Phys. kondens. Materie 2, 273--283 (1964)

Orlg ina larbe i t en �9 Travaux or ig inaux �9 Original Papers

Service de Physique du Solide, Facult6 des Sciences, Orsay, B.P. n ~ 11 (S. &. 0.) France

R6sistivit6 61ectrique due aux macles dans les m6taux monovalents Par

FRANgOISE LACKMANN

(Recu le 25 novembre 1963)

L'6tude des cristaux de sodium CFC macl6s & basse temp6rature suivant des plans (111) est faite dans l 'approximation des 61ectrons presque librcs. Le potentiel du r6seau macl6 est trait6 en perturbation. La diffusion des 61ectrons par le plan de macle s'effectue suivant deux directions particuli~res earact6ris6es par leurs coefficients de r6flexion. La r6sistivit6 61ectrique r6sultant de cette diffusion est calcul6e & l'aide de la m6thode variationnelle. L'emploi de cette m6thode est justifi6e pour certaines conditions exp6rimentales oh la r6sistivit6 due aux maeles est une faible pattie de la r6sistivit6 totale. Les calculs num6riques montrent que la r~sisti- vit6, obtenue sous forme tensorielle, est de l 'ordre de grandeur des r6sultats exp~rimentaux sur la r6sistivit~ des fautes d'empilement d'autres m6taux monovalents.

Crystals off . c. c. sodium twinned in the direction of (111) planes at low temperatures, are studied in the approximation of nearly free electrons. The potential of the lattice is treated as a perturbation. The scattering of electrons by the twinning plane occurs in the direction of two particular wave vectors characterized by their coefficients of reflexion. The electrical resistivity arising from this scattering is calculated with the Variational method. The use of this method is justified for certain experimental conditions where the resistivity due to the twinning is a small part of the total one. The numerical calculation shows that the resistivity, given in tensor form, is consistent with the experimental results on the resistivity of stacking faults of other monovalent metals.

]Natrium-Zwillingskristalle mit der Zwfllingsebene (111) wurden in der Approximation fast freier Elektronen untersucht. Das Gitterpotential des Zwillings wurde als StSrung behandelt. Die Streuung der Elektronen an der Spiegelebene des Zwillings gesehieht in zwei bestimmten, durch deren Reflexionskoeffizienten charakterisierten Richtungen. Der elektrische Wider- stand, herriihrend von dieser Streuung, wurde mit Hilfe der Variationsmethode bereehnet. Die Anwendung dieser Methode ist gereehtfertigt, were1 der Widerstand dieses Streuanteiles klein ist gegenfiber dem totalen Widerstand. Die numerisehen Berechnungen zeigen, dab dieser Widerstand, gegeben in tensorieller Form, yon derselben GrSl]enordnung ist wie der yon Stapelfehlern herriihrende, gemessene Widerstand bei anderen einwertigen Metallen.

I. Introduction

l~o t re ~ tude p o r t e sur le ca leul de la r~sis t iv i t6 ~ lee t r ique due a u x mae le s d a n s

des m ~ t a u x m o n o v a l e n t s cub iques ~r faces centr~es (CFC) . N o u s nous s o m m e s

l i m i t , s s u n cas tr~s s c h 6 m a t i q u e oh ]a su r face de F e r m i se ra i t assez lo in des l imi te s

de zone de Br i l l ou in p o u r d6v ie r p e u de la sphere des ~lec t rons l ibres. Ceei p e u t

~tre en p r inc ipe le cas des a lcal ins , te ls que le s o d i u m e t le p o t a s s i u m [11, 12]. N o u s a v o n s uti l is~ l ' a p p r o x i m a t i o n des ~ lec t rons p r e s q u e l ibres, en t r a i t a n t le

p o t e n t i e l du r~seau V (r) c o m m e u n e p e r t u r b a t i o n . N o t r e ealcul , effectu~ p o u r le sod ium, m o n t r e que la r~sis t ivi t~ 61ectronique es t tr~s fa ib le r a n t que les l imi tes de

zone de Br i l l ou in ne t o u e h e n t pas la sur face de F e r m i . D a n s ce cas (tel le euivre) le

Phys. kondens. Materie, Bd. 2 20

274 F~AN~oISn LACK~ANI~:

principe de notre calcul reste valable, mais fl faudrait eff'ectuer une 4tude plus poussde. Les expgriences [1, 2, 3, 4, 5] montrent que dans la structure CFC les macles et les fautes d 'empilement se produisent suivant les plans denses (111).

