Séquence 2 - tous les cours de l'année en accès gratuit · Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse Fonctions numériques ... Le coefﬁcient directeur de la tangente

1Séquence 2 – MA01

Séquence 2

� Revoir les fonctions dérivables et découvrir les fonctions continues.

� Étudier le sens de variation d’une fonction pour résoudre un problème concret d’optimisation.

� Utiliser le sens de variation d’une fonction en Économie.

� Trouver, à l’aide d’une calculatrice, des solutions approchées à des équa-tions du type f (x) = k.

Objectifs de la séquence

Sommaire

1. Pré-requis

2. Étude de fonctions (révisions 1re ES)

3. Notion de continuité sur un intervalle. Résolution d’équations du type f (x) = k

4. Synthèse de la séquence

5. Exercices de synthèse

Fonctions numériques Continuité

© Cned - Académie en ligne


1 Pré-requis

Dérivée des fonctions « puissances »Dérivée de u v,+ de ku, de uvProblème d’optimisation

1. Dérivées des fonctions x xn�� . Opérations élémentaires sur les fonctions dérivables

Fonction f Fonction dérivée f ' Ensemble de dérivabilité

Cas

part

icul

iers

x k� x � 0 �

x x� x �1 �

x x� 2 x x� 2 �

x x� 3 x x� 3 2 �

x x� 4 x x� 4 3 �

Cas général x xn��

(n entier naturel non nul)x n xn-1��

�

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I et k un réel.

Somme ( )' ' 'u v u v+ = +

Produit d’une fonction par un réel ( )' 'ku k u=

Produit ( )' ' 'uv u v uv= +

Carré ( ) 'u uu2 2' =

A


4 Séquence 2 – MA01

On considère les fonctions polynômes f g h, , définies pour tout réel x par :

• = − + + − • = − +

• =

f x x x x g x x x

h x

( ) , ( )

( )

2 0 5 6 3 23 2 3

1

3 2 2

3323

43

4 3 2x x x− + .

Déterminer les fonctions dérivées des trois fonctions f, g et h.

Pour tout x réel on a

• = − + + • = − + • = − +f x x x g x x h x x x x'( ) '( ) '( ) .6 6 2 643

283

2 3 2

2. Lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation d’une fonction. Problème d’optimisation

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

� f x'( ) = 0 sur I équivaut à f est constante sur I ;� f x'( ) ≥ 0 sur I équivaut à f est croissante sur I ;� f x'( ) ≤ 0 sur I équivaut à f est décroissante sur I .

On donne

� une droite ( ' )x x

� un point fixe H sur ( ' )x x

� une demi-droite [ )H y perpendiculaire à la droite ( ' ).x x

A

S

B

Hx’ xx

y Soit S un point mobile de la demi-droite

[ ).H y On construit alors, si c’est possible, un

triangle isocèle SAB tel que SA SB= = 6,

avec A Hx∈[ ') et B Hx∈[ ). (voir figure 1).

On pose HB x= et HS h= .

� Dire à quel intervalle [ ; ]a b appartient le réel x.

Calculer l’aire du triangle SAB lorsque x a= , puis lorsque x b= .

Exercice

� Solution

Une fonction qui est croissante et décrois-sante sur un intervalle I est constante sur I.Exercice

Figure 1



� Exprimer h en fonction de x.

� On pose � ( ) ( ).x SAB= aire Exprimer � ( )x en fonction de x et de h, puis uniquement en fonction de x.

� On pose, pour a x b≤ ≤ , f x( ) = [�(x)]2.a) Déterminer la fonction dérivée de f et étudier son signe.

b) Dresser le tableau de variation de f sur [ ; ].a b

c) Pour quelle valeur de x la fonction f est-elle maximale ? Calculer la valeur de ce maximum.

� a) En déduire pour quelle valeur de x l’aire du triangle SAB est maximale. Donner la valeur de l’aire maximale.

b) Quelle particularité présente alors le triangle SAB ?

� Le point S peut se déplacer entre deux positions limites sur la demi-droite

[ )H y : le point H et le point K tel que HK = 6.

Si S H= alors x = 6 et si S K= alors x = 0. Ainsi x ∈[ ; ].0 6

Lorsque x = 0 on a A B H= = ; le triangle SAB se réduit à un segment vertical.

Lorsque x = 6 les points A S B, et sont alignés ; le triangle est un « triangle aplati ».

D’où, pour x = 0 ou x = 6 l’aire du triangle SAB est nulle.

� Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle SHB.

On a h x h2 2 26 0= − >d'où, comme , h x= −36 2.

� On obtient � ( ) ( )x SAB AB HS HB HS= = × = ×aire12

soit � ( ) .x hx=

On en déduit � ( )x x x= −36 2

pour 0 ≤ x ≤ 6.

� a) On a alors f x x x( ) ( ).= −2 236

Pour dériver f on peut poser u x x

v x x

( )

( )

=

= −

2

236 d’où

u x xv x x

'( )

'( ).

== −

2

2

On obtient f x x x x x x x x x'( ) ( ) ( ) ( ) ( ),= − + − = − = −2 36 2 2 36 2 4 182 2 2 2

soit f x x x x'( ) ( )( ).= − +4 3 2 3 2

4 3 2 3 2 0 0 3 2 3 2x x x x( )( ) { ; ; .− + = ∈ −pour }

Seules les deux premières valeurs annulent f x'( ) car elles appartiennent à l’in-

tervalle 0 6 ; .

� Solution



Pour x ∈[ ; ]0 6 on a 3 2 0 0+ > ≥x xet . La dérivée f x'( ) a donc le même

signe que 3 2 − x.

3 2 0 0 3 2 3 2 0 3 2 6− > ≤ < − < < ≤x x x xpour et pour .

Le signe de f x'( ) est donné dans le tableau suivant :

x 0 3 2 6La fonction f est

croissante sur

décroissante sur

0 3 2

3 2 6

; ;

;

.

x 0 + +

3 2 + x + +

3 2 − x + 0 –

f x'( ) 0 + 0 –

On pouvait aussi développer f x( ) et dériver l’expression obtenue, c’est-à-dire

− +x x4 236 .

Remarque

b) On en déduit le tableau de variation de la fonction f sur [ ; ].0 6

x 0 3 2 6

f x'( ) 0 + 0 –

f x( ) 182

0 0

c) La fonction f est maximale pour x = 3 2 et f fmax ( ) .= =3 2 182

� a) On sait que f (x) = [�(x)]2 et que la

fonction x x→ est croissante

sur [ ; [.0 +∞

D’où

i

i

si alors soit

si alor

f x f y f x f y

f x f y

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

≤ ≤

≥ ss soitf x f y( ) ( )≥

Les fonctions � et f varient dans le même sens.

L’aire est maximale pour x = 3 2 et cette aire maximale est égale à 18.

S

�max = 18

BA H

Figure 2�(x ) ≤ �(y ) ;

�(x ) ≥ �(y ).



�max = � ( ) .3 2 18=

b) Calculons la hauteur h HS= .

Pour x = 3 2 , h = − ( ) = =36 3 2 18 3 22

d’où h x= . On a donc HA HB HS= = et le triangle SAB est un triangle rectangle isocèle (c’est un demi carré).

Dérivée d’un quotient – Équation d’une tangente – Problème d’optimisation

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.

Inverse 12v

v

v

= −'

'

Si, pour tout x de I , v x( ) .≠ 0

Quotient uv

u v uv

v

= −'' '

2

Soit A a f a( ; ( )) un point situé sur la courbe représentative d’une fonction f . Le coefficient directeur de la tangente à cette courbe au point A est égal au

nombre dérivé f a'( ).

L’équation de la tangente en A est de la forme y x bf a= × +'( ) .

Équation de la tangente en A y x a f af a= × − +'( ) ( ) ( )d’où b = f (a) – af ’(a).

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [ ; ]0 2 par f x x( ) .= −4 2 La courbe � représentant la fonction f dans un

repère d’origine O est donnée sur la figure 3.

� Écrire l’équation de la droite TK qui est la tan-gente à la courbe � au point K d’abscisse 1. Cette tangente coupe l’axe des abscisses en E et l’axe des ordonnées en F. Calculer l’aire du triangle OEF.

� Soit a un réel tel que 0 2< ≤a et A a f a( ; ( )) un point de la courbe �.

On désigne par TA la tangente en A à la courbe �.

B

Exercice

Figure 3



Cette tangente TA coupe l’axe des abscisses en M et l’axe des ordonnées en N.

a) Écrire l’équation de la tangente TA.

b) Déterminer, en fonction de a, les coordonnées des points M et N. Exprimer,

en fonction de a, l’aire du triangle OMN.

� Soit g la fonction définie sur l’intervalle ] ; ]0 2 par g x

xx

( )( 4)

4

2 2= +

.

Déterminer sur un tableur les valeurs de g x( ) en prenant un pas de 0,1 entre deux valeurs consécutives de x. Conjecturer le sens de variation de la fonction

g sur ] ; ].0 2

Il semble qu’il existe une valeur x0 de x pour laquelle g soit minimale. Trouver

un intervalle [ ; ]α β d’amplitude 0,2 auquel x0 appartient. Déterminer sur un

tableur, pour x ∈[ ; ],α β les valeurs de g x( ) en prenant un pas de 0,01 entre

deux valeurs consécutives de x. En déduire une valeur approchée de x0 .

� a) Déterminer le sens de variation de g sur l’intervalle ] ; ].0 2 En déduire la valeur exacte du réel x0.

b) Calculer l’aire du triangle OMN lorsque x x= 0. Donner une valeur de cette aire, arrondie à 0,01 près.

c) Écrire l’équation de la tangente au point A0 d’abscisse x0.

� La fonction f a pour dérivée la fonc-

tion f ' définie par f x x'( ) .= −2 Le nombre dérivé au point K d’abscisse 1

est f '( ) .1 2= − Calculons f ( ) .1 4 1 3= − = L’équation de la tangente en K est y x y x= − − + = − +2 1 3 2 5( ) .soit

Le point F est le point de la tangente d’abscisse x = 0.

Pour x = 0 on trouve y = 5. Ainsi F ( ; ).0 5

Le point E est le point de la tangente d’ordonnée y = 0.

