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Département Maintenance Industrielle SUPPORT DE COURS EN RESISTANCE DES MATERIAUX

resistance des materiaux

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resistance des materiaux

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  • Dpartement Maintenance Industrielle

    SUPPORT DE COURS EN

    RESISTANCE DES MATERIAUX

  • SOMMAIRE

    Chapitre 1Chapitre 1Chapitre 1Chapitre 1 :::: INTRODUCTION A LA RSISTANCE DES MATRIAUX 1- But de la RDM. 2- Principe du calcul de RDM. 3- Hypothses gnrales de la RDM. 4- Efforts intrieurs (torseur de cohsion). 5- Composantes du torseur de cohsion. 6- Vecteur contrainte en un point. 7- Sollicitations simples et composes

    Chapitre 2Chapitre 2Chapitre 2Chapitre 2 :::: LA TRACTION SIMPLE 1- Dfnition. 2- Essai de traction. 3- Etude des dformations. 4- Etude des contraintes. 5- Relation Contrainte - Dformation. 6- Caractristiques mcaniques dun matriau. 7- Condition de rsistance en traction. 8- Condition de rigidit en traction. 9- Concentration de contrainte.

    Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre 3333 :::: LA COMPRESSION SIMPLE 1- Dfnition. 2- Etude des contraintes. 3- Etude des dformations. 4- Condition de rsistance en compression.

    Chapitre 4Chapitre 4Chapitre 4Chapitre 4 : : : : LE CISAILLEMENT SIMPLE 1- Dfnition. 2- Essai de cisaillement. 3- Etude des dformations. 4- Etudes des contraintes. 5- Relation Contrainte Dformation. 6- Condition de rsistance au cisaillement

  • Chapitre 5Chapitre 5Chapitre 5Chapitre 5 : LA TORSION SIMPLE 1- Dfnition. 2- Essai de torsion. 3- Relation Contrainte Dformation. 4- Equation de dformation. 5- Relation Contrainte -moment de torsion. 6- Condition de rsistance la torsion. 7- Condition de rigidit. 8- Concentration de contrainte.

    Chapitre 6Chapitre 6Chapitre 6Chapitre 6 : LA FLEXION SIMPLE 1- Dfnition. 2- Etude des contraintes. 3- Relation Contrainte - moment de fexion. 4- Condition de rsistance la fexion. 5- Concentration de contrainte. 6- Dformation en fexion. 7- Condition de rigidit en fexion. 8- Thorme de superposition des dformations.

    Chapitre 7Chapitre 7Chapitre 7Chapitre 7 : SOLLICITATIONS COMPOSES 1- Flexion&torsion 2- Traction&torsion.

    Chapitre 8Chapitre 8Chapitre 8Chapitre 8 : LE FLAMBEMENT 1- Etude du fambement. 2- Elancement. 3- Charge critique. 4- Contrainte critique. 5- Condition de rsistance.

    BIBIOGRAPHIE ANNEXE 1 : Copie remettre aux tudiants. ANNEXE 2 : Transparents pour rtroprojecteur.

  • Rsistance des matriaux 0 Introduction la RDM

    Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre 1111

    INTRODUCTION A LA RSISTANCE DES MATRIAUX

    Objectifs :

    Comprendre les notions de base de la RDM.

    Prrequis :

    Modlisation des actions mcaniques. Le principe fondamental de la statique.

    Elments de contenu :

    1- But de la RDM. 2- Principe du calcul de RDM. 3- Hypothses gnrales de la RDM. 4- Efforts intrieurs (torse ur de cohsion). 5- Composantes du torseur de cohsion. 6- Vecteur contrainte en un point. 7- Sollicitations simples et composes

    Parmi les objectifs viss par l'tude mcanique des systmes matriels est le dimensionnement des diffrents solides constituant le systme.

    La premire modlisation des solides, en solides globalement indformables, permet, en appliquant le principe fondamental de la statique ou de la dynamique, de dterminer les actions appliques ces solides.

    Une deuxime modlisation des solides, en poutres droites permet de prvoir leur comportement sous charge. (Dformations, rsistance...) et cela grce aux diffrentes lois de la rsistance des matriaux.

    La rsolution des problmes poss par la rsistance des matriaux fait appel de nombreuses hypothses, ncessaires pour obtenir rapidement des rsultats exploitables.

  • Rsistance des matriaux

    RSISTANCE DES MATR

    1-But de la rsistance des matriaux

    La rsistance des matriaux est l'tude de la rdformation des solides. Elle permet de dfinir les formes, les dimensions et les matriaux des pices mcaniques de faon matriser leur rsistance, leur dformation tout en optimisant leur cot.

    Exemples:

    Un pont est vrifi en rsi

    - Assurer sa rsistance sous son propr

    - Assurer sa rsistance en cas de forte tempte.

    Une bouteille est vrifie en

    - Assurer sa rsistance lorsqu'elle est pleine

    - Assurer une rsistance minimum en cas de chute

    - Minimiser l'paisseur de la bouteille pour faimatire premire.

    2- Principe du calcule de RDM

    Pour raliser un calcul de rsistance des matriaux, nous avons connatre les actions mcaniques exerces sur le mdtermines dans l'tude de statique ou deL'tude de rsistance des matriaux va permettre de dfinir les sollicitations et les contraintes qui en rsultent.

    iaux 1 Introduction la RDM

    INTRODUCTION A LA

    RSISTANCE DES MATRIAUX

    But de la rsistance des matriaux

    La rsistance des matriaux est l'tude de la rsistance edformation des solides. Elle permet de dfinir les formes, les dimensions et les matriaux des pices mcaniques de faon matriser leur rsistance, leur dformation tout en optimisant leur cot.

    Un pont est vrifi en rsistance des matriaux pour:

    ssurer sa rsistance sous son propre poids et celui des vhicules

    stance en cas de forte tempte.

    Une bouteille est vrifie en rsistance des matriaux pour:

    sistance lorsqu'elle est pleine ;

    istance minimum en cas de chute ;

    inimiser l'paisseur de la bouteille pour faire des conomies sur la

    Principe du calcule de RDM :

    Figure 1.1

    Pour raliser un calcul de rsistance des matriaux, nous avons connatre les actions mcaniques exerces sur le mcanisme (ces actions sont

    s dans l'tude de statique ou de dynamique) et les matriaux utiliss.L'tude de rsistance des matriaux va permettre de dfinir les sollicitations et

    qui en rsultent.

    Introduction la RDM

    sistance et de la dformation des solides. Elle permet de dfinir les formes, les dimensions et les matriaux des pices mcaniques de faon matriser leur rsistance, leur

    e poids et celui des vhicules ;

    rsistance des matriaux pour:

    re des conomies sur la

    Pour raliser un calcul de rsistance des matriaux, nous avons besoin de (ces actions sont

    que) et les matriaux utiliss. L'tude de rsistance des matriaux va permettre de dfinir les sollicitations et

  • Rsistance des matriaux 2 Introduction la RDM

    3- Hypothses gnrales de la RDM :

    Pour faire une tude de rsistance des matriaux, nous avons besoin de faire des hypothses simplificatrices. Une fois que ces hypothses sont dfinies, nous pouvons nous lancer dans l'tude.

    3-1 Hypothses sur le matriau : Le matriau est suppos continu (ni fissures ni cavits), homogne (tous les lments du matriau ont une structure identique) et isotrope (en tout point et dans toutes les directions, le matriau possde les mmes caractristiques mcaniques).

    3-2 Hypothses sur la gomtrie des solides : La RDM tudie uniquement des solides en forme de poutres (solide idal) prsentant :

    - des dimensions longitudinales importantes par rapport aux dimension: transversales.

    - des sections droites constantes ou variables lentement en dimension ou en forme.

    Une poutre est engendre par la translation d'une section droite et plane S dont le barycentre G dcrit une ligne Lm (appele ligne moyenne) droite ou grand rayon de courbure. La section droite S reste toujours perpendiculaire la ligne moyenne C. (Figure 1.2).

    Figure 1.2

    1-3 Hypothses sur les dformations (Hypothse de Navier-Bernoulli) :

    Les sections planes et droites (normales la ligne moyenne) avant dformation restent planes et droites aprs dformation.

  • Rsistance des matriaux

    4-Efforts intrieurs

    (Torseur de cohsion)

    Soit une poutre E [quilibre sous l'effet d'actions mcaniques extrieures. Pour meen vidence les efforts tramatire au niveau d'une sectnous effectuons une cimaginaire dans le plan P contenant S. Il la spare en deux tronons E(Partie gauche) et E 2. (Partie droite)(Figure 1.3).

    On isole le tronon El

    - Les actions mcaniques que .le tronon Etravers la section droite S sont des actions mcaniques intrieures la poutre E. Nous en ignorons priori la nature, cependant la liaison entre Emodlise par une liaison complte. On peut donc modliser l'action mcanique Esur E l par un torseur appel torde rduction en G seront R(x) et M

    {E2/El} = {coh} = ((

    MXR

    Grr

    Lquilibre du tronon 1 se traduit

    par :

    { } { } {} {cohGcohGEE 1/

    0 =+ r

    Cette relation permet de calculer les lments de rduction du torseur de cohsion partir des actionstatique).

    Remarque : L'quilibre

    iaux 3 Introduction la RDM

    Efforts intrieurs

    (Torseur de cohsion) :

    Soit une poutre E [AB], en s l'effet d'actions

    extrieures. Pour mettre en vidence les efforts transmis par la

    'une section S, nous effectuons une coupure imaginaire dans le plan P contenant S.

    a spare en deux tronons El (Partie droite)

    Figure 1.3

    l

    Les actions mcaniques que .le tronon E 2 exerce sur le tronon Etravers la section droite S sont des actions mcaniques intrieures la poutre E.

    priori la nature, cependant la liaison entre Eison complte. On peut donc modliser l'action mcanique E

    par un torseur appel torseur de cohsion et not { coh} dont les lments de rduction en G seront R(x) et MG(x).

