SERIE DE COMPENDIOS SCIIAUM
T E OR IA Y P RO BLEMASDE
ANALISIS
VECTORIAL
y una htroduccin l ANALI$S TENSORIAL
MURRAY R. SPIEGEL,Ph. D.Prcfessor of Maernatict
RestelaerPolYkclnic Institue
Ltns GrrPiz DftzIsdierc d AMto
ANc{. GtzIdgdiro .t AMto L.@ao d CiMi Dlplo"ado I ltrid
VIzqrzFlM Nuhar
qYA4qMcG RAW - H IL Lxxcq.-Bocor yoRK . NUEVA . o guEttlos tngs
. GUATEMALA t-tsBoa . MAoRtD PANAMA . saN JUAN . saNTtAGo . so
pauloA U C KL AN D ' HA MB URGO JOHA NNE S B URG O 'L O NDRE S ' MO
NT RE A L ! . PARS . SANFRANcISco. SINGAPUR NUEVA DELHI ST, LOUIS .
SIDNEY. TOKIO . IORONTO
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AIALISIS VECOFIAL Prohlbidala reproduccin totat o parcialde 66la
obra, escrltadel editor oor cualoulermdlo.sin autorzacin DERECHOS
RESERVAOOS 1970, respectoa l /imra edlcnen espaorpor i LIBROS
IVCGRAW.HILL MxrCO, A. d C. V DE S. atlaoofulco499.501,
Fracc,lndustrialsan, Andrsatoto d 53500NaucalDan Jurez.Edo.de Mxco
Mlembrod la CmaraNaclonal ls Indusrla Edttorial, ds Reg.NrA.455
lsBN 96&451-068.3fladucido de la prlmsraedlcinn lnglsde
VECOB ANAIYSIS Copydght@ 1967, Mccraw-HlltBookCo., U. S. A. by tsBN
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Estaobrase termln ds
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Se taron8 200ejsmplres
Pr o lo g oque se inici a mediados siglo pasado, El
anlisisvector;al, del constituye hoy da una parteesencial para
matemticos, y nccesaria y las matenrtjcas fhicos, ingeniefos
demscientficos lcnicos.Esta es casual el anlisis vctorialno solo
constituye una notacinconcisa clam parpresentar y tidad no i
geomtricos, que,adems, ,cuaciones modelomatcrniico lassituaciones
del fsicasy problemas d sino rcion una ayuda inefimable en la
formacinde las imgcnes menales los conceptos dc fisicos omtricos-
resrmcn,el anlisis En veclorialpcdeconsiderarse, Iugara ddas,como
cl ms rico sin uaje y forma dl pesamiento las cicnciasflsicas. d Po
la foma y mancrade cxposicin, estelibro se pcdertilizar como tcxto
en un cursodc nlisis riai o omo un mgnifico libro complcmentrio
cualquierotro texto. Asirdsmo, puedeser dc de valor para todos los
alumnosde las asignaturas fisica, mecnica,electromagnetjsmo, de
aerodi,a e inEnidadde otras correspondientes los distintoscamposde
la cienciay de la tcica cn qe a nplean los mtodosvecroriales.
principiosy tcorms priinents, Cada capitulo
comienzacxponicndoclaramentc dcfiniciones, las
ejcmplosilxstrativosy descriplivos. cont;nuaci presenta A sc rna
coleccide problemas totalpero sin resolver,todos ellos de progresiv
tc resucltosy otros suplcmentarios con rspucsta
difipuntosesencialcs los quel . Los problemas rcsueltos los sin
aclarany amplianla teoria.evidencian diantesc sentiria
contiuamentepoco scguro y proporciona la repcticinde los principios
fun. tales tan nccesarios resucltos se rara conoce la materia a
fondo. Asimismo.en los Droblemas y prob)emas uycn
nunerosasdcnrostraciones teocrnas dedcciones fmrulas.Los rmerosos
de de lnentariossi,en dc conpleto rcpasodcl tema de cada capitulo.
