résumés de cours efficace exercices révision rapide et Exercices … · 2018. 7. 5. · Les corrections des exercices sont détaillées pas à pas et accompagnées de méthodes

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David DELAUNAY, ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan, est professeur agrégé de mathématiques en classes préparatoires au lycée Dupuy de Lôme de Lorient.

Collection dirigée par Olivier RODOT

Cet ouvrage propose plus de 270 exercices d’algèbre et de probabi-lités regroupés par chapitre et accompagnés de résumés de cours. Il est destiné aux élèves de CPGE scientifiques de deuxième année

en filière PC/PC* et PSI/PSI*. Il complète l’ouvrage Exercices d’analyse PC/PSI de la même collection.Les résumés de cours présentent de façon synthétique les définitions et les théorèmes conformément au programme de la filière. Ils seront utiles pour une révision rapide et efficace et pourront servir de formulaire.

Les exercices proposés sont de niveaux variés et regroupés en trois catégories :• les exercices d’apprentissage permettent l’acquisition des fondamentaux du cours ;• les exercices d’entraînement conduisent à la maîtrise des concepts du chapitre ;• les exercices d’approfondissement invitent les étudiants à une recherche plus

fouillée par la mise en résonance de notions présentées dans différents chapitres.

Les corrections des exercices sont détaillées pas à pas et accompagnées de méthodes mettant en lumière les démarches suivies et les idées récurrentes.

• des résumés de cours• des méthodes• plus de 270 exercices de niveaux variés• des corrigés très détaillés• strictement conforme au programme officiel

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Exercicesd’algèbreet de probabilités

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Chez le même éditeur

G. MICHEL, A. RAOUX, P. TONDELIER,E. VAN BRACKEL, Physique PCSI

M.-A. SCHOTT, J. VALENTIN, G. MAGADUR, S. CLÈDE, A.-L. LEFEVRE, A. ALTMAYER-HENZIEN, Chimie PCSI/MPSI

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© De Boeck Supérieur SA, 2018 1re édition, 2018Rue du Bosquet, 7 B-1348 Louvain-la-Neuve

Tous droits réservés pour tous pays.Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par pho-tocopie) partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme ou de quelque manière que ce soit.

Dépôt légal :Bibliothèque royale de Belgique : 2018/13647/103Bibliothèque nationale, Paris : juillet 2018 ISBN : 978-2-8073-1541-9

La pratique d’exercices est essentielle à l’apprentissage du cours de mathématiques : iln’est pas de meilleure façon de mémoriser et de comprendre un théorème que d’en faireusage !

Cet ouvrage regroupe sur 7 chapitres un total de 277 exercices portant sur le programmed’algèbre et de probabilités des classes de PC et PSI. Il respecte strictement le programmeactuel et vient compléter l’ouvrage d’analyse et les ouvrages de première année que l’onretrouvera dans la même collection.

Chaque chapitre commence par un rappel des principales définitions et des résultatsessentiels du cours. Il se poursuit avec des exercices aux corrigés détaillés regroupés surtrois niveaux :

— Les exercices d’apprentissage servent à l’acquisition des concepts fondamentaux ducours. Ce sont souvent des sujets faciles ou des sujets de référence dans lesquels j’aichoisi volontairement de ne faire figurer que peu de technicité.

— Les exercices d’entraînement permettent de poursuivre l’acquisition du cours, troisniveaux d’étoiles servent à anticiper leur difficulté. Ces sujets ont été retenus pourleur intérêt, leur classicisme ou ont été inspirés par des questions rencontrées auxécrits et aux oraux récents des différents concours.

— Les exercices d’approfondissement sont les plus ambitieux, ils nécessitent souvent depasser par une phase de recherche ou entrent en résonance avec d’autres chapitresdu programme. Ces sujets sont inspirés de questions rencontrées aux concours lesplus prestigieux.

Les corrections des exercices sont accompagnées de méthodes. Celles-ci servent à soulignerles idées récurrentes ou bien à mettre en exergue la démarche qui va être suivie pourrésoudre la question posée. Le lecteur pourra prendre appui sur celles-ci pour amorcerune résolution ou pour reprendre la main lors de sa lecture d’une correction. Afin d’aiderle lecteur dans son étude, il est fait référence aux théorèmes utilisés lors de leurs premiersusages. Les notes de bas de pages complètent les résolutions en présentant des démarchesalternatives ou font le lien avec d’autres sujets présents dans l’ouvrage. Les résultats oules sujets spécifiques à la filière PSI sont clairement mentionnés.

