Séries Temporelles Avancées Polycopié de Cours

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Université Paris Ouest NanterreMaster EIPMC

Séries Temporelles AvancéesPolycopié de Cours

Laurent FERRARA 1

1EconomiX - Université Paris Ouest Nanterre et Banque de France.Email : laurent.ferrara@u–paris10.fr ou [email protected] web : http://lo.ferrara.free.fr

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Contents

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4 CONTENTS

Chapter 1

Introduction

L’objet de ce cours est de fournir les outils et méthodes nécessaires à l’étude de la dy-namique des séries temporelles économiques et financières. Le cours débute par uneprésentation détaillée et progressive des bases de l’économétrie des séries temporellesstationnaires en rappelant d’abord différents concepts de séries chronologiques (fonctiond’auto-corrélation, stationnarité, tests Ě), puis en dérivant les processus univariés de typeARMA (autorégressifs et moyenne mobile). Le cours se poursuit par l’étude conjointe deplusieurs séries au travers de la présentation des modèles VAR (autorégressifs vectoriels),largement utilisés aujourd’hui en pratique. L’inférence statistique de ce type de mod-èles sera développée et des extensions récentes seront présentées. La plupart des sérieséconomiques et financières étant non stationnaires, la suite du cours est consacrée auxtests de racine unitaire (stationnarité et non stationnarité) ainsi qu’à la théorie de lacointégration et aux modèles à correction d’erreur. Enfin, de nombreuses séries macroé-conomiques et financières étant affectées par des chocs structurels, nous proposons unerevue des différents modèles linéaires à paramètres non constants au cours du temps quipermettent une modélisation plus flexible. Ce cours a une dimension appliquée très im-portante ; chaque chapitre théorique est ainsi systématiquement illustré d’applicationsempiriques à la macroéconomie et à la finance.

Bibliographie sommaire :

Brockwell P.J. et Davis R.A. (1991), Time Series: Theory and Methods, SpringerVerlag.

Hamilton J.D. (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press.Lardic S. et Mignon V. (2002), Econométrie des séries temporelles macroéconomiques

et financières, Economica.Ferrara L. et Guégan D. (2002), Analyser les Séries Chronologiques avec S-Plus : une

approche Paramétrique, Collection " Pratique de la Statistique ", Presses Universitaires

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6 CHAPTER 1. INTRODUCTION

de Rennes, 147 pagesVan Dijk D. et Franses, P.H. (2000), Nonlinear Time Series Models in Empirical Fi-

nance, Cambridge University Press.

Plan du cours :CHAPITRE 1 : Concepts de séries chronologiquesDéfinitions : série temporelle et processus aléatoireStationnarité et transformation des séries temporellesCaractéristiques d’une série temporelleApplication : Faits stylisés de séries d’indices boursiers européens

CHAPITRE 2 : Rappels sur les processus ARMADéfinitions et généralitésCaractéristiques et simulationsSpécification et estimation des processus ARMAValidation des processus ARMAPrévision des processus ARMAQuelques exemples d’application

CHAPITRE 3 : Représentation autorégressive vectorielle VAR(p) d’un processus sta-tionnaire

Représentation canonique et processus d’innovationCaractéristiques et simulationsSpécification et estimation des paramètres d’un processus VAR (MCO, maximum de

vraisemblance)Validation (test du rapport de vraisemblance, critères d’information)PrévisionCausalité et exogénéité dans les processus VARFonction de réponse impulsionnelleUne application empirique : PIB, Inflation et politique monétaire aux Etats-UnisExtensions récentes des processus VAR

CHAPITRE 4 : Tests de racine unitaire et modélisation ARIMAGénéralités sur la non stationnarité des sériesLes tests de racine unitaireProcessus ARIMA univariés et multivariés : définitionsApplication : étude de la stationnarité d’indices boursiers

CHAPITRE 5 : Cointégration et modèles à correction d’erreur

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Concepts de cointégrationCaractéristiques et simulationsReprésentation des séries cointégrées : les modèles à correction d’erreurEstimation des relations de cointégration : méthode d’estimation en deux étapesTests de cointégrationApplication : Cointégration entre la croissance économique et certains secteurs en

France

CHAPITRE 6 : Processus linéaires à paramètres non-constantsQuelques évidences empiriques de non-stabilité dans les sériesProcessus à changements de régimes régis par une variable observable (Ex : processus

à seuil, à transition lisse)Processus à changements de régimes régis par une variable inobservable (Ex : proces-

sus à changements de régimes markoviens)

Dans ce document dédié aux étudiants du cours du M2 EIMPC, nous reprenonsquelques éléments de ce plan du cours, le reste sera traité en cours.

8 CHAPTER 1. INTRODUCTION

Chapter 2

Concepts de série chronologique

2.1 Approche statistique en termes de processusEn statistique, toute tentative de modélisation se fait en introduisant la notion de variablealéatoire. L’approche statistique d’une série chronologique consiste à mettre en place unmodèle statistique qui considère chaque observation xt, pour t = 1, . . . , T , comme laréalisation d’une variable aléatoire Xt(ω), telle que :

Xt : (Ω, F, P ) → (R,B(R)),

où B(R) est la tribu des Boréliens de R.

Definition 2.1.1 Un processus (Xt)t∈Z est une famille de variables aléatoires à valeursréelles indéxée par t ∈ Z.

Pour une valeur de ω fixée dans Ω, la fonction qui associe à chaque date t la réalisationXt(ω) est la trajectoire du processus au point ω. De même, pour une date t fixée dansZ, la fonction qui associe à chaque ω associe la réalisation Xt(ω) est l’état du processusà la date t. L’objectif du praticien va être alors d’identifier le processus ayant généré latrajectoire observée. Cette identification se fera à l’aide d’outils statistiques présentés plusloin dans ce document. En termes mathématiques, cela revient à rechercher un certainω0 ∈ Ω ayant engendré la trajectoire observée.

Si le processus a été spécifié, estimé et validé, on peut alors l’utiliser pour effectuer uneprévision. On construit alors l’estimateur XT (h) qui est le prédicteur de la variable aléa-toire XT+h. Comme tout estimateur, ce prédicteur est à son tour une variable aléatoire,en tant que fonction mesurable de v.a.. Ainsi, XT (h) possède une loi de distribution,qu’il conviendra de spécifier dans la mesure du possible. En utilisant cette v.a., on pourradonc calculer la prévision xT (h) comme étant la réalisation de XT (h), calculée à partirdes données de la trajectoire.

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10 CHAPTER 2. CONCEPTS DE SÉRIE CHRONOLOGIQUE

2.2 Comment se présente l’information dans une tra-jectoire ?

Contrairement à un échantillon, ce qui caractérise une trajectoire (x1, . . . , xT ) issue d’unprocessus est la non indépendance des v.a. (X1, . . . , XT ). En effet, dans la plupart descas en pratique, il existe une forme de dépendance entre les valeurs d’une trajectoire. Enfinance, la valeur d’un actif un jour donné va dépendre d’une certaine manière de la valeurde cet actif les jours précédents. En économie, les séries de PIB, d’investissement, de con-sommation des ménages ou de commerce extérieur pour un certain trimestre dépendentd’un certaine manire des trimestres précédents. On pourrait ainsi multiplier les exemplesde dépendence temporelle au sein d’une série.

2.2.0.1 Domaine temporel

Il existe un outil statistique qui permet de mesurer la dépendence entre deux v.a., il s’agitdu coefficient de corrélation linéaire. La plupart du temps, les praticiens font souventune utilisation extensive de ce coefficient, du fait de sa facilité d’utilisation. Toutefois,quelques précautions d’usage sont à prendre. En particulier, il est bon de rappeler que cecoefficient ne mesure que les dépendances linéaires entre variables, les dépendances nonlinéaires étant exclues. Ensuite, d’autres dépendances sur les moments d’ordre supérieursou égaux à 2 peuvent exister; elles ne sont pas mesurées par ce coefficient. Ainsi, uncoefficient de corrélation égal à zéro n’implique pas, en général, que ces deux variablessont indépendantes, la réciproque étant vraie. Le cas Gaussien en est un contre-exemple.

Cependant, dans la pratique, le coefficient de corrélation linéaire reste utile pour carac-tériser le degré de dépendance d’un processus. En particulier, on utilisera la fonctiond’autocorrélation décrite dans la définition suivante :

Definition 2.2.1 Soit (Xt)t∈Z un processus du second ordre (i.e. : E(X2t ) < ∞).

(i) La fonction moyenne, notée m(.), du processus (Xt)t∈Z est l’espérance non condi-tionnelle du processus, i.e.: m(t) = E(Xt), pour tout t ∈ Z.

(ii) La fonction d’autocovariance au retard k, notée γ(k), du processus (Xt)t∈Z estdéfinie de la manière suivante, pour tout t ∈ Z et k ∈ Z, :

γ(k) = cov(Xt, Xt+k) = E [(Xt − E(Xt))(Xt+k − E(Xt+k))] . (2.1)

(iii) La fonction d’autocorrélation au retard k, notée ρ(k), du processus (Xt)t∈Z, quel’on note ACF (AutoCorrelation Function), est définie de la manière suivante, pour toutt ∈ Z et k ∈ Z, :

ρ(k) =γ(k)

σXtσXt+k

, (2.2)

où σXt est l’écart type du processus au temps t, pour t ∈ Z, tel que : σXt =√

γ(0) .

2.2. COMMENT SE PRÉSENTE L’INFORMATION DANS UNE TRAJECTOIRE ?11

Ainsi, pour un retard k fixé, le nombre ρ(k) ∈ [−1, 1] mesure la corrélation linéaire entreles variables Xt et Xt+k. En particulier, on remarque que ρ(0) = 1. Dans une optiqueprévisionnelle, on s’attachera à mettre en évidence les retards k pour lesquels l’ACF estla plus élevée.

Remarque 2.1 On dit que le processus est centré si m(t) = 0, ∀t.

D’autres mesures de dépendance entre variables existent en statistique. Un outil de diag-nostic intéressant est la fonction d’autocorrélation partielle, que l’on note PACF (PartialACF). La PACF au retard k, notée r(k), est définie pour tout k ∈ Z, de la manièresuivante :

r(k) =cov(Xt −X∗, Xt+k −X∗

t+k)

var(Xt −X∗)1/2var(Xt+k −X∗t+k)

1/2, (2.3)

où, pour tout t, X∗t est la régression affine de Xt sur Xt+1, Xt+2, . . . , Xt+k−1 et X∗

t+k estla régression affine de Xt+k sur Xt+k−1, Xt+k−2, . . . , Xt+1.

Ainsi, pour un retard k fixé, le nombre r(k) est le coefficient de corrélation linéaire entrela variable Xt − E(Xt|Xt+1, Xt+2, . . . , Xt+k−1) et la variableXt − E(Xt+k|Xt+1, . . . , Xt+k−2, Xt+k−1). Ce coefficient mesure en fait la liaison entre lesvariables Xt et Xt+k, une fois que l’on a retranché l’influence des variables intermédiaires.La proposition suivante permet de calculer facilement r(k), pour un retard k fixé.

Proposition 2.1 Le coefficient r(k) défini par l’équation ?? est le coefficient de Xt dansla régression linéaire de Xt+k sur 1, Xt, Xt+1, . . . , Xt+k−1.

Enfin, on rappellera que la connaissance parfaite de la dépendance entre 2 variables n’estpossible qu’avec la connaissance de la jointe du vecteur bivarié. Les outils de type copules,qui sont en train de se développer fortement dans le domaine de la finance permettentune estimation de la loi jointe d’un vecteur en dimension 2.

Dans la pratique, à échantillon fini, on estime la moyenne du processus à l’aide de lamoyenne empirique de la série, définie par XT = T−1

∑Tt=1 Xt. La fonction d’autocovariance

d’un processus au retard k est estimée par la fonction d’autocovariance empirique, γ(.),définie, pour 0 ≤ k < T , par :

γ(k) =1

T

T−k∑t=1

(Xt − XT )(Xt+k − XT ). (2.4)

On remarque que γ(k) est divisée par le nombre total d’observations T , et non pas parT − k. Par conséquent, cet estimateur est biaisé mais la matrice de variance-covariance


estimée Γ = [γ(i− j)]i,j=1,...,T , calculée à partir de cet estimateur, est alors définie positiveet inversible.

De même, l’ACF est estimée par l’ACF empirique, notée ρ(.) et définie, pour 0 ≤ k < T ,par :

ρ(k) =γ(k)

ˆσXt ˆσXt+k

. (2.5)

On remarque également que la matrice de corrélation estimée, R = [ρ(i− j)]i,j=1,...,T , estdéfinie positive.

2.2.0.2 Domaine spectral

Dans ce paragraphe, on effectue quelques rappels sur l’analyse spectrale d’un processusstationnaire et on présente en détail les instructions RATS correspondantes. Pour uneprésentation fouillée des différentes techniques d’analyse spectrale, on se référe à la mono-graphie de Priestley (1981).

On considère toujours le trajectoire finie X1, . . . , XT , issue du processus stationnaire(Xt)t∈Z , de covariance notée γ. La densité spectrale f de ce processus est définie commeétant la transformée de Fourier de la fonction d’autocovariance du processus, i.e., pourtoute fréquence λ appartenant à l’intervalle [0, 2π[ :

f(λ) =1

2π

∞∑k=−∞

γ(k)e−iλk. (2.6)

Le principal outil d’analyse dont on dispose pour estimer empiriquement la densité spec-trale théorique du processus est le périodogramme IT , défini sur l’intervalle [0, 2π[ par:

IT (λ) =1

2πT

∣∣∣∣∣T∑

t=1

e−iλtXt

∣∣∣∣∣2

, (2.7)

En général, on considère des processus centrés pour lesquels la moyenne empirique estnulle. On note que, dans la pratique, les fréquences λ sur l’intervalle [0, 2π[ sont rem-placées par les fréquences de Fourier, λj, définies, pour j = 0, . . . , T−1, par : λj = 2πj/T .

2.3 Comment identifier un processus candidat ?L’ACF fournit une mesure de la persistence ou de la mémoire du processus. A partirde cette information, nous allons chercher quel type de processus permet de reproduire

2.3. COMMENT IDENTIFIER UN PROCESSUS CANDIDAT ? 13

cette persistence. Nous allons caractériser trois de types de mémoire : mémoire longue,mémoire courte et sans mémoire.

Il existe des processus sans mémoire, pour lesquels la v.a. à la date t, Xt, n’est pas corréléeaux v.a. aux dates précédentes Xt−1, Xt−2, . . .. Ce sont les processus de type bruit blancfaible définis ci-dessous.

Definition 2.3.1 Un processus d’ordre 2 (εt)t∈Z est un processus bruit blanc faible si :(i) ∀t, E(εt) = 0(ii) ∀t,∀s, E(εtεs) = σ2

ε × I[t=s]

où I(.) est la fonction indicatrice.

On généralisera la notion de bruit blanc faible à celle de bruit blanc fort en posant que(εt)t∈Z est un processus bruit blanc fort si (εt)t∈Z est un processus indépendant. C’està dire que la v.a. à la date t, εt, est indépendante de toute v.a. à la date s 6= t, εs.Un processus bruit blanc fort est un processus bruit blanc faible, mais, en général, unprocessus bruit blanc faible n’est pas un processus bruit blanc fort (la non-corrélationn’implique pas l’indépendance). Par contre, un processus bruit blanc faible Gaussien estun processus bruit blanc fort.

