RESOLUTION POUTRES HYPERSTATIQUES P p kN/m pL kN L/2 · Calcul du moment fléchissant quand 0d xdL 2 ² . qx M fz AY x MA AUTRE Méthode WA iso1 WA iso Couple1 WA iso Couple2 By A

M. Cupani Page 1 sur 21

RDM

Déformation

RESOLUTION POUTRES HYPERSTATIQUES

L

p kN/m

L/2

pL kN

P

L/2

Sommaire

1. RAPPELS RdM FONDAMENTAUX ....................................................................................................................... 2

2. Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle):.............................................................. 3

3. Flèches associées (Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle) ....................................................................... 5

4. Méthode formule des 3 moments(Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle). ............................................. 7

5. Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme) ...................................................... 8

6. Flèches associées (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme) ............................................................. 10

7. Méthode formule des 3 moments (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme) .................................. 12

8. Poutres hyperstatiques (Poutre Encastrée + appui simple avec chargement uniforme) ............................... 13

9. Méthode formule des 3 moments. (Poutre Encastrée + appui simple avec chargement uniforme)............. 15

10. Console avec charge triangulaire: ............................................................................................................... 16

11. Calcul des déformées charge triangulaire ................................................................................................... 17

12. Méthode des intégrales de Mohr (Charge Triangulaire): ............................................................................ 18


RDM

Déformation

1. RAPPELS RdM FONDAMENTAUX

La "déformée" représente l'allure de la ligne moyenne après déformation.

Les "flèches" représentent les déplacements maximums pris par la déformée.

Relation entre la rotation et le rayon de courbure :

Soient deux sections infiniment proches dont la variation d’abscisse vaut dx.

La variation de la rotation de la section en x à la section en x + dx vaut dω.

On démontre que:

la rotation dω peut être assimilée à sa tangente car elle est infiniment faible.

Relation entre la flèche et le moment :

En combinant les différentes relations on obtient:

En résumé:

En intégrant deux fois l’expression des constantes d’intégration apparaissent.

Afin de déterminer leurs valeurs, il est nécessaire de connaître la flèche ou la rotation en certains points

particuliers.

Nous savons que les appuis bloquent des mouvements :

Conditions aux limites

Appui simple Articulation Encastrement

y' = ω = rotation quelconque

flèche nulle y = f = 0

y' = ω = rotation quelconque


y' = ω = 0 rotation nulle


)(

)(1)(')(''

xEI

xMxxf

GZ

z===

²)(

)()( dx

xEI

xMxf

GZ

z

=dxxEI

xMxfx

GZ

z

==)(

)()(')(

)(

)(

xEI

xM

GZ

z

Equation de la rotation ω(x) Equation de la déformée f(x)


RDM

Déformation

2. Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle):

Les seules équations de la statique ne suffisant pas pour résoudre le calcul des actions aux appuis.

Il faut faire intervenir en plus les équations de déformations .

Exemple 1:

Une poutre AB de longueur L = 4m

IPE 120 (IGZ = 317,8 cm4 ; E = 2.105 MPa)

Encastrée à ses deux extrémités

supporte en C une charge NF .5000−=

Déterminer les actions en A et B

Equations de statique :

2

FByAy == (Symétrie)

02

/ =++−= LBYMBFL

MAAMz

avec MBMA= (symétrie)

le système est hyperstatique d’ordre 1

Equation de déformation :

Calcul du moment fléchissant quand 2

0L

x

MAxAYM fz −= .

Utilisation de l’expression de la déformée

MAxAYyIE GZ −= .''..

1.2

².'.. CxMAx

AYyIE GZ +−=

21

3

.2

².

6... CxC

xMA

xAYyIE GZ ++−=

00)0(' 1 == Cy (Conditions aux limites)

00)0( 2 == Cy Donc 2

².

6...

3x

MAx

AyyIE GZ −=

Compte tenu de la symétrie de la déformée : 0)2

(' =L

y donc

4

.

