S4-cours _chap2 - produit scalaire,orthogonalité

8/7/2019 S4-cours _chap2 - produit scalaire,orthogonalité

http://slidepdf.com/reader/full/s4-cours-chap2-produit-scalaireorthogonalite 1/20

Université Mohammed V – Agdal

Faculté des Sciences Juridiques,

Economiques et sociales

RABAThttp://www.fsjesr.ac.ma

ا –لاآا

داو ا ما آاو

ااط

Filière de Sciences Économiques et de Gestion

Semestre : S4

Module : M 16 (Méthodes Quantitatives IV)

Matière : Algèbre II

Professeure Salma DASSER Professeure Salma DASSER Professeure Salma DASSER Professeure Salma DASSER Session printemps Session printemps Session printemps Session printemps- -- -été été été été 1111

C C C H H H AAAP P P I I I T T T R R R E E E 2 2 2 : : : PPPRRROOODDDUUUIIITTT SSSCCCAAALLLAAAIIIRRREEE---OOORRRTTTHHHOOOGGGOOONNNAAALLLIIITTTEEE

I- Produit scalaire dans et Espace euclidien ........................................................... 2

I-1 Définitions ...................................................................................................................................................... 2

I-2 Matrice d'un produit scalaire .......................................................................................................................... 3

I-3 Produit scalaire et norme euclidienne ............................................................................................................. 4

I-4 Produit scalaire et angle de deux vecteurs ...................................................................................................... 5

II- Orthogonalité .................................................................................................................. 5

II-1 Vecteurs orthogonaux ................................................................................................................................... 5

II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt ............................................................................................ 6 II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux ............................................................................................................ 7

III- Projection - Projection orthogonale ............................................................................. 8

III-1 Définitions ................................................................................................................................................... 8

III-2 Détermination pratique de la projection orthogonale .................................................................................. 9

III-1 Caractérisation et propriétés ...................................................................................................................... 10

IV- Application aux droites et aux plans ........................................................................... 12

IV-1 Droites dans ......................................................................................................................................... 12

Equation d’une droite dans le plan ....................................................................................................... 12

Projection orthogonale sur une droite du plan ..................................................................................... 13

IV-2 Plans et droites dans ............................................................................................................................. 14

Equation d’un plan, équation d’une droite dans l’espace .................................................................... 14

Projection orthogonale sur un plan ...................................................................................................... 16

Projection orthogonale sur une droite .................................................................................................. 17

V- Application aux matrices : images et noyaux orthogonaux ........................................ 17 VI- Retour aux systèmes linéaires (solution au sens des MCO) ...................................... 18



[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II ] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité

Professeure Salma DASSER Professeure Salma DASSER Professeure Salma DASSER Professeure Salma DASSER Session printemps Session printemps Session printemps Session printemps- -- -été été été été 2 22 2

III--- PPPrrroooddduuuiiittt ssscccaaalllaaaiiirrreee dddaaannnsss eeettt EEEssspppaaaccceee eeeuuucccllliiidddiiieeennn

I-1 Définitions

D Déé f f ii n nii t tii o o n n :: (Produit scalaire) On appelle produit scalaire dans toute application de dans qui possède les

propriétés ci-dessus.

On notera , , ou simplement , , le nombre réel ,.

(1) La bilinéarité.- Linéarité par rapport à la première variable : ,, , , , , ., . , . . , . , . ,

ou encore :

, , , ., . , . . , . , . ,

- Linéarité par rapport à la deuxième variable : ,, , , , , ,. . , , . . . , . ,

ou encore :

, , ,

,. . , ,. .

. , . ,

(2) La bilinéarité. , , , ou encore , ,

(3) La positivité. , 0 ou encore , 0

(4) La non dégénérescence.

, 0 0 ou encore , 0 0

D Déé f f ii n nii t tii o o n n :: (Espace vectoriel euclidien)

Lorsqu'il est muni d'un produit scalaire . , . , est appelé un espace vectoriel euclidien.

On le note par , . , .

E E x xee m m p pl l ee s s :: (1) , ∑ est un produit scalaire sur : produit scalaire canonique ou usuel de .

