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Roland Charnay-2007 Roland Charnay-2007 1 Mathématiques au cycle Mathématiques au cycle 2 2 Résolution de problèmes et apprentissages numériques

Roland Charnay-2007 1 Mathématiques au cycle 2 Résolution de problèmes et apprentissages numériques

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 11

Mathématiques au Mathématiques au cycle 2cycle 2

Résolution de problèmes

et

apprentissages numériques

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 22

Qu'est-ce qu'un apprentissage Qu'est-ce qu'un apprentissage mathématique réussi ?mathématique réussi ?

Des connaissances…

… utilisables pour résoudre des problèmes

… dont on comprend le fonctionnement

Des capacités d'initiative et de rigueur

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 33

Origines principales Origines principales des difficultésdes difficultés

SENS

Compréhension des situations, des questions

Maîtrise des concepts

Compréhension de ce qu'est une activité mathématique

TECHNICITE insuffisante

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 44

Maîtriser un conceptMaîtriser un concept

4 pôles4 pôles

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 55

Quels résultats, Quels résultats, quelles procédures ?quelles procédures ?

- à mémoriser- à mémoriser- à savoir élaborer- à savoir élaborer

Comment ?Comment ?

Quel langage ?Quel langage ?-analogiqueanalogique

- verbalverbal- symbolique- symbolique

Comment dire ?Comment dire ?

Quelles explications ?Quelles explications ?Pourquoi ?Pourquoi ?

Quels problèmesQuels problèmes ? ?Pour quoi faire ?Pour quoi faire ?

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Trois axes de travailTrois axes de travail

• Travailler sur des Travailler sur des situations « matérielles »situations « matérielles »Réserver le travail sur fichier à l’entraînementRéserver le travail sur fichier à l’entraînement

• Travailler avec les Travailler avec les productions des élèvesproductions des élèves

• Favoriser et utiliser Favoriser et utiliser la diversitéla diversité Aspect de la différenciationAspect de la différenciation

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Le cas de l'apprentissage Le cas de l'apprentissage

des nombres de la GS au des nombres de la GS au CPCP

La genèse des nombres chez le jeune enfantLa genèse des nombres chez le jeune enfant

Quel travail en Grande Section ?Quel travail en Grande Section ?

Comment amorcer le travail au CP ?Comment amorcer le travail au CP ?

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 88

Importance de la "comptine" Importance de la "comptine" orale et du dénombrementorale et du dénombrement

L'acquisition de la L'acquisition de la chaîne numérique chaîne numérique verbaleverbale et son usage dans les et son usage dans les processus de processus de quantificationquantification est est déterminante (…). Ces habiletés déterminante (…). Ces habiletés verbales constituent en réalité les verbales constituent en réalité les éléments à partir desquels s'édifient éléments à partir desquels s'édifient les acquisitions ultérieures… les acquisitions ultérieures…

Conclusion d'une synthèse de P. Barouillet et V. CamosConclusion d'une synthèse de P. Barouillet et V. Camos

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L'acquisition de la L'acquisition de la comptinecomptine quelques étapesquelques étapes

Grande variabilité selon les enfantsGrande variabilité selon les enfants(donc valeurs moyennes)(donc valeurs moyennes)

• 4 ans et demi4 ans et demi : récitation jusqu'à : récitation jusqu'à seizeseize

• 5 ans et demi5 ans et demi : récitation jusqu'à : récitation jusqu'à quarantequarante

Mais savoir réciter n'est Mais savoir réciter n'est ni connaître complètement ni connaître complètement

ni savoir utiliserni savoir utiliser

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 1010

Connaître la "comptine"Connaître la "comptine"• Vers 6 ansVers 6 ans

– A partir de 1 jusqu'à…A partir de 1 jusqu'à…– A partir de A partir de …… jusqu'à… jusqu'à…– A rebours (décompter)A rebours (décompter)– Utilisation pour dénombrerUtilisation pour dénombrer

• A partir de 6-7 ansA partir de 6-7 ans– Compter et décompter Compter et décompter nn nombres à partir nombres à partir

de …de …– Compter ou décompter de … à …, en Compter ou décompter de … à …, en

comptant les nombres énuméréscomptant les nombres énumérés

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DénombrementDénombrementPlusieurs compétences à développerPlusieurs compétences à développer

• SubitizingSubitizing

• Quantités repèresQuantités repères : constellations, : constellations, doigts…doigts…

• Comptage un par unComptage un par un (3 principes (3 principes importants) importants) – Correspondance nombre – objetCorrespondance nombre – objet– Dernier nombre ditDernier nombre dit– Indépendance du parcours des objetsIndépendance du parcours des objets

