REPRÉSENTATIONS ET TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES

R E P R É S E N TA T I O N S E T T R A N S F O R M A T I O N S

G ÉO M ÉT R I Q U E SM AT- 2 1 0 2 - 3

Co r r igé d e s ac t i v i té s n o tée s

Activité notée 1 – (Situations 1 et 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5




Juillet 2012

Code d’item : 8-1911-17

MAT-2102-3 – RepRésenTATions eT TRAnsfoRMATions géoMéTRiques

2 © sofAD

Cette activité notée a été produite par la Société de formation à distance des commissions scolaires du

Québec .

Chargé de projets : Jean-Simon Labrecque (SOFAD)

Rédaction : Jean-Claude Hamel

Illustration : Marc Tellier

Révision de contenu : Steeve Lemay

Judith Sévigny

Révision linguistique : Johanne St-Martin

Mise en pages et infographie : Daniel Rémy (I . D . Graphique inc .)

Lecture d’épreuves : Johanne St-Martin

Maquette graphique : Alain Lemay

© Société de formation à distance des commissions scolaires du Québec

Tous droits de traduction et d’adaptation, en totalité ou en partie, réservés pour tous pays .

Toute reproduction, par procédé mécanique ou électronique, y compris la microreproduction, est interdite sans

l’autorisation écrite d’un représentant dûment autorisé de la Société de formation à distance des commissions scolaires

du Québec .

CoRRigé Des ACTiviTés noTées

3© sofAD

Notes au correcteur

Tous les textes en italique sont des remarques faites en vue de faciliter la correction ou d’ajouter des

renseignements complémentaires . Ils ne font donc pas partie de ce que l’élève doit fournir dans sa réponse .

Le barème de correction est indiqué de façon globale pour chacune des questions; il est noté en gras à

gauche de la réponse . Dans le cas où la question se subdivise en sous-questions (a, b, c…), si les différentes

parties ne sont pas d’égales valeurs, le barème est indiqué pour chacune des parties prises séparément dans

une deuxième colonne .

Il en est de même, dans certains cas, pour les différentes parties d’une solution . De plus, on suggère parfois

une forme générale de répartition des points .

Il est quelquefois possible d’emprunter un chemin différent de celui proposé dans ce corrigé pour répondre

à des questions . Le correcteur devra juger de l’équivalence des solutions proposées par l’élève .


4 © sofAD


5© sofAD

Corrigé de l’activité notée 1

1 . a) Environ 42 cm .

Exemple de démarche :

Taille de Gabrielle : 5 pi 11 1

2 po =

71 1

2po ≈ 182 cm

Différence : 224 cm – 182 cm = 42 cm

Solution correcte : 2 points

Une erreur mineure : 1 point

Référence : Activité 1.1

b) L’écart est de 6 po ou 15 cm .


Hauteur du bout des doigts : 182 cm + 57 cm = 239 cm

Différence : 239 cm – 224 cm = 15 cm

Différence (en pouces) : 15 ÷ 2,54 ≈ 6



Référence : Activités 1.1 et 1.4

2 . a) Le poids utilisé par les hommes est environ 1,4 fois plus

lourd que celui utilisé par les femmes .


Masse du poids (hommes) : 12 lbs ≈ 12 × 0,454 kg = 5,4 kg

Comparaison des deux poids : 5,4 ÷ 4 = 1,35




b) Le javelot chez les hommes pèse 1 lb 11 oz et celui chez les

femmes, 1 lb 4 oz .


Javelot (hommes) : 800 g ≈ (800 ÷ 30) oz ≈ 27 oz = 1 lb 11 oz

Javelot (femmes) : 600 g ≈ (600 ÷ 30) oz ≈ 20 oz = 1 lb 4 oz




3 . a) Oui, car la quantité de liquide est inférieure à 2 l .


Quantité de soda : 30 oz liq ≈ 30 × 30 ml = 900 ml

Quantité de jus : 3 1

2 tasses =

3 1

2× 250 ml = 875 ml

Quantité de liquide : 900 ml + 875 ml = 1 775 ml = 1,775 l




b) Il faudrait ajouter environ 37,5 oz liq de soda .


Quantité de soda à ajouter : 2 000 ml – 875 ml = 1 125 ml

Quantité de soda (en oz liq) : 1 125 ÷ 30 = 37,5




4 . a) II faisait environ 42 °C de plus à Orlando qu’à Montréal .


