C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, Serle I, p, 415·420, 1998Analyse numerique/Numerical Analysis

Resolution rapide des equations de Maxwellquasi-stationnaires : matrices Toeplitz multi-niveaux.Application au micromagnerismeStephane LABBE a. b, Pierre LECA a. e

• ONERA. 29. avenue tip. la Division-Leclerc, 92322 Chatillon cedex, Franceh LAGA, Universite Paris 13, avenue J .-n. Clement, 93430 Villetaneuse, France

r LAN, Universite Pierre-et-Marie-Curie, tour 55-65, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05. FranceConrriel : slabLe@onera.fr. leca@onera.fr

(Hecu Ie 19 juin 1998. accepte apres revision Ie 3 aoflt 1998)

Resume. Dans Ie domaine des hyperfrequences, Ie comportement magnetique des materiaux ferriou ferro magnetiques est modelise par Ie couplage des equations d'evolution de Landauet Lifchitz (micrornagnetisme [I]) et des equations de la magnetostatique, Le termedemagnetisant (magnetostatique) est non local, ce qui rend la simulation dynamiquecoilteuse pour des systemes de taille suffisamment importante pour pouvoir observer lesphenomenes clef (deplacernent de parois, configuration en domaines). Afin de resoudrece probleme, on propose une methode d'Integration des equations de la rnagnetostatiques'appuyant sur I'utilisation de la forme particuliere du problerne discret dans Ie cas d'unmaillage cubique regulier : les matrices Toeplitz multi-niveaux (voir [4]). © Academicdes Sciences/Elsevier, Paris

Fast solver for the Maxwell quasistatic equations:block-Toeplitz matrix. Application to micromagnetism

Abstract. In order to model ferromagnetic materials in the field of hyperfrequencies, themagnetostatic equations are coupled with the Landau-Lifshitz evolution system(micromagnetism [I]). The demagnetisation term (magnetostatici involves the wholespace domain. making dynamic simulation very expensive. especially when keyphenomena such as wall migrations. domain formation are studied requiring very largesystems. To solve this problem. a new method to integrate the magnetostatic equationsis proposed based upon the block-Toeplitz matrix (see [4)) structure of the discretizedequations in the case of regular cubic meshes. © Academic des ScienceslElsevier, Paris

Abridged English Version

1. Introduction

In a ferromagnetic material the magnetisation evolution is modeled in a manifold n by the LandauLifshitz equation (I) with m the magnetization density, h the total magnetic field and a a dampingfactor. The magnetic field is the sum of four contributions: the exterior field. the anisotropy field.

the exchange field and the magnetostatic field designated here by hdemag' Equilibrium states are

Note presentee par Olivier PtRONNEAU.

0764-4442198/03270415 © Academic des Sciences/Elsevier, Paris 415

S. Labbe, P. Leca

computed by time relaxation of (I) and numerical simulation requires the computation of the magneticoperators. These discretized operators are sparse matrices, except for the magnetostatic contributionwhose discrete operator is a full matrix. The discrete magnetostatic operator is built using a singularintegral operator (3) and one will foeuse here on the discretisation of A = -hdemag, a self-adjoint,positive, from L2(R) onto himself, a bounded operator whose norm is equal or less than one.

2. Discretisation of A

A finite volume method is employed to discretise A, setting U:::1 Oi = n, where (Oi)i={l, ...,n}are disconnected manifolds and h = (SUPi={1 .....n}(IO,I))1/3. Therefore, one can build the discreteoperator A h = Ph 0 A 0 Rh , where Ph is the projection from U(R) onto R 3

n and Rh its transposed.It has been demonstrated that A h preserves the properties of the continuous operator A (see [6]). Fora regular cubic mesh, Ah is a square matrix of dimension 3n composed of 3 by 3 blocks given by (4).

3. Fast solving using the Toeplitz structure

A Toeplitz matrix is a square matrix M whose coefficients Mi,j are constant when (i - j) isconstant. So, notations (5) and (6) will be used to define block-Toeplitz matrices.

