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Rsolution de problmes M2 Alt UE7 2011-2012

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Rsolution de problmes Rsoudre des problmes fait partie de l'activit mathmatique C'est dans l'action que l'on apprend : l'apprentissage se fait au moins en partie travers les adaptations que les lves vont devoir faire de leurs connaissances mathmatiques pour les mettres en oeuvre dans les problmes

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Diffrents types de problmes Problmes de dcouverte : pour lequel l'lve va devoir construire une nouvelle mthode ou connaissance partir (ou contre) ce qu'il sait dj. Problmes dapplication Problmes dapprofondissement, de rinvestissement : ce type de problme ncessite de runir conjointement plusieurs savoirs ou savoir-faire pour pouvoir le rsoudre. Problmes dvaluation Problmes ouverts ou de recherche : ce type de problme est destin mettre llve en situation de recherche et de dveloppement de comptences dordre mthodologique.

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Problmes et oprations Les lves rencontrent des situations additives (pour lesquelles l'addition est un outil de rsolution), avant mme de savoir poser une addition ex : complter une collection pour raliser une collection quipotente Souvent, rsoudre un problme revient choisir et effectuer la ou les bonnes oprations (+, -, x, :) mais pas toujours...

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Exemple de problme sans opration il suffit donc de prendre 4 bonbons pour tre sr d'en avoir au moins 2 de la mme couleur Dans un bocal opaque il y a 5 bonbons rouges, 6 bonbons bleus et 8 bonbons jaunes. Combien de bonbons dois-je tirer au maximum pour tre sr d'en avoir au moins 2 de la mme couleur ? on n'a pas fait d'opration, et pourtant les lves rpondront : 5 + 6 + 8 = 19 bonbons ! pourquoi ?? on n'a pas fait d'opration, et pourtant les lves rpondront : 5 + 6 + 8 = 19 bonbons ! pourquoi ??

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Le contrat didactique Lge du Capitaine Une exprience maintenant clbre de lIREM de Grenoble. On a propos des lves de CE1 et CE2 le problme suivant : Sur un bateau il y a 26 moutons et 10 chvres. Quel est lge du capitaine ? 76% ont donn lge du capitaine !

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Le contrat didactique Rponse de Matthieu au problme : 36 ans Mre : tu as dix crayons dans la poche de ton short et dix crayons dans la poche de ta chemise. Quel est ton ge ? Mat : facile ! 20 ans. Mre : enfin Matthieu, quel ge as-tu ? Mat : en vrai, jai 6 ans. Mre : pourtant, tu as rpondu que tu avais 20 ans ! Mat : oui, mais ton problme, cest du faux, cest comme un conte quand cest du vrai, je nai pas besoin dun problme pour savoir mon ge Pre : jai 2000 F et Maman a 1000 F. Quel est mon ge ? Matthieu va chercher la calculatrice dans le cartable et rpond :3000 ans

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Le contrat didactique On peut se demander ce qui motive chez les enfants le choix dune opration : - Quel rle jouent les mots de l'nonc ? - Quelle est linfluence des apprentissages scolaires rcents ? - Quel rle joue la vraisemblance du rsultat ? on va s'intresser autant l'exactitude de la solution propose qu' la procdure employe par l'lve : elle est rvlatrice de ses connaissances

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Procdures des lves Un chien essaie de rattraper un renard. Le renard dmarre avec 30 m d'avance sur le chien, et pendant que le chien fait un bond de 2 m, le renard, lui, fait un bond de 0,50 m. Trouve en combien de bonds le chien aura rattrap le renard.

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stratgie essai / erreur elle fait partie de la dmarche scientifique stratgie essai / erreur elle fait partie de la dmarche scientifique

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Procdures des lves Parmi les procdures utilises par les lves, certaines seront considres comme plus expertes que d'autres, (et pas seulement en fonction de l'exactitude du rsultat) : - suivant la rapidit et l'conomie de la procdure - suivant les connaissances mathmatiques mises en oeuvre - suivant l'interprtation et la cohrence du rsultat obtenu

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Procdures des lves problme : 108 coureurs prennent le dpart d'une course. Il y a beaucoup d'abandons. 85 coureurs seulement terminent la course. Combien de coureurs ont abandonn ?

