Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle

Université de Tunis El Manar

Mastère de Mathématiques Appliquées

Recueil d'Examens(2003 2011)

Analyse Fonctionnelle

Faker Ben Belgacem (UTC) – Henda El Fekih (ENIT)

Ecole Nationale d'Ingénieurs de TunisB.P. 37 – 1002 Le Belvédère Tunis – Tunisie

Tél. (+216) 71 874 700 Fax : (+216) 71 872 729 http://www.enit.rnu.tn

E.N.I.T. Mastere de Mathematiques Appliquees

Examen – Analyse Fonctionnelle

Enseignants : F. Ben Belgacem – H. El Fekih Duree : 4H00

Date : 12 janvier 2004 Documents personnels autorises

Les Exercices I et II sont tres faciles, voire elementaires pour des etudiants deMastere! Il est recommande aux candidats de repondre aux questions avec clarte etconcision, et d’eviter les fioritures (ezz-aıed et ett-balbiz!) qui risquent de penaliserla note. Le Probeme III ne pose pas de difficulte majeure, son objectif est d’evaluerl’aptitude des etudiants a appliquer correctement la theorie de Hille-Yosida enseignee encours. Le probleme IV traite des problemes lineaires elliptiques abstraits, il est importantde bien comprendre ce qui est demande avant de repondre aux questions1. Ce problemeest probablement le plus difficile, . . . ou plutot certainement le moins facile!

Bon Travail!

Exercice I : Preambule : Le theoreme de Baire— Soit H un espace de Hilbert reel, et(Hn)n∈N une famille de fermes recouvrant H, (i.e. H = ∪nHn), alors l’un au moins desHn est d’interieur non vide.

Soit H un espace de Hilbert reel et D ⊂ H verifiant la propriete suivante

∀y ∈ H, ∃My ∈ R+ tel que |(x, y)| ≤My, ∀x ∈ D.

On veut etablir que D est un ensemble borne (C’est une generalisation du resultat bienconnu en dimension fini : un ensemble d’un espace de Hilbert —ou d’un espace deBanach— est borne s’il est borne dans toutes les directions). A cette fin, on considerepour tout n ∈ N, l’ensemble

Hn =y ∈ H; |(x, y)| ≤ n, ∀x ∈ D

.

I.1.– Dire pourquoi Hn est ferme et remarquer que H =⋃n∈N

Hn. En deduire qu’il existe

n0 ∈ N, pour lequel Hn0 est d’interieur non vide.

I.2.– Soit Bf (y0, r) ⊂ Hn0 (Bf (y0, r) est la boule fermee de centre y0 et de rayon r),prouver que

|(x, z)| ≤ 1

r(n0 +My0), ∀z ∈ Bf (0, 1), ∀x ∈ D,

et en deduire que D est borne.

Exercice II : Soit H un espace de Hilbert reel dont le produit scalaire est note (·, ·) et lanorme associee ‖ · ‖. Soit (xn)n∈N une suite de H ; on dit que xn converge faiblement versx ∈ H si pour tout y ∈ H, la suite reelle (xn, y) converge vers (x, y), on ecrit que xn xdans H. Il est evident que si xn converge fortement vers x, i.e. ‖xn − x‖ converge vers 0,alors elle converge faiblement vers la meme limite.

II.1.– Etablir que si xn x dans H (convergence faible) et que ‖xn‖ → ‖x‖ (convergenceforte) alors xn → x dans H (convergence forte).

1Ce qui se pense clairement s’exprime simplement! Dicton francais.

Examen – Analyse Fonctionnelle 12 janvier 2004

II.2.– Soit A ∈ L(H), montrer que A est faiblement continu, ce qui revient a etablir que

xn x (dans H) =⇒ Axn Ax (dans H).

II.3.– Montrer que si xn x dans H alors elle est bornee et ‖x‖ ≤ lim infn→∞

‖xn‖ (utiliser

l’exercice I).

II.4.– On suppose que xn x dans H (convergence faible) et que zn → z dans H(convergence forte).

II.4.i.– Prouver que (xn, zn) → (x, z).

II.4.ii.– On suppose que H est muni d’une base hilbertienne (en)n∈N, prouver queen 0. En deduire que l’hypothese zn → z (convergence forte) est essentielle pour leresultat de II.4.i.

Probleme III : Soient ψ ∈ L2(R) et f ∈ L2([0,∞[×R), on considere le probleme deCauchy

∂u

∂t(t, x) + xu(t,−x) = f(t, x), ∀(t, x) ∈ [0,∞[×R(1)

u(0, x) = ψ(x)(2)

(1) n’est pas une equation differentielle! L’objectif est de prouver par la theorie de Hille-Yosida que le probleme (1)-(2) admet une solution unique dans un espace fonctionneladequat.

III.1.– On definit l’operateur A par

(Av)(x) = xv(−x), ∀x ∈ R.

Prouver que A determine un operateur non borne sur L2(R) de domaine (a preciser) dense.Montrer que A est anti-adjoint et en deduire que A est maximal monotone.

III.2.– On suppose que ψ ∈ D(A) et que f = 0, montrer par le theoreme de Hille-Yosidaque le probleme de Cauchy (1)-(2) admet une solution unique dans C1([0,∞[, L2(R)) ∩C([0,∞[, D(A)) et que l’operateur T (t)ψ = u(t, ·) se prolonge en une isometrie dans L2(R).

III.3.– Montrer que la famille (T (t))t≥0 se prolonge en un groupe d’isometrie (S(t))t∈R aun parametre (i.e S(t) = T (t),∀t ≥ 0) qui verifie

dS(t)

dt= −AS(t), ∀t ∈ R.

III.4.– On suppose que ψ ∈ D(A) et que f ∈ C([0,∞[, D(A)), a l’aide de la methode de lavariation de la constante determiner la solution du probleme de Cauchy (1)-(2) (justifiertoutes les etapes de votre reponse!).

III.5.– Ecrire une equation differentielle d’ordre deux sur u lorsque f = 0. En deduirel’expression explicite de T (t) et verifier a posteriori les proprietes etablies dans III.2.,III.3. et III.4.

Mastere de Mathematiques Appliquees 2/3

Examen – Analyse Fonctionnelle 12 janvier 2004

Probleme IV : Soient X et Y deux espaces de Hilbert reels tels que X s’injecte dans Yavec une injection continue et dense. Leurs produits scalaires sont respectivement notes(·, ·)X et (·, ·)Y .

IV.1.– On note

D =x ∈ X; ∃C > 0, tel que |(x, y)X | ≤ C‖y‖Y , ∀y ∈ X

.

Justifier que, pour tout x ∈ D, l’application y 7→ (x, y)X se prolonge de maniere uniqueen une forme lineaire continue sur Y . En deduire que, pour tout x ∈ D, il existe ununique x∗ ∈ Y tel que (x, y)X = (x∗, y)Y ,∀y ∈ X. Dans la suite, D sera note D(A) et Al’operateur lineaire defini par Ax = x∗ pour tout x ∈ D(A). Verifier que D(A), muni dela norme du graphe, est un espace de Hilbert.

IV.2.– Soit z ∈ Y , on considere l’equation :

chercher x ∈ D(A) tel que, Ax = z.(3)

IV.2.i.– Ecrire une formulation variationelle du probleme (3) dans X.

IV.2.ii.– On considere le probleme faible qui consiste a

chercher x ∈ X tel que, (x, y)X = (z, y)Y , ∀y ∈ X.(4)

Montrer que le probleme (4) admet une solution unique x ∈ X et que x est dans D(A).En deduire que le probleme (3) admet une solution unique.

IV.3.– Prouver que A est un isomorphisme de D(A) dans Y de domaine dense.

IV.4.– On suppose que X = H10 (Ω), muni de la semi norme (qui est une norme!) et

Y = L2(Ω), muni de sa norme naturelle ou Ω est un domaine regulier de Rd. Determineravec precision l’operateur A (son domaine et son expression).

Questions facultatives de bonification.

IV.5.– On suppose qu’il existe une base orthonormee (en)n de l’espace Y telle queen ∈ D(A) et Aen = λnen. Verifier que λn > 0 et que par consequent (en)n est unebase othogonale de X et calculer ‖en‖X .

IV.6.– Etablir que

x =∑

n

xnen ∈ D(A) ⇐⇒∑

n

λ2nx

2n <∞,

x =∑

n

xnen ∈ X ⇐⇒∑

n

λnx2n <∞.

On ecrit que X = D(A12 ) et (D(Aθ))θ∈[0,1] ou

D(Aθ) =x ∈ Y,

∑n

λ2θn x

2n <∞

definit une famille decroissante d’espaces de Hilbert notee ([X, Y ]1−θ)θ∈[0,1] et appelesespaces d’interpolation entre X et Y .



Examen (session de rattrapage) – Analyse Fonctionnelle


Date : 13 mai 2004 Documents personnels autorises

Il est recommande aux candidats de repondre aux questions avec clarte et concision.Toute reponse imprecise sera consideree fausse.

Bon Travail!

Exercice I

Soit E = C([0, 1],R) muni d’une norme ‖ · ‖ qui en fait un espace de Banach et telleque si (fn)n converge vers f ∈ (E, ‖ · ‖) alors fn converge simplement vers f . On souhaitemontrer que ‖ · ‖ et ‖ · ‖∞ sont equivalentes. La norme ‖ · ‖∞ est definie par

‖f‖∞ = supt∈[0,1]

|f(t)|.

I.1.– Montrer que D = (x, x) ∈ E × E muni de la norme ‖(x, x)‖D = ‖x‖ + ‖x‖∞ estun espace de Banach.

I.2.– Montrer que la fonction f(y, y) = y definie de D sur (E, ‖ · ‖) est continue ainsi queson inverse. Conclure.

Exercice II

Soit (H, (·, ·)H) un espace de Hilbert. On dit (rapelle) qu’une suite (xn)n deH convergefaiblement vers x si pour tout y ∈ H, on a lim

n→∞(xn, y)H = (x, y)H , et on rappelle que

toute suite faiblement convergente est bornee.Soient A ∈ L(H) et (xn)n ∈ H une suite faiblement convergente vers 0.

