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eries de Fourier () eries de Fourier 1 / 27

S eries de Fourier - ac-nancy-metz.fr · 2 Coe cients de Fourier et s erie de Fourier 3 Th eor emes de convergence d’une s erie de Fourier 4 Forme exponentielle des coe cients de

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Series de Fourier

() Series de Fourier 1 / 27

1 Integrale d’une fonction periodique

2 Coefficients de Fourier et serie de Fourier

3 Theoremes de convergence d’une serie de Fourier

4 Forme exponentielle des coefficients de Fourier

() Series de Fourier 2 / 27

Definition

Une fonction f est dite continue par morceaux (resp. de classe C1 parmorceaux) sur le segment [a, b] s’il existe une subdivision

a = a0 < a1 < · · · < an−1 < an = b

de [a, b] telle que la restriction de f a chaque intervalle ]ai , ai+1[admet un prolongement continu (resp. de classe C1) sur le segment[ai , ai+1].

Une fonction est continue (resp. de classe C1) par morceaux unintervalle I quand elle est continue (resp. de classe C1) par morceauxsur tout segment de I .

() Series de Fourier 3 / 27

Plan

1 Integrale d’une fonction periodique

2 Coefficients de Fourier et serie de Fourier

3 Theoremes de convergence d’une serie de Fourier

4 Forme exponentielle des coefficients de Fourier

() Series de Fourier 4 / 27

Proposition

Soit T un nombre reel strictement positif et f une fonction T−periodiqueet continue par morceaux definie sur R. Pour tout α ∈ R, on a∫ α+T

αf (t)dt =

∫ T

0f (t)dt.

Autrement dit, l’integrale de f est la meme sur tout intervalle de longueurla periode T .

() Series de Fourier 5 / 27

Demonstration. La f fonction est continue par morceaux, donc elleadmet une primitive F derivable sur R. On definit la fonction G par :

∀α ∈ R, G (α) =

∫ α+T

αf (t)dt = F (α + T )− F (α)

La fonction G est derivable sur R et

∀α ∈ R,G ′(α) = f (α + T )− f (α).

Comme f est T -periodique, on obtient ∀α ∈ R,G ′(α) = 0. Donc G estune fonction constante, en particulier egale a sa valeur en 0 :

∀α ∈ R,G (α) = G (0)

donc ∫ α+T

αf (t)dt =

∫ T

0f (t)dt

() Series de Fourier 6 / 27

Plan

1 Integrale d’une fonction periodique

2 Coefficients de Fourier et serie de Fourier

3 Theoremes de convergence d’une serie de Fourier

4 Forme exponentielle des coefficients de Fourier

() Series de Fourier 7 / 27

Definitions generales

Definition

Soit f : R→ R une fonction T−periodique et continue par morceaux sur

R. On pose ω =2π

Tet l’on note

a0(f ) =1

T

∫ T

0f (t)dt

et pour tout n ∈ N∗,

an(f ) =2

T

∫ T

0f (t) cos(ωnt)dt

bn(f ) =2

T

∫ T

0f (t) sin(ωnt)dt.

Les nombres reels a0(f ), a1(f ), a2(f ), . . . , b1(f ), b2(f ) . . . sont appeles lescoefficients de Fourier de f .

() Series de Fourier 8 / 27

Definition

Pour tout N ∈ N, on definit sur R la fonction SN(f ) par :

∀t ∈ R, SN(f )(t) = a0(f ) +N∑

k=1

(an(f ) cos(ωnt) + bn(f ) sin(ωnt)).

SN(f ) est appele polynome de Fourier de f d’indice N ou sommepartielle d’ordre n de la serie de Fourier de f .

On appelle serie de Fourier de f � l’addition formelle infinie� :

S(f )(t) = a0(f ) ++∞∑n=1

(an(f ) cos(ωnt) + bn(f ) sin(ωnt))

Notation: La notation S(f )(t) n’a de sens pour pour les t ∈ R tels que lasuite de nombres reels (SN(f )(t)) est convergente. Le probleme est desavoir en quels t ∈ R la suite (SN(f )(t))N∈N converge et si en ces pointsS(f )(t) = f (t).

() Series de Fourier 9 / 27

Proprietes des coefficients de Fourier et Calcul

Proposition

Soit f une fonction T−periodique continue par morceaux. Pour tout reelα, on a

a0(f ) =1

T

∫ α+T

αf (t)dt

et pour tout n ∈ N∗,

an(f ) =2

T

∫ α+T

αf (t) cos(ωnt)dt

et

bn(f ) =2

T

∫ α+T

αf (t) sin(ωnt)dt.

