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R~flexions sur les probl~mes de compensation du cheminement a~rien

par W. Schermerho~n.

Nous sommes heureux d'etre en mesure de presenter aux lecteurs de , ,Photogram- metria" la discussion, qui n 'a pas eu lieu lors du Congr~s de Washington quoi que la dif- ference des observations hollandaises ~ ce sujet au m~me congr~s e t celles de l 'auteur dans , ,Photogrammetr ia ' IX, page 48 soit peu importante.

Ma r@onse aux r~flexions de MM Levallois et Bonneval es t eontenue dans les points suivants:

1. R e m a r q u e s g~n~rales .

C'est plutSt la presentat ion des m~thodes, que les m~thodes elles-m,~mes qui es t l 'origine de rues objection s. De m~me, l 'application des deux termes ,,m~thodes pratiques" et ,,m~thodes exactes" est peu claire dans ,,R~flexions etc." S i la justification d'une m~thode se base uniquement sur les r~sultats obtenus en tenant particuli~rement compte de leur precision e,t dconomie, les auteurs respectffs parlent d'une ,,m~thode pratique". Nous en sommes d'accord. Mais la difference se manifeste dans la d~finition des ,,m~tho- des exactes" dont les auteurs nient l 'existance pour la compensation des bandes. Peut ~tre eonsid~r~e comme exacte une m~thode de compensation des erreurs de fermeture si elle introduit systdmatiquement les conditions e t les relations r~ciproques des valeurs respectives qui f o m e n t la base th~orique du proc~d~. I1 est clair qu'on peut simplifier si ces simplifications sont justifi~es par les r~sultats du proc~d& simplifi~. D'autre part, il est autant clair, qu'il ~ 'est pas permis de postuler un tel proc~d~ simplifi~ comme pax exemple compensation selon la ,,m~thode des moindres carr~s". Voici un point essentiel de mes objections ~ l'~gard de la publication franqaise mentionn~e.

Les auteurs franqais avanceront que la compensation ~ l'aide du ,,d~tective" nommd ,,moindres caxrds" qui doit enqu~ter sur la par t de culpabilit~ de 30 ou 40 suspects en partant de 7 indications (erreurs de fermeture) n 'es t pas exacte. Ici la confusion ~ l '~gard de l 'expression ,,exacte" accroit encore un peu. Quelle est ici le sens du terme ,,exact"? I1 me semble que les auteurs y pensent ~ ha difference entre les valeurs compens~es e t certaines valeurs ,,effectives" (qui n 'existent pas) ou l e s valeurs limites obtenues de plusieurs r~p~titions de l'op~ration enti~re.

Nous sommes d'avis que cette difference d~pend de la precision des operations e t non de ,,l 'exactitude" de la m~thode. On peut discuter la qualit~ et la precision de r~sultats obtenus au moyen d'u~ proc~dd exact de compensation, par e×emple selon la mdthode des moindres carrds.

En voil~ un probl~me bien connu aux gdod4siens. I1 est pourtant possible que l'am~- lioration des r4sultats est disproportionelle aux efforts exig~s par cette m~thode exacte.

En plus, il n 'es t pas correct de parler de la m~thode des moindres carr~s si on Re fait que r~duire au minimum la somme des carr~s de certai.nes contradictions sans tenir compte des lois de la statistique tb~orique. I1 en existe plusieurs m~thodes approximatives de compensation de telles erreurs de fermeture ou de contradictions. Elles peuvent pro- duire de r~sttltats tout ~ fair pratiquables. La mdthode pr~sent~e par M. Bonneval es t une de ces m~thodes. Reste ~ faire la comparaison n~cessaire entre la m~thode exacte au sens mentionn~ et les m~thodes approximatives du poin~t de vue de la precision (approxima- tion des valeurs limites) e t de i'dconomie. La eomparaison nous manque jusqu'~ ce jour.

