LA REGULATION

Asservissement et régulation :

-1-Asservissement : Un système asservi est un système dit suiveur, c’est la consigne

qui varie : exemple ; une machine outil qui doit usiner une pièce selon un profil donné, un

missile qui poursuit une cible.

-2-Régulation : Dans ce cas, la consigne est fixée et le système doit compenser l’effet des

perturbations, à titre d’exemple, le réglage de la température dans un four, de la pression dans

un réacteur, le niveau d’eau dans un réservoir.

-2-2Critères de performance d’une régulation

La figure suivante illustre un procédé régulé par une boucle fermée. Dans ce cas

l’association procédé et instruments constitue un système asservi, de ce fait la réponse à un

échelon de consigne est généralement du type apériodique.

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Pour un système de régulation, les spécifications restent souvent vagues en raison surtout de

la grande diversité de problèmes de régulation. Les critères qualitatifs à imposer dépendent

d’abord de la nature du processus à régler. A titre d’exemple, on ne peut imposer aveuglément

un processus transitoire rapide ou un taux d’amortissement de 0,75 pour n’importe quel

système. En effet l’asservissement d’un ascenseur (qui nécessite un confort pour les

passagers) ne tolère pas par exemple : d’accélération . Les dépassements de la pression

régulée dans un réacteur nucléaire ne doivent pas atteindre les seuils limites de tarage des

soupapes de sécurité etc...

Les performances d’une régulation peuvent se définir à partir de l’allure du signal de mesure

suite à un échelon de consigne.

Notons toutefois que les critères de performances classiques peuvent se résumer comme suit :

-Stabilité : Cette condition est impérative mais avec un certain degré de stabilité (marge de

sécurité). En général on impose une marge de gain de 2 à 2.5. L’utilisateur parle en termes de

«pompage».

-Précision : L’exploitant demande à ce que le système possède une bonne précision en régime

permanent d’où une nécessite de mettre un régulateur PI ou d’afficher un gain important dans

le cas d’un régulateur P.

-Rapidité : On demande en pratique que le système soit capable rapidement de compenser les

perturbations et de bien suivre la consigne.

-Dépassement : En général on recommande un système de régulation dont le régime

transitoire soit bien amorti et dont le dépassement ne dépasse pas 5 à 10% la valeur nominale.

2-2-Stabilité

Le système constitué du procédé et de la boucle de régulation est dit stable, si soumisà une

variation de consigne, la mesure retrouve un état stable, dans le cas contraire le système est dit

instable. Pour un système stable, le temps écoulé pour retrouver la stabilité constitue le régime

transitoire.

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Réponse indicielle d’un système stable

Réponse indicielle d’un système instable

2-3-Paramètres de la réponse d’un système stable :

-Précision :

Elle est définit à partir de l’erreur statique en régime stable comme le montre la figure

suivante :

Erreur de précision (%) = ( /C).100

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Exemple : pour C = 10 % et = 2 % erreur de précision est : (2/10).100

= 20 %

-Amortissement

Il est défini par l’allure de la réponse. Les différents types de réponses sont représentés par les

figures suivantes :

Système très amorti

Système bien amorti

L’amortissement s’exprime généralement de deux façons :

Amortissement par période = D2 / D1

Dépassement (%) = D1.100 / M

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D1, D2 et M sont exprimés par les mêmes unités ( mm, %, unité physique)

Rapidité

Elle traduit pratiquement la durée transitoire. Plus précisément, elle s’exprime par le temps de

réponse Te ou temps d’établissement, qui est le temps mis par la mesure pour atteindre sa

valeur définitive à -+ 5 % de sa variation tout en se maintenant dans

cette zone des +- 5 %.

Rapidité = temps de réponse Te

Les figures suivantes représentent des réponses oscillatoires amorties.

Te : correspond au temps mis pour atteindre 95 % ou 105% de la valeur finale de

M.

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Te = 6 s

Te = 16.5 s

Critères de performance d’une régulation :

Précision, amortissement, rapidité, permettent d’exprimer les performances d’une régulation.

En règle générale, on cherche à obtenir un temps de réponse Te et un amortissement par

période faibles. On peut retenir le chiffre de 15% comme valeur moyenne acceptable de

dépassement .Insistons sur le fait que si la mise au point de la régulation est effectuée à partir

d’une réponse due à des changements de consigne, c’est généralement à des variations de

grandeurs perturbatrices que la régulation est soumise. La théorie montre que si la stabilité qui

est la condition indispensable, est assurée dans le premier cas, elle le sera dans le second, mais

l’allure du transitoire sera différente.