(2)

, ∑

,

0, 1, … est un produit scalaire sur

.

(3)

, 21 2 1 2est un produit scalaire sur

.

(4) , 21 22 23 2 1 3 1 3 2 est un produit

scalaire sur .





I-2 Matrice d'un produit scalaire

D Déé f f ii n nii t tii o o n n :: (Matrice d’un produit scalaire)

La matrice d’un produit scalaire

. , . défini sur

, muni de sa base canonique

, … ,

c’est la matrice définie par , , 1, .

E E x xee m m p pl l ee s s :: (1) La matrice du produit scalaire canonique c’est la matrice identité.

(2) La matrice du produit scalaire défini , ∑ , 0 c’est la matrice diagonale .

(3) La matrice du produit scalaire défini , 21 2 1 2 c’est la matrice 2 11 1.(4) La matrice du produit scalaire défini , 21 22 23 2 1 3 1 3 2 c’est la matrice 2 1 11 2 1

1 1 2.

D Déé f f ii n nii t tii o o n n :: (Matrice symétrique définie positive)

Une matrice symétrique est dite définie positive si toutes ses valeurs propres sont strictement

positives.

E E x xee m m p pl l ee s s :: (1) La matrice identité est une matrice symétrique définie positive.

(2) Une matrice diagonale est une matrice symétrique définie positive si tous ses éléments diagonaux sont

strictement positifs.

(3) La matrice symétrique

1 22 1n’est pas définie positive.

(4) La matrice symétrique 2 11 1 est définie positive.

(5) La matrice symétrique 1 1 11 1 1 1 1 1 n’est pas définie positive car 1 2

(6) La matrice symétrique 2 1 11 2 11 1 2 est définie positive car 4 2

P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n ::

La matrice d’un produit scalaire sur

est une matrice symétrique définie positive.

E E x xee m m p pl l ee s s :: (1) La matrice du produit scalaire canonique est symétrique définie positive (la matrice identité).

(2) La matrice du produit scalaire , ∑ , 0 est symétrique définie positive.

(3) La matrice du produit scalaire , 21 2 1 2 est symétrique définie positive.

(4) La matrice du produit scalaire , 21 22 23 2 1 3 1 3 2 est symétrique définie positive.






Une matrice carrée d’ordre définit un produit scalaire sur si et seulement si elle estsymétrique définie positive.

Soit

une matrice symétrique définie positive d’ordre

.

L’application

de

dans

par

, . . est un produit scalaire sur

.

On notera , , le nombre réel ,.

E E x xee m m p pl l ee s s ::

(1) La matrice symétrique 1 22 1 ne définit pas de produit scalaire sur car elle n’est pas définie positive.

(2) La matrice symétrique 2 11 1 définit un produit scalaire (car elle est définie positive) par, 2 11 1 12 21 2 1 2

(3) La matrice

1 1 11 1 1 1 1 1

ne définit pas de produit scalaire sur

car elle n’est pas définie positive.

(4) La matrice symétrique 2 1 11 2 11 1 2 définit un produit scalaire (car elle est définie positive) par

, 2 1 11 2 11 1 2 123 , 21 22 23 2 1 3 1 3 2

I-3 Produit scalaire et norme euclidienne

D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::

Soit , un produit scalaire sur . On notera simplement par .

L’application définie de vers par : , s’appelle norme euclidienne.

Le nombre s’appelle norme du vecteur .

L’application définie de vers par : , s’appelle distance euclidienne.

La distance d’un point à un sous espace vectoriel est donnée par : , min

P P r r o o p p r riiéé t téé s s :: ((nnoorrmmee eeuucclliiddiieennnnee))

(1) Homogénéité : . ||. (2) Norme d’une somme de deux vecteurs : 2. , (3) Inégalité de Schwarz : |, | .

(4) Inégalité de Minkowski :

P P r r o o p p r riiéé t téé s s :: ((ddiissttaannccee eeuucclliiddiieennnnee))

(1) , , (2) , 0 (3)

, , ,






Si , . , . est un espace euclidien, alors : , ; ,

La connaissance de la norme détermine complètement le produit scalaire.