2. E x i s t a n c e des erreurs sys t~mat iques .

Les auteurs Levallois et Bonneval darts leurs ,,R~flexions etc." ne font pas une dis- tinction assez nette entre les trois categories suivantes:

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a) er reurs d 'observation accidentelles avec une fr@quence normale, y compris les erreurs soit correl6es soit non-correMes des valeurs d~riv6es des observations;

b) erreurs pseudo-accidentelles, ou pseudo-syst@matiques des observations ou - - plus fr6- quemment - - des valeurs d~riv~es. On t rouverai t la fr6quence d 'un g r a n d nombre des e r reurs de ce type auss i normale. N6anmoins la valeur moyenne quadrat ique de ces erreurs pseudo-syst~mat iques est d 'un ordre de g randeur plus 61ev6 que celui des er reurs parmi lesquelles se mani fes ten t ces er reurs pseudo-syst@matiques. Pa r suite nous pr~f6rons pour cette cat@gorie des erreurs l 'expression , ,erreurs pseudo-acciden- telles" introduite pa r Wiser, ~ une indication comme , ,pseudo-syst~matique".

e) Les erreurs syst~matiques. Elles sont d 'une origine diff6rente, due aux appareils, aux opdrateurs et aux circonstances. Elles sont soumises A certaines lois qui causent une fr6quence diff6rente de celle de Gauss. Pour cette raison il es t n6cessaire d'61iminer leur influence avan t chaque compensat ion exacte selon la m@thode des moindres car- r6s, qui n 'es t applicable qu 'aux er reurs de fr@quence normale.

I1 y a deux m6thodes d'~liminer ces erreurs syst@matiques:

a) R6p6ter les op6rations sous des circonstances si diff6rentes que le r6sul ta t moyen es t exempt de leurs influences sys t6mat iques (par exemple 61imination de l ' influ- ence de la r6fraction atmosph6rique sur les angles verticales d'un r6seau de triangulatiorL ter res t re par moyen de r6p@tition des observations r6ciproques A des heures diff6rentes) .

b) D6terminer la va leur d 'une certain e e r reur syst@matique. (par exemple influences de d6r6glage des ins t ruments ) .

Souvent il e s t tr~s difficile de discerner la diff6rence entre la troisi~me cat@gorie et la premiere ou seconde. MM. Lavallois et Bonneval par lent d 'une er reur syst~matique quand ils t rouvent une d6formation du faisceau perspectif. C'est seulemen,t la r~p6tition (qui en prat ique es t impossible) qui peut donner la r6ponse, parce que la diff@rence entre les erreurs accidentelles e t les er reurs syst@matiques se mani fe : t e exclusivement dans la courbe de fr6quence. La distinction entre les er reurs accidentelles et les erreurs pseudo- accidentelles est compl~tement impossible, parce que cette diff6rence n 'est pas d6finie par la nature, mais par l 'ordre de grandeur . Avec quelle valeur commencent les erreurs pseudo-accidentelles? On ne peut pas rdsoudre cette question parce que chaque s6rie normale peut contenir des er reurs tr~s grandes: heureusement it es t n@cessaire qu'on dolt se r6aliser que les er reurs pseudo-accidentelles se man i fes t en t sur tout dans les valeu¢'.~ dgr~vdes des observations originales (les 6chelles e t les longueurs des bandes du chemi- nement a6rien). En considdrant les er reurs 616mentaires c.O.d, les e r reurs des observations elles-m~mes, nous croyons qu'on ne t rouvera que les cat6gories 1 et 3. Apr~s avoir d6termin6 les er reurs sys t6mat iques et corrig6 tes valeurs observ@es, on peut appliquer la m6thode des moindres carr6s. Comme j 'ai 6crit duns , ,Photogrammetr ia" : la m@thode Roelofs suppose u~ syst~me d 'observat ions exempt de routes les er reurs sys t6mat iques et de toutes les e r reu r s pseudo-accidentelles.

Revenant su r les remarques fa i tes par MM. Levallois et Bonneval, les consid6rations susmentionn6es ddmontrent que nous sommes 6galement persuad6s du fa i t qu'il existe des erreurs syst6matiques.

Avant la guerre d@jA nous avons publi6 des recherches sur les e r reurs sys t6mat iques d'une t r iangula t ion a6rienne en p rouvan t leur existance. Ce n 'es t pas ici qu'il f a u t chercher la divergence de nos rues. Nous n 'avons qu 'aver t i des conclusions trop 16g~res, ce qui est n6cessaire parce qu'il y a cer ta inement des ph@nom~nes homologues, caus6s par des erreurs d ' influences accidentelles et par des influences syst6matiques . Les 6tudes du Prof. E. H. Thompson publi6es darts la revue anglaise , ,Photogrammetr ic Record" ont affirm6 mes supposit ions A ce sujet . Nous le consid6rons indispensable de falre des recherches approfondies. I1 f a u t par exemple d6terminer les sources d 'erreurs caus~es

1 0

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p a r les i n s t r u m e n t s , p a r l ' a t mosph~re , etc. Cet te d ~ t e r m i n a t i o n fa i t e , il f a u t co r r ige r ]es obse rva t i ons d ' ap r~s cela i n d 6 p e n d a m m e n t des e r r e u r s de f e r m e t u r e .

