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Schéma d’Euler pour les EDS
Christophe Chorro ([email protected])
ENSA AGADIR
Décembre 2008
Christophe Chorro ([email protected]) (ENSA AGADIR)Schéma d’Euler pour les EDS Décembre 2008 1 / 34
Plan
Chapitre 1: Le schéma d’Euler pour les EDOChapitre 2: Le cas des EDS
Les EDSRésultat d’existenceLe schéma d’EulerRésultats de convergenceLe cas du CIR
Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S
Christophe Chorro ([email protected]) (ENSA AGADIR)Schéma d’Euler pour les EDS Décembre 2008 2 / 34
Bibliographie
BALLY, V. AND TALAY, D. : The law of the Euler scheme for stochastic differential equations (I) : convergencerate of the distribution function. Probability Theory and Related Fields, 104 :43-60, 1995. N. BOULEAU, D.
TALAY : Probabilités numériques, INRIA, 1992.
D. LAMBERTON, B. LAPEYRE: Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, Second edition,Ellipses, Paris, 1997.
B. LAPEYRE, E TEMAM: Competitive Monte Carlo Method for the pricing of asian options, Journal ofcomputational finance, 2002.PAGÈS G., Multi-step Richardson-Romberg Extrapolation : Remarks on Variance Control and Complexity,prépublication PMA, 2006.
L.C.G ROGERS, D. WILLIAMS : Diffusions, Marvov processes and Martingales, Vol 1. Foundations, Springer,Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 2000.
TALAY, D. AND TUBARO, L. : Expansion of the global error for numerical schemes solving stochastic differentialequations. Stochastic Anal. Appl. 8(4) :483-509, 1990.
Christophe Chorro ([email protected]) (ENSA AGADIR)Schéma d’Euler pour les EDS Décembre 2008 3 / 34
Plan
1 Le schéma d’Euler pour les EDOLe schéma d’Euler pour les EDO
2 Chapitre 2: Le cas des EDSLes EDSRésultat d’existenceRésultat d’existenceLe schéma d’EulerLe schéma d’EulerRésultats de convergence
3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&SChapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S
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Le schéma d’Euler pour les EDOOn considère l’équation differentielle ordinaire (EDO) suivante :
y ′(t) = f (t , y(t)); y(0) = x0.
Lorsque qu’il n’y a pas de solution explicite on peut construire un schémad’approximation sur [0, T ] :
• On se donne une subdivision, ici, {t0 = 0, t1 = TN , ...., tN = T}.
• On approxime la solution aux points de la subdivision
y(0) = x0
y(tk ) = y(tk−1) +TN
f (tk−1, y(tk−1)).
• On approxime la solution sur [0, T ] par le processus linéaire parmorceaux passant par les points (tk , y(tk ))0≤k≤N .
Sous des hypothèses très faible sur la régularité de f
‖y − y‖∞ → 0N→∞
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Le schéma d’Euler pour les EDO
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Plan
1 Le schéma d’Euler pour les EDOLe schéma d’Euler pour les EDO
2 Chapitre 2: Le cas des EDSLes EDSRésultat d’existenceRésultat d’existenceLe schéma d’EulerLe schéma d’EulerRésultats de convergence
3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&SChapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S
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Les EDS
On considère un mouvement Brownien (MB) d dimensionnel (Wt)t∈[0,T ] i.e
Wt =
B1t...
Bdt
où B1, ..., Bd sont des Browniens indépendants.
Une équation differentielle stochastique (EDS) est une équation de la forme
(E)
X0 = x0 ∈ Rn
dXt = b(t , Xt)dt + σ(t , Xt)dWt
oùb : R+ × Rn → Rn
σ : R+ × Rn →Mn×d (R).
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Les EDS
Exemples: • Black-Scholes (d = 1, n = 1, b(t , x) = rx , σ(t , x) = σx)
dSt = rStdt + σStdWt .
• Modèles à volatilité locale (d = 1, n = 1)
dSt = rStdt + σ(t , Xt)XtdWt .