Los temastfatados son, a grandcsrasgos, lgebray el
clculodifcrencialc integl de vectores, el d la divcrgencia,
rotacionaly denis toremas del integrales. hacicndo muchsimas
aplicacrones los oaptulos rclativosa las coordendas ruy
divcrsos.Atencin especial curvilnas mereceD p.oporcionanen cl
estudiodc ingcniea, I anlisistensorial,que tan cvidenles ventajas
fisicay mateEl libro conticnemucho ns mterial de lo usualen a
mayo.ia dc los primcroscrsosde cimci3 genieri. Con ello la obra se
ba hechoms completa,constituyendo libro de consultamuy til un la
vez. catalizadordel intersrcr tcnasm! elevados. dcl El autor
agradecc colaboracin seo. Hnry Haydcn en la preparacin la
tipogrficay dibujo ligras. El realisno las figurasrealzacl valor de
la obra en la quc la crposicinvis'ral.jueBa de papcl tanR,
SPTEGEL
Indicede moterios TTTORf,S Y ESCALARES.k6r. Esclar. Al8ebra
tccao.ial- Fs del Algebr vectorial. Vctor uoiiario. yecroEs liraios
trirreclngulares. Vcctoes componntc!, Cmpo scala, CanDo
lectorial.
I
I.
TTODUCTOSESCAIAR Y VECTORIAI.hodclo cacalLr intono. Producto
yctorial o exlcmo. Productoc triot s. Sistemas & o
r6
A
dFTRENCIACION
WCIORIAL
35
Divad do v.ctor. Curvas n el ospacio. Conlinuidad y dcivabilid.
Frmulas de dcri?!in. Drivadas prciales de ull v.ctor. Difencial de
un voctor, conetra difrncia.
OPTRACIONES DIFERXNCIAIES: GRADmNTE, DIWRGENCIA Y
ROTACIONAL..Operado diferncial vectoil nabla. CEdiete, Divergncia,
Rotacional.Frmulas on la! q. inlcniec cl opcador bla. Invariaa.
51
L\TIECRACION VECTORIAI.lnlegr8l de un ictor. Ine8al cuwillnea.
Integral de supfici. Inlogrl d6 volumen.
TNTEGRALES:TEoREMA Df, LA DIVERGENCIA, TEoREMA ,JoPERAcIoT\Ts !
\r' Y INTf,GRALr,S....... DEL ROTACIONAI OTROSTEOREMAS l0 V
-....,,.....Teorcmadc !a divcrspncia Guss.Teoromdcl rotcionlde
Stoks. de Teoremade Gren ar el plno. Otos teorcrnas glal$. Fofma
irtcgrl del oprdor int nabl.
.S f " c o o R D E N D AC ttR V rr,rN E.A.. ... . S
.................
135
Ttusfotrlcin dq coor&nads. Coodcnadas cuNilfrcs ofogon!s.
Vector! unitrios en sistcdra d coordadr curvilns. El.entos de llnea
y de volurnen. Gadi.nte. dvergcncio y otacioal. Caso3paticulars de
sistemasde coordn.ds ortoAonales. Coordcadas ciladjcas. Cmdcnadar
sfica!. CoordoDad^ cilndricas paablicas. Coordnads prbolodls.
coord.nads cillndrica cliptics. coordendas .lferoidales alargada!.
coordenada3 csfeoidale aclltada. Coord.ads cliGoidals. c,oodenadas
biDolar6,
r
ANAIISIS TENSOnIALfr)s fisica.. Espa.ios dc N dineftlones.
Transfonnaci d coordenadas. Convenio de sunaaltr dc los ndicca
r.pctidos. Vcctorc3 contravaiant s y coyaraotes. Tensorcs
contrvaiartcs, coErian&s y mixtos, Delta & KroDeckcr.
Tcnsorgde orden supcior, Escalarcso invarlsntes. Cmpos teBoriales.
Tnsores simticos y hcmisintricos. Opracior6 fudaFrles con iensors.
Matriacs. Algebra matricial. EI clomenlo dc linea y cl tensor
trico. Tnso rclproco. Tesors asociados. Mdulo de un vector. Angulo
entre dos vctors. Co6Don6Ls ftuics dc un v.tor. Slrobolos de
Cbfistoffel. Irys dc imnsfomaci dc 106 slrlboloc de Clristoffcl.