2

22

2.

222.

2

2.0

2

2

2

LAy

L

LAy

MAL

MALAyL

MA

L

Ay =

=−

=−

=

2

FAy = donc

B A C

F

y

x

L

L/2 1

2

S

By

B A C

F

y

x

Ay

MA

MB

8

.LFMBMA =−=

Autre solution la rotation est nulle au Pt C

C'est-à-dire pour 2

Lx = de plus 00)0(' 1 == Cy

Donc 0.2

².'.. =−= xMAx

AYyIE GZ

Soit 02

.42

²

22' =−

=

LMA

LFLy

Et 816

²2 FL

L

FLMA =

=


RDM

Déformation

Effort tranchant

20

Lx : N

FVy 2500

2−=−=

LxL

2

: NF

Vy 25002==

Moment fléchissant

0=x : mNFL

M fz .25008

4.5000

8−=−=−=

2lx= : mN

FLM fz .2500

8

4.5000

8===

lx= : mNFL

M fz .25008

4.5000

8−=−=−=

Flèche maximale au point C

B A C

F

y

x

Ay By

MA MB

y

B

A

C

x

2

F−

2

F

B A

C

x 8Fl

8Fl−

192)

2

1

3

1(

326496416812..

333333 FLFLFLFLLFLLFyIE GZ −=−=−=−==

mmL

yf 62,2108,317200000192

40005000

2max

4

3

−=

−=

=

+

².16

.122

².

6... 3

3

xFL

xFx

MAx

AyyIE GZ −=−=

GZIE

LFf

..192

.max

3

−=


RDM

Déformation

3. Flèches associées (Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle)

Même Exemple 1:



2

FByAy == (symétrie)

02

/ =++−= LBYMBFL

MAAMz



Calcul du moment fléchissant quand 2

0L

x

MAxAYM fz −= .

By

B A C

F

y

x

Ay

MA

MB

MéthodeAUTRE

1isoWA

1CoupleisoWA − 2CoupleisoWA −


RDM

Déformation

Sachant que la rotation est nulle aux points A et B:

[WA=WB = 0 car nous avons 1 encastrement sur chaque appui]

La somme des rotations→ 0211 =++ −− CoupleisoCoupleisoiso WAWAWA

Donc : 0.6.3.16

²=++−

EI

CL

EI

CL

EI

FL

EI

FL

EI

CL

EI

CL

.16

²

.6.3=+

8

FLMBMAC =−==

16

²

2

FLCL=

EI

FL

EI

CL

.16

²

.6

.3=

8

.LFMBMAdonc =−=

816

².2

48

. 3 FLCavec

EI

LCfois

EI

LFtotaleflèche =+−=

EI

LFL

EI

LFflèche

16

².8

2

48

. 3

+−=

−−=

−−=

192

3

192

4.

64

1

48

1. 33

EI

LF

EI

LFflèche

EI

LFLflèche

192

.)2/(

3

−= mmL

yf 62,2108,317200000192

40005000

2max

4

3

−=

−=

=

+


RDM

Déformation

4. Méthode formule des 3 moments(Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle).

On remplace l'encastrement en A et B par des appuis fictifs Ao et Bo

Avec une Longueur Lo y 0.00 très petite, ainsi que Wgi y 0.00

On choisit le point A comme référence avec Mo = 0; Lo=0; MA=MB; et Wg=0

)(6.).(2. gdEIMBLMALLoMoLo −=+++

)0(6.).0(20 −=+++ dEIMBLMBLdonc

)(6..3 dEIMBLet =EI

FLdquesaiton

16

2

−=

)16

(6..32

EI

FLEIMBLsoit −=

8163

6 FLFLMB −==

8

.LFMBMAdonc =−=

MéthodeAUTRE


RDM

Déformation

5. Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme)



Exemple 2

Une poutre AB de longueur L= 4m

IPE 120 (IGZ = 317,8 cm4 ; E = 2.105 MPa)

Encastrée à ses deux extrémités

supporte une charge uniforme mNq /.1800−=



2

qLByAy == (symétrie)

02

²/ =++−= LBYMB

qLMAAMz




Calcul du moment fléchissant quand Lx 0

2

².

qxMAxAYM fz −−=


2

².''..

qxMAxAYyIE GZ −−=

1

3

6.