Pour désigner un espace euclidien, on note alors aussi

, . au lieu de

, . , . ,

. étant la norme euclidienne associée au produit scalaire . , . .

I-4 Produit scalaire et angle de deux vecteurs


Si et sont deux vecteurs non nuls de , . , . alors il existe un unique angle θ 0, π tel

que

cos ,

.

:

|, | . . 0 1

,

.

1 0, / cos ,

.


Si et sont deux vecteurs non nuls de , . , . alors l’unique angle 0, vérifiantcos ,. s’appelle angle des deux vecteurs et .

On considère dans toute la suite l’espace euclidien , . , . : où est muni du produit scalaire usuel :

, ,

;

IIIIII--- OOOrrrttthhhooogggooonnnaaallliiitttééé

II-1 Vecteurs orthogonaux


On dit que deux vecteurs

et

de

sont orthogonaux et on note

ssi

, 0.

P P r r o o p p r riiéé t téé s s ::

(1) L’angle de deux vecteurs orthogonaux et est égal à : cos, ,. 0

(2) Deux vecteurs et sont orthogonaux ssi (l’identité de Pythagore)


Un système de vecteurs , … , de est un système orthogonal ssi , 0 .






Un système orthogonal est libre.


Un système, de n vecteurs de , , … , est une base orthonormée ssi : , 0 1 , 0 , 1.


Tout sous espace vectoriel de , . , . admet une base orthonormée.

II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt

Soit un sous espace de , . , . . Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt consiste à

construire une base orthonormée , … , de à partir d’une base quelconque , … , de .

É É t t a a p pee s s d d uu p p r r o o c céé d d éé ::

Départ : , … , une base de .

Étape 1 : construire le 1er

vecteur de la base orthonormée

Étape 2 : construire le 2ème vecteur de la base orthonormée , .

Étape r : construire le rième

vecteur de la base orthonormée , . … , .

Étape p : construire le pième

vecteur de la base orthonormée , . … , .

Arrivée :

, … , est une base orthonormée de

.

E E x xee m m p pl l ee ::

Une base orthonormée du sous espace vectoriel , , , / 0

Départ : On construit une base , , de 1 1,1,0,02 1,0,1,03 1,0,0,1

Étape 1 : On construit le 1er

vecteur de la base orthonormée √ , √ ,0,0 1,1,0,0

√ 2

. √ . 1,1,0,0





Étape 2 : construire le 2ème

vecteur de la base orthonormée √ , √ , √ , 0

, . 1,0,1,0 √ √ , √ ,0,0 , ,1,0 ; , √

1

. . , ,1,0

Étape 3 : construire le 3ème

vecteur de la base orthonormée √ , √ , √ , √

, . , . ; , √ , , √

1,0,0,1 √ √ , √ ,0,0 √ . √ , √ , √ , 0 , , , 1 1 √

.

√

.

,

,

, 1

Arrivée : , , est une base orthonormée de .

II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux


Soit un sous-espace vectoriel de . On appelle sous-espace orthogonal de et on note l’ensemble : / , 0

R R a a p p p peel l ::

Deux sous espaces vectoriels et de sont supplémentaires ssi est leur somme directe : ; ! , /


L’orthogonal d’un sous-espace vectoriel de , , est un sous espace vectoriel de , , .

Un sous espace vectoriel et son orthogonal sont supplémentaires dans : .

L’orthogonal de l’orthogonal d’un sous espace vectoriel lui est égal :

En particulier, on a : 0,…,0 et 0,…,0


Si 1, … , est un sous-espace vectoriel de alors : / , , 0

E E x xee m m p pl l ee :: , , , / 0 1, 2, 3 avec 1 1,1,0,02 1,0,1,0

3 1,0,0,1 ; car , , est une base de .





1, 2, 3, 4 1, 02, 03, 0 1 2 01 3 01 4 0 1 2 01 3 01 4 0

1

, 2

, 3

, 4

4

/ 1

2

0 ; 1

3

0 ; 1

4

0

1

; avec

1,1,1,1une base de

.


Un sous espace vectoriel de est dit hyperplan s’il est de dimension 1.

