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Ann. scient. kc. Norm. Sq, 4e sCrie, t. 31, 1998, p. 765 2 785. RIGIDITI? Gl?NGRIQUE DES FEUILLETAGES SINGULIERS PAR ILAURENT LE FLOCH * R~~suMB. - Dans cet article, on ttudie le type analytique des familles d’kquations difffkrentielles 0 = A, dz+B, dy, & deux variables, ayant un type formel fix& Dans une premitre partie nous Ctablissons de manike gComCtrique que cette famille est S. type holomorphe constant, sous une hypothtse de rigiditt d’un des groupes d’holonomie associt B cette Cquation. Dans la deuxikme partie, nous montrons que, dans la classe des courbes gCnCralisCes, cette hypothkse de rigiditk d’un des groupes d’holonomie est g&nCriquement satisfaite. 0 Elsevier, Paris ABSTRACT. - Generic rigidity of singuhrfohtions. In this paper, we study the analytic type of families of differential equations 0 = A, dz + B, dy, with two complex variables, of a fixed formal type. First, under a rigidity hypothesis for one of the holonomy subgroups associated to the equation, we prove, using geometric techniques, that these families are of a constant analytic type. Them we show that in the class of generalized curves, this hypothesis of rigidity is generically satisfied. 0 Elsevier, Paris 1. Introduction Soit 0,. (resp. AP,) l’anneau (res’p. le 6, module) des germes de fonctions (resp. des p-forrnes) holomorphes de C$; on note ka,dzi E AA avec (al,. . . , a,) = 1, al(O) = . . , = a,(O) = 0 i=l wAdw=O Rappelons qu’une I-forme w E & dkfinit un feuilletage (rkgulier) 3w en dehors du lieu singullier S(w) = {m 1 w(m) = 0). On note Cgalement DiJff, (resp.&& le groupe des germes de diffkomorphismes analytiques (resp. formels) de CT-,. Deux sous-groupes HI et I72 de Diffn sont - analytiquement (resp. formellement) conjuguCs s’il existe Cp E Difln (resp.Di&), appelke conjugante analytique (resp. formelle), tel que * Ce travail a CtC effect& au sein du laboratoire de gComCtrie analytique de l’universitk de Rennes I. ANNALES SCIENTIFIQLJES DEL'I~OLE NORMALIE SUPJ~RIEURE. - 0012-9593/98/06/O Elsevier, Paris

Rigidité générique des feuilletages singuliers

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Ann. scient. kc. Norm. Sq, 4e sCrie, t. 31, 1998, p. 765 2 785.

RIGIDITI? Gl?NGRIQUE DES FEUILLETAGES SINGULIERS

PAR ILAURENT LE FLOCH *

R~~suMB. - Dans cet article, on ttudie le type analytique des familles d’kquations difffkrentielles 0 = A, dz+B, dy, & deux variables, ayant un type formel fix& Dans une premitre partie nous Ctablissons de manike gComCtrique que cette famille est S. type holomorphe constant, sous une hypothtse de rigiditt d’un des groupes d’holonomie associt B cette Cquation.

Dans la deuxikme partie, nous montrons que, dans la classe des courbes gCnCralisCes, cette hypothkse de rigiditk d’un des groupes d’holonomie est g&nCriquement satisfaite. 0 Elsevier, Paris

ABSTRACT. - Generic rigidity of singuhrfohtions. In this paper, we study the analytic type of families of differential equations 0 = A, dz + B, dy, with two complex variables, of a fixed formal type. First, under a rigidity hypothesis for one of the holonomy subgroups associated to the equation, we prove, using geometric techniques, that these families are of a constant analytic type.

Them we show that in the class of generalized curves, this hypothesis of rigidity is generically satisfied. 0 Elsevier, Paris

1. Introduction

Soit 0,. (resp. AP,) l’anneau (res’p. le 6, module) des germes de fonctions (resp. des p-forrnes) holomorphes de C$; on note

ka,dzi E AA avec (al,. . . , a,) = 1, al(O) = . . , = a,(O) = 0

i=l wAdw=O

Rappelons qu’une I-forme w E & dkfinit un feuilletage (rkgulier) 3w en dehors du lieu singullier

S(w) = {m 1 w(m) = 0).

On note Cgalement DiJff, (resp.&& le groupe des germes de diffkomorphismes analytiques (resp. formels) de CT-,. Deux sous-groupes HI et I72 de Diffn sont - analytiquement (resp. formellement) conjuguCs s’il existe Cp E Difln (resp.Di&), appelke conjugante analytique (resp. formelle), tel que

* Ce travail a CtC effect& au sein du laboratoire de gComCtrie analytique de l’universitk de Rennes I.

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766 t. LE F'LOCH

Soit a un disque de C centre en 0; on appelle famille a un parametre dans n la donnee de

d’elements de D& (resp. @$J telle qu’il existe un voisinage ouvert V de z sur lequel les (21 . ..i. soient holomorphes. On note DifS,(a) (resp. z&(a)) l’ensemble de ces familles. De meme, on appelle famille a un parametre la donnee de la famille

n

w, = C(

a; x1 i . . ~ , 5,; E) dzi i=l

d’elements de & telle qu’il existe un voisinage U de 0 dans C” et un voisinage ouvert V de n tels que les ai soient holomorphes sur U x V. On note fl%(fJ.) l’ensemble de ces familles. Deux familles (w,‘) et (w,“) de &(al, sont analytiquement (resp. formellement) conjuguees s’il existe (ap, j E D&(a) (resp.DifS,(a)) telle que

Rappelons qu’un sous-groupe H de Di& est dit rigide (resp. super-rigide) si sa classe analytique co’incide avec sa classe formelle (resp. si toute conjugante formelle qui lui est associee est holomorphe). D. Cerveau et R. Moussu ont don& une caracterisation des sous-groupes non abeliens super-rigides de DifI. 11s appellent groupe exceptionnel tout sous-groupe H de DifI dont le premier groupe derive [H; H] est abelien non trivial. 11s Ctablissent alors le theoreme qui suit.

THBORBME ([Ce,Mo]). - Un sous-groupe non abflien H de DiflI est super-r&de si et seulement si il est non exceptionnel.

Une I-forme w E & est dite non exceptionnelle s’il existe une composante irreductible de son arbre de desingularisation, non dicritique, ayant un groupe d’holonomie non abelien non exceptionnel. Le but de ce travail est de prouver les deux theoremes qui suivent :

THBORBME I. - Soit (~4) E !&(a) une famille formellement conjugue’e 13 la famille constante WO; si w0 est non exceptionnelle, alors (wE) est analytiquement conjugue’e i2 wg.

On se donne une propritte P portant sur une classe d’objets A qui peut &tre indifferemment :

- Un sous ensemble de B>ifln, 6&, - Un sous ensemble de AA, ik.

Pour tout a! E A, jk(a) designe le jet d’ordre k de a. Deux elements Q et /3 de A sont dits k-tangents si j”(a) = j”(p). Soit T E N et ~0 E A; la propriete P est dite

- r-determinee pour l’objet a0 si elle est verifiee pour tout objet ct? E A tel que jT(cxo) = jr(d).

4e SfiRiE - TOME 31 - 1998 - No 6

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RIGIDITIj. Gl?Ni+RIQUE DES FEUILLETAGES SINGULIERS 767

- De determination finie si, pour tout objet QY E A verifiant P, il existe r(a) E N tel que P est r(a)-determide pour cv.

- GCnCrique si elle verifie les deux proprietes suivantes : Gi : P est de determination finie sur A G2 : Pour tout k E k4 et Itout Q! E A, il existe cli’ E A verifiant P tel que

j”(d) = j”(a). Notons C l’ensemble des courbes generalisees (au sens de [Ca,L-N,Sa]). Pour cette classe importante de feuilletages, on a le theoreme suivant.