La température à Orlando en degrés Celsius :

T(°C) = 5

9× (90 − 32) = 5

9× 58 ≈ 32,2

Différence : 32,2 – (-10) = 42,2





6 © sofAD

b) Cette différence de température est d’environ 76 °F .


Puisque chaque variation de 5 °C correspond à une variation

de 9 °F, la différence de température en Fahrenheit est donc

égale à 42,2 ÷ 5 × 9 ≈ 76 .




5 . Le gallon d’essence pèse 7,3 lb .


Un gallon est équivalent à 4,5 litres .

Masse de 1 gallon : 4,5 × 740 g = 3 330 g = 3,33 kg

Masse de 1 gallon en livres : 3,33 ÷ 0,454 ≈ 7,3




6 . Le taux de consommation d’essence a été de 9,9 litres/100 km,

ce qui est un peu plus élevé que le taux prévu par le

concessionnaire .


La quantité d’essence consommée est la quantité d’essence au

départ, plus ce qui a été mis dans le réservoir, moins ce qui reste

à l’arrivée . C’est donc : 60 litres + 14 gallons US – 30 litres .

Expression des gallons US en litres :

14 gallons US ≈ 14 × 56

gallon impérial ≈ 14 × 56

× 4,5 l ≈ 52,5 l

Quantité d’essence consommée : 60 l + 52,5 l – 30 l = 82,5 l

Distance parcourue :

255 km + 360 milles = 255 km + 360 × 1,6 km = 831 km

Le taux de consommation doit être calculé pour une distance de

100 km . On doit donc diviser la quantité d’essence par 8,31 . On

obtient : 82,5 litres ÷ 8,31 ≈ 9,9 litres .

Le taux de consommation d’essence a été de 9,9 litres/100 km .


Une erreur mineure : 3 points

Démarche en partie correcte :

2 points


7 .

0 1 2 3 43

4231 1

22

562

383


Enlever un point par erreur.


8 . a) 2 5

16 po

b) 1 1

6 tasse

1 point par réponse correcte.

Total : 2 points



7© sofAD

9 . a) 10 1

4 po b)

8 11

16 po

Exemple de démarche pour a) :

26 cm = (26 ÷ 2,54) po ≈ 10,24 po

Pour exprimer la partie décimale en fraction de pouces, on

peut résoudre l’équation :

24100

= x16

.

On obtient : x = 24

100× 16 = 3,84 ≈ 4 . La fraction est

4

16 ou

14

.

Même démarche pour b) :

22,1 cm = (22,1 ÷ 2,54) po ≈ 8,7 po et 0,7 × 16 = 11,2 ≈ 11

2 points par réponse correcte.

Accorder 1 point en cas

d’erreur mineure.

Total : 4 points


10 . La deuxième boîte a un volume de 80 1

2 po3 (1 320 cm3) . Elle

peut contenir environ 370 g de thé .


Volume de la deuxième boîte (en pouces cubes) :

5 3

4× 4 × 3 1

2= (20 + 3) × 3 1

2= 23 × 3 1

2= 69 + 23

2= 69 + 11 1

2= 80 1

2

Volume de la deuxième boîte (en centimètres cubes) :

80 1

2 po3 =

80 1

2× 16,4 cm3 ≈ 1 320 cm3

On détermine la quantité de thé par un raisonnement

proportionnel . Puisque 1 320 ÷ 360 ≈ 3,7, la deuxième boîte peut

contenir environ 3,7 fois la quantité de thé de la première boîte .

3,7 × 100 g = 370 g




2 points


11 . L’aire de la petite bande est de 38 31

32 po2 (environ 253 cm2) .

L’aire de la grande bande est de 89 3

8 po2 (environ 581 cm2) .


On calcule les largeurs des bandes à enlever (en pouces) .

Petite bande : 16 1

4− 12 5

8= 16 2

8− 12 5

8= 15 10

8− 12 5

8= 3 5

8

Grande bande : 16 1

4− 10 3

4= 15 5

4− 10 3

4= 5 2

4= 5 1

2

Calcul de l’aire des bandes (en pouces carrés) .

Petite bande : 3 5

8× 10 3

4= 30 + 9

4+ 50

8+ 15

32= 30 + 2 1

4+ 6 2

8+ 15

32

= 30 + 2 8

32+ 6 8

32+ 15

32= 38 31

32

Grande bande : 16 1

4× 5 1

2= 80 + 8 + 5

4+ 1

8= 80 + 8 + 1 1

4+ 1

8= 89 3

8

Conversion des mesures en centimètres carrés .