2

².'.. C

qxxMA

xAYyIE GZ +−−=

21

43

.242

².

6... CxC

qxxMA

xAYyIE GZ ++−−=

00)0(' 1 == Cy (conditions aux limites)

00)0( 2 == Cy donc 242

².

6...

43qxx

MAx

AyyIE GZ −−=

Compte tenu de la symétrie de la déformée : 0)2

(' =L

y donc

244

.

2

48)²

2(

2

482.)²

2(

26

8

2.

2

)²2

(

.02

3

3

3

qLLAy

L

qLLAy

MAqLL

MALAy

Lq

LMA

L

Ay −=

−

=−−=−−=

avec 2

qLAy = donc

12

²

24

)13²(

24

²

8

² qLqLqLqLMA =

−=−=

12

²qLMBMAdonc =−=

y

By

B A C

y

x

Ay

MA

MBmlq /

1 2

B A C

x

L

L/2

mlq /


RDM

Déformation

Effort tranchant

Lx 0 : )2

()(2

Lxqxq

qLVy −=

−−=

0=x : NqL

Vy 36002

4.1800

2−=−=−=

Lx = : NqL

Vy 36002

4.1800

2+=+=+=

Moment fléchissant

2

²

2

qxMAx

qLM fz −−=

0=x : mNqL

M fz .240012

161800

12

2

−=

−=−=

2lx= :

42

²

12

²

22 −−=

qLqLLqLM fz

( )

mNqLqL

M fz .120024

161800

24

²

24

326

2

²=

==

−−=

lx= : mNqL

M fz .240012

161800

12

²−=

−=−=

Flèche maximale au point C

242

².

6...

43qxx

MAx

AyyIE GZ −−=

384384

1

96

1

96

1

24242

².

12

²

2.

12..

44

4

4

3

3 qLqL

qLLqLLqLyIE GZ −=

−−=

−

−==

mml

yf 88,1108,317200000384

4000101800

2max

4

43

−=

−=

=

+

−

24²

21262242

².

6...

43

43qx

xqL

xqLqxx

MAx

AyyIE GZ −

−

=−−=

GZIE

qLf

..384max

4

−=

y

2

qL−

2

qL

B A

C

x 24

²qL

12

²qL−

B

A

C

x

By

B A C

y

x

Ay

MA

MBmlq /


RDM

Déformation

6. Flèches associées (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme)

Même Exemple 2:



2

qLByAy == (symétrie)

02

²/ =++−= LBYMB

qLMAAMz




2

².

qxMAxAYM fz −−=

MéthodeAUTRE

1isoWA

1CoupleisoWA − 2CoupleisoWA −

By

B A C

y

x

Ay

MA

MBmlq /


RDM

Déformation

Sachant que la rotation est nulle aux points A et B:

[WA=WB = 0 car nous avons 1 encastrement sur chaque appui]

La somme des rotations→ 0211 =++ −− CoupleisoCoupleisoiso WAWAWA

Donc : 0.6.3.24

3

=++−EI

CL

EI

CL

EI

qL

EI

qL

EI

CL

EI

CL

.24.6.3

3

=+

EI

qLMBMAC

.12

2

=−==

EI

qLCL

.242

3

=EI

qL

EI

CL

.24.6

.3 3

=12

. 2LqMBMAdonc =−=

1216

².2

384

..5 24 qLCavec

EI

LCfois

EI

Lqtotaleflèche =+−=

EI

LqL

EI

Lqflèche

16

².12

2

384

..5

2

4 +−=

−−=

−−=

384

4

384

5.