THBORBME II. - La proprie’te’ R w est une 1 -forme non exceptionnelle x est ge’ne’rique dans la classe C des courbes g&&alise’es.

2. PrCliminaires

2.1 - Notations

On reprend essentiellement les notations de [Ma] (voir Cgalement [Ma,Mo], [Ce, Ma] pour les notions classiques de feuilletages reduits, de desingularisation, d’holonomie projective, . . . ).

&ant donnes A4 une variete analytique complexe de dimension 2 et 3 un faisceau de base M, pour tout ouvert U de M, 3(U) designe l’ensemble des sections de 3 au-dessus de U et 31 u designe la restriction de 3 a U; pour tout point m de M, 3m designe la fibre de 3 au-dessus de m.

On note - OM le faisceau des germes de fonctions holomorphes sur M, - AL le faisceau de OM-modules des germes de p-formes holomorphes sur M, - X~ le faisceau de (3M-modules des germes de champs de vecteurs sur M.

Soit MO c C2 un polydisque centre en 0; on appelle arbre au-dessus de MO la donnee :

A!fh 2 Mh-1 - Eh-’ Mhp2 . . M2 % MI % M,, U U U U U

xh xh-1 xh-2 x2 Cl

U U U U U

Sh Sh-1 Sh-2 s2 Sl

Oii

So c Co = (0) c MO, Do = {0}, E. = E” = Id

et oti, pour tout j E (1, . . , h}, - E? est le morphisme d’eclatement de centre S,-i de la variete analytique complexe

Mj dans la variete analytique complexe Mj-1, - Ej = Elo...oEj,

.ieme - nj = EJI1( (0)) est appele le 1 diviseur exceptionnel, - Sj c Ci sont des ensembles finis de points de Dj.

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768 L. LE FLOCH

Un tel arbre au dessus de Ma sera note

A = @fj, .G’, q, SjDj)j=O ,._.., h

L’entier h est appele la hauteur de l’arbre A, la vari6tC Ma est le socle de t’arbre A et la variete A&h est la time de l’arbre A_,Nous convenons de noter specialement tomes les don&es de << times D, par exemple : M pour n/r,, ?? pour Ch, fi pour Dh et k pour &. Cette convention vaudra tout au long de l’article.

Soit

un arbre au-dessus de IL&,; nous designons par - &, la restriction au diviseur exceptionnel Di du faisceau c3,,, - Ii, le faisceau d’ideaux de Ei localement engendre par les fonctions du type f o Ei

06 f est une fonction holomorphe sur Ma telle que f(0) = 0, - At la restriction de Ah$ a Di, - xi la restriction de xnl, a Di. On considere l’arbre produit au dessus de Ma x V

Eh ---h--l Mh x V-+lGf&~ x VEdM&2 x v

. . . Mz x VZMI x VZM~ xv

oil

et on note

I? : Mi x v - Mi-1 x v (mi, E) - (II?(mi

- Ei = El 0 . . 0 EL,

- hi la restriction de C?M, Xv a Di x V,

- A;,, la restriction de A& x V a D; x V,

- xiXv la restriction de xnJi Xv a D; x V,

- &xv le faisceau d’ideaux de Ei Xv localement engendre par les f 0 Ei ou S est holomorphe sur A& x V et telle que f(0, E) = 0 si E E V.

Un tel arbre sera note A x V. On considere les voisinages infinitesimaux ([Ba,St]) de D; dans A/& suivants :

Mjkl zz (Q, &,Ikl zzc E,&+‘)

ainsi que les faisceaux de base Di :

Z = limEi”] z -t et xt @&, g

dont les sections au-dessus d’un ouvert U, de Di sont respectivement appeltes germes le long de Ui de fonctions holomorphes transversalement formelles et germes le long de Ui de 1-formes holomorphes transversalement formelles. On aura Cgalement besoin des faisceaux suivants de base Di x V :

2 zxv = k/ @Ei,” g,v 2ixV = XixV @)EtXv ExV

4e Si?RIE - TOME 31 - 1998 - No 6

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RIGIDITY GBNfiRIQUE DES FEUILLETAGES SINGULIERS 769

2.2 - Eclatb d’une sbie formelle

On reprend ici des c’,noncCs de [Ma,Mo] en les gCndralisant au cas des arbres produits, ce qui ne pose aucune difficult6

Soient A = (n/l,, Ej, Cj, SjDj)j=~;....;h(resp. A x V) un arbre (resp. un arbre produit) au dessus de A& (resp. A& x V) et f E E0 (resp. k&v); on a alors les deux lemmes qui suivent.

LEMME 2.1. - Pour tout j E 1, . . . ,k, 70 Ej E gj (resp. fo Ej E 6.~).

Cela signifie que l’Cclat6 d’une sCrie formelle est une section globale le long du diviseur du faisceau des fonctions holomorphes le long du diviseur transversalement formelles.

LE~IME 2.2. - La se’rie formelle 7 appartient d &o (resp. B ~50~~) d?s que 70 ,!I? (resp. f^o ??) converge en un point de 5 (resp. 5 x V).

C’estAdire qu’une s&rie formelle est convergente dbs que l’un de ses Cclat& converge en un point du diviseur exceptionnel.

2.3 - Rappels sur les feuilletages

Soit A = (Mj, Ej, Cj, SjDj)jzO ,.,,. ,h un arbre au-dessus de MO et V un voisinage ouvert de A; pour tout j E 0, . . . : h et tout ouvert U de Dj , on appelle :

I) Germe le long de U de feuilletage holomorphe (resp. holomorphe transversalement formel) la donnCe d’un faisceau 3~ (resp. FU) de sous-modules de Ai,U (resp. xflU) tel que :

- 3:~ (resp. ?u) est localement libre de rang 1, - A.j,,/3u (resp. X,t,,/3~) est sans torsion. 2) CJerme le long de U x V de feuilletage holomorphe (resp. holomorphe transversalement

formell) la donnCe d’un faisceau 3~,:v (resp. yUXv) de sow-modules de hiX v,UXv (resp. X:xv,uxv) tel que :

- 3yxv (resp. F uXv) est localement libre de rang 1, - A~,v,UXv/3~.~ (resp. X~X~,UXv/.?~X~) est sans torsion,

- 3uxv A d3uxv = 0 (resp. FrJXv A d.&,,v = 0).

Remarque 2.3. - Les notations classiques de singular&%, singularit& rkduites associkes 3 un germe le long de U de feuilletage holomorphe ([Ma,Mo], [Ce, Ma]) se gCnCralisent naturellement au cas formel.

THBORBME 2.4. - Soient A = (Mj; Ej, Cj, SjDj)+O,,,..,h un arbre au-dessus de MO, et, pour 0 5 i 2 h, 3i un germe le long de Di de feuilletage holomorphe; alors, il existe un unique germe le long de Di+l de feuilletage holomorphe 3i+1 tel’ que

(E:+J-6 = &+1&+1

06 (Et+l)3i est le faisceau de sous-,modules de Ai+, localement engendrt! par les images re’ciproques (E,T+I)~i,,, des Wi,m qui engendrent 3i,,.

On ‘dit alors que 3i+1 est le transform6 strict de 3i par Ei+l. Cet &on& s’adapte au cas des feuilletages formels ainsi qu’aux feuilletages le long d’un arbre produit. On peut alors enoncer le thkorkme de dCsingularisation.

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770 L. 1E FLOW

THBORBME DE D~SINGULARISATION ([Ma&lo]). - Soit 3 un germe defeuilletage de C$; iI existe un unique arbre A = (n/rj, Ej, Cj, SjDj)+O,,...v h au-dessus de MO tel que, si on note 3; Ee transforme’ strict de 3 par Ei alors, pour tout i E (0: . . . , hl,

- Ci = {singularite’s de 3i}, - Si = {singularit& non rkduites de 3i}, - Sh = 0 et S; # 0 si 0 5 i < I-1.

