RÉDUCTOI N DES ÉCARTS DE RENDEMENTedugains.ca/resourcesMath/CE/LessonsSupports/Gap... · Aire de parallélogrammes, de triangles et de trapèzes (Suite) 8. Détermine l’aire de

RÉDUCTION DES ÉCARTS DE RENDEMENT

9e année

Module 8 : Périmètre et aire de figures planes

Guide de l’élève

Évaluation diagnostique .................................................................3

Aire de parallélogrammes, de triangles et de trapèzes ............6

Aire de figures composées ...........................................................14

Circonférence et aire de cercles ..................................................20

Annexes

Fiche de rappel de formules ................................................. .27

Quatre cercles ..........................................................................28

Rectangle et parallélogramme ..............................................29

Cercle subdivisé en secteurs ................................................30

Module 8

Périmètre et aire de figures planes

Périmètre et aire de figures planes (9e année) © Marian Small, 2011 février 2011 3

Évaluation diagnostique

1. Surchacunedesfiguressuivantes,indiqueàl’aided’unsurligneurlessegmentsdedroitedontondoitnécessairementconnaîtrelamesurepourêtreàmêmededéterminerl’aire.

a) Parallélogramme

b) Trapèze

c) Triangle

2. Déterminel’airedechacunedesfiguressuivantes.

a)

6

33,1

b)

5

44,6

c) 4

10

6 6,17,7

4 février 2011 © Marian Small, 2011 Périmètre et aire de figures planes (9e année)

Évaluation diagnostique (Suite)

3. Untriangleaunebasede5cmetunehauteurde10cm.Unparallélogrammeayantunebasede5cmalamêmeairequeletriangle.Quelleestlahauteurduparallélogramme?

4. Quellespeuventêtrelesmesuresdelahauteuretdesbasesd’untrapèzeayantuneairede20cm2?

5. Décomposechacunedesfiguressuivantesenfiguresplanessimples (p.ex.,triangles,rectangles,parallélogrammesoutrapèzes).

a) b)

6. Déterminel’airedechacunedesfiguressuivantes.Expliquetadémarche.

a)

10 cm10 cm

4 cm 3 cm b)

5 cm

3 cm

4 cm1 cm

6 cm

7. Déterminel’airetotaledessurfacesombréesdechacunedesfiguressuivantes.

a) 5 cm

6 cm

b)

5 cm

4 cm

2 cm


Évaluation diagnostique (Suite)

8. Uncercleaundiamètrede10cm.

a) Quelleestl’airedececercle?

b) Quelleestlacirconférencedececercle?

9. Lacirconférenced’uncercleestégaleaupérimètred’uncarrédontlescôtésmesurent3cm.Quelestlediamètreducercle?Expliquetaréponse.

10.Uneficelleest3foispluslonguequelediamètred’uncercle.Lequeldesénoncéssuivantsestalorsvrai?

a) Laficellepourraitfairepresquelamoitiédutourducercle.

b) Laficellepourraitfairepresqueletourcompletducercle.

c) Laficellepourraitfaireletourcompletducercleetunpeuplus.

d) Laficellepourraitfairepresque2foisletourcompletducercle.

11.Uncercleauneaired’environ20cm2.Lesquelsdesénoncéssuivantssont alorsvrais?

a) Lerayonmesureenviron2,5cm.

b) Lerayonmesureenviron5cm.

c) Lediamètremesureenviron5cm.

d) Lediamètremesureenviron10cm.

e) Lacirconférencemesureenviron15cm.

f) Lacirconférencemesureenviron30cm.

10 cm


Aire de parallélogrammes, de triangles et de trapèzes

Question ouverte

Leparallélogramme,letriangleetletrapèzesuivantsontlamêmeaireetaucund’euxn’ad’angledroit.

• Étape 1 :Assigneunevaleurcommuneàl’airedestroisfigures.Entenantcomptedel’airechoisie,indiqueensuitelesdimensions(base,hauteur)quechacunedestroisfigurespourraitavoir.

• Étape 2 :Répètel’étape1enutilisantlamêmeaire,maisenproposantdesdimensionsdifférentespourlestroisfigures.

