Serveur d'exercices Sciences.ch - Méthodes Numériques qui donne: Nous retrouvons donc bien le résultat de la ... Le terme SEE et n a déjà été calcul plus haut ... prix net du

EXERCICES DE

MMÉÉTTHHOODDEESS NNUUMMÉÉRRIIQQUUEESS (version 2.3 Révision 4 du 17.10.2010)

Sciences.ch Méthodes numériques

Serveur d'exercices 2/33

EXERCICE 1.

Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : [email protected] Mots-clés : Régression linéaire (méthode des moindres carrés)

Énoncé:

Considérons les données suivantes:

En utilisant la méthode des moindres carrés et MS Excel déterminez l'équation de la droite (les estimateurs de la pente et de l'ordonnée à l'origine) de cet échantillon de données ainsi que son coefficient de corrélation.

Solution:

Nous avons:

1 1

1 1 1 11 2 2

2

1 1 12

1

2

cov( , )ˆ( )

81 1261256

9 1.2281

8299

n n

k kn n n nk k

k k k k k kk k k k

n n n

k k knk k k

kk

x y

n x y x y x ynX Y

aV x

n x x x

n xn

et:



0126 81ˆ 1.22 3.02

9 9b y ax

L'équation de la droite d'ajustement est donc:

1.22 3.02y x

Nous obtenons les mêmes valeurs avec MS Excel:

=PENTE(C2:C10;B2:B10)=1.22 =ORDONNEE.ORIGINE(C2:C10;B2:B10)=3.02

ou sous forme matricielle en sélectionnant deux cellules horizontales au préalable:

=DROITEREG(C2:C10;B2:B10)

Nous avons aussi sous forme graphique:

Pour déterminer un point de la droite nous avons:

=PREVISION(8;C2:C10;B2:B10)

Le coefficient de corrélation est:



1 1 1,

2 22 2

1 1 1 1

2 22 2

1 1 1 1

1

cov( , )

( ) ( )1 1

81 126 81 1261256 1256

9 9829 729 1948 17641 1

122

135.6

n n n

k k k kk k k

X Yn n n n

i i i ik k k k

n n n n

i i i ik k k k

x y x ynX Y

RX Y

x x y yn n

x x y yn n

0.89944

avec MS Excel:

=COVAR(B2:B10;C2:C10)/(ECARTYPEP(B2:B10)* ECARTYPEP(C2:C10))=0.8994

ou sous forme condensée:

=COEFFICIENT.CORRELATION(B2:B10;C2:C10)=0.8994

ou encore autrement:

=PEARSON(B2:B10;C2:C10)=0.8994

avec le graphique:

Nous y voyons:

2 20.8089 0.8994R

ce qui peut être obtenu directement avec:



=COEFFICIENT.DETERMINATION(B2:B10;C2:C10)=0.8089



EXERCICE 2.

Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : [email protected] Mots-clés : Analyse de la variance de la régression

Énoncé:


En utilisant la méthode des moindres carrés et MS Excel faites une analyse de la régression est détaillez tous les calculs donnés par MS Excel selon la théorie vue en cours.

Solution:

Allez dans le menu Tools/Data Analysis… et choisissez l'outil Regression avec les paramètres suivants:



Nous avons alors:

Notre cahier des charges est de détailler les calculs dans les cellules:

B4;B5;B7;B8;B17;B18;C17;C18;C25:C33.

On laisse donc tomber le tableau de l'ANOVA de l'analyse de la régression qui est pour moi une supercherie ainsi que les autres valeurs qui ont, je pense, peu d'intérêt.

Commençons par B4. Nous l'avons déjà calcul dans l'exercice précédent:

R=PEARSON(B2:B10;C2:C10)=0.8994

ainsi que B5:

2R =COEFFICIENT.DETERMINATION(B2:B10;C2:C10)=0.8089

la cellule B8 quant à elle est très simple à obtenir:

=NB(B2:B10)=9

La cellule B7 est un peu plus longue. Nous avons vu dans la théorique que:



2 '

2 2

k kik

Y ye

SSEn n

Nous utilisons alors cette partie du tableau:

où la colonne Residual C25:C33 est simplement la différence entre les valeurs mesurées de la variables expliquée et la valeur théorique. Effectivement:

où FORECAST est la version anglophone de la fonction PREVISION.

Maintenant calculons dans une colonne les Residuals:

Ensuite mettons tous ces résidus aux carrés, et effectuons la somme et enfin divisions par le nombre de données – 2 et on prend la racine:



ce qui donne:

Nous retrouvons donc bien le résultat de la cellule B7!