Le processus bruit blanc est le processus de base à partir duquel tous les processus stochas-tiques sont définis. Le dénomination de bruit vient du fait que ce processus ne contientaucune information, l’information étant représentée par l’auto-corrélation. Ainsi, aucunsignal déterministe ne peut être extrait de ce processus. L’objectif de toute tentative demodélisation statistique étant d’extraire le signal afin qu’il ne reste que le bruit dans lesrésidus du modèle. La qualité d’un modèle statistique de série chronologique se mesure, enpartie, au fait que les résidus forment un bruit blanc. L’adjectif blanc vient de l’analogieavec la lumière blanche pour laquelle le spectre est constant pour toute fréquence, ce quiest le cas d’un bruit blanc pour lequel on montre que la densité spectrale est égale àfε(λ) = σ2

ε

2πpour toute fréquence λ.

Il existe également des processus dont l’ACF est géométriquement bornée et décroit rapi-dement vers zéro, on parle alors de processus à mémoire courte. C’est le cas des processusde type ARMA.

Definition 2.3.2 Un processus est dit à mémoire courte s’il possède une ACF, ρ(k), telleque :

ρ(k) ≤ Cr−k,→∞, (2.8)

où C > 0, 0 < r < 1 et k = 1, 2, . . ..

Les processus ci-dessous sont des exemples de processus à mémoire courte.


Exemple 2.1 Un processus moyenne-mobile d’ordre 1, de la forme suivante :

Xt = εt + θεt−1

où εt est un processus bruit blanc faible, est un processus à mémoire courte. En général,pour des raisons d’inversibilité et d’indentifiabilité le paramètre θ est tel que : |θ| < 1.Pour ce processus, on montre que E(Xt) = 0, et que ρ(1) = θ et ρ(k) = 0 si k > 1.

Exemple 2.2 Un processus autoregressif d’ordre 1, de la forme suivante :

Xt − φXt−1 = εt

où εt est un processus bruit blanc faible, est un processus à mémoire courte. En général,pour des raisons d’inversibilité et de stationnarité (voir ci-après), le paramètre φ est telque : |φ| < 1. Pour ce processus, on montre que E(Xt) = 0, et que r(1) = φ et r(k) = 0si k > 1.

Enfin, si l’ACF est non nulle pour des retards élevés, en pratique de l’ordre de k ≥ 20, ondit que le processus est fortement persistent. Plus formellement, on parle de processus àmémoire longue lorsque l’ACF du processus, ρ(k), décroît comme une fonction puissancede k.

Definition 2.3.3 Un processus est dit à mémoire longue s’il possède une ACF, ρ(k), quiest approchée comme suit:

ρ(k) ∼ Ck−α quand k →∞, (2.9)

où ∼ représente l’équivalence asymptotique, où C > 0 est une constante et où α est unréel appartenant à l’intervalle ]0, 1[.

On remarque alors que la série des autocorrélations est absolument divergente, i.e. :∑∞k=0 |ρ(k)| = ∞. Les processus intégrés fractionnaires de type FARIMA (ou ARFIMA)

permettent de reproduire ce fait stylisé.

Exemple 2.3 Le processus fractionnaire intégré introduit par Hosking (1980) et Grangeret Joyeux (1981) de la forme suivante :

(I −B)dXt = εt

où B est l’opérateur retard tel que B(Xt) = Xt−1 et Bk(Xt) = Xt−k et d est un réelfractionnaire tel que 0 < d < 1, est un processus à mémoire longue.

On remarque également, sans s’étendre sur le sujet que la mémoire des processus seretrouve également dans les caractéristiques de la densité spectrale du processus. Ainsi,la densité spectrale d’un processus bruit blanc est une constante et celle d’un processuslongue mémoire tend vers l’infini lorsque les fréquences tendent vers zéro.

2.4. NON INDÉPENDANT, MAIS IDENTIQUEMENT DISTRIBUÉ ? 15

2.4 Non indépendant, mais identiquement distribué ?Ainsi, en général dans le cas des séries chronologiques, la fameuse hypothèse i.i.d. ne peutplus être effectuée, à cause de la dépendance temporelle du processus (hormis le processusbruit blanc fort). Qu’en est-il de l’hypothèse relative à l’identité de la loi de distribution? En fait, cette hypothèse est nécessaire dans l’étude des processus stochastiques, car onva se reposer dessus pour rendre possible la plupart des calculs. On introduit ci-dessousla notion de processus fortement stationnaire ou stationnaire au sens strict.

Definition 2.4.1 Un processus (Xt)t∈Z est dit fortement stationnaire si, ∀t1, . . . , tn ∈ Z,∀k ∈ Z et n = 1, 2, . . ., la loi du vecteur (Xt1 , . . . , Xtn) est identique à la loi du vecteur(Xt1+k, . . . , Xtn+k), i.e. toutes les lois de dimension finie du processus sont identiques.

En particulier, pour un processus fortement stationnaire les variables Xt, ∀t, sont iden-tiquement distribuées. Un processus particulier, que l’on retrouve souvent en statistique,est le processus Gaussien pour lequel toutes ses lois de dimension finie sont Gaussiennes.En pratique, cette hypothèse de stationnarité forte ne peut pas être testée à l’aide de latrajectoire. On introduit donc une condition de stationnarité moins restrictive qui pourraêtre testée à partir des observations.

Definition 2.4.2 Un processus du second ordre (Xt)t∈Z est dit faiblement stationnaire si:

(i) la moyenne du processus est constante au cours du temps,i.e. : pour tout t ∈ Z, E(Xt) = µ,(ii) la covariance du processus est invariante au cours du temps,i.e. : pour tout t ∈ Z et k ∈ Z, γ(k) ne dépend que de k.

Un processus faiblement stationnaire est également appelé stationnaire au second ordre,stationnaire en covariance ou stationnaire. Si le processus est faiblement stationnaire,l’espérance de chaque variable est identique et on peut alors l’estimer par la moyenneempirique XT . Ainsi, on peut centrer tout processus stationnaire en lui retranchant samoyenne empirique.

Remarque 2.2 Un processus fortement stationnaire est faiblement stationnaire, l’inversen’étant généralement pas vrai. Un contre-exemple est le processus Gaussien pour lequelles deux types de stationnarités sont équivalents.

La stationnarité d’un processus permet ainsi d’estimer les moments non conditionnels dela v.a. XT+h en utilisant les moments empiriques à partir du processus (X1, . . . , XT ).Ainsi, on peut utiliser comme prédicteur naturel de XT+h un estimateur de l’espérancenon conditionnelle E(XT+h), en particulier la moyenne empirique, i.e. : XT+h = XT =T−1

∑Tt=1 Xt. Ainsi, la prévision est alors obtenue, pour tout h, par xT (h) = T−1

∑Tt=1 xt.

De même, on peut utiliser comme prédicteur de XT+h d’autres statistiques qui estiment la


position centrale de la distribution non conditionnelle tels que la médiane et le mode, i.e.: XT+h = Med(X1, . . . , XT ) ou XT+h = Mode(X1, . . . , XT ). Toutefois, on se rend compteque cette prévision est extrêmement grossière car, pour n’importe quel horizon h > 0, leprédicteur est identique, illustrant ainsi que la dynamique du processus n’est pas prise encompte dans ce type de prédicteur. Bien que dans certains cas ce type de prédicteur peutêtre utile en pratique, nous allons chercher à développer des méthodes statistiques visantà renforcer les qualités du prédicteur par intégration de la dynamique du processus.

2.5 Comment caractériser la qualité d’un prédicteur ?

En statistique, les propriétés qui caractérisent un "‘bon"’ estimateur d’une valeur estle fait d’être sans biais et de variance minimale. Dans le cas de la variable XT (h), leprédicteur à la data T pour l’horizon h (h > 0) de XT+h, on introduit la variable d’erreurde prévision à l’horizon h définie par :

eT+h = XT+h − XT (h) (2.10)

La caractéristique principale d’un "‘bon"’ prédicteur XT (h) est de minimiser cette erreurde prévision au sens d’un certain critère. Généralement, 3 critères d’erreur de prévision àl’horizon h sont retenus : l’erreur moyenne (ME, Mean Error), absolue moyenne (MAE,Mean Absolute Error) et quadratique moyenne (MSE, Mean Squared Error).

MRE = E(eT+h) (2.11)

MAE = E(|eT+h|) (2.12)

MSE = E(e2T+h) (2.13)

Evidemment, une mesure de ces critères nécessite la connaissance de la réalisation xT+h

de la v.a. XT+h et ne peut donc se faire qu’a posteriori.

En généralisant l’erreur de prévision au temps T précédente à l’ensemble des temps, onintroduit le processus d’erreur de prévision (et+h)t∈Z tel que : et+h = Xt+h − Xt(h), pourtout t ∈ Z et tout h > 0.

2.6 Prévision par processus linéaires

Les processus linéaires sont particulièrement bien adaptés pour la prévision des sérieschronologiques car ils permettent d’utiliser de manière optimale l’information contenuedans le processus sous la forme d’autocorrélation linéaire.

2.6. PRÉVISION PAR PROCESSUS LINÉAIRES 17

Definition 2.6.1 Un processus (Xt)t∈Z est un processus linéaire s’il admet une décom-position de la forme suivante, ∀t ∈ Z :

Xt =∞∑

i=−∞

aiεt−i, (2.14)

où :(i) les coefficients (ai)i sont absolument sommables, i.e.:

∑∞i=−∞ |ai| < ∞,

(ii) (εt)t est un processus bruit blanc fort.

En fait, la justification de l’utilisation extensive en prévision des processus linéairesprovient du théorème de Wold (1938) qui montre que tout processus fortement station-naire peut s’écrire sous la forme d’un processus linéaire.

Trivialement, un processus non linéaire est un processus qui ne vérifie pas la définition??. Par exemple, un processus tel que

∑∞i=−∞ |ai| = ∞ n’est pas linéaire. Ce type de

processus est connu comme étant un processus fractionnaire à mémoire longue (voir Fer-rara, 2000, et Ferrara et Guégan, 2002). Autre exemple, un processus de la forme ?? maistel que (εt)t est un processus bruit blanc faible n’est pas linéaire. Les processus de typeGARCH appartiennent à cette dernière catégorie.

Si on observe une trajectoire (x1, . . . , xT ) que l’on suppose engendrée par une processuslinéaire (Xt)t∈Z , on connait alors le meilleur prédicteur XT (h), au sens de la plus faibleerreur quadratique moyenne. On note IT l’ensemble d’information apporté par les vari-ables (X1, . . . , XT ), qui est en terme probabiliste la σ-algèbre engendrée par les T v.a..On note MT le sous-espace vectoriel fermé engendré par les variables (X1, . . . , XT ), munidu produit scalaire 〈Xt, Xt′〉 = E(XtXt′). La norme issue du produit scalaire est la normeL2, notée ‖.‖2

L2 .

Proposition 2.2 Le prédicteur XT (h) qui minimise l’erreur quadratique moyenne (MSE)est le prédicteur des moindres carrés définie par :

XT (h) = E(XT+h|IT ),

soit :XT (h) = arg min

Y ∈MT

‖XT+h − Y ‖2L2 , (2.15)

On se réfère à Priestley (1981) et à Brockwell et Davis (1987) pour une preuve de cetteproposition.

Definition 2.6.2 On définit le processus d’innovation (εt)t d’un processus (Xt)t∈Z commeétant l’écart entre la variable Xt au temps t et sa projection sur l’espace vectoriel engendrépar les variables jusqu’au temps (t-1), i.e.:

εt = Xt − E(Xt|It−1)


On montre que le processus d’innovation d’un processus stationnaire est un bruit blancet qu’un processus bruit blanc est son propre processus d’innovation.

Dans le cas d’un processus linéaire, on montre alors facilement que l’erreur de prévisioneT+h est d’espérance nulle, E(eT+h) = 0, et de variance telle que :

E(e2T+h) = σ2

ε

h−1∑i=0

a2i , (2.16)

avec a0 = 1. Par conséquent, sous l’hypothèse supplémentaire de connaissance de la loidu processus d’erreur de prévision, on peut calculer un intervalle de confiance pour laprévision. Par exemple, dans la cas d’un processus Gaussien, on obtient l’intervalle deconfiance suivant pour XT+h, au niveau de confiance 1− α :

XT+h ∈ [XT (h)± t1−α/2σε

√√√√h−1∑i=0

a2i ], (2.17)

où t1−α/2 est le quantile de la loi d’ordre 1− α.

Remarque 2.3 On suppose ici que les paramètres du processus sont connus mais enpratique on utilise les valeurs des paramètres estimés, sans toutefois rajouter d’incertitudesur le prédicteur due à la variabilité des estimateurs.

2.7 Prévision de la densité de distribution

Dans l’intervalle de confiance précédent, la variance de l’erreur de prévision est constanteau cours du temps. Or, il existe de nombreux exemples pour lesquels la variance de l’erreurde prévision que l’on commet peut varier au cours du temps. Ainsi, en économie, il plusfacile d’eefectuer des prévisions lorsqu’on se trouve en période forte croissance plutôt qu’unpériode de retournement conjonturel. De même, la volatilité sur les marchés financiersévolue au cours du temps : il existe des agrégats de volatilité. On peut alors logique-ment penser que, de manière analogue à l’espérance conditionnelle qui est le meilleurprédicteur de XT+h au sens du MSE, la variance conditionnelle de XT+h sachant IT , notéeV (XT+h|IT ), peut être un meilleur prédicteur que la variance non conditionnelle de XT+h,au sens d’un certain critère, car elle va tenir compte de la dynamique du processus. Lavariance étant une mesure du risque associé à la prévision, cela peut être intéressant depouvoir gérer au mieux ce risque. Ainsi, il existe différentes mesures de la variance (voirRiskMetrics). En particulier, les processus de type GARCH vont permettre une modéli-sation et une prévision de la variance conditionnelle d’une série.

2.8. IMPORTANCE DE L’HORIZON DE PRÉVISION 19

De même, en généralisant aux moments supérieurs conditionnels, la loi conditionnellede la v.a. XT+h sachant le passé du processus jusqu’au temps T , notée L(XT+h|IT ),apparaît jouer un rôle fondamental au niveau de la prévision. Pour un processus fortementstationnaire, la loi conditionnelle à tout instant intègre la mémoire du processus et permetainsi une appréciation plus précise que la loi non conditionnelle ou loi historique à uninstant donné. En effet cette dernière n’intégre pas l’information passée. Par exemple, laVaR (Value at Risk) peut être estimée à partir de la loi conditionnelle du processus. Onoppose alors la VaR historique et la VaR conditionnelle. Les méthodes de rééchantillonagede type Bootstrap permettent une estimation de la loi conditionnelle L(XT+h|IT ).

2.8 Importance de l’horizon de prévisionQuel horizon de prévision ? Court, moyen ou long terme ? Si le processus est stationnaire,on montre que la loi de distribution conditionnelle converge vers la loi de distribution nonconditionnelle lorsque l’horizon tend vers l’infini, ie:

L(XT+h|IT )h→∞→ L(X1) (2.18)

Seule la vitesse de convergence différe en fonction de la mémoire de processus. Plus lamémoire d’un processus est courte, plus la vitesse de convergence est grande, et inverse-ment.