• EstimationEstimation

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Quatre objectifs importants pour Quatre objectifs importants pour la GSla GS

• A quoi servent les nombres ? Quels A quoi servent les nombres ? Quels problèmes ?problèmes ?– Exprimer les quantités pour les mémoriserExprimer les quantités pour les mémoriser– Repérer des positions dans une liste pour Repérer des positions dans une liste pour

communiquercommuniquer– Traiter des problèmes "arithmétiques" (cf. partie Traiter des problèmes "arithmétiques" (cf. partie

calcul)calcul)

• Suite oraleSuite orale des nombresdes nombres : stabilisation: stabilisation

• Dénombrement Dénombrement : différentes méthodes : différentes méthodes

• Correspondance suite orale - suite écriteCorrespondance suite orale - suite écrite, par , par le biais de la bande numériquele biais de la bande numérique

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un deux trois quatre cinq

1 2 3 4 5 6 7

• Trouver le mot-nombre associé à une écriture chiffrée

• Trouver l’écriture chiffrée associée à un mot-nombre

un deux trois quatre cinq

1 2 3 4 5 6 7

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 1414

A quoi servent les nombres ?A quoi servent les nombres ?Garder la mémoire des quantités (un exemple)Garder la mémoire des quantités (un exemple)

Un problème de référenceUn problème de référence

Préparer juste ce Préparer juste ce qu'il faut de qu'il faut de

gommettes pour gommettes pour réparer le robotréparer le robot

Un type de problème Un type de problème à faire vivre à faire vivre

en maternelle au CPen maternelle au CP

D’après Cap maths CPD’après Cap maths CP

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 1515

En grande section et au début En grande section et au début du CPdu CP

Les gommettes sont dans une boîte éloignée du robotLes gommettes sont dans une boîte éloignée du robot

• Aller chercher, Aller chercher, à distanceà distance, juste assez de gommettes , juste assez de gommettes pour réparer le robot (allers-retours possibles).pour réparer le robot (allers-retours possibles).

• Aller chercher, Aller chercher, à distance, à distance, en une seule foisen une seule fois, juste , juste assez de gommettes pour réparer le robot.assez de gommettes pour réparer le robot.

• Les Les demander demander oralementoralement

• Les Les commander commander par écritpar écrit

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Le travail sur fiche ne remplace pas l'expérience… mais peut

la prolonger.

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 1717

Les compétences Les compétences techniques…techniques…

… … n'ont d'intérêt que si elles sont n'ont d'intérêt que si elles sont au service de au service de la résolution de la résolution de problèmesproblèmes ; ;

… … mais certaines d'entre elles mais certaines d'entre elles doivent être "doivent être "automatiséesautomatisées" " pour être utilisables.pour être utilisables.

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Intérêt de situations « Intérêt de situations « expérimentales »expérimentales »

• Appropriation immédiate de la Appropriation immédiate de la situation et de la questionsituation et de la question

• Représentation mentale de la tâcheReprésentation mentale de la tâche

• Possibilité d’une vérification Possibilité d’une vérification expérimentale de la réponseexpérimentale de la réponse

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 1919

L'étude des nombres au début du L'étude des nombres au début du CPCP

• Travailler sur un Travailler sur un domaine numérique assez domaine numérique assez étenduétendu (jusqu'à seize ou vingt, par exemple)(jusqu'à seize ou vingt, par exemple)

• Stabiliser les Stabiliser les acquis de la GSacquis de la GS (comptine, types de (comptine, types de dénombrement, diversité des "représentations dénombrement, diversité des "représentations matérielles")matérielles")

• Les nombres Les nombres "mémoire des quantités""mémoire des quantités"

• Les nombres pour traiter des Les nombres pour traiter des problèmes sur problèmes sur les quantitésles quantités (augmentation, diminution, partage…)(augmentation, diminution, partage…)

• Relations entre nombresRelations entre nombres (suite, relation à 5 et 10…)(suite, relation à 5 et 10…)

• Désignations Désignations orale et chiffréeorale et chiffrée (possibilité d'utiliser (possibilité d'utiliser la file numérique, mise en évidence de régularités)la file numérique, mise en évidence de régularités)

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 2020

Le cas de l’apprentissage Le cas de l’apprentissage du calcul au cycle 2du calcul au cycle 2

Problèmes "arithmétiques" sans calcul en GSProblèmes "arithmétiques" sans calcul en GS

Les problèmes d'abordLes problèmes d'abord

Priorité au calcul mentalPriorité au calcul mental

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 2121

"Calcul" en GS ?"Calcul" en GS ?

