Bac Malien 2003 Sries:SET - MTI - MTGC Page 1 sur 3 Adama Traor Professeur Lyce Technique

Ministre des Enseignements Secondaire, Ministre des Enseignements Secondaire, Ministre des Enseignements Secondaire, Ministre des Enseignements Secondaire, Suprieur et de la Recherche Scientifique Suprieur et de la Recherche Scientifique Suprieur et de la Recherche Scientifique Suprieur et de la Recherche Scientifique

C.N.E.C.E

Rpublique du MaliRpublique du MaliRpublique du MaliRpublique du Mali Un Peuple Un Peuple Un Peuple Un Peuple Un But Un But Un But Un But Une Foi Une Foi Une Foi Une Foi

EEEEEEEEEEEEXXXXXXXXXXXXAAAAAAAAAAAAMMMMMMMMMMMMEEEEEEEEEEEENNNNNNNNNNNN :::::::::::: Baccalaurat malien BBBAAACCC SSSSSSSSSSSSEEEEEEEEEEEERRRRRRRRRRRRIIIIIIIIIIIIEEEEEEEEEEEESSSSSSSSSSSS SETSETSETSET MTI MTI MTI MTI MTGC MTGC MTGC MTGC SSSSSSSSSSSSEEEEEEEEEEEESSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSIIIIIIIIIIIIOOOOOOOOOOOONNNNNNNNNNNN Juin. 2003

PPPPPPPPPPPPRRRRRRRRRRRREEEEEEEEEEEEUUUUUUUUUUUUVVVVVVVVVVVVEEEEEEEEEEEE DDDDDDDDDDDDEEEEEEEEEEEE :::::::::::: MathmatiquesMathmatiquesMathmatiquesMathmatiques DDDDDDDDDDDDUUUUUUUUUUUURRRRRRRRRRRREEEEEEEEEEEE :::::::::::: 4 heures CCCCCCCCCCCCOOOOOOOOOOOOEEEEEEEEEEEEFFFFFFFFFFFF :::::::::::: 5

EXERCICE 1 : (5 points)

1-/ Dterminer lensemble des couples dentiers relatifs ( ;) dans chacun des cas suivants :

a) 17 19 = 2 (0,5pt) b) 17 19 = 2 (0,5pt)

2-/ Dterminer lensemble des entiers n tels que : a) ]19[2]17[0 netn (0,5pt) b) ]17[2]19[0 netn (0,5pt)

3-/ En dduire lensemble des entiers n tels que n2+2n soit divisible par 323. (1pt)

4-/ P est le plan affine euclidien muni du repre orthonorm direct ( )vuo ;; et lensemble des nombres complexes. On considre lapplication affine )';'(');(;: yxMyxMPPf a tel que :

+=

+=

33'323'

yxyyxx

a-/ Vrifier que f est bijective. (0,5pt)

b-/ Dterminer lensemble des points invariants par f. (0,5pt)

c-/ On dsigne par Z et Z les affixes respectives des points M et M. Exprimer Z en fonction de Z. en dduire la nature et les lments caractristiques de f. (0,5pt)

EXERCICE 2 : .(4 points)

1-/ On considre le systme suivant, dquations diffrentielles du 1er ordre :

=

=+x

x

eyzezy2

2

'

24'o y et z dsignent deux fonctions inconnues de variables x.

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a-/ Former lquation diffrentielle du second ordre (E) laquelle satisfait y(x). (0,5pt).

b-/ Intgrer lquation ( E) et en dduire la solution gnrale du systme. (0,5pt) Prciser la solution particulire pour laquelle on a : y=1 et z= 1 pour x=0. (0,5pt)

2-/ On considre la suite complexe (Wn) dfinie par : n * n

nnz

W

+=

11 o z est un

complexe non nul tel que z = x + iy.

a-/ Calculer ln|Wn| et montrer que :

+

++= )(

211ln2

ln 222 yxnnxnWn (1pt)

b-/ On pose )(21

222 yxnnx

n+

+=

- Calculer nn

nn

npuis ++

limlim (1pt)

- Vrifier que n

n

nn

nW

)1ln(2

ln += . (0,5pt) En dduire pour z complexe de module 1 : n

nn

nWpuisW

++limlnlim . (1pt)

PROBLME: (10 points)

I-/ Pour tout rel k strictement positif, on considre la fonction kf dfinie sur [0 ;+[ par :

xkxexf xk += )ln()( . Soit (Ck) la courbe reprsentant les variations de kf dans le plan muni dun repre orthogonal, dunits ( 5cm sur laxe des abscisses et 10cm sur laxe des ordonnes). On considre la fonction g dfinie sur [0 ;+[ par xxxg += )1ln()( .

1-/ Etudier le sens de variation de g. (0,5pt)

2-/ En dduire que pour tout rel positif ou nul, ln( 1+ ) a. (0,5pt)

II-/ 1-/ Calculer )('1 xf pour tout rel x appartenant [0 ;+[ et en dduire le sens de variation de la fonction 1f . (1pt)

2-/ Montrer que pour tout rel x appartenant [0 ;+[ , )1ln()(1 xex

xf += . En dduire la limite de 1f en +. (0,5pt)

3-/ Dresser la tableau de variation de 1f . (0,5pt)

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III-/

1-/ Calculer )(' xf k pour tout x appartenant [0 ;+[ et en dduire le sens de variation de la fonction kf . (1pt)

2-/ Montrer que pour tout rel x appartenant [0 ;+[ )1ln()(xk e

xkxf += En dduire la limite de kf en +.(1pt)

3-/ a-/ Dresser la tableau de variation de kf . (0,5pt) b-/ Montrer que pour tout rel x appartenant [0 ;+[, on a

2)( kxf k . (0,5pt)

4-/ Dterminer une quation de la tangente Tk (Ck)

5-/ Soit p et m deux rel strictement positifs tels que p< m. Etudier la position relative de (Cp) et (Cm). (0,5pt)

6-/ Tracer les courbes (C1) et (C2) ainsi que leurs tangentes respectives T1 et T2 en 0 dans le repre orthogonal du plan. (1,5pt)

IV-/ Soit un rel strictement positif, on note A() laire en unit daire, du domaine dlimit par la courbe (Ck) et les droites dquations x = 0 et x = .

1-/ Sans calculer A(), montrer que

0)( dxkxeA x

( on pourra utiliser les rsultats de la question prliminaire I-/). (0,5pt)

2-/ Calculer laide dune intgration par parties lintgrale :

0dxkxe x . (0,5pt)

3-/ On admet que A() a une limite en + . Montrer que kA +

)( .

Interprter graphiquement ce rsultat. (0,5pt)