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Fascicule No 3b21 octobre 2001Laurent Rolaz
Equations de la membrane vibrante
Modele
L’equation des ondes pour une membrane vibrante est la suivante
∂2u
∂t2= c2
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)
dans un domaine D = G×]0,∞[ ou G ⊂ R2. On la note aussi
∂2u
∂t2= c2∆x,yu
La fonction u represente le deplacement de la membrane
conditions aux limites
Les conditions aux limites sont donnee sur ∂G pour tout t. Elles auront la forme
∂u
∂n+ qu = 0
ce sont des conditions homogenes, qui expriment si le contour de la membrane est libre ou fixeentre autre. On peut aussi imaginer des conditions mixtes, par exemple si ∂G = Γ1 ∪ Γ2 onpourrait avoir
{u = 0 sur Γ1 , la membrane est fixee.∂u∂n
= 0 sur Γ2 , la membrane est libre.
la membrane vibrerait un peu comme un drapeau; un des cote est fixe au mat tandis que le restevibre librement.
Resolution
Par l’homogeneite, on peut separer les variables u(x, y, t) = v(x, y)w(t), on obtient
1
c2w
w=
∆v
v= −λ
avec (∂v
∂n+ qv
)
w(t) = 0 ∀t
On obtient 2 equations
{∆v + λv = 0 dans G∂v∂n
+ qv = 0 sur ∂G(I)
w + c2λw = 0 (II)
L’equation (I) est une equation aux derivees partielles elliptique, qu’on appelle l’equation de
Helmholtz. L’equation (II) est une simple equation differentielle ordinaire du second ordre.
1
Equation de Helmholtz
On va s’occuper de l’equation (I), en premier lieu.
Proprietes
1. Si v est solution de (I), alors Cv est aussi solution.
2. L’ensemble des valeurs propres λ forme le spectre discret, λ ∈ {λ1, λ2, . . . }. On peutl’ordonner t.q. λ1 ≤ λ2 ≤ . . .
3. Pour une membrane fixee sur une partie de son contour, les valeurs propres sont toutespositives, λk > 0. De plus, on a
λk =
∫∫
G
−−→grad 2vk dS
∫∫
G
v2k dS
= Q[vk] [Quotient de Rayleigh]
4. Si λk 6= λl alors vk et vl sont orthogonales∫∫
G
vk vl dxdy = 0
5. v1 est de signe constant sur G (c’est la vibration fondamentale). Les harmoniques vk(k = 2,3, . . . ) changent de signe.
6. Prenons λ1 la premiere valeur propre de (I), on aura pour toute fonction f ∈ C1(G)∫∫
G
−−→grad 2f dS +
∮
∂G
qf2 ds ≥ λ1
∫∫
G
f2 dS
C’est le principe de Rayleigh. Cette methode est utile pour obtenir une estimation desvaleurs propres, en utilisant des fonctions f admissibles, c.-a-d. verifiant les conditions auxlimites. Dans le cas de la membrane fixee, on a
λ1 ≤
∫∫
G
−−→grad 2f dS
∫∫
G
f2 dS∀f = 0 sur ∂G
donc λ1 = Q[v1] ≤ Q[f ].
Membrane rectangulaire
y
x
b
a
G
Posons le probleme{
∆v + λv = 0 dans G“conditions bords” sur ∂G
(1)
ou G = {(x,y) | 0 < x < a , 0 < y < b}.
La geometrie nous incite a chercher une solution par separation en posant v(x, y) = f(x)g(y),on obtient
1
ff ′′(x) + λ = −
1
gg′′ = β2
il nous faut maintenant resoudre 2 nouvelles equations differentielles ordinaires du deuxiemeordre:
1. Solution en yg′′ + β2g = 0 + “conditions initiales”
2
Les conditions initiales se deduisent des conditions de bords de (1). Pour la membranerectangulaire, on aura quelque chose du style
{g′(0) + pg(0) = 0g′(b) + qg(b) = 0
Pour une telle equation differentielle la solution generale est
g(y) = A cosβy +B sinβy
On peut donc trouver les solutions gn et les valeurs propres β2n associees.