• Étape 3 :Répètelesétapes1et2enutilisantdeuxairesdifférentes.


Aire de parallélogrammes, de triangles et de trapèzes (Suite)

Fiche de réflexion

Unefaçondedéterminerl’aired’unefigureplaneconsisteàplacerlafiguresurunquadrilléetàdénombrerlescarrésduquadrilléquisontainsicouverts.

Onpeutégalementutiliseruneformulequipermetdedéterminerl’aired’unefigureplaneàpartirdesesdimensions.

Aire de parallélogrammes

Supposonsqu’unrectanglealamêmebaseetlamêmehauteurqu’unparallélogramme.Onsaitquel’aired’unrectangleestégaleauproduitdesabaseetdesahauteur.

A

b

h

b

h A

Leparallélogrammepeutêtretransforméenrectangle.Parconséquent,sil’onconnaîtlesdimensionsdelabaseetdelahauteurd’unparallélogramme,onpeutdéterminersonaireenappliquantlamêmeformulequecellequel’onutilisepourdéterminerl’aired’unrectangle.

A = b × h

Ilestànoterquelahauteurduparallélogrammeestinférieureàlalongueurdesoncôtéincliné.Ilestdoncimportantd’utiliserlesmesuresdelabaseetdelahauteurd’unparallélogrammepourdeterminersonaire,etnonlesmesuresde sescôtés.

Sil’onconnaîtl’aired’unparallélogramme,ainsiquelamesuredesabaseoudesahauteur,onpeutdéterminerladimensionmanquanteeneffectuantunedivision.Parexemple,unparallélogrammeayantuneairede20cm²etunebasede4cmaunehauteurde5cm(20÷4).



Aire de trianglesPourdéterminerl’airedetrianglesrectangles,ilsuffitd’utiliserlefaitquechaquetrianglerectanglecorrespondàlamoitiéd’unrectangle.

Parexemple,l’airedutrianglerectangleci-dessousestégaleà1 – 2 de4×5:

5

4

5

4

Iln’estpasaussisimpledevisualiserlesautrestypesdetrianglesenfonctionderectangles.Onpeuttoutefoisdéterminerleuraireenutilisantlefaitqu’ilscorrespondentàlamoitiéd’unparallélogramme.

b

h h

b

Chaquetrianglecorrespondàlamoitiéd’unparallélogrammeayantlamêmebaseetlamêmehauteur.

Note :Ilestparfoisnécessaire,commepourletrianglededroite,detracerlahauteurdutriangleàl’extérieurdelafigureenprolongeantlabase.

Toutcôtéd’untrianglepeutêtreconsidérécommelabasedecetriangle.Enrevanche,lahauteurutiliséedoitabsolumentcorrespondreàladroitequiestperpendiculaireàlabasechoisie.Commedémontréci-dessous,ilexistetroiscombinaisonsdebaseetdehauteurdansuntriangle.

Aire de trapèzesTouttrapèzepeutêtredécomposéenun parallélogrammeetuntriangle.Onpeutdoncdéterminerl’airedutrapèzeenadditionnantl’aireduparallélogrammeetl’airedutriangle.Parexemple,danslafigureci-contre, 8

2

5



les8unitéscorrespondantàlabasedutrapèzepeuventêtrerépartiesdelamanièresuivante:5unitéspourlabaseduparallélogrammeet3unitéspourlabasedutriangle.Leparallélogrammeetletriangleontunehauteurégaleà2unités.

L’aireduparallélogrammeestégaleà10unitéscarrées(2×5).

L’airedutriangleestégaleà3unitéscarrées( 1 – 2 de3×2).Donc,l’airedutrapèzeestégaleà13unitéscarrées.

Onpeutégalementdéterminerl’aired’untrapèzeenutilisantlefaitquetouttrapèzecorrespondàlamoitiéd’unparallélogramme.Pourillustrercefait,ilsuffitdefairepivoterunecopiedutrapèzede180°enjuxtaposantuncôtédel’originaletuncôtédelacopie.

b2

b1 b2

b1

h

Labaseduparallélogrammeainsiforméestégaleàlasommedesdeuxbasesdutrapèze(b1 + b2)etsahauteurestégaleàlahauteurdutrapèze(h).L’aireduparallélogrammeestdoncégaleà(b1 + b2)h.

