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Rapport de stage long
Khaled SalehElève Ingénieur
Simulation d'Écoulements TurbulentsSolution Analytique de l'Équation de lachaleur avec des conditions aux limites
particulières
Stage long Juillet 2007 - Août 2008EDF R&D, Département Mécanique des Fluides, Énergie et Environnement6, Quai Watier78401 CHATOU
Responsable de stage : Dr. Soane Benhamadouche
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Fiche de synthèse
Type de stage : Stage long
Période : Juillet 2007 - Août 2008
Auteur : Khaled SalehFormation : Concours Commun IMI
Titre : Simulation d'Écoulements Turbulents.Solution Analytique de l'Équation de la chaleur avec des conditions aux limites particulières.
Organisme d'accueil : EDF R&D
Pays d'accueil : France
Responsable de stage : Dr. Soane Benhamadouche
Tuteur de stage : Dr. Soane Benhamadouche
Résumé :Ce rapport expose les développements et études mis en oeuvre durant mon stage d'un an au sein
d'EDF R&D, au département Mécanique des Fluides, Énergie et Environnement (MFEE). D'unepart, il détaille les calculs et les résultats d'une simulation numérique directe (DNS) d'un écoule-ment en canal plan développé, à un Reynolds turbulent de 180, avec le code de CFD Code_Saturne,développé par EDF. Cette étude montre qu'on peut obtenir de très bons résultats avec un schémanumérique volumes nis d'ordre deux en espace si l'on rane susamment le maillage (en particulierdans la direction transverse à l'écoulement). D'autre part, le rapport présente une étude comparativede diérents modèles de turbulence et de diérentes méthodes numériques de résolution des équationsde Navier-Stokes, sur une conguration de passe à poissons. Des diérences majeures entre les mo-dèles de tubulence et méthodes numériques ont été mises en évidence. Il est apparu que les modèlesdonnant les meilleurs résultats sont la LES et le Rij-SSG en 3D. Cette étude a aussi mis en évidencedes diérences entre les modèles k − ε standard des diérents codes de CFD étudiés (Code_Saturne,Spartacus 2D, et Telemac 2D). Enn, la dernière partie du rapport est consacrée à la résolution ana-lytique d'un problème 1D de diusion de la chaleur avec des conditions aux limites particulières.
Mots-clés : Mécanique des uides incompressibles, Modélisation de la turbulence, Simulation Nu-mérique Directe (DNS), Méthode des volumes nis colocalisés, Code_Saturne, Passe à poissons, Équa-tion de la chaleur.
Thème : Mécanique des uides numérique (CFD).
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Remerciements
Je tiens tout d'abord à remercier mon tuteur Dr. Soane Benhamadouche, et le chef du groupeI83 à mon arrivée, Dr. Ange Caruso, pour m'avoir permis de faire ce stage et m'avoir accueilli au seinde leur équipe. Je salue tout particulièrement les qualités d'encadrement de mon tuteur, ses qualitéspédagogiques et sa disponibilité.
Merci aussi à Richard Howard pour sa disponibilité et pour m'avoir apporté la compréhension etle sens physique des phénomènes qui manquaient à ma culture en mécanique des uides. Son aide àété considérable sur la majeure partie de mes travaux concernant la DNS.
Je remercie David Monfort pour sa patience et son aide précieuse dans tous les moments où j'aieu des soucis informatiques. Je salue sa disponibilité et son extrême patience.
Merci également à Thomas Pasutto pour m'avoir encadré au début de mon stage, et pour m'avoirfait découvrir les rouages des schémas numériques de Code_Saturne.
Merci à Damien Violeau avec qui j'ai apprécié travaillé sur le cas-test de la passe à poissons. Etmerci à Yannick Lecocq qui m'a proposé ce travail très intéressant sur l'équation de la chaleur que jeprésente ici.
Je remercie le Professeur Dominique Laurence et le Dr. Yacine Addad pour m'avoir accueilli àl'université de Manchester. Merci aussi à Flavien Billard qui m'a fourni une grande partie de la section4 (voir [3]) et avec qui j'ai passé d'excellents moments lors de ses passages à EDF.
Je remercie également l'ensemble du groupe I83 pour la bonne ambiance qui y règne. Merci toutparticulièrement à Alain Martin, mon collègue de bureau, pour sa gentillesse et grâce à qui la duréede vie des centrales nucléaires n'a plus de secrets pour moi (ou presque).
Enn, je souhaite remercier Bastien Durand, précédent stagiaire issu de l'ENPC, pour la qualitéde son encadrement durant un mois, au début de mon stage. Je salue sa patience et ses qualitéspédagogiques.
Pour nir, merci à tous les autres stagiaires que j'ai pu côtoyer durant cette année : Yann Samba-rino, Anaïs Dumas, Claire Florette, Mathilde Ollivier, Christophe Chassin, Didier Vezinet et PierreFourment à qui je souhaite une excellente année au sein du groupe I83.
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Résumé
Ce rapport expose les développements et études mis en oeuvre durant mon stage d'un an au seind'EDF R&D, au département Mécanique des Fluides, Énergie et Environnement (MFEE). D'unepart, il détaille les calculs et les résultats d'une simulation numérique directe (DNS) d'un écoule-ment en canal plan développé, à un Reynolds turbulent de 180, avec le code de CFD Code_Saturne,développé par EDF. Cette étude montre qu'on peut obtenir de très bons résultats avec un schémanumérique volumes nis d'ordre deux en espace si l'on rane susamment le maillage (en particulierdans la direction transverse à l'écoulement). D'autre part, le rapport présente une étude comparativede diérents modèles de turbulence et de diérentes méthodes numériques de résolution des équationsde Navier-Stokes, sur une conguration de passe à poissons. Des diérences majeures entre les mo-dèles de tubulence et méthodes numériques ont été mises en évidence. Il est apparu que les modèlesdonnant les meilleurs résultats sont la LES et le Rij-SSG en 3D. Cette étude a aussi mis en évidencedes diérences entre les modèles k − ε standard des diérents codes de CFD étudiés (Code_Saturne,Spartacus 2D, et Telemac 2D). Enn, la dernière partie du rapport est consacrée à la résolution ana-lytique d'un problème 1D de diusion de la chaleur avec des conditions aux limites particulières.
Mots-clefs : Mécanique des uides incompressibles, Modélisation de la turbulence, Si-mulation Numérique Directe (DNS), Méthode des volumes nis colocalisés, Code_Saturne,Passe à poissons, Équation de la chaleur.
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Abstract
This paper describes the developments and the studies carried out during my one year internshipat EDF R&D, in the department of Fluid Mechanics, Power generation and the Environment (MFEE).The majority of the work is concerned with two main themes, the rst theme is based around DirectNumerical Simulations (DNS) of a fully developed channel ow, at a turbulent Reynolds number of180, performed with EDF's in-house CFD tool Code_Saturne. This study shows that good results canbe obtained with a second order nite volume method if the mesh is suciently rened (particularlyin the spanwise direction of the ow). The second theme involves a comparative study of dierentturbulence models and dierent numerical schemes as applied to the "sh pass" test-case. The resultsdemonstrated major dierences between turbulence models and numerical methods. It is shown thatthe models which give the best results are the LES and the Rij-SSG models. It is also shown that agiven k− ε model can behave in dierent ways when applied to dierent CFD codes (Code_Saturne,Spartacus 2D, and Telemac 2D). The nal part of this report is devoted to the investigation of the ana-lytical resolution of the heat diusion equation in one dimension, with particular boundary conditions.
Keywords : Fluids mechanics for incompressible ows, Turbulence modeling, DirectNumerical Simulation, Collocated nite volume technique, Code_Saturne, Fish pass,Heat equation.
