C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Skie I, p. 515-520, 1999 Probabilit&/frobability Theory (Statistique/Sfatisks)

Sch6ma d’Euler discret pour diffusion multidimensionnelle t&e

Emmanuel GOBET

IJPRESA 7055, statistique et mod&s alkatoires, UFR de math6matiques, case 7012, IJnivrrsitC Parin VTJ. 2, place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France Courriel : gohetdmath.jussieu.fr

(Rrcu le 23 decemhre 1998, accept6 ie 21 janvier 1999)

R&urn&

Abstract.

Nous now interessons a I’approximation en loi d’une diffusion muhidimensionnelle tute g sa sortie d’un ouvert D, lorsque la diffusion est approchee par son schema d’Euler discret de pas IY-r 2’. Now montrons que I’erreur commise SW E, [3l~.<~ f(X,T,)] (ou T = iuf{ t > 0 : Xt $ D}) est d’ordre II-‘/‘, sous certaines conditions sur la fonction f au voisinage de la frontiere de D. Cette vitesse est intrinseque au probleme de temps discret de meurtre. 0 Academic des Sciences/Elsevier, Paris

Discrete Euler scheme for killed multidimensional difision

We are interested in the approximation oj’the law of a multidimensional diffusion killed as it leaves an open set D. when the difSusion is approximated by its discrete Euler scheme, with discretization step N-’ T. We show that the error on E, [llTCT f (X, )] (where T = inf{t > 0 : X, $ D}) is of order N-‘/‘, under some conditions on f near th.e boundary of D. This rate is intrinsic to the problem of discrete killing time. 0 Academic des SciencesElsevier, Paris

A bridged English Version

1. Introduction

Let (x4 t>o be the diffusion taking its values in R” defined by X, = x + Ji B(X,)ds +

h: g(X,) d%, where (Wt) t,O is a Brownian motion in R”‘. We set L its infinitesimal generator. Let

D be a domain (connected open set) of R”. In the following, we assume that:

(HI) I?(.) is a CE(W”, Ow”) function and a(.) a CE(F@, Wd @ W”) function; (HZ) the diffusion is uniformly elliptic: 3rr, > 0 such that Vx E R”, o(II:)o*(~) > 00” IWdmRd; (Hs) D is C” and its boundary 8D is compact.

Note prbsent6e par Marc YOR.

0764-4442/99/032805 IS 0 AcadCmie des Sclences/Elsevier, Paris 515

E. Cobet

We set 7 = inf{t > 0 : Xt $ D}; we are interested in approximating E, [UT<~ ,f(X,)] , where T is a fixed time and ,f a measurable function. For this, we approximate the diffusion by its discrete Euler scheme (x+T),,i, v with discretization step N-l T, defined, if t, = i N-l T is the Gth discretization

time, by X0 = 2: and

%+I = ;k',% + B()7+,) N-'T + a(%J(Wt,+, - W,).

Let 7,i = inf{ t.i > 0 : jit7 4 II}, we study in this paper the error

Err(f. T, 5, N) := b [n,<;d .f(zT)] - b [IT<, I].

We can- extend $e discrete Euler_ scheme to a continuous-time process (X+)a<,<, by setting Xt = X,> + B(X,>)(t - t;) + a(Xt,)(W+ - bVb) for t E [t;,t,,+t); if we let ‘;I. be its first exit time, then the discretization error IE, [II,.;, I] - [E,. [ll~<~ ,f(X,)] can be developed to the

first order in N-l under some conditions &e [21). E, [II,,;, f(X,)] can be easily computed by a Monte-Carlo method in dimension 1, but the simulation for d 2 2 is in general more difficult. For the discrete Euler scheme, the evaluation of IE, [ll,,yl f(ZT)] by a Monte-Carlo method is easy whatever the dimension d, but the discretization error is larger than for the continuous scheme, because we neglige possible exits of the process between two discretization times.