Le contenu des cellules B17 et B18:

est déjà connu grâce à l'exercice précédent:

=PENTE(C2:C10;B2:B10)=1.22 =ORDONNEE.ORIGINE(C2:C10;B2:B10)=3.02

Donc intéressons-nous maintenant à leur écart-type C17 et C18:

Nous avons démontré dans la théorie qu'il était donné par:

2

( )( )A

SEEV A

n V x

et

2 2

2( )

( )

kk

B

SEE x

V Bn V x



Le terme SEE et n a déjà été calcul plus haut nous n'y reviendrons pas. Le calcul de ( )V x est lui aisé:

=VARP(B2:B10)=11.111

et donc pour l'écart-type non biaisé de la pente:

=SQRT(B7^2/(COUNT(B2:B10)*VARP(B2:B10)))=0.2241

Nous procédons de manière similaire pour l'écart-type non biaisé de l'ordonnée à l'origine mais d'abord nous calculons la somme:

2k

k

x

à l'aide de la fonction:

SUMPRODUCT(B3:B11;B3:B11)=829

nous avons alors:

=SQRT(B7^2* SUMPRODUCT(B3:B11;B3:B11)/(COUNT(B2:B10)^2*VARP(B2:B10)))=2.1509



EXERCICE 3.

Niveau : Fac (Lycée) Auteur : [email protected] Mots-clés : Régression linéaire multiple

Énoncé:


qui donnent en fonction du prix net de la matière brute de trois composants d'un produit, le prix net du produit fini observé sur le marché. Sous l'hypothèse d'une dépendance linéaire, déterminez avec les relations étables dans le chapitre de Méthodes numériques les coefficients de régression et ensuite avec l'Utilitaire d'analyse de MS Excel.

Solutions:

Nous avons démontré dans le chapitre de Méthodes Numériques que:

1ˆ T TX X X y

D'abord nous allons construire la matrice X que j'aime bien représenter sous la forme suivante dans un tableau (choix tout à fait discutable):



Il s'agit maintenant de transposer les cellules J14:M32 en sélectionnant ces dernières et en faisant un collage spécial avec transposition (Edition/Collage Spécial):

Pour obtenir (collage effectué sur la cellule I36) TX :



Ensuite, nous nous occupons de TX X . Pour cela on sélectionne bien évidemment dans le cas présente une plage de cellules de 4 4 de I43 à L46 (par exemple…) après quoi nous écrivons la formule Excel permettant de faire une multiplication matricielle dans la version anglophone (la formule doit s'écrire dans I43!):

=MMULT(I36:AA39;J14:M32)

et nous validons par Ctrl+Shift+Enter ce qui donne:

Ensuite, nous sélectionnons pour le calcul de l'inverse 1TX X

une plage aussi de 4 4

de I50 à L53 (par exemple…) après quoi nous écrivons la formule Excel permettant de faire une inversion matricielle dans la version anglophone (la formule doit s'écrire dans I50!):

=MINVERSE(I43:L46)


Après, il nous faut donc calculer 1T TX X X

. Pour cela, nous sélectionnons une plage de

4 19 de I57 à AA60 (par exemple…) après quoi nous écrivons la formule Excel permettant de faire une multiplication matricielle dans la version anglophone (la formule doit s'écrire dans I57!):

=MMULT(I50:L53;I36:AA39)




Dernière étape, il faut calculer 1T TX X X y

. Pour cela, nous sélectionnons une plage de

4 1 de I64 à I67 (par exemple…) après quoi nous écrivons la formule Excel permettant de faire une multiplication matricielle dans la version anglophone (la formule doit s'écrire dans I64!):

=MMULT(I57:AA60;I14:I32)


Nous avons donc:

35'102.9 2.06596 Cout A 4.17636 Cout B 4.79064 Cout Cy

Calculons maintenant manuellement le coefficient de corrélation pour voir s'il correspond à ce que nous obtiendrons avec l'Utilitaire d'Analyse de MS Excel.

2

22

ˆkk

kk

y ySCE

RSCT y y

D'abord nous construisons le tableau suivant:



et nous l'étendons avec les relations triviales suivantes:



Ce qui donne:



Maintenant nous allons voir si nous retrouvons les mêmes coefficients de la droite de régressions avec l'Utilitaire d'Analyse:

Nous validons par OK:



et nous validons par OK:

et nous y retrouvons donc les mêmes coefficients que ceux calculés manuellement (en plus de plein d'autres déjà vus dans l'exercice précédent).