Enrevanche,l’airedutrapèzeestégaleàseulementlamoitiédel’airedu

parallélogramme.Donc,l’airedutrapèzeestégaleà1 – 2 (b1 + b2)h.

Ainsi,l’airedutrapèzeillustréàlapageprécédenteestégaleà13unitéscarrées [ 1 – 2 (5+8)×2].Onpeutégalementenvisagerlaformuledelamanièresuivante:calculerlamoyennedesdeuxbasesetlamultiplierparlahauteur.Ceraisonnementestlogiquesil’onconsidèrequel’airedutrapèzecorrespondàl’airedurectanglequilamêmehauteurqueletrapèzeetunebaseégaleàlamoyennedesdeuxbasesdutrapèze.

L’airedesdeuxsurfacesblanchessupplémentairescorrespondàl’airedesdeuxsurfacestriangulairessituées àl’extérieurdurectangle.



1. Déterminel’airedechacunedesfiguressuivantes.

a)

5

3

b)

0,56

2

c)

12

5

d) 12

4

3

2. Utilisetarèglepourobtenirlesmesuresdonttuasbesoinpourdéterminerl’airedechaquefigure.Détermineensuitel’airedechaquefigureetindiquelesétapesdetadémarche.

a)



b)

c)

3. Déterminelahauteurdechacunedesfiguresplanessuivantes.

a) Unparallélogrammeayantuneairede30cm2etunebasede5cm.

b) Untriangleayantuneairede30cm2etunebasede5cm.

c) Untrapèzeayantuneairede30cm2etdesbasesde4cmetde8cm.

4. a) Construisuntrianglenonrectangleetdéterminesonaire.



b) Choisisunautrecôtédutrianglecommebaseetmesure-le.

c) Déterminelahauteurcorrespondantàcettebaseetjustifietaréponse.

d) Vérifielamesuredelahauteurdetontriangleàl’aided’unerègle.

5. Unparallélogrammeetuntriangleontlamêmebaseetlamêmeaire.Quesais-tudeleurhauteurrespective?Expliquetaréponse.

6. Commentpeux-tusavoirquel’airedutrianglebleuestégaleà1 – 4 del’airedu

triangleblancsansdéterminerl’airedechaquetriangle?

5 cm

6 cm 12 cm

10 cm

7. Construis3trapèzesdifférents,chacunayantuneairede60unitéscarrées.Indiqueensuitesurchaquetrapèzelesmesuresdesbasesetdelahauteur.



8. Déterminel’airedel’hexagoneréguliersuivantetexpliquetaréponse.

3 m

6 m5,2 m

9. Ledallageci-dessousestcomposédetriangleséquilatérauxayantunebasede2,5cmetunehauteurde2,2cm.Déterminel’airedutrapèzerougeaucentredudallage.

10.Untrapèzeauneairede100cm2etunehauteurde10cm.Quesais-tud’autreausujetdesdimensionsdutrapèze?

11.Construisuntrapèzequelconque,puisdivise-leendeuxtriangles.Créeuneformulepourdéterminerl’airedutrapèzeenfonctiondesairesdecesdeuxtriangles.Décristadémarche.


Aire de figures composées

Question ouverte

Une figure composéeestconstituéedediversesfiguresplanessimplestellesquelesrectangles,lestriangles,lesparallélogrammesetlestrapèzes.

• Construisaumoinstroisfigurescomposéesentenantcomptedesrestrictionssuivantes:

– chaquefiguredoitconteniraumoins1parallélogrammeou1trapèze;

– chaquefiguredoitêtreinscritedansunrectanglemesurant30cmsur20cm;

– l’airetotaledechaquefiguredoitêtreégaleà500cm2.

• Surchacunedesfiguresconstruites,indiquelesmesuresdessegmentsdedroitedesfiguresplanessimplesdonttuasbesoinpourt’assurerquel’airetotaledelafigurecomposéesoitégaleà500cm2.