Sans conna i s s ance p ro fonde des sou rces d ' e r r eu r , il n e nous r e s t e a u c u n e a u t r e m~thode que la d i s t r ibu t ion q u a d r a t i q u e ou l in~aire des e r r e u r s de f e r m e t u r e . Les d a n g e r s de cet te m~thode on t 6t6 d 6 m o n t r 6 s pou r les inc l ina i sons l ong i t ud ina l e s ( , ,Photo- g r a m m e t r i a " 1939, p. 166).

Si la source de ces e r r e u r s n ' e s t pa s c o n s t a n t e ( c o m m e nous l ' avons t rouv6 p lu s i eu r s r ep r i s e s ) la d i s t r ibu t ion l in~aire de l ' e r r e u r de f e r m e t u r e n ' e s t pa s au to r i s6e e t la f o r m u l e

~c 8

a = a v r a i + - - n - - + V n

n ' e s t pa s appl icable . L ' i nce r t i t ude de l ' e r r e u r s y s t 6 m a t i q u e ~e d6pend pas e x c l u s i v e m e n t des e r r e u r s acc idente l les de l 'orientatiorL re la t ive e x p r i m 6 e s p a r s, m a i s s u r t o u t de la s tab i l i t6 du proc6d6. U n e a p p r o x i m a t i o n accep tab le de ce t te s tabi l i t6 e s t a s su r6e avec les

s p r6cau t ions p r i s e s p a r I 'I .G.N. N 6 a n m o i n s , on ne p e u t pa s a d m e t t r e le t e r m e ~ c o m m e

e r r e u r m o y e n n e q u a d r a t i q u e de la cor rec t ion s y s t 6 m a t i q u e . Les a u t e u r s on t m e n t i o n n 6 s c o m m e la v a l e u r m o y e n n e q u a d r a t i q u e de , , l ' e r reur accidente l le d ' o r i en t a t ion d ' un couple" . I1 m e semble qu ' ic i les a u t e u r s ont l ' i n t en t ion de p a r l e r des v a l e u r s m o y e n n e s q u a d r a t i q u e s des e r r e u r s des cinq 616ments d 'o r i en ta t ion . I1 es t donc n6ces sa i r e de d i s t in - g u e r n e t t e m e n t en t r e les d i f f6 ren t e s v a l e u r s d a n s les p rob l~mes du cheminemen£ a6rien. Si les a u t e u r s se l i m i t e n t a u x e r r e u r s de f e r m e t u r e gon iom6t r iques , c.O.d, les e r r e u r s de f e r m e t u r e en inc l ina i son long i tud ina l e e t l a t6 ra le et en d 6 v e r s e m e n t , les p rob l~mes des e r r e u r s s y s t 6 m a t i q u e s , d6riv6es des e r r e u r s de f e r m e t u r e , son t beaucoup mo in g r a n d s que ceux pou r les 6chelles, pou r les l o n g u e u r s de base e t pou r la l o n g u e u r de la bande. N6an- moins , au s s i pou r les e r r e u r s de f e r m e t u r e des 616ments g o n i o m 6 t r i q u e s on t rouve une

s e r r e u r m o y e n n e q u a d r a t i q u e qui e s t beaucoup p lus compl iqude qu ' ind ique le t e r m e V ~

E n i n t r o d u i s a n t la loi de la p r o p a g a t i o n des e r r e u r s correl6es, Roelofs a d6riv6 en 1941 les e r r e u r s m o y e n n e s q u a d r a t i q u e s des tnc l ina i sons e t du d 6 v e r s e m e n t d ' u n couple a rb i - t r a i r e d ' une bande. (Voir , , P h o t o g r a m m e t r i a " 1941 p a g e s 105 et 133). P o u r les incl inai- sons e t le d 6 v e r s e m e n t on t r ouve des e r r e u r s m o y e n n e s d ' u n ordre de g r a n d e u r qui ne

