7/23/2019 Reduction Des Matrices 2

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Universite d’Orleans   2010-2011

M1 enseignement semaine 13

Isabelle Van den Boom.

Trigonalisation des matrices

Exercice 1   Soit  A =

0 1 1−1 1 1−1 1 2

.

1. Calculer le polynome caracteristique de  A.

2. Trigonaliser la matrice A.

3. Calculer  An , pour tout  n ∈ N de deux manieres differentes.

4. En deduire les suites un, vn, wn  verifiant

un+1 =  v

n + w

n

vn+1 = −un + vn + wn

wn+1 =  −un + vn + 2wn

avec les conditions initiales  u0 = 0, v0 = 1 et  w0 = 1

Exercice 2   Soit  P   un polynome annulateur d’un endomorphisme  f .Montrer que si  λ  est valeur propre de  f   alors  P (λ) = 0. dans la base canonique

Exercice 3   Soit  A =

1 1 01

2

3

2  −1

2

−1

2

1

2

3

2

1. Montrer que  A   n’est pas diagonalisable mais qu’elle est trigonalisable. Determinerson polynome minimal.

2. Determiner une base des sous-espaces caracteristiques de  A.

3. Determiner la matrice,dans la base canonique, de la symetrie par rapport a ker(A − I )2

relativement a ker(A − 2I ).

4. Calculer exp(tA).

5. Resoudre le systeme differentiel suivant :

x(t) = x(t) + y(t) + 1y(t) =   1

2x(t) +   3

2y(t) −   1

2z (t)

z (t) = − 1

2x(t) +   1

2y(t) +   3

2z (t) + 1

Exercice 4   Soit   f   un endomorphisme diagonalisable d’un   K-espace vectoriel  E   dedimension finie. Montrer que la restriction de   f   a tout sous-espace vectoriel   F   =   {0}stable est diagonalisable.

Exercice 5   Soit  A ∈ Mn(C) une matrice nilpotente.

1. Montrer que  A est semblable a une matrice triangulaire superieure stricte.

2. Le resultat est-il encore vrai pour A ∈ Mn(R) ?

1

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Exercice 6   Soient  E  un  K-espace vectoriel de dimension finie et  u ∈ L(E ) tel que lesespaces ker(u ◦ (u − id)) et ker(u ◦ (u + id)) soient supplementaires.

1. Montrer que  u ◦ (u + id) ◦ (u − id) = 0

2. Montrer que  u est une symetrie vectorielle.

Exercice 7   Soient   f   et   g   deux endomorphismes de   E   un   R-ev de dimension fi-nie,verifiant :f  ◦ g − g ◦ f  = f .

1. Calculer  f n ◦ g − g ◦ f n.

2. Soit  P   un polynome. Montrer que si  P (f ) = 0 alors  f  ◦ P (f ) = 0.

3. Montrer que le polynome minimal  P   de  f  divise le polynome  XP .

4. En deduire que f  est un endomorphisme nilpotent.

Exercice 8   Soient  f   et   g   deux endomorphismes qui commutent (f  ◦ g   =   g ◦  f )d’unC-espace vectoriel  E  de dimension finie.

1. Montrer que tout sous-espace propre de  f  est stable par  g.

2. Montrer qu’il existe un veceur propre commun a  f  et a  g.

3. Montrer qu’il existe une base de E  dans laquelle les matrices de  f  et de  g  sont trian-gulaires superieures.

4. On suppose que  f   et  g   sont deux endomorphismes de  R3 dont les matrices dans labase canonique sont respectivement :

A =

3   −1   −11 0   −1

−1 1 2

  et   B =

1   −1   −11   −1 0

−1 0   −1

.Donner une base de  R3 dans laquelle les matrices de  f  et de  g   sont triangulaires.

Exercice 9   Soit  A ∈ Mn(C) telle que 0 soit la seule valeur propre de  A.

1. Montrer que  An = 0. Calculer det(A + I n

).

2. Soit  M  ∈ GLn

(C) commutant avec  A. Calculer det(A + M ).

3. Inversement,montrer que les matrices A  verifiant :

∀M  ∈ GLn(C), AM  = MA ⇒  det(A + M ) = detM 

ne possedent que 0 comme valeur propre.

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