Universit de Tunis Institut suprieur de Gestion
Anne universitaire 2007-2008 Dpartement EMQ
3 IAG
Recherche Oprationnelle Srie 2 Exercice 1 : Deux compagnies se
partagent le march pour un produit donn. La compagnie A dtient pour
le moment 80% du march, tandis que la compagnie B nen dtient que
20%. 1- En dsignant par nX la rpartition du march entre les deux
compagnies aprs n mois, crire la loi de probabilit de X 0 : la
rpartition initiale du march. 2- Une tude de march effectue par la
compagnie A, a tablie que dun mois lautre, le mouvement des clients
se fait avec les probabilits conditionnelles suivantes :
6.0)(,7.0)( 11 ======== ++ BAnnAAnn pBXAXPpAXAXP
4.0)(,3.0)( 11 ======== ++ BBnnABnn pBXAXPpAXBXP En supposant
que ces probabilits sont homognes, cd : 0,)()( 011 ======+
npiXjXPiXjXP ijnn
a- Ecrire la matrice P des probabilits conditionnelles. b- En
dduire que les probabilits croises du couple ).,( 10 XX c- Trouver
de deux manires diffrentes, la loi de 1X .
Exercice 2: Soit ( nX ) une chane de Markov, montrer que :
)./(),...,/( 11001100 iXiXPiXiXiXP nn ====== Exercice 3 : Dans
un jeu au hasard, un joueur dispose au dpart dune somme de 2
dinars. Il mise un dinar au dbut de chaque tape et il a une
probabilit p=0.4 de gagner.
Ce joueur dcide darrter de jouer dans le cas o il sera ruin ou
dans le cas o sa fortune Xn aprs n tapes sera T=4 dinars. 1 )
Montrer que la suite Xn est une chane de Markov. 2) Ecrire Xn+1 en
fonction de Xn. 3) Etablir la matrice de transition une tape P et
tracer son graphe. 4) Calculer la probabilit que la fortune du
joueur soit de 2 dinars aprs deux tapes. Exercice 4 : Soit {Xn , n
0} une chane de Markov dont lespace des tats I est lensemble des
nombres entiers non ngatifs N ={0,1, 2} et telle que :
+=Ij
ij IiBAipj ,
o A et B sont deux constantes. 1) Montrer que E (Xn+1) = A E
(Xn) + B. 2) Soit la matrice de transition suivante :
=
yxP
04/12/14/1
03/13/2
a) Dterminer la valeur de A et B. b) Dterminer la valeur de x et
y. Exercice 5 : Soit un rcipient contenant N boules noires et R
boules rouges, On enlve les boules une par une sans les remettre
dans le rcipient aprs avoir observ leur couleur. On dira que le
systme est dans ltat i aprs n prlvements sil reste exactement i
boules noires dans le rcipient. On crit Xn = i, o {Xn, n 0} est un
processus stochastique reprsentant le nombre de boules noires
restant dans le rcipient aprs chaque prlvement. Montrer que ce
processus dcrit une chane de Markov non homogne.