Petite bande : 38 31

32 po2 ≈

38 31

32 × 6,5 cm2 ≈ 253

Grande bande : 89 3

8 po2 ≈

89 3

8× 6,5 cm2 ≈ 581




2 points



8 © sofAD


1 . a) 1er plan : 1 : 2 500

2e plan : 1 : 40 000

b) Dans le 1er plan : 80 m

Dans le 2e plan : 1,28 km ou 1 280 m


Total : 4 points


2 . a) Diamètre réel du diamant : 0,6 cm ou 6 mm

b) Mesure réelle de l’angle : 135° (c’est la même mesure que sur

le plan)

1 point par réponse correcte en

a) et b).

Total : 2 points


c) L’aire de l’octogone régulier : environ 8,3 mm2


On doit calculer les mesures réelles des cotés et de

l’apothème .

Coté : 6,5 cm ÷ 5 = 1,3 mm

Apothème : 8 cm ÷ 5 = 1,6 mm

On applique ensuite la formule d’aire d’un polygone régulier .

A = Pa

2= (8 × 1,3) × 1,6

2= (8 × 1,3) × 1,6

2= 8,32




3 . a) L’échelle est de 1 : 5


La largeur de la « une » sur le plan mesure 5 cm . Donc 5 cm

sur le plan correspond à 25 cm dans la réalité . L’échelle est

de 5 : 25, que l’on peut réduire à 1 : 5 .

b) Les dimensions réelles de la photo : 15 cm de hauteur et

19 cm de largeur .


La photo sur le plan mesure environ 3 cm de hauteur et

3,8 cm de largeur . Pour obtenir les mesures réelles, il suffit

de multiplier ces dimensions par 5, compte tenu de l’échelle

trouvée en a) .

c) La photo occupe une plus grande surface . Elle dépasse l’aire

de l’espace publicitaire par 105 cm2 .


Sur le plan, la largeur de l’espace publicitaire est de 1,2 cm,

ce qui correspond à 6 cm dans la réalité .

Aire réelle de l’espace publicitaire (en cm2) : 6 × 30 = 180

Aire réelle de la photo (en cm2) : 15 × 19 = 285

Différence : 285 – 180 = 105

2 points pour chaque réponse

correcte en a), en b) et en c).

Total : 6 points

Enlever 1 point pour chaque

erreur mineure.



9© sofAD

4 . Le plan :

Table de chevet

Bibliothèque

Bureau

CommodeGarde-robe

Lit

Démarche :

Voici les dimensions de la chambre et des différents objets sur le

plan .

Dimensions de la chambre : 9,5 cm par 6,4 cm

Garde-robe : 3,2 cm par 1,4 cm

Distance du lit au mur : 1,3 cm

Distance de la bibliothèque au coin de la chambre : 2 cm

Lit : 4 cm par 2 cm

Table de chevet : carré de 1,1 cm de côté

Commode : 3,8 cm par 1 cm

Bibliothèque : 1,6 cm par 0,8 cm

Bureau de travail : 2,5 cm par 1,2 cm

Porte : 1,5 cm de largeur, à 0,4 cm du coin

Ouverture du garde-robe : 2,4 cm




accorder 2, 3 ou 4 points


5 . Solution correcte : 2 points

Accorder 1 point si les cœurs

sont sur les bonnes faces, mais

au moins l’un d’eux est mal

orienté. Le bonhomme sourire

peut avoir n’importe quelle

orientation.



10 © sofAD

6 . a) Plusieurs réponses possibles, selon la position du

triangle rectangle. Exemple :

8,5 cm 8,5 cm12 cm

15 cm

8,5 cm8,5 cm




b) Le porte-crayon est constitué de 471 cm2 de feuille

métallique .


Aire latérale (en cm2) : AL = PBh = (12 + 8,5 + 8,5) × 15 = 435

Aire d’une base (en cm2) :

8,5 × 8,52

= 36,125 ≈ 36

Aire totale du porte-crayon (en cm2) : 435 + 36 = 471




7 . Le développement est illustré ci-contre .

L’aire latérale du tube est d’environ

2 940 cm2 .


La hauteur du cylindre (en cm) :

18 × 6,5 = 117

Circonférence de la base (en cm) :

En divisant ces deux mesures par 20, on

obtient les dimensions du rectangle qu’il

faut tracer pour le développement

(hauteur ≈ 5,9 cm; largeur ≈ 1,3 cm) .

Aire latérale (réelle) du tube (en cm2) :

25,13 × 117 = 2 940




2 points


117 cm

25 cm


11© sofAD

8 . L’espace disponible dans la pièce est d’environ 92 m3 .