E E x xee m m p pl l ee :: , , , / 0 est un hyperplan de : dim 4 et dim 3


Soit H un hyperplan de

, . , . alors il existe un vecteur

tel que

.

E E x xee m m p pl l ee :: , , , / 0 est un hyperplan de .

1,1,1,1 / . D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::

Soit H un hyperplan de , . , . et .

Le vecteur s’appelle "vecteur normal" ou "une normale" à H.

Si 1, est un "vecteur normal unitaire" ou "normale unitaire" à H.

E E x xee m m p pl l ee :: , , , / 0 est un hyperplan de .

1, avec 1 1,1,1,1. Le vecteur 1,1,1,1 est un vecteur normal à .

Le vecteur . , , , est un vecteur normal unitaire à .

IIIIIIIII--- PPPrrrooo j j jeeeccctttiiiooonnn --- PPPrrrooo j j jeeeccctttiiiooonnn ooorrrttthhhooogggooonnnaaallleee

III-1 Définitions


Si et sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de alors l’application définie

par : , est une application linéaire.






Soient et sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de :

L’application linéaire définie sur par ; s’appelle la

projection sur

parallèlement à

.

L’application linéaire

définie sur

par

est la projection sur

parallèlement à .


Si est un sous espace vectoriel de , . , . alors la projection sur parallèlement à

s’appelle la projection orthogonale sur . On la notera .

III-2 Détermination pratique de la projection orthogonale

P P r r o o p p o o s sii t tii o o n n :: Soit un sous-espace de , . , . .

Si , … , est une base orthonormée de , et si est la projection orthogonale sur

alors : ; ∑ , .

La projection orthogonale sur est alors donnée par : ; ∑ , .

E E x xee m m p pl l ee s s :: (1)

, , , /

dim 1 : est une base orthonormée de avec , , , .

La projection orthogonale sur est donnée par : , , 1. 1 o , . 1 2 3 4. , , ,

Donc, x , on a : 14

1 2 3 4 ; 14

1 2 3 4 ; 14

1 2 3 4 ; 14

1 2 3 4

(2) , , , / 0 dim 3 : , , est une base orthonormée de avec

oo √ , √ ,0,0, √ , √ , √ , 0 , √ , √ , √ , √

La projection orthogonale sur est donnée par :

o , , 1. 1 , 2. 2 , 3. 3 o

, 1. 1 1√ 2 1 2 1√ 2 , 1√ 2 ,0,0, 2. 2 1√ 6 1 2 23 1√ 6 , 1√ 6 , 2√ 6 , 0, 3. 3 12√ 3 1 2 3 34 12√ 3 , 12√ 3 , 12√ 3 , 32√ 3




Professeure Salma DASSER Professeure Salma DASSER Professeure Salma DASSER Professeure Salma DASSER Session printemps Session printemps Session printemps Session printemps- -- -été été été été 10 10 10 10

o qui donne :

, 1. 1 12 1 2, 12 1 2,0,0

, 2. 2 1

6 1 2 23,1

6 1 2 23, 2

6 1 2 23, 0, 3. 3 112 1 2 3 34, 112 1 2 3 34, 112 1 2 3 34, 312 1 2 3 34

Donc, x , on a :

14 3 ; 14 3 ; 14 3 ; 14 3

R Ree m m a a r rqquuee :: ♦ Une méthode plus rapide pour déterminer la projection orthogonale sur consiste à déterminer

avant, celle sur son orthogonal qui est de dimension plus petite :

dim

4 dim 1.

La projection orthogonale sur est donnée par : 14 ; 14 ; 14 ; 14

La projection orthogonale sur définie par est alors donnée par : 14 3 ; 14 3 ; 14 3 ; 14 3

III-1 Caractérisation et propriétés


Soient et sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de .

Si est une projection sur parallèlement à alors :

(1) (2) 0

(3) ;

Une projection

est une projection orthogonale sur

ssi sa matrice dans une base orthonormée

de est symétrique.


Un endomorphisme de est une projection ssi . Dans ce cas,

est la projection sur parallèlement à .

est la projection sur parallèlement à .






