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311 R~,,CEPTEURS C~sar MACCHI Professeur * ADAPTATIFS POUR TRANSMISSION A GRANDE VITESSE par Jean-Pierre JOUANNAUD Maitre assistant * DE DONNI~ES Odile MACCHI Docteur ~s sciences ** RI~SUM~. - - Les auteurs prdsentent une sgnth~se des principaux rdsultats concernant les rdcepteurs adaptatifs de transmission de donndes d grande vitesse, lls d~crivent les rdcepteurs optimaux en distinguant le cas d'une ddcision par symbole et le cas d'une ddcision par bloc. Ils analysent les rdcepteurs rdalisables en les classant en deux grundes catdgories, suivant qu'ils sont lindaires ou non lindaires. PLAN. - - 9 I : Introduction. 9 II : Interfdrenees entre symboles II.1. ModOles de communication; II.2. Le probl~me de l'dgalisalion 9 III : R(,.cepteurs optimaux III.1. Ddcision par bloc; III.2. Ddcision par symbole 9 IV : Egaliseurs lin~aires IV.1. Egaliseurs lindaires optimaux ; IV.2. Egaliseurs lindaires automatiques ; IV.3. Egaliseurs complexes; IV.4. Conclusion. 9 V Rdcepteurs non lindaires u Ega- liseurs rdcursifs avec ddcision dans la boucle; V.2. Estimation d'une suite de symboles selon le maximum de vraisemblance (algorithme de Viterbi). 9 Conclusion. Annexes. 9 Bibliographie (71 r6f.). I. INTRODUCTION Les r~eents progr~s de la t61dinformatique ont entrains la ndcessit6 de d6velopper des syst~mes de transmission de donndes pouvant acheminer un hombre d'dldments binaires par seconde de plus en plus grand. Pour des raisons essentiellement 6cono- miques, les syst~mes de transmission de donn6es utilisent gdndralement le r6seau de communications 6tabli pour assurer les liaisons t616phoniques, c'est-h- dire pour transmettre la parole. Aux ddbits de 1 200 bit par seconde ont succ6d6 des ddbits de 2 400 puis 4 800 bit par seconde. D~s 1965, des trans- missions de donn6es h 9 600 bit par seconde 6taient devenues souhaitables. Darts cette course vers les grandes vitesses de trans- mission, un probl~me nouveau s'est pos6. En effet, l'dgalisation classique des lignes t616phoniques, qui uniformise approximativement le module et lindarise grossi~rement la phase du gain d'une ligne, est bien adaptde h une transmission correcte de la parole, mais s'est rdv616e insuffisante pour transmettre des donn6es h grande vitesse, par exemple h 9 600 bit par seconde. Ainsi est apparue la n6cessit6 de conce- voir des 6galiseurs d'un type nouveau. C'est ce pro- blame que nous abordons [1]. Les solutions que nous allons d6crire ne sont pas spdcifiques des lignes tdl6- phoniques. Elles s'appliquent aussi aux liaisons par cfibles, ainsi qu'aux liaisons ionosphdriques [2] ; elles s'appliqueront sans nul doute dans le futur, aux trans- missions par fibres optiques. L'objet de cet article a donc une port6e tr~s gdn6rale en tdldcommunications. Notre objectif a 6t6 de r6aliser une synth~se des principaux travaux publi6s h ce jour, concernant les r6cepteurs adaptatifs de transmission de donn6es h grande vitesse. Darts le paragraphe II, on rappelle que les syst~mes de transmission utilisds se ram~nent l'6mission, h intervalles rdguliers, d'impulsions modul6es en amplitude par les symboles successifs (les donn6es). La dur6e d'une impulsion 6mise est alors d'autant plus courte que le ddbit d'information est plus grand, car, pour faciliter la r6ception, il est souhaitable que les supports des impulsions succes- sives 6mises soient disjoints. La voie de transmission, qui se comporte comme un filtre lindaire pour les impulsions 6mises, a pour effet d'~taler dans le temps ces impulsions. Ainsi, pour de grands d6bits, m~me si les impulsions successives 6raises sont disjointes, cet 6talement entraine un chevauchement des impul- sions voisines h l'entr6e du r6cepteur, traditionnelle- ment d6sign6 par le terme d'interf6rences entre symboles. Ces interf6rences ne sont pas connues du rdcepteur, car les caract6ristiques de la voie de trans- mission lui sont inconnues et de plus varient lente- ment au cours du temps. De ce fair, pour de grands tidbits, le r6cepteur doit s'adapter automatiquement et en permanence aux caract6ristiques de la voie de transmission. La recherche de r6cepteurs optimaux au sens de certains crit~res est abord6e clans le para- graphe III. Les principaux crit~res utilisds sont celui de l'erreur quadratique moyenne minimale et celui du maximum de vraisemblance a posteriori. Le paragraphe IV est consacr6 aux r6cepteurs lin6aires rdalisables et h leur r~alisation adaptative. Nous avons choisi de ddcrire deux types de rdcepteurs non lin6aires rdalisables dans le paragraphe V : un r6eepteur consti- tud par un filtre num6rique r6cursif avec le dispositif * Institut de Programmatiou, Uuiversit6 Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75230 Paris Cedex 05. ** Charg~c de rccherchc au CNRS, Laboratoire des Signaux et Syst~mes, Ecole Supdricure d'Elcctricit~, plateau du Moulon, 91190 Gif-sur-Yvette. 1/20 A. TI~LEC., 30, n o* 9-10, 1975

Récepteurs adaptatifs pour transmission de données a grande vitesse

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R~,,CEPTEURS

C~sar MACCHI Professeur *

ADAPTATIFS POUR TRANSMISSION A GRANDE VITESSE

par

Jean-Pie r re J O U A N N A U D Maitre assistant *

DE DONNI~ES

Odile MACCHI Docteur ~s sciences **

RI~SUM~. - - Les auteurs prdsentent une sgnth~se des principaux rdsultats concernant les rdcepteurs adaptatifs de transmission de donndes d grande vitesse, lls d~crivent les rdcepteurs optimaux en distinguant le cas d'une ddcision par symbole et le cas d'une ddcision par bloc. Ils analysent les rdcepteurs rdalisables en les classant

en deux grundes catdgories, suivant qu'ils sont lindaires ou non lindaires.

PLAN. - - �9 I : Introduction. �9 I I : Interfdrenees entre s y m b o l e s II.1. ModOles de communication; II.2. Le probl~me de l'dgalisalion �9 I I I : R(,.cepteurs optimaux III .1. Ddcision par bloc; III .2. Ddcision par symbole �9 IV : Egaliseurs lin~aires IV.1. Egaliseurs lindaires optimaux ; IV.2. Egaliseurs lindaires automatiques ; IV.3. Egaliseurs complexes; IV.4. Conclusion. �9 V Rdcepteurs non lindaires u Ega- liseurs rdcursifs avec ddcision dans la boucle; V.2. Estimation d'une suite de symboles selon le maximum de

vraisemblance (algorithme de Viterbi). �9 Conclusion. Annexes. �9 Bibliographie (71 r6f.).

I . I N T R O D U C T I O N

Les r~eents progr~s de la t61dinformatique ont

ent ra ins la ndcessit6 de d6velopper des syst~mes de

transmission de donndes pouvan t acheminer un

hombre d'dldments binaires par seconde de plus en

plus grand. Pour des raisons essentiel lement 6cono-

miques, les syst~mes de transmission de donn6es

ut i l isent gdndralement le r6seau de communica t ions

6tabli pour assurer les liaisons t616phoniques, c 'est-h-

dire pour t r ansmet t re la parole. Aux ddbits de

1 200 bit par seconde ont succ6d6 des ddbits de 2 400

puis 4 800 bit par seconde. D~s 1965, des trans-

missions de donn6es h 9 600 bit par seconde 6taient

devenues souhaitables.

Darts cet te course vers les grandes vitesses de trans-

mission, un probl~me nouveau s 'est pos6. En effet,

l 'dgalisation classique des lignes t616phoniques, qui

uniformise app rox ima t ivemen t le module et lindarise

grossi~rement la phase du gain d 'une ligne, est bien

adaptde h une transmission correcte de la parole,

mais s 'est rdv616e insuffisante pour t r ansmet t re des

donn6es h grande vitesse, par exemple h 9 600 bit

par seconde. Ainsi est apparue la n6cessit6 de conce-

voir des 6galiseurs d 'un type nouveau. C'est ce pro-

blame que nous abordons [1]. Les solutions que nous

allons d6crire ne sont pas spdcifiques des lignes tdl6-

phoniques. Elles s ' appl iquent aussi aux liaisons par

cfibles, ainsi qu ' aux liaisons ionosphdriques [2] ; elles

s ' appl iqueront sans nul doute dans le futur, aux trans-

missions par fibres optiques. L 'ob je t de cet article a

donc une port6e tr~s gdn6rale en tdldcommunications.

Notre object if a 6t6 de r6aliser une synth~se des

pr incipaux t r a v a u x publi6s h ce jour, concernant

les r6cepteurs adaptat i fs de transmission de donn6es

h grande vitesse. Darts le paragraphe II, on rappelle

que les syst~mes de transmission utilisds se ram~nent

l '6mission, h intervalles rdguliers, d ' impulsions

modul6es en ampl i tude par les symboles successifs

(les donn6es). La dur6e d 'une impulsion 6mise est

alors d ' au t an t plus courte que le ddbit d ' in format ion

est plus grand, car, pour faciliter la r6ception, il est

souhaitable que les supports des impulsions succes-

sives 6mises soient disjoints. La voie de transmission,

qui se comporte comme un filtre lindaire pour les

impulsions 6mises, a pour effet d '~taler dans le temps

ces impulsions. Ainsi, pour de grands d6bits, m~me

si les impulsions successives 6raises sont disjointes,

cet 6talement entraine un chevauchement des impul-

sions voisines h l 'entr6e du r6cepteur, t radi t ionnel le-

ment d6sign6 par le terme d' interf6rences entre

symboles. Ces interf6rences ne sont pas connues du

rdcepteur, car les caract6rist iques de la voie de trans-

mission lui sont inconnues et de plus var ien t lente-

ment au cours du temps. De ce fair, pour de grands

tidbits, le r6cepteur doit s ' adapter au tom a t iquemen t

et en permanence aux caract6rist iques de la voie de

transmission. La recherche de r6cepteurs op t imaux

au sens de certains crit~res est abord6e clans le para-

graphe III . Les pr incipaux crit~res utilisds sont celui

de l 'er reur quadra t ique moyenne minimale et celui

du m a x i m u m de vraisemblance a posteriori. Le

paragraphe IV est consacr6 aux r6cepteurs lin6aires

rdalisables et h leur r~alisation adapta t ive . Nous avons

choisi de ddcrire deux types de rdcepteurs non lin6aires

rdalisables dans le paragraphe V : un r6eepteur consti-

tud par un filtre num6rique r6cursif avec le disposit if

* Institut de Programmatiou, Uuiversit6 Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75230 Paris Cedex 05. ** Charg~c de rccherchc au CNRS, Laboratoire des Signaux et Syst~mes, Ecole Supdricure d'Elcctricit~, plateau du

Moulon, 91190 Gif-sur-Yvette.

1/20 A. TI~LEC., 30, n o* 9-10, 1975

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312 c . M A C C H I . - - R I ~ C E P T E U R S A D A P T A T I F S P O U R T R A N S M I S S I O N D E D O N N I ~ E S

de d6cision ins6r6 dans la boucle de r6action, et un rdcepteur u t i l i san t l ' a lgor i thme de Viterbi .

Pr6cisons iei un po in t i m p o r t a n t de no t re t e rmino- logic. Pour cela, il nous faut r emonte r aux premiers r6cepteurs , con~us, vers 1965, pour compenser les interf6rences entre symboles . Ces r6cepteurs a d a p t a - t ifs ava ien t pour ob je t de construire a u t o m a t i q u e m e n t le filtre inverse du filtre du canal de t ransmiss ion, sans t en i r compte du brui t . Comme leurs pr6d6cesseurs, con~us pour 6galiser manue l l emen t les lignes t616- phoniques , ces r6cepteurs adap ta t i f s ont t ou t na tu - re l lement 6t6 appel6s des 6galiseurs. De nouveaux r6cepteurs ont ensui te 6t6 con~us pour lu t t e r simul- t an6men t contre les interf6rences entre symboles et contre le b ru i t du canal de t ransmiss ion. Toute la l i t t6 ra tu re consacr6e h ces r6cepteurs les d6signe sous le t e rme d 'dgal iseurs , bien que leur obje t ne soit pas une v6r i table 6galisat ion du gain du canal de t rans- mission. Darts la suite, nous nous conformons h cet usage. Dans cet art icle, le symbole t i lda (ex. : A) d6signe les matr ices .

I I . I N T E R F I ~ R E N C E S E N T R E S Y M B O L E S

I I . 1 . M o d S l e s d e c o m m u n i c a t i o n .

La t ransmiss ion de donndes h grande vi tesse est g6n6ralement r6alis6e h l ' a ide d 'une modu la t ion l in6aire et d 'une d6modula t ion coh6rente. Pour des raisons 6videntes de la rgeur de spectre, on choisit bien souvent la modu la t ion d ' a m p l i t u d e h bande la t6rale unique (B L V), OU la modu la t ion h bande la t6rale r6siduelle (s L R), OU encore la modu la t ion d ' a m p l i t u d e de deux por teuses en quad ra tu re (M A Q) qui n ' es t au t re qu 'une modu la t ion conjointe de l ' a m p l i t u d e et de la phase d 'une porteuse.