We know that the error Err(f, T, :c: N) is exactly of order N-l/’ in the case of a Brownian motion in dimension 1, for a large class of functions .f (see 131). For a more general multidimensional diffusion, it has been recently proved that the error is of order less than N-‘/2+‘/ for all 71 > 0 (see [l]), when the function f is smooth enough with some conditions of vanishing on 3D and when the domain is smooth and convex. We improve these results by showing that the convergence rate is in fact of order N-l/‘, that the domain need not to be convex and that the function can only be measurable.

This work has been motivated by barrier options pricing in financial mathematics. If X, is the price of d assets, a barrier option with characteristics f, T and D is a contract which gives to its owner the cashflow f(X,) at time T if the prices have stayed in D between 0 and T (the option remains active), and 0 otherwise. When the market is complete, the price of this option is unique and is given by the expectation under the neutral-risk probability of the discounted cashflow at time T: it leads to the computing of iE.,. [llTc7 f(~,)].

2. Main results

THEOREM 1. - If .f is a bounded measurable function such that d(Supp(f), 3D) = E > 0, then there exists a non-decreasing function C(T) such that

IErr(f,T,z, N)I 5 3 3.

The condition on the support of f can be weakened if f is smooth.

THEOREM 2. - If ,f is a Ctfru(DP R) function (that is, a Ct(O, R) function with H6lder second deriwzti\les with exponent CI E (0, l)), satisfying flao = Lfl

,finction C(T) such rhat 8~ = 0, then there exists a non-decreasing

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Schema d’Euler discret pour diffusion multidimensionnelle tube

This convergence rate is intrinsic to the choice of discrete killing time, because if rd is the first exit-time of the discrete process (X,* >a<;< y, we have:

THEOREM 3. - If the function f fulfills the hypotheses of Theorem 1 or 2, then

1. Introduction et notations

Soit (X,),,a la diffusion a valeurs dans R” satisfaisant Xt = z + si B(X,9) ds + s,” u(X,~) dW,-, oti (IV,),>0 est un mouvement brownien de Iw “. On note L son generateur infinitesimal. Soit II, un domaine (ouvert connexe) de Rd. Dans toute la suite, on suppose que :

(HI) B(.) est de classe CE(Rn:Rd) et a(.) de classe C~(Rd~W” @ R”‘) ; (Hz) la diffusion est uniformement elliptique : 3 (T() > 0 tel que V’n: E lRn, a(z 2 crz IBBdmr+ ; (Hs) D est de classe C5 et sa frontiere dD est compacte.

On note 7 = inf{ t > 0 : X, $! D} et on cherche a approcher IE,. [ll,,, f(~,)], ou T est un temps fix6 et .f’ une fonction bortlienne. Pour cela, on approche la diffusion par son schema d’Euler

discret (% ) 05iliv de pas N-l T, defini, si t+ = i N-l T designe le Gme instant de discretisation,

par X0 = :I: et

%,,I = %, + B(%r) N-l T + o(%;) (Wt,+l - Wt?).

Si l’on pose Fd = inf{t, > 0 : X,? $ II}, nous etudions dans cette Note l’erreur

Err(.f, T, G W := L. [n,<~~ f(%)] - E, [IT<, .f(&-)].

CIn peut prolonger le schCma_d’Euler discret en un processus continu (X,)a,,<, en posant -- xt = xtt +B(X,,)(t-t,)+a(xt~)(wt-wt,) p our t E [ti: ti+l) ; si l’on pose Fc son premier temps

de sortie de D, alors l’erreur d’approximation [E,. [II,.,;. I] - IE, [llTcT f(X,)] se developpe

a l’ordre 1 en N-l sous certaines conditions (voir [2]). IE, [Il,.<y< I] s’evalue facilement par methode de Monte-Carlo en dimension 1, mais la simulation est en general plus delicate pour n > 2. Pour le schema d’Euler discret, l’evaluation de IE, [llT<yd f(XT)] p ar methode de Monte-Carlo est

facile independamment de la dimension d car la simulation de ll,,yd f(Xy) ne requiert que la

connaissance de (2, ) t, alz<,~~ qu’on obtient a l’aide de variables gaussiennes independantes. L’erreur de discrttisation est plus importante que pour le cas continu car on neglige les sorties eventuelles du processus entre deux instants de discretisation.

