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This article was downloaded by: [University of Sydney]On: 07 September 2014, At: 17:15Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: MortimerHouse, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK
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Résolution des équations de Saint Venant par unschéma éléments finis et un schéma volumes finisMohammed Boulerhcha a , Farid Boushaba a , Imad Elmahi a & Hamid Amaoui aa Faculté des Sciences, Département de Physique , Oujda , MarocPublished online: 26 Apr 2012.
To cite this article: Mohammed Boulerhcha , Farid Boushaba , Imad Elmahi & Hamid Amaoui (2005) Résolution deséquations de Saint Venant par un schéma éléments finis et un schéma volumes finis, Revue Européenne des Éléments,14:8, 999-1013
To link to this article: http://dx.doi.org/10.3166/reef.14.999-1013
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Résolution des équations de Saint Venantpar un schéma éléments finiset un schéma volumes finis
Mohammed Boulerhcha— Farid Boushaba— Imad ElmahiHamid Amaoui
Faculté des Sciences,Département de Physique,Oujda, Maroc
mboulerhcha, boushaba, [email protected]
RÉSUMÉ.Les équations de Saint Venant bidimensionnelles sont résolues par deux méthodes dif-férentes. La première, centrée, est de type éléments finis. La seconde, décentrée, est de typevolumes finis. Toutes les deux sont de second ordre dans le temps et dans l’espace. La vali-dité des deux méthodes est démontrée sur des tests numériques et les performances de chacuneanalysées et comparées.
ABSTRACT.Two dimentionnal shallow water equations are resolved by two different methods.The first one, is centred and is the finite element type. The second one, is an upwind method andis finite volume type. Both methods are second order in space and time. The validity of the twomethods is demonstrated over examples and their performances are analysed and compared.
MOTS-CLÉS :équations de Saint Venant, capture de choc, schéma de Lax-Wendroff, schéma deRoe, éléments finis, volumes finis
KEYWORDS:Shalow Water Equations, Shock Capturing, Lax-Wendroff Scheme, Roe Scheme, Fi-nite Element Method, Finite Volume method
Revue européenne des éléments finis. Volume 14 – n˚ 8/2005, pages 999 à 1013
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1000 Revue européenne des éléments finis. Volume 14 – n˚ 8/2005
1. Introduction
La classe des écoulements à surface libre, modélisés par les équations de Saint Ve-nant, est un sujet très étudié en mécanique des fluides numérique et en mathématiquesappliquées. En effet, le contrôle du débit est un paramètre essentiel pour l’industrie,l’agriculture ou l’alimentation en eau potable. L’aménagement des ressources en eauest aussi d’une importance capitale, notamment la prédiction des ruptures des barrageset les ondes de crue.
Plusieurs classes de méthodes numériques sont utilisées dans la littérature pourrésoudre les équations de Saint Venant, chacune ayant ses mérites et ses points faibles.Dans ce travail les schémas suivants ont été utilisés pour résoudre les équations deSaint Venant :
– schéma de Lax-Wendroff à deux étapes en version éléments finis,
– schéma de Roe de type volumes finis.
La méthode des éléments finis de type Galerkin s’étant heurtée à des difficultésd’instabilité dans la résolution des équations de convection, Donea (1984), suivantles travaux de Lax et Wendroff en différences finies, proposa de procéder d’abord àla discrétisation du temps par un schéma d’Euler explicite de second ordre, et d’ef-fectuer ensuite la discrétisation de l’espace par la méthode de Galerkin. Il obtint unschéma d’ordre deux stable sous condition. Ce schéma a été amélioré par une procé-dure en deux étapes par Lohner (Löhneret al., 1985b) et appliqué avec succès auxécoulements à surface libre par G. Dhatt (Meftahet al.,1999).
Dans le cadre des volumes finis, la question principale est comment estimer leflux normale à chaque facette de l’élément en tenant compte de la physique associéeaux équations hyperboliques. Le schéma de Roe, basé sur le schéma de Goudunovqui résoud un problème de Riemann, est construit dans ce but (Roe, 1981). Le schémaque nous présentons est une variante du schéma de Roe dont la précision est amélioréegrâce à la technique MUSCL (Benkhaldounet al.,1996).
