Rattrapage Meca Rat 2006

Université de Boumerdès-Faculté des sciences-Département de physique Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI

1

Année 2005-2006

RATTRAPAGE : Mécanique Rationnelle

Durée : 1h 30 mn Exercice 01 : (12 points) On considère un solide (S) constitué : - d’un disque (1) homogène, de centre de gravité G, de rayon a, de masse M et d’épaisseur négligeable devant les autres dimensions. - d’une tige (2) de longueur a, de masse négligeable, soudée en G au disque (1). Le solide (S) roule sans glisser au point I sur le sol horizontal (0) de telle manière que l’extrémité de la tige (2) coïncide en permanence avec un point O fixe du sol (0).

Le référentiel fixe ),,,( 0000

→→→

zyxOR est associé au sol (0).

),,,( 1111

→→→

zyxOR est en rotation dans le sens positif par rapport à 0R tel que ),(),( 1010

→→→→

== xxzzθ et →→

= 10 yy ; →−

1Ox est toujours colinéaire à l’axe →−

OI

Le référentiel ),,,( 2222

→→→

zyxOR se déduit à chaque instant de ),,,( 1111

→→→

zyxOR par une rotation

d’angle α = 45°autour de l’axe →−

1Oz

Le référentiel ),,,( 3333

→→→

zyxGR , rigidement lié au solide (S), se déduit à chaque instant de

),,,( 2222

→→→

zyxOR par une rotation d’angle ϕ autour de l’axe →−

2Ox .

On notera : →→

−= 0ygg l’accélération de la pesanteur ;

→→→→

++= 1010100 zRyRxRR zyx l’action de contact du sol (0) sur le solide (S) au point O ;

→→→→

++= 111 zRyRxRR IzIyIxI l’action de contact du sol (0) sur le solide (S) au point I.

→→

01, yy

→

Ω01

→

Ω23

α

→

2y

→→

32 , xx

→

1x


2

Etude cinématique :

1.1 Déterminer le vecteur rotation →

Ω03 du solide (S) dans R1 et R2 ainsi que la vitesse absolue

du point G dans R1 et R2 ; 1.2 Donner le torseur cinématique du solide (S) au point G ; 1.3 Ecrire la condition de roulement sans glissement au point I. En déduire une relation simple

liant •

θ et •

ϕ ; 1.4 Déterminer l’axe instantané de rotation du solide (S) par rapport au sol (0) ; 1.5 Déterminer l’accélération absolue du point G dans R1; Etude cinétique : 2.1 Déterminer le tenseur d’inertie [ GI ] du solide (S) dans 2R ;

2.2 Déterminer le moment d’inertie 1GxI du solide (S) par rapport à l’axe

→−

1Gx ;

2.3 En déduire le moment d’inertie 1OxI du solide (S) par rapport à l’axe

→−

1Ox ; 2.4 Exprimer l’énergie cinétique )/( 0RSEc du solide (S) dans son mouvement par rapport à 0R ; Etude dynamique : 3.1 Appliquer le théorème de la résultante dynamique au solide (S) et en déduire les équations scalaires dans R1;

3.2 Exprimer dans 2R le moment cinétique )/( 00 RS→

σ du solide (S) au point O ;

3.3 Calculer le moment dynamiquedt

RSd )/( 00

→

σ dans R2 puis l’exprimer dans 1R ;

3.4 Déterminer le moment )(0

→−−−−−

PM au point O dans R1;

3.5 Déterminer le moment )(0

→−−−−−

IRM au point O dans R1; 3.6 Appliquer le théorème du moment dynamique au solide (S) au point O dans R1;


3

Exercice 02 : ( 8 points) Soit le système constitué de deux plaques S1 et S2 , rectangulaires, de dimensions (a x b)

identiques, minces, et homogènes de poids chacune →→

−= zPP . Elles sont liées entre elles par deux articulations cylindriques en A et B. Les plaques, (S1 horizontale, S2 verticale), sont maintenues dans une position d’équilibre statique comme indiqué sur la figure ci-dessous. Les liaisons aux différents points sont :

- articulation sphérique en O ; - articulation cylindrique en C ; - câble en D.

On désigne par G1 et G2 les centres de gravité respectifs des deux plaques. Le système est en équilibre statique :

1- Donner les composantes des forces de liaison et des forces appliquées (poids) ; 2- Ecrire les coordonnées des points d’application des forces ; 3- Calculer les réactions aux points O et C ainsi que la tension du câble ; 4- Calculer les réactions qui s’exercent sur la plaque S2 aux points A et B.

