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Régulateur PI à gains variables pour

l’asservissement en courant des machines à

réluctance variable

Hala Hannoun, Mickaël Hilairet, Claude Marchand

LGEP/SPEE Labs ; CNRS UMR8507 ; Supelec ; Univ Pierre et Marie Curie-P6 ;Univ Paris Sud-P11 ; F-91192 Gif-sur-Yvette

[email protected]

Résumé—La Machine à Réluctance Variable (MRV) présentede plus en plus d’intérêt pour l’entraînement à vitesse va-riable. Elle est utilisée dans différents domaines d’applica-tion : transport (automobile), applications domestiques, etc.Afin d’obtenir des dynamiques satisfaisantes au niveau de laréponse de la vitesse, le contrôle du courant ou du coupleconstitue le cœur de la commande dans de tels systèmesd’entraînement. Les caractéristiques non-linéaires du flux etdu couple compliquent significativement le développementde la commande.Cet article présente une méthodologie de conception d’unrégulateur de courant proportionnel-intégral dont les gainssont adaptés en permanence à la valeur du courant dansla phase et à la position du rotor. Le but étant d’obtenirde meilleures performances par rapport au régulateur PIà gains fixes. Une étude comparative du régulateur PI clas-sique avec le PI à gains variables, est réalisée dans cet article.

Mots-clés—Machine à réluctance variable, régulation de cou-rant, gain variable.

I. Introduction

La MRV a attiré l’attention de beaucoup de chercheurspendant la dernière décennie. Ses domaines d’applicationvont des entraînements économiques de grande diffusion(électroménager) aux entraînements à haute performance(aéronautique, systèmes embarqués [1]). La MRV s’imposeen raison de ses nombreux avantages. Cette machine, sansbalais ni collecteur, est de conception très simple et consti-tuée de matériaux peu coûteux [2]. Elle ne comporte ni ai-mants, ni bobinages au rotor ce qui lui confère une granderobustesse. En plus, les progrès réalisés dans le domaine del’électronique de puissance et la disponibilité de calcula-teurs numériques très rapides, ont considérablement servià introduire cette machine dans le monde industriel.Cependant, plusieurs inconvénients limitent son utilisationcomparée à d’autres types de machines : son couple est on-dulé et ses caractéristiques sont non-linéaires. En effet, enraison de sa structure doublement saillante et de la satura-tion du circuit magnétique, l’inductance de la phase changesignificativement selon la position et le courant. Pour réali-ser une densité élevée du couple [3], la machine est souventutilisée avec une importante saturation magnétique des ma-tériaux. Par conséquent, la conception d’un contrôleur ap-proprié pour réaliser une commande efficace doit prendreen considération cette importante non-linéarité.La commande en vitesse de la MRV a été intensivementtraitée dans la littérature tandis que peu de recherches ont

été consacrées à la régulation du courant. Plusieurs mé-thodes de contrôle non linéaire, telles que le retour linéa-risant [4] et les modes glissants [5] ont été appliqués à laMRV pour la commande en vitesse/position.Pour ce qui concerne la régulation de courant, la méthodela plus utilisée généralement est l’hystérésis. Son inconvé-nient est une fréquence de commutation variable qui peutcauser du bruit supplémentaire dans la MRV [6]. Une solu-tion alternative est une commutation à fréquence fixe viaune PWM (Pulse Width Modulation).Dans [7], les auteurs ont proposé un contrôleur de courantpour la MRV basé sur l’étude itérative : cette méthoden’exige pas la connaissance d’un modèle précis de la ma-chine. La tension de référence est obtenue à partir de l’er-reur sur le courant et des sorties de commande du cycleprécédent.Le sujet de gain variable auquel on s’intéresse dans cet ar-ticle a été traité dans [8] dans le cas de l’asservissementen vitesse : dans ce travail, un modèle du premier ordrea été dérivé pour la MRV à travers une série d’approxi-mations, puis ce modèle a été employé pour calculer lesgains adaptatifs d’un régulateur PI. Ce contrôleur a ététesté expérimentalement et les résultats ont confirmé queses performances sont bien meilleures que celles du régula-teur PI conventionnel à gains fixes.Un autre régulateur de vitesse, de type « PI flou » à gainvariable a été présenté dans [9]. Les règles et le raison-nement de la logique floue ont servi pour déterminer lesgains proportionnel et intégral. Ces gains pourraient êtremodifiés en ligne en se basant sur l’erreur et sa dérivée.L’adaptation des gains du régulateur avec les conditions defonctionnement a abouti à de meilleurs résultats.Cet article traîte de la régulation de courant d’une MRVà l’aide d’un PI à gains variables. Puisque l’inductance dela phase change selon la position du rotor et le courant, unrégulateur avec des gains réglables selon ses deux variablesest plus prometteur qu’un simple PI traditionnel.L’adaptation des gains est basée sur un modèle analytiquede la MRV qui est présenté dans le paragraphe 2. Ensuite,la conception du régulateur est détaillée dans le paragraphe3. Enfin, les résultats de simulation sont présentés pour vé-rifier l’amélioration apportée par le régulateur proposé.