Soit un sous espace vectoriel de . Soit une projection orthogonale sur .

Si alors vérifie les propriétés :

1)

L'égalité de Pythagore : () ( ) (2) () est l'unique vecteur de minimisant la distance de à : ( ) min E E x xee m m p pl l ee ::

(, , , ) / 0 () 14 (3 ) ; 14 ( 3 ) ; 14 ( 3 ) ; 14 ( 3)

(, , , )

/

() 14 ( ) ; 14 ( ) ; 14 ( ) ; 14 ( )

() 1 () () () :

() () ( )() () min

()

() min

En effet, on a : (après calcul)

() 14 12()

8

8

() 14 4 ()

8

8

() () ( )

Par exemple : (1,0,0,0): 1

() 34 ; 14 ; 14 ; 14 : () 14 √ 12 √ 32() 14 ; 14 ; 14 ; 14 () 14 √ 4 12

() () 1 min () 12min () √ 32





IIIVVV--- AAAppppppllliiicccaaatttiiiooonnn aaauuuxxx dddrrroooiiittteeesss eeettt aaauuuxxx ppplllaaannnsss

Dans , les sous espaces vectoriels non triviaux sont des droites.

Tout sous espace vectoriel non trivial de

est de dimension 1 : c’est un hyperplan de

.

o un hyperplan de

est une droite du plan.

Dans , les sous espaces vectoriels non triviaux sont des droites et des plans.

Tout sous espace vectoriel non trivial de est

• soit de dimension 2 : un hyperplan de , un hyperplan de est un plan de l’espace.

• ou de dimension 1 : c’est une droite de l’espace.

IV-1 Droites dans

EEqquuaattiioonn dd’’uunnee ddrrooiittee ddaannss llee ppllaann


Une droite dans le plan a une équation, dite cartésienne, de la forme :: 0, avec , 0,0

Le vecteur est un vecteur directeur de la droite .

Le coefficient directeur est .

R Ree m m a a r rqquuee :: ♦ L’équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnés est de la forme :

;

est le coefficient directeur de la droite et l’ordonnée à l’origine.♦ L’équation réduite d’une droite parallèle à l’axe des ordonnés est de la forme : .


Toute équation de la forme 0, avec , 0,0, définit une droite D dans le

plan .

le vecteur est un vecteur directeur de D.

Le vecteur

est un vecteur normal à D.

E E x xee m m p pl l ee :: 2 3 0 L’équation réduite de la droite est donnée par :

Le vecteur 12 est un vecteur normal à

Le vecteurs 21 est un vecteur directeur de .


Un vecteur directeur de la droite passant par deux points

,et

,

est donné par :






Toute droite D du plan passant par l’origine a une équation de la forme : 0.

La droite , / 0 est un hyperplan de l’espace vectoriel .

L’hyperplan

,

/ 0a pour base

–,:

–,.

L’orthogonal de l’hyperplan –, est l’hyperplan , .Un vecteur normal à est un vecteur directeur de

L’hyperplan , est la droite d’équation 0

E E x xee m m p pl l ee :: 2 0 , / 2 0 est un hyperplan de l’espace vectoriel .

Le vecteur 21 définit une base 2,1 de : –2,1

L’orthogonal de l’hyperplan

est

1,2

est la droite d’équation 2 0.

PPrroo j jeeccttiioonn oorrtthhooggoonnaallee ssuurr uunnee ddrrooiittee dduu ppllaann

Soit D est une droite du plan d’équation 0 : D , / 0

une base orthonormée de D avec √ √

La projection orthogonale sur D est alors donnée par :

, ; , , , . √ √ . √ , √

qui donne : , ; , 1 ,


Soit D une droite dans le plan d’équation : 0.

La projection orthogonale sur la droite D est donnée par :

,

;

, 1

,

Si , est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite D est le point : ,

R Ree m m a a r rqquuee :: ♦ La projection orthogonale sur la droite D d’un point , de cette droite D est lui-même :

, : 0 ,

et





E E x xee m m p pl l ee :: 2 0

Le vecteurs 21 est un vecteur directeur de .

Le vecteur √ √ forme une base de D / 2 0.