Pour y = 0 on trouve x = 2 5, . Ainsi E( , ; ).2 5 0

L’aire du triangle OEF est égale à 12

12

52

5254

OE OF× = × × = . D’où

aire( ) .OEF = 254

� Solution

F

E

Figure 4



� a) L’équation de la tangente en A est

y f a x a f a a x a a= − + = − − + −'( )( ) ( ) ( ) ( )2 4 2 soit y ax a= − + +2 4 2.

b) Le point N est le point de la tangente d’abscisse x = 0. Pour x = 0 on trouve

y a= +4 2.

Le point M est le point de la tangente d’ordonnée y = 0. Pour y = 0 on trouve

xaa a

a= + = +42

22

2. (car a ≠ 0)

Ainsi Ma

aN a

22

0 0 4 2+

+; ( ; ).et

L’aire du triangle OMN est égale à 12

12

22

4 2OM ONa

aa× = × +

× +( ) soit

aire( )( )

.OMNaa

= +44

2 2

� On pose, pour 0 2< ≤x , g xx

x( )

( 4)4

2 2= +

.

Les valeurs de g x( ) sont obtenues à l’aide du tableur « OpenOffice.org Calc ».

La fonction g semble être d’abord décroissante puis ensuite croissante.La valeur de x pour laquelle le sens de variation change est égale à 1,2 environ.

On a x 1,1 1,2 1,3 On en déduit qu’il existe un réel x0 11 1 3∈ , ; ,

tel que g soit minimale

pour x x= 0. g x( ) 6,169… 6,165 … 6,226…



En prenant un pas de 0,01 sur l’intervalle [ , ; , ]11 1 3 on trouve que g semble être

minimale pour x0 115≈ , .

� a) Déterminons la fonction dérivée de la fonction g.

Posons u x xv x x

( ) ( )

( )

= +=

2 24

d’où u x x xv x

'( ) ( )( )

'( ).= +

=

2 4 2

1

2

On a

g xx x x x

x'( )

14

2( 4)(2 ) ( 4)

x

14

(x + 4)(4x x 4)2 2

2

2 2 2

2

2

= ×+

− +

= × − −

g x'( )14

(x + 4)(3x 4)

x.

2 2

2= × −

La dérivée a le même signe que 3 4 3 2 3 22x x x− = − +( )( ).

La seule valeur comprise entre 0 et 2 et qui annule la dérivée est x = =2

3

2 33

.

Ainsi x02 3

3= .

On a g x'( ) 0< pour 02 3

3< <x et g x'( ) 0> pour

2 33

2< ≤x .

La fonction g est décroissante sur et croissante sur02 3

32 3

3;

;; .2

Elle est

minimale pour x = 2 33

.

La calculatrice nous donne 2 3

31154= , ... Ce résultat est cohérent avec celui

trouvé à l’aide du tableur.

b) Si on appelle x l’abscisse du point A alors OMN g xaire( ) ( ).=

On peut dire que l’aire du triangle OMN est minimale pour x = 2 3

3.

Cette aire minimale est égale à g x( )

43

4

8 33

32 39

.0

2

=+

=

D’où aire soit airemin min , ...= =32 39

6 158

Une valeur arrondie à 0,01 près de cette aire est 6,16.

c) La tangente au point A x g x; ( )0 0 0( ) a pour équa-

tion y x x x x= − + + = − × + +2 4 22 3

34

430 0

2 soit

y x= − +4 33

163

.

Cet exercice montre que les valeurs pour lesquelles une fonction admet un extremum ne sont pas toujours des valeurs « simples » et évidentes à trouver.

Remarque



2 Étude de fonctions (révisions 1re ES)

Objectifs du chapitre

� Revoir les notions de nombre dérivé et de fonction dérivée.

� Comprendre le lien entre signe de la dérivée et variation de la fonction.

� Étudier des fonctions « coûts » (coût total, coût moyen, coût marginal).

� Appréhender la notion d’extrema dans des situations concrètes.

Pour débuter

Étude d’une fonction coût

Une entreprise fabrique et vend une quantité x d’objets. La capacité maximale de production de l’entreprise est de 20 objets. Le coût total de fabrication de x objets, exprimé en euros, est donné par C x x x x( ) .= − + +2 54 500 3923 2 On dé-signe par ( )C la courbe représentative de la fonction C dans un repère du plan.

� Étudier le sens de variation de la fonction C sur l’intervalle 0 20 ; .Dresser le tableau de variation de C.

� Soit A le point de ( )C d’abscisse x = 14. Déterminer une équation de la tangente à la courbe ( )C au point A. Par quel point particulier passe cette tangente ?

� Chaque objet est vendu 230 €. R x B x( ) ( )et désignent respectivement la re-cette et le bénéfice pour x objets vendus.

a) Exprimer R x( ), puis B x( ) en fonction de x.

b) La production est en réalité au moins égale à 5 objets.

Étudier le sens de variation de la fonction B sur l’intervalle [ ; ]5 20 et dresser son tableau de variation.

c) Pour combien d’objets fabriqués et vendus le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximal ?

� a) Déterminer le nombre minimal et le nombre maximal d’objets fabriqués et vendus permettant à l’entreprise de rester bénéficiaire.

A

B

Activité 1



b) L’entreprise veut réaliser un bénéfice d’au moins 500 €.Déterminer, à l’aide de la calculatrice, toutes les valeurs entières de x (nombre d’objets produits et vendus) assurant un tel bénéfice.

Fonction de demande et élasticité

Partie A – Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur � par f xx

x x( )

( ).= +

+ +

20 1

2 22

� Montrer que f est bien définie sur � .

� a) Déterminer la fonction dérivée de f et étudier son signe.b) Dresser le tableau de variation de la fonction f .

Partie B – Fonction de demande et élasticité

Une étude effectuée sur un produit informatique a conduit à modéliser la fonc-tion de demande de ce produit informatique par la fonction f étudiée dans la partie A, définie uniquement pour x ≥ 0. Le nombre f x( ) représente la quantité demandée, exprimée en milliers d’objets, lorsque le prix unitaire est égal à x centaines d’euros.

� a) Calculer le nombre d’objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à 600 euros.

b) Calculer le nombre d’objets demandés lorsque le prix unitaire de 600 euros augmente de 1 %.

c) En déduire le pourcentage d’évolution de la demande, suite à cette augmen-tation de prix.

� « L’élasticité » E x( ) de la demande par rapport au prix x est le pourcentage

de variation de la demande pour une augmentation de 1% du prix x.

On admet qu’une bonne approximation de E x( ) est donnée par E x xf xf x

( )'( )( )

.= ×

a) Démontrer que E x

x x

x x x( )

( )

( )( )= − +

+ + +

2

22

1 2 2.

b) Déterminer le signe de E x( ) sur [ ; [0 +∞ et interpréter le résultat.

c) Conjecturer, à l’aide de la courbe représentative de la fonction E obtenue sur l’écran d’une calculatrice, le sens de variation de la fonctionE sur [ ; [.0 +∞ À l’aide d’une calculatrice trouver le prix, arrondi à l’euro, pour lequel l’élas-ticité est égale à – 0,5.

d) Comment évolue la demande lorsque le prix passe de 600 à 606 euros ?

Comment évolue la demande lorsque le prix passe de 100 à 101 euros ?

Activité 2



Cours

1. Nombre dérivé en un point a

a) Définitions

Définition 1

Soit f une fonction définie sur un intervalle I a, et a h+ deux réels de I

(avec h ≠ 0).

Le taux d’accroissement (ou taux de variation) de f entre a et a h+ est le

rapport f a h f a

h( ) ( )

.+ −

Définition 2

Si le rapport f a h f a

h( ) ( )+ −

admet une limite finie quand h tend vers

zéro, on dit que f est dérivable en a et que cette limite est le nombre

dérivé de f en a.

Le nombre dérivé de f en a se note f a'( ).

Ainsi

f est dérivable en a si lim( ) ( )

'( ).h

f a h f ah

f a→

+ − =0

b) Interprétation graphique

A est un point fixe de � .M est un point mobile de �.

Soita ;

� sa courbe représentative ;A(a ; f (a)) et M (a + h ; f (a + h)) deux points de �.

Le coefficient directeur de ( )AM est m

f a h f ah

= + −( ) ( ).

Le taux de variation de f entre a et a + h est donc égal au coefficient directeur de la droite ( ).AM

C

� Notation

A

aO

f (a+h)

f (a)

M

a + h x

TA

y�

Figure 5



Lorsque h " tend vers 0", M se rapproche de A et le taux de variation tend vers

le nombre dérivé f a'( ).

Lorsque M se rapproche de A, les sécantes ( )AM ont pour position limite la tangente en A à la courbe � .

La tangente en A , notée TA , a donc pour coefficient directeur f a'( ). L’équation

réduite de la tangente est de la forme y f a x b= +'( ) . En écrivant qu’elle passe

par A on obtient f a af a b( ) '( )= + d’où b f a af a= −( ) '( ).

Ainsi y f a x a f a= × − +'( ) ( ) ( )

c) Coût total, coût moyen, coût marginal

Une entreprise fabrique des objets en quantité q q ( ).≥ 0 coût total de production (coût fixe + coûts variables) est noté C q( ) ;

coût moyen de production est défini, pour q ≠ 0, par C qC q

qM ( )( )

;=

coût marginal de production est la variation du coût total occasionnée par la production d’une unité supplémentaire : le coût marginal C qma ( ) est donc le coût de production de la ( )q +1 -ième quantité.

On peut écrire C q C q C qC q C q

q qma ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

.= + − = + −+ −

111

Le coût marginal représente le taux de variation de C entreq qet +1. On peut considérer que 1 est « petit » par rapport aux grandes quantités q ce qui implique que le nombre dérivéC q'( ) est une bonne approximation du coût marginal.

Dans la pratique on prend C q C qma ( ) '( ) .

coûtmarginal

nombredérivé

�� =

Les courbes de la figure 6 montrent l’allure la plus classique des courbes repré-sentatives des fonctions coûts.

Soit q0 la valeur de q pour laquelle le coût moyen est minimum.

On montre que

i

i

C q C q C qma M'( ) ( ) ( );0 0 0= =si la fonction est dCM éécroissante alors

si la fonction

C q C qma M( ) ( );≤i est croissante alorsCM C q C qma M( ) ( ).≥

Soit M q C q( ; ( )) un point quelconque de la courbe ( ).C

Le coefficient directeur de la sécante ( )OM est mC q

qC qM= =( )

( ).

