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Seconde . Contrôle Repères et coordonnées du plan durée 1h .. coefficient 1 2011
Exercice1 Le corrigé
ABCD est un carré, et les points E,F et G sont les milieux respectifs des segments [ AB] ,[BD] et[BC]
1)a)Justifier brièvement que le repère du plan (E,B,F) est orthonormé
En considérant les propriétés du carré et les hypothèses du texte, les droites (EB) et (EF) sont
perpendiculaires et les distances EB et EF sont égales donc (E,B,F) est un repère orthonormé.
b) Déterminer graphiquement les coordonnées des points de la figure dans ce repère
dans le repère( E,B,F) origine E(0 ;0) B(1 ;0) F(0 ;1) A ( -1 ; 0 ) G( 1 ; 1 ) H( -1 ;1 ) D( -1 ; 2) C(1 ;2)
2) Citer un repère orthogonal à l’aide des points de la figure de sorte que le point F ait pour
coordonnées (
dans ce repère orthogonal.
Le repère (H,G,D) convient car (HG) et (HD) sont perpendiculaires et HG≠HD de plus HF=
HG
Exercice2
Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A( ) , B( , E( ; -5) et F(-3 ;-5)
1) Faire une figure puis placer les milieux I et J respectifs des segments [ AE] et [ BF].
2) Les milieux I et J , vous semblent-ils confondus par lecture graphique ?
Par lecture graphique , I et J ne semblent pas confondus
Comment pouvez-vous le prouver ? Par le calcul , à l’aide de la propriété des coordonnées
du milieu, on trouve I ( 1 ;
et J (
, l’unicité des coordonnées d’un point du plan
prouve que I et J ne sont pas confondus.
Exercice 3
Dans un repère orthonormé, on donne les points :
A( -1 ;1) , C( -2 ;5 ) et D( 2 ;6 )
1)Calculer les distances AC, AD et DC. Quelle est la nature du triangle ADC ?
En utilisant la propriété du calcul de la distance de deux points du plan, on trouve que :
Seconde . Contrôle Repères et coordonnées du plan durée 1h .. coefficient 1 2011
AC =√( (
=√( ( avec -2 – ( -1 ) = -2 +1
=√(
AC =√ de même on trouve que: AD= √ DC =√
Or AC=DC donc ADC est isocèle en C
De plus AC²+DC² = 34 et AD² = 34, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, comme
AD²=Ac²+Dc² alors le triangle est rectangle en C
Conclusion : ADC est un triangle isocèle rectangle en C
2)Déterminer, par un calcul, les coordonnées du point B tel que ABDC soit un carré.
Sachant que ADC est rectangle isocèle en C, ABDC est un carré si le point B recherché est tel que les
diagonales [AD] et [BC] aient le même milieu*
Posons I le milieu de [AD] alors
et
et
et
Or I milieu de [BC] donc
et
(
et
D’où B = 3 et B = 2 les coordonnées de B sont ( 3 ; 2 )
*un carré est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs égaux et un angle droit.
Exercice4
Dans un repère orthonormé, on considère les points A( 3 ;1 ) et B( 2 ;4) et D(0 ;1)
Par le calcul :
1)Déterminer les coordonnées du point C tel que B soit le symétrique du point A par rapport à C.
Autrement dit , le point C est le milieu du segment [ AB], on trouve avec la formule des coordonnées
du milieu que C (
2) Déterminer les coordonnées du point E tel que AEBD soit un parallélogramme.
AEBD est un parallélogramme alors les diagonales [AB] et [ED] ont le même milieu
Seconde . Contrôle Repères et coordonnées du plan durée 1h .. coefficient 1 2011
Or on connaît le milieu de la diagonale [AB] , d’après la question précédente, c’est le point C
Posons E(xE ; yE) alors C milieu de [ED] donc
et
et
D’où E = 5 et E = 4 les coordonnées de E sont ( 5 ; 4 )
Exercice5
Dans le plan, on considère la figure suivante sachant que:
Les droites (AB) et (DE) sont parallèles et les distances sont données en kilomètres.
On vous demande de calculer les distances AC puis AE de deux manières :
1) Méthode1 : A l’aide d’un Théorème de géométrie du plan.
La figure ainsi que les hypothèses du texte, nous amène à utiliser le théorème de Thalès,
dans le triangle CAB, sachant que les droites (ED) et (AB) sont parallèles alors :
D’où
soit
=7,625 km
Sachant que A, E et C sont alignés alors AE = AC – EC =4,575 km
2) Méthode2 : A l’aide des coordonnées des points dans le repère indiqué .
A( 0 ;4) et C (7 ; 1 ) alors AC =√( (
√( ( √ km
Soit AC ~7,616 km on remarque une légère différence avec M2 due à l’approximation des
données du texte.
3) Calculer la distance AB par la méthode de votre choix.
Je choisis la méthode 2 : AB = √( ( √ ~ 3,605 km