Cet arbre A au dessus de A40 est appele arbre d’eclatement associe a 3. La encore cet &once s’adapte au cas des feuilletages formels ainsi que les notions classiques de composantes dicritiques et de groupe d’holonomie projective associe a une composante non dicritique ([Ma,Mo], [Ce, MaJ).

Deux formes wr et wz sont Cquidesingularisables a l’ordre I si d’une part, 3w, et .Tw, ont le m&me arbre d’eclatement associe A = (yy; Ej,Cj, SjDj)jzO,....,h, et si d’autre part, pour tout j E (0, . . . : h}, en designant par 3:, et 32, les transform& stricts par Ei _ respectivement de 3w, et 3U,, alors pour tout m E Dj et pour tout wf,,,, (resp. w&J generateur de 3:,,,,. (resp. 3ip ,),

f(w& A wi;,,,) = 0.

Une consequence de la demonstration du theoreme de desingularisation est la proposition suivante.

PROPOSITION 2.5. - Soit iciO E II; (resp. &); alors, pour tout 1 E N, il existe k E N

tel que, pour tout w E l$ (resp. l&j, ,j”(w A wg) = 0 entraine que w et iv0 ont la m&me dksingularisation & l’ordre 1.

Soit (w,),w E G(A); on appelle deploiement holomorphe (resp. formel) de la famille (w,) la don&e d’une 1-forme

92(x, y7 E) = wE + h(z; y, E) de E A:,, (resp. x:,,)

verifiant la condition d’integrabilite 62 A dR = 0.

2.4 Un rCsultat de cohomologie

Soit A = (ATj, Ej,Cj;SjDj)j=o,....,h un arbre au-dessus de A&. Les germes d’automorphismes de A&; (resp. JUT!“]), aux points m E Di, qui valent l’identite en restriction a D;, forment un faisceau de groupes de base D; que nous noterons Gi (resp. Gt”]). t

Pour I 5 k, on a les morphismes de restriction,

et on pose

4e S6RIE - TOME 31 - 1998 - No 6

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RIGIDIT GfiNi%RIQUE DES FEUILLETAGES SINGULIERS 771

Une section de ces faisceaux au-dessus de D; est appelee un germe d’automorphisme Z-tangent a l’identid au-dessus de Di, respectivement germe d’automorphisme transversalement formel Z-tangent a l’identite le long de Di.

Le theoreme suivant du a J.-F. Mattei et E. Salem est un resultat de cohomologie a valeurs dans les faisceaux de groupes que nous venons de definir.

TH~OR~ME 2.6 ([Ma,Sa]). - Pour tout 1 > h et pour tout k 2 0, les applications

IP(z4, E,,,) - P(U,&) bi,&L+k - h%~l&

sont les applications constantes

02 Ii>j dksigne 1 ‘identite’.

Remarque 2.7. - On rappelle que si G est un faisceau de groupes de base D et si l4 = (Ui)iEI est un recouvrement fini de D, on note : l Z1(Z4, G), l’ensemble des familles (cp~), oti pi,j E G(Ui n Uj) telles que Ui n Uj # 0, verifiant les conditions de cocycles : pour tOUS i,j, k tels que Ui n Uj f! Uk # 0, %,j o ‘pj,k = %,k.

l Hr(17A; G), le quotient de Z1(Z4, G) par la relation de cohomologie (pi,j) - (T/Q) si et semement si il existe h E fl G(Ui) tel que, pour tout i;j tels que Vi n Uj # 0,

&I

ip;,j = hi 0 I+Gi j 0 hT1 3 . On note [cpi,jj~ la classe d’equivalence de (pi,j) dans H1(U; G).

3. DCmonstration du thCor&.me I

3.1 - Notations et rCsultats prkliminaires

On considere (w,),~V E &(A) et (&)sEV E o^ifS2(A) tels que

@;wo, A w, = 0.

11 s’agit de montrer que la famille (wE) est a type analytique constant.

Remarque 3.1. - Considerons pour tout k E N, P,” = j’(&) E Dif12( A). 11 verifie jk(& o (Pt)--l) = Id.

De plus, on a

((& 0 (Py)*wo) A ( ((Py)*wE) = 0.

Done, quitte a remplacer la famille (wE) par la famille analytiquement Cquivalente ((P:)--l)*wz, on peut supposer que la famille (7LE) est tangente a l’identite a un ordre arbitrairement grand. Par consequent, d’aprbs la proposition 2.5, on peut supposer que, pour tout E E V, w, et w. ont m&me desingularisation a un ordre I arbitrairement grand (on dit alors que la famille est Cquidesingularisable a I’ordre 1)

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772 L. LE FLOCH

On considbe A = (Iwj: U i 6~’ Cj, ~~J!I~)~=~;,,..;~ l’arbre de desingularisation au-dessus de &I0 commun aux 3W,.

On note .?= le feuilletage sur %? transform6 strict de 3We par E. On fixe C une composante irrCductib&z du diviseur exceptionnel 6, non dicritique pour

30, telle que le groupe d’holonomie de 30 associe a C soit non abelien et non exceptionnel. On note {ml,...; m,,m,) = Sing(3;) fl C.

Comme la famille (wE) est equidesingularisable, cette composante C est non dicritique pour chacun des feuilletages 3;. Choisissons pour toute la demonstration une carte de Stein (IV; (z, t)) contenant C \ {m,} telle que :

- c \ {m,) = {x = O}; - pour tout i dans {l,..,,n}, rni = (OTti); - les feuilletages 3+T sont globalement definis par

l&=(P,(t)+zA&,t))dx+:l:(b,(t)+z&(~,t))dtth~(W).

On note L = C \ (1111, . . , m, , rrz, >. C’est une separatrice du feuilletage FE. Fixons un point m. = (0, to) E C et notons G, le groupe d’holonomie projective du

feuilletage .Fc associe a C, par rapport a la transversale To = {t = to).

Remarque 3.2. - Rappelons brievement la construction du groupe d’holonomie projective du feuilletage 3c (pour une construction complete et rigoureuse, le lecteur pourra se referer B [Ca,LN]). Soit To = (t = to} et Tr = {t = tl} d eux fibres de la fibration de Hopf au dessus de .& dt = 0. On se donne un chemin y dans L tel que y(O) = (0. to) = ma et Y(l) = (Wl) = ml. Alors il existe un voisinage R de r([O, 11) tel que la fibration de Hopf soit transverse au feuilletage 3’ sur s1 (on utilise pour cela le theoreme du flow-box et la compacite de y([O, 11). L ‘unicite du relevement de y suivant cette fibration induit un germe de diffeomorphisme holomorphe de To,,0 dans TI,,, et done un element de Difl(C,,) en identifiant 2’0,~~ et TI,,, a C,a. Ce diffeomorphisme hc,y,~o,~I ne depend que de la classe d’homotopie de y. En prenant TO = TI, l’application

rr, : R(Gmo) + @zf~~;o) hl - hqy,T,,,To = h,,,

est un morphisme de groupes dont l’image est appele groupe d’holonomie projective du feuilletage par rapport a la transversale To.

LEMME TECHNIQUE 1. - Jl existe unefamille (Fc)EE~ E o^iffi(~I) telle que $TGo = G,.

C’est une version a parametre d’un resultat classique ([Be,Mo]). Comme Go est un groupe non exceptionnel (par hypothese), d’apres le theoreme de Cerveau et Moussu ([Ce,Mo]), il est super-rigide et ainsi les @e sont convergents. On retiendra le corollaire qui suit.

COROLLAIRE 3.3. - I1 existe we famille ((P~)~~v de DiffI telle que &Go = G,.