Ce coefficient directeur m est minimum lorsque la sécante ( )OM est tangente à la courbe. La tangente à la courbe ( )C au point A q C q0 0 0( ; ( )) passe par l’origine du repère.

Voir les corrigés des exercices d’ap-prentissage 1 et 2

Remarque



Soit q1 la valeur de q pour laquelle le coût marginal est minimum et B le point de la courbe ( )C d’abscisseq1.

On étudiera dans la séquence 8 (sur des exemples) les positions relatives de la

tangente en B et de la courbe ( ).C

O

B(C)

C

qq1

A0

Cma

CM

Tangenteen A0

Courbes de fonctions coûts

q0

2. Fonction dérivée

a) Définitions

Définition 3

� Si une fonction f définie sur un intervalle I est dérivable en tout point

de I , on dit que f est dérivable sur I , � La fonction qui à chaque valeur x de I associe le nombre dérivé de f en

x est la fonction dérivée première qui se note f' (dans la pratique on dira « fonction dérivée » ou même parfois « dérivée»).

Figure 6



b) Fonctions dérivées usuelles


x k� x � 0 �

xx

�1

x

x� − 1

2

] ; [ ] ; [− ∞ ∪ + ∞0 0

x x� x

x�

1

2

0; + ∞

x xn��(n entier naturel non nul)

x n xn-1��

Ce formulaire sera enrichi aux séquences 4 et 5 où de nouvelles fonctions ("exp" et " ln") seront étudiées.

La fonction x x� est bien définie en 0 mais elle n’est pas dérivable en 0.

On a lim lim .h h

hh h→ →

− =0 0

0 1 Intuitivement on voit que lorsque h tend

vers 0 (c’est-à-dire lorsque h devient infiniment petit) l’inverse de h n’a

pas de limite finie (en fait il devient infiniment grand).

Remarque

Soit f la fonction définie sur � par f x x( ) = 2 et � sa courbe représentative

dans un repère du plan.

Donner une équation de la tangente au point A de la courbe � d’abscisse a = −1.

La fonction f est dérivable sur � et f x x'( ) .= 2 Le coefficient directeur de la tangente en A est égal à −2.

Une équation de la tangente en A est donc y x b= − +2 .

Au point A( ; )−1 1 on a : 1 2 1= − − +( ) b d’où b = −1.

La tangente en A a pour équation y x= − −2 1.

� Exemple 1

� Solution



c) Opérations sur les fonctions dérivables (rappel)

Soit u v et deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I et k un réel.

Somme ( )' ' 'u v u v+ = +

Produit

( )' ' 'uv u v uv= +

Cas

part

icul

iers ( ) ''ku ku=

u u u uu2 2( ) = × =' ( )' '

Quotient

uv

u v uv

v

= −' ' '2

Si, pour tout x de I, v(x) 0.

Cas

part

icul

iers 1

2vv

v

= −' '

kv

k v

v

= −' '

2

Trouver les fonctions dérivées des fonctions polynômes définies sur� par :

� f x x x x( ) .= + + +3 2 2 � f x x x x( ) , .= − + −2 0 5 29 663 2

� f x x x x x( ) .= + − +12

3 24 3 2

� f x

x xx x( ) .= − + − +56

32

529

12

23 4

� f x x x'( ) .= + +3 2 12 � f x x x'( ) .= − +3 2 292

� f x x x x'( ) .= + − +2 9 2 23 2 � f x x x x'( ) .= − + − +13

45

23

22 3

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions f définies sur 0; + ∞ par :

� f xx

( ) .=+

1

12 � f x

x x( ) .=

− −

5

22 � f x

x( ) .= 1

� Posons v x x( ) = +2 1 d’où v x x‘( ) .= 2

Ainsi f xx

x'( )

( ).= −

+

2

12 2

� Posons v x x( ) = − 2 – 2x d’où v x x x‘( ) ( ).= − − = − +2 2 2 1

Ainsi f xx

x x‘( )

( )

( )= −

− + − −

5 2 1

22 2 soit f x

x

x x'( )

( )

( ).= +

+

10 1

22 2

� Exemple 2

� Solution

� Exemple 3

� Solution



� Posons v x x( ) = d’où v xx

'( ) .= 1

2 Ainsi f x x

x'( )

( ),= −

1

22

soit

f xx x

'( ) .= − 1

2

On définit, pour x > 0, la fonction f par f x x x( ) .= Déterminer la fonction dérivée de f .

Pour x > 0, les fonctions x x� et x x� sont dérivables.

Posons u x x( ) = et v x x( ) .= D’où

u x‘( ) = 1 et v x

x'( ) .= 1

2

La formule ( )' ' 'uv u v uv= + nous

donne

f x x xx

xx

'( ) .= +

= +1

2 2

On obtient f x x'( ) .= 32

Calculer les fonctions dérivées des fonctions f définies par :

� f xxx

( ) .= − ++

12 3

� f xx

x( ) = −

+

2

21

1. � f x

x

x x( ) .=

+ +2 1

(on ne s’occupe pas des ensembles de définition des fonctions f fet ')

� Posons u x xv x x

( )

( )

= − += +

1

2 3 d’où

u xv x

'( )

'( ).

= −=

1

2

On a f x

u x v x u x v x

v x

x x'( )

'( ) ( ) ( ) '( )

( )

( ) ( )

(= − = − + − − +

22 3 2 1

22 3 2x + ).

Ainsi f xx

'( )( )

.= −

+

5

2 3 2

� Posons u x x

v x x

( )

( )

= −

= +

2

2

1

1 d’où

u x xv x x

'( )

'( ).

==

2

2

On a f x

x x x x

x‘( )

( ) ( )

( )= + − −

+

2 1 2 1

1

2 2

2 2 soit f x

x

x'( )

( ).=

+

4

12 2

� Exemple 4

� Solution

On peut montrer, en revenant à la définition du nombre dérivé

en 0, que la fonctionf est dérivable en 0.

lim( ) ( )

lim lim .h h h

f h fh

h hh

h→ → →

+ − = = =0 0 0

0 00

On obtient f '( ) .0 0=

Remarque

� Exemple 5

� Solution



� Posons u x x

v x x x

u xv x x

( )

( )

'( )

'( )

=

= + +

== +

2 1

1

2 1d'où

On a f xx x x x

x x

x x x x

x x'( )

( )

( ) (= + + − +

+ += + + − −

+

2

2 2

2 2

21 2 1

1

1 2

++1 2)

soit f xx

x x'( )

( ).= −

+ +

1

1

2

2 2

3. Signe de la dérivée et variation de la fonction

a) Propriété fondamentale

Propriété 1 (rappel)

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ' sa fonction dérivée.

� f x'( ) = 0 sur I équivaut à f est constante sur I. � f x'( ) ≥ 0 sur I équivaut à f est croissante sur I.

� f x'( ) ≤ 0 sur I équivaut à f est décroissante sur I. � Si pour tout x de I , f ’(x) > 0 sauf peut-être pour des valeurs isolées de x

où f ’(x) s’annule, alors la fonction f est strictement croissante sur I.

� Si pour tout x de I , f ’(x) < 0 sauf peut-être pour des valeurs isolées de x où f ’(x) s’annule, alors la fonction f est strictement décroissante sur I.

� On parle de fonction croissante ou décroissante uniquement sur des intervalles.

(la fonction « inverse » i : xx

�1

est décroissante sur ] ; [−∞ 0 et sur ] ; [,0 +∞

mais elle n’est pas décroissante sur ] ; [ ] ; [.−∞ ∪ +∞0 0 En effet − <1 1 et

i i( ) ( ) .− < )1 1

� Une fonction qui est, soit croissante, soit décroissante sur I est dite monotone

sur I.

Remarque

Il est déconseillé de développer le dénominateur dans ce genre de déri-vées.

Remarque



On a obtenu, sur l’écran d’une calculatrice, les courbes C1 et C2 représentatives de deux fonctions f1 et f2 définies sur � (voir figure 7).

L’une représente une fonctionf , l’autre représente sa dérivée f '. Trouver quelle courbe représente la fonc-tion f et quelle courbe représente sa dérivée.

� Sur l’intervalle [ ; ]0 1 on a f x2 0( ) ≤ et f1 croissante.

La fonction f2 ne peut donc pas être la dérivée de la fonction f1.

� Sur l’intervalle ] ; ]−∞ − 2 on a f x1 0( ) ≥ et f2 croissante ;

Sur l’intervalle [ ; ]−2 0 on a f x1 0( ) ≤ et f2 décroissante ;

Sur l’intervalle [ ; [0 +∞ on a f x1 0( ) ≥ et f2 croissante.

La fonction f1 est la dérivée de la fonctionf2.

La courbe C2 représente la fonction f alors que C1 représente la dérivée f '.

b) Notion d’extremum

Soit f la fonction définie sur � par f x x x x( ) = + − +4 3 243

4173

et � sa courbe représentative dans un repère du plan.

� Déterminer la fonction dérivée f ' et étudier son signe. En déduire les varia-tions de la fonction f et dresser son tableau de variation.

� Afficher la courbe � sur l’écran d’une calculatrice.

� Que peut-on dire de la fonction f lorsque x ∈ −{ }2 0 1 ; ; ?

� et � La fonction f est une fonction polynôme dérivable sur�. La fonction dérivéef ' est définie sur� par :

f x x x x x x x x x x'( ) ( ) ( )( ).= + − = + − = − +4 4 8 4 2 4 1 23 2 2

La fonction dérivée s’annule pour x = −2, pour x = 0 et pour x = 1. Détermi-

nons le signe de f x'( ).

x −∞ – 2 0 1 + ∞

4x – – 0 + +

x −1 – – – 0 +

x + 2 – 0 + + +

f x'( ) – 0 + 0 – 0 +

� Exemple 6C1

C21

Figure 7

� Solution

� Exemple 7

� Solution



� La fonction f est croissante sur [ ; ]−2 0 et sur [ ; [1 + ∞ .

� La fonction f est décroissante sur ] ; ]−∞ − 2 et sur [ ; ].0 1

Le tableau de variation de f est le suivant :

x − ∞ – 2 0 1 + ∞ Voici la courbe � obtenue sur l’écrand’une calculatrice :

f x'( ) – 0 + 0 – 0 +

f x( )

173

–5 4

� Pour les valeurs x x= − =2 0, et x = 1 la dérivée s’annule en changeant de signe. La fonction f change alors de sens de variation et admet, pour ces trois valeurs de x , soit un minimum, soit un maximum.