I I . l . l . Modulation lindaire d'une por teuse .

Considdrons t ou t d ' a b o r d le cas d 'un syst6me de t ransmiss ion de donn6es u t i l i san t une seule onde por teuse modul6e l in6airement . Un tel syst6me de communica t ion est ddcri t pa r la figure ( l -a) . Cette

! i Oem~klla~sur coh~r~I ',

L , ,= L Fro. 1. - - a) Syst6me de transmission de donn6es utilisant une modulation lin6aire et une d6modulation coh6rente.

b) Syst~me en bande de base ~quivalent.

figure repr6sente les~filtres d 'ent r6e et de sort ie de l ' 6me t t eu r et du d6modula teur , don t les gains respec- t ifs s o r t not6s LE(v), E(v), R(v), Ln& ). La voie de t ransmiss ion est sch6matis6e pa r un filtre l in6aire (de gain C(v)), et un b ru i t addi t i f (not6 n(t)). Le message de donn6es h t r a n s m e t t r e est une suite de nombres r6els a j , appel6s symboles

(1) .... a j _ l , a j . . . . j ~ Z .

Le symbole rest i tu6 h la sort ie de l 'o rgane de d6cision du r6cepteur est not6 ~'j .

Chacun des symboles a 1, pour t ou t j entier , peu t p rendre un nombre discret q de valeurs r6elles (01 , 02 . . . . . 0q), appel6es n iveaux. Ord ina i rement l ' en t ie r q est une puissance de 2, (2) q = 2 k (k entier) ,

et ces n iveaux sont en progression ar i thm6t ique , et sym6tr iques pa r r a p p o r t h l 'origine. Darts la suite

nous supposons que les sgmboles a I sort centrals, non

corrdlds,

(3) E(al ) ~ 0 , E(ajak) = aZSik.

Ces symboles s o r t t r ansmis successivement , h in ter - valles r6guliers A. Le d6bi t d ' in fo rmat ion , not6 /t(, est alors

(4) ~ dej k[A bi t p a r seconde.

La t ransmiss ion se fai t en engendran t , h l ' i n s t an t jA , un signal p ropor t ionne l h a ] ,

(5) a t g(t - - j A ) .

Dans l ' express ion (5), g(t) est une impuls ion basse fr6quence par r a p p o r t h la fr6quence fc de l 'onde por teuse , de dur6e si possible pe t i t e devan t A ; nous notons G(v) sa t ransform6e de Fourier . Chacune des impulsions g ( . ) est ainsi modul6e en ampl i tude pa r le symbole a j . Le message de donn6es h 6mettre , not6 d(t), a pa r suite la forme

+0o

(6) d(t) de~ • a j g(t - - j A ) . / '= --oo

On peu t mon t r e r [1, p. 180], que lorsque le syst6me de t ransmiss ion uti l ise une modu la t i on lin6aire, et une ddmodula t ion coh6rente (Fig. l -a ) , le message de donn6cs x(t) h la sort ie du ddmodu la t eu r a pour expression

+oo

(7) x(t) de~ Z a l s(t - - jA) + b ( t ) , j=--oo

- - oh s(t) est la r6ponse percussionnel le du filtre l in6aire de gain

S(v) def (1/4) LE(V) LR(V)G(v ) [Q(v- - r e ) + Q(v +re) ] ,

(8) avec

Q(v) def E(v) C(v) R(v) ;

- - et off b(t) est le b ru i t t ransform6 du b ru i t n(t) pa r le d6modula teur . On suppose que n(t), et pa r s u i t e

b(/), est s ta t ionnai re , centr6.

D 'apr6s ce rdsul ta t , un tel syst~me de transmission

de donndes peut ~tre reprdsentd par le module de la

A. T~LEC., 30, n ~ 9-10, 1975 2 / 2 0

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C. MACCHI. - - RI~CEPTEURS ADAPTATIFS POUR TRANSMISSIONS DE DONN]~ES 313

figure (I-b) . Ce sgst~me est dquivalent aux sgst~mes ddcrits par la figure ( l -a) . On appel le gdndralement le systbme de la figure ( l -b) , sgst~me en bande de base dquivalent.

11.1.2. Modulation lindaire de deux por teuses en quadrature .

Une analyse analogue ~ la pr6c6dente peu t ~tre f a r e pour un systbme de t ransmiss ion de donndes u t i l i san t deux porteuses en quadra tu re modul6es eu ampl i tude . La figure 2-a d6erit un tel systbme, dans

~ - ~ - ~ ~ .... r , , ~ ~ ' 1 Y § .

l ~mT, , , ,

. . . . . ~ ..... ; ~ , , [ ) .... [ i *

I~,,, [ i ]

FI6 2. - - a) Syst~me de transmission de donn6es utilisant une modulation &amplitude de deux porteuses en quadrature.

b) Syst~me en bande de base 6quivalent.

lequel, pa r simplicit6, on a intdgr6 les filtres de l '6met- teur et du rdcepteur dans le filtre de la voie de commu- nicat ion. Soit Sc(/) la rdponse percussionnelle de ee filtre ; elle peu t s 'dcrire sous la forme

(9) se(t) d:j 2 F{I ) cos 2 7zfd - - 2 F2(t ) sin 2 7:fct,

en fonction de ses composantes en quadra tu re . Les messages d{t) et d2(t ) sont des messages basse

fr6quence pa r r appo r t h la fr6quence f~ de l 'onde porteuse, leur expression est analogue h (6)

d~(t) def ~ 0~ g(t - - j A ) ,

(lO)

d2(t) ~f E ~. g(t --jA)

en no tan t ~j et ~] des symboles de la suite bj fournie pa r la source, pa r exemple ~ = bey, ~ . = b2j+~. Posons

i s~(l) de f (g . F~) (l) , et (11)

( s2(l ) def (g .)(. F2 ) (l)

en no t an t . le p rodu i t de convolut ion. Le signal R(t) fourni pa r le canal s ' expr ime alors

ainsi

(12) R ( t ) = c o s 2 7 z f c t [ i ~ L c t~s l ( t - - jA) - -~s2( t - - jA )

sin 2 r~fd ~, ( t - - j A ) + j s l ( t - - +

NI(/) cos 2 nfel - - Nz(t) sin 2 rcfcl,

off Nl(t ) et N2(t ) sont les composantes en quadra tu re du brui t h bande 6troi te Nc(t). On en dddui t les expres-

sions des s iguaux x'( l) et x"(t) fournis pa r le ddmodu- la teur

x'(t) = N ~js~(t-- jA) - ~ s ~ ( t - - j A ) + b~(t),

(13)

x"it) = Y~ ~j.s~(t- jA) + ~ j s~( t - - jA)+ b~(t) ,

a v e c

(14) [S~ bl~ def I COS~0 sin (~l I s I N i l " ls~ b ~ l = t - - s i n v cos~ s2 N2

Remarquons que les s ignaux d6modulds x '( t) et x"(t) repr6sentent respec t ivement les par t ies rdelle et imaginaire de x(t) ainsi d6fini

+oo (15) x(t) de~ Z a j s ( t - - j A ) + b( t ) ,

j=--oo en posan t

a j de~0cj§ i ~ j ,

(16) s(t) ae~ s~(t) + i s~(t) ,

b(t) de~ b~(t) § ibm(t) .

Nous avons ainsi dtabli l'dquivalence des sgst~mes de communication ddcrils respectivement par les figures (2a) el (2b). On appel le 6galement sgst~me en bande de base dquivalent le syst~me de la figure (2 b). Remar - quons qu' i l est formel lement 6quivalent h celui de la figure (1 b).

Dans cet te deuxi~me repr6senta t ion, la phase (I) de l 'onde de r6f6rence h la d6modula t ion se t rouve insd- r6e dans la rdponse (complexe) s(t) du canal (cf. (16)). Lorsque l 'on suppose connue cet te rdponse, on r6alise doric en fai t une d6modula t ion coh6rente.

Duns ce qui suit c'esl le sgst~me ddcrit par la figure (1 b) que nous considdrons et analgsons. Nous 6tendons les rdsul ta ts p r inc ipaux au cas complexe du syst~me de communica t ion (2b). A cause de l 'dquivalence avec les syst~mes r6els de t ransmiss ion, les r6sul ta ts obtenus sont d i rec tement appl icables h la p lupa r t des syst~mes pra t iques de t ransmiss ion de donn6es h grande vitesse.

II.2. Le problbme de l'6galisation.

Si le d6bit d ' in fo rmat ion :K 6tai t suff isamment pe t i t pour que

(17) s ( t ) = 0 , pour t < 0 , et t /> A ,

il n ' y aura i t pas d ' interf6rence entre les impuls ions successives. C'est-h-dire qu 'en l ' absence de bru i t b(t), l 'onde observ6e serai t

(18) x ( t ) = a j s ( t - - j A ) , j A ~< t < ( j + 1) A.

On re t rouve donc le symbole aj sans erreur, en dchan- t i l lounant x(t) h l ' i n s t an t v + jA, (0 ~< v ~ A), pourvu que s(v) soit non nul. En r6alitd il existe toujours un peu de bru i t addi t i f , et pour maximal i se r le r a p p o r t signal h b ru i t on 6chanti l lonne h l ' i n s t an t v pour

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lequel s(t) a t t e i n t son m a x i m u m absolu. D'ofl un mode de ddcision simple pour le rdcepteur

(19) ~ = x ( jA + "r)/s(z) .

Cependant darts la p ra t ique , pour des raisons dcono- miques dvidentes, on cherche h rdaliser des ddbits d ' i n fo rmat ion aussi grands que possible. De ce fai t il est couran t que la durde de l ' impuls ion s(t) soit supdrieure h A. A t i t re d 'exemple , la figure 3 reprd-

- " ~ [/ ....

Fro. 3. - - Exemple d'impulsion s(l).

sente une impuls ion s(t) rdelle. On constate que s('r + k A ) diff~re sensiblement de zdro pour plusieurs valeurs de k.

On peu t m o n t r e r que le choix de l ' i n s t an t d 'dehan- t i l lonnage -~ est essentiel - - dans de nombreux eas - - pour les caractdr is t iques du rdcepteur. Ce po in t est diseutd dans [3] et dans l ' a r t ic le qui suit [4]. Dans la suite, en ce qui nous eoneerne, nous posons, pa r simplici td de nota t ion ,

(20) "r = 0,

ce qui ne res t re in t pas la gdndralitd des rdsul tats . I1 est na tu re l de t ransposer le mode de d~cision (19)

dans le cas off les impuls ions s(t - - j A ) se chevauchent . C'est pourquoi , bien souvent dans la p ra t ique , les disposit ifs de rdcept ion sont tels qu' i ls 6chant i l lonnent le signal re~u x(/) aux ins tants j A qui coincident avec les m a x i m u m s absolus des impulsions successives s ( t - - j A ) , j ~ Z .

Remarque 1.

Nous pouvons ddcrire la forme des impulsions s(t) qui annulerait les interfdrences entre impulsions voisines, aux instants d'dchantillonnage (jA, ] ~ Z). D'aprds (fib il faut et il suffit pour cela que

(21) s ( i ~ ) = ~J,o , i e Z ,

(Sj,o est ici le symbole de Kronecker). Cette relation correspond /~ l'expression du crit6re de Nyquist dans le domaine temporel. Recherchons l'expression frdquentielle de ce crit~re. Pour cela, appelons Sa(v) la fonction, nulle en dehors de l ' intervalle [ - - 1/2 A, 1[2 A], dont les coeffi- cients de Fourier sont les s(]A) :

t -po . , �9 - -2~UJA s~(~) = E o s(~,) e , _ ~/~ A ~< ~ .< 1/2 ~,

(22) 2rzivjA t s ( ] ~ ) ~ ~ ' " ~ = a f f _ q 2 • ~ / ~ e uv .

Remarquons, d'aprds la formule de Poisson, que S(v) et Sa(v) sont lids par l'dgalit~ :

(23) sa(v) = 1/~ E s(~ + i / A ) , - - l / 2 A <~ ~ <<. q 2 A . .]=--co

D'apr~s (22), l'dgalit5 (21) est satisfaite si, et seulement si

c'est-h-dire si le gain du canal, repli6 dans la bande de frdquence [ - - 1/2A, 1/2A], est uniforme.

Dans [5], on trouve des exemples int6ressants de fonc- tions qui satisfont (2~) et par suite (2t). Ces exemples montrent qu'il est possible de concevoir des formes d'impulsion s(t) capables d'dliminer toute interfdrence. Si de telles impulsions pouvaient ~tre utilisdes, l 'intdr~t des dgaliseurs disparaltrait. Mais il n'en est rien parce que d'une part les formes choisies pour s(t) doivent ~tre rda- lisables, c'est-h-dire nulles, avant un instant de rdf6rence, et d 'autre part pour construire s(t), le filtre lindaire qui caractdrise la voie de transmission doit dtre connu, ce qui n'est g6ndralement pas le cas.

Remarque 2.

Notion d'ceil. Dans cette remarque, par simplicit6 de notations, nous supposons que la transmission se fait ~t deux niveaux :

(25) a] = 1

/

+ i

- - 1 7

la gdndralisation ~ plusieurs niveaux dtant imm4diate. Consid~roas le signal x(t) (7) h l'entrde du rdcepteur, en l'absence de bruit b(t). Notons ~( t ) ( resp . ~_(t)), pour t ~ [ - - A / 2 , A[2], la valeur minimale de x(t) (resp. maximale), lorsque le symbole + I (resp. - - 1 ) est dmis ~t l ' iustant 0,

I a(t) d e f s ( t ) - - Z I s ( t - - ]A) [ , - -A ]2~< t~< + A / 2 , (26) - - jr

~(t) = - - ~(t).