96

1

384

5. 44

EI

Lq

EI

Lqflèche

EI

LqLflèche

384

.)2/(

4

−=

GZIE

lPLf

..384

..5)2/(

4−=

mml

yf 88,1108,317200000384

4000101800

2max

4

43

−=

−=

=

+

−

)(2

CcoupleunàdueL

àflèche


RDM

Déformation

7. Méthode formule des 3 moments (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme)

On remplace l'encastrement en A et B par des appuis fictifs Ao et Bo

Avec une Longueur Lo y 0.00 très petite, ainsi que Wgi y 0.00

On choisit le point A comme référence avec Mo = 0; Lo=0; MA=MB; et Wg=0

)(6.).(2. gdEIMBLMALLoMoLo −=+++

)0(6.).0(20 −=+++ dEIMBLMBLdonc

)(6..3 dEIMBLet =EI

qLdquesaiton

24

3

−=

)24

(6..33

EI

qLEIMBLsoit −=

12243

6 22 qLqLMB −=

−=

12

2LqMBMAdonc =−=

MéthodeAUTRE


RDM

Déformation

8. Poutres hyperstatiques (Poutre Encastrée + appui simple avec chargement uniforme)

[CAS Hyperstatique d°1]



Exemple 3

Une poutre AB de longueur L= 8m

IPE 200 (IGZ = 1943 cm4 ; E = 2.105 MPa)

Encastrée à une extrémité +appui simple.

supporte une charge mNq /.1700−=



2

qLByAy =+ (PAS DE symétrie)

02

²/ =++−= LBYMB

qLAMz

avec 00 = MBetMA (pas de symétrie)




2

².

qxxAyM fz −=


2

².''..

qxxAyyIE GZ −=

1

3

62

².'.. C

qxxAyyIE GZ +−=

21

43

.246

... CxCqxx

AYyIE GZ ++−=

00)(' 1 = CLy (ici il faut trouver C1 )

062

².'.. 1

3

=+−= CqLL

AyyIE GZ

62

².

3

1

qLLAyC +−=

00)0( 2 == Cy donc xCqxx

AyyIE GZ .246

... 1

43

+−=

Conditions aux limites flèche y =0 pour x = L donc

+

−−= L

qLL

LAy

qLLAy

62246.0

3243

−=

−

62426

4433 qLqLLLAy

−=

−

24

3

6

2 43 qLLAydonc

soit

=

83

43 qLLAy donc et avec :

y

1 2 B

A

x

L

mlq /

By

B A C

y

x

Ay

MBmlq /

Hypothèses fondamentales : (Pour les conditions aux limites)

y’=0 pour x = L

y=0 pour x = 0 (appui ponctuel d’axe y

)

y =0 pour x = L (La déformée est nulle)

8

5qLBy =

8

3qLAy = donc

qLByAy

2=+


RDM

Déformation

Effort tranchant

Lx 0 : )8

3()(

8

3 Lxqxq

qLVy −=

−−=

0=x : NqL

Vy 51008

817003

8

3−=

−=−=

Lx = : NqL

Vy 85008

817005

8

5+=

+=+=

Moment fléchissant

Pour x = L on a:

donc

Flèche maximum pour recherche de la position de xo avec l'équation de la rotation y'

−=−==

2

1

8

3²

2

²

8

3)( qL

qLL

qLMBLM fz

8

²qLMB −=

2

².

8

3)(

qxx

qLxM fz −=2

².)(

qxxAyxM fz −=

−=

−==

642

9

64

9²

8

3

28

3

8

3)

8

3(

2

qLLqLqL

MCL

MC fz128

²9qLMC +=

048616

²3'..

33

=−−=qLqxqLx

yIE GZ

4848

8

48

33

616

3 33

33

1

qLxqL

qLqLCavec −=

+

−=+−=

062

².

