- 1 -

RESISTANCE DES MATERIAUX

1 OBJECTIF DE LA R.D.M. La résistance des matériaux est l’étude de la résistance et de la déformation des éléments d’une

construction (arbres de transmission, axes, bâtiments, ponts,….) dans le but de déterminer ou vérifier leurs dimensions afin qu’ils supportent les charges auxquelles ils sont soumis.

2 HYPOTHESES DE LA R.D.M. La résistance des matériaux (R.D.M.) se base sur un certain nombre d’hypothèses

simplificatrices : Le matériau est :

o homogène : on admet que les matériaux ont les mêmes propriétés mécaniques en tous points (matériaux parfaits sans défauts)

o isotrope : on admet que les matériaux ont, en un même point, le même comportement dans toutes les directions (valable uniquement pour les matériaux non fibrés : hypothèse non valable pour le bois par exemple…)

Les pièces étudiées sont assimilables à des poutres c’est à dire :

o grande longueur par rapport aux autres dimensions

o forme droite (ou très faiblement courbée)

o section constante (ou variant très progressivement)

o existence d’un plan de symétrie dans le sens de la longueur.

Les actions mécaniques sont comprises dans le plan de symétrie de la poutre ou sont symétriques par rapport à celui-ci.

Les déformations sont faibles donc on suppose que les points d’application des A.M. ne

bougent pas après déformation.

A B A B

B’

Avant déformation Après déformation F F

- 2 -

3 TORSEUR DE COHESION D’UNE POUTRE Afin de déterminer les efforts à l’intérieur d’une poutre (efforts de cohésions), il est nécessaire de

réaliser sur cette poutre une coupure fictive par un plan (P) perpendiculaire à la ligne moyenne. La poutre est alors divisée en deux parties appelées « Tronçons ».

Le torseur de cohésion modélise l’action mécanique d’une partie de la poutre sur une autre

partie de la poutre, de part et d’autre d’une coupure fictive.

x

x

y

z O

G

Coupure

fictive

y

z

(1)

(2)

y

z O

G z

(1)

y

x

Ty

Tz

N

Mt

Mfy

Mfz

12cohésion

1Ext

2Ext

4 CONTRAINTES LOCALES DANS LE MATERIAU L’A.M. de cohésion se traduit en différents points de la section étudiée par des contraintes

locales. Ces contraintes peuvent être de 2 types :

contraintes normales , perpendiculaires à la section.

contraintes tangentielles , parallèles à la section.

section de

la poutre

élément de

surface de la

section

et s’expriment en pascal (Pa) ou en méga-pascal (Mpa)

1 Pa = 1 N/m2

1 MPa = 1 N/mm2

- 3 -

5 CARACTERISTIQUES MECANIQUES D’UN MATERIAU Suivant l’intensité des contraintes qu’on lui applique le matériau à des comportements

différents : déformations élastiques : le matériau se déforme sous la contrainte puis revient en

position initiale lorsqu’on supprime les efforts. déformations plastiques : le matériau se déforme sous la contrainte et reste déformé

lorsqu’on supprime les efforts. rupture : sous la contrainte, le matériau se rompt.

Pour caractériser chaque matériau, on utilise alors les paramètres suivants :

E : module de Young (coefficient d’élasticité longitudinale) G : module de Coulomb (coefficient d’élasticité transversale) Re : résistance élastique du matériau Rp : résistance plastique du matériau

Exemples de valeurs (approximatives, varient en fonction des alliages et traitements) :

Matériau Re (MPa) Rp (MPa) E (MPa) G (MPa)

Acier d’usage courant 235 340 200 000 80 000

Acier spéciaux 700 930 200 000 80 000

Fonte 200 100 000 40 000

Aluminium (Duralumin) 200 330 72 000 32 000

5.1 Recherche de caractéristiques d’un matériau

1 Essai de traction

On choisira comme exemple un essai de traction. Cet essai est une expérience qui permet de mesurer le degré de résistance à la rupture d'un matériau quelconque, indépendamment de la forme de l'objet sollicité, ou la performance d'un assemblage mécanique.