dif f~re pa s beaucoup de celles indiqu~es p a r le t e r m e ~ . P a r cons6quent , je n ' a i a u c u n e

object ion ~ la d6r iva t ion d ' une v a l e u r s y s t 6 m a t i q u e des e r r e u r s de f e r m e t u r e c o n c e r n a u t les e r r e u r s acc idente l les dans les 616ments d ' o r i en t a t i on de chaque couple. P o u r t a n t , rues objec t ions ne son t pa s bas6es s u r l ' in f luence des e r r e u r s acc idente l les s u r l ' e r r e u r sys t6 - m a t i q u e , d6riv6e des e r r e u r s de f e r m e t u r e de fonctions goniomdtriques m a i s s u r les in- f l uences des i r r6gu la r i t 6 s e t des c a s s u r e s dans les 616merits ddr/vda (6chelle e t l o n g u e u r de ta bande ) . I1 e s t p e r m i s de d6r iver l ' e r r e u r s y s t 6 m a t i q u e des 616ments g o n i o m 6 t r i q u e s des e r r e u r s de f e r m e t u r e de ces 616merits. I1 e s t t r~s d a n g e r e u x de ca lcu le r la c o n s t a n t e C de Von G r u b e r (A S = 1/2 c S 'e) de l ' e r r e u r de f e r m e t u r e de la l o n g u e u r S de ta bande.

M~me en s u p p o s a n t M. Bonneva l n ' a pas ut i l is6 les e r r e u r s de f e r m e t u r e en 6chelle e t en X Y, nous ne c royons pa s que les r 6 s u l t a t s de l a t r i a n g u l a t i o n de trois bandes , c o m m e publ i6s a u Congr~s de W a s h i n g t o n , r e p r 6 s e n t e n t une p r euve aus s i f o r t e c o m m e MM Leval lo is e t ]3onneval le croient . N o u s s a v o n s des th6or ies des o b s e r v a t i o n s qu ' en g6n6ra l t ro is obser- va t i ons i n d 6 p e n d a n t e s pou r une v a l e u r ne s o n t pa s g r a n d chose. T o u t de m ~ m e n o u s accep tons ces r 6 s u l t a t s c o m m e une ind ica t ion sfire a ins i que nous l ' avons f a i r avec nos r 6 s u l t a t s publ i6s en , , P h o t o g r a m m e t r i a " 1939 page 106 qui d 6 m o n t r a i e n t l ' ex i s t ence de ce r t a in s dange r s .

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3. Cassures.

A p r o p o s de ce phdnom~ne , il p a r a l t ex i s t e r un ce r t a in m a l e n t e n d u e n t r e nous , dQ l'interprdC.ation du t e r m e , , accumula t ion des e r r e u r s " . Les c a s s u r e s a ins i que les courbes

des e r r eu r s s y s t d m a t i q u e s p e u v e n t ~ t re provoqudes p a r double s o m m a t i o n des e r r e u r s p u r e m e n t accidentel les . P o u r p rouve r ce faR, j 'a i notd une sdrie de 16 ch i f f r e s d a n s les l imites de 0 e t 10 (voir t a b l e a u 1) r e p r d s e n t a n t des e r r e u r s accidente l les . L a v a l e u r

/ /

1 /

/ /

/ /

- - 4 b , .......... db2 \ ,

.... dx, . . . . . . . d x 2 \\.\ \ ' \

\ . \ .

Fig . 1.

moyenne q u a d r a t i q u e de la s~rie e s t ~gale ~ 3.6, le m o y e n a r i t h m ~ t i q u e es t de 3.0. La courbe de f ig . 1 r ep r~sen te la double s o m m a t i o n de la s~rie. En c h a n g e a n t s e u l e m e n t le s igne de deux e r r e u r s o r ig ina les e t en r4p~ t an t t ou te l ' opdra t ion , on ob t ien t le c h a n g e - men t b rusque de la courbe de l '~chelle e t s u r t o u t de la courbe des x.

I1 n ' e s t pa s ind i spensab le , c o m m e le d ~ m o n t r e l ' exemple ~ des sus , qu ' i l se p a s s e quelquechose d ' e x t r a - o r d i n a i r e p o u r p rodu i re les c a s s u r e s redou tab les . N o t o n s que les e r reu r s modif i4es ne son t que des v a l e u r s no rma l e s .