La pièce (sans la cheminée) et la cheminée peuvent être

considérées comme des prismes à base pentagonale . L’espace

disponible dans la pièce (avec la cheminée) correspond à la

différence entre les volumes de ces deux prismes .

Calculons d’abord le volume de la pièce .

Voici la base du prisme qui lui est associé .

8 m

2,4 m

3,6 m - 2,54 m = 1,2 m

Aire de la base (en m2) : 8 × 2,4 + 8 × 1,2

2= 24

Volume du prisme (en m3) : 24 × 4 = 96

De la même manière, calculons le volume de la cheminée .

2 m

3,2 m

3,6 m - 3,2 m = 0,4 m

Aire de la base (en m2) : 2 × 3,2 + 2 × 0,4

2= 6,8

Volume du prisme (en m3) : 6,8 × 0,6 = 4,08

Différence entre les deux volumes : 96 - 4,08 ≈ 92




2 points



12 © sofAD

9 . a) L’intérieur du réservoir est composé d’un cylindre et de deux

demi-boules .

Le rayon des demi-boules et de la base du cylindre est de

0,7 m, soit (1,5 – 2 × 0,05) ÷ 2 . La hauteur du cylindre

intérieur (c’est-à-dire la distance entre ses deux bases) est

la même que celle du cylindre extérieur . Cette hauteur vaut

donc 3 m, soit 4,5 – 2 × (1,5 ÷ 2) .

Voici donc le solide associé à l’intérieur du réservoir .

3

1,4

0,70,7


Description correcte, mais

avec une seule erreur dans les

mesures : 2 points


b) La capacité est d’environ 6 kl .


On doit calculer le volume du solide ci-dessus .

Volume du cylindre (en m3) :

Les deux demi-boules occupent ensemble le volume d’une

boule entière .

Volume de cette boule (en m3) :

Volume du solide (en m3) : 4,6 + 1,4 = 6

Un espace de 6 m3 a une capacité de 6 kl .





13© sofAD

Corrigé de la SE de l’activité notée 2 : Concevoir une serre

Ce document contient un exemple de production attendue .

Puisqu’il y a plusieurs plans possibles au départ, les réponses soumises par l’apprenant seront probablement

différentes de celles qui sont données ci-après, mais la forme de la serre étant prédéterminée, les démarches

pour accomplir les différentes parties de la tâche devraient être assez semblables à celles qui sont

proposées .

Le correcteur devra porter une attention particulière aux explications données par l’apprenant pour

chercher à évaluer sa compétence à communiquer et à raisonner avec logique .

Exemple de production attendue

La représentation à l’échelle du plancher de la serre

Échelle

1 : 50

3,6 m

3 m

1,8 m

1,5 m

Les contraintes

Constatons d’abord que la largeur (3,6 m) et la longueur (4,5 m) sont conformes aux contraintes 1 et 2 . Il

reste à vérifier que l’aire se situe bien entre 12 et 15 m2 .

Notons que la hauteur réelle du trapèze (1,5 m) a été déterminée après avoir tracé le plan en tenant compte

de l’échelle . En effet, après avoir construit le trapèze, on constate en mesurant que cette hauteur sur le plan

est d’environ 3 cm . La hauteur réelle étant 50 fois plus grande, on obtient 150 cm ou 1,5 m .

Aire du rectangle (en m2) : 3,6 × 3 = 10,8


14 © sofAD

Aire du trapèze (en m2) :

(3,6 + 1,8) × 1,52

= 4,05

Aire totale (en m2) : 10,8 + 4,05 = 14,85

L’aire totale se situe bien entre 12 et 15 m2 .

Remarque pour le correcteur : Plus précisément, la hauteur réelle dans ce cas est 1,56 m (soit

0,9 × 3 ), mais on ne doit pas s’attendre à une aussi grande précision par construction et

mesurage. De façon générale, la hauteur du trapèze devrait être égale à environ 43 % de la

largeur de la serre.

Le volume de la dalle de béton (en v3)

Pour se donner un marge de sécurité, on supposera que la dalle de béton a une épaisseur de 5 po, soit

environ 12,5 cm ou 0,125 m .

Pour déterminer le volume de béton, il suffit de multiplier l’aire du plancher par son épaisseur .

Volume (en m3) : 14,85 × 0,125 ≈ 1,86

On peut convertir cette mesure en verges cubes en utilisant l’équivalence 1 v3 ≈ 0,765 m3 .

