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resistance des materiaux
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Dpartement Maintenance Industrielle
SUPPORT DE COURS EN
RESISTANCE DES MATERIAUX
SOMMAIRE
Chapitre 1Chapitre 1Chapitre 1Chapitre 1 :::: INTRODUCTION A LA RSISTANCE DES MATRIAUX 1- But de la RDM. 2- Principe du calcul de RDM. 3- Hypothses gnrales de la RDM. 4- Efforts intrieurs (torseur de cohsion). 5- Composantes du torseur de cohsion. 6- Vecteur contrainte en un point. 7- Sollicitations simples et composes
Chapitre 2Chapitre 2Chapitre 2Chapitre 2 :::: LA TRACTION SIMPLE 1- Dfnition. 2- Essai de traction. 3- Etude des dformations. 4- Etude des contraintes. 5- Relation Contrainte - Dformation. 6- Caractristiques mcaniques dun matriau. 7- Condition de rsistance en traction. 8- Condition de rigidit en traction. 9- Concentration de contrainte.
Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre 3333 :::: LA COMPRESSION SIMPLE 1- Dfnition. 2- Etude des contraintes. 3- Etude des dformations. 4- Condition de rsistance en compression.
Chapitre 4Chapitre 4Chapitre 4Chapitre 4 : : : : LE CISAILLEMENT SIMPLE 1- Dfnition. 2- Essai de cisaillement. 3- Etude des dformations. 4- Etudes des contraintes. 5- Relation Contrainte Dformation. 6- Condition de rsistance au cisaillement
Chapitre 5Chapitre 5Chapitre 5Chapitre 5 : LA TORSION SIMPLE 1- Dfnition. 2- Essai de torsion. 3- Relation Contrainte Dformation. 4- Equation de dformation. 5- Relation Contrainte -moment de torsion. 6- Condition de rsistance la torsion. 7- Condition de rigidit. 8- Concentration de contrainte.
Chapitre 6Chapitre 6Chapitre 6Chapitre 6 : LA FLEXION SIMPLE 1- Dfnition. 2- Etude des contraintes. 3- Relation Contrainte - moment de fexion. 4- Condition de rsistance la fexion. 5- Concentration de contrainte. 6- Dformation en fexion. 7- Condition de rigidit en fexion. 8- Thorme de superposition des dformations.
Chapitre 7Chapitre 7Chapitre 7Chapitre 7 : SOLLICITATIONS COMPOSES 1- Flexion&torsion 2- Traction&torsion.
Chapitre 8Chapitre 8Chapitre 8Chapitre 8 : LE FLAMBEMENT 1- Etude du fambement. 2- Elancement. 3- Charge critique. 4- Contrainte critique. 5- Condition de rsistance.
BIBIOGRAPHIE ANNEXE 1 : Copie remettre aux tudiants. ANNEXE 2 : Transparents pour rtroprojecteur.
Rsistance des matriaux 0 Introduction la RDM
Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre 1111
INTRODUCTION A LA RSISTANCE DES MATRIAUX
Objectifs :
Comprendre les notions de base de la RDM.
Prrequis :
Modlisation des actions mcaniques. Le principe fondamental de la statique.
Elments de contenu :
1- But de la RDM. 2- Principe du calcul de RDM. 3- Hypothses gnrales de la RDM. 4- Efforts intrieurs (torse ur de cohsion). 5- Composantes du torseur de cohsion. 6- Vecteur contrainte en un point. 7- Sollicitations simples et composes
Parmi les objectifs viss par l'tude mcanique des systmes matriels est le dimensionnement des diffrents solides constituant le systme.
La premire modlisation des solides, en solides globalement indformables, permet, en appliquant le principe fondamental de la statique ou de la dynamique, de dterminer les actions appliques ces solides.
Une deuxime modlisation des solides, en poutres droites permet de prvoir leur comportement sous charge. (Dformations, rsistance...) et cela grce aux diffrentes lois de la rsistance des matriaux.
La rsolution des problmes poss par la rsistance des matriaux fait appel de nombreuses hypothses, ncessaires pour obtenir rapidement des rsultats exploitables.
Rsistance des matriaux
RSISTANCE DES MATR
1-But de la rsistance des matriaux
La rsistance des matriaux est l'tude de la rdformation des solides. Elle permet de dfinir les formes, les dimensions et les matriaux des pices mcaniques de faon matriser leur rsistance, leur dformation tout en optimisant leur cot.
Exemples:
Un pont est vrifi en rsi
- Assurer sa rsistance sous son propr
- Assurer sa rsistance en cas de forte tempte.
Une bouteille est vrifie en
- Assurer sa rsistance lorsqu'elle est pleine
- Assurer une rsistance minimum en cas de chute
- Minimiser l'paisseur de la bouteille pour faimatire premire.
2- Principe du calcule de RDM
Pour raliser un calcul de rsistance des matriaux, nous avons connatre les actions mcaniques exerces sur le mdtermines dans l'tude de statique ou deL'tude de rsistance des matriaux va permettre de dfinir les sollicitations et les contraintes qui en rsultent.
iaux 1 Introduction la RDM
INTRODUCTION A LA
RSISTANCE DES MATRIAUX
But de la rsistance des matriaux
La rsistance des matriaux est l'tude de la rsistance edformation des solides. Elle permet de dfinir les formes, les dimensions et les matriaux des pices mcaniques de faon matriser leur rsistance, leur dformation tout en optimisant leur cot.
Un pont est vrifi en rsistance des matriaux pour:
ssurer sa rsistance sous son propre poids et celui des vhicules
stance en cas de forte tempte.
Une bouteille est vrifie en rsistance des matriaux pour:
sistance lorsqu'elle est pleine ;
istance minimum en cas de chute ;
inimiser l'paisseur de la bouteille pour faire des conomies sur la
Principe du calcule de RDM :
Figure 1.1
Pour raliser un calcul de rsistance des matriaux, nous avons connatre les actions mcaniques exerces sur le mcanisme (ces actions sont
s dans l'tude de statique ou de dynamique) et les matriaux utiliss.L'tude de rsistance des matriaux va permettre de dfinir les sollicitations et
qui en rsultent.
Introduction la RDM
sistance et de la dformation des solides. Elle permet de dfinir les formes, les dimensions et les matriaux des pices mcaniques de faon matriser leur rsistance, leur
e poids et celui des vhicules ;
rsistance des matriaux pour:
re des conomies sur la
Pour raliser un calcul de rsistance des matriaux, nous avons besoin de (ces actions sont
que) et les matriaux utiliss. L'tude de rsistance des matriaux va permettre de dfinir les sollicitations et
Rsistance des matriaux 2 Introduction la RDM
3- Hypothses gnrales de la RDM :
Pour faire une tude de rsistance des matriaux, nous avons besoin de faire des hypothses simplificatrices. Une fois que ces hypothses sont dfinies, nous pouvons nous lancer dans l'tude.
3-1 Hypothses sur le matriau : Le matriau est suppos continu (ni fissures ni cavits), homogne (tous les lments du matriau ont une structure identique) et isotrope (en tout point et dans toutes les directions, le matriau possde les mmes caractristiques mcaniques).
3-2 Hypothses sur la gomtrie des solides : La RDM tudie uniquement des solides en forme de poutres (solide idal) prsentant :
- des dimensions longitudinales importantes par rapport aux dimension: transversales.
- des sections droites constantes ou variables lentement en dimension ou en forme.
Une poutre est engendre par la translation d'une section droite et plane S dont le barycentre G dcrit une ligne Lm (appele ligne moyenne) droite ou grand rayon de courbure. La section droite S reste toujours perpendiculaire la ligne moyenne C. (Figure 1.2).
Figure 1.2
1-3 Hypothses sur les dformations (Hypothse de Navier-Bernoulli) :
Les sections planes et droites (normales la ligne moyenne) avant dformation restent planes et droites aprs dformation.
Rsistance des matriaux
4-Efforts intrieurs
(Torseur de cohsion)
Soit une poutre E [quilibre sous l'effet d'actions mcaniques extrieures. Pour meen vidence les efforts tramatire au niveau d'une sectnous effectuons une cimaginaire dans le plan P contenant S. Il la spare en deux tronons E(Partie gauche) et E 2. (Partie droite)(Figure 1.3).
On isole le tronon El
- Les actions mcaniques que .le tronon Etravers la section droite S sont des actions mcaniques intrieures la poutre E. Nous en ignorons priori la nature, cependant la liaison entre Emodlise par une liaison complte. On peut donc modliser l'action mcanique Esur E l par un torseur appel torde rduction en G seront R(x) et M
{E2/El} = {coh} = ((
MXR
Grr
Lquilibre du tronon 1 se traduit
par :
{ } { } {} {cohGcohGEE 1/
0 =+ r
Cette relation permet de calculer les lments de rduction du torseur de cohsion partir des actionstatique).
Remarque : L'quilibre
iaux 3 Introduction la RDM
Efforts intrieurs
(Torseur de cohsion) :
Soit une poutre E [AB], en s l'effet d'actions
extrieures. Pour mettre en vidence les efforts transmis par la
'une section S, nous effectuons une coupure imaginaire dans le plan P contenant S.
a spare en deux tronons El (Partie droite)
Figure 1.3
l
Les actions mcaniques que .le tronon E 2 exerce sur le tronon Etravers la section droite S sont des actions mcaniques intrieures la poutre E.
priori la nature, cependant la liaison entre Eison complte. On peut donc modliser l'action mcanique E
par un torseur appel torseur de cohsion et not { coh} dont les lments de rduction en G seront R(x) et MG(x).