DO

→

x

→

y

→

z

a

a

b

b

4/a

°45

4/a

1G

2G

2/a


4

Solution :

1.1 Vecteur rotation instantanée →

Ω03 :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

=Ω••

•

→

022

22

1

03 ϕθ

ϕ

R

,

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧−

=Ω•

••

→

022

22

2

03 θ

ϕθ

R

Vitesse absolue du point G :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

°−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧°°

∧=⎪⎩

⎪⎨

⎧=∧Ω+=

•

•→−→→→

45cos00

045sin45cos

0

0)()(

111

01

00

θθ

aR

aa

RR

OGOVGV

⎪⎩

⎪⎨

⎧

°−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧∧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

°

°

=∧Ω+=•

•

•

→−→→→

45cos00

00

045sin45cos

)()(

222

01

00

θθθ

aR

a

RR

OGOVGV car →→

≡ 21 zz

1.2 Torseur cinématique du solide (S) au point G : [ ]⎪⎩

⎪⎨⎧Ω= →

→

)(

0

03

GVT G

1.3 Condition de roulement sans glissement : →→→

=∈=∈ 0)()0( 100 SIVIV

I et G appartiennent au même solide alors : →→→→→

=∧Ω+= 0)()( 03

00 GIGVIV

⎪⎩

⎪⎨

⎧

°−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧°°

∧⎪⎩

⎪⎨

⎧=∧Ω+=

•

•→−→→→

45cos00

045sin45cos

0

0)()(

111

01

00

θθ

aR

aa

RR

OGOVGV

→

••

••

•

•

→

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧°−°

∧

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

+⎪⎩

⎪⎨

⎧

°−= 0

)2(00

045sin

45cos

022

22

45cos00

)(

11

1

1 θϕϕθ

ϕ

θ aR

aa

R

R

aR

IV

••

= θϕ 2 ou ••

= ϕθ22

1.4 Axe instantané de rotation du solide (S) par rapport au sol (0) ;

L’axe instantané de rotation est l’axe →−

OI car O et I appartiennent au solide et leurs vitesses sont nulles. On peut le déterminer aussi analytiquement ou géométriquement.


5

1.5 Accélération absolue du point G dans R1 ;

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

−

=∧Ω+==••

•

→−→→−→−

→

θ

θ

γ

22

022

)()()()(

2

1

001

01000

a

a

R

GVdt

GVddt

GVdG

Etude cinétique : 2.1 Tenseur d’inertie [ GI ] du solide (S) dans 2R ;

2

2

2

2

4/0004/0002/

Rmama

maIG

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2.2 Moment d’inertie 1GxI du solide (S) par rapport à l’axe

→−

1Gx ; →→→

−= 221 22

22 yxx

2

2

2

2

2

11 43

02

2

4/0004/0002/

)0,22,

22(..

11ma

Rmama

maxIxI Gx

TGx =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−==→→

2.3 Moment d’inertie 1OxI du solide (S) par rapport à l’axe

→−

1Ox ;

La distance qui sépare les axes →−

1Ox et →−

1Gx est égale à : 2245cos aad =°=

85

243 22

2211

mamamamdII GxOx =+=+=

2.4 Energie cinétique )/( 0RSEc du solide (S) dans son mouvement par rapport à 0R ;

→→→

ΩΩ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 0

303

20

0 ..21)(

21)/( G

Tc IGVmRSE

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+=••

•

••••

022

22

.4/00

04/0002/

).0,22,

22(

21

41)/(

1

2

2

2

2

220 ϕθ

ϕ

ϕθϕθ

R

Rmama

mamaRSEc

••••

−+= ϕθϕθ 281

163

83)/( 22222

0 mamamaRSEc


6

Etude dynamique : 3.1 Théorème de la résultante dynamique dans R1 et les équations scalaires ;