DEFINITION I. - The square matrix (TI~=l n,) by (TIf=l ni) Tn" ... ,np is a p levels block-Toeplitzif and only if for all lin {2, ,p} and for all (/. J) in (G~,k)2, T~;J is a Toeplitz matrix, whereT,i/ is a sub-matrix of T"l, ,n p composed of terms indexed by (indp(i1, ... ,ie-l,i,ie+1, ... ,ip ) ,

ind1,(j l , ...,j£-1,j,jf+1, ... ,jp)), for all (i,j) in {1, ... , ne}2.Using the properties of block-Toeplitz matrices it is possible to demonstrate:

THEOREM I. - A p levels block-Toeplit; matrix-vector product of dimension Np requiresO(2P N; log(Np ) ) operations count and O(2PNp ) capacity storage.

Thanks to this property, one can build a fast algorithm to compute the discrete magnetostatic fieldin case of a cubic regular mesh:

THEOREM 2. - The discretisation Ah of the demagnetization operator is a 3 level block-Toeplit;matrix with 3 by 3 blocks.

4. Application to micromagnetism

One presents here the computation of the equilibrium state for an iron stick with an alpha crystallinestructure (magnetization 0,17.107 A/m, uniaxial anisotropy 0,42.105 J/m3

, exchange 10-11 J/m3) .

The stick has a square section (0, 32 J.Lm x 0,32 J.Lm x 0,64 J.Lm), the anisotropy axis is parallel toone of the small edges (see Figure I).

The mesh is made of 32 x 32 x 64 cubic cells leading to 196608 degrees of freedom.This simulation has been done on a SUN Ultra Sparc-Il workstation. Each time step takes 62 seconds

of CPU time. Here, 1000 time steps are necessary to reach the equilibrium state. Without fastresolution, this computation would not be possible.

S. Conclusion

Exploitation of the block-Toeplitz structure of operator Ah leads to a fast solving method that allowsto perform very large micromagnetic simulations on a workstation. Parallelization of that method willalso be done in order to reach simulations with over one million cells. Such techniques will also beefficient for the computation of the susceptibility of ferromagnetic domains.

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Resolution rapide des equations de Maxwell quasi-stationnaires

1. Introduction

Dans les materiaux ferromagnetiques, l'evolution de l'aimantation dans un ouvert n peut etredecrite par les equations de Landau et Lifchitz :

amat =-mAh(m)-o:mA(mAh(m)) , VtER+, (1)

au m represente la densite d'aimantation de l'echantillon, h Ie champ magnetique total en chaquepoint du materiau et 0: un facteur adimensionne, De plus, h (m) est la somme d'un champ exterieur,d'un champ d'anisotropie dfi 11. la structure cristalline du materiau, d 'un champ d'echange dO auxinteractions spin-spin et du champ demagnetisant note ici hdemag(m). On obtient l'equilibre d'un telsysteme par relaxation de (1). Une simulation numerique du phenornene fait intervenir les operateursdiscrets associes aux differentes contributions magnetiques. Ce s matrices sont creuses sauf une, lamatrice de l 'operateur h demag qui est non local. Cette partie du calcul est couteuse aussi bien entemps de calcul qu'en stockage. En continu hdemag est regit par les equations suivantes derivant dusysteme de Maxwell quasi-stationnaire (voir [2]) :

{h demag(m ) = -grad </> dans R3 ,!:i.</> = divm dans R 3 • (2)

Avec h dans (L2(R 3))3 , m dans (L2(R3)) 3 a support dans n et </> dans W 1(R3) un potentielscalaire. De (2) on deduit une formule de representation servant de base 11. la construction del' operateur discretise :

hd emag (m) = -grad ( div ( m * (4~1~1))).Dans la suite, on s'interesse 11. la discretisation de l'operateur A = -hdemag, operateur auto-adjoint,positif, de (L2(R3))3 dans lui-meme et de norme inferieure ou egale 11. un (voir [3]).

2. Discretlsatlon de I'operateur A

(3)

Le domaine de calcul 0 est divise en une famille d'ouverts (Oi) i=1 connexes, deux 11. deux disjointstels que U~1 n, = n. On pose h = (SUP1<i<n(\Oil))I/3. Alors on construit l'operateur discretAI. = Ph 0 A 0 Rh , OU P h et Rh sont respectivement les operateurs de projection dans (L2(R3

) ) 3

sur R 3n et de relevernent de R 3

n sur (L2( R 3))3 (Ph et Rh sont adjoints l'un par rapport 11. I'autre).On montre alors que cet operateur est symetrique, pos itif (inversible) et de norme inferieure ouegale 11. un (voir [6]).