)( )
XX
du tronon 1 se traduit
} { }GEEGcoh 1/
=
{ } { }GSdegauchesmcaniquesactionsGcoh
=
Figure 1.4
Cette relation permet de calculer les lments de rduction du torseur de actions mcaniques extrieures gauche (connues par la
L'quilibre de la poutre E se traduit par :
Introduction la RDM
Figure 1.3
exerce sur le tronon E l travers la section droite S sont des actions mcaniques intrieures la poutre E.
priori la nature, cependant la liaison entre E l et E2 peut tre ison complte. On peut donc modliser l'action mcanique E 2
} dont les lments
Figure 1.4
Cette relation permet de calculer les lments de rduction du torseur de s mcaniques extrieures gauche (connues par la
Rsistance des matriaux
{ } +GSdegauchesmcaniquesactions
{ } {+mcaniquesactionsGcoh
Cette relation permet de simplifier le calcul du torseur de cas o le torseur des actions mcaniques droite
Conclusion :
Chaque tronon est en quilibre et l'application du PFS, l'un ou l'autre, permet de faire apparatre et de calculer le torseur de cocoupure.
Remarque :
Le torseur de cohsion est modifi lorsque l'on dplace lla poutre :
- Si une discontinuit d'ordre gomtrique (changement de direction de la ligne moyenne) apparat (exemple: poutre en querre).
- Si une discontinuit lie une rsultanapparat.
5- Composantes du torseur de cohsion
Le torseur de cohsion ex
{ } ( )( ) y
Gcoh
TTN
XMXR
=
= rr
N : Effort normal sur (G, x) Ty : Effort tranchant sur (G, y)
iaux 4 Introduction la RDM
{ } {}0r=GSdedroitemcaniquesactions } {}0v=GSdedroite Alors{ }{
mcaniquesactionsGcoh =
Cette relation permet de simplifier le calcul du torseur de es actions mcaniques droite est plus simple d
Chaque tronon est en quilibre et l'application du PFS, l'un ou l'autre, permet de faire apparatre et de calculer le torseur de cohsion au
Le torseur de cohsion est modifi lorsque l'on dplace la coupure le long de
Si une discontinuit d'ordre gomtrique (changement de direction de la t (exemple: poutre en querre).
une discontinuit lie une rsultante nouvelle (ou un moment nouveau)
Composantes du torseur de cohsion :
Le torseur de cohsion exprim dans le repre R (G, x,y,z) s'crit
Gfzz
fyy
t
MTMTMN
Figure 1.5
Effort normal sur (G, x) Mt : Moment (couple) de torsion sur (G, x)
: Effort tranchant sur (G, y) Mfy : Moment de flexion sur (G, y)
Introduction la RDM
}GSdedroitemcaniques
Cette relation permet de simplifier le calcul du torseur de cohsion dans le est plus simple dterminer.
Chaque tronon est en quilibre et l'application du PFS, l'un ou l'autre, hsion au niveau de la
a coupure le long de
Si une discontinuit d'ordre gomtrique (changement de direction de la
te nouvelle (ou un moment nouveau)
prim dans le repre R (G, x,y,z) s'crit :
Moment (couple) de torsion sur (G, x)
Moment de flexion sur (G, y)
Rsistance des matriaux
Tz : Effort tranchant sur (G, z)
6- Vecteur contrainte en un point
6-1 Vecteur contrainte
Les actions mcaniques de cohsion sont les efforts que le tronon Eexerce sur le tronon E l travers la section droite (S) de la coupure fictive. Ces action mcaniques sont rparties en tout point M de S suivant une loi a priori inconnu. Notons df l'actionentourant le point. Soit nr
vers l'extrieur de la matire du tronon E
On appelle vecteur contrainte surface dS orient par sa normale extrieure
( )dSd
SFnMC Lim
S
rrr =
=
0
,
L'unit de la contrainte est le rapport d'une force par une (N/mm2) ou (MPa).
Les lments de rduction s'crivent donc, en contrainte :
( ) ( ) ==SS
nMCFdXR rrrr ,
6-2 Contrainte normal
On dfinit les contraintes normales et projection de ( )nMC r
r , sur la normalel'lment de surface dS. (Figure 1.4)
: Contrainte normale.
iaux 5 Introduction la RDM
Effort tranchant sur (G, z) Mfz : Moment de flexion sur (G, z)
Vecteur contrainte en un point :
trainte :
actions mcaniques de cohsion sont les efforts que le tronon E travers la section droite (S) de la coupure fictive. Ces
caniques sont rparties en tout point M de S suivant une loi a priori action mcanique au point M et dS l'lment de surface
la normale issue de M au plan de la section S, oriente 'extrieur de la matire du tronon E1. (Figure 1.6).
Figure 1.6
On appelle vecteur contrainte au point M relativement l'lment de S orient par sa normale extrieurenr , le vecteur not
dSFd r
(Figure 1.6).
L'unit de la contrainte est le rapport d'une force par une
Les lments de rduction s'crivent donc, en fonction du vecteur
)dS et ( ) ( )dSnMCMGXMS
G = rrrr ,^
2 Contrainte normale et contrainte tangentielle :
On dfinit les contraintes normales et tangentielles respectivement la sur la normale nr , et la projection de (MC
r ,ment de surface dS. (Figure 1.4) : ( ) tnnMC rrr
r +=, Contrainte normale.
Introduction la RDM
Moment de flexion sur (G, z)
actions mcaniques de cohsion sont les efforts que le tronon E 2 travers la section droite (S) de la coupure fictive. Ces
caniques sont rparties en tout point M de S suivant une loi a priori S l'lment de surface
la normale issue de M au plan de la section S, oriente
au point M relativement l'lment de ( )nMC rr , tel que :
L'unit de la contrainte est le rapport d'une force par une unit de surface
fonction du vecteur
tangentielles respectivement la )nr, sur le plan de
Rsistance des matriaux
: Contraintes tangentielle.nr : Vecteur normal llment de surface.tr : Vecteur tangent a l'lment de surface7- Sollicitations simples et composes
Une sollicitation est dite simple si le torseur de cohsion comprend une seule composante non nulle (Torsion par exemple) et une sollicitatiocompose si le torseur de cohsion comprend plusieurs sollicitations simples (Traction + flexion par exemple).
Le tableau 1.1 regroupe les sollicitati
Sollicitation Torseur de cohsion
Traction/Compression
Cisaillement (selon (G,y))
EXERCICE DAPLICATION
Soit le guidage en rotation de la roue de guidage dun systme automatis de transport de personnes (figure 1). On souhaite dterminer les efforts cohsion dans larbre 2 dont la gomtrie est reprsente en dtail dans (la figure 2).
iaux 6 Introduction la RDM
: Contraintes tangentielle.
Vecteur normal llment de surface. Vecteur tangent a l'lment de surface.
Sollicitations simples et composes :
sollicitation est dite simple si le torseur de cohsion comprend une seule composante non nulle (Torsion par exemple) et une sollicitatio
ur de cohsion comprend plusieurs sollicitations simples exemple).
Le tableau 1.1 regroupe les sollicitations simples les plus courantes.
Torseur de cohsion Sollicitation Torseur de cohsion
G
N
00000
Torsion
G
yT
00000
Flexion pur (selon
(G,Y))
Tableau 1.1
EXERCICE DAPLICATION :
Soit le guidage en rotation de la roue de guidage dun systme automatis de transport de personnes (figure 1). On souhaite dterminer les efforts cohsion dans larbre 2 dont la gomtrie est reprsente en dtail dans (la
Figure 1
Introduction la RDM
sollicitation est dite simple si le torseur de cohsion comprend une seule composante non nulle (Torsion par exemple) et une sollicitation est dite
ur de cohsion comprend plusieurs sollicitations simples
ons simples les plus courantes.
Torseur de cohsion
G
tM
0000
0
G
fyM
000
00
Soit le guidage en rotation de la roue de guidage dun systme automatis de transport de personnes (figure 1). On souhaite dterminer les efforts de cohsion dans larbre 2 dont la gomtrie est reprsente en dtail dans (la
Rsistance des matriaux 7 Introduction la RDM
Larbre 2 est en liaison encastrement avec le support de guidage 4. Une tude statique a permis de dterminer les actions mcaniques qui lui sont appliques :
Unit : les efforts en Newtons et les longueurs en millimtres
Actions des roulements R1 et R2 en P1 et P2 :
( ){ }
( )zyxP
R
rrr ,,1
21
04900023000
=
et ( ){ }
( )zyxP
R
rrr ,,2
22
0114006000
=
Action de lcrou 1 en T : ( ){ }
( )zyxT rrr ,,
21
000006730
=
Action de lentretoise 3 en F : ( ){ }
( )zyxF rrr ,,
23
00023006430
=
Action de support 4 en E : ( ){ }
( )zyxE rrr ,,
24
308206040650240290
0300
=
Figure 2
1-Dterminer dans ( )zyx rrr ,,= et en fonction de labscisse x, les variations
des composantes du torseur de cohsion le long de larbre.