II.1.– Prouver que (Axn)n converge faiblement vers 0.

II.2.– On suppose que l’image de tout borne de H par A est relativement compact dansH, ce qui signifie que son adherence est un compact —on dit que A est un operateurcompact—. Montrer que (Axn)n converge fortement vers 0.

Exercice III

Soient E1 ⊂ E2 ⊂ E3 trois espaces de Banach tels que l’injection i : E1 → E2

est continue et compacte (voir II.2. pour la definition) et l’injection j : E2 → E3 estcontinue.

III.1.– Montrer que pour tout ε > 0, il existe une constante Cε > 0 telle que

‖x‖E2 ≤ ε‖x‖E1 + Cε‖x‖E3 , ∀x ∈ E1.

Examen – Analyse Fonctionnelle 13 mai 2004

III.2.– Examiner le cas particulier ou E1 = H2(]0, 1[), E2 = H1(]0, 1[) et E3 = L2(]0, 1[)en repondant aux questions suivantes :

III.2.1– Etablir que pour tout ε > 0, il existe une constante Cε > 0 telle que

‖u′‖L2(]0,1[) ≤ ε‖u′′‖L2(]0,1[) + Cε‖u‖L2(]0,1[), ∀u ∈ H2(]0, 1[).

III.2.2– Expliquer pourquoi Cε explose lorsque ε tend vers zero. Quelle est la valeuroptimale de Cε?

III.3.– Qu’advient-t-il lorsque E3 est de dimension finie?

Exercice IV

On definit, pour tout t ∈ R, l’operateur lineaire

T (t) : L2(R) → L2(R)

ψ 7→ ϕ = T (t)ψ;ϕ(x) = ψ(x+ t), ∀x ∈ R.

IV.1.– Montrer T (t) est bien defini et que la famille (T (t))t∈R determine un groupe continud’isometries sur L2(R).

IV.2.– Donner le generateur infinitesimal (qu’on appellera A) de ce groupe —il s’agit dedeterminer avec precision son domaine et son expression.

IV.3.– En deduire, lorsque ψ ∈ H1(R), la solution de l’equation d’advection

∂f

∂t(t, x)− ∂f

∂x(t, x) = 0, ∀(t, x) ∈ [0,∞[×R

f(0, x) = ψ(x).

Que se passe-t-il si ψ ∈ L2(R)?




Enseignants : F. Ben Belgacem – H. El Fekih Duree : 3H00Date : 4 fevrier 2005 Documents personnels autorises

Il est recommande aux candidats de repondre aux questions avec clarte et concision, et d’eviter lesfioritures (ezz-aıed w ett-balbiz!) qui risquent de penaliser la note. Il est important de bien comprendrece qui est demande avant repondre aux questions1 et de se contenter d’y repondre.

Bon Travail!

Exercice I : On considere l’espace des suites sommables

`1(R) =

u = (un)n≥1;∑n≥1

|un| < ∞

,

muni de la norme‖u‖`1 =

∑n≥1

|un|.

On definit l’operateur A de D(A) ⊂ `1(R) dans `1(R) par Au = (nun)n≥1.

I.1.– Apres avoir precise le domaine D(A), montrer que A est un operateur ferme a domaine dense dans`1(R).

I.2.– Etablir que `∞(R), l’espace des suites bornees, est le dual de `1(R) et determiner l’operateur adjoint(A∗, D(A∗)) ainsi que l’adherence de D(A∗) dans `∞(R).

Exercice II : Soient A et B deux operateurs lineaires continus sur un espace de Hilbert separable H.On suppose que A est injectif et que B est compact (c’est-a-dire que si K ⊂ H est borne dans H alorsB(K) ⊂ H est relativement compact). On suppose qu’il deux existe constantes C1 > 0 et C2 > 0 verifiant

‖x‖ ≤ C1‖Ax‖+ C2‖Bx‖, ∀x ∈ H;(1)

II.1.– On suppose qu’il existe une suite (xn)n de H verifiant

‖xn‖ = 1, ‖Axn‖ ≤1n

, ∀n ≥ 1;

II.1.1.– Dire pourquoi (xn)n admet une sous-suite (xnk)k qui converge faiblement dans H. On notera

y sa limite.

II.1.2.– Montrer que (Axnk)k converge faiblement vers Ay.

II.1.3.– Verifier que (Axn)n converge fortement vers 0. Que vaut alors y?

II.1.4.– Donner la limite de la suite (Bxnk)k et deduire une absurdite.

II.2.– On suppose toujours que l’inegalite (1) a lieu.

II.2.1.– A l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer qu’il existe une constante C3 > 0 telle que

‖x‖ ≤ C3‖Ax‖ ∀x ∈ H.

II.2.2.– Montrer que (Im A) est ferme dans H.

II.2.3.– En deduire que si A est de plus autoadjoint alors c’est un isomorphisme de H.1Ce qui se pense clairement s’exprime simplement! Dicton francais.

Examen – Analyse Fonctionnelle 4 fevrier 2005

Exercice III : On considere, pour tout p ∈ N, l’espace de Hilbert

Hp =

u = (un)n≥1;∑n≥1

(npun)2 < ∞

,

muni de la norme

‖u‖Hp =( ∑

n≥1

(npun)2) 1

2.

On definit la famille d’operateurs (S(t))t∈R par

S(t) : H1 ×H0 → H1 ×H0

(α, β) 7→ (γ(t), δ(t)),

avecγn(t) = αn cos(nt) +

βn

nsin(nt), δn(t) = −nαn sin(nt) + βn cos(nt).

III.1.– Apres avoir verifie que S(t) est bien defini, prouver que la famille (S(t))t∈R est un groupe continud’isometries a un parametre.

III.2.– Donner son generateur infinitesimal A. Determiner avec precision son domaine D(A) et sonexpression et verifier que D(A) est dense dans H1 ×H0.

III.3.– Montrer que A est maximal monotone (Il vous est demande d’utiliser les definitions2). En deduirequ’il est anti-adjoint.

III.4.– Donner le systeme d’equations d’evolution sur (γ, δ) associe au groupe (S(t))t∈R. Eliminer δ etdonner l’equation d’ordre deux sur γ ainsi que les conditions initiales qu’elle verifie en fonction de α etβ. (C’est l’equation d’onde sur (0, π) decomposee sur la base de Fourrier).

Exercice IV : On note H = L2(0, 2π), l’espace de Lebesgue standard muni de sa norme ‖ · ‖L2 . Soitr ∈]0, 1[, on considere l’application

k(y) =1− r2

1 + r2 − 2r cos(y), ∀y ∈ [0, 2π].

On definit l’operateur integral T sur H par

Tf(x) =∫ 2π

0

k(x− y)f(y) dy, ∀f ∈ H,∀x ∈ [0, 2π].

IV.1.– Etablir que

Tf(x) =∫ 2π

0

f(y) dy + 2∑p≥1

rp

∫ 2π

0

f(y) cos(p(x− y)) dy.

IV.2.– Montrer que pour tout λ > 0, l’operateur (I + λT ) est un isomorphisme autoadjoint.

IV.3.– Determiner les valeurs propres et les vecteurs propres de T .

2Toute reponse non-conforme a l’esprit de la question sera consideree fausse.




Enseignants : F. Ben Belgacem – H. El Fekih Duree : 2H00Date : 1er juin 2005 Documents personnels autorises

Exercice I : Soit H un espace de Hilbert et T : H → H un operateur lineaire continu strictementcontractant :

‖Tx‖ < ‖x‖, ∀x ∈ H \ 0.I.1.– Est-ce que la suite (T kx = (T T · · · T )x)k converge pour tout x ∈ H lorsque la dimension deH est finie? Lorqu’elle est infinie? (Justifier).

On suppose desormais que la dimension de H est infinie et que T est asymptotiquement regulier, c-a-dqu’il verifie

limk→∞

(T kx− T k+1x) = 0, ∀x ∈ H.(1)

On souhaite etablir quelim

k→∞T kx = 0, ∀x ∈ H.(2)

I.2.– Justifier brievement que T admet un adjoint, note T ∗, qui est lui meme un operateur lineaire continusur H.

I.3.– Determiner le noyau N(I − T ∗) de (I − T ∗).

I.4.– L’espace image R(I − T ) est-il dense dans H? Pourquoi?

I.5.– Montrer que la proporiete (2) est vraie pour tout x ∈ R(I − T ).

I.6.– On considere l’ensembleD =

x ∈ H, lim

k→∞T kx = 0

.

Prouver qu’il est ferme et en deduire que (2) est vraie pour tout x ∈ H.

I.7.– On considere `2(R) l’espace des suites a carre sommable muni de la norme

‖x‖`2 =( ∞∑

n=1

x2n

) 12, ∀x = (xn)n≥1 ∈ `2(R).

On definit l’operateur shift a gauche T ∈ L(`2(R)) par Tx = y, avec yn = xn+1,∀n ≥ 1. Verifier que Test contractant au sens large, i.e., ‖Tx‖`2 ≤ ‖x‖`2 ,∀x, et asymptotiquement regulier. Determiner T ∗, lesnoyaux ainsi que les images de (I − T ) et (I − T ∗).

Exercice II : Soit Ω un ouvert borne regulier de R2. Pour tout u, v ∈ H1(Ω) on pose

c(u, v) =∫

Ω

∇u · ∇v dx +∫

Ω

a(x)uv dx +∫

∂Ω

b(x)uv dγ,

ou a et b sont des fonctions continues sur Ω et ∂Ω respectivement et positives.

II.1.– Verifier que la forme bilineaire c est bien definie.

II.2.– Montrer c est coercive si et seulement si a(x) 6≡ 0 ou b(x) 6≡ 0.

II.3.– On suppose desormais que a(x) 6≡ 0 ou b(x) 6≡ 0. Soit f ∈ L2(Ω) et g ∈ L2(∂Ω), on considere leprobleme variationnel : chercher u ∈ H1(Ω) tel que

c(u, v) =∫

Ω

fv dx +∫

∂Ω

gv dγ, ∀v ∈ H1(Ω).