Llncas eeodsics,Drivada covariante do un t.nsor. Simbolos y t nsons
altorantca. Foma tnsorial del iradiente, divergencia, rotacional y
laplaciana. Dedvad ab3olut{ o intrlnsca. Tensorls rclativo y
b6oluto.
t6
itDIcE. . . . .. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 2lE
-'Vectoresy escolores\ICTOR. Es na magnitudcya determinacin
exigeel conocimiento un mdulo, una direcd :ir r :n sentido.Ejemplos
magnituds de vectorial(s son cl desplazamenro, velocidad,
aceleracin, la la l! 'r.;3. el imoetu. ercC.camete, vector se
representa n por un segmento orienI,: OP (Fig. i); la longitud del
segmento el mdulo del vector,la es r.J:.on de seCmento la
correspondiente vectory Ia flechaindica es del a ;e.rdo del vecior.
El pulo O s llama oigen o punto de aplica::tt -: P el extrcno del
vector. La rctaen que s apoyael segmento E :.ma dircrriz del
vecror. lnaliticamnte, un vector se representa por una lelra con
una por '.sj-r encima. ejemplo en la l-ig. I. el mdlo*".,.'. r :en
A. Otros autores pre6erer emplear una letra negrilla, por ::rpio A,
con 10que lA o A indica su ndulo. En eslelibro emplea''=ri esta
ltima notacin.El vector OP tambin se pude escibir j. o bien, oP; en
estecasosu ndulo es -oP, 1F,o ti"n, or. ESCALAR. Es una magnitud
cuya determinacin solo requiere.elconocimientade ur nmero r.
.antidad respectode cirta unidad de medida de su rnisma especie.
!-emplos tipicos de escalares :ic la longitud,la masa,el tiempo, Ia
temperatura, tfabajo, la energia, l etc., y cualquiernmeroreal. is
escalars indican po! una letra de tipo ordinario. Las opraciones
scalares se con obedecen las a nl.as reglas del lgebr elemental.
ALGEBRA Vf,CTORIAL. Las operaciones adicin o suma,difercnciao
resta,multiplicacin de x l.rodutodel lCebra lsmentalentre
nmerosealeso escalars, puedengeneralizar, se introduciendo
.irrminadas definiciones, lgbraentre vectorcs. al Veamoslas
defniciones fundamentales. ./. Dos vectores y B.son equipolentes
tienenel mismo mdulo, la mismadireccine idntico A si sentido.Si
ademstienenel mismo origen o punto de aplicacin, son gralr.Tanto la
equipolenci como la jgualdadentrelos vectores por dadosla
representaremos A : B (Fig. 2). Ceofntricamente reconoce se que dos
vectores son equipolentes el polgonoque resultaal unir sus si por
una parte, y sus xtremospor otra es un paralelogramo: orgenes 2.
Dado un vector A, el vector opuesto, -A, es l que tiene l mismo
mdulo y direcinpro senrido con(rario (Fig. lr.
VECTORES ESCALARES Y
Su a o rcsultant dos veotores y B cs otro de vector C obtenido
trashdando el orign d. B al ^ cxtrcmo de A y nicndo cl odgan de A
con cl cxtr. mo B (Fig. 4). Anallticamnte expresa s A+B : C,
Observ$e quc trasladando los dos yeotorcs a n origencomn, el veclor
smacospotda la diagonal dcl prelelogramo con l orign en cl oigcn
conn- Por ello s dic quc la sura de vcc(easc tores obedecca lz ley
del paralelogrumo c=i! Prob. 3). La generalizaci a la sua de varios
vectores Fl a.{ es inmediatosin ris que iI sumandode dos n (vesa
Prob. 4). dos succaivamenta 4. La dtferenciade los tectores A y B,
que se reprcsntaanllicamcntepor A -8, es otro vector C, tl que
sumado a B produc el vector A. Dicho de otra ranera, para rastr dos
vectorasse sunra al vcctor minuendo el opuesto sl \'ector
sustraendo,es dccir, C : A - B : A + (-B). Ls dio simplememte0. 5,
El produ.to de un escrlartn por un vector es otro veotor, h1A, de
la misma direcin q pcro con un mdulo l,rl veces de A y un senlido
igual u opustoal de A scgnque el el lar sea posiLivo negtivo.Si ,n
: 0. |'A es el vector nulo. o
y LEYFS DEL ALGEBRA VECTORIAL. SeanA, E y C lras vectores y dos
escalares estas condiciones verifica: s
,. A +B :B +A 2. A +(B +C ):(A +B )+ C1. n(nL\: (nn)A t, (m +
n'r[: nA + nA \ . n(A + B): nA +,B
Propicdadconmutativ la slma dc Propiedad asociativa de la swa
Propiedad conmutstivadel productopor un cscalar Propiedad
asociativdel producto por un s.alar Propiedad dislributiva del
producto por un escalr peoto de la sura de escalars Propicdad
dbtribotiva dcl producto por un csclr pccto de la sume de
vcctores
Obsrvcsquc no parecn ms las propiedades dcl producto de un
escalar por n vctor. los lcap. 2 dfiniremos prodctosentr vctores.