2-Tracer les diagrammes correspondants.
Rsistance des matriaux 8 la traction simple
Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre 2222
LA TRACTION SIMPLE
Objectifs :
Dterminer la rpartition des contraintes dans la section d'une poutre sollicite la traction.
Dterminer les conditions de rsistance et de rigidit d'une poutre sollicite traction.
Dimensionner une poutre sollicite la traction.
Prrequis :
Hypothses de la RDM. Torseur de cohsion. Vecteur contrainte.
Elments de contenu :
1- Dfnition. 2- Essai de traction. 3- Etude des dformations. 4- Etude des contraintes. 5- Relation Contrainte - Dformation. 6- Caractristiques mcaniques dun matriau. 7- Condition de rsistance en traction. 8- Condition de rigidit en traction. 9- Concentration de contrainte.
LA TRACTION SIMPLE
Rsistance des matriaux
1-Dfinition :
Une poutre est sollicite lextension
forces directement opposes qui tendent lallonger ou si le torseur
peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, une r
par la normale cette section. (Figure 2.1)
{ }G
Gcoh
NN
=
=
000
000
r
2-Essai de traction
2-1 Principe :
Lessai de traction est
mcanique le plus classique. Il
consiste exercer sur une
prouvette normalise deux
efforts directement opposs
croissants qui vont la dformer
progressivement puis la rompre en
vue de dterminer quelques
caractristiques du matriau de
lprouvette. (Figure2.2)
2-2 Diagramme effort_dformation.
La dformation se passe en deux phases (figure2.3)
triaux 9 la traction simple
utre est sollicite lextension simple si elle est soumise deux
forces directement opposes qui tendent lallonger ou si le torseur
peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, une r
par la normale cette section. (Figure 2.1)
G
Figure 2.1
Essai de traction
Lessai de traction est lessai
mcanique le plus classique. Il
consiste exercer sur une
prouvette normalise deux
efforts directement opposs
croissants qui vont la dformer
progressivement puis la rompre en
vue de dterminer quelques
caractristiques du matriau de
Figure 2.
2 Diagramme effort_dformation.
La dformation se passe en deux phases (figure2.3) :
la traction simple
elle est soumise deux
forces directement opposes qui tendent lallonger ou si le torseur de cohsion
peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, une rsultante porte
Figure 2.1
Figure 2.2
Rsistance des matriaux
-Phase OA : phase lastique o
dformation est rversible et
lallongement est proportionnel
la charge. On dit que lprouvette
dans le domaine lastique.
Phase ABC : phase plastique ou la
dformation est permanente.
Lallongement nest plus
proportionnel la charge. On dit
que lprouvette est dans le
domaine plastique.
3- Etude des dformations
Allongement : 0LLL = Allongement relatif : Le
=
Dformation selon xv : x =
Dans le domaine lastique
( ) +1Ln si tend vers 0)
La dformation longitudinale
saccompagne dune dformation de
contraction transversale tel que
xy = et xz = (Figure 2.4)
: Coefficient de poisson et
pour les aciers.
4- Etudes des contraintes
Le vecteur Cr
se rduit une contrainte normale la section et repartie
uniformment sur toute la section
triaux 10 la traction simple
: phase lastique o la
dformation est rversible et
lallongement est proportionnel
la charge. On dit que lprouvette
: phase plastique ou la
dformation est permanente.
Lallongement nest plus
proportionnel la charge. On dit
lprouvette est dans le
Figure 2.3
Etude des dformations
0LL
; 100%0
=LLe
[ ] LnLLLnLnLLnLLnLL
dL LL
L
Lo
===== 0
00
Dans le domaine lastique0LLex
== ; (
tend vers 0) La dformation longitudinale
saccompagne dune dformation de
contraction transversale tel que :
(Figure 2.4)
: Coefficient de poisson et 3.0 . Figure 2.4
Etudes des contraintes :
se rduit une contrainte normale la section et repartie
uniformment sur toute la section : xCrr = (figure 2.5)
la traction simple
Figure 2.3
( )eLn +1
Figure 2.4
se rduit une contrainte normale la section et repartie
Rsistance des matriaux
Dautre part
xdSdN
dSNd === vrrr
dSFd
C
S ==== SSS
dSdSdNN
N en [N] ; S en [mm2] et
Pour une poutre, de section S,
sollicit la traction simple la valeur de la
contrainte normale est gale au rapport
de leffort normal N par la section S.
5- Relation contrainte_dformation
Dans la premire portion de la courbe (Zone OA), il y a
entre la charge et la dformation. La loi de Hooke traduit cette linarit E=
E est le module dlasticit longitudinale ou module dYoung exprim en [MPa],
(voir tableau N1).
FLLES
FE
==
K dfinit la rigidit en traction de la poutre exprime en [N/mm].
6- Caractristiques mcaniques dun matriau.
Charge la limite lastique Fe. Il lui correspond la valeur de
contrainte la limite lastique ou limite
Charge de rupture Fr
la rupture ou rsistance la rupture.
Module dYoung E, tel que.
triaux 11 la traction simple
Dautre part
dSdN=
SN=
en [MPa] Pour une poutre, de section S,
sollicit la traction simple la valeur de la
contrainte normale est gale au rapport
leffort normal N par la section S.
Figure 2.5
Relation contrainte_dformation :
Dans la premire portion de la courbe (Zone OA), il y a
entre la charge et la dformation. La loi de Hooke traduit cette linarit
E est le module dlasticit longitudinale ou module dYoung exprim en [MPa],
LKLLESF == avec L
ESK =
K dfinit la rigidit en traction de la poutre exprime en [N/mm].
Caractristiques mcaniques dun matriau.
Charge la limite lastique Fe. Il lui correspond la valeur de
contrainte la limite lastique ou limite lastique (voir tableau 2.2)
Charge de rupture Fr : Il lui correspond la valeur de SFrRr =
la rupture ou rsistance la rupture.
Module dYoung E, tel que. E=
la traction simple
Figure 2.5
Dans la premire portion de la courbe (Zone OA), il y a proportionnalit
entre la charge et la dformation. La loi de Hooke traduit cette linarit :
E est le module dlasticit longitudinale ou module dYoung exprim en [MPa],
K dfinit la rigidit en traction de la poutre exprime en [N/mm].
Charge la limite lastique Fe. Il lui correspond la valeur de0
Re SFe= :
lastique (voir tableau 2.2)
0SFr
: contrainte
Rsistance des matriaux
Allongement en % aprs rupture
poutre aprs rupture.
Striction : %0
=
SSuS
7- Condition de rsistance en traction
Pour des raisons de scurit la contrainte doit rester infrieure une valeur limite
appel contrainte pratique lextension, en
adoptant un coefficient s appel coefficient de
scurit tel que =Rpe
lapplication. (Tableau2.1) et(
Do la condition de rs
en traction : Rpe
8- Condition de rigidit
Pour des raisons fonctionnelles, il est parfois important de limiter
lallongement. Il doit rester infrieur une valeur
Do la condition de rigidit dune pice en traction
triaux 12 la traction simple
Allongement en % aprs rupture : 100%0
0
=L
LLuA Lu longueur de la
1000
0 S
Condition de rsistance en traction :
Pour des raisons de scurit la contrainte
doit rester infrieure une valeur limite
appel contrainte pratique lextension, en
adoptant un coefficient s appel coefficient de
s
Re, s dpend de
) et(Tableau2.2)
Do la condition de rsistance dune pice
Tableau2.1
Tableau2.2
Condition de rigidit :
Pour des raisons fonctionnelles, il est parfois important de limiter
lallongement. Il doit rester infrieur une valeur L lim Do la condition de rigidit dune pice en traction : limLES
FL
la traction simple
Lu longueur de la
Tableau2.1
Pour des raisons fonctionnelles, il est parfois important de limiter
Rsistance des matriaux
9- Concentration de
Si le solide prsente des variations brusques de section,
proche de ces variations, la rpartition des contraintes nest plus uniforme. Il y a
concentration de contrainte. La contrainte maximale est
Kt est appel coefficient de concentration de contrainte de traction.
nom : Contrainte normale nominale (
Kt est fonction de la forme de la pice (circulaire ou plane) et de la nature du
changement de section (paulem
Pour un filetage ISO triangulaire Kt=2.5 au fond des filets.
Kt est donn par des abaques. (figure 2.7)
triaux 13 la traction simple
Concentration de contraintes
prsente des variations brusques de section,
proche de ces variations, la rpartition des contraintes nest plus uniforme. Il y a
concentration de contrainte. La contrainte maximale est : =max
est appel coefficient de concentration de contrainte de traction.
trainte normale nominale ( SN
nom= )
Kt est fonction de la forme de la pice (circulaire ou plane) et de la nature du
changement de section (paulement, gorge, alsage, etc.) (figure 2.6).
Pour un filetage ISO triangulaire Kt=2.5 au fond des filets.
Kt est donn par des abaques. (figure 2.7)
Figure 2.6
la traction simple
prsente des variations brusques de section, dans une zone
proche de ces variations, la rpartition des contraintes nest plus uniforme. Il y a
nomtK =
est appel coefficient de concentration de contrainte de traction.