∑→→

=i

ext RGmF1

0/)(γ ⇔

1

00 /)( RGmmPRR I

→→→→

=++ γ ⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=+

=−+

−=+

••

•

22

0

22

0

0

20

1

θ

θ

maRR

PRR

maRR

R Izz

Iyy

Ixx

3.2- Moment cinétique )/( 00 RS→

σ du solide (S) au point O dans 2R

)(.)()/()/( 003

0000 GVmOGIGVmOGRSRS GG

→→−→→→−→→

∧+Ω=∧+= σσ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

∧⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=•

•

••

→

22

00

00

022

22

.4/00

04/0002/

)/(

22

2

2

2

2

2

00

θ

θ

ϕθ

σ

aR

a

R

m

R

Rmama

maRS

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

→•→••→

22

2

00 423

22

2)/( yxmaRS θϕθσ

3.3- Moment dynamiquedt

RSd )/( 00

→

σ dans 2R et son expression dans 1R

→••→••••

→→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== 22

200

00 423

22

2)/(

)/( yxmadt

RSdRS θϕθ

σδ dans R2

→→→

+= 112 22

22 yxx ;

→→→

+−= 112 22

22 yxy

→••••→••••

→→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== 11

20000 4

24

2582)/(

)/( yxmadt

RSdRS ϕθϕθ

σδ dans R1


7

3.4- Moment )(0

→−−−−−

PM au point O ;

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

=⎪⎩

⎪⎨

⎧−∧

⎪⎩

⎪⎨

⎧°°

=∧=→→−→−−−−−

22

00

0

0

045sin45cos

OG )(

111

0

mgaR

mg

R

aa

R

PPM

3.5- Déterminer le moment )(0

→−−−−−

IRM au point O ;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⎪⎩

⎪⎨

⎧∧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∧=→→−→−−−−−

Iy

Iz

Iz

Iy

Ix

II

RaRa

RRRR

R

a

R

RRM22

0

00

2OI )(

111

0

3.6- Théorème du moment dynamique au solide (S) au point O ;

)/( )( )( 0000 RSRMPM I

→→−−−−−→−−−−−

=+ δ

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

••••

••••

04

2742

423

42

22

0

22

00

2

2

11

ϕθ

θϕ

ma

ma

RaRa

RmgaR

Iy

Iz

Exercice 02 : 1- Composantes des forces de liaison et des forces appliquées (poids) ;

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

→

z

y

x

RRR

R

0

0

0

0 ; ⎪⎩

⎪⎨

⎧=

→

Cz

CyC

RRR0

; ⎪⎩

⎪⎨

⎧=

→

Az

AyA

RRSSR0

)/( 21 ;

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

→

Bz

ByB

RRSSR0

)/( 21 ; ⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

→

2222

0

D

DD

TTT ;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

→

PP 0

0

1 ; ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

→

PP 0

0

2


8

2- Coordonnées des points d’application des forces ;

)2

,,2

(G ),0,2

,2

(G ),0,2b D(0, , C(a,0,0) , )0,,

43aB( , 0) b, ,

4aA( , )0,0,0( 21

bbababO −

3- Réactions aux points O et C ainsi que la tension du câble ; Système : (S1 + S2)

→→→→→→

=++++ 0210 PPTRR C (I)

→→→−→→−→→−→→−

=∧+∧+∧+∧ 02211 POGPOGTODROC C (II)

(I) ⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−++=−+

=

(3) 0222 (2) 022

(1) 0

0

0

0

PTRRTRR

R

Dczz

Dcyy

x

(II) ⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−∧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⎪⎩

⎪⎨

⎧+

−∧

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎩

⎪⎨

⎧−∧

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎩

⎪⎨

⎧∧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

000

00

2/

2/00

02/2/

2222

0

02/

00

00

Pbb

a

Pba

TTb

RR

a

D

D

Cz

Cy

⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=++−

=−−

(6) 0

(5) 022

(4) 024

2

Cy

Cz

D

aR

PaPaaR

bPPbbT

(6) 0 =⇒ CyR (3) PR z 5 0 −=⇒ (5) PRCz =⇒ (2) PR y 3 0 =⇒

(4) PD 26T =⇒ (1) 0 0 =⇒ xR

4- Réactions qui s’exercent sur la plaque S2 aux points A et B. Système : S2

(III) : →→→→

=++ 02PRR BA ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=+

=⇒

(9) 0(8) 0

(7) 00

PRRRR

BzAz

ByAy


9

(IV) : →→→−→→−

=∧+∧ 022 PAGRAB B ⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−∧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎩

⎪⎨

⎧∧

⎪⎩

⎪⎨

⎧⇒

000

00

2/0

4/0

00

2/

Pb

a

RR

a

Bz

By

(IV) ⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=+−

=

(12) 02

(11) 042

(10) 00

By

Bz

Ra

aPRa

(12) 0 =⇒ ByR ; (11) 2

PRBz =⇒

(9) 2

PRAz =⇒

(8) 0 =⇒ AyR

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