Je remercie vivement Olivier Rodot d’avoir initié ce projet, François Pantigny pourson expertise TeXnique et Sébastien Marcotte pour sa relecture attentive ainsi que lescompléments apportés.

David Delaunay

Sommaire

1. Compléments d’algèbre linéaire 5

2. Réduction géométrique 69

3. (PSI) Réduction algébrique 157

4. Espaces préhilbertiens réels 193

5. Endomorphismes des espaces euclidiens 237

6. Probabilités 299

7. Variables aléatoires discrètes 341

CHAPITRE 1

Compléments d’algèbre linéaire

K désigne R ou C, E un K-espace vectoriel et n,m, p, q des entiers naturels non nuls.

1.1 Produit et somme d’espaces vectoriels

1.1.1 Produit d’un nombre fini d’espaces vectoriels

Théorème 1Si E1, . . . , En sont des K-espaces vectoriels alors E1 × · · · × En est un K-espacevectoriel pour les lois + et (.) définies 1 par :

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn)déf= (x1 + y1, . . . , xn + yn),

λ(x1, . . . , xn)déf= (λx1, . . . , λxn)

pour tous (x1, . . . , xn) et (y1, . . . , yn) dans E1 × · · · × En et tout λ ∈ K.De plus, le vecteur nul de l’espace E1 × · · · × En est (0E1 , . . . , 0En).

DéfinitionL’espace E1×· · ·×En ainsi défini est appelé l’espace produit des espaces E1, . . . , En.

Cet espace produit est aussi notén∏i=1

Ei.

1. Dans le calcul du vecteur (x1 + y1, . . . , xn + yn), les additions sont à considérer dans chacun desespaces E1, . . . , En. Une remarque analogue est possible pour les produits extérieurs dans (λx1, . . . , λxn).

6 Chapitre 1. Compléments d’algèbre linéaire

En prenant les Ek tous égaux à K, on retrouve que Kn est un K-espace vectoriel devecteur nul 0Kn = (0, . . . , 0).

Théorème 2Si E1, . . . , En sont des K-espaces vectoriels de dimensions finies alors l’espace produitE1 × · · · × En l’est aussi et

dim(E1 × · · · × En) = dimE1 + · · ·+ dimEn.

1.1.2 Somme de plusieurs sous-espaces vectorielsSi F et G sont deux sous-espaces vectoriels de l’espace E, il a déjà été défini dans le coursde première année leur somme F +G :

F +G = {x+ y | x ∈ F, y ∈ G}.

La somme F +G est un sous-espace vectoriel de E et, lorsque F,G et H sont des sous-espaces vectoriels de E, on vérifie :

F +G = G+ F (propriété de commutativité)(F+G)+H = F+(G+H) (propriété d’associativité)

On peut alors sommer plusieurs sous-espaces vectoriels sans se soucier de l’ordre destermes ni du parenthésage organisant le calcul. Cela permet d’introduire la notion desomme de plusieurs sous-espaces vectoriels F1, . . . , Fn de E :

DéfinitionOn appelle somme des sous-espaces vectoriels F1, . . . , Fn, l’ensemble

n∑i=1

Fidéf=

{n∑i=1

xi

∣∣∣ ∀i ∈ J1 ;nK, xi ∈ Fi}.

Cette somme peut aussi être notée F1 + · · ·+ Fn.

Théorème 3La somme F1 + · · · + Fn est un sous-espace vectoriel de E contenant chaque sous-espace Fi et inclus dans tout sous-espace vectoriel de E contenant chaque Fi.

1.1.3 Somme directeSi F1, . . . , Fn sont des sous-espaces vectoriels de l’espace E, tout vecteur x de la sommedes espaces Fi s’écrit x = x1 + · · ·+ xn avec xi ∈ Fi.