• Modèles à volatilité stochastique (d = 2, n = 2, ρ ∈ [0, 1])
d[Stσt
]=
[µ(t , St)a(t , σt)
]dt +
[σtSt 0
ρ b(t , σt)√
1− ρ b(t , σt)
]dWt
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Les EDS
DéfinitionUne solution à l’équation (E) est un processus vectoriel (Xt)t∈[0,T ] adapté à lafiltration Brownienne tel que
•∫ T
0 | b(s, Xs) | + | σ(s, Xs) |2 ds < ∞ p.s
• ∀t ∈ [0, T ],
Xt = x +
∫ t
0b(s, Xs)ds +
∫ t
0σ(s, Xs)dWs p.s
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Plan
1 Le schéma d’Euler pour les EDOLe schéma d’Euler pour les EDO
2 Chapitre 2: Le cas des EDSLes EDSRésultat d’existenceRésultat d’existenceLe schéma d’EulerLe schéma d’EulerRésultats de convergence
3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&SChapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S
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Les EDS: Résultat d’existence
PropositionSous l’hypothèse
H1
∃K > 0, ∀t ∈ [0, T ], ∀(x , y) ∈ (Rn)2
|b(t , x)− b(t , y)|+ |σ(t , x)− σ(t , y)| ≤ K |x − y |
|b(t , x)|+ |σ(t , x)| ≤ K (1 + |x |)
l’équation (E) admet une unique solution (Xt)t∈[0,T ] vérifiant
E
[sup
s∈[0,T ]
X 2s
]< ∞.
L’hypothèse H1 est suffisante mais pas nécéssaire cf
(CIR): drt = a(b − rt)dt + σ√
rtdWt
avec (a, b, σ, r0) ∈ R+.Christophe Chorro ([email protected]) (ENSA AGADIR)Schéma d’Euler pour les EDS Décembre 2008 12 / 34
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1 Le schéma d’Euler pour les EDOLe schéma d’Euler pour les EDO
2 Chapitre 2: Le cas des EDSLes EDSRésultat d’existenceRésultat d’existenceLe schéma d’EulerLe schéma d’EulerRésultats de convergence
3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&SChapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S
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Les EDS
D’un point de vue pratique nous avons souvent à calculer des quantités dutype
E [f (XT )]
où (Xt)t∈R+ est solution de (E).
La méthode MC nous assure que
E [f (XT )] ≈ 1M
M∑i=1
f (X iT ).
Problèmes:
• La loi de (Xt) est souvent inconnue• Impossible de simuler en temps continu ⇒ Discrétisation
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1 Le schéma d’Euler pour les EDOLe schéma d’Euler pour les EDO
2 Chapitre 2: Le cas des EDSLes EDSRésultat d’existenceRésultat d’existenceLe schéma d’EulerLe schéma d’EulerRésultats de convergence
3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&SChapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S
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Le Schéma d’Euler
DéfinitionPour N ∈ N∗,
• On se donne une subdivision, ici, {t0 = 0, t1 = TN , ...., tN = T}.
• On approxime la solution aux points de la subdivision par
X N(0) = x0
X N(tk ) = X N(tk−1) +TN
b(tk−1, X N(tk−1)) + σ(tk−1, X N(tk−1))(Wtk −Wtk−1).
• On approxime la solution sur [0, T ] par le processus linéaire parmorceaux passant par les points (tk , X N(tk ))0≤k≤N :
∀t ∈ [tk , tk+1],
X N(t) = X N(tk ) + (t − tk )b(tk , X N(tk )) + σ(tk , X N(tk ))(Wt −Wtk ).
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1 Le schéma d’Euler pour les EDOLe schéma d’Euler pour les EDO
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3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&SChapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S
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Le Schéma d’Euler
• La mise en oeuvre pratique est très simple. Il suffit de générer N vecteursgaussiens indépéndents
Gi ↪→ N (0, Idn×n)
et considérerWti −Wti−1 =
√ti − ti−1Gi .
• Dans le cas Black-Scholes le schéma est donné en chaque pas de lasubdivision par
X N(tk ) = X N(tk−1)[1 +T bN
+ σ(Wtk −Wtk−1)].
• Lorsque l’on sait simuler de manière exacte une diffusion en tempsdiscret le schéma d’Euler est inutile.