    )( )

    XX

    du tronon 1 se traduit

    } { }GEEGcoh 1/

    =

    { } { }GSdegauchesmcaniquesactionsGcoh

    =

    Figure 1.4

    Cette relation permet de calculer les lments de rduction du torseur de actions mcaniques extrieures gauche (connues par la

    L'quilibre de la poutre E se traduit par :

    Introduction la RDM

    Figure 1.3

    exerce sur le tronon E l travers la section droite S sont des actions mcaniques intrieures la poutre E.

    priori la nature, cependant la liaison entre E l et E2 peut tre ison complte. On peut donc modliser l'action mcanique E 2

    } dont les lments

    Figure 1.4

    Cette relation permet de calculer les lments de rduction du torseur de s mcaniques extrieures gauche (connues par la

  • Rsistance des matriaux

    { } +GSdegauchesmcaniquesactions

    { } {+mcaniquesactionsGcoh

    Cette relation permet de simplifier le calcul du torseur de cas o le torseur des actions mcaniques droite

    Conclusion :

    Chaque tronon est en quilibre et l'application du PFS, l'un ou l'autre, permet de faire apparatre et de calculer le torseur de cocoupure.

    Remarque :

    Le torseur de cohsion est modifi lorsque l'on dplace lla poutre :

    - Si une discontinuit d'ordre gomtrique (changement de direction de la ligne moyenne) apparat (exemple: poutre en querre).

    - Si une discontinuit lie une rsultanapparat.

    5- Composantes du torseur de cohsion

    Le torseur de cohsion ex

    { } ( )( ) y

    Gcoh

    TTN

    XMXR

    =

    = rr

    N : Effort normal sur (G, x) Ty : Effort tranchant sur (G, y)

    iaux 4 Introduction la RDM

    { } {}0r=GSdedroitemcaniquesactions } {}0v=GSdedroite Alors{ }{

    mcaniquesactionsGcoh =

    Cette relation permet de simplifier le calcul du torseur de es actions mcaniques droite est plus simple d

    Chaque tronon est en quilibre et l'application du PFS, l'un ou l'autre, permet de faire apparatre et de calculer le torseur de cohsion au

    Le torseur de cohsion est modifi lorsque l'on dplace la coupure le long de

    Si une discontinuit d'ordre gomtrique (changement de direction de la t (exemple: poutre en querre).

    une discontinuit lie une rsultante nouvelle (ou un moment nouveau)

    Composantes du torseur de cohsion :

    Le torseur de cohsion exprim dans le repre R (G, x,y,z) s'crit

    Gfzz

    fyy

    t

    MTMTMN

    Figure 1.5

    Effort normal sur (G, x) Mt : Moment (couple) de torsion sur (G, x)

    : Effort tranchant sur (G, y) Mfy : Moment de flexion sur (G, y)

    Introduction la RDM

    }GSdedroitemcaniques

    Cette relation permet de simplifier le calcul du torseur de cohsion dans le est plus simple dterminer.

    Chaque tronon est en quilibre et l'application du PFS, l'un ou l'autre, hsion au niveau de la

    a coupure le long de

    Si une discontinuit d'ordre gomtrique (changement de direction de la

    te nouvelle (ou un moment nouveau)

    prim dans le repre R (G, x,y,z) s'crit :

    Moment (couple) de torsion sur (G, x)

    Moment de flexion sur (G, y)

  • Rsistance des matriaux

    Tz : Effort tranchant sur (G, z)

    6- Vecteur contrainte en un point

    6-1 Vecteur contrainte

    Les actions mcaniques de cohsion sont les efforts que le tronon Eexerce sur le tronon E l travers la section droite (S) de la coupure fictive. Ces action mcaniques sont rparties en tout point M de S suivant une loi a priori inconnu. Notons df l'actionentourant le point. Soit nr

    vers l'extrieur de la matire du tronon E

    On appelle vecteur contrainte surface dS orient par sa normale extrieure

    ( )dSd

    SFnMC Lim

    S

    rrr =

    =

    0

    ,

    L'unit de la contrainte est le rapport d'une force par une (N/mm2) ou (MPa).

    Les lments de rduction s'crivent donc, en contrainte :

    ( ) ( ) ==SS

    nMCFdXR rrrr ,

    6-2 Contrainte normal

    On dfinit les contraintes normales et projection de ( )nMC r

    r , sur la normalel'lment de surface dS. (Figure 1.4)

    : Contrainte normale.

    iaux 5 Introduction la RDM

    Effort tranchant sur (G, z) Mfz : Moment de flexion sur (G, z)

    Vecteur contrainte en un point :

    trainte :

    actions mcaniques de cohsion sont les efforts que le tronon E travers la section droite (S) de la coupure fictive. Ces

    caniques sont rparties en tout point M de S suivant une loi a priori action mcanique au point M et dS l'lment de surface

    la normale issue de M au plan de la section S, oriente 'extrieur de la matire du tronon E1. (Figure 1.6).

    Figure 1.6

    On appelle vecteur contrainte au point M relativement l'lment de S orient par sa normale extrieurenr , le vecteur not

    dSFd r

    (Figure 1.6).

    L'unit de la contrainte est le rapport d'une force par une

    Les lments de rduction s'crivent donc, en fonction du vecteur

    )dS et ( ) ( )dSnMCMGXMS

    G = rrrr ,^

    2 Contrainte normale et contrainte tangentielle :

    On dfinit les contraintes normales et tangentielles respectivement la sur la normale nr , et la projection de (MC

    r ,ment de surface dS. (Figure 1.4) : ( ) tnnMC rrr

    r +=, Contrainte normale.

    Introduction la RDM

    Moment de flexion sur (G, z)

    actions mcaniques de cohsion sont les efforts que le tronon E 2 travers la section droite (S) de la coupure fictive. Ces

    caniques sont rparties en tout point M de S suivant une loi a priori S l'lment de surface

    la normale issue de M au plan de la section S, oriente

    au point M relativement l'lment de ( )nMC rr , tel que :

    L'unit de la contrainte est le rapport d'une force par une unit de surface

    fonction du vecteur

    tangentielles respectivement la )nr, sur le plan de

  • Rsistance des matriaux

    : Contraintes tangentielle.nr : Vecteur normal llment de surface.tr : Vecteur tangent a l'lment de surface7- Sollicitations simples et composes

    Une sollicitation est dite simple si le torseur de cohsion comprend une seule composante non nulle (Torsion par exemple) et une sollicitatiocompose si le torseur de cohsion comprend plusieurs sollicitations simples (Traction + flexion par exemple).

    Le tableau 1.1 regroupe les sollicitati

    Sollicitation Torseur de cohsion

    Traction/Compression

    Cisaillement (selon (G,y))

    EXERCICE DAPLICATION

    Soit le guidage en rotation de la roue de guidage dun systme automatis de transport de personnes (figure 1). On souhaite dterminer les efforts cohsion dans larbre 2 dont la gomtrie est reprsente en dtail dans (la figure 2).

    iaux 6 Introduction la RDM

    : Contraintes tangentielle.

    Vecteur normal llment de surface. Vecteur tangent a l'lment de surface.

    Sollicitations simples et composes :

    sollicitation est dite simple si le torseur de cohsion comprend une seule composante non nulle (Torsion par exemple) et une sollicitatio

    ur de cohsion comprend plusieurs sollicitations simples exemple).

    Le tableau 1.1 regroupe les sollicitations simples les plus courantes.

    Torseur de cohsion Sollicitation Torseur de cohsion

    G

    N

    00000

    Torsion

    G

    yT

    00000

    Flexion pur (selon

    (G,Y))

    Tableau 1.1

    EXERCICE DAPLICATION :

    Soit le guidage en rotation de la roue de guidage dun systme automatis de transport de personnes (figure 1). On souhaite dterminer les efforts cohsion dans larbre 2 dont la gomtrie est reprsente en dtail dans (la

    Figure 1

    Introduction la RDM

    sollicitation est dite simple si le torseur de cohsion comprend une seule composante non nulle (Torsion par exemple) et une sollicitation est dite

    ur de cohsion comprend plusieurs sollicitations simples

    ons simples les plus courantes.

    Torseur de cohsion

    G

    tM

    0000

    0

    G

    fyM

    000

    00

    Soit le guidage en rotation de la roue de guidage dun systme automatis de transport de personnes (figure 1). On souhaite dterminer les efforts de cohsion dans larbre 2 dont la gomtrie est reprsente en dtail dans (la

  • Rsistance des matriaux 7 Introduction la RDM

    Larbre 2 est en liaison encastrement avec le support de guidage 4. Une tude statique a permis de dterminer les actions mcaniques qui lui sont appliques :

    Unit : les efforts en Newtons et les longueurs en millimtres

    Actions des roulements R1 et R2 en P1 et P2 :

    ( ){ }

    ( )zyxP

    R

    rrr ,,1

    21

    04900023000

    =

    et ( ){ }

    ( )zyxP

    R

    rrr ,,2

    22

    0114006000

    =

    Action de lcrou 1 en T : ( ){ }

    ( )zyxT rrr ,,

    21

    000006730

    =

    Action de lentretoise 3 en F : ( ){ }

    ( )zyxF rrr ,,

    23

    00023006430

    =

    Action de support 4 en E : ( ){ }

    ( )zyxE rrr ,,

    24

    308206040650240290

    0300

    =

    Figure 2

    1-Dterminer dans ( )zyx rrr ,,= et en fonction de labscisse x, les variations

    des composantes du torseur de cohsion le long de larbre.

    2-Tracer les diagrammes correspondants.