Kt est fonction de la forme de la pice (circulaire ou plane) et de la nature du
ent, gorge, alsage, etc.) (figure 2.6).
Rsistance des matriaux
EXERCICE N1 Vrification dun tirant
Un profil IPN, sert de chemin de
roulement pour un palan. Il est suspendu par 3
tirants de 10mm et de longueur 400mm. Ces
tirants sont en aciers de rsistance lastique
Re=240MPa, de module dYoung
Le coefficient de scurit est
triaux 14 la traction simple
Figure 2.7
Vrification dun tirant :
Un profil IPN, sert de chemin de
roulement pour un palan. Il est suspendu par 3
10mm et de longueur 400mm. Ces
tirants sont en aciers de rsistance lastique
Re=240MPa, de module dYoung :E=2.10 5 Mpa.
Le coefficient de scurit est : s=8 (appareil de levage). Le tirant le plus charg
la traction simple
reil de levage). Le tirant le plus charg
Rsistance des matriaux
supporte une charge verticale de 600N. Lallongement ne doit pas dpasser
0.5mm.
1 Vrifier que ce tirant peut supporter cette charge dans des conditions
satisfaisantes de scurit.
2 Vrifier que lallongement
EXERCICE N2 Vrification dune
biellette :
La biellette reprsente ci_contre
est soumise une traction (
NF 20000=r ).
1 Calculer les contraintes dans les
sections (S1) et (S2).
EXERCICE N3 Suite de lexercice du chapitre On se propose de soumettre larbre 2 une traction de
Sachant que cette dernire est en acier de rsistance lastique Re = 295 MPa et
de coefficient de scurit s = 3
-Calculer les contraintes dans les sections (S1)
Vrifier si cet arbre peut supporter cette charge dans les conditions
satisfaisantes de scurit.
triaux 15 la traction simple
supporte une charge verticale de 600N. Lallongement ne doit pas dpasser
1 Vrifier que ce tirant peut supporter cette charge dans des conditions
satisfaisantes de scurit.
2 Vrifier que lallongement reste acceptable.
Vrification dune
La biellette reprsente ci_contre
est soumise une traction (
1 Calculer les contraintes dans les
Suite de lexercice du chapitre 1. On se propose de soumettre larbre 2 une traction de
Sachant que cette dernire est en acier de rsistance lastique Re = 295 MPa et
de coefficient de scurit s = 3 :
Calculer les contraintes dans les sections (S1) et (S2).
Vrifier si cet arbre peut supporter cette charge dans les conditions
satisfaisantes de scurit.
Figure de larbre 2
la traction simple
supporte une charge verticale de 600N. Lallongement ne doit pas dpasser
1 Vrifier que ce tirant peut supporter cette charge dans des conditions
Fr = 150000 N.
Sachant que cette dernire est en acier de rsistance lastique Re = 295 MPa et
Vrifier si cet arbre peut supporter cette charge dans les conditions
SET MAHDIA A.U : 2006-2007
Rsistance des matriaux 19 la compression simple
Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre 3333
LA COMPRESSION SIMPLE
Objectifs :
Dterminer la rpartition des contraintes dans la section d'une poutre sollicite la traction.
Dterminer les conditions de rsistance et de rigidit d'une poutre sollicite traction.
Dimensionner une poutre sollicite la traction.
Prrequis :
Hypothses de la RDM. Torseur de cohsion. Vecteur contrainte.
Elments de contenu :
1- Dfnition. 2- Etude des contraintes. 3- Etude des dformations. 4- Condition de rsistance en compression.
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
1-Dfinition :
Une poutre est sollicite lextension
deux forces directement opposes qui tendent lallonger ou si le torseur
de cohsion peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, une
rsultante ngative porte par la normale cette section. (Figure 3.1)
{ }
000
0
=
=
N
NN
GGcoh
r
Hypothse :
Le solide est idal: matriau homogne, isotrope, poutre rectiligne et
de section constante, de forme voisine du carr (b
circulaires conviennent
parfaitement. La longueur L
doit tre comprise entre 3
et 8 fois la dimension
transversale la plus faible
pour viter le risque de
flambage. Les actions
extrieures dans les sections extrmes sont modlisables par deux
rsultantes A et B appliques aux barycentres de ces sections, diriges
selon la ligne moyenne,
A.U : 2006
Rsistance des matriaux 20 la compression simple
LA COMPRESSION SIMPLE
utre est sollicite lextension simple si elle est soumise
deux forces directement opposes qui tendent lallonger ou si le torseur
de cohsion peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, une
sultante ngative porte par la normale cette section. (Figure 3.1)
000
00
N
G
Figure 2.1
Le solide est idal: matriau homogne, isotrope, poutre rectiligne et
de section constante, de forme voisine du carr (b
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
2-Contraintes dans
Elles sont normales (
La contrainte M (MPa
N : effort normal (N),
S : section droite soumise la compression (mm
3-Dformation d'une poutre
Dans le domaine lastique, les contr
proportionnelles, Le raccourcissement ~t (mm) est
N : effort normal (N) ;
ta : longueur initiale de la poutre (mm
S : section droite soumise la compression (
E : module d'lasticit longitudinale (module d'Young)
A.U : 2006
Rsistance des matriaux 21 la compression simple
Contraintes dans une section droite :
Elles sont normales (S) et uniformment rparties dans cette dernire.
(MPa) a pour valeur : SN
M= avec ;0< MN
N : effort normal (N),
: section droite soumise la compression (mm2).
Figure 2.1
Dformation d'une poutre
Dans le domaine lastique, les contraintes et les dformations sont
proportionnelles, Le raccourcissement ~t (mm) est:
;
ta : longueur initiale de la poutre (mm).
: section droite soumise la compression (mm2),
E : module d'lasticit longitudinale (module d'Young) (MPa).
Figure 2.1
A.U : 2006-2007
la compression simple
) et uniformment rparties dans cette dernire.
0<
aintes et les dformations sont
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
4-Condition de rsistance
Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester
infrieure la rsistance pratique la compression Rpc. On dfinit Rpc
par le rapport suivant :
Rec : rsistan lastique la compression
S : coefficient de scurit (sans unit
La condition de rsistance est
Les aciers doux et mi
traction et en compression
Le bton et la fonte ont des
rsistances lastiques trs
diffrentes en
compression, ainsi que tous les
matriaux non homognes et non
isotropes.
Si le poids de la poutre verticale
n'est pas ngligeable (cbles
d'ascenseurs de grands
immeubles, piles de ponts,
chemines
d'usine.. .), la condition de
rsistanc est :
P : poids total de la poutre (N
Solides rels :
Ce sont des solides qui s'cartent des conditions idales
SECTIONS BRUSQUEMENT VARIABLES
A.U : 2006
Rsistance des matriaux 22 la compression simple
Condition de rsistance :
Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester
infrieure la rsistance pratique la compression Rpc. On dfinit Rpc
:
rsistan lastique la compression (MPa).
coefficient de scurit (sans unit).
La condition de rsistance est :
Les aciers doux et mi-durs ont la mme rsistance lastique Re en
traction et en compression.
Le bton et la fonte ont des
stances lastiques trs
rentes en traction et en
compression, ainsi que tous les
matriaux non homognes et non
Si le poids de la poutre verticale
n'est pas ngligeable (cbles
d'ascenseurs de grands
immeubles, piles de ponts,
d'usine.. .), la condition de
poids total de la poutre (N).
Ce sont des solides qui s'cartent des conditions idales
SECTIONS BRUSQUEMENT VARIABLES :
A.U : 2006-2007
la compression simple
Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester
infrieure la rsistance pratique la compression Rpc. On dfinit Rpc
durs ont la mme rsistance lastique Re en
Ce sont des solides qui s'cartent des conditions idales.
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
La section est de forme proche du carr ou du cercle, comme en
traction, dans les zones de changement de se
des contraintes n'est plus uniforme. Cette concentration de : contrainte
est peu dangereuse en compression; elle est, en gnral, nglige
SECTIONS TRS PLATES
Dans le cas d'une poutre plate (par exemple b = 10 a), si
on a : 30a < L < 80a.
Sous l'action de N,
flambage remplace la compression simple.
SOLIDES TRS MINCES
Si h devient trs petite, on n'obtient plus de dformation
significative. Tout se passe comme si on maintenait la pice latralement
par des parois solides. La sollicitation de compression est remplace par
du matage.
A.U : 2006
Rsistance des matriaux 23 la compression simple
La section est de forme proche du carr ou du cercle, comme en
traction, dans les zones de changement de section, la rpartition
des contraintes n'est plus uniforme. Cette concentration de : contrainte
est peu dangereuse en compression; elle est, en gnral, nglige
Figure 2.2
SECTIONS TRS PLATES :
Dans le cas d'une poutre plate (par exemple b = 10 a), si
Sous l'action de N, la poutre flchit selon RMS, la sollicitation de
remplace la compression simple.
Figure 2.3
SOLIDES TRS MINCES :
Si h devient trs petite, on n'obtient plus de dformation
out se passe comme si on maintenait la pice latralement
par des parois solides. La sollicitation de compression est remplace par
A.U : 2006-2007
la compression simple
La section est de forme proche du carr ou du cercle, comme en
ction, la rpartition
des contraintes n'est plus uniforme. Cette concentration de : contrainte
est peu dangereuse en compression; elle est, en gnral, nglige.
