Upload
others
View
14
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1 Integrale d’une fonction periodique
2 Coefficients de Fourier et serie de Fourier
3 Theoremes de convergence d’une serie de Fourier
4 Forme exponentielle des coefficients de Fourier
() Series de Fourier 2 / 27
Definition
Une fonction f est dite continue par morceaux (resp. de classe C1 parmorceaux) sur le segment [a, b] s’il existe une subdivision
a = a0 < a1 < · · · < an−1 < an = b
de [a, b] telle que la restriction de f a chaque intervalle ]ai , ai+1[admet un prolongement continu (resp. de classe C1) sur le segment[ai , ai+1].
Une fonction est continue (resp. de classe C1) par morceaux unintervalle I quand elle est continue (resp. de classe C1) par morceauxsur tout segment de I .
() Series de Fourier 3 / 27
Plan
1 Integrale d’une fonction periodique
2 Coefficients de Fourier et serie de Fourier
3 Theoremes de convergence d’une serie de Fourier
4 Forme exponentielle des coefficients de Fourier
() Series de Fourier 4 / 27
Proposition
Soit T un nombre reel strictement positif et f une fonction T−periodiqueet continue par morceaux definie sur R. Pour tout α ∈ R, on a∫ α+T
αf (t)dt =
∫ T
0f (t)dt.
Autrement dit, l’integrale de f est la meme sur tout intervalle de longueurla periode T .
() Series de Fourier 5 / 27
Demonstration. La f fonction est continue par morceaux, donc elleadmet une primitive F derivable sur R. On definit la fonction G par :
∀α ∈ R, G (α) =
∫ α+T
αf (t)dt = F (α + T )− F (α)
La fonction G est derivable sur R et
∀α ∈ R,G ′(α) = f (α + T )− f (α).
Comme f est T -periodique, on obtient ∀α ∈ R,G ′(α) = 0. Donc G estune fonction constante, en particulier egale a sa valeur en 0 :
∀α ∈ R,G (α) = G (0)
donc ∫ α+T
αf (t)dt =
∫ T
0f (t)dt
() Series de Fourier 6 / 27
Plan
1 Integrale d’une fonction periodique
2 Coefficients de Fourier et serie de Fourier
3 Theoremes de convergence d’une serie de Fourier
4 Forme exponentielle des coefficients de Fourier
() Series de Fourier 7 / 27
Definitions generales
Definition
Soit f : R→ R une fonction T−periodique et continue par morceaux sur
R. On pose ω =2π
Tet l’on note
a0(f ) =1
T
∫ T
0f (t)dt
et pour tout n ∈ N∗,
an(f ) =2
T
∫ T
0f (t) cos(ωnt)dt
bn(f ) =2
T
∫ T
0f (t) sin(ωnt)dt.
Les nombres reels a0(f ), a1(f ), a2(f ), . . . , b1(f ), b2(f ) . . . sont appeles lescoefficients de Fourier de f .
() Series de Fourier 8 / 27
Definition
Pour tout N ∈ N, on definit sur R la fonction SN(f ) par :
∀t ∈ R, SN(f )(t) = a0(f ) +N∑
k=1
(an(f ) cos(ωnt) + bn(f ) sin(ωnt)).
SN(f ) est appele polynome de Fourier de f d’indice N ou sommepartielle d’ordre n de la serie de Fourier de f .
On appelle serie de Fourier de f � l’addition formelle infinie� :
S(f )(t) = a0(f ) ++∞∑n=1
(an(f ) cos(ωnt) + bn(f ) sin(ωnt))
Notation: La notation S(f )(t) n’a de sens pour pour les t ∈ R tels que lasuite de nombres reels (SN(f )(t)) est convergente. Le probleme est desavoir en quels t ∈ R la suite (SN(f )(t))N∈N converge et si en ces pointsS(f )(t) = f (t).
() Series de Fourier 9 / 27
Proprietes des coefficients de Fourier et Calcul
Proposition
Soit f une fonction T−periodique continue par morceaux. Pour tout reelα, on a
a0(f ) =1
T
∫ α+T
αf (t)dt
et pour tout n ∈ N∗,
an(f ) =2
T
∫ α+T
αf (t) cos(ωnt)dt
et
bn(f ) =2
T
∫ α+T
αf (t) sin(ωnt)dt.