Dans le cas off ]es interf6rences intersymboles ne sont pas trop importantes, il existe une plage de temps non nulle autour de l ' instant 0, pour laquelle

(27) ~ ( t ) > 0 .

La reprdsentation graphique de ~ ( t ) e t ~_(t) fait apparaitre alors une forme qui ressemble ~ celle d 'un ceil ouvert (Fig. ~). Comme le montre cette figure, le maximum

i

FIG. 4. - - Diagramme de l'ceil dans le cas d'un ceil ouvert.

d 'ouverture de l'ceil ne coincide pas ndcessairement avec le maximum de s(t). Lorsque les interfdrences croissent, l 'ouverture de l'ceil diminue. L'ceil se ferme lorsque ~l(t) ~< 0 pour tout t. Lorsqu'il est ouvert autour de l ' instant zdro, et que le bruit b(t) n6gligeable, la resti- tution des symboles dmis pent se faire correctement en comparant x(]A) ~t la valeur zdro qui constitue le seuil de d6cision. Dans la pratique, l 'ouverture de l'ceil est ais6ment vdrifiable ~t l 'aide d'un oscilloscope. I1 suffit de reprdsenter en ordonn6e le signal regu a l 'entrde du r6cep- teur et de synchroniser la base de temps de l'oscilloseope sur la frdquence I / A d'dmission des symboles.

A. T~LEC., 30, n ~ 9-10, 1975 4/20

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C. M A C C H I . -- R E C E P T E U R S A D A P T A T I F S P O U R T R A N S M I S S I O N D E D O N N ] ~ E S 315

III. B~.CEPTEUBS OPTIMAUX

Suivan t le po in t de vue avec lequel on aborde la t ransmiss ion, les r~cepteurs o p t i m a u x peuven t varier . On peu t en effet considdrer comme message une suite de K symboles cons~cutifs et p rendre une d6cision globale ; on peu t aussi consid6rer un symbole comme un message et d~cider symbole pa r symbole.

[8 h 10] h le r6aliser plus s implement en u t i l i san t un a lgor i thme propos6 pa r Vi terb i [11] en 1967, pour d6coder les codes convolut ionnels selon le m a x i m u m de vra isemblance . L ' in t6r8 t p ra t ique de l ' a lgor i thme de Vi terbi est qu ' i l cons t ru i t le message ~ le plus vra i - semblable de mani6re i t6rat ive. Nous le d6crivons au pa rag raphe (V.2).

III.2. D6cision par symbole.

I I I . 1 . D 6 o i s i o n p a r b loc . ( R ~ c e p t e u r s e lon le m a x i m u m de v r a i s e m b l a n c e . )

Dans ce cas un message m est une suite de K sym-

boles a I

(28) m = ( a l , a 2 . . . . . a K ).

Lorsque les q n iveaux de aj sont 6quidis tants on a, pa r exemple

(29) {01 . . . . . 0q} = {~: 1, • 3 . . . . . • ( q - - 1)}.

Les qK messages possibles (ink, k = 1 . . . . . qK) sont suppos6s 6quiprobables, et le b ru i t b(t) est suppos6 gaussien, centr6, blanc. Lorsque le message m est 6mis, le signal re~u pa r le rdcepteur a ainsi pour expression

K

(30) x ( t ) = E a l s ( t - - j A ) + b ( t ) . j ~ !

K

Appelons sin(t) le signal ~ a I s ( t - - j A ) i n t e rvenan t j - t

dans l ' observa t ion x(t). Comme les messages mj , t o u s l e s s ignaux "Smi(t ) sont dquiprobables . On sai t [6, 7] qu 'a lors le r6cepteur qui minimal ise la p roba- bil i t6 d 'e r reur , sur le message choisi r~, maximal i se aussi la vra isemblance a postcriori de r~, et qu ' i l fonde sa d6cision sur les qK quant i t6s

(31) s = Pr (x ( t ) /m~) /Pr (x ( t ) ) ,

r epr6sen tan t le r appo r t de vra i semblanee de l ' hypo- th6se m = m l , contre l ' hypoth6se off x(t) est const i tu6 de b ru i t seul. La r6gle de d6cision est

(32) !~l[x(t)] >/ ~n[x(t)] t ~> ff~ = m i . ( Vrv~- l,...,q K)

Un r6cepteur, qui met en ceuvre cet te r~gle, peu t ~tre rdalis6 h l ' a ide d 'une ba t t e r i e de qK filtres adap- t6s aux divers s ignaux "Smj(t) [1, p. 95], suivie d 'un compara t eu r qui choisit la plus grande sortie, en t e n a n t compte des 6nergies respect ives des s ignaux ~mj(t); le num6ro de cet te sortie est celui du bloc de symboles ff~ le plus vra isemblable .

Une telle s t ruc ture est cependan t peu r6aliste car elle impl ique la const ruct ion de qK filtres adaptds diffdrents. Sa complexi t6 croit exponent ie l l ement avec la longueur d 'un message. C'est ainsi que le rdcepteur selon le m a x i m u m de vra i semblance a longtemps fit6

considdrd comme un obje t acaddmique sans int6r~t pra t ique . Ce n 'es t qu 'en 1971 et 1972 qu 'on songea

Malgr6 l ' int~r~t d 'une ddcision pa r bloc, et les progr~s accomplis pour en facil i ter la raise en oeuvre, ac tue l lement tous les syst~mes usuels p rennen t leurs d~cisions symbole pa r symbole , c 'es t -h-dire es t iment le symbole a j h l ' i n s t an t jA . La p l u p a r t des auteurs cherchent h opt imal iser le t r a i t e me n t f ( . ) h faire subir h l 'onde revue x(/) (7) en a d o p t a n t la r~gle de d6cision qui suit. Si ~0(t)= f(x(t)), et si les symboles peuven t p rendre les q valeurs Ok, on d6cide quan t h aj en pla~ant q~(jA) pa r r a ppo r t h divers seuils d l , ..., dq_ 1 in term~diaires entre les divers n iveaux 01, ..., 0q. Dans le cas usuel des n iveaux (29) on ehoisit hab i tue l l emen t eomme seuils de ddcision les valeurs m6dianes

(33) {d 1 . . . . . d q _ l } : {0, • 2 . . . . . • q - - 2 } ,

de sorte que la r~gle de d6cision est d ' e s t imer la don- n6e aj pa r le n iveau fly tel que

(34) {al = 2 i + 1} ~ { [ v j ( A ) - ( 2 / + 1)[ < 1}.

En g6nfral , le t r a i t e m e n t f ( . ) de l 'onde revue est res t re int , pa r commodit6 , aux t r a i t emen t s lindaires, le plus souvent invar ian t s dans le t emps (fi l trage homog~ne).

Le rdceptcur lindaire h opt imal iser est ainsi compos6 comme l ' ind ique la figure 5, pa r un filtre lin6aire,

FIG. 5. - - Structure du r~cepteur lin6aire.

suivi d ' un 6chant i l lonneur et d ' un d6tec teur h seuils. Soient r e spec t ivement ~(t), y(t) et ~(t) les r6ponses du filtre l in6aire d 'ent rde aux s ignaux s(t), x(t) et b(t),

N

(35) y ( t ) = • a l a(t - j A ) + ~(t) ; i=--X

on suppose ici que le nombre de symboles t ransmis est 2 N + 1 (N fini ou infini). D'apr~s (34) le d6tec- teur ddcide que a I 6gale ( 2 M + 1) si

(36) I ( y ( j A ) / a ( 0 ) ) - - (2M + 1)[ < 1 ,

j E [ - - N . . . . . 0 . . . . . + X ] .

A l ' int~rieur des structures lindaires l 'opt imal isat ion

peut ~tre poursu iv ie selon divers crit~res. Aaron et Tuf ts [12] ont recherch6 le rdcepteur lin~aire

5/20 A. TELEC., 30, n ~ 9-10, 1975

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316 c . M A C C H I . - - R E C E P T E U R S A D A P T A T I F S P O U R T R A N S M I S S I O N D E D O N N E E S

pour lequel la probabil i t6 d 'erreur Pe est minimale

(37) Re = Pr { [ ( y ( 0 ) ] a ( 0 ) ) - %[ > 1}.

Tufts [13] a 6galement utilis6 le crit6re du m i n i m u m

de l 'er reur quadra t ique moyenne. Cependant le filtre lin6aire ob tenu est var iable dans le temps lorsque le hombre de symboles 6mis est tint, et il est n~cessaire de le supposer infini pour que le filtre recherch6 soit

inva r i an t dans le temps. Dans ce cas, le crit~re du m i n i m u m de l 'er reur quadra t ique moyenne consiste

minimal iser la quant i t6

(38) r = E [ ( y ( 0 ) / a ( 0 ) ) - %)~],

routes les autres erreurs aux ins tants jA se t r ouvan t minimalisdes du m i m e coup.

George [14] a r~alis6 la m~me recherche d 'opt ima- lisation en r e t enan t le crit~re du rapport signal h brui t (S/B) maximal , pour un nombre infini de

symboles

(39) S / B - - [a0a(0)]~/E[~2(t)] + E{[ Z aJa(--JA)]~} �9 jr

Remarquons que tous ces crit6res supposent une

connaissance de la s tat is t ique des 3 i .

Les conclusions de [12] [13] et [14] sont remar- quables parce qu'elles se t raduiseu t par la mSme forme du rdcepteur lindaire optimal, illustr6e par la figure 6 :

~,~ [ ~ , , . . o %~176 ~ ; : ~-~',~ - .

l . . . . . . J k i : :• . . . . . ~ I V"~[!_. J

FIO. 6 . - Structure du r~cepteur lin~aire optimal.

un filtre adaptd h s(t) suivi d'un fillre numdrique non rdeursif. Les valeurs de ses coefficients hi sont fone- t ion du critbre choisi. Ericson [15] et Forney [10] ont g~n6ralis6 ee r6sul tat en 6tablissant que celte structure satisfail tout cril~re d'optimalit& La d6mons- t ra t ion de Forney, s6duisante par sa simplicit6, est fond6e sur la proposit ion suivante , 6tablie en annexe A.

111.2.1. Propos i t i on 1. - - Supposons le signal re~u x(t) (30) tel que

- - le nombre (2 N -F 1) de symboles est tint,

- - la dur6e -~, de s(l) est finie,

- - s(t) est de carrd int6grable,

- - b(t) est gaussien, et son spectre est plat darts la bande de fr~quence (utile) de s(t). Dans ces conditions,

les 6chantillons de sortie du filtre adapt6 h s(t), aux ins tants ~, § kA, cons t i tuent un r~sum6 exhaustif

de l 'onde revue x(t), pour l ' es t imat ion du message

( a _ ~ . . . . . a0 . . . . . a ~ ) .

pour l '6chant i l lonnage de pas A. Remarquons que la figure 6 ne ment ionne pas la n6cessit6 d ' un tel choix, car en fait les crit~res (37) h (39) font implic i tement choix de cet ins tant . Une solution globale au probl~me du choix de ~, et des coefficients du r6cepteur, est donn6e en [4].

111.2.3. En conclusion, la const ruct ion du rdcepteur

lin6aire optimal ddcrit par la figure 6 se heurte essentiel- lement h deux difficult6s pratiques. D 'une par t le filtre lin6aire qui caractdrise la vote de t ransmission n 'es t pas connu, par cons6quent nous ne pouvons pas d6terminer le filtre adapt6 h s(t), ni t rouver l ' i n s t an t d 'dchanti l- lonnage 7 . . Pour cette raison et pour des imp@atifs ~eonomiques, le filtre adapt6 h s(t) est g~n~ralement remplac6 par un filtre F dont le module du gain est sensiblement rectangulaire, limit6 h la bande pas- sante estim6e de la vote de t ransmission, et de phase aussi lin6aire que possible dans cette bande, pour que

s(t) ne soit pas ddform~e. Leg caractdristiques de ce filtre F sont donc exac tement celles du filtre de sortie du d~modulateur. C'est pourquoi, dans ce qui suit, nous supposerons que ee filtre est inclus dans le ddmodulateur. D 'au t re part , le nombre de symboles

h t r ansmet t re est g6n6ralement si grand que N pour- ra i t ~tre consid~r~ comme infini.

Nous sommes contraints h abandonne r le rdcepteur opt imal de la fgure 6, puisqu ' i l est irrdalisable, au profit d ' un rdcepteur r6alisable reprdsent~ par la

figure 7. Ce r~cepteur est const i tu6 d ' un dchantil-

I ~GaL,se~R I

~ : ' * IL . . . . J L ~ I i L . . . . . . . . . . . J

Fro. 7. - - Structure d'un rdcepteur lin~aire r6alisable.

lonneur et d ' un dgaliseur dont le filtre num~rique est caract@is6 par un pet i t nombre de coefficients (20 par exemple) pour ~tre aisdment rdalisable. Ce filtre num6rique peut ~tre r~cursif ou non r~cursif. Dans le

paragraphe IV nous analysons un 6galiseur conga l 'aide d ' un filtre num~rique non rdcursif. L 'u t i l i sa t ion d 'un filtre rdcursif n ' appor te d 'am~liorat ion notable que si le d~tecteur h seuils est inclus dans la boucle du filtre. Dans ces condit ions le filtre cesse d 'etre lin~aire ; nous l '6 tudions dans le paragraphe V.