8

3'.. 1

3

=+−= CqxxqL

yIE GZ

1

3

62

².'.. C

qxxAyyIE GZ +−=

62

².

3

1

qLLAyC +−=

04848

8

48

²9'..

33

=−−=qLqxqLx

yIE GZ08²9'.. 33 =−−= qLqxqLxyIE GZ

0²98 33 =−+− LLxxrésoudrefautil( )

LL

xsolution o 4215,016

133

+=

xCqxx

AYyIE GZ .246

... 1

43

+−=

482448

3..

343xqLqxqLx

yIE GZ −−=

48

23..

343 xqLqxqLxyIE GZ

−−=

B A

f(x)

x

Lxo 421,0=

GZIE

qLyLxpour

.185421.0

4

max

−=

maxflècheladeCalcul

y

8

3qL−

8

5qL

B A

C

x 128

²9qL

8

²qL−

B

A C x

8

3L

0'.. = yIE GZ

Exemple 3: Poutre AB en IPE 200 q= 1700 N/m de longueur L= 8m

IGZ = 1943 cm4 ; E = 2.105 MPa)

mmymLxpour 68,9101943200000185

800010170037,3421.0

4

43

max −=

−=

+

−


RDM

Déformation

9. Méthode formule des 3 moments. (Poutre Encastrée + appui simple avec chargement uniforme)

On remplace l'encastrement en B par un appui fictif Bo

Avec une Longueur Lo y 0.00 très petite, ainsi que Wdi y 0.00 On choisit le point B

On choisit le point B comme référence avec Mo = 0; Lo=0; MA=0; et Wd=0

)(6.).(2. gdEIMBoLMBLLoMAL −=+++

)0(60).0(20 gEIMBLdonc −=+++

)(6..3 gEIMBLet −=EI

qLgquesaiton

24

3

+=

)24

(6..23

EI

qLEIMBLsoit −=

8242

6 22 qLqLMB −=

−=

8

2LqMBdonc −=

MéthodeAUTRE


RDM

Déformation

10. Console avec charge triangulaire:

Réactions d'appuis au Pt (A):

A

qo(Chargement Triangulaire)

B

L

x

q1

x

q1x/3

MAz

Ay

( )0

3

1)( =

+

x

L

xqxmf

L

xqqavec

=

10

( )L

xqxmf

−=

6

0)(

3

−=

==

6

²0

2

00

LqMAzet

LqAyetAx

A

(Diagramme Mf(x))

B

Mf(x)


RDM

Déformation

11. Calcul des déformées charge triangulaire

Equation des Moments:

Pour l'équation de la déformée de Rotation W(x) :

(Conditions aux limites avec W(L) = 0 donc K1 ==>)

Pour l'équation de la déformée de la flèche f(x) :

(Conditions aux limites avec f(L) = 0 donc K2 ==> )

2524

0)( 3

5

KxLL

x

EI

qxf +

−

−=→

124

01.

)()(

4

KL

xq

EIdx

EI

xmfx +

−==→

A


L

B

Encastrement

Libre MAz

B

Ay

( )L

xqxmf

−=

6

0)(

3

dxxxf .)()( =→

24

0

24

01

34 Lq

L

LqK

=

=→

+

−=→

24

0

24

01)(

34 Lq

L

xq

EIx

−

−=→ 3

4

24

0)( L

L

x

EI

qx

02524

0)( 4

5

=+

−

−=→ KL

L

L

EI

qLf

EI

LqxL

L

x

EI

qxf

30

0

524

0)(

43

5 −

−

−=→

EI

Lqf

30

0max

4−=→

EI

LqLL

EI

qK

30

0

5

5

524

02

444 −=

−=→

( )

+−

−=→ 43

5

45120

0)( LxL

L

x

EI

qxf


RDM

Déformation

12. Méthode des intégrales de Mohr (Charge Triangulaire):

Démonstration du calcul de la surface et du centre de gravité

(surface négative! c'est normal)

Calcul du centre de gravité:

A

(Diagramme Mf)

B

Mf

L

G

L/54*L/5

( charge triangulaire)

-qo * L

6

3

−=→

L

xqxf

6

0)(

3

−=→

L

odx

L

xqxfSurface .