Cet essai consiste à placer une petite barre du matériau à étudier

entre les mâchoires d'une machine de traction qui tire sur la barre jusqu'à sa rupture. On enregistre l'allongement et la force appliquée, que l'on convertit ensuite en déformation et contrainte.

L'essai de traction donne plusieurs valeurs importantes, notamment :

le module de Young E, ou module d'élasticité longitudinale ; la limite élastique Re ou σe, qui sert à caractériser un domaine

conventionnel de réversibilité ; la limite à la rupture Rm ou σm.

2 Définition de la traction

Une poutre est sollicitée à la traction simple lorsqu’elle est soumise à 2 efforts dits « normaux », directement opposés, qui tendent à l’allonger.

,

0

0 0

0 0

Coh G

G R

N

T

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3 Résultat de l’essai de traction

Cet essai est réalisé sur une machine qui permet d’appliquer très progressivement un effort de traction F sur une éprouvette, afin d’étudier son

allongement l.

On enregistre sur un graphe la contrainte normale en fonction de l’allongement relatif.

La courbe fait apparaître 2 zones : - Zone de déformation élastique - Zone de déformation plastique

a) Zone OA : zone de déformation élastique

L’allongement est proportionnel à la charge. Si on supprime l’effort l’éprouvette reprend sa longueur initiale. Le point A donne la résistance élastique du matériau.

Cette zone permet de déterminer le module d’élasticité longitudinal E (module de YOUNG). Il

caractérise l’aptitude du matériau à se déformer et correspond à la pente de la droite OA. La relation entre la contrainte et la déformation dans la zone élastique est donnée par la loi de Hooke

Remarque : On peut faire l’analogie avec un ressort (F = kx) où k serai la raideur du ressort.

b) Zone AC : zone de déformation permanente ou domaine plastique avec rupture en C

La partie (AB) est la partie plastique. La limite élastique est dépassée. Si l'expérience est interrompue (point C), la barre ne reprend pas sa forme initiale. Le chemin de décharge est, de manière simplifiée parallèle à la droite (OA).Lorsque l'effort appliqué s'annule, il persiste une

déformation résiduelle p qui ne disparaît plus.

O

- 5 -

6 TRACTION – COMPRESSION

6.1 Relation Sollicitation – Contrainte

Les contraintes normales dans une section droite (S) sont normales (perpendiculaires) à la section et uniformément réparties. Elles ont pour valeur :

S

N

N : effort normal en N S : surface de la section en m2

: contrainte normale en Pa

La contrainte normale engendrée est identique dans toute la section :

traction

compression

6.2 Loi de comportement élastique : LOI DE HOOKE

Dans la zone OA, la contrainte est proportionnelle à la déformation . D’après la loi de Hooke, on a :

.E

E : module de Young en Pa : allongement relatif (sans unité)

avec

0

L

L L : allongement absolu ou extension L0 : longueur initiale de la poutre

7 CISAILLEMENT

7.1 Relation Sollicitation – Contrainte

Les contraintes tangentielles dans une section droite (S) sont tangentes à la section et uniformément réparties. Elles ont pour valeur :

T

S

T : effort tranchant en N S : surface de la section en m2

: contrainte tangentiel en Pa

La contrainte tangentielle engendrée est identique dans toute la section.

7.2 Loi de comportement élastique

G : module de Coulomb en Pa

: glissement transversal relatif

- 6 -

8 TORSION

8.1 Quelques expressions de moments quadratiques polaires

6

4aIG

12

22 hbbhIG

32

4dIG

32

44 dDIG

8.2 Relation Sollicitation – Contrainte

GI

Mt

Mt : moment de torsion en N·m IG : moment quadratique polaire de la section en m4

: distance au centre de la section en m

La contrainte tangentielle engendrée est nulle au centre

de la section (fibre neutre) et est de plus en plus élevée lorsqu’on s’en éloigne.