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Table des matières
Remerciements 2Résumé 3Abstract 4Introduction 9
I Contexte du stage : Présentation de l'entreprise et de l'environnement detravail 101 Présentation de l'entreprise 112 Présentation de mon environnement de travail 12
2.1 La R&D d'EDF et le département MFEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Le groupe I83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Mon stage dans ce contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II Notions de mécanique des uides et présentation du code de CFD d'EDF :Code_Saturne 143 Equations de Navier-Stokes et modèles de turbulence 15
3.1 Equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Modélisation de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1 Nature de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.2 Écoulement moyen / écoulement uctuant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.3 La simulation numérique directe : DNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.4 Les modèles RANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.5 La simulation des grandes échelles : LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.6 Le couplage RANS/LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Présentation de Code_Saturne 204.1 Le fonctionnement de Code_Saturne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1.1 L'étape de prédiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.1.2 L'étape de correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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III Problématiques étudiées au cours du stage 245 DNS de canal périodique plan pleinement développé à Re∗ = 180 avec Code_Saturne 25
5.1 Le canal plan périodique pleinement développé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Démarche à suivre pour réaliser une DNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2.1 Maillage et options numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2.2 Calcul des statistiques de l'écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3 Les simulations réalisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Les résultats obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.4.1 Statistiques usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.4.2 Équations de transport des tensions de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.5 Conclusions sur la DNS de canal plan développé avec Code_Saturne . . . . . . . . . . 406 Passe à poissons 41
6.1 Les passes à poissons : un enjeu environnemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2 Présentation du cas et construction du maillage RANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.3 Résultats des calculs RANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.4 Résultats du calcul LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.5 Comparaison plus précise des diérents calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7 Diusion de la chaleur en 1D avec conditions aux limites particulières 547.1 Existence d'une solution en régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.2 Existence et unicité de la solution du problème (7.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.3 Vérication avec Code_Saturne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.4 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Conclusion technique 68Bilan personnel 69Bibliographie 69
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Table des gures
3.1 Spectre de l'énergie cinétique turbulente. kc est la fréquence de coupure des ltres LES. 194.1 Schéma d'une cellule de calcul et d'une face de bord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.1 Schéma de conguration du cas du canal plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Prol de la vitesse moyenne dans le direction de l'écoulement. . . . . . . . . . . . . . . 325.3 Prol logarithmique de la vitesse moyenne dans le direction de l'écoulement. . . . . . . 335.4 Prol logarithmique de la vitesse moyenne dans le direction de l'écoulement (zoom). . 335.5 Moyennes RMS de la vitesse uctuante adimensionnalisées par u∗. En rouge :
√u′2,
en vert√
v′2, en bleu√
w′2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.6 Prol de −u′v′ adimensionnalisé par u∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.7 Prol de −u′v′ adimensionnalisé par u∗ (zoom). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.8 Prol de quelques corrélations triples adimensionnalisées par u∗. En point : DNS de
Kim & Moin. En trait continu : premier calcul. En trait et carrés : deuxième calcul.En pointillés : troisième calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.9 Termes du bilan de k en fonction de la distance à la paroi adimensionnelle y+. Enpoint : DNS de Kim & Moin. En trait continu : premier calcul. En trait et carrés :deuxième calcul. En pointillés : troisième calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.10 Zoom sur le bilan de k. En point : DNS de Kim & Moin. En trait continu : premiercalcul. En trait et carrés : deuxième calcul. En pointillés : troisième calcul. . . . . . . . 37
5.11 Termes du bilan de u′u′ en fonction de la distance à la paroi adimensionnelle y+. Enpoint : DNS de Kim & Moin. En trait continu : premier calcul. En trait et carrés :deuxième calcul. En pointillés : troisième calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.12 Termes du bilan de v′v′ en fonction de la distance à la paroi adimensionnelle y+. Enpoint : DNS de Kim & Moin. En trait continu : premier calcul. En trait et carrés :deuxième calcul. En pointillés : troisième calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.13 Termes du bilan de w′w′ en fonction de la distance à la paroi adimensionnelle y+. Enpoint : DNS de Kim & Moin. En trait continu : premier calcul. En trait et carrés :deuxième calcul. En pointillés : troisième calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.14 Termes du bilan de w′w′ en fonction de la distance à la paroi adimensionnelle y+. Enpoint : DNS de Kim & Moin. En trait continu : premier calcul. En trait et carrés :deuxième calcul. En pointillés : troisième calcul (zoom). . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.15 Termes du bilan de u′v′ en fonction de la distance à la paroi adimensionnelle y+. Enpoint : DNS de Kim & Moin. En trait continu : premier calcul. En trait et carrés :deuxième calcul. En pointillés : troisième calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.1 Grande échelle à poissons de John Day Dams sur la Rivière Columbia . . . . . . . . . 426.2 Barrage de Verbois près de Genève sur le Rhône, Suisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.3 Photo de la passe à poissons modélisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.4 Trajectoire suivie par les poissons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7
6.5 Maillage utilisé en RANS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.6 Maillage utilisé en RANS : zoom sur les cellules tétraédriques . . . . . . . . . . . . . . 446.7 Champ du vecteur vitesse : k-ε standard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.8 Champ du vecteur vitesse : k-ω − SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.9 Champ du vecteur vitesse : Rij-SSG 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.10 Champ du vecteur vitesse : Rij-SSG 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.11 Champ de vitesse : k-ε standard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.12 Champ de vitesse : k-ω − SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.13 Champ de vitesse : Rij-SSG 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.14 Champ de vitesse : Rij-SSG 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.15 Champ de pression : k-ε standard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.16 Champ de pression : k-ω − SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.17 Champ de pression : Rij-SSG 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.18 Champ de pression : Rij-SSG 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.19 Énergie turbulente : k-ε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.20 Énergie turbulente : k-ω-SST. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.21 Énergie turbulente : Rij-SSG 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.22 Champ du vecteur vitesse instantanée : LES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.23 Champ de vitesse (norme) instantanée : LES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.24 Champ de pression : LES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.25 Énergie turbulente : LES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.26 Prols de ‖ u ‖ (en haut) et k (en bas) le long des sections A et B obtenus avec
Code_Saturne. En noir : k − ε, en turquoise : k − ε avec paroi rugueuse. En rouge :k − ω. En bleu : Rij-SSG 2D. En vert Rij-SSG 3D. En orange : LES. . . . . . . . . . . 52
6.27 Prols de ‖ u ‖ (en haut) et k (en bas) le long des sections A et B obtenus avec lemodèle k − ε. En noir : Spartacus 2D, en rouge Code_Saturne. En bleu : Telamac 2D. 53
7.1 Cylindre chauée dans le cadre de l'entreposage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.2 T(x,t) pour trois données d'espace x. En trait continu : la formule analytique. En point :
le résultat avec Code_Saturne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.3 Température moyennée au cours du temps en fonction de x avec Code_Saturne. . . . . 667.4 Champ de température à diérents instants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
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Introduction
Ce rapport expose la majeure partie du travail eectué au cours de mon stage long (13 mois, dejuillet 2007 à août 2008) au sein du département de Mécanique des Fluides, Energie et Environnementdu site R&D EDF de Chatou. Il se décompose en trois parties.
La première partie décrit l'environnement dans lequel s'est déroulé le stage. Dans un premiertemps, je présente l'entreprise EDF et le groupe de travail que j'ai intégré. Puis, je tente de replacerle travail eectué pendant le stage dans le contexte des missions conées à ce groupe.
La deuxième partie a pour objectif de donner des notions théoriques de bases en mécanique desuides incompressibles et en modélisation de la turbulence, an de rendre la lecture de ce rapportaccessible au plus grand nombre. Le fonctionnement d'un code de mécanique des uides numérique(Computational Fluid Dynamics (CFD) en anglais) Code_Saturne y est également présenté. Il s'agitdu code dans lequel la totalité de mes travaux de développement a été menée.
Enn, la troisième partie se concentre sur les aspects techniques du stage. Elle détaille les troisgrands axes de recherche menés pendant cette année à EDF. Le chapitre 5 présente les développementset les résultats d'une DNS avec Code_Saturne. Le chapitre 6 détaille les résultats de l'application dediérents modèles de turbulence et diérentes méthodes numériques sur la conguration d'une passeà poissons. Enn, le chapitre 7 présente la résolution analytique d'un problème 1D de diusion de lachaleur avec des conditions aux limites particulières.
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Première partie
Contexte du stage : Présentation del'entreprise et de l'environnement de
travail
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Chapitre 1
Présentation de l'entreprise
L'alimentation de la population française en électricité est un des points majeurs de la reconstruc-tion du pays au sortir de la seconde guerre mondiale. Le 8 avril 1946, une loi établit la nationalisationde 1436 entreprises françaises liées à la production, le transport et la distribution d'électricité, créantainsi un établissement public à caractère industriel et commercial : Electricité de France (EDF).L'entreprise se lance alors dans de grands chantiers comme la construction du plus grand barraged'Europe, à Tignes.
Dans les années soixante, les moyens de production d'électricité se multiplient et se diversient. Apartir de 1957, les centrales à charbon complètent les centrales hydrauliques. En 1963, à Chinon, lacentrale EDFI permet à EDF de produire pour la première fois de l'électricité en exploitant l'énergienucléaire civile. Face à l'augmentation vertigineuse des besoins en électricité, EDF diversie encoreses moyens de production en mettant en service des centrales fonctionnant avec des hydrocarbures.
Le choc pétrolier de 1973 pousse les autorités françaises à développer de manière signicative laproduction nucléaire d'électricité an d'assurer un minimum d'indépendance énergétique à la France.C'est ainsi que 13 centrales nucléaires sont construites en deux ans. Cependant, malgré cet eortconsidérable, l'équilibre entre production et consommation reste fragile. Ainsi, en décembre 1978, leréseau de distribution s'eondre en quelques heures à la suite d'une utilisation un peu plus intense deslumières et du chauage lors d'une matinée d'hiver un peu trop fraîche. EDF répondra à cet incidenten modernisant son réseau et en construisant de nouvelles centrales nucléaires dans les années quatrevingt.
EDF se lance ensuite à la conquête du monde : forte d'une expérience d'un demi siècle, l'entrepriseexporte son savoir faire en Europe, en Chine et en Amérique du Sud. Le groupe EDF est désormaisun des leaders mondiaux de la production d'électricité. Il produit 22% de l'électricité de l'Union Eu-ropéenne.
Après un changement de statut pour devenir une Société Anonyme, EDF ouvre en 2006 15%de son capital, 3% supplémentaires seront cédés par l'Etat n 2007 an de nancer les logementsuniversitaires. Depuis 1999, le marché de l'électricité s'est ouvert à la concurrence, mais c'est à partirde 2004 pour les professionnels et de 2007 pour les particuliers qu'EDF n'est plus le fournisseurexclusif.
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Chapitre 2
Présentation de mon environnement detravail
2.1 La R&D d'EDF et le département MFEELa R&D d'EDF a pour missions principales de contribuer à l'amélioration de la performance des
unités opérationnelles du Groupe EDF et d'identier et de préparer la croissance de l'entreprise àmoyen et long termes. Cette activité stratégique, en lien direct avec le projet industriel d'EDF, estmenée en collaboration avec de nombreux acteurs internes et partenaires français et étrangers. Elleest structurée en six thèmes prioritaires pour EDF : l'évaluation des stocks d'eau futurs et les rejetsémis par EDF, l'optimisation de la production et des exibilités entre consommation, production etstockage, l'ecacité énergétique mise à disposition des clients, le prolongement des moyens de pro-duction actuels et le développement de nouvelles formes d'énergie, et enn le développement de lasimulation numérique et du calcul hautes performances permettant de fournir des prédictions quan-titatives crédibles et d'améliorer les processus de prise de décisions.