Sur l’intervalle ] ; ]−∞ 0 la fonction f admet un minimum égal à −5 pour x = −2.

Sur l’intervalle [ ; ]−2 1 la fonction f admet un maximum égal à 173

pour

x = 0.

Sur l’intervalle [ ; [0 +∞ la fonction f admet un minimum égal à 4 pour x = 1.

Sur � la fonction f admet un minimum (absolu) égal à −5 pour x = −2. [pour tout réel x, f (x) ≥ –5]

Définition 4Un extremum est, soit un minimum, soit un maximum.

Propriété 2

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I = [ ; ],a b avec a b< . Si le tableau de variation de f sur I est l’un des deux tableaux suivants alors f admet un extremum sur I.

Quand on parle de maxi-mum, ou de minimum, il faut toujours préciser sur quel intervalle.



x a x0 b

←← →→

La dérivée

en x0

s'annule

en changeant

de signe.

x a x0 b

f x'( ) – 0 + f x'( ) + 0 –

f x'( )Min

f x( )Max

Pour tout x a b∈[ ; ] on a

f x f x( ) ( ).≥ 0

Pour tout x a b∈[ ; ] on a

f x f x( ) ( ).≤ 0

Sur I = [ ; ],a b la fonction f admet un minimum en x0.

Ce minimum est égal à f x( ).0

Sur I = [ ; ],a b la fonction f admet un maximum en x0. Ce maximum est égal à f x( ).0

Propriété 3

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I = [ ; ].a b

Si la fonction f admet un extremum pour x c= , avec a c b<< << , alors

f c'( ) .= 0

Si une fonction dérivable f admet

un extremum pour x c= , alors la

tangente à la courbe représentant

f, au pointC c f c; ( ) ,( ) est parallèle

à l’axe des abscisses.

Soit f la fonction « cube » définie sur� par f x x( ) = 3 et � sa courbe représen-tative dans un repère du plan.Montrer que la dérivée s’annule pour une valeur de x.

La fonction f admet-elle un extremum pour cette valeur de x ?

On a f x x( ) = 3 d’où f x x'( ) .= 3 2 Ainsi f '( )0 0= et, pour tout x f x≠ >0 0, '( ) .

La fonction f est strictement croissante sur � et n’admet donc pas d’extremum pour x = 0 (voir, figure 8, la courbe obtenue sur l’écran d’une calculatrice).Au point O( ; )0 0 la tangente à la courbe est l’axe des abscisses, d’équation y = 0.

La réciproque de la propriété précédente est fausse, c’est-à-dire que la dérivée d’une fonction peut s’annuler en un point sans qu’il y ait extremum. Montrons ceci sur un exemple très simple.

� Conséquence graphique

� Exemple 8

� Solution

Figure 8



Exercices d’apprentissage

Le coût total de fabrication pour une entreprise s‘exprime en fonction du nombre q d’objets produits. On le note C q( ).

Le coût moyen de production est défini, pour q ≠ 0, par C qC q

qM ( )( )

.=

Le coût marginal de production est défini à partir de la dérivée c’est-à-dire queC q C qma ( ) '( ).= On suppose qu’il existe un niveau de production q0 pour lequel le coût moyen est minimum.

� Démontrer que pour q q= 0 le coût moyen est égal au coût marginal.

� Soit A0 le point de la courbe représentant la fonction « coût total » dont l’abscisse est q0. Montrer, qu’en ce point A0 , la tangente à la courbe repré-sentant la fonction « coût total » passe par l’origine du repère.

On reprend la fonction coût de l’activité 1 définie sur l’intervalle [ ; ]0 20 par

C x x x x( ) .= − + +2 54 500 3923 2

� Déterminer la fonction « coût moyen », notée CM , définie sur l’intervalle

[ ; ].5 20

� a) ExprimerC xM' ( ) en fonction de x.

b) Montrer que cette dérivée a le même signe que

2 27 196 14 2 143 2 2x x x x x− − = − + +( )( ).

c) Étudier le signe de la fonction dérivée C M' et en déduire le tableau de

variation de la fonction CM .

� a) Déterminer la fonction « coût marginal », définie sur l’intervalle [ ; ]5 20

par C x C xma ( ) '( ).=

b) Etudier la fonction Cma (signe de la dérivée ; tableau de variation).

c) Vérifier que lorsque le coût moyen est minimal il est égal au coût marginal.

� Tracer les courbes représentatives des deux fonctions CM et Cma . On choi-sira un repère orthogonal (unités graphiques : 0,5 cm pour un objet en abs-cisse et 1 cm pour 100 euros en ordonnée).

Partie A

On considère les fonctions C Bet définies sur l’intervalle [ ; ]0 60 parC x x( ) = −450 5 et B x x x( ) .= − + −2 55 450

Le plan est muni d’un repère orthogonal dont les unités graphiques sont :� 2 cm pour 10 unités en abscisse � 1 cm pour 100 unités en ordonnée.

DExercice 1

Exercice 2

Exercice 3



� Tracer la courbed , représentative de la fonctionC sur l’intervalle [ ; ].0 60

� Trouver le signe de la fonction B ', dérivée de la fonctionB. Dresser le tableau de variation de la fonctionB.

Tracer la courbe ( )B représentative de la fonction B sur l’intervalle [ ; ].0 60

� a) Résoudre l’inéquation B x( ) .≥ 0

b) D’après les représentations graphiques des fonctions C Bet , le segmentd représentant la fonction C semble tangent à la courbe ( )B au point d’abscisse 30. Justifier cette conjecture.

Partie BUn stade peut accueillir 50 000 personnes.

On suppose que le prix x d’un billet, exprimé en euros, est le même pour tous les

spectateurs et que le nombre de spectateurs N x( ) est fonction du prix du billet.

On estime queN x x( ) .= −50 000 1 000

Organiser un spectacle coûte 200 000 euros d’installation auxquels s’ajoutent des frais qui s’élèvent à 5 euros par spectateur.� Montrer que la dépense totale pour un spectacle, exprimée en milliers d’euros,

est donnée en fonction du prix x d’un billet parC x( ).

� Montrer que la recette pour un spectacle, exprimée en milliers d’euros, est donnée par 50 2x x− .

� En déduire que le bénéfice pour un spectacle, exprimé en milliers d’euros, est donné par B x( ).

� En exploitant les représentations graphiques et les résultats de la partie A déterminer :

a) Le prix du billet correspondant à un bénéfice maximum.

b) Les valeurs de x pour lesquelles le bénéfice est positif ou nul.

Le ministère de la santé charge une agence de publicité de faire une campagne de promotion pour un nouveau remède.

Une étude prouve que la fréquence f t( ) de personnes connaissant le nom de ce

remède après t semaines de publicité est donnée par f tt

t( ) =

+3003 2

pour t ≥ 0.

� Calculer f ( ).1 En déduire le pourcentage de personnes qui ignorent le nom de ce remède au bout d’une semaine.

� Résoudre les équations f t( ) = 75 et f t( ) , .= 93 75 Interpréter les résultats obtenus.

� Déterminer la fonction dérivée de f et dresser le tableau de variation de f sur l’intervalle [0 ; 18].

Exercice 4



� Tracer la courbe C , représentative de la fonction f sur l’intervalle [ ; ],0 18 dans un repère orthogonal.Unités graphiques : 0,5 cm pour 1 unité en abscisse et 1 cm pour 10 unités en ordonnée.

� Soit TA la tangente à la courbe C au point A d’abscisse 1. Déterminer une équation de TA et tracer la tangente.

� a) Déterminer le nombre de semaines de campagne nécessaires pour que

90 % de la population connaisse le nom du remède.

b) Combien faut-il de semaines pour passer de 90 % à 95 %?

c) Le ministère a décidé d’arrêter la campagne au bout de six semaines. Jus-tifier ce choix.

� Dans un cadre économique, on appelle fonction de satisfaction toute fonctionf définie sur une partie de� et à valeurs dans l’intervalle [0 ; 100].

On dit qu’il y a « saturation » lorsque la satisfaction est maximale, c’est-à-dire lorsque la fonction f prend la valeur 100.

� On définit de plus la fonction « envie » v, dérivée de la fonction f ; on a donc v f= '. On dit qu’il y a « envie » lorsque v est positive, sinon on dit qu’il y a « rejet ».

Chaque partie traite d’un modèle différent. Les trois parties sont indépendantes.

Partie AL’allure de la courbe représentative d’une fonction de satisfaction f définie et

dérivable sur l’intervalle [ ; ]0 8 est donnéesur la figure 9.

� a) Pour quelle quantité x de produit y a-t-il saturation ?

b) Sur quel(s) intervalle(s) y a-t-il envie ? Y a-t-il rejet ?

� a) Par lecture graphique, donner v ( ).4

b) Exprimer v x( ) en fonction de x sachant que v est une fonction affine définie sur

[ ; ]0 8 vérifiant v ( ) .0 50= c) En déduire le sens de variation de la fonc-tion v sur [ ; ].0 8

� La fonction f s’exprime en fonction de x par f x ax bx c( ) .= + +2

À l’aide du graphique déterminer les trois

réels a b c, .et

Exercice 5

10

10 2 3 4 5 6 7 8 x

20

30

40

50

60

70

80

90

100

y

Figure 9



Partie B

La fonction de satisfaction f pour un salaire dans une entreprise est modélisée,

pour tout x de [ ; [,0 +∞ par f xx

x( ) =

+100

1 où x désigne le salaire annuel d’un

employé en milliers d’euros.

� Montrer que, pour tout x de [ ; [,0 +∞ f xx

x( ) .= −

+100

1001

Pour quelle quantité x de produit y a-t-il saturation ?

� Déterminer la fonction « envie » v. Quel est le signe de la fonction v sur [ ; [ ?0 +∞

Sur quel intervalle y a-t-il « envie »? Sur quel intervalle y a-t-il « rejet » ?

Partie CUne agence de voyages propose différents types de formule pour les vacances et décide d’étudier la satisfaction de ses clients concernant la durée en jours d’une croisière.

La fonction de satisfaction f est définie sur l’intervalle [ ; ]0 30 par

f xx

x( ) .=

+

2 000

1002

� Calculer f x'( ) où f ' désigne la fonction dérivée de f sur [ ; ].0 30

� a) Étudier le signe def x'( ). Sur quel intervalle y a-t-il « envie »? Sur quel intervalle y a-t-il « rejet » ?

b) Donner le sens de variation de f sur [ ; ]0 30 et dresser le tableau de variation de f .