8.3 Loi de comportement élastique

GIGMt

G : module de Coulomb en Pa

x

: angle de torsion unitaire en rad·m-1

α : angle de torsion en rad x : longueur de la poutre en m IG : moment quadratique polaire de la section en m4

x

G

Fibre neutre

M

- 7 -

9 FLEXION

9.1 Quelques expressions de moments quadratiques axiaux par rapport à un axe

12

4aII GyGx

1212

33 hbI

bhI GyGx

64

4dII GyGx

64

44 dDII GyGx

Remarque : Relation entre moment quadratique polaire et axial

IO = IOx + IOy

9.2 Relation Sollicitation – Contrainte

yI

Mf

Gz

z

Mfz : moment de flexion en Nm IGz : moment quadratique de la

section par rapport à l’axe (Gz) en m4 y : distance par rapport à l’axe (Gz)

en m

y

z

x

y M

G

La contrainte normale engendrée est nulle le long de l’axe

(Gz) (fibre neutre) et est de plus en plus élevée lorsqu’on s’en éloigne.

9.3 Loi de comportement élastique

''fIEMf Gzz

Mfz : moment de flexion en N·m E : module de Young en Pa IGz : moment quadratique par rapport à l’axe z de la

section en m4 f : flèche (écart verticale par rapport à la position sans

sollicitation) en m f’’ : dérivée seconde de la flèche par rapport à l’abscisse

x Pour obtenir l’expression de la

flèche, on intègre 2 fois la formule précédente. Les constantes qui apparaissent lors des intégrations sont déterminées grâce aux conditions aux limites.

- 8 -

10 CONDITION DE RESISTANCE

10.1 Poutres classiques Il y a résistance de la pièce à la traction si :

Rpe : résistance pratique à l’extension (MPa) Re : résistance élastique (MPa) S : coefficient de sécurité.

Le coefficient de sécurité s permet de prendre en compte les défauts des matériaux utilisés qui

ont tendance à affaiblir les pièces. Ils sont donnés par le cahier des charges et sont souvent spécifiques aux métiers (aéronautique, ponts, bâtiments, mécaniques…)

10.2 Poutres non conformes aux hypothèses Pour les poutres comportant des variations brusques de

section (gorges, rainures, congés, perçages…), la répartition de la contrainte n’est plus uniforme. Il y a concentration de contrainte.

La contrainte maximale est alors :

max : Contrainte maximale (MPa) Kt = coefficient de concentration de contrainte (1< Kt <3)

Condition de résistance :

Rpe

avec Rpe =

Re

s

max = Kt.

max Rpe

- 9 -

TD RESISTANCE DES MATERIAUX

1 LA POTENCE A TIRANT

1.1 Présentation La potence à tirant proposé est utilisée en manutention pour lever et déplacer des charges. Elle

se compose d’un palan 4, d’une poutre-rail 3 et du tirant 2. Le tirant 2 est soumis à une

sollicitation de traction : il est soumis à l’action de deux forces 1 2D

et 3 2B

égales et opposées, de

direction BD et d’intensité maximale de 6200 daN (cas où le palan est à l’extrême droite). Le tirant est cylindrique, de diamètre d = 20 mm, de longueur L = 2,8 mètre et est réalisé en acier

E 330. Cet acier a pour caractéristiques : Re = 330 MPa, R = 600 MPa et E = 200 000 MPa.

1.2 Travail demandé Pour rechercher les contraintes dans le tirant 2, on commence par l’isoler puis on fait une

coupure fictive sur celui-ci. (c.f. figure 1)

figure 1

Q.1 Quelle est la valeur de l’effort normal N

?

N = D3/2 = 6200 daN

Q.2 Calculez la contrainte normale .

N

S avec ²

314 ²4

dS mm

6

62000197.5

314 10

NMPa

S

Q.3 Conclure sur la résistance du tirant avec un coefficient de sécurité s = 2.

Re 10050

2Rpe MPa

s

Rpe , le tirant ne résiste donc pas à la charge, il subira une déformation

plastique.