Dans le cas d'une poutre plate (par exemple b = 10 a), si 3b < L < 8b,
poutre flchit selon RMS, la sollicitation de
Si h devient trs petite, on n'obtient plus de dformation
out se passe comme si on maintenait la pice latralement
par des parois solides. La sollicitation de compression est remplace par
SET MAHDIA A.U : 2006-2007
Rsistance des matriaux 24 la compression simple
Figure 2.4
SET MAHDIA A.U : 2006-2007
Rsistance des matriaux 24 Cisaillement simple
Chapitre 4Chapitre 4Chapitre 4Chapitre 4
LE CISAILLEMENT SIMPLE
Objectifs
Dterminer la rpartition des contraintes dans la section dune poutre sollicite au cisaillement.
Dterminer la condition de rsistance dune poutre sollicite au cisaillement. Dimensionner une poutre sollicite au cisaillement.
Pr requis
Hypothses de la RDM. Torseur de cohsion. Vecteur contrainte.
Elments de contenu
1- Dfnition. 2- Essai de cisaillement. 3- Etude des dformations. 4- Etudes des contraintes. 5- Relation Contrainte Dformation. 6- Condition de rsistance au cisaillement.
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
1- Dfinition
Une poutre est sollicite au cisaillement simple lorsquelle est soumise
deux forces directement opposes, perpendiculaire la ligne moyenne, et qui
tendent la cisailler; ou lorsque le torseur de cohsion peut se rduir
barycentre de la section droite S, une rsultante contenue dans le plan de
cette section. (Figure 4.1)
{ }
G
yG
Gcoh TT
=
=
000
0
0
0
r
2- Essai de cisaillement.
2-1 Principe
Lessai de cisaillement consiste soumettre une prouvette de
rectangulaire deux charges et
dforme comme lindique la figure4.2, les encastrements
empchent la rotation des sections droites.
On augmente F et on relve la valeur du dplacement
A.U : 2006
Rsistance des matriaux 25 Cisaillement simple
LE CISAILLEMENT SIMPLE
Une poutre est sollicite au cisaillement simple lorsquelle est soumise
deux forces directement opposes, perpendiculaire la ligne moyenne, et qui
tendent la cisailler; ou lorsque le torseur de cohsion peut se rduir
barycentre de la section droite S, une rsultante contenue dans le plan de
cette section. (Figure 4.1)
Figure 4.1
Essai de cisaillement.
Lessai de cisaillement consiste soumettre une prouvette de
rectangulaire deux charges et Fr
et Fr distantes de x. Lprouvette se
dforme comme lindique la figure4.2, les encastrements en (A
empchent la rotation des sections droites.
F et on relve la valeur du dplacement v correspondant.
A.U : 2006-2007
Cisaillement simple
Une poutre est sollicite au cisaillement simple lorsquelle est soumise
deux forces directement opposes, perpendiculaire la ligne moyenne, et qui
tendent la cisailler; ou lorsque le torseur de cohsion peut se rduire en G,
barycentre de la section droite S, une rsultante contenue dans le plan de
Lessai de cisaillement consiste soumettre une prouvette de section
x. Lprouvette se
en (A 1, B 1) et (A 2, B 2)
v correspondant.
SET MAHDIA A.U : 2006-2007
Rsistance des matriaux 26 Cisaillement simple
Figure 4.2
2-2 Diagramme effort-dformation
La dformation seffectue en deux
phases (Figure 4.3)
- Zone OA : zone de dformations
lastiques : le glissement est
proportionnel la charge.
- Zone ABCD zone de dformations
permanentes (plastiques).
Figure 4.3
3- Etude des dformations
La section S cisaille se dplace dans son plan. Ce dplacement est un
glissement. Il est dfini par un angle de glissement . Cet angle de y etx tel
que tg = y/x.
Dans le domaine lastique, reste faible, on peut confondre et tg do
= y/x
4- Etudes des contraintes
Leffort tranchant Tr scrit T
r=Ty yr = F
r et le vecteur contrainte
( ) yxMC xy rrr =, Dautre part ( ) ydsdsxMCT S xyS
rrrr == ,
Il en rsulte dsT S xyy =
Pour lhypothse dune rpartition uniforme de contraintes xy, on aura xy = moy
sdsT moyS moyy == dou S
Fmoy
=
F en[N] ; S en [mm2]; moy en [MPa]
Pour une poutre, de section S, sollicit au cisaillement simple la valeur de la
contrainte tangentielle est gale au rapport de leffort F par la section S.
SET MAHDIA A.U : 2006-2007
Rsistance des matriaux 27 Cisaillement simple
5- Relation contrainte _Dformation
Dans la premire portion de la courbe (Zone OA), il y a proportionnalit
entre la charge et la dformation. La loi traduisant cette linarit est : Gmoy =
G est le module dlasticit transversale ou module de Coulomb exprim en en
[MPa].
Cette relation peut scrire encore : xyGS
F
=
6-Condition de rsistance au cisaillement
Pour une pice sollicite au cisaillement, la valeur de la contrainte
tangentielle moy ne doit pas dpasser la valeur de la contrainte maximale
admissible appele encore rsistance pratique au glissement R pg (Rpg=e/S). S est
le coefficient de scurit.
Do la condition de rsistance dune pice au cisaillement : =< Rpg
SET MAHDIA A.U : 2006-2007
Rsistance des matriaux 28 Cisaillement simple
EXERCICE 1 Accouplement
Pour protger la chane
cinmatique dune machine on
utilise au niveau de la liaison des
arbres (1) et (2) un dispositif de
scurit qui comprend un manchon
(3) et deux goupilles (4) et (5). Le
diamtre des arbres (1) et (2) est
de 20 mm. On fixe la valeur
maximale du moment du couple transmettre M 1-2 = 60 N.m. Les goupilles (4)
et (5) ont le mme diamtre d. Elles sont en acier A33 pour lequel Reg=150 MPa.
Questions
1) Dterminer leffort tranchant dans les sections des goupilles sollicites au
cisaillement.
2) Dterminer le diamtre d des goupilles. Le coefficient de scurit est s=3.
EXERCICE 2 Articulation en chape
La figure ci contre reprsente laxe
darticulation dun piston quipant un
compresseur. Le diamtre du piston est
D=56 mm et la pression maximale qui
sexerce sur le piston est P=7bars. Le
diamtre de laxe est d=17.5mm
(dtermin daprs la condition de non
matage). Il est construit en un matriau
de rsistance Reg 220Mpa. Le coefficient
de scurit est s=5.
Questions
SET MAHDIA A.U : 2006-2007
Rsistance des matriaux 29 Cisaillement simple
1) Dterminer laction exerce par le piston sur laxe et en dduire la nature de
la sollicitation.
2) Vrifier la rsistance de laxe.
3) Vue la faible contrainte moyenne sur la section on se propose dvider laxe.
Dterminer le diamtre intrieur de laxe.
EXERCICE 3 Calcul dune clavette
Un arbre transmet un
mouvement de rotation un
moyeu par lintermdiaire dune
clavette. Le diamtre d de
larbre est connu et les normes
donnent les dimensions D et E
de la section transversale de la
clavette. Il ne reste qu
chercher la longueur L de la clavette. Le couple maximal transmis par cette
liaison est C0.
Questions
1) Prouver, avec un simple schma, que la clavette est sollicite au cisaillement.
2) Dterminer la longueur L de la clavette si elle est construite dun matriau de
rsistance pratique au glissement Rpg.
EXERCICE 4 (Rsistance dun point de soudure)
Deux plaques, lies par N points de
soudure, sont soumises deux efforts.
Elles sont de matriau de rsistance
Rpg. Le diamtre dun point de soudure
est d. Dterminer le nombre de points ncessaires N.
SET MAHDIA A.U : 2006-2007
Rsistance des matriaux 30 Torsion simple
Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre 5555
LA TORSION SIMPLE
Objectifs :
Dterminer la rpartition des contraintes dans la section d'une poutre sollicite la torsion.
Dterminer la condition de rsistance d'une poutre sollicite la torsion. Dimensionner une poutre soumise sollicite la torsion.
Prrequis :
Hypothses de la RDM. Torseur de cohsion. Vecteur contrainte.
Elments de contenu :
1- Dfnition. 2- Essai de torsion. 3- Relation Contrainte Dformation. 4- Equation de dformation. 5- Relation Contrainte -moment de torsion. 6- Condition de rsistance la torsion. 7- Condition de rigidit. 8- Concentration de contrainte.
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
1-Dfinition :
Une poutre est sollicite la torsion simple si elle est soumise deux couple
de moments opposs qui tendent la tordre ou lorsque le torseur associ au
efforts de cohsion peut se rduire en G, barycentre de la section droite S,
moment port par la normale cette section. (
{ }t
GtGcoh
M
M
=
=
00
0000r
v
Au cours de ce cours on va traiter uniquement la torsion des poutres de
section circulaire.
2- Essai de torsion
L'essai de torsion est ralis sur une
soumise deux moments opposs. (Figure 5.2
Constatations
- La distance entre deux sections droites reste constante
- Les sections droites restent planes et normales la ligne
tournent autour de cette ligne.
