk

j

k

j ×= )()( ελ



∑

∑

∑

∑

∈

∈

∈

∈

==kA

A

kA A

AA

kAA

kAA

k

k

P

PP

P

σσ

µσ

(40)

Ainsi, en absence de données suffisamment détaillées, les estimations caractéristiques de

chaque émetteur A

AP

σ peuvent être remplacés par un unique ratio kω pour le secteur, ce

qui induit alors : kkk µωσ ×=

Chercher à estimer kσ est alors équivalent à estimerkω .

En utilisant les données de notre portefeuille, nous avons trouvé des kω de l’ordre de 0,5.

b. Occurrence de défauts :

En suivant la même démarche qu’en cas de la modélisation à taux fixe, et en incluant la volatilité du taux de défaut dans le modèle, on obtient une fonction génératrice du nombre de défauts du type :

dxxfezFzF k

K

k x

zxK

kk )()()(

1 0

)1(

1∏ ∫∏

=

∝

=

−

=== (41)

où )(xfk est la densité de la variablekx . Pour prolonger les calculs, il est alors nécessaire de donner une loi de distribution àkx . CREDITRISK+ conseille de choisir une loi Gamma de moyenne kµ et d’écart-type kσ .Sous ces hypothèses )(xfk est alors défini de la manière suivante :

dxxedxxfdxxxxP kk

k

x

kk

kk

1

)(

1)()( −

−

Γ==+≤≤ αβ

α αβ (42)

où :

2

2

k

kk σ

µα = et k

kk µ

σβ2

=

dxxex

x 1

0

)( −∝

=

−∫=Γ αα

Après simplification, on obtient l’expression suivante dans laquelle on note kP =k

k

ββ+1

nn

kn

k

k

k

kk zp

n

np

zp

pzF k

k

∑∝

=

−+−=

−−=

1

1)1(

1

1)(

αα

α

(43)



On en déduit:

n

k

k

kk pn

npnDP k

−+−==

1)1()(

αα (44)

Donc kD qui est le nombre de défaut dans le secteur k suit une Loi Binomiale Négative.

c. Distribution des pertes de défaut :

Pertes de défaut : Nous reprenons l’approche définie dans le cas où les taux de défaut étaient fixes, et nous généralisons ce procédé en y incorporant la volatilité de ces taux de défauts. On obtient alors des expressions semblables à celles rencontrées plus haut :

dxxfezPFzGzGK

k

K

k xk

zPx

k

K

kkk

k )())(()()(1 1 0

)1)((

1∏ ∏ ∫∏

= =

∝

=

−

==== (45)

où :

∑∑

∑

=

=

=

=

=)(

1)(

)(

)(

1)(

)(

)(

1)(

)(

)(

)(

1)(

km

jk

j

k

j

kkm

jk

j

k

j

km

jk

j

k

j

k

kj

kj

z

z

zP ν

ν

νε

µνε

νε

Et là encore les intégrales peuvent être calculées, ce qui aboutit à l’expression analytique suivante :

k

kj

K

k km

jk

j

k

j

k

k

k

zp

pzG

α

ν

νε

µ

∏∑

=

=

−

−=1 )(

1)(

)()(

1

1)( (46)

d- simulation de Monte Carlo :

Vu la complexité de la fonction génératrice, nous procédons au calcul des pertes agrégées par une simulation de Monte Carlo. Le tableau ci-dessous illustre cette simulation. Soit :

Le nombre de contreparties : Nn ,...,1=

Le nombre de secteurs : Kk ,...,1=



Table 17 : Illustration de la simulation de Monte Carlo

Probabilités de défaut

p1 p2 p3 - pn pn+1 - pN

Secteurs S1 S1 S2 - Sk Sk - SK

Expositions v1 v2 v3 - vn vn+1 - vN

Pertes agrégées simulées

Γ(α1,β1) Γ(α1,β1) Γ(α2,β2) Γ(αk,βk) Γ(αK,βK)

Pois-inverse

Pb

dft

Pb dft secteur

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

P1 µ1,1 xA1 x1,1 µ2,1 xA2 x2,1 µn,1 xAn xn,1 µN,1

P2 µ1,2 xA1 x1,2 µ2,2 xA2 x2,2 µn,2 xAn xn,2 µN,2

-

-

-

-

-

-

-

P5000 µ1,5000 xA1 x1,5000 µ2,5000 xA2 x2,5

000 µn,5000 xAn

xn,500

0 µN,5000

Pour effectuer la simulation de Monte Conte, on doit simuler le même nombre de défauts moyen au niveau de chaque secteur (en marron) avec une loi Gamma, et on obtient le nombre de défauts pour chaque contrepartie (en bleu), en utilisant la relation suivante :

k

k

A

AA

xx

µνε= . Ensuite, cet élément fera l’objet de probabilité dans l’inversion de loi de

Poisson. Après, on génère une variable aléatoire représentant l’occurrence de défauts (en vert). Finalement, on obtient la perte agrégée simulée par un simple produit de cette occurrence de défaut et l’exposition suivi d’une sommation sur toutes les contreparties. On en déduit alors la distribution de perte au titre du portefeuille de crédit tenant compte da la variabilité des taux de défaut. Ce qui nous permettons d’en tirer la VaR, ainsi que la perte attendue.