Montrer qu’il admet une solution unique et donner le probleme fort dont u est solution.



Enseignants : F. Ben Belgacem, B. Dehman et H. El Fekih Duree : 3H00

Date : 16 Janvier 2006 Documents personnels autorises

Il est recommande aux candidats de repondre aux questions avec rigueur, clarte et concision, et d’eviter

les fioritures (ezz-aıed w ett-balbiz!) qui risquent de penaliser la note. Il est important de bien comprendre

ce qui est demande avant repondre aux questions1 et de se contenter d’y repondre.

Bon Travail!

Probleme I :Preambule: Lemme de Gronwall

Soient m(·) ≥ 0 une fonction continue sur [0, 1] et α un reel ≥ 0. On considere ϕ(·) une fonctioncontinue et positive sur [0, 1] telle que

ϕ(x) ≤ α +

∫ x

0

m(t)ϕ(t) dt, ∀x ∈ [0, 1].

I.0.– Montrer que

ϕ(x) ≤ α exp(

∫ x

0

m(t) dt), ∀x ∈ [0, 1].

Analyse du probleme de Cauchy

Soit I l’intervalle [0, 1], ω ≥ 0 et a(·) une fonction continue strictement positive sur I . Pour lesdonnees f ∈ L2(I) et β ∈ R, on considere le probleme de Cauchy (qui n’est pas un probleme aux limites!)

−(au′)′ + ωu = f, dans I

u(0) = 0

a(0)u′(0) = β

.(1)

I.1.– On suppose que le problme (1) admet une solution dans u ∈ H1(I). Pourquoi au′ ∈ H1(I)? Endeduire que la solution u est unique et qu’elle est de classe C1 sur I —On pourra utiliser le lemme de

Gronwall sur la fonction |u(·)|—.

I.2.– Soit γ ∈ R, on considere le probleme aux limites : chercher w ∈ H1(I) tel que

−(aw′)′ + ωw = f, dans I

w(0) = 0

w(1) = γ

.(2)

Donner la formulation variationnelle de (2) et montrer qu’elle admet une solution unique dans w ∈ H1(I).

I.3.– On suppose que f = 0, monter que l’application γ 7→ a(0)w′(0), est bijective sur R. En deduire quele probleme (1) admet une solution u ∈ H1(I) qui est donc unique. Etendre le resultat d’existence aucas ou f ∈ L2(I) est arbitraire.

I.4.– On suppose que f ∈ L∞(I) et que u ∈ H1(I) est solution de (1), etablir que

‖u‖L∞(I) ≤ C(ω)(|β| + ‖f‖L∞(I)),


Examen – Analyse Fonctionnelle 16 Janvier 2006

et fournir une estimation de la constante C(ω).

I.5.– On introduit l’espace

V =

v∗ = (vD , vN ) ∈ H1(I) × H1(I), vD(0) = 0, vD(1) = vN (1)

,

et on considere le probleme variationnel : chercher u∗ ∈ V tel que∫

I

(au′

Dv′D + ωuDvD) dx −

∫

I

(au′

Nv′N + ωuNvN ) dx =

∫

I

f(vD − vN ) dx − βvN (0),

∀v∗ ∈ V.

I.5.1– On suppose que cet espace est muni de la norme

‖v∗‖V = ‖vD‖H1(I) + ‖vN‖H1(I), ∀v∗ ∈ V.

Montrer que la semi-norme

|v∗|V = ‖v′D‖L2(I) + ‖v′N‖L2(I), ∀v∗ ∈ V,

est une norme equivalente a la norme ‖ · ‖V .

I.5.2– Par des choix judicieux de v∗ (= (vD , 0) d’abord et = (0, vN ) ensuite), etablir que

−(au′

D)′ + ωuD = f, dans I

uD(0) = 0

−(au′

N)′ + ωuN = f, dans I

a(0)u′

N (0) = β

I.5.3– Montrer queu′

D(1) = u′

N (1).

I.6– Ecrire un probleme (de Cauchy) sur w = uD − uN et en deduire que uD = uN = u, ou u est lasolution du probleme de Cauchy (1).

Dans toute la suite on suppose que f = 0 et ω = 0.

I.7– On note wγD ∈ H1(I) et w

γ,βN ∈ H1(I) les solutions de

−(aw′

D)′ = 0, dans I

wD(0) = 0

wD(1) = γ

−(aw′

N )′ = 0, dans I

a(0)w′

N (0) = β

wN (1) = γ

.

Montrer qu’une condition necessaire et suffisante pour que w∗ = u∗, est que γ soit solution de l’equationalgebrique

sγ = g,

avec s = sD − sN , ou

sD =

∫

I

a[(w1D)′(x)]2 dx, sN =

∫

I

a[(w1,0N )′(x)]2 dx, et g = a(1)(w0,β

N )′(1).

I.8– Apres avoir formule le probleme faible sur w1,0N comme un probleme de minimisation, verifier que

sD > sN > 0.

I.9– En deduire que la suite (γk)k ⊂ R definie par la relation de recurrence

sDγk+1 − sNγk = g,

est convergente et que wγk

D et wγk ,βN convergent dans H1(I) vers u, la solution du probleme de Cauchy2.

2Le probleme de Cauchy (1), dit aussi de completion de donnees, pose de grandes difficultes de resolution numerique



Probleme II :

Soit Ω ⊂ R2 un domaine borne et regulier. On considere l’espace de Sobolev H1

0 (Ω) muni de lasemi-norme

|v|H1(Ω) = ‖∇v‖L2(Ω)2 , ∀v ∈ H10 (Ω).

On rappelle qu’elle est une norme equivalente a la norme ‖·‖H1(Ω), par l’inegalite de Poincare. On definitl’espace H2

0 (Ω) comme la fermeture de D(Ω) dans H2(Ω), et la semi-norme est donnee par

|v|H2(Ω) =(

‖∂2xxv‖2

L2(Ω) + ‖∂2xyv‖

2L2(Ω) + ‖∂2

yyv‖2L2(Ω)

)1

2

, ∀v ∈ H20 (Ω).

II.1.— Soit la semi-norme|v|∆ = ‖∆v‖L2(Ω), ∀v ∈ H2

0 (Ω),

etablir que|v|H2(Ω) ≤ ‖∆v‖L2(Ω) ≤ 2|v|H2(Ω), ∀v ∈ H2

0 (Ω).

Raisonner par densite.

II.2.– Montrer que | · |∆ determine en fait une norme sur H20 (Ω) qui est equivalente a la norme ‖ · ‖H2(Ω).

Pour tout g ∈ H10 (Ω) on considere le probleme variationnel : chercher u ∈ H2

0 (Ω) tel que

∫

Ω

∆u∆v dx =

∫

Ω

∇g · ∇v dx, ∀v ∈ H20 (Ω).(3)

II.3.— Montrer que l’application R : g 7→ u, (u est solution de (3)) est bien definie de H10 (Ω) dans H2

0 (Ω),justifier rigoureusement votre reponse. Montrer qu’elle est continue. En deduire qu’elle est compacte etauto-adjointe de H1

0 (Ω) dans lui meme.

II.4.— Montrer par le theoreme de Hilbert-Schmidt, qu’il existe une base Hilbertienne (ek)k de(H1

0 (Ω), | · |H1(Ω)), et une suite de reels (λk)k ⊂]0, +∞[ telles que

∆2ek = −λk∆ek, dans Ω

∂nek = 0, sur ∂Ω

avec ∆2(·) = ∆∆(·), ∂n designe la derivee normale et ∂Ω est le bord de Ω. Verifier que λk → ∞. A-t-on∆ek = −λkek?

II.5.— Etablir que (ek)k est une famille orthogonale qui est dense dans H20 (Ω).

II.6.— On se place dans le cas ou Ω =]0, 1[. Construire (ek)k ⊂ H20 (]0, 1[) et (λk)k ⊂ R. En deduire la

plus petite constante γ verifiant

|v|H1(Ω) ≤ γ|v|∆, ∀v ∈ H20 (]0, 1[).

pour les grandes valeurs de ω. En effet, dans ce cas, le taux de convergence (= sD

sN

) de l’algorithme de Richardson defini

dans I.9 est tres proche de 1 et la convergence est tres lente. Ces observations s’aggravent de maniere drastique en

dimension superieure. On dit que le probleme de Cauchy est instable ou mal-pose. Si vous voulez en savoir plus, consulter

l’URL, (http://mip.ups-tlse.fr/~belgacem/Cauchy.html).



Examen Session de rattrapage – Analyse Fonctionnelle

Enseignants : F. Ben Belgacem, B. Dehman et H. El Fekih Duree : 3H00Date : 2 Mai 2006 Documents personnels autorises

Exercice I : Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie, et T : H → H un operateur lineaire,continu, symetrique et tel que,

0 < (Tx, x) < ‖x‖2, ∀x ∈ H \ 0.

On suppose aussi que (I − T ) est compact.

I.1.– Montrer que‖Tx‖ < ‖x‖, ∀x ∈ H \ 0.

I.2.– Pour tout x ∈ H, on construit la suite (xn)n comme suit : x0 = x et xn+1 = Txn. Montrerque la suite (‖xn+1 − xn‖)n converge dans R.

I.3.– Montrer qu’il existe une sous-suite (xnk)k telle que (xnk+1 − xnk

)k converge vers y dans H.

I.4.– Etablir que ‖y‖ = ‖Ty‖ et en deduire que y = 0.

I.5.– Conclure que la suite (xn+1−xn)n converge vers zero. (Cette propriete fait de T un operateurasymptotiquement regulier sur H).

I.6.– Prouver que pour tout x ∈ R(I − T ) la suite (xn)n converge vers zero. (R(I − T ) designel’image de I − T ).

I.7.– Justifier que R(I − T ) est dense dans H, et montrer que (xn)n converge vers zero pour toutx ∈ H.

I.8.– Prouver qu’il existe une base hilbertienne (ek)k ⊂ H, formee des vecteurs propres de T . Onnote (λk)k les valeurs propres associees, c’est-a-dire que Tek = λkek. Etablir que λk ∈]0, 1[,∀k, etque la suite (λk)k converge vers 1.