Divers auteurs ont 6tudi@ d'un point de rue th@orique ou exp@rimental le probl~me de la rgsistivitd @lectrique des fautes d'empilement, mais celui des macles n 'a jamais 4t@ abord6.

Avant d 'aborder le d@tail de notre calcul, nous rappellerons bribvement les rdsultats obtenus dans le cas des fautes d'empflement, sans doute assez voisin de eelui des mac]es.

l~sultats expdrimentaux

DUGDALE et GUGAN ont effectu@ [3] des mesures de r6sistivit6 r@siduelle d'6ehantillon de lithium ~ basse temp@rature. Ils en ont d6duit une valeur de 10 -15 ohm. cm pour la r6sistivit6 d 'une faute d 'empilemcnt ~ part ir d 'une estima- tion de la densit@ des fautes d 'empilement qui diffusent. Mais ils ont suppos6 que toutes les fautes d 'empilement diffusaient indgpendemment ee qui est peu vraisem- blable et conduit ~ une valeur trop faible de la r6sistivit6, comme l 'a montr6 HowI~ [7].

Pour le cuivre, les diverses mcsures rappel6es par HowI]~ [6] donnent une r@sistivit@ de 10 -12 ohm.era pour une faute d'empflement. COTTm~IL~ [8] par des experiences analogues a propos6 une valeur de 2.10 -13 ohm.cm pour l'or.

R~sultats th~oriques

SWEG~R [9] a Fun des premiers r@solu de mani~re approeh4e l '~quation de Boltzmann dans le cas d 'un m@tal monovalent contenant des fautes d'empilement. I1 a utilis6 un m@canisme de diffraction et a bien introduit un temps de relaxation

priori tensoriel mais a n4glig4 la variation spatiale de la fonction de distribution autour de ]a faute d'empilement.

tIow~w [6] a donn6 ~ l'aide de l 'approximation des 6lectrons presque libres une estimation du coefficient de rdflexion et de la rdsistivit@ @lectrique moyenne des fautes d 'empilement dans le cuivre en accord avec les r4sultats exp@rimentaux.

Mais il n ' a pas cherchd ~ r@soudre l'@quation de Boltzmann et dans son r~sultat il n 'apparai t pas la direction du champ dlectrique par rapport au plan de la faute.

L'@tude de S]~EG]~R ct STATZ [10] syst6matise les r4sultats pr6c4dents sur le problbme du transport dans un m6tal poss4dant des fautes d'empflement. Ils expriment en effet par une intdgrale sur la surface de Fermi la solution g6n6rale de l '~quation de Boltzmann ]in6aris6e pour un m@tal dont la surface de Fermi est queleonque et dont le coefficient de r6fiexion R sur la faute d 'empilement est connue .

Mais le calcul effectff de R et de l'int@grale a ndcessit6 de nombreuses approxi- mations:

a) Le calcul de R e s t effectud par la m6thode des fonctions de Wannier eentr4es sur les noeuds du r@seau du cristal perturb6. La solution est alors donn4e en fonction de parambtres, inconnus pratiquement, caract4ristiques de la surface d'dnergie et de la faute d 'empilement du mdtal considdrd.

Pour obtenir ces param~tres il leur a fallu faire des approximations encore moins valables qui ram~nent en fair ~ traiter le probl~me en liaisons fortes tout en

R6sistivit6 61ectrique due aux macles dans les m6taux monovalents 275

supposant les dlectrons libres pour obtenir une limits sup6rieure de la valeur des intdgrales de recouvrement. R montre alors un maximum pour l'incidenee rasante e t u n minimum pour l'incidence normale au plan de la faute d'empflement.