1.1 Produit et somme d’espaces vectoriels 7

DéfinitionOn dit que la somme des espaces Fi est directe lorsqu’il y a unicité de l’écritureprécédente, autrement dit, lorsque :

∀x ∈ F1 + · · ·+ Fn, ∃!(x1, . . . , xn) ∈ F1 × · · · × Fn, x = x1 + · · ·+ xn

Lorsque la somme F1 + · · ·+ Fn est directe, celle-ci est notée

F1 ⊕ · · · ⊕ Fn oun

⊕i=1

Fi.

Si la somme des espaces F1, . . . , Fn est directe, l’application (x1, . . . , xn) 7→ x1+ · · ·+xnest un isomorphisme de l’espace produit F1 × · · · × Fn vers F1 + · · ·+ Fn.

Théorème 4Les espaces F1, . . . , Fn sont en somme directe si, et seulement si, il y a unicité del’écriture du vecteur nul :

∀(x1, . . . , xn) ∈ F1 × · · · × Fn, x1 + · · ·+ xn = 0E =⇒ x1 = · · · = xn = 0E .

En particulier, la somme de deux sous-espaces vectoriels F et G est directe si, et seule-ment si, F ∩ G = {0E}. Pour trois sous-espaces vectoriels ou plus, il n’existe pas decaractérisation plus simple que celle du théorème ci-dessus.

Si l’on considère plusieurs sous-espaces vectoriels F1, . . . , Fn et Fn+1, on dispose de lapropriété « d’associativité » suivante : si F1, . . . , Fn sont en somme directe et si leursomme est en somme directe avec Fn+1 alors les espaces F1, . . . , Fn, Fn+1 sont en sommedirecte. La réciproque étant aussi vraie, on peut écrire :

(F1 ⊕ · · · ⊕ Fn)⊕ Fn+1 = F1 ⊕ · · · ⊕ Fn ⊕ Fn+1.

Cette propriété est utile lors des raisonnements par récurrence.

1.1.4 Décomposition en somme directeDéfinition

On dit que des sous-espaces vectoriels E1, . . . , En de l’espace E réalisent une décom-position en somme directe de E lorsque

E = E1 ⊕ · · · ⊕ En.Tout vecteur de E s’écrit alors de façon unique comme somme de vecteurs des es-paces E1, . . . , En.

Dans le cas n = 2, on retrouve la notion d’espaces supplémentaires présentée en premièreannée.

Si les espaces Ei sont chacun de dimension finie non nulle, on peut former une base de Een accolant des familles qui sont respectivement des bases de chaque espace Ei.


DéfinitionUne telle base de E est alors dite adaptée à la décomposition E = E1 ⊕ · · · ⊕ En.

Une démarche inverse est aussi possible :

Théorème 5 (Décomposition en somme directe par fractionnement d’une base)Si B = (e1, . . . , ep) est une base E et si (p0, p1, . . . , pn) est une famille strictementcroissante d’entiers commençant pas p0 = 0 et finissant par pn = p alors les espaces

Ek = Vect(epk−1+1, . . . , epk) pour k = 1, . . . , n

réalisent une décomposition en somme directe de E.

La base B est ainsi fractionnée en sous-familles engendrant les espaces d’une décomposi-tion en somme directe :

B = (e1, . . . , ep1︸︷︷︸E1

, ep1+1, . . . , ep2︸︷︷︸E2

, . . . , epn−1+1, . . . , epn︸︷︷︸En

).

Enfin, il est possible de définir une application linéaire par ses restrictions linéaires audépart d’espaces réalisant une décomposition en somme directe :

Théorème 6 PSISi E1, . . . , En sont des sous-espaces vectoriels de E tels que E = E1 ⊕ · · · ⊕En et siu1, . . . , un sont des applications linéaires au départ des espaces E1, . . . , En respecti-vement et à valeurs dans un même espace E′ alors il existe une unique applicationlinéaire u de E vers E′ prolongeant chaque ui, c’est-à-dire vérifiant u(x) = ui(x)pour tout x ∈ Ei.

S’il y a égalité des restrictions de deux applications linéaires sur chacun des espaces d’unedécomposition en somme directe, celles-ci sont égales sur l’intégralité de l’espace.Aussi, on retrouve qu’il est possible de définir une application linéaire en précisant sesrestrictions au départ de deux espaces supplémentaires sous réserve que ces restrictionssoient aussi des applications linéaires.