Volume (en m3) : 1,86 ÷ 0,765 ≈ 2,4

Le volume de la dalle de béton sera d’environ 2,4 v3 .

Remarque pour le correcteur : Plusieurs démarches différentes sont possibles. Par exemple,

l’apprenant peut convertir toutes les mesures en pieds et calculer le volume en pieds cubes, puis

diviser par 27 pour obtenir le nombre de verges cubes.

La grandeur totale des panneaux de verre (en pi2)

Le périmètre de la serre, en ne comptant pas la partie qui longe le mur de la maison, est de 11,4 m (soit

2 × 3 + 3 × 1,8 ) . On peut convertir cette mesure en pieds en utilisant l’équivalence 1 pi ≈ 30,5 cm .

11,4 m = 1140 cm ≈ (1140 ÷ 30,5 ) pi ≈ 37,4 pi

La longueur des murs de verre est donc de 37,4 pi (ou environ 37 pi et 5 po) .

Hauteur de ces murs : 82 po = 6 pi 10 po = 6 10

12pi ≈ 6,83 pi

Aire totale des panneaux de verre (en pi2) : 37,4 × 6,83 ≈ 255

La grandeur totale des panneaux de verre est de 255 pi2 .

Remarque pour le correcteur : On peut aussi calculer l’aire en mètres carrés, puis convertir en

pieds carrés à la fin. Puisqu’il s’agit d’une estimation, il est inutile de faire les calculs en utilisant

des fractions. Les approximations décimales sont suffisantes.


15© sofAD

Le volume de la serre (en m3)

Représentation

Comme le montre la représentation ci-contre, on peut

décomposer la serre en quatre solides simples : un

prisme à base rectangulaire surmonté d’un prisme à

base triangulaire – attention! les bases sont verticales

ici (ce sont les deux triangles en gris) – un prisme à

base trapézoïdale, surmonté d’une pyramide dont la

base est un trapèze . Cette pyramide peut également

être vue comme la moitié d’une pyramide droite à base

hexagonale .

Remarque pour le correcteur : La représentation 3D n’est pas obligatoire, mais l’apprenant doit

trouver une façon claire de décrire la décomposition de la serre en solides simples.

Volume du prisme à base rectangulaire

Il faut d’abord convertir en mètres la hauteur du prisme qui est de 82 pouces .

82 po ≈ 82 × 2,5 cm ≈ 205 cm ≈ 2,05 m

Volume de ce prisme (en m3) : 3,6 × 3 × 2,05 = 22,14

Volume du prisme à base triangulaire

Pour calculer l’aire de la base, il faut déterminer la hauteur du triangle gris qui constitue cette base .

A

B C

Dans le triangle rectangle ABC, on sait que le côté AB mesure la moitié du côté BC, car l’inclinaison du

toit est de 50 % . Le côté BC est lui-même la moitié de la base de ce triangle isocèle qui mesure 3,6 m . En

conséquence, la segment AB mesure 0,9 m (soit 12

de 12

de 3,6 m) .

Aire de ce triangle qui est la base du prisme (en m2) :

3,6 × 0,92

= 1,62

La hauteur de ce prisme est la distance entre les deux bases, soit 3 m .

Volume de ce prisme (en m3) : 1,62 × 3 = 4,86

Volume du prisme à base trapézoïdale

Aire de la base de ce prisme : 4,05 m2 (déjà calculée précédemment)

Volume de ce prisme (en m3) : 4,05 × 2,05 ≈ 8,3

Volume de la pyramide

La hauteur de cette pyramide est égale à la hauteur du triangle servant de base du 2e prisme . Elle est donc

de 0,9 m . La base de cette pyramide est la même que celle du prisme qu’elle surmonte .

Volume de cette pyramide (en m3) :

4,05 × 0,93

≈ 1,22

Volume totale de la serre (en m3) : 22,14 + 4,86 + 8,3 + 1,22 = 36,52

Le volume de la serre est d’environ 37 m3 .

3 m

1,5 m

1,8 m

82 po3,6 m


16 © sofAD

Remarque pour le correcteur : Dans cette partie de l’évaluation,il importe plus de vérifier la

démarche que les résultats des calculs. S’assurer en priorité que la décomposition de la serre en

solides simples est adéquate, que les formules utilisées pour calculer les volumes sont correctement

interprétées et que la réponse finale est plausible.


17© sofAD


1 . a) et b) Plusieurs réponses possibles .

Dans chaque cas, accorder le point si le mouvement

décrit correspond bien à la transformation géométrique

donnée et est en lien avec le thème exigé (cuisiner ou

mettre la table).