IV. ~ G A L I S E U B S L I N ~ . A I R E S

111.2.2. Alors, puisque le flltre adapt6 est lin6aire, tou t rdcepteur l infaire opt imal pen t fitre considfr6 comme une combinaison lindaire des dchantillons de sortie du filtre adapt6, aux ins tants 7 , + kA. Ainsi appara i t la n6cessit6 de bien choisir l ' i n s t an t T, de r6f@ence

Dans ce paragraphe nous ~tudions le r6cepteur lin6aire constitu6, comme l ' indique la figure 8, par un filtre num~rique non rdcursif suivi d ' un d~tecteur h sculls. Apr~s avoir in t rodui t divers crit6res concer-

A . T ~ L E C . , 3 0 , n ~ 9 - 1 0 , 1 9 7 5 6/20

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C. MACCHI. -- R E C E P T E U R S ADAPTATIFS POUR TRANSMISSION DE DONNI~ES 317

"4

: 1

I ....... ]

FIG. 8 . - Structure d'un dgaliseur lindaire non rdcursif.

nan t l ' op t imal i sa t ion de cet dgaliseur, nous d6crivons les pr incipales solutions a d a p t a t i v e s p e r m e t t a n t d ' a t t e i n d r e a u t o m a t i q u e m e n t l ' o p t i m u m recherch6.

Nota t ion . - - Dans la suite, lorsqu'il n 'y aura pas d'ambi- guit6, on pourra noter /n tout dchantillon /(hA) d'une fonction f(t).

(~0) In det f(nA).

I V . / . E g a l i s e u r s l in6aires o p t i m a u x .

Les dchanti l lons xk h l ' ent rde de l 'dgal iseur (Fig. 8) ont pour expression

(41) x k = ~, a j s ~ _ j + bk, jr=~cc

Soit xk le vec teur des 6chanti l lous presents dans l '6gal iseur

(42) ~ T = (Xk+N . . . . . x k . . . . . X~:_L) .

Posons de mfime

(43) ~ T = (bk+~r . . . . . bk . . . . . b~_L) et

(44) ~k T : (Sk+ N . . . . . S k . . . . . Sk_L) "~

alors le vec teur observa t ion ik s 'dcri t s implement +0o

(45) ~ = ~] %' S*k-j + ~ .

Les dehanti l lons de sortie gk s ' exp r imen t l indairement en fonet ion de l ' ent rde et des coefficients hj de l 'dga- l iseur

+L (46) gk = ]~ h j X k _ j .

En no t an t ~ le vec teur des coefficients de l '6gal iseur

(47) H T = ( h _ u . . . . . h o . . . . . h + L ) ,

la sortie gk a pour expression

( 4 8 ) Yk = H T . x k .

Dans la g randeur y(kA) il nous sera uti le de d is t inguer une par t ie signal et une par t ie bru i t , t ou t comme dans (41)

(49) y(kA) = Ys (kA)+ yB(kA),

avec, d 'apr~s (46),

(50) ys(kA ) __ ~[T ~] a n S'~/c-n ,

( 5 1 ) YB(kA) = ~ T ~ .

L 'op t ima l i s a t i on de l '6gal iseur peu t ~tre condui te su ivan t divers crit~res.

IV.1.1. Crit~re du m i n i m u m de la distorsion max imale .

Lucky [16, 17] a proposd de minimal iser la gran- deur D appelde dis torsion maximale ,

(52) D : Z I~(kA)l , kr

sous la con t ra in te a ( 0 ) = 1, off (a(kA), k �9 Z) est la rdponse h une impuls ion s(t) isolde, en l ' absence de brui t ,

(53) ~ ( k h ) = ~ T ~ , k � 9

Notons que la g randeur D est d i rec tement li6e h l ' ouver tu re de l'ceil en sortie de l 'dgaliseur, h l ' i n s t a n t zdro : l 'ceil est ouver t si D < 1.

Lucky a mont rd que, dans le cas off l 'ceil est ouver t a v a n t dgalisation,

(54) Do def Z Is(kA)l < 1 , kr

la distorsion max ima le D a t t e in t son m i n i m u m pour le vec teur ~ qui annule la rdponse (a(kA), k �9 [-- N . . . . , - - 1 , - - 1 . . . . . N]) h une impuls ion s(t) isolde. Ce vec teur ~ est na tu re l l emen t solut ion de l 'dqua t ion

(55) n ~q: ~o,

en n o t a n t R la mat r i ce de t ype (N + L + 1, N + L + 1), don t l '61dment de la i e l igne et de ta j e colonne est s [ ( i - - j ) A ] , et ~o le vec teur colonne de (N + L + 1) coordonudes toutes nulles, exceptde la ( N + 1) e coordonnde qui v a u t 1.

I n d d p e n d a m m e n t du fa i t que ce crit6re ndglige le b ru i t de la vote de t ransmiss ion, nous verrons au pa rag raphe IV.2.1 que son ut i l i sa t ion pose des diffi- cultds lides ~ la condi t ion ini t iale (54).

IV.1.2. Crit~re du m i n i m u m de l 'erreur qua- drat ique.

Gersho [18] a choisi un crit6re dnerg6tique en s ' in tdressant ~ l ' e r reur quadra t ique e(H) entre la rdponse (53) de l 'dgal iseur h une impuls ion s(t) isolde, et la suite de Kronecker ~k,o

(56) e0q) = Y, [a(kA) - - 8k,0 ]2.

Il est facile de cons ta te r sur (50), qu 'h un fac teur pr6s, cet te er reur quad ra t ique est la moyenne sto- chast ique du carr6 de l ' e r reur

(57) e~ = ys(kA) - - ak

entre la donn@ vraie h l ' i n s t an t k et la pa r t i e signal de la sortie (49) du filtre d 'dgal isa t ion :

(58) a 2 e0q) = E {[ak - - ys(kA)12} �9

Cette er reur est ent i~rement due aux interfdrences rdsiduelles, et la moyenne d 'ensemble por te sur la s ta t i s t ique des donndes successives ate, qui sont

7/20 A. T~LEC., 30, n ~ 9-!0, 1975

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suppos6es eentr6es, non corrdl6es (3).

Comme le pr6c6dent, ce crit6re ne t i en t pas compte du brui t . En fait , la min imal i sa t ion de l ' e r reur (58) peu t 6tre consid6r6e comme un cas par t icu l ie r du crit6re que nous in t roduisous qui t i en t compte du brui t .

IV.I.3. Critdre du minimum de l'erreur qua- dratique moyenne.

Lorsqu 'on veu t assurer un ddbi t d ' i n fo rmat ion :R re l a t ivement grand, le b ru i t b(t) ne peu t pas fitre n6glig6. Niessen [19] a 6t6 l 'un des premiers h consi- d6rer un crit~re d 'op t ima l i sa t ion qui fasse in te rveni r sym6t r iquement les pe r tu rba t i ons dues au brui t , et celles dues aux interf6rences. D'apr~s la l in6ari t6 du syst6me d '6gal isa t ion (cf. (49)), l ' e r reur ek entre la donn6e vraie ag et la sort ie yg du filtre (Fig. 8), est la somme des interf6rences r6siduelles (57) et du b ru i t (51)

(59) ek __def gk - - ak = e S -4- gB(kA) .

Comme le b ru i t est i nd6pendan t des donn6es 6raises, les deux te rmes de cet te er reur sont ind6pendants , de sorte qne l ' e r reur quad ra t i que moyenne d6finie p a r

r = E(e~) , (60)

v a u t

(61) r = EI(e~)~l + a~B = a ~ e (~ ) + a~ s .

Ainsi le cri t6re de l ' e r reur quad ra t ique min imale a p p a r a i t eomme un eas par t i eu l ie r du crit~re de l ' e r reur quad ra t i que moyeune minimale , lorsqne le b ru i t est n~gligeable. Ce erit6re est ae tue l lement le plus utilis6. La propos i t ion suivante , 6tablie en annexe B, pr6eise le vee teur _~. qui minimal ise l ' e r reur quad ra t i que moyenne (60), et donne une condi t ion suffisante d 'ex is tence de ce veeteur .

In t roduisons la ma t r i ee 8, de t y p e ( N + L A-1, N + L A-1), dite de pseudo-eorr61ation de la ligne de t ransmiss ion et d6finie pa r

+m

(62) 8 = Z S k S k T " k~ co

L'61fment i, j de cet te ma t r i ce est +oo

(63) s~ d = ~ sk_~ s~_j . k= -oo

I1 se d6dui t a is6ment (cf. annexe B) du spectre repli6 ]Sa(~)[ ~ de s(t) pa r

~ _ - b l / 2 A 21nv( i--j) A (64) s , , t = A I/2A [Sa(v)[2 e d r .

On a alors

IV.1.3.1. Proposition 2. - - L'dgal iseur op t imal au sens du crit6re du m i n i m u m de l ' e r reur quad ra t i que moyenne (60) est caract6ris6 pa r le vec teur ~ , solu- t ion de l ' 6qua t ion

(65) (8 -~ (1182) Rb) i f = So ,

off Rb est la mat r i ce de eorr61ation de (N A- L - k 1) 6chanti l lons successifs du b ru i t b(t)

(66) Rb = (E[b( iA) b ( j A ) ] ) .

Le vec teur ~ , , solut ion de (65), existe si le spectre repli6 [Sa(v)[ 2 de s(t), ou le spectre repli6 (dans la bande [-- 1/2 A , 1/2 A]) du b ru i t b(t), est cont inu pa r morceaux et s t r i c t ement posi t i f [20].

IV.1.3.2. En l ' absence de b ru i t dans le canal , zrl~ = 0, Rb = 0. D 'apr6s (61) et (65) la propri6t6 prdc6dente a donc pour corrol la ire qu ' i l existe un 6galiseur op t imal unique pour le crit6re de l ' e r reur quad ra t ique (56), don t le vec teur ~ est solution de

Remarque.

Le spectre repli6 [Sa(v)[ 2 d6pend des 6chantillons s(kA), d'ofl la n6cessit6 de bien ddterminer l ' instant de rdf6rence de l'6chantillonnage de pas A, pour que [Sa(v)l 2 ne s'annule pas.

Notons que la valeur minimale ~ (H,) de l 'erreur qua- dratique moyenne se calcule simplement en introduisant (65) dans ( B - 2), en annexe B,

~ ~, ) . (67) r = a2(l - - S O .

IV.2. Egaliseurs lin6aires automatiques.

IV.2.1. Egaliseurs d prddtablissement et dga- liseurs adaptatifs.

Le calcul d ' un 6galiseur lin6aire, op t imal au sens de l ' un des crit6res pr6e6dents, suppose la eonnaissanee des caract6r is t iques du canal , c 'es t -h-dire la eonnais- sance de s(t) et de la fonct ion de corr61ation du bru i t b(t). Dans la p ra t ique ces caract6r is t iques sont, eu g6n6ral, mal connues, e t /ou l en t emen t var iables au cours du temps. C'est pourquoi il est indispensable de concevoir des 6galiseurs qui s ' a d a p t e n t au toma t ique - m e n t aux caract6r is t iques de la vole de t ransmiss ion. On peu t d is t inguer deux grandes classes d 'dgal iseurs au toma t iques : les 6galiseurs h pr66tabl issement , et les 6galiseurs adap ta t i f s .

On dit qu'un @aliseur est d pr~tabl issement si aucune information ne peut ~tre transmise pendant qu' il s' adaple aux caracldristiques du canal. Cette phase d ' a d a p t a t i o n doi t se renouveler p6r iod iquement si ces caraetdr is- t iques va r ien t l en temen t au cours du temps. A la fin de cet te phase, l '6gal iseur est fig6 et les s ignaux d ' in- format ion peuven t 8tre t ransmis . Un dgaliseur est dit adaplatif s'il esl capable de s'adapter pendant la trans-

mission des donndes. Lucky [16] a 6t6 l ' un des premiers h proposer la

r6al isat ion au toma t ique d ' un 6galiseur l in6aire ; un a lgor i thme d ' appren t i s sage ddtermine i t 6 r a t i vemeu t le vee teur (47) des coefficients de l '6galiseur, de fa~on sat isfaire a s y m p t o t i q u e m e n t l ' 6qua t ion (55). En appe- l an t _ ~ le vee teur qui earact6rise l '6gal iseur h la k e i t6rat ion, l ' a lgor i thme d ' a d a p t a t i o n propos6 pa r L u c k y est du t ype su ivan t

(68) nk+l = ~ - ~(_R ~ k - $o)

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off it est une cons tan te rdelle posi t ive h choisir conve- nab lement . Cependant cet a lgor i thme peu t ne pas converger lorsque la condi t ion ini t iale (54) n ' es t pas sat isfai te [16, Fig. 8]. I1 doi t donc 8tre r6serv6 aux lignes t616phoniques de bonne qualit6. Cet 6galiseur est h pr6dtabl i ssement car il n@essi te une pdriode d ' appren t i s sage pendan t laquelle l ' 6me t t eu r engendre une suite d ' impuls ions ~ ( t - - j A ) non modul6es, suffi- s ammen t espacdes pour que les impuls ions r6sul tantes s ( t - - j A ) ne se chevauchent pas. I1 est alors possible, h la r6ception, de disposer, pa r une suite de mesures, d 'est im6es de la mat r ice R.

Des 6galiseurs h prd~tabl i ssement ont ~td r~alisds [21] et dtudids [22 h 25]. Cependant , ces 6galiseurs ont l ' ineonvdnient de n6cessiter une in te r rup t ion de la t ransmiss ion de l ' in format ion pendan t tou t inter- val le d ' appren t i ssage , et de ce fai t on leur prdf~re ac tue l lement des 6galiseurs adap ta t i f s que nous 6tu- dions dans ce qui suit.

