RELATION CINEMATIQUE D’UN SYSTEME BIELLE-MANIVELLEtsi.ljf.free.fr/ATS/docs/S2I/CI4A/Cinematique_du_solide... · 2018-10-13 · SYSTEME BIELLE-MANIVELLE. PROBLEMATIQUE Ç Un syst

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CI4 : Performances des chaînes de transmissionCI4 : Performances des chaînes de transmission

CINEMATIQUE DU SOLIDE TD

Edition 2 - 12/10/2018

Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 1/10

RELATION CINEMATIQUE D’UN SYSTEME BIELLE-MANIVELLE

mailto:[email protected]


PROBLEMATIQUE

« Un système bielle-manivelle est un mécanisme de

transformation de mouvement que l’on rencontre dans de nombreuses applications.

Nous chercherons à déterminer la vitesse de translation du piston en fonction de la vitesse de rotation du vilebrequin »

B - MODELISERB - MODELISERB - MODELISERB1 : Identifier et caractériser les grandeurs physiques agissant sur un système

Proposer des hypothèses simplificatrices en vue de la modélisation

B2 Proposer un modèle de connaissance et de comportement

Paramétrer les mouvements d’un solide indéformable

C - RESOUDREC - RESOUDREC - RESOUDREC1 : Choisir une démarche de résolution Proposer une démarche permettant de déterminer une loi de mouvement

C2 : Procéder à la mise en œuvre d'une démarche de résolution analytique

Déterminer la trajectoire d’un point d’un solide par rapport à un autre C2 : Procéder à la mise en œuvre d'une démarche de résolution analytique

Déterminer le vecteur vitesse d’un point d’un solide par rapport à un autre C2 : Procéder à la mise en œuvre d'une démarche de résolution analytique Déterminer le vecteur accélération d’un point d’un solide par rapport à un

autre



Problématique Edition 2 - 12/10/2018




SommaireA. ___________________________________________________________Mise en situation! 4

A.1.Extraits du cahier des charges 4

A.2.Paramétrage 4

B. ____________________________________________________Résolution du problème! 5

B.1.Suite du paramétrage et mouvements 5

B.2.Fermeture cinématique 5

B.3.Résolution numérique 6



Sommaire Edition 2 - 12/10/2018




A. Mise en situation

A.1. Extraits du cahier des charges

Nous nous intéressons dans ce TD à un compresseur, dont le dessin d’ensemble est fourni en dernière page.

Le vilebrequin de compresseur est mis en rotation par un moteur à courant continu dont la vitesse de rotation est égale à Nm = 300 tr / mn

Le cahier des charges spécifie :Exigence 1 : la pression délivrée doit au moins être égale à P =106 Pa (10 bar)

Exigence 2 : la puissance instantanée utile ne doit pas être supérieure à 600 W.

Il vous est demandé, par une étude cinématique et numérique, de vérifier que les exigences du cahier des charges sont respectées

A.2. Paramétrage

OA! "!!

= ay1

!"!avec a = 25 mm

AB! "!!

= −bx2

!"!avec b = 55 mm

OB! "!!

= −λx0

!"!

Par ailleurs, on donne les expressions suivantes, qui fournissent la pression et la puissance en fonction de λ :

P(λ) = 55.10−3

90.10−3 − λ

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1,4

P0 avec P(λ) pression en Pa, et P0=1,013.105 Pa pression atmosphérique

W(λ) = πD2

4P(λ) ⋅ !λ avec W(λ) puissance en W, D diamètre du piston, P(λ) pression en Pa



Mise en situation Edition 2 - 12/10/2018




B. Résolution du problème

B.1. Suite du paramétrage et mouvements

Objectif : on cherche dans cette partie à modéliser chacun des mouvements dans le mécanismes par leurs torseurs cinématiques

Question 1Proposer les figures de changement de base.Ecrire les relations de changement de base correspondantes.Question 2

Exprimer les vecteurs rotation Ω1/0

! "!!!, Ω2/3

! "!!!et Ω3/0

! "!!!.