- 10 -

Q.4 Déterminez le diamètre minimal du tirant.

Rpe avec N

S

Re 10050

2Rpe MPa

s soit 50

N

S. On obtient donc

50

NS

²50 4

Nd soit 4

50

Nd

d doit donc être supérieur ou égal à 11,3 mm.

Q.5 Calculez l’allongement du tirant sous cette charge (vous prendrez la nouvelle valeur de diamètre d)

E

6

65000250 10

0.0113² 200000 104

N

E S E

0

l

l soit 6

0 250 10 2000 0.5l l mm

2 LE CROCHET D’ATTELAGE

2.1 Problème posé On se propose de calculer la contrainte de traction dans les vis de fixation de l’attache lors du

remorquage d’un véhicule.

2.2 Hypothèse Les contraintes dûes à l’effort de traction lors du remorquage sont les seules à être considérées

dans cet exercice. Lors de variations brusques de vitesses la remorque exerce un effort de traction maximum de

3150 daN sur l’attache. Cet effort se répartit à égalité sur chaque vis de fixation repérée 4.

2.3 Données

Diamètre sollicité d’une vis : 14mm ( d’âme des vis rep 4) Matière : 42 Cr Mo 4 Coefficient de sécurité : s = 8

2.4 Activités

Q.1 Recherchez dans l'extrait du ‘Guide du Dessinateur Industriel » la valeur de la résistance élastique de la matière constituant les vis.

Re = 850 MPa

4 2

1

3

- 11 -

Q.2 En lisant le problème posé, donnez la valeur de la force de traction Ft appliquée à chaque vis, exprimez cette valeur en Newton.

Ft = 15 750 N Rq : l’effort de traction se réparti de façon égale entre les deux vis.

Q.3 Calculez l'aire de la section d’une vis soumise à la traction.

² 154 ²4

S D mm

Q.4 Calculez la contrainte dans une vis.

6

15750102.3

154 10

NMpa

S

Q.5 Calculez Rpe, la résistance pratique à l’extension de la matière des vis.

Re 850106.25

8Rpe MPa

s

Q.6 A partir du cours, donnez la condition de résistance à la traction d’une vis.

Il y a résistance si Rpe

Q.7 Conclusion.

Dans notre cas, on a bien Rpe. Les vis résistent donc à la force de traction

2.5 Extrait du Guide du Dessinateur

Industriel

* R min = résistance minimale à la rupture par extension (Mpa).

* Re min = limite minimale apparente d’élasticité (Mpa).

- 12 -

3 L’ETRAVE DE CHASSE NEIGE

3.1 Mise en situation L’étrave de déneigement CGM10 est utilisée pour dégager les

routes aprés de fortes chutes de neige. Elle est composée de deux volets disposés en « V » qui permettent d’évacuer sur les côtés une épaisseur importante de neige.

Les deux volets sont articulés de façon indépendante sur la pointe de l’étrave et ont une ouverture variable contrôlée par le conducteur. Ceci permet d’éviter les obstacles et d’adapter l’ensemble à la largeur de la route.

Lors de l’utilisation, l’étrave repose sur le sol sous l’action de son propre poids. Pour limiter l’usure des volets et la détérioration des routes elle peut être munie de patins de frottements en matière composite. En fin d’utilisation ou pour éviter des obstacles, elle est pourvue d’un système de relevage hydraulique.

3.2 Estimation du coefficient de sécurité dans une barre (8) L’objectif de cette étude est de vérifier le niveau des contraintes

dans une barre coté pointe (8) afin d’estimer la valeur du coefficient de sécurité dont on dispose.

Les actions mécaniques agissant sur une des barres coté pointe (8)

peuvent être définies suivant le schéma ci-dessous

1 Identification des sollicitations

Au vu des actions agissant sur la barre (voir schéma page précédente) :

Q.1 Préciser la nature de la sollicitation existant dans la barre.

barre 8

- 13 -

La courbe ci-contre donne l’intensité des

actions agissant sur la barre en fonction de l’angle d’ouverture du volet.

