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Fascicule No 3b 21 octobre 2001 Laurent Rolaz Equations de la membrane vibrante Mod` ele L’´ equation des ondes pour une membrane vibrante est la suivante 2 u ∂t 2 = c 2 2 u ∂x 2 + 2 u ∂y 2 dans un domaine D = G×]0, [ o` u G R 2 . On la note aussi 2 u ∂t 2 = c 2 Δ x,y u La fonction u repr´ esente le d´ eplacement de la membrane conditions aux limites Les conditions aux limites sont donn´ ee sur ∂G pour tout t. Elles auront la forme ∂u ∂n + qu =0 ce sont des conditions homog` enes, qui expriment si le contour de la membrane est libre ou fix´ e entre autre. On peut aussi imaginer des conditions mixtes, par exemple si ∂G 1 Γ 2 on pourrait avoir u =0 sur Γ 1 , la membrane est fix´ ee. ∂u ∂n =0 sur Γ 2 , la membrane est libre. la membrane vibrerait un peu comme un drapeau; un des cˆ ot´ e est fix´ e au mat tandis que le reste vibre librement. esolution Par l’homog´ en´ eit´ e, on peut s´ eparer les variables u(x, y, t)= v(x, y)w(t), on obtient 1 c 2 ¨ w w = Δv v = -λ avec ∂v ∂n + qv w(t)=0 t On obtient 2 ´ equations Δv + λv =0 dans G ∂v ∂n + qv =0 sur ∂G (I) ¨ w + c 2 λw =0 (II) L’´ equation (I) est une ´ equation aux d´ eriv´ ees partielles elliptique, qu’on appelle l’ ´ equation de Helmholtz. L’´ equation (II) est une simple ´ equation diff´ erentielle ordinaire du second ordre. 1

Resume Equation de La Membrane Vibrante

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Page 1: Resume Equation de La Membrane Vibrante

Fascicule No 3b21 octobre 2001Laurent Rolaz

Equations de la membrane vibrante

Modele

L’equation des ondes pour une membrane vibrante est la suivante

∂2u

∂t2= c2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)

dans un domaine D = G×]0,∞[ ou G ⊂ R2. On la note aussi

∂2u

∂t2= c2∆x,yu

La fonction u represente le deplacement de la membrane

conditions aux limites

Les conditions aux limites sont donnee sur ∂G pour tout t. Elles auront la forme

∂u

∂n+ qu = 0

ce sont des conditions homogenes, qui expriment si le contour de la membrane est libre ou fixeentre autre. On peut aussi imaginer des conditions mixtes, par exemple si ∂G = Γ1 ∪ Γ2 onpourrait avoir

{u = 0 sur Γ1 , la membrane est fixee.∂u∂n

= 0 sur Γ2 , la membrane est libre.

la membrane vibrerait un peu comme un drapeau; un des cote est fixe au mat tandis que le restevibre librement.

Resolution

Par l’homogeneite, on peut separer les variables u(x, y, t) = v(x, y)w(t), on obtient

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c2w

w=

∆v

v= −λ

avec (∂v

∂n+ qv

)

w(t) = 0 ∀t

On obtient 2 equations

{∆v + λv = 0 dans G∂v∂n

+ qv = 0 sur ∂G(I)

w + c2λw = 0 (II)

L’equation (I) est une equation aux derivees partielles elliptique, qu’on appelle l’equation de

Helmholtz. L’equation (II) est une simple equation differentielle ordinaire du second ordre.

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Page 2: Resume Equation de La Membrane Vibrante

Equation de Helmholtz

On va s’occuper de l’equation (I), en premier lieu.

Proprietes

1. Si v est solution de (I), alors Cv est aussi solution.

2. L’ensemble des valeurs propres λ forme le spectre discret, λ ∈ {λ1, λ2, . . . }. On peutl’ordonner t.q. λ1 ≤ λ2 ≤ . . .

3. Pour une membrane fixee sur une partie de son contour, les valeurs propres sont toutespositives, λk > 0. De plus, on a

λk =

∫∫

G

−−→grad 2vk dS

∫∫

G

v2k dS

= Q[vk] [Quotient de Rayleigh]

4. Si λk 6= λl alors vk et vl sont orthogonales∫∫

G

vk vl dxdy = 0

5. v1 est de signe constant sur G (c’est la vibration fondamentale). Les harmoniques vk(k = 2,3, . . . ) changent de signe.

6. Prenons λ1 la premiere valeur propre de (I), on aura pour toute fonction f ∈ C1(G)∫∫

G

−−→grad 2f dS +

∂G

qf2 ds ≥ λ1

∫∫

G

f2 dS

C’est le principe de Rayleigh. Cette methode est utile pour obtenir une estimation desvaleurs propres, en utilisant des fonctions f admissibles, c.-a-d. verifiant les conditions auxlimites. Dans le cas de la membrane fixee, on a

λ1 ≤

∫∫

G

−−→grad 2f dS

∫∫

G

f2 dS∀f = 0 sur ∂G

donc λ1 = Q[v1] ≤ Q[f ].