En déduire par composition des mouvements les vecteurs rotation Ω2/0

! "!!! et Ω2/1

! "!!.

Question 3Quel est le mouvement du vilebrequin 1 par rapport au bâti 0 ?

En déduire l’expression du torseur cinématique ν1/0{ } au point de réduction le plus judicieux

Question 4Même question avec le mouvement de la bielle 2 par rapport au vilebrequin 1Question 5Même question avec le mouvement du piston 3 par rapport à la bielle 2Question 6Même question avec le mouvement du piston 3 par rapport au bâti 0

B.2. Fermeture cinématique

Objectif : on cherche dans cette partie à établir la loi entrée-sortie cinématique du mécanisme

Question 7Par composition des mouvements, trouver la relation de fermeture cinématique du mécanismeQuestion 8.Choisir un point de réduction, et transporter tous les torseurs en ce point.Question 9Exploiter la fermeture cinématique afin de déterminer une relation entre la vitesse de translation du piston !λ , la

vitesse de rotation du vilebrequin !α et l’angle de la bielle β .

Question 10Donner l’expression de β en fonction de α grâce à la loi des sinus dans le triangle OAB.En déduire l’expression de β en fonction de a, b et α.



Résolution du problème Edition 2 - 12/10/2018




B.3. Résolution numérique

Objectif : on cherche dans cette partie à représenter les lois entrée-sortie (géométrique et cinématique) à l’aide d’une simulation numérique

Un script Scilab ébauché est fourni (à télécharger sur le site de la prépa). Cette ébauche est reprise en annexe 2 de ce TD.

Chaque base est représentée dans ce script par un vecteur ligne à 3 composantes, représentant les composantes de chaque vecteur unitaire dans la base fixe B0. Ainsi, la base fixe est définie par :

x1=[1,0,0] y1=[0,1,0] z1=[0,0,1]

L’algorigramme de la résolution est donné ci-dessous :

On trouvera en annexe 3 une liste de fonctions Scilab utiles dans ce TD.Question 11A partir des formules de changement de base déterminées à la question 1, compléter dans le script Scilab des

fonctions qui définissent les vecteurs des bases B1 et B2 en fonction des angles α (variable alpha) et β (variable beta).

La fonction définissant le vecteur !x1 = cosα ⋅ !x0 +sinα ⋅ !y0 est déjà fournie à titre d’exemple.







Question 12

Les vecteurs OA! "!!

, AB! "!!

et BO! "!!

sont des vecteurs qui dépendant des variables de position α, β et λ.

La fonction permettant de définir le vecteur OA! "!!

(α) est fournie dans le script ébauché.

En s’aidant de cet exemple, élaborer les fonctions définissant le vecteur AB! "!!

(β) et BO! "!!

(λ)

Question 13

Ecrire une fonction norme(X) qui renvoie la norme d’un vecteur d’un vecteur X, avec !X = X ⋅XT

Question 14Ecrire une fonction calcul_beta(alpha) qui renvoie la valeur de β en fonction de l’angle α. Question 15Compléter la routine de calcul de λ(α) par dichotomie.

Question 16Ecrire les instructions permettant de calculer :

• la vitesse (variable vitesse) en fonction de N, λ et β ;• la pression (variable pression) en fonction de P0 et λ ;

• la puissance (variable puissance) en fonction de la pression P et de la vitesse !λQuestion 17Exécuter la routine. Les courbes λ(α) et !λ(α) s’affichent, ainsi que les courbes de pression et de puissance.