I.9.– Redemontrer le resultat de I.7 (xn → 0) en utilisant la decomposition spectrale de T . Onsupposera que les (λk)k sont triees dans un ordre croissant.

Exercice II :

On considere l’espace de Hilbert complexe

L2(0, 1) =

v : ]0, 1[→ C, mesurable tel que∫ 1

0|v(x)|2 dx < ∞

muni du propduit scalaire

(v, w)L2(0,1) =∫ 1

0v(x)w(x) dx.

L’espace de Sobolev complexe d’ordre 1 est note H10 (0, 1), il est muni du produit scalaire hilbertien

(v, w)H10 (0,1) =

∫ 1

0v′(x)w′(x) dx.

Examen Session de rattrapage – Analyse Fonctionnelle 2 Mai 2006

II.1.– Montrer que si e 6= 0 est dans H10 (0, 1) et tel que∫ 1

0e′(x)w′(x) dx = λ

∫ 1

0e(x)w(x) dx, ∀w ∈ H1

0 (0, 1),

alors λ est un reel > 0.

Soit (ek)k∈N la base hilbertienne de L2(0, 1) formee des vecteurs propres du laplacien. C’est-a-direqu’il existe une suite (λk)k∈N positive et croissante telle que∫ 1

0e′k(x)w′(x)dx = λk

∫ 1

0ek(x)w(x) dx, ∀w ∈ H1

0 (0, 1).

II.2.– Montrer que (ek)k∈N forme une base orthogonale de H10 (0, 1) et que∫ 1

0|e′k(x)|2 dx = λk.

On considere le probleme de Schrodinger

i∂tu + ∂2xxu = 0, dans ]0,+∞[×]0, 1[,

u(t, 0) = u(t, 1) = 0, t ∈]0,+∞[u(0, .) = u0(.), x ∈]0, 1[.

II.3.– On cherche u ∈ C([0,∞[,H10 (0, 1)). Enoncer la formulation variationnelle du probleme.

II.4.– On suppose que u0 ∈ H10 (0, 1) et on admet que le probleme faible possede une solution

unique u ∈ C([0,∞[,H10 (0, 1)). Donner le developpement de u(t) sur la base (ek)k∈N. Verifier que

la serie ainsi obtenue converge dans C([0,∞[,H10 (0, 1)).

II.5.– Calculer ‖u(t)‖L2(0,1) et |u(t)|H1(0,1) en fonction de ‖u0‖L2(0,1) et de |u0|H1(0,1). (| · |H1(0,1)

designe la norme sur H10 (0, 1) associee a (·, ·)H1(0,1)).

II.6.– On pose u(t) = G(t)u0, t ≥ 0. Montrer que cette definition s’etend aux t < 0 et que lafamille (G(t))t∈R est un groupe continu d’isometries sur L2(0, 1) et sur H1

0 (0, 1).

II.7.– On prend u0 ∈ H10 (0, 1) tel que u′′

0 ∈ L2(0, 1). Montrer que l’application t 7→ G(t)u0 est declasse C1 de R sur L2(0, 1). Que se passe-t-il si H1

0 (0, 1) rempalce L2(0, 1) dans l’espace d’arrive del’application t 7→ G(t)u0.




Enseignants : F. Ben Belgacem, B. Dehman, H. El Fekih Duree : 3H00Date : 09 Fecrier 2007 Documents personnels autorises

Il est recommande aux candidats de repondre aux questions avec rigueur, clarte et concision, et d’eviterles fioritures (ezz-aıed w ett-balbiz!) qui risquent de penaliser la note. Il est important de bien comprendrece qui est demande avant de repondre aux questions1 et de se contenter d’y repondre.

Bon Travail!

Exercice I : On considere H un espace de Hilbert reel de dimension infinie et A ∈ L(H) un operateurlineaire compact sur H. Tout au long de l’exercice α designe un reel strictement positif.

Partie 1

I.1.— A peut-il etre un isomorphisme?

On suppose que A est injectif. Une famille (Rα)α∈]0,∞[ ⊂ L(H) est dite regularisante pour A si

limα→0

RαAx = x, ∀x ∈ H.

I.2— Montrer que (RαA)α ne converge pas dans L(H) lorsque α tend vers 0 (Raisonnner par l’absurde.On rappelle que l’espace K(H) des operateurs compact sur H est ferme dans L(H)).

I.3— En deduire que (Rα)α ne peut pas converger pas dans L(H) lorsque α tend vers 0 .

Partie 2 (Regularisation de Lavrentiev)

On suppose que A autoadjoint, semi-defini positif et injectif. L’objectif de la partie 2 est de montrerque (αI +A)−1, est une famille regularisante pour A.

I.4.— Montrer que (αI +A) est inversible sur H.

I.5.— Soit x ∈ H, on pose f = Ax et

J(y) =12(Ay, y)− (f, y),

Jα(y) =12α‖y‖2 +

12(Ay, y)− (f, y) =

12α‖y‖2 + J(y),

et on note xα la solution de (αI +A)xα = f . Verifier que

J(x) ≤ J(y), et Jα(xα) ≤ Jα(y), ∀y ∈ H.

I.6.— En utilisant I.5. montrer que la suite (‖xα‖)α est montone et que ‖xα‖ ≤ ‖x‖.

I.7.— En deduire que Axα converge fortement vers f , et qu’il existe une sous-suite (αn)n avec αn → 0et (xαn)n converge faiblement vers x.

I.8.— Montrer que‖x‖ ≤ lim inf

n→∞‖xαn

‖.

Deduire de I.6. que ‖xα‖ converge vers ‖x‖.

I.9.— Etablir queα

2‖xα − x‖2 + (A(xα − x), xα − x) =

α

2(‖x‖2 − ‖xα‖2),

et en deduire que ((αI +A)−1)α est une famille regularisante pour A.1Ce qui se pense clairement s’exprime simplement! Dicton francais.

Examen – Analyse Fonctionnelle 09 Fevrier 2007

Partie 3 (Regularisation de Tikhonov et inverse de Moore-Penrose)

On suppose seulement que A et injectif est on souhaite etablir que la famille (αI + A∗A)−1A∗ estregularisante pour A, A∗ est l’adjoint de A dont on justifiera l’existence.

I.10.— Montrer que (αI +A∗A) est inversible sur H.

I.11.— Montrer que (αI +A∗A)−1A∗ est regularisante (suivre le raisonnement de la partie II).

I.12.— Soit f ∈ H, xα = (αI +A∗A)−1A∗f et on pose

Jα(y) =12α‖y‖2 +

12‖Ay − f‖2

Montrer que xα est l’unique solution du probleme d’optimisation

Jα(xα) = miny∈H

Jα(y).

I.13.— (Question Facultative, Bonus : 3 points)On ne fait plus l’hypothese que A est injectif. Soit x ∈ H et f = Ax. Montrer que (αI + A∗A)−1A∗fconverge vers une limite x† unique telle que Ax† = f et que ‖x†‖ ≤ ‖x‖. L’application A† : f 7→ x† estappelee l’inverse de Moore-Penrose de A.

Exercice II : On definit, pour tout t ∈ R, l’operateur lineaire

T (t) : L2(R) → L2(R)ψ 7→ ϕ = T (t)ψ; ϕ(x) = ψ(x− t), ∀x ∈ R.

II.1.– Montrer T (t) est bien defini et que la famille (T (t))t∈R determine un groupe continu d’isometriessur L2(R).

II.2.– En deduire que, lorsque ψ ∈ H1(R), ϕ = T (t)ψ est la solution de l’equation d’advection

∂f

∂t(t, x) +

∂f

∂x(t, x) = 0, dans ]0,+∞[×R

f(0, x) = ψ(x), pour x ∈ R.

Que se passe-t-il si ψ ∈ L2(R)? (Remarquez que lorsque ψ ∈ L2(R), f ∈ L2([0, T ] × R),∀T > 0, etutilisez la densite.)

II.3.– On definit l’operateur A dans L2(R) par

D(A) =ψ ∈ L2(R); lim

h→0

(T (h)− I)h

ψ existe dans L2(R),

et

Aψ = limh→0

(T (h)− I)h

ψ.

Montrer que D(A) = H1(R) (on rappelle que pour ψ ∈ H1(R), on a : ψ(x+h)−ψ(x) =∫ 1

0ψ′(x+sh) ds),

et que Aψ = −ψ′.On dit que A est le generateur infinitesimal de ce groupe (T (t))t∈R.



Examen Session de Rattrapage – Analyse Fonctionnelle

Enseignants : F. Ben Belgacem – B. Dehman – H. El Fekih Duree : 2H30

Date : 17 Mai 2007 Documents personnels autorises


Bon Travail!

Exercice I : On pose I = [0, π], et V = L2(I) × L2(I), muni du produit scalaire naturel note (·, ·)V etla norme associee est ‖ · ‖V . On considere l’operateur A defini par

AY =(

−∂xz−∂xy − ∂2

xxz

), ∀Y =

(yz

)∈ V.

I.1.– Determiner avec precision le domaine de A. Verifier qu’il est dense et que le graphe G(A) est ferme.

I.2.– Donner le noyau et l’image de A.

I.3.– Donner l’adjoint A∗ (determiner avec precision son domaine et son expression).

I.4.– Donner le noyau et l’image de A∗.

I.5.– On considere le sous-espace de V ,

V0 =Y ∈ V,

∫I

y(x) dx = 0.

On definit l’operateur B sur V0 de la maniere suivante

D(B) =Y ∈ V0, z ∈ H1

0 (I), y + ∂xz ∈ H1(I),

etBY = AY, ∀Y ∈ D(B).

Donner le noyau et l’image de B. En deduire que B est un isomorphisme de (D(B), ‖ · ‖D(B)) dans V0.

I.6.– Montrer que pour tout λ > 0, l’operateur (λI+B) est un isomorphisme de (D(B), ‖·‖D(B)) dans V0.