Nous c royons que l e s ens des e x p e r i m e n t s de Roelofs 1), e s t l '~preuve qu 'on peu t .obtenir les c a s s u r e s p a r double s o m m a t i o n des s~ries d ' un ca rac t~ re p u r e m e n t acc idente l s ans aucun ph~nom~ne ex t r a -o rd ina i r e . I1 p rouve qu ' i l ex i s te t ro is c ause s de c a s s u r e s :

a) des e r r e u r s g r o s s e s de lec ture

b) ce r ta ines c i r cons t ances ex t r a -o rd ina i r e s . Les e r r e u r s son t indiqu~es c o m m e e r r e u r s p s e u d o - s y s t ~ m a t i q u e s ou pseudo-acc iden te l l e s

c) la double s o m m a t i o n des e r r e u r s d ' o r i en t a t ion acc idente l les avec une ce r t a ine suc- cess ion accidentel le .

1) L 'o r ig ine de ces e x p d r i m e n t s e s t u n e p ropos i t ion f a i t e en 1940 p a r MM. J. Th. Ver - stel le e t Jr. A. J. v. d. Wee le du Serv ice C a r t h o g r a p h i q u e du Minis t~re des T r a v e a u x Pu - blics ~ Delf t .

1 4 4

Tableau 1.

S6rie originale

! •

d~ I ab d~ i

! t +2 - - 1 +5 +3

- - 6 - - 2 +0 ÷4 +2 + 8

- - - 2

- - 3 - - 5 +2

0 +8

+ 1 + 6 + 9 + 8 + 1 -4- 1 + 5 + 7 +15 +13 +10 ÷ 5 + 7 + 7 +10

+ 7 + 16 + 1 9 + .20

] + 21 + 26

, ÷ 33 li i + 4 s i i + 61

+ 71 + 76 + 83 ,4- 90 +I00

S6rie modifi6e

dfl db dx

+ 2 - - 1 + 5 + 3

- - 6 - - 2

0 - - 4 +2

- - 8 - - 2

---8 - -5 -4-2

0 + 3

A 2 1

+ 6 + 9

, + 3

I . + 1 ' + 1

- - 1 - - 9 ]

I - - 1 1 [ - - 1 4

- -19 - -17 - -17

I ' - -14

I +7 +16 +19

I J +20

+21 i ÷18 I +17

i + 8

- -17 i - - 8 6

- -53 - -70 - -84

I1 paraft , en g6n6ral, impossible de s6parer ces types de cassures. Seulement les er- reurs grosses ou les er reurs sys t~ma t iques tr~s fortes peuvent ~tre d6termin~es e t corri- g6es. Une r6p~tition de l 'orientation relative selon une m~thode d6mont ran t une distor- sion du faisceau perspectif (Poivilliers) n ' e s t pas toujours sa t i s fa isante . O~ t rouvera peut-fitre une irr6g~alarit6 ~ cet endroit, mais ce fa i t ne donne pas toujours la valeur de la correction de la cassure, ni la just i f icat ion absolue d'61iminer compl~tement la cassure. Une 61imination d'une cassure reste souvent un acte plus ou moins arbitraire! Outre cela, le tableau 1 montre que d6j~ le. changement de signe d 'un e grand e e r reur dfl du t rans- port de l'6chelle, causSe par l 'observation, peut changer la cassure en X. Conclusion: les eassures en X et en Y doivent fitre corrig6es, mais les recherches pour des corrections n@essaires sont difficiles et les r6sul ta ts des m6thodes de correct ion jusqu 'aujourd 'hui plus ou moins arbitraires.

Malgr6 cette conclusion un peu triste, je ne suis pas pess imis te du point de vue de la possibilit~ d 'un t ra i t ement un peu plus exact du probl~me. Toutes les dffficult6s des cassures se man i fe s t en t seulement aux valeurs d6riv~es: 6chelle, longueur de b a s e de chaque couple et longueur de la bande. Apr~s la correction des 616ments goniom6triques

cause des erreurs sys t6mat iques , on dolt ex6cuter une compensat ion exacte d e c e s 616- ments . Les cassures en X, qui para issent apr~s cette compensation, doivent ~tre corrig6es par moyen de la compensat ion du bloc. Cette compensat ion contiendra un si grand nom- bre de conditions entre les coordonn6es des points communs des ba nde s adjacentes, qu'il sera possible de faire disparal t re ces cassures. C'est un grand travail , mais pas imposible avec les moyens modernes.

