UV Automatique Cours 4

Systmes linaires asservis : analyse de la stabilitASI 3Automatique 1

Contenu! Introduction" lments d'une structure d'asservissement

! Systme en boucle ferme" Fonction de transfert en boucle ouverte notion de chane

directe" Fonction de transfert en boucle ferme " Proprits des systmes asservis

! Analyse de la stabilit d'un systme asservi" Critre de Routh " Critre de Nyquist " Critre du reversAutomatique

2

Introduction (1)! Schma de principe d'un asservissementd yc +-

Correcteur

u

actionneur

Systme

y

Capteur

! yc : consigne ! = yc y : signal d'erreur (cart entre consigne et sortie du systme) ! Correcteur : labore la loi de commande u ! Actionneur : applique la commande au systme. Joue en gnral le

rle d'amplificateur de puissance! y : sortie du systme ou grandeur asservirAutomatique 3

Introduction (2)! Structure fonctionnelle d'un asservissementbe F 1 (s) yc+

d F 2 (s) H(s)+ +

C(s)

u bm

+ +

y

r

++

G(s)

! C(s) : fonction de transfert du correcteur ! H(s) : fonction de transfert du systme ! G(s) : fonction de transfert de la boucle de retour (capteur en gnral) ! r : signal de retour ! d : perturbation externe (mesurable ou non), bm : bruit de mesure ! be : bruit d'entre (bruit de transmission de u aux actionneurs)Automatique 4

Introduction (3)! Types d'asservissement" Rgulation : consigne yc constante " Poursuite de trajectoire : consigne yc varie

! Objectifs de l'asservissement" Stabilit du systme asservi " Prcision : en rgime permanent, la sortie doit suivre la

consigne" Rapidit : Le systme asservi doit rpondre le plus

rapidement possible aux variations de la consigne y" Rejet des perturbations et des bruits cd b=0

" Robustesse : le systme en BF doit rsister aux

variations de paramtres, l'imprcision du modle H(s)Automatique

Le travail de l'automaticien est de rgler convenablement le correcteur pour rpondre au mieux ces exigences

5

Analyse du systme asservi (1)be F 1 (s) yc+

d F 2 (s) H (s)+ +

C (s)

u bm

+ +

y

r

++

G (s)

! Dfinitions" Fonction de transfert en boucle ouverte HBO(s) Supposons les perturbations et les bruits nuls. La fonction de transfert en boucle ouverte est la transmittance entre le signal d'erreur et le signal de retour r

H BO ( s ) =Automatique

R( s) = C ( s ) H ( s )G ( s ) ( s )6

Analyse du systme asservi (2)" Chane directe C'est la cascade de transmittance entre une entre (yc ou les perturbations d, bm, be) et la sortie y Entre yc et y : C(s)H(s), Entre be et y : F1(s)H(s), Entre d et y : F2(s) Entre bm et y : C(s)H(s)

" Fonction de transfert en boucle ferme HBF(s) C'est la transmittance entre la consigne yc et la sortie y

Y ( s) C ( s) H ( s) H BF ( s ) = = Yc ( s ) 1 + C ( s ) H ( s )G ( s )Si G(s)=1, on parle de retour unitaire Dans ce cas particulier, on a :Automatique

C ( s) H ( s) H BF ( s ) = 1 + H BO ( s ) H BO ( s ) H BF ( s ) = 1 + H BO ( s )

7

Analyse du systme asservi (3)! Fonction de transfert entre la sortie y et les perturbations

Pe ( s ) =

Y ( s ) F1 ( s ) H ( s ) = Be ( s ) 1 + H BO ( s )

Pm ( s ) =avec

Y (s) C (s) H (s) = = H BF ( s ) Bm ( s ) 1 + H BO ( s )

Pd ( s ) =

F2 ( s ) Y ( s) = D( s ) 1 + H BO ( s )

H BO ( s ) = C ( s ) H ( s )G ( s )

Remarque La fonction de transfert entre la sortie asservie y et une entre est le rapport de la transmittance de la chane directe sur 1+HBO(s).