  • Rsistance des matriaux 8 la traction simple

    Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre 2222

    LA TRACTION SIMPLE

    Objectifs :

    Dterminer la rpartition des contraintes dans la section d'une poutre sollicite la traction.

    Dterminer les conditions de rsistance et de rigidit d'une poutre sollicite traction.

    Dimensionner une poutre sollicite la traction.

    Prrequis :

    Hypothses de la RDM. Torseur de cohsion. Vecteur contrainte.

    Elments de contenu :

    1- Dfnition. 2- Essai de traction. 3- Etude des dformations. 4- Etude des contraintes. 5- Relation Contrainte - Dformation. 6- Caractristiques mcaniques dun matriau. 7- Condition de rsistance en traction. 8- Condition de rigidit en traction. 9- Concentration de contrainte.

    LA TRACTION SIMPLE

  • Rsistance des matriaux

    1-Dfinition :

    Une poutre est sollicite lextension

    forces directement opposes qui tendent lallonger ou si le torseur

    peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, une r

    par la normale cette section. (Figure 2.1)

    { }G

    Gcoh

    NN

    =

    =

    000

    000

    r

    2-Essai de traction

    2-1 Principe :

    Lessai de traction est

    mcanique le plus classique. Il

    consiste exercer sur une

    prouvette normalise deux

    efforts directement opposs

    croissants qui vont la dformer

    progressivement puis la rompre en

    vue de dterminer quelques

    caractristiques du matriau de

    lprouvette. (Figure2.2)

    2-2 Diagramme effort_dformation.

    La dformation se passe en deux phases (figure2.3)

    triaux 9 la traction simple

    utre est sollicite lextension simple si elle est soumise deux

    forces directement opposes qui tendent lallonger ou si le torseur

    peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, une r

    par la normale cette section. (Figure 2.1)

    G

    Figure 2.1

    Essai de traction

    Lessai de traction est lessai

    mcanique le plus classique. Il

    consiste exercer sur une

    prouvette normalise deux

    efforts directement opposs

    croissants qui vont la dformer

    progressivement puis la rompre en

    vue de dterminer quelques

    caractristiques du matriau de

    Figure 2.

    2 Diagramme effort_dformation.

    La dformation se passe en deux phases (figure2.3) :

    la traction simple

    elle est soumise deux

    forces directement opposes qui tendent lallonger ou si le torseur de cohsion

    peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, une rsultante porte

    Figure 2.1

    Figure 2.2

  • Rsistance des matriaux

    -Phase OA : phase lastique o

    dformation est rversible et

    lallongement est proportionnel

    la charge. On dit que lprouvette

    dans le domaine lastique.

    Phase ABC : phase plastique ou la

    dformation est permanente.

    Lallongement nest plus

    proportionnel la charge. On dit

    que lprouvette est dans le

    domaine plastique.

    3- Etude des dformations

    Allongement : 0LLL = Allongement relatif : Le

    =

    Dformation selon xv : x =

    Dans le domaine lastique

    ( ) +1Ln si tend vers 0)

    La dformation longitudinale

    saccompagne dune dformation de

    contraction transversale tel que

    xy = et xz = (Figure 2.4)

    : Coefficient de poisson et

    pour les aciers.

    4- Etudes des contraintes

    Le vecteur Cr

    se rduit une contrainte normale la section et repartie

    uniformment sur toute la section

    triaux 10 la traction simple

    : phase lastique o la

    dformation est rversible et

    lallongement est proportionnel

    la charge. On dit que lprouvette

    : phase plastique ou la

    dformation est permanente.

    Lallongement nest plus

    proportionnel la charge. On dit

    lprouvette est dans le

    Figure 2.3

    Etude des dformations

    0LL

    ; 100%0

    =LLe

    [ ] LnLLLnLnLLnLLnLL

    dL LL

    L

    Lo

    ===== 0

    00

    Dans le domaine lastique0LLex

    == ; (

    tend vers 0) La dformation longitudinale

    saccompagne dune dformation de

    contraction transversale tel que :

    (Figure 2.4)

    : Coefficient de poisson et 3.0 . Figure 2.4

    Etudes des contraintes :

    se rduit une contrainte normale la section et repartie

    uniformment sur toute la section : xCrr = (figure 2.5)

    la traction simple

    Figure 2.3

    ( )eLn +1

    Figure 2.4

    se rduit une contrainte normale la section et repartie

  • Rsistance des matriaux

    Dautre part

    xdSdN

    dSNd === vrrr

    dSFd

    C

    S ==== SSS

    dSdSdNN

    N en [N] ; S en [mm2] et

    Pour une poutre, de section S,

    sollicit la traction simple la valeur de la

    contrainte normale est gale au rapport

    de leffort normal N par la section S.

    5- Relation contrainte_dformation

    Dans la premire portion de la courbe (Zone OA), il y a

    entre la charge et la dformation. La loi de Hooke traduit cette linarit E=

    E est le module dlasticit longitudinale ou module dYoung exprim en [MPa],

    (voir tableau N1).

    FLLES

    FE

    ==

    K dfinit la rigidit en traction de la poutre exprime en [N/mm].

    6- Caractristiques mcaniques dun matriau.

    Charge la limite lastique Fe. Il lui correspond la valeur de

    contrainte la limite lastique ou limite

    Charge de rupture Fr

    la rupture ou rsistance la rupture.

    Module dYoung E, tel que.

    triaux 11 la traction simple

    Dautre part

    dSdN=

    SN=

    en [MPa] Pour une poutre, de section S,

    sollicit la traction simple la valeur de la

    contrainte normale est gale au rapport

    leffort normal N par la section S.

    Figure 2.5

    Relation contrainte_dformation :

    Dans la premire portion de la courbe (Zone OA), il y a

    entre la charge et la dformation. La loi de Hooke traduit cette linarit

    E est le module dlasticit longitudinale ou module dYoung exprim en [MPa],

    LKLLESF == avec L

    ESK =

    K dfinit la rigidit en traction de la poutre exprime en [N/mm].

    Caractristiques mcaniques dun matriau.

    Charge la limite lastique Fe. Il lui correspond la valeur de

    contrainte la limite lastique ou limite lastique (voir tableau 2.2)

    Charge de rupture Fr : Il lui correspond la valeur de SFrRr =

    la rupture ou rsistance la rupture.

    Module dYoung E, tel que. E=

    la traction simple

    Figure 2.5

    Dans la premire portion de la courbe (Zone OA), il y a proportionnalit

    entre la charge et la dformation. La loi de Hooke traduit cette linarit :

    E est le module dlasticit longitudinale ou module dYoung exprim en [MPa],

    K dfinit la rigidit en traction de la poutre exprime en [N/mm].

    Charge la limite lastique Fe. Il lui correspond la valeur de0

    Re SFe= :

    lastique (voir tableau 2.2)

    0SFr

    : contrainte

  • Rsistance des matriaux

    Allongement en % aprs rupture

    poutre aprs rupture.

    Striction : %0

    =

    SSuS

    7- Condition de rsistance en traction

    Pour des raisons de scurit la contrainte doit rester infrieure une valeur limite

    appel contrainte pratique lextension, en

    adoptant un coefficient s appel coefficient de

    scurit tel que =Rpe

    lapplication. (Tableau2.1) et(

    Do la condition de rs

    en traction : Rpe

    8- Condition de rigidit

    Pour des raisons fonctionnelles, il est parfois important de limiter

    lallongement. Il doit rester infrieur une valeur

    Do la condition de rigidit dune pice en traction

    triaux 12 la traction simple

    Allongement en % aprs rupture : 100%0

    0

    =L

    LLuA Lu longueur de la

    1000

    0 S

    Condition de rsistance en traction :

    Pour des raisons de scurit la contrainte

    doit rester infrieure une valeur limite

    appel contrainte pratique lextension, en

    adoptant un coefficient s appel coefficient de

    s

    Re, s dpend de

    ) et(Tableau2.2)

    Do la condition de rsistance dune pice

    Tableau2.1

    Tableau2.2

    Condition de rigidit :

    Pour des raisons fonctionnelles, il est parfois important de limiter

    lallongement. Il doit rester infrieur une valeur L lim Do la condition de rigidit dune pice en traction : limLES

    FL

    la traction simple

    Lu longueur de la

    Tableau2.1

    Pour des raisons fonctionnelles, il est parfois important de limiter

  • Rsistance des matriaux

    9- Concentration de

    Si le solide prsente des variations brusques de section,

    proche de ces variations, la rpartition des contraintes nest plus uniforme. Il y a

    concentration de contrainte. La contrainte maximale est

    Kt est appel coefficient de concentration de contrainte de traction.

    nom : Contrainte normale nominale (

    Kt est fonction de la forme de la pice (circulaire ou plane) et de la nature du

    changement de section (paulem

    Pour un filetage ISO triangulaire Kt=2.5 au fond des filets.

    Kt est donn par des abaques. (figure 2.7)

    triaux 13 la traction simple

    Concentration de contraintes

    prsente des variations brusques de section,

    proche de ces variations, la rpartition des contraintes nest plus uniforme. Il y a

    concentration de contrainte. La contrainte maximale est : =max

    est appel coefficient de concentration de contrainte de traction.

    trainte normale nominale ( SN

    nom= )

    Kt est fonction de la forme de la pice (circulaire ou plane) et de la nature du

    changement de section (paulement, gorge, alsage, etc.) (figure 2.6).

    Pour un filetage ISO triangulaire Kt=2.5 au fond des filets.

    Kt est donn par des abaques. (figure 2.7)

    Figure 2.6

    la traction simple

    prsente des variations brusques de section, dans une zone

    proche de ces variations, la rpartition des contraintes nest plus uniforme. Il y a

    nomtK =

    est appel coefficient de concentration de contrainte de traction.

    Kt est fonction de la forme de la pice (circulaire ou plane) et de la nature du

    ent, gorge, alsage, etc.) (figure 2.6).