C'est ainsi qu'EDF R&D s'est doté en 2007 d'un super calculateur de conguration BlueGene/Ld'IBM possédant 8 000 processeurs, puis très récemment d'un deuxième super calculateur de con-guration BlueGene/P comportant 32 000 processeurs et totalisant une puissance de 252 TFlops, cequi place EDF R&D en treizième position au classement mondial des super calculateurs de juin 2008(avec la BlueGene/P) : le Top 500 (voir [22]). J'ai eu la chance pendant mon stage de pouvoir utilisercette phénoménale capacité de calcul, rarement accessible à un stagiaire. C'est ainsi qu'il m'étaitcourant de lancer des calculs sur plus de 1000 processeurs.
Les activités de Recherche et Développement d'EDF se répartissent sur trois sites de la régionparisienne : Clamart, les Renardières et Chatou. Mon stage long s'est déroulé à Chatou, sur l'île desImpressionnistes. Les activités de ce site sont principalement liées à la mécanique des uides, l'hy-draulique et l'environnement des centrales. De nombreuses installations expérimentales sont présentessur le site. J'ai travaillé au sein du département MFEE (Mécanique des Fluides, Énergie et Environ-nement) dont les activités essentielles sont le développement et la maintenance de codes de calculsen mécanique des uides, l'environnement, la thermique à amme, l'éolien, la biomasse, le charbondu futur, l'études des incendies, la thermohydraulique avancée, l'interaction uide/structure, et lathermohydraulique des turbomachines, turbines et échangeurs. Ce département compte environ 150agents.
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2.2 Le groupe I83J'ai intégré le groupe I83, aussi appelé EMET (Ecoulements Monophasiques et Echanges Ther-
miques), dirigé par Ange Caruso au début de mon stage et par Frédéric Archambeau à la toute nde mon stage. Ce groupe comprend 25 agents. Il est responsable du développement et de la mainte-nance d'outils numériques dans le domaine de la mécanique des uides monophasiques et du couplageuide-thermique solide (avec le code Syrthes). Parallèlement, I83 se consacre également à des étudesindustrielles utilisant ces codes et parfois des moyens expérimentaux. Voici quelques problèmes quetraite le groupe et qui illustrent bien les enjeux stratégiques auxquels il s'attaque :
La durée de vie des cuves des réacteurs nucléaires Les problématiques liées aux sollicitations thermiques dans le circuit primaire Les problématiques liées aux assemblages combustibles Le développement de Code_Satrune et donc une recherche poussée sur la modélisation de laturbulence (LES), sur les lois de paroi, etc
L'étude de l'entreposage des déchets radioactifs Le conditionnement d'ambiance des bâtimentsLes études menées par le groupe sont majoritairement commanditées par deux entités d'EDF :
le SEPTEN (Service Etudes et Projets Thermiques et Nucléaires) et la DPN (Direction du ParcNucléaire). Ces deux services travaillent le plus souvent avec les autorités de sûreté nucléaire et leconstructeur Areva.
2.3 Mon stage dans ce contexteMon stage s'inscrit dans la problématique de la modélisation de la turbulence, en particulier
dans Code_Saturne, en intégrant l'évolution importante des moyens de calculs an de résoudre desproblèmes toujours plus complexes et de façon toujours plus précise. Le phénomène de la turbulence aété pris en compte dans Code_Saturne depuis sa conception. Ainsi, les modèles de turbulence les plusclassiques (k−ε standard, ...) ont été introduits dans le code de même que des modèles plus compliqués(mais plus coûteux !) permettant de mieux appréhender la turbulence (Large Eddy Simulation ouLES). Mon travail sur la DNS (résolution extrêmement nes des équations de la mécanique des uides)s'inscrit dans ce cadre, en apportant aux ingénieurs et chercheurs travaillant sur la turbulence, desdonnées numériques précises leur permettant de mieux comprendre la structure des écoulements et decomparer les modèles de turbulence plus simples à des données riches. Le travail que j'ai eectué surl'étude des passes à poissons s'inscrit également dans la problématique de modélisation numérique dela turbulence avec notamment, la comparaison de plusieurs codes de mécanique des uides numérique(CFD). Enn, mon travail de résolution d'un problème 1D de diusion de la chaleur s'inscrit quantà lui dans le cadre d'une collaboration avec un thésard du groupe, Yannick Lecocq.
13
Deuxième partie
Notions de mécanique des uides etprésentation du code de CFD d'EDF :
Code_Saturne
14
Chapitre 3
Equations de Navier-Stokes et modèles deturbulence
3.1 Equations de Navier-StokesPour un écoulement newtonien incompressible avec masse volumique constante et viscosité va-
riable, les équations de Navier-Stokes sont données par (3.1) et (3.2) (voir [9] pour une démonstrationde ces équations basée sur la méthode des bilans). Les équations de Navier-Stokes sont dénies surun domaine Ω avec des conditions aux limites sur ∂Ω et des conditions initiales pour la vitesse et lapression.
∂u
∂t+ div(u⊗ u) = −1
ρp + div(2νS) (3.1)
div(u) = 0 (3.2)La première équation exprime la conservation de la quantité de mouvement à l'échelle locale tandis
que la deuxième représente la conservation de la masse pour un écoulement incompressible. u est levecteur vitesse, t le temps, p la pression, ρ la masse volumique et ν la viscosité cinématique. S1 estle tenseur de déformation donné par :
S =12
(grad u + T grad u
)(3.3)
Puisque l'on s'intéresse aux écoulements connés (et non aux écoulements à surface libre), lacomposante hydrostatique de la pression est prise en compte dans le terme pression. De plus, aucuneet de ottabilité2 ne sera modélisé dans le présent rapport.
Les équations (3.1) et (3.2) se réécrivent en coordonnées cartésiennes3 :∂ui
∂t+
∂(uiuj)∂xj
= −1ρ
∂p
∂xi+
∂
∂xj
(ν(∂ui
∂xj+
∂uj
∂xi
))(3.4)
∂uj
∂xj= 0 (3.5)
1Si la viscosité ν est constante, alors div(2νS) = ν∆u.2La ottabilité est la poussée d'Archimède due à la variation de masse volumique, elle-même due par exemple à une
température variable en espace dans le cas d'écoulements faiblement dilatables.3En utilisant la convention d'Einstein de sommation sur les doubles indices. Les trois composantes de la vitesse
pourront être aussi notées u,v,w au lieu de u1, u2,u3.
15
Le premier terme du membre de gauche de l'équation (3.4) est le terme d'inertie. Le deuxième estle transport convectif de la vitesse par elle-même, tandis que le dernier terme du membre de droiteest le terme de viscosité ou terme de diusion.
3.2 Modélisation de la turbulence3.2.1 Nature de la turbulence
Les écoulements turbulents sont des écoulements fortement chaotiques car le terme convectif nonlinéaire y est prépondérant devant le terme de viscosité. Pour caractériser un tel écoulement, on dénile nombre de Reynolds de l'écoulement. Si U est une valeur caractéristique de la vitesse de l'écoulement(par exemple la vitesse moyenne dans une section pour un écoulement dans un tube) et L une échellecaractéristique de l'écoulement (diamètre du tube par exemple), alors le terme convectif est d'autantplus prépondérant que le nombre de Reynolds donné par (3.6) est grand4.
Re =UL
ν(3.6)
D'une part, en chaque point de l'écoulement, les valeurs de la vitesse et de la pression y uctuentau cours du temps de manière chaotique, et d'autre part, si l'on se déplace dans l'écoulement à uninstant t donné, les uctuations observées de vitesse et de pression sont plus ou moins importantes.Malgré le caractère chaotique des écoulements turbulents, il existe une cohérence spacio-temporellequi se caractérise par la présence de structures appelées tourbillons. Les tourbillons ont des tailleset des temps caractéristiques diérents et échangent de l'énergie les uns avec les autres. A chaquetourbillon de taille caractéristique l, on associe un nombre de Reynolds Re(l) =
u(l)lν
. Les tourbillonsles plus grands ont des tailles proches de celle de l'écoulement moyen dite échelle intégrale. Ils sontproduits par les gradients de vitesse de l'écoulement moyen et portent la majorité de l'énergie ciné-tique turbulente de l'écoulement. Mais ces grandes structures sont instables et elles se dissocient enstructures de plus en plus petites et de moins en moins énergétiques - c'est le phénomène de cascadeinertielle de Kolmogorov- et ce jusqu'à atteindre une échelle l où le nombre de Reynolds Re(l) est sipetit que les eets de viscosité moléculaire deviennent prépondérants et dissipent ecacement l'éner-gie. L'échelle minimale atteinte par les tourbillons est appelée échelle de Kolmogorov.
Pour mieux illustrer le phénomène de transfère d'énergie des grands tourbillons vers les petits, ilfaut s'intéresser plus précisément aux eets dus au terme convectif non linéaire. Considérons pourcela le cas simple de l'équation de Burgers non visqueuse :
∂u
∂t+ u
∂u
∂x= 0 (3.7)
On part d'une condition initiale de la forme u(x, t0) = U cos(Kx) où l'écoulement ne possèdequ'une taille caractéristique de tourbillon : 1
K . En faisant un développement de Taylor en temps, on4Il sut de rendre les équations de Navier-Stokes adimensionnelles grâce aux grandeurs caractéristiques pour voir
apparaître le nombre de Reynolds.
16
obtient :u(x, t0 + δt) = u(x, t0) + δt
∂u
∂t
∣∣∣t0
+O(δt2)
= u(x, t0)− δtu∂u
∂x
∣∣∣t0
+O(δt2)
= u(x, t0) + δtU2K cos(Kx) sin(Kx) +O(δt2)
= u(x, t0) + δtU2 K
2sin(2Kx) +O(δt2)
(3.8)
Le terme non linéaire a donc créé une structure deux fois plus petite. Ce phénomène se rencontreégalement pour le terme convectif des équations de Navier-Stokes.3.2.2 Écoulement moyen / écoulement uctuant
Les équations de Navier-Stokes étant chaotiques, si on reproduit deux fois la même mesure devitesse ou de pression, sur un même écoulement et dans les mêmes conditions, les diérences in-nitésimales dans les conditions initiales sont telles que l'on n'obtiendra pas la même valeur pour lamesure. Ce comportement est typique des systèmes chaotiques. Les moyennes de Reynolds consistentà imaginer qu'on eectue la même mesure d'une grandeur f un grand nombre de fois N , et qu'onmoyenne toutes les valeurs ainsi obtenues (on eectue ainsi une moyenne d'échantillonnage) :
f =f1 + ... + fN
N(3.9)
La grandeur f(x, t) se décompose alors de la façon suivante :f(x, t) = f(x, t) + f ′(x, t) (3.10)
où f est la moyenne de Reynolds de f , et f ′ la partie uctuante de la grandeur f . On a pardénition f ′ = 0. Si l'on applique cela à un écoulement turbulent, on voit que f ′ est la uctuation dela grandeur f due à la turbulence.