Ainsi, lorsqu’on utilise en prévision un processus ARMA, il est particulièrement recom-mandé que l’horizon soit de très court terme (h = 1 ou h = 2). En effet, ce type deprocessus étant à mémoire courte, au bout de quelques pas le prédicteur va être égal à lamoyenne non conditionnelle de la série, ce qui est très peu informatif et toujours décevantpour un praticien. Ainsi, le prédicteur retourne vers la moyenne non conditionnelle trèsrapidement. Si l’on désire effectuer des prévisions sur un horizon de plus long terme, lesprocessus à mémoire longue fournissent une alternative plus intéressante (évidemment sila persistance est présente dans la série).

Exemple 2.4 On considère un processus autoregressif stationnaire d’ordre 1, de moyennenulle, de la forme suivante :

Xt − φXt−1 = εt

où εt est un processus bruit blanc faible et le paramètre φ est tel que : |φ| < 1. Pour toutt, le prédicteur à l’horizon h = 1, noté Xt(1) est donné par

Xt(1) = E(Xt+1|It) = φE(Xt|It) + E(εt+1|It) = φXt.

De même, pour tout h > 0, on montre que :

Xt(h) = phihXt.


Ainsi, lorsque h →∞, Xt(h) converge vers son espérance non-conditionelle E(Xt) (égaleà 0 ici). La vitesse de convergence est ici inversement proportionnelle à la valeur duparamètre autorégressif φ.

Chapter 3

Exemple d’analyse sous RATS

Dans ce chapitre, nous présentons les instructions RATS nécessaires à la mise en oeuvrede l’analyse des séries chronologiques. Une telle analyse doit être systématiquement ef-fectuée, prélablement à la modélisation de la série. Les détails des quelques définitionset propositions énoncées ci-dessous, ainsi que leurs démonstrations, se trouvent dans leslivres traitant de l’analyse des séries chronologiques, tels que les ouvrages de Box et Jenk-ins (1970), Brockwell et Davis (1987), Box, Jenkins et Reinsel (1994) ou Hamilton (1994).

Dans la suite de ce document, on suppose qu’on observe une suite finie de valeurs réelles,notée X1, . . . , XT . On considère cette suite finie de valeurs, de longueur T , comme étantla réalisation d’un processus (Xt)t∈Z du second ordre (i.e. : E(X2

t ) < ∞), et on l’appellela trajectoire du processus. Dans la pratique, on observe uniquement cette trajectoire, eton l’utilise pour faire de l’inférence statistique sur le processus sous-jacent à cette sérieobservée. Il importe donc d’analyser correctement la trajectoire, préalablement à toutetentative de modélisation. Dans un premier temps, on s’intéresse à une analyse temporelled’une série, puis, dans un second temps, à une analyse spectrale.

Afin d’illustrer ce chapitre, on considère la série chronologique mensuelle du taux dechange du Dollar Canadien contre le Dollar US, contenue dans le fichier candata.rat,sous le nom de canusxsr. Cette série commence au mois de janvier 1960 et finit au moisde mars 1990. L’import des données dans RATS se fait à l’aide des commandes suivantes :

calendar 1960 1 12all 90:03open data ’candata.rat’data(format=rats) / canusxsr

Le graphe de cette série présenté sur la Figure 1.1 est obtenu à l’aide de la commandesuivante :

21

22 CHAPTER 3. EXEMPLE D’ANALYSE SOUS RATS

Figure 3.1: Taux de change mensuel Canadian Dollar / US Dollar, de janvier 1960 à mars1990 (série canusxsr).

graph(header="Taux de change Canadian Dollar / US Dollar",key=lol)# canusxsr

3.1 Analyse temporelle

On propose dans ce paragraphe, d’effectuer quelques rappels sur l’analyse temporelle d’unesérie chronologique, et de présenter les instructions RATS permettant de mettre en oeuvrecette analyse.

Le logiciel RATS permet d’obtenir l’autocovariance empirique, l’ACF empirique et laPACF empirique à l’aide de la même instruction correlate. Cette instruction s’utilisede la manière suivante :

correlate(options) série début fin acfsérie

où acfsérie est le nom que l’on donne à la série des autocorrélations ou des autocovari-ances. L’option covariances permet d’obtenir l’autocovariance au lieu de l’ACF (pardéfaut nocovariances) et l’option partial= permet d’obtenir la PACF. De plus, l’optionpar défaut print affiche les séries en sortie et l’option number permet de fixer le nombremaximum de retards.

Par exemple, on s’intéresse à nouveau à la série canusxsr. Plus particulièrement, ons’intéresse à la série des rendements de cette série, définie par Rt = log(Xt) − log(Xt−1),où Xt est la valeur de la série du taux de change au temps t. Ce type de transformationest classique dans l’analyse des séries financières. On obtient et on trace cette série (voirFigure 1.3), que l’on appelle ret, à l’aide des commandes suivantes :

set ret = log(canusxsr)-log(canusxsr1)graph# ret

On obtient les 10 premières valeurs de l’ACF et la PACF de la série des rendements àl’aide de la commande suivante :

3.1. ANALYSE TEMPORELLE 23

Figure 3.2: Rendements de la série du taux de change mensuel Canadian Dollar / USDollar, de janvier 1960 à mars 1990 (série ret).

Figure 3.3: ACF empirique de la série des rendements mensuels du taux de change Cana-dian Dollar / US Dollar.

corr(number=10,partial=retpacf) ret / retacf

Les résultats suivants s’affichent alors sur la fenêtre d’output :

Correlations of Series RETMonthly Data From 1960:02 To 1990:03Autocorrelations1: -0.0529340 -0.0742793 0.0610969 0.0309579 0.0703153 -0.01443317: -0.0224910 0.1140178 0.0385587 0.0326157Partial Autocorrelations1: -0.0529340 -0.0772979 0.0532358 0.0318610 0.0832107 -0.00474417: -0.0164537 0.1018877 0.0451163 0.0520415

On peut tracer l’ACF empirique de la série ret, pour un retard maximum de k = 100, dela manière suivante (voir Figure 1.4) :

corr(noprint,number=100) ret / retacfgraph(nodates,style=bar,header="ACF")# retacf

Dans le Chapitre 2, nous verrons que l’instruction correlate permet également de testerla nullité de l’ACF et de la PACF aux différents retards et de tester la non corrélationd’une série à l’aide du test "Portmanteau" de Ljung-Box.

Les quatre premiers moments de la série sont renvoyés par l’instruction statistics, quipermet ainsi de calculer le skewness (%skewness) et la kurtosis (%kurtosis), respective-ment définis par :

Sk =T 2

(T − 1)(T − 2)

m3

s3, (3.1)

etKu =

T 2

(T − 1)(T − 2)(T − 3)

(T + 1)m4 − 3(T − 1)m22

s4, (3.2)


où s est l’écart-type empirique non biaisé tel que :

s2 =1

(T − 1)

T∑t=1

(Xt − X)2, (3.3)

et le moment d’ordre k, mk, est défini par :

mk =1

T

T∑t=1

(Xt − X)k. (3.4)

On note que la valeur de la variance empirique s2 est légérement différente de la valeurde l’autocovariance empirique au retard k = 0 donnée par l’équation (1.3), car le dénomi-nateur est différent ((T−1) pour la variance empirique et T pour la covariance empirique).

3.2 Analyse spectrale

Dans ce paragraphe, on effectue quelques rappels sur l’analyse spectrale d’un processusstationnaire et on présente en détail les instructions RATS correspondantes.

RATS permet d’estimer la densité spectrale d’un processus à l’aide de la procédurespectrum, contenue dans le fichier SPECTRUM.SRC fourni par Estima. Pour pouvoirutiliser cette procédure, il est donc nécessaire d’importer cette procédure dans la sessionRATS, à l’aide de l’instruction source. Cette procédure s’utilise de la manière suivante :

@spectrum(options) série début fin

Cette procédure utilise la méthode du périodogramme lissé, qu’on se propose de détaillermaintenant.

Le principal outil d’analyse dont on dispose pour estimer empiriquement la densité spec-trale théorique du processus est le périodogramme IT , défini sur l’intervalle [0, 2π[ par:

IT (λ) =1

2πT

∣∣∣∣∣T∑

t=1

e−iλtXt

∣∣∣∣∣2

, (3.5)

En général, on considère des processus centrés pour lesquels la moyenne empirique estnulle. On note que, dans la pratique, les fréquences λ sur l’intervalle [0, 2π[ sont rem-placées par les fréquences de Fourier, λj, définies, pour j = 0, . . . , T−1, par : λj = 2πj/T .

3.2. ANALYSE SPECTRALE 25

RATS permet de traiter des séries à valeurs dans le plan complexe, ce qui autorise le cal-cul du périodogramme, de manière simple, à l’aide de la Transformée de Fourier Rapide(Fast Fourier Transform) que l’on calcule à l’aide de l’instruction fft. Par exemple, lescommandes suivantes permettent de calculer le périodogramme sur l’intervalle [0, π], etles fréquences de Fourier correspondantes, pour les résidus de la série canusxsr, traitéedans le paragraphe précédent, du mois de janvier 1960 au mois de décembre 1989 (voirFigure 1.5). Le graphe de cette série des résidus, notée resids est présentée sur le bas dela Figure 1.2.

smpl 60:01 89:12linreg canusxsr / resids# constant datesta residscom nn = %nobs/2+1* Calcul des fréquences de Fourier sur [0,2pi[set freqs 1 %nobs = 2*%pi*(t-1.0)/%nobs* Calcul du périodogrammefrequency 1 %nobsrtoc 60:01 89:12 1# resids# 1fft 1cmult(scale=1.0/(2.0*%pi*%nobs)) 1 1ctor 1 nn 1# 1# periodoscatter(sty=lines,header=’Periodogramme de la serie:resids’) 1# freqs periodo 1 nnsmpl

On note que la valeur du périodogramme pour la fréquence zéro est nulle, car la moyenneempirique des résidus est égale à zéro. De plus, on observe que le périodogramme aug-mente lorsque les fréquences tendent vers zéro. Ce phénomène a été observé en premierpar Granger (1966) et est présent dans de nombreuses séries à caractère économique. Unemanière de modéliser ce phénomène est présentée dans le Chapitre 3 de ce document.

Les deux principales propriétés du périodogramme en tant qu’estimateur de la densitéspectrale sont les suivantes :

1. il est asymptotiquement sans biais


2. il est non-consistant :

limT→∞

Cov(IT (λ), IT (λ′)) = 0 si λ 6= λ′, (3.6)

et

limT→∞V ar(IT (λ)) =

f 2(λ) si λ ∈ [0, 2π[−0, π,2f 2(λ) si λ ∈ 0, π.

(3.7)

Il importe donc de chercher à améliorer les performances du périodogramme en tantqu’estimateur de la densité spectrale. Nous présentons rapidement deux techniques clas-siquement utilisées dans l’analyse spectrale des séries chronologiques afin d’améliorer cetteestimation : la méthode de l’effilage des données (dite du "tapering") et l’utilisation d’unpériodogramme lissé. L’instruction spectrum permet d’utiliser en option ces deux tech-niques.

La méthode de l’effilage des données permet d’améliorer la précision du périodogrammedans l’estimation de la densité spectrale, en particulier, cette méthode permet de réduire le"leakage effect", que l’on peut traduire en français par l’effet de perte. Cet effet intervientlorsque la densité spectrale possède un ou plusieurs pics. A ce moment-là, les autresvaleurs estimées de la densité spectrale sont surélevées par rapport à leurs vraies valeurs.La méthode de l’effilage des données se fait à l’aide d’une transformation préliminairesur les données. On remplace alors l’échantillon initial X1, . . . , XT par l’échantillon effilésuivant : h1X1, . . . , hT XT , où (ht)t=1,...,T est une suite convenable de constantes. RATSpropose deux suites (ht)t=1,...,T différentes : une suite dite trapézoidale, qui vaut 1 pour lapartie centrale de la série et décroît linéairement vers zéro pour les m premières et dernièresvaleurs de la série, et une suite dite de cloche en cosinus ("cosine bell"), respectivementdéfinies de la manière suivante :

• Suite Trapézoidale :

h(t) =

t/m si 1 ≤ t ≤ m,

1 si m + 1 ≤ t ≤ T −m,

(T − t + 1)/m) si T −m + 1 ≤ t ≤ T ,

(3.8)

• Suite en Cosinus :

h(t) =

0.5(1− cos(πt/m)) si 1 ≤ t ≤ m,

1 si m + 1 ≤ t ≤ T −m,

0.5(1− cos(π(T − t + 1)/m)) si T −m + 1 ≤ t ≤ T ,

(3.9)

3.2. ANALYSE SPECTRALE 27

Figure 3.4: Périodogramme lissé de la série des résidus resids.

Le paramètre m tel que 1 ≤ m ≤ T permet de contrôler la proportion de la série surlaquelle on effectue la transformation. Lorsqu’on utilise l’instruction spectrum, l’optiontaper=trapezoidal permet d’utiliser une suite trapézoidale et l’option taper=cosinepermet d’utiliser une suite en cosinus. L’option par défaut taper=cosine n’effile pas lesdonnées. L’option permet wtaper permet de donner une valeur au paramètre m, en tantque fraction de la taille d’échantillon T . Par défaut, cette valeur est de 0.25.

Une expression du périodogramme effilé est alors donnée par l’équation suivante:

I tapT (λ) =

1

2π∑T

t=1 h2t

∣∣∣∣∣T∑

t=1

e−iλthtXt

∣∣∣∣∣2

. (3.10)

Le périodogramme lissé, que l’on note fL(λ), correspond à moyenne mobile centrée pondéréedu périodogramme. fL(λ) est donné par l’équation suivante:

fL(λj) =1

2π

(m−1)∑h=−(m−1)

WT (h)IT (λj+h), (3.11)

où IT (λj) est le périodogramme pour la fréquence de Fourier λj, et où m est un entierpositif ou nul qui contrôle la longueur de la moyenne mobile. Lorsque m = 1, on remarquealors que le périodogramme lissé est le périodogramme brut. Pour cette moyenne mobile,il existe de nombreuses suites de poids (WT (h))h, proposées par des statisticiens célèbres(Bartlett, Parzen, Blackman-Tukey, Daniell, ...) et on renvoie au chapitre 6 du livre dePriestley (1981) pour une discussion approfondie sur ce sujet.

La procédure spectrum propose deux suites de poids différentes, pour h = −m+1, . . . ,−1, 0, 1, . . . ,m−1. L’option par défaut window=flat utilise la suite définie par :

WT (h) = 1, (3.12)

et l’option window=tent utilise la suite définie par :

WT (h) = T − |h|. (3.13)

RATS standardise automatiquement ces poids, de manière à ce que la somme soit égale à 1.L’instruction spectrum contrôle le lissage par l’intermédiaire de l’option width. La valeurde l’entier, obligatoirement impair, affectée à width permet de contrôler la longueur de la


moyenne mobile utilisée, de la manière suivante : m = (width + 1)/2. Ainsi, si width=1,alors m = 1, et le périodogramme lissé est le périodogramme brut. L’option width=0.75T1/2, est l’option par défaut dans l’instruction spectrum.

