Résolution des systèmes linéaires MPSI 1 T.D. 1 2015 alain. ?· Stanislas T.D. 1 Résolution des…

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    16-Sep-2018

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  • Stanislas

    T.D. 1Rsolution des systmes linaires MPSI 1

    2015/2016

    n dsigne un entier naturel non nul.

    Partie I : Algorithme du pivot de Gauss

    Soient (a1,1, . . . , a1,n, . . . , an,1, . . . , an,n, b1, . . . , bn) des nombres complexes. Le systme (S )

    (S )

    a1,1x1 + . . .+ a1,nxn = b1a2,1x1 + . . .+ a2,nxn = b2

    ... =...

    an,1x1 + . . .+ an,nxn = bn

    est un systme linaire d'inconnues x1, . . . , xn.Dfinitions. Un n-uplet (x1, . . . , xn) est solution de (S ) s'il est solution de chacune des lignes dusystme. Deux systmes sont dits quivalents s'ils ont le mme ensemble de solutions.

    Nous noterons L1, . . . , Ln les lignes du systme et appellerons oprations lmentaires sur leslignes du systme les transformations suivantes : Pour i 6= j, l'change des lignes Li et Lj , symbolis par Li Lj . Pour 6= 0, la multiplication de la ligne Li par , symbolise par Li Li. Pour i 6= j et C, l'ajout Li de la ligne Lj multiplie par , symbolis par Li Li + Lj .

    Thorme 1.Le systme obtenu par application d'oprations lmentaires sur les lignes est quivalent ausystme initial.

    Principe de lalgorithme du pivot de Gauss : On utilise les oprations lmentaires pour transfor-mer le systme en un systme chelonn, c'est--dire dans lequel le nombre d'inconnues dcrotstrictement quand on passe d'une ligne la suivante.Algorithme : On cherche une ligne o le coecient de x1 est non nul et simple. Notons cette ligneLi0 . On change les lignes 1 et i0, L1 Li0 . On utilise la nouvelle ligne L1 pour liminer les occurrences de x1 dans les lignes suivantes,c'est la ligne pivot. Par exemple, si la ligne L2 le coecient de x1 est a, on eectueL2 L2 aL1. On reprend ensuite les tapes de l'algorithme en travaillant sur toutes les lignes sauf lapremire de manire liminer x2. . . Enn, on exprime les solutions en fonction des variables libres.

    Dfinition 1 (Rang).Le rang du systme est le nombre d'quations non triviales du systme chelonn.

    Thorme 2 (Ensemble de solutions, P.A.).Soit S l'ensemble des solutions du systme (S ). Soit S = , les quations sont incompatibles. Soit S est un singleton, le rang est alors gal au nombre d'inconnues. Soit S est inni, le rang est alors strictement infrieur au nombre d'inconnues.

    Stanislas A. Camanes

  • T.D. 1. Rsolution des systmes linaires MPSI 1

    Exercice 1. Rsoudre les systmes suivants.

    1. (S1)

    2x+ 3y + z= 7x y + 2z=33x+ y z= 6

    . 2. (S2)

    2x y + 4z= 2x+ 2y 3z= 6

    4x+ 3y 2z= 14.

    3.{x+ y + z= 5 .

    Exercice 2. (Paramtres) Soit a un rel. Dterminer en fonction des valeurs de a les solutions dessystmes

    1. (S1){ax+ y= 2x+ ay=2 . 2. (S2)

    x ay + a2z= 2aax a2y + az= 2aax+ y a2z= 1 a

    .

    3. (S3){

    (a 1)x+ (a2 1)y + (a3 1)z= a2 + a 2 .

    Partie II : Gomtrie

    Exercice 3. (2 inconnues)

    1. Rsoudre le systme (S1){

    2x+ 3y= 53x+ 2y= 10

    . Reprsenter graphiquement l'ensemble des solutions

    de ce systme.

    2. Soit (a, b, c, d, , ) R6. En utilisant une interprtation gomtrique, dterminer une condi-

    tion ncessaire et susante sur (a, b, c, d) pour que le systme (S2)

    {ax+ by=cx+ dy=

    possde une

    unique solution.

    Exercice 4. (3 inconnues) Rsoudre chacun des systmes suivants et interprter gomtriquementles rsultats.

    1. (S1)

    x+ 2y 3z=13x y + 2z= 7

    5x+ 3y 4z= 2.

    2. (S2){

    2x 3y + 5z= 8x+ 2y + 4z=11 .

    3. (S3){

    2x y + 5z= 42x+ y + 3z=3 .

    4. (S4){

    3x 2y + 5z= 16x+ 4y 10z=1 .

    5. (S5)

    3x+ 2y + 7z= 3

    9x+ 6y + 21z= 951x+ 34y + 119z= 51

    .

    Partie III : Pour aller plus loin

    Exercice 5. Soit a un rel. Rsoudre les systmes suivants.

    1. (S1)

    2x y + 3z t= 1x+ y + z + t= 0

    x 4y z 4t= 3. 2. (S2)

    x+ ay az= 1

    y + z= 02ax+ (1 + a)y (1 a)z= 0

    .

    Exercice 6. Identier les rels pour lesquels le systme d'quations suivant possde une solution.

    (S )

    2x1 x2 + x3 + x4 = 1x1 + 2x2 x3 + 4x4 = 2

    x1 + 7x2 4x3 + 11x4 =

    Exercice 7. Soient a, b, c trois rels. On tudie le systme

    (S )

    ay + bx= ccx+ az= bbz + cy= a

    1. Montrer que si le systme (S ) possde une unique solution, alors a 6= 0.2. Rsoudre le systme (S ) lorsque abc 6= 0.

    Stanislas A. Camanes

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