Nous allons représenter ci-dessous la distribution cumulée des pertes agrégées :



Figure 12: Distribution cumulée de la perte

D’après ce graphe, nous en tirons la VaR pour des différents niveaux de confiance ainsi que la perte attendue :

Table 18: la VaR EL 30 154 385

VaR 90% 38 564 274

VaR 95% 42 407 420

VaR 97,5% 46 490 328

VaR 99% 50 238 498

VaR 99,50% 61 439 503

VaR 99,75% 63 045 306

VaR 99,99% 73 637 844

Contrairement, à ce que nous nous attendions la VaR avec taux de défaut fixes n’est pas très éloignée de celle calculée avec taux de défaut aléatoires. A l’exception des valeurs à très haut niveau de confiance. En effet, la méthodologie suivie stipule que pour la modélisation avec taux de défaut fixes sous estime les valeurs en risque du fait qu’elle ne prend pas en compte la variabilité du taux de défaut dans le temps. Cela dit, les résultats obtenus sont justifiés: les montants d’exposition des secteurs sont faiblement corrélés.

II.6 Allocation de capital :

II.6.1 La contribution en risque :

L’idée de calculer la contribution en risque de chaque créance vient d’un besoin de mesure de l’impact de celle-ci sur la mesure du risque du portefeuille de crédit. La contribution est alors définit par la différence entre la mesure de risque du portefeuille avec la créance et celle du portefeuille sans la créance :



),...,,0,,...,(),...,,,,...,()( 111111 NiiNiii xxxxRiskxxxxxRiskiRC +−+− −= (47)

Pour être suffisamment exploitable, la contribution de la contrepartie A au risque du portefeuille de crédit prend la forme analytique suivante :

A

AA EERC

∂∂= σ

ou bien A

AA E

ERC

∂∂=

2

2

σσ

(48)

Ceci s’explique par le fait que la contribution au risque se définit par l’effet marginal de la présence de l’exposition AE sur l’écart-type de la distribution de pertes de crédit.

Or le calcul de cette contribution nécessite la formule explicite de l’écart-type, chose qui peut être s’obtenir par une décomposition de sa variance globale.

∑ ∑=

+

=

K

k AAA

k

kk

1

2

22 νεµσεσ (49)

On différencie la variance par rapport à l’exposition de la contrepartie, on retrouve :

+= ∑

KAkk

k

kA

AAA E

ERC θε

µσ

σµ

2

(50)

Avec :

01=Akθ ,

kAkA

∉∈

Nous reportons dans le tableau qui suit, un exemple des contributions de quelques contreparties :



Table 19: la contribution de quelques contreparties

II.6.2 Concept et analyse RAROC : Risk Adjusted Return On Capital :

Au delà des mesures traditionnelles de rentabilité- Return on Equity, rentabilité des fonds propres ou Return on Assets, rentabilité des capitaux engagés- de nouvelles mesures, basées sur le risque, sont apparues. Le RAROC est une mesure de performances ajustées du risque qui est développée depuis la fin des années 70 par Bankers Trust. La méthodologie RAROC consiste à allouer du capital économique par opposition au capital réglementaire qui répond à des besoins prudentiels et non de gestion. En effet, cette dernière méthode repose sur une tarification forfaitaire du risque et non sur une évaluation objective des risques pris.

La gestion du capital économique d’une banque s’impose en générale trois étapes :

Secteur Exposition Prob de défaut Ecart type Contribution

S1 164 588 0,1 0,050 9 236

S3 176 107 0,15 0,075 15 566

S6 189 713 0,2 0,100 17 270

S2 193 354 0,11 0,055 12 746

S1 195 387 0,075 0,038 137 101

S2 209 934 0,14 0,070 15 024

S8 222 041 0,15 0,075 16 797

S3 232 480 0,05 0,025 12 325

S4 263 373 0,11 0,055 23 644

S2 298 265 0,2 0,100 30 322

S5 300 452 0,05 0,025 55 170

S9 311 448 0,11 0,055 33 061

S7 381 535 0,13 0,065 49 611

S8 390 163 0,11 0,055 51 880

S1 414 510 0,05 0,025 55 593

S3 453 969 0,11 0,055 70 232

S4 464 712 0,2 0,100 73 595

S11 507 461 0,1 0,051 70 734

S10 576 591 0,11 0,055 113 290

S3 600 000 0,05 0,025 2 674

S6 735 765 0,11 0,055 184 464

S2 792 978 0,13 0,065 214 264

S4 971 529 0,075 0,038 81 565



La détermination du montant de capital économique souhaitable pour la banque qui doit être en rapport avec le capital réellement disponible.

