Robotique et automatisation 2ème partie

Robotique et automatisation 2ème partie

Ecole Nationale Supérieure de Physique de Strasbourg 2ème année

Jacques GANGLOFF Et

Michel de MATHELIN

Programme de la deuxième partie (1)

•  2ème partie: Synthèse des correcteurs numériques –  Objectifs –  Synthèse par transposition à partir du continu –  PID numériques –  Auto-réglage des PID –  Placement des pôles –  Robustesse

•  E. Godoy et E. Ostertag, Commande numérique des systèmes. Ellipses, Collection Technosup, Paris, 2003.

•  R. Longchamp, Commande numérique de systèmes dynamiques. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1995.

•  E. Ostertag, Systèmes et asservissements continus. Ellipses, Collection Technosup, Paris, 2004.

•  M. Rivoire et J.-L. Ferrier, Commande par calculateur et identification. Eyrolles, Paris, 1997.

Bibliographie – ouvrages en français

•  K. Aström and B. Wittenmark, Computer controlled systems : theory and design.

Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1984, 1990. •  G. Franklin, J. Powell, and A. Emami-Naeini, Feedback control of dynamic

systems. Addison Wesley, Wokingham, 1988.

•  G. Franklin, J. Powell, and L. Workman, Digital control of dynamic systems. Addison Wesley, Wokingham, 1989.

•  T. Kailath, Linear Systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1980.

•  B. Kuo, Automatic control systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1991.

•  B. Kuo, Digital control systems. Harcourt Brace & Jovanovich, Orlando, 1992.

•  K. Ogata, Modern control engineering. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1990.

Bibliographie – ouvrages en anglais

1 Objectifs (1)

•  Asservissement numérique d’un système continu

Synthèse des correcteurs numériques

C(z) G(s) r(k)

v(t)

u(k) y(t)

ym(k)

du(t) dy(t) e(k)!

- BOZ

H(s) Te

G(s) Fonction de transfert du système H(s) Fonction de transfert du capteur r Signal de consigne ou de référence u Signal de commande y Signal de sortie (grandeur à réguler) ym Mesure de la sortie

F(z)

du Perturbation d’entrée dy Perturbation de sortie v Bruit de mesure C(z) Correcteur F(z) Préfiltre e Erreur d’asservissement

Régulateur numérique Capteur

Système

1 Objectifs (2)

•  Objectifs de la synthèse: Stabilité:

– Le système en boucle fermée est stable Performance:

– Suivre les variations de la consigne – Comportement en boucle fermée conforme à un

modèle – Rejeter les perturbations et le bruit

Robustesse: – Conservation de la stabilité et des performances

malgré les incertitudes sur le modèle (dynamiques non modélisées, non linéarités, incertitudes paramétriques, …)


1 Objectifs (3)

•  Outils pour la synthèse: Stabilité:

– Critère de Jury – Critère de Nyquist

Performance: – Lieu d’Evans (placement des pôles de la boucle

fermée) – Calcul des erreurs en régime permanent – Simulation (vérification a posteriori)

Robustesse: – Marges de stabilité (diagramme de Nyquist) – Simulation (vérification a posteriori)


1 Objectifs (4)

•  Méthodes simples pour la synthèse (monovariable): –  Transposition de correcteurs continus –  Utilisation de PID –  Autoréglage –  Placement de pôles (lieu d’Evans, retour d’état) –  Modèle interne –  Méthodes algébriques (RST)

•  Méthodes avancées pour la synthèse (multivariable): –  Commande optimale : minimalisation d’un critère quadratique sur

l’erreur d’asservissement et la commande –  Commande robuste : prise en compte optimale de bornes sur les

incertitudes pour la stabilité et la performance –  Commande non linéaire : prise en compte de modèles non linéaires du

système à asservir


2 Transposition à partir du continu (1)

•  Principe: 1.  Synthèse d’un correcteur continu 2.  Le correcteur numérique est obtenu par approximation de

la fonction de transfert du correcteur continu à l’aide d’équations aux différences de différentes manières :

–  Echantillonnage-blocage –  Approximation d’Euler (différence vers l’arrière) –  Approximation d’Euler (différence vers l’avant) –  Transformation bilinéaire (ou homographique)



A. Echantillonnage-blocage :


Cc(s) u(t) e(t)

Se comporte approximativement comme:

Cc(s) u(t) e(t) BOZ BOZ Te Te e(k)!