Soit 3 un germe le long de C de feuilletage holomorphe, non dicritique, et sans singularite sur L. Alors 3 est globalement defini par w E Ar--(c) qui s’ecrit

w = (P(t) + x A(z; t)) drc + 5 (b(t) + z B(rc: t)) dt

ou P et b sont holomorphes sur C, A et B appartiennent a O(l) et P ne s’annule pas sur L.

4e S&RIE - TOME 31 - 1998 - No 6

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RIGIDITl? GfiNfiRlQUE DES FEUILLETAGES SINGULIERS 773

On dit que 3 admet un facteur :intCgrant, le long de C, transversalement formel, s’il

existe f^ E E^(C) tel que d

LEMME TECHNIQUE 2. - Si 3 admet un facteur intkgrant le long de L transversalement formel, alors le groupe d’holonomie projective G de 3 associe’ 6 C est abe’lien.

On itrouvera les demonstrations completes de ces deux lemmes techniques dans [LF].

3.2 - La constructiorm g6omCtriqu’e

La relation (@we) A w, = 0 est equivalente a @wO = 6 w, oti 6 E ZnXv. Posons

Alors 62 est un deploiement formel de la famille (We). Nous commenGons par Ctablir le lemme suivant.

LEMME 3.4. - La llforme f& est un dkploiement holomorphe de la famille (w,).

Dkmonstration. - 11 suffit de montrer que, pour tout E E y, %&z,y) = @x,~,E) est convergent. D’apres le lemme 2.2, cela revient a montrer que h, o E converge en un point du diviseur exceptionnel 6.

Notons lT1, . . . , In, I’, des disclues dans C, respectivement cent&s en ml, . . . ,m,, dieux a deux disjoints, et ne contenant pas mo. On va construire sur un voisinage

zyc \ l?l u . . . U I?, U I’,} x A dans W x V, un feuilletage holomorphe co’incidant << horizontalement >> avec le feuilletage defini par W,.

Comme {C \ Ii u . . u lTn u F,} x A est compact, il existe un voisinage ouvert IV, de {C \ ITI U . . . U l?, U I’,} dans W et un voisinage V de A tels que :

- ‘v’(n;i, ti) E WI et YE E V, il existe un chemin y dans .C et (zb,to) E 7’0 tels que y(O) = (O&J), y(l) = (0,ti) et 21 = he,y,To,Tl(xb) (remarque 3.2) avec z = ((01)).

- V/(X: to) E TO et ‘v’&o E V, la courbe parametree par E, (cps o cp;‘(~), to, E) est contenue dans WI x V oti ((P~)~,=v est la famille de diffeomorphismes de Difs((c,o) telle que cp;Go = G,.

On definit geometriquement un feuilletage sur Wi x V de la manike suivante : - Localement, en un point ma q = (2, to; Ed) E To x {co}, la feuille locale 3wb0 passant

par ma a la structure produit suivante : s << verticalement B), elle contient la courbe (cpE o P&~(X), to7 &). l << horizontalement >>, elle contient la feuille W, passant par (cpc o cp&‘(z), to).

- En un point m’ = (x1, ti,~~) quelconque de Wi x V : On note Ti = {(~:,t~)}. Considerons un chemin y de L qui relie mc = (0,ta) a mi = (O,ti) et le point rn~,~ = (z,,ta) E TO tels que ~1 = h,O,x~O,TI(zy) (remarque 3.2). On note 7 le relevement de y contenu dans une feuille de 3c0 suivant la fibration de Hopf d’extremid ma,7 (ce chemin existe d’apres les hypotheses faites sur IV1 et V). On d&nit alors la feuille locale 3ml ,y au voisinage de m’ comme Cta.nt le prolongement analytique de la

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Page 10: Rigidité générique des feuilletages singuliers

774 L. LE FLOW

feuille locale 3m0,n, au voisinage de (x7, to: ~0) le long du chemin 7. Montrons que cette construction est independante de la classe d’homotopie de y. Soit y1 et 72 deux chemins dans ,C verifiant les hypotheses preddentes. Remarquons que y1 = Y~.Y;~.Y~, done - --I - 51 = 72.72 .yl. Mais 3mt ,yl (resp,3m/ ,yZ ) est le prolongement analytique de 3m0,7, (rev. 3m0,y, ) le long de ;i;i (resp. 5). 11 suffit done de montrer que le prolongement analytique de .Tm,,,, le long de 5’.y1 coincide avec 3m,,,7,. Tout d’abord, par definition de l’holonomie, (zyZ , to) = hEO ,r, 1 .yl (z,,~, to). De plus on connait la structure produit de chacune de ces deux feuilles. Les composantes horizontales coincident puisqu’elles contiennent toutes deux la feuille de 3, passant par (x, , to). Verticalement elles coincident egalement. Cela est du au fait que les diffeomorphismes (Pi o ‘p&l conjuguent G,, a G,. On definit ainsi geometriquement un feuilletage holomorphe sur Wi x V. Comme WI x V

est un ouvert de Stein, ce feuilletage est globalement defini par une 1-forme

Q = WE + 1(x-, t, E) d& E A;(Wi x V)

qui verifie la condition d’integrabilite

qui s’ecrit encore

oh &,t designe la differentielle par rapport aux variables x et t. Designons par p^ l’eclate strict dans la carte W x If de 5, par Eh,, c’est-a-dire

I1 verifie la relation ,!? A dp^ = 0. Dans la carte W x V, p^ s’ecrit

La condition fi A d8 = 0 s’ecrit alors

Si on soustrait les relations (*) et (**), on obtient

Si I, - gE # 0, cela signifie que I, -i?, est un facteur integrant le long de C\ (01 U. ~ . UD, > transversalement formel, ce qui entrainerait, d’apres le lemme technique 2, que 6, est abelien. Ceci est exclu. Par consequent I, - gc = 0 et z, o ,6 est convergent.

El

4’ S6RlE - TOME 31 - 1998 - N” 6

Page 11: Rigidité générique des feuilletages singuliers

RIGIDIT GgNfiRIQUE DES FEUILLETAGES SINGULIERS 775

Comme 61 = q wa, et comme ~‘0 annule le champ $, la I-forme fil annule le champ

% Done 6, = z annule Cgalement le champ 2. Comme 6, est holomorphe, d’aprbs un

theoreme d’Artin ([Ar]) ou plus simplement par un argument de platitude, 6s annule un champ de vecteurs holomorphes.

z=x;;+y d+ ; Exoxv. dY

D’apres le theoreme de rectification des champs, il existe un diffeomorphisme

d tel que g* 2 = $ et done (g* 62).z = 0. On a done trivialise fi, et ainsi la famille

(db> YL !a? Y/))EEv est une famille de Diff2 (a) telle que gT w, A w. = 0. cl

Remarque 3.5. - Le theoreme I s’etend a la dimension n par les memes techniques que celles utilisees par Cano-Cerveau ([Ca,Ce]), puis Cano-Mattei ([Ca,Ma]), pour ttendre le theoreme de la separatrice ([Ca,Sa]) de Camacho-Sad en dimension 2 a la dimension 3, puis a la dimension n. Un feuilletage (.Fw, S) ( oti w E & et S designe son lieu singulier) est dit non exceptionnel si une section par un 2-plan transverse generique est un feuilletage (de dimension 2) non exceptionnel au sens de la dimension 2. 11 est dit generiquement non dicritique si une section transverse par un 2-plan transverse gCnCrique du feuilletage 3;, est un feuilletage (de dimension 2) non dicritique. On a alors le theoreme qui suit.

THI~ORBME 3.6. - Si (3w,) est une famille de feuilletages holomorphes ayant me^me lieu singulier S, g&ne’riquement non dicritique, h type formel constant et si 3u, est non exceptionnel, alors (3w,) est & type analytique constant.