L’allocation du capital aux différentes activités charge à elles ensuite d’en assurer la rémunération.

La mesure de la performance. Les objectifs sont annoncés par les dirigeants au moment de l’allocation du capital et peuvent être différenciés par ligne de métier. En tant qu’outil d’évaluation de performance, le RAROC détermine le rendement ajusté au risque de chaque activité ainsi que sa Valeur Economique Ajoutée (ou EVA pour Economic Value Added).

L’analyse RAROC s’inscrit dans le cadre de l’approche Bottom-up. La formule du RAROC est la suivante:

RAROC=sinattendue Pertes

anticipées moyennes PertesRevenus−

=économique Capital

séconomique ProvisionsRésultat− (51)

Le RAROC peut prendre trois formes différentes. On calcule dans le tableau qui suit les différentes formes de ce ratio pour l’ensemble du portefeuille :

Table 20: le RAROC pour le portefeuille RAROC DU PORTEFEUILLE

TYPE Approche 1 Approche 2 Approche 3

Rendement global=R 24 480 772 24 480 772 24 480 772

Perte attendue=EL 24 035 667 24 035 667 24 035 667

VaR(99%) 49 393 327 49 393 327 49 393 327

Formule de RAROC R/VaR (R-EL)/(VaR-EL) (R-EL)/(VaR-(R-EL))

Valeur de RAROC 49,56% 1,76% 0,91%

L’usage de différentes approches pour calculer le RAROC donne des résultats différents selon les paramètres utilisés pour ce calcul.

II.6.3 Capital économique marginal :

Si l’objectif final de notre modèle est l’allocation de capital à un niveau global, ils prennent une dimension décisionnelle à une échelle plus individuelle. Notamment, la notion de capital économique marginal permet, par exemple, de comparer la rentabilité économique de nouvelles opérations. Il s’agit de mesurer l’impact d’une nouvelle opération sur le portefeuille de la banque. Pour cela, on définit le capital économique marginal d’un crédit comme la différence entre le montant de capital nécessaire avant et après l’inclusion du crédit dans le portefeuille rapportée à la taille nominale du crédit considéré.



Un nouveau crédit à une entité sur laquelle la banque a déjà une exposition importante devrait requérir un capital plus important. Une fois le RAROC du portefeuille calculé, il convient de prendre ce ratio comme critère de rentabilité au niveau de chaque contrepartie. Nous reportons ici, à titre d’exemple, les éléments qui nous permettent de décider de la profitabilité de chaque opération d’octroi de crédit.

Table 21 : Le ratio rentabilité/risque Secteur Exposition EL Spread Contribution Rendement R/RC R-EL/RC-EL R-EL/RC-(R-EL)

S2 2 225 500 89 020 0,146 86 942 66 765 0,799 0,136 0,069

S8 2 239 260 89 570 0,130 87 951 67 178 0,791 0,345 0,102

S4 2 243 906 89 756 0,038 185 046 67 317 0,788 0,359 0,099

S3 2 247 427 89 897 0,042 78 281 67 423 0,779 0,135 0,069

S1 2 250 621 90 025 0,131 85 411 67 519 0,776 0,135 0,099

S8 2 259 412 90 376 0,042 89 440 67 782 0,768 0,366 0,097

S9 2 263 972 90 559 0,153 187 397 67 919 0,768 0,309 0,101

S13 2 267 843 90 714 0,040 90 066 68 035 0,764 0,134 0,098

S1 2 278 912 91 156 0,095 189 154 68 367 0,762 0,133 0,096

S1 2 280 514 91 221 0,045 80 882 68 415 0,758 0,324 0,097

S7 2 283 471 91 339 0,029 189 692 68 504 0,755 0,308 0,068

S10 2 287 007 91 480 0,109 88 065 68 610 0,732 0,297 0,095

S9 2 292 866 91 715 0,025 85 564 68 786 0,725 0,131 0,096

S14 2 309 554 92 382 0,069 87 956 69 287 0,608 0,170 0,067

S12 2 327 384 93 095 0,152 96 361 69 822 0,593 0,161 0,067

S13 2 341 886 93 675 0,114 92 146 70 257 0,591 0,166 0,095

S4 2 347 154 93 886 0,107 90 739 70 415 0,591 0,095 0,067

S3 2 349 299 93 972 0,136 96 231 70 479 0,589 0,095 0,098

S1 2 365 160 94 606 0,019 199 436 118 258 0,586 0,162 0,094

S1 2 378 841 95 154 0,121 98 517 118 942 0,364 0,093 0,066

S2 2 386 087 95 443 0,123 201 965 119 304 0,362 0,161 0,092

S9 2 386 150 95 446 0,104 201 973 119 307 0,361 0,158 0,096

S3 2 397 276 95 891 0,015 93 292 119 864 0,361 0,093 0,092

S10 2 405 315 96 213 0,088 204 300 120 266 0,589 0,095 0,095

Les valeurs en rouge représentent les rendements associés à chaque contrepartie. Les valeurs en bleu représentent le rapport rendement/risque concernant les prêts non rentables du fait qu’elles sont inférieures à la rentabilité économique de tout le portefeuille. Cependant, la décision d’un prochain octroi de crédit tiendra compte non seulement de ces critères, mais aussi de la notation de l’emprunteur concerné :