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1 Le schéma d’Euler pour les EDOLe schéma d’Euler pour les EDO
2 Chapitre 2: Le cas des EDSLes EDSRésultat d’existenceRésultat d’existenceLe schéma d’EulerLe schéma d’EulerRésultats de convergence
3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&SChapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S
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Convergence forte du schéma d’Euler
On considère l’hypothèse suivante
H2
∃K > 0,∃α > 0, ∀(t , s) ∈ [0, T ]2, ∀x ∈ Rn
|b(t , x)− b(s, x)|+ |σ(t , x)− σ(s, x)| ≤ K (1 + |x |) | t − s |α .
Remarque: Lorsque (E) est homogène H2 est automatiquement vérifiée.
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Convergence forte du schéma d’Euler
PropositionSupposons (H2) vérifiée. Pour β = min(α, 1
2 ),
∀p ≥ 1, ∃Cp > 0, ∀N ∈ N∗
E [ supt∈[0,T ]
| X N(t)− Xt |2p] ≤Cp
N2βp .
Ainsi, ∀γ < β,
Nγ supt∈[0,T ]
| X N(t)− Xt |→ 0N→∞
p.s.
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Convergence forte du schéma d’Euler
CorollaireLorsque l’équation est homogène,
∀p ≥ 1, ∃Cp > 0, ∀N ∈ N∗
E [ supt∈[0,T ]
| X N(t)− Xt |2p] ≤Cp
Np .
Ainsi, ∀γ < 12 ,
Nγ supt∈[0,T ]
| X N(t)− Xt |→ 0N→∞
p.s.
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Convergence forte du schéma d’Euler
En remarquant que pour f : Rn → R Lipschitzienne,
| E [f (XT )]− E [f (X N(t))] |≤ K√
E [| X N(t)− Xt |2].
CorollairePremier résultat (grossier) de convergence faible
• Sous (H2), lorsque α > 12 ,
| E [f (XT )]− E [f (X N(T ))] |≤ CN 1
2.
• Lorsque l’équation est homogène
| E [f (XT )]− E [f (X N(T ))] |≤ CN 1
2.
Exemple: Call ou Put européen lorsque n = 1.
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Convergence forte du schéma d’Euler
De la même manière si g : (Rn)d+1 → R est Lipschitzienne et si0 = t0 ≤ t1 ≤ ..... ≤ td = T ,
Corollaire• Sous (H2), lorsque α > 1
2 ,
| E [g(Xt0 , ..., Xtd )]− E [g(X N(t0), ..., X N(td ))] |≤ CN 1
2.
• Lorsque l’équation est homogène
| E [g(Xt0 , ..., Xtd )]− E [g(X N(t0), ..., X N(td ))] |≤ CN 1
2.
Exemple: Lorsque n = 1, options asiatiques ou lookback discrètes.
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Convergence faible du schéma d’Euler
On etudie ici la vitesse de convergence de | E [f (XT )]− E [f (X N(T ))] |
Notations:
• C∞b ([0, T ]× Rn; Rp) est l’ensemble des fonctions dans C∞([0, T ]× Rn; Rp)dont les dérivées de tout ordre ≥ 1 sont bornées.
• C∞pol(Rn) est l’ensemble des fonctions dans C∞(Rn; R) dont les dérivées detout ordre sont à croissance polynomiale:
∀a = (a1, ..., an) ∈ Nn, ∃pa ∈ N, ∃Ca > 0, ∀x ∈ Rn,∣∣∣∣∂(a1+...+an)F∂xa1
1 ...∂xann
(x)
∣∣∣∣ ≤ Ca(1+ | x |pa).
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Convergence faible du schéma d’Euler
Proposition(Talay-Tubaro 1990)
On suppose que b ∈ C∞b ([0, T ]× Rn; Rn) et σ ∈ C∞b ([0, T ]× Rn; Rnd ).Lorsque f ∈ C∞pol(Rn) on a ∀k ∈ N∗
E [f (XT )]− E [f (X N(T ))] =k∑
i=1
Ci
N i + O(
1Nk+1
)où les Ci ne dépendent que de f .
Remarque: Ce résultat n’est pas utilisable dans le cadre du Put ou du Calleuropéens...