Dane le cas off la surface de Fermi coupe les limites de zone de Brillouin (cuivre.. .) la discussion de/~ ne peut ~tre que qualitative et peu pr6cise.

b) La r6solution de l'int6grale sur la surface de Fermi, solution de l 'dquation de Boltzmann, ne peut 6tre donnde que dane le eas de m6taux h surface de Fermi sphdrique. Dane le cas du cuivre, il faut supposer le coefficient de rdflexion constant, ce qui n 'est pas le cas. SEEGER et STATZ assurent que leur calcul numgrique effectu6 en utilisant les approximations ddcrites au a) et b) est valable pour les 61ectrons de conduction de la bands 4 s du nickel. Darts ce cas, fl semble plus justifid d 'employer l 'approximation des 61ectrons presque libres, comme nous l 'avons fair.

II. Approximation des ~leetrons presque libres

Les m6taux alcahns poss~dent un ~lectron de conductibilit~ par atome; dane lee eristaux parfaits, cet dleetrou est soumis ~ u n potentiel V(r) ayant la pdriodi- eit6 du rdseau. Male, dans un cristal macl6, fl faudrait tenir compte de la perturba- tion du potentiel due ~une modification de la densit6 de charge au voisinage du plan de macle, potentiel et densit6 de charge 4tant relids entre eux de fagon se l l consistente par rdquation de Poisson.

Dane tout ce qui suit, nous ne tiendrons pas eompte de eette modification. Nous utiliserons dane l '6quation de Sehroedinger, le potentiel V (r) du eristal I ou I I aeeol6s symdtriquement le long du plan de made, consid6r6 comme parfait. Nous raisons done ici une premibre approximation. Nous traiterons comme une perturbation le petit potentiel effectff V (r) du r6seau (la surface de Fermi ~tant prat iquement sph6rique).

Systems de coordonn~es

Pour respecter la symdtrie du problbme, nous prendrons comme syst~me de coordonndes un tri~dre trirectangle composg de 2 axes Ox et Oy situ6s dans le plan de macle, Oz ~tant la normale au plan de macle.

Un point M sera rep~rg par [x/ O ~ / = r : y P

Z

p repr6sentant la projection normale dans le plan de made. Les veeteurs du r6seau r6ciproquc seront aussi rapport6s ~ ce systems de

eoordonndes et on d6finira ainsi un veeteur k par:

k : ky kl

[/cz = k2

et l 'on aura : k. r = kxX + kyy + kzz

= k l " p -}- k 2 z .

20*

276 FRANr LACKMANN :

Equation de Schroedinger du cristal maclg

L'6qua t ion de Schroedinger dans le cristal macl6 s'6crira alors, en utilisant les unit6s atomiques e ~- h = m =- 1 :

[ A + 2 ( E - - V ) ] y J = 0 ; V = V I , ~ v = 9 1 z > 0 (II.1)

V---- VIi,~v----~pli z < 0 .

A c e t t e 6quation il faut associe.r les 3 conditions suivantes qui d6terminent entibrcment le probl~me du cristal parfait macl6 suivant un plan z ~- 0 :

1 ~ Le potentiel V (r) est p6riodique suivant les deux directions 0x et 0y du plan de made , la fonction d 'onde poss~,de donc la m6me pdriodicit6 (theorbme de Bloch).

2 ~ Le potentiel V(r) est aussi p6riodique suivant la direction z dans chaque demi-plan puisque r o n considbre un accolement parfait de deux moitids de cristaux.

1 3 ~ L 'hamil tonien H ---- - -~ -d + V commute avec l 'op6rateur S de sym6trie

par rappor t au plan de macle, soit [/t , S] = 0. La fonction d 'onde sera soit sym6trique soit ant isym6trique (S 2 6rant 6gal s 1). Les conditions 1 et 2 nous mont ren t que V (r) peut s'gcrire *

V (~,z) = ~ ~ Vl14 eil~'~ e ~4!z] (11.2)

e R I ~

quelque soit ~ et z. La fonction d 'onde ~ 6tant d6compos6e en deux fonctions ~vi pour z > 0,

~vxi pour z < 0, se raccordent en z - - 0, la condition 3 s'6crira (pour z > 0)

91 (P, + z) i 911({~, - - z) ---- 0 (II.3)

Cette 6qnation est compl6t6e par les 6quations de continuit6, soit:

a~i 0~H ~ z - (P, 0) = ~ (p, 0)

~ ( ~ , 0 ) = ~ H ( p , 0 ) .