� Quelle doit être la durée en jours de la croisière pour qu’il y ait saturation ?

� Déterminer sur quelle période le niveau de satisfaction des clients est supé-rieur ou égal à 80 % de la saturation.



3Notion de continuité sur un intervalle. Résolution d’équations du type f (x) = k

Objectifs du chapitre

� Définir la notion de fonction continue de manière « intuitive ».

� Utiliser la propriété des valeurs intermédiaires pour trouver, à l’aide d’une cal-culatrice, des solutions approchées aux équations du type " ( ) ".f x k=

Pour débuter

Fuite de gaz

Suite à un accident industriel, un gaz se répand dans un local d’usine. L’évolution

du taux de gaz dans l’air peut être modélisée par la fonction f définie sur l’in-

tervalle 0; +∞ par f xx x

( )( )

=+

−+

32 1

3

2 1 2 où x est le nombre de minutes

écoulées depuis l’accident et f x( ) le taux de gaz dans l’air exprimé en parties

pour million (ppm).

On appelle Cf la courbe représentant la fonction f dans un repère orthogonal

du plan (unités graphiques : 1 cm pour 1 min en abscisse et 1 cm pour 0,1 ppm

en ordonnée).

Partie A

� a) Soit f ' la fonction dérivée de f . Montrer que, pour x ≥ 0, la fonction

dérivée s’exprime parf xx

x'( )

( )

( ).= −

+

6 1 2

2 1 3

b) Étudier le sens de variation de la fonctionf et dresser son tableau de va-

riation sur l’intervalle [ ; ].0 15

c) Au bout de combien de temps le taux de gaz est-il maximal ? Quel est ce taux maximal ?

� Tracer la courbeCf sur l’intervalle [ ; ].0 15 � Le taux de gaz dans l’air est négligeable lorsqu’il est inférieur ou égal à

0,10 ppm. Au bout de combien de minutes le taux de gaz est-il devenu négligeable ?

A

B

Activité 3



� On considère que le gaz a un effet irritant pour l’organisme si le taux dépasse 0,62 ppm pendant plus d’une minute.

Déterminer si le personnel de l’usine a été affecté ou non par la fuite de gaz.

Partie B

� a) Déterminer, à l’aide du graphique, le signe de f x( ) pour x ∈[ ; ].0 15

b) À l’aide des résultats de la partie A, donner le nombre de solutions des équations :

f x( ) = 0 f x( ) ,= 0 5 f x( ) ,= 0 75 f x( ) ,= 0 80 � À l’aide du graphique et de la calculatrice déterminer les images par f des

cinq intervalles suivants :

[ ; , ]0 0 3 [ , ; , ]0 3 0 5 [ , ; , ]0 3 0 7 [ , ; ]0 3 1 [ ; ]1 5

Tarifs postauxLa majorité des tarifs postaux ont augmenté le 1er juillet 2011.Les tarifs pour l’envoi d’une lettre prioritaire vers la France Métropolitaine sont indiqués dans un tableau.

� Soit f la fonction donnant le prix à payer (en €) pour l’envoi d’une lettre prio-ritaire, en fonction de son poids x exprimé en grammes.

Poids Tarifs nets en eurosJusqu’à Vers France Métropolitaine

20 g 0,6050 g 1,00

100 g 1,45

250 g 2,40

500 g 3,25

1 kg 4,20

2 kg 5,50

3 kg 6,40

Recopier et compléter le tableau suivant :

x 10 18 20 23 46 50 56 100 123 250f (x)

� Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [ ; ].0 250

� Que peut-on dire de la fonctionf sur chacun des intervalles suivants ?

] ; ]0 20 ] ; ]20 50 ] ; ]50 100 ] ; ]100 250

� Déterminer les images par f des six intervalles suivants :

] ; ]0 20 ] ; ]0 50 ] ; ]50 250 [ ; ]100 200 [ ; ]150 200 [ ; ]100 500

Activité 4



Cours

1. Continuité d’une fonction sur un intervalleOn donne les courbes représentatives de cinq fonctions (voir figure 10).

b

a

1

ba c

2

ba c

3

bba

4

a

5

On observe que les courbes 1 et 5 peuvent être tracées « d’un seul trait »

alors que pour tracer les courbes 2 3 4, et il est nécessaire de « lever le crayon ».

Les fonctions représentées en 1 et 5 sont dites continues sur l’intervalle

[ ; ].a b

Les fonctions représentées en 2 3 4, et ne sont pas continues sur l’intervalle

[ ; ].a b

La fonction représentée en 2 est continue sur l’intervalle [ ; [a c et sur l’intervalle

] ; ].c b Le réel c n’a pas d’image.

La fonction représentée en 3 est continue sur l’intervalle [ ; [a c et sur l’intervalle

] ; ].c b Le réel c a pour image 0.

La fonction représentée en 4 est continue sur l’intervalle [ ; ]a 0 et sur l’intervalle

] ; ].0 b

Remarque

Définition 5

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.On dit que f est une fonction continue sur l’intervalle I lorsque sa courbe représentative peut se tracer d’un trait continu, c’est-à-dire sans « lever le crayon ».

C

Figure 10



Propriété 4 (admise)

Les fonctions dites « usuelles » sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.

Illustrons cette propriété en donnant quelques exemples.

f est définie par Intervalle(s) où f est continue

x ax b� + �

x ax bx c� 2 + + �

x ax bx cx d� 3 2+ + + �

xax

�

] ; [−∞ 0 et ] ; [0 +∞

xax bcx d

�++

−∞ −

;

dc

et

− +∞

dc

;

x x� [ ; [0 +∞

Dans les séquences 4 et 5 de nouvelles fonctions continues seront étudiées ("exp" "ln").et

On peut énoncer une autre propriété pour reconnaître si une fonction est conti-nue ou non sur un intervalle I.

Propriété 5

Si u et v sont deux fonctions continues sur un intervalle I, alors la somme u v+ et le produit uv sont continus sur I.

2. Dérivabilité et continuitéUn critère pour savoir si une fonction est continue sur un intervalle est le critère de la dérivabilité.On admet la propriété suivante.



Propriété 6

Si une fonction est dérivable sur un intervalle alors elle est continue sur cet intervalle.

Une fonction peut être continue sur un intervalle sans qu’elle soit dérivable sur ce même intervalle. Donnons quelques exemples de fonctions continues sur un intervalle I et qui ne sont pas dérivables pour tout x de I.

Donnons deux exemples de fonctions connues qui sont continues et qui ne sont

pas dérivables en x = 0.

f x x: � pour x ≥ 0 f x x: � pour x réel

Figure 11 Figure 12

La fonction f x x: � est continue sur l’intervalle I = +∞[ ; [0

(voir figure 11).

Rappel (chapitre 2)

La fonction f x x: � n’est pas dérivable en 0.

f x x abs xx x

x( ) ( )= = =

≥−

notationcalculatrice

si��

0

ssi x ≤

0.

La courbe de la fonction « valeur absolue » est formée de deux

demi-droites (voir figure 12).

On a lim( ) ( )

lim lim .h h h

f h fh

hh h→ → →+ + +

−−

= =0 0 0

00

1

Lorsque h� 0+ cette limite n’est pas finie.La fonction « racine carrée » n’est pas déri-vable en 0.

La tangente à la courbe au point O( ; )0 0 est ver-ticale et on sait qu’une droite verticale n’admet pas de coefficient directeur.La tangente à la courbe en O( ; )0 0 a pour équa-tion x = 0.

� La fonction f est continue sur �. �

lim( ) ( )

lim lim ;

lim

h h h

h

f h fh

h

hhh→ → →

→

+ + +

−−

= = =0 0 0

00

1

00 0 0

00

1− − −

−−

= = − = −→ →

f h fh

h

hh

hh h

( ) ( )lim lim .

On aurait deux nombres dérivés distincts en 0, ce qui est impossible. La fonction « abs » n’est pas dérivable en 0.

� Exemple 9

La réciproque de la propriété 6 est fausse.



La cycloïde (ou roulette de Pascal)Cet exemple nous montre une courbe « commune » selon le terme employé par Pascal.

Histoire de la roulette

Histoire de la roulette appelée autrement trochoïde ou cycloïde, où l’on rapporte par quels degrés on est arrivé à la connaissance de cette ligne.La roulette est une ligne si commune, qu’après la droite et la circulaire, il n’y en a point de si fréquente ; et elle se décrit si souvent aux yeux de tout le monde, qu’il y a lieu de s’étonner qu’elle n’ait point été considérée par les anciens, dans lesquels on n’en trouve rien : car ce n’est autre chose que le chemin que fait en l’air le clou d’une roue, quand elle roule de son mouvement ordinaire, depuis que ce clou commence à s’élever de terre jusqu’à ce que le roulement continu de la roue l’ait rapporté à terre, après un tour entier achevé : supposant que la roue soit un cercle parfait, le clou un point dans sa circonférence, et la terre parfaitement plane.

A F

C

D

L

GB

YZ

Extrait des œuvres complètes de Blaise Pascal(1623 – 1662) Tome troisième - Édition de 1880.

Fig. 53

La cycloïde est la trajectoire décrite par un point fixe d’un cercle qui roule sur une droite sans glisser (par exemple une marque faite sur une roue de vélo).

On admet que la tangente à la courbe au pointO(0 ; 0) est verticale. Comme elle n’a pas de coefficient directeur cela signifie que la fonction qui cor-respond à la courbe tracée sur la figure 13 n’est pas dérivable en 0.

y

x

–1

0 π 2π

1

2

Figure 13

La courbe de la figure 13 est la courbe décrite par un point fixe lorsqu’un cercle de rayon 1 fait un tour. L’ordonnée maximale atteinte est égale à 2 : c’est la longueur du diamètre (voir Fig. 53).

� Exemple 10



Si le cercle de rayon 1 fait plusieurs tours on obtient une courbe comme celle de la figure 14.Cette courbe est «périodique ».La « fonction » qui correspond à la courbe tracée n’est pas dérivable en

− −4 2 0 2 4π π π π, , , , , .etc

Tous ces points ont une ordonnée nulle.