L’objectif de cette étude est de comparer les performances du schéma Lax-Wendroff de type éléments finis au schéma de Roe modifié de type volumes finis.Après avoir écrit les équations de Saint Venant dans la section 2, nous présentons dansla section 3 le schéma de Lax-Wendroff (LW) et ses principales caractéristiques. Dansla section 4, nous présentons le schéma de Roe, puis sa version du second ordre, ainsique ses principales propriétés. L’étude s’achève par des tests numériques, mettant enévidence les caractéristiques de chaque schéma en effectuant des comparaisons surleurs performances.
2. Modèle mathématique
Les variables de description physique sont :
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Equations de St Venant par EF et VF 1001
h hauteur d’eauV = (u, v) vecteur vitesse de l’écoulementg accélération de la pesanteurc =
√
(gh) vitesse du son∆t pas de tempstn = n∆t etUn = U(tn)
Dans un domaineΩ de frontièreΓ et sous les hypothèses suivantes :
– fluide incompressible
– pression hydrostatique
– pente nulle
– force du vent et force de Coriolis nulles
un écoulement à surface libre, est régi par les équations de Saint Venant qui peuventêtre organisées sous la forme vectorielle suivante :
∂U
∂t+
∂F
∂x+
∂G
∂y= 0 [1]
où
U =
hhuhv
F =
huhu2 + gh2/2
huv
G =
hvhuv
hv2 + gh2/2
Le système 1 représente le système des équations de Saint Venant sous forme conser-vative. Pour avoir un problème bien posé, il faut adjoindre à ce système un jeu deconditions aux limites et de conditions initiales.
3. Méthode des éléments finis : schéma de Lax-Wendroff
3.1. Discrétisation
L’essentiel du schéma de Lax-Wendroff à deux pas réside dans le traitement de ladiscrétisation temporelle qui précède la discrétisation spatiale. Le choix judicieux del’approximation spatiale donne un schéma de deuxième ordre dans le temps et dansl’espace (Boulerhchaet al.,1996). Il s’écrit :
Un+ 1
2 = Un − ∆t
2
(
∂Fn
∂x+
∂Gn
∂y
)
Un+1 = U
n − ∆t
(
∂Fn+ 1
2
∂x+
∂Gn+ 1
2
∂y
) [2]
avec
Fn = F (Un) et G
n = G(Un)
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1002 Revue européenne des éléments finis. Volume 14 – n˚ 8/2005
Pour obtenir le modèle éléments finis, les relations 2 vont être écrites sous formesfaibles. En appelantΨ la fonction de pondération, nous obtenons :
WI =
∫
Ω
Ψ
(
Un+ 1
2 − Un)
dΩ +∆t
2
∫
Ω
Ψ
(
∂Fn
∂x+
∂Gn
∂y
)
dΩ = 0 [3]
et
WII =
∫
Ω
Ψ(
Un+1 − U
n)
dΩ − ∆t
∫
Ω
(
Ψ,xFn+ 1
2 + Ψ,yGn+ 1
2
)
dΩ
+∆t
∫
Γ
Ψ
(
Fn+ 1
2 nx + Gn+ 1
2 ny
)
dΓ = 0 [4]
Après avoir maillé le domaineΩ en éléments triangulairesΩe, la discrétisation paréléments finis va se faire en deux étapes :Etape 1.Les espaces admissibles pourWI s’expriment par les conditions :
– Ψ égal à 1 sur l’élémentΩe et nul ailleurs.
– Un+ 1
2 = Un+ 1
2
e , constant sur l’élémentΩe et nul ailleurs.
– Un, F
n, Gn de typeC0.
Ces choix permettent de déduire de la forme [3] :
W eI =
∫
Ωe
Ψ
(
Un+ 1
2 − Un)
dΩe +∆t
2
∫
Ωe
Ψ
(
∂Fn
∂x+
∂Gn
∂y
)
dΩe = 0
soit :
AeUn+ 1
2
e =
∫
Ωe
UndΩe −
∆t
2
∫
Ωe
(
∂Fn
∂x+
∂Gn
∂y
)
dΩe [5]
Ae est l’aire de l’élément triangulaire.
Un, F
n, Gn étant approximés par des fonctions linéaires, nous obtenons à l’issue de
cette étape le termeUn+ 1
2
e = Un+ 1
2 constant sur chaque élément.