1.1.5 Dimension d’une somme

Théorème 7Si F1, . . . , Fn sont des sous-espaces vectoriels de dimensions finies de E alors leursomme est de dimension finie et

dim(

n∑i=1

Fi

)6

n∑i=1

dimFi.

De plus, il y a égalité si, et seulement si, la somme est directe.

1.2 Sous-espaces vectoriels stables 9

1.2 Sous-espaces vectoriels stables

1.2.1 Matrice définie par blocsIl est possible de décrire une matrice en regroupant ses coefficients par blocs. Par exemple,une matrice M de type (n+m, p+ q) peut être découpée par blocs 2× 2 en écrivant

M =

(A BC D

)=

a1,1 · · · a1,p b1,1 · · · b1,q...

......

...an,1 · · · an,p bn,1 · · · bn,q

c1,1 · · · c1,p d1,1 · · · d1,q...

......

...cm,1 · · · cm,p dm,1 · · · dm,q

ce qui introduit quatre matrices A,B,C,D telles que A et B d’une part, et C et Dd’autre part, ont le même nombre de lignes et que A et C d’une part, et B et D d’autrepart, ont le même nombre de colonnes.On peut alors opérer sur les décompositions par blocs sous réserve de compatibilité destypes matriciels. Par exemple, on peut écrire(

A BC D

)+

(A′ B′

C ′ D′

)=

(A+A′ B +B′

C + C ′ D +D′

)et (

A BC D

)×(A′ B′

C ′ D′

)=

(AA′ +BC ′ AB′ +BD′

CA′ +DC ′ CB′ +DD′

).

Plus généralement, un découpage par blocs N × P d’une matrice A s’écrit

A =

A1,1 A1,2 · · · A1,P

A2,1 A2,2 · · · A2,P

......

...AN,1 AN,2 · · · AN,P

∈Mn,p(K)

avecAi,j ∈Mni,pj (K), n = n1 + · · ·+ nN et p = p1 + · · ·+ pP .

On peut opérer sur de tels découpages avec des formules analogues à celles que nousaurions si les blocs désignaient des coefficients. Il faut cependant être attentif à la com-patibilité des types matriciels et aussi à l’ordre des facteurs puisque la multiplicationmatricielle n’est pas commutative.


1.2.2 Déterminant triangulaire par blocs

Théorème 8Si M ∈Mn(K) est une matrice triangulaire supérieure par blocs de la forme

M =

(A B0 C

)avec A ∈Mp(K) et C ∈Mn−p(K)

alorsdet(M) = det(A) det(C).

Cette formule se généralise aux décompositions comportant plusieurs blocs diagonauxcarrés. En remarquant

t(A 0B C

)=

(tA tB0 tC

)on généralise aussi la formule aux matrices triangulaires inférieures par blocs.

1.2.3 Sous-espaces vectoriels stables

DéfinitionUn sous-espace vectoriel F de l’espace E est dit stable par u ∈ L(E) si u(F ) ⊂ F ,c’est-à-dire si u(x) ∈ F pour tout vecteur x de F .

Si F et G sont des sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme u, les es-paces F +G et F ∩G le sont aussi.

Si F est un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs (e1, . . . , ep),

F est stable par u ⇐⇒ u(ei) ∈ F pour tout i = 1, . . . , p.

DéfinitionSi F est un sous-espace vectoriel de E stable par un endomorphisme u de E, on peutconsidérer l’application restreinte 1

uF :

{F → Fx 7→ uF (x) = u(x).

Celle-ci définit un endomorphisme de F que l’on appelle l’endomorphisme induit par usur F .

Si l’endomorphisme u est injectif, les endomorphismes qu’il induit le sont aussi. S’il estsurjectif, on ignore si les endomorphismes induits le sont encore 2.

1. Il s’agit d’une restriction du domaine de départ et du domaine d’arrivée : l’hypothèse de stabilitéde F assure la bonne définition de cette application restreinte.