L'opérateur "moyenne de Reynolds" ainsi construit est linéaire. Les propriétés suivantes sont vé-riées : f + g = f +g et λf = λf . L'opérateur commute avec les dérivations spatiales et temporelles :∂t,xf = ∂t,xf . Il est par ailleurss indempotent : f = f et fg = fg. Cependant, fg 6= fg. C'est cettepropriété qui est à l'origine de la modélisation de la turbulence.
Si dans les équations de Navier-Stokes, on décompose la vitesse5 en ui = ui + u′i et la pressionen p = p + p′, puis qu'on applique l'opérateur moyenne de Reynolds, on obtient les équations deNavier-Stokes moyennées : Reynolds averaged Navier-Stokes ou RANS :
∂ui
∂t+
∂(ui uj)∂xj
= −1ρ
∂p
∂xi+
∂
∂xj
(ν(∂ui
∂xj+
∂uj
∂xi− u′iu
′j
))(3.11)
∂ui
∂xi= 0 (3.12)
5Dans la suite du rapport, et surtout dans le chapitre 5, d'autres notations pourront être utilisées pour désignerl'écoulement moyen. On notera ainsi indiéremment ui ou Ui.
17
Le terme −u′iu′j apparaissant dans l'équation de quantité de mouvement représente un terme ho-
mogène à un eort dû à la turbulence. On note Rij = −u′iu′j (tensions de Reynolds). Tous les modèles
de turbulence dits modèles RANS ont essentiellement pour objectif de simuler le plus correctementpossible les tensions de Reynolds (on obtient ainsi des informations sur des grandeurs moyennes telque la vitesse et les uctuations).3.2.3 La simulation numérique directe : DNS
La simulation numérique directe résout les équations de Navier-Stokes sans faire d'approximationsautres que celles dues à la discrétisation numérique (erreur numérique par rapport à la solution deséquations aux dérivées partielles). On doit donc utiliser des maillages susamment ns pour captertoutes les structures turbulentes y compris les plus petites. On montre (voir Pope [18]) que si L est lataille de l'échelle intégrale et λ celle de l'échelle de Kolmogorov, alors L
λest de l'ordre de Re
34 , où Re
est le nombre de Reynolds basé sur les grandeurs turbulentes caractéristiques de l'écoulement. Ainsi,si l'on s'intéresse à un écoulement dans un domaine de taille caractéristique L, alors le nombre denoeuds N dans chaque direction nécessaire à la simulation de phénomènes de l'ordre de l'échelle deKolmogorov est proportionnel à Re
34 . Ainsi, même pour un nombre de Reynolds faible, Re = 104, une
simulation directe nécessite 103 points dans chaque direction, ce qui engendre un milliard de noeudsau total ! Les écoulements dans des congurations industrielles ont des nombres de Reynolds baséssur l'écoulement moyen de l'ordre de 106 à 108 (ce qui correspond à un nombre de Reynolds turbulentde l'ordre de 104 à 106), il est donc impossible et pour une longue période encore d'eectuer des DNSsur des congurations industrielles malgré le progrès exponentiel des moyens de calculs. Il est doncnécessaire de mettre en oeuvre des modèles de turbulence qui permettent de modéliser les plus petitesou la totalité des structures turbulentes et non plus de les simuler par le calcul.3.2.4 Les modèles RANS
Les modèles RANS ne prédisent que la partie moyenne de l'écoulement avec une modélisation pourles termes du tenseur de Reynolds. Toutes les échelles de la turbulence sont ainsi modélisées et nonsimulées. On peut ainsi utiliser des maillages beaucoup plus grossiers qu'en DNS car seul l'écoulementmoyen du uide doit être prédit. Cependant, comme on ne dispose pas de valeurs instantanées,certaines applications ne peuvent aboutir avec ces modèles de turbulence : l'évaluation de la fatiguethermique, la détermination de spectres d'eorts d'un uide sur une structure solide etc. Parmi lesmodèles RANS les plus utilisés dans l'industrie, on compte le k − ε, et le k − ω − SST qui sont desmodèles du premier ordre (la modélisation des tensions de Reynolds utilise l'hypothèse de Boussinesq).Les modèles du deuxième ordre comme le Rij − ε ou le SSG prédisent chacune des composantes dutenseur de Reynolds qui sont ensuite injectées dans les équations de Navier-Stokes pour prédire lescomposantes de vitesse moyennes.3.2.5 La simulation des grandes échelles : LES
L'approche de la LES (Large Eddy simulation) est de simuler les plus grandes échelles de laturbulence, celles qui sont porteuses de la plus grande partie de l'énergie cinétique turbulente, et demodéliser les plus petites échelles. On peut donc utiliser des maillages plus grossiers qu'en DNS maistout de même plus ns que pour les modèles RANS, en sachant que les plus petites échelles que l'onpourra résoudre sont de l'ordre de la taille de la maille (plus exactement deux fois la taille de la maille).On considère que les plus petites échelles, qui sont dissipatives, ne sont que très peu inuencées parles caractéristiques de l'écoulement et qu'elles sont donc isotropes et homogènes. Ceci permet deconstruire des modèles de sous maille (i.e. ceux qui prennent en compte tout ce qu'il se passe à des
18
échelles plus petites que la maille) universels et donc applicables à tout écoulement. La LES permetdonc de traiter des problèmes vibratoires ou de fatigue thermique (problèmes instationnaires).3.2.6 Le couplage RANS/LES
Le couplage RANS/LES consiste à simuler une partie de l'écoulement avec un modèle LES tandisque le reste du domaine utilise un modèle RANS. Cette technique permet d'obtenir des informationsinstantanées sur une zone prédénie du domaine de calcul. En revanche, on pourra se contenter d'unmaillage plus grossier pour tout le reste du domaine, où des données instationnaires ne sont pasnécessaires.
La gure 3.1 représente le spectre d'énergie E(K) en fonction de la taille caractéristique destourbillons K. Elle permet aussi de visualiser les zones du spectre concernées par chaque modèle deturbulence.
Fig. 3.1 Spectre de l'énergie cinétique turbulente. kc est la fréquence de coupure des ltres LES.
19
Chapitre 4
Présentation de Code_Saturne
Code_Saturne est un code qui résout les équations de Navier-Stokes. C'est un "code maison"de EDF R&D qui est depuis plus d'un an en open source et téléchargeable à l'adresse suivante :http://www.code-saturne.org. Il s'applique à des écoulements bi et tridimensionnels, stationnairesou instationnaires, laminaires ou turbulents, Newtoniens, incompressibles ou faiblement dilatables,isothermes ou non, avec prise en compte de scalaires passifs et la possibilité de modéliser les uctua-tions de scalaires. Le code comprend en outre diérents modules : un module lagrangien, un modulede rayonnement semi-transparent, un module de combustion pour les gaz, un module pour le charbonpulvérisé et un module pour les applications comprenant des phénomènes électriques (eet Joule etarc électrique). La discrétisation est de type volumes nis colocalisés, et les maillages sont par défautnon structurés (approche colocalisée polyédrique). Code_Saturne est séparé en deux parties : L'En-veloppe, chargée du prétraitement (maillages, données géométriques, découpage pour le parallélisme,recollements) et du post-traitement (génération de chiers lisibles par des logiciels de visualisation,cette partie est progressivement intégrée au Noyau) et le Noyau, "partie physique" du code correspon-dant à la résolution des équations de Navier-Stokes. Code_Saturne permet l'utilisation d'un grandnombre de modèles de turbulence : k − ε standard avec ou sans production linéaire, k − ω SST,Rij LRR et SSG, v2 − f (phi-model développé à l'université de Manchester), LES standard et LESdynamique.
Dans ce chapitre, nous présenterons de façon succincte le fonctionnement de Code_Saturne. Pourplus d'information voir la documentation de Code_Saturne [20].
4.1 Le fonctionnement de Code_SaturneIl s'agit de calculer l'évolution des variables de vitesse u et de pression p, sur un domaine spatial
borné, discrétisé par un ensemble N de points (centres des cellules ou volumes de contrôle qui formentle domaine de calcul), au cours du temps, ce dernier étant discrétisé par les instants t0, t1, ..., tk, enprenant en compte des conditions aux limites sur les bords du domaine de calcul (paroi, entrée, sor-tie, symétrie, ...), et des conditions initiales. Code_Saturne utilise les discrétisations que nous allonsmaintenant détailler.