6

0)(

3

−=

−=

−=→

240

24

0

24

0)(

344

0

Lq

L

Lq

L

xqxfSurface

L

−=→

24

0)(

3LqxfSurfaceSoit

)( StatiqueMomentMAvec stat =→

( )

24

0 3Lq

M

Surf

MCdg statstat

=

=→

dxxL

xqMAvec

L

stat ..6

00

3

−=→

−=

−=

−=→ L

Lq

L

xqdx

L

xqMAvec

LL

stat30

030

0.6

055

00

4

30

0 4LqM stat

−=→

5

4

30

24

24

0

30

0

3

4

3

4

L

L

L

Lq

Lq

Cdg

=

=

−

−

=→

5)(

5

4)(

24

0 3 LdCdGet

LgCdGet

LqSurfaceRésumé ==

=→


RDM

Déformation

L

a

méthode de VERECHTCHAGUINE est une astuce mathématique qui permet de calculer la valeur d'une

intégrale de MOHR qui est le produit de 2 fonctions, en sachant que la deuxième est linéaire.

Cette méthode n'est qu'un calcul graphique de l'intégrale à partir des graphes Mp et M1:(*)

*Mp (Graphe du système iso) *M1(Graphe du système unitaire)

Démonstration:

Le calcul nécessite donc de connaître la surface S, et le centre de gravité G.

Dans le problème de l'intégrale de MOHR: - Les fonctions dues à l'effort unité sont linéaires, si il n'y a pas continuité on décomposera l'étude sur des segments continus. - Si la section est constante le long d'un intervalle (en général une barre), on peut sortir le dénominateur de l'intégrale. - Dans ces conditions il ne reste plus que le produit de 2 fonctions sous l'intégrale dont une linéaire, on peut essayer l'astuce. Il est facile de retenir les valeurs de ce formulaire qui font l'objet d'une série logique:

Calcul des intégrales de MOHR par la méthode de VERECHTCHAGUINE:

Soit l'intégrale: +== xfavecdxffIb

a.2.2.1

En remplaçant f2 par sa valeur on trouve:

+=+=b

a

b

a

b

adxfdxxfdxxfI .1..1).(1

• La deuxième intégrale représente l'aire de la surface sous f1 elle est donc égale à S.

• La première intégrale représente le moment statique de la surface S par rapport à l'axe Y.

• Elle a pour valeur : S.XG

)(2.).(...' GGG XfSXSSXSIouD =+=+=

Formulaire


RDM

Déformation

Application de la méthode avec une force unitaire, pour le calcul de la déformée:

Ce qui nous donne:

Application numérique:

Réactions d'appuis:

A

(Surface Diagramme)

L

G

L/54*L/5Mf(x)

A

M1=-1xL

(Chargement unitaire)

B

L

1

M(g)=-4L/5

L/54*L/5

B

-qo * L

24

3

Surface

EI

LqoLLqo

EIdx

EI

MML

B305

4

24

1.

. 43

0

10 =

==

A


L

B

Encastrement

Libre MAz

B

Ayqo = 10 kN/m L=2.70 m E=2.1*105 Mpa I/z = 1000 cm4

mkNMAz .15,126

310 2

−=

=

kNYA 5,132

70.210+=

+=

mmmEI

LqoB 43,810.43,8

101000101.230

70,21010

30

3

85

434

==

=

= −

−+

−


RDM

Déformation

Documents

RESOLUTION POUTRES HYPERSTATIQUES P p kN/m pL kN L/2 · Calcul du moment fléchissant quand 0d xdL 2 ² . qx M fz AY x MA AUTRE Méthode WA iso1 WA iso Couple1 WA iso Couple2 By A