I.7.– Pour tout n ≥ 1, introduisons le sous-espace Wn de V0,

Wn =Y ∈ V0, y(x) = α cos(nx), z(x) = γ sin(nx), (α, γ) ∈ R2

.

Verifier que Wn ⊂ D(B), qu’il est stable par B et que la famille (Wn)n est une somme orthogonale deV0 dense. En deduire la decomposition spectrale de B.

I.8.– Est-ce que B−1 est compacte dans V0? Qu’en-est-il de la compacite de (λI +B)−1?


Examen Session de Rattrapage – Analyse Fonctionnelle 17 Mai 2007

Exercice II : Soient ψ ∈ L2(R) et f ∈ L2([0,∞[×R), on considere le probleme de Cauchy

∂u

∂t(t, x) + xu(t,−x) = f(t, x), ∀(t, x) ∈ R× R(1)

u(0, x) = ψ(x)(2)

(1) n’est pas une equation differentielle!

L’objectif est de prouver que le probleme (1)-(2) admet une solution unique dans un espace fonctionneladequat.

II.1.– On definit l’operateur A par

(Av)(x) = xv(−x), ∀x ∈ R.

Prouver que A determine un operateur non borne sur L2(R) de domaine (a preciser) dense. Montrer queA est anti-adjoint

II.2.– Soit λ > 0, l’operateur (I +λA) est-il inversible sur L2(R)? Donner une estimation de son inverse.

II.3.– Est-ce que l’operateur A est diagonalisable? Peut-on utiliser la methode de Fourier pour resoudre(1)-(2)?

II.4.– On suppose que ψ ∈ D(A) et f = 0. Donner l’expression explicite de u et verifer queu ∈ C1([0,∞[, L2(R)) ∩ C([0,∞[, D(A)). En deduire que u(t, ·) = S(t)ψ,∀t ∈ R. Prouver que (S(t))t∈Rest un groupe d’isometrie a un parametre qui verifie

dS(t)dt

= −AS(t), ∀t ∈ R.

II.5.– On suppose que ψ ∈ D(A) et que f ∈ C([0,∞[, D(A)), determiner la solution u du probleme deCauchy (1)-(2) en precisant sa regularite (justifier toutes les etapes de votre reponse!).




Enseignants : F. Ben Belgacem et H. El Fekih Duree : 3H00

Date : 4 Fevrier 2008 Documents personnels autorises

Il est recommande aux candidats de repondre aux questions avec rigueur, clarte et concision,et d’eviter les fioritures (ezz-aıed w ett-balbiz!) qui risquent de penaliser la note. Il est importantde bien comprendre ce qui est demande avant de repondre aux questions1 et de se contenter d’yrepondre.

Bon Travail!

Exercice I : On considere H un espace de Hilbert reel de dimension infinie et A un operateurlineaire, compact et injectif sur H.

I.1.— Montrer que l’inverse de A n’est pas continu.

I.2.— Montrer a l’aide du theoreme de Riesz(2) que pour tout λ ∈ R∗, le noyau N(λI − A) deλI −A est de dimension finie.

I.3.— On note R(A) l’image de A. Peut-elle etre de dimension finie? Montrer que R(A) ne peutpas etre fermee.

Exercice II : On considere `2(R) l’espace des suites a carre sommable muni de la norme

‖x‖`2 =( ∞∑

k=1

x2k

) 12, ∀x = (xk)k≥1 ∈ `2(R).

On rappelle que `2(R), muni de ‖ · ‖`2 , est un espace de Hilbert.Soit (αk)k ⊂ R∗ une suite bornee. On definit l’operateur

T : `2(R) → `2(R)x 7→ y = (yk)k; avec yk = αkxk, ∀k ≥ 1.

II.1.— Donner le noyau de T et montrer que l’image de T est dense dans `2(R).

II.2.— On suppose (uniquement dans cette question) qu’il existe γ > 0 telle que |αk| ≥ γ,∀k ≥ 1.T definit-il un isomorphisme de `2(R)? Justifier votre reponse.

II.3.— On suppose dans toute la suite que (αk)k converge vers zero. L’image de T peut-elle etrefermee? Justifier votre reponse.

II.4.— Soit (xn)n≥1 ⊂ `2(R) une suite bornee dans `2(R), c’est-a-dire qu’il existe une constante Ctelle que ‖xn‖`2 ≤ C, ∀n ≥ 1. Montrer qu’il existe une suite-extraite (xnp)p≥1 et x ∈ `2(R) telle(xnp)p≥1 converge faiblement vers x dans `2(R).

II.5.— Montrer que la suite (Txnp)p≥1 converge fortement vers Tx dans `2(R). En deduire quel’operateur T est compact.

1Ce qui se pense clairement s’exprime simplement! Dicton francais.2Les seuls espaces vectoriels normes ou la boule unite est compacte sont les espaces de dimension finie.


Exercice III : On note

H20 (]0, 1[) =

v ∈ H2(]0, 1[); v(0) = v(1) = v′(0) = v′(1) = 0

.

On considere le probleme differentiel

z′′′′ + cz = f, dans ]0, 1[z′(0) = z′(1) = 0,

z(0) = z(1) = 0,

ou f est une fonction donnee dans L2(]0, 1[) et c est une fonction donnee dans C0([0, 1]).

III.1.– Donner la formulation variationnelle du probleme et montrer qu’elle admet une unique solu-tion z (On sera pour cela amene a faire des hypotheses sur c. Qu’elles soient le plus faibles possible!)

III.2.– Exprimer le probleme comme un probleme de minimisation.

III.3.– Montrer que la solution z est dans H4(]0, 1[).

Exercice IV : Soit µ > 0 et ϕ ∈ L2(I) avec I =]0, π[ . On considere l’equation de la chaleur sur I :

∂tzµ − µ∂2xxzµ = 0, dans ]0,∞[×I

zµ(t, 0) = zµ(t, π) = 0, sur ]0,∞[zµ(0, ·) = ϕ, sur I.

IV.1.– Montrer que zµ(t, ·) ∈ H1(I), pour tout t > 0.

IV.2.– Montrer que

∂t(‖zµ(t, ·)‖2L2(I)) = −2µ‖∂xzµ(t, ·)‖2

L2(I), ∀t > 0.

IV.3.– En deduire qu’il existe une constant C > 0 telle que

∂t(‖zµ(t, ·)‖2L2(I)) ≤

−2µ

C‖zµ(t, ·)‖2

L2(I), ∀t > 0.

IV.4.– Calculer les limites suivantes dans L2(I),

limt→+∞

zµ(t, ·), (∀µ > 0) et limµ→+∞

zµ(t, ·), (∀t > 0).

IV.5.– On considere maintenant le probleme de la chaleur avec des conditions de Neumannhomogenes,


∂xzµ(t, 0) = ∂xzµ(t, π) = 0, sur ]0,∞[zµ(0, ·) = ϕ, sur I,

avec ϕ ∈ H1(I). Montrer les limites suivantes dans L2(I) :

limt→+∞

uµ(t, ·) =∫

Iϕ(x) dx, (∀µ > 0) et lim

µ→+∞uµ(t, ·) =

∫Iϕ(x) dx, (∀t > 0).


Examen – Analyse Fonctionnelle 9 Mai 2008


Examen Session de Rattrapage – Analyse Fonctionnelle


Date : 9 Mai 2008 Documents non autorises

Exercice I : Soient A et B deux operateurs lineaires continus sur un espace de Hilbert separableH. On suppose que A est injectif et que B est compact (c’est-a-dire que si K ⊂ H est borne dansH alors B(K) ⊂ H est relativement compact). On suppose qu’il deux existe constantes C1 > 0 etC2 > 0 verifiant

‖x‖ ≤ C1‖Ax‖ + C2‖Bx‖, ∀x ∈ H;(1)

I.1.– On suppose qu’il existe une suite (xn)n de H verifiant

‖xn‖ = 1, ‖Axn‖ ≤1

n, ∀n ≥ 1;

I.1.1.– Dire pourquoi (xn)n admet une sous-suite (xnk)k qui converge faiblement dans H. On

notera y sa limite.

I.1.2.– Montrer que (Axnk)k converge faiblement vers Ay.

I.1.3.– Verifier que (Axn)n converge fortement vers 0. Que vaut alors y?

I.1.4.– Donner la limite de la suite (Bxnk)k et deduire une absurdite.

I.2.– On suppose toujours que l’inegalite (1) a lieu.

I.2.1.– A l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer qu’il existe une constante C3 > 0telle que

‖x‖ ≤ C3‖Ax‖ ∀x ∈ H.

I.2.2.– Montrer que (Im A) est ferme dans H.

I.2.3.– En deduire que si A est de plus autoadjoint alors c’est un isomorphisme de H.

Exercice II : On note

H20 (]0, 1[) =

v ∈ H2(]0, 1[); v(0) = v(1) = v′(0) = v′(1) = 0

.

On considere le probleme differentiel

z′′′′ + cz = f, dans ]0, 1[

z′(0) = z′(1) = 0,

z(0) = z(1) = 0,

ou f est une fonction donnee dans L2(]0, 1[) et c est une fonction donnee dans C0([0, 1]).

II.1.– Donner la formulation variationnelle du probleme et montrer qu’elle admet une unique solu-tion z (On sera pour cela amene a faire des hypotheses sur c. Qu’elles soient le plus faibles possible!)

II.2.– Exprimer le probleme comme un probleme de minimisation.

I.3.– Montrer que la solution z est dans H4(]0, 1[).


Examen – Analyse Fonctionnelle 9 Mai 2008

Exercice III : Soit µ > 0 et ϕ ∈ L2(I) avec I =]0, π[ . On considere l’equation de la chaleur sur I :


zµ(t, 0) = zµ(t, π) = 0, sur ]0,∞[

zµ(0, ·) = ϕ, sur I.

III.1.– Montrer que zµ(t, ·) ∈ H1(I), pour tout t > 0.

III.2.– Montrer que

∂t(‖zµ(t, ·)‖2L2(I)) = −2µ‖∂xzµ(t, ·)‖2

L2(I), ∀t > 0.