• Détermine,pourchaquefigurecomposée,l’airedechacunedesfiguresplanessimplesquilacomposent.


Aire de figures composées (Suite)

Fiche de réflexion

Une figure composéeestconstituéedediversesfiguresplanessimplestellesquelesrectangles,lestriangles,lesparallélogrammesetlestrapèzes.

Onpeutdéterminerl’aired’unefigurecomposéeendéterminantl’airedesfiguresplanessimplesquilacomposent.

Parexemple,onpeutdéterminerl’airedelafiguredegaucheci-dessousenladécomposantd’aborden2trapèzeset1triangle.

3

5

2

6

3

3

5

2

5

3

Chaquetrapèzeaunehauteurde3unités(6÷2)etuneairede12unitéscarrées

[ 1 – 2 (3+5)×3].Letriangleauneairede5unitéscarrées[ 1 – 2 (2×5)] .Parconséquent,lafigurecomposéeauneairede29unitéscarrées(12+12+5).

Ilestimportantquelesdimensionsdontonabesoinpourdéterminerl’airedesfiguresplanessimplessoientfourniesouquel’ondisposedesuffisammentdedonnéespourlesdéduire.Parexemple,pourdéterminerl’airedelafigurecomposéeci-dessus,onapudéduirequechaquetrapèzeavaitunehauteurde3unitésens’appuyantsurlesinformationsdonnées.

Onpourraitdéterminerl’airedelafigurecomposéeci-dessousenconnaissantseulementcertainesdesesmesures.

b

h1

h2

Onpeutd’aborddécomposerlafigureen1triangleet2parallélogrammescongruents.Sil’onconnaîtlabasebdel’undesparallélogrammesainsiqueleshauteursh1eth2indiquées,onpeutdéterminerl’airedelafigureplanedanslamesureoùl’onreconnaîtquelabasedutriangleestégaleaudoublede labaseb.

A = bh2 + bh2 + 1 – 2 (2b × h1)ou

A=2bh2 + bh1



Ilestparfoisplusfacilededéterminerl’aired’unefigurecomposéeenfaisantladifférenceentrelesairesdefiguresplanessimples.Parexemple,pourdéterminerl’airedelafigurebleueci-dessous,ilsuffitdefaireladifférenceentrel’airedu

rectangleetlesairesdes2triangles.Ainsi,A = bh–2×1 – 2 cd.

b

h

d

c

1. Décrisunefaçondedéterminerl’airedelasurfacecoloréeàpartirdel’airedefiguresplanessimples.

a)

5

5

8

10

b)

2 m

9 m

4 m7 m

c)

3 m

3 m

d)

4

43

6



e)

8 cm

4 cm

2. Déterminel’airedechacunedessurfacescoloréesprésentéesàlaquestion1.

a)

b)

c)

d)

e)

3. a) Dequellefaçonpeux-tudécomposerl’étoilesuivanteenfiguresplanessimplesafindefaciliterlecalculdesonaire?

5 cm

b) Surlignelessegmentsdedroitedonttudoisconnaîtrelamesurepourdéterminerl’airedesdifférentesfiguresplanessimples.Utilisetarèglepourobtenircesmesures.

c) Déterminel’airedel’étoile.



4. a) Démontrequetouttrapèzepeutêtredécomposéen3triangles.

b) Quellesdimensionsdois-tuconnaîtrepourdéterminerl’airedechacundes 3triangles?Expliquetaréponse.

5. a) Situconnaisseulementlamesuredechacundescôtésd’untrapèzerectangle,peux-tudéterminersonairesansavoiràeffectuerd’autresmesures? Expliquetaréponse.

b) Situconnaisseulementlamesuredechacundescôtésd’untrapèzenonrectangle,peux-tudéterminersonairesansavoiràeffectuerd’autresmesures? Expliquetaréponse.

6. a) Commentpeux-tudécomposerl’hexagoneréguliersuivantenfiguresplanessimplesafindedéterminersonaire?Surlignelepluspetitnombrepossibledesegmentsdedroitequetuauraisbesoindemesureravecunerèglepourpouvoirensuitedéterminerl’airedel’hexagone.Expliquetaréponse.



b) Reprendslaquestiona)enutilisantcettefoisl’octogoneréguliersuivant.