4. ThCorGme II

4.1 - Quelques rksultats sur les sow-groupes de Diffi

Soit f(z) z= az + z”(. ’ .) E is&;

Si f’(0) = 1, on dit que f est tangent a I’identite. On designe par 6$1,,o le sous-groupe de 6& des diffeomorphismes tangents a l’identite.

Si f E @&,,,, on note v(f) E Pd U {CXJ} l’ordre de f(z) - z et on l’appelle ordre de

tangence de f a l’identite. On designe par X,,, l’element zP+l

2 de X1 et, pour tout 1+xzp dz

a E C’“, par pa 1’ClCment z - a z de Di&. On designe par - la conjugaison analytique et par z la conjugaison formelle.

ANNALES SCIENTIFIQLJES DE L’lkOLE NORMALE XJP6RIEIJRE

Page 12: Rigidité générique des feuilletages singuliers

776 L. LE FLOCH

THJ%OF&ME 4.1. - Soit f E &$flI; i) Si f”(O) n’est pas racine de k’uaitk al’ors .f est formellement linkarisable. ii) Si f’(0) es racine de l’unite’ de pe’riode p alors, t

o soit fP = Id et alors f M pa oii a = f’(O), soit fP # Id et alors il existe un unique p E N* et X E C tels que f M pu. o exp X,,, oti a = f’(0).

Soit S E 6&; on appelle centralisateur de f et on le note Cent (f), l’ensemble

On trouvera les demonstrations ainsi que les references des resultats suivants dans [Ma,Ra] ou dans la these de F. Loray ([Lo]).

THBOR~ME 4.2. - i) Si pO, est non pkriodique, alors Cent (p,) = {pb / b E C*}. ii) Si pu. est pe’riodique de pe’riode p, alors

Cent (pa) = (C,,,, a, z’~~T’, a0 # 0 , > Cent(p,oexp X,,A) = {p; oexp7Xp,~, p= e2ir’p, 72 E Z etr E C}.

h iii) &ant don& cp E DiffI, on a

si et seulement si X = 0 et

cp E (pb 0 (PJ exp r’-&,x oiitP=r, p=e2inlp, nEZetr’EC . I

PROPOSITION 4.3. - Un sous-groupe G de DiflI est dit exceptionnel s’il n’est pas a&lien et s ‘il ve’ri$e l’une des conditions dquivalentes suivantes : i) Le sous-groupe H des e’lkments de G tangents & l’identite’ est mono&e. ii) Le sous-groupe des commutateurs de G, [G, G], est monogdne. iii) I1 existe un entier p et w E C tels

% ue wp = - 1 avec G est formellement

conjugue’ au groupe G,;, = (z H w x, z H (1 + zp)l!p) .

On aura Cgalement besoin du resultat suivant de Cerveau et Moussu.

TH~OR~ME ([Ce,Mo]). - Toute paire fj d’e’l&ments, j = 1,2, de G,,, s’krit

oh rnj E Z et I$ E C. We plus, si les f, sont p&riodiques et ne commutent pas, alors les my sont des entiers impairs.

Remarque 4.4. - Ainsi si fl et ,f2 dans G,,, sont periodiques et ne commutent pas, fi o f2 est non periodique et .fz et f:! commutent. Ces resultats classiques nous permettent d’etablir les deux lemmes suivants qui seront utiles dans la demonstration du critere G2 de genericite.

LEMME 4.5. - Soit f i g E DlrI diff+ents de l’identite’ tels que fog = go f et k E N; alors il existe cp E DiffIJ k-tangent h l’identite’ tel que cp* f = v o f o ‘p-l et g ne commutent pas.

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Page 13: Rigidité générique des feuilletages singuliers

RIGIDITY GtiNl?RIQUE DES FEUILLETAGES SINGULIERS 777

Dkmonstration. - 11 suffit de montrer que si f E &$ffl et g est sous forme normale tels que f o g = g o f alors il existe 4; E zfll, k-tangent 2 l’identitk tel que pf et g ne commutent pas. En effet, supposons que l’on ait Ctabli ce rksultat. Notons alors J E 6$ff1 un 61Cment qui cozjugue g h sa forme normale. En appliquant le rksultat 2 @f et @g, il existe @ tel que ($ o @)*f et @g ne commutent pas et @ est k-tangent B l’identitk Alors (10 o @o $-l)*f et g ne commutent pas et $ o @ o J-’ est k-tangent a l’identitk. Pour un 1 > k, cp =T j”($ o @o &‘) est k-tangent B l’identitk et cp*f ne commute pas avec g.

l?tablissons le rksultat annon&. 0 Premier cas : Les diffkomorphismes f et g sont pkiodiques et done g(z) = a z oti

ap = I et p > 1. Comme f et g commutent, on peut en fait supposer que f est Cgalement sous forme normale, c’est-&dire f(z) = bz oti bQ = 1 oti 4 > 1 est la pkriode de 6. 11 s’agit de trouver $ tel que q f 6 Cent (f). Posons s = ap 4 + 1 tel que s > k et

p(x) := (1 + Zs)l/s.

bx A1ors q*f = (1 + (1 _ b) ,p)l/s ne commute pas avec g(z) = a z.

0 Deuxikme cas : Un des diff&morphism& ,f ou g n’est pas pkriodique. On peut suppoiser que g est non pkriodique.

- Sous-cas 2.1 : Supposons que g(z) = X z oti X n’est pas ra.cine de I’unitC. Comme f E Cent(g) cela entraine f(z) = b x oti b # 1. 11 suffit alors de choisir ‘p tangent a 1’identitC B l’ordre k B l’exdrieur de Cent (f) ce qui est possible d’aprks la description de Cent(f) du thkorkme 4.2.

- Sous-cas 2.2 : Swpposons que g(z) = a exp X,,, oti ap = 1. Alors f E Cent(g) entraine f(z) = bexp s Xp,x oti b p = 1. 11 suffit done de choisir @ tangent B l’identitk 2 l’ordre tk tel que +Y (b exp s X,,,) # b exp T X,,X ce qui est possible d’aprks le thkorkme 4.2.

LEMME 4.6. - Soient f et g deux e’lkments d’un groupe G exceptionnel qui ne commutent pas entre eux et k un entier; alors il existe cp E DiffI, k-tangent C? l’identite’ tel que (cp* f) o g est non pe’riodique ou (cp* g, f) est non exceptionnel.

Dhonstration. - Le groupe G est non abklien exceptionnel. Pour la m&me raison que dans le lemme pr&Cdemt, on peut supposer que G est sous forme normale. C’estkdire que,

- f = (1 .l”k;:)up et g = (1 -wk;;)l,P

et ne commutent pas. Remarquons que (1 -wk;;)yp = urn, exP 5 X,>O.

l Premier cas : Les diff6omorphismes f et g sont pkiodiques. D’apr&s la remarque

4.4 cela entraine que ml et m2 sont impairs. Or f o g est de la forme Wml+mz x

(1 - kl xP)llP et ml + m2 est pair. Done f o g est non pkiodique et il suffit de prendre cp = Id.