  • Rsistance des matriaux

    EXERCICE N1 Vrification dun tirant

    Un profil IPN, sert de chemin de

    roulement pour un palan. Il est suspendu par 3

    tirants de 10mm et de longueur 400mm. Ces

    tirants sont en aciers de rsistance lastique

    Re=240MPa, de module dYoung

    Le coefficient de scurit est

    triaux 14 la traction simple

    Figure 2.7

    Vrification dun tirant :

    Un profil IPN, sert de chemin de

    roulement pour un palan. Il est suspendu par 3

    10mm et de longueur 400mm. Ces

    tirants sont en aciers de rsistance lastique

    Re=240MPa, de module dYoung :E=2.10 5 Mpa.

    Le coefficient de scurit est : s=8 (appareil de levage). Le tirant le plus charg

    la traction simple

    reil de levage). Le tirant le plus charg

  • Rsistance des matriaux

    supporte une charge verticale de 600N. Lallongement ne doit pas dpasser

    0.5mm.

    1 Vrifier que ce tirant peut supporter cette charge dans des conditions

    satisfaisantes de scurit.

    2 Vrifier que lallongement

    EXERCICE N2 Vrification dune

    biellette :

    La biellette reprsente ci_contre

    est soumise une traction (

    NF 20000=r ).

    1 Calculer les contraintes dans les

    sections (S1) et (S2).

    EXERCICE N3 Suite de lexercice du chapitre On se propose de soumettre larbre 2 une traction de

    Sachant que cette dernire est en acier de rsistance lastique Re = 295 MPa et

    de coefficient de scurit s = 3

    -Calculer les contraintes dans les sections (S1)

    Vrifier si cet arbre peut supporter cette charge dans les conditions

    satisfaisantes de scurit.

    triaux 15 la traction simple

    supporte une charge verticale de 600N. Lallongement ne doit pas dpasser

    1 Vrifier que ce tirant peut supporter cette charge dans des conditions

    satisfaisantes de scurit.

    2 Vrifier que lallongement reste acceptable.

    Vrification dune

    La biellette reprsente ci_contre

    est soumise une traction (

    1 Calculer les contraintes dans les

    Suite de lexercice du chapitre 1. On se propose de soumettre larbre 2 une traction de

    Sachant que cette dernire est en acier de rsistance lastique Re = 295 MPa et

    de coefficient de scurit s = 3 :

    Calculer les contraintes dans les sections (S1) et (S2).

    Vrifier si cet arbre peut supporter cette charge dans les conditions

    satisfaisantes de scurit.

    Figure de larbre 2

    la traction simple

    supporte une charge verticale de 600N. Lallongement ne doit pas dpasser

    1 Vrifier que ce tirant peut supporter cette charge dans des conditions

    Fr = 150000 N.

    Sachant que cette dernire est en acier de rsistance lastique Re = 295 MPa et

    Vrifier si cet arbre peut supporter cette charge dans les conditions

  • SET MAHDIA A.U : 2006-2007

    Rsistance des matriaux 19 la compression simple

    Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre 3333

    LA COMPRESSION SIMPLE

    Objectifs :

    Dterminer la rpartition des contraintes dans la section d'une poutre sollicite la traction.

    Dterminer les conditions de rsistance et de rigidit d'une poutre sollicite traction.

    Dimensionner une poutre sollicite la traction.

    Prrequis :

    Hypothses de la RDM. Torseur de cohsion. Vecteur contrainte.

    Elments de contenu :

    1- Dfnition. 2- Etude des contraintes. 3- Etude des dformations. 4- Condition de rsistance en compression.

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    1-Dfinition :

    Une poutre est sollicite lextension

    deux forces directement opposes qui tendent lallonger ou si le torseur

    de cohsion peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, une

    rsultante ngative porte par la normale cette section. (Figure 3.1)

    { }

    000

    0

    =

    =

    N

    NN

    GGcoh

    r

    Hypothse :

    Le solide est idal: matriau homogne, isotrope, poutre rectiligne et

    de section constante, de forme voisine du carr (b

    circulaires conviennent

    parfaitement. La longueur L

    doit tre comprise entre 3

    et 8 fois la dimension

    transversale la plus faible

    pour viter le risque de

    flambage. Les actions

    extrieures dans les sections extrmes sont modlisables par deux

    rsultantes A et B appliques aux barycentres de ces sections, diriges

    selon la ligne moyenne,

    A.U : 2006

    Rsistance des matriaux 20 la compression simple

    LA COMPRESSION SIMPLE

    utre est sollicite lextension simple si elle est soumise

    deux forces directement opposes qui tendent lallonger ou si le torseur

    de cohsion peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, une

    sultante ngative porte par la normale cette section. (Figure 3.1)

    000

    00

    N

    G

    Figure 2.1

    Le solide est idal: matriau homogne, isotrope, poutre rectiligne et

    de section constante, de forme voisine du carr (b

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    2-Contraintes dans

    Elles sont normales (

    La contrainte M (MPa

    N : effort normal (N),

    S : section droite soumise la compression (mm

    3-Dformation d'une poutre

    Dans le domaine lastique, les contr

    proportionnelles, Le raccourcissement ~t (mm) est

    N : effort normal (N) ;

    ta : longueur initiale de la poutre (mm

    S : section droite soumise la compression (

    E : module d'lasticit longitudinale (module d'Young)

    A.U : 2006

    Rsistance des matriaux 21 la compression simple

    Contraintes dans une section droite :

    Elles sont normales (S) et uniformment rparties dans cette dernire.

    (MPa) a pour valeur : SN

    M= avec ;0< MN

    N : effort normal (N),

    : section droite soumise la compression (mm2).

    Figure 2.1

    Dformation d'une poutre

    Dans le domaine lastique, les contraintes et les dformations sont

    proportionnelles, Le raccourcissement ~t (mm) est:

    ;

    ta : longueur initiale de la poutre (mm).

    : section droite soumise la compression (mm2),

    E : module d'lasticit longitudinale (module d'Young) (MPa).

    Figure 2.1

    A.U : 2006-2007

    la compression simple

    ) et uniformment rparties dans cette dernire.

    0<

    aintes et les dformations sont

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    4-Condition de rsistance

    Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester

    infrieure la rsistance pratique la compression Rpc. On dfinit Rpc

    par le rapport suivant :

    Rec : rsistan lastique la compression

    S : coefficient de scurit (sans unit

    La condition de rsistance est

    Les aciers doux et mi

    traction et en compression

    Le bton et la fonte ont des

    rsistances lastiques trs

    diffrentes en

    compression, ainsi que tous les

    matriaux non homognes et non

    isotropes.

    Si le poids de la poutre verticale

    n'est pas ngligeable (cbles

    d'ascenseurs de grands

    immeubles, piles de ponts,

    chemines

    d'usine.. .), la condition de

    rsistanc est :

    P : poids total de la poutre (N

    Solides rels :

    Ce sont des solides qui s'cartent des conditions idales

    SECTIONS BRUSQUEMENT VARIABLES

    A.U : 2006

    Rsistance des matriaux 22 la compression simple

    Condition de rsistance :

    Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester

    infrieure la rsistance pratique la compression Rpc. On dfinit Rpc

    :

    rsistan lastique la compression (MPa).

    coefficient de scurit (sans unit).

    La condition de rsistance est :

    Les aciers doux et mi-durs ont la mme rsistance lastique Re en

    traction et en compression.

    Le bton et la fonte ont des

    stances lastiques trs

    rentes en traction et en

    compression, ainsi que tous les

    matriaux non homognes et non

    Si le poids de la poutre verticale

    n'est pas ngligeable (cbles

    d'ascenseurs de grands

    immeubles, piles de ponts,

    d'usine.. .), la condition de

    poids total de la poutre (N).

    Ce sont des solides qui s'cartent des conditions idales

    SECTIONS BRUSQUEMENT VARIABLES :

    A.U : 2006-2007

    la compression simple

    Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester

    infrieure la rsistance pratique la compression Rpc. On dfinit Rpc

    durs ont la mme rsistance lastique Re en

    Ce sont des solides qui s'cartent des conditions idales.

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    La section est de forme proche du carr ou du cercle, comme en

    traction, dans les zones de changement de se

    des contraintes n'est plus uniforme. Cette concentration de : contrainte

    est peu dangereuse en compression; elle est, en gnral, nglige

    SECTIONS TRS PLATES

    Dans le cas d'une poutre plate (par exemple b = 10 a), si

    on a : 30a < L < 80a.

    Sous l'action de N,

    flambage remplace la compression simple.

    SOLIDES TRS MINCES

    Si h devient trs petite, on n'obtient plus de dformation

    significative. Tout se passe comme si on maintenait la pice latralement

    par des parois solides. La sollicitation de compression est remplace par

    du matage.

    A.U : 2006

    Rsistance des matriaux 23 la compression simple

    La section est de forme proche du carr ou du cercle, comme en

    traction, dans les zones de changement de section, la rpartition

    des contraintes n'est plus uniforme. Cette concentration de : contrainte

    est peu dangereuse en compression; elle est, en gnral, nglige

    Figure 2.2

    SECTIONS TRS PLATES :

    Dans le cas d'une poutre plate (par exemple b = 10 a), si

    Sous l'action de N, la poutre flchit selon RMS, la sollicitation de

    remplace la compression simple.

    Figure 2.3

    SOLIDES TRS MINCES :

    Si h devient trs petite, on n'obtient plus de dformation

    out se passe comme si on maintenait la pice latralement

    par des parois solides. La sollicitation de compression est remplace par

    A.U : 2006-2007

    la compression simple

    La section est de forme proche du carr ou du cercle, comme en

    ction, la rpartition

    des contraintes n'est plus uniforme. Cette concentration de : contrainte

    est peu dangereuse en compression; elle est, en gnral, nglige.