Chaque point de calcul est le centre d'une cellule (aussi appelé volume de contrôle élémentaire).Code_Saturne est un code dit colocalisé, c'est-à-dire que les deux variables vitesse et pression (ainsique toutes les variables scalaires) sont dénies et calculées au centre de ces cellules (généralement lecentre de gravité des cellules). Le principe de la méthode des volumes nis est l'écriture des équationsde Navier-Stokes sous une forme conservative et l'utilisation du théorème de la divergence : on ex-prime les dérivées spatiales sous forme de divergence et on intègre les expressions sur chaque cellule.L'équation (4.1) est la réécriture de l'équation de conservation de la quantité de mouvement à l'aide
20
l'opérateur divergence :∂u
∂t+ div(u⊗ u) = div
(− p
ρI + ν
(grad u + T grad u
))(4.1)
La viscosité ν peut être complétée par une viscosité de sous-maille (en LES) ou une viscosité RANS(via l'approximation de Boussinesq). Le principe de la résolution est la méthode de prédiction-correction. A chaque pas de temps n, on résout d'abord l'équation de conservation de la quantité demouvement en rendant la pression explicite. On en déduit ensuite une première valeur de la vitesse(appelée vitesse prédite), un+ 1
2 . L'équation de continuité est enn traitée an de modier le champde vitesse prédit, qui doit être à divergence non nulle, en corrigeant la pression (équation de Poisson).4.1.1 L'étape de prédiction
Dans l'étape de prédiction, le système suivant est résolu (on se contente ici d'un schéma en tempsEuler implicite en sachant que Code_Saturne peut gérer tout type de θ-schéma) :
ρun+ 1
2 − un
∆t+ div
(un+ 1
2 ⊗ (ρu)n)
= div(− pnI + µ
(grad un+ 1
2 + T grad un))
(4.2)Notons que le ux de masse ρun dans le terme de convection à gauche, ainsi que le gradient
transposé, à droite, utilisent une vitesse explicite, et ce pour découpler les trois composantes de lavitesse.
Classiquement, lors de l'utilisation de la méthode des volumes nis, on utilise un maillage, parti-tion du domaine Ω en cellules Ωi. On note Sij = ∂Ωi∩∂Ωj et Sbik
la k-ième face de bord de ∂Ωi∩∂Ω(voir gure 4.1). On intègre les équations du système sur chacun des volumes Ωi.
Le terme de convection : L'intégrale de volume∫
Ωi
div(un+ 1
2 ⊗ (ρu)n)devient, d'après le
théorème d'Ostrogradsky∫
∂Ωi
(un+ 1
2 ⊗ (ρu)n)· dS. Après discrétisation, sur toutes les faces de Ωi,
cela se réécrit : ∑j∈V ois(i)
[(ρuij)n · Sij ]u
n+ 12
f,ij +∑
k∈γb(i)
[(ρubik)n · Sbik
]un+ 1
2f,bik
(4.3)
Les termes (ρuij)n · Sij et (ρubik)n · Sbik
correspondent aux ux de masse, explicités sur les facesinternes et les faces de bord. Les ensembles V ois(i) et γb(i) désignent, respectivement, les cellulesvoisines de l'élément i, et les faces de bord voisines de Ωi (celles-ci peuvent être eectivement nom-breuses avec des faces non-conformes). Les valeurs inconnues de la vitesse aux faces, u
n+ 12
f,ij , et un+ 1
2f,bikdoivent êtres évaluées, en fonction des vraies inconnues, qui sont les valeurs de la vitesse aux centres
des éléments. Il existe trois schémas pour évaluer ces valeurs : Le schéma décentré amont d'ordre 1 (UPWIND) :
un+ 1
2f,ij = u
n+ 12
I si (ρuij)n · Sij ≥ 0
un+ 1
2f,ij = u
n+ 12
J si (ρuij)n · Sij < 0
Le schéma centré d'ordre 2 :
21
un+ 1
2f,ij = αiju
n+ 12
I + (1− αij)un+ 1
2J +
12
[(grad un+ 1
2 )I + (grad un)J
]·OF avec
αij =FJ ′
I ′J ′(voir gure 4.1).
Le schéma décentré amont d'ordre 2 (Second Order Linear Upwind) :u
n+ 12
f,ij = un+ 1
2I + IF · (grad un+ 1
2 )I si (ρuij)n · Sij ≥ 0
un+ 1
2f,ij = u
n+ 12
J + JF · (grad un+ 12 )J si (ρuij)n · Sij < 0
Dans les schémas d'ordre 2, lorsque le maillage présente des non orthogonalités (i.e. I 6= I ′), lecalcul du gradient utilise une technique de reconstruction de gradient pour prendre en compte lestermes d'ordre un en espace. C'est une méthode itérative.
Au bord, la valeur de la vitesse prédite est toujours donnée par :u
n+ 12
f,bik= u
n+ 12
I si (ρubik)n · Sbik
≥ 0, et un+ 1
2f,bik
= un+ 1
2bij
si (ρubik)n · Sbik
< 0.
Fig. 4.1 Schéma d'une cellule de calcul et d'une face de bord.Par défaut, dans le code, on fait un mélange (blending) entre le schéma centré et le schéma
UPWIND d'ordre 1 (pour des raisons de stabilités sur des maillages distordus). On joue pour cela surla valeur de BLENCV de chaque variable (dénie dans usini1.F), comprise entre 0 et 1, 1 correspondantà 100% de centré. Un test de pente permet de basculer du schéma centré ou SOLU (d'ordre deux enmaillage orthogonal) vers le schéma décentré amont d'ordre un, sans blending. Ce test a surtout étéintroduit pour éviter que des grandeurs physiques telles que la température ne dépassent les bornesminimales et maximales imposées par les conditions aux limites (ce qui est physiquement impossible).
La partie diusive : La formulation "volumes nis" du terme de diusion∫
∂Ωi
grad un+ 12 se
22
discrétise sous la forme suivante :∑
j∈V ois(i)
µu
n+ 12
J ′ − un+ 1
2I′
I ′J ′Sij +
∑k∈γb(i)
µu
n+ 12
bik− u
n+ 12
I′
I ′FSbik
(4.4)
Cette discrétisation ne pose pas de problèmes sur les maillages orthogonaux (où I = I ′). Dans lesautres cas, des techniques de reconstruction sont utilisées.
A noter enn que la vitesse au bord un+ 1
2f,bik
peut s'exprimer en fonction de la valeur à la cellule (enI), via les conditions aux limites données.
Cette discrétisation produit donc, pour chaque composante de la vitesse, un système à résoudre,en général non linéaire : d'une part à cause des non orthogonalités éventuelles nécessitant des re-constructions, d'autre part à cause de l'utilisation, dans certains cas, d'un test de pente permettantde basculer entre plusieurs types de schémas pour le terme de convection. Le système est résolu demanière itérative.4.1.2 L'étape de correction
L'étape de correction de la pression consiste à résoudre une équation de Poisson (schéma SIMPLECici, voir [17]), an de retrouver un champ de vitesse un+1 à divergence nulle, et de mettre à jour lapression, explicite dans l'étape de prédiction, par un incrément δpn+1 tel que δpn+1 = pn+1 − pn. Ils'agit de résoudre le problème suivant (la convection est négligée dans la schéma SIMPLEC) :
(ρu)n+1 − (ρu)n+ 12
∆t= −grad δpn+1
div ((ρu)n+1)
= 0
(4.5)
Pour résoudre ce problème, on prend la divergence de la première équation, ce qui fait apparaîtreun Laplacien de l'incrément de pression :
div (∆t grad δpn+1)
= div((ρu)n+ 1
2
)(4.6)
La discrétisation classique ("naturelle") de l'opérateur Laplacien a le défaut de découpler lesnoeuds pairs et impairs : un champ de pression valant alternativement 1 et −1 (mode d'oscillation)sur un maillage hexaédrique régulier (comme sur un échiquier) est solution de l'équation de Poissonhomogène et peut ainsi apparaître et polluer les résultats. Pour corriger ce problème, on utilise leltre Rhie & Chow ([4]).
23
Troisième partie
Problématiques étudiées au cours dustage
24
Chapitre 5
DNS de canal périodique plan pleinementdéveloppé à Re∗ = 180 avecCode_Saturne
Une grande partie du travail pendant le stage long fut consacrée à la mise en ÷uvre d'une DNSde canal périodique développé avec Code_Saturne. Le canal périodique développé, présenté dans lasection 5.1 est le cas test le plus utilisé en simulation de la turbulence de sorte que tout nouveaumodèle de turbulence doit être testé sur ce cas (c'est de plus un cas très dicile vu que la turbulenceest uniquement générée par la paroi). Il existe de nombreuses données numériques concernant le canalpériodique, en particulier plusieurs calculs en simulation directe (DNS de Kim, Moin & Mansour1987 [16], Jimenez 1998 [6], ...), ce qui permet de comparer tout nouveau modèle de turbulence à cesdonnées de référence.
Cependant, ces données, qui sont accessibles au plus grand nombre, se révèlent parfois insusantes.En eet, les chercheurs qui ont mis en ÷uvre ces DNS ne mettent à disponibilité de leurs confrèresque les prols des statistiques de l'écoulement (c.f. section 5.2) et au mieux un champ instantané,c'est-à-dire la donnée de la vitesse en tout point de l'écoulement et à un instant t donné (ce quigénère toutefois déjà un grand nombre de données). Il est impossible de reprendre ces calculs et de lespoursuivre, il est également impossible de faire des calculs nécessitant la connaissance de l'écoulementsur plusieurs milliers de pas de temps comme des calculs de statistiques par exemple. Voilà pourquoiil est très intéressant pour les ingénieurs-chercheurs d'EDF de mettre en ÷uvre leur propre DNS decanal périodique. Cela leur permettra de disposer de données riches. Ils pourront ainsi disposer dechamps qu'ils pourront exploiter à leur guise et sur lesquels ils pourront calculer toutes les statistiquesqui les intéressent (les données présentées par la suite on été récupérées par exemple pour des calculslagrangiens, elles pourraient aussi être utilisées pour étudier les corrélations en deux points ou entredeux variables comme la vitesse de frottement et la vitesse à une certaine distance de la paroi).
A noté enn qu'en toute rigueur, il est inapproprié de parler de DNS pour un calcul eectué avecCode_Saturne. En eet, le schéma numérique en espace utilisé dans Code_Saturne est d'ordre 2,ordre peu élevé par rapport à celui des DNS qui utilisent des méthodes spectrales d'ordre beaucoupplus élevé. Il faudrait ainsi utiliser le terme plus approprié de quasi-DNS ou DNS grossière (absencede toute modélisation de la turbulence). Cette étude nous permettra de tester les possibilités de DNSavec un code volumes nis colocalisé et un schéma centré pur en espace.