II.7 Elaboration des limites de concentration :

L’objectif final de notre projet consiste à l’élaboration des limites de concentration par contrepartie, par secteur d’activité et par zone géographique. Pour se faire, nous avons commencé par établir les limites pour les secteurs d’activité afin de les utiliser pour arriver à l’élaboration de celles des contreparties. Ensuite, nous avons suivi le même principe que pour les secteurs, pour trouver les limites par zone géographique.

Pour simplifier les calculs, nous allons prendre en compte les hypothèses suivantes :

Soit Ea l’exposition au risque de crédit de la contrepartie a et ap sa probabilité

de défaut.

Soit ax une variable aléatoire distribuée suivant une loi de Poisson de

paramètre ap (approximation d’une loi de Bernoulli de paramètre ap lorsque

%15≤ap . C’est de plus une approximation prudente puisque l’écart type d’une

variable aléatoire suivant une loi de Poisson est pa qui est supérieur à l’écart

type d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli)p a1.(p a −

.

La variable aléatoire de perte pour le portefeuille est alors :

aAa

aExX ∑∈

= (52)

Cette variable aléatoire n’est pas distribuée suivant une forme connue a priori mais peut être étudiée empiriquement en simulant chacun des termes, et en les additionnant..

Déterminons tout d’abord les caractéristiques de la variable aléatoire :

L’espérance de X est : E(X)= aAa

aEp∑∈

qu’on appelle aussi perte attendue.

La variance de X est si les contreparties sont indépendantes 22 )( aAa

aEpx ∑∈

=σ

Et l’écart type de X est alors : 2)( aAa

aEpx ∑∈

=σ

Si on définit ξ(α) le multiplicateur de la distribution des pertes à un niveau de confianceα, c’est-à-dire : ασαζ =+< ))().()((Pr XXEXobabilité

C’est ainsi la probabilité que la perte due au risque de crédit soit inférieure à )(.)( XXE σζ+

Après l’obtention de la VaR par la simulation de Monte Carlo nous trouvons :

)(

)()(

X

ELVar

σααξ −= (53)

Les contributions en risque à un niveau de confiance α pour chaque contre partie a sont :



aa

aa EE

ExE .).().(∂∂+ σαξ ou encore

∑ ∈

⋅+Aa aa

aaaa

EpEp

Ep2

2

)(αξ (55)

La consommation en fonds propre de la contrepartie a est la contribution en risque au niveau de confiance de 99%.

La contribution en risque d’un secteur d’activité s’obtient par sommation des contributions en risque des contreparties appartenant au secteur d’activité.

Si Ek est l’exposition au risque de crédit du secteur k, on alors la contribution en risque du secteur k (au niveau de confianceα ) comme suit :

2).(. kk

kkkk E

n

pEpCR αξ+= (56)

Avec ∑

∑

∈

∈=

kaa

kaaa

k E

Epp

. probabilité de défaut moyenne du secteur d’activité k

Et ∑

∑ ∑

∈

∈ ∈=

kaaa

ka kaaaa

kEp

EEpn

2

. est un indice de concentration du secteur d’activité k

II.7.1 Limites par secteur d’activité :

Pour déterminer les limites sectorielles, nous devons résoudre le problème d’optimisation sous contraintes : nous cherchons la composition du portefeuille qui minimise le capital économique consommé par le portefeuille. Pour cette raison, nous devons minimiser la perte attendue ce qui revient à minimiser la dispersion de la perte agrégée du portefeuille global.

Le système à résoudre est le suivant :

∑

∑=

=

×=

=

15

1

22

15

1

/

k k

kk

kk

n

EpMin

EEcs

σ

(57)

C’est à dire que nous devons minimiser la perte tout en fixant l’exposition globale du portefeuille à un certain niveau.

Le lagrangien du système est : )(),(15

1

15

1

2

∑==

−−∑×

=k

kk k

kkk EE

n

EpEL λλ (58)

La résolution de ce programme conduit à la solution suivante :

k

klk p

nE

2

λ×= (59)



Avec ∑=

=15

1

2k k

k

p

nEλ

Donc la part limite d’exposition par secteur est :

∑=

=15

1k k

kk

k

l

k

p

np

n

E

E (60)

La part limite du secteur correspond à une allocation de fonds propres égale à la consommation de fonds propre à l’optimum. On obtient pour la part limite:

E

EELVaREpCR

lkl

kklk ×−+= )%)99(( (61)

Application aux données de BMCE BANK :

La part d’exposition pour chaque secteur est donnée dans le tableau ci-dessous :