Q.2 Relever sur la courbe la valeur de l’effort maximal supporté par la barre.

2 Détermination de la contrainte normale

Hypothèse : la barre (8), constituée de plusieurs éléments soudés entre eux, sera considérée comme une seule pièce vérifiant les hypothèses de la résistance des matériaux.

La section la plus sollicitée est celle qui passe par le

point M, ses dimensions sont données sur la coupe (A-A) ci-contre.

Q.3 Calculer, pour l’effort maxi, la contrainte normale Max théorique existant dans la section A-A.

L’image ci-dessous (obtenue à l’aide d’un logiciel de simulation) indique les niveaux de contrainte

à l’extrémité de la barre.

Q.4 Relever sur cette image la valeur maximale de la contrainte normale.

Q.5 Comparer cette valeur à la valeur théorique calculée dans la question Q3.

Q.6 Justifier la différence entre ces deux valeurs.

3 Estimation du coefficient de sécurité

La barre (8) est réalisée en acier S355 , dont la limite élastique est : Re min = 355 MPa

Q.7 Calculer le coefficient de sécurité s dont on dispose pour la barre si on souhaite rester dans le domaine élastique.

M

- 14 -

4 LA SUSPENSION DE VTT

4.1 Mise en situation Conçu pour s'exprimer en « Freeride » et dans les descentes

marathon, ce VTT est doté d'une suspension à triangle unifié assurant un fonctionnement optimal de la transmission et une grande robustesse.

Technique, stable et confortable, sa suspension arrière se veut progressive et performante (les positions des points de pivots et de l'amortisseur ont été calculées par ordinateur). Le bras oscillant et les biellettes de suspension sont montés sur des roulements étanches surdimensionnés.

4.2 Amélioration d’une solution constructive. Sur le prototype, un problème de déboîtement des roulements de la liaison levier S3 – biellette S2

est apparu lors des premiers essais réels, menant à un dysfonctionnement majeur de la suspension arrière.

L’objectif de cette étude est d'analyser et de re-concevoir la biellette S2, afin de remédier à ce problème technique.

La première biellette prototype a été conçue de manière « ouverte » et usinée. Suite aux efforts élevés supportés, sa déformation trop importante engendre la sortie des roulements de leurs logements dans le levier.

Vue de détail du

mécanisme de suspension.

Biellette prototype Biellette prototype après

déformation

Forme prismatique

justifiée par le

procédé d'usinage

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4.3 Vérification du critère de résistance de la nouvelle biellette prototype. L’objectif de cette partie est de vérifier la résistance de la nouvelle biellette

prototype en calculant la contrainte subie par la section AA de la pièce. Le matériau choisi est un alliage d'aluminium 7075 [Al Zn 5.5 Mg Cu] de

limite élastique 440 MPa. Une étude dynamique complémentaire de l’étude statique précédente a

permis de calculer que l’effort de compression sur la biellette est très élevé et peut atteindre une valeur de 10 000 N.

Q.1 En supposant a = 8 mm, calculer la valeur de la contrainte de compression dans la section A-A.

Q.2 Conclure quant à la résistance de cette partie de la pièce.

78,1<<440MPa, donc la biellette résiste

4.4 Optimisation des formes de la biellette industrialisée. L'entreprise a procédé à une simulation informatique du

comportement en charge du modèle prototype de la biellette à l’aide d'un logiciel de calculs par éléments finis : le résultat de cette simulation est fourni sur le schéma ci-contre.

Q.3 Sur ce schéma, identifier et entourer en rouge les zones de plus fortes contraintes (concentrations de contraintes).

Q.4 Indiquer la valeur de la contrainte maximum ( max) subie par la pièce. Conclure quant à la résistance de la pièce (rappel : Re = 440 MPa)

Q.5 A partir d’un croquis à main levée commenté, proposer des modifications de forme permettant de limiter les concentrations de contraintes dans la biellette industrialisée.

a

a

Croquis de la

biellette

Contrainte en Pa