    Dans le cas d'une poutre plate (par exemple b = 10 a), si 3b < L < 8b,

    poutre flchit selon RMS, la sollicitation de

    Si h devient trs petite, on n'obtient plus de dformation

    out se passe comme si on maintenait la pice latralement

    par des parois solides. La sollicitation de compression est remplace par

  • SET MAHDIA A.U : 2006-2007

    Rsistance des matriaux 24 la compression simple

    Figure 2.4

  • SET MAHDIA A.U : 2006-2007

    Rsistance des matriaux 24 Cisaillement simple

    Chapitre 4Chapitre 4Chapitre 4Chapitre 4

    LE CISAILLEMENT SIMPLE

    Objectifs

    Dterminer la rpartition des contraintes dans la section dune poutre sollicite au cisaillement.

    Dterminer la condition de rsistance dune poutre sollicite au cisaillement. Dimensionner une poutre sollicite au cisaillement.

    Pr requis

    Hypothses de la RDM. Torseur de cohsion. Vecteur contrainte.

    Elments de contenu

    1- Dfnition. 2- Essai de cisaillement. 3- Etude des dformations. 4- Etudes des contraintes. 5- Relation Contrainte Dformation. 6- Condition de rsistance au cisaillement.

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    1- Dfinition

    Une poutre est sollicite au cisaillement simple lorsquelle est soumise

    deux forces directement opposes, perpendiculaire la ligne moyenne, et qui

    tendent la cisailler; ou lorsque le torseur de cohsion peut se rduir

    barycentre de la section droite S, une rsultante contenue dans le plan de

    cette section. (Figure 4.1)

    { }

    G

    yG

    Gcoh TT

    =

    =

    000

    0

    0

    0

    r

    2- Essai de cisaillement.

    2-1 Principe

    Lessai de cisaillement consiste soumettre une prouvette de

    rectangulaire deux charges et

    dforme comme lindique la figure4.2, les encastrements

    empchent la rotation des sections droites.

    On augmente F et on relve la valeur du dplacement

    A.U : 2006

    Rsistance des matriaux 25 Cisaillement simple

    LE CISAILLEMENT SIMPLE

    Une poutre est sollicite au cisaillement simple lorsquelle est soumise

    deux forces directement opposes, perpendiculaire la ligne moyenne, et qui

    tendent la cisailler; ou lorsque le torseur de cohsion peut se rduir

    barycentre de la section droite S, une rsultante contenue dans le plan de

    cette section. (Figure 4.1)

    Figure 4.1

    Essai de cisaillement.

    Lessai de cisaillement consiste soumettre une prouvette de

    rectangulaire deux charges et Fr

    et Fr distantes de x. Lprouvette se

    dforme comme lindique la figure4.2, les encastrements en (A

    empchent la rotation des sections droites.

    F et on relve la valeur du dplacement v correspondant.

    A.U : 2006-2007

    Cisaillement simple

    Une poutre est sollicite au cisaillement simple lorsquelle est soumise

    deux forces directement opposes, perpendiculaire la ligne moyenne, et qui

    tendent la cisailler; ou lorsque le torseur de cohsion peut se rduire en G,

    barycentre de la section droite S, une rsultante contenue dans le plan de

    Lessai de cisaillement consiste soumettre une prouvette de section

    x. Lprouvette se

    en (A 1, B 1) et (A 2, B 2)

    v correspondant.

  • SET MAHDIA A.U : 2006-2007

    Rsistance des matriaux 26 Cisaillement simple

    Figure 4.2

    2-2 Diagramme effort-dformation

    La dformation seffectue en deux

    phases (Figure 4.3)

    - Zone OA : zone de dformations

    lastiques : le glissement est

    proportionnel la charge.

    - Zone ABCD zone de dformations

    permanentes (plastiques).

    Figure 4.3

    3- Etude des dformations

    La section S cisaille se dplace dans son plan. Ce dplacement est un

    glissement. Il est dfini par un angle de glissement . Cet angle de y etx tel

    que tg = y/x.

    Dans le domaine lastique, reste faible, on peut confondre et tg do

    = y/x

    4- Etudes des contraintes

    Leffort tranchant Tr scrit T

    r=Ty yr = F

    r et le vecteur contrainte

    ( ) yxMC xy rrr =, Dautre part ( ) ydsdsxMCT S xyS

    rrrr == ,

    Il en rsulte dsT S xyy =

    Pour lhypothse dune rpartition uniforme de contraintes xy, on aura xy = moy

    sdsT moyS moyy == dou S

    Fmoy

    =

    F en[N] ; S en [mm2]; moy en [MPa]

    Pour une poutre, de section S, sollicit au cisaillement simple la valeur de la

    contrainte tangentielle est gale au rapport de leffort F par la section S.

  • SET MAHDIA A.U : 2006-2007

    Rsistance des matriaux 27 Cisaillement simple

    5- Relation contrainte _Dformation

    Dans la premire portion de la courbe (Zone OA), il y a proportionnalit

    entre la charge et la dformation. La loi traduisant cette linarit est : Gmoy =

    G est le module dlasticit transversale ou module de Coulomb exprim en en

    [MPa].

    Cette relation peut scrire encore : xyGS

    F

    =

    6-Condition de rsistance au cisaillement

    Pour une pice sollicite au cisaillement, la valeur de la contrainte

    tangentielle moy ne doit pas dpasser la valeur de la contrainte maximale

    admissible appele encore rsistance pratique au glissement R pg (Rpg=e/S). S est

    le coefficient de scurit.

    Do la condition de rsistance dune pice au cisaillement : =< Rpg

  • SET MAHDIA A.U : 2006-2007

    Rsistance des matriaux 28 Cisaillement simple

    EXERCICE 1 Accouplement

    Pour protger la chane

    cinmatique dune machine on

    utilise au niveau de la liaison des

    arbres (1) et (2) un dispositif de

    scurit qui comprend un manchon

    (3) et deux goupilles (4) et (5). Le

    diamtre des arbres (1) et (2) est

    de 20 mm. On fixe la valeur

    maximale du moment du couple transmettre M 1-2 = 60 N.m. Les goupilles (4)

    et (5) ont le mme diamtre d. Elles sont en acier A33 pour lequel Reg=150 MPa.

    Questions

    1) Dterminer leffort tranchant dans les sections des goupilles sollicites au

    cisaillement.

    2) Dterminer le diamtre d des goupilles. Le coefficient de scurit est s=3.

    EXERCICE 2 Articulation en chape

    La figure ci contre reprsente laxe

    darticulation dun piston quipant un

    compresseur. Le diamtre du piston est

    D=56 mm et la pression maximale qui

    sexerce sur le piston est P=7bars. Le

    diamtre de laxe est d=17.5mm

    (dtermin daprs la condition de non

    matage). Il est construit en un matriau

    de rsistance Reg 220Mpa. Le coefficient

    de scurit est s=5.

    Questions

  • SET MAHDIA A.U : 2006-2007

    Rsistance des matriaux 29 Cisaillement simple

    1) Dterminer laction exerce par le piston sur laxe et en dduire la nature de

    la sollicitation.

    2) Vrifier la rsistance de laxe.

    3) Vue la faible contrainte moyenne sur la section on se propose dvider laxe.

    Dterminer le diamtre intrieur de laxe.

    EXERCICE 3 Calcul dune clavette

    Un arbre transmet un

    mouvement de rotation un

    moyeu par lintermdiaire dune

    clavette. Le diamtre d de

    larbre est connu et les normes

    donnent les dimensions D et E

    de la section transversale de la

    clavette. Il ne reste qu

    chercher la longueur L de la clavette. Le couple maximal transmis par cette

    liaison est C0.

    Questions

    1) Prouver, avec un simple schma, que la clavette est sollicite au cisaillement.

    2) Dterminer la longueur L de la clavette si elle est construite dun matriau de

    rsistance pratique au glissement Rpg.

    EXERCICE 4 (Rsistance dun point de soudure)

    Deux plaques, lies par N points de

    soudure, sont soumises deux efforts.

    Elles sont de matriau de rsistance

    Rpg. Le diamtre dun point de soudure

    est d. Dterminer le nombre de points ncessaires N.

  • SET MAHDIA A.U : 2006-2007

    Rsistance des matriaux 30 Torsion simple

    Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre 5555

    LA TORSION SIMPLE

    Objectifs :

    Dterminer la rpartition des contraintes dans la section d'une poutre sollicite la torsion.

    Dterminer la condition de rsistance d'une poutre sollicite la torsion. Dimensionner une poutre soumise sollicite la torsion.

    Prrequis :

    Hypothses de la RDM. Torseur de cohsion. Vecteur contrainte.

    Elments de contenu :

    1- Dfnition. 2- Essai de torsion. 3- Relation Contrainte Dformation. 4- Equation de dformation. 5- Relation Contrainte -moment de torsion. 6- Condition de rsistance la torsion. 7- Condition de rigidit. 8- Concentration de contrainte.

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    1-Dfinition :

    Une poutre est sollicite la torsion simple si elle est soumise deux couple

    de moments opposs qui tendent la tordre ou lorsque le torseur associ au

    efforts de cohsion peut se rduire en G, barycentre de la section droite S,

    moment port par la normale cette section. (

    { }t

    GtGcoh

    M

    M

    =

    =

    00

    0000r

    v

    Au cours de ce cours on va traiter uniquement la torsion des poutres de

    section circulaire.

    2- Essai de torsion

    L'essai de torsion est ralis sur une

    soumise deux moments opposs. (Figure 5.2

    Constatations

    - La distance entre deux sections droites reste constante

    - Les sections droites restent planes et normales la ligne

    tournent autour de cette ligne.