Pour calculer le coefficient de r6flexion R sur le plan de macle, nous allons r6soudre l '6quation de Sehroedinger associ6e aux 6quations pr6c6dentes en t ra i tan t le potentiel V(r) comme une perturbation. 1Nous utiliserons aussi le fair que l'6nergie d ' un eristal macl6 ne diff~re de l'6nergie du cristal parfait que par un terme de surface, donc n6gligeable.

Puis nous appliquerons ces r6sultats g l '6tude de la r6sistivit6 61ectrique.

III. Etude de la fonction d'onde

Par analogie avec la r6solution classique de l '6quation de Sehroedinger d ' un cristal parfait dans l 'approximat ion des 61ectrons presque libres, nous avons 6t6

* 1112 e I~R repr6sente un vecteur I de composantes Ill2 appartenant au r6seau r6ciproque.

R6sistivit6 61ectrique due aux macles dans les m6taux monovalents 277

amends s dcrire ]pour la fonction d'onde :*

1 yJI = ~ e ik~'~ (A e ik'z -}- B e - i~z) (III.1)

1.l [: +( ] + ~ e*(~I+k')'~ ei(n~+k~)ZD,,ln~-~.ei(m-k~)ZE,,~n~-}- Con~ei~Zdn~ �9

el~:g

(v volume 8 L 3 du cristal)

La r6solution de l '6quation sgculaire nous a donn6**

2A Vn~n~ 2B V~,~n~ D,,~ -- 2 E _ ( n q _ k ) 2 , .E,~n ~ - - 2 E _ ( n l _ } . k l ) 2 _ ( n 2 _ k 2 ) 2 ,

2L2E- -k 3 [ v3_ BPv ] (re.e)

Le rapport T ~ A / B d6termin6 par les 6quations de continnit6 (II.4) et la condition de sym6trie ou d'antisymdtrie (II.3) de la fonction d'onde vaut :~ 1 (q- 1 solution syradtrique, - - 1 antisym6trique).

De l '6quation (II.2) et de l'expression (III.2) des coefficients intervenant dans la fonction d'onde, nous d6duisons que la fonction d'onde relative ~ l 'ensemble du cristal s'6crit:

~(O,z) = ~fo(p,z) -}- ~fel (O,z) -~ sign z �9 ~v~(0,z), (III.3) quclque soit ~ et z.

~P0 rep%sente la fonction d'onde des 61ectrons libres. ~v0 ~-~el repr6sente la fonction d'onde des 61ectrons presque libres dans un

crist~l parfait. ~p~ rep%sente l'int6grale des C,,~n~, soit l 'apport de la macle. Le calcul de cette int6grale a 6t6 effectu6 et les solutions ~s :~ ~oAs combi-

naisons des deux solutions lin6airement ind6pendantes ~Ps et ~PAs, s '@rivent :

~s 4- ~ . s = 2 A e i ~ ' % ~i~z 1 § 2 ~ V ~ 2 N ~ ( ~ ) ~ ~ l n ~ e Rg

+ 4yrA e ~ o e :~ i~::~ + k~ + g k ~ - - 2 ~ 2 V~ + 2 E~ + (III.4) L

- - + 2 E l e ] , 4 ~2 V~Y - - - • 1

2 ]/k~ + 2 E1 ] I Vn I ~ k2 o ~ l ' o n a 2 E = ~ + 4 ~ ~_(~+~)~= +2El(a).

n~t~g

La macle produit donc s la fois une sorte de renormalisation de la fonction d'onde des 61cctrons libres et une diffusion sdlectivc suivant deux veeteurs d 'onde particuliers que nous appellerons K1 et K2, de composantes

K I : k~2V~ K~: 2 E l , V ~ + 2E~.