2. Solution en x
f ′′ +
α2
︷ ︸︸ ︷
(λ− β2) f = 0 + “conditions initiales”
Les conditions initiales auront la forme{f ′(0) + pf(0) = 0f ′(a) + qf(a) = 0
La solution generale est du meme style que la precedente. On trouve ainsi les solutions fmet les valeurs propres α2
m associees.
3. Pour finir, on obtientvm,n = fm · gn
avecλm,n = α2
m + β2n
4. il nous reste a donner le spectre, c.-a-d. qu’il faut ordonner les λm,n. Dans ce cas l’ordredepend de a et b, mais on a toujours λ1 = λ1,1.
Membrane fixee sur le contour
On impose, comme conditions initiales, v = 0 sur ∂G et on obtient
vm,n = sinπ
amx · cos
π
bny
avec
λm,n =
α2m
︷ ︸︸ ︷
π2
a2m2 +
β2n
︷ ︸︸ ︷
π2
b2n2 = π2
(m2
a2+n2
b2
)
On peut definir les lignes nodales; des courbes pour lesquelles v(x,y) = 0 dans G, la membranene bouge pas.
v2,1 v1,3 v2,3
Membrane circulaire, fixee sur le contour
y
x
RG
Posons le probleme{
∆v + λv = 0 dans Gv = 0 sur ∂G
(1)
ou G = {(x,y) |x2 + y2 ≤ R2}. C’est la membrane du tambour.
On passe en coordonnees polaires, x = ρ cosϕ et y = ρ sinϕ. Tout d’abord, on exprime lelaplacien dans ces coordonnees
∆ρ,ϕ =1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ∂
∂ρ
)
+1
ρ2
∂2
∂ϕ2
3
On peut chercher maintenant une solution par separationen posant u(ρ, ϕ) = f(ρ)g(ϕ), onobtient
1
fρd
dρ
(
ρdf
dρ
)
+ λρ2 = −1
g
d2g
dϕ2= µ2
La solution
vn,k = (α cosnϕ+ β sinnϕ) · Jn(√
λn,kρ) , n = 0,1, . . . , k = 1,2, . . .
ou Jn(ξ) est la fonction de Bessel d’ordre n, qui satisfait ξ2J ′′n + ξJ ′
n + (ξ2 + n2)Jn = 0. Vu quen est un entier, la solution s’exprime par
Jn(ξ) = ξn∞∑
m=0
(−1)mξ2m
22m+nm!(n+m)!
pour ξ assez grand, on peut approximer par
Jn(ξ) ≈
√2
πξcos(
ξ −nπ
2−π
4
)
les valeures propres λn,k associees aux solutions vn,k sont
λn,k =
(
z(n)k
R
)2
ou z(n)k sont les racines positives de Jn(ξ). Le spectre des valeurs propres est
{λ0,1, λ1,1, λ2,1, λ0,2, . . . }
Quelques lignes nodales
v1,1 v1,2 v2,3
Solution finale
On a discute l’equation (I), il reste a donner la solution generale de l’equation (II)
wm,n(t) = Am,n cos c√
λm,n t+Bm,n sin c√
λm,n t
finalement on aum,n(x, y, t) = vm,n(x, y) · wm,n(t)
on effectue la superposition
u(x, y, t) =∞∑
m=1
∞∑
n=1
um,n(x, y, t)
il reste a satisfaire des conditions initiales de position u(x, y, 0) = ϕ(x, y) et de vitesse ut(x, y, t)|t=0 =ψ(x, y). Ce n’est pas traite ici (pas dans le cours), mais pour plus de detail voir [2] Sec. 11.8 et11.9.
References
[1] Biollay Yves. Analyse iv. Notes de cours, 1999-2000.
[2] Kreyszig Erwin. Advanced Engineering Mathematics. John Wiley, 1999.
4