La projection orthogonale sur D est alors donnée par :, ; , 1 ,

qui donne : , ; , 15 4 2, 2

ou encore :

, ; , , , . 2√ 5 1√ 5 . 2√ 5 , 1√ 5 15 4 2, 2

Si , est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite est le point : 4 25 , 25

La projection orthogonale du point 1,2 sur la droite est le point 0,0 : origine. , , 0; 21 0 10 2 12

La projection orthogonale du point 2,1 sur la droite est le point lui-même .

, , 0; 21 2 21 1 00

La projection orthogonale du point 0,5 sur la droite est le point 2,1. , , 0; 21 2 01 5 24

IV-2 Plans et droites dans

EEqquuaattiioonn dd’’uunn ppllaann,, ééqquuaattiioonn dd’’uunnee ddrrooiittee ddaannss ll’’eessppaaccee


Un plan dans l’espace a une équation, dite cartésienne, de la forme :: 0, avec ,, 0,0,0

Une droite dans l’espace a une équation, dite cartésienne, de la forme :: 0 0 , avec ,, 0,0,0,, 0,0,0






Toute équation de la forme 0, définit un plan dans l’espace .

Le vecteur

est un vecteur normal à

.

Toute équation de la forme 0 0, définit une droite dans l’espace .

La droite est l’intersection des deux plans : 0: 0


Tout plan passant par l’origine a une équation de la forme : 0.

Le plan

, ,

/ 0est un hyperplan de l’espace vectoriel

.

L’orthogonal de l’hyperplan

est

,,.

Le sous espace vectoriel ,, est une droite.

E E x xee m m p pl l ee 11 ( ( p pl l a a n n ) ) :: 2 3 0

Le vecteur 123 est un vecteur normal à

Les vecteurs 210

et 301

forment une base du plan vectoriel ,

ssi 2 3 0 ssi 2 3 ssi 2 3

ssi . 210 . 301

L’orthogonal de l’hyperplan est 1,2,3, de dimension 1.

, 0, 0 ssi 2 03 0 ssi

23

Le sous espace vectoriel 1,2,3 est la droite d’équation 2 03 0.

E E x xee m m p pl l ee 2 2 ( ( d d r r o oii t tee ) ) :: 0 0

Le vecteur 101 forme une base de la droite D :

ssi 0 0 ssi 1212 0 0 ssi

0





L’orthogonal de la droite est 1,0,1,0,1,0, de dimension 2 :

, 0 ssi 0 ssi

Le sous espace vectoriel 1,0,1,0,1,0 est le plan d’équation 0.

PPrroo j jeeccttiioonn oorrtthhooggoonnaallee ssuurr uunn ppllaann

E E x xee m m p pl l ee :: 0

Les vecteurs 110 et 101 forment une base du plan vectoriel ,

, est alors une base orthonormée de avec √ √ 0 , √ √ √ .

La projection orthogonale sur est alors donnée par :

o ,, ,,, . ,,, .

o ,, √ √ , √ , 0 √ 2 √ , √ , √

o ,, 2 ; 2 ; 2

Si ,, est un point de l’espace alors sa projection orthogonale sur le plan est le point : 2 3 ; 2 3 ; 23

La projection orthogonale du point 1,1,1 sur le plan est le point origine 0,0,0 : , , 0 , , 0 ; 110 , 101 0 10 10 1 111

La projection orthogonale du point

1,2,1sur le plan

est le point

lui-même

:

, , 0 , , 0 ; 110 , 101 1 1 2 21 1 000

La projection orthogonale du point 0,3,0 sur le plan est le point 1,2,1 : , , 0 , , 0 ; 110 , 101 1 02 3 1 0 111





PPrroo j jeeccttiioonn oorrtthhooggoonnaallee ssuurr uunnee ddrrooiittee

E E x xee m m p pl l ee :: 0

0

Le vecteur 101 forme une base de la droite D :

est alors une base orthonormée de avec √ 0√ .