Pour x x x x x= − = − = = =3 0 3π π π π, , , , , .etc le nombre dérivé est égal à 0.y

x0 2ππ 4π3π–3π–4π –π–2π

1

2

Figure 14

La fonction est continue car le tracé de la cycloïde se fait « sans lever le crayon ». Aux points d’abscisse x k= × 2π , où k est un entier relatif, la fonction n’est pas dérivable.

3. Image d’un intervalle par une fonction continue

La fonction f définie dans l’activité 3 par f xx x

( )( )

=+

−+

32 1

3

2 1 2 est continue

sur l’intervalle 0; .+∞ Par cette fonction continue l’image d’un intervalle

semble toujours être un intervalle. On note aussi que deux intervalles distincts

peuvent avoir la même image par f.

La fonction f définie dans l’activité 4 sur l’intervalle ] ; ]0 250 n’est pas continue sur cet intervalle. On a vu que l’image d’un intervalle n’est pas en général un intervalle.

Propriété 7 (admise)

L’image d’un intervalle par une fonction continue est toujours un intervalle.

L’étude de la cycloïde n’est pas au programme de terminale ES.



L’image d’un intervalle [ ; ]a b peut être différente de [ ( ) ; ( )]f a f b et de

[ ( ) ; ( )].f b f a

Dans l’activité 4 on a f f f[ , ; ] ( , ); ( )0 3 1 0 3 1( ) ≠ et f f f[ , ; ] ( ); ( , ) .0 3 1 1 0 3( ) ≠

Remarque

4. Continuité et équation f (x) = k

� Cas d’une fonction continue et non monotone sur un intervalle I.

Soit f la fonction définie sur l’intervalle

I = − 3 4 ; par f x x x x( ) .= − − +13

12

232

3 2

On désigne parCf la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan.

� Déterminer la fonction dérivée de f et étudier son signe. Dresser le tableau de variation de f .

� On donne la courbe Cf obtenue sur l’écran d’une calculatrice (voir figure 15).

a) Donner graphiquement le nombre de solutions de l’équation f x( ) .= 0

Vérifier que l’une des solutions est un nombre entier.

Encadrer les autres solutions par deux entiers consécutifs.

b) Donner, d’après la courbe obtenue sur l’écran, un encadrement d’amplitude 0,5 des solutions non entières.

c) Trouver, à l’aide de la calculatrice, un encadrement d’amplitude 0,1 des solu-tions non entières.

� Donner le nombre de solutions de l’équation f x k( ) = pour

k ∈ − − − −

8 2116

1 083

416

7; ; ; ; ; ; ; .

� La fonction dérivée f ' est définie sur I = −[ ; ]3 4 par f x x x'( ) .= − −2 2

Le trinôme x x2 2− − a pour racines x x' '' .= − =1 2et La dérivée s’annule pourx = −1 et pour x = 2.

Le trinôme x x2 2− − est positif à l’extérieur des racines et négatif à l’intérieur.

Ainsi f x'( ) > 0 pour x ∈ − − ∪[ ; [ ] ; ]3 1 2 4 et f x'( ) < 0 pour x ∈ −] ; [.1 2

� Exemple 11

Figure 15

� Solution



Dressons le tableau de variation de la fonction f.

x –3 –1 2 4

x ≥ 0 + 0 – 0 +

f x'( )

f ( )−1 f ( )4

f ( )−3 f ( )2

f ( )− = −3 6 f ( )2116

= −

f ( )− =183

f ( )4416

=

� a) La courbe Cf coupe l’axe des abscisses en trois points.

L’équation f x( ) = 0 admet donc 3 solutions. La solution entière est x = 3 car

f ( ) .3 0=

Appelons α la solution négative non entière et β la solution positive non en-tière.

L’écran nous montre que − < < −3 2α et 0 1< <β .

b) L’écran nous permet de donner un encadrement plus précis.

Ainsi − < < −2 5 2, α et 0 5 1, .< <β

c) Après quelques essais la calculatrice nous donne :

� f ( , ) , ...− = −2 2 0 069 et f ( , ) , .− =2 1 0 408 On a − < <0 069 0 0 408, ... , soit

f f f( , ) ( ) ( , ).− < < −2 2 2 1α

La fonction f est strictement croissante sur [ ; [− −3 1 d’où − < < −2 2 2 1, , .α

� f ( , ) ,0 6 0 192= et f ( , ) , ...0 7 0 030= − On a − < <0 030 0 0 192, ... , soit

f f f( , ) ( ) ( , ).0 7 0 6< <β

La fonction f est strictement décroissante sur [ ; ]−1 2 d’où 0 6 0 7, , .< <β

� Pour trouver le nombre de solutions de l’équation f x k( ) = on compte le nombre de points d’intersection de la courbe Cf avec la droite « horizon-tale » d’équation y k= .

D’après le tableau de variation, la courbe sur écran et les valeurs trouvées on obtient le tableau suivant :

k – 8 – 2 −11

6 – 1 0

8

3

41

6 7

Nombre de solutions de f x k( ) .= 0 1 2 3 3 2 1 0

Ceci nous montre que, si f est une fonction continue et non monotone sur un intervalle, alors l’équation f x k( ) = peut avoir plusieurs solutions.



� Cas d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I.

Soit g la fonction définie sur l’intervalle I = − 2 2; par g x x x( ) .= + +3 2 1

On désigne par Cg la courbe représentant la fonction g dans un repère du plan.

� Déterminer la fonction dérivée de g et étudier son signe. Dresser le tableau de

variation de g.

� La courbe Cg , obtenue sur l’écran d’une calculatrice, est sur la figure 16.

a) Donner graphiquement le nombre de solu-tions de l’équation g x( ) .= 0

b) Encadrer la solution par deux entiers consécutifs.

c) À l’aide de la calculatrice, trouver un encadrement d’amplitude 0,01 de cette solution.

� Donner le nombre de solutions des équations g x k( ) = pour

k ∈ − − −{ ; ; ; ; ; ; .12 11 2 0 4 13 16}

� Résoudre le système d’inéquations − ≤ ≤2 1g x( ) .

� La fonction dérivée g ' est définie sur I = − 2 2 ; par g x x'( ) .= +3 22

Pour tout x réel on a 3 2 02x + > et la fonction g est strictement croissante sur

I = −[ ; ].2 2

Dressons le tableau de variation de la fonction g.

x –2 2

g x'( ) + 0

g x( ) 13

–11

� a) La courbe Cg coupe une seule fois l’axe des abscisses. L’équation g x( ) = 0 admet une seule solution.

b) Appelons α la solution de l’équation g x( ) .= 0

L’écran de la calculatrice nous montre que le réel α qui vérifie g( )α = 0 est tel

que − < <1 0α .

c) La calculatrice nous donne, après quelques essais :

g( , ) ,− = −0 5 0 125 et g( , ) , .− =0 4 0 136

g( , ) ,− = −0 46 0 017 336 et g( , ) , .− =0 45 0 008 875

Ainsi g g g( , ) ( ) ( , ).− < < −0 46 0 45α

� Exemple 12

Figure 16

� Solution



La fonction g est strictement croissante sur I = − 2 2 ; d’où − < < −0 46 0 45, , .α

� Pour trouver le nombre de solutions de l’équation g x k( ) = on compte le nombre de points d’intersection de la courbeCg avec la droite « horizon-tale » d’équation y k= .

D’après le tableau de variation et le tableau de valeurs de la calculatrice on obtient :

k –12 – 11 –2 0 4 13 16

Nombre de solutions de g x k( ) .= 0 1 1 1 1 1 0

Sur cet exemple, où g est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I,

l’équation g (x) = k admet, soit 0 solution, soit 1 solution.

� La fonction g est strictement croissante sur [ ; ]−2 2 et on sait que

g g( ) ( ) .− = − =1 2 0 1et

L’ensemble des réels x tels que − ≤ ≤2 1g x( ) est donc l’intervalle [ ; ].−1 0

Cas général

f est continue et strictement croissante sur l’intervalle I a b= ; , avec a b< .

f est continue et strictement décroissante sur l’intervalle I a b= ; , avec a b< .

Point de vue graphique

f(a)f(I)

x0

f(b)y = k

a

b

Figure 17a

f(a)

f(I)

x0

f(b)

y = k

a

b

Figure 17b

Tableau de variation et stricte monotonie sur un intervalle I a b= ; , avec a b< .

x a x0 b

f x( )

f a( )

k f b( )

x a x0 b

f x( )

f a( )

k

f b( )

Le fait que f soit continue et strictement croissante sur I se traduit par une flèche qui « monte ».

Le fait que f soit continue et strictement décroissante sur I se traduit par une flèche qui « descend ».



On peut observer que lorsque f est strictement monotone sur I il existe, pour

tout réel k compris entre f a( ) et f b( ), un réel x0 unique tel que a x b≤ ≤0

et f x k( ) .0 =

Ceci revient aussi à dire que x0 est l’unique antécédent de k dans l’inter-

valle I = [ ; ].a b

Propriété 8 dite « propriété des valeurs intermédiaires »

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un in-tervalle I. � Pour tout réel k f∈ ( )I il existe un réel x , et un seul, tel que x ∈I et

f x k( ) .=

Autre énoncé� Pour tout réel k f∈ ( ),I l’équation f x k( ) = admet une solution unique dans I.

On est assez souvent amené à utiliser cette propriété dans le cas particulier

où I = [ ; ]a b avec f a( ) et f b( ) de signes contraires. La valeur k = 0 est

alors une valeur intermédiaire entre f a( ) et f b( ) ; ainsi l’équation f x( ) = 0

admet une solution unique dans I.

Propriété 9

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un in-

tervalle II = [ ; ].a b

Si f a f b( ) ( )× < 0 alors l’équation f x( ) = 0 admet

une solution unique dans [ ; ].a b Pour pouvoir utiliser la propriété des valeurs intermédiaires il faut que la fonc-tion soit continue et strictement mono-tone sur I (continue et monotone ne suffit pas).

Voici le tableau de variation d’une fonction f définie et continue sur l’intervalle

I = [ 4 ; 6].−

x –4 –2 1 6

f x( )2

–1

3

0

� Exemple 13



Déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

� f x( ) = −2 � f x( ) = 0 � f x( ) ,= 2 5 � f x( ) .= 3

� Le minimum de f sur I est égal à – 1 pour x = −2.

L’équation f x( ) = −2 n’a pas de solution dans I.