Total : 2 points


2 . a) Il s’agit d’une translation ayant les caractéristiques suivantes .

Direction : horizontale

Sens : vers la droite

Grandeur : 4 dm dans la réalité

(ou 4 cm dans la représentation)

b) Il s’agit d’une rotation ayant les caractéristiques suivantes .

Centre :

Grandeur de l’angle : 80°

Sens : horaire (ou négatif)

2 points pour a) et pour b).

Total : 4 points

Dans chaque cas, accorder

1 point s’il y a une seule

erreur dans la description des

caractéristiques.


3 . Les constructions doivent être suffisamment précises pour

que, dans chaque cas, la figure image paraisse congrue à

la figure initiale. Les traces laissées doivent révéler une

méthode de construction adéquate.

a)

A

B

C

D

tA

B

C

D

Pour chaque construction :

3 points pour une réponse

correcte. Accorder 2 points

pour une réponse imprécise,

mais avec une démarche

correcte.

Total : 12 points

Référence : Activités 5.1, 5.3,

5.4 et 6.1

BC

O


18 © sofAD

b)

OA

B

C

A

B

C

c)

A

B C

O

ttt

r

A

B

C

A

B

C

d)

A

B

C

Ds

C

D

A

Pour chaque construction :


correcte. Accorder 2 points

pour une réponse imprécise,

mais avec une démarche

correcte.

Total : 12 points

Référence : Activités 5.1, 5.3,

5.4 et 6.1


19© sofAD

4 . Plusieurs réponses possibles.

Pour que la solution soit correcte, il faut que les images

intermédiaires soient bien construites et que la description

de la suite de transformations géométriques soit

suffisamment claire pour bien identifier les transformations.

Au cours des déplacements, le sofa ne doit jamais traverser

les limites du rectangle correspondant aux murs du salon.

Exemple :

Position initiale

Positionfinale

A Bt

Description : Une rotation de -90° (ou 90° dans le sens horaire)

autour du point A, suivie d’une rotation de même grandeur et de

même sens autour du point B, suivie d’une translation t (ou une

translation de 1,2 m environ vers la droite) .




2 points

Référence : Activités 5.1, 5.3 et

5.4

5 . a) A

B C

A

B

C

1 point par réponse correcte

pour a) et pour b)

Total : 2 points



20 © sofAD

b) Non, le deltoïde possède 1 axe de symétrie .

Plusieurs justifications possibles. Exemple :

La droite s est un axe de symétrie car la figure est invariante

par une réflexion dont l’axe de réflexion est s .

s

1 point par réponse correcte

pour a) et pour b).

Total : 2 points


6 . a)

A

B

C

D

s1s2

A

B

C

D

A

B

C

D

t

b

Construction correcte : 3 points

Accorder 2 points si la

construction est imprécise,

mais la démarche est adéquate.


b) Une translation t vers la droite d’environ 9,9 cm permet

d’appliquer directement la figure initiale sur la figure finale .Solution correcte : 1 point



21© sofAD

7 . a)

Solution correcte : 1 point


b) Figure A : réflexion

Figure B : rotation

Figure C : réflexion suivie d’une rotation ou réflexion suivie

d'une translation


Total : 3 points

Référence : Activités 5.1, 5.2 et

6.1

c)

A B

Centre de rotation

Une rotation de 180°

A

C

Une translation

2 points par réponse correcte.

Total : 4 points



22 © sofAD

8 . a)

s1

s2

s3

s4




b) Cette rosace est invariante par les réflexions s1, s2, s3 et s4,

ainsi que par des rotations de 90°, de 180° et de 270° autour

du centre de la rosace .


Solution partiellement

correcte : 1 point



23© sofAD


1 . a) Les toiles A et C sont semblables, car leurs dimensions sont

proportionnelles . En effet,

2418

= 1612

.

b) 1) 34

2) 43

c) 54

d) 27,5 cm

En a), identification correcte

et justification adéquate :

2 points

Pour b), c) et d), accorder


Total : 6 points


2 . Les constructions doivent être suffisamment précises pour

que, dans chaque cas, la figure image paraisse semblable à

la figure initiale et les cotés homologues soient parallèles. Les

traces laissées doivent révéler une méthode de construction

adéquate.

a)

O

A

B C

A

B C

b) D

E

F G

HE

F G

H

Pour chaque

construction :


correcte. Accorder


imprécise, mais avec une

démarche correcte.