�9 Pour le d6~ail des calculs, se r6f6rer s (13). �9 * La notation PP indique que nous prenons la partie principale de la fonction.

278 FRA~r LACKI~ANN:

Les coefficients de rdflcxion /~l et R2 dans ces directions K1 et K2 seront donn6s par

R 1 _ (~rl R 2 _ •r2 ~bi ' qbl '

off ~brl, ~br2 et ~bi repr@sentent respectivemcnt les flux r6flechis dans la direction K1, K2 et incident.

Un flux s'exprimant par ~ = J v off v cst la vigesse des partieules et J leur densit6, nous 6crirons:

~bi = 4A21 vk[ (1 + ~ ) 4 ~ ,

~r l -- 4~2A2 ((1 k~ \z

~br2 = 47~2A2((1 - - k~

Le calcul de vK~ et vK~ montrc qu'au 3e ordre prbs cn I V~[, E1

soit :

(1 + + R1

R2 _ 4 ( 1 ; ~) (1 _ l/k~T-2 E~ ] k 2 ~2 (1 + i v@t@ (III.5)

Les coefficients de r6flexion sont une fonction d@croissante de kg. (2 E1 6rant n6gatif), ee qui correspond bien aux r@sultats de S~wawR ct STATZ: R1 et R2 song maximum pour l'incidence rasante.

IV. R~sistivit6 61ectrique

Nous avons vu pr6c6demmcnt quc des @lectrons de vecteur d'ondc k song diffus6s par le plan de macle suivant deux directions K1 et K2 avcc des coefficients de r6flexion/~1 et R2.

Nous 6tudierons maintenant Ia r@sistivit6 61ectrique qui cn r~sulte. C'est un probl~me de diffusion 61astique par un d6faut anisotrope dans un milieu anisotrope.

Les formules s employer dans un tel cas song sujettcs s caution comme nous allons le montrer en comparant lcs r@sultats obtenus par une m6thode variationnelle et par l'~quation de Bolgzmann. Mais nous verrons qu'ellcs song tr~s bien justifi6es pour eertaines conditions exp6rimentales.

M@thode variationnelle

Soit ] (k) la fonction de distribution qui mesure le nombre de porteurs dans l '6tat k e t f0 (k) la fonction de distribution initiale dans le cristal macl4 sans champ dlectrique. Introduisons une nouvclle fonction q5 k telle que:

/ (k ) = / o ( k ) - - qb(k) Ofo(k) (IV.l) aEk

R6sistivit6 61ectrique due aux macles dans les m6taux monovalents 279

La r6sistivit6 t9 dolm6e par la mgthode variationeUe [14] est alors:

2kBT [q~k -- ~k']2P~k'f0k (1 --fok')dkdk' = (IV.2)

I f vk q~k ~fo~Ek - - r 2

P(k, k') reprgsentant la probabflit6 de transition d 'un 61eetron entre l '6tat k et l '6tat k'.

P(k , k') s 'exprime simplement en fonetion des coefficients de r6flexion.

P (k', k') ---- [R1 d (k' - - K1) ~- 172 d (k' - - K2)] [ (%)z [ (IV.3)

off I (%)z [ repr6sente ]a valeur absolue de la eomposante de la vitesse de l'61ectron sur l 'axe oz.

Rappelons que dans la statistique de Fermi Dirae et dans le cas oh la diffusion est 61astique

q~ Ofok / 0 a l l - - 10k) -----/0all - - ]0~') = - - k B ~ N . (IV.4)

La fonction Ck n 'dtant pas connue exaetement, nous prendrons une fonction d'essai obtenue par analogie avee un eas off la fonction de distribution r6elle/k est eonnue. Le prineipe de cette m6thode est tel que, si nous raisons une erreur du premier ordre dans la fonction ~bk, l 'erreur est du second ordre dans la rgsistivit6 61ectrique. La solution approeh6e donn6e par l '6quation (IV.2), valeur extrgmale, est inf6rieure ou ~gale g la solution r6elle.