� � Sur − − 4 2 ; la fonction f est continue, strictement décroissante et

f − − ( ) = − 4 2 1 2 ; ; . Comme 0 1 2∈ −[ ; ], l’équation f x( ) = 0 admet une solution unique dans

[ ; ].− −4 2

� Sur [–2 ; 1] la fonction f est continue, strictement croissante et

f [ ; ] [ ; ].−( ) = −2 1 1 3

Comme 0 1 3∈ −[ ; ], l’équation f x( ) = 0 admet une solution unique dans [–2 ; 1].

� Sur 1 6 ; la fonction f est continue, strictement décroissante et

f [ ; ] [ ; ].1 6 0 3( ) =

Comme 0 0 3∈[ ; ], l’équationf x( ) = 0 admet une solution unique dans [1 ; 6].

En conclusion, l’équation f x( ) = 0 admet trois solutions dans I.

� � Sur [–4 ; –2] le maximum de f est égal à 2. L’équation f x( ) ,= 2 5 n’a pas de solution dans cet intervalle.

� Sur − 2 1 ; la fonction f est continue, strictement croissante et

f [ ; ] [ ; ].−( ) = −2 1 1 3

Comme 2 5 1 3, [ ; ],∈ − l’équation f x( ) ,= 2 5 admet une solution unique dans

− 2 1 ; .

� Sur 1 6 ; la fonctionf est continue, strictement décroissante et

f [ ; ] [ ; ].1 6 0 3( ) =

Comme 2 5 0 3, [ ; ],∈ l’équationf x( ) ,= 2 5 admet une solution unique dans [1 ; 6].

En conclusion, l’équation f x( ) ,= 2 5 admet deux solutions dans I.

� Le maximum de la fonction f est égal à 3 pour x = 1.

L’équation f x( ) = 3 admet une solution unique dans I.

� Solution



5. Recherche d’une solution approchée de l’équation f (x) = k

On reprend la fonction f de l’exemple 11 définie sur l’intervalle I = − 3 4 ; par

f x x x x( ) .= − − +13

12

232

3 2

� Trouver un encadrement d’amplitude 0,001 des deux solutions non entières

de l’équation f x( ) .= 0

� On sait que l’équation f x( ) = −2 admet une solution dans I. Déterminer, à

l’aide la calculatrice, un encadrement d’amplitude 0,001 de la solution. En

déduire une valeur arrondie au millième de la solution.

� � Soit α la solution négative de l’équation f x( ) .= 0 On sait déjà que

− < < −2 2 2 1, , .α

D’après la calculatricef ( , ) , ...− = −2 187 0 004 et f ( , ) , ...− =2 186 0 000 6

On a − < <0 004 0 0 000 6, ... , ... soit f f f( , ) ( ) ( , ).− < < −2 187 2 186α

La fonction f est strictement croissante sur [ ; [− −3 1 d’où − < < −2 187 2 186, , .α

� Soit β la solution positive et non entière de l’équationf x( ) .= 0 On sait déjà

que 0 6 0 7, , .< <β

D’après la calculatrice f ( , ) , ...0 686 0 000 3= et f ( , ) , ...0 687 0 001= −

On a − < <0 001 0 0 000 3, ... , ... soit f f f( , ) ( ) ( , ).0 687 0 686< <β

La fonctionf est strictement décroissante sur [ ; ]−1 2 d’où 0 686 0 687, , .< <β

� Appelons γ la solution de l’équation f x( ) .= −2

Après quelques essais, la calculatrice nous donne : f ( , ) , ...− = −2 525 2 003 et

f ( , ) , ...− = −2 524 1 997

On a − < − < −2 003 2 1 997, ... , ... soit f f f( , ) ( ) ( , ).− < < −2 525 2 524γ

La fonctionf est strictement croissante sur [ ; [− −3 1 d’où − < < −2 525 2 524, , .γ

On détermine, en calculant f ( , ),−2 524 5 si γ est plus proche de −2 525, ou de

−2 524, .

Calculonsf ( , ) , ...− = −2 524 5 2 000 5 Ainsi f f f( , ) ( ) ( , ).− < < −2 524 5 2 524γ

Une valeur arrondie au millième de γ est −2 524, .

� Exemple 14

� Solution



Exercices d’apprentissage

Soit f la fonction définie pour x ≠ 1 par f xx x x

x( ) = − − +

−

3 22 5 61

et ( )C sa courbe représentative dans un repère du plan.

La courbe ( ),C obtenue sur l’écran d’une calculatrice, est sur la figure 18.

� La fonction f est-elle continue sur �? Que

peut-on dire de la courbe ( )C ?

� Soit g la fonction définie sur � par

g x x x( ) = − −2 6 et ( )P sa courbe représenta-

tive dans un repère du plan.

A-t-on f g= ? La fonction g est-elle continue sur �?

Développer ( )( ).x x x− − −1 62

Que peut-on dire des deux courbes ( )C et ( ) ?P

On veut réaliser, dans le patron suivant, une boîte rectangulaire sans couvercle. Les longueurs sont exprimées en cm.

Fond de la boîte

16

x

x

10

Figure 19

� Quelles sont les valeurs possibles de x ?

� Vérifier que le volume V x( ) de cette boîte est égal à 4 52 1603 2x x x− + .

� a) Déterminer la fonction dérivée de la fonction V et étudier son signe sur

l’intervalle [ ; ].0 5

b) Construire le tableau de variations de la fonction V sur l’intervalle [ ; ].0 5

D

Exercice 6

Figure 18

Exercice 7



c) En déduire la valeur de x pour laquelle le volume est maximal et donner la valeur du maximum.

� Déterminer un intervalle [ ; ]a b tel que, pour tout x de [ ; ],a b le volume de la boîte soit supérieur ou égal aux trois-quarts du volume maximal. On cherche-ra les réels a b et sous forme de nombres décimaux ayant deux décimales.

On considère la fonction f définie sur � par f x xx

( ) .= + ++

12

12

La figure 20 montre, sur un écran de calcu-latrice, la courbe C représentant la fonction f sur un intervalle restreint I = − 2 35 2 35, ; , .

� Conjecturer le sens de variation de f sur l’intervalle I.

� Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

x – 2 – 1 0 0,3 0,5 0,75 1 2

f x( )

Que faut-il penser de la conjecture ?

� Donner, d’après la calculatrice, le nombre de solutions de l’équation f x( ) .= 0

Trouver un encadrement d’amplitude 10 2− de cette solution, notée α.

� Donner, d’après la calculatrice, le nombre de solutions de l’équation f x( ) , .= 1 5

Trouver un encadrement d’amplitude 10 2− de cette solution, notée β.

� Soit A le point de la courbe C d’abscisse a = 0 et TA la tangente à la courbe en ce point.

Déterminer une équation de la tangente TA (elle est tracée sur la figure 20).Conjecturer puis déterminer les positions relatives de la courbe C et de la tan-gente TA.

� Une autre droite ( )D est tracée sur la figure 20 ; il semble que la courbe C soit située au-dessus de cette droite.

Donner, d’après la figure, une équation de ( )D et démontrer que, pour tout réelx , la courbe C est située au-dessus de ( ).D Encadrer la fonction f par deux fonctions affines.

Exercice 8

Figure 20



4 Synthèse de la séquence

� Une fonction f est dérivable en a si la limite, quand h tend vers zéro, du

rapport f a h f a

h( ) ( )+ −

est finie.

On note alors cette limitef a'( ).

� Équation de la tangente en A a f a( ; ( )) :

y f a x a f acoefficientdirecteur

= × − +'( ) ( ) ( )� ou y f a f a− =( ) '( )

différence entredeux ordonnées

co��

eefficientdirecteur

différenceentre deuxa

� × −( )x a

bbscisses

�� .


x k� x � 0 �

xx

�1

x

x� − 1

2

] ; [ ] ; [−∞ ∪ +∞0 0

x x� x

x�

1

2

0 ; +∞

x xn�� (n entier naturel non nul)

x n xn-1��

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I et k un réel.

Somme ( )' ' 'u v u v+ = +

Produit

( )' ' 'uv u v uv= +

Cas p

artic

ulie

rs ( ) ''ku ku=

u u u uu2 2( ) = × =' ( )' '

Quotient

uv

u v uv

v

= −' ' '2

Si, pour tout x de I,

v x( ) .≠ 0

Cas p

artic

ulie

rs 12v

v

v

= −' '

kv

k v

v

= −' '

2



� f x'( ) = 0 sur I équivaut à f est constante sur I. � f x'( ) ≥ 0 sur I équivaut à f est croissante sur I.

� f x'( ) ≤ 0 sur I équivaut à f est décroissante sur I.

� Si la dérivée de f s’annule en x0 en changeant de signe alors la fonc-tion f admet un extremum en x0.

� Une fonction f est continue sur un intervalle I si sa courbe représentative peut se tracer sans « lever le crayon ».

� Une fonction dérivable sur un intervalle est toujours continue sur cet intervalle. La réciproque de cette propriété est fausse : une fonction peut être continue sans être dérivable.

� L’image d’un intervalle par une fonction continue est toujours un intervalle.

� Si f est une fonction continue et non monotone sur un intervalle I , l’équation

f x k( ) = peut avoir plusieurs solutions.Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle

I , l’équation f x k( ) = peut avoir au plus 1 solution (c’est-à-dire 0 ou 1).Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I.

Pour tout réel k f∈ ( )I il existe un réel x, et un seul, tel que x ∈I et f x k( ) =

[c’est-à-dire que l’équation f x k( ) = admet une solution unique dans I ].

� Pour trouver un encadrement d’amplitude 0,01d’une solution « non évidente »

α de l’équationf x k( ) = on cherche, à l’aide de la calculatrice, deux réels c et

d tels que f c f f d( ) ( ) ( )< <α avec f k( ) .α = Suivant que f est croissante ou

décroissante on obtient, soit c d< <α avec d c− = 0 01, , soit d c< <α avec

c d− = 0 01, .

Bien entendu l’amplitude demandée n’est pas toujours égale à 0,01 (elle peut être 0,1 ; 0,001 ; etc.).



5 Exercices de synthèse

Soit f la fonction définie sur� par f xx

( ) =2

2 et � sa courbe représentative

dans un repère orthonormal d’origine O dont l’unité graphique est égale à 2 cm. La courbe � est tracée sur la figure 21.

Le point K a pour coordonnées (0 ; 2,5).Soit a un réel positif ou nul et A un point mobile de la courbe � d’abs-cisse a.