2. La dérivation sur K[X] est surjective mais l’endomorphisme qu’elle induit sur Kn[X] ne l’est pas.

1.2 Sous-espaces vectoriels stables 11

Théorème 9Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par des endomorphismes u et v de Ealors il est aussi stable par λu pour tout λ ∈ K et stable par u+ v et u ◦ v.De plus, il y a compatibilité des opérations sur les endomorphismes avec le passageà l’endomorphisme induit :

(λu)F = λuF , (u+ v)F = uF + vF et (u ◦ v)F = uF ◦ vF .

1.2.4 Stabilité et représentations matricielles par blocsOn suppose ici l’espace E de dimension finie n > 1.Définition

Si F est un sous-espace vectoriel non nul de E, on appelle base de E adaptée ausous-espace vectoriel F , toute base de E dont les premiers vecteurs constituent unebase de F .

Une telle base s’écrit B = (e1, . . . , ep, ep+1, . . . , en) avec F = Vect(e1, . . . , ep). Les vec-teurs ep+1, . . . , en engendrent un sous-espace supplémentaire de F dans E.

Théorème 10Soient u un endomorphisme de E, F un sous-espace vectoriel de E de dimension p > 1et B = (e1, . . . , en) une base de E adaptée à F .On a équivalence entre :(i) F est stable par u ;(ii) la matrice de u dans B est de la forme(

A B0 C

)avec A ∈Mp(K).

De plus, si tel est le cas, la matrice A représente l’endomorphisme induit uF dans labase (e1, . . . , ep).

Si l’on considère une base de E dont les derniers vecteurs forment une base de F , lastabilité de F par u se visualise par une matrice de la forme :(

B 0C A

)avec A matrice carrée de taille p figurant uF .

Plus généralement, si E1, . . . , Em sont des sous-espaces non nuls réalisant une décompo-sition en somme directe de l’espace E, ceux-ci sont stables par un endomorphisme u de Esi, et seulement si, la matrice de u dans une base adaptée 1 à l’écriture E = E1⊕· · ·⊕Em

1. Une telle base est déterminée en accolant des bases de chaque espace Ek.


est de la forme :A1 (0). . .

(0) Am

avec Ak ∈Mαk(K) et αk = dimEk.

1.3 Matrices semblables et traces

1.3.1 Définition

DéfinitionOn dit qu’une matrice carrée A ∈Mn(K) est semblable à B ∈Mn(K), s’il existe unematrice inversible P ∈ GLn(K) telle que B = P−1AP .

La notion de matrice semblable définit une relation d’équivalence sur Mn(K). En parti-culier, si une matrice A ∈ Mn(K) est semblable à une matrice B ∈ Mn(K), elle mêmesemblable à une matrice C ∈Mn(K), alors A est semblable à C.

Deux matrices semblables ont nécessairement le même rang et le même déterminant 1.

Si B et B′ sont deux bases d’un espace vectoriel E de dimension finie non nulle et si Aet A′ sont les matrices d’un endomorphisme u de E respectivement dans les bases B etB′, on a par la formule de changement de base,

A′ = P−1AP avec P la matrice de passage de B à B′.

On en déduit :

Théorème 11Deux matrices A et B de Mn(K) sont semblables si, et seulement si, elles figurentle même endomorphisme d’un espace de dimension n.

1.3.2 Trace d’une matrice carrée

DéfinitionOn appelle trace d’une matrice carrée A = (ai,j) ∈ Mn(K), la somme de ses coeffi-cients diagonaux :

tr(A) déf= a1,1 + · · ·+ an,n.

La trace définit une application linéaire de Mn(K) vers K et vérifie :

1. Elles ont aussi la même trace comme on le soulignera par la suite ou encore le même polynômecaractéristique (notion introduite au chapitre suivant). Cependant, toutes ses conditions ne suffisent pasà affirmer que deux matrices sont semblables.

1.4 (PSI) Formes linéaires et hyperplans 13

Théorème 12Pour toutes matrices A ∈Mn,p(K) et B ∈Mp,n(K),

tr(AB) = tr(BA).

En particulier, deux matrices semblables ont la même trace :

tr(P−1AP

)= tr

(P−1(AP )

)= tr

((AP )P−1

)= tr(A).