Enfin, il est important de noter que l’instruction spectrum ne renvoie pas la valeur exactedu périodogramme calculé, mais son logarithme.

La commande suivante permet d’obtenir et de tracer un estimateur de la densité spectralede la série resids (voir figure ??).

@spectrum(taper=none,window=tent,header=’Log-periodogramme lissede la serie:resids’) resids 60:01 89:12

3.3 FiltrageA l’image de la série du taux de change précédente, de nombreuses séries chronologiques,en économie et en finance possédent une tendance, croissante ou décroissante. La série estalors non stationnaire (voir chapitre suivant pour les différents types de non stationnarité).Il est souvent utile de retrancher cette tendance de long terme qui peut masquer certainseffets conjoncturels, en particulier cycliques. L’économétrie fourmille de méthodes de dé-composition tendance-cycle, de type Hodrick-prescott, Beveridge-Nelson, Baxter-King, ...En pratique, il est relativement difficile de savoir quelle est la bonne méthode à utiliser,chacune ayant des défauts et des qualités (voir Gay et Saint-Amand, 1997).

Le filtre HP permet de décomposer une série (Xt) en deux composantes orthogonales,la tendance (Tt) et le cycle (Ct). La méthode consiste à minimiser la variance cycliquepénalisée, ie :

Tt = arg min∑

t

(Xt − Tt)2 + λ

∑t

(Tt+1 − Tt)− (Tt − Tt−1)2 (3.14)

La paramètre λ permet de régler l’importance raltive des deux termes à minimiser. Auplus λ est élevé, au plus la composante tendancielle est lisse. Lorsque λ tend vers l’infini,la tendance approche une droite linéaire. Pour des données trimestrielles, il généralementconseillé de prendre λ = 1600. Une estimation du cycle (appelé cycle de croissance)est donnée par Ct = Xt − Tt. Avec RATS, un filtrage HP est obtenu à l’aide la fonc-tion @hpfilter.src. De même, un filtrage Baxter-King est obtenu à l’aide la [email protected].

Une approche triviale peut être de considérer que cette tendance est linéaire. D’un pointde vue technique, il suffit d’effectuer une régression linéaire sur la tendance. D’une manière

3.3. FILTRAGE 29

générale, avec RATS, l’opération de régression linéaire sur des variables exogènes se fait àl’aide de l’instruction linreg. Les commandes suivantes permettent d’ajuster une droiteà la série canusxsr et d’obtenir la série estimée (canusxsrhat) et les résidus (resids).

set date = tlinreg canusxsr / resids# constant dateprj canusxsrhat

En sortie, on obtient les résultats suivants sur la régression effectuée :

Linear Regression - Estimation by Least SquaresDependent Variable CANUSXSRMonthly Data From 1960:01 To 1990:03Usable Observations 363 Degrees of Freedom 361Centered R**2 0.542319 R Bar **2 0.541051Uncentered R**2 0.995580 T x R**2 361.395Mean of Dependent Variable 0.9008063361Std Error of Dependent Variable 0.0890803141Standard Error of Estimate 0.0603481431Sum of Squared Residuals 1.3147253136Regression F(1,361) 427.7588Significance Level of F 0.00000000Durbin-Watson Statistic 0.024915

Variable Coeff Std Error T-Stat Signif***************************************************************1. Constant 1.014586647 0.006348023 159.82718 0.000000002. DATE -0.000625167 0.000030227 -20.68233 0.00000000

On observe que les paramètres estimés sont significativement différent de zéro, même avecun risque de première espèce extrêmement faible. En particulier, la pente de la droitede régression est non-nulle. L’instruction linreg possède différentes options, permettantpar exemple d’obtenir la matrice de variance-covariance des estimateurs (option vcv) oud’omettre certaines valeurs de la régression (option smpl). On se référe au manuel fournipar Estima (Doan, 1992) pour un descriptif complet de ces options.

On peut alors tracer la série canusxsr, la droite de régression et les résidus obtenus, àl’aide des commandes suivantes :

spgraph(vfields=2)


Figure 3.5: Série canusxsr et la tendance linéaire ajustée et la série des résidus.

graph(header=’Serie canusxsr’) 2# canusxsr# canusxsrhatgraph(header=’Residus’)# residsspgraph(done)

Notons que l’instruction linreg permet d’accéder à plusieurs renseignements relatifs àl’opération de régression. Ces valeurs (vecteurs et scalaires) sont présentées en page 14-144 du guide fourni par Estima. Par exemple, on obtient le vecteur des coefficients par lacommande %beta, le R2 par %rsquared et la somme des carrés des résidus par %rss.

Figure 4.1: Evolution de l’indice CAC40 et des ses rendement journaliers de deécembre 1987 à décembre2008

Chapter 4

Faits stylisés des séries financières

De nombreuses études empiriques ont souligné que la plupart des séries chronologiques àcaractère financier ont tendance à exhiber des comportements statistiques caractéristiques.On se propose de lister ces faits stylisés, dont certains pourront être pris en compte parles processus de type ARCH.

4.1 Non stationnarité

La plupart des séries de prix d’actifs financiers présente une non stationnarité en tendance,i.e. l’espérance du processus sous-jacent n’est pas constante au cours du temps. Enparticulier, les tests de racine unitaire classiques (Dickey-Fuller, Phillips-Perron, KPSS,...) montrent que l’hypothèse nulle de non stationnarité de la série est acceptée la plupartdu temps. Par conséquent, afin de stationnariser la série, l’étude est menée sur les tauxde croissance ou les log-rendements de la série. Ainsi, si on observe une série (Xt)t=1,...,T ,la série des taux de croissance est donnée pour tout t par Yt = (Xt − Xt−1)/Xt−1 et lasérie des log-rendements est donnée pour tout t par Rt = log(Xt) − log(Xt−1). CommeRt = log(1 + Yt), les deux expressions sont semblables pour des petites variations. Undes avantages des log-rendements est que le log-rendement calculé sur plusieurs périodesconsécutives est la somme des log-rendements calculés sur chacune des périodes. C’estcette série des log-rendements que l’on considère dans la suite de cette partie.

4.2 Non Normalité

Lorsqu’on estime la distribution non conditionnelle d’une série financière (soit par unhistogramme, soit par un estimateur non paramétrique à noyaux), on observe que la

31

32 CHAPTER 4. FAITS STYLISÉS DES SÉRIES FINANCIÈRES

distribution empirique possède des queues de distribution plus épaisses que celles de laloi Normale. Cela est du à une fréquence plus élevée que ce qu’on pouvait attendred’évènements exceptionnels. Une mesure de l’épaisseur des queues est fournie par la kur-tosis (un estimateur des moments d’ordre 4) qui est systématiquement supérieure à cellede la loi Normale (égale à 3). De plus, la dsitribution de nombreux actifs financiers, enparticulier les prix d’actions, n’est pas symétrique. En effet, le moment d’ordre 3 de ladistribution non conditionnelle mesuré par le skewness est souvent négatif. Cela signi-fie que la queue gauche de la distribution est plus épaisse que la queue droite, i.e. lesforts rendements négatifs ont tendance à se produire plus souvent que les forts rende-ments positifs. Ainsi, la plupart des tests statistiques d’adéquation (Jarque-Bera, Chi-2,Kolmogorov-Smirnov, ...) rejettent l’hypothèse nulle de Gaussianité de la distribution nonconditionnele, même avec un très faible risque de première espèce. Or, cette hypothèsede Normalité est nécessaire pour de nombreux modèles en finance tels que le CAPM oule modèle de Black et Scholes.

4.3 Non constance de la variance

On observe que la variance des séries subit une évolution au cours au cours du temps, enparticulier sous l’effet de chocs exogènes tels que les crises financières. Ce fait empiriqueavéré remet alors en cause l’hypothèse d’homoscédasticité (variance constante), que l’onutilise classiquement lors d’une modélisation de série chronologique, en particulier dansle cas des processus de type ARMA. Il semble donc nécessaire de proposer des modèlesprenant en compte cette hétéroscédasticité.

4.4 Agrégats de volatilité

Non seulement les séries financières ne présentent pas une variance constante au cours dutemps, mais on s’aperçoit également que cette variance évolue également de manière car-actéristique. En effet, les séries financières présentent des successions de phases de relativetranquillité et de phases de forte volatilité. On dit également que les séries présentent desagrégats de volatilité (volatility clustering).

4.5 Effet de levier

On observe une corrélation négative entre les variations des prix d’actifs et les variationsde la volatilité. Toutefois, il existe une asymétrie sur les marchés dans la mesure où cettecorrélation varie en intensité selon le sens de la variation des prix. En effet, on observe quela volatilité augmente fortement lorsque les prix baissent fortement (par exemple dans lecas d’une mauvaise nouvelle économique ou sur la santé financière des entreprises ou dans

4.6. AUTO-CORRÉLATIONS 33

le cas plus général d’une crise financière). En revanche, lors des périodes d’expansion desprix, la volatilité affiche une plus grande stabilité.

4.6 Auto-Corrélations

Lorsqu’on calcule les autocorrélations des séries financières, on observe une très faibleautocorrélation. Généralement, la série est blanchie par un processus AR(p)où p estrelativement petit (p ≤ 3). Il arrive même souvent que la série soit supposée suivre unbruit blanc faible (non indépendant). En revanche, les autocorrélations de la série aucarré (Y 2

t )t, ou élevée à une certaine puissance (|Yt|delta)t, présentent une forte persistance.

4.7 Co-mouvements de volatilité

Si on s’intéresse aux indices synthétiques relatifs à des marchés différents (CAC40, FTSE100,DAX, SP500, ...), on observe des mouvements de volatilité communs aux places finan-cières, du fait d’une forte dépendance entre les marchés. En fait, les mouvements de fortevolatilité s’explique par des facteurs exogènes qui s’appliquent à l’ensemble des placesfinancières. On parle alors de co-mouvement de volatilité. Le graphique ?? représente lesévolutions mensuelles des 4 principaux indices boursiers de la zone euro (DAX,CAC,MIBet IBEX). On se rend compte des effets de contagion entre marchés caractérisés par desbaisses et des hausses simultanées. De même, le graphique ?? met en evidence les périodescommunes de forte volatilité sur ces marchés.

4.8 An example

We choose the 4 main European stocks indices, namely the DAX30, CAC40, MIB30 andIBEX35, that describe the financial activity on the stock markets in Germany, France,Italy and Spain, respectively. We use monthly data corresponding to the average of closurevalues, from January 1988 to September 2008 (see figure ??). As those four series areclearly non-stationary, we are going to work with the log-returns defined as follows :

Y it = (log(X i

t)− log(X it−1))× 100,

where i = 1, 2, 3, 4 and X it is the index value at date t for the market i. Log-returns are

presented in figure ??. Typically, those series present stylised facts well known in financialeconometrics, that is stationarity in mean, weak auto-correlation, strong kurtosis, negativeskwewness and presence of clusters of volatility indicating a non-constant conditionalvariance. Unconditional empirical moments are presented in table ??. To evaluate the


DAX CAC MIB IBEXMean 0.718 0.595 0.387 0.631

Variance 24.40 20.67 36.73 24.86Skewness -0.824 -0.621 0.274 -0.377

Exc. Kurtosis 1.567 1.048 0.598 0.974JB P-value 0.000 0.000 0.033 0.000

QY (5) P-value 0.000 0.001 0.809 0.001

Table 4.1: Estimates and standard errors of the parameters for the 4 univariate GARCH(1,1) modelapplied to the 4 log-returns and the main statistics.

auto-correlation structure and the Gaussianity, we are going to use the statistical testsbased on the Portmanteau and Jarque-Bera statistics respectively given by the followingequations:

Q(k) = T (T + 2)k∑

j=1

ρ2j

T − j, (4.1)

JB = T (Ku2

24+

Sk2

6), (4.2)

where T is the sample size, k ∈ N, Ku and Sk denote respectively the excess Kurtosis andthe Skewness, ρj being the autocorrelation function of the series for lag j. Both statistics(??)-(??) are distributed according to a χ2 distribution function. P-values of thes testsare presented in table ??.

From table ??, we observe that the series present the stylised facts described previouslyexcept the MIB series that possesses a special pattern in the sense that the empiricalvariance is much greater than the 3 others, the skewness is close to zero by positive value,indicating thus a symmetrical distribution, and the excess kurtosis is also close to zeroimplying thus that the tails of the distribution are close to the Gaussian. Because ofthose two latter facts, we cannot reject the null of a Gaussian distribution with a type Irisk α = 0.01. Concerning the auto-correlation structure, all the series present short-termauto-correlation according to the Portmanteau test, except the MIB series that can beidentified to a weak white noise.

Moreover, there is evidence of common movements among the four variables reflecting thestrong financial integration of the markets in the Euro area. This co-movement, some-times refers to as contagion in some papers, asks for a multivariate approach in modelling.In order to estimate the conditional variances, we are going to implement various multi-variate GARCH specifications presented in previous chapters.

4.8. AN EXAMPLE 35

Figure 4.2: Four European stock indices

Figure 4.3: Log-returns of four European stock indices


Chapter 5

Modèles ARMA

Dans ce chapitre, on s’intéresse à la mise en oeuvre d’une modélisation linéaire de sériechronologique par la méthodologie de Box et Jenkins (1970). Dans le premier paragraphe,nous effectuons quelques rappels sur les processus de type autorégressif moyenne-mobile,ou ARMA. Dans le deuxième paragraphe, nous détaillons les différentes étapes de lamodélisation et les instructions RATS associées, et le troisième paragraphe contient unexemple d’application sur une série saisonnière. Enfin, le dernier paragraphe présente laméthode d’analyse d’intervention de Box et Tiao (1975), qui permet de modéliser l’effetd’un événement extérieur sur un processus ARMA.

5.1 Introduction aux processus ARMAOn rappelle dans un premier temps la définition d’un processus de type autorégressifmoyenne-mobile, ou ARMA.

Definition 5.1.1 Un processus du second ordre (Xt)t∈Z est défini comme étant un pro-cessus ARMA(p, q), s’il est stationnaire et si et seulement si, pour tout t ∈ Z, il vérifiel’équation aux différences suivante :

φ(B)(Xt − µ) = θ(B)εt, (5.1)

où µ est la moyenne du processus, où B est l’opérateur retard tel que, ∀t, BXt = Xt−1 etpour tout entier b, BbXt = Xt−b, où φ(z) = I−φ1z−. . .−φpz

p et θ(z) = I+θ1z+. . .+θqzq

sont deux polynômes et où (εt)t∈Z est un processus bruit blanc centré de variance σ2ε .

Si q = 0, on dit que (Xt)t∈Z est un processus AR(p), et si p = 0, on dit que (Xt)t∈Z

est un processus MA(q). Il est important de remarquer la manière dont sont définis lespolynômes φ(z) et θ(z). Nous les avons définis de manière cohérente avec RATS, mais ilarrive souvent que le polynôme θ(z) soit égal à θ(z) = 1− θ1z − . . .− θqz

q.