vectoriales da la misma forna que si fucrl tss lcyes prmiten
considetar y lratar las ecraciorca trminos,A: C-B
(ciuacionesalgcbraicas). C, transponiendo Por ejgmplo,si A *B:
escalares VECOR UNITARIO. Es todo vector de mdulo unidd.Si Acs un
vctorde mdulo distinto de cero,/ + 0, cl vcctoi Al,{ es un vector
unitario de la mivn direccin y sentidoque por Todo vcctor A se
pudreprsntr el productodc ^. vector nitrio dc ls direccin y sntido
que aquel mul_ un tiplicadopo sl mdulo de A, que es n
escalar.Analticse mnt,Pues, escibe,A : ,l. VECTORf,S UNITARIOS
TRINRf,CTANCULAREI l, j, t. Un sisten tlly importanE de vectoes
unitarios a los las son los que tienenPor dircccioncs
corresPondientes cartesias.n 1cspcio, ejesda un sistema coordenadas
de , y, z, con scntidos los positivos de stosejesy qe sc llarran
veclorcs unitariost, , k (Fig. 5). Mientras ro sc diga lo
contrario, supordremos que cl sistea dc coordcdas trirecBngularcs
es 4alextrorsun>
VECTORES ESCALARES Y , r bcchos. Ests dcnominacin deriva dl hcho
que un E:illo con ros.a a derchsgi.ando 90' dsde O a Ol, rnfz ctr
cl scntido poshivo de Oz. como sc muesaen
r F!- 5.
^{
En gencral,trcs vcctores B y C oon el mismo origcn A, t fr
coplanatios, fofnan tn siste\ * _j If,i, c: i-l
,
-
lc.. c.r c.oli._ef volume paBlefepipedo aristas A = zt-\ dcr
cuyas son t 7
l,
+&,cj.+
r:r,
bdrA-BxC:0,demostrarquc,o(a)A,ByCaoncoplanariosnosicndocolinalesdosdocllos,
.rdosdelosvcctoresA,ByCsoncolieales,o(.)lo3!rcsv.croresA,ByCaoncolineales.
&ta la cor3t8ntde forma gueloswcro.es 2 5. --4 i*k,i *2i-jly
3l+aj +5k sn copEnanos.
f. lrciorcsdcposicir, especto orisen, con l d6tospunt6 O
y,Rsonr, : 3t -21_k,., ! .' : 2 + J- 2k, respctivamnt!. Hal la
distancia P sl plao OOa. de So. 3 tIrar la distancia desde
ponto(6,--4,4) la re.taquepas& (2,I,2) (3,-1.4), el por y lLd6
fos pnlos.(2, ,3), OU,2,t), R(-1. -\ ,!y S. Sol, \/2
: i + 3!+4r
Sot 3
-2) y S(t, ---4,0),balta la nfnim distaciaent! ta! r.ctas
Ihlostfa que las alturasde un lingio sr coTran n p\to
(ortoc.ntrc). eD D.dostar quo le3medialrices n tringulosecorta cn
un punto (clf./rcrrf). de rostrar que(A x B).(c x D) +(B x c).(A x
D) + (C x A).(B x D) = 0. b POn u arngulo sfco cuyos,ados 4 .
sona.cosdc circuto mxio. Dcducirl te)En dcl coscoo 106 irirsulos
sfricos, cosp= cos r 4cos.- sen san cosP 4 &r Frrutcin clclica
laslelras. dducen d params 4 y cosr. so lrnulassnloga\ (A os ['d:
lnerprcter dosmiepbrosde Ia idcDtidad x B) .(A x c) : (B .at(A.A)
-(A . c)(B ,A).1
,
t4
PRODUCTOS ESCALAR Y \'ECTORIA!
de l 102.Hallarn sislcfna rlctoresrciprocos fonado por 2t+3J-t,
l-l-2,
-t+4+21,
s r ' i r . - i t ' r - ir , tor.si '= r-.::ro* ".0,".!!1,'
- :r + r - r, J=;l*, que dcnrosa" C' ; "'.b!"'