Quels résultats, quelles procédures ?quelles procédures ?

à mémoriserà savoir élaborerà savoir élaborer

Comment ?Comment ?

Quel langage ?analogique

verbalsymbolique

Comment dire ?

Quelles explications ?Quelles explications ?Pourquoi ?Pourquoi ?

Quels problèmes ?Quels problèmes ?Pour quoi faire ?Pour quoi faire ?

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 2222

Quelles procédures en Quelles procédures en GS ?GS ?

• Dessin et dénombrementDessin et dénombrement

• Comptage "en avant" ou "en Comptage "en avant" ou "en arrière", souvent aidé (doigts…)arrière", souvent aidé (doigts…)

• Utilisation de résultats déjà connusUtilisation de résultats déjà connus

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L'enfant qui entre au L'enfant qui entre au CP…CP…

… … a déjà une longue pratique de a déjà une longue pratique de "l'addition" et de la "soustraction" et a "l'addition" et de la "soustraction" et a développé diverses stratégies pour développé diverses stratégies pour résoudre les problèmes qui lui ont été résoudre les problèmes qui lui ont été proposés…proposés…

… … sans disposer du langage symbolique sans disposer du langage symbolique (+, -, =) et sans nécessairement avoir (+, -, =) et sans nécessairement avoir mémorisé de résultat.mémorisé de résultat.

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Un schéma pour le travail Un schéma pour le travail sur les opérations au cycle 2sur les opérations au cycle 2

ProcéduresProcéduresLangageLangage

verbalverbalpuis symboliquepuis symbolique

ExplicationsExplications

ProblèmesProblèmes

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Exemple de l'addition Exemple de l'addition au CPau CP

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Un exemple de problème fondamentalUn exemple de problème fondamental Dix dans la boîteDix dans la boîte (Cap maths CP)(Cap maths CP)

- deux joueurs

- 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup.

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Dix dans la boîte : 3 problèmesDix dans la boîte : 3 problèmes

Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à chaque coup

Plusieurs solutions… dont les nombres

Connaître le contenu de la boîte Vers l’addition

Savoir s’il est possible de gagner au coup suivant

Vers le complément

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Place et rôle du matériel Place et rôle du matériel et des "manipulations"et des "manipulations"

ANTICIPER / VALIDERANTICIPER / VALIDER

un aspect essentiel de ce type de situationun aspect essentiel de ce type de situation

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RéelFavorise

l’appropriation de la situation et du

problème

Anticiper

Incite à l'expérience mentale

Permet la validation de la réponse ou d'une

procédure

Oblige à élaborer des procédures

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"Dix dans la boîte"…"Dix dans la boîte"…

… … resitué dans une resitué dans une progression.progression.

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Avant "Dix dans la boîte"Avant "Dix dans la boîte" (1 unité)(1 unité)

Combien de jetons dans la boîte ? Combien de jetons dans la boîte ? (nombres de 1 à 10)(nombres de 1 à 10)

• Expérience effective avec anticipation Expérience effective avec anticipation : ajout et retrait de 1, de 2 ou de 3: ajout et retrait de 1, de 2 ou de 3

• Expérience évoquée (idem)Expérience évoquée (idem)

• Oralement : "Oralement : "3, j'ajoute 23, j'ajoute 2""

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Après "Dix dans la boîte"Après "Dix dans la boîte" (2 unités)(2 unités)

• Entraînement : calcul oralEntraînement : calcul oral "trois plus un", "quatre moins deux""trois plus un", "quatre moins deux"

• Nouveaux problèmes : "Où suis-je ?" Nouveaux problèmes : "Où suis-je ?" déplacements sur la ligne numériquedéplacements sur la ligne numérique

• Mise en place d'un langage symboliqueMise en place d'un langage symboliquerépertoire de ce qu'on sait par coeurrépertoire de ce qu'on sait par coeur

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Exemple de la Exemple de la multiplication multiplication

au CE1au CE1

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Le problème des "tours"Le problème des "tours" Cap Maths CE1Cap Maths CE1

Par équipes de 2 

Combien de tours, toutes pareilles, peut-on construire avec ces 30 cubes ?

Trouvez le plus possible de possibilités. Il faut utiliser chaque fois tous les cubes.

Problème présenté oralement, les cubes sont présents dans une boîte, mais non disponibles.