Etape 2.Les espaces admissibles pourWII s’expriment par :Ψ, Un+1, U
n de typeC0 ; F
n+ 1
2 , Gn+ 1
2 sont définis par
Fn+ 1
2 = Fn +
(
Fn+ 1
2 − Fn)
Gn+ 1
2 = Gn +
(
Gn+ 1
2 − Gn) [6]
avec :
Fn
=1
Ae
∫
Ωe
F dΩe , Gn
=1
Ae
∫
Ωe
G dΩe et Fn+ 1
2 = F
(
Un+ 1
2
)
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Equations de St Venant par EF et VF 1003
La variation deF n+ 1
2 , Gn+ 1
2 est alors de même nature que celle deFn, Gn. Ensuite,
la formeWII est mise sous la forme :
WII =∑
e
W eII [7]
qui en utilisant les approximations relatives àWII et en effectuant l’assemblage mèneà un système linéaire :
[M ]∆U = R [8]
où [M ] est la matrice masse,R le résidu et∆U = Un+1 − Un. Il esttrès fréquent que le système 8 soit diagonalisé par l’utilisation de la matrice massediagonale[ML].
La résolution de ce système algébrique est effectuée d’une manière itérative parune simple méthode de Jacobi (Strang, 1986). L’algorithme de résolution s’écrit :
∆U(0)
= 0
∆U(k+1)
=
∆U(k)
+[
M−1L
]
(
R − [M ]
∆U(k)) [9]
Du fait du bon conditionnement de la matrice[M ], trois itérations(k = 3) sonten général suffisantes pour avoir une bonne approximation de la solution du systèmelinéaire. Si l’on désire utiliser la matrice masse diagonale, il suffit de se limiter à uneseule itération dans l’algorithme de résolution 9. Il convient de noter qu’aucun stoc-kage de matrices n’est nécessaire.
3.2. Techniques de capture de chocs
En présence d’ondes de choc, l’algorithme du second ordre 2 est sujet à de fortesoscillations qui peuvent mener à l’instabilité totale en présence d’un ressaut hydrau-lique. Ceci est conforme au théorème de Godunov qui stipule qu’un schéma linéaire(Boulerhchaet al.,1995, Deconninck, 1991) et de second ordre est nécessairement os-cillatoire au voisinage d’une discontinuité. Une stabilisation du schéma par un amor-tissement numérique est donc nécessaire. Elle est basée sur l’addition d’un terme nu-mérique de dissipation dans le but d’étaler la discontinuité (le choc) sur plusieurséléments, sans affecter pour autant, la solution dans les régions lisses (Boulerhchaetal., 1996, Löhneret al.,1985a, Peraireet al.,1987).
SoitUn+1 la solution calculée par le schéma de Lax-Wendroff 8. La solution lisséeU
n+1s (s pour smoothed) est définie par :
Un+1s = U
n+1 + [ML]−1
D
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1004 Revue européenne des éléments finis. Volume 14 – n˚ 8/2005
D étant le vecteur d’amortissement numérique déduit par assemblage du vecteur nodalélémentaired :
d = CFLeν se [me − mLe
] U e [10]
où me et mLesont les matrices masse élémentaires, respectivement, pleine et diago-
nale.se contrôle la dissipation numérique en indiquant l’apparition de forts gradients,tout en devenant inactif dans les régions lisses.se est choisi comme étant le maximumdes valeurs nodales élémentairessi définies par :
si =
∣
∣
∣
∣
∑
e [me − mLe] hei
∑
e [|me − mLe|] he i
∣
∣
∣
∣
[11]
La sommation s’étend à l’ensemble des élémentse ayant le nœudi en commun, l’opé-rateur[|.|] désigne la valeur absolue et
he =
h1
h2
h3
désigne la hauteur aux nœuds de l’élémente. Dans 10,ν est une constante fixée parl’utilisateur, des valeurs deν comprises entre 1 et 3 donnent de bons résultats.CFLe
est le nombre de Courant élémentaire
CFLe=
∆t
∆te
∆te est le temps maximum que met la perturbation la plus rapide pour parcourir l’élé-ment, soit
∆te =le
|V | + c
le étant une longueur caractéristique de l’élément, choisie ici comme étant la deuxièmehauteur du triangle. L’expérience montre que ce choix constitue une bonne représen-tation de la taille de l’élément.