25
5.1 Le canal plan périodique pleinement développéLe cas du canal périodique simule l'écoulement entre deux plaques planes innies dans les direc-
tions x et z (respectivement dans la direction principale de l'écoulement et dans la direction transverse)et distantes d'une longueur 2δ (direction normale à la paroi).
Fig. 5.1 Schéma de conguration du cas du canal plan.Cet écoulement possède plusieurs propriétés : la vitesse moyenne est parallèle aux parois et toutes
les dérivées moyennes par rapport à x et z sont nulles. On notera u∗ =
√ν
du
dy
∣∣∣y=0
, la vitesse defrottement, échelle de vitesse issue de la contrainte visqueuse à la paroi τp = ρu2
∗. Pour tout canalde demi-hauteur δ, on dénira alors le nombre de Reynolds turbulent : Re∗ =
u∗δ
ν. Enn, on notera
y+ =u∗y
νla distance adimensionnelle à la paroi.
Avec les propriétés du champ moyen énoncées plus haut, en utilisant un modèle de viscositéturbulente basée sur une longueur de mélange issue de la formule de Prandtl 1, on peut intégrer leséquations de Navier Stokes dans certaines zones du canal et retrouver la loi de la vitesse moyenne u enfonction de y+. Ces zones sont respectivement appelées zone linéaire et zone logarithmique (il existeaussi une zone centrale le long de laquelle la longueur de mélange peut être considérée constante, voir[9]). La zone linéaire est la zone en proche paroi (y+ < 11) où l'on néglige la viscosité turbulentedevant la viscosité moléculaire. On obtient un prol linéaire pour la vitesse moyenne :
u(y+) =u2∗
νy+ (5.1)
La zone logarithmique s'étend de y+ = 30 jusqu'à ce que la taille des tourbillons ne soit pluslimitée par les parois (y = 0.2δ). Les eorts visqueux sont négligés devant la turbulence et on obtientun prol logarithmique de la vitesse moyenne :
u(y+) =u∗κ
ln(y+) + E (5.2)On prend E = 5.2.Dans la zone 11 < y+ < 30, on a la zone dite de transition.
1Jusqu'à y = 0.2δ, la taille des grandes structures est limitée par la paroi et vaut Lt = κy, avec κ la constante deVon Karmán. Au delà, Lt est constant et vaut 0.2κδ.
26
Numériquement, pour simuler des plaques innies, on impose des conditions de périodicité dansla direction x de l'écoulement et dans la direction transverse z, si bien que dans la simulation, toutuide sortant du domaine par une face orthogonal aux plaques est réinséré à travers la face opposée(le schéma est implicite pour la périodicité de translation). An de générer l'écoulement, on imposeune force motrice, terme source de quantité de mouvement représentant un gradient de pression etcensé compenser les pertes de charges dues au frottement visqueux en paroi. Notons (∂P
∂x
) le termesource de quantité de mouvement à ajouter au second membre des équations de Navier Stokes pourcompenser les eorts visqueux en paroi. Raisonnons sur une "colonne" de l'écoulement de volumeV , intersectant les parois inférieure et supérieure sur une surface S. Les eorts visqueux s'exerçantsur la colonne valent donc 2 × S × ρu2
∗, et le gradient de pression simule une force (∂P
∂x
)× V . On a
biensûr V = 2δS. Comme les deux forces se compensent (équilibre de l'écoulement moyen), on obtient(∂P
∂x
)=
ρu2∗
δ. Dans Code_Saturne, cela revient à ajouter un terme source explicite dans la routine
utilisateur ustsns.F (on notera bien que l'on n'impose pas le débit).
5.2 Démarche à suivre pour réaliser une DNS5.2.1 Maillage et options numériques
Pour réaliser une DNS, il faut lancer les calculs sur un maillage assez n pour capter toutes lesstructures turbulentes y compris les plus petites responsables de la dissipation de la turbulence. DansCode_Saturne, on a choisit d'utiliser les options numériques de la LES en xant la constante deSmagorinsky à 0 dans la routine utilisateur usini1.F. Cela permet de désactiver tout modèle deturbulence tout en gardant les options spéciques de la LES à savoir des schémas d'ordre deux enespace et en temps : un schéma de Crank-Nicholson en temps et un schéma centré pur en espace(ceci est souhaitable pour des calculs instationnaires, voir [2] et [10]). Le champ de vitesse doit êtreinitialisé. En eet, et en particulier avec un nombre de Reynolds turbulent faible et un maillagestructuré (pas d'erreurs de non-orthogonalité qui peuvent, et ceci peut paraître paradoxal, rendrel'écoulement turbulent), l'écoulement peu ne pas devenir turbulent si on initialise le champ de vitessepar une vitesse constante (ou même variable suivant la direction normale à la paroi) ou alors aller versun état laminaire si on initialise la vitesse par une champ turbulent sans corrélations spatial (avec unegaussienne par exemple). On utilise la SEM (Synthetic Eddy Method, voir [19]) pour l'initialisationdu champ de vitesse 2.5.2.2 Calcul des statistiques de l'écoulement
Un certain nombre de statistiques "classiques" doivent être calculées durant la simulation an deles comparer aux données (numériques ou expérimentales) existant sur le cas du canal périodique. Ils'agit des prols de la vitesse moyenne de l'écoulement u et des tensions de Reynolds u′iu
′j en fonction
de y+.Comme le schéma numérique résout les équations de Navier Stokes, on peut considérer que si les
statistiques concernant les termes de l'équation de quantité de mouvement sont exactes, alors la DNSest satisfaisante et qu'elle donne des résultats acceptables. Mais cette approche est approximative etmême fausse. En eet, le schéma numérique s'appliquant aux équations de Navier Stokes, il est clairque si le maillage est assez n, les termes de ses équations seront prédits de façon exacte. Mais cela
2Cette méthode est plus généralement utilisée pour générer un champ turbulent pour la LES à partir de grandeursmoyennes (la vitesse, l'énergie turbulente ou le tenseur de Reynolds, la dissipation) issues d'un calcul RANS ou dedonnées expérimentales, en particulier pour générer des conditions aux limites d'entrée turbulentes pour des calculsindustriels.
27
ne sut pas. Pour vérier la qualité d'une DNS, il faut vérier que d'autres équations sont égalementbien résolues, en particulier les équations de transport des termes du second ordre que sont les tensionsde Reynolds. Il ne sut donc pas de calculer les prol de u et de u′iu
′j , il faut aussi calculer tous lestermes apparaissant dans leurs équations de bilan [18].
Les équations de transport des tensions de Reynolds s'obtiennent à partir des équations de Navier-Stokes en moyennant ces équations, puis en soustrayant l'équation de Navier-Stokes moyennée àl'équation de Navier-Stokes. On obtient alors les équations de transport des vitesses uctuantes, qu'ilreste à moyenner pour obtenir les équations de transport des tensions de Reynolds. Cette dérivationest vraie en continue, elle est généralement fausse avec les opérateurs discrets.
Pour un écoulement incompressible instationnaire, les équations de transport des tensions deReynolds sont données par (voir [18] ou [9]) :
∂u′iu′j
∂t+ Uk
∂u′iu′j
∂xk= Pij + Tij + Πij + Dij − εij (5.3)
où le membre de gauche représente la variation totale des contraintes u′iu′j et les termes du membre
de droite sont :
Pij = −
(u′iu
′k
∂Uj
∂xk+ u′ju
′k
∂Ui
∂xk
)Production
Tij = −∂u′iu
′ju′k
∂xkTransport turbulent
Πij = −1ρ
(u′i
∂p′
∂xj+ u′j
∂p′
∂xi
)Gradient de pression-vitesse
Dij = ν∂2u′iu
′j
∂xk∂xkDiusion visqueuse
εij = 2ν∂u′i∂xk
∂u′j∂xk
Dissipation
On utilise la convention d'Einstein de sommation des doubles indices. Les indices de coordonnées(1,2,3) désignent respectivement la direction de l'écoulement x, la direction normale aux parois y etla direction transverse z.
L'équation de transport pour l'énergie turbulente k s'obtient en faisant i = j dans (5.3) et enrespectant la convention de sommation des doubles indices :
∂k
∂t+ Uk
∂k
∂xk= Pk + Tk + Πk + Dk − εk (5.4)
où les termes du membre de droite sont donnés par
28
Pk = −u′iu′k
∂Ui
∂xkProduction
Tk = −12
∂u′iu′iu′k
∂xkTransport turbulent
Πk = −1ρu′i
∂p′
∂xiGradient de pression-vitesse
Dk =ν
2∂2u′iu
′i
∂xk∂xkDiusion visqueuse
εk = ν∂u′i∂xk
∂u′i∂xk
DissipationTous les termes apparaissant dans ces équations de transport sont calculés par les programmes
dnsstat.h et dnsstat.F appelés par les routines utilisateur.
5.3 Les simulations réaliséesTrois calculs principaux ont été lancés, à un nombre de Reynolds turbulent égal à 180. A chaque
fois, c'est la version 1.3.2 du Noyau de Code_Saturne et la version 1.3.1 de l'enveloppe qui ont étéutilisés. Tous les calculs ont été lancés sur 1024 processeurs de la machine Blue Gene/L d'IBM quepossède EDF (8000 processeurs). Dans toutes les simulations, le nombre de Courant ne dépasse pas1.