Nous prendrons comme fonetion d'essai:

q~ l~ = O~ v k �9 U ,

off U est le vecteur unitaire repr6sentant le champ 61ectrique. En effet nous savons qu'il existe une solution de ce type dans le cas oh la

probabilit6 de transition ddpend uniquement de 1'angle entre k et k'. Nous avons remplac6 k par v~ pour tenir compte de l 'anisotropie de la surface de Fermi, mais nous verrons que eeci n 'entraine que des corrections n6gligeables dans notre cas.

a) Calcul numdrique de ~: Le cristal ayant la sym6trie cubique, le calcul de l'int6grale intervenant au d6nominateur de l'expression (IV.2) se fait facilement et l 'on a:

1 / ) = (~ff~2 VF ]gF) 2' (IV.5)

off VF et kF reprdsentent la vitesse et le nombre d'onde des 61ectrons sur la surface de Fermi.

Par eontre le ealeul du num6rateur offre des difficult6s. En utilisant les 6quations (IV.3) et (IV.4), les expressions des coefficients de

rgflexion et des vitesses, et en n6gligeant ~ - d e v a n t l, nOUS avons:

cos 2 ~ f E~dSI, N - - 4~2(1-f- ~) j (k~+2E1)vl, ](Vk)z].

SF

cos ~ est le cosinus de l 'angle du champ 61ectrique et de la normale au plan de made .

280 FRANr LACKMANN :

Cette int6gration est difficile ~ effectuer, aussi nous l 'approchons au micux par une fonction int6grable, suivant les diverses valeurs de k~.

I v . I ~ E1 6gal ~ 2 ~ - -n 2 + 2 n. k" est compris entre les deux valenrs extremes

n e R R jamais atteintes

+ 2 ~ - - n 2 + 2 n . k n n ~ ] ~ 1 ~ - - n 2 "

Les coefficients de Fourier d@roissant assez rapidement quand la distance I n] augmente, il sers suffisant pour le calcul de ne garder que les termes corres- pondants ~ ls plus petite longueur In] . Dans le CFC ce serait ls distance [n I correspondant au 8 vecteurs (111).

Pour tree estimation d'ordre de grandeur, nous utfliserons les V~ de ls premiere limite de zone de Brfllouin dsns ls structure CC du sodium [12], seuls connues, soit :

{ IV l = 5 " 1 0 - 8 u s , E F = 0 , 1 1 7 u a , I n[ = 1,10 us , kF = 0,48 ua.

Avee ces valeurs num6riques E1 sera indus dans les limites

1 0 -4 US < [ E l i < 10 -3 u a .

Les 8 directions k les plu s proches des limites de ls zone de Brillouht eslcul6es en explicitant ts mstrice du chsngement d'axes d6crit au psrsgraphe I I , donnent pour k2 :

k2 = 4- kr = 4 . 0,48 u s

et k2 = 4- 0,16 ua.

Pour des valeurs de k2 plus faibles clue 0,16 us, nous pouvons assimiler la fonction El(k) ~ une constante de valeur ]Eli ~- 4-10 -4. D 'su t re part, d~s que ]/c~[ sers sup6rieur s 0,1 ua, 2E l sera n6gligeable devant/c22 su ddnominateur. Ces deux remarques nous permettent de s6parer ell deux le domaine d'int6gration. De plus, comme les distorsions A ls sphere de Fermi n'introduisent dans l '6vsluation du contour de l'int6grale que des termes d'ordre ndgligeable, nous int6grons sur une sphere de rayon kF.

Nous avons ainsi: cos ~ ~ 1 f E~ k2

N - - 2 ~ ( l + ~ z ) VF d k~+2E1 dSk , demi-sph~re

k~>0

f dSI,-~-Ii+ 12, E~ k2

et I ~ k~ + 2 E1

i r g~k2 dSk I1 = J k ~ E ~ ' avee E1 ---- conste = 5.10 -a ua pour 0 < k~ < 0,1 ua

E~ 12 ~- f T dSk pour 0,1 us < k2 < 0,48 us. d ~2

Les calculs ont 6t6 effectu6s en utilisant les donn6es du sodium et l 'on obtient :

I1--- 27~.2.10 -Tua , 12 ~27~ '2"10 -Tua

R6sistivit6 61ectrique due aux macles duns les m~taux monovalents 281

soit I _ ~ 8 ~ 1 0 - T u a

La valeur num6rique de la rdsistivit6 se calcule alors aisdment, soit :

~o ~ 3 cos 2 Z 10-3ua -~ c~ Z" 10-12~

b) Resultats: La r6sistivit~ ~lectrique cst done un tenseur dont la seule compo- sante non nulle est la composante z z proportionnelle & la projection du vecteur unitaire champ dlectrique sur l' axe oz et de l' ordre ] V~ ]~ en perturbation.