III.3.– En deduire qu’il existe une constant C > 0 telle que

∂t(‖zµ(t, ·)‖2L2(I)) ≤

−2µ

C‖zµ(t, ·)‖2

L2(I), ∀t > 0.

III.4.– Calculer les limites suivantes dans L2(I),

limt→+∞

zµ(t, ·), (∀µ > 0) et limµ→+∞

zµ(t, ·), (∀t > 0).

III.5.– On considere maintenant le probleme de la chaleur avec des conditions de Neumannhomogenes,


∂xzµ(t, 0) = ∂xzµ(t, π) = 0, sur ]0,∞[

zµ(0, ·) = ϕ, sur I,

avec ϕ ∈ H1(I). Montrer les limites suivantes dans L2(I) :

limt→+∞

uµ(t, ·) =

∫

I

ϕ(x) dx, (∀µ > 0) et limµ→+∞

uµ(t, ·) =

∫

I

ϕ(x) dx, (∀t > 0).






Il est recommande aux candidats de repondre aux questions avec rigueur, clarte et concision, et d’eviterles fioritures (ezz-aıed w ett-balbiz!) qui risquent de penaliser la note. Il est important de bien comprendrece qui est demande avant de repondre aux questions(1) et de se contenter d’y repondre.

Bon Travail!

Exercice I : Soit H un espace de Hilbert et H1 et H2 deux sous-espaces fermes de H. On note P1 et P2

les projections orthogonales sur H1 et H2, et on pose Q1 = I − P1 et Q2 = I − P2.

I.1.— Montrer que H1 +H2 est dense dans H si et seulement si H⊥1 ∩H⊥2 = 0 ou H⊥1 (resp. H⊥2 ) estle sous-espace othogonal a H1 (resp. H⊥2 )..

On suppose dans toute la suite que H⊥1 ∩H⊥2 = 0. Soit e0 ∈ H. On construit la suite (en)n ⊂ Htelle que

e2n+1 = Q1e2n, e2n+2 = Q2e2n+1.

I.2.— Etablir que‖en+1‖2 + ‖en+1 − en‖2 = ‖en‖2, ∀n ∈ N.

En deduire que (en+1 − en)n converge vers 0, que (‖en‖)n converge et qu’il existe une sous-suite (enp)p

qui converge faiblement vers e.

I.3.— En remarquant que (enp+1)p converge faiblement vers une limite f , montrer que e = f = 0. Endeduire que toute la suite (en)n converge faiblement vers 0.

I.4.— Prouver que (en)n converge fortement vers 0.

Exercice II : On considere H l’espace de Hilbert des suites a carre sommable

H =x = (xk)k∈Z, ‖x‖2H =

∑k∈Z

(xk)2 <∞.

On definit l’operateur A sur H de la facon suivante

Ax = y ⇐⇒ yk = −xk+1 + 2xk − xk−1, ∀k ∈ Z.

On note σ(A) le spectre de A.

II.1.— Montrer que A est continue symetrique et defini-positif sur H.

II.2.— Considerons α > 0. Soit z ∈ H. Donner la formulation variationnelle du probleme

(αI +A)x = z,

et montrer qu’il admet une solution unique x ∈ H. En deduire que (αI +A) est un isomorphisme sur H.

II.3.— Montrer que

supx∈H

(Ax, x)‖x‖2H

= 4, infx∈H

(Ax, x)‖x‖2H

= 0.

Pour la calcul de l’inf, considerer xN ∈ H avec (xN )k = 1 si −N ≤ k ≤ N et (xN )k = 0 sinon.Debrouillez-vous pour le sup.En deduire que le spectre σ(A) est une partie de [0, 4].



II.4.— Prouver que 0 et 4 sont dans le spectre σ(A). Sont-ils valeurs propres de A?

II.5.— Montrer que R(A) est dense et non ferme.

II.6.— La norme‖x‖2 =

∑k∈Z

(xk+1 − xk)2

definit-elle une structure d’espace de Hilbert sur H?

II.7.— Montrer que A ne possede aucune valeur propre. En deduire que pour tout λ ∈ σ(A), on aN (A − λI) = 0, R(A − λI) est dense dans H sans etre ferme et que (A − λI)−1 n’est pas continu.On dit que le spectre de A est purement continu. A est-il compact?

II.8.— Montrer que σ(A) = [0, 4].Une preuve possible consiste a utiliser l’isometrie(2) d’espaces de Hilbert de (H, ‖ · ‖H) dans (V, ‖ · ‖V ) ou

V =f(t) =

∑k∈Z

xkeikt, x ∈ H

,

muni de la norme‖f‖2V =

∫ π

−π

|f(t)|2 dt.

Exercice III : Soir c ∈ R. On definit, pour tout t ∈ R, l’operateur lineaire

T (t) : L2(R) → L2(R)ψ 7→ ϕ = T (t)ψ;ϕ(x) = ψ(x− ct), ∀x ∈ R.

III.1.– Montrer T (t) est bien defini et que la famille (T (t))t∈R determine un groupe continu d’isometriessur L2(R).

III.2.– En deduire que, lorsque ψ ∈ H1(R), ϕ = T (t)ψ est la solution de l’equation d’advection

∂f

∂t(t, x) + c

∂f

∂x(t, x) = 0, ∀(t, x) ∈]0,+∞[×R

f(0, x) = ψ(x).

Que se passe-t-il si ψ ∈ L2(R)?

III.3.– On definit l’operateur A dans L2(R) par

D(A) =ψ ∈ L2(R); lim

h→0

(T (h)− I)h

ψ existe dans L2(R),

et

Aψ = limh→0

(T (h)− I)h

ψ.

Montrer que D(A) = H1(R) et determiner l’expression de A. On dit que A est le generateur infinitesimalde ce groupe (T (t))t∈R.

III.4.– Soit donne k ∈ L2([0,∞[×R) et on suppose que ψ ∈ H1(R). Exprimer en fonction de l’operateurT (t) la solution du probleme

∂f

∂t(t, x) + c

∂f

∂x(t, x) = k(t, x), ∀(t, x) ∈]0,∞[×R

f(0, x) = ψ(x).

Indication : Calculer la derivee de la fonction γ(t) = f(t, α+ ct) ou α ∈ R

III.5.– Montrer que la solution f verifie

‖f(t)‖L2(R) ≤ ‖ψ‖L2(R) +∫ t

0

‖k(s)‖L2(R) ds.

2C’est le theoreme de Parseval.



Examen Session de rattrapage – Analyse Fonctionnelle


Date : 22 Mai 2009 Documents personnels autorises

Exercice I : Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie, et T : H → H un operateur lineaire,continu, symetrique et tel que,

0 < (Tx, x) < ‖x‖2, ∀x ∈ H \ 0.

On suppose aussi que (I − T ) est compact.

I.1.– Montrer que‖Tx‖ < ‖x‖, ∀x ∈ H \ 0.

I.2.– Pour tout x ∈ H, on construit la suite (xn)n comme suit : x0 = x et xn+1 = Txn. Montrerque la suite (‖xn+1 − xn‖)n converge dans R.

I.3.– Montrer qu’il existe une sous-suite (xnk)k telle que (xnk+1 − xnk

)k converge vers y dans H.

I.4.– Etablir que ‖y‖ = ‖Ty‖ et en deduire que y = 0.

I.5.– Conclure que la suite (xn+1−xn)n converge vers zero. (Cette propriete fait de T un operateurasymptotiquement regulier sur H).

I.6.– Prouver que pour tout x ∈ R(I − T ) la suite (xn)n converge vers zero. (R(I − T ) designel’image de I − T ).

I.7.– Justifier que R(I − T ) est dense dans H, et montrer que (xn)n converge vers zero pour toutx ∈ H.

I.8.– Prouver qu’il existe une base hilbertienne (ek)k ⊂ H, formee des vecteurs propres de T . Onnote (λk)k les valeurs propres associees, c’est-a-dire que Tek = λkek. Etablir que λk ∈]0, 1[,∀k, etque la suite (λk)k converge vers 1.

I.9.– Redemontrer le resultat de I.7 (xn → 0) en utilisant la decomposition spectrale de T . Onsupposera que les (λk)k sont triees dans un ordre croissant.

Exercice II :

Soit Ω ⊂ R2 un domaine borne et regulier. On considere l’espace de Sobolev H10 (Ω) muni de la

semi-norme|v|H1(Ω) = ‖∇v‖L2(Ω)2 , ∀v ∈ H1

0 (Ω).

On rappelle qu’elle est une norme equivalente a la norme ‖ · ‖H1(Ω), par l’inegalite de Poincare. Ondefinit l’espace H2

0 (Ω) comme la fermeture de D(Ω) dans H2(Ω), et la semi-norme est donnee par

|v|H2(Ω) =(‖∂2

xxv‖2L2(Ω) + ‖∂2

xyv‖2L2(Ω) + ‖∂2

yyv‖2L2(Ω)

) 12, ∀v ∈ H2

0 (Ω).

Examen Session de rattrapage – Analyse Fonctionnelle 22 Mai 2009

II.1.— Soit la semi-norme|v|∆ = ‖∆v‖L2(Ω), ∀v ∈ H2

0 (Ω),

etablir que|v|H2(Ω) ≤ ‖∆v‖L2(Ω) ≤ 2|v|H2(Ω), ∀v ∈ H2

0 (Ω).

Raisonner par densite.

II.2.– Montrer que | · |∆ determine en fait une norme sur H20 (Ω) qui est equivalente a la norme

‖ · ‖H2(Ω).

Pour tout g ∈ H10 (Ω) on considere le probleme variationnel : chercher u ∈ H2

0 (Ω) tel que∫Ω

∆u∆v dx =∫

Ω∇g · ∇v dx, ∀v ∈ H2

0 (Ω).(1)

II.3.— Montrer que l’application R : g 7→ u, (u est solution de (1)) est bien definie de H10 (Ω) dans

H20 (Ω), justifier rigoureusement votre reponse. Montrer qu’elle est continue. En deduire qu’elle est

compacte et auto-adjointe de H10 (Ω) dans lui meme.