= b xc " ' . r' * "
c'.f o = o 1 d '
104. Siendo ., b, c, y r', b', c', tals $to ' . demosa quc s
tri@: = r' .c a' .= b1b= c" c= l = D ' .. b1c = c1 = c1b = 0
, - b x c
. brc
r, =
. l! ,a.Dxc
",=
"Io
d. 105. Demostraquc el nico sstema vectoresque cs iproco de sl
mismo s cl fo.mado por loc i,i, unitaros k, ni un 106. DeEGtrar
quosoloxiste sistradc !ctoresrcclprccodc uno dadode!ctoso
coplanarios
r
Caprulo 3Diferenciocin vectoriolDA DE UN VECTOR. SeaRlr) unl Ei
6 de la v ar ia b l ee ,c l a r u : e e s L a s o !c aR = n(+
^)-n(r)
_ R(&+A)- R() Ae li ^r el icrmentode la variable, como es .D
la fisuradjunta. &F.ca del veotorR(r)respecto escalar se
definepor del rR (! + A ) d d limit. a r-o a R ()
jx
A
tR dependf tanbinde z, se puede hallade formaanloga, derivada su
rcspecto ,r de ; ." ,.nr"r"nr" W. ffi. enlogamnte puelen se definir
derivalas orden las d srperior.
gItI--rS EN EL ESPACIO. Si, en particular, R(r) es el vector de
posicin (r) qe une el odgsr i5.ma de coordeadas un puto (jr, L z),
cualquiera, co r() =,()i + ylu)i + zmostrar que V2'' : n(n + l)rn-"
siendor ua constant. Sndo F:(3rSo. - + 24j z)i+(xz'+ 32k y|) i
-2rrz'!k, hallar V(V 'F) en el punto (2,-1,0).
Siendoo un vector constantey v : (' x f, demostrarque div v : 0.
que i'(V) Demostrar : A"V+ 2A 'VV + 1t'1"' Sol. (6yz' l2x) i I 6xz,
| * l2xyz k
SiendoU : 3*y, V : xz' - 2y hallar grad (grad U)' (grad I/)1.
Hallar V '(r" r). Hallar V'[rV(l/')]. Hallar V'[v'(d')]. So/. 6r
So. Sol. 2r ' Sol- -2r -' r
Siendo A : r/r, hallar grad div A.
que (d) Demostrar a\a:# Sol. f(r):
!*L. Ol Hallar f(r)de formaquev f(r) -o. y.8 arbitaias. A + Blr
siendo,4 constantes +|
s
GRADIENTE. DIVERCENCIA Y ROTACIONAL 84, Demostrar que el vctor A
: 3y.2. i * 4xrz, i - 3x,y2k es solenoidal. 85. Dcmostrarque A :
(2r + 8xy'z) t + (3x'y cs solenoidal. 3xy) j - (4y"2, * 2!z) k no
es solenoidaly que B :
E6. Hallar la funcin derivablems gpneral/() do forma que /(/) r
sasolenoidal. Sol. f(r) = C/3 scndo C una constantearbitraria. E7.
Domosttar qu el campo vctorial V : pretarlo flsicamenta, i-'j {xr*
--t v2 os un .Dibujarlo e de
Et. Siendo U y / camposesclares derivables,demostrarqu VU x V Z
es solenoidal. yz i I 3xz. k y : x,yz, hallar: 89. SiendoA :2xz'i(a
) v x A , ( ) ro t(C A ), (c)v x (vxA )' (d) vl A ' rotA ], (c) 5i
+ 3k, (d)-2i *i Sol. (a) i +i, () 5t-3-4k, (e) rot grad(A ) en el
punt o( 1, l, l) . * 8k, () 0 (c) V x [(VF) x
() V .(VF)X(VC)I, 90. SiendoF: x'yz, G : xy-32\ hallar: (a)
V(vF).(vc)l, Sol. (a) (2y'z 3x2z- l2xyz) | 1(Axyz -6xtz) j 1(2xy'*
x" - 6x) k () 0 (c) (x|z - 24xyz) | - (12x, z | 2xyz) j * (2xy" *
l2y z, + x') k
91. Halar v x (r/3).es idnticamente nulo?
s/. 0 Sol. a :4. zs)i + (a - 2) xzi +(l-a)
92. Paraqu valor de l constnta el rotacional del vector tr : (ay
93. Dmostrar que rot (d grad C) : 0, 94. Representar
camposvctoriales los A:i
y Hallar la divergencia el +/j y B:t,i-i. de cada uno d ellos y
explicar ol significadofisico dc los resultadosobtenidos.