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utilisation d'un schma et du groupement par 10 utilisation d'un schma et du groupement par 10

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utilisation d'un dcomptage

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utilisation d'un calcul rflchi avec complment la dizaine suprieure avec complment la dizaine suprieure avec complment la centaine suprieure avec complment la centaine suprieure

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utilisation d'une opration pose addition addition trou soustraction

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Problmes et oprations on distingue 2 grandes catgories de problmes en fonction des oprations qu'ils ncessitent : -problmes additifs (addition et soustraction) -problmes multiplicatifs (multiplication et division)

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Problmes additifs ADDITION Opration, transformation = ajout Aspect cardinal = runion Aspect ordinal = surcomptage SOUSTRACTION Opration, transformation = retrait Aspect cardinal Aspect ordinal = dcomptage AB a a+b A B ? ? b b - a

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Evaluations en CE2 73% 30,5% 29,2%

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Classification des problmes additifs = Classification de Vergnaud Runion de deux collections ou composition de mesures on peut rechercher : - la collection totale - une sous-partie de la collection connaissant le total on peut rechercher : - la collection totale - une sous-partie de la collection connaissant le total le premier de ces deux types de problmes est le plus simple rsoudre pour les lves

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Classification des problmes additifs Transformation dtat dans un tel problme, on peut rechercher : - la situation finale - la transformation effectue - la situation initiale dans un tel problme, on peut rechercher : - la situation finale - la transformation effectue - la situation initiale

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Annie avait 14 billes, elle en a gagn 7, combien en atelle maintenant ? Annie avait 14 billes, elle a jou et elle en a maintenant 21. Que sestil pass ? Annie a gagn 7 billes, elle en a maintenant 21. Combien avaitelle de billes avant le jeu ? ? +7 21 ? +7 14 ? 21 14 Classification des problmes additifs : trois exemples de transformations ces deux derniers types de problmes sont plus difficiles rsoudre que le premier

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Classification des problmes additifs Comparaison On peut rechercher : - lun des deux tats - la relation entre les deux tats (combien X a-t-il de que Y ?) c'est le type de problme qui pose le plus de difficult aux lves On peut rechercher : - lun des deux tats - la relation entre les deux tats (combien X a-t-il de que Y ?) c'est le type de problme qui pose le plus de difficult aux lves

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Classification des problmes additifs Composition de transformations type de problme plus rare l'cole primaire

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Des erreurs qui peuvent tre lies : Aux calculs effectuer Au type de problme 73% 30,5% Runion de deux collections ou composition de mesures 76 34 ? 85 ? 108 Addition ou soustraction

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Quelles sont les variables qui rendent ces problmes plus ou moins complexes ? 1)On achte 3 chaises pour 45. Combien cote une chaise ? 2)On achte 3 chaises pour 45 et 1 table pour 50. Combien a-t-on dpens ? 3)On achte 3 chaises et une table pour 95, puis on rachte 2 chaises pour 30. Combien cote une chaise ? une table ? 4)On achte une table et 2 chaises pour 80, puis 2 tables et 6 chaises pour 130. Combien cote chaque meuble ?

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Les difficults peuvent tre relatives : Des facteurs mathmatiques Relations entre les nombres Nombres en jeu Grandeurs en jeu Dautres facteurs Place de la question Complexit linguistique Chronologie de lnonc Nombre dtapes pour rsoudre le problme et gestion des rsultats intermdiaires Interprtation sociale/subjective de lnonc.

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Des problmes faciles ou non ? Poss lentre en CE2 210 19 - Soustraction ou 210 avec ou sans units : 59,2% - Autres rponses : 36,9% (dmarche additive : 18,9%) - 19 : 27,3% - Autre : 68,4%

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et dans les manuels ? rechercher les problmes additifs dans les manuels de l'cole lmentaire -comment sont-ils signals ? -o sont-ils placs ? -quelles catgories de problmes trouve-t-on ? -quelle progression entre les diffrents problmes ?

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dans les manuels : on trouve plutt des "problmes" d'entranement lis aux oprations mais pas de vrais problmes la progression se fait par rapport aux oprations, et aux nombres mais pas par rapport au type de problme dans la plupart des cas (runion, transformation, comparaison ne sont pas forcment dans cet ordre voire pas tous reprsents) on trouve beaucoup plus de problmes de transformation