0 DeuxiBme cas : TJn des diffkomorphismes f ou g n’est pas pkiodique. On peut supposer qu’il s’agit de g. Montrons qu’il existe ‘p tangent B l’identitk B l’ordre 1 tel que (cp* f, ,g) est non exceptionnel, 1 > k. On note ko un entier tel que V( ‘p) > k0 entraine que cp* f et g ne commutent pas. Soit alors cp un diffkomorphisme tangent 2 I’identitC 2 un ordre I > ko. Si le groupe (cp* f, g) est exceptionnel alors il existe 4 tel que @(cp* f) et @g sont sous forme normale. Mais comme g est sous forme normale, cela entraine @g = g

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’kOLE NORMALE :SUPfiRIEURE

Page 14: Rigidité générique des feuilletages singuliers

et comme .g est non periodique, alors 6 est de la forme 0 exp s Xp.o, ce qui implique que cp*f est de la forme urn’ exp t X,,a. Done il suffit de choisir cp tangent a I’identite B un ordre supbieur a max(ka, k) tel que cp*f ne soit pas de la forme urn’ exp t X,,a ce qui est possible d’apres le theorirme 4.2.

q

4.2 - La condition 61

I1 s’agit de montrer que la propriete P est de determination Gnie. Soit wo E e (la classe des courbes gCnCralisCes) une 1-forme non exceptionnelle; pour tout T > 0, -TT(wa) designe l’ensemble

(w E II; / j“(W) = f(wo)}.

D’aprbs la proposition 2.5, il existe r. E N* tel que, pour tout w E &, j”O(w) = jrO(wo) entraine que w et w. ont la meme desingularisation a l’ordre 1 (et done en particulier w E C). Pour tout T > r. et tout w E 37(wo), on note

l’arbre au dessus de ,Wa de desingularisation commun aux 3& et yU le feuilletage CclatC strict de 3w par 2 = El o . . o E”.

Comme w. est non exceptionnelle, il existe une composante irreductible C de r> telle que le groupe d’holonomie projective de FU, associe a C soit non exceptionnel.

Notons {ml,. . . : m,, m,} = Sing (F,,) fl C, L = C \ {ml,. . ~ !m,,m,) et fixons une fibration transverse a C, T et un point ma E L. On designe alors par

la representation d’holonomie du feuilletage Fw associee a la separatrice L, a la fibration T et au point ma. On note 6, = H~,,(nr(C;ma)) t e , pour tout lacet y dans L point6 en m0, L,, = &,,([Y]).

La propriete G1 decoule du

LEMME 4.7. - Pour tout k E N*, il existe un 1 > TO tel que, pour tout w E 31(wo) et tout lacet y de L pointe’ en mo,

4.3 - Queiques notations et dkfinitions

Je reprends dans ce paragraphe des definitions de Jz. Mattei et E. Salem ([MaSal). On appelle famille critique associee a 3, l’ensemble C(3) dont les elements sont :

1. Les points singuliers de 3 que l’on appelle ensembles critiques de dimension 0. 2. Les composantes connexes de fi \ Sing (3), que l’on appelle ensembles critiques de dimension 1.

Un couple assorti d’elements de C(3) est un couple (m: K) oti K est un ensemble critique de dimension 1 et m est un ensemble critique de dimension 0 tel que m E ??.

4" SkRlE - TOME 3 1 1998 - No 6

Page 15: Rigidité générique des feuilletages singuliers

RIGIDIT GriNfiRIQUE DES FEUILLETAGES SINGULIERS 779

Un systeme de deformations k-tangentes de 3 est la donnee d’une famille

c3K) KEC(F)

de germes le long de K de feuilletages holomorphes k-tangents B 3.

Soit s = (FK)KECcpJT un systeme de deformations k-tangentes de 3’; a tout couple assorti (m, K), on associe deux elements de Diflr :

- CK - h;‘,

le germe de diffeomorphisme d’holonomie de 3m le long de K, autour de m, , le germe de diffeomorphisme d’holonomie de 31~ le long de K, autour de m.

Le systeme S est dit coherent si, pour tout couple assorti (m, K), les diffeomorphismes h&,K et “k,K sont conjugues. On note :

0 {ml,.. .,m,} = Sing(3j; 0 {Kl,... , KP} la famille des elements critiques de dimension 1 et, 0 pour tout j E { 1, . . . , p}, {mj, , . . . , rninj } = Kj n Sing (3).

Le symbole K, saris indice, designle indifferemment un Clement critique de dimension 0 ou de dimension 1. Pour tout j E { 1, . . . , p}, on considere :

l Tj une fibration transverse a Iij; l rni point de Kj; 0 yjl, . . . , $n des lacets dans Kj, point& en rni tels que, pour tout i E {ir, . . . , inJ }, $

est d’indice’l par rapport a rnj et d’indice 0 par rapport a rni ou k E {ir, . . . , &}\{i}. l II5 : rl(Kj;rni) --+ Diffl, la representation d’holonomie de 3 associee a Kj, B la

fibration Tj et a m3,. On note alors :

l Gj = IIj(7r1(Kj;rni)), 0 hj = Hj([$]) pour tout i E {iI,... ,inj}.

4.4 - Lemmes techniques

On utilisera les deux lemmes suivants dont les demonstrations utilisent de maniere essentielle les resultats8 de cohomologie di% a J.-F. Mattei et E. Salem :

LEMME TECHNIQUE 3. - I&ant donnd un systbme cohe’rent de d&formations (k+ h)-tangentes de y,

il existe un germe $ le long de Ei de feuilletage holomorphe transversalement formel, k-tangent 2 y, tel que, pour tout K E C(F), y K e t ? 9 I K sont formellement conjugu&

Soit Kj E C(3) un ensemble critique de dimension 1; on note {m{ , . . . , rnij } I’enselmble des elements critiques de dimension 0 dans Ej. On se donne Cgalement une famille fr , . . . , fY3 de germes de diffeomorphismes holomorphes ‘de Difll, respectivement l-tangents aux h3,, . . . , h:, pour un 1 assez grand et tels que

5’1 0 . . . 0 fn, = Id.

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L&COLE NORMALE SUPeRIEURE

Page 16: Rigidité générique des feuilletages singuliers

780 L. LE FLOCW

LBMME TECHNIQUE 4. - En gardant les notut$ms precederues, il existe un germe I’e long de ??j de feuilletage holomorphe, k-tangent a 31 K, dont les diffeomorphismes d’holonomie associes a Tj et aux chemins r[, . . j rh, sont respectivement fl, . . ? in,.

LEMME TECHNIQUE 5. - .&ant donne’ Gi+, ~1~1 germe le long de Di+l de feuilletage holomorphe, l-tangent a 3+l, il existe un unique germe &7’i le long de Di de feuilletage holomorphe, l-tangent a 3i, tel que Si+l soit l’e’clate’ strict de 4; suivant Ei+‘.

La demonstration de ce dernier lemme, s’inspire d’une demonstration de Cano et Cerveau ([Ca,Ce]). On trouvera les demonstrations completes de ces resultats dans [LF].

4.5 - StratCgie pour Ctablir la proprib? G2 de gCnCricitC

Soit K E C(3) un ensemble critique de dimension 1; on appelle valence de K le nombre d’ensembles critiques de dimension 0 dans K.

Un systeme coherent de deformations k-tangentes de 3, S = (~K)~~~(T), est dit satisfaisant s’il existe un ensemble critique de dimension 1, K, de valence superieure ou egale a 3, tel que le groupe d’holonomie projective de 3~ associe a K est non exceptionnel.

La strategic pour Ctablir la propriete Gz de genericit consiste 8 construire S = @K) $-EC(F) un systeme coherent de deformations (k + h)-tangentes a 3 qui soit satisfarsant. En effet, ayartir d’un tel systeme, d’apres le lemme technique 3, on obtient un germe le long de D de feuilletage holomorphe G, k-tangent a ;“, tel que pour tout - - K E C(3), BK et 3~ sont formellement conjugues.

En particulier, il existe un ensemble critique de dimension 1, Ka, de valence superieure ou Cgale a 3, tel que le groupe d’holonomie projective associe a Ka est non exceptionnel. Alors d’apres le lemme technique 5, il existe w’ E &, k-tangente a w telle que G est 1’Cclate strict de 3w~.