I1 est connu que I’erreur Err(f, T, 2: N) est precidment d’ordre Ne1i2 si (Xt)t>O est un mouvement brownien reel, pour une large classe de fonctions f (voir [3]). Pour une diffusion dins R” plus g&r&ale, il a Cte demontre recemment que l’erreur est au plus d’ordre N-l/‘+” pour tout v > 0, lorsque la fonction f est reguliere avec certaines conditions de nullite sur aD et lorsque le domaine est un convexe regulier (voir [l]). NOUS ameliorons ces rtsultats en montrant que la vitesse est en fait d’ordre N-l/*, qu’il n’est pas necessaire que le domaine soit convexe et que la fonction f peut etre settlement mesurable.

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E. Gobet

Ce probleme a CtC motive par l’evaluation du prix d’options barriere, en mathematiques financieres. Si Xt est le cows de d actifs sous-jacents, une option barri&re de caracteristique f. T et D est un contrat qui rapporte a son detenteur le flux f(X,) a l’horizon T si les tours sont rest& dans D entre 0 et T (l’option reste activee), et 0 sinon. Lorsque le march6 est complet, le prix de cette option est unique et est donne par l’esperance sous la probabilite risque neutre du flux en T rtactualise : cela se ram&e au calcul de 1E, [llTc7 f(X,)] .

2. Principaux rksultats

TH~OR~XME 1. - Si f est bore’lienne born&e avec d(Supp(f), 8D) = E > 0, alors il existe une fonction croissante C(T) telle que

La condition sur le support de f -peut &tre allegte si f est reguliere.

TH~ORBME 2. - Si f est une fonction de classe C, 2+0 D R) Cfanction de classe Cg(o, R) avec des ( : de’rive’es secondes htilde’riennes d’exposant Q: E (0: 1) J, ve’rifiant de plus f lao = Lf lao = 0, alors il existe une fonction croissante C(T) telle que

La vitesse de convergence obtenue est intrindque au choix de temps discret de meurtre, car si rd est le temps de sortie du processus discret (Xtz) O<i<N, alors on a :

TH~OR~ME 3. - Si f satisfait les hypotheses du the’oreme 1 ou celles du theoreme 2, alors

E, [b<Td fbw] - Ez ph., f(-w] = 0(&J.

3. l?lCments de demonstration des thCor&mes

Pour les preuves, il est plus commode de considerer le schema d’Euler comme continu, tout en conservant un instant discret 7d de meurtre, ce qui ne change rien a l’erreur d’approximation.

Demonstration du theoreme 1. - On suppose f continue (un argument de densite permet de traiter le cas general). On exprime l’erreur Err(f, T,z, N) a l’aide de la fonction w(t, z) :=

L [b-t<, f(XT--t)]. C‘est une fonction C214( [O! T) x 0: W) tl C”( [O! T] x R”, R), solution d’une equation aux derivees partielles parabolique avec condition terminale f(.) et condition nulle sur D’:. Precisement, on a Err(f, T, 2, N) = E,[v(TAr,ll zT,pd - ) -v(O> Xc)]. Pour developper cette esperance a l’aide d’une formule d’It6, il faut prendre garde,au fait que les derivees de v(t, .) ont des sauts en dD. Pour aborder ce probleme, on introduit 2, := Proj,(X,), la projection orthogonale de 2, sur 0, ce qui permet d’ecrire encore Err(f, T, 2: N) = E,[v(T A ?,I, ZT,.7d) - a(0, &,)I. Cette fois,

2, vit dans D et II est C1.2([Oy T) x 0; R) : on montre maintenant que sous certaines conditions, 2, est une semi-martingale continue, ce qui pet-met d’appliquer la formule d’Ito pour les fonctions C2.