- Le dplacement relatif de deux sections voisines est une rotation d'angle
d autour de la ligne moyenne
A.U : 2006
iaux 31
LA TORSION SIMPLE
poutre est sollicite la torsion simple si elle est soumise deux couple
de moments opposs qui tendent la tordre ou lorsque le torseur associ au
efforts de cohsion peut se rduire en G, barycentre de la section droite S,
moment port par la normale cette section. (Figure 5.1)
Figure 5.1
G
t
cours de ce cours on va traiter uniquement la torsion des poutres de
Essai de torsion :
L'essai de torsion est ralis sur une prouvette cylindrique de rvolution
soumise deux moments opposs. (Figure 5.2).
La distance entre deux sections droites reste constante.
Les sections droites restent planes et normales la ligne
ligne.
Le dplacement relatif de deux sections voisines est une rotation d'angle
autour de la ligne moyenne.
A.U : 2006-2007
Torsion simple
poutre est sollicite la torsion simple si elle est soumise deux couple
de moments opposs qui tendent la tordre ou lorsque le torseur associ aux
efforts de cohsion peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, un
cours de ce cours on va traiter uniquement la torsion des poutres de
prouvette cylindrique de rvolution
Les sections droites restent planes et normales la ligne moyenne mais
Le dplacement relatif de deux sections voisines est une rotation d'angle
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
La visualisation de la .courbe
- Une zone lastique o la dformation est proportionnelle au moment:
lMG1l=K
- Une zone de dformations plastiques. (Figure 5.3)
Remarque
L'angle de rotation .est proportionnel la distan
On pose =
; est l'angle de torsion unitaire exprim en [rad/mm
A.U : 2006
iaux 32
Figure 5.2
La visualisation de la .courbe MG1= f () permet de distinguer deux zon
Une zone lastique o la dformation est proportionnelle au moment:
Une zone de dformations plastiques. (Figure 5.3)
.est proportionnel la distance des sections:
est l'angle de torsion unitaire exprim en [rad/mm
Figure 5.3
A.U : 2006-2007
Torsion simple
) permet de distinguer deux zones :
Une zone lastique o la dformation est proportionnelle au moment:
ce des sections: ctel==
0.1
1
est l'angle de torsion unitaire exprim en [rad/mm].
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
3- Relation contraintes d
Soient deux sections droites trs voi
Elles tournent l'une par rapport l'autre de l'angle d
=
=
=rd
x
drdxMM'rdMM'
Au cours de la dformation chaque gnratrice tourne dans le plan tangent
d'un angle appel angle de glissement. L'angle de glissement
la contrainte tangentielle
Il en rsulte : La contrainte
section cest dire pour r = R ;
4- Equation de dformation
A.U : 2006
iaux 33
Relation contraintes dformation :
t deux sections droites trs voisines spares par une distance dx.
urnent l'une par rapport l'autre de l'angle d (Figure 5.4)
=r
Figure 5.4
Au cours de la dformation chaque gnratrice tourne dans le plan tangent
appel angle de glissement. L'angle de glissement est proportionnel
la contrainte tangentielle =G o G est le module de Coulomb.
La contrainte est maximale sur le contour extrieur de la
pour r = R ; max = G R
Equation de dformation :
A.U : 2006-2007
Torsion simple
sines spares par une distance dx.
Figure 5.4)
Au cours de la dformation chaque gnratrice tourne dans le plan tangent
est proportionnel
est maximale sur le contour extrieur de la
SET MAHDIA A.U : 2006-2007
Rsistance des matriaux 34 Torsion simple
Figure 5.5
En un point M de la section, la contrainte de torsion est (M) = G r
Le vecteur contrainte ( ) ( ) trGtxMC M rrrr ==,
Le moment de torsion est suivant l'axe (0, xr ), s'crit xMM tt rr = . D'autre
part ( ) ====
S StSStdSrGMxdSrGdStrGxrdSxMCMGM 221 ^,^ rrrr
rrr
Dfinition :
S
dSr2 est par dfinition le moment quadratique polaire de la surface S par
rapport son centre de gravit G. Il est not IG.
Un simple calcul peut dterminer IG pour les surfaces circulaires.
Pour une surface circulaire pleine de diamtre D : IG= II D4/32 Pour une surface circulaire creuse (annulaire) : IG= II (D4-d4)/32
La relation entre le moment et la dformation (quation de dformation)
est: Gt IGM =
Mt: [N mm]; [rad/mm]; G[Mpa] et IG: [mm4]
5- Relation contrainte -moment de torsion :
La contrainte en un point M vaut (M) = G r
Le moment de torsion est Gt IGM =
Il en dcoule ( ) rIMG
tM
= ou ( )
rIMG
tM
=
La contrainte maximale de torsion est obtenue pour r=R : RIMG
t=max
6- Condition de rsistance :
Pour des raisons de scurit la contrainte max doit rester infrieure la
valeur de la contrainte pratique au glissement Rpg, en adoptant un coefficient de
scurit s tel que Rpg = Re/s, o s dpend de l'application.
D'o la condition de rsistance d'une pice en torsion : Rpgmax
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
En d'autre terme : IMG
7- Condition de rigidit
Pour des arbres de grande longueur (arbre de forage des puits de ptrole,
arbres de navires...) on vite de trop grandes dformations
vibrations. Elle doit rester infrieure une valeur
rigidit d'une pice en en torsion
8- Concentration d
Tout changement brusque de section (rainure de clavette, gorge,
paulement) entrane une concentration de contrainte au niveau de la section et
la condition de rsistance vue ci dessus est modifie
Un exemple est illustr sur la figure 5.6
pour le cas d'une rainure de clavette
La condition de rsistance s'crit
Rpgeff
max
avec maxeff K =
maxeff : Contrainte effective maximale.
maxth : Contrainte sans concentration.
Exemple de calcule
Dterminer Kt pour une rainure de
clavette ayant un cong dans langle
intrieur r= 0.3 et pour arbre de
diamtre d=20 mm.
A.U : 2006
iaux 35
Rpg
RMG
t
Condition de rigidit :
our des arbres de grande longueur (arbre de forage des puits de ptrole,
..) on vite de trop grandes dformations pour diminuer les
Elle doit rester infrieure une valeur lim. D'o la condition de
rigidit d'une pice en en torsion : limG
t
GI
M
Concentration de contrainte :
Tout changement brusque de section (rainure de clavette, gorge,
) entrane une concentration de contrainte au niveau de la section et
la condition de rsistance vue ci dessus est modifie.
Un exemple est illustr sur la figure 5.6
pour le cas d'une rainure de clavette
La condition de rsistance s'crit :
maxthtK
Contrainte effective maximale.
ntrainte sans concentration.
Exemple de calcule :
Dterminer Kt pour une rainure de
clavette ayant un cong dans langle
intrieur r= 0.3 et pour arbre de
A.U : 2006-2007
Torsion simple
our des arbres de grande longueur (arbre de forage des puits de ptrole,
pour diminuer les
. D'o la condition de
Tout changement brusque de section (rainure de clavette, gorge,
) entrane une concentration de contrainte au niveau de la section et
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
A.U : 2006
iaux 36
A.U : 2006-2007
Torsion simple
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
VALUATION :
A.U : 2006
iaux 37
A.U : 2006-2007
Torsion simple
SET MAHDIA A.U : 2006-2007
Rsistance des matriaux 48 flambement
Chapitre 6Chapitre 6Chapitre 6Chapitre 6
LA FLEXION SIMPLE
Objectifs :
Dterminer la rpartition des contraintes dans la section d'une poutre sollicite la fexion.
Dterminer la condition de rsistance d'une poutre sollicite fexion. Dimensionner une poutre sollicite la fexion.
Prrequis :
Hypothses de la RDM. Torseur de cohsion. Vecteur contrainte.
Elments de contenu :
1- Dfnition. 2- Etude des contraintes. 3- Relation Contrainte - moment de fexion. 4- Condition de rsistance la fexion. 5- Concentration de contrainte. 6- Dformation en fexion. 7- Condition de rigidit en fexion. 8- Thorme de superposition des dformations.
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
1-Dfinition :
Une poutre est sollicite la flexion
simple si le torseur associ aux efforts de
cohsion peut se rduire en G, barycentre de
la section droite S, une rsultante
contenue dans le plan de la section et un
moment perpendiculaire cette dernire. Un
exemple de poutre sollicite
simple est illustr sur la figure 6.1
{ }y
GfzGcoh TM
T
=
=
0
0rr
2-Etude des contraintes
Lorsque la poutre flchit, (Figure 6.2) la
droite pivote d'un angle
-Les fibres moyennes ne changent pas de
longueur (La contrainte est donc nulle)
Figure 6.2
-Les autres fibres s'allongent ou se compriment.
(Figure 6.3). Les contraintes normales engendres sont
proportionnelles la distance qui les sparent du plan des
fibres moyennes, do : M
M : Contrainte normale de flexion en M [MPa]E : Module, dYoung [MPa]Y : Ordonne de M % la fibre
A.U : 2006
Rsistance des matriaux 49 flambement
LA FLEXION SIMPLE
poutre est sollicite la flexion
simple si le torseur associ aux efforts de
cohsion peut se rduire en G, barycentre de
la section droite S, une rsultante
contenue dans le plan de la section et un
moment perpendiculaire cette dernire. Un
e de poutre sollicite la flexion
sur la figure 6.1
Figure
GfzM
00
Etude des contraintes :
outre flchit, (Figure 6.2) la section et on constate que:
Les fibres moyennes ne changent pas de
longueur (La contrainte est donc nulle)
Les autres fibres s'allongent ou se compriment.