    - Le dplacement relatif de deux sections voisines est une rotation d'angle

    d autour de la ligne moyenne

    A.U : 2006

    iaux 31

    LA TORSION SIMPLE

    poutre est sollicite la torsion simple si elle est soumise deux couple

    de moments opposs qui tendent la tordre ou lorsque le torseur associ au

    efforts de cohsion peut se rduire en G, barycentre de la section droite S,

    moment port par la normale cette section. (Figure 5.1)

    Figure 5.1

    G

    t

    cours de ce cours on va traiter uniquement la torsion des poutres de

    Essai de torsion :

    L'essai de torsion est ralis sur une prouvette cylindrique de rvolution

    soumise deux moments opposs. (Figure 5.2).

    La distance entre deux sections droites reste constante.

    Les sections droites restent planes et normales la ligne

    ligne.

    Le dplacement relatif de deux sections voisines est une rotation d'angle

    autour de la ligne moyenne.

    A.U : 2006-2007

    Torsion simple

    poutre est sollicite la torsion simple si elle est soumise deux couple

    de moments opposs qui tendent la tordre ou lorsque le torseur associ aux

    efforts de cohsion peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, un

    cours de ce cours on va traiter uniquement la torsion des poutres de

    prouvette cylindrique de rvolution

    Les sections droites restent planes et normales la ligne moyenne mais

    Le dplacement relatif de deux sections voisines est une rotation d'angle

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    La visualisation de la .courbe

    - Une zone lastique o la dformation est proportionnelle au moment:

    lMG1l=K

    - Une zone de dformations plastiques. (Figure 5.3)

    Remarque

    L'angle de rotation .est proportionnel la distan

    On pose =

    ; est l'angle de torsion unitaire exprim en [rad/mm

    A.U : 2006

    iaux 32

    Figure 5.2

    La visualisation de la .courbe MG1= f () permet de distinguer deux zon

    Une zone lastique o la dformation est proportionnelle au moment:

    Une zone de dformations plastiques. (Figure 5.3)

    .est proportionnel la distance des sections:

    est l'angle de torsion unitaire exprim en [rad/mm

    Figure 5.3

    A.U : 2006-2007

    Torsion simple

    ) permet de distinguer deux zones :

    Une zone lastique o la dformation est proportionnelle au moment:

    ce des sections: ctel==

    0.1

    1

    est l'angle de torsion unitaire exprim en [rad/mm].

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    3- Relation contraintes d

    Soient deux sections droites trs voi

    Elles tournent l'une par rapport l'autre de l'angle d

    =

    =

    =rd

    x

    drdxMM'rdMM'

    Au cours de la dformation chaque gnratrice tourne dans le plan tangent

    d'un angle appel angle de glissement. L'angle de glissement

    la contrainte tangentielle

    Il en rsulte : La contrainte

    section cest dire pour r = R ;

    4- Equation de dformation

    A.U : 2006

    iaux 33

    Relation contraintes dformation :

    t deux sections droites trs voisines spares par une distance dx.

    urnent l'une par rapport l'autre de l'angle d (Figure 5.4)

    =r

    Figure 5.4

    Au cours de la dformation chaque gnratrice tourne dans le plan tangent

    appel angle de glissement. L'angle de glissement est proportionnel

    la contrainte tangentielle =G o G est le module de Coulomb.

    La contrainte est maximale sur le contour extrieur de la

    pour r = R ; max = G R

    Equation de dformation :

    A.U : 2006-2007

    Torsion simple

    sines spares par une distance dx.

    Figure 5.4)

    Au cours de la dformation chaque gnratrice tourne dans le plan tangent

    est proportionnel

    est maximale sur le contour extrieur de la

  • SET MAHDIA A.U : 2006-2007

    Rsistance des matriaux 34 Torsion simple

    Figure 5.5

    En un point M de la section, la contrainte de torsion est (M) = G r

    Le vecteur contrainte ( ) ( ) trGtxMC M rrrr ==,

    Le moment de torsion est suivant l'axe (0, xr ), s'crit xMM tt rr = . D'autre

    part ( ) ====

    S StSStdSrGMxdSrGdStrGxrdSxMCMGM 221 ^,^ rrrr

    rrr

    Dfinition :

    S

    dSr2 est par dfinition le moment quadratique polaire de la surface S par

    rapport son centre de gravit G. Il est not IG.

    Un simple calcul peut dterminer IG pour les surfaces circulaires.

    Pour une surface circulaire pleine de diamtre D : IG= II D4/32 Pour une surface circulaire creuse (annulaire) : IG= II (D4-d4)/32

    La relation entre le moment et la dformation (quation de dformation)

    est: Gt IGM =

    Mt: [N mm]; [rad/mm]; G[Mpa] et IG: [mm4]

    5- Relation contrainte -moment de torsion :

    La contrainte en un point M vaut (M) = G r

    Le moment de torsion est Gt IGM =

    Il en dcoule ( ) rIMG

    tM

    = ou ( )

    rIMG

    tM

    =

    La contrainte maximale de torsion est obtenue pour r=R : RIMG

    t=max

    6- Condition de rsistance :

    Pour des raisons de scurit la contrainte max doit rester infrieure la

    valeur de la contrainte pratique au glissement Rpg, en adoptant un coefficient de

    scurit s tel que Rpg = Re/s, o s dpend de l'application.

    D'o la condition de rsistance d'une pice en torsion : Rpgmax

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    En d'autre terme : IMG

    7- Condition de rigidit

    Pour des arbres de grande longueur (arbre de forage des puits de ptrole,

    arbres de navires...) on vite de trop grandes dformations

    vibrations. Elle doit rester infrieure une valeur

    rigidit d'une pice en en torsion

    8- Concentration d

    Tout changement brusque de section (rainure de clavette, gorge,

    paulement) entrane une concentration de contrainte au niveau de la section et

    la condition de rsistance vue ci dessus est modifie

    Un exemple est illustr sur la figure 5.6

    pour le cas d'une rainure de clavette

    La condition de rsistance s'crit

    Rpgeff

    max

    avec maxeff K =

    maxeff : Contrainte effective maximale.

    maxth : Contrainte sans concentration.

    Exemple de calcule

    Dterminer Kt pour une rainure de

    clavette ayant un cong dans langle

    intrieur r= 0.3 et pour arbre de

    diamtre d=20 mm.

    A.U : 2006

    iaux 35

    Rpg

    RMG

    t

    Condition de rigidit :

    our des arbres de grande longueur (arbre de forage des puits de ptrole,

    ..) on vite de trop grandes dformations pour diminuer les

    Elle doit rester infrieure une valeur lim. D'o la condition de

    rigidit d'une pice en en torsion : limG

    t

    GI

    M

    Concentration de contrainte :

    Tout changement brusque de section (rainure de clavette, gorge,

    ) entrane une concentration de contrainte au niveau de la section et

    la condition de rsistance vue ci dessus est modifie.

    Un exemple est illustr sur la figure 5.6

    pour le cas d'une rainure de clavette

    La condition de rsistance s'crit :

    maxthtK

    Contrainte effective maximale.

    ntrainte sans concentration.

    Exemple de calcule :

    Dterminer Kt pour une rainure de

    clavette ayant un cong dans langle

    intrieur r= 0.3 et pour arbre de

    A.U : 2006-2007

    Torsion simple

    our des arbres de grande longueur (arbre de forage des puits de ptrole,

    pour diminuer les

    . D'o la condition de

    Tout changement brusque de section (rainure de clavette, gorge,

    ) entrane une concentration de contrainte au niveau de la section et

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    A.U : 2006

    iaux 36

    A.U : 2006-2007

    Torsion simple

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    VALUATION :

    A.U : 2006

    iaux 37

    A.U : 2006-2007

    Torsion simple

  • SET MAHDIA A.U : 2006-2007

    Rsistance des matriaux 48 flambement

    Chapitre 6Chapitre 6Chapitre 6Chapitre 6

    LA FLEXION SIMPLE

    Objectifs :

    Dterminer la rpartition des contraintes dans la section d'une poutre sollicite la fexion.

    Dterminer la condition de rsistance d'une poutre sollicite fexion. Dimensionner une poutre sollicite la fexion.

    Prrequis :

    Hypothses de la RDM. Torseur de cohsion. Vecteur contrainte.

    Elments de contenu :

    1- Dfnition. 2- Etude des contraintes. 3- Relation Contrainte - moment de fexion. 4- Condition de rsistance la fexion. 5- Concentration de contrainte. 6- Dformation en fexion. 7- Condition de rigidit en fexion. 8- Thorme de superposition des dformations.

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    1-Dfinition :

    Une poutre est sollicite la flexion

    simple si le torseur associ aux efforts de

    cohsion peut se rduire en G, barycentre de

    la section droite S, une rsultante

    contenue dans le plan de la section et un

    moment perpendiculaire cette dernire. Un

    exemple de poutre sollicite

    simple est illustr sur la figure 6.1

    { }y

    GfzGcoh TM

    T

    =

    =

    0

    0rr

    2-Etude des contraintes

    Lorsque la poutre flchit, (Figure 6.2) la

    droite pivote d'un angle

    -Les fibres moyennes ne changent pas de

    longueur (La contrainte est donc nulle)

    Figure 6.2

    -Les autres fibres s'allongent ou se compriment.

    (Figure 6.3). Les contraintes normales engendres sont

    proportionnelles la distance qui les sparent du plan des

    fibres moyennes, do : M

    M : Contrainte normale de flexion en M [MPa]E : Module, dYoung [MPa]Y : Ordonne de M % la fibre

    A.U : 2006

    Rsistance des matriaux 49 flambement

    LA FLEXION SIMPLE

    poutre est sollicite la flexion

    simple si le torseur associ aux efforts de

    cohsion peut se rduire en G, barycentre de

    la section droite S, une rsultante

    contenue dans le plan de la section et un

    moment perpendiculaire cette dernire. Un

    e de poutre sollicite la flexion

    sur la figure 6.1

    Figure

    GfzM

    00

    Etude des contraintes :

    outre flchit, (Figure 6.2) la section et on constate que:

    Les fibres moyennes ne changent pas de

    longueur (La contrainte est donc nulle)

    Les autres fibres s'allongent ou se compriment.