Table 22: La part d’exposition pour chaque secteur

Secteurs nk pk Elk/E Elk

S1 8,58 0,10 0,038 7 363 298

S2 7,69 0,12 0,030 4 326172

S3 9,34 0,11 0,039 22 888 505

S4 10,61 0,11 0,043 39 299 171

S5 41,94 0,12 0,160 2 012 698 169

S6 4,40 0,13 0,016 4 788 682

S7 43,21 0,11 0,171 272 047 513

S8 7,78 0,12 0,029 30 660 225

S9 39,83 0,11 0,167 170 275 402

S10 5,63 0,11 0,024 30 752 559

S11 36,00 0,11 0,146 103 815 595

S12 15,86 0,12 0,059 6 570 033

S13 3,91 0,12 0,014 249 465

S14 14,07 0,13 0,049 11 864 863

S15 2,81 0,08 0,015 22 616 791

Ce tableau illustre la part d’exposition des secteurs étudiés. On constate que cette part diffère d’un secteur à un autre, ce qui s’explique par la taille de l’engagement de ces



secteurs et aussi par leur représentativité dans notre échantillon. Ces données permettront à la D.G.G.R de prendre les décisions convenables avant d’octroyer les crédits.

La part des fonds propres pour chaque secteur exprimée par sa contribution en risque, est donnée dans le tableau ci-dessous :

Table 23: La contribution en risque de chaque secteur d’activité

Secteurs Contributions en risque

S1 1 515 215

S2 1 103 570

S3 3 242 266

S4 5 251 256

S5 241 762 182

S6 919 833

S7 34 504 622

S8 4 252 894

S9 21 731 891

S10 3 800 767

S11 14 535 306

S12 1 982 983

S13 315 394

S14 2 529 991

S15 2 219 786

Ce tableau confirme le constat concernant le dernier tableau. La contribution en risque des secteurs d’activités change d’un secteur à l’autre selon l’effectif représentant chaque secteur dans l’échantillon, ainsi que la taille des engagements. Mais, on signale la concentration de ce risque au niveau du secteur S5, ce qui influencera ses futurs engagements avec la BMCE.

II.7.2 Limites par contrepartie :

Pour fixer les limites par contreparties, on part des limites par secteur d’activitél

kE , puis on minimise la contribution du secteur d’activité à la variance globale.

On résout alors le programme d’optimisation sous contrainte suivant :



∑

∑

∈

∈

×=

≤

kaaa

ka

lka

EpMin

EEcs

22

/

σ

(62)

La solution du programme d’optimisation est

∑∈

×=

ka a

a

l

ka

pp

EE

11

(63)


Le tableau ci-dessous représente les limites de concentration de quelques contreparties :

Table 24: Les limites de concentration de quelques contreparties

Contreparties Limites d'exposition

C1 4 907 879

C2 105 727

C3 114 382

C4 253 101

C5 127 401

C6 107 101

C7 2 854 467

C8 171 239

C9 309 345

C10 127 401

C11 2 587 791

C12 107 101

C13 3 473 268

C14 125 338

C15 2 854 467

C16 309 345

C17 253 835

C18 480 147

C19 263 135


Comme au niveau des secteurs d’activités, les limites de concentration pour les contreparties diffèrent d’une contrepartie à l’autre selon son engagement, son chiffre d’affaires et son appartenance à un certain secteur d’activité. On remarque que ces limites se concentrent au niveau des contreparties C1, C7, C11, C13 et C15 qui appartiennent au secteur S5 qui est déjà caractérisé par sa forte exposition au risque.

II.7.3 Limites par zone géographique :

En suivant la même démarche utilisée pour l’élaboration des limites de concentration au niveau des secteurs d’activités, nous obtenons celles des zones géographiques en changeant tout simplement les indices des secteurs par ceux des zones.


La part d’exposition pour chaque zone géographique est donnée dans le tableau ci-dessous :

Table 25: La part d’exposition pour chaque zone géographique

Zones géographiques

nz pz Elz/E Elz

Z1 12,23 0,12 0,08 1 771 520 974

Z2 61,26 0,11 0,44 9 781 531 125

Z3 1,20 0,16 0,01 133 728 225

Z4 7,38 0,11 0,05 1 155 066 360

Z5 14,85 0,12 0,10 2 177 012 941

Z6 5,08 0,12 0,03 763 298 457

Z7 12,42 0,13 0,08 1 724 805 145

Z8 7,89 0,11 0,06 1 284 441 074

Z9 17,19 0,12 0,11 2 494 418 305

Z10 6,87 0,13 0,04 969 424 645

La part des fonds propres pour chaque zone géographique exprimée par sa contribution en risque, est donnée dans le tableau ci-dessous :


Table 26 : La contribution en risque des zones géographiques

Zones géographiques

Contributions en risque

Z1 221 393 382,80

Z2 1 110 841 017,71

Z3 21 616 046,00

Z4 133 976 405,01

Z5 261 882 548,19

Z6 89 124 495,84

Z7 218 316 396,96

Z8 137 442 738,15

Z9 308 830 033,55

Z10 123 494 795,66

Ce tableau met en place la valeur de la contribution en risque des zones géographiques. Il est clair que ce risque se concentre au niveau de la zone Z2, qui constitue un pôle économique potentiel et fort représentatif au niveau de notre portefeuille. Ce résultat affectera les futurs engagements de cette zone.