La projection orthogonale sur est alors donnée par :

o ,, ,,, . √ √ , 0, √

o ,, ; 0;

Si ,, est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite est le point : 2 ; 0 ; 2

La projection orthogonale du point 1,1,1 sur la droite est le point origine 0,0,0 : , , 0 ; 101

0 10 10 1

111

La projection orthogonale du point 1,2,1 sur la droite est le point lui-même : , , 0 ; 101 1 12 2 1 1 000

La projection orthogonale du point 1,2,3 sur le plan est le point 1,2,1 : , , 0 ; 101 1 12 21 3 202

VVV--- AAAppppppllliiicccaaatttiiiooonnn aaauuuxxx mmmaaatttrrriiiccceeesss ::: iiimmmaaagggeeesss eeettt nnnoooyyyaaauuuxxx ooorrrttthhhooogggooonnnaaauuuxxx


Soit une matrice carrée d’ordre .

est le sous espace vectoriel de engendré par les colonnes de : / : . . ;

Le noyau de est le sous espace vectoriel de dont l’image est nulle.

/ . 0





R Ree m m a a r rqquuee ::

Soit est une matrice carrée d’ordre .

c’est le sous espace vectoriel de des seconds membres du système linéaire .

pour lesquels ce système est compatible.

ImA

c’est le sous espace vectoriel de

, solution du système linéaire homogène

A.X 0.

Si la matrice est inversible alors


Si est une matrice carrée d’ordre alors :

; dim dim dim dim

Si la matrice est symétrique alors : ;

VVVIII--- RRReeetttooouuurrr aaauuuxxx sssyyyssstttèèèmmmeeesss llliiinnnéééaaaiiirrreeesss (((sssooollluuutttiiiooonnn aaauuu ssseeennnsss dddeeesss MMMCCCOOO)))

Si le système . est incompatible alors il n’admet pas de solutions :

On se contente alors de trouver un vecteur qui rend . aussi proche que possible de .

Ce qui revient à déterminer un vecteur tel que . . ,


Soit

. un système linéaire.

Une solution au sens des moindres carrées du système . est un vecteur X tel que :A.X b A . X b, X

Résoudre le système . au sens des moindres carrées revient à trouver un vecteur tel

que : . b min . b


Soit . un système compatible.

si est une solution de . alors :. b 0 min . b

les solutions et solutions au sens des moindres carrées de

. sont alors confondues.

Un vecteur est une solution, au sens des MCO, d’un système . ssi est une solution du système . , où : Puisque alors : m i n . ; min .

Or, une solution , au sens des MCO, du système . est caractérisée par : . .

Donc : .






Soit . un système linéaire.

est une solution, au sens des MCO, du système . ssi est une solution du système . , où

.



Le système . . admet toujours au moins une solution.

Toute solution du système . . est une solution au sens des moindres carrées du

système . . D Déé f f ii n nii t tii o o n n ::

Soit

. un système linéaire.

Le système . . s’appelle « système des équations normales ».



Si les colonnes de la matrice sont linéairement indépendantes alors le système . a exactement

une seule solution au sens des MCO.


Soit

. un système linéaire, avec

, .

Si alors le système . a exactement une seule solution au sens des MCO.

E E x xee m m p pl l ee :: 4 5 9 . 1 11 01 1 , 459

(1) En utilisant les équations normales . . :

On calcule . et . :

1 1 11 0 1 1 11 01 1 3 00 2 . 1 1 11 0 1 . 459 185

Les équations normales . . s’écrivent alors : 3 00 2 . 185

La solution du système . . est alors donnée par : 65/2

On calcule . : . 7/2617/2

459

1/211/2

On a alors : min . b . b




Professeure Salma DASSERPr f r Sal a DASSERPr f r Sal a DASSERProfesseure Salma DASSER Session printempsS i pri t pS i pri t pSession printemps étéétéétéété

(2) En utilisant la projection orthogonale de sur :

On détermine : ., . , , étant la base canonique de

. 111 e t .

101 , e st une base de , , e st libre On construit une base orthonormée , de : √ 111 ; √ 101

On calcule , 459 , . , . 7/2617/2

La solution du système . est alors donnée par : 65/2

On calcule

. :

.

On retrouve alors : min . b . b

Documents

S4-cours _chap2 - produit scalaire,orthogonalité