Résolution Algébrique des

Equations du 3° degré

Démonstration de Cardan

Soit l'équation (1) : ax3 + bx2 + cx + d = 0

On sait que :(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

(a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 = (3ab)(a+b) + a3 + b3

On pose :

L'équation (1) revient à :

z3 + pz + q = 0 Équation (2)

Si on pose z = u + v on a alors :

z3 = u3 + v3 + 3u2v + 3uv2 = (3uv)(u + v) + u3 + v3

z3 peut donc s'écrire de 2 façons :

1° : z3 = - pz - q

2° : z3 = (3uv)(u + v) + u3 + v3

D'après le théorème des fonctions symétriques des racines, u et v sont solutions de l'équation :

On aboutit à la formule dite de Cardan !!!

L'équation (2) admettra donc 3 solutions.

Discussion

1° Cas :

L'équation (2) admet une solution réelle :

z1 = u + v

Elle admet aussi deux solutions imaginaires :

2° Cas :

Dans ce cas u3 = v3

L'équation (2) admet une solution réelle simple :

Elle admet aussi une solution réelle double :

3° Cas :

Les nombres u et v sont des complexes conjugués. Leur somme sera donc réelle.

L'équation (2) admet 3 solutions réelles :

z1 = u + v

z2 = ju + j2v

z3 = j2u + jv

Démonstration de Viete

Soit l'équation (1): ax3 + bx2 + cx + d = 0

On sait que :

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

(a + b)3 = a3 + b3+ 3a2b + 3ab2

On pose :

L'équation (1) revient à

z3 + pz + q = 0 Équation (2)

En posant U = u3, on se ramène à une équation du second degré

On aboutit à la formule dite de Viete !!!

Il y aura 6 solutions telles que :

Finalement, elles sont identiques 2 à 2. Il reste donc 3 solutions : z1,z2,z3.

L'équation (2) admettra donc 3 solutions.

Résolution Algébrique des

Equations du 4° degré

Réduction

Soit l'équation générale (1):

ax4 + bx3 + cx² + dx + e = 0

Si on pose :

On aura donc :

On sait que :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Calculons à part chaque terme de l'équation

Finalement l'équation (1) revient à :

Pour simplifier on pose :

On ramène le cas général à la forme réduite :

z4 + Az2 + Bz + C = 0

Méthode de Ferrari

Soit l'équation (2):

z4 + Az2 + Bz + C = 0

Avec B ≠ 0

z4 + Az2 + Bz + C = 0

z4 = - Az² - Bz - C Equation (2)

On pose Z = z² + t pour introduire une inconnue auxiliaire t

Z² = (z² + t)² = z4 + 2tz² + t² Equation (3)

En mettant (2) dans (3) on élimine z4

Z² = (z² + t)² = - Az² - Bz - C + 2tz² + t²

Z² = (z² + t)² = (2t- A)z² - Bz + t² - C Equation (4)

On voudrais que le membre de droite soit de la forme (z + D)².

Z² = (z² + t)² = (2t- A)z² - Bz + t² - C = (z + D)²

Pour cela, on dit que D est la racine double du polynôme en rouge.

Donc le discriminant est nul. Ce qui revient à écrire que :

∆ = 0

B² - 4(2t - A)(t²- C) = 0 Equation (5)

B² - 4(2t3 - 2tC - At² + AC) = 0

B² - 8t3 + 8tC + 4At² - 4AC = 0

- 8t3 + 4At² + 8tC + B² - 4AC = 0

On aboutit à une équation du 3° degré que l'on appelle équation résolvante de Ferrari.

On obtiendra t (une de ses racines de l'équation (5) par la méthode de Cardan).

Une fois t trouvée, on calculera D et on aura:

(z² + t)² = (z + D)²

(z² + t)² - (z + D)² = 0

on reconnaît l'identité remarquable : a²- b² = (a + b) (a - b)

(z² + t)² - (z + D)² = 0

(z² + t + z + D) (z² + t - z - D) = 0

(z² + z + t + D) (z² - z + t - D) = 0

D'où 2 cas de figure :

1° Cas :

z² + z + t + D = 0

z1 et z2 seront solution de cette équation du second degré

2° Cas :

z² - z + t - D = 0

z3 et z4 seront solution de cette équation du second degré

D’ou les 4 solutions de l'équation (2) :

On reviendra à x par la relation :

Méthode de Descartes

Soit l'équation (2):

z4 + Az2 + Bz + C = 0

ici B ≠ 0

On considère que l'équation est un produit de 2 polynômes du second degré

z4 + Az2 + Bz + C = ( z² + az + b ) (z² + cz + d) = 0

En développant ce produit on arrive à :

z4 + Az2 + Bz + C = z4 + cz3 + dz² + az3 + acz² + adz + bz² + bcz + bd = 0

z4 + Az2 + Bz + C = z4 + (a + c)z3 + (ac + b + d)z² + (ad + bc)z + bd = 0

Par identification, on obtient les 4 conditions suivantes :

On arrive à

Puis, on aboutit enfin à une équation de degré 6 :

a6 + 2Aa4 + (A²- 4C)a² - B² = 0

On pose t = a²

t3 + 2At² + (A²- 4C)t - B² = 0

C'est l'équation de Descartes !

On obtiendra 3 valeurs distinctes de t, donc 6 valeurs distinctes de a qui donneront

3 factorisations différentes (changer a en -a donne la même factorisation).

On prend une valeur de a et on obtient :

( z² + az + b ) (z² + cz + d) = 0

D'où 2 cas de figure :

1° Cas :

z² + az + b = 0

z1 et z2 seront solution de cette équation du second degré

2° Cas :

z² + cz + d = 0

z3 et z4 seront solution de cette équation du second degré

D’ou les 4 solutions de l'équation (2) :

On reviendra à x par la relation :