() Series de Fourier 10 / 27

Proposition

En particulier, on a

a0(f ) =1

T

∫ T/2

−T/2f (t)dt

et pour tout n ∈ N∗,

an(f ) =2

T

∫ T/2

−T/2f (t) cos(ωnt)dt

et

bn(f ) =2

T

∫ T/2

−T/2f (t) sin(ωnt)dt.

() Series de Fourier 11 / 27

Parite, imparite

Proposition

Soit f une fonction T−periodique continue par morceaux.

Si f est paire, alors a0(f ) =2

T

∫ T/2

0f (t)dt et pour tout n ∈ N∗,

bn(f ) = 0

an(f ) =4

T

∫ T/2

0f (t) cos(nωt)dt.

Si f est impaire, alors pour tout n ∈ N, an(f ) = 0 et pour toutn ∈ N∗,

bn(f ) =4

T

∫ T/2

0f (t) sin(nωt)dt.

() Series de Fourier 12 / 27

Demonstration. D’apres la proposition precedente, en prenantα = −T/2, on a

a0(f ) =1

T

∫ T/2

−T/2f (t)dt

an(f ) =2

T

∫ T/2

−T/2f (t) cos(ωnt)d, bn(f ) =

2

T

∫ T/2

−T/2f (t) sin(ωnt)dt.

Considerons le cas ou f est une fonction paire. On coupe chaque integraleen deux, et on fait le changement de variable x = −t dans la premiereintegrale.

a0(f ) =1

T

∫ 0

−T/2f (t)dt +

1

T

∫ T/2

0f (t)dt

=1

T

∫ 0

T/2f (−x)(−dx) +

1

T

∫ T/2

0f (t)dt

Par parite de f , on a f (−x) = f (x), donc

a0(f ) =1

T

∫ T/2

0f (x)dx +

1

T

∫ T/2

0f (t)dt =

2

T

∫ T/2

0f (t)dt

() Series de Fourier 13 / 27

la fonction t → f (t) cos(ωnt) est paire, donc par la meme transformation,on a

an(f ) = 2× 2

T

∫ T/2

0f (t) cos(ωnt)dt

Par contre, la fonction t → f (t) sin(ωnt) est impaire, la memetransformation donne

bn(f ) = − 2

T

∫ T/2

0f (x) sin(ωnt)dx +

2

T

∫ T/2

0f (t) sin(ωnt)dt = 0

() Series de Fourier 14 / 27

Le cas particulier ou T = 2π

Lorsque T = 2π, on a ω = 1 et donc

a0(f ) =1

∫ 2π

0f (t)dt

et pour tout n ∈ N∗,

an(f ) =1

π

∫ 2π

0f (t) cos(nt)dt et bn(f ) =

1

π

∫ 2π

0f (t) sin(nt)dt.

Exemple: Soit f la fonction impaire, 2π−periodique qui vaut 1 surl’intervalle ]0, π[. Calculer les coefficients de Fourier de f et ecrire sonpolynome de Fourier d’indice n.

() Series de Fourier 15 / 27

Plan

1 Integrale d’une fonction periodique

2 Coefficients de Fourier et serie de Fourier

3 Theoremes de convergence d’une serie de Fourier

4 Forme exponentielle des coefficients de Fourier

() Series de Fourier 16 / 27

Convergence quadratique : la formule de Parseval

Theoreme

Soit f : R→ R une fonction T−periodique et continue par morceaux surR. Alors la serie numerique

∑n>1

(a2n(f ) + b2

n(f )) converge et l’on a

1

T

∫ T

0(f (t))2dt = a2

0(f ) +1

2

+∞∑n=1

(a2n(f ) + b2

n(f )). (Identite de Parseval)

Exemple: Soit f la fonction 2π periodique qui vaut 1 sur l’intervalle [0, π[et 0 sur l’intervalle [π, 2π[.

() Series de Fourier 17 / 27

Premier theoreme de convergence de Dirichlet

Notation: Soit f : R→ R. Pour tout x ∈ R, on note les limites a droite eta gauche de f en x par :

f (t + 0) = limx→t+

f (x) et f (t − 0) = limx→t−

f (x)

() Series de Fourier 18 / 27

Theoreme

Soit f : R→ R, T−periodique et de classe C1 par morceaux. Soit(Sn(f ))n∈N sa serie de Fourier.

Pour tout t ∈ R, la suite (Sn(f )(t))n∈N est convergente et l’on a

limn→+∞

Sn(f )(t) =f (t − 0) + f (t + 0)

2.