7. Décrisdeuxfaçonsdifférentesdedéterminerl’airedelafigurecoloréesuivante.Danschaquecas,indiquelesmesuresquetudoisconnaîtrepourêtreàmêmededéterminerl’aire.Expliquetaréponse.

8. Décomposechaquefigureendeuxfiguresplanesayantlamêmeaire.Démontredanschaquecasquelesdeuxfiguresplanesontlamêmeaire.

a)

14

20

b)

15

10

5


Circonférence et aire de cercles

Question ouverte

Construisaumoins4cerclesdetaillesdifférentes.

• Mesurelacirconférencedechaquecercle.Comparecettemesureaudiamètreducercle.

• Estimel’airedechaquecercleàl’aidedepapierquadrillé.Comparecetteaireàl’aired’uncarrédontlescôtéscorrespondentaurayonducercle.

• Décristesconstatationsparrapportauxdeuxcomparaisonsci-dessus,puisillustre lavraisemblancedecesconstatationsàl’aidededessins.Expliquelelienentre tesdessinsettesconstatations.


Circonférence et aire de cercles (Suite)

Fiche de réflexion

Ilestplusdifficiledemesurerlecontourdecerclesquedemesurerlecontourdepolygones,cariln’estpaspossibled’utiliserunerègle.Mêmel’utilisationd’ungalonàmesurernepermetpasd’obtenirunemesureprécise.C’estlaraisonpourlaquellelesformulespermettantdedéterminerlacirconférenceetl’aired’uncerclesontutiles.

CirconférenceLacirconférenced’uncerclecorrespondàlamesuredesoncontour,c’est-à-direàsonpérimètre.Uneficelleaétéutiliséepourmesurerlacirconférencedechacundescerclesci-dessous.Onpeutconstaterquelerapportentrelacirconférenceetlediamètre(lalargeurducercle)estlemêmepourchaquecercle.

3 cm 5 cm

1,5 cm

Estimationdela Estimationdela Estimationdelacirconférence:9,4cm circonférence:15,7cm circonférence:4,7cm

Rapport:9,4

–– 3 =3,133 Rapport:15,7

–– 5 =3,14 Rapport:4,7

–– 1,5 =3,133

Lerapportexactestexpriméparunnombreirrationnelappeléπ(seprononcepi)dontlavaleurapproximativeest3,1415926...

Puisqueπcorrespondauquotientdelacirconférence(C)etdudiamètre(d)d’uncercle,c’est-à-direqueπ =

C – d ,onpeutconclurequeC = πd.

Lafigureci-dessousreprésentantuncercleinscritàl’intérieurd’uncarréillustrelavraisemblancedecerapportentrelacirconférenceetlediamètred’uncercle.Onvoitquelepérimètreducarrédontlescôtéscorrespondentaudiamètreducercleestégalà4foislediamètre.Deplus,puisquelecontourducerclene«s’étend»pastoutàfaitjusquedanslescoinsducarré,onvoitquelacirconférenceducercleestinférieureaupérimètreducarréetdonc,inférieureà4foislediamètreducercle.Ilestdoncvraisemblablequelacirconférenced’uncerclesoitégaleàunpeuplusde3foislediamètreducercle.



Le rayon (r)d’uncerclecorrespondàunsegmentdedroitepartantducentreducercleetseterminantàunpointquelconquesursacirconférence.Lerayonesttoujourségalàlamoitiédudiamètre.

rayon

PuisqueC = πd, alorsC = π×2r ou C=2πr

Aire

Lefaitdeconnaîtrelerayonoulediamètred’uncerclenouspermetdedéterminersonaire.

Pourdéterminerl’aired’uncerclequelconque,ilestutiledel’inscriredansunpolygone.Parexemple,onpourraitinscrirelecercledansunoctogoneetlediviserensuiteen8secteurségauxcommesuit.