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II. Modélisation de la MRV

Le régulateur proposé est conçu pour une MRV 8/6 àquatre phases dont les paramètres sont indiqués dans letableau suivant :

TABLE I

Caractéristiques du prototype

Paramètres géometriques

Nombre de pôles rotoriques 6Nombre de pôles statoriques 8Diamètre extérieur du stator 143 mm

Diamètre de l’axe 23 mmArc polaire statorique 19.8̊Arc polaire rotorique 20.65̊

Epaisseur entrefer 0.8 mmParamètres électriques

Nombre de phases 4Puissance nominale 1.2 kWVitesse nominale 3000 rpmTension nominale 24 V

Indice de protection IP20

La conception du régulateur est basée sur les caractéris-tiques magnétiques de la machine qui sont habituellementobtenues à partir de mesures expérimentales ou de calculsnumériques tels que l’analyse par éléments finis (EF).Dans cette étude, un outil numérique basé sur les EF estutilisé [10]. Il a permis d’obtenir, pour le cas de notre ma-chine, la cartographie de flux montrée sur la Fig. 1. Le fluxd’une phase est tracé en fonction du courant allant jusqu’à100A, les courbes sont paramétrées par la position sur unedemie période électrique. La figure montre que pour uneposition donnée, et pour les valeurs du courant inférieuresà 20A, la pente est constante et par conséquent l’induc-tance est indépendante du courant.A partir du flux, l’inductance peut être calculée selonl’équation suivante :

Flux = Inductance × courant (1)

On peut constater sur la Fig. 2 que pour les valeurs faiblesdu courant, les courbes sont très proches et l’inductancene varie qu’avec la position. Par contre, dès que le courantdépasse les 20A, l’effet de la saturation magnétique com-mence à apparaître et l’inductance devient fonction de laposition et du courant.

Afin d’atteindre de meilleures performances, la com-mande doit tenir compte de la dépendance de l’inductanceen fonction du courant et de la position. Les valeurs du fluxsont généralement stockées dans des tables. Cependant untel stockage occupe un grand espace mémoire et allourditle temps de calcul. Pour éviter cela une modélisation ana-lytique de l’inductance, basée sur les résultats du calcul EFa été adoptée :

– La dépendance de la position est représentée par unnombre limité (P +1) des termes de la série de Fourier.

– La variation non-linéaire par rapport au courant estexprimée par des fonctions polynômiales d’ordre N .

0 20 40 60 80 1000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Courant (A)

Flu

x (W

b)

Position durotor θ

Position deconjonction

Positiond’opposition

Fig. 1. Représentation du flux dans une phase en fonction du courantet de la position du rotor

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

−3

Position du rotor (°)

Indu

ctan

ce (

H)

Positiond’opposition

Position de conjonctioni < 20 A

i=100A

Courant i

Fig. 2. Variation de l’inductance d’une phase en fonction du courantet de la position du rotor

L’inductance d’une phase peut être finalement écritecomme suit :

L(θ, i) =P

p=0

ap(i)cos(pθ) (2)

avec

ap(i) =

N∑

n=0

bpnin (3)

Le choix de N et de P dépend de deux critères :– L’erreur relative, entre les données fournies par le cal-

cul (EF) et l’expression analytique, qui diminue avecN et P.

– Le temps requis par le processeur pour calculer unpoint de fonctionnement L(θ, i) : il dépend du nombrede multiplications et d’additions à effectuer et vaut(P + 1)(3N + 2).