4.6 La condition G2 de gCnCricit6

On appelle sous;diviseur de 0, un sow-ensemble ferme L, connexe de 0, reunion d’elements de C(3),

&ant donne un sous-diviseur L de 6, on dit qu’une singularite m E C(L) est un coin de L s’il existe deux elements critiques de dimension 1 distincts, Kj, et Kj2 de C(L), tels que m E zjl n K,,. Sinon on dit que m est une f&he de L.

Une chaine de L est un sous-diviseur Q de fi contenu dans L tel que tous !es elements critiques de dimension 1 de C(Q) sont de valence inferieure ou Cgale a 2. S’ils sont tous de valence 2, on parle de chaine de valence 2 sinon on parle de chaine de valence 1 ou encore de branche morte.

Si Q est une chaine de E, on appelle couple d’attache de Q, un couple assorti (m; K) tel que m E Q et K est un element critique de dimension 1 de valence superieure ou Cgale a 3. La singularite m est alors appelte point d’attache de la chaine Q. On se propose tout d’abord d’etablir la proposition suivante.

PROPOSITION 4.8. - Pour tout sous-diviseur L @ D et to+ entier k, il existe urz systeme coherent de deformations k-tangentes de 3, S = (~K)KEC(L), Ee long de L

4” S&E - TOME 31 - 1998 - X0 6

Page 17: Rigidité générique des feuilletages singuliers

RIGIDITG GfiNfiRIQUE DES FEUILLETAGES SINGULIERS 781

qui vtfri$e l’une des proprie’tb suivantes : i) Le systeme S est satisfaisant. ii) D’une part, I’es diffeomorphismes d’holonomie locaux amour des singularites qui ne sont pas des points d’attache d’une chaine de valence 1 sont non periodiques. D’autre part, les groupes d’holonomie projective des e’l&nents critiques de C(L) de dimension 1 et de valence supe’rieure ou egale c-i 3 sont non abeliens.

La demonstration de cette proposition necessite quelques lemmes preliminaires.

4.9. - Soit Kj un element critique de dimension 1 et ml E ??j le point d’attache d’une chaine Q de valence I; alors hj est different de l’identite.

Demonstration. - Pour simplifier l’indexation, on suppose que Q = zj-r U . . . U x-ii;l et que Vii E {j, . . . j a}, xj n K,-l = {rr+}.

On note ei la classe de Chern de x; dans 2. Comme Q est une branche morte, pour tout i E (2;. ..,j - l}, ei 1. -2 ou encore jeil 1 2.

En chaque mi, on se donne une carte locale (Ui, (x;, t;)) telle que : 1) Ki+r f? Ui = {xi = 0}, 2) K; n Ui = {t; = 0}, 3) fmt est engendre par k+ telle que

jlWi,m = xi xi ati + t; dXi.

Avec ces notations, pour tout i E .(I, . . . : j - l}, on a

j’(f;i+l(x)) = e-zinxtz, &-nt I:w;, &+I) = -+ im,(w;, Ki) = -x-.

z

Montrons par recurrence sur i E (1,. . . , j - l} que Xi E Q n]O, l[. - Pour i = 1, le theoreme de I’indice ([Ca,Sa]) applique a rr s’ecrit

1 - = el Xl

ou encore X1 = h E Q n]O, I[.

- Supposons que Xi-r E Q n]o, l[. Le theoreme de l’indice ([Ca,Sa]) applique a xi permet d’ecrire

et done

Comme leil E N n [2, +oc[ et Xi--~ E Q n]o, l[, Xi E Q n]o, l[. .Donc par recurrence, X,i-r tf Qn]o, l[. Or j’(hg-,(z)) =: eF2iTX3-1z, ce qui entraine hipI # Id.

0

Remarque 4.10. - Rappelons la notion d’indice d’une separatrice d’un feuilletage. Soit (FJ Sing (F)) un feuilletage sur k2 une variett analytique complexe de dimension 2, S une separatrice de F telle que ?? soit une surface de Riemann lisse plongee dans iW et m E Sing(F) C S. On suppose que .Fm est engendre par la I.-forme w. On considere

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’lkOLE NORMALE SUPBRIEURE

Page 18: Rigidité générique des feuilletages singuliers

782 i. LE FLQCH

@ : (n/r, m) -+ (C”, 0) une coordonnee locale dans laquelle w = a(2, g) dz + i)(z, yj dy et S = {y = 0} \ {(O,O)$. On a done

a(O,O) = b(O: 0) = 0 et a(x, 0) = 0.

On appelle indice de F en m par rapport a la separatrice S, le nombre complexe

inL(F? S) = -Res,=o J? ( (0

dy $ w4

oti Res designe le residu d’une fonction meromorphe.

Remarque 4. Il. - On se donne une chaine de valence 2 de 0. Pour simplifier les notations, on suppose que : e & = KIU...UKn, e ml E F1 et m+r E K, sont les deux points d’attache de &, 0 pour tout i E { 1; . . . , TZ}, mi+l = x-; n K,+l.

l&ant donne .Tm, un germe en ml de feuilletage holomorphe k-tangent a y,,, j on peut l’etendre en un systbme cohtknt S = (.FK)~~~c(Q) k-tangent a y le long de Q. En effet, F& definit un germe d’holonomie f,’ le long de K1 autour de ml qui est I-tangent a hi. On pose alors fi = (ff )-’ q ui est done Z-tangent a hi = h;l. Done, d’apres le lemme technique 4, on recupere un germe le long de Iir de feuilletage holomorphe, k-tangent a F, qui a precisement f,’ (resp.fi) pour holonomie autour de ml (resp. m2) associee a I; et mh. Ainsi (.Fm, j FK~? Fm,) est un systeme coherent. On construit ainsi de proche en proche le systeme coherent annond.

Dkmonstration (Proposition 4.8). - On raisonne par recurrence sur le nombre n d’elements critiques de dimension 1 de valence superieure ou Cgale a 3 que contient C(L). Si n = 1, quitte a &indexer, on suppose que K1 E C(L) est de valence superieure ou Cgale a 3 et que Kr n Sing (F) = {ml;. . . , m,} ou p est superieur ou Cgal a 3.

o Premier cas : Toutes les singularites de xl, sauf une que l’on supposera etre ml, sont point d’attache d’une chaine de valence 1; alors d’apres le lemme 4.9, les diffeomorphismes hi,... , hi sont distincts de l’identite. Ainsi d’apres le lemme 4.5, il existe (~1 E Oiflr tangent a un ordre 1 arbitrairement grand tel que les diffeomorphismes &hi et hi ne commutent pas. On pose alors

fr = (&hi) o hi o . . o hk; .fi = cpThi et f; = h,! pour i 2 3.

Par construction les diffeomorphismes fi sont tangents aux diffeomorphismes h,l B un ordre I arbitrairement grand et le groupe

c-I?-= (fl;...,fp f1=f20...ofp)

est non abelien. Si G est non exceptionnel, on pose gi = fi pour i = 1,. . . ,p. Sinon : a. Soit fs 0 . . . o fp # Id et alors on pose f = f2 et g = f3 o . . . o f, qui sont distincts

de l’identite. b. Soit fa 0.. . o f, = Id et alors p est superieur ou Cgal a 4. On pose f = f2 o f3 qui est

different de l’identitt car j’z et f3 ne commutent pas et g = f4 o . . . o f, = (fa)-l # Id.

4' SkRIE - TOME 31 - 1998 - No 6

Page 19: Rigidité générique des feuilletages singuliers

RIGIDIT GcNl?R[QUE DES FEUILLETAGES SINGULIERS 783

Alors d’apres le lemme 4.6, il existe (~2 E Diflr tangent a l’identite a un ordre 1 arbitrairement grand tel que, soit G’ = (cp; f, g) est non exceptionnel, soit ‘p; f 0 g est non periodique.