() Series de Fourier 10 / 27
Proposition
En particulier, on a
a0(f ) =1
T
∫ T/2
−T/2f (t)dt
et pour tout n ∈ N∗,
an(f ) =2
T
∫ T/2
−T/2f (t) cos(ωnt)dt
et
bn(f ) =2
T
∫ T/2
−T/2f (t) sin(ωnt)dt.
() Series de Fourier 11 / 27
Parite, imparite
Proposition
Soit f une fonction T−periodique continue par morceaux.
Si f est paire, alors a0(f ) =2
T
∫ T/2
0f (t)dt et pour tout n ∈ N∗,
bn(f ) = 0
an(f ) =4
T
∫ T/2
0f (t) cos(nωt)dt.
Si f est impaire, alors pour tout n ∈ N, an(f ) = 0 et pour toutn ∈ N∗,
bn(f ) =4
T
∫ T/2
0f (t) sin(nωt)dt.
() Series de Fourier 12 / 27
Demonstration. D’apres la proposition precedente, en prenantα = −T/2, on a
a0(f ) =1
T
∫ T/2
−T/2f (t)dt
an(f ) =2
T
∫ T/2
−T/2f (t) cos(ωnt)d, bn(f ) =
2
T
∫ T/2
−T/2f (t) sin(ωnt)dt.
Considerons le cas ou f est une fonction paire. On coupe chaque integraleen deux, et on fait le changement de variable x = −t dans la premiereintegrale.
a0(f ) =1
T
∫ 0
−T/2f (t)dt +
1
T
∫ T/2
0f (t)dt
=1
T
∫ 0
T/2f (−x)(−dx) +
1
T
∫ T/2
0f (t)dt
Par parite de f , on a f (−x) = f (x), donc
a0(f ) =1
T
∫ T/2
0f (x)dx +
1
T
∫ T/2
0f (t)dt =
2
T
∫ T/2
0f (t)dt
() Series de Fourier 13 / 27
la fonction t → f (t) cos(ωnt) est paire, donc par la meme transformation,on a
an(f ) = 2× 2
T
∫ T/2
0f (t) cos(ωnt)dt
Par contre, la fonction t → f (t) sin(ωnt) est impaire, la memetransformation donne
bn(f ) = − 2
T
∫ T/2
0f (x) sin(ωnt)dx +
2
T
∫ T/2
0f (t) sin(ωnt)dt = 0
() Series de Fourier 14 / 27
Le cas particulier ou T = 2π
Lorsque T = 2π, on a ω = 1 et donc
a0(f ) =1
2π
∫ 2π
0f (t)dt
et pour tout n ∈ N∗,
an(f ) =1
π
∫ 2π
0f (t) cos(nt)dt et bn(f ) =
1
π
∫ 2π
0f (t) sin(nt)dt.
Exemple: Soit f la fonction impaire, 2π−periodique qui vaut 1 surl’intervalle ]0, π[. Calculer les coefficients de Fourier de f et ecrire sonpolynome de Fourier d’indice n.
() Series de Fourier 15 / 27
Plan
1 Integrale d’une fonction periodique
2 Coefficients de Fourier et serie de Fourier
3 Theoremes de convergence d’une serie de Fourier
4 Forme exponentielle des coefficients de Fourier
() Series de Fourier 16 / 27
Convergence quadratique : la formule de Parseval
Theoreme
Soit f : R→ R une fonction T−periodique et continue par morceaux surR. Alors la serie numerique
∑n>1
(a2n(f ) + b2
n(f )) converge et l’on a
1
T
∫ T
0(f (t))2dt = a2
0(f ) +1
2
+∞∑n=1
(a2n(f ) + b2
n(f )). (Identite de Parseval)
Exemple: Soit f la fonction 2π periodique qui vaut 1 sur l’intervalle [0, π[et 0 sur l’intervalle [π, 2π[.
() Series de Fourier 17 / 27
Premier theoreme de convergence de Dirichlet
Notation: Soit f : R→ R. Pour tout x ∈ R, on note les limites a droite eta gauche de f en x par :
f (t + 0) = limx→t+
f (x) et f (t − 0) = limx→t−
f (x)
() Series de Fourier 18 / 27
Theoreme
Soit f : R→ R, T−periodique et de classe C1 par morceaux. Soit(Sn(f ))n∈N sa serie de Fourier.
Pour tout t ∈ R, la suite (Sn(f )(t))n∈N est convergente et l’on a
limn→+∞
Sn(f )(t) =f (t − 0) + f (t + 0)
2.