Christophe Chorro ([email protected]) (ENSA AGADIR)Schéma d’Euler pour les EDS Décembre 2008 26 / 34
Convergence faible du schéma d’Euler
Proposition(Bally-Talay 1995)
On suppose que l’équation (E) est homogène et que b ∈ C∞b (Rn; Rn) etσ ∈ C∞b (Rn; Rnd ).
Si∃A > 0,∀ξ ∈ Rn, ∀x ∈ Rn, ξtσ(x)σt(x)ξ ≥ A | ξ |2,
lorsque f est mesurable bornée,
E [f (XT )]− E [f (X N(T ))] =CN
+ O(
1N2
)où C ne dépendent que de f .
Remarque: Ce résultat est utilisable dans le cadre du Put européen (donc ducall).
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Convergence faible du schéma d’Euler
• “Pour abaisser les conditions de régularité sur f on augmente celles sur laloi de la diffusion étudiée”
• Les dévellopements précédents permettent d’obtenir un ordre deconvergence en 1
N2 (Procédure d’extrapolation de Romberg):
E [f (XT )]− E [2f (X 2N(T ))− f (X N(T ))] = O(
1N2
).
Cependant cette procédure a tendance a faire “exploser” la variance del’estimateur (Pagès 2006).
• Ne pas oublier que “Erreur Pricing= Erreur discrétisation + ErreurMonte Carlo”
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1 Le schéma d’Euler pour les EDOLe schéma d’Euler pour les EDO
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3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&SChapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S
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Les options asiatiques
Soit n = 1 = d , on considère l’équation homogène suivante
(H1)
X0 = x0 ∈ R+
dXt = b(Xt)dt + σ(Xt)dWt .
On note AT = 1T
∫ T0 Xsds et on s’intéresse aux options asiatiques:
• Call asiatique à strike fixe ( 1T
∫ T0 Xsds − K )+
• Put asiatique à strike fixe (K − 1T
∫ T0 Xsds)+
• Call asiatique à strike flottant ( 1T
∫ T0 Xsds − XT )+
• Call asiatique à strike flottant (XT − 1T
∫ T0 Xsds)+
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Les options asiatiques
En notant At = 1T
∫ t0 Xsds,
d[XtAt
]=
[b(Xt)
XtT
]dt +
[σ(Xt)
0
]dWt
Le schéma d’euler correspondant est
X N(tk ) = X N(tk−1) +TN
b(X N(tk−1)) + σ(X N(tk−1))(Wtk −Wtk−1)
AN(tk ) =1N
X N(tk ) + AN(tk−1).
Ainsi
AN(T ) =1N
N∑k=0
X N(tk ).
Rq: Il s’agit ici de la méthode des rectangles pour le calcul de l’intégraleapprochée.
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Les options asiatiques
Les fonctions φ(x , y) = (x − y)+ et φ(x , y) = (x − K )+ étant Lipschitziennes:
| E [(AT − XT )+]− E [(AN(T )− X NT )+] |≤ C
N 12.
| E [(AT − K )+]− E [(AN(T )− K )+] |≤ CN 1
2.
Rq: Ces résultats sont valides dans le cadre Black-Scholes.
Christophe Chorro ([email protected]) (ENSA AGADIR)Schéma d’Euler pour les EDS Décembre 2008 32 / 34
Les options asiatiquesMais dans le modèle de Black-Scholes on sait simuler exactement
(X0, X TN, ..., XT ).
Pourquoi ne pas utiliser
1T
∫ T
0Xsds ≈ 1
N
N∑k=0
Xtk = AN(T )?
Proposition(Lapeyre Témam 2002) Dans Black-Scholes,
| E [(AT − XT )+]− E [(AN(T )− X N
T )+] |≤ CN 1
2,
| E [(AT − K )+]− E [(AN(T )− K )+] |≤ C
N 12
où C = σ√
e(σ2+2r)T−112(σ2+2r) .
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Les options asiatiques
0 50 100 150 200
6.2
6.4
6.6
6.8
7.0
7.2
7.4
7.6
7.8
Comparaison des 2 methodes des rectangles pour un call asiatique (T=1,K=100,x0=100,sigma=0.02,r=0.01) exact(en noir) / Euler (en bleu)
N
prix
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