RAPPORT PROJET Apprroximation Des Equa Diff Adams-moulton

École National Supérieure d Electricité Projet Sur « APPROXIMATION

Et De Mécanique DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES »

XX =nom Génie - 3 - G7 X=nom

Dédicaces & Remerciements

A nos chers parents, qui ont consacré leur vie pour notre éducation, et

notre bien être.

A nos frères et sœurs.

A tous nos enseignants :

Source d’information et de connaissance.

A nos amis (es) à qui nous exprimons nos fidèles sentiments de respect et

de fraternité pour les meilleurs moments qui nous ont unis ensemble.

A tous ceux qui nous sont chers.

Nous dédions ce modeste travail.

Avant tout remerciement, louange à dieu.

Au terme de ce simple travail, Nous tenons à exprimer nos

remerciements sincères à Monsieur XXX, notre encadrant, pour son

temps, ses commentaires précieux, ses conseils et ses précieuses

directives, qui nous ont permis de surmonter nos difficultés et de

progresser dans notre projet.




Table de matières

Dédicaces. Remerciements. Table des matières ------------------------------------------------------------------------ 4 Introduction --------------------------------------------------------------------------------- 5 Chapitre I : Présentation des méthodes d Approximation --------------------- 6

1.1 Méthode EULER (Méthode à un pas) ------------------------------------- 7 1.2 Méthode RK2 & RK4 (méthode à un pas) ------------------------------- 7 1.3 Méthode d Adams Moulton (méthode à multi pas) -------------------- 8

Chapitre II : Application ----------------------------------------------------------------- 9 2.1 Etude Théorique : Equation Différentielle -------------------------------- 10 2.1.1 Solution Exacte ------------------------------------------------------------- 10 2.1.2 Algorithme RK4 sur notre application -------------------------------- 11 2.1.3 Algorithme Adams Moulton --------------------------------------------- 12 2.2 Etude Pratique -------------------------------------------------------------------- 12 2.2.1 Vérification de la solution exacte avec MAPPLE ------------------- 12 2.2.2 Implantation des algorithmes sous MATLAB ----------------------- 12 2.2.3 Dessin des différents graphes ------------------------------------------ 13 2.3 Conclusion ------------------------------------------------------------------------- 15




Introduction générale

L'approximation de fonction concerne toutes les méthodes permettant

d'approcher une fonction mathématique par une suite de fonctions qui

convergent dans un certain espace fonctionnel. Bien que puisant

généralement ses résultats dans l'analyse et l'analyse fonctionnelle, la théorie

de l'approximation couvre en fait de nombreux domaines, comme l'analyse

numérique, la théorie des équations aux dérivées partielles, … etc.

Les méthodes d'approximation de fonctions peuvent parfois recouvrir celles

d'interpolation, où il s'agit de « reconstruire » une fonction à partir de la

connaissance de celle-ci en un nombre fini de points. Mais il existe des

procédures d'interpolation qui donnent des fonctions qui ne convergent pas

nécessairement ponctuellement vers la fonction lorsque le nombre de points

considérés augmente vers l'infini, comme c'est le cas pour l'interpolation de

Lagrange.




Chapitre I :

Présentation des méthodes

D’Approximation

EULER RK2, RK4

Adams Moulton




1.1 Méthode EULER (Méthode à un pas)

En mathématiques, la méthode d'Euler, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler, est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C'est la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles. Pour calculer des valeurs approchées d'une primitive G de f sur I = [x0, xn], on divise I en n

intervalles et on choisit

Pour la valeur initiale y0 on a F(x0) = G(x0) = y0 ce qui permet de placer le premier point A0 (x0 ; y0).Pour les n valeurs x1 = x0 + h, x2 = x1 + h, …, xn = xn-1 + h, on calcule de proche en proche, en relation avec la propriété de la dérivée citée ci-dessus, les n valeurs approchées F(x1), F(x2)…, F(xn) de G.

1.2 Méthode RK2 & RK4 (méthode à un pas)

Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodes d'analyse numérique d'approximation de solutions d'équations différentielles. Elles ont été nommées ainsi en l'honneur des mathématiciens Carl Runge et Martin Wilhelm Kutta lesquels élaborèrent la méthode en 1901.

I) La méthode de Runge-Kutta d'ordre 2 (RK2)

Cette méthode peut être comparée à une composition de la méthode d'Euler.

Considérons le problème suivant :

La méthode RK2 est donnée par l'équation

où h est le pas de l'itération.

II) La méthode de Runge-Kutta classique d'ordre quatre (RK4)

C'est un cas particulier d'usage très fréquent, dénoté RK4.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques

http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9maticien

http://fr.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_num%C3%A9rique

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Condition_initiale

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9solution_num%C3%A9rique_des_%C3%A9quations_diff%C3%A9rentielles

http://fr.wikipedia.org/wiki/Primitive




Considérons le problème suivant :

La méthode RK4 est donnée par l'équation :

où

1.3 Méthode d Adams Moulton

La solution exacte y(t) de l‟équation différentielle,

vérifie :

On approche cette intégrale par la quantité :

c‟est-à-dire que l‟on inclut y(tn+1) dans les valeurs “connues”, c‟est pourquoi nous obtenons ainsi une famille de schémas multi-pas implicites appelés schémas

d‟Adams-Moulton à q +1 pas :

Ce schéma est un schéma à q + 1 pas et q + 2 nœuds ( les , pour k = 1…… q).

Les coefficients b_k, qui se calculent comme pour les schémas d‟Adams-Bashforth, sont obtenus par la formule :

Remarques :

1) D‟après les formules ci-dessus, on constate que les méthodes à pas multiples ne sont pas autodémarrantes, pour déterminer les valeurs initiales du problème,on utilise une parmi les méthodes à un pas(Euler, Runge-Kutta d‟ordre 2 et d‟ordre 4).