37

38 CHAPTER 5. MODÈLES ARMA

On rappelle un résultat relatif aux propriétés de linéarité, de causalité et d’inversibilité.

Proposition 5.1 Soit (Xt)t∈Z un processus ARMA(p, q) défini par la définition ??.

(i) Si le polynôme φ(z) ne s’annule pas sur le cercle défini par |z| = 1, alors le proces-sus (Xt)t∈Z est un processus linéaire stationnaire.

(ii) Si le polynôme φ(z) ne s’annule pas sur le cercle défini par |z| ≤ 1, alors le pro-cessus (Xt)t∈Z possède une représentation causale.

(iii) Si le polynôme θ(z) ne s’annule pas sur le cercle défini par |z| ≤ 1, alors leprocessus (Xt)t∈Z possède une représentation inversible.

On généralise maintenant la définition ?? au cas des processus ARMA(p, q) intégrésd’ordre d, ou ARIMA(p, d, q).

Definition 5.1.2 Un processus du second ordre (Xt)t∈Z est défini comme étant un pro-cessusARIMA(p, d, q), si le processus ((I − B)dXt)t∈Z est un processus ARMA défini par ladéfinition ??.

On généralise à nouveau les deux définitions précédentes au cas des processus saisonniersSARIMA (Seasonal ARIMA).

Definition 5.1.3 Un processus du second ordre (Xt)t∈Z est défini comme étant un pro-cessusSARIMA(p, d, q)(P, D, Q)S, si et seulement si, pour tout t ∈ Z, il vérifie l’équation auxdifférences suivante :

φ(B)Φ(BS)(I −B)d(I −BS)D(Xt − µ) = θ(B)Θ(BS)εt, (5.2)

où S est la saisonnalité du processus, où d et D sont deux entiers correspondant re-spectivement aux ordres de différentiation et de différentiation saisonnière, où Φ(z) =I−Φ1z− . . .−ΦP zP et Θ(z) = I−Θ1z− . . .−ΘQzQ sont deux polynômes, et où µ, φ(z),θ(z) et (εt)t∈Z sont définis dans la définition ??.

Le logiciel RATS permet de simuler des trajectoires finies engendrées par un processusARMA. Par exemple, on s’intéresse au processus centré ARMA(2,1), tel que :

(I − 0.4B − 0.2B2)Xt = (I + 0.3B)εt,

5.2. LA MÉTHODOLOGIE BOX ET JENKINS PAS À PAS 39

Figure 5.1: Simulation d’un processus ARMA(2,1).

où le processus (εt)t est un bruit blanc Gaussien de variance unitaire. Les commandessuivantes permettent de générer et de tracer une trajectoire de longueur 1000, issue de ceprocessus ARMA (voir figure ??).

set eps = %ran(1)set x 1 2 = 0set x 3 1100 = 0.4*x1+0.2*x2+eps+0.3*eps1smpl 101 1100graph(header=’Simulations d’un processus ARMA(2,1)’,subheader=’T=1000’)# x

5.2 La méthodologie Box et Jenkins pas à pas

La méthodologie de Box et Jenkins (1970) repose sur une modélisation de la série d’étudepar un processus de type ARIMA(p, d, q). Cette méthodologie est basée sur les 4 étapessuivantes :

1. Spécification du processus.2. Estimation des paramètres du processus.3. Validation du processus par tests.4. Utilisation du processus en prévision.

Nous allons maintenant détailler ces 4 différentes étapes.

5.2.1 Spécification

L’étape de la spécification d’un processus ARIMA(p, d, q) consiste à choisir l’ordre desparties AR (choix de l’entier p) et MA (choix de l’entier q), ainsi que l’ordre du degréd’intégration (choix de l’entier d).

5.2.1.1 Choix de l’entier d

Ce choix est un problème délicat à régler et est à l’origine d’une littérature expansive dansle domaine des statistiques et de l’économétrie. Ce choix est lié à une des toutes premièresquestions que doit se poser le statisticien désireux de mettre en oeuvre la méthodologie


de Box et Jenkins (1970), à savoir, si la trajectoire qu’il observe est issue d’un proces-sus faiblement stationnaire. Si tel est le cas, on dira alors que le processus (Xt)t∈Z estintégré d’ordre 0; sinon, on suppose qu’il existe un entier d > 0 tel que (I − B)dXt estasymptotiquement faiblement stationnaire, B étant l’opérateur retard. On dira alors quele processus (Xt)t∈Z est intégré d’ordre d. Cependant, dans la majorité des cas rencon-trés en pratique l’entier d correspondant à l’ordre d’intégration est égal à l’unité. Ainsi,le problème du statisticien revient alors à se demander quel est l’ordre d’intégration duprocessus, ce qui est équivalent à tester l’hypothèse H0 : d = 0 contre l’hypothèseH1 : d = 1. On renvoie au Chapitre 3 de ce document pour le cas où 0 < d < 1.

De nombreux tests d’hypothèses ont été développés depuis le milieu des années 1970dans la littérature statistique et économétrique afin d’aider le praticien dans le choix duparamètre d, à partir des données dont il dispose. On citera en particulier, les tests deracine unitaire de Fuller (1976), Dickey et Fuller (1979, 1981), Phillips (1987), Phillipset Perron (1988), Kwiatkowski, Phillips, Schmidt et Shin (1992) et Zivot et Andrews(1992). Ces différents tests de racine unitaire peuvent être utilisés dans RATS à l’aidede plusieurs différentes procédures contenues dans les fichiers ADF.SRC, DFUNIT.SRC,PPUNIT.SRC ou ZIVOT.SRC.

En pratique, on retiendra que la présence d’une tendance linéaire entraîne le choix d = 1et qu’une moyenne constante entraîne le choix d = 0. On se limitera donc à des critères dechoix empiriques, tel que l’évolution de la moyenne empirique, pour déterminer le choixde l’entier d.

5.2.1.2 Choix des entiers p et q

Le choix des entiers p et q se fait à l’aide de l’ACF empirique et la PACF empirique. Onrappelle la propriété suivante :

Proposition 5.2 Soit (Xt)t∈Z un processus faiblement stationnaire.

(i) Si (Xt)t∈Z ∼ AR(p), alors rX(k) = 0, si k > p.(ii) Si (Xt)t∈Z ∼ MA(q), alors ρX(k) = 0, si k > q.

On cherche alors le retard k à partir duquel rX(k) = 0 ou ρX(k) = 0. Cette recherche se faità l’aide du test de Bartlett qui permet de tester statistiquement l’hypothèse H0 : ρX(k) = 0contre l’hypothèse H1 : ρX(k) 6= 0. De même le test de Quenouille permet de tester statis-tiquement l’hypothèse H0 : rX(k) = 0 contre l’hypothèse H1 : rX(k) 6= 0. On rappelle cesdeux tests basés sur les théorèmes suivants :

Théorème de Bartlett


Soit (Xt)t∈Z un processus MA(q) stationnaire. Sous l’hypothèse H0 : ρX(k) = 0, pourk ≥ q + 1, on a quand T →∞ :

T 1/2ρX(k) → N(0, 1 + 2

q∑i=1

ρX(i)) (5.3)

Théorème de QuenouilleSoit (Xt)t∈Z un processus AR(q) stationnaire. Sous l’hypothèse H0 : rX(k) = 0, pour

k ≥ p + 1, on a quand T →∞ :

T 1/2rX(k) → N(0, 1) (5.4)

Ainsi, en se plaçant au retard k, sous l’hypothèse H0 : ρX(k) = 0, les bornes de confianceasymptotiques de ρX(k) au risque α = 5% sont données par :

ρX(k) ∈ [0± 1.96(1 + 2

∑k−1i=1 ρX(i))1/2

T 1/2]. (5.5)

De même, en se plaçant au rang k, sous l’hypothèse H0 : rX(k) = 0, les bornes de confianceasymptotiques de rX(k) au risque α = 5% sont données par :

rX(k) ∈ [0± 1.961

T 1/2]. (5.6)

On remarque que, lorsque le nombre k de retards augmente, les bornes de confiance deρX(k) vont en s’évasant, alors que les bornes de confiance de rX(k) restent constantes.

On note cependant que la propriété ?? ne concerne que des processus AR et MA "purs".En présence simultanée d’une partie AR et d’une partie MA, le choix de p et q devientplus délicat. Il arrive souvent que l’on sélectionne plusieurs modèles, que l’on pressentcapable d’ajuster correctement la série d’étude. Chacun de ces modèles sera alors estimépuis validé. La phase de validation permettra de retenir un seul modèle, à utiliser ensuiteen prévision.

Une manière efficace de procéder pour choisir les ordres des parties AR et MA, est dechoisir les ordres p et q de telle sorte qu’ils optimisent un certain critère d’intérêt, déter-miné a priori. Un des critères les plus utilisés en statistique est le critère d’informationd’Akaike (1977), dénoté AIC, défini de la manière suivante :

AIC = T log(σ2ε) + 2(p + q), (5.7)


où σ2ε est la variance résiduelle estimée. Un modèle possédant une bonne qualité d’ajustement

fournira une variance résiduelle faible, donc un AIC faible. On cherchera donc à minimiserle critère AIC.Il est à noter qu’il existe d’autres critères d’information dans la littérature statistique,tels que les critères de Bayes (BIC), de Hannan (HIC) ou de Akaike corrigé (AICC). Onse référe, par exemple, à Hamilton (1994) pour une définition de ces critères. On noteégalement que ces critères sont relatifs à la qualité d’ajustement du modèle, mais on peutenvisager une recherche automatique de p et de q relativement à la qualité de prédictiondu modèle par validation croisée.

Dans RATS, on peut calculer l’intervalle de confiance asymptotique de l’ACF (équation(2.5)), à l’aide de l’option stderrs de l’instruction correlate. En effet, cette optionrenvoie la valeur T−1/2(1+2

∑k−1i=1 ρX(i))1/2, pour k ≥ 1, contenue dans l’expression (2.5).

Dans l’exemple suivant, nous allons simuler une trajectoire de longueur T = 1000, issued’un processus AR(2) de paramètres φ1 = 0.3 et φ2 = 0.2, et nous calculer son ACF etses bornes de confiance au risque α = 0.05.

all 1100seed 123; set eps = %ran(1)set xar2 1 2 = 0.0set xar2 3 1100 = 0.3*xar21+0.2*xar22+epscorr(stderrs=xse,number=10,partial=xpacf) xar2 101 1100 xacfprint / xse xacf xpacfset ic1 = 1.96*xseset ic2 = -1.96*xse

De même, on peut calculer l’intervalle de confiance asymptotique de la PACF (équation(2.6)), de la manière suivante :

sta xar2set pic1 = 1.96/sqrt(%nobs)set pic2 = -1.96/sqrt(%nobs)

On peut alors tracer simultanément l’ACF et la PACF de cette série simulée xar2, ainsique les intervalles de confiance asymptotiques respectifs, permettant d’effectuer les testsde non nullité précités (voir figure ??).

spgraph(vfields=2,header=’Serie : xar2’)graph(style=bar,overlay=line,ovcount=2,omax=1,omin=-1, $max=1,min=-1,number=1) 3# xacf


Figure 5.2: ACF et PACF de la série simulée xar2, issue d’un processus AR(2).

# ic1# ic2graph(style=bar,overlay=line,ovcount=2,omax=1,omin=-1, $max=1,min=-1,number=1) 3# xpacf# pic1# pic2spgaph(done)

On peut alors observer visuellement si les valeurs de l’ACF et de la PACF sont à l’intérieurde l’intervalle de confiance et déterminer ainsi les ordres p et q. Dans le cas présent, onpeut soit choisir un processus AR(2), soit un processus MA(3). Cependant, le principede parcimonie nous recommande de choisir un processus AR(2).

5.2.2 Estimation des paramètres

Il existe de nombreuses méthodes concurrentes d’estimation des paramètres d’un pro-cessus ARIMA. On se référe à Box et Jenkins (1970), Brockwell et Davis (1987) ouHamilton (1994) pour une revue des différentes méthodes d’estimation. Les méthodesd’estimation des paramètres dans un processus ARMA(p, q) sont pour la plupart baséessur l’expression de la vraisemblance conditionnelle du processus. Dans la littératurestatistique, il existe de nombreuses méthodes permettant de calculer cette vraisemblanceconditionelle. Nous présentons celle utilisée par RATS, basée sur la méthode de Boxet Jenkins (1976,p.211). On suppose donc que le processus considéré est Gaussien etθ = (µ, σ2

ε , φ1, . . . , φp, θ1, . . . , θq) est le paramètre à estimer.

La méthode préconisée par Box et Jenkins (1976, p.211) conditionne la vraisemblance duprocessus sur les p premières valeurs observées du processus (Xt)t, X1, . . . , Xp, et sur lesq valeurs du processus (εt)t, telles que :

εp = εp−1 = . . . = εp−q+1 = 0.

Ainsi, à partir de la suite X1, . . . , XT , on peut alors calculer par itérations la suiteεp+1, εp+2, . . . , εT , de la manière suivante, pour t = p + 1, . . . , T , :

εt = −µ(1−p∑

i=1

φi) + Xt − φ1Xt−1 − . . .− φpXt−p − θ1εt−1 − . . .− θqεt−q. (5.8)


La log-vraisemblance conditionnelle est alors donnée par l’équation suivante :

LBJ(θ) = log f(XT , . . . , Xp+1|Xp, . . . , X1, εp = . . . = εp−q+1 = 0) (5.9)

= −T − p

2log(2π)− T − p

2log(σ2

ε)−T∑

t=p+1

ε2t

2σ2ε

. (5.10)

L’estimateur du maximum de vraisemblance (EMV), noté θEMV , est le paramètre quimaximise la log-vraisemblance, i.e. :

θEMV = Arg maxθ

L(θ) (5.11)

La résolution numérique de ce problème de maximisation se fait à l’aide d’un algorithme dugradient conjugué de type Newton-Raphson. Ces algorithmes effectuent une recherche demaximum global, par "descente" vers ce maximum à partir d’une valeur initiale. De nom-breux algorithmes de ce type sont connus dans la littérature statistique, et varient selon ladirection de descente. En particulier, RATS utilise la méthode de dite de Gauss-Newtonprésentée. Ces méthodes de maximisation nécessitent la spécification par l’utilisateur devaleurs initiales pour l’algorithme. Le choix de ces valeurs initiales n’est pas sans con-séquence, car un mauvais choix peut faire atterrir l’algorithme sur un maximum local,et non pas global. Une solution à ce problème est de choisir empiriquement différentesvaleurs initiales et d’observer le comportement du résultat et les valeurs de la variancerésiduelle ou du critère AIC. Notons également que lorsque le nombre de paramètres estfaible, en général inférieur ou égal à 3, on peut résoudre ce problème de maximisation enutilisant une procédure par maillage ("grid-search procedure"). Cette procédure consisteà calculer la log-vraisemblance pour différentes valeurs successives des paramètres, appar-tenant à un intervalle fini, et de retenir alors les valeurs des paramètres pour lesquelles lalog-vraisemblance est maximale. Lorsque le nombre de paramètres du processus augmentecette procédure devient très lente. De plus, elle ne permet pas d’obtenir l’écart-type desestimateurs. On se référe, par exemple, à Hamilton (1994, chapitre 5) pour un descriptifde ces méthodes de résolution numérique.