Conclusion :

CreditRisk+ est un modèle centré exclusivement sur le risque de défaut. Il n’analyse pas le risque de dégradation de la signature. L’objectif de cette application est de déterminer le montant de perte en cas de défaut d’une contrepartie, et non en cas de modification de la notation ou de changement de spread. A la différence des modèles tels KMV, il ne cherche pas à modéliser les raisons de ce défaut. Le montant est obtenu en segmentant les émetteurs en différentes expositions sur des secteurs économiques ou géographiques et en tenant compte éventuellement de la corrélation des taux de défaut entre ces secteurs. Le modèle permet de déterminer une distribution de perte afin de quantifier le coût en capital d’un portefeuille de crédits.

L’application du CreditRisk+ a conduit à des résultats très importants pour la mesure et la distribution des pertes encourues. Ils permettent une diversification du portefeuille étudié. Ces résultats permettront à la D.G.G.R de prendre les précautions nécessaires avant l’octroi d’un crédit car elle a adopté ce modèle comme modèle interne de la gestion de risque crédit pour la BMCE.


II. COMPARAISON ENTRE LES MODELES :

Lors de l’étude et l’application de ces trois modèles, nous avons constaté plusieurs points communs et points de différence entre eux. Ces points sont résumés dans le tableau suivant :

Table 27 : Etude comparative entre les trois modèles KMV CreditMetrics CreditRisk+

Données de marché Oui Oui Non

Données de défaillance Oui dans le calibrage

sur données Moody’s

Non oui

Matrice de transition Non Oui Non

Provision de défaillance individuelle

Oui Non Oui

Valeur du portefeuille Oui Oui Actuarielle

Facteurs financiers observables Oui Non Non

Facteurs macro-observables Vraisemblablement non

Non Secteurs

Facteurs statiques inodservables Oui Oui Non

Facteurs dynamiques inobservables

Non Non Non

Probit Oui Oui Non

Logit Non Non oui

Conclusion générale


Conclusion Générale:

La mesure du risque de crédit occupe aujourd’hui une importance capitale aussi bien dans les travaux de recherche académiques que dans les cellules de recherche des établissements financiers. Il s’agit aujourd’hui de mettre en place des modèles internes pour la mesure et la gestion de risque de crédit.

Nous avons tenté, tout au long de ce mémoire, d’éclaircir les étapes par lesquelles est passé la construction des deux modèles du risque de crédit. Cette démarche s’est tout d’abord effectuée sur un plan théorique, puis méthodologique arrivant aux applications numériques de la VaR, de l’allocation de capital et de la détermination des limites de concentration. Nous avons adopté ces deux modèles aux références actuelles. Ils présentent l’avantage d’être fondés sur des notions intuitives et donnent des résultats satisfaisants. Nous avons également pu révéler une cohérence entre les méthodes de calculs utilisés dans ces modèles. Ces applications révèlent donc clairement l’avantage de cette approche économique du risque de crédit et qui demeure un champ de développement majeur pour la banque

Donc, nous avons abouti à deux modèles d’évaluation de risque de contrepartie. Le premier s’est basé sur les classes de rating, quant au deuxième sur des probabilités de défaillance. Vu les complexités imposées par le système de rating de la BMCE Bank, ainsi que l’hypothèse de base qui considère le portefeuille tout entier comme un seul titre, les résultats obtenus lors de l’application de CreditMetrics restent discutables. Pour remédier à cette situation, nous avons choisi d’appliquer CreditRisk+, qui a permis de déterminer la distribution de la perte, l’allocation des fonds propres économiques et les limites de concentration de ce risque.

Les gestionnaires de risque de la BMCE Bank ont trouvés, au niveau de ce travail, des outils pour développer leur propre modèle interne pour la détermination des limites de concentration de risque de crédit. Ce modèle est essentiellement basé sur les données de CreditRisk+, car la procédure de son application s’appuie sur des techniques actuarielles pour modéliser la distribution des pertes et donc n’effectue pas de correction pour risque. Contrairement aux modèles développés par KMV et JP Morgan’s, CreditRisk+ est peu coûteux en termes de données.

Une suite naturelle de ce travail serait de s’intéresser à la création d’un programme de Stress-testing. Bien entendu, c’est la méthodologie VaR qui est le fondement de nos modèles, mais elle doit impérativement être complétée par l’utilisation d’un programme de simulation de crise ; d’une part, à court terme, pour que le modèle interne puisse être validé ; d’autre part, à plus longue échéance, pour que le risque soit bien géré au sein de la banque, et tienne compte, notamment, des pertes importantes liées à des événements de probabilité d’occurrence faible. Ainsi un programme de simulation de crise doit être en mesure de répondre à ces trois questions : quelles seront les pertes si le scénario X se

Conclusion générale


produit ? Quels sont les pires scénarios pour la banque ? Que pouvons nous faire pour limiter les pertes dans ce cas ?