(Figure 6.3). Les contraintes normales engendres sont
ionnelles la distance qui les sparent du plan des
yEM =
Contrainte normale de flexion en M [MPa] : Module, dYoung [MPa] : Ordonne de M % la fibre neutre [mm].
A.U : 2006-2007
flambement
Figure 6.1
Figure 6.3
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
: Angle unitaire de flexion [rad/mm].
3-Relation entre contrainte et
Le vecteur contrainte dans la section droite s'crit
Le moment rsultant du torseur de cohsion
zzyyMG rrr += ; Il en rsulte.
Or EyEx ==
Dfinition : moment quadratique d'une section.
Le moment quadratique d'une section par
rapport un axe contenu dans son plan est:
=SOZ
dSyI 2
Ioz : Moment quadratique polaire de S par
rapport l'axe (0, z) [mm4]
y : distance du point M l'axe (0, z) [mm]
=SOZ
dSyI 2 et =SOYzI
Le moment quadratique polaire de
=SO
dSI 2
Comme 222 zy += alors:
Moments quadratiques des sections usuelles
A.U : 2006
Rsistance des matriaux 50 flambement
: Angle unitaire de flexion [rad/mm]. ; x
=
Relation entre contrainte et moment de flexion
Le vecteur contrainte dans la section droite s'crit ( )xMC rr ,
Le moment rsultant du torseur de cohsion == Sfzfz GzMMrr
Il en rsulte. dSyEdSyEM SSfz == 22
yx
Donc dSyyM S
xfz = 2
: moment quadratique d'une section. Le moment quadratique d'une section par
rapport un axe contenu dans son plan est:
: Moment quadratique polaire de S par
rapport l'axe (0, z) [mm4]
distance du point M l'axe (0, z) [mm]
dSz2
Le moment quadratique polaire de S par rapport l'axe (0, x) est
alors: ( )
OZOYSOIIdSzyI +=+= 22
Moments quadratiques des sections usuelles
A.U : 2006-2007
flambement
moment de flexion : xyExx rr ==
( )xMCMG rrr ,^
Figure 6.4
S par rapport l'axe (0, x) est
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
Finalement yMx
fz=
Les contraintes normales se dveloppent dans les fibres les
de la fibre neutre. : maxx
Pour une section droite donne, la quantit
rsistance de la section par rapport l'axe (0, z) [mm3]. Ce module est donn
sur les catalogues des fournisse
La relation la plus utilise est, donc:
4- Condition de rsistance la flexion
La contrainte x doit rester infrieure la contrainte pratique
l'extension Rpe telle que Rpe=Re/S
La condition de rsistance s'crit, donc
5- Concentration de contrainte
Tout changement brusque de section (rainure de clavette, gorge,
paulement...) entrane une concentration de contrainte au niveau de la section et
la condition de rsistance
Un exemple est illustr sur la figure 6.5 pour le cas d'un arbre avec gorge.
La condition de rsistance s'crit dans ce cas
A.U : 2006
Rsistance des matriaux 51 flambement
yIMIGZ
fzxGZ
x =
Les contraintes normales se dveloppent dans les fibres les
maxyIMGZ
fz=
Pour une section droite donne, la quantit maxy
IW GZZ = s'appelle module de
rsistance de la section par rapport l'axe (0, z) [mm3]. Ce module est donn
sur les catalogues des fournisseurs.
La relation la plus utilise est, donc: Z
fzx W
M=max
Condition de rsistance la flexion :
doit rester infrieure la contrainte pratique
l'extension Rpe telle que Rpe=Re/S
rsistance s'crit, donc : IMRpeGZ
fzx
max
Concentration de contrainte :
Tout changement brusque de section (rainure de clavette, gorge,
paulement...) entrane une concentration de contrainte au niveau de la section et
vue ci dessus est modifie.
Un exemple est illustr sur la figure 6.5 pour le cas d'un arbre avec gorge.
La condition de rsistance s'crit dans ce cas : Rpeeffex max
Figure 6.5
A.U : 2006-2007
flambement
Les contraintes normales se dveloppent dans les fibres les plus loignes
s'appelle module de
rsistance de la section par rapport l'axe (0, z) [mm3]. Ce module est donn
doit rester infrieure la contrainte pratique
Rpey max
Tout changement brusque de section (rainure de clavette, gorge,
paulement...) entrane une concentration de contrainte au niveau de la section et
Un exemple est illustr sur la figure 6.5 pour le cas d'un arbre avec gorge.
Rpe
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
6- Dformation en flexion
6-1 Dforme :
On appelle dforme,
la poutre aprs dformation. (Figure 6.6)
L'quation de la dforme est:
y est la flche au point d'abscisse x.
Les drives premire et seconde sont notes y' et y".
6-2 Relation entre flche et moment flchissant
On peut calculer la flche partir de l'quation de la dform
par double intgration de l'quation du moment flchissant.
7- Condition de rigidit en flexion
On calcule la flche maximale et on vrifie ensuite que cette flche reste
infrieure une valeur limite f
8- Thorme de superposition des dformations
Thorme
Pour une poutre sollicite dans son domaine lastique, la dformation due
un systme de charges est gale la somme des dformations dues
l'application successive des charges constituant le systme de chargement
appliqu initialement.
Remarque :
Ce principe permet de dcomposer un systme complexe de n forces, en n
systmes simples, avec une force applique. On trouve ensuite chaque valeur d
flche et on fait la somme algbrique pour retrouver la flche du systme initial.
A.U : 2006
Rsistance des matriaux 52 flambement
Dformation en flexion :
On appelle dforme, la courbe de la ligne moyenne de
la poutre aprs dformation. (Figure 6.6)
L'quation de la dforme est: )(xfy =
y est la flche au point d'abscisse x.
Les drives premire et seconde sont notes y' et y".
2 Relation entre flche et moment flchissant
On peut calculer la flche partir de l'quation de la dform
par double intgration de l'quation du moment flchissant. GZEI
Condition de rigidit en flexion
On calcule la flche maximale et on vrifie ensuite que cette flche reste
rieure une valeur limite flim : limmax fy
Thorme de superposition des dformations
Pour une poutre sollicite dans son domaine lastique, la dformation due
un systme de charges est gale la somme des dformations dues
l'application successive des charges constituant le systme de chargement
Ce principe permet de dcomposer un systme complexe de n forces, en n
systmes simples, avec une force applique. On trouve ensuite chaque valeur d
flche et on fait la somme algbrique pour retrouver la flche du systme initial.
A.U : 2006-2007
flambement
Figure 6.6
On peut calculer la flche partir de l'quation de la dforme dterminer ( )
fzMxy ="
On calcule la flche maximale et on vrifie ensuite que cette flche reste
Thorme de superposition des dformations
Pour une poutre sollicite dans son domaine lastique, la dformation due
un systme de charges est gale la somme des dformations dues
l'application successive des charges constituant le systme de chargement
Ce principe permet de dcomposer un systme complexe de n forces, en n
systmes simples, avec une force applique. On trouve ensuite chaque valeur de
flche et on fait la somme algbrique pour retrouver la flche du systme initial.
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
EXERCICE 1 Poutre en IPNUne poutre 1, encastre dans 2, y est
constitue par un IPN de longueur 1= 1.5 m. Elle supporte une charge uniforrpartie de coefficient rsistance pratique 8 est Rpe 100 Mpa et son module d'lasticit longitudinale est E = 200 000 MPa
Questions 1) Dterminer l'action de 2 sur 12) Dterminer le torseur de cohsion le long de AB3) Tracer les diagrammes des ef
flchissant. 4) Dterminer la hauteur minimale de 5) La flche maximale est fixe EXERCICE 2 La figure ci contre reprsente le dessin
d'une machine usiner les portes cylindriques de vilebrequins par arasage.
Pour une premire approche du problme, on assimile les liaisons vilebrequinsitues aux points de rfrence, des appuis simples. On ne considre que l'influence de l'effort de pntration.