Avec RATS, l’estimation des paramètres d’un processus ARMA se fait à l’aide de l’instructionboxjenk, qui s’utilise de la manière suivante :

boxjenk(options) série début fin résidus

Cette instruction permet de spécifier les ordres saisonniers et non saisonniers du modèle,à l’aide des options ar=, ma=, sar= et sma=. De plus, les degrés d’intégration saisonnier etnon saisonnier sont spécifiés par les options diffs= et sdiffs=. Par défaut, les ordres dumodèle sont nuls. Dans l’exemple suivant, on considère la série xar2, que l’on a simulée,


et on ajuste un processus AR(2).

boxjenk(noconstant,ar=2) xar2 101 1100 resids

On obtient alors les résultats suivants :

Dependent Variable XAR2 - Estimation by Box-JenkinsIterations Taken 2Usable Observations 1000 Degrees of Freedom 998Centered R**2 0.135253 R Bar **2 0.134387Uncentered R**2 0.135258 T x R**2 135.258Mean of Dependent Variable -0.002639775Std Error of Dependent Variable 1.116592696Standard Error of Estimate 1.038859357Sum of Squared Residuals 1077.0703052Durbin-Watson Statistic 2.000817

Variable Coeff Std Error T-Stat Signif******************************************************1. AR1 0.2959591252 0.0313249410 9.44803 0.000000002. AR2 0.1389769914 0.0313396456 4.43454 0.00001025

L’instruction boxjenk renvoie de nombreuses informations relatives à l’opération d’estimation.Par exemple, la variable %beta contient le vecteur des paramètres et la variable %rss con-tient la somme des carrés des résidus. L’option input permet de mettre en oeuvre l’analysed’intervention (voir paragraphe 2.4).

Enfin, il est intéressant de noter que l’instruction boxjenk permet d’estimer des processusARMA à "trous". Par exemple, si on désire estimer le processus AR(4) suivant :

(I − φ1B − φ4B4)Xt = εt,

on spécifie un modèle à l’aide de l’option ar=||1,4|| de la manière suivante :

boxjenk(noconstant,ar=||1,4||) xar2 101 1100

De manière identique, on spécifie un modèle MA à "trous", à l’aide de l’option ma=.

5.2.3 Validation par tests

La validation du processus estimé se fait à l’aide d’un test de significativité des paramètreset d’une analyse sur les résidus estimés.


5.2.3.1 Significativité des paramètres

Il est important de déterminer si les paramètres du modèles sont significativement dif-férent de zéro. Pour cela on effectue un test de Student en comparant la valeur ab-solue de chacun des paramètres estimés avec sa variance. Ainsi, si la valeur absolue duparamètre est plus grande que 1.96 × l’écart-type du paramètre, alors on rejette, au risqueα = 0.05, l’hypothèse de nullité du paramètre. L’instruction boxjenk renvoie un tableaucontenant l’écart-type des paramètres, les T-stat et les probabilités critiques contenuesdans la colonne Signif. Si cette valeur est inférieure à 0.05, on rejette alors au risqueα = 5%, l’hypothèse de nullité des paramètres. Ainsi, dans l’exemple précédent, on peutalors conclure à la significativité des paramètres du modèle, au risque α = 0.05.

5.2.3.2 Analyse des résidus

Si le modèle est correctement spécifié, les résidus estimés doivent former une trajectoireissue d’un processus bruit blanc. Il est donc important de regarder attentivement la tra-jectoire des résidus, l’ACF et la PACF des résidus et de tester la corrélation des résidus.

Pour analyser les résidus, on les récupère à l’aide de l’instruction boxjenk et pour obtenirl’ACF et la PACF des résidus on utilise l’instruction correlate. Par exemple, la com-mande suivante :

corr(stderrs=rse,number=10,partial=rpacf,qstats,span=1) $resids 101 1100 racf

renvoie les résultats suivants :

Correlations of Series RESIDSAutocorrelations1: -0.0007693 0.0041912 0.0083685 -0.0204107 0.0048092 0.00213447: -0.0511083 -0.0087062 -0.0062567 -0.0466030Partial Autocorrelations1: -0.0007693 0.0041906 0.0083751 -0.0204170 0.0047121 0.00224417: -0.0508321 -0.0092998 -0.0056797 -0.0458186

Ljung-Box Q-StatisticsQ(1) = 5.9364e-004. Significance Level 0.98056169Q(2) = 0.0182. Significance Level 0.99092625Q(3) = 0.0886. Significance Level 0.99316788Q(4) = 0.5077. Significance Level 0.97274501Q(5) = 0.5310. Significance Level 0.99094370Q(6) = 0.5356. Significance Level 0.99737787


Figure 5.3: Trajectoire, ACF et PACF de la série resids.

Q(7) = 3.1713. Significance Level 0.86871279Q(8) = 3.2479. Significance Level 0.91785119Q(9) = 3.2875. Significance Level 0.95179904Q(10) = 5.4856. Significance Level 0.85647018

On peut alors obtenir la trajectoire des résidus et les graphes de l’ACF et de la PACF(voir figure ??) à l’aide des commandes suivantes :

set ric1 = 1.96*rseset ric2 = -1.96*rsesta resids 101 1100set rpic1 1 11 = 1.96/sqrt(%nobs)set rpic2 1 11 = -1.96/sqrt(%nobs)spgraph(vfields=2,hfields=2,header=’Serie : resids’)graph# residsgraph(style=bar,overlay=line,ovcount=2,omax=0.2,omin=-0.2, $max=0.2,min=-0.2,number=1,header=’ACF’) 3# racf 2 11# ric1 2 11# ric2 2 11graph(style=bar,overlay=line,ovcount=2,omax=0.2,omin=-0.2, $max=0.2, min=-0.2,number=1,header=’PACF’) 3# rpacf 2 11# rpic1 2 11# rpic2 2 11spgraph(done)

Commentons maintenant les différents résultats que l’on peut obtenir sur les résidus.

• Trajectoire des résidus

Ce graphe permet d’observer si les résidus sont issus d’un processus bruit blanc. Cegraphe est utile pour détecter la présence de valeurs aberrantes.

• ACF des résidus

Ce graphe représente l’ACF des résidus, ρε(k), pour un retard k allant de 1 à unentier spécifié par l’option number= de l’instruction correlate, et permet de tester


ainsi la présence d’une corrélation pour un certain retard. Si l’ACF des résidussort de l’intervalle de confiance pour un certain retard k0, avec 1 ≤ k0 < p ou1 ≤ k0 < q, alors cela signifie qu’il faut rajouter une partie MA(k0) au processusspécifié initialement. Si k0 ≥ p ou k0 ≥ q, alors cela signifie que les ordres de partiesAR et/ou MA ont été mal choisis lors de l’étape de spécification du processus.

• PACF des résidus

Ce graphe représente la PACF des résidus, rε(k), pour un retard k allant de 1 à unentier spécifié par l’option number= de l’instruction correlate, et permet de testerainsi la présence d’une corrélation partielle pour un certain retard. De même quedans le cas précédent, si la PACF des résidus sort de l’intervalle de confiance pourun certain retard k0, avec 1 ≤ k0 < p ou 1 ≤ k0 < q, alors cela signifie qu’il fautrajouter une partie AR(k0) au processus spécifié initialement. Si k0 ≥ p ou k0 ≥ q,alors cela signifie que les ordres de parties AR et/ou MA ont été mal choisis lors del’étape de spécification du processus.

• Test "Portmanteau"

Au lieu de tester si chaque valeur de l’ACF tombe dans l’intervalle de confiance,on peut tester la significativité globale des ACF, à l’aide d’une statistique. Le testutilisé par le logiciel est le test "Portmanteau" de Ljung-Box, basée sur la statistiquesuivante :

QK = T (T + 2)K∑

k=1

ρ2(k)

T − k. (5.12)

Sous l’hypothèse de non corrélation des K premières autocorrélations des perturba-tions (H0 : ρε(1) = ρε(2) = . . . = ρε(K) = 0), cette statistique suit asymptotique-ment une loi du Chi-2 à (K − p− q) degrés de liberté. L’adéquation du modèle estrejetée au risque α, si :

QK > X21−α(K − p− q).

Les différentes valeurs des probabilités critiques sont renvoyées par l’instructioncorrelate. Si ces dernières valeurs, pour différents entiers K, sont toutes supérieuresà 0.05, on accepte alors l’hypothèse H0 de non-corrélation. Par exemple, dans leprécédent de la série resids, les probabilités sont toutes supérieures à 0.05, doncau risque α = 5%, on accepte l’hypothèse dite de blancheur des résidus. Le choix del’entier K est à discuter, mais en pratique, il est souvent intéressant de faire varierce nombre et d’observer le résultat du test pour ces différentes valeurs de K.

Enfin, si l’on a effectué l’hypothèse de Gaussianité sur le processus bruit blanc (εt)t∈Z , ilest intéressant d’observer la distribution empirique des résidus estimés. Pour cela on tracel’histogramme et la densité non paramétrique de distribution des résidus standardisés à


l’aide (dans la version 4.X du logiciel) respectivement des procédures @hist et @density,de la manière suivante :

@hist(nbar=20) resids@density resids 101 1100 xdens ydensscatter(style=3) 1# xdens ydens

Dans la version 5 du logiciel, l’estimateur non paramétrique de la densité de distribu-tion par la méthode des noyaux s’obtient par la fonction density qui est intégrée dansle logiciel. La procédure @kernel permet également de tracer la densité de distribu-tion non paramétrique des résidus à l’aide de la méthode des noyaux. Le noyau peutêtre choisi Gaussien (option kernel=gaussian) ou d’Epanechnikov (option par défautkernel=optimal). De plus, cette procédure permet de tracer simultanément la densitéde distribution de la loi Normale (voir Figure 2.4) et effectue le test de Jarque-Bera quipermet de tester l’adéquation de la loi de distribution des résidus à la loi Normale. Dansla version 5 du logiciel, le test de normalité de Jarque-Bera est contenu dans la fonctionstatistics. La statistique de Jarque-Bera est définie par l’équation suivante :

JB =T (Sk)2

6+

T (Ku)2

24, (5.13)

où Sk et Ku sont respectivement le Skewness et le Kurtosis, définis par les équations(1.6) et (1.7). Sous l’hypothèse de Normalité, la statistique de Jarque-Bera suit une loi duχ2(2). En général, RATS renvoie la P-value issue du test. La procédure @kernel s’utilisede la manière suivante :

@kernel(kernel=gaussian,ngraph,style=dots,gridsize=128) $resids 101 1100 xr yr

On rappelle également que les tests sur le Skewness et sur le Kurtosis renvoyés parl’instruction statistics permettent de se faire une idée sur l’adéquation de la loi desrésidus à la loi Normale. En particulier, les P-values issues du test de nullité du skwenesset de la Kurtosis sont renvoyées.

Si plusieurs modèles passent avec succès l’étape de la validation, un arbitrage doit êtreeffectué pour retenir le modèle que l’on utilisera en prévision. Pour cela, on peut, par

Figure 5.4: Estimation de la densité de probabilité normalisée de la série resids etcomparaison avec la densité de probabilité de la loi Normale.


exemple, comparer les critères d’information fournis par chacun des modèles et retenir lemodèle pour lequel le critère d’information AIC est minimum. Le calcul du critère AICse fait de la manière suivante :

dis ’AIC:’ %nobs*log(%seesq)+2*%nreg

On peut également utiliser la règle de parcimonie qui recommande de choisir un modèleparamétrique pour lequel le nombre de paramètre est le plus faible possible. Il faut égale-ment savoir que dans une optique prévisionelle, il est préférable d’utiliser un processus ARpur, plutôt qu’un processus MA pur. Cependant, si plusieurs modèles paraissent valides,on peut alors tester le comportement de chacun en prévision ou utiliser une méthode detype validation croisée. Il faut toutefois savoir que de nombreuses études empiriques ontsouligné le fait que le modèle qui ajuste le mieux les données n’est pas forcément celui quifournit les meilleures prévisions.

5.2.4 Prévision

Une fois que l’on a spécifié et estimé un processus ARIMA, qui a passé avec succès lestests de validation, on désire l’utiliser pour effectuer des prévisions sur la série. On disposedonc des données X1, . . . , XT , et on désire prédire la valeur de la série à l’horizon h, avech > 0, à savoir XT+h. On note alors XT (h) le prédicteur pour l’horizon h. Il est connuque le prédicteur linéaire qui minimise l’erreur quadratique moyenne à l’horizon h = 1,définie par E(XT (1)−XT+1)

2, est l’espérance conditionelle de XT+1, sachant le passé dela série, donné par :

XT (1) = E(XT+1|Xs, s ≤ T ). (5.14)Dans le cas d’un processus ARMA défini par l’équation (2.1), ce prédicteur est donné parl’égalité suivante :

XT (1) = φ1XT + . . . + φpXT−p+1 + θ1εT + . . . + θqεT−q. (5.15)

Lorsque l’horizon h est strictement supérieur à 1, on réitére l’opération en remplaçant lesvaleurs inconnues de la série par les valeurs prédites aux pas précédents, et en remplaçantles valeurs inconnues des résidus par leur moyenne conditionelle, à savoir zéro.

Avec RATS, la prévision se fait à l’aide de l’instruction boxjenk, qui permet de spécifierune équation, puis à l’aide de l’instruction forecast, qui prend comme argument cettedernière équation et le nombre de pas de prédiction. De plus, les intervalles de confiancedes prévisions se calculent à l’aide de l’instruction errors, qui permet de calculer lesvaleurs de l’écart-type du prédicteur.Par exemple, on construit les prévisions à l’horizon h = 20, et un intervalle de confianceà 95% pour la série simulée xar2 (voir Figure 2.5), de la manière suivante :

5.3. UN EXEMPLE D’APPLICATION 51

Figure 5.5: Prévisions à l’horizon h = 20 et intervalle de confiance à 95% de la série x1.

boxjenk(print,noconstant,ar=2,define=eqxar2) xar2 101 1100 residsforecast 1 20 1101# eqxar2 prevxar2errors(noprint) 1 20# eqxar2 errxar2 1101set icsup 1101 1120 = 1.96*errxar2+prevxar2set icinf 1101 1120 = -1.96*errxar2+prevxar2graph(header=’Serie XAR2’) 4# xar2 1061 1100# prevxar2# icsup 1101 1120# icinf 1101 1120

Il est à souligner que la prédiction se fait sans tenir compte de la variabilité induite parl’estimation des paramètres. On suppose en effet que les valeurs estimées sont les vraiesvaleurs des paramètres. De plus, on notera que les prédictions effectuées par l’instructionforecast sont calculées de manière récursive.

5.3 Un exemple d’applicationDans cette section, nous fournissons un exemple d’application de modélisation Box etJenkins (1970) sur une série réelle, à l’aide d’un processus saisonnier ARIMA (SARIMA).On s’intéresse à la série de trafic passagers de l’ensemble des bus de banlieue de la RATP(cet exemple est issu du livre de Ferrara et Guégan, 2002). Cette série est mensuelle; elledébute en janvier 1984 et finit en décembre 1995 (voir Figure 2.6). Nous allons modélisercette série en utilisant les données à partir du mois de janvier 1984 jusqu’au mois dedécembre 1994, puis nous effectuerons des prévisions sur la période janvier 1995 - décem-bre 1995, que nous comparerons avec les données réelles observées afin de pouvoir jugerde la précision de ces prévisions. On note (Xt)t=1,...,T cette série, où T est la taille del’échantillon, égale à 132.