Sachant par ailleurs que l’intérêt de ces simulations est de pouvoir influencer directement les choix de la direction en matière de gestion du risque, il faut avoir en tête une autre exigence : la crédibilité du scénario aux yeux de la direction de la banque.

Un outil potentiel pour la construction d’un tel programme est la théorie des valeurs extrêmes. L’intérêt de cette théorie en économie et, en particulier, en matière de gestion des risques, est déjà avéré.

Par ailleurs, ce projet de fin d’étude était pour nous une occasion pour mettre en pratique nos acquisitions théoriques, découvrir un secteur clé de l’économie qu’est le secteur financier et développer un esprit d’analyse en s’affrontant à des problèmes réels et concrets caractérisant un des grands chantiers de la gestion de risque

Bibliographie


Bibliographie :

1) Antoine SARDI, Bâle 2, Edition Afges, 2004.

2) Comité de Bâle 2 sur le contrôle bancaire, convergence internationale de la mesure et des normes de fonds propres, document consultatif à circulation limitée, Juin 2004.

3) Nicolas BAUD, Méthode de Monte Carlo appliquée au pricing d’options et à la gestion des risques multiples, cours ENSAI de 3ème année.

4) Thierry RONCALLI, Introduction à la gestion des risques, cours ENSAI de 3ème année.

5) CreditMetrics, technical document (avril 1997)

6) CreditRisk+ (A Credit Risk Management Framework), document technique (1997)

7) Gestion de risque,

8) Hans BÜHLMANN: Mathematical Methods in Risk Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, Part I, 1996.

9) Jean-Paul Laurent et Jon Gregory, I will survive. Risk, Juin 2003, www.risk.net

Note de cours donnés à l’INSEA:

M. LAHLOUH : Probabilités, INSEA.

A.ABDELLAOUI : Simulation, INSEA.

B. ATOUF : Inférence statistique, INSEA.

K. BENCHEKROUN : Théorie du risque, INSEA.

Mémoires : Sami MISSAOUI, Value-at-Risk et allocation du capital économique: application à la gestion du risque opérationnel et de crédit, Projet de fin d’étude, INSEA, 2004.

Sites WEB : www.Default-Risk.com www.GloriaMundi.com www.EconPapers.co www.risk.net

Annexe


ANNEXE

Annexe


Modèle de Merton Le premier article sur le risque de crédit apparu dans la littérature est celui de

Merton, paru en 1974 dans The Journal of Finance sous le titre « On the Pricing of Corporate Debt : The Risk Structure of Interest Rates ». Pour la première fois, un modèle de valorisation était proposé pour des obligations émises par des firmes dont le risque de défaillance n’était pas négligeable. Ainsi, Merton s’inscrit comme le précurseur des travaux menés sur le risque de crédit. Cette approche fut ensuite prolongée et certaines hypothèses faites par Merton ont pu être relaxées.

Merton a développé un modèle de valorisation du type Black-Schole sous les hypothèses suivantes :

1) Il n’y a ni coûts de transaction, ni taxes, ni problèmes d’indivisibilité des actifs.

2) Il existe un marché où l’on peut prêter et emprunter au même taux d’intérêt.

3) La vente à découvert des actifs est permise.

4) Le théorème de Modigliani-Miller, selon lequel la valeur de la firme est indépendante de sa structure financière s’applique. Si V désigne la valeur de la firme, E la valeur de marché des actions et B la valeur de marché des obligations :

BEV +=

5) La courbe des taux est plate et connue avec certitude.

6) La dynamique de la valeur de la firme,V , est décrite par une diffusion satisfaisant l’équation différentielle stochastique suivante :

ttt dWVdtCVdV σα +−= )(

où α est le taux de rendement instantané de la firme par unité de temps, C le versement de la firme par unité de temps à ses porteurs d’obligations ou à ses actionnaires(e.g. des paiements d’intérêts ou des dividendes), 2σ la variance instantanée des rendements de la firme par unité de temps et z un mouvement brownien standard.

Supposons qu’il existe un actif dont la valeur de marché,Y , peut s’écrire comme une fonction de la valeur de la firme et du temps, i.e. ),( tVHY = . Alors, le prix de cet actif satisfaisait l’équation différentielle suivante :

0)(2

22

=++−−+ ytVVV CHrHHCrVHVσ

où yC est le coupon ou le dividende du titre Y par unité de temps, et x

HH x ∂

∂= .