L'operateur AI. est une matrice carree d'ordre 3n formee de blocs 3 x 3. Dans Ie cas d'un maillagecubique regulier, ces blocs sont de la forme :

-11 . 1 1 :IA h ,i ,Ju-4 h3 gradxdlvx ' u-1--1dydx VUER .7r n, n, Y - x

3. Matrices de Toeplitz a p niveaux, lien avec A"

ni,) '

n; = IT,=1

Soient p Ie nombre de niveaux d'une matrice de Toeplitz multi-niveaux et n , la dimension du iieme

niveau, alors on pose (@ est Ie produit tensoriel de matrices) :p p

G~=II{O, . .. ,n k - l }, G~,k= IT {O, ... , nJ - l },k=1 j=I,J",k

p p

G~=II{I-nk , .. . , nk - l }, G~.k= II {l \ ... , nj }'k=1 J=l .J"'k

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S. Labbe, P. Leca

(Les ensembles notes G utilisent la merne notation mais avec nk rernplace par 2nk.)

a(i) = { _~ si i ~ 1,si i < 1,

Vi E Z, 8(i) = _a(i) - 1{O2 1

si i ~ 1,si i < 1,

Vi E Z,

V(i,j) E {I, ... , nd2.

p k-l

VI = (il, ... ,ip) E ZP, indpI = i l + L:(ik -1) II nrr"Vv E RNp,k=2 m=l

V[l]p = (Vindp(I.i))i=I,.. ,np' ou pour I = (iI, ... , in), J = (jl, ".,im) on pose (I, J) = (iI, .",in,il' ... ,jm). e~ designe Ie vecteur de R" dont la seule composante non nulle est un sur laii~me ligne. Qn.l est la matrice dont les seuls coefficients non nuls correspondent a la premieresous-diagonale identiquement egale a un :

Qn.-l = Q:'.l' 52 = (~ ~), R2n = (Q~'~~ QQ~~-\) = 12 0 Qn,l + 52 0 Q~~_\.n,-l n,l

DEFINITION 1. - Matrices Toeplitz mono et multi-niveaux:I. Une matrice M carree d'ordre nest dite Toeplitz aun niveau si et seulement si a (i - j) constant

les coefficients Mi,i sont constants.

2. Une matrice Tn \ ,...•7I p carree reelle d'ordre (I1~=1 ni) est Toeplitz a p niveaux si elle est dela forme:

Vf E {2, ... ,p}, V(I,J) E (G~,k)2, T~;J est une matrice Toeplitz aun niveau,

ou T~/ est la matrice extraite de Tnt.... ,np ' des termes d'indice

indp(i l, "., it-I, i, it+l' ... , ip),

indp(jl' ·..,jf-l,j,jt+l, ,,·,ip )) ,

De cette definition, on deduit des caracterisations plus maniables des matrices de Toeplitzmulti-niveaux permettant d'etablir les resultats presentes plus loin.

THEOR~ME I. - Pour une matrice Tnt,... ,np carree reelle d'ordre (I1~=1 ni) Toeplitz ap niveaux, lesdeux propositions suivanres sont equivalentes :

(i) Tnt.... ,..p est telle que pour (I,J,K,L) dans (I1~=I{1, ... ,nd)4, si 1- J = K - L, lescoefficients d'indices (indp(I), indp(J)) et (indp(K), indp(L)) sont egaux.

p

on To '" t 10\ QI'k I11 nt,· ... n p = L..J 1'<:;1 nk,t7(il')'

IEG~ k=l

THEOREME 2. - La matrice A h de l'operateur discretise de champ demagnetisant est une matriceToeplitz blocs 3 x 3 a trois niveaux.

Cette propriete, due au noyau de l'operateur integral (3), permet de calculer Ie champ demagnetisantinduit par une distribution d'aimantation m comme etant un produit matrice-vecteur Toeplitz blocmulti-niveau. La structure bloc 3 x 3 provient du fait que, sur chaque maille, Ie champ d'aimantationauquel est applique I'operateur de champ demagnetisant est un vecteur de R 3

.

4. Produit matrice-vecteur pour les matrices Toeplitz multi-niveaux

Dans cette section est presente Ie produit matrice-vecteur Toeplitz. La methode employee pourdemontrer les differentes relations est constructive et donne de facon directe I'algorithme de calcula employer (voir [6]).