Total : 6 points



24 © sofAD

3 . Accepter une certaine marge d’erreur due à l’imprécision

des mesures pour les rapports d’homothétie.

a) 1) Centre : O1 Rapport d’homothétie : 12

2) Centre : O2 Rapport d’homothétie : 34

b) Oui, le segment GH est l’image par une homothétie du

segment AB .

Le centre est le point O ci-dessous (il doit se trouver sur la

ligne d’horizon) . Le rapport d’homothétie est d’environ

512

.

O

1 O

2

A

B

C

D

E

F

G

H

O

En a), 1 point pour chaque

homothétie correctement

définie.

En b), solution correcte :

2 points

Accorder 1 point pour une

réponse partiellement correcte.

Total : 4 points


4 . Elle sera une réduction de la figure initiale .

Exemple de justification :

Le rapport d’homothétie est égal au rapport de similitude . Ainsi

les dimensions de la figure initiale sont d’abord multipliées par

12

, puis par 54

. Puisque 12

× 54

= 58

, les dimensions de la figure

finale correspondront à 58

de celles de la figure initiale . Et

puisque 58

< 1 , il s’agit d’une réduction .


Accorder 1 point seulement si

la justification n’est pas claire.


5 . a) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

Une rotation de 72° autour du point A, suivie d’une

homothétie de centre A, dont le rapport est égal à 58

.

b) 11,25 cm


En passant du triangle ABC au triangle AJE, le périmètre est

réduit du même facteur de réduction que les côtés, soit de 58

.

Le périmètre du triangle ABC est de 18 cm .

Périmètre du triangle AJE : 58

× 18 = 454

= 11 14

.

Pour a) et b), solution

correcte : 2 points. Accorder

1 point si la solution est

partiellement correcte.

Total : 4 points



25© sofAD

6 . L’arbre mesure 10,8 m .


Le segment correspondant à la hauteur de l’arbre est l’image

par une homothétie du segment correspondant à la taille de

Simon . Le centre de cette homothétie est le point A et le rapport

d’homothétie est 6, soit

10 + 22

. Pour connaître la hauteur de

l’arbre, il suffit donc de multiplier la taille de Simon par 6 .


Accorder 2 points s’il y a une

erreur mineure.

Référence : Activités 7.3 ou 8.2

7 . a) Oui, le grand trapèze est semblable aux petits trapèzes .

Une justification correcte doit tenir compte des angles et

des cotés.

Exemple de justification :

Les quatre triangles découpés dans le carton étant congrus,

leurs angles et leurs cotés homologues sont congrus . En

reportant ces mesures dans la figure du bas, on obtient ceci :

A

B C

D

HE

F

G

I

6 cm 6 cm

6 cm

6 cm

6 cm

5,2 cm

5,2 cm

60°60°

60°

On constate que les angles A, B, C, D mesurent

respectivement 90°, 90°, 60° et 120° comme les angles du

trapèze initial . On constate aussi que les mesures des cotés

du trapèze ABCD sont le double des mesures des cotés

correspondants du trapèze initial . Le trapèze ABCD est donc

un agrandissement du trapèze initial .

b) Le rapport de similitude est égal à 2 .

c) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

Une réflexion d’axe de réflexion EH, suivie d’une homothétie

de centre B et de rapport égal à 2 .

En a), réponse et justification

correctes : 2 points

En b), réponse correcte :

1 point

En c), réponse correcte :

2 points

Total : 5 points



26 © sofAD

8 . Puisque le segment déjà tracé mesure 7,2 cm, l’échelle du plan

est de 1 cm � 25 m ou 1 : 2 500 .

En utilisant cette échelle, on peut compléter le plan de la façon

suivante .

180 m

100 m

85° 80°

150 m

Le quatrième coté sur le plan mesure environ 6,1 cm . La longueur

réelle de ce coté est 2 500 fois plus grande . C’est donc 152,5 m .


Accorder 4 points pour une

erreur mineure.

Accorder 2 points ou

3 points pour une solution

partiellement correcte.


9 . a) AB � ED BC � DC AC � EC

b) La distance entre les deux chalets est d’environ 550 m .


Puisque les triangles sont semblables, les longueurs des cotés

homologues sont proportionnelles . On a donc :

m AB

m ED= m BC

m DC= m AC

m EC Soit x la mesure du segment AB . En substituant les valeurs

connues et inconnues dans cette suite de proportions, on

obtient :

x320

= 480280

= 420245

.

En résolvant l’équation

x320

= 480280

et en arrondissant à la

dizaine près, on trouve x = 480 × 320

280≈ 550 .