Figure 5.6: Evolution de la série mensuelle busban.cts, du mois de janvier 1984 au moisde décembre 1995.


5.3.0.1 Analyse des données

La série de trafic (Xt)t=1,...,T est représentée sur la Figure 2.6. On observe que cettesérie possède une tendance linéaire ainsi qu’une forte saisonnalité de 12 mois. Cette fortesaisonnalité est également observable sur le graphe de l’ACF empirique (Figure 2.7), quel’on obtient par les commandes suivantes :

correlate(std=bse,number=50,partial=bpacf,noprint) $bus 84:01 94:12 bacfset bic1 = 1.96*bseset bic2 = -1.96*bsesta(noprint) bus 84:01 94:12set bpic1 = 1.96/sqrt(%nobs)set bpic2 = -1.96/sqrt(%nobs)spgraph(vfields=2,header=’Serie : bus’)graph(style=bar,overlay=line,ovcount=2,omax=1,omin=-1, $max=1,min=-1,number=1,header=’ACF’) 3# bacf 2 50# bic1 2 50# bic2 2 50graph(style=bar,overlay=line,ovcount=2,omax=1,omin=-1, $max=1, min=-1,number=1,header=’PACF’) 3# bpacf 2 50# bpic1 2 50# bpic2 2 50spgraph(done)

Il convient donc de stationnariser asymptotiquement cette série afin de pouvoir la mod-éliser par un processus de type ARMA. Au préalable, on retranche à cette série sa moyenneempirique et on étudie par la suite la série centrée (Xt − X)t, où X est la moyenne em-pirique de cette série, égale à 1551.997. On obtient cette série centrée par la commandesuivante :

set busc = bus-%mean

Pour stationnariser la série, on applique successivement un filtre de la forme (I−B) et unfiltre de la forme (I −B12). Dans un premier temps, le filtre (I −B) permet d’enlever latendance linéaire de la série. On note que ceci revient donc à choisir l’entier d du processus

Figure 5.7: ACF et PACF empiriques de la série bus.


ARIMA égal à 1.

diff busc / dbusc

La série différenciée est représentée sur le graphe en haut à gauche de la Figure 2.8. Onobserve qu’il existe toujours une saisonnalité que l’on fait disparaître, dans un secondtemps, à l’aide du filtre saisonnier (I −B12).

diff(sdiffs=1) dbusc / dd12busc

La série résultante que l’on obtient, notée dd12busbanc, est représentée sur le graphe enhaut à droite de la Figure 2.8. Cette série résultante que l’on note (Yt)t est donc la sérietelle que, pour tout t = 14, . . . , T , :

Yt = (I −B)(I −B12)Xt

= Xt −Xt−1 −Xt−12 + Xt−13.

On va alors chercher à modéliser cette série (Yt)t, asymptotiquement stationnaire, à l’aided’un processus ARMA.

5.3.0.2 Spécification du modèle

Dans une première étape, on va chercher à spécifier le modèle ARMA. On va donc chercherles ordres p et q des polynômes AR et MA à l’aide de l’ACF et de la PACF.

sta dd12busc 85:02 94:12correlate(std=dd12se,number=50,partial=dd12pacf,noprint) $dd12busc 85:02 94:12 dd12acfdis %nobsset dd12ic1 = 1.96*dd12seset dd12ic2 = -1.96*dd12seset dd12pic1 = 1.96/sqrt(%nobs)set dd12pic2 = -1.96/sqrt(%nobs)spgraph(vfields=2,hfields=2)graph(header=’dbusc’)# dbuscgraph(style=bar,overlay=line,ovcount=2,omax=1,omin=-1, $max=1,min=-1,number=1,header=’ACF’,subheader=’dd12busc’) 3# dd12acf 2 50# dd12ic1 2 50# dd12ic2 2 50


graph(header=’dd12busc’)# dd12buscgraph(style=bar,overlay=line,ovcount=2,omax=1,omin=-1, $max=1, min=-1,number=1,header=’PACF’,subheader=’dd12busc’) 3# dd12pacf 2 50# dd12pic1 2 50# dd12pic2 2 50spgraph(done)

On observe que l’ACF est en dehors de l’intervalle de confiance à 95% pour les retards 1,11, 12 et 13. Ceci nous porte à supposer que le modèle devra comporter une partie MA(1)non saisonnière et une partie MA(1) saisonnière, de période 12. En ce qui concerne laPACF, on observe que les valeurs sont en dehors de l’intervalle de confiance à 95% pour lesretards 1, 2, 10, 11 et 12. Donc on peut penser que le modèle comportera également unepartie AR(2) non saisonnière et une partie AR(1) saisonnière. Ainsi, en tenant comptede ces informations, on retient plusieurs modèles possibles auxquels nous feront passer lesdifférents tests de validation.

5.3.0.3 Estimation des paramètres

Le modèle que l’on retient finalement est un modèle SARIMA(011)(011)12. L’estimationdes paramètres de ce modèle se fait à l’aide de l’instruction boxjenk, de la manière suiv-ante :

box(noconstant,ar=0,diffs=1,ma=1,sar=0,sdiffs=1,sma=1,span=12, $define=buseq) busc 85:02 94:12 resbus

On obtient alors les résultats suivants :

Dependent Variable BUSC - Estimation by Box-JenkinsIterations Taken 13Monthly Data From 1985:02 To 1994:12Usable Observations 119 Degrees of Freedom 117Centered R**2 0.989541 R Bar **2 0.989451Uncentered R**2 0.989583 T x R**2 117.760

Figure 5.8: Evolution de la série dbusc (haut gauche) et de la série dd12busc (haut droite)et représentation de l’ACF de dd12busc (bas gauche) et sa PACF (bas droite).


Mean of Dependent Variable 15.36000626Std Error of Dependent Variable 242.56967255Standard Error of Estimate 24.91337650Sum of Squared Residuals 72619.130457Durbin-Watson Statistic 1.853524Q(29-2) 22.639120Significance Level of Q 0.70423937

Variable Coeff Std Error T-Stat Signif*******************************************1. MA1 -0.482198486 0.081037646 -5.95030 0.000000032. SMA12 -0.473196053 0.093345610 -5.06929 0.00000151

Le modèle estimé que l’on obtient est donc le suivant :

(I −B)(I −B12)(Xt − 1552) = (I − 0.4800B)(I − 0.4641B12)εt

5.3.0.4 Validation du modèle

Dans un premier temps, on teste la significativité des paramètres avec un risque α = 0.05.Les probabilités critiques renvoyées par le logiciel sont toutes les deux inférieures à 0.05,on peut donc conclure ques les paramètres sont statistiquement significatifs, au risqueα = 0.05.

Dans un second temps on s’intéresse aux résidus du modèle. Tout d’abors, la statistiquede Ljung-Box calculée par le logiciel possède une probabilité critique supérieure à 0.05.Ce test permet d’accepter, au risque α = 0.05, l’hypothèse de blancheur des résidus. Ex-aminons dans un second temps l’ACF et la PACF des résidus.

corr(stderrs=rse,number=25,partial=rpacf,qstats,span=1) $resbus 85:02 94:12 racfset ric1 = 1.96*rseset ric2 = -1.96*rseset rpic1 1 25 = 1.96/sqrt(%nobs)set rpic2 1 25 = -1.96/sqrt(%nobs)spgraph(vfields=2,hfields=2,header=’Serie : resbus’)graph# resbus

Figure 5.9: Graphiques de diagnostic sur la série des résidus, notée resbus.


Figure 5.10: Prévisions mensuelles de la série bus pour l’année 1995 et intervalle deconfiance à 95%.

graph(style=bar,overlay=line,ovcount=2,omax=1,omin=-1, $max=1,min=-1,number=1,header=’ACF’) 3# racf 2 25# ric1 2 25# ric2 2 25graph(style=bar,overlay=line,ovcount=2,omax=1,omin=-1, $max=1, min=-1,number=1,header=’PACF’) 3# rpacf 2 25# rpic1 2 25# rpic2 2 25spgraph(done)

Le graphique en haut à gauche de la Figure 2.9 représente l’évolution des résidus. Onobserve une très faible valeur des résidus pour le mois de janvier 1987. En fait, ce moiscorrespond à une forte grève des agents ayant eu lieu sur l’ensemble du réseau de laRATP. Ce mois peut donc être considéré comme une valeur aberrante. L’ACF et laPACF (Figure 2.9) des résidus montrent que l’hypothèse d’indépendance des résidus estvalide, car aucune valeur ne se trouve en dehors des intervalles de confiance de Bartlett etQuenouille. Ainsi, on accepte, au risque α = 0.05, l’hypothèse nulle de bruit blanc pourles résidus.

5.3.0.5 Prédiction

La prédiction du processus SARIMA, sur un horizon de 12 mois, se fait à l’aide de lamanière suivante :

forecast 1 12 95:01# buseq buscprevsta(noprint) ban 84:01 94:12set busprev = buscprev+%mean

Si on suppose que le prédicteur suit une loi Normale, on peut alors construire un intervallede confiance pour ce prédicteur. On désire alors tracer simultanément la série réelle, lasérie prévue et son intervalle de confiance au risque α = 0.05.

errors 1 12# buseq buspreverr 95:01

5.4. ANALYSE D’INTERVENTION 57

set icsup 95:01 95:12 = 1.96*buspreverr+busprevset icinf 95:01 95:12 = -1.96*buspreverr+busprevgraph(key=lol) 4# bus 95:01 95:12# busprev# icinf 95:01 95:12# icsup 95:01 95:12

Les prévisions obtenues sont présentées sur la Figure 2.5. Les résultats semblent être assezbons, car les prédictions se trouvent toutes à l’intérieur de l’intervalle de confiance à 95%.

5.4 Analyse d’interventionLorsqu’on travaille sur des séries chronologiques à caractère économique, on est souventamené à tenir compte d’événements de nature diverse, extérieurs au modèle, qui vien-nent perturber les séries. L’effet de ces évènements se fait sentir soit par la présenced’un ou plusieurs points dits aberrants, qui occasionnent une rupture ponctuelle dans lasérie, soit par un changement sensible durable dans l’évolution de la série. La théorie del’analyse d’intervention développée par Box et Tiao (1975) permet de prendre en compte,lors de la modélisation SARIMA d’une série chronologique, des interventions extérieuresau modèle. On apporte ainsi au modèle statistique une information supplémentaire detype qualitatif, qui est intégrée de manière additive au modèle à l’aide de variables déter-ministes exogènes de type binaire. On espère ainsi fournir une "meilleure" modélisationen terme d’ajustement du modèle aux données, grâce à l’utilisation d’un ensemble infor-mationnel plus grand.

On note (Xt)t∈Z la suite de variables aléatoires à modéliser, perturbée par une interventionextérieure. Le modèle d’intervention proposé par Box et Tiao (1975) se présente alors ousla forme suivante :

Xt = C +ω(B)bb

δ(B)ξt + Nt, (5.16)

où (Nt)t∈Z est supposé suivre un processus SARIMA défini par la Définition 2.3, où ω(z)est un polynôme de degré l tel que : ω(z) = ω0 +ω1z+ . . .+ωlB

l, où δ(z) est un polynômede degré r tel que : δ(z) = 1− δ1z− . . .− δrB

r et b est un entier qui représente un retardà determiner.

La fonction déterministe δ−1(B)ω(B)Bbξt, représente l’effet de l’intervention qui vients’ajouter de manière additive au bruit (Nt)t∈Z ; elle est appelée fonction d’intervention.Dans l’équation (2.16), la suite de variable aléatoire (ξt)t∈Z représente l’effet d’une inter-vention extérieure à la date t′, mis sous la forme d’une variable déterministe qui prend


pour valeur 1 ou 0 selon la présence ou l’absence de l’intervention. Cette variable est engénéral modélisée par deux classes de fonctions :

• une fonction en forme de saut :

ξt = S(t′)t =

0 si t < t′,

1 si t ≥ t′(5.17)

• une fonction en forme d’impulsion :

ξt = P(t′)t =

0 si t 6= t′,

1 si t = t′(5.18)

On remarque cependant que grâce à l’égalité suivante : (I − B)S(t′)t = P

(t′)t , on peut

toujours passer d’un saut à une impulsion.

Plus généralement, la série chronologique peut être perturbée par k interventions de na-tures différentes. Avec les notations précédentes, le modèle d’intervention (2.16) a alorsune représentation plus générale donnée par :

Xt = C +k∑

j=1

ωj(B)bbj

δj(B)ξ

(Tj)t + Nt, (5.19)

où, pour j = 1, . . . , k, ωj(z) est un polynôme de degré lj, où δj(z) est un polynôme dedegré rj et bj est un entier qui représente un retard à determiner.

Une hypothèse fondamentale lors de l’utilisation de l’analyse d’intervention est que lastructure du modèle, par exemple SARIMA, soit la même avant et après l’intervention.Ainsi, après avoir déterminé la date d’intervention, on fixe alors les deux sous-ensemblesde données correspondant à l’évolution du processus avant et après l’intervention. Onajuste ensuite le même modèle sur chacun de ces deux sous-ensembles. Dans notre cadre,comme nous nous intéressons aux processus linéaires, nous chercherons à ajuster un pro-cessus SARIMA à l’aide des outils classiques que sont les fonctions d’autocorrélation etd’autocorrélation partielle. En ce qui concerne la forme de la fonction d’intervention, iln’existe pas de méthode automatique fiable permettant de la déterminer. Cependant Boxet Tiao (1975) ont proposé différents types de fonctions permettant de s’adapter à la formegraphique que prend la série, suite à l’effet de l’intervention extérieure, d’où l’importanced’une analyse graphique ou géométrique de la série à étudier. Cette analyse graphiquenécessite donc une approche locale de la série qui s’éloigne de l’analyse souvent globaleutilisée quand on fait une modélisation paramétrique d’un processus. On se réfère égale-ment à l’article de Ferrara et Guégan (2000a) pour une description des quelques types de

5.4. ANALYSE D’INTERVENTION 59

fonctions d’intervention que l’on rencontre en pratique.

Le logiciel RATS permet d’estimer un modèle d’intervention à l’aide de l’instructionboxjenk. Cette instruction possède l’option inputs, qui permet de spécifier le nom-bre k d’interventions extérieures. La série (ξt)t et les entiers l, r et b de l’équation (2.15),sont spécifiés par une carte supplémentaire.