******régulation analogique et numérique**********

1-Structure et principe d’un système de régulation Analogique

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En pratique, à une catégorie donnée de systèmes à asservir correspond un type de correcteur

adopté. Pour effectuer un choix judicieux, il faut connaître les effets des différentes actions :

proportionnelle, intégrale et dérivée. En pratique, à une catégorie donnée de systèmes à

asservir correspond un type de correcteur adopté. Pour effectuer un choix judicieux, il faut

connaître les effets des différentes actions : proportionnelle, intégrale et dérivée .Un

régulateur PID est obtenu par l’association de ces trois actions et il remplit essentiellement

les trois fonctions suivantes :

1. Il fournit un signal de commande en tenant compte de l’évolution du signal de sortie par

rapport à la consigne

2. Il élimine l’erreur statique grâce au terme intégrateur

3. Il anticipe les variations de la sortie grâce au terme dérivateur

La commande U (t ) donnée par le régulateur PID, dans sa forme

Classique est décrite par :

Les paramètres du régulateur PID sont le gain proportionnel p K , le temps intégral

i T et le temps dérivatif d T , les temps étant exprimés en secondes.

I.7.1.1- L’action proportionnelle

La sortie U (t ) du régulateur proportionnel est donnée en fonction de son

entrée e (t ) qui représente l’écart entre la consigne et la mesure par la relation :

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Le rôle de l’action proportionnelle est de minimiser l’écart e entre la consigne et la mesure et

elle réduit le temps de monter et le temps de réponse. On constate qu’une augmentant du gain

p K du régulateur entraîne une diminution de l’erreur statique et permet d’accélérer le

comportement global de la boucle fermée. On serait tenté de prendre des valeurs de gain

élevées pour accélérer la réponse du procédé mais on est limité par la stabilité de la boucle

fermée. En effet, une valeur trop élevée du gain augmente l’instabilité du système et donne

lieu à des oscillations.

L’action dérivée

Elle est une action qui tient compte de la vitesse de variation de l’écart

entre la consigne et la mesure, elle joue aussi un rôle stabilisateur, contrairement à

l’action intégrale. En effet, elle délivre une sortie variant proportionnellement à la vitesse de

variation de l’écart ε :

avec d T le dosage de l’action dérivée, exprimé en minutes ou en secondes.

L’action dérivée va ainsi intervenir uniquement sur la variation de l’erreur ce qui

augmente la rapidité du système (diminution des temps de réponses). L’action dérivée permet

aussi d’augmenter la stabilité du système par apport de phase . L’annulation de cette action en

régime statique impose donc de ne jamais l’utiliser seule : l’action dérivée n’exerce qu’un

complément à l’action proportionnelle. En pratique, il est souhaitable de limiter l’action

dérivée afin de ne pas amplifier les bruits haute fréquence et de limiter l’amplitude des

impulsions dues aux discontinuités de l’écart. Lorsque la période d’échantillonnage Te est

petite, la différence vers l’arrière (Approximation d’Euler rétrograde) nous permet

d’approcher la dérivée d’un signal à temps continu par :

L’opération de dérivation se traduisait par une multiplication par la variable de Laplace p en

continu. Dans le cas discret, en appliquant la transformée en z à l’équation on obtient :

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Ceci conduit à établir l’équivalence linéaire entre la variable de Laplace p et lavariable z :

L’action intégrale :

L’action intégrale agit proportionnellement à la surface de l’écart entre la consigne et

la mesure, et elle poursuit son action tant que cet écart n’est pas nul. On dit que

l’action intégrale donne la précision statique (Elle annule l’erreur statique). L'action

intégrale est conditionnée par le temps d'intégrale Ti.

Comme dans le cas de l’action proportionnelle, un dosage trop important de l’action intégrale

engendre une instabilité de la boucle de régulation. Pour son réglage, il faut là aussi trouver

un compromis entre la stabilité et la rapidité. L’ajout du terme intégral permet d’améliorer la

précision mais en contrepartie, il introduit malheureusement un déphasage de ce qui risque de

rendre le système instable du fait de la diminution de la marge de phase.