2) En pratique les schémas d‟Adams-Moulton ne sont pas utilisés comme tels. On utilise plutôt conjointement un schéma d‟Adams-Bashforth et un schéma d‟Adams-Moulton de même ordre pour construire un schéma prédicteur-correcteur, en utilisant comme valeur de zn+1 dans le schéma d‟Adams-Moulton la valeur prédite par le schéma Adams-Bashforth. Le prédicteur-correcteur le plus utilisé utilise ces deux schémas à l‟ordre 4 :

Prédicteur :




Correcteur :

Chapitre II :

APPLICATION

Etude Théorique Solution Exacte Algorithme RK4 Algorithme d Adams Moulton Etude Pratique

*Solution exacte avec MAPPLE * Implantation des algorithmes sous MATLAB *Les Graphes




2.1 Etude Théorique :

2.1.1 Solution Exacte :

Il s‟agit d‟une équation différentielle d‟ordre 1 avec second membre.

L‟équation homogène (sans second membre) « » a pour solution :

En procédant par la méthode de la variation de la constante k, trouvons l‟expression de k(x) :

On calcule d‟abord :

On trouve :

On passe à l‟équation :

(E ) :

=

L‟expression de k(x) est alors :

Par intégration par partie on obtient :

D‟où :




Finalement : La condition initial nous fournira la valeur de la constante :

D‟où : cte=1

ALORS

On veut résoudre l‟équation précédente par la méthode d‟Adams-Moulton ,

(E ) :

On peut réécrire l‟équation comme suivant en posant :

L‟équation prend la forme suivante :

On respecte les notations suivantes : ti)≈ i ≈fi

Comme la méthode d‟Adams-Moulton n‟est pas autodémarrante, on procède par

Runge-Kutta d‟ordre 4, pour déterminer les valeurs initiales du problème déjà posé :

2.1.2 Algorithme de RK4

i+1 = i +h.Φ(xi, i+1 )

Tel que: Φ(xi, i+1 )= = .[K1+2.K2+2.K3+K4].

Et :




Les valeurs de Ki , i=1..4 correspondantes à notre (E) :

2.1.3 Algorithme d Adams Moulton

Apres avoir calcule les premieres valeurs a l aide de l algorithme de runge kutta d ordre

4 on va pouvoir passer a caluler les autre valeur par la methode d adams moulton a l

aide d un predicteur et puis un correcteur dans les formules sont :

Prédicteur :

Correcteur :

2.2 Etude Pratique

Tout Les documents sont sur le CD ci-joint

2.2.1 Solution Exacte avec Mapple :

$)- Fichier MAPPLE sous nom : Solution_exacte_mapple.mw

2.2.2 Implantation des algorithmes avec MATLAB

$)- Algo. RK4 : Fichier MATLAB sous nom « rk4.m »

$)- Algo . Adams_Moulton : Fichier MATLAB sous nom « Adams_Moulton.m»

$)- Definitionde la solution exacte : Fichier MATLAB sous nom « solution_exacte .m»

$)- Definitionde la solution f(t,y(t)) : Fichier MATLAB sous nom « Fonc.m» $)- Fonction qui trace le graphe de la solution exacte : Fichier MATLAB sous nom « plot_solution_exacte.m »




$)- 1ere approximation de notre fonction par les premieres conditions (h=0.1,N=30) : Fichier MATLAB sous nom « Programme_1.m »

$)- 2eme approximation de notre fonction par les secondes conditions (h=0.2,N=80) : Fichier MATLAB sous nom « Programme_2.m »

$)- 3eme approximation de notre fonction par les Troisiemes conditions (h=0.01,N=160) : Fichier MATLAB sous nom « Programme_3.m »

Ces trois fichier continent des commentaire pour mieux eclaircir Le code.

2.2.3 Graphes

1) Solution Exacte :

On remarque que notre fonction cois jusqu „à ce qu‟il arrive a un point et ac devient négative , d‟où notre fonction n admet pas des image au voisinage de certains points, Avec Mapple on remarque la tangente à ce point la.




2) 1ere Approximation

Avec un pas de 0.1 et des points de nombres N=30 on remarque la convergence de la fonction d approximation vers la solution exacte. On remarque qu il y une défaillance du a l erreur.

3) 2eme Approximation :

Dans ce cas on a un pas h=0.2

et un nombres de points N=80

ce qui nous visualise l un peu

lerreur , parraport à la figure

precedente , celle-ci a la valeur

de l erreur grande.

4) 3eme Approximation :




Pour cette figure , le pas h= 0.01 , est tres petit par rapport aux deux premiers pas , aussi

le nombre de points N=160 , est tres grande parrapport aux deux nombres precedent ,

comme resultat on a une convergence totale de la fonction d approximation vers la

solution exacte , parcequ on remarque dans toute la figure apart quelques points,il n y a

que la coleur verte ( celle de la solution exacte).




CONCLUSION

Cette exemple d application nous a permets de mettre en place des différentes Méthodes

acquises tout au lent de la période consacre pour ce cours.

Et une autre fois on remarque l efficacité des méthodes d approximation si on dispose

des équations différentielles difficile a avoir la solution exacte.

On conclut aussi que pour avoir la convergence, il vaut mieux avoir un pas très petit et

un nombre très grand de point.




APROXIMATION DES

EQUATIONS

DIFFERENTIELLES

Réalisé Par :

Mr. XX

Mr. X

Encadré Par :

Mr.XXX

Documents

RAPPORT PROJET Apprroximation Des Equa Diff Adams-moulton