C(z) u(k)

!"#

$%&'= '

s(s)CzzC cZ)1()( 1

si la période d’échantillonnage est suffisamment petite

Conserve la stabilité


B. Approximation bilinéaire (homographique):


Conserve la stabilité et la forme de la réponse en fréquence

Dans la littérature anglo-saxonne: Tustin’s approximation

112

+!"zz

Ts

e

•

Plan s Plan z

• 1

)112()(

+!==zz

TsCzC

ec


B. Approximation bilinéaire (homographique):


Remarque:

sT

sT

zzz

Ts

e

e

e

212

1

112

!

+="

+!=

si s est sur l’axe imaginaire alors

z =1+ Te

2j!

1" Te2j!

#

$

% % %

&

'

( ( (

=1" Te

2

4! 2 +Te j!

1+ Te2

4! 2

#

$

% % %

&

'

( ( (

= e j) avec ) = arctan21" Te

2

4! 2

1+ Te2

4! 2

, Te!

1+ Te2

4! 2

#

$

% % %

&

'

( ( (

2 Transposition à partir du continu (5) B. Approximation bilinéaire (homographique):


Approximation de l’intégrale: approximation trapézoïdale

I(t) =0

t! x(")d"

# I(t) = I(t $Te ) + Te2x(t) + x(t $Te )( )

I(t = nTe ) = I(0) + Te2

x(kTe ) + x((k $1)Te )( )k=1

n

%11

21

!+"zzT

se

x(t)

t 0 Te 2Te 3Te 4Te 5Te

Approximation du retard:

sT

sT

z

eeez

e

e

sT

sTsT

e

ee

212

11

2/

2/1

+

!="

==

!

!!!


•  C. Conclusions: 1.  La méthode s’appuie sur les résultats d’une synthèse de

correcteur analogique sur la base du modèle du système qui est également continu.

2.  La synthèse ne prend pas en compte le bloqueur et le déphasage introduit par celui-ci dans la boucle d’asservissement.

3.  Les performances du correcteur numériques seront au mieux celles du correcteur analogique.

4.  Les performances du correcteur numérique se rapprocheront d’autant plus de celles du correcteur analogique que la période d’échantillonnage est petite.


3 PID numériques (1)

A. Forme analogique (rappel) :


]11[)( sTsT

KsC di

pc ++=

Cc(s) e(t) u(t)

! ++=t

di

p dttdeTde

TteKtu

0])()(1)([)( ""

PID idéal

PID réel ]1

11[)(s

NTsT

sTKsC

d

d

ipc

+++=

avec 5!N


B. Formes numériques (transposition du continu) :


1. Echantillonnage-blocage: ])1(1

11[)(d

eTNT

e

ip

ez

zNzT

TKzC

!!

!+!

+=

2. Différences vers l’arrière: ]1)1(

)1(1

11[)(!+

!+!

+=z

TNTzN

zzT

TKzC

d

e

e

ip

3. Différences vers l’avant: ])1(

)1(1

11[)(

d

e

e

ip

TNTz

zNzT

TKzC

!!

!+!

+=

4. Transformation bilinéaire: ])

21()

21(

)1(11

21[)(

d

e

d

ei

ep

TNTz

TNT

zNzz

TTKzC

!!+

!+!++=


C. Formes standards :


Correcteur P: pKzC =)(

Correcteur PI: ]1

11[)(!

+=zT

TKzC e

ip

Correcteur PD: ]1)1(

)1(1[)(!+

!+=z

TNTzNKzC

d

ep

]1)1(

)1(1

11[)(!+

!+!

+=z

TNTzN

zT

TKzC

d

e

e

ipCorrecteur PID:


D. Schéma forme standard :


1)1(

)1(

!+

!

zTNTzN

d

e

Kp r(k) u(k)

ym(k)

e(k)!

- BOZ

Te

PID numérique

)1( !zTT

i

e

ui(k)

ud(k)


D. Schéma forme standard (suite):


1)1(

)1(

!+

!

zTNTzN

d

e

Kp r(k) u(k)

ym(k)

e(k)!