Enfin, le correcteur intégral présente le défaut de saturer facilement si l’écart ne s’annule pas

rapidement ce qui est le cas des systèmes lents. En effet, tout actionneur est limité : un moteur

est limité en vitesse, une vanne ne peut pas être plus que totalement ouverte ou totalement

fermée. Il se peut que la variable de commande amène l’actionneur à sa limite ce qui suspend

la boucle de retour et le système aura une configuration assimilable à une boucle ouverte

puisque l’actionneur demeurera saturé indépendamment de la sortie du système.

Quand l’erreur est réduite (action intégrale non saturée), il se peut qu’il faille un temps

important pour que les valeurs des variables ne soient correctes de nouveau : on appelle ce

phénomène l’emballement du terme intégral.

Pour l’éviter, on peut :

soit suspendre l’action intégrale quand la commande est saturée ;

soit appliquer une méthode d’anti-saturation, qui consiste à recalculer le

terme intégral pour ne pas saturer .Pour le cas discret, le terme intégral peut être remplacé par

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la somme des écarts et la différentielle dt par Te ce qui nous donne le résultat suivant :

2-Structure et principe d’un système de régulation Numérique

a-Principe :

La commande numérique présente deux avantages :

- plus de souplesse par rapport aux solutions analogiques ;

- pas de limitation physique dans le choix des valeurs des paramètres du filtre numérique, qui est

implanté sous forme d’équation récurrente.

Toutefois, deux problèmes sont à considérer :

- le choix de la période d’échantillonnage ;

la méthodologie d’analyse et de synthèse d’un correcteur numérique

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1zC

Régulateur

–

+ pG enTu enT

CNATe

CANTe

ProcédéCalculateur tu ty enTr

enTsTe

ts

tu enTu pB0

Schéma de principe d’une commande numérique

Soit un procédé G(p) commandé par un calculateur.

Modélisation du CAN et du CNA

Modélisation du CAN : Le rôle du CAN est d’échantillonner le signal de mesure s(t) pour définir le

signal de mesure discrétisé s[nt]. Son modèle est donc un échantillonneur de période Te :

Modélisation du CNA : Pour reconstituer un signal continu, à partir d’un signal échantillonné, il faut faire une

interpolation entre deux instants d’échantillonnage. La méthode la plus simple consiste à bloquer le signal entre

deux instants d’échantillonnage nTe et (n+1)Te à la valeur du signal à l’instant nTe. L’élément physique

permettant de réaliser cette opération est un bloqueur d’ordre zéro dont la fonction de transfert s’écrit

B0 ( p )=1−e−T e p

p .

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tu 1zC

–

+ pG enTu enT pB0Te

ty trTe

t

En remplaçant le CAN et le CNA par leur modèle respectif, à savoir un échantillonneur de période

d’échantillonnage Te et un échantillonneur de même période suivi d’un bloqueur d’ordre zéro B0 ( p ) ,

le schéma de principe peut se donner sous la forme d’un schéma d’étude conformément à la figure

suivante.

b-PID numérique

Ce PID correspond à une approximation arrière de la dérivée. Cependant il reste

pédagogique, dans une application industrielle on préférera les formes suivantes :

Application industrielles des correcteurs PID

1. L'action dérivée idéale provoque une forte augmentation du bruit hautes

fréquences, on utilise en pratique une dérivée filtrée. Ceci conduit en discret au

régulateur PID filtré :

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Le choix de ᵅ est classiquement de 0.1

Lors d'un changement de consigne de type échelon, la dérivée du signal d'erreur entre la

consigne et la sortie est très grande (pratiquement une dérivée d'échelon soit un Dirac).

La commande PID sur l'écart va engendrer une commande proportionnelle _a la variation

de l'erreur via le module dérivateur.

L'amplitude de cette commande risque d'être inadmissible en pratique. Une

solution pour limiter ce phénomène est d'appliquer l'action dérivée seulement sur

la sortie du procédé d'où le PID avec la dérivée sur la mesure seule :

Même remarque que précédemment mais cette fois sur la partie proportionnelle d'où le

PID avec l'action proportionnelle et dérivée sur la mesure seule :

Cette dernière solution est bien entendu la meilleure.

C -Du PID analogique vers le PID numérique

Approximation de l’opérateur dérivée :

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Approximation de l’opérateur intégral

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