IV.2.2. Un fondement des dgaliseurs adapta- tifs : l'algorithme de descente suivant la Ugne de plus grande pente.

Expl ic i tons tou t d ' abo rd une i d l e qui est h la base de nombreux a lgor i thmes utilis6s pour me t t r e en oeuvre des dgaliseurs lin6aires adap ta t i f s . Pour cela, pa r exemple, supposons connue la fonct ion erreur quad ra t ique moyenne ~(~) (60) en t a n t que fonction du vec teur de fi l trage ~r. Notons H~c le vec teur qui caract6rise l '6gal iseur h l ' i n s t an t kA, et recherchons un v e c t e u r , ~ de norme v)

(69) [1-8[] = ~ , pour ~ > 0 donnd,

p e r m e t t a n t de const rui re un nouveau vec teur 9~+~ l ' i n s t an t (k + 1)A

(70) H~+t = Hk § ~,

tel que la difference

(71) z(Hk) -- r = Ar

soit maximale . A condi t ion de choisir "q assez pe t i t , le ddve loppement l imitd,

(72) z(H~ + 8) _~ z ( H ~ ) + ~T.Vr

mont re que la difference Az est max ima le pour un vec teur ~ parall61e au gradient , et de sens oppos6 ; d'ofi l ' a lgor i thme

(73) H~+, = ~ - i t V z ( ~ ) , avec it /> 0.

Cet a lgor i thme, connu sous le nom d 'a lgor i thme du

gradient , ou de descente s u i v a n t la l igne de p lu s grande

pente, est ut i l isable lorsqu 'on connai t z(~) . Darts le cas g~n~ral qui est le nbtre off la fonct ion z (~ ) est inconnue, on dispose par l ' in te rm~dia i re du vec teur

(74) g ~ [ ( a k - - - T = = H k . Xk) 2] 2 ~(Ylc - - ak) 2 ~ el~

d 'une es t imat ion du grad ien t de z ( . ) au po in t ~ , h condi t ion de connai t re le symbole a k .

L'id6e d 'u t i l i ser cet te es t imat ion du g rad ien t dans l ' a lgor i thme (73) est h la base de la p l u p a r t des algo-

r i thmes eongus pour me t t r e en oeuvre des ~galiseurs adap ta t i f s .

I V . 2 . 3 . EgaUseurs adaptatifs : les principaux algorithmes.

L u c k y [17] et Niessen [19] ont 6t6 les premiers proposer des a lgor i thmes p e r m e t t a n t h un 6galiseur de s ' adap t e r p e n d a n t la t ransmiss ion de l ' in format ion . D 'au t res 6galiseurs adap ta t i f s ont e n s u r e 6t6 proposals [26 h 28]. Tous u t i l i sent des a lgor i thmes ddduits de (73) en r emplagan t le g rad ien t pa r une es t imat ion. Plusieurs es t imat ions du grad ien t sont envisageables

pa r t i r de (74) et (60), pa r exemple ~ ek , xk(sgn ek), (sgn X~) (sgn ek) (Dans ces expressions (sgn ek) est le signe de e~, et (sgn ~ ) est le vee teur don t ehaque coordonn6e est le signe de la coordonnde correspon- dan te de ~ ) . Ces es t imat ions ont permis de eoncevoir les a lgor i thmes suivants , pour rdaliser des dgaliseurs l indaires adap ta t i f s ,

(75) H k + , = H k - - i t ~ k e k , k ~ N , it > 0 ;

(76) -~k+ l= H k - - i t x k ( s g n e k ) , k E N , it > O;

(77) - ~ k + l = H k - - i t ( s g n x k ) ( s g n e k ) , k ~ N , it > 0 .

L ' a lgo r i thme (75) est l a rgement utilis~ dans les 6galiseurs adapta t i f s .

La propos i t ion suivante , 6tablie en annexe E, pr6- cise les propri6t6s de convergence de cet a lgor i thme.

IV.2.3.1. P r o p o s i t i o n 3. - - Lorsque (65) a d m e t une solut ion unique H . , l ' a lgor i thme (75) engendre, h pa r t i r d ' un vec teur 30 quelconque de R N+*'+I , une suite de vecteurs (~rk, k r qui converge vers H . , au sens suivant , si les var iables al~atoires (ak , x}c) et ( a l , ~ ) utilis6es dans (75) sont ind~pen- dantes pour k va I.

La suite (Hk , k e N ) converge en moyenne vers 1 .

(78) l im E ( H k ) = ~r, , k ~ o a

si it sa t is fa i t la double in6galit6

(79) 0 < it < 2/~.max, ]

off Xmax est la plus grande va leur propre de

2. La va leur moyenne du carr6 de la norme I [ H k - - ~ , ] [ peu t ~tre rendue aussi pe t i t e qu 'on le d6sire h condi t ion de choisir it assez pe t i t ,

(80) Vz > o , 3it(z)

tel que 0 < [z < it(e) => lim sup E ( ] ] ~ k - - ~ , ] [ 2) < r k-+- ao

Remarque.

L'hypoth6se d'ind6pendance concernant les vecteurs ~+k peut par exemple ~tre satisfaite si la suite des vecteurs ~'~ utilisde dans cet algorithme est une sous-suite assez espaede de la suite (~'k, k = 0, l , 2 . . . . ) rdellement regue. Jusqu'a prdsent, aucun auteur n 'a pu 6viter cette hypo- ttl6se contraignante pour d6montrer thdoriquement la convergence de l 'algorithme et non seulement de l 'algo-

9/20 A. T~=LEC., 30, n ~ 9-10, 1975

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rithme (75), mais dgalement de tousles autres). Cependant cette hypoth~se ne parait pas n6cessaire dans la pratique. Toutes les simulations et toutes les rdalisations sont faites, & notre eonnaissance, sans respecter cette hypo- thbse d'ind6pendance, et on a toujours constatd une convergence de /t~ vers H , conforme aux pr~visions thdoriques.

La mise en oeuvre des algorithmes (76) et (77) est re la t ivement frdquente [27, 28] h cause des simpli- fications technologiques introdui tes par la fonction (sgn .). Toutefois les propridtds de convergence de ces algorithmes sont mal connues. Nous n 'avons pas connaissance de r~sultat thdorique concernant l 'algo-

r i thme (77). L 'dtude de l 'a lgori thme (76) est un pen plus simple, car on peut noter que, en moyenne, le terme compldmentaire est le gradient de la valeur absolue moyenne de l 'erreur. Ainsi, a b a n d o n n a n t le crit~re de l 'erreur quadra t ique moyenne pour celui de l 'erreur absolue moyenne, qui consiste h rechercher

un vecteur ~ * qui minimalise l 'expression

z'(H) : E {Ix*it w H - - ag]},

On constate que (76) est j u s t emen t l 'a lgori thme

(stoehastique) du gradient pour ee erit~re. La propo- sition suivante, ~tablie par Gersho [30] donne le mode de convergence de cet algorithme. I1 resterait

discuter sous quelles conditions, p robab lement tr~s

larges, les deux crit~res de minimal isa t ion sont 6qui-

valents , c'est-h-dire, sous quelles condit ions ~r, = ~ * .

IV.2.3.2. P r o p o s i t i o n 4. - - L'algor i thme (76) engendre, h par t i r d ' u n vecteur -Ho quelconque de R N + ~ I , une suite de vecteurs ( ~ , k ~N), telle que

pour tou t ~ > 0, il existe une constante M positive satisfaisant

(81) lim Pr ( [ [H]c- H*][ > ~) ~< [ z ] M , k ~ v o

oh H* est l ' u n i q u e vecteur qui minimalise l 'erreur

absolue moyenne,

si 1~ les variables aldatoires ak et ~'g ont des moments

finis jusqu 'h l 'ordre 2 ;

20 les variables al~atoires (ak, x]c) et (a~, ~ ) uti- lisdes dans (76) sont ind6pendantes pour k ~: I ;

3 o le couple (ak, ~ ) a une densitd de probabil i t6 s t r ic tement positive.

Remarque.

Cette derni~re hypoth~se exclut le cas, qui est le n6tre, de donn~es a~ prenant un hombre fini de valeurs. De ce fair, la proposition 4 ne s'applique pas exactement l'algorithme (76) dans le contexte des transmissions de donndes. Elle n'en eonstitue pas moins une justification de cet algorithme.

Les propositions 3 et 4 font apparai t re la n~cessit~ d ' un coefficient ~z pet i t pour assurer une convergence fine des algorithmes (75) et (76). Cependant la conver- gence de ces algorithmes est d ' a u t a n t plus lente que est plus peti t [68]. D'ofi la ndcessitd d 'un compromis dans le choix du coefficient ~z, pour concilier rapiditd

et finesse de convergence. Ce choix peut ~tre facilitd si

on accepte que [z varie au cours des it6rations succes- sives, comme le propose la proposit ion suivante 6tablie dans [20].

IV.2.3.3. Propos i t i on 5. - - Lorsque l 'dquat ion (65) admet une solution unique ~ . , l 'a lgori thme

(82) ~ I k + l = ~Ilc - - ~Llc X k ek , k ~ ,

engendre, h par t i r d ' un vecteur Ho quelconque de RN+L+I, une suite de vecteurs H k , k ~N, qui con-

verge presque sfirement vers H ,

si

1 o les ~k sont des rdels positifs satisfaisant

k=l k= t

2 ~ les moments des symboles ak et du processus b(t) sont finis jusqu' / t l 'ordre 4 ;

3 ~ les variables al~atoires (a~, x'k) et ( a z ; ~ ) utili- s~es dans (82) sont ind~pendantes pour k :/: l.

La proposit ion 2 donne des condit ions suffisantes pour que (65) ait une solution unique.

Les algorithmes precedents (75)-(77) et (82), et leurs propri~t~s de convergence, pe rmet ten t de d~ga-

ger des r~sultats int~ressants pour la mise en oeuvre

prat ique d'~galiseurs adaptatifs. Pour cela on t ient eompte, en particulier, de

- - l a possibilit~ d 'ut i l iser des vecteurs x*k non ind~pendants dans ees algorithmes, sans en alt~rer p ra t iquemen t les propri~t~s de convergence ;

- - et de la quant i f icat ion des symboles ak. Cette hypoth~se, d ' un nombre fini q de n iveaux (01 , ..., 0q) pour les a k , se r~v~le fondamenta le pour la mise en oeuvre des algorithmes. En effet, dans la mesure off

H~ est voisin de ~ . , le symbole ak et son est imation ak

sont ~gaux avec une probabili t~ voisine de 1 (par exemple de l 'ordre de 10-3). On eonsid~re alors que l 'erreur ek peut ~tre remplac~e par

(84) "ek = Yk - - ak

dans les algorithmes (75)-(77) et (82). Cette subst i tu- t ion de ak par az est fondamenta le car na ture l l ement ak est a pr ior i inconnu du r~cepteur.

Dans ces condit ions l 'a lgor i thme (75), par exemple, est mis en oeuvre sous la forme suivante

(85) ~ k + l = ~ - - ~ k , k = 0 , 1 . . . .

Sous cette forme, il permet la rdalisation d ' un dga-

liseur, ddcrit par la figure 9. Toutes les s imulat ions et mises en oeuvre ont permis de constater que les

algorithmes (75) et (85) se compor tent p ra t iquement de la m~me mani~re lorsque les erreurs sont rares.

Plus pr6cis6ment on a pu constater une am6lioration des caract~ristiques de l '6galiseur (concernant la proba- bilit6 d 'erreur par exemple) lorsque le premier vecteur

-Ho utilis~ dans (85) est tel que

(86) Pr (a ~ ~) < 0,2 .

A. T~LEC., 30, n ~ 9-10, 1975 10/20

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i ' i l i

2 ' ~ Sorde

Fro. 9. --- Egaliseur r~eursif adaptatif.

t i l lons de la figure 10. Le brui t b(t) est suppos6 stat ion-

naire, gaussien, centr6 de spectre plat dans la bande

FIG. 10. Echantillons de l'impulsion s(t).

Au t remen t dit l 'dgaliseur s 'adapte au toma t iquemen t pendan t la t ransmission de l ' informat ion, si la proba- bilit6 d 'erreur initiale est inf6rieure h 20 %. On dit qn ' i l est alors darts sa phase d 'apprent issage perma- nent . Cependant la rdalisation de cette condit ion initiale (86) n6cessite en gdndral une phase, prdalable

la t ransmission de l ' informat ion, appel6e phase d 'acquisi t ion, du ran t laquelle le vecteur ~ se rapproche de l ' op t imum.

Deux m6thodes sont actuel lement utilis6es pour rdaliser cette phase d 'aequisit ion. La premiere consiste tou t s implement h faire 6mettre par la source un message connu du r~eepteur. Cette suite est par exemple une suite pseudo-al~atoire [31]. La deuxi~me m~thode est util isable en part iculier lorsque le nombre de n iveaux de ehaque symbole a k est supdrieur ~ 2. Elle consiste h engendrer une suite de symboles binaires, centr~s, non corr~16s, de m~me variance a e que la suite ( . . . , a ~ l , a j , ...), afin d ' augmente r le rapport signal h bruit , et d 'est imer le vecteur ~ .

solution de (65). Une contra inte nouvelle, coneernant la phase

d 'acquisi t ion, est apparue ees derni~res ann~es. Pour eertains besoins de la t~l~informatique il est devenu

souhaitable que la phase d 'aequis i t ion soit aussi br~ve que possible. C'est ainsi que plusieurs auteurs [31 h 34] se sont int6ress~s h la rapidit~ de convergence pendan t eette phase. Cependant , le probl~me de eoneevoir un ~galiseur adaptat if , re la t ivement simple et de convergence rapide, ne parai t pas encore rdsolu de fa~on satisfaisante.