Conclure sur le respect des exigences du cahier des charges









Annexe 1 : Dessin d’ensemble du compresseur (Echelle 1:2) Edition 2 - 12/10/2018




clear;clc;//Définition de la base fixe B0x0=[1,0,0]y0=[0,1,0]z0=[0,0,1]//Définition des constantesa=25e-3; b=55e-3;D=42e-3; // Diamètre du pistonN=350; // Vitesse de rotationP0=1.013e5; // Pression atmosphériquei_adia=1.4; // Indice adiabiatique de l'airepsilon=1e-6;//______________________________________________________// DEFINITION DES BASES//______________________________________________________////Fonction de définition des vecteurs de la base mobile B1function x1=x1(alpha) x1=[cos(alpha),sin(alpha),0]endfunction//// +++++++++++++++++++++++++++++++++++++// + +// + A COMPLETER +// + +// +++++++++++++++++++++++++++++++++++++////______________________________________________________// DEFINITION DES VECTEURS//______________________________________________________////Fonction de définition du vecteur OAfunction OA=OA(alpha) OA=a*y1(alpha)endfunction//// +++++++++++++++++++++++++++++++++++++// + +// + A COMPLETER +// + +// +++++++++++++++++++++++++++++++++++++////______________________________________________________// FONCTION NORME//______________________________________________________//// +++++++++++++++++++++++++++++++++++++// + +// + A COMPLETER +// + +// +++++++++++++++++++++++++++++++++++++////______________________________________________________// FONCTION beta(alpha)//______________________________________________________//// +++++++++++++++++++++++++++++++++++++// + +// + A COMPLETER +// + +// +++++++++++++++++++++++++++++++++++++

////______________________________________________________// ROUTINE PRINCIPALE DE CALCUL DE lambda(alpha)//______________________________________________________//for alpha=1:360 lambda_min=b-a;lambda_max=a+b; lambda=(lambda_min+lambda_max)/2//// +++++++++++++++++++++++++++++++++++++// + +// + A COMPLETER +// + +// +++++++++++++++++++++++++++++++++++++////Calcul de la vitesse, de la pression et de la puissance//// +++++++++++++++++++++++++++++++++++++// + +// + A COMPLETER +// + +// +++++++++++++++++++++++++++++++++++++////Ecriture des vecteurs VITESSE(alpha)=vitesse LAMBDA(alpha)=lambda PRESSION(alpha)=pression PUISSANCE(alpha)=puissanceend



Annexe 2 : Script Scilab Edition 2 - 12/10/2018




FonctionScilab permet de définir des fonctions qui peuvent être appelées à tout moment dans l’exécution d’un script.L’exemple ci-dessous définit une fonction mafonction qui renvoie un vecteur [x,y] en fonction de deux

grandeurs d’entrée a et b.Plus loin dans le script, cette fonction est appelée et renvoie un vecteur pour les valeurs a=3 et b=2.

// définition de la fonctionfunction [x, y]=mafonction(a, b)x=a+by=a-bendfunction

[x,y]=mafonction(3,2)

Boucles

Boucle répétitive «Tant que»

Les instructions incluses dans la boucle répétitive sont réalisées tant que la condition associée à la boucle est vraie

while (condition) (instructions)end

Boucle conditionnelle «Si - Sinon»

La boucle conditionnelle «Si» permet de réaliser des instructions si la condition associée à la boucle est vraieLa boucle «Sinon» permet de réaliser des instructions si la condition associée à une boucle «Si» précédente

est fausse.

if (Condition) then (Instructions) else (Instructions) end

Boucle itérative «Pour»

La boucle itérative «Pour» permet de réaliser un certain nombre de fois défini une suite d’instructions.L’exemple ci-dessous réaliser 5 fois une instruction, en incrémentant la variable i de 1 à 5 :

for i = 1:5 (Instructions)end

Opérations sur un vecteur XLe vecteur transposé de X est noté X’ sous Scilab.Ainsi, le carré de la norme de ce vecteur pourra être calculée par X*X’

Tracé simple d’une courbeSi X et Y sont deux vecteurs de même dimension, le tracé de la courbe Y=f(X) est obtenu grâce à l’instruction :

plot2d(X,Y);



Annexe 3 : Fonctions Scilab utiles Edition 2 - 12/10/2018




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