3.3. Stabilité
Pour un système d’équations hyperboliques bidimentionnelles, une perturbationpeut se propager dans une infinité de directionsn. Pour tout choix den, les vitessesde propagation sont égales à :
λ(1) = V · n , λ(2) = V · n
λ(3) = V · n + c , λ(4) = V · n − c
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Equations de St Venant par EF et VF 1005
La vitesse maximale à laquelle peut se propager une perturbation est doncV + c, oùV est le module de la vitesse. Nous définissons alors le nombre de Courant par :
σ =(V + c)∆t
le[12]
Les critères de stabilité relatifs aux équations de Saint Venant sont déduits des cri-tères obtenus pour l’équation scalaire de convection (Boulerhchaet al.,1995, Peraireet al.,1987) avec la nouvelle définition du nombre de Courant 12. Nous obtenons alorspour le pas de temps permis :∆t ≤ le/
√3(V + c) pour le schéma LW avec masse
pleine et∆t ≤ le/(V + c) pour le schéma LW avec masse diagonale.
4. Méthode des volumes finis : schéma de Roe
4.1. Discrétisation
Partons du système d’équations de Saint Venant :
∂U
∂t+
∂F
∂x+
∂G
∂y= 0 [13]
nous l’intégrons sur le volume fini triangulaireTi de frontière∂Ti,
∫
∂Ti
(
∂U
∂t+
∂F
∂x+
∂G
∂y
)
dΩ = 0
U étant supposé constant par élément, nous appliquons le théorème de Green et nousobtenons :
Ai
∂U i
∂t+
∫
∂Ti
(Fnx + Gny) dΓ = 0 [14]
U i est l’approximation deU sur le triangleTi, Ai est l’aire deTi, n(nx, ny) est levecteur unitaire normal dirigé vers l’extérieur. La frontière∂Ti est décomposée enunion de frontières partielles associées à chaque côté de la celluleTi :
∂Ti =⋃
j∈E(i)
Γij [15]
oùΓij est l’interface entre les volumesTi etTj , E(i) est l’ensemble des triangles quiont une arrête commune avec le triangleTi. La forme [14] devient :
Ai
∂U i
∂t+∑
j∈E(i)
∫
Γij
(Fnx + Gny) dΓ = 0 [16]
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1006 Revue européenne des éléments finis. Volume 14 – n˚ 8/2005
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(Ti) (Tj)
Γij
• •Gi Gj
-~nij
Figure 1. Interface entre deux volumes finis
Nous notons :
F(U , n) = F nx + Gny [17]
le flux convectif à travers les trois arrêtes du triangleTi, et nous cherchons une ap-proximation de
∫
ΓijF(U , n) dΓ sous la forme :
∫
Γij
F(U , n) dΓ = Φ(U i, U j , nij) mes(Γij) [18]
Φ est appelé flux numérique,U i, U j sont les valeurs deU sur le triangleTi, Tj etnij le vecteur normal àΓij (figure 1).
Le schéma de Roe (1981) est basé sur la décomposition caractéristique des diffé-rences du flux en s’assurant de la conservation du schéma, il est défini par :
Φ(U i, U j , nij) =1
2(F(U i, nij) + F(U j , nij))
− 1
2|A∗(U i, U j , nij)| · (U j − U i) [19]
La matriceA∗ doit vérifier les conditions suivantes (Roe, 1981) :
– A∗(U , V , n)(V − U) = F(V , n) − F(U , n)
– A∗(U , U , n) = A(U , n) = nx
∂F
∂U+ ny
∂G
∂U: matrice jacobienne
– A∗(U , V , n) possède des valeurs propres réelles pour toutU et V , et les vec-
teurs propres deA∗ sont linéairement indépendants.
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Equations de St Venant par EF et VF 1007
Pour évaluer la matriceA∗ nous introduisons le vecteur paramètre constitué par lesmoyennes de Roe (Benkhaldounet al.,1996) :
U∗(U i, U j) =
h∗ =1
2(hi + hj)
u∗ =ui
√hi + uj
√
hj√hi +
√
hj
v∗ =vi
√hi + vj
√
hj√hi +
√
hj
[20]
La matriceA∗ est alors définie par :
A∗(U i, U j , nij) = A(U∗(U i, U j), nij)
A étant la matrice jacobienne :
A(U , n) = nx
∂F
∂U+ ny
∂G
∂U
=
0 nx ny
(gh − u2)nx − uvny 2unx + vny uny
(gh − v2)ny − uvnx vnx unx + 2vny
4.2. Schéma de Roe-MUSCL de second ordre
Le schéma de Roe est un schéma décentré de premier ordre. Afin d’acroître l’ordrede précision nous introduisons la technique MUSCL (Benkhaldoun, 1998). La va-riableU est approximée par un système de fonctions linéaires par morceaux ; sur l’in-terfaceΓij , les états à droite et à gauche deU sont définis par l’interpolation linéairesuivante :
Ulij = U i + 1
2~∇U i.