Comme application de la formule précédente, Merton a étudié la valorisation de la dette d’une entreprise sous certaines hypothèses. Le passif de la firme se compose uniquement de deux sortes d’engagements : la dette et les actions. Il impose en outre certaines

Annexe


restrictions sur la dette : la firme promet de payer la somme B à ses créanciers à un instant spécifiéT , et dans le cas d’un non-paiement àT , les créanciers reprennent immédaitement l’entreprise (et les détenteurs d’actions ne reçoivent rien). Enfin, on suppose que la firme ne peut pas émettre de nouvelles obligations ni payer des dividendes durant la période. Si on note par F la valeur de cette obligation, on a :

02

22

=−−+ τσ

FrFrVFFV VVV

où tT −=τ le temps restant avant la maturité de l’obligation et donc τFFt −= . La

condition initiale à 0=τ est [ ]BVVF ,min)0,( =

En effet, si à T , la valeur V de la firme est inférieure au montant B de sa dette, la firme est en situation de défaut, les créanciers se partagent V et les actionnaires ne reçoivent rien. Dans le cas contraire, ils reçoivent B .

On pourrait résoudre cette équation différentielle, mais Merton a remarqué que l’on pouvait éviter de nombreuses difficultés en se ramenant à un problème déjà étudié. En effet, si l’on cherche à résoudre le problème complémentaire, à savoir déterminer la valeur de l’action ),( τVf . On a ),(),( ττ VFVVf −= et on obtient comme équation différentielle vérifiée par f :

02

22

=−−+ τσ

frfrVffV VVV

avec comme condition initiale :

[ ]BVVf −= ,0max)0,(

Cette remarque permet alors de résoudre de manière aisée les équations différentielles donnant ),( τVf et ),( τVF . Ainsi, la détention des actions est-elle équivalente à celle d’un Call sur la valeur de la firme, de prix d’exercice B et de même maturité que la dette ; la détention des obligations est elle équivalente à la celle de la firme elle-même et d’une position courte sur le Call.

L’article de Merton a constitué la base de toute la littérature sur le risque de crédit. Néanmoins, l’approche semble quelque peu irréaliste. Elle suppose en effet que la banqueroute n’est constatée qu’à l’échéance de la dette, et que la firme est éventuellement liquidée pour la valeur de la firme au dessous duquel elle se déclare en faillite. Cette hypothèse, que l’on trouve pour la première fois dans l’article de Black et Cox (1976), nécessite cependant une spécification du seuil de faillite. On peut par ailleurs douter que ce seuil soit constant au cours du temps, comme on le verra plus tard dans Longstaff et Schwartz, et ne dépende pas de l’évolution de la structure des taux.

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Les techniques de Monte Carlo

Dans cette annexe, nous présentons les résultats généraux sur les méthodes de Monte Carlo. Ces techniques de simulation se basent principalement sur deux grands résultats de probabilité : la loi forte des grands nombres fournit le résultat de convergence ; le théorème centrale limite, plus précis, permet d’évaluer la vitesse de convergence.

La simulation :

Le cadre d’analyse est posé de la façon suivante. On considère un espace probabilisé et X une variable aléatoire construite dans cet espace en considérant sa fonction de répartition. On souhaite estimer numériquement, à partir de la méthode de Monte Carlo, l’espérance d’une fonction g(X).

A l’aide d’un ordinateur, nous allons réaliser une suite de tirages de la variable X selon sa loi en utilisant le générateur de nombres aléatoires. Si X représente le résultat du ième tirage et que l’on effectue n tirages, alors )X(g,...,)X(g,)X(g n21 représente un échantillon aléatoire simple. Supposons que : ∞<])X(g[Var

Dans ce cas, la loi forte des grands nombres nous permet de conclure que :

∑=

→n

1i

])X(g[E)X(gn1 presque sûrement lorsque ∞→n

Contrôle de la convergence :

Pour étudier les problèmes de convergence liés autour de méthode de Monte Carlo, on a besoin du Théorème centrale limite qui stipule que la loi de

])X(g[Var

])X(g[E)X(gn1

n

n

1i21 ∑

=−

converge vers une distribution normale centrée et réduite lorsque ∞→n

Nous sommes donc en mesure de calculer un intervalle de confiance pour E[g(X)] :

∑∑=

α=

α

+

−n

1i

21

2

n

1i

21

2 n

])X(g[Varz)X(g

n1;

n

])X(g[Varz)X(g

n1

pourvu que le nombre de trajectoires simulées soit suffisamment grand.

Lorsque la variance n’est pas connue, ce qui est généralement le cas, nous l’estimons par la variance échantillonnale.

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Feuilles de calcul :

Simulation de Monte Carlo des pertes avec taux de défaut fixe :

Annexe


Simulation de Monte Carlo des pertes avec taux de défaut variable :

Annexe


Simulation de la distribution de la loi de Poisson

Annexe


Simulation des probabilités de défaut pour la vérification de l’égalité moyenne-variance

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Simulation de la distribution des pertes en cas de CreditMetrics

Documents

Rapport PFE Rakhis Ilyas et Ezzouine Fatima - …mcours.net/cours/memoires/Risque_de_credit_quantification_et_mise... · Extérieur a lancé de grands projets pour s’adapter aux