EXERCICE 4.

Niveau : Fac (Lycée) Auteur : [email protected] Mots-clés : Régression linéaire multiple à variables qualitatives

Énoncé:


Comparez les résultats entre les régressions linéaires multiples en considérant:

E1. Les données des ventes (colonne C) et leur numéro de série (colonne A) uniquement (comme le font beaucoup de débutants)

E2. Les données des ventes (colonne C) et en discrétisant les trimestres de la colonne B en trois colonnes séparées (comme le font beaucoup d'amateurs éclairés).



E3. Les données des ventes (colonne C) et en discrétisant les trimestres de la colonne B en trois colonnes séparées et les années de la colonne D en 8 colonnes séparées.

Solutions:

S1. Nous procédons comme dans l'exercice précédent en lançant l'utilitaire d'analyse:

Nous validons par OK et prenez les paramètres suivants:

Nous aurons alors:



Avec le graphique suivant (modifié un peu au préalable pour des raisons esthétiques évidentes):

Il est important de se concentrer sur la table:



Afin de voir que le résultat n'est vraiment pas probant! Au niveau de:

Nous avons donc 4 chances sur 1000 que la colonne A soit inutile pour faire de la prédiction sur les ventes.

E2. Nous créons le tableau suivant:

avec:



où nous avons avec les trois colonnes Q1, Q2, Q3, Q4 la description des 4 trimestres car:

Q1=1,0,0 Q2=0,1,0 Q3=0,0,1 Q4=0,0,0

Et nous faisons une analyse de la régression:



Nous avons alors:

il faut supprimer les graphiques créés qui ne servent à rien et en recréer un à partir de zéro en utilisant les données qui sont à la ligne 26 pour obtenir:



Visuellement cela à l'air d'être déjà mieux qu'avant. Chose particulièrement intéressant: la discrétisation d'une des variables permet de ne plus avoir une simple droite!

Il est important de se concentrer sur la table:

Mais le résultat est moins bon qu'avant mathématiquement comme nous le montre les valeurs précédentes.

Afin de voir que le résultat n'est vraiment pas probant! Au niveau de:

Nous avons donc 4 chances sur 10 que les colonnes E, F, G soient inutiles pour faire de la prédiction sur les ventes.

Analysons brièvement le tableau:



qui signifie dans le cas présent que :

- le trimestre 1 (Q1) excède le trimestre 4 par 94.39



E3. Nous créons le tableau suivant:

avec les formules suivantes:



Et nous faisons une analyse de la régression:

Nous avons alors:



il faut supprimer les graphiques créés qui ne servent à rien et en recréer un à partir de zéro en utilisant les données qui sont à la ligne 34 pour obtenir:

Visuellement cela à l'air d'être déjà mieux qu'avant.

Il est toujours important de se concentrer sur la table:



Le résultat est donc nettement meilleur qu'avant!

Au niveau de:

Nous avons donc 54 chances sur 1000000 que les colonnes E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O soient inutiles pour faire de la prédiction sur les ventes.

Voyons les différences sous forme résumée:



EXERCICE 5.

Niveau : Fac (Lycée) Auteur : [email protected] Mots-clés : Analyse en composantes principales

Énoncé:

Soit les données suivantes concernant des fleurs:

Fleur n°

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

5.1 4.9 4.7 4.6 5.0 7.0 6.4 6.9 5.5 6.5 6.3 5.8 7.1 6.3 6.5

3.5 3.0 3.2 3.1 3.6 3.2 3.2 3.1 2.3 2.8 3.3 2.7 3.0 2.9 3.0

1.4 1.4 1.3 1.5 1.4 4.7 4.5 4.9 4.0 4.6 6.0 5.1 5.9 5.6 5.8

Effectuez une A.C.P. avec Minitab 15.1 (car Microsoft Excel 2003/2007 n'a aucun outil intégré pour par défaut) afin d'identifier des regroupements possibles et déterminez avec une approche de corrélation les valeurs propres aussi des différentes composantes

Solution:

Nous ouvrons Minitab et y mettons les données:



Ensuite, nous allons dans le menu Stat/Multivarié/Composantes principales…:

Ensuite nous prenons les données comme indiqué ci-dessous:



et en cliquant sur le bouton Graphiques…:

Nous validons le tout en cliquant 2 fois sur OK:



et en ce qui concerne les valeurs propres Minitab nous donne dans la fenêtre d'exécution:

Documents

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