Dans le cas a, on pose g2 = cpl fi, gi = ,fi si i > 3 et ,91 = g2 o . . o gp. Dam le cas b, on pose g2 = (pzfil, g3 = cp; fs, gi = fi si i > 4 et g1 = g2 o . . o gp. Dans ces deux cas les diffeomorphismes gi sont tangents aux diffeomorphismes fi et

done aux diffeomorphismes hi a un ordre 1 arbitrairement grand. De plus, soit le groupe G’ = (gr, . , gp g1 = g2 o . . . o gp) est non exceptionnel soit le diffeomorphisme gl est non periodique et, pour i > 2, les diffeomorphismes gi sont analytiquement conjugues aux diffeomorphismes ht.

D’apres le gmme technique 4, on a un germe 3I le long de X1 de feuilletage holomorphe k-tangent a 3, qui realise ce groupe G’. Le long des chaines de valence 1, Q2: . . , Qp attachees a ~77,s; . . . , mp, on pose 3~ = .& pour tout K E C(Qi) et pour tout i E 2,. ..,P. On pose TIC, = ~IIIC~, .L, = .G;,,, et si ml est le point d’attache d’une chaine &I de valence 2, on Ctend 3m, le long de Q1. Ainsi on obtient un systeme coherent le long de L, k-tangent a 3 qui vCrifie les conditions demandees.

0 Deuxieme cas : On note ml i.. . , m, les singularites de K1 qui ne sont pas point d’attache d’une chame de valence 1, s > 2, et m,+r, . , mp les autres. Pour i = 2, . . . , s, si hj jest non periodique, on pose fi = hf. Sinon on prend fi tangent a ht a un ordre 1 arbitrairement grand tel que f; soit non periodique. On pose ,fl = f2 o . . . o fp. Alors, de la meme faGon que dans le premier cas, il existe des diffeomorphismes gl, . . . i gp, l-tangents aux fll,...,fP P our un entier 1 arbitrairement grand tels que - Pour i > 2, g; est analytiquement conjugue au diffeomorphisme fi et est en particulier non periodique et les diffeomorphismes gs+l, . . . i gp sont respectivement analytiquement conjugds aux diffeomorphismes h,t+, j . . . , hk.

- Soit le groupe G = (91; . . . , gp g1 = g2 0 . . . 0 g,) est non exceptionnel, soit le diffeomorphisme g1 est non periodique.

D’apres le lemme technique 4, on a un germe 3r le long de K1 de feuilletage holomorphe k-tangent a 3, qui realise ce groupe G. On note Qs+rr . . . , Qp les chaines de valence 1 attachees a m,+l, . . . j mp. Pour tout i 2 s + 1 et pour tout K E C(Qi), on pose 31~ = 3~. Pourtlouti=l,... , s, si rni est le point d’attache d’une chaine Qi de valence 2, on Ctend 31,~; le long de cette chaine. Ainsi Ion obtient un systeme coherent le long de L repondant aux conditions (i) et (ii) de la proposition 4.8.

Soit n 2 2; on considere K1 un Clement critique de dimencon 1 de C(L) de valence superieure ou egale a 3 tel que {my, . . . j m,} = K1 n Sing (3) contienne une fleche de L ou un point d’attache d’une chaine de valence 2 flechee.

On note I = (1,. . . : n} et on considhe la partition I = II U I2 U 13 U 14 suivante : i ‘E II si et seulement si rni est une fleche de L;

i E 12 si et seulement si rni est le point d’attache d’une chaine Qi de valence 2, flechee; i E ‘Is si et seulement si mi est le point d’attache d’une chaine Qi de valence 1; i E IL1 si i 4 11 UI2 UI,.

Comme 72 2 2 et d’aprbs le choix de K1, 11 U 12 # @ et 14 # 0. On suppose 1 E 1, U 12. Pour i E Id, on note Li le sous-diviseur de L qui est la composante connexe de

L - {Kl U (+I~ (mj)) U (&I~ Qj) U (QEI,Q~>> contenant m.

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L%COLE NORMALE XJP~RIEURE

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784 t. LE FLQCH

On applique I’hypothese de recurrenc_e et on considere pour tout 1; E 4 un systeme coherent Si le long de Li, k-tangent a 3 qui verifie (i) ou (ii) de la proposition 4.8. On r&up&e ainsi, pour tout % E Id, un diffeomorphisme fi, I-tangent a hf. On pose alors,

pour tout i E 1;, fz = f,‘, pour tout *i E Is., fi = h,l, pour tout i E 1, U 1.2 - { l), f; = ha et fi = f2 0 fs 0 . . . fn.

Si un des systemes Si veritie (i) ou (ii) de la proposition 4.8, on pose, pour tout i E 1, gi = ,fi. Sinon, pour tout i E 14, f; est non periodique. Alors comme pour le cas n = 1, il existe des diffeomorphismes gl , . . . . gYL, tangents aux hi a un ordre I arbitrairement grand tel que - Soit G = (gl;...,gP g1 = g20... 0 gP) est non exceptionnel, soit ‘di E 1, U 1.2 U 14 les gi sont non periodiques. - V’i E 1s U 14, les gi sont conjugues analytiquement aux fi.

On conclut, comme dans le cas n = 1. Et ainsi on construit sur L un systeme coherent verifiant (i) ou (ii) de la proposition 4.8.

q

On applique la proposition 4.8 au diviseur fi tout entier. 11 reste ainsi a considerer le cas ou tous les diffeomorphismes IL;, oti m; n’est pas le point d’attache d’une chaine de valence 1, sont non periodiques et tous les Gj sont non abeliens exceptionnels.

Considerons alors Ki E G(3) tel que K1 soit de classe de Chern -1 dans z. Alors, Ki est de valence superieure ou Cgale a 3 et ??i n Sing (3) = {ml: j m,} contient au moins une fleche. On suppose que ml est une fleche.

Comme G1 est non abelien exceptionnel, t”i E 1;. . , s, h:(z) = eMPiTA% z + 2°C. _ .) oti Xi E Q:. Le theoreme de l’indice ([Ca,Sa]) permet d’etablir la relation

IL Ix xi = 1 (*). I=1

Posons S(z) = h:(z) et g(z) = hi(z) o . . o h,:(z). Alors d’apres la relation (*), f(z) et g(z) sont distincts de l’identite. Si f(z) ou g(z) est non periodique, d’apres le cas 1 de la demonstration du lemme 4.6, il existe un cp E D#i tangent a l’identite B un ordre i arbitrairement grand tel que (cp*S: g) est non exceptionnel.

SifetgsontpCriodiques,commeXz+(X3+...+Xs) = I-XI < l,Xaou(&+...+,&) 1

est inferieur strictement a z c’est-a-dire que f ou g n’est pas de periode 2. Supposons que g n’est pas de ptriode 2. D’apres la remarque 4.4, si 43 E Difli verifie (p*ga = ((p*g)* et f ne commutent pas, alors (cp*f; g) est non exceptionnel. Comme g2 et f sont distincts de l’identite, le lemme 4.5 assure l’existence d’un tel cp tangent a l’identite a un ordre 1 arbitrairement grand. On pose alors .g2 = ‘p* hi, gi = hi si i 2 3 et g1 = g2 o . , . o gs qui est une famille de Diffl d’elements l-tangents aux hi.

On con&t comme pour la proposition 4.8 grace au second lemme technique 4. Ainsi on a construit un systeme coherent verifiant (i) ou (ii) de la proposition 4.8 de deformations k-tangentes de 3.

q

4" S6RIE - TOME 3 1 - 1998 - ?I3 6

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RIGIDIti GGNfiRIQUE DES FEUILLETAGES SINGULIERS

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(Manuscrit re$u le 21 dkembre 1995; accept6 aprts rtvision le 30 avril 1998.)

L. LEFLOCH

Universitk de la Rochelle, Laboratoire de mathkmatiques,

avenue Marillac, 17042 la Rochelle.

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