−−−→GiGj
Urij = U j − 1
2~∇U j .
−−−→GiGj
[21]
Gi(xi, yi) et Gj(xj , yj) sont respectivement les barycentres des trianglesTi et Tj
(figure 1).
(
∂U i
∂x,∂U i
∂y
)
sont évalués comme étant le minimum de la fonction qua-
dratique suivante (Benkhaldounet al.,1996) :
Θi(X, Y ) =∑
j∈K(i)
|U i + (xj − xi)X + (yj − yi)Y − U j |2 [22]
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1008 Revue européenne des éléments finis. Volume 14 – n˚ 8/2005
K(i) est l’ensemble d’indices des triangles voisins du triangleTi. Cependant, leschéma ainsi construit n’est pas monotone, pour contourner cette difficulté, nous uti-lisons le limiteur MinMod pour déterminer~∇U i et ~∇U j :
∂limU i
∂x=
1
2
[
minj∈K(i)
sgn
(
∂U j
∂x
)
+ maxj∈K(i)
sgn
(
∂U j
∂x
)]
minj∈K(i)
∣
∣
∣
∣
∂U j
∂x
∣
∣
∣
∣
∂limU i
∂y=
1
2
[
minj∈K(i)
sgn
(
∂U j
∂y
)
+ maxj∈K(i)
sgn
(
∂U j
∂y
)]
minj∈K(i)
∣
∣
∣
∣
∂U j
∂y
∣
∣
∣
∣
Ces valeurs sont utilisées dans la relation [21] pour évaluerUlij etU r
ij .
Le schéma de Roe-MUSCL de second ordre consiste à utiliserUlij et U r
ij déter-minés ci-dessus à la place deU i et U j pour calculer le flux numérique de la relation[19] :
Φ(U lij , U
rij , nij) =
1
2
(
F(U lij , nij) + F(U r
ij , nij))
− 1
2
∣
∣
∣A
∗(U lij , U
rij , nij)
∣
∣
∣·(
Urij − U
lij
)
[23]
où :
A∗(U l
ij , Urij , nij) = A(U∗(U l
ij , Urij), nij)
U∗(U l
ij , Urij) étant formé à partir des moyennes de Roe :
U∗(U l
ij , Urij) =
h∗ =1
2(hl
ij + hrij)
u∗ =ul
ij
√
hlij + ur
ij
√
hrij
√
hlij +
√
hrij
v∗ =vl
ij
√
hlij + vr
ij
√
hrij
√
hlij +
√
hrij
[24]
Discrétisation temporelle :
En combinant les relations [16],[17] et [18] nous avons :
∂U i
∂t= − 1
Ai
∑
j∈E(i)
(Φ(U i, U j , nij) · mes(Γij))
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Equations de St Venant par EF et VF 1009
ce que nous pouvons réécrire sous la forme :
∂U
∂t= H(U) [25]
La discrétisation temporelle est réalisée à l’aide d’un schéma de type Runge-Kuttad’ordre 2 (Hirsch, 1988) :
Un+1
= Un + ∆t
2 H(Un)
Un+1 = U
n + ∆tH(Un+1
)[26]
5. Tests numériques
5.1. Ressaut hydraulique oblique
Les deux schémas (Lax-Wendroff et Roe-MUSCL) décrits dans l’étude précé-dente sont comparés sur un premier test numérique constitué d’un ressaut hydrauliqueoblique. Il s’agit d’un courant circulant dans un canal de largeur30m, ses caractéris-tiques à l’entrée sont :u1 = 8, 57m/s, v1 = 0m, h1 = 1m, Q = 257, 1m3/s et unnombre de FroudeFr1 = 2, 74 ; ce courant est dévié par une paroi latérale d’angleθ = 8, 950. Théoriquement, cela donne naissance à une onde de choc stationnaired’angleβ = 300 et un courant aval parallèle à la paroi, de hauteurh2 = 1, 50m et unevitesseu2 = 7, 96m/s. Numériquement, nous résolvons les équations de Saint Venantsans terme source sur un domaine maillé en éléments triangulaires et contenant 1 329noeuds et 2 521 éléments (figure 2). A l’entrée (x = 0, 0 ≤ y ≤ 30), des conditionsaux limites de type Dirichlet sont imposées :
u1 = 8, 57m/sv1 = 0m/sh1 = 1m
La condition de glissement est imposée sur la paroi ; le reste de la frontière estlaissée libre. Le pas de temps est∆t = 0, 008 correspondant à un nombre de courantCFL = 0, 26.