1.3.3 Trace d’un endomorphismeOn suppose ici l’espace E de dimension finie non nulle.Définition

On appelle trace d’un endomorphisme u de l’espace E, la trace commune aux matricessemblables figurant cet endomorphisme. On la note tr(u).

La trace définit une application linéaire de L(E) vers K. Elle vérifie tr(u ◦ v) = tr(v ◦ u)pour toutes applications linéaires u ∈ L(E,E′) et v ∈ L(E′, E) (avec E′ un K-espacevectoriel de dimension finie non nulle).

1.4 (PSI) Formes linéaires et hyperplansOn suppose ici l’espace E de dimension finie n > 1.

1.4.1 Formes linéairesDéfinition

On appelle forme linéaire sur E, toute application linéaire de E vers K.L’ensemble L(E,K) des formes linéaires sur E est un K-espace vectoriel de même dimen-sion que E : dimL(E,K) = dimE.

Soit B = (e1, . . . , en) une base de E. Convenons de noter (x1, . . . , xn) la famille descoordonnées dans B d’un vecteur générique x de E. Si φ est une forme linéaire sur E, ilexiste des scalaires 1 a1, . . . , an tels que

φ(x) = a1x1 + · · ·+ anxn pour tout x ∈ E.

1.4.2 HyperplansDéfinition

On appelle hyperplan de E, tout noyau d’une forme linéaire non nulle sur E.Une forme linéaire non nulle est nécessairement de rang 1 et par conséquent :

1. Ces scalaires sont les coefficients de la matrice ligne qui figure l’application linéaire φ relativementà la base B au départ et la base (1) à l’arrivée.


Théorème 13Les hyperplans de E sont exactement les sous-espaces vectoriels de dimension n− 1.

Les hyperplans correspondent aussi aux sous-espaces supplémentaires des droites vecto-rielles.

1.4.3 Équations d’un hyperplanSoit B = (e1, . . . , en) une base de E. On convient de noter (x1, . . . , xn) la famille descoordonnées dans B d’un vecteur générique x de E.

Théorème 14Les hyperplans de E correspondent aux ensembles solutions des équations de la forme

a1x1 + · · ·+ anxn = 0

avec (a1, . . . , an) ∈ Kn et (a1, . . . , an) ̸= (0, . . . , 0).

Au surplus, deux équations a1x1 + · · ·+ anxn = 0 et a′1x1 + · · ·+ a′nxn = 0 définissent lemême hyperplan si, et seulement si, elles sont proportionnelles, c’est-à-dire si, et seule-ment si, il existe λ ∈ K∗ tel que

(a′1, . . . , a′n) = λ(a1, . . . , an).

1.5 Exercices d’apprentissage

1.5.1 Sommes de sous-espaces vectoriels

Exercice 1Soient F1 et F2 deux sous-espaces de dimensions finies d’un K-espace vectoriel Eet σ l’application de F1 × F2 vers F1 + F2 définie par

σ(x1, x2) = x1 + x2.

(a) Montrer que σ est une application linéaire.(b) Déterminer l’image et le noyau de σ.(c) Retrouver la formule de Grassmann en appliquant la formule du rang à σ.

Solution

(a) méthodeOn vérifie l’identité de linéarité σ(λx + µy) = λσ(x) + µσ(y) avec x et y descouples éléments de F1 × F2.

Table des matières

Chapitre 1. Compléments d’algèbre linéaire 51.1 Produit et somme d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . 51.2 Sous-espaces vectoriels stables . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Matrices semblables et traces . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 (PSI) Formes linéaires et hyperplans . . . . . . . . . . . . 131.5 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Sommes de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . 14Sous-espaces vectoriels stables . . . . . . . . . . . . . . . 17Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Sous-espaces vectoriels stables . . . . . . . . . . . . . . . 31Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Ensembles de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Trace d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Calculs de déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52(PSI) Hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.7 Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . 62

Chapitre 2. Réduction géométrique 69

2.1 Éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2 Polynômes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3 Diagonalisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

410 Table des matières

2.4 Trigonalisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.5 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Diagonalisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Trigonalisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.6 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Éléments propres d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . 97Calculs d’éléments propres d’un endomorphisme . . . . . . . . 100Éléments propres d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . 102Polynômes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . 108Emplois du polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . 112Matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . 121Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Applications de la réduction . . . . . . . . . . . . . . . 131Nilpotence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Matrices semblables et réduction . . . . . . . . . . . . . . 141