! Expression de la sortie du systme boucl

Y ( s ) = H BF ( s )Yc ( s ) + Pe ( s ) Be ( s ) + Pd ( s ) D ( s ) H BF ( s ) Bm ( s )Automatique 8

Proprits d'un systme asservi! StabilitLe systme asservi doit fonctionner automatiquement. Il est indispensable qu'il soit stable. Autrement, le systme volue en s'loignant de son point (ou trajectoire) d'quilibre, ce qui peut engendrer des saturations voire une dgradation du systme

! PrcisionEn rgime permanent, la sortie du systme asservi doit suivre la rfrence sans erreur et rejeter rapidement les perturbations

! Performances dynamiquesElles caractrisent le temps de raction du systme lorsque la consigne varie et la rapidit avec laquelle le systme asservi "efface" les perturbationsAutomatique 9

Stabilit des systmes linaires asservis (1)! Notion de stabilit : dfinitions

# Un systme est stable si et seulement si cart de sa positiond'quilibre (point ou trajectoire), il tend y revenir. Une faible perturbation des conditions initiales du systme engendre une faible perturbation de sa trajectoire

# Un systme est stable si en rponse une entre borne, lasortie du systme est born

! Thorme de stabilitUn systme linaire continu temps invariant est asymptotiquement stable si et seulement si les ples de sa fonction de transfert sont parties relles strictement ngativesAutomatique 10

Stabilit des systmes linaires asservis (2)! Elements de dmonstration bm s m + L + b1s + b0 Soit le systme de fonction de transfert H ( s ) = an s n + L + a1s + a0H(s) a des ples rels i=ai et/ou complexes k=bk+jck, k=bkjckDcomposition en lments simples Rponse impulsionnelle

K l ( s z l ) H (s) = ( s ai )k ( s bk ) 2 + ck 2 i

(

)

Bk s + Ck H ( s ) = Ai + isa k i ( s bk ) 2 + ck 2

h(t ) = i Ai e ait + k Dk ebk t sin(ck t + )

La rponse impulsionnelle converge si les termes e ait et e bk t sont convergents c'est--dire si ai et bk sont ngatifsAutomatique 11

Stabilit des systmes linaires asservis (3)! Application du thorme de stabilit aux systmes en BF

H BF ( s ) =

C ( s) H ( s) 1 + H BO ( s )

avec

H BO ( s ) = C ( s ) H ( s )G ( s )

Le systme asservi est stable asymptotiquement si et seulement si les ples de HBF(s) sont parties relles strictement ngatives Equation caractristique du systme asservi : 1 + H BO ( s ) = 0 Le systme asservi est stable ssi les racines de l'quation caractristique sont parties relles strictement ngatives. Peut-on analyser la stabilit en BF partir de HBO(s) sans calculer explicitement la fonction de transfert en BF? Oui!

! Outils d'analyse de la stabilit en BF partir de HBO(s)" Critre algbrique de Routh " Critre graphique de NyquistAutomatique 12

Analyse de la stabilit : critre de Routh (1)! Intrt du critreSoit D(s) le dnominateur de la fonction de transfert d'un systme

N (s) H ( s) = D( s)

avec D( s ) = an s n + L + a1s + a0

Le critre de Routh permet de dterminer si les racines de l'quation caractristique D(s)=0 du systme sont parties relles positives ou non sans calculer explicitement ces racines

! Principe du critre de Routh

D( s ) = an s n + L + a1s + a0" Condition ncessaire (CN) de stabilit Une condition ncessaire de stabilit est que tous les coefficients ai de D(s) soient strictement de mme signe.Automatique 13

Analyse de la stabilit : critre de Routh (2)! Principe du critre de Routh" Condition ncessaire et suffisante (CNS) de stabilit Si la CN est vrifie, il faut construire le tableau de Routhan an 2

Ligne 1 Ligne2 Ligne 3 Ligne 4 Automatique

an an-1 a31 a41

an-2 an-3 a32 a42

an-4 an-5 a33 a43

an-6 an-7 a34 a44

a31 = a32 = a41 =

an1 an3 an1 an an 4 an1 an5 an 1 an1 an3 a31 a32 a31 an1 an5 a31 a33 a3114

Le tableau a au plus n+1 lignes (n : ordre de D(s))

a42 =

Analyse de la stabilit : critre de Routh (3)Enonc du critre de Routh : CNSUn systme est asymptotiquement stable ssi tous les coefficients de la premire colonne du tableau de Routh sont tous de mme signe Remarques # Le nombre de changements de signe dans la premire colonne est gal au nombre de ples parties relles positives # Si dans la premire colonne il existe un lment nul, le systme admet au moins un ple partie relle positive ou une paire de ples conjugus imaginaires purs