Un compromis entre les deux critères doit être fait et unchoix raisonnable semble être :

{

N = 6P = 4

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III. Régulateur à gains adaptatifs

Afin d’énoncer plus simplement les équations qui dé-crivent le comportement dynamique de la machine à réluc-tance variable, le couplage magnétique entre les différentesphases a été négligé. L’équation électrique décrivant unephase est :

u = R i +dφ(θ, i)

dt(4)

avecφ(θ, i) = L(θ, i) i (5)

⇒dφ(θ, i)

dt= L(θ, i)

∂i

∂t+ i

∂L(θ, i)

∂t(6)

= L(θ, i)∂i

∂t+ i

(

∂L(θ, i)

∂i

∂i

∂t+

∂L(θ, i)

∂θ

∂θ

∂t

)

(7)

u la tension appliquée aux bornes d’une phase,

R la résistance d’une phase,

i le courant dans la phase,

φ le flux dans la phase,

θ la position électrique du rotor.

A partir de (4) et (7)

u = R i +

(

L(θ, i) + i∂L(θ, i)

∂i

)

∂i

∂t+ i ω

∂L(θ, i)

∂θ(8)

⇒ u = R i + L′(θ, i)∂i

∂t+ E (θ, i, ω) (9)

L′(θ, i) = L(θ, i) + i∂L(θ, i)

∂i(10)

E (θ, i, ω) = i ω∂L(θ, i)

∂θ(11)

où ω est la vitesse angulaire électrique et E est la forceélectromotrice induite par rotation.L’équation (9) montre un modèle non-linéaire qui dépenddu courant, de la position et de la vitesse.Comme l’inductance varie fortement avec le courant et laposition, la constante de temps électrique d’une phase va-rie aussi. Un régulateur qui prend en compte ces varia-tions pour les compenser devra normalement aboutir à demeilleures performances dynamiques.

La Fig. 3 montre le schema bloc du régulateur proposéassocié au modèle électrique simplifié d’une phase. La fonc-tion de transfert du système en boucle fermée est donnéepar :

I∗(s)

I(s)=

Kp

L′s + Ki

L′

s2 +(

Kp+R

L′

)

s + Ki

L′

(12)

En négligeant la résistance de la phase par rapport aucoefficient Kp, la fonction de transfert devient :

I∗(s)

I(s)=

2 ξ wn s + w2n

s2 + 2 ξ wn s + w2n

(13)

-i∗

6� ��∑

+

-

6

Adaptationdes gains

i

θ

Kp

Ki

×-6

-1/s -×

6-

� ��∑+

+6

-� ��∑

+

6E

- 1

R+L′ s-i

modèle électrique

Fig. 3. Schema bloc de la boucle du courant

où ξ est le coefficient d’amortissement et wn est la bandepassante du système en boucle fermée.

L’identification des équations (12) et (13) permet de cal-culer les deux gains proportionnel Kp et intégral Ki de lafaçon suivante :

{

Ki(θ, i) = L′(θ, i) w2n

Kp(θ, i) = 2 ξ L′(θ, i) wn(14)

L’inductance montrée sur la Fig. 2 est fortement non-linéaire. Elle varie avec la position du rotor et le courantde la phase. Cela signifie que dans le cas d’un régulateur PIà gains fixes, les caractéristiques de la boucle vont changersur une période électrique d’une manière aléatoire et impré-dictible. La bande passante et la marge de phase ne serontplus telles qu’on les a choisies lors de la conception de lacommande.L’exemple suivant montre cette variation dans le cas où l’in-ductance ne varie qu’avec la position. Pour simplifier, onconsidère le cas des courants inférieurs à 20A. Pour deuxpositions différentes (θ1 and θ2), on peut écrire :

Ki = L′

1 w2n1 = L′

2 w2n2 = constant

(

wn1

wn2

)2

=L′

2

L′

1

(15)

Kp = 2 ξ1 L′

1 wn1 = 2 ξ2 L′

2 wn2 = constant′

⇒ξ2

ξ1

=wn2

wn1

=

L′

1

L′

2

(16)

Ainsi si le coefficient d’amortissement est fixé à 1 et labande passante à 10000 rads/s pour la position d’opposi-tion (θ = 0̊ ) où l’inductance est égale à 0.38mH, la dyna-mique de la boucle fermée changera avec la position selon(16).Le tableau II montre la variation de la dynamique pourtrois points de fonctionnement différents. Au fur et à me-sure que l’inductance augmente, le système devient de plusen plus lent et oscillant.