Onpeutdécouperles8secteursetlesréorganiserdefaçonàcréerunefigurequicorrespondpresqueàunparallélogramme.Sil’onavaitinscritlecercledansunpolygoneayantunplusgrandnombredecôtés,lescourbesauniveaudesbasesdelafigureseraientmoinsprononcéesetressembleraientpresqueàdeslignesdroites.

Lahauteurdu«parallélogramme» correspondaurayonducercle.

Chaquebasedu«parallélogramme»mesurelamoitiédelacirconférenceducercleétantdonnéquelesdeuxbasesconstituentlacirconférencecomplète.

Or,puisqueC=2πr,alors1 – 2 C = πr.Donc,labaseestégaleàπr.

h = r



L’airedu«parallélogramme»,etparconséquentl’aireducercle,estégaleauproduitdelabaseetdelahauteur,soitA = b × h = πr × r ou A = πr2.

Lafigureci-dessouspeutnousaideràcomprendrepourquoiilestvraisemblablequel’aired’uncerclesoitégaleàunpeuplusde3foisl’aired’uncarrédontlescôtéscorrespondentaurayonducercle.Onvoiteneffetquel’aireducercleestquelquepeuinférieureàl’airedes4petitscarrésayantpourcôtélerayonducercleétantdonnéquelecerclenerecouvrepaslespetitessurfacesblanches.

PuisqueA = πr2,alorsr2 = A

– π ou r = √ __

A

– π .

Ainsi,sil’onconnaîtl’aired’uncercle,onpeututiliserlaformuler = √ __

A

– π pourdéterminerlamesuredesonrayon.

1. Déterminelacirconférencedechaquecercle.

a)

4 cm

b)

10 cm

2. Déterminelepérimètredechaquefigure.

a)

10 cm

b)

20 cm

10 cm

10 cm

20 cm



c)

50 m

3. Uneficellenoireestutiliséepourdélimiterledemi-cercleduschémasuivantetuneficelleverteestutiliséepourdélimiterlecercle.Quelleestlarelationentreleslongueursdecesdeuxficelles?Commentlesais-tu?

20 cm

4. Déterminelamesuredurayond’uncercleayantunecirconférencede20cm.

5. Silediamètred’uncerclecorrespondaudoubledudiamètred’unautrecercle,quelleestlarelationentrelescirconférences?Expliquetaréponse.

6. Déterminel’airedechacunedesfiguresprésentéesàlaquestion2.

a)

b)

c)



7. Déterminel’airedelasurfaceombréedechacunedesfiguressuivantes.Expliquetaréponse.

a)

3 m

b)

10 m

c)

6 cm

4 cm

6 cm

d)

10 m 2 m

8. L’aireducerclenoiraucentredelaciblecorrespondà1 – 5 del’airetotaledelacible.Déterminelamesuredurayonducerclenoir.

20 cm

9. Déterminelamesuredurayond’uncercleayantuneairede10cm².



10.Déterminel’airedelasurfaceombréedelafiguresuivante.

18 cm

11.Uncarréalamêmeairequ’uncercleayantunrayonde10cm.Quelleestlamesuredechacundescôtésducarré?

?10 cm

12.Sil’aireducercleAmesure10cm2deplusquel’aireducercleB,quelleestlarelationentrelesrayons?Justifietaréponse.

13.Expliquepourquoiilsuffitdeconnaîtresoitlerayon,soitlediamètre,soitlacirconférence,soitl’aired’uncerclepourêtreenmesuredéterminerchacune destroisautresmesures?


Fiche de rappel de formules

Aire d’un parallélogramme Aire d’un triangle

A = bh A = 1 – 2 bh

A

b

h

b

h A

Aire d’un trapèze Circonférence d’un cercle

A = 1 – 2 (b1 + b2)h C=2πr

b2

b1

hA

r

C

Aire d’un cercle

A = πr2

r

A


Quatre cercles


Rectangle et parallélogramme


Cercle subdivisé en secteurs

Documents

RÉDUCTOI N DES ÉCARTS DE RENDEMENTedugains.ca/resourcesMath/CE/LessonsSupports/Gap... · Aire de parallélogrammes, de triangles et de trapèzes (Suite) 8. Détermine l’aire de