SIG3141 Partie I: Analyse de Fourier ESIEA 2005-06 D Kateb VOLUME HORAIRE ET RYTHME Face à face pédagogique : -10h30 de cours et -10h30 de TD Travail personnel

SIG3141Partie I: Analyse de Fourier

ESIEA 2005-06 D Kateb

• VOLUME HORAIRE ET RYTHME

Face à face pédagogique : - 10h30 de cours et - 10h30 de TD

Travail personnel moyen : 22h30


• CHAPITRES ETUDIES

I Les séries de Fourier

II Les espaces L1 et L2

III La transformation de Fourier et la convolution

IV Les distributionsBientôt sur

professeurs.esiea.fr/kateb

login: esiea

mdp : etudiant


• Rythme du cours à titre indicatif


• En cours : travail régulier : ne pas se laisser dépasser !

• Un cours de soutien pour les nouveaux

• En TD : peu de séances donc bien les utiliser : un travail préparatoire chaque fois !


• EVALUATION

Examen partiel : Analyse de Fourier et questions de cours en Signal

Examen final : Signal et questions de cours Analyse de Fourier

Note finale : 50% Examen partiel et 50% Examen final+participation aux TD+TDAO

INTRODUCTIONAméliorer la qualité d’un son , d’une image :Enregistrement bruité que l’on cherche à débruiter (illustration 1)(ou Image que l’on veut rendre plus nette : illustration 2)

- 1. Une représentation du signal où le bruit est isolé- 2. Un outil qui permet de supprimer le bruit

Pour 1 : L’analyse de Fourier ou Analyse spectrale : séries ou intégrales

Pour 2 : La convolution modélisation des filtres linéaires ( intégrale)

illustration 1 Mathematica

illustration 2 Mathematica

Organigramme

Analyse spectrale

Séries de FourierTransformée de Fourier

Filtrage

La convolution

Echantillonnage

Fonctions périodiques

Fonctions L1Fonctions L2 Distributions

INTRODUCTION

Bases mathématiques pour le traitement du signal.

Un signal peut être défini comme une quantité mesurable, dépendant du temps ou de l’espace.

Un son : Une image :

INTRODUCTION

Un signal est modélisé par une fonction d’une ou de plusieurs variables (temps, espace,…)

20 40 60 80 100

-15000

-10000

-5000

5000

10000

15000

f(t) : amplitude en fonction du temps

f(x,y) : intensité lumineuse ou nuances de gris en fonction des variables d’espace

INTRODUCTION

Modèle plus général les distributions

Signal d’intensité infini sur un temps très bref : Distribution ou impulsion de Dirac :

INTRODUCTION

• Notion de fréquenceEn grattant une pièce dentelée à une cadence lente :on obtient un son graveOn obtient un son aigu si la cadence est rapide :Son obtenu en grattant une plaque de plastique dentelée avec un cadence qui s’accélère.

Pour un son : fréquence = hauteur

Sons aigus hautes fréquencesSons graves basses fréquences

Sons purs

Un son pur ne contient qu’une seule fréquence :

Il est représenté par une fonction sinusoïdale :

est la fréquence du son elle correspond à sa hauteur

=440 HZ correspond au la medium.

)2sin()2cos( tbta

Superposition de sons purs

On additionne des sons purs de fréquences multiples :

cliquez ici

Superposition de sons purs

On obtient un son de fréquence

Le son résultant n ’est plus pur.

Le théorème de Fourier

Les sons que l’on trouve dans la nature ne sont pas purs,mais sont des superpositions de sons purs :

Ils contiennent une fréquence qui détermine leur hauteur et toutes les

fréquences n

Le théorème de Fourier

On peut alors les modéliser en somme (infinie) du type :

qu’on appelle série trigonométrique.

)2sin()2cos( tnbtna nn

Le contexte mathématique

Pour modéliser un son d ’une fréquence , on doit disposer d’une fonction périodique f de période :

associée à la pulsation :

1

T

22

T

Le contexte mathématique

Si cette fonction est de classe C1 , elle est

alors la somme d ’une série trigonométrique

0

)sin()cos()(n

nn tnbtnatf

Calcul des coefficients

Les coefficients : et ne sont pas quelconques

ils sont définis par des formules intégrales ils mesurent la ressemblance de f avec la

fréquence pure n

Leur module définit l’amplitude de cette fréquence

na nb


Pour calculer les coefficients : et

On multiplie f par et

Puis on calcule les intégrales :

et

en remplaçant f par la série :(en se plaçant dans un cas idéal, cela revient à calculer la série des

intégrales)

na nb

)cos( tp

T

dttptf0

)cos()(

)sin( tp

T

dttptf0

)sin()(


000

0

)sin(cos)cos(cos

cos)(

n

T

n

T

n

T

dttntpbdttntpa

dttptf

000

0

)sin(sin)cos(sin

sin)(

n

T

n

T

n

T

dttntpbdttntpa

dttptf

et

On obtient :


On utilise des propriétés intégrales des fonctions trigonométriques :

et

pnsi

pnsiT

dttptnT

02)(cos)cos(

0

0)(sin)cos()(sin)cos(000

dttptndttmdttnTTT

pnsi

pnsiT

dttptnT

02)(sin)sin(

0


0

000)sin(cos)cos(coscos)(

n

T

n

T

n

Tdttntpbdttntpadttptf

dttptpadttptfT

p

T

00

)cos(coscos)(

Dans chaque série, tous les termes sont nuls sauf pour p=n, on a (pour la première intégrale) :

soit


On obtient ainsi successivement :

et pour :

et

dttfT

aT

00 )(

1

1n

dttntfT

aT

n 0

)cos()(2

dttntfT

bT

n 0

)sin()(2


Vérifiez ces calculs,

c ’est un très bon exercice pour vous remettre dans « le bain »!