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Resolution rapide des equations de Maxwell quasi-stationnaires

Une matrice Toeplitz multi-niveaux T peut-etre plongee dans une matrice circulante multi-niveaux C.De meme, on definit le plongement d'un vecteur de RNp dans les vecteurs de dimension 2P Np :

avec (circ(I))k = nk6(nk - ik) + ka(nk - i k).A partir de ces definitions on peut etablir Ie

TH~OREME 3. - Soit Tune matrice carree delle d'ordre Np = Il~=l nk Toeplitz ap niveaux et x unvecteur de RNp, C, Vet X les plongements de T, Tx et x comme definis precedemment, alors :

Schema de la demonstration. - La demonstration s' effectue en utilisant les proprietes des matricescirculantes a un niveau. En effet, un produit matrice-vecteur circulant peut-etre calcule grace ades transformations de Fourier (voir [7]). En generalisant ce concept aux matrices a p niveaux(demonstration par recurrence ou apartir de la formulation donnee dans Ie theoreme I), on determineun algorithme de calcul du produit matrice-vecteur Toeplitz a p niveaux necessitant un nombred' operations en O( n logen)).

II est alors possible de prevoir le nombre d'operations necessaire pour calculer numeriquementle champ demagnetisant grace au resultat suivant s'appliquant a une matrice Toeplitz comportantp niveaux de longueur nk (k = 1, ... ,p) :

TH~OREME 4. - L'algorithme de multiplication matrice Toeplitz-vecteur ap niveaux pour une mat riced'ordre Np necessite un nombre d'operations en O(2P N p 10g(Np ) ) et un stockage en O(2 PN p ) reels.

La demonstration de ce theoreme s'appuie sur l'utilisation des proprietes du produit tensoriel dematrices.

5. Application au probleme de magnetostatlque

Le cas test presente ici est celui d'une barre de fer de structure cristalline alpha (aimantation0,17.107 Aim, anisotropie uniaxiale 0,42.105 J1m3

, echange 10-11 J1m3) . La barre est a section

carree (0, 32p,m x 0,32p,m x 0, 64p,m ) et l'axe d'anisotropie est parralele aun petit cote.L'un des objectifs de cette simulation est de determiner la forme des domaines magnetiques

(c'est-a-dire les zones oil l'aimantation peut etre consideree comme constante) a l'equilibre.Le maillage est compose de 65532 mailles : 32 mailles dans les directions X et Y et 64 dans

la direction Z. La matrice du probleme ainsi discretise est d'ordre 196608. La prise en comptedes conditions aux limites ne presente pas de difficultes, elles sont naturellement integrees dans lesoperateurs des differentes contributions magnetiques (en particulier, le champ d'echange est regi parun laplacien satisfaisant, a convergence, les conditions de Neumann).

La relaxation est effectuee a partir d'une configuration oil I'aimantation est uniforme et parallele al'anisotropie. Le schema en temps utilise est explicite d'ordre deux, avec un pas de temps optimisepour garantir la decrcissance optimale de l'energie (voir lSD.

Pour ce calcul, chaque pas de temps a necessite en moyenne 62 secondes de calcul sur une stationde travail SUN Ultra Sparc-Il, Un pas de temps necessite, entre autre, plusieurs calculs du champ

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Figure I. - Nonne du champ rnagnetiquc total 11 I'equilibre.

Figure I. - Norm of the total magnetic field.

magnetique total. Dans Ie cas present, 1000 pas de temps ont ete effectues, Ce calcul n'aurait pu etreeffectue avec Ie produit matrice-vecteur plein ne serait-ce que pour la limitation due au stockage.

6. Conclusion

La methode de calcul du champ demagnetisant approche par les produits matrices-vecteur Toeplitzdonne des resultats tres satisfaisants. Elle a permis d'effectuer des simulations en micrornagnetismesur des maillages de grande taille sur une station de travail. Cette methode sera bientot parallelisee, lesperformances que I'on obtiendra alors permettront sans doute de passer Ie cap du million de mailleset d'atteindre ainsi des tailles physiques de domaines magnetiques particulierement interessantes maisaussi de calculer efficacement la susceptibilite de domaines ferromagnetiques.

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