- BOZ

Te

PID numérique sans dérivation de l’entrée

)1( !zTT

i

e

ui(k)

ud(k) -Kp


E. Equations aux différences :


Correcteur PID sans dérivation de l’entrée:

)]1()([1

)1(1

1)(

)1()1()(

)()()()()()()(

!!+

!!+

=

!+!=

++=!=

kyky

TNTNK

ku

TNTku

kTTKkuku

kukukKkukykrk

mm

d

e

pd

d

ed

i

epii

dip

m

"

""


E. Equations aux différences (suite) :


Forme incrémentale du correcteur PID:

)]1()([1

)1(1

1)(

)1()()1()]1()([)1()(

)()()(

!!+

!!+

=

!!+!+!!+!=

!=

kyky

TNTNK

ku

TNTku

kukukTTKkkKkuku

kykrk

mm

d

e

pd

d

ed

ddi

epp

m

"""

"

)1()()1()1()()1()( !!+!!!+!= kukukTTKkKkuku ddi

epp ""


F. Anti-saturation du terme intégral (anti-windup):


Saturation (CNA, actionneur)

UUU

U

U

!<">

#$

#%&

!=

)(

)(

sisisi

)()(kuu(k)ku

kukus

us(k) u(k) U

-U Commande calculée

Commande appliquée

Risque d’emballement du terme intégral en cas de saturation


F. Anti-saturation du terme intégral (suite):


1.  Intégration conditionnelle: Principe : bloquer l’intégration quand la commande sature

)()()()(

)()(

sisi

)1(

)1()1()(

)()1()1()()(

)()()(

0

0

0

kukukKku

kuku

ku

kTTKkuku

kukTTKkukKku

kykrk

dip

i

i

epi

i

di

epip

m

++=

>!

"#

"$%

&

&+&=

+&+&+=

&=

'

'

''

'

UU


F. Anti-saturation du terme intégral (suite):


2.  Anti-saturation standard: Principe : recalculer le terme intégral pour ne pas saturer

)()()()()(

)(si))()((

)(si)1()1(

)(si))()((

)(

)()1()1()()(

)()()(

0

0

0

0

kukukukKku

kukukK

kukTTKku

kukukK

ku

kukTTKkukKku

kykrk

sdip

dp

i

epi

dp

i

di

epip

m

=++=

!!"

!!#

$

%<+%%

&%+%

>+%

=

+%+%+=

%=

'

'

'

'

''

'

UU

U

UU

4 Auto-réglage des PID (1)

A. Méthode de Takahashi basée sur la réponse indicielle


y(t)

t Tu Tg

Correcteur P: eu

gp TT

TK

+=

Correcteur PI:

Tangente au point d’inflexion

2

2

135,0

2

9,0

!"#$

%& +

'+

=e

u

eg

eu

gp

TT

TTTT

TK 2

2

27,0

!"#$

%& +

=e

u

eg

i

p

TT

TTTK


A. Méthode de Takahashi basée sur la réponse indicielle (suite)


Correcteur PID: 2

2

3,02,1

!"#$

%& +

'+

=e

u

eg

eu

gp

TT

TTTTT

K

2

2

6,0

!"#$

%& +

=e

u

eg

i

p

TT

TTTK

e

gdp T

TTK

2=


B. Méthode de Takahashi en boucle fermée:


!!"

#$$%

&'=

c

ecp T

TKK 16,0c

c

i

p

TK

TK 2,1=

Principe : augmenter le gain en boucle fermée avec une correction proportionnelle jusqu’à la mise en oscillation

Gain critique : Kc

Période des oscillations : Tc

Correcteur PID:

43,0 cc

dpTKTK =

5 Placement des pôles dominants

Principe: placer à l’aide du lieu d’Evans les pôles dominants de la fonction de transfert du système bouclé dans une région désirée


enen TjTnn eezjs !""!!""!

212,1

22,1 1 #±#=$#±#=Pôles dominants:

pôles dominés

constante n!"

constante !

pôles dominants

Marges de stabilité

• •

CG(ej!Te)

1 -1 •

c!

" #

g1!

g !"1

•

Diagramme de Nyquist

Critère de Nyquist: Le système asservi (en boucle fermée) est stable ssi CG(ejwTe) encercle le point -1 dans le sens anti-horlogique un nombre de fois égal au nombre de pôles instables de la boucle ouverte

6 Robustesse (1)


eT!" =

0=!

Marges de stabilité (suite)

B. Marge de retard ! = retard qui entraîne l’instabilité

soit ! ci{ } les pulsations telles que CG e j! ciTe( ) = 1

soit "i = # + argCG e j! ciTe( )$% = min

i

"i

! ciTe

A. Marge de phase " = déphasage qui entraîne l’instabilité (retard de phase)

6 Robustesse (2)


Marges de stabilité (suite)

D. Marge de module # = distance minimale entre CG(ejwTe) et -1

! = inf"#R

1+CG(e j"Te ){ } = 1

sup"#R

11+CG(e j"Te )

$! = 1S %

!!!= LH ou norme

C. Marges de gain g et g’ < 1 = gain qui entraîne l’instabilité

6 Robustesse (3)


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