IV.2.4. R~sultats de s imulat ion.

Il lustrons le fonct ionnement de l 'a lgori thme (85) dans le cas d 'une t ransmission de donn6es sur ligne tdl6phonique h 9 600 61dments binaires par seconde.

Pour cela considdrons un dgaliseur de 17 coefficients ( N ~ L = 8) dont l '6 ta t initial est ddfini par le vecteur

n o = (o . . . . . . . . . . 0 )

Chaque r6el at ~mis peut prendre l 'une des 16 valeurs ~quiprobables (• 1, • 3, ..., :b 15). La forme de l ' imputsion s(l) eonsid6r~e est d~crite par des 6ehan-

[ - - l [ 2 A , 1/2A] et nul en dehors de cette bande (A = 1/2 400 s). Nous avons choisi des condit ions de rappor t signal h bru i t telles que la probabil i td

d 'erreur initiale soit voisine de 30 %. Une telle pro- babilit6 d 'erreur dtant inacceptable, nous avons entrepris de la rendre aussi peti te que possible l 'aide d 'un 6galiseur adaptat if , m e t t a n t en ~ u v r e un algorithme du type (85), avec une phase d 'acquis i t ion de 250 symboles h 2 n iveaux (2 e m6thode d 'acquisi- tion). Nous avons mesurd une fr~quence d 'erreur

quas iment nulle pendan t la phase d 'acquisi t ion, pour toutes les 6preuves r6alisdes. La phase d 'apprent issage pe rmanen t permet e n s u r e d'affiner la convergence de Ht vers ~ . comme le mont re la figure 11.

r

i -- ~-o " ~ * - - , ~ - . . . .

o 20S aCO CO0 ~00 m~

Fro. 11. - - Convergence du coeffmient ho. Phase d'acquisition de 250 symboles h 2 niveaux.

IV.3. Egaliseurs complexes.

Les rdsultats des paragraphes IV.I et IV.2 peuven t ~tre dtendus au cas du syst~me de transmission, ddcrit par la figure 2, qui utilise deux porteuses en quadra ture modul6es lin6airement. Comme pr6e6- demment en (42), notons xk l 'dchanti l lon h l 'eutr6e de l 'dgaliseur, et ~k le vecteur des 6chantillons, en posant conform~ment h (13),

ixk d~t ' + i " X k X k ,

(87) ~ dot ~, ~,, = x k + i x k .

De mSme soient ~r (47) le vecteur complexe,

(88) ~ dot ~ , + i ~ " ,

qui caract6rise l '6galiseur, et Yk sa rdponse h l 'obser- r a t i o n X~ (ef. (48))

(89) Ol = + i

11/20 A . T ~ L E C . , 3 0 , n ~ 9 - 1 0 , 1 9 7 5

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avec

def ~ T ~ ~ T +tt ~ d e f ~ f T ~ f ~ ~ - ~ T ~ * (90) Y k : H x l ~ - - H x k , gk : x k + H x k .

La figure 12 illustre la s t ructure d 'un tel 6galiseur. La recherche de l '~galiseur opt imal au sens du crit~re

~'~,~, ~ . / . I : ~ - ~ , + ~ ~ ......

Fro. 1 2 . - Structure d 'un 6galiseur dans le cas d'une modulation lin6aire de deux porteuses en quadrature.

d6cision dans la boucle pour son efficacit6 et sa simplicit6 de mise en oeuvre, et le rdcepteur selon le m a x i m u m de vraisemblanee ut i l i saut l 'a lgori thme de

Viterbi pour son int6r6t th6orique.

I1 convient de pr6ciser que d~s 1965, Gorog [40], Chang et Hancock [ ~ ] et Austin [~2] ont ~tudi6 des r~cepteurs de structure non lin6aire pour lutter contre les inter- f6rences entre symboles. Citons 6galement les travaux [43 h 46] concernant des structures noa lindaires diff6- rentes de celles que nous consid6rons.

V.1. Egaliseurs r6cursifs avec d6cision dans la boucle.

Un 6galiseur rdcursif avec d6cision dans la boucle (que nous appelons, par simplicit6, 6galiseur r6cursif) est repr6sent6 par la fgu re 13. La s t ructure de cet

de l 'erreur quadra t ique moyenne r (60) peut se faire comme pr6e6demment. Le vecteur eomplexe H ,

qui minimalise r est unique. I1 peut 8tre construi t de fa~on adapta t ive en u t i l i sant un algorithme du

type (75)

(91a) - H k + l -~1r ~ * , = - - ~x~ (y~ : a~)

qui se d6compose en sa part ie r~elle et sa part ie

imaginaire

t ~ ' H~r - - [z [xk(gk - - o~:r + xk (y~ - - ~k) ] (91b) H~+, = ~ ' ~' ' ~" " ,

- - x~(y~ - - ( H~+, = H ~ - - ~* [x~(y~- - ~ ) ~ ) l

IV.4. Conclusion.

Fia. la. - - Egaliseur r~eursif avee d~eision dans la boucle a; ~galiseur r~eursif ~tudi~ par Monsen b.

Nous avons analys6 le fonc t ionnement d ' un dga-

liseur consti tu6 par un filtre num6rique non r6cursif suivi d ' un d6tecteur h seuils (Fig. 8), ainsi que les possibilit6s de r~alisations adaptat ives , sans connais- sance pr6alable du canal. I1 convient de pr6ciser que des 6galiseurs lin6aires, de structures diff6rentes de la pr6c6dente, ont 6galement 6t6 6tudi6s. Citons en particulier les t r avaux [29, 35 h 38].

Toutefois les 6galiseurs effectivement r6alis6s ont essentiel lement la s t ructure que nous avons analys6e. Ces 6galiseurs lin6aires ont une probabil i t6 d 'erreur,

calcul6e et mesur6e, qui est un peu plus grande que celle du r6cepteur opt imal [39] au sens du m a x i m u m de vraisemblance. On peut esp6rer r6duire cette marge

h l 'aide des r6cepteurs non lin6aires, 6tudi6s dans la

section suivante.

6galiseur est celle d ' un filtre num6r ique rdcursif, modifi6e par insert ion de l 'organe de d6cision dans la part ie r6cursive du filtre. L 'une des id6es qui sont h l 'origine de cette s t ructure est que les symboles 3k-1, �9 .., ~k--R r6inject6s dans le filtre sont susceptibles d'61iminer une tr~s large par t des interf6rences entre le symbole ak et les symboles ant6rieurs. Un tel 6ga- liseur a 6t6 propos6 in i t ia lement par Aust in [42]. Son opt imalisat ion a 6t6 ~tudi6e par Monsen [47], dans le cas du critbre de l 'erreur quadra t ique moyeune

minimale. Ut i l i sant les r6sultats de Monsen [47], nous intro-

duisons tou t d 'abord l '6galiseur r6cursif opt imal au sens du crit~re pr6c6dent. Nous d6crivons ensuite les principales structures adapta t ives pe rme t t an t d 'a t -

te indre l 'optimalit6.

V, R ~ . C E P T E U B S N O N L I N ] ~ A I B E S

Nous avons choisi d '6tudier deux types de r6cep- teurs dans l 'ensemble des structures non lin6aires propos6es dans la l i t t~rature : l '6galiseur r~cursif avec

V.1.1. Egaliseur r~cursi[ optimal.

L'id6e de Monsen est de supposer que les caract6- ristiques de l 'dgaliseur rdcursif sont sumsamment

bonnes pour que :

(92) ~ j = aj , u E Z ,

Monsen analyse donc, non pas l '6galiseur d6crit par la figure (13 a), mais celui d6crit par la figure (13 b).

A. T~LEC., 30, n ~ 9-10, 1975 12/20

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Nature l lement les r~sultats de cette analyse ne sont

valables pour l '6galiseur r6alisable de la figure (13 a) que si l 'hypoth~se (92) est satisfaite. Nous reviendrons sur ce point h la fin du paragraphe.

Notons par ~" le vecteur qui caract6rise l '~galiseur d6crit par la figure (13 b) :

(93) ~ T = ( h _ g . . . . . h o . . . . . h L , g~ , . . . , gn ) ,

et par ~ le vecteur des 6chantil lons pr6sents dans cet 6galiseur :

(94) ~w _ Z k - - ( X k + N , . . .~ X k , . . . , X k - - L , a k - 1 , . . . , e l k - R ) ,

de telle sorte que l '6chanti l lon gk h la sortie de l '6ga- liseur a pour expression :

(95) yk = F T . 2 k .

Notons enfin par e(~v) l 'erreur quadra t ique moyenne

(~(F) = E { e l } , (96)

( e ~ = g ~ - - a ~ .

En ut i l i sant une procedure de minimal isa t iou aria- logue h celle du paragraphe IV.2, on peut mont re r que le vccteur opt imal P , au sens de l 'erreur (96) est solution de l '6quat ion

(97) Rz P = a ~ D ,

off Rz d6signe la matrice de corrdlation.

~ W (98)

et off ~ est le vecteur de RN+L+~+R d6fini par

(99) ~ T = (S~v . . . . . s o , ..., S _ L , O, 0 . . . . . O) .

Remarques .

I. La valeur minimale de l'erreur quadratique moyenne (96) a pour expression, d'apr~s (97) :

(~00) ~(~,) ~ [~ - ~ 5].

I1 est remarquable dans l'6galit6 prdcddente que les coeffi- cients de ~ , qui interviennent effectivement dans l'expres- sion de z(F,) sont ceux de la partie transverse unique- merit, /~ cause de la forme de /9.

2. Les nombreuses simulations r6alisdes h ce jour [47] et [48] ont permis de constater que l'erreur quadratique moyenne pour un 6galiseur lin6aire est toujours nettement sup6rieure fi l'erreur quadratique moyenne pour un 6ga- liseur r6cursif. Ce rdsultat a 6t6 observ6 dans le cas off le nombre total de coefficients de l'6galiseur r6cursif est 6gal ou m6me un pen inf6rieur h celui de l'6galiseur lin6aire. En particulier, il convient de choisir L > 0. On pent expliquer cette amdlioration en remarquant que le dispositif de ddcisiou dans la boucle permet d'6liminer tout bruit dans la pattie r6cursive.

3. Dans la pratique, seul l'6galiseur reprdsent6 par la figure (13 a) est r6alisable, et la condition (92) n'est pas toujours satisfaite, car des erreurs sont in6vitables, m6me si elles se produisent avec une faible probabilit6 (par exemple de l'ordre de 10-% On pent alors craindre une propagation des erreurs. En r6alit6, d'apr~s [50], cette propagation d'erreurs ne se produit pas, sur lignes t~16- phoniques, fi 9 600 bit par seconde.

Une m6thode efficace, mais de mise en ceuvre pen aisde, a 6td propos~e par Salazar [49] pour l'6viter. D'autres suggestions intdressantes, mais assez pen r~alistes pour les transmissions de donn6es, ont 6t6 faites dans [51 fi 53].

Leur idle commune est de r~aliser un pr~codage h l'dmis- sion. Malgr~ ces suggestions, le probl~me de propagation des erreurs dans un 6galiseur rdcursif est actuellement non r~solu, du moins ~ notre connaissance. Cette possibilit~ d'erreurs qui s'enchainent enl~ve de l 'at trait ~ un type d'~galiseur aux caractdristiques prometteuses ; d 'autant plus qu'une suite d'erreurs est susceptible de perturber le bon fonctionnement d 'un algorithme adaptif utilis5 pour calculer le vecteur /~, optimal.

V.1.2. Egaliseur r~cursi[ adaptalif.

Comme dans le cas des 6galiseurs lin6aires, les algo- ri thmes utilis6s pour construire des 6galiseurs r6cur- sirs adaptat ifs sont d6duits de l 'a lgori thme du gra- dient (73) eu remplagant la direction du gradient par une direction estim6e. On obt ient ainsi par exemple un algorithme du type (75)

( 1 0 1 ) ~ + ~ = i ~ - - ~ 2 ~ e ~ , k e N , ~ > O .

Les algorithmes (76), (77) s'6tendant de la m6me fagon au cas r6cursif. Les propridt6s de convergence de (101) sont analogues ~ celles de (75). Ici, comme dans le cas de l'6galiseur lin6aire non r6cursif, apparait la n6cessit6 d'un compromis dans le choix des coefficients fz pour concilier rapidit6 et finesse de convergence. D'oh l'int6r~t, l& encore, d 'un algorithme dont le coefficient tz est variable, d6croissant avec le temps. La proposition qui suit, 6tablie en annexe C, prdcise les conditions de convergence d'un tel algorithme.

V.1.2.1. P r o p o s i t i o n 6. - - L'algor i thme

(102) P ~ + I = F ~ - - ~ z k 2 k ( 2 w F k - - a k ) , V k ~ N ,

engendre, h par t i r d ' un vecteur Fo quelconque de R N + L + R + I , u n e suite ~ de vecteurs qui converge presque sfirement vers ~ , , solution de (97),

(103) Fk p.~.~ F ,

si

1 o la matr ice Rz est inversible ;

2 ~ les [~k sont des r~els positifs satisfaisant (83) ;

3 ~ Ics moments des coefficients az et du processus b(t) sont finis jusqu 'h l 'ordre 4 ;

4 ~ les variables al~atoires ( a k , ~ ) et ( a t , Z z ) uti- lis6es dans (102) sont ind6pendantes pour k :/: I.