Autrement dit, la serie de Fourier de f converge pour tout reel t et l’on a
S(f )(t) =f (t − 0) + f (t + 0)
2.
Remarque: En tout point t ou f est continue, les limites a gauche et adroite sont egales et l’on a S(f )(t) = f (t).
Exemple:
() Series de Fourier 19 / 27
Deuxieme theoreme de convergence de Dirichlet
Theoreme
Soit f : R→ R une fonction T−periodique, de classe C1 par morceaux et
continue sur R . On note S(f ) la serie de Fourier de f , et (an(f ))n∈N et(bn(f ))n∈N∗ ses coefficients de Fourier. La serie de Fourier de f convergeen tout point de R et l’on a
∀t ∈ R, S(f )(t) = f (t).
() Series de Fourier 20 / 27
Theoreme
De plus :
Les series∑
an(f ) et∑
bn(f ) sont absolument convergentes.
Pour tout x , y ∈ R, l’integrale
∫ y
xf (t)dt s’obtient en integrant terme
a terme la serie de Fourier de f , c’est-a-dire∫ y
xf (t)dt =
∫ y
xa0(f )dt+
+∞∑n=1
∫ y
x(an(f ) cos(ωnt)+bn(f ) sin(ωnt)) dt
= (y − x)a0(f )
++∞∑n=1
1
ωn
[an(f )(sin(ωny)−sin(ωnx))+bn(f )(cos(ωnx)−cos(ωny))
].
() Series de Fourier 21 / 27
Plan
1 Integrale d’une fonction periodique
2 Coefficients de Fourier et serie de Fourier
3 Theoremes de convergence d’une serie de Fourier
4 Forme exponentielle des coefficients de Fourier
() Series de Fourier 22 / 27
Definition
Soit f une fonction T−periodique et continue par morceaux. On note(Sn(f ))n∈N sa serie de fourier et (an(f ))n∈N et (bn(f ))n∈N∗ ses coefficientsde Fourier. On peut definir les coefficients de Fourier complexes(cn(f ))n∈Z de f de la facon suivante :
c0(f ) = a0(f )
et pour tout n ∈ N∗
cn(f ) =1
2(an(f )− ibn(f )) et c−n(f ) =
1
2(an(f ) + ibn(f ))
Remarquons que pour tout n ∈ N∗, c−n(f ) = cn(f ).
() Series de Fourier 23 / 27
Proposition
On a alors pour tout n ∈ Z
cn(f ) =1
T
∫ T
0f (t) e−inωt dt.
Pour tout n ∈ N, la somme partielle de rang n de la serie de Fourier de fs’ecrit alors :
∀t ∈ R, Sn(f )(t) =n∑
k=−nck(f ) eikωt .
() Series de Fourier 24 / 27
En effet, on a pour tout t ∈ R,
n∑k=−n
ck(f ) eikωt = a0(f ) +n∑
k=1
ck(f ) eikωt +n∑
k=1
c−k(f ) e−ikωt
= a0(f ) +n∑
k=1
(ck(f ) eikωt +ck(f ) eikωt)
= a0(f ) +n∑
k=1
2 Re(ck(f ) eikωt)
= a0(f ) +n∑
k=1
2 Re
((
ak(f )− ibk(f )
2)(cos(kωt) + i sin(kωt)
)
= a0(f ) +1
2
n∑k=1
(ak(f ) cos(kωt) + bk(f ) sin(kωt)) = Sn(f )(t).
() Series de Fourier 25 / 27
Il est parfois plus facile de calculer les coefficients (cn(f ))n∈Z a l’aide de laformule integrale que les coefficients (an(f ))n∈N et (bn(f ))n∈N∗ . On peutensuite retrouver aisement ces coefficients a l’aide de la formule suivante :
a0(f ) = c0(f ), et ∀n ∈ N∗,
{an(f ) = cn(f ) + c−n(f )
bn(f ) = i(cn(f )− c−n(f )).
() Series de Fourier 26 / 27
Dans ce cadre, l’identite de Parseval est la suivante :
Theoreme
Soit f : R→ R une fonction T−periodique et continue par morceaux surR. Alors
1
T
∫ T
0(f (t))2dt = (c0(f ))2 +
+∞∑n=1
(|c−n(f )|2 + |cn(f )|2).
En effet, pour tout n ∈ N∗,|c−n(f )|2 + |cn(f )|2 = 2× |cn(f )|2 =
1
2× [(an(f ))2 + (bn(f ))2].
() Series de Fourier 27 / 27