Partie A – Recherche d’un mi-nimum

� Calculer la longueur KA dans les cas suivants :

a = 0 a = 1

a = 2 a = 5.

� Conjecturer le sens de variation de

la longueur KA sur les intervalles

0 5;

5 ; .+∞

� Exprimer KA en fonction de a.

� On pose, pour x d x x x≥ = − +0 6 254 2, ( ) . a) Étudier le sens de variation de la fonction d sur l’intervalle 0 ; .+∞

b) En déduire pour quelle valeur de a la distance du point A au point K est la plus petite.

c) Calculer la distance minimale KA.

Rappel : Dans un repère orthonormal la distance

entre deux points A x y B x yA A B B( ; ) ( ; )et est

AB x x y yB A B A= − + −( ) ( ) .2 2

� y f x

x= =( )2

2

Exercice I

x

0 1

1

y

–1–2–3 2a–a

AB

K

3

2

3

4

5

�

Figure 21



Partie B – Recherche d’un maximum

On appelle B le symétrique du point A par rapport à l‘axe des ordonnées.

� Justifier que le point B se trouve sur la courbe � .

� Calculer l’aire du triangle ABK dans les cas suivants

a = 0 a = 1 a = 2 a = 5.

� Conjecturer le sens de variation de l’aire du triangle ABK sur les intervalles

0 5;

5 ; .+∞

� Exprimer l’aire du triangle ABK en fonction de a (on distinguera deux cas :

0 5 5≤ ≤ ≥a apuis ).

� On s’intéresse maintenant au cas où 0 a 5≤ ≤ et on pose g a ABK( ) aire( ).=

a) Vérifier que g aa

a( ) ( ).= −2

5 2

b) Déterminer sur un tableur les valeurs de g a( ) en prenant un pas de 0,1 entre

deux valeurs consécutives de a. Que peut-on en déduire ? Conjecturer la varia-

tion de l’aire du triangle ABK lorsque a ∈

0 5; .

c) Soit g xx

x x( ) ( ) .= − ≤ ≤2

5 0 52 pour

Déterminer la fonction dérivée de la fonction g. En déduire la valeur exacte de x

pour laquelle la fonction g est maximale.

d) Déterminer l’aire maximale du triangle ABK en précisant pour quelle valeur exacte de a elle est obtenue.Donner une valeur arrondie au centième de cette aire maximale.

Dans un hôpital, deux parties sont à des niveaux différents, le dénivelé étant de un mètre. On désire créer une rampe d’accès reliant les deux plates-formes. On écarte la solution la plus simple qui consisterait à relier les deux niveaux par une rampe au profil rectiligne (voir schéma).

1 m

A

4 mO

Niveau inférieur

Niveau supérieur

En effet, cette solution est rejetée car les raccordements aux extrémités sont ju-gés trop brutaux et peuvent engendrer des ennuis pour le transport des patients et pour les matériels.

Exercice II



Un bureau d’études propose une solution dont le profil est donné par une fonc-tion du troisième degré.

On choisit le repère orthonormé ( ; , )O i j� �

dans lequel les coordonnées du point

A sont ( ; ).4 1

On propose comme courbe répondant au problème une courbe C d’équation

y f x ax bx= = +( ) 3 2 avec x ∈ 0 4 ; .

Les raccordements en O et en A imposent que les tangentes à la courbe C en ces deux points soient horizontales.

� Montrer que le couple ( , )a b est solution du système 64 16 1

6 0

a ba b

+ =+ =

.

Calculer les réels a et b et exprimer f x( ) en fonction de x.

� Soit f la fonction, représentée par C , définie sur [ ; ]0 4 par

f x x x( ) .= − +132

316

3 2

a) Calculer la dérivéef ' de f et étudier son signe sur [ ; ].0 4 Donner le tableau de variations de la fonction f .

b) Soit K le point de la courbe C d’abscisse 2 et TK la tangente à la courbe C en ce point. Déterminer une équation de la tangenteTK .

c) Le coefficient directeur de la tangenteTK est aussi appelé pente. Quelle est la

pente p de la tangenteTK , exprimée en pourcentage ?

� On prend comme unité graphique 2 cm. Tracer la courbe C représentative de f ainsi que la tangente au point K .

Conjecturer les positions relatives de la courbeC et de la tangenteTK .

Ce problème a pour objectif d’étudier le prix d’équilibre entre l’offre et la de-mande d’un objet donné, dans une situation de concurrence parfaite.

Partie A – Étude de la demande

On suppose que le prix unitaire qu’acceptent de payer les consommateurs, en

fonction de la quantité x disponible sur le marché, est modélisé par la fonction

g définie sur [ ; ]0 5 par g xx x

( ) .=+ +

50

12

Le prix unitaire g x( ) est exprimé en euros et la quantité x en millions d’objets.

� a) Déterminer la fonction dérivée de g.

b) En déduire les variations de la fonction g et dresser son tableau de variation.

Exercice III



� Soit Cg la courbe représentative de g dans un repère orthogonal du plan.

Déterminer une équation de la tangente ( )T à la courbe Cg au point A d’abscisse nulle.

� Tracer ( )T et Cg (unités graphiques : 2 cm pour une unité en abscisses, 2 cm pour 10 unités en ordonnées).

Partie B – Étude de l’offre

Les producteurs acceptent de fabriquer une quantité x , exprimée en millions

d’objets, si le prix unitaire de l’objet atteint une valeur minimale. On suppose

que ce prix minimal (qui dépend de la quantité x ) est modélisé par la fonction f

définie sur [ ; ]0 5 par f x x( ) .= +54

32 Le prix unitaire f x( ) est exprimé en euros.

� Étudier les variations de f sur [ ; ].0 5

� TracerCf dans le même repère queCg .

Partie C – Recherche du prix d’équilibre

Dans un marché à concurrence parfaite, la « loi de l’offre et de la demande » tend à dégager un prix d’équilibre p0 pour lequel l’offre des producteurs est égale à la demande des consommateurs. On appelle q0 la quantité associée à p0.

� Déterminer graphiquement un encadrement entre deux entiers consécutifs du prix d’équilibre p0 et de la quantité associée q0.

� On pose, pour tout x de [ ; ], ( ) ( ) ( ).0 5 h x f x g x= −

a) Déduire des parties A et B le sens de variation de h sur [ ; ].0 5

b) Montrer que l’équation h x( ) = 0 admet une solution uniqueq0 sur [ ; ].1 2

c) Donner, à l’aide de la calculatrice, une valeur arrondie à10 2− près de q0.

� Donner, à l’aide de la calculatrice, une valeur arrondie à10 2− près du prix

d’équilibre p0.

Partie A

Soit g la fonction définie sur [ ; ]5 80 par g x x x( ) .= − −3 1200 100

� Étudier le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.

� Montrer que l’équation g x( ) = 0 admet une solution unique α sur l’inter-

valle [ ; ].20 40 Donner, en justifiant, une valeur arrondie de α à l’unité près.

� En déduire le signe de g x( ) selon les valeurs de x.

Exercice IV



Partie B

Soit f la fonction définie sur [ ; ]5 80 par f x xx

x( ) .= + + +

501200 50

2 On ap-

pelle ( )C sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan (unités :

1 cm pour 5 unités en abscisse et 1 cm pour 20 unités en ordonnée).

� a) Montrer que, pour tout x de [ ; ], '( )( )

.5 803

f xg x

x=

b) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

� Tracer la courbe ( ).C

� Résoudre graphiquement l’équation f x( ) .= 130 On donnera les valeurs ap-prochées des solutions à l’unité près.

Partie C

Le coût total de fabrication d’une quantité x d’un produit, exprimé en centaines

d’objets, est défini sur [ ; ]5 80 par C xx x x

x( ) = + + +3 250 1200 50

oùC x( ) est

exprimé en milliers d’euros.

Le coût moyen de fabrication par centaine d’objets est donc défini par

C xC x

xM ( )( )

.=

� Déterminer la quantité d’objets à fabriquer, à la centaine près, pour avoir un coût moyen minimum.

� On suppose que le prix de vente d’une centaine d’objets est égal à 130 000 euros.

Déterminer à l’aide de la calculatrice, à l’unité près, le nombre minimum et le nombre maximum d’objets que l’entreprise doit fabriquer pour être rentable.

Partie A – Variation d’une fonction

Soit f la fonction définie pour tout x ∈[ ; ]0 100 par f x x x x( ) .= + + −3 24 6 1

� Déterminer le sens de variation de la fonctionf sur l’intervalle [ ; ].0 100

� a) Calculer f f( ), ( , )0 0 5 et f ( ).1

b) Démontrer que l’équationf x( ) = 0 admet une solution unique α dans l’inter-

valle [ ; ].0 1

c) Montrer que 0 150 0 151, , .< <α

� Déterminer le signe def x( ) pour x appartenant à l’intervalle [ ; ].0 100

Partie B – Taux d’intérêt

� Développer, réduire et ordonner ( ) .1 4+ X

Exercice V



� Dans toute la suite t désigne un taux d’intérêt annuel. Ainsi t = 0 05, corres-

pond au taux de 5 %.

Pour un placement à intérêt composé, on sait que la valeur acquise S4 d’un capital S au bout de quatre années est donnée par S S t4

41= +( ) .

On étudie un deuxième type de placement de la somme S sur une durée de 4

années, dans les conditions suivantes : la somme S est rémunérée au taux t2

pendant la 1re année, au taux t pendant la 2e année, au taux 32t

pendant la 3e

année, au taux 2t pendant la 4e année, mais les intérêts ne sont pas composés,

de sorte qu’on totalise à l’issue des quatre années de placement :

� la somme initiale S ;

� les intérêts de la 1re année, dont le montant est t

S2

;

� les intérêts de la 2e année, dont le montant est t S ;

� les intérêts de la 3e année, dont le montant est 32t

S ;

� les intérêts de la 4e année, dont le montant est 2t S.

a) Quelle somme T4 obtient-on ainsi à la fin des quatre années de placement ?

b) Montrer que la différence S T4 4− s’exprime par S T S t f t4 4− = × × ( ), où f est la fonction de la partie A.

c) Déterminer, en utilisant la partie A, les valeurs det pour lesquelles le deuxième placement est préférable, sur quatre ans, au placement à intérêt composé au taux d’intérêt t .

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Documents

Séquence 2 - tous les cours de l'année en accès gratuit · Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse Fonctions numériques ... Le coefﬁcient directeur de la tangente