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Résolution d’équation du second degré
Deux exercices résolus détaillés et expliqués
Accessible dès la quatrième!
Problème n°1
Résoudre l’équation (x-1)2 – 9 = 0
Ainsi on remarque mieux que 9 est le carré de 3 et donc qu’on est en présence d’une différence de deux
carrés. L’identité remarquable a2 - b2 = (a+b) (a-b)
est utilisable avec a = (x-1) et b = 3 donc : (x-1)2-9 = [(x-1)+3] [(x-1)-3]
Pour factoriser (x-1)2 - 9on peut d’abord transformer l’équation de la façon
suivante(x-1)2 - 9 = (x-1)2 - 32
1ère étape : Factorisation
1ère étape : Factorisation
On peut maintenant enlever les parenthèses à l’intérieur des crochets pour simplifier l’expression ce
qui nous donne :(x-1)2-9 = [x-1+3] [x-1-3] = (x-1+3) (x-1-3)
d’où (x-1)2-9 = (x+2) (x-4)
Pour qu’un produit soit nul il suffit qu’un des deux membres du produit soit nul.
On recherchera donc la solution de x+2 = 0 et la solution de x-4 = 0 pour obtenir les deux solutions de
l’équation complète.
Résoudre (x-1)2-9 = 0 revient donc à résoudre l’équation (x+2) (x-4) = 0
2nde étape : Résolution de l’équation
Il faut prendre une équation comme une balance à deux plateaux. Ceux-ci contiennent chacun le même poids
puisqu’il y a égalité.
Si on veut garder l’équilibre on peut ajouter n’importe quel poids sur un plateau à la condition de rajouter le
même poids sur l’autre plateau.
2nde étape : Résolution de l’équation
Pour ne garder que X sur le plateau degauche il faut annuler 2 en ajoutant –2 (son opposé)
Puis rééquilibrer la balance en ajoutant –2 sur le plateau de droite
X+2 0=
X+2-20
=
Il n’y a plus qu’à simplifier les deux termesde l’égalité
Pour obtenir la première solution de l’équation
X+2-2 0-2=
X -2=
2nde étape : Résolution de l’équation
• Voilà une façon un peu plus classique pour résoudre l’équation
• X + 2 = 0 x + 2 – 2 = 0 – 2• x = -2• X - 4 = 0 x – 4 + 4 = 0 + 4• x = 4
2nde étape : Résolution de l’équation
• L’ensemble des solutions de l’équation (x-1)2 – 9 = 0
est donc S = {-2;4}
Problème n°2
Résoudre l’équation (2x-3)2 – 16 = 0
Ainsi on remarque mieux que 16 est le carré de 4 et donc qu’on est en présence d’une différence de deux carrés. L’identité
remarquable a2 - b2 = (a+b) (a-b) est utilisable avec a = (2x-3) et b = 4 donc : (2x-3)2-16 = [(2x-3)+4] [(2x-3)-4]
On peut maintenant enlever les parenthèses à l’intérieur des crochets pour simplifier l’expression ce qui nous donne :
(2x-3)2-16 = [2x-3+4] [2x-3-4] = (2x-3+4) (2x-3-4)d’où (2x-3)2-16 = (2x+1) (2x-7)
Pour factoriser (2x-3)2 - 16on peut d’abord transformer l’équation de la façon suivante
(2x-3)2 - 16 = (2x-3)2 - 42
1ère étape : Factorisation
Pour qu’un produit soit nul il suffit qu’un des deux membres du produit soit nul.
On recherchera donc la solution de 2x+1 = 0 et la solution de 2x-7 = 0 pour obtenir les solutions de
l’équation complète.
Résoudre (2x-3)2-16 = 0 revient donc à résoudre l’équation (2x+1) (2x-7) = 0
2nde étape : Résolution de l’équation
Réutilisons notre principe de la balance à deux plateaux.
Sans oublier qu’il faut garder l’équilibre
entre les deux plateaux.
2nde étape : Résolution de l’équation
Pour ne garder que 2X sur le plateau degauche il faut annuler 1 en ajoutant –1 (son opposé)
Puis rééquilibrer la balance en ajoutant –1 sur le plateau de droite
2X+1 0=
2X+1-10
=
Il n’y a plus qu’à simplifier les deux termesde l’égalité
Ce n’est pas encore suffisant puisque c’est la valeur de X et pas de 2X que nous cherchons
2X+1-1 0-1=
2X -1=
Pour ne garder que X sur le plateau degauche il faut multiplier 2 par son inverse, soit ½
Puis rééquilibrer la balance en multipliant par ½ sur le plateau de droite, ce qui peut aussi s’écrire :
½ . 2X ½ . (-1)=
½ . 2X-1
=
Il n’y a plus qu’à simplifier les deux termesde l’égalité
Pour obtenir la première solution de l’équation
(½ . 2)X - (½ .1)=
X - ½ =
2nde étape : Résolution de l’équation
• Voilà une façon un peu plus classique pour résoudre l’équation
• 2X + 1 = 0 2x + 1 – 1 = 0 – 1• 2 x = -1• ½ . 2x = ½ . (-1)• x = - ½ Pour le premier terme de l’équation
2nde étape : Résolution de l’équation
• Voilà une façon un peu plus classique pour résoudre l’équation
• 2X - 7 = 0 2x – 7 + 7 = 0 + 7• 2 x = 7• ½ . 2x = ½ . (7)• x = 7 / 2 Pour le second terme de l’équation
2nde étape : Résolution de l’équation
• L’ensemble des solutions de l’équation (2x-3)2 – 16 = 0
est donc S = {-1/2;7/2}
Petits conseils
• Nous n’avons utilisé que l’identité remarquable a2 – b2 = (a-b)(a+b)
pour notre petite démonstration.• N’oubliez pas les autres
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 eta2 – 2ab + b2 = (a - b)2
Cherchez toujours à factoriser à chaque fois que vous voudrez résoudre une équation d’un degré supérieur ou
égal à 2.
Remarques
• Quand vous cherchez à résoudre une équation, pensez au principe de la balance à deux plateaux et n’oubliez pas les deux règles d’algèbre indispensables à la résolution d’équations :
• La somme d’un nombre et de son opposé est égale à 0
• Le produit d’un nombre et de son inverse est égal à 1