Voici le détail des options numériques et des temps de retour pour ces trois calculs.Premier calcul :Pour ce premier calcul (calcul de référence), on a choisit d'utiliser le même maillage que Kim, Moin
et Mansour [16] avaient utilisés en 1987 an de confronter le schéma volumes nis centré d'ordre deuxde Code_Saturne avec les résultats de Kim, Moin et Mansour (résolution spectrale dans au moinsdeux directions). Il s'agit d'un maillage hexaédrique rané en paroi composé de quatre millions decellules, de longueur 12.56m dans la direction x, 6.28m dans la direction z et 2δ = 2m dans la directiony. Le ranement dans la direction normale aux parois est donné par :
yi = 1 + cos
((i− 1)πN − 1
), i = 1..N
où N = 65 est le nombre de noeuds dans la direction y entre le centre du canal et la paroi.On obtient les valeurs suivantes pour les tailles adimensionnelles de la grille de calcul :
∆x+ = 12∆z+ = 7∆y+ = 0.027 à la paroi∆y+ = 4.5 au centre du canal
On voit que le premier noeud à la paroi est très proche de celle-ci puisque ∆y+ = 0.027 alors qu'ilsurait d'avoir une valeur inférieure à 5. Cela est dû au code spectral utilisé par Kim, Moin et Mansourqui nécessite, pour des questions d'optimisation, de placer les noeuds de la direction transverse aux
29
parois aux racines d'un polynôme de Tchebychev. Or ces racines sont concentrées au niveau des parois.Le pas de temps a été xé à dt = 10−3s. Le calcul des moyennes temporelles nécessaires aux
statistiques a été lancé après 100 000 pas de temps soit environ 70 passages du uide dans le domainepériodique. Les moyennes temporelles ont été calculées sur 20 000 pas de temps. Ces moyennes sontensuite elles même moyennées en espace dans les deux directions d'homogénéité. Le calcul a duré 6jours sur 1024 processeurs de la Blue Gene.
Deuxième calcul :Les résultats du premier calcul n'ayant pas été satisfaisants, en particulier sur la vitesse moyenne,
un deuxième calcul a été lancé en divisant par deux la taille des cellules dans la direction z. On espèreainsi mieux capter les structures turbulentes allongées appelées streaks (voir [18]). Les streaks sont desmouvements de rotation du uide dans le plan (y, z) se produisant dans la sous couche visqueuse. Ilest donc important de raner susamment le maillage dans ces deux directions pour pouvoir capterces structures. Comme le maillage est déjà très rané dans la direction y en paroi, il nous reste à leraner dans la direction z.
Pour alléger le calcul, la taille du domaine a été divisée par deux dans les directions x et z. Cequi, avec le ranement par deux dans la direction z donne un maillage de deux millions de cellules.On obtient les valeurs suivantes pour les tailles adimensionnelles de la grille :
∆x+ = 11.775∆z+ = 3.5∆y+ = 0.027 à la paroi∆y+ = 4.42 au centre du canal
Le pas de temps a dû être abaissé à dt = 10−4s car avec dt = 10−3s, le nombre de Courant (CFL)était trop grand ce qui faisait diverger le calcul. Le calcul des moyennes temporelles a été lancé après600 000 pas de temps soit environ 40 passages du uide dans le domaine périodique. Les moyennestemporelles ont été calculées sur 100 000 pas de temps. Le calcul a duré 6 jours sur 1024 processeursde la Blue Gene.
Troisième calcul :Enn, l'inuence d'un troisième facteur a été testée : le nombre d'itérations du processus prédiction-
correction de la vitesse à chaque pas de temps. Par défaut, ce nombre est xé à un (ceci est susantsi le nombre de Courant est susamment petit). Le troisième calcul est similaire au deuxième entout point, excepté que le nombre d'itérations a été xé à trois (en eet, il a été montré dans [2]que ce nombre est susant pour obtenir une précision satisfaisante du couplage vitesse/pression).Concrètement, cela se fait en xant la variable NTERUP à 3 dans la routine usini1.F.
Avec un pas de temps de dt = 10−4s, le calcul des moyennes a été lancé après 80 passages duuide dans le domaine périodique, il s'est étalé sur 300 000 pas de temps. La totalité de la simulationa duré 18 jours sur 1024 processeurs.
Le tableau 5.1 résume les caractéristiques des trois calculs :
30
∆x+ ∆z+ ∆y+min ∆y+
max dt NTERUPPremier calcul 11.775 7.065 0.027 4.42 10−3s 1Deuxième calcul 11.775 3.5 0.027 4.42 10−4s 1Troixième Calcul 11.775 3.5 0.027 4.42 10−4s 3
Tab. 5.1 Caractéristiques des trois calculs DNS lancés avec Code_Saturne
5.4 Les résultats obtenus5.4.1 Statistiques usuelles
Les gures 5.2 à 5.4 représentent le prol de la vitesse moyenne u = U en fonction de la distanceadimensionnelle à la paroi. La gure 5.5 représente les prols des vitesses uctuantes
√u′2i et la
gure 5.6 représente le prol du terme de cisaillement dans le tenseur de Reynolds u′1u′2 = u′v′.
Enn, la gure 5.8 donne le prol de certaines corrélations triples (ces données sont les seules donnéesdisponibles sur les moyennes d'ordre 3).
On observe que pour tous les calculs lancés avec Code_Saturne, on a une parfaite adéquation denos résultats sur la vitesse moyenne u avec ceux de Mansour, Kim & Moin dans la zone proche de laparoi pour y+ ≤ 20. Cette première observation sera conrmée par la suite pour toutes les statistiquescalculées.En revanche, pour le premier calcul, on observe qu'à partir de y+ = 20, la vitesse moyenne estsurestimée et l'on obtient une surestimation de l'ordre de 0.6m.s−1 au centre du canal. Comme latransition entre zones linéaire et logarithmique est au même endroit que celle de la DNS de Kim &Moin, on en déduit que la surestimation de la vitesse moyenne au centre du canal n'est pas due à unezone logarithmique trop courte.
Deux hypothèses ont été formulées pour expliquer cette surestimation. Premièrement, cela pouvaitêtre dû à une zone de transition mal résolue car pas assez ranée ce qui aurait provoqué une accu-mulation des erreurs jusqu'au centre du canal donnant une surestimation de la vitesse moyenne (oualors tout simplement à un ranement insusant au centre du canal). Cette hypothèse a été testéeen récupérant quelques points au niveau de la paroi trop ranée et en resserrant les points dans lazone 15 ≤ y+ ≤ 30. Aucune amélioration notable n'a pu être observée. La deuxième hypothèse (onmontre par la suite que c'est la bonne raison) est que le maillage n'étant pas assez n dans la direc-tion z, les streaks ne sont pas correctement simulées, ceci impacte donc le mécanisme de remontéedes structures de la paroi vers l'écoulement central et l'eet se voit au centre. C'est l'hypothèse testéegrâce au deuxième calcul (courbe bleue sur la gure 5.2 ). On voit une nette amélioration du prolde vitesse moyenne, la surestimation au centre du canal étant nettement diminuée. On observe aussique le fait d'itérer trois fois sur le couplage vitesse-pression apporte une légère amélioration mais bienmoins importante que celle induite par le ranement dans la direction z.
On observe que les vitesses uctuantes sont globalement bien prédites par les trois calculs, et quele troisième calcul donne un résultat parfait pour vrms et wrms. En revanche, le fait d'avoir rané surz semble avoir eu un eet négatif sur le terme −u′v′ puisqu'on observe une légère surestimation dans lazone 15 ≤ y+ ≤ 30. Aucune explication satisfaisante n'a pu être donnée pour expliquer ce phénomène.
Enn, on voit que le ranement selon z permet une nette amélioration sur les corrélations triplesdans la zone 15 ≤ y+ ≤ 30. Cependant, les prols des corrélations triples sont quand même nette-ment moins bien prédis que ceux des autres statistiques. Cela montre qu'il est dicile de capter lesphénomènes concernant des termes du troisième ordre avec un code volumes nis d'ordre deux en
31
espace. En eet, les moyennes d'ordre 3 sont représentatives des petites structures. On voit que lecomportement asymptotique est très satisfaisant en paroi et que la dégradation a lieu au centre ducanal. Ceci montre que le ranement suivant x et/ou y est insusant. Il faudrait lancer d'autrescalculs pour vérier cette assertion.
Fig. 5.2 Prol de la vitesse moyenne dans le direction de l'écoulement.
32
Fig. 5.3 Prol logarithmique de la vitesse moyenne dans le direction de l'écoulement.
Fig. 5.4 Prol logarithmique de la vitesse moyenne dans le direction de l'écoulement (zoom).
33
Fig. 5.5 Moyennes RMS de la vitesse uctuante adimensionnalisées par u∗. En rouge :√
u′2, envert
√v′2, en bleu
√w′2
Fig. 5.6 Prol de −u′v′ adimensionnalisé par u∗.
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Fig. 5.7 Prol de −u′v′ adimensionnalisé par u∗ (zoom).
Fig. 5.8 Prol de quelques corrélations triples adimensionnalisées par u∗. En point : DNS de Kim &Moin. En trait continu : premier calcul. En trait et carrés : deuxième calcul. En pointillés : troisièmecalcul.
35
5.4.2 Équations de transport des tensions de ReynoldsLes gures 5.9 à 5.15 représentent les prols des diérents termes apparaissant dans les équations
de transport de l'énergie cinétique k et des tensions de Reynolds.On observe que pour toutes les tensions de Reynolds, le fort ranement en paroi donne une bonne
(voire excellente) adéquation de nos résultats avec ceux de Mansour, Kim & Moin. On voit aussi quedans tous les cas excepté pour v′v′, on a aussi de bons résultats au centre du canal. Les erreursimportantes observées dans le bilan de v′v′ sont à relativiser car les termes varient sur de petiteséchelles comparativement à k ou à u′u′ par exemple.
En revanche, pour la zone de transition située en 15 ≤ y+ ≤ 50, tous les termes calculés avecCode_Saturne dièrent sensiblement des résultats de Mansour, Kim & Moin. En particulier, la sommedes termes apparaissant à droite des équations de transports n'est pas nulle dans cette zone alorsqu'elle devrait l'être car elle correspond à la moyenne spatiale et temporelle de Du′iu
′j
Dt. Mais cela
est à relativiser puisqu'on voit que l'erreur sur cette somme reste petite devant le pique du termede production. Il serait intéressant de voir qui est le terme responsable de cette erreur. Au premierabord, toutes les courbes ont un écart faible avec les résultats de la DNS, ceci nous incite donc à endéduire que tous les termes on une contribution à l'erreur (somme des termes non nulle).