II.4.— Montrer par le theoreme de Hilbert-Schmidt, qu’il existe une base Hilbertienne (ek)k de(H1

0 (Ω), | · |H1(Ω)), et une suite de reels (λk)k ⊂]0,+∞[ telles que

∆2ek = −λk∆ek, dans Ω∂nek = 0, sur ∂Ω

avec ∆2(·) = ∆∆(·), ∂n designe la derivee normale et ∂Ω est le bord de Ω. Verifier que λk → ∞.A-t-on ∆ek = −λkek?

II.5.— Etablir que (ek)k est une famille orthogonale qui est dense dans H20 (Ω).

II.6.— On se place dans le cas ou Ω =]0, 1[. Construire (ek)k ⊂ H20 (]0, 1[) et (λk)k ⊂ R. En deduire

la plus petite constante γ verifiant

|v|H1(Ω) ≤ γ|v|∆, ∀v ∈ H20 (]0, 1[).







Bon Travail!

Exercice I : Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie, muni de la norme ‖ · ‖ et T : H → H unoperateur lineaire, continu, et tel que N(T ) = 0. Soit b ∈ H, on cherche a resoudre l’equation

T ∗Tx = b.(1)

0.– Donner le noyau N(T ∗T ). On note R(T ∗T ) l’image de T ∗T . Est-elle dense dans H? fermee?

Partie 1

On suppose dans cette partie que l’equation (1) admet une solution pour tout b.

1.1– Montrer que T ∗T est un isomorhpishme.

1.2– Montrer que R(T ) est ferme. En deduire qu’il existe β > 0 tel que

‖Ty‖ ≥ β‖y‖, ∀y ∈ H.

1.3– Montrer que R(T ∗) est ferme et en deduire que T ∗ definit un isomoprhisme de R(T ) sur H.

1.4– Est ce que T est necessairement un isomorphisme sur H ? : Examiner l’application shift a droitesur `2(R), definie par

T : x = (x0, x1, · · · , xn, · · ·) 7→ Tx = (0, x0, x1, · · · , xn, · · ·)

1.5– On suppose que TT ∗ est lui aussi un isomorphisme sur H. Etablir que T et T ∗ sont des isomor-phismes sur H.

Partie 2

On suppose dans toute la suite que T est compact et que N(T ∗) = 0.

2.1– Le probleme (1) a-t-il toujours une solution? Jusitfer votre reponse.

2.2.– Lorsque l’equation (1) ne peut pas etre resolue, on la remplace par la minimisation de la fonctionnellequadratique

J(y) =12(T ∗Ty, y)− (b, y) =

12‖Ty‖2 − (b, y), ∀y ∈ H.

On suppose que J est minoree sur H et donc γ = inf J(y) est fini. On suppose que ce minimum estatteint en x. Montrer que x est la solution de (1) et en deduire que b = T ∗d, ou d ∈ H.

2.3.– On supposse que l’infimum n’est pas atteint mais que γ > −∞. En considerant J(ty),∀t ∈ R,∀y ∈H, montrer que

(b, y) ≤√−2γ ‖Ty‖ ∀y ∈ H.



2.4.– Montrer que la forme lineaire definie sur R(T ) par

` : z 7→ (b, y), ou z = Ty,

se prolonge par continuite a H. En deduire qu’il existe d ∈ H tel que b = T ∗d et

J(y) =12‖Ty − d‖2 − 1

2‖d‖2, ∀y ∈ H.

avec ‖d‖ =√−2γ. J est donc une fonctionnelle de moindres-carres qui a une tres grande importance

pour une certaine classe de problemes.

Exercice II :

Soit Ω ⊂ R2 un domaine borne regulier. On definit l’espace

H =

v ∈ H10 (Ω), ∆v ∈ L2(Ω)

.

muni de la norme‖v‖H = (‖v‖2H1(Ω) + ‖∆v‖2L2(Ω))

1/2, ∀v ∈ H.

Soit la semi-norme |v|H = ‖∆v‖L2(Ω).

1.— Montrer que | · |H est une norme et que (H, | · |H) est un espace de Hilbert.

2.— Montrer que (−∆) : H → L2(Ω) est un isomorphisme symetrique et defini-positif.

3.— Montrer que l’injection canonique de H dans H10 (Ω) est continue et dense.

4.— Pour les domaines Ω reguliers, on admet que H coıncide avec H2 ∩ H10 (Ω) (H = H2 ∩ H1

0 (Ω)).Montrer que les normes | · |H et ‖ · ‖H2(Ω) sont equivalentes.

5.— Verifier que l’application R : (−∆)−1 est autoadjointe. Montrer qu’elle est compacte de L2(Ω) dansL2(Ω).

6.— Utiliser le theoreme de Hilbert-Schmidt, pour etablir l’existence d’une base Hilbertienne (ζk)k≥1 deL2(Ω), et une suite de reels (λk)k ⊂]0,+∞[ telles que

−∆ζk = λkζk, dans Ωζk = 0, sur ∂Ω

Verifier que λk →∞.

7.— On se place dans le cas ou Ω =]0, 1[. Construire (ζk)k≥1 et (λk)k ⊂ R. En deduire la plus petiteconstante γ de l’inegalite de Poincare, qui verifie donc

‖v‖L2(Ω) ≤ γ|v|H1(Ω), ∀v ∈ H10 (Ω).

8.— On souhaite montrer que pour certains domaines Ω non reguliers, le resultat de 4. est faux. Soit Cle secteur du disque unite d’angle ω ∈]π, 2π[.

C =

(x, y) = (r cos θ, r sin θ), 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ ω

.

On pose f = sin(πω θ) ∈ L2(C). On cherche u = α(r) sin(π

ω θ) verifiant

−∆u = f, dans C

u = 0, sur ∂C

Donner l’equation sur α. La resoudre (chercher des solution de type rb, b ∈ R. En deduire que u ∈ H etu 6∈ H2(C).



Examen Session de Rattrapage



Date : Mercredi 2 Juin 2010 Documents personnels autorises

Exercice I :

Soit Ω ⊂ R2 un domaine borne regulier. On definit l’espace

H =v ∈ H1

0 (Ω), ∆v ∈ L2(Ω).

muni de la norme

‖v‖H = (‖v‖2H1(Ω) + ‖∆v‖2

L2(Ω))1/2, ∀v ∈ H.

Soit la semi-norme |v|H = ‖∆v‖L2(Ω).

1.— Montrer que | · |H est une norme et que (H, | · |H) est un espace de Hilbert.

2.— Montrer que (−∆) : H → L2(Ω) est un isomorphisme symetrique et defini-positif.

3.— Montrer que l’injection canonique de H dans H10 (Ω) est continue et dense.

4.— Pour les domaines Ω reguliers, on admet que H coıncide avec H2 ∩ H10 (Ω) (H =

H2 ∩H10 (Ω)). Montrer que les normes | · |H et ‖ · ‖H2(Ω) sont equivalentes.

5.— Verifier que l’application R = (−∆)−1 est autoadjointe. Montrer qu’elle est compactede L2(Ω) dans L2(Ω).

6.— Utiliser le theoreme de Hilbert-Schmidt, pour etablir l’existence d’une base Hilber-tienne (ζk)k≥1 de L2(Ω), et une suite de reels (λk)k ⊂]0,+∞[ telles que

−∆ζk = λkζk, dans Ω

ζk = 0, sur ∂Ω

Verifier que λk →∞.

Exercice II : Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie, muni de la norme ‖ · ‖ etT : H → H un operateur lineaire, continu, et tel que N(T ) = 0. Soit b ∈ H, on cherchea resoudre l’equation

T ∗Tx = b.(1)

0.– Donner le noyau N(T ∗T ). On note R(T ∗T ) l’image de T ∗T . Est-elle dense dans H?fermee?

Examen – Analyse Fonctionnelle Mercredi 2 Juin 2010

Partie 1

On suppose dans cette partie que l’equation (1) admet une solution pour tout b.

1.1– Montrer que T ∗T est un isomorhpishme.

1.2– Montrer que R(T ) est ferme. En deduire qu’il existe β > 0 tel que

‖Ty‖ ≥ β‖y‖, ∀y ∈ H.

1.3– Montrer que R(T ∗) est ferme et en deduire que T ∗ definit un isomoprhisme de R(T )sur H.

1.4– Est ce que T est necessairement un isomorphisme sur H ? : Examiner l’applicationshift a droite sur `2(R), definie par

T : x = (x0, x1, · · · , xn, · · ·) 7→ Tx = (0, x0, x1, · · · , xn, · · ·)

1.5– On suppose que TT ∗ est lui aussi un isomorphisme sur H. Etablir que T et T ∗ sontdes isomorphismes sur H.

Partie 2

On suppose dans toute la suite que T est compact et que N(T ∗) = 0.

2.1– Le probleme (1) a-t-il toujours une solution? Jusitfer votre reponse.

2.2.– Lorsque l’equation (1) ne peut pas etre resolue, on la remplace par la minimisationde la fonctionnelle quadratique

J(y) =1

2(T ∗Ty, y)− (b, y) =

1

2‖Ty‖2 − (b, y), ∀y ∈ H.

On suppose que J est minoree sur H et donc γ = inf J(y) est fini. On suppose que ceminimum est atteint en x. Montrer que x est la solution de (1) et en deduire que b = T ∗d,ou d ∈ H.

2.3.– On supposse que l’infimum n’est pas atteint mais que γ > −∞. En considerantJ(ty),∀t ∈ R,∀y ∈ H, montrer que

(b, y) ≤√−2γ ‖Ty‖ ∀y ∈ H.

2.4.– Montrer que la forme lineaire definie sur R(T ) par

` : z 7→ (b, y), ou z = Ty,

se prolonge par continuite a H. En deduire qu’il existe d ∈ H tel que b = T ∗d et

J(y) =1

2‖Ty − d‖2 − 1

2‖d‖2, ∀y ∈ H.

avec ‖d‖ =√−2γ. J est donc une fonctionnelle de moindres-carres qui a une tres grande

importance pour une certaine classe de problemes.