! Application du critre de Routh un systme en BFN BO ( s ) C ( s ) H ( s ) DBO ( s )C ( s ) H ( s ) Soit H BO ( s ) = H BF ( s ) = = DBO ( s ) 1 + H BO ( s ) DBO ( s ) + N BO ( s )Automatique

Appliquer le critre de Routh au dnominateur de la fonction de transfert en BF c'est--dire DBO(s) +NBO(s)

15

Analyse de la stabilit : critre de Routh (4)! Exemple 1 : tude de la stabilit du systme en BFyc+

H (s)

y

H ( s) =

10 s ( s 2 + s + 3)H (s) 10

Boucle ferme retour unitaire : H BF ( s ) = = 3 2 1 + H ( s ) s + s + 3s + 10 Tableau de Routh DBF ( s ) = s 3 + s 2 + 3s + 10 Ligne 1 Ligne2 Ligne 3 Ligne 4Automatique

1 1 -7 10

3 10 0 0

Il y a un changement de signe dans la premire colonne de ce tableau Le systme en boucle ferme retour unitaire est instable16

Analyse de la stabilit : critre de Routh (5)! Exemple 2 : tude de la stabilit du systme en BFyc+

1K

s ( s + 1)1 s +5

y

K : gainvariable

H BO ( s ) =

K K ( s + 5) H BF ( s ) = 3 s ( s + 1)( s + 5) s + 6 s 2 + 5s + K 1 630 K 6

Ligne 1 Ligne2 Ligne 3 Ligne 4Automatique

5 K 0 0

D'aprs le critre de Routh, la condition de stabilit impose :

K

K > 0 et 30 K > 0 6 0 < K < 3017

Analyse de la stabilit : critre de Routh (6)! Remarquesyc+

H (s)

y

Soit un systme de gain

G (s)

KB0 en boucle ouverte

" Stabilit absolue Le systme est stabilit absolue s'il existe une valeur limite du gain Klim telle que le systme soit stable en boucle ferme pour

KB0< Klim et instable pour KB0 > Klim" Stabilit conditionnelle Le systme est stabilit conditionnelle s'il est stable pour un certain intervalle de valeurs [Klim,1, Klim,2] du gain KB0 et instable en dehors de cet intervalleAutomatique 18

Analyse de la stabilit : critre de Nyquist (1)C'est une mthode graphique permettant de dterminer si le dnominateur de HBF(s) n'a pas de ples instables partir de la connaissance de HBO(s). Elle est base sur le thorme suivant :

! Thorme de CauchySoit F(s) une fonction de la variable complexe s admettant P ples et Z zros dans un contour ferm C. Lorsque s dcrit le contour C, la courbe F(C), image de C par F(s) effectue T=PZ tours autour de l'origine. T est compt positivement si C et F(C) sont orients dans le mme sens et ngativement autrementAutomatique

Im(s) zro ple

CIm(F(s))

Re(s)

+Re(F(s))

F(C)19

Analyse de la stabilit : critre de Nyquist (2)! Contour de NyquistLe contour d'exclusion de Nyquist englobe tout le demi-plan droit correspondant aux ples et zros parties relles strictement positives de la fonction de transfert F(s) L'image de par F(s) est le diagramme de Nyquist de F(s)Im + +

Im II+

R

III Re

I

I : ] , 0[, s = j II : ]0, + [, s = jIII Re

0+ 0

R

II

+

IV

III : s = Re j , , , R 2 2 IV : s = e j , , , 0 2 2

IAutomatique

20

Analyse de la stabilit : critre de Nyquist (3)! Etape prliminaireSoit un systme asservi de transmittance en BO

H BO ( s ) =

N BO ( s ) DBO ( s )

C ( s ) H ( s ) DBO ( s )C ( s ) H ( s ) = H BF ( s ) = 1 + H BO ( s ) DBO ( s ) + N BO ( s )De plus 1 + H BO ( s ) = Remarques

DBO ( s ) + N BO ( s ) DBO ( s )

# Les zros de 1+HBO(s) sont les ples de HBF(s) # 1+HBO(s) et HBO(s) ont les mmes plesAutomatique 21

Analyse de la stabilit : critre de Nyquist (4)! Application du thorme de Cauchy 1+HBO(s)Soit P le nombre de ples instables de 1+HBO(s) (donc de HBO(s)) Soit Z le nombre de zros parties relles positives de 1+HBO(s)