Série de FourierUne série de Fourier est une série du type:

avec :

et pour : et

Les nombres an et bn sont appelés

coefficients de Fourier

1

0 )2sin()2cos(n

nn tnbtnaa

dttfT

aT

00 )(

1

1n

dttntfT

aT

n 0

)cos()(2

dttntfT

bT

n 0

)sin()(2

Théorème 1(Lejeune-Dirichlet)

Toute fonction f, T périodique, C1 par morceaux est décomposable en série de Fourier. On a :

si f est continue au point t.

Et plus généralement :

1

0 )sin()cos()(n

nn tnbtnaatf

1

0 )sin()cos(2

)()(

n

nn tnbtnaatftf

Analyse harmonique ou spectrale

composition fréquentielle du signal

a0 représente la moyenne f sur une période :

dttfT

aT

00 )(

1

-5-2.5 2.5 5 7.5 1012.5

123456

fHxL

-5-2.5 2.5 5 7.5 1012.5

123456

fHxL

1 2 3 4 5 6

123456

a0

Analyse harmonique

est le fondamental :

c ’est l ’harmonique le plus important : il donne le

rythme du signal.

-5-2.5 2.5 5 7.5 1012.5

123456

fHxL

)2sin()2cos( 11 tbta

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

2

3

4

5

Analyse harmonique

2n )sin()cos( tnbtna nn Et pour sont les harmoniques de rang n.

Ils représentent les détails du signal et sont de moins en moins importants, au fur que n augmente.

1 2 3 4 5 6

-2-1.5-1

-0.5

0.51

1.52

harmonique de rang 2

1 2 3 4 5 6

-2-1.5-1

-0.5

0.51

1.52

harmonique de rang 3

1 2 3 4 5 6

-2-1.5-1

-0.5

0.51

1.52harmonique de rang 4

Synthèse harmonique

La somme de la moyenne, du fondamental et de toutes les harmoniques reconstituent le signal :

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

2

3

4

5

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

1

2

3

4

5

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

1

2

3

4

5

6

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

1

2

3

4

5

6

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

1

2

3

4

5

6

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

1

2

3

4

5

6

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

1

2

3

4

5

6

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

1

2

3

4

5

6

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

1

2

3

4

5

6

Représentation spectrale

On représente la composition spectrale du signal par un diagramme en bâton qui matérialise l ’amplitude de chaque harmonique : 22

nnn baA

2 4 6 8

0.5

1

1.5

2Spectre de f

Propriétés des coefficients

Dans certains cas on saura, sans faire les calculs, que des coefficients s ’annulent.

• Cas où f est paire : tous les bn sont nuls.

avec et pour

tnaafS nn

cos)(1

0

2/

00 )(2 T

dttfT

a

1n 2/

0)cos()(

4 T

n dttntfT

a


• Cas où f est impaire : tous les an sont nuls..

avec pour

tnbfS nn

sin)(1

1n

2/

0)sin()(

4 T

n dttntfT

b


• Si f est impari-symétrique, elle ne contient que des fréquences impaires :

))12sin(())12cos(()( 12121

tnbtnafS nnn

0220 nn baa

2/

012 ))12cos(()(4 T

n dttntfT

a

et

2/

012 ))12sin(()(4 T

n dttntfT

b


• L’amplitude des hautes fréquences diminue de plus en plus

0limlim nn

nn

ba

EXEMPLE

• sur • f paire, -périodique

[,0[

2xxf )(

-10 -5 5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

EXEMPLE

• f paire :

et pour

1,0 nbn

2

100

xdxa

0cos

2nxdxxan

1n

EXEMPLE

1)1(

2

sin2sin2

2

00

n

n

n

dxn

nx

n

nxxa

pairest si

pair imest n si

0

4,1 2nan n

EXEMPLE

• On a donc :

et comme f est continue sur IR :

12)12(

)12cos(4

2)(

n n

xnfS

21 )12(

)12cos(4

2)(

n

xnxf

n

-10 -5 5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Ecriture complexe des séries de Fourier

En utilisant les formules d’Euler on obtient:

Où :

tinn

n

necfS

)(

T tin

n dtetfT

c0

)(1

00 ca

)(2

1)(

2

1nnnnnn ibacetibac

L’égalité de Parseval

• On montre que l’énergie du signal est

égale à la somme des énergies des

harmoniques et de la valeur moyenne au

carré

1

22200

2

2

1)(

1

kkk

Tbaadttf

T

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