La figure 3 montre les iso-hauteurs obtenues par les deux méthodes. Par la méthodedes éléments finis l’angle du choc est de l’ordre de30, 10 ; par la méthode des volumesfinis il est de l’ordre de30, 50. La capacité des deux méthodes à capturer le choc estdonc satisfaisante. Nous présentons également la hauteur à la sortie du domaine surla figure 4, nous constatons que la méthode des volumes finis est légèrement plusdiffusive. Les deux méthodes convergent à0, 5 10−6 en erreur relative ; le temps CPU(sur PC Pentium 3 à 1 GHz) consommé est de 61s pour le schéma de Lax-Wendroffet de 141s pour le schéma de Roe. La méthode des volumes finis consomme doncplus de temps CPU, cela est dû à l’évaluation du flux numérique au niveau de chaquefacette.
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1010 Revue européenne des éléments finis. Volume 14 – n˚ 8/2005
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30
Figure 2. Géométrie du domaine et maillage
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
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0 5 10 15 20 25 30 35 400
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30
Figure 3. Iso-hauteurs, à gauche schéma LW, à droite schéma de Roe
0 5 10 15 20 25 301
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
1.45
1.5
Y(m)
Hau
teur
(m)
Schéma de RoeSolution exacteSchéma de LW
Figure 4. Hauteur à la sortie du domaine
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5.2. Rupture partielle d’un barrage circulaire
Ce test (Alcrodoet al.,1993) va nous permettre de comparer la capacité des deuxschémas (Lax-Wendroff et Roe-MUSCL) à reproduire une solution symétrique. Ledomaine est un carré, maillé avec des éléments triangulaires et contenant 2 601 noeudset 5 000 éléments (figure 5 à gauche). Initialement, nous avons un barrage cylindriquede rayon 25m retenant une colonne d’eau de hauteur 10m (figure 5 à droite). Dansle reste du domaine la hauteur est 1m. La vitesse à l’état initial est nulle partout. Lesconditions aux limites sont de type Dirichlet sur toute la frontière.
A t = 0, le barrage se rompt et nous assistons à une onde de crue qui se propagedans le domaine. La solution est calculée par les deux schémas. La figure 6 présenteles iso-hauteurs, la figure 7 à gauche montre l’évolution de la hauteur au point milieuau cours du temps et la figure 7 à droite présente une coupe pour les hauteurs effectuéeày = 25.
Nous constatons que les iso-hauteurs ne sont pas parfaitement symétriques, nouspensons que cela est dû à l’influence du maillage d’une part, et surtout à l’état initialqui n’est pas un cercle parfait. La coupe selony = 25 montre une similitude desrésultats sauf au niveau du front où l’on constate un surplus de diffusion du schémade Roe. L’évolution du point central est identique dans les deux schémas.
6. Conclusion
Nous étudions dans cet article les écoulements à surface libre régis par les équa-tions de Saint Venant en variables conservatives, connues pour leurs caractères hyper-boliques. La résolution numérique est effectuée par la méthode des éléments finis enutilisant le schéma de Lax-Wendroff, et par la méthode des volumes finis couplée auschéma de Roe.
Aussi bien pour la recherche d’une solution permanente que pour la recherched’une solution instationnaire, les deux méthodes réalisent des performances compa-rables. En particulier, les chocs droits sont capturés de façon précise par les deuxméthodes. Le schéma de Roe montre toutefois un léger surplus de diffusion, et untemps CPU nettement plus grand comparé au schéma de Lax-Wendroff.D
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1012 Revue européenne des éléments finis. Volume 14 – n˚ 8/2005
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5
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3040
5060
0
10
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50
601
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figure 5. A gauche : Maillage. A droite : Solution initiale
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
5
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5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
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50
Figure 6. Iso-hauteurs. A gauche : schéma LW, à droite : schéma de Roe
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.79.82
9.84
9.86
9.88
9.9
9.92
9.94
9.96
9.98
10
Temps (s)
Ha
ute
ur
(m)
Point milieu du domaine (x=25m et y=25m)
Schéma de LWSchéma de Roe
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Distance (m)
Ha
ute
ur
(m)
Coupe suivant x à y=25m
Schéma de RoeSchéma de LW
Figure 7. A gauche : Hauteur au point milieu. A droite : Coupe en y=25
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Equations de St Venant par EF et VF 1013
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