Autrement dit, la serie de Fourier de f converge pour tout reel t et l’on a

S(f )(t) =f (t − 0) + f (t + 0)

2.

Remarque: En tout point t ou f est continue, les limites a gauche et adroite sont egales et l’on a S(f )(t) = f (t).

Exemple:

() Series de Fourier 19 / 27

Deuxieme theoreme de convergence de Dirichlet

Theoreme

Soit f : R→ R une fonction T−periodique, de classe C1 par morceaux et

continue sur R . On note S(f ) la serie de Fourier de f , et (an(f ))n∈N et(bn(f ))n∈N∗ ses coefficients de Fourier. La serie de Fourier de f convergeen tout point de R et l’on a

∀t ∈ R, S(f )(t) = f (t).

() Series de Fourier 20 / 27

Theoreme

De plus :

Les series∑

an(f ) et∑

bn(f ) sont absolument convergentes.

Pour tout x , y ∈ R, l’integrale

∫ y

xf (t)dt s’obtient en integrant terme

a terme la serie de Fourier de f , c’est-a-dire∫ y

xf (t)dt =

∫ y

xa0(f )dt+

+∞∑n=1

∫ y

x(an(f ) cos(ωnt)+bn(f ) sin(ωnt)) dt

= (y − x)a0(f )

++∞∑n=1

1

ωn

[an(f )(sin(ωny)−sin(ωnx))+bn(f )(cos(ωnx)−cos(ωny))

].

() Series de Fourier 21 / 27

Plan

1 Integrale d’une fonction periodique

2 Coefficients de Fourier et serie de Fourier

3 Theoremes de convergence d’une serie de Fourier

4 Forme exponentielle des coefficients de Fourier

() Series de Fourier 22 / 27

Definition

Soit f une fonction T−periodique et continue par morceaux. On note(Sn(f ))n∈N sa serie de fourier et (an(f ))n∈N et (bn(f ))n∈N∗ ses coefficientsde Fourier. On peut definir les coefficients de Fourier complexes(cn(f ))n∈Z de f de la facon suivante :

c0(f ) = a0(f )

et pour tout n ∈ N∗

cn(f ) =1

2(an(f )− ibn(f )) et c−n(f ) =

1

2(an(f ) + ibn(f ))

Remarquons que pour tout n ∈ N∗, c−n(f ) = cn(f ).

() Series de Fourier 23 / 27

Proposition

On a alors pour tout n ∈ Z

cn(f ) =1

T

∫ T

0f (t) e−inωt dt.

Pour tout n ∈ N, la somme partielle de rang n de la serie de Fourier de fs’ecrit alors :

∀t ∈ R, Sn(f )(t) =n∑

k=−nck(f ) eikωt .

() Series de Fourier 24 / 27

En effet, on a pour tout t ∈ R,

n∑k=−n

ck(f ) eikωt = a0(f ) +n∑

k=1

ck(f ) eikωt +n∑

k=1

c−k(f ) e−ikωt

= a0(f ) +n∑

k=1

(ck(f ) eikωt +ck(f ) eikωt)

= a0(f ) +n∑

k=1

2 Re(ck(f ) eikωt)

= a0(f ) +n∑

k=1

2 Re

((

ak(f )− ibk(f )

2)(cos(kωt) + i sin(kωt)

)

= a0(f ) +1

2

n∑k=1

(ak(f ) cos(kωt) + bk(f ) sin(kωt)) = Sn(f )(t).

() Series de Fourier 25 / 27

Il est parfois plus facile de calculer les coefficients (cn(f ))n∈Z a l’aide de laformule integrale que les coefficients (an(f ))n∈N et (bn(f ))n∈N∗ . On peutensuite retrouver aisement ces coefficients a l’aide de la formule suivante :

a0(f ) = c0(f ), et ∀n ∈ N∗,

{an(f ) = cn(f ) + c−n(f )

bn(f ) = i(cn(f )− c−n(f )).

() Series de Fourier 26 / 27

Dans ce cadre, l’identite de Parseval est la suivante :

Theoreme

Soit f : R→ R une fonction T−periodique et continue par morceaux surR. Alors

1

T

∫ T

0(f (t))2dt = (c0(f ))2 +

+∞∑n=1

(|c−n(f )|2 + |cn(f )|2).

En effet, pour tout n ∈ N∗,|c−n(f )|2 + |cn(f )|2 = 2× |cn(f )|2 =

1

2× [(an(f ))2 + (bn(f ))2].

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