Le diagrame de Bode en boucle fermée, dans le cas durégulateur à gains fixes, est montrée sur la Fig. 4. Le tracéest fait pour trois positions :

– θ = 0̊ la position d’opposition– θ = 180̊ la position de conjonction– θ = 90̊ la position intermédiaire

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TABLE II

Loop dynamics variation for the fixed PI controller

θ(̊ ) L (mH) ξ wn(rad/s)0 0.38 1 1000090 1.35 0.5305 5305180 3.22 0.3435 3435

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

Mag

nitu

de (

dB)

103

104

105

106

−135

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

θ1=0°

θ2=90°

θ3=180°

Fig. 4. Tracé de Bode en boucle fermée

Comme le montre la Fig. 4, l’amplitude en boucle ferméevarie significativement selon le point de fonctionnement etpar conséquent la bande passante du système et sa margede phase varient également.

L’intérêt du gain variable réside dans le fait que la dyna-mique du système est sous contrôle et ne varie pas de façonaléatoire avec la variation de l’inductance.

Dans [11], une adaptation linéaire des gains a été adop-tée. Les gains nominaux du PI sont réglés pour le cou-rant maximal à la position d’opposition. Deux coefficientsd’adaptation sont introduits pour ajuster les gains du PIselon la référence du courant et la position du rotor, respec-tivement, d’une manière linéaire. Cette méthode a l’avan-tage d’être simple. Les variations de la bande passante etde la phase sont limitées mais existent toujours.

Concernant le régulateur proposé dans cet article, l’adap-tation des gains assure exactement la même dynamique surtoute la plage de fonctionnement. Les mesures de la posi-tion du rotor et du courant de la phase sont supposéesdisponibles de sorte que l’inductance donnée par (10) peutêtre calculée. Cette valeur est ensuite utilisée pour ajus-ter les paramètres du régulateur PI selon (14). De cettefaçon, les gains proportionnels et intégraux changent avecla position et le courant de sorte que la bande passanteet le coefficient d’amortissement demeurent constants. Ceprocédé est récapitulé sur la Fig. 5.

-Courant

-Position Eq. (4) -L′

Eq. (8)-Kp

-Ki

Fig. 5. Algorithme d’adaptation des gains

IV. Résultats de simulation

Les résultats de simulation sont présentés dans ce pa-ragraphe. Ils montent une comparaison des résultats durégulateur PI conventionnel avec le PI à gains variables(PIGV). Les essais de simulation sont effectués sous l’envi-ronnement MATLAB-Simulink.Les gains du PI conventionnel ont été réglés pour la valeurmoyenne de l’inductance qui est de 1.8 mH. Le coefficientd’amortissement est fixé à 1 et la bande passante à 10000rad/s pour assurer une réponse rapide. La vitesse est im-posée et il s’agit d’une régulation en courant seulement.L’angle de début de magnétisation est fixé a 45̊ et uneseule phase conduit à chaque instant.La Fig. 6 montre les réponses des deux régulateurs suiteà une commande en échelon de 5 A à la vitesse nominalede la machine. La réponse du PIGV est meilleure que celledu PI classique : pendant la phase transitoire, la tensionfournie par le premier est supérieure à celle fournie par lesecond et par la suite il en résulte une réponse du courantplus rapide. Les variations des gains du PI correspondantau transitoire précédent, sont montrées sur la Fig. 7. Cesvariations assurent une bande passante et un coefficientd’amortissement constants.

4 5 6 7 8 9 10 11 12

x 10−4

0

2

4

6

Temps (s)

Cou

rant

(A

)

4 5 6 7 8 9 10 11 12

x 10−4

0

10

20

30

Temps (s)

Ten

sion

(V

)

IrefPIPIGV

PIPIGV

Fig. 6. Réponse de courant à vitesse nominale

5 6 7 8 9 10 11 12

x 10−4

1

2

3

4

5

Temps (s)

Gai

n in

tégr

al

5 6 7 8 9 10 11 12

x 10−4

10

20

30

40

50

Temps (s)

Gai

n pr

opor

tionn

el

PIPIGV

PIPIGV

Fig. 7. Variation des coefficients proportionnel et intégral

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0.5 1 1.5 2

x 10−3

0

5

10

15

Temps (s)

Cou

rant

(A

)

0.5 1 1.5 2

x 10−3

−20

−10

0

10

20

Temps (s)

Ten

sion

(V

)

IrefPIPIGV

PIPIGV

Fig. 8. Fonctionnement en pleine onde

5 6 7 8 9 10 11 12

x 10−4

0

10

20

30

40

Temps (s)

Cou

rant

(A

)

5 6 7 8 9 10 11 12

x 10−4

0

50

100

150

200

Temps (s)

Ten

sion

(V

)