9 5 , S i e n d oA : x ' z i I yz' | -3xyk, R : y' i -yzi * 2xk
y :2r, * yz, hal l at () A ' (v C), () (A 'v) d, (c) (A 'v) B, (d)
B (A 'v), () (v ' A) B. Sol. (a) 4x.2 + yz. - 3xy2, (b) 4x'z + yz,
- 3xy, (igual que (a)), (c) ZY'z'i + (3xY'- Yz')l +2x'zk' (d) el
operador 2zi(.r? j x2yz" + 2x,zU) * (-3y'i (e) (2xy'zz
ytz')i-(2xyz, * ! (y'zs - y,z. i +Zxyz"k){ ! 3xt'zi-6x'yk) -
* yz,)i I Ax,z l2xz')k
9 . S i e n d o: y 2 ' i -3 x z' l I2xyzk, y 4: xyz, hal l ar B
:3i + 4zi -xyk (4 ) A x (Vd ), ( ) (A xv) d, (c)(V xA )xB , (d)B
.vx A. Sol. (a\ -5x.yz2 1 + xy,zt j + 4xyz. k (b) -Sx,yz, i + xy,z,
i + 4l?3 k (igual que (a)) (c) 162' + (8xzyz- IUz')l + 32xz! k (dr
24x,z + 4xyz' 9 T .H a l l a rAx (Vx B)y (AxV )xB enel
.puto(1,-1,2),si endoA :xzi !2yi -3xzkyR :3xzil2yziSo ,l . A x (V x
B ) = l 8i -l 2j + l 6k, (A xV ) x B :4j + 76k 9 E. D e m o s ta q
u e (y ' V)y : J' r 9 9 . D m o s tra q u e \.1 . 1 x R t r ,-v x
(V x v). x B ). + A (V .B ). x(v x B ).
x A )-A .(V - B .(V
l 0 O . D e m o s traq u e V x ( A x B ): r l 0 !. D o m o s
traq u e v (A.B ):(B .v)A r
(B ' V )A -B (V .A )-(A .V )B + (A .v)B
+ B x (v x A ) + A
102. DemostrarqueA: (.y/+3) I(3x,-z)i i S o l . 6 :3 x 2 y i x
zr-yz + consranre
* (3z' - y) k esirotacional. Hallar CdeformaqueA =
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL que E : rt! es irrotacional.
Hallar, d de forma que E: o : ln (alr) A y B
irrotacionales,demostrarquo A x B es solenoidal, /(r)
derivable,demostrarque/() r es irrotacional. -VC y q\e (a):0
8l siendos > 0.
t'
alguna funcin derivableV de forma que: (a) rotv:r, () otv:2i+
j+3k? En caso hallar V. --.rivo, .f. la) No, () V:3t x\k *Vd,
siendo / una funcin arbitrariadivable *(2ydos ves. -h hqrt-r que
las solucioresde las ecuacionesde Maxwell
o '" .=* * l-r
o," =-+* .
v.x=.0. v.E = 4rp
o una funcin de .r, y, z y c la velocidadde la luz, supuesta
constante,vinendadaspor
v , n= | * . c dt
o,"=-+*,
v.n = 0 , y.a = m p a tlt= \ffi
r hde
A y {, sellaman vectoria! poterciqly escalarrcspeati\amente, y
satisfacn ecuaciones las a ':2 ' ' )2' 1rv.n+1P=0.
e\Va--#=-n"0,
I
Dada. la diad- o :i i + j i * k k , h a l l a r-(o .r) y
(r.o).r., () E xi stc gunaambi gedad al al = @1V.Vry' + rVdl,tVry'l
flf
f,l'+ [email protected],y'
fff v'tov*tr, = JJJ tov* + 1jg'qeel av JJJ
(r) ![!(2t
rt
we* + pg,.1it4]av [! ov*t.as oWor.t"
lo NinEra identM & Gccn. Cztnuzttdo / por 9 cn (I),
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U'r"o + qeg.1ee]av 