On se limite une tude qcela on remplace le vilebrequin par une barre cylindrique de moment quadratique en flexion I
On note: L: distance entre les appuis.E: module de YOUNG du matriau.Fp: l'action de pntration
vilebrequin. Questions : 1) Dterminer les actions aux appuis.2) Dterminer le torseur de3) Dterminer dans ces conditions la
de l'effort Fp. 4) Prcisez l'cart maxi existant
souhait pour le cylindre. Application numrique: Fp=
A.U : 2006
Rsistance des matriaux 53 flambement
Poutre en IPN Une poutre 1, encastre dans 2, y est
constitue par un IPN de longueur 1= 1.5 m. Elle supporte une charge uniformment
P=1800 N/m. Sa rsistance pratique 8 est Rpe 100 Mpa et son module d'lasticit longitudinale est E =
1) Dterminer l'action de 2 sur 1. 2) Dterminer le torseur de cohsion le long de AB. 3) Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments
) Dterminer la hauteur minimale de lIPN. 5) La flche maximale est fixe L/500, vrifier l'IPN choisi
La figure ci contre reprsente le dessin d'une machine usiner les portes
de vilebrequins par arasage. approche du problme,
assimile les liaisons vilebrequin-machine, situes aux points de rfrence, des appuis simples. On ne considre que l'influence de
On se limite une tude qualitative, pour le vilebrequin par une barre ent quadratique en flexion IGz.
entre les appuis. odule de YOUNG du matriau.
n de pntration de l'outil sur le
erminer les actions aux appuis. terminer le torseur de cohsion le long de la poutre.
terminer dans ces conditions la flche au droit du point d'application
4) Prcisez l'cart maxi existant entre la cote fabrique et t
Application numrique: Fp=2 103 N ; E=210 000 MPa ; L=500 mm
A.U : 2006-2007
flambement
forts tranchants et des moments
00, vrifier l'IPN choisi.
roit du point d'application
entre la cote fabrique et te diamtre
500 mm ; =40 mm.
SET MAHDIA A.U : 2006-2007
Rsistance des matriaux 54 flambement
Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre 7777
SOLLICITATIONS COMPOSES
Objectifs :
Dterminer la rpartition des contraintes dans la section d'une poutre soumise une sollicitation compose.
Dterminer la condition de rsistance d'une poutre soumise une sollicitation compose.
Dimensionner une poutre soumise une sollicitation compose.
Prrequis :
Sollicitations simples.
Elments de contenu :
1- Flexion&torsion 2- Traction&torsion.
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
SOLLICITATION
1-Flexion_torsion
1-1 Dfnition :
Un arbre est soumis une sollicitation
de flexion_torsion si le torseur associ
aux efforts de cohsion peut se rduire en
G, barycentre de la section droite S,
moment de torsion et un moment de
flexion (figure7.1).
{ }Gtfz
Gcoh MM
+= 0 rr
v
1-2-Moment idal de fexion Les contraintes normales
majoration de chacune delle. On calcule la contrainte normale partir du
moment idal de flexion dfini par la formule suivante
21
211 MfMfMf i +
=
Mfi : Moment idal de flexion [N.mm] =Rpg/Rpe ; Pour les aciers
A.U : 2006
Rsistance des matriaux 55 flambement
SOLLICITATIONS COMPOSES
Flexion_torsion :
Un arbre est soumis une sollicitation
de flexion_torsion si le torseur associ
efforts de cohsion peut se rduire en
G, barycentre de la section droite S, un
de torsion et un moment de
Figure 7
Gfz
t
M
M
= 0
000
: Les contraintes normales et tangentielles agissent simultanment et il y a
majoration de chacune delle. On calcule la contrainte normale partir du
moment idal de flexion dfini par la formule suivante
22 Mt+
: Moment idal de flexion [N.mm]
; Pour les aciers =0.5, moment idal de flexion Mf i
A.U : 2006-2007
flambement
Figure 7.1
et tangentielles agissent simultanment et il y a
majoration de chacune delle. On calcule la contrainte normale partir du
moment idal de flexion dfini par la formule suivante :
22 MtMf +=
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
1-3 Condition de rsistance :
La condition de rsistance dun arbre sollicit la flexion_torsion scrit
RpeM o M est dtermine partir du moment idal de flexion
1-4-Dformation :
Pour le calcul des flches verticales, partir
de la sollicitation de flexion suppose seule.
Vrifier ensuite que cette flche est acceptable. ( )
limmax fy
Pour le calcul des angles de torsion, partir
de la sollicitation de torsion suppose seule.
Vrifier ensuite que cet angle est acceptable.( )
limmax
2- Traction_torsion
2-1 Dfnition
Un solide est soumis une
sollicitation de traction_torsion si le
torseur associ aux efforts de cohsion
peut se rduire en G, barycentre de la
section droite S, un moment de torsion
et un effort normal (figure7.2).
{ }Gt
Gcoh
MN
MN
=
=
00
00r
v
A.U : 2006
Rsistance des matriaux 56 flambement
:
La condition de rsistance dun arbre sollicit la flexion_torsion scrit
est dtermine partir du moment idal de flexion
Pour le calcul des flches verticales, partir
de la sollicitation de flexion suppose seule.
Vrifier ensuite que cette flche est acceptable.
Pour le calcul des angles de torsion, partir
de la sollicitation de torsion suppose seule.
Vrifier ensuite que cet angle est acceptable.
Figure 7
Traction_torsion
Un solide est soumis une
sollicitation de traction_torsion si le
efforts de cohsion
peut se rduire en G, barycentre de la
un moment de torsion
effort normal (figure7.2). Figure 7.3
G
tM
00
A.U : 2006-2007
flambement
La condition de rsistance dun arbre sollicit la flexion_torsion scrit :
est dtermine partir du moment idal de flexion
Figure 7.2
Figure 7.3
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
2-2 Calcul des contraintes :
Toute fibre supporte deux contraintes de nature diffrente, une contrainte
normale et une contrainte tangentielle. On dfini la contrainte idale telle que
22 4 +i , Avec SN=
2-3 Condition de rsistance :
Ma condition de rsistance pour ce type de rsistance scrit
Rpe
+ 22 4
Remarque : Ce calcul est aussi valable pour une sollicitation de traction
cisaillement. Dans ce cas
EXERCICE DAPPLICATI
A.U : 2006
Rsistance des matriaux 57 flambement
Toute fibre supporte deux contraintes de nature diffrente, une contrainte
normale et une contrainte tangentielle. On dfini la contrainte idale telle que
SN
et RIMt
0
=
:
Ma condition de rsistance pour ce type de rsistance scrit
Ce calcul est aussi valable pour une sollicitation de traction
ST=
EXERCICE DAPPLICATION :
A.U : 2006-2007
flambement
Toute fibre supporte deux contraintes de nature diffrente, une contrainte
normale et une contrainte tangentielle. On dfini la contrainte idale telle que :
Ma condition de rsistance pour ce type de rsistance scrit
Ce calcul est aussi valable pour une sollicitation de traction
SET MAHDIA A.U : 2006-2007
Rsistance des matriaux 58 flambement
Chapitre 8Chapitre 8Chapitre 8Chapitre 8
LE FLAMBEMENT
Objectifs :
Dimensionner une poutre sollicite au fambement.
Prrequis :
La fexion simple.
Elments de contenu :
1- Etude du fambement. 2- Elancement. 3- Charge critique. 4- Contrainte critique. 5- Condition de rsistance.
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
1- Etude du flambement thori
Considrons une poutre de longueur
et B . deux glisseurs (Liaisons pivot d'axes (A,
opposs, qui augmentent progressivement.
On remarque que si :
Si F< Fc : La poutre reste
sensiblement rectiligne, elle se :
raccourcit et peut tre calcule
en compression.
Si F= F c : la poutre flchit et
prend une position d'quilibre
lastique.
Si F> F c : instabilit. La poutre
flchit brusquement jusqu' la rupture. C'est du flambage.
Fc est la charge critique d'Euler.
La flexion se produit selon la direction perpendiculaire l'axe de la section
(S) qui donne le moment quadratique le plus faible.
2- Elancement
La compression est remplace par du flambage si la poutre est longue et ses
dimensions transversales sont faibles. Cette p
L=
: lancement d'une poutre (sans unit)
L: Longueur libre de flambage [mm]
A.U : 2006
Rsistance des matriaux 59 flambement
LE FLAMBEMENT
Etude du flambement thorie d'EULER
ons une poutre de longueur importante l et rectiligne soumise en A
deux glisseurs (Liaisons pivot d'axes (A, z) et (B, z))
opposs, qui augmentent progressivement.
: La poutre reste
sensiblement rectiligne, elle se :
raccourcit et peut tre calcule
: la poutre flchit et
prend une position d'quilibre
: instabilit. La poutre
brusquement jusqu' la rupture. C'est du flambage.
d'Euler.
La flexion se produit selon la direction perpendiculaire l'axe de la section
ent quadratique le plus faible.
La compression est remplace par du flambage si la poutre est longue et ses
mensions transversales sont faibles. Cette proportion est caractrise par:
: lancement d'une poutre (sans unit)
ongueur libre de flambage [mm]
A.U : 2006-2007
flambement
importante l et rectiligne soumise en A
z)), directement
brusquement jusqu' la rupture. C'est du flambage.
La flexion se produit selon la direction perpendiculaire l'axe de la section
La compression est remplace par du flambage si la poutre est longue et ses
roportion est caractrise par:
SET MAHDIA
Rsistance des matriaux
: Rayon de giration de l section [mm]
IGZ : moment quadratique minimal de la section suivant laxe principale
perpendiculaire la dformation [mm
3-Charge critique :
En cas de flambage, la charge critique dEuler F
E : Module d'Young du matriau [MPa].
IGZ : Moment quadratique de la section
[mm4].
L: Longueur libre de flambage de la
poutre [mm].
REMARQUE:
l est la longueur de la poutre, la longueur
libre de flambage L, est fonction du type
d'appui. Elle est donne par le tableau
suivant.
5- Contrainte critique
En crivant que 2 =
En reportant cette valeur dans
lexpression de Fc :
FC =
La valeur de la contrainte critique
A.U : 2006
Rsistance des matriaux