Thorme Le diagramme de Nyquist de 1+HBO(s) effectue T=PZ tours dans le sens trigonomtrique autour de l'origine.Remarques # Les zros de 1+HBO(s) tant les ples de HBF(s) , la condition de stabilit du systme en BF impose que 1+HBO(s) ne possde pas de zros parties relles positives cd Z=0 T=P

# En pratique, tudier la position du diagramme de Nyquist de1+HBO(s) par rapport l'origine quivaut analyser la position du diagramme de HBO(s) par rapport au point 1 appel point critiqueAutomatique 22

Analyse de la stabilit : critre de Nyquist (5)! Enonc du critre de NyquistThorme Un systme en boucle ferme est asymptotiquement stable la condition ncessaire et suffisante que le diagramme de Nyquist de sa transmittance en boucle ouverte HBO(s) effectue autour du point -1 et dans le sens trigonomtrique, un nombre de tours T gal au nombre de ples instables P de HBO(s)

# #

Les ples instables et les zros parties relles positives sont compts avec leur ordre de multiplicit L'intrt du critre de Nyquist est d'tudier les conditions de stabilit du systme asservi partir du diagramme de Nyquist du systme en boucle ouverte23

Automatique

Analyse de la stabilit : critre de Nyquist (6)! Exemple 1Soit un systme en BF de transmittance en boucle ouverteNyquist Diagrams8 6 4 Imaginary Axis 2 0 -2 -4 -6 -8 -2 -1 0 2 4 6 8 10

H BO ( s ) =

K (1 + T1s )(1 + T2 s )

avec K = 5, T1 = 1, T2 = 0.5

Point critique

HBO(s) n'a pas de ple instable P=0. Le nombre de tours autour de 1 est nul, T=0.

Le systme est stable en boucle ferme

Real Axis

Automatique

24

Analyse de la stabilit : critre de Nyquist (7)! Exemple 2Soit un systme en BF de transmittance en boucle ouverteNyquist Diagrams0.4 0.3 0.2 Imaginary Axis 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2

H BO ( s ) =

20 ( s 1)( s 2 + 5s + 25)

Point critique

HBO(s) a un ple instable =1 P=1 Le systme sera stable en boucle ferme si le diagramme de Nyquist entoure une fois le point 1 dans le sens trigonomtrique Or le nombre de tours autour de 1 est nul, T=0. Le systme est donc instable en boucle ferme Vrifier ce rsultat par le critre de Routh25

Real Axis

Automatique

Analyse de la stabilit : critre de Nyquist (8)! Exemple 3Soit un systme en BF de transmittance en boucle ouverteNyquist Diagrams0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

H BO ( s ) =

k ( 4s 1)( s + 1)

HBO(s) a un ple instable =1/4 P=1.C

kM

O

Point critique

Le systme sera stable en boucle ferme si le diagramme de Nyquist entoure une fois le point 1 dans le sens trigonomtrique La condition de stabilit impose que OM > OC c'est--dire k > 1 Vrifier ce rsultat par le critre de Routh26

Imaginary Axis

Real Axis

Automatique

Simplification du critre de Nyquist! Critre du revers Si le systme est stable en boucle ouverte (HBO(s) n'a pas de ples ni zros instables), une condition ncessaire et suffisante de stabilit asymptotique du systme en boucle ferme est qu'en parcourant le lieu de Nyquist de HBO(s) dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique 1 gaucheIm Im Im

Re -1

Re -1

Re -1

Stabilit asymptotique en boucle fermeAutomatique

Stabilit en boucle ferme mais non asymptotique (systme juste oscillant)

Instabilit en boucle ferme27

Critre du revers dans le plan de Black! Dfinition Plan de Black : point critique a pour coordonnes C(-, 0dB)Soit c0 la pulsation telle que |HBO(jc0)|=1. La condition de stabilit asymptotique du critre du revers impose que le dphasage BO(c0) soit suprieur (arg(HBO(jc0) > ) c'est--dire en parcourant le lieu de Black dans le sens des croissants, on laisse le point critique 1 droiteIm G (dB)

c0Re -1

correspond

-

-/2

Automatique

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Critre du revers sur le lieu de Bode! DfinitionG (dB)

c0 c0

0 dB 0 dB

c0

Cas 1 : stabilit asymptotique du systme en BF0 dB

log

(rad) logCas 1

Cas 2 : stabilit non asymptotique du systme en BF

Automatique

Cas 3 : instabilit du systme en BFCas 2 Cas 329