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L'exploitation du problèmeL'exploitation du problèmeCollectif : - Recensement des réponses 3 tours de 10 cubes 5 tours de 6 cubes…- Expression des procédures utilisées, contrôle des réponses 

DessinDessinComptage Comptage

de de nn en en nnEcriture Ecriture additiveadditive

Expression Expression avec avec

« fois »« fois »

- Mise en évidence du lien entre réponses : 3 fois 10 et 10 fois 3…

- Introduction du codage multiplicatif

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Avant le problème des Avant le problème des "tours""tours"

• Problèmes d'addition itéréeProblèmes d'addition itérée– 4 pochettes de 5 photos…4 pochettes de 5 photos…– Des tours identiques avec 12 cubesDes tours identiques avec 12 cubes

• Sommes de termes identiquesSommes de termes identiques– Calcul de 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4Calcul de 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4– Calcul de "3 fois 5"Calcul de "3 fois 5"– Obtenir 18 en ajoutant le même nombreObtenir 18 en ajoutant le même nombre

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Exemple de la "division" Exemple de la "division" au cycle 2au cycle 2

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Quelques difficultés dans Quelques difficultés dans l'apprentissage de la l'apprentissage de la

division ?division ?• Concevoir qu'elle permet de résoudre Concevoir qu'elle permet de résoudre deux deux

grands types de problèmesgrands types de problèmes– nombre de parts : nombre de parts : combien de fois 4 dans 57 ?combien de fois 4 dans 57 ?– valeur de chaque part : valeur de chaque part : combien à chacun si on "partage combien à chacun si on "partage

57" en 4 parts égales ?57" en 4 parts égales ?

• Choisir Choisir la "bonne réponse"la "bonne réponse"– quotientquotient– quotient + 1quotient + 1– restereste

• Ne pas disposer de Ne pas disposer de signe opératoire signe opératoire (cas où le (cas où le reste n'est pas nul)reste n'est pas nul)

• Technique de calcul poséTechnique de calcul posé utilisant la utilisant la multiplication et la soustraction… multiplication et la soustraction… et avec une et avec une incertitude sur le choix des chiffres du quotientincertitude sur le choix des chiffres du quotient

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 3939

• Des problèmes peuvent être proposés Des problèmes peuvent être proposés dès dès la grande sectionla grande section d'école maternelle d'école maternelle et et le CPle CP

• Exemples, à propos de fabrication de Exemples, à propos de fabrication de maracasmaracas (petits tubes qui peuvent être fermés aux 2 (petits tubes qui peuvent être fermés aux 2 extrémités) :extrémités) :

– un nombre donné de graines et de tubes : un nombre donné de graines et de tubes : combien de graines par maracas ?combien de graines par maracas ?

– un nombre donné de graines et tant de graines un nombre donné de graines et tant de graines par maracas : combien de maracas possibles ?par maracas : combien de maracas possibles ?

En GS et début de CPEn GS et début de CP

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 4040

• Objets Objets disponiblesdisponibles, , en totalité ou en partieen totalité ou en partie

– Résolution Résolution par l'actionpar l'action (prise de (prise de conscience des problèmes posés, conscience des problèmes posés, nécessité d'ajuster)nécessité d'ajuster)

• Objets Objets non disponiblesnon disponibles– Résolution Résolution par "simulation"par "simulation" (doigts, autres (doigts, autres

objets, dessins, schémas)objets, dessins, schémas)

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Roland Charnay-2007Roland Charnay-2007 4141

– Résolution par Résolution par addition ou soustraction addition ou soustraction itéréesitérées (exemples avec 36 pépites à 3 personnages)(exemples avec 36 pépites à 3 personnages)

– 5 à chacun : 5 + 5 + 5 = 155 à chacun : 5 + 5 + 5 = 15

3 à chacun : 3 + 3 + 3 = 9 15 + 9 = 24 3 à chacun : 3 + 3 + 3 = 9 15 + 9 = 24 etc.etc.

– 5 à chacun : 5 + 5 + 5 = 15 36 – 15 = 215 à chacun : 5 + 5 + 5 = 15 36 – 15 = 21

3 à chacun : 3 + 3 + 3 = 9 21 – 9 = 123 à chacun : 3 + 3 + 3 = 9 21 – 9 = 12– Essais de nombres à additionner 3 foisEssais de nombres à additionner 3 fois

– Résolution par Résolution par multiplicationmultiplication •essais ajustés : 10 x 3 = 30 15 x 3 = 45 etc.essais ajustés : 10 x 3 = 30 15 x 3 = 45 etc.

•multiplication à trou : multiplication à trou : x 3 = 45 x 3 = 45

En CP et CE1 : objets non disponibles