En a), 1 point si toutes les

associations sont correctes.

En b), solution correcte :

4 points

Solution partiellement correcte

2 points ou 3 points.

Total : 5 points



27© sofAD

Corrigé de la SE de l’activité notée 4 : Créer un dallage original pour une salle de jeu

Ce document contient un exemple de production attendue .

Dans la deuxième partie de la tâche, l’apprenant doit créer un dallage . Puisqu’il y a plusieurs dallages

possibles, les réponses soumises par l’apprenant dans cette partie et la suivante seront assurément

différentes de celles qui sont données ci-après .

Le correcteur devra porter une attention particulière aux explications données par l’apprenant pour

chercher à évaluer sa compétence à communiquer . La compétence à raisonner avec logique se manifeste de

façon moins explicite dans cette situation d’évaluation, mais il est possible de porter un jugement sur cette

compétence dans la première partie en s’assurant que l’apprenant reconnaît bien les invariances des figures

et utilise des arguments adéquats pour montrer que deux figures sont semblables .

Exemple de production attendue

Première partie : L’analyse de la situation

Les axes de symétrie

Les pièces supplémentaires obtenues par réflexion


28 © sofAD

Les invariances par rotation

Trois pentominos sont invariants par une rotation de 90° ou de 180° .

Invariance par rotationde 180° seulement

Invariance par rotationde 90° et 180°

Le plan de la salle et le pentomino

0,6 m

0,6 m

0,3 m

0,9 m

4,5 m

1,5 m

3 m

3 m

Le pentomino étant formé de 5 tuiles carrées de 30 cm de côté, on peut déduire les mesures de ses côtés .

Ces mesures réelles ont été inscrites dans la figure ci-dessus . Les mesures réelles de la salle ont été

également ajoutées .

Ces deux figures sont semblables, car tous les angles homologues sont congrus et tous les côtés homologues

sont de longueurs proportionnelles . En effet,

1,50,3

= 4,50,9

= 30,6

.

Remarque pour le correcteur : Pour montrer que les figures sont semblables, l’apprenant doit

donner un argument concernant les angles et un autre concernant les côtés. La forme de ces

arguments peut varier. Notez que les côtés peuvent également être comparés en utilisant leur

longueur sur le plan.

II existe plusieurs façons d’appliquer la petite figure sur la grande . Dans tous les cas, il faut effectuer une

rotation de -90° et une homothétie dont le rapport est égal à 5 . Les centres de rotation et d’homothétie

peuvent varier . On peut aussi ajouter une translation comme dans l’exemple de la page suivante .


29© sofAD

Exemple :

tr

h

Remarque pour le correcteur : Il n’est pas obligatoire que l’apprenant construise les images

intermédiaires de la suite de transformations qu’il aura décrite. Il faut surtout s’assurer

que l’apprenant a bien déterminé la grandeur et le sens de la rotation, ainsi que le rapport

d’homothétie.

Deuxième partie : Le dallage

Plusieurs réponses possibles. Exemple :

A

B

O

C

D

s


30 © sofAD

Remarque pour le correcteur : S’assurer que les 18 pentominos sont présents et que leur coloriage

est adéquat. En particulier, deux pièces identiques (à une rotation près) doivent avoir la même

couleur et teinte. Autant que possible, deux pièces identiques ne devraient pas être juxtaposées,

mais cette contrainte n’est pas obligatoire.

Troisième partie : Description du lien entre différentes pièces

La réponse dépendra évidemment du dallage et des pièces choisies.

Exemple :

De A à B : Une translation de 6 unités vers la droite, suivie d’une translation de 3 unités vers le bas, suivie

d’une rotation de 90° (dans le sens antihoraire) autour du point O .

De C à D : Une réflexion selon l’axe s, suivie d’une translation vers le haut de 1 unité .

Remarque pour le correcteur : Les grandeurs des translations peuvent être décrites en unités

comme ci-dessus, en centimètres selon la mesure sur le plan ou en mètres selon la mesure réelle.

On peut aussi les décrire symboliquement à l’aide d’une flèche de translation.

Pour les figures C et D, l’apprenant peut choisir des figures qui n’ont pas la même orientation

(soit un pentomino non symétrique avec sa réflexion). Dans ce cas, la suite de transformations

contiendra une réflexion comme dans l’exemple ci-dessus. Cependant ce choix n’est pas

obligatoire. Il importe seulement qu’au moins une des transformations concernées soit différente

des transformations permettant de lier les figures A et B.

Documents

REPRÉSENTATIONS ET TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES