S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2

8/17/2019 S8-Beton_partie1_cour Polytech Annecy 2

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Spécialité EBE

Catherine Buhé Janvier 2011


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PLAN

L’eurocode 2 et le matériau béton armé

Calculs à l’ELU

Principes et hypothèses

Applications :Traction simple et Compression centrée

Calculs à l’ELS

C. Buhé 2Béton armé


Applications : Traction simple et Compression centrée

Flexion simple

Effort tranchant

Flexion composée


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PLAN

L’effort tranchant

Compréhension du phénomène

Objectifs, Effets de l’effort tranchant

Fonctionnement et modélisation de l’effort tranchant


Vérification et dimensionnement 4 valeurs d’effort tranchant résistant

Effort tranchant réduit

Répartition des armatures

Méthode de Caquot et Méthode générale

Dispositions constructives


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Objectifs de la prise en compte de l’effort tranchant

Vérifier les dimensions de l’âme Déterminer les armatures transversales Déterminer les arrêt des armatures longitudinales

Les zones

Compréhension de l’effort tranchant


AA AAAI AIZC ZC ZC

Les appuisd’about

Les appuisintermédiaires

courantes

Seul l’ELU est vérifié


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Visualisation des effets de l’effort tranchant

Rupture de poutre par effort tranchant prèsde l’appui



Efforts concentrés, comme près des

colonnes, peuvent provoquer une rupturede la dalle par poinçonnement


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2 poutres isostatiques semblables mais dont la première ne comportepas d’armature d’effort tranchant soumises à un chargement identiqueconstitué de deux charges concentrées aux 1/3 et 2/3 de la portée

la ruine de la première poutre survientprématurément par fissuration diagonale




et décollement du béton situé au-dessusde l’armature de flexion

la ruine de ladeuxième poutre

arrive normalementen flexion à mi-portéecomme prévu.


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Lors d'essais sur une poutre B.A. sans armature d’âme, on constate

l'apparition de fissures inclinées, celles-ci délimitent des prismes de bétoninclinés à environ 45° sollicités en compression simple, ces prismes sontappelés bielles.



sens d'apparition des fissures

membrure comprimée

b i e l l e

d ' a b o

u t

b i e l l e

2

b i e l l e

3

b i e l l e

1

θ θθ θ =45°

sens d'apparition des fissures

b i e l l e

4

Ces fissures apparaissent d’abord au voisinage des appuis et se propagentensuite vers la zone centrale de la travée.


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Fonctionnement et modélisation

p

p

z L 10====

h

2

L p

V

pz5=

xy

diagramme de l'effort tranchant

d z

Sous l’action d’un moment de flexion positif, la

poutre est sollicitée en compression dans la partie

supérieure et en traction dans la partie inférieure

Dans les zones tendues, la résistance du béton à la

traction est faible voire nulle s’il a une fissuration



2 L p−−−−

8

2 pL

diagramme du moment de flexion

M

due au retrait, pour la reprise de l’effort de tractionon ne peut pas compter sur lui, il est donc négligé

dans les calculs.

Cet effort de traction doit être repris par l’acier, d’où

la mise en place d’armatures longitudinales

Ce premier modèle (= 2 membrures distantes de z)

permet de comprendre comment s’effectue la reprise

du moment de flexion, mais pas celle de l’effort

tranchant.

pFcd

FtdhM V V

p

hd d , z 90≈


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Que se passe-t-il dans la zone tendue ?


p

==== τ ττ τ τ ττ τ σ σσ σ =

Isolons un élément de volume situé dans la zone tendue d’une poutre soumise àun effort tranchant. Le béton tendu étant négligé, l’étude des contraintes nousapprend qu’il est soumis uniquement à des contraintes tangentes .


VEd

compression traction

isolement d'un prisme élémentaire de béton

f i s s u r e

ct

τ ττ τ τ ττ τ



τ ττ τ

Si nous faisons varier l’intensité du chargement. ↑⇒↑⇒↑ τ Ed V p

Lorsque la contrainte de traction atteint la résistance de traction du béton, il seproduit une fissure inclinée à 45


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La modélisation va permettre de comparer le fonctionnement d'une poutre en béton armé àcelui d'une poutre fictive en treillis



La membrure supérieure de la poutre fictive correspond à la zone de compressiondans le béton tandis que la membrure inférieure correspond à l'armature tendue.Les diagonales comprimées du treillis correspondent aux "bielles" de compressiondans l‘âme de la poutre en béton et les diagonales tendues correspondent auxarmatures d’effort tranchant, appelées ≪ étriers ≫.


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Il n'existe pas un treillis unique auquel on doit se référer mais bien une infinité de modèlesdépendant de la dimension des diagonales de béton et d'acier, de leur inclinaison, de leurdegré d'encastrement ...

Modélisation : Treillis


membrure comprimée (béton et aciers éventuels) bielles de béton comprimées

N bc

Z


de RitterMörscharmatures longitudinales tendues armatures d'âme tendues

N s

45° α αα α


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Comment travaillent les bielles ?


N bc

Z

45°α αα α

H

O

A

FcVu

Fc s’applique sur OH x bo

(1 cotg )

2

Z OH

α +=


N s Z Z cotg α αα α

0c c

0 (1 cotg )

2

c b Z σ α +=

2

cu

F V =Projection verticale de Fc

0 0

2 2 2

(1 cotg ) 1 cotg 1 cotg

u u bc

V V

b Z b Z

τ σ

α α α = = =

+ + +


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Comment travaillent les montants ?

Soit n le nombre de cadres

dans un module


F st

bc

s t s t s t s t s t

t

FcVu (1 cotg )

t

Z n

s

α +=


Z (1 + cotg α αα α )

α αα α

F st

s

Fst Fst sin αααα = Vu

Projection verticale de Fs

( ) ( )α α

τ

α α

σ cot1sincot1

sin 0 +

=+

== Z Ad b

s

As

Z

V

An

F

t

t u

t

t

u

t

st st


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Bases de la vérification à l’effort tranchant : Vérification de la résistance des bielles de béton en compression

Reprise de l’effort tranchant par l’acier des étriers sur une distance z le long de l’axede la poutre

Augmentation de l’armature principale en raison de la force supplémentaire àreprendre

Définition de 3 valeurs d’effort tranchant résistant :’ ’ ’ ’

Dimensionnement de l’effort tranchant


Rdc

tranchant VRds Effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d’effort tranchant

travaillant à la limite élastique

Vrdmax la valeur de calcul de l’effort tranchant maximal pouvant être repris par l’élémentavant écrasement des bielles de compression

Définition de 2 valeurs d’effort tranchant :

VEd Effort tranchant agissant de calcul

Ved,r Effort tranchant réduit


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( ){ }1 31 1100 Rd ,c min cp Rd ,c l ck cp wV max v k ; C k f k b d σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ = + + 200

1 2 k min ; d

= +

avec d en mm sl l

w

A

b d ρ ρρ ρ = 020 ,≤≤≤≤

c , Rd

C 1 k minv

VRdc Effort tranchant résistant de calcul de l’élément en l’absence d’armature

cd

c

Ed cp f

A

N 2,0


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sw Rd ,s wd ywd

AV V zf cot

sθ θθ θ = =

1

2

2 Rd ,max cw w cd

sinV b z f

θ θθ θ α ν α ν α ν α ν =

Si VEd > VRdc , des armatures d’effort tranchant sont requises

L’effort tranchant résistant : VRd = min (VRds , VRdmax )


La valeur max est obtenue pour θ=45°

On vérifie que VEd > VRdc . Si ce n’est pasle cas, on redimensionne le coffrage ou onaugmente la résistance du béton

On définit Asw de telle sorte queVEd < VRds soit vérifiée.

1

2 Rd ,max cw w cd V b z f α ν α ν α ν α ν =

cd wcw

w

ywd sw f b

sb

f A..

2

1.1

max,ν α ≤

ν1 = 0,6 pour fck 0,5 pour fck


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Notion d’’effort tranchant réduit

VEd,r : Effort tranchant réduit

1/ Si la poutre est soumiseprincipalement à des chargesréparties, il n’y a pas lieu d’effectuer devérification à l’effort tranchant à unedistance au nu de l’appui < d

transmissions

d i r e c t e s

Ed V

nu , Ed V

eff L

n L


2/ Considérer cet effort tranchantréduit traduit qu’une partie descharges proches de l’appui esttransmise directement, véhiculées parla bielle d’about. Cela revient à écrêter

le diagramme d’effort tranchant sur ladistance d à partir du nu puisconsidérer un décalage de la courbeenveloppe d’effort tranchant de z cotθ

diagramme d'effort tranchant de calcul (sollicitant)

effort tranchant RDM

décalage: clause 6.2.3(5)

transmissions directes: clause 6.2.1(8)

Ed V

n L

1 a

eff L

d

nu , Ed V

r , Ed V

- p o u r d é t e r m i n e r l ' é p u r e d e s e s p a c e m e n t s

i i l i l i i l l

u

diagramme de chargement sollicitant la poutre

z cot θ θθ θ

d e s c o u r s d ' a r m a t u r e s d ' â m e


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Répartition des armatures d’effort tranchant

1er espacement au voisinage de l’appui

Position de la première nappe / nu de l’appui

( )

Ed

yd

sw V

f d As

cossin9.0

1

+=


Répartition suivant la méthode de Caquot ou la méthode générale

=

2;70;

6supmin 10 smmhs


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Méthode de Caquot

S1reel fait partie de la suite de Caquot 7 8 9 10 11 13 16 20 25 3560 en cm et est défini par s

1précédent. s

2,s

3s

4 …suivent la suite de Caquot

On définit le nombre de répétition ns1 à l’entier supérieur de

On a en abscisse de cumul

réel

ss

sd n

1

01

−=

sns Abscisse +=


On définit le nombre de répétition pour s2, s3 s4 …

On a en abscisse de cumul

On cherche à atteindre le milieu de la poutre. On fait de même en partant del’autre extrémité

d ln eff

−=2

...432110 +++++= snsnsnsns Abscisse réelscumul


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Méthode générale

s0 et s1 sont défini comme précédemment

Le nombre de répétition n est obtenu par1s

d n =

10 sns Abscissecumul +=


On recalcule l’effort tranchant à l’abscisse cumulée + si

On réitère pour faire la poutre entière

( )

Ed

yd

swi

icumulu Edeff Ed

V

df As

sabscissea pV V

)cos(sin9.0 α α +=

++−=


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Dispositions constructives relatives aux

armatures d’effort tranchant

Pourcentage minimum d’armature

Espacement maximal déduit du % minimal

yk

ck w

w

sww

f f

sb A 08.0

min, =≥= ρ ρ


Espacement longitudinal maximal

ond s

mmhsid s

l

l

sin75.0

2509.0

max,

max,

=


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PLAN

L’eurocode 2 et le matériau béton armé

Calculs à l’ELU

Principes et hypothèses Applications :Traction simple et Compression centrée

Calculs à l’ELS



Applications : Traction simple et Compression centrée

Flexion simple

Effort tranchant

Flexion composée


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PLAN

Vérification du flambement et de l’élancement

La flexion composée à l’ELU

Section entièrement tendue Section partiellement tendue

Section entièrement comprimée


Dispositions constructives La flexion composée à l’ELS

Section entièrement tendue

Section partiellement tendue Section entièrement comprimée


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La flexion composée

Définition

Une section est soumise à la flexion composée si elle subit:

Un effort normal N appliqué en son centre de gravité plus unmoment de flexion MG

Ou Un effort normal N excentré d’une uantité e ar ra ort à son


centre de gravité

M G0 = N.e 0

G

G0 h

eG0

N

N

e 0

M G0


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ELU La flexion composée

Comportement

5 cas de comportement possibles

Section entièrement tendue x


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Section entièrement tendue

Sollicitations :Effort normal de traction NEdLe centre de traction C est situé entre les deux nappes d’armaturesPivot A : max11 ; σ σ ε ε == sud s



( )

( ) 2211

s2

121

2s1

*

*A

**A

saa

a

saa

a

ee

e N

eee N

σ

σ

+=

+=

Equilibre des forces

Equilibre des moments en As1

2211 ssss Ed A A N σ σ +=

( )212211 aassa As ee Ae N M +== σ

Solutionéconomique :avoir le centre degravité desarmatures en C

ELU L fl i é


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Section partiellement tendue



Passage par le pivot A ou pivot BEquilibre des forces


cd wssss Ed df b A A N σ σ Ψ+=+ 2211

( ) ( ) cd wgss A Ed As f d bd d Ae N M 2

2221 1 α δ α σ −Ψ+−==

max11 ; σ σ ε ε == sud s cd cc f == σ ε ;%5.3 0

11 ss A σ

As M

cd wssss df b A A α σ σ Ψ+= 2211

( ) ( ) cd wgss As f d bd d A M 2

222 1 α δ α σ −Ψ+−=

Equations de la flexion simple



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Technique de calcul

Calcul du moment MA, par rapport aux aciers tendus

En déduire par le calcul en flexion simple les sections As1 et As2 des armatures S’il faut des aciers comprimés : la section As2 est celle calculée Revenir à la flexion composée avec les sections d’aciers :

où N (Ned ou Nser) en valeur algébrique

AA N

−= ɺɺ



σs1 tat m te term nant pour e ca cu e s11sσ

Rq: Flexion-compression As1 < Äs1Flexion-traction As1 > Äs1si A

s1

< 0 x>d les aciers sont tous comprimés, l’assimilation à la flexionsimple n’est plus possible et tant qu’on a pas une section entièrement comprimée ,prévoir la section mini d’armature en FS

Rq: Si N est une compression, C est à l’opposée de As1; ea> e0• Si N est une traction, C et As1 sont du même coté / g0 ea < e0



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Sollicitations :Effort normal de compression NedPivot C

cd

Ed cd c

bhf

N bhf N =ΨΨ= 11



h y =

Si Ψ1< 0.81 et e < 0.084 : ELU nonatteint, section entièrement comprimée

Si Ψ1< 0.81 et e >0.084 : sectionpartiellement tendue, ELU peut ne pasêtre atteint, il faut des aciersSi Ψ1> 0.81 et e < 0.084 : ELU atteint,section entièrement comprimée, il fautdes armatures

SiΨ

1> 0.81 et e >0.084: sectionpartiellement tendue, ELU atteint

∞→ y

Si Ψ1< 0.81section partiellement tendue

ou l’ELU n’est pas atteintSi Ψ1> 0.81section entièrementcompriméel’ELU est atteintIl faut des aciers comprimés

Si Ψ1> 1Section de béton insuffisante,il faut des aciers ou augmenterla section de bétonSi Ψ1< 1L’ELU peut ne pas être atteint,le béton est surabondant

cd c f

A vérifier


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A vérifier


Conditions supplémentaires à vérifier – dispositions constructives:


c

yd

Ed A f

N )002,0;

.10,0max(A mins,

=

=



c.maxs,

( )[ ]ctmctmeff ct

ctmeff ct

t t

yk

eff ct

s

f f h f

requiden fissuratiosi f f

d bd b f

f A

;1000 / 6.1max

)0013.0;26.0max(

,

,

,

min

−=

=

=

ELS La flexion composée


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)2 / ( hd ee

N

M e

ser a

ser

ser ser

−+=

=


Fs2

Fc

Fs1

Nser



Thalès

cw

ssssser

yb A A N σ σ σ

22211 +=+

( )

( ) y yd

yd y

cs

cs

σ σ

σ σ

=−

=−

15

15

1

2

2 ( ) ( )

( )( )

−+=

−−+

−

=

−−

−+

215

32

15152

222

122

hd e N A

y

d d d y yd

yb

N A y

yd A

y

d y yb

ser ser cs

ser css

σ

σ


( ) ( ) cw

ssaser yd yb

d d Ae N σ σ 3 / 2

222 −+−=



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( ) ( )

( )( )

−+=

−−+

−

=

−−

−+

2

15

32

15152

222

122

hd e N A

y

d d d y yd

yb

N A y

yd A

y

d y yb

ser ser cs

ser css

σ

σ


Fs2Fc

Fs1

Nser

2 équations, 2 inconnues


Inertie [ ]2

222

1

3

)()(153

d y A yd Aby I ser sser sser ser −+−+=

sser

ser

cser es

cser

ser

cser c

yd I

y N

y I

y N

σ α σ

σ σ

≤−=

≤=

)(

Vérification de l’ELS

Si la condition n’est pas

satisfaite, on dimensionne àl’ELS avec la méthode pourla flexion simple

1

1122

s

ser ssss

N A Aet A A

σ

−==



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( ) csscser A Abh N σ σ 2115 ++=


Dimensionnement :On faittravailler le béton au maximum


Equilibre des Moments / As1


( )

( )

21

2

2

15

15

2

s

c

cser s

c

cser ser

s

Abh N

A

d d

hd bh N M

A

−−

=

−

−−+

=

σ

σ

σ

σ

( )221522 d d Ah

d bhh

d N M cscser ser −+

−=

−+ σ σ



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Imperfection géométrique et effets du

second ordre


Flexion avec Traction

Valeurs effectivement obtenues par les combinaisons d’actions

ELS : (M serG , N ser ) ou (N ser excentré de e ser = M serG / N ser ) ELU : (M uG , N u ) ou (N u excentré de e u = M uG / N u )


Flexion avec Compression Valeurs effectivement obtenues par les combinaisons d’actions

ELS : (M serG , N ser ) ou (N ser excentré de e ser = M serG / N ser ) ELU : Correction pour intégrer le risque de flambement

Correction dimensionnelleLes écarts sur les dimensions sont normalement intégrés dans lescoefficients partiels de sécurité relatifs aux matériaux



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Imperfection géométrique et effets du

second ordre

p

Flexion avec Compression à l’ELU

l 0 : Longueur de flambement de la pièce = longueur efficaceh : hauteur totale de la section dans le plan de flexion

l: longueur libre de la pièce

0l

Les écarts sur les dimensions sont normalement intégrés dans les coefficientsartiels de sécurité relatifs aux matériaux.

010e eee i ∆++=

e i : excentricité additionnelle ∆e 0 : supplément d’excentricité

e o : excentricité du premier ordre


400i

Cas des voiles et poteaux isolés des structures contreventée

Cas des sections droites avec ferraillage symétrique 0EdEdEdG0 e*NMM ∆+=)30 / ;20max(e0 hmm=∆

Les effets du second ordre traduisent l’influence des déformations sur lemoment de flexion. Inutile de vérifier le flambement, on se contente d’une FCsous les sollicitations

0

0

000Ed ee N

M

ee N M N N i

i

ii

j

jG j

Ed EdGii ∆++=== ∑

∑∑

γ

γ

γ

Excentricité du premier ordre à l’ELU

Documents

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