Cels correspond aux r6sultats de SE~G~a [9, 10] et de ZIM)~N [14] sur la r~sisti- vitd des fautes d 'empilement: ils Font en cffet reprdsentge par un tenseur dont les composantes suivant le plan de la faute sont nulles.

La r6sistivit~ moyenne 5, de macles d'orientations quelconques est obtenue en moyennant duns tout l'espace, soit :

1

(~zz)max reprdsente la composante zz maximum du teneur rdsistivitd et:

~ 3-10-1aft ohm.cm

fl es~ le hombre de macles par cm diffusantes. Notre expression numdrique est bien de l 'ordre de grandeur des r6sultats exp~ri-

mentaux sur les fautes d'empilement, rappelds au paragraphe I (10 -12 ohm.cm pour le cuivre [6], 2 �9 10 -13 ohm.cm pour l 'or [13]) ; or macle et faute d 'empilement ont sfirement des rdsistivit6s analogues.

I1 faut donc avoir une grande densit6 de fautes ou ~tre s tr~s basse temperature, pour que cette r6sistivit6 tr~s faible ne soit pus ndgligeable devant la r6sistivit6 propre du cristal.

Discussion. Comparaison avec l'~quation de Boltzmann

a) Justification de la mdthode variationnelle. Les essais de justification thdorique de la m~thode variationnelle dans le cas de diffusion anisotrope ne sont gu~re convaincants. D'une part il faudrait comparer les r6sultats de la m6thode varia- tionnelle ct la solution exacte de l '6quation de Boltzmann. Ceci est peu possible car le but de cette m6thode est de remplacer la r6solution exacte souvent impossible de l '6quation de Boltzmann par une expression de la r6sistivit6 dlectrique plus simple

calculer. D 'autre part les raisonnements gdn6raux s 'appuient sur le prineipe de conservation de l'6nergie. Ceci suppose l'isotropie du d6placement de la surface de Fermi sous Faction du champ glectrique [18], donc l'isotropie de la rdsistivit6.

Mais certaines conditions expdrimentales justifient parfaitement cette hypo- th~se, et cette m6thode donnera alors d'excellents rgsultats.

Ainsi, duns le cas de tempgrature suffisamment grande pour que la diffusion due aux phonons soit prdpond6rante, ou duns le cas de polycristaux macl6s suivant des orientations quelconques, la rdsistivit~ totale pourra 6tre eonsid6r6e comme quasi isotrope. En fair, la r~sistivit6 de macles 6rant de l 'ordre de 10 -~3 ohm.cm, il suffira d'une temp6rature assez faible pour ~tre duns les conditions exp6rimentales off la m6thode variationnelle se justifie tout ~ fait.

Les r6sultats exp6rimentaux confirment bien ces conclusions. La m6thode variationnelle conduit en effet s la rbgle de Matthiessen [14] (addition des inverses

282 FRA~r LACK~AN~ :

des temps de relaxation des divers processns de diffusion). Or cette r~gle est assez bien v6rifi6e exp~rimentalement.

b) Temps de relaxation. L'introduetion des temps de relaxation [14, 15] permet une eomparaison plus aisge entre les rgsultats obtenus par la m6thode variation- helle et par la r~solution de l '~quation de Boltzmann, suivant les conditions exp~rimentales.

Darts la r~sistivitg ~ donn6e par la mgthode variationnelle on introduit [16] un temps de relaxation T (k) anisotrope ou tensoriel, tel que:

12 ~3 f dS~ - - (4~kr) 2 J ~(k)vk

SF

Darts notre cas, l 'inverse dn tamps de relaxation s'dcrit :

1 31 (vk)z I ~(k) - 2v~ [ /h((vk -- vK1)" U)~ + i%((vk-- vK,)." V)~].