Par exemple, si on s’intéresse à nouveau à l’application présentée dans le paragraphe 2.3,on peut améliorer la modélisation et la prévision en prenant en compte la forte valeur dela série des résidus pour le mois de janvier 1986. On rappelle que cette faible valeur dutrafic sur le réseau des bus de banlieue est due à une grève des agents RATP. L’analysed’intervention va alors nous servir à mesurer l’impact de cette grève sur le trafic. Onsuppose que cette grève a un effet ponctuel sur le trafic et on spécifie alors la fonctiond’intervention par une impulsion en date de janvier 1987. Dans RATS, la spécification etl’estimation du modèle se font de la manière suivante :

set P8701 84:01 95:12 = T==87:01box(noconstant,ar=0,diffs=1,ma=1,sar=0,sdiffs=1,sma=1,span=12, $define=buseq2,inputs=1,apply) busc 85:02 94:12 resbus2# P8701 0 0 0

On obtient alors le résultat suivant :

Dependent Variable BUSC - Estimation by Box-JenkinsIterations Taken 14Monthly Data From 1985:02 To 1994:12Usable Observations 119 Degrees of Freedom 116Centered R**2 0.990651 R Bar **2 0.990489Uncentered R**2 0.990688 T x R**2 117.892Mean of Dependent Variable 15.36000626Std Error of Dependent Variable 242.56967255Standard Error of Estimate 23.65590274Sum of Squared Residuals 64913.801171Durbin-Watson Statistic 1.873671Q(29-2) 23.190264Significance Level of Q 0.67474964

Variable Coeff Std Error T-Stat Signif*********************************************************1. MA1 -0.49465185 0.08122314 -6.09004 0.000000022. SMA12 -0.41946909 0.09517685 -4.40726 0.00002349


3. N_P87010 -65.03550992 17.38301277 -3.74133 0.00028614

Ainsi, le modèle que l’on obtient est donné par l’équation suivante :

Xt = 1552− 65.036P 8701t +

(I − 0.4947B)(I − 0.4195B12)

(I −B)(I −B12)εt (5.20)

On constate donc que cette grève des agents a entraîné une perte d’environ 65036 passagersen moyenne par jour ouvrable du mois de janvier 1987. La valeur du paramètre ω0

est significativement non nulle, au risque α = 0.05. De plus, on amélioré la qualitéd’ajustement du modèle aux données, car si on compare l’écart-type des résidus avecl’écart-type des résidus obtenus par le SARIMA, on constate que l’on passe de 24.91 à23.66. De même, si on s’intéresse aux prévisions sur un horizon de 12 mois, on comparealors la capacité prédictive à l’aide du critère de la moyenne des erreurs relatives deprévision (MER), défini par :

MER =1

h

h∑l=1

(Xt+l − Xt(l))

Xt+l

, (5.21)

où h est l’horizon de prévision et Xt(l) est la valeur prédite de Xt+l. Le modèle d’analysed’intervention fournit un MER égal à -0.6718, alors que le modèle SARIMA fournitun MER égal à -0.7275. Ainsi, le modèle d’analyse d’intervention permet égalementd’améliorer la qualité des prévisions. Un autre exemple d’application, pour lequel le gainen qualité d’ajustement et en qualité de prévision est substantiel, se trouve dans l’articlede Ferrara et Guégan (2000a).

On retiendra que la méthode d’analyse d’intervention est un outil fort intéressant pour unpraticien, car elle permet de mesurer de manière fiable l’impact d’un événement extérieursur une série.

Figure 6.1: IPI en niveau et taux de croissance mensuel

Chapter 6

Tests

Ce chapitre introduit les fonctions du module FinMetrics intégrées au logiciel S-Plus etdédiées aux tests statistiques. S’agissant des détails statistiques, on se réfère aux poly-copiés distribués en cours, en particulier en ce qui concerne le test de racine unitaire

Le module FinMetrics se lance à partir de S-Plus par la commande :

> module(finmetrics)

On suppose que l’on observe la trajectoire suivante (X1, . . . , XT ). Les tests présentésci-dessus constituent l’analyse préalable à toute tentative de modélisation, mais serventégalement au diagnostic du modèle (étape de validation). Dans ce dernier cas, les testsseront appliqués sur la série des résidus.

Dans les exemples présentés ci-dessous, on choisit de tester la série de l’indice de la pro-duction industrielle (hors construction et énergie) dans la zone euro de janvier 1990 àoctobre 2008 ipi ou la série du taux de croissance mensuel de l’IPI dipi (voir graphiqueci-dessous).

6.1 Test de stationnarité

On commence naturellement par se poser la question de la stationnarité de la série d’étude.On insiste sur le fait que les modèles proposés ne permettent de ne modéliser que des sériesstationnaires. Ce test permet de tester l’hypothèse de stationnarité de la série (absencede racine unitaire) à l’aide de deux méthodes : celle proposée par Dickey et Fuller (1979)et de celle proposée par Philips et Perron (1988). Les deux méthodes s’implémentent à

61

62 CHAPTER 6. TESTS

l’aide de la fonction uniroot(.) en jouant sur l’option method, le test par défaut étantcelui de Dickey et Fuller.

6.1.1 Test de Dickey-Fuller augmenté (ADF test)

On rappelle que ce test est basé sur la régression linéaire suivante:

∆Xt = C + δt + ρXt−1 +

p∑i=1

ai∆Xt−i + ut, (6.1)

où C est une constante et (ut)t est un bruit blanc faible. La constante C et la tendancelinéaire δt peuvent être inclues ou non dans la régression, donnant ainsi trois types detest possibles. L’hypothèse nulle H0 : ρ = 0 est ainsi testée à l’aide de la statistique deStudent suivante : ρ/

√V ar(ρ). Les valeurs critiques usuelles ne sont pas valides dans ce

type ce test. Les valeurs critiques à utiliser dans chacun des trois cas possibles ont ététabulées par Dickey et Fuller.

La commande suivante permet d’effectuer le test ADF sur la série en niveau en utilisantle nombre de retards par défaut :

> unitroot(ipi)

Test for Unit Root: Augmented DF Test

Null Hypothesis: there is a unit rootType of Test: t-test

Test Statistic: -1.305P-value: 0.6276

Coefficients:lag1 lag2 lag3 lag4 lag5 lag6 lag7 lag8 constant

-0.0066 -0.4586 -0.0341 0.2950 0.2376 0.2147 0.1943 0.1296 0.6560

Degrees of freedom: 218 total; 209 residualResidual standard error: 0.7095

On observe ainsi que l’hypothèse nulle de non-stationarité de la série est acceptée par letest. Nous pouvons étendre ce résultat à d’autres spécifications du test. Par exemple,l’option lags permet de choisir le nombre p de retards à inclure dans la régression etl’option trend permet de choisir les variables déteministes à inclure dans la régression:

trend="nc" : pas de constante ni de tendance linéairetrend="c" : constante mais de tendance linéaire

6.1. TEST DE STATIONNARITÉ 63

trend="ct" : constante et tendance linéaire.

Ainsi, on peut mener le test suivant :

> unitroot(ipi,lags=1,trend="nc")



Test Statistic: 2.08P-value: 0.9912

Coefficients:lag1

0.0012


On conclut de manière similaire à la non-stationnarité de la série. Les différentes spéci-fications du test mènent à des conclusions identiques. Il reste donc à vérifier que la sériedifférenciée du taux de croissance mensuel est bien stationnaire.

> unitroot(dipi,lags=1,trend="nc")



Test Statistic: -20.49P-value: 1.997e-36

Coefficients:lag1

-1.3072


Ainsi, on accepte bien la stationnarité de la série du taux de croissance mensuel de l’IPI.On pourra donc proposer un processus pour cette série.

64 CHAPTER 6. TESTS

6.1.2 Test de Phillips-Perron

Ce test permet de tester l’hypothèse nulle de stationnarité à partir de la statistique suiv-ante:

ν =1

n2s2(l)

T∑t=1

S2t , (6.2)

où s2(l) est la variance de long terme de la série (et)t, cette série étant le résidu de larégression suivante:

Xt = τ + δt + et,

et où St est la somme partielle de ces résidus estimée par St =∑t

i=1 ei. Phillips et Perron(1988) proposent d’estimer la variance de long terme de la manière suivante :

s2(l) =1

T

T∑t=1

e2t +

2

T

l∑j=1

ω(j, l)n∑

t=j+1

etet−j, (6.3)

où les poids sont en général donnés par l’égalité suivante (voir Newey and West (1994)):

ω(j, l) = 1− j

l + 1. (6.4)

Les valeurs critiques à utiliser ont été tabulées par Phillips et Perron.La commande suivante permet d’effectuer le test PP :

> unitroot(ipi,method="pp")

Test for Unit Root: Phillips-Perron Test


Test Statistic: -0.3045P-value: 0.9208

Coefficients:lag1 constant

-0.0023 0.3292


Le test de PP confirme la non-stationnarité de la série même en prenant un risque αtrès élevé (p-value de 0.9208). De manière similaire à précédemment, le test acceptel’hypothèse de stationnarité de la série du taux de croissance mensuel.

6.2. TEST DE BLANCHEUR 65

Remarque 6.1 Il est à souligner que ces tests de stationnarité sont peu puissants enparticulier contre l’alternative de stationnarité avec longue mémoire. En effet, dans lecas d’une forte persistence dans une série stationnaire, les tests de racine unitaire auronttendance a rejeter à tort la stationnarité. Ce résultat aura donc tendance à entraîner unesur-différenciation de la série (on différencie une série déjà stationnaire), donc une perted’information dommageable pour le modélisateur.

6.2 Test de blancheurA partir d’une série stationnaire, il s’agit donc maintenant vérifier la présence d’informationdans les données, c’est à dire de mettre en évidence de l’autocorrélation. Ce test deblancheur permet de tester l’hypothèse nulle d’absence d’autocorrélation dans la série(X1, . . . , XT ), en utilisant la significativité globale des K premières autocorrélations ρ(1), . . . , ρ(K).Ainsi, sous l’hypothèse nulle, la série suit un processus bruit blanc, bien qu’il ne soit paspossible de discriminer avec ce test entre un bruit blanc faible et un bruit blanc fort. Deuxstatistiques sont disponibles: la statistique de Ljung-Box et celle de Box-Pierce. Toutesles deux suivent une loi de Chi-2 (voir aussi Chapitre précédent).

6.2.0.1 Test de Box-Pierce

Le test de Box et Pierce (1970) est basé sur la statistique suivante :

QK = TK∑

k=1

ρ2(k). (6.5)

Sous l’hypothèse de non-corrélation des K premières valeurs de la série (H0 : ρX(1) =ρX(2) = . . . = ρX(K) = 0), cette statistique suit asymptotiquement une loi du Chi-2 à(K) degrés de liberté. L’adéquation du modèle est rejetée au risque α, si :

QK > χ21−α(K).

6.2.0.2 Test de Ljung-Box

Le test de Ljung-Box de non-corrélation est basé sur la statistique suivante :

QLB = T (T + 2)K∑

k=1

ρ2(k)

T − k. (6.6)

Cette statistique QLB est également distribuée selon une loi de Chi-2 à (K) degrés deliberté sous H0.

66 CHAPTER 6. TESTS

Dans FinMetrics, l’instruction autocorTest() permet de mettre en place ces deux tests.L’option par défaut method="lb" permet d’utiliser la statistique de Ljung-Box et l’optionmethod="bp" permet d’utiliser la statistique de Box-Pierce. L’option lag.n permet dechoisir l’entier K. Le choix de K n’est pas automatique. En pratique, on fait varier K eton observe les changements dans la P-value ou la valeur de la statistique.Le test de Ljung-Box sur la série du taux de croissance de l’IPI est réalisé à l’aide del’instruction autocorTest(), de la manière suivante :

> autocorTest(dipi,lag.n=1)

Test for Autocorrelation: Ljung-Box

Null Hypothesis: no autocorrelation

Test Statistics:

Test Stat 25.1241p.value 0.0000

Dist. under Null: chi-square with 1 degrees of freedomTotal Observ.: 225

Ainsi, en prenant K = 1, on rejette l’hypothèse nulle d’absence d’autocorrélation dans lasérie. De même, en augmentant le nombre K, la p-value reste toujours proche de zéro.Cela signifie donc que cette série n’a pas été engendrée par un bruit blanc et que l’onpourra alors chercher à mettre en place un processus sur cette série afin de modéliserl’espérance conditionnelle.

Remarque 6.2 Lorsqu’on cherche à tester la blancheur de résidus (εt)t issus d’un pro-cessus ARMA(p, q), le nombre de degré de liberté des tests est égal à (K−p− q). A noterque ces tests de blancheur de type Portmanteau sont à utiliser avec prudence car ils sontconnus pour leur faible puissance.

6.3 Test de NormalitéCe test permet de tester l’hypothèse nulle de Normalité de la distribution non condition-nelle de (Xt)t. Ce test vient en complément du test de Kolmogorov-Smirnov disponibledans S-Plus (ks.gof()). On renvoie au cours de statistique pour un rappel de ces tests.Il est réalisé à l’aide de l’instruction normalTest(). L’option method permet de choisir letype de test, soit le test de Shapiro-Wilks (method="sw", option par défaut), soit le testde Jarque-Bera (method="jb").

6.4. TEST DE PRÉSENCE D’EFFET ARCH 67

Ainsi, si l’on désire tester la Normalité du taux de croissance de l’IPI on effectue la com-mande suivante :

> normalTest(dipi,method="jb")

Test for Normality: Jarque-Bera

Null Hypothesis: data is normally distributed

Test Statistics:



Les résultats indiquent donc que l’on peut accepter l’hypothède nulle de Normalité avecun risque α élevé (p-value de 0.667).

6.4 Test de présence d’effet ARCHCe test du multiplicateur de Lagrange permet de tester l’hypothèse nulle d’homoscédasticitécontre l’hypothèse alternative d’une composante ARCH dans la série d’étude, notée (Yt)t.On se réfère, par exemple, à Guégan (1994) pour un descriptif précis du test. Dans lapratique, on utilise le fait que la statistique du multiplicateur de Lagrange, notée FL,vérifie l’égalité asymptotique suivante :

FL ∼ TR2, (6.7)

où R2 est le coefficient de détermination issu de la régression linéaire avec constante de Y 2t

sur Y 2t−1, . . . , Y

2t−p et où T est le nombre d’observations utilisées dans la régression. Sous

l’hypothèse nulle d’homoscédasticité, la statistique FL suit une loi du Chi-deux à p degrésde liberté. Une valeur de FL élevée est due à une valeur élevée du coefficient de détermi-nation R2, ce qui signifie que le pouvoir explicatif des variables exogènes dans l’équationde régression de Y 2

t sur Y 2t−1, . . . , Y

2t−p est élevé. Dans ce cas, on a alors tendance à rejeter

l’hypothèse nulle d’homoscédasticité.

Le test du multiplicateur de Lagrange d’effet ARCH se met en place à l’aide de la com-mande archTest(). L’option lag.n permet de choisir le nombre p de retards à incluredans la régression. Il est conseillé de faire varier p et de vérifier que les résultats du testconvergent. Toutefois, ce test n’est pas puissant pour spécifier le processus ARCH(p).

68 CHAPTER 6. TESTS

Pour tester la présence d’effet ARCH dans la série du taux de croissance de l’IPI on ef-fectue la commande suivante:

> archTest(dipi, lag.n = 1)

Test for ARCH Effects: LM Test

Null Hypothesis: no ARCH effects

Test Statistics:



Les résultats indiquent que l’on accepte l’hypothèse nulle d’absence d’effet ARCH avec unrisque standard. Par conséquent, il ne semble pas utile de mettre en place un processusde type GARCH sur cette série.

Chapter 7

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