Membrane rectangulaire

y

x

b

a

G

Posons le probleme{

∆v + λv = 0 dans G“conditions bords” sur ∂G

(1)

ou G = {(x,y) | 0 < x < a , 0 < y < b}.

La geometrie nous incite a chercher une solution par separation en posant v(x, y) = f(x)g(y),on obtient

1

ff ′′(x) + λ = −

1

gg′′ = β2

il nous faut maintenant resoudre 2 nouvelles equations differentielles ordinaires du deuxiemeordre:

1. Solution en yg′′ + β2g = 0 + “conditions initiales”

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Page 3: Resume Equation de La Membrane Vibrante

Les conditions initiales se deduisent des conditions de bords de (1). Pour la membranerectangulaire, on aura quelque chose du style

{g′(0) + pg(0) = 0g′(b) + qg(b) = 0

Pour une telle equation differentielle la solution generale est

g(y) = A cosβy +B sinβy

On peut donc trouver les solutions gn et les valeurs propres β2n associees.

2. Solution en x

f ′′ +

α2

︷ ︸︸ ︷

(λ− β2) f = 0 + “conditions initiales”

Les conditions initiales auront la forme{f ′(0) + pf(0) = 0f ′(a) + qf(a) = 0

La solution generale est du meme style que la precedente. On trouve ainsi les solutions fmet les valeurs propres α2

m associees.

3. Pour finir, on obtientvm,n = fm · gn

avecλm,n = α2

m + β2n

4. il nous reste a donner le spectre, c.-a-d. qu’il faut ordonner les λm,n. Dans ce cas l’ordredepend de a et b, mais on a toujours λ1 = λ1,1.

Membrane fixee sur le contour

On impose, comme conditions initiales, v = 0 sur ∂G et on obtient

vm,n = sinπ

amx · cos

π

bny

avec

λm,n =

α2m

︷ ︸︸ ︷

π2

a2m2 +

β2n

︷ ︸︸ ︷

π2

b2n2 = π2

(m2

a2+n2

b2

)

On peut definir les lignes nodales; des courbes pour lesquelles v(x,y) = 0 dans G, la membranene bouge pas.

v2,1 v1,3 v2,3

Membrane circulaire, fixee sur le contour

y

x

RG

Posons le probleme{

∆v + λv = 0 dans Gv = 0 sur ∂G

(1)

ou G = {(x,y) |x2 + y2 ≤ R2}. C’est la membrane du tambour.

On passe en coordonnees polaires, x = ρ cosϕ et y = ρ sinϕ. Tout d’abord, on exprime lelaplacien dans ces coordonnees

∆ρ,ϕ =1

ρ

∂ρ

(

ρ∂

∂ρ

)

+1

ρ2

∂2

∂ϕ2

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Page 4: Resume Equation de La Membrane Vibrante

On peut chercher maintenant une solution par separationen posant u(ρ, ϕ) = f(ρ)g(ϕ), onobtient

1

fρd

(

ρdf

)

+ λρ2 = −1

g

d2g

dϕ2= µ2

La solution

vn,k = (α cosnϕ+ β sinnϕ) · Jn(√

λn,kρ) , n = 0,1, . . . , k = 1,2, . . .

ou Jn(ξ) est la fonction de Bessel d’ordre n, qui satisfait ξ2J ′′n + ξJ ′

n + (ξ2 + n2)Jn = 0. Vu quen est un entier, la solution s’exprime par

Jn(ξ) = ξn∞∑

m=0

(−1)mξ2m

22m+nm!(n+m)!

pour ξ assez grand, on peut approximer par

Jn(ξ) ≈

√2

πξcos(

ξ −nπ

2−π

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)

les valeures propres λn,k associees aux solutions vn,k sont

λn,k =

(

z(n)k

R

)2

ou z(n)k sont les racines positives de Jn(ξ). Le spectre des valeurs propres est

{λ0,1, λ1,1, λ2,1, λ0,2, . . . }

Quelques lignes nodales

v1,1 v1,2 v2,3

Solution finale

On a discute l’equation (I), il reste a donner la solution generale de l’equation (II)

wm,n(t) = Am,n cos c√

λm,n t+Bm,n sin c√

λm,n t

finalement on aum,n(x, y, t) = vm,n(x, y) · wm,n(t)

on effectue la superposition

u(x, y, t) =∞∑

m=1

∞∑

n=1

um,n(x, y, t)

il reste a satisfaire des conditions initiales de position u(x, y, 0) = ϕ(x, y) et de vitesse ut(x, y, t)|t=0 =ψ(x, y). Ce n’est pas traite ici (pas dans le cours), mais pour plus de detail voir [2] Sec. 11.8 et11.9.

References

[1] Biollay Yves. Analyse iv. Notes de cours, 1999-2000.

[2] Kreyszig Erwin. Advanced Engineering Mathematics. John Wiley, 1999.

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