    (Figure 6.3). Les contraintes normales engendres sont

    ionnelles la distance qui les sparent du plan des

    yEM =

    Contrainte normale de flexion en M [MPa] : Module, dYoung [MPa] : Ordonne de M % la fibre neutre [mm].

    A.U : 2006-2007

    flambement

    Figure 6.1

    Figure 6.3

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    : Angle unitaire de flexion [rad/mm].

    3-Relation entre contrainte et

    Le vecteur contrainte dans la section droite s'crit

    Le moment rsultant du torseur de cohsion

    zzyyMG rrr += ; Il en rsulte.

    Or EyEx ==

    Dfinition : moment quadratique d'une section.

    Le moment quadratique d'une section par

    rapport un axe contenu dans son plan est:

    =SOZ

    dSyI 2

    Ioz : Moment quadratique polaire de S par

    rapport l'axe (0, z) [mm4]

    y : distance du point M l'axe (0, z) [mm]

    =SOZ

    dSyI 2 et =SOYzI

    Le moment quadratique polaire de

    =SO

    dSI 2

    Comme 222 zy += alors:

    Moments quadratiques des sections usuelles

    A.U : 2006

    Rsistance des matriaux 50 flambement

    : Angle unitaire de flexion [rad/mm]. ; x

    =

    Relation entre contrainte et moment de flexion

    Le vecteur contrainte dans la section droite s'crit ( )xMC rr ,

    Le moment rsultant du torseur de cohsion == Sfzfz GzMMrr

    Il en rsulte. dSyEdSyEM SSfz == 22

    yx

    Donc dSyyM S

    xfz = 2

    : moment quadratique d'une section. Le moment quadratique d'une section par

    rapport un axe contenu dans son plan est:

    : Moment quadratique polaire de S par

    rapport l'axe (0, z) [mm4]

    distance du point M l'axe (0, z) [mm]

    dSz2

    Le moment quadratique polaire de S par rapport l'axe (0, x) est

    alors: ( )

    OZOYSOIIdSzyI +=+= 22

    Moments quadratiques des sections usuelles

    A.U : 2006-2007

    flambement

    moment de flexion : xyExx rr ==

    ( )xMCMG rrr ,^

    Figure 6.4

    S par rapport l'axe (0, x) est

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    Finalement yMx

    fz=

    Les contraintes normales se dveloppent dans les fibres les

    de la fibre neutre. : maxx

    Pour une section droite donne, la quantit

    rsistance de la section par rapport l'axe (0, z) [mm3]. Ce module est donn

    sur les catalogues des fournisse

    La relation la plus utilise est, donc:

    4- Condition de rsistance la flexion

    La contrainte x doit rester infrieure la contrainte pratique

    l'extension Rpe telle que Rpe=Re/S

    La condition de rsistance s'crit, donc

    5- Concentration de contrainte

    Tout changement brusque de section (rainure de clavette, gorge,

    paulement...) entrane une concentration de contrainte au niveau de la section et

    la condition de rsistance

    Un exemple est illustr sur la figure 6.5 pour le cas d'un arbre avec gorge.

    La condition de rsistance s'crit dans ce cas

    A.U : 2006

    Rsistance des matriaux 51 flambement

    yIMIGZ

    fzxGZ

    x =

    Les contraintes normales se dveloppent dans les fibres les

    maxyIMGZ

    fz=

    Pour une section droite donne, la quantit maxy

    IW GZZ = s'appelle module de

    rsistance de la section par rapport l'axe (0, z) [mm3]. Ce module est donn

    sur les catalogues des fournisseurs.

    La relation la plus utilise est, donc: Z

    fzx W

    M=max

    Condition de rsistance la flexion :

    doit rester infrieure la contrainte pratique

    l'extension Rpe telle que Rpe=Re/S

    rsistance s'crit, donc : IMRpeGZ

    fzx

    max

    Concentration de contrainte :

    Tout changement brusque de section (rainure de clavette, gorge,

    paulement...) entrane une concentration de contrainte au niveau de la section et

    vue ci dessus est modifie.

    Un exemple est illustr sur la figure 6.5 pour le cas d'un arbre avec gorge.

    La condition de rsistance s'crit dans ce cas : Rpeeffex max

    Figure 6.5

    A.U : 2006-2007

    flambement

    Les contraintes normales se dveloppent dans les fibres les plus loignes

    s'appelle module de

    rsistance de la section par rapport l'axe (0, z) [mm3]. Ce module est donn

    doit rester infrieure la contrainte pratique

    Rpey max

    Tout changement brusque de section (rainure de clavette, gorge,

    paulement...) entrane une concentration de contrainte au niveau de la section et

    Un exemple est illustr sur la figure 6.5 pour le cas d'un arbre avec gorge.

    Rpe

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    6- Dformation en flexion

    6-1 Dforme :

    On appelle dforme,

    la poutre aprs dformation. (Figure 6.6)

    L'quation de la dforme est:

    y est la flche au point d'abscisse x.

    Les drives premire et seconde sont notes y' et y".

    6-2 Relation entre flche et moment flchissant

    On peut calculer la flche partir de l'quation de la dform

    par double intgration de l'quation du moment flchissant.

    7- Condition de rigidit en flexion

    On calcule la flche maximale et on vrifie ensuite que cette flche reste

    infrieure une valeur limite f

    8- Thorme de superposition des dformations

    Thorme

    Pour une poutre sollicite dans son domaine lastique, la dformation due

    un systme de charges est gale la somme des dformations dues

    l'application successive des charges constituant le systme de chargement

    appliqu initialement.

    Remarque :

    Ce principe permet de dcomposer un systme complexe de n forces, en n

    systmes simples, avec une force applique. On trouve ensuite chaque valeur d

    flche et on fait la somme algbrique pour retrouver la flche du systme initial.

    A.U : 2006

    Rsistance des matriaux 52 flambement

    Dformation en flexion :

    On appelle dforme, la courbe de la ligne moyenne de

    la poutre aprs dformation. (Figure 6.6)

    L'quation de la dforme est: )(xfy =

    y est la flche au point d'abscisse x.

    Les drives premire et seconde sont notes y' et y".

    2 Relation entre flche et moment flchissant

    On peut calculer la flche partir de l'quation de la dform

    par double intgration de l'quation du moment flchissant. GZEI

    Condition de rigidit en flexion

    On calcule la flche maximale et on vrifie ensuite que cette flche reste

    rieure une valeur limite flim : limmax fy

    Thorme de superposition des dformations

    Pour une poutre sollicite dans son domaine lastique, la dformation due

    un systme de charges est gale la somme des dformations dues

    l'application successive des charges constituant le systme de chargement

    Ce principe permet de dcomposer un systme complexe de n forces, en n

    systmes simples, avec une force applique. On trouve ensuite chaque valeur d

    flche et on fait la somme algbrique pour retrouver la flche du systme initial.

    A.U : 2006-2007

    flambement

    Figure 6.6

    On peut calculer la flche partir de l'quation de la dforme dterminer ( )

    fzMxy ="

    On calcule la flche maximale et on vrifie ensuite que cette flche reste

    Thorme de superposition des dformations

    Pour une poutre sollicite dans son domaine lastique, la dformation due

    un systme de charges est gale la somme des dformations dues

    l'application successive des charges constituant le systme de chargement

    Ce principe permet de dcomposer un systme complexe de n forces, en n

    systmes simples, avec une force applique. On trouve ensuite chaque valeur de

    flche et on fait la somme algbrique pour retrouver la flche du systme initial.

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    EXERCICE 1 Poutre en IPNUne poutre 1, encastre dans 2, y est

    constitue par un IPN de longueur 1= 1.5 m. Elle supporte une charge uniforrpartie de coefficient rsistance pratique 8 est Rpe 100 Mpa et son module d'lasticit longitudinale est E = 200 000 MPa

    Questions 1) Dterminer l'action de 2 sur 12) Dterminer le torseur de cohsion le long de AB3) Tracer les diagrammes des ef

    flchissant. 4) Dterminer la hauteur minimale de 5) La flche maximale est fixe EXERCICE 2 La figure ci contre reprsente le dessin

    d'une machine usiner les portes cylindriques de vilebrequins par arasage.

    Pour une premire approche du problme, on assimile les liaisons vilebrequinsitues aux points de rfrence, des appuis simples. On ne considre que l'influence de l'effort de pntration.

    On se limite une tude qcela on remplace le vilebrequin par une barre cylindrique de moment quadratique en flexion I

    On note: L: distance entre les appuis.E: module de YOUNG du matriau.Fp: l'action de pntration

    vilebrequin. Questions : 1) Dterminer les actions aux appuis.2) Dterminer le torseur de3) Dterminer dans ces conditions la

    de l'effort Fp. 4) Prcisez l'cart maxi existant

    souhait pour le cylindre. Application numrique: Fp=

    A.U : 2006

    Rsistance des matriaux 53 flambement

    Poutre en IPN Une poutre 1, encastre dans 2, y est

    constitue par un IPN de longueur 1= 1.5 m. Elle supporte une charge uniformment

    P=1800 N/m. Sa rsistance pratique 8 est Rpe 100 Mpa et son module d'lasticit longitudinale est E =

    1) Dterminer l'action de 2 sur 1. 2) Dterminer le torseur de cohsion le long de AB. 3) Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments

    ) Dterminer la hauteur minimale de lIPN. 5) La flche maximale est fixe L/500, vrifier l'IPN choisi

    La figure ci contre reprsente le dessin d'une machine usiner les portes

    de vilebrequins par arasage. approche du problme,

    assimile les liaisons vilebrequin-machine, situes aux points de rfrence, des appuis simples. On ne considre que l'influence de

    On se limite une tude qualitative, pour le vilebrequin par une barre ent quadratique en flexion IGz.

    entre les appuis. odule de YOUNG du matriau.

    n de pntration de l'outil sur le

    erminer les actions aux appuis. terminer le torseur de cohsion le long de la poutre.

    terminer dans ces conditions la flche au droit du point d'application

    4) Prcisez l'cart maxi existant entre la cote fabrique et t

    Application numrique: Fp=2 103 N ; E=210 000 MPa ; L=500 mm

    A.U : 2006-2007

    flambement

    forts tranchants et des moments

    00, vrifier l'IPN choisi.

    roit du point d'application

    entre la cote fabrique et te diamtre

    500 mm ; =40 mm.