IrefPIPIGV

PIPIGV

Fig. 9. Réponse de courant à vitesse nominale dans la zone de satu-ration

Cependant les performances du régulateur proposé sontlimitées à cause de la limitation de la source d’alimentationde la machine à 24 V. Les simulations ont montré que pourune vitesse donnée, le régulateur est capable de produirede meilleures réponses jusqu’à ce que la tension de phasese sature comme le montre la Fig. 8, ce qui correspond aufonctionnement appelé "pleine onde".Pour s’affranchir de la contrainte imposée par la sourced’alimentation, la limitation en tension a été élevée à 200V. La Fig. 9 montre les résulats obtenus à vitesse nominale,pour une commande en courant dans la zone de saturation.Le PIGV est capable de produire une meilleure réponse.

L’influence du régulateur de courant proposé sur la com-mande en couple en boucle ouverte a été examinée. Quatrerégulateurs de courant (c.à.d un régulateur par phase) ontété mis en oeuvre. Un bloc d’autopilotage sert à répartir lecouple successivement sur les quatre phases et à chaque ins-tant, une seule phase de la machine produit tout le coupledemandé.Pour une vitesse de 1500 tr/min, la Fig. 10 montre le coupleélectromagnétique produit par la machine, pour trois va-leurs différentes du couple demandé (0.5 Nm, 1.5 Nm, 2.5

0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

0.2

0.4

0.6

0.06 0.062 0.064 0.066 0.068 0.07

0.5

1

1.5

Cou

ple

(Nm

)

0.12 0.122 0.124 0.126 0.128 0.13

1

1.5

2

2.5

Temps (s)

réfPIPIGV

Fig. 10. Comparaison des deux réponses de couple en boucle ouverte

0.014 0.0145 0.015 0.0155 0.0160

10

20

0.0675 0.068 0.0685 0.069 0.06950

20

40

0.1205 0.121 0.1215 0.122 0.12250

20

40

Temps (s)

Cou

rant

(A

)

réfPIPIGV

Fig. 11. Comparaison des deux réponses du courant

Nm) pour les deux régulateurs développés. Dans ces condi-tions, la référence du courant varie en fonction de la po-sition. Étant donné qu’au moment de la commutation ducourant d’une phase à une autre, le courant ne peut pass’établir instantanément dans la phase, cela conduit à unechute du couple produit et donc à une ondulation impor-tante du couple. Cependant, le couple produit dans le casdu régulateur PIGV est meilleur : sa valeur moyenne estsupérieure à celle du couple produit par le PI classique etson ondulation est inférieure. Ceci est dû à une meilleurephase transitoire du courant (Fig. 11).Le fait de s’affranchir de la limitation en tension a permisde mieux examiner les bénéfices du PIGV. Cependant, enpratique, on ne peut pas s’affranchir de cette contrainte, cequi limitera alors les performances du régulateur proposé.

Des variations de l’inductance d’une phase ont été intro-duites dans le modèle afin de tester la robustesse du régula-teur proposé vis à vis de l’incertitude dans la connaissancede l’inductance. La Fig. 12 montre la réponse du courantainsi que la valeur moyenne de la tension à la sortie du ré-gulateur pour une variation de + ou - 20 % de l’inductance.La régulation du courant est peu sensible à ces variations.

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5 6 7 8 9 10 11

x 10−4

0

2

4

6

Temps (s)

Cou

rant

(A

)

5 6 7 8 9 10 11

x 10−4

−20

−10

0

10

20

Temps (s)

Ten

sion

(V

)

Iref

∆L=0%

∆L=−20%

∆L=+20%

∆L=0%

∆L=−20%

∆L=+20%

Fig. 12. Test de robustesse

V. Conclusion

Un régulateur de courant, de type PI à gains adapta-tifs, a été décrit dans ce papier. Son concept est basé surle calcul d’un PI classique, sauf que ses paramétres sontajustables en ligne selon la valeur du courant dans la phaseet la position du rotor. La variation des gains du régula-teur permet de compenser celle de la constante de tempsélectrique du système et de maintenir une dynamique biendéfinie de la boucle fermée du courant.

Le régulateur proposé a abouti à de meilleures perfor-mances en comparaison avec le régulateur PI traditionnel,concernant la phase transitoire du courant. Ce qui s’esttraduit en une meilleure réponse du couple fourni par lamachine. Cependant la saturation de la source de tensiona limité cette amélioration.Une validation expérimentale des résultats de simulationest actuellement en cours.

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