PROPOSITION 1. - Pour un domaine D de classe C3 a front&e compacte, il existe un reel R > 0 tel que si (Y,),>o est une .semi-martingale continue a valeurs dans Dn = {x E W’ : d(x, D) 2 R} (avec -

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Schema d’Euler discret pour diffusion multidimensionnelle t&e

Yo E D), alors la projection orthogonale de Y, sur D, not&e Proj,(Y,), est bien unique ; c ‘est une semi-martingale continue, dont la dkomposition s’krit :

ali q5 E C”,(@, W) (avec D = @l(W*), dD = $-l({O}), /4(y)! = d(y,dD) si d(y,aD) 5 R) ; Y,’ est une semi-martingale continue issue de 0, image de Yt par une fonction Cg ; Ly (d(Y)) est le temps local de 4(Y) au niveau 0 ; n(s) est le vecteur normal au point s E dD, unitaire et rentrant.

Dtfmonstration de la proposition 1. - Si D = {x E Iw” : x1 > 0}, alors

ProjD(Y,) = ([K,t]+? Y2,t,. . . ? Ki,t)*

et la formule de Tanaka permet de conclure. Pour des domaines plus gCnCraux, par des changements de carte locale au voisinage de dD, on <C redresse B D en un demi-espace de sorte que la projection sur D se ramkne 5 la projection sur une seule coordonnke comme pn5cCdemment.

Si on localise (Xt)tzo dans DR 2 l’aide de son temps de sortie ;f~, il dkcoule

oh les coefficients b,(t) sont Ft-adapt& born& (indkpendants de w) ; I := sup{& : ti < t} ; Lzu(x) := c,e=, Bi(z)&tu(x) + c:,j=, ~[~(z)~(z)*li,ja~,,~3u(x).

Un argument de grande dkviation assure que (4) est exponentiellement petit en N-l. L’hypothbe sur le support de f pen-net de contrdler les dCrivCes de w au voisinage de dD :

LEMME 1. - Pour cy multi-indice de longueur ]a] < 4 et pour t E [O, T), on u :

V:c : d(r,i3D) 5 ~/2, [3;w(t>x)I 5 G(T) llflloo (1 VE+‘).

Pour contrbler (1) et (2), il suffit-alors d’appliquer le lemme suivant, qu’on prouve grke A un majorant de la densit de la loi de X,(,) et des localisations au voisinage de 30 : en particulier, le temps local s’estime finement gdce B une condition de cane extkrieur tronquk sur dD.

LEMME 2. - Pour t E (O:T], on a

P3. (T’,(,, E D! 2, 4 D) 5 C(T) t-li2 N-l’* et E, [LiATd (4(x))] 5 C(T) Np1j2.

Le terme (3) est plus classique et on montre avec les techniques de [2] qu’il est d’ordre N-‘i2.

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E. Gobet

Dkmonstrution du the’orkme 2. - La mCme dkmarche s’applique, mais la rtgularitk de f et les conditions de nullit sur IYD assurent que pour t E [O, T] et z E D, on a

Dkmonstration du thtorkme 3. - Ici, le terme (3) n’apparait pas. Pour les autres termes, les arguments sont inchangks.

4. Extensions

L’hypothkse technique de compacitC de dD peut Stre abandonnke si 8D est constituk d’un ou de deux hyperplans parallkles.

Remerciements. Je remercie L. Elie, A. Bellaiche, M. Emery et T. Jeulin pour leurs commentaires et I’intCr2t qu’ils ont port6 2 ce travail.

RCfhrences bibliograpbiques

[I] Costantini C., Pacchiarotti B., Sartoretto F., Numerical approximation for functionals of reflecting diffusion processes, SIAM J. Appl. Math. 58 (I) (1998) 73-102.

[2] Gobet E., Schema d’Euler continu pour des diffusions t&es et options barriere, C. R. Acad. Sci. Paris 326 Serie I (12) (1998) 141 I-1414.

[3] Siegmund D., Yuh Y.S., Brownian approximations for first passage probabilities, Z. Wahrsch. verw. Gebiete 59 (1982) 239-248.

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