Soit, en appelant 01 et 0s respectivement les angles entre vk at vk, , vk=, pour le temps de relaxation associ~ s la r6sistivit6 moyenne ~:

E1 ]

Ce r6sultat est analogue au calenl de HowIE [6] sur la r~sistivit~ des fautes d 'empilement dans le euivre et au ealcul de ZIMAN [17] sur Ia diffusion darts ]es m~taux alcalins g surface de Fermi anisotrope.

Cette forme n 'est va]able que pour la portion isotrope de la r6sistivit~, c'est s dire quand on fair la moyenne des r~sistivit~s mesur~es dans toutes les directions possibles de champ 61eetrique. Pa r centre le temps de relaxation obtenu par la mgthode variationnelle associe & la lois l 'anisotropie du d6faut et celle du milieu. I1 donne la r~ponse d 'un d~faut d'orientation d6finie & un champ ~lectrique d'orientation aussi d6finie.

Avec les notations pr~c6dentes, l 'gquation de Boltzmann s'gcrit dans notre eas :

- ~ . u = [(Rl(~k, -- ~k) + R2(~k~ -- Ck)] [ (vk)~]

La r6solution exacte de eette 6quation (trgs ardue mathgmatiquement iei) d6terminerait ~bk, done le temps de relaxation reli6 g r par

~ = vk. ~'(k) �9 U.

La conductivit6 ~ s'6erit alors :

1 ~o

Ces deux expressions dgterminant ]a m~me quantit~ physique, la rgponse s un champ gleetriqne, donnge sous forme soit de la r~sistivitg, soit de la conductivitY.

Elles ne sent done pas basges sur les mgmes hypotheses physiques dans le cas oh ]e temps de relaxation ~ une forme tensorie]le ou anisotrope. Cette proprigtg

�9 1 est alors donn~e soit a ~(k) ' soit g ~ (k) suivant la m~thode utilis~e.

R6sistivit6 61ectrique due aux macles dans les m6taux monovalents 283

D 'ap rgs nos conclusions prdcddentes sur la val idi t6 de la m6thode var ia t ionnel le , nous pouvons prgvoir que l '6ear t en t re les deux expressions sera faible, d~s que la t emp6ra tu re sera assez dlev6e pour que la diffusion due aux phonons soit plus grande que la diffusion aniso t rope due au ddfaut .

S ~ G E ~ et STATZ [10] ont t rouv6 pour les fau tes d ' e mp i l e me n t uu @ a r t faible la loi de Mat th iessen quel que soit le domaine de t emp6ra tu re .

V. Conclusion

YNous avons 6tudi~ les c r i s taux de sodium C F C mael6s ~ basse t e m p 6 r a t u r e su ivan t des p lans (111) en supposan t presque libres leurs 6lectrons de conduct ion.

Nos rdsul ta ts sont en bon accord avee les divers rdsu l ta t s exp6r imen taux et th6oriques sur les fau tes d ' emp i l emen t discutgs au pa rag raphe I .

Cet te app rox ima t ion , d ' u n abo rd plus s imple que celle de SE~GE~ et STATZ [10] et condu i san t k des conclusions analogues, dev ra i t 6tre d6ve]opp6e pour ~tre appl iquge ~ des m6taux tels que le euivre ou le l i th ium. Dans ces m6taux , cer ta ines l imi tes de zone de Br i l louin dev iennent prdpond6rantes et le ddve]oppement en po ten t ie l p e r t u r b a t e u r V (r) du rdseau dol t 6tre revu.

U n mei l leur calcul dev ra i t auss i fairc in te rveni r de mani~re self-eonsistente la p e r t u r b a t i o n du poten t ie l due ~ une modif icat ion de la densi t6 de charge au vois inage du p lan de macle.

Je suis heureuse de remercier ici Monsieur le Professeur J. FRIEDEL qui m'a propos6 ce probl~me et m'a eonstamment guid6e au cours de ce travail.

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