Enseignants : F. Ben Belgacem et H. El Fekih Duree : 3H00Date : 11 Fevrier 2011 Documents personnels autorises

Il est recommande aux candidats de repondre aux questions avec rigueur, clarte et concision, et d’eviterles fioritures (ezz-aıed w ett-balbiz!). Il est important de bien comprendre ce qui est demande avant derepondre aux questions1 et de se contenter d’y repondre.

Bon Travail!

Exercice I :On considere E un espace de Banach reel.

I.1.– Soit H un sous-espace vectoriel de E d’interieur non vide. Determiner H avec precision en justifiantvotre reponse.

I.2.– Soit A un operateur non borne, ferme, et de domaine D(A) dense dans E. On suppose ici qu’ilexiste une constante γ telle que

γ‖x‖ ≤ ‖Ax‖, ∀x ∈ D(A)

I.2.1– Montrer que l’image R(A) est ferme. En deduire que A−1 est borne de R(A) dans E.

I.2.2– On suppose que D(A) est muni de la norme du graphe. Verifier que A est un isomorphismede D(A) dans R(A).

I.3.— On suppose que A est injectif et que A−1 n’est pas borne. Montrer que l’ensemble E \ R(A) estdense dans E (Utiliser I.1.).

Exercice II :Soit Ω un ouvert regulier de R2 (ou R3) de frontiere Γ et r un reel > 0. On considere le sous-espace deL2(Ω),

Nr =ϕ∈L2(Ω); −∆ϕ+ rϕ = 0 in D′(Ω)

.

II.1.— Verifier que Nr est ferme dans L2(Ω). En deduire qu’il forme un espace de Hilbert lorsqu’il estmuni de la norme de L2(Ω). Est-ce que Nr est un sous-espace de H1(Ω)?

II.2.— Soit χ ∈ N1. On considere le probleme aux limites : chercher % tel que

−∆%+ r% = (1− r)χ dans Ω% = 0 sur Γ.

Ecrire la formulation variationnelle du probleme et prouver qu’il admet une solution unique % ∈ H10 (Ω).

En deduire que l’operateur A : χ 7→ Aχ = χ+% est bien defini de N1 dans Nr et que (Aχ−χ) ∈ H10 (Ω).

II.3.— Prouver que A est bijectif.

II.4.— On suppose que r > 1. Montrer que

1r‖χ‖L2(Ω) ≤ ‖Aχ‖L2(Ω) ≤ ‖χ‖L2(Ω), ∀χ ∈ N1.

II.5.— En deduire que A est un isomorphisme d’espace de Hilbert.



Exercice III :Soit µ > 0, a ∈ R et ϕ ∈ L2(I) avec I =]0, π[ . On considere l’equation sur I,

∂tzµ − µ∂2xxzµ + a∂xzµ = 0, dans ]0,∞[×I

zµ(t, 0) = zµ(t, π) = 0, sur ]0,∞[zµ(0, ·) = ϕ, sur I.

III.1.— Ecrire la formulation variationnelle de ce probleme.

Dans la suite, on suppose que ce probleme variationnel admet une solution unique zµ ∈ C([0,∞[, L2(I))∩L2([0, T ], H1(I)), pour tout T > 0.

III.2.— Soit γ un fonction derivable et strictement positive dans [0,∞[ qui verifie

γ′(t) ≤ −λγ(t), ∀t.

On suppose que λ > 0. Verifier que

γ(t) ≤ γ(0)e−λt, ∀t.

III.3.– Montrer que12∂t(‖zµ‖2L2(I)) + µ‖∂xzµ‖2L2(I) = 0, ∀t > 0.

III.4.– En deduire qu’il existe une constant β > 0 telle que

∂t(‖zµ‖2L2(I)) ≤ −2βµ‖zµ‖2L2(I), ∀t > 0.

III.5.– Calculer les limites suivantes dans L2(I), (utiliser III.2.)

limt→+∞

‖zµ(t, ·)‖L2(I), (∀µ > 0)) et limµ→+∞

‖zµ(t, ·)‖L2(I), (∀t > 0)).

III.6.– En deduire qu’en fait zµ ∈ L2([0,+∞[, H1(I)).

III.7.– Montrer que qu’il existe une constante C > 0 independante de µ qui verifie

‖zµ‖L2([0,T ]×I) ≤ C.

En deduire que zµ converge faiblement vers une fonction z dans L2([0, T ] × I) lorsque µ → 0. Veriferqu’on a au sens des distributions :

∂tz + a∂xz = 0, dans ]0, T [×I



Examen Session de Rattrapage



Date : Mercredi 15 Juin 2011 Documents non autorises

Exercice I

Soient X et Y deux espaces de Hilbert reels tels que X s’injecte dans Y avec une injection continue etdense. Leurs produits scalaires sont respectivement notes (·, ·)X et (·, ·)Y .

1– On noteD =

x ∈ X; ∃C > 0, tel que |(x, y)X | ≤ C‖y‖Y , ∀y ∈ X

.

1.1– Justifier que, pour tout x ∈ D, l’application y 7→ (x, y)X se prolonge de maniere unique en uneforme lineaire continue sur Y .

1.2–En deduire que, pour tout x ∈ D, il existe un unique x∗ ∈ Y tel que (x, y)X = (x∗, y)Y ,∀y ∈ X.

Dans la suite, D sera note D(A) et A l’operateur lineaire defini par Ax = x∗ pour tout x ∈ D(A).

2– Verifier que D(A), muni de la norme du graphe, est un espace de Hilbert.

3.– Soit z ∈ Y , on considere l’equation :

chercher x ∈ D(A) tel que, Ax = z.(1)

3.1– Ecrire une formulation variationelle du probleme (1) dans X.

3.2– On considere le probleme faible qui consiste a

chercher x ∈ X tel que, (x, y)X = (z, y)Y , ∀y ∈ X.(2)

Montrer que le probleme (2) admet une solution unique x ∈ X et que x est dans D(A).En deduire que le probleme (1) admet une solution unique.

4– Prouver que A est un isomorphisme de D(A) dans Y de domaine dense.

5– On suppose que X = H10 (Ω) est muni de la semi norme (qui est une norme!) et que Y = L2(Ω) est muni

de sa norme naturelle, ou Ω est un domaine regulier de Rd.Determiner avec precision l’operateur A (son domaine et son expression).

6– On suppose qu’il existe une base orthonormee (en)n de l’espace Y telle que en ∈ D(A) et Aen = λnen.Verifier que λn > 0 et que par consequent (en)n est une base othogonale de X et calculer ‖en‖X .

7– Etablir que

x =∑n

xnen ∈ D(A) ⇐⇒∑n

λ2nx

2n <∞,

x =∑n

xnen ∈ X ⇐⇒∑n

λnx2n <∞.

On ecrit que X = D(A12 ) et (D(Aθ))θ∈[0,1] ou

D(Aθ) =x ∈ Y,

∑n

λ2θn x

2n <∞

definit une famille decroissante d’espaces de Hilbert notee ([X,Y ]1−θ)θ∈[0,1] et appeles espaces d’interpolationentre X et Y .

Examen – Analyse Fonctionnelle Mercredi 15 Juin 2011

Exercice II

Soit Ω un ouvert connexe borne de R2 a frontiere Γ reguliere.

Preliminaire : Soit g ∈ L2(Ω) verifiant∫

Ωg dx = 0. On suppose que toute solution w ∈ H1(Ω) du probleme −∆w = g, dans Ω∂w

∂n= 0, sur Γ

verifie w ∈ H2(Ω) et ‖w‖H2(Ω) ≤ C‖g‖L2(Ω), ou C est une constante > 0.

On se donne une fonction f ∈ L2(Ω) et on considere le probleme variationnel suivant :

(P )

Chercher u ∈ H1(Ω) tel que

∀ v ∈ H1(Ω),∫

Ω

∇u.∇v dx+ λ

(∫Ω

u dx

)(∫Ω

v dx

)=∫

Ω

fv dx

ou λ est un reel ≥ 1.

Partie 1 .— 1.1. Montrer qu’il existe une constante C1 > 0 telle que :

∀v ∈ H1(Ω), ‖v‖2H1(Ω) ≤ C1

[|v|2H1(Ω) +

∣∣∣∣∫Ω

v dx

∣∣∣∣2].

—Indication : raisonner par l’absurde et utiliser la compacite de l’injection canonique de H1(Ω) dans L2(Ω)—.

1.2. En deduire que le probleme (P) admet une solution et une seule u verifiant :

‖u‖H1(Ω) ≤ C2‖f‖L2(Ω)

ou C2 est une constante > 0 independante de λ.

1.3. Montrer qu’il existe une constante C3 > 0 independante de λ telle que :∣∣∣∣∫Ω

u dx

∣∣∣∣ ≤ C3

λ‖f‖L2(Ω)

1.4. Ecrire (formellement) le pobleme fort associe a (P).

1.5. En deduire que la solution u de (P) est dans H2(Ω) et verifie ‖u‖H2(Ω) ≤ C4‖f‖L2(Ω), avec C4 uneconstante > 0 independante de λ.

Partie 2.— On note desormais uλ la solution du probleme (P). On definit l’espace

W =v ∈ H1(Ω),

∫Ω

v(x) dx = 0,

et on designe par u l’unique solution du probleme

(P ′)

Chercher u ∈W tel que

∀ v ∈W,∫

Ω

∇u.∇v dx =∫

Ω

fv dx

—Ce probleme est bien pose (a ne pas demontrer).—

2.1. On suppose que∫

Ωf(x) dx = 0. Montrer que pour tout λ ≥ 1 la solution uλ coıncide avec u.

2.2. Dans le cas ou l’hypothese∫

Ωf(x) dx = 0 n’est plus verifiee, prouver que

∀ v ∈W,∫

Ω

∇(uλ − u).∇v dx = 0.

En deduire que

λ(uλ − u) =1|Ω|2

∫Ω

f(x) dx,

et que

‖uλ − u‖H1(Ω) ≤C

λ‖f‖L2(Ω),

avec C > 0 une constante independante de λ.

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