Comme pr6c6demment dans IV.2, l 'a lgor i thme (I01), par exemple, est mis en oeuvre sous la forme suivante :

(104) F~+I = Pk -- ~ 2~ g~, k e N

en ut i l i sant l 'erreur estim6e

(105) b'k = Yk - - a'k.

Darts la mesure od l'hypoth~se (92) de Monsen est v~rifi~e, les algorithmes (101) et (10Q peuvent ~tre consi- ddr~s comme identiques. Dans la pratique, l'dgaliseur adaptatif issu de l'algorithme (104) fonctionne correcte- ment, pourvu que la probabilitd d'erreur ne ddpasse pas l0 % environ.

On pent r~aliser la phase d'acquisition comme pr~cd- demment (IV.2), soit a l'aide d'une suite de symboles connus du rdcepteur, soit en r~duisant ~ deux le nombre de niveaux (quand cela est possible), tout en gardant la m~me puissance aux donn~es.

L'analyse que nons venons de donner de l'dgaliseur

13/20 A. T~LEC., 30, n ~ 9-10, 1975

Page 14: Récepteurs adaptatifs pour transmission de données a grande vitesse

324 c. MACCHI. -- RI~CEPTEURS A D A P T A T I F S POUR TRANSMISSION DE DONNI~ES

rdcursif est volontairement concise. Pour plus de ddtails, par la figure 14, et rechercher, pour ce mod61e, le on pourra se reporter aux travaux [54 h 59]. r6cepteur selon le m a x i m u m de vraisemblance.

V.2. Estimation d'une suite de symboles selon le maximum de vraisemblance (algorithme de Vilerbi).

Nous consid6rons, comme au paragraphe~III .1, que la source de symboles engendre une suite de K sym- boles ( a l , a~ . . . . . a K), de q n iveaux 6quiprobables (29). De plus nous supposons que cette suite est inddpen-

dante. Cette hypoth6se, qui correspond h la p lupar t des cas prat iques, est in t rodui te pour faciliter l 'exposd de la suite ; elle n ' es t pas indispensable.

Sur la base de l 'observat ion x(t), (30), le r6cepteur selon le m a x i m u m de vraisemblance choisit la suite

la plus vraisemblable a posteriori ( ~ . . . . . aK) en uti- l isant la r+gle de d6cision (32). Une conception rela- t i vemen t simple d ' u n tel r6cepteur s'est longtemps heurt~e au fait que x(t) est une fonction cont inue du temps. L ' in t roduc t ion de la not ion de filtre adapt6

b lanchissant [10] a permis de remplacer x(t) par des

6chantillons.

V.2.1. Filtre adapt~ blanchissant et num~ri- sation de la vole de transmission.

Un filtre adaptd b lanchissant est associ6 ~ un signal x(t), (30), oh s(t) est ~ support bornd el le bruit b(t)

est gaussien blanc. Forney [10] d6finit le filtre adapt6 b lanchissant comme un filtre lin6aire dont la r6ponse

au signal x(t), soit K

(106) X(t) = ~] ai C(t - - jA) + B(t) ,

possdde les propridt~s suivantes :

- - les 6chantillons Xe = X(kA) cons t i tuent un rdsumd exhaustif de x(t) pour l ' es t imat ion de (a~, ..., aK) selon le m a x i m u m de vraisemblance ;

- - l e s dehantil lons Be sont non eorr616s, e'est-~- dire inddpendants , h cause de leur earact6re gaussien.

Andersen [60] a montr6 l 'existenee de tels filtres pour les eanaux de t ransmission rencontrds dans la prat ique. L ' u n de ees filtres est tel que la r6ponse pereussionnelle C(t) de l 'ensemble (vole de t rans-

mission - filtre adapt6 blanehissant) est causale et de plus h support born6, comme s(t) [10]. Ainsi l '6ehan-

ti l lon Xe s 'exprime s implement

(107) Xe = CT.Ae + Be ,

en fonetion de

(108) ~ ' T def (ak , ak_l .... ak_l )

( 1 0 9 ) ~ T de f ( C 0 , C1 . . . . . Cl ) ,

off l e s t le plus pe t i t entier tel que C1 = 0 pour j > l. Dans la suite ~ est suppos6 connu. Dans ces conditions, nous pouvons consid6rer, sans perte d 'opt imali td, le modble num~rique de t ransmiss ion de donn6es ddcrit

~ k - - .

FIG. 14. - - ModUle n u m d r i q u e de t r a n s m i s s i o n de donn~es .

Remarque.

En toute rigueur, la formule (107) n'est valable que pour les indices k au moins dgaux ~ l e t au plus dgaux

K-1. Nous allons lever l 'ind6termination sur les autres valeurs de -~e au paragraphe suivant (112).

V.2 .2 . Rdcepteur selon le maximum de vrai- semblance. Treillis des 6tats.

Posons :

(110) E~' = (ak-1 , ak-2, ..., a/c-t)

et eonvenons d 'appeler Ek l'dtat de la suite (a, .... , aK)

h l ' i n s t an t k. I1 existe ql, ~tats possibles ife h e e t ins- - i (i = 1 . . . . . ql). De m~me tan t , nous les notons E e ,

A~ le veeteur Ae qui f a r passer de l '6 ta t E/c dans

l 'd ta t if~+,

(111) -~ X~i - E e -----+- E~+,.

Convenons d'appeler Ae une I rans i t i on . On la notera

(ak, ~k). Pour que les 6tats initial et final, de la suite de sym-

boles 6mis, soient eonnus du r6cepteur, imposons h

l '~metteur d'~mettre une suite m, eompos6e de ]a

suite ( a l , . . . , aK) pr6e~d~e et suivie de l symboles

connus du r~cepteur, par exemple :

(112) m = (I . . . . , 1 , a I . . . . . aK , 1 .. . . . I).

i l

Dans ces conditions ~F T = EK+t+z~T = (1, ..., I). Na- turellement ] 'introduction de la suite m ne restreint

pas la g6n6ralit~ du probl6me consid6r6. II est clair

que la suite m est li~e de fa$on biunivoque h la suite E

des ~tats, et h la suite A des transitions

(113) E = (if1 . . . . . ifK+Z+a),

(114) A = ( 'A1 . . . . . A K + I ) .

Le message m pouva n t ~tre reprdsent~ par une suc-

cession d 'dtats if:e, construisons le treillis des ~tats successifs possibles du message m. La fgure 15 mont re

1 -1

- | 1

- 1 - 1

I 2 3 4 5 K+@ I K+~ K+I+ I

FIG. 15. - - Trei l l is des d ta t s .

A. TI~LEC., 30, n ~ 9-10, 1975 14/20

Page 15: Récepteurs adaptatifs pour transmission de données a grande vitesse

C. M A C C H I . -- R I ~ C E P T E U R S A D A P T A T I F S P O U R T R A N S M I S S I O N D E D O N N I ~ E S 325

un tel treillis pour l = 2 eL q = 2 (symboles h 2 ni-

veaux : a j = + 1 ou - - 1 ) . Le temps est port6 en

abscisse et les q~ 6tats possibles en ordonn6e. Un nceud du treillis repr6sente un 6tat ~ particulier. Un arc rel iant 2 6tats successifs / ~ et ~'~+, repr4- sente une t rans i t ion permise X~ = (a~, ~:~) h Fins-

t a n t k.

On appelle chemin du trei l l is une suite d 'dtats rel iant l '6 ta t init ial h l '6 ta t final, et sous -chemin

m(~:k) une suite d '6tats rel iant l '6 ta t init ial ~:~

l '4 ta t ~:~

(115) m(Ek) = (~F, . . . . . Ek).

L ' in t roduc t ion de la not ion de treillis des dtats

permet de poser le probl6me de la recherche de la

suite r~ optimale selon le max imum de vraisemblance,

(116) ~ de f (1 . . . . . 1, ~, . . . . . ~ K , 1, ..., 1),

en termes de longueur de chemin dans ce treillis.

V.2.2.1. P r o p o s i t i o n 7. - - Dans les condit ions de ce paragraphe et sur la base de l 'observat ion

(117) X = ( X 1 . . . . , X g + l ) ,

la suite ff~ (116) selon le m a x i m u m de vraisemblance

correspond au plus court chemin du treillis des 6tats, lorsqu 'on affecte h chaque chemin m du treillis la

longueur K + l

(118) A(m) = Y~ X(XD, k = l

oh X(Ak), qui repr6sente la longueur d 'une t rans i t ion permise, est d6finie par

(119) X(X/~) = (Xk -- ~ r . Xk)" �9

Cette proposit ion est 6tablie darts l ' annexe D. Le probl6me ainsi pos6 devient un probl6me classique de recherche opdrationnelle. Des solutions existent [61 h 63] mats sont mal adapt6es h une r6solution en temps rdel par les techniques informatiques. Pour r6soudre ce probl6me Kobayashi [8], Omura [9] et Forney [10] ont propos6 s imul tan6ment , h l ' issue d 'approches diff6rentes, d 'ut i l iser un algorithme con$u par Viterbi pour les codes convolutionnels .

V.2.3. Algorithme de ddcisiort [64].

L'algori thme, d@rit par la proposit ion 8, est issu de la remarque fondamenta le s u i v a n t e : lout sous-

chemin du chemin op t i m a l est op t imal , c'est-h-dire

(120)

A~ [ffl(~D] = Iuf (A~[m(~TD), Vk ~ [1 ..... K § l + 1], m

en n o t a n t E/~ les dtats successifs de ~ , r~(~Jk) le sous-

chemin de ~ qui se termine en ~ , et Ak(. ) la lon- gueur d 'un sous-chemin au temps k. En effet, dans

le cas contraire, on pourrai t t rouver un chemin plus court que ~ en ut i l i sant le sous-chemin optimal se

t e rminan t en / ~ .

V.2.3.1. P r o p o s i t i o n 8. - - (Algorithme de Viterbi.)

L 'a lgor i thme suivant permet de construire i t6rati-

vement le chemin ~ selon le m a x i m u m de vrai-

semblance.

1 ~ M6moriser, h l ' i n s t a n t k,

I r n ( ~ ) : le sous-chemin optimal se t e r m i n a n t

(121) eu E/~,

A[m(Ek)] : la longueur de m(E~),

pour i ~ [1 . . . . . q~]. Pour k = 1, on choisit

{ A(~:,) = O.

2 ~ Calculer, h l ' i n s t an t k, les longueurs

Ak+, [ [m(Ek) , ,~

des sous-chemins ~(~:~:) prolong~s en ~1~+~.

(122) Ak[ff~(~), X~] ffa -~ �9 = A s + , [ ( E ~ ) ] + ;~(X~;')

pour i, j e [1 . . . . . q~].

3 ~ Ddterminer, h l ' i n s t an t k, pour tou t j , le mini- mum sur i e [1, ..., ql] des longueurs (122). Soit i = ij la valeur de i pour laquelle ce m i n i m u m est

a t te int . Alors le sous-chemin opt imal se t e r m i n a n t en

E~+I a pour expression

(123) m(E~+1) = (m(EkJ)' A/~f),

et sa longueur a pour valeur

(124) A~+~[~(]~+~)] = Inf {Ak[~(~)] § Z(A~)}. i

pour j @ [I . . . . . ql].

4 ~ Le chemin ~ est obtenu h l ' instant K ~- l + 1

(125) ~, = ff'(~:K+,+~) �9

Par l 'a lgor i thme pr6c6dent on construit , h chaque

ins t an t k, tons les q~ sous-chemins op t imaux r n ( ~ + l ) , h par t i r des sous-chemins op t imaux - ~ m(Ek) . On cons-

t ru i t ainsi m(Ek) car d'apr6s la remarque faite en

d6but de paragraphe, le sous-chemin 1~(~2k) cst un

sous-chemin optimal h l ' i n s t an t k,

(126) r~(E~) e {~(E~) , i e [1 . . . . . q~]}.

Enfin, l '6 ta t final 6 tant unique et connu, il n ' y a qu ' un seul sous-chemin optimal h l ' i n s t an t K + l + 1,

et c 'est ndcessairement ~ .

Remarques.

1. La mise en ceuvre de l'algorithme pr6c6dent n6cessite le caleul des quantit6s (121) h chaque instant k, et pour chaeun des qZ 6tats distincts. Ceci suppose la m6morisation d'au plus kq I sommets du treillis ~ l ' instant k. En fail, il n'en est rien darts la pratique, car on observe g6n6ra- lement que ces qZ sous-chemins optimaux out une impor- tante partie commune et qu'ils ne se s@arent que pen avant les nceuds t~i,. La quantit6 de m6moire effeeti- vemeut n@essaire pour mdmoriser les sous-chemins opti- maux se r6v61e donc beaucoup plus faible que pr6vu. Pour pallier cet inconv6nient, des variantes de l'algorithme de Viterbi out 6t6 propos6es [6~], consistant hne conserver

l ' instant k que certains sous-ehemins optimaux.

15/20 A. TI~LEC., 30, n ~ 9-10, 1975

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326 c . MACCHI . -- R I ~ C E P T E U R S A D A P T A T I F S P O U R T R A N S M I S S I O N D E DONNI~ES

2. Le calcul des longueurs (119) suppose la connais- sance du vecteur C de la vole de transmission. Lorsque ce n'est pas le cas, plusieurs auteurs [t0, 65 h 67] out pro- pos6 de placer, avant le d~tecteur de Viterbi, un 6galiseur classique. Cet 6galiseur permet de construire adaptat i - vement un ensemble (ligne de transmission, 6galiseur classique) dquivalent h une vole de transmission ddsir6e, caractdris6e par un vecteur C de peu de coefficients. Cependaut les 6chantillons de bruit sont alors en g6ndral corrdl~s.