  • SET MAHDIA A.U : 2006-2007

    Rsistance des matriaux 54 flambement

    Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre 7777

    SOLLICITATIONS COMPOSES

    Objectifs :

    Dterminer la rpartition des contraintes dans la section d'une poutre soumise une sollicitation compose.

    Dterminer la condition de rsistance d'une poutre soumise une sollicitation compose.

    Dimensionner une poutre soumise une sollicitation compose.

    Prrequis :

    Sollicitations simples.

    Elments de contenu :

    1- Flexion&torsion 2- Traction&torsion.

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    SOLLICITATION

    1-Flexion_torsion

    1-1 Dfnition :

    Un arbre est soumis une sollicitation

    de flexion_torsion si le torseur associ

    aux efforts de cohsion peut se rduire en

    G, barycentre de la section droite S,

    moment de torsion et un moment de

    flexion (figure7.1).

    { }Gtfz

    Gcoh MM

    += 0 rr

    v

    1-2-Moment idal de fexion Les contraintes normales

    majoration de chacune delle. On calcule la contrainte normale partir du

    moment idal de flexion dfini par la formule suivante

    21

    211 MfMfMf i +

    =

    Mfi : Moment idal de flexion [N.mm] =Rpg/Rpe ; Pour les aciers

    A.U : 2006

    Rsistance des matriaux 55 flambement

    SOLLICITATIONS COMPOSES

    Flexion_torsion :

    Un arbre est soumis une sollicitation

    de flexion_torsion si le torseur associ

    efforts de cohsion peut se rduire en

    G, barycentre de la section droite S, un

    de torsion et un moment de

    Figure 7

    Gfz

    t

    M

    M

    = 0

    000

    : Les contraintes normales et tangentielles agissent simultanment et il y a

    majoration de chacune delle. On calcule la contrainte normale partir du

    moment idal de flexion dfini par la formule suivante

    22 Mt+

    : Moment idal de flexion [N.mm]

    ; Pour les aciers =0.5, moment idal de flexion Mf i

    A.U : 2006-2007

    flambement

    Figure 7.1

    et tangentielles agissent simultanment et il y a

    majoration de chacune delle. On calcule la contrainte normale partir du

    moment idal de flexion dfini par la formule suivante :

    22 MtMf +=

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    1-3 Condition de rsistance :

    La condition de rsistance dun arbre sollicit la flexion_torsion scrit

    RpeM o M est dtermine partir du moment idal de flexion

    1-4-Dformation :

    Pour le calcul des flches verticales, partir

    de la sollicitation de flexion suppose seule.

    Vrifier ensuite que cette flche est acceptable. ( )

    limmax fy

    Pour le calcul des angles de torsion, partir

    de la sollicitation de torsion suppose seule.

    Vrifier ensuite que cet angle est acceptable.( )

    limmax

    2- Traction_torsion

    2-1 Dfnition

    Un solide est soumis une

    sollicitation de traction_torsion si le

    torseur associ aux efforts de cohsion

    peut se rduire en G, barycentre de la

    section droite S, un moment de torsion

    et un effort normal (figure7.2).

    { }Gt

    Gcoh

    MN

    MN

    =

    =

    00

    00r

    v

    A.U : 2006

    Rsistance des matriaux 56 flambement

    :

    La condition de rsistance dun arbre sollicit la flexion_torsion scrit

    est dtermine partir du moment idal de flexion

    Pour le calcul des flches verticales, partir

    de la sollicitation de flexion suppose seule.

    Vrifier ensuite que cette flche est acceptable.

    Pour le calcul des angles de torsion, partir

    de la sollicitation de torsion suppose seule.

    Vrifier ensuite que cet angle est acceptable.

    Figure 7

    Traction_torsion

    Un solide est soumis une

    sollicitation de traction_torsion si le

    efforts de cohsion

    peut se rduire en G, barycentre de la

    un moment de torsion

    effort normal (figure7.2). Figure 7.3

    G

    tM

    00

    A.U : 2006-2007

    flambement

    La condition de rsistance dun arbre sollicit la flexion_torsion scrit :

    est dtermine partir du moment idal de flexion

    Figure 7.2

    Figure 7.3

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    2-2 Calcul des contraintes :

    Toute fibre supporte deux contraintes de nature diffrente, une contrainte

    normale et une contrainte tangentielle. On dfini la contrainte idale telle que

    22 4 +i , Avec SN=

    2-3 Condition de rsistance :

    Ma condition de rsistance pour ce type de rsistance scrit

    Rpe

    + 22 4

    Remarque : Ce calcul est aussi valable pour une sollicitation de traction

    cisaillement. Dans ce cas

    EXERCICE DAPPLICATI

    A.U : 2006

    Rsistance des matriaux 57 flambement

    Toute fibre supporte deux contraintes de nature diffrente, une contrainte

    normale et une contrainte tangentielle. On dfini la contrainte idale telle que

    SN

    et RIMt

    0

    =

    :

    Ma condition de rsistance pour ce type de rsistance scrit

    Ce calcul est aussi valable pour une sollicitation de traction

    ST=

    EXERCICE DAPPLICATION :

    A.U : 2006-2007

    flambement

    Toute fibre supporte deux contraintes de nature diffrente, une contrainte

    normale et une contrainte tangentielle. On dfini la contrainte idale telle que :

    Ma condition de rsistance pour ce type de rsistance scrit

    Ce calcul est aussi valable pour une sollicitation de traction

  • SET MAHDIA A.U : 2006-2007

    Rsistance des matriaux 58 flambement

    Chapitre 8Chapitre 8Chapitre 8Chapitre 8

    LE FLAMBEMENT

    Objectifs :

    Dimensionner une poutre sollicite au fambement.

    Prrequis :

    La fexion simple.

    Elments de contenu :

    1- Etude du fambement. 2- Elancement. 3- Charge critique. 4- Contrainte critique. 5- Condition de rsistance.

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    1- Etude du flambement thori

    Considrons une poutre de longueur

    et B . deux glisseurs (Liaisons pivot d'axes (A,

    opposs, qui augmentent progressivement.

    On remarque que si :

    Si F< Fc : La poutre reste

    sensiblement rectiligne, elle se :

    raccourcit et peut tre calcule

    en compression.

    Si F= F c : la poutre flchit et

    prend une position d'quilibre

    lastique.

    Si F> F c : instabilit. La poutre

    flchit brusquement jusqu' la rupture. C'est du flambage.

    Fc est la charge critique d'Euler.

    La flexion se produit selon la direction perpendiculaire l'axe de la section

    (S) qui donne le moment quadratique le plus faible.

    2- Elancement

    La compression est remplace par du flambage si la poutre est longue et ses

    dimensions transversales sont faibles. Cette p

    L=

    : lancement d'une poutre (sans unit)

    L: Longueur libre de flambage [mm]

    A.U : 2006

    Rsistance des matriaux 59 flambement

    LE FLAMBEMENT

    Etude du flambement thorie d'EULER

    ons une poutre de longueur importante l et rectiligne soumise en A

    deux glisseurs (Liaisons pivot d'axes (A, z) et (B, z))

    opposs, qui augmentent progressivement.

    : La poutre reste

    sensiblement rectiligne, elle se :

    raccourcit et peut tre calcule

    : la poutre flchit et

    prend une position d'quilibre

    : instabilit. La poutre

    brusquement jusqu' la rupture. C'est du flambage.

    d'Euler.

    La flexion se produit selon la direction perpendiculaire l'axe de la section

    ent quadratique le plus faible.

    La compression est remplace par du flambage si la poutre est longue et ses

    mensions transversales sont faibles. Cette proportion est caractrise par:

    : lancement d'une poutre (sans unit)

    ongueur libre de flambage [mm]

    A.U : 2006-2007

    flambement

    importante l et rectiligne soumise en A

    z)), directement

    brusquement jusqu' la rupture. C'est du flambage.

    La flexion se produit selon la direction perpendiculaire l'axe de la section

    La compression est remplace par du flambage si la poutre est longue et ses

    roportion est caractrise par:

  • SET MAHDIA

    Rsistance des matriaux

    : Rayon de giration de l section [mm]

    IGZ : moment quadratique minimal de la section suivant laxe principale

    perpendiculaire la dformation [mm

    3-Charge critique :

    En cas de flambage, la charge critique dEuler F

    E : Module d'Young du matriau [MPa].

    IGZ : Moment quadratique de la section

    [mm4].

    L: Longueur libre de flambage de la

    poutre [mm].

    REMARQUE:

    l est la longueur de la poutre, la longueur

    libre de flambage L, est fonction du type

    d'appui. Elle est donne par le tableau

    suivant.

    5- Contrainte critique

    En crivant que 2 =

    En reportant cette valeur dans

    lexpression de Fc :

    FC =

    La valeur de la contrainte critique

    A.U : 2006

    Rsistance des matriaux