Chapitre 3. (PSI) Réduction algébrique 1573.1 Polynômes d’endomorphismes et de matrices . . . . . . . . . 1573.2 Réduction et polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . 1593.3 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Polynômes d’un endomorphisme, d’une matrice carrée . . . . . . 161Réduction et polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . 164

3.4 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Polynômes d’un endomorphisme, d’une matrice carrée . . . . . . 166Polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Réduction et polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . 170Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . 179Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182


Chapitre 4. Espaces préhilbertiens réels 1934.1 Produit scalaire et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . 1934.2 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1964.3 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . 1994.4 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Généralités sur les espaces préhilbertiens . . . . . . . . . . . 204Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Projection orthogonale et distance . . . . . . . . . . . . . 217Produit scalaire et transposition matricielle . . . . . . . . . . 225


Table des matières 411

Chapitre 5. Endomorphismes des espaces euclidiens 2375.1 Isométries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.2 Espace euclidien orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . 2405.3 Isométries vectorielles en dimension 2 et 3 . . . . . . . . . . 2435.4 Endomorphismes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . 2465.5 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Isométries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Endomorphismes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . 251

5.6 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Isométries du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264(PSI) Isométries de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . 267(PSI) Produit mixte et produit vectoriel . . . . . . . . . . . 270Endomorphismes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . 273Matrices symétriques réelles . . . . . . . . . . . . . . . 282Matrices antisymétriques réelles . . . . . . . . . . . . . . 290


Chapitre 6. Probabilités 2996.1 Ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . 2996.2 Espaces probabilisables . . . . . . . . . . . . . . . . . 3006.3 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3016.4 Probabilités conditionnelles et indépendance . . . . . . . . . . 3036.5 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . 3066.6 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

Études mathématiques de probabilités . . . . . . . . . . . . 312Calculs de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . 316


Chapitre 7. Variables aléatoires discrètes 3417.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . 3417.2 Couple de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . 3477.3 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . 3497.4 Espérance d’une variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . . 3507.5 Variance d’une variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . . . 3527.6 Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3557.7 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3577.8 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . 357

Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357Espérances et variances . . . . . . . . . . . . . . . . . 364Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

7.9 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

412 Table des matières

Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368Lois conjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371Espérances et variances . . . . . . . . . . . . . . . . . 376Calculs de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382Inégalités de concentration . . . . . . . . . . . . . . . . 391Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396


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David DELAUNAY, ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan, est professeur agrégé de mathématiques en classes préparatoires au lycée Dupuy de Lôme de Lorient.

Collection dirigée par Olivier RODOT

Cet ouvrage propose plus de 270 exercices d’algèbre et de probabi-lités regroupés par chapitre et accompagnés de résumés de cours. Il est destiné aux élèves de CPGE scientifiques de deuxième année

en filière PC/PC* et PSI/PSI*. Il complète l’ouvrage Exercices d’analyse PC/PSI de la même collection.Les résumés de cours présentent de façon synthétique les définitions et les théorèmes conformément au programme de la filière. Ils seront utiles pour une révision rapide et efficace et pourront servir de formulaire.

Les exercices proposés sont de niveaux variés et regroupés en trois catégories :• les exercices d’apprentissage permettent l’acquisition des fondamentaux du cours ;• les exercices d’entraînement conduisent à la maîtrise des concepts du chapitre ;• les exercices d’approfondissement invitent les étudiants à une recherche plus

fouillée par la mise en résonance de notions présentées dans différents chapitres.

Les corrections des exercices sont détaillées pas à pas et accompagnées de méthodes mettant en lumière les démarches suivies et les idées récurrentes.

• des résumés de cours• des méthodes• plus de 270 exercices de niveaux variés• des corrigés très détaillés• strictement conforme au programme officiel


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9782807315419_ExoAlgeProba_PCPSI_CV.indd 1 06/06/2018 14:14

Documents

résumés de cours efficace exercices révision rapide et Exercices … · 2018. 7. 5. · Les corrections des exercices sont détaillées pas à pas et accompagnées de méthodes