3. Des rdcepteurs optimaux selon le maximum de vrai- semblance, en prdsence d 'un bruit b(t) non blanc, ont 6galement dtd ~tudides [69, 70].

V I . ~ O N G L U S I O N

Nous avons rassembl6 dans eet te dtude les pr in- e ipaux r~sul ta ts concernan t les r6cepteurs adap ta t i f s de t ransmiss ion de donn6es h grande vitesse. Apr~s avoir d6crit sncc inc tement les r6eepteurs op t imaux , en d i s t inguan t le cas d 'une d6cision pa r symbole et le cas d 'une ddcision pa r bloc, nons avons analys6 les rdcepteurs rdalisables en les c lassant en deux grandes cat6gories su ivan t qu ' i ls sont lin6aires ou non lin6aires. Bien que ces r6cepteurs a ient 6t6 l ' ob je t d ' un nombre i m p o r t a n t de t r avaux , comme en t6moi- gne la b ib l iographic ci-jointe, ils sont encore le suje t d ' un nombre de publ ica t ions qui ne d6croit pas avec le temps. I1 e n e s t ainsi car de nombreuses difficult6s sont encore h r6soudre. Citons, pa r exemple, l ' impor - t ance d ' un bon choix de l ' i n s t an t d '6chant i l lonnage, et la n~cessit6 de lu t t e r contre des var ia t ions al6atoires de ces ins tants . La phase &acquis i t ion const i tue 6ga- lement nn domaine i m p o r t a n t de recherche car une convergence rap ide p e n d a n t cet te phase est un besoin imp6ra t i f pour eertaines appl ica t ions de la t616- informat ique. Citons enfin l ' a lgor i thme de Vi terbi qui a permis un pas i m p o r t a n t vers la rdal isat ion concrete d 'un r~cepteur selon le m a x i m u m de vra i semblance mais dont une mise en ceuvre simple et a d a p t a t i v e est encore ac tue l l ement du domaine des objectifs .

(A-2) constituent un r~sumd exhaustif pour l 'estimatiou des symboles dmis. Ce qui ddmontre la proposition l , car la valeur (A-2) est en fait l%chantillon de sortie du filtre adapt~ ~ s(t) ~ l ' instant ~, § kA.

A ~ E X E B

L'erreur quadratique moyenne (60) a pour expression, d'apr~s (48) et (59) :

(B-I) r = a ~ - - 2 ~T E(a;: xk) -[- ~T E(xk xk T) H ,

ou encore, d'apr~s (45), (3), (62) et (66) :

Ainsi le vecteur H , , pour lequel r est minimal, est solution de l'~quation (65), qui t radui t la nullitd du gra- dient de ~(H) :

/ 1 \ /7

Lasolution H , de (65) existe si la matriee _8 + ~ B b

1 est inversible. Or la matriee ~ B b est d~finie non n~ga-

tire, et il est aisg de constater qu'il en est de m~me de 8. De plus, 8 est sym~trique et stationnaire (s~d = si+~, j+~). C'est done la matrice de corr61ation d 'un certain processus. Pour pr~ciser le spectre repli6 de ce processus, exprimons szd en fonction de S,~(v) ; d'apr~s (22) :

F t / 2 A / '1 /2A (B-3) s~,j = 5 ~ _ _ __~-l /2Aff-- l /2A Sa(~)S~(~ ) x

e-2ir:(gl+,~'j)A ~]~ e2~i(,~+,~')kA d~d,/,

qui dcnne la formule (64) en appliquant ~ nouveau (22). On voit que _8 est la matrice de corrdlation d'un pxocessus dont le spectre repli~ est [Sa(v)l~. D'apr~s le th~or~me (2.1) de [20], nous savons qu'une condition sugisante pour que la matrice _8 soit ddfinie positive est que [SA(~)[ ~ soit continu par morceaux et non nul. De m~me, R b e s t inversible si le spectre repli~ du bruit dans la bande de fr~quence

2A' + ~ est continue par morceaux et non nul.

Ceei ach~ve la d~monstration.

ANNEXE C

ANNEXE A

D'apr6s les hypoth6ses de la proposition 1, il est clair que le signal :

+N

E aj s(t-- iA) 1=--N

est une combinaison lin6aire d 'un ensemble fini de fonc- tions (~k(t), k = - - N . . . . . O, ..,, N)

(A-i) Vk(t) clef s(t - - kA)

de support born6 et de carrd intdgrable. Consid~rons la batterie de filtres adaptds f chacuue des

fonctions 0k(t), et les r~ponses

dt

de chacun de ces filtres, h x(t). On salt [7] que les sorties

Considdrons le terme aldatoire compl~mentaire figurant dans l 'algorithme (102), soit Yk(F), en taut que fonctiou du vecteur de filtrage F. On a :

(c-1) 7~(~) = Zk Z~ T ~ - - ~k ~ .

D'apr~s (94) et (98), sa valeur moyenne (prise sur la statistique des vecteurs ~ et des donndes ak) est :

(C-2) E(Yk(F )) = Rz F - - a2~) = ~ z ~ - - F , ) ,

off la deuxibme dgalit6 a lieu en vertu de la ddfinition (97) de /~, .

Pour montrer la convergence presque sfire de Fk vers -F , , nous utilisons le th6orbme (1.2) de [20, p. 47] :

Thdordme. - - Soit une suite de rdels positifs ~ satis- faisant (83) et une suite Yk(F) de fonctions al6atoires vectorielles de R "v+R+L+I, inddpendantes, de m6me loi, dont la moyenne est de la forme (C-2) avec une matrice ~z strictement d6finie positive, et telles qu'il existe trois rdels

A. T~LEC., 30, n ~ 9-10, 1975 16/20

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C. M A C C H I . -- R ] ~ C E P T E U R S A D A P T A T I F S P O U R T R A N S M I S S I O N D E D O N N I ~ E S 327

non n6gatifs K ~ , K 2 , K a pour lesquels : 2

(c-3) EilI?~(~)IP} < Z K~ I I~IF; i : 0

alors l ' a lgor i thme suivant :

(C-4) Fk+~ = / ~ k - - t z k Y k ( F k ) , k � 9

converge presque s~rement vers F . . D'apr6s (98) et l 'hypoth6se I. de la proposit ion 6, Rz

est s t r ic tement ddfinie positive. En outre, d 'apr6s (C-l) :

(C-5)

l lFk(~)ll ~ = II2~Z~T~II 2 - 2 akZJZ~ Z~w~ § 411Z~Ip. D'apr6s (96~), les vecteurs Z~ sont lindaires par rappor t l 'ensemble des variables a j , i entier, et b~. I1 d6coule

de l 'hypoth6se 3. de la proposit ion 6 que tous leurs moments jusqu '~ l 'ordre a sont finis. Ainsi il existe Ko et K~ non ndgatifs, tels que :

(c-6) E {IIY~ z%" ,~11 ~'} < K~ IIFII" ,

(c-~) E {411z,dl ~} < K o .

Consid@ons main tenant le vecteur aldatoire :

(C-8) Vk = akZk Zk T Zk ;

il est du 3 e ordre en aj et bk . Ainsi pour chacune de ses composantes, V~, / ~ I , . . . , N § L + R + 1, il existe un rdel non ndgatif M~ tel que :

(C-9) IE(V+)I < M~.

In t roduisant (C-9) dans le produi t sealaire V e ~ F qui appara i t en (C-5), il vient :

N + L + I I ~1

(C-10) [ E ( V J ~ ' ) ] < Z Mr162 < I1-~11 II~ll, ]=1

la derni6re 6galit6 6taut l '6criture de l ' in6galit6 de Schwarz. D'ofi l 'existence d 'uu r6el non n6gatif K~ = 2i1~/11.

Toutes les conditions du thdor6me (1.2) de [20] sont done v6rifi6es. Par applicat ion de ce thdor6me, la proposit ion 6 est ddmontrde.

A N N E X E D

La suite 9t qui maximalise Pr(m/X) pour X donn6 maximalise 6galement Pr(m, X). Cette probabil i t6 se faetorise ais6ment :

(D-l) Pr(m, X) = II Pr(Xk/Ak) Pr ( /~+l /Ek) .

En effet, d 'une part , X~ ne d6pend de m q u e par Ak, et les B~ sont inddpendants, ce qui implique :

K §

(D-2) Pr(X/m) = 1] Pr(X~/ffk), k - - I

et d 'au t re part , l ' inddpendance des ak entralne le earaet6re markovien des 6tats Ek,

(D-3) Pr(Ek+~/E~ . . . . . Ek) -- Pr(Ek+l/Ek) .

Remarquons que Pr(Ek+l/~:k) est connu a priori, car les ak sont ind6pendants et 6quipartis sur les niveaux possibles,

(D%) Pr(~?k+JEk) -- Pr(ak) l / q .

Cette probabil i td 6rant eonstante, on peut la ndgliger dans la recherche de ~ .

Enfin considdrons Pr(Xk/.~k). Le ealeul de cette quanti td est possible, car nous supposons le brui t gaussien, et

eonnu :

(D-S) PrtX~/.4~) = Pr(Bk = X k - C~.Ak) .

Darts ces conditions, la suite ~ est la suite qui minimalise K + l

- - loge Pr(m, X) = Z ~_~, (Xk - - ~v..4k)~ ,

off Z est une constante posit ive inddpendante de X. Ce qui 6tablit la proposit ion 7.

ANNEXE E

Considdrons Vk la diffdrenee Hk - - H , . L 'dquat ion (75) devient :

~xkx]c] Vk + ~[ - - XkxkH, -~ akxk].

Grfiee ~ l ' ind@endanee des couples (al, Xl) et (a~, xk) pour k ~: l, on eonstate par rdcurrence que les variables alda- toires (ak, Xk) et Vk sont inddpendantes. Prenons alors

la valeur moyenne de (E-l) . En rappelant (annexe B) que

(E-2) E ( x ~ ) a 2 ~ + Rb ,

(E-3) E(ak~k) ~ aS So,

il vient, d 'apr6s la d6finition (65) de H , :

(E-Q E(Vk+I) : [ / - - ~(a 2 ~ + Rb)] n ( v k ) ,

o f f / e s t la matr ice identitT. I1 est facile de voir qu'une condition n@essaire et suff~sante de convergence, pour la suite E{VIc) qui sat isfai t l 'dgalit6 pr@6dente, est la condition (79). Si elle est v@ifide, E(Vk) tend vers z@o, ce qui d6montre la premi@e pat t ie de la proposition.

Pour ddmontrer la seeonde part ie de la proposition, dvaluons ~ l 'deart quadrat ique de Hk par rappor t a sa valeur moyenne limite H , .

(E-5) ~ = E(Vf~Vk).

De l 'expression du produi t ~T k + i Wk+l qui se caleule l 'aide de (E-i), on ddduit la valeur de ~ + ~ . En uti l isant l ' inddpendance de V~ et du couple (ak,xk), ainsi que les dquations (65), (E-2) et (E-3), il vient :

(S-6) 6 2 + 1 E[V~ T(~) Vk] T ~2[E(-V~)p + q], avec

(E-7) T(~) = El(L-- ~x~x~)~],

(E-8) p 2E[ -~-Txkxk(- Xk~XVkH, -~ akxk)] , ~ T

(E-v) q = E ( I I - -xkxk~ , + ~k~kll~).

L'existence de T(~), p e t q e s t assurde par le caract@e fini des moments de a]c et xk jusqu 'h l 'ordre ~. Notons que p e t q sont des eonstantes. La matrice T(~) est ddfinie non ndgative d 'apr6s (E-7). Montrons que pour ix assez peti t , ses valeurs propres sont s t r ic tement comprises entre 0 et 1. Pour cela dcrivons (E-7) sous la forme :

(U-10) T(~) = / - - ~ I ) (~) avec

D(~) = 2 (a e 8 + ~b) - - ~z E [ ( x ~ ) 2 ] .

Soit tma~(~), dmax(b) et Xmax (resp. tmin(m), drain(IX) et kmin) la plus grande (resp. la plus petite) valeur propre des matrices T(~), D(~) et (a~8 § _Rb). D'apr~s [7, pp. 63-7~.] :

(E-I~) lira dmin(~) : 2 kmin, lim dmax(~) = 2 kmax. ~--~-0 ~t--~-0

Nous en ddduisons que, pour ~ assez pet i t :

(E-t2) I - - tmin(~Z) ~ 2 ~Zkmax, I - - tmax(~) ~ 2 ~Xmin .

17/20 A. TI~LEC., 30, n ~ 9-10, | 9 7 5

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328 c. MACCHI. -- RI~CEPTEURS ADAPTATIFS POUR TRANSMISSION DE DONNI~ES

D'od, en particulier,

(E-13) ?~ tel que V [z ~ [~ ~ 0 ~ t ra in (~z) ~< tmax (~z) ~ t .

D'aprbs (E-6), ? satisfaisant (79) de fagon ~ assurer la convergence en moyenne de Vk vers le vecteur nul,

(n-14) y ~ 0 , ~ N ~ 0 tel que V k ~ N ~ (~+~<~ tmax(9)~§

Nous ea ddduisons que :

(E-15) limsup ~ ~< ~ q / ( t - - tmax(~)) ~e__~ L(~).

Enfin, d'apr~s (E-12), lorsque ~ tend vers zdro :

~q (E-16) L(~t) _~ 2 ),min"

Ainsi L(~) tend vers z6ro avec ~, ce qui ddmontre la 2 e pattie de la proposition.

Manuscri t refu le 22 mars 1975.

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