4. A j u s t e m e n t des ban4es .

Les remarques de MM Levallois et Bonneval concernant la distr ibution des correc- tions selon la m6thode des moindres carr6s sont tout h fa i t justes. Je me demande, cepen- dant, quelle sera la cons6quence de leur j ugemen t? Les g6od6siens n 'ont aucune objec- tions ~ l 'application de cette m6thode ~ leurs probl~mes de compensation. Ils pr6supposent cependant une condition: que la na ture des e r reurs soit homog~ne. Le point impor tan t de la compensat ion d 'une t r iangula t ion a6rienne est qu'en g6n6ral les er reurs des quasi-

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observations de Roelofs Ti, c°i, ki qci', fli, bi', by( sont d'une nature accidentelle et homo- g~ne. Elles ne sont jamais les produits d'une sommation~ double comme les coordonn~es de machine x. Roelofs et Gotthardt ont montr6 comment la sommation double fai t perdre la homog6ni6t~ d'une s6rie des erreurs et cr6e des cassures. L'introduction par Roelofs, de b i' et by i" qui sont les produits d'une sommation simple est d6ja dangereuse. Une application de la m6thode des moindres carr6s exige une s6rie des erreurs avec une fr6- quence normale. On ne corrigera jamais Ies cassures des x en appliquant cette m6thode avec ,,quasi-observations". Quand on est stir que la cassure ne peut pas ~tre caus6e par des d~formations des faisceaux perspectifs ni par des influences atmosph6riques, ni par des particularit~s de l ' instrument, il est ~ peu pros stir, que la cassure en x soit caus6e par la double sommatio~ des erreurs 616mentaires et homogbnes des 616ments d'orienta- tion, c.A.d, des quasi-observations de Roelofs.

J 'admets cependant, qu'en pratique normale il est tr~s dffficile d'obtenir une position aassi claire. Premi~rement il es t presqu'impossible de faire une distinction entre petites cassures et des 9h6nombnes accidentels normaux. Deuxi~mement i! est trbs difficile de d6terminer avec une certitude suffisante la pr6sence des causes directes de cassures. Ndanmoins, quand on veut appliquer comme dans la g6od6sie normale, la compensation selon la m6thode des moindres carr6s, il faut satisfaire aux exigences suivantes:

a) ContrSler aussi bien que possible les observations des couples, montrant des cassures et appliquer le~ corrections n6cessaires aux 616ments d'orientation.

b) Introduire comme observations des valeurs dont les erreurs sont d'une nature homo- g~ne avec des frdquences normales (c.O.d. les quasi-observations de Roelofs et pas les 6chelles ou les coordonn~es x et y).

Concernant la compensation des blocs nous ne croyons pas que les valeurs de xyz utilis6es par M. Bonneval, sont des observations directes et non-correl6es. On ne peut pas comparer ces valeurs ccdcul~es avec les lectures de la limbe gradu~e d'une theodolite. Les valeurs xyz sont par exemple, influenc6es par l'~chelle des modbles pr6c~dents. Voici une source de correlation qui a 6t6 d6riv6e d6jA en 1940 par Roelofs.

Si les coll~gues franqais consid~rent aussi leur deuxibme m6thode comme m6thode ,,pratique", justifi6e par les r6sultats, je suis tout ~ fair d'accord. Du point de rue de compensation plus exacte je persiste dans mon opinion qu'ils ont n6glige les diff6rences de poids et les correlations entre les valeurs de xyz des modules compar6s qu'on a obtenu en ajoutant les lectures de chaque module ~ un certain hombre d'observations pr~cddentes, hombre, qui n 'est pas toujours le m~me darts les bandes adjacentes. Cette diff6rence cause une diff6rence de poids.

J 'admets que la compensation exacte d'un bloc est un probl~me d~licat et difficile. La reproche que la t~che du d~tective ,,moindres carr6s" est trop difficile, n 'est pas la m~me que pour la compensation d'une bande. Ce d6tective aura ici, au lieu de 7, un trbs grand nombre d'indications (conditions). La difficultd est ici la grande quantit6 des ,,in- dications". La solution, n6anmoins, sera tr~s utile pour d6terminer l'influence des appro- ximations qui ont 6t6 introduiteS dans les m6thodes ,,pratiques". Nous croyons que ce travail est en route!

1 0 ~