Fig. 5.9 Termes du bilan de k en fonction de la distance à la paroi adimensionnelle y+. En point :DNS de Kim & Moin. En trait continu : premier calcul. En trait et carrés : deuxième calcul. Enpointillés : troisième calcul.
36
Fig. 5.10 Zoom sur le bilan de k. En point : DNS de Kim & Moin. En trait continu : premier calcul.En trait et carrés : deuxième calcul. En pointillés : troisième calcul.
Fig. 5.11 Termes du bilan de u′u′ en fonction de la distance à la paroi adimensionnelle y+. Enpoint : DNS de Kim & Moin. En trait continu : premier calcul. En trait et carrés : deuxième calcul.En pointillés : troisième calcul.
37
Fig. 5.12 Termes du bilan de v′v′ en fonction de la distance à la paroi adimensionnelle y+. Enpoint : DNS de Kim & Moin. En trait continu : premier calcul. En trait et carrés : deuxième calcul.En pointillés : troisième calcul.
Fig. 5.13 Termes du bilan de w′w′ en fonction de la distance à la paroi adimensionnelle y+. Enpoint : DNS de Kim & Moin. En trait continu : premier calcul. En trait et carrés : deuxième calcul.En pointillés : troisième calcul.
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Fig. 5.14 Termes du bilan de w′w′ en fonction de la distance à la paroi adimensionnelle y+. Enpoint : DNS de Kim & Moin. En trait continu : premier calcul. En trait et carrés : deuxième calcul.En pointillés : troisième calcul (zoom).
Fig. 5.15 Termes du bilan de u′v′ en fonction de la distance à la paroi adimensionnelle y+. Enpoint : DNS de Kim & Moin. En trait continu : premier calcul. En trait et carrés : deuxième calcul.En pointillés : troisième calcul.
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5.5 Conclusions sur la DNS de canal plan développé avec Code_SaturneOn voit que pour un nombre de Reynolds turbulent égal à 180, une DNS avec Code_Saturne donne
des résultats très satisfaisants bien que le schéma numérique soit "seulement" un schéma volumes nisd'ordre deux centré en espace et en temps. Cependant, prendre un maillage destiné à faire une DNSavec un code spectral ne sut pas car le schéma volumes nis n'a pas la précision élevée d'un schémaspectral. Il faut donc raner davantage le maillage de façon à mieux capter les structures turbulentes,appelées streaks, en proche paroi. On montre ainsi qu'il faut raner au moins par deux le maillageutilisé avec un schéma spectral dans la direction transverse de l'écoulement. On pressent aussi qu'ilfaut encore raner le maillage dans la direction x et dans la direction y au centre du canal pourmieux modéliser les petites structures turbulentes. L'étape suivante, qui n'a pu être eectuée dans lecadre de ce stage faute de temps, est de lancer des DNS avec des nombres de Reynolds turbulentsplus élevés (Re∗ = 395 et Re∗ = 640) et de vérier que les résultats sont toujours aussi bons. Cetravail devient accessible avec la nouvelle Blue Gene d'EDF équipée de 32 000 processeurs (travail encours, lancé durant le stage long, pour Re∗ = 395).
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Chapitre 6
Passe à poissons
Ce chapitre est consacré aux travaux qui ont été eectués en collaboration avec le départementLNHE de EDF R & D. Ils s'inscrivent dans le cadre d'une coopération étroite entre des chercheurs dedeux diérents départements d'EDF R&D : le Laboratoire National d'Hydraulique et Environnement(LNHE) et le département MFEE. Ce type de collaboration inter-départements est très fréquent ausein d'EDF R&D. Il existe par exemple de nombreuses collaborations entre les départements MFEEet MMC (Mécanique des milieux continus) sur les sujets de fatigue thermique ou de prédiction d'eortdans les vannes et clapets. Il existe aussi des collaborations avec des organismes extérieurs comme lesuniversités (Paris VI, University of Manchester...), les grands instituts de recherche français (CEA,CNRS,...) ou encore les grandes écoles (ENPC, ENSTA, ECL, ECP) où les chercheurs d'EDF sontengagés soit dans des projets de recherche communs soit dans des missions d'enseignement.
Lors de cette collaboration, nous avons mené une étude sur une conguration de passe à pois-sons. La motivation de départ était de confronter les calculs eectués avec le code SPH (SmoothedParticle Hydrodynamics) développé par le LNHE : Spartacus 2D. Comme l'intégration de modèlesde turbulence dans ce code est récente, l'idée est de comparer les résultats avec un code eulérienvolumes nis dont les modèles de turbulence sont largement validés à savoir Code_Saturne. De plus,Code_Saturne orait davantage de possibilités puisqu'il permettait l'étude de ce cas en modélisant laturbulence par la méthode LES (méthode plus ne). En plus des comparaisons entre Code_Saturne,Spartacus 2D, les mêmes calculs ont été menés avec le code éléments nis Telemac 2D. Des donnéesexpérimentales sont aussi disponibles mais pour des raisons de condentialités, il ne sera pas possiblede les présenter dans ce rapport. Cette collaboration a donné lieu à une publication lors du troisièmecongrès SPHERIC (SPH European Interest Community), voir [13]
Dans une première partie, nous présenterons ce qu'est une passe à poissons ainsi que les diérentsenjeux environnementaux liés à leur développement. Puis après avoir décrit le maillage utilisé et sagénération, nous donnerons dans les sections 6.3 et 6.4 les principaux résultats obtenus avec diérentsmodèles de turbulence. La dernière partie 6.5 sera consacrée à une comparaison plus précise desrésultats des diérents modèles ainsi qu'à une confrontation des résultats des diérents codes decalcul.
6.1 Les passes à poissons : un enjeu environnementalUne échelle à poissons ou passe à poissons est un dispositif permettant aux poissons de franchir un
obstacle créé par l'Homme sur un cours d'eau, généralement un barrage ou un seuil. Bien que renduobligatoire par la loi dans de nombreux pays, ce dispositif n'a pas toujours été installé, notammentsur les ouvrages d'art les plus anciens.
Se présentant schématiquement sous la forme d'une sorte d'escalier constitué d'une succession depetits bassins, une échelle à poissons permet aux poissons migrateurs (anguilles, aloses, saumons...)
41
eectuant leur montaison, ainsi qu'aux poissons cherchant les têtes de bassin pour se reproduire (parexemple les truites) de s'aranchir des obstacles créés par l'Homme et mettant leur survie en danger.
Nées d'un constat de disparition des espèces de poissons ayant besoin de migrer (montaison etdévalaison) dans le cadre de leur cycle de développement et/ou de reproduction (notamment sau-mons, anguilles, aloses, ...), ces échelles tendent à présent à se multiplier, notamment comme mesurecompensatoire suite à l'étude d'impact obligatoire pour les grands barrages dans la plupart des pays.Néanmoins, même dans les cas où les concepteurs de ces ouvrages ont les connaissances non seule-ment en génie civil, mais qui leur permettent de prendre en compte et de prévoir le comportementdes poissons, l'installation d'échelles à poissons est parfois considérée comme un pis-aller quant à laconservation des espèces, voire inutile sans la compréhension et la collaboration des utilisateurs ouexploitants du barrage (souvent producteurs d'hydro-électricité).
Voici deux photos de passes à poissons récupérées à l'adresse [23]. La passe à poisson du barragede Verbois près de Genève est celle qui se rapproche le plus de la conguration que nous avons étudiée.
Fig. 6.1 Grande échelle à poissons de John Day Dams sur la Rivière Columbia
Fig. 6.2 Barrage de Verbois près de Genève sur le Rhône, Suisse
42
6.2 Présentation du cas et construction du maillage RANSLa gure 6.3 montre une photo de la passe à poissons que nous avons étudiée. Il s'agit de la
répétition périodique d'un obstacle à l'écoulement formant une zone de repos dans laquelle viennentse reposer les poissons avant de poursuivre leur ascension. Nous avons donc choisit de modéliser cecas par un écoulement périodique dans la direction principal d'écoulement du uide (la direction x).On a aussi imposé une périodicité dans la direction z, orthogonale à la gure 6.4, qui correspondà la profondeur du cours d'eau. Cette modélisation représente une hypothèse assez forte puisqu'ellene permet de rendre compte ni des frottements de l'écoulement sur le fond du cours d'eau, ni de lasurface libre du cours d'eau. Mais cette hypothèse paraît raisonnable d'autant plus que les calculseectués avec Spartacus 2D ou Telemac 2D sur cette conguration étaient des calculs 2D.
Fig. 6.3 Photo de la passe à poissons modélisée
Fig. 6.4 Trajectoire suivie par les poissons
43
Tous les calculs utilisant des modèles de turbulence dits modèles RANS (sauf le Rij-SSG 3D)ont été lancés sur un même maillage, que nous avons construit avec le logiciel Simail développé parSimulog et Incka. Plusieurs contraintes pesaient sur la construction de ce maillage. Premièrement,comme l'écoulement étudié est 2D en moyenne, il est a priori inutile de donner au maillage uneprofondeur dans la direction z pour un calcul RANS. Le maillage ne contient donc qu'une seulecellule dans cette direction. Nous avons décidé de raner le maillage en paroi an de mieux prendreen compte l'inuence de celle-ci1. Enn, le maillage devait être totalement conforme y compris surles faces de périodicité, ce qui nous a obligé à utiliser des mailles dites tétraédriques2 dans une zonerestreinte sous l'obstacle. Ces mailles tétraédriques ont été obtenues par une triangulation de typeVoronoï.
Au nal, on obtient le maillage présenté sur la gure 6.5 qui est constitué de 24 600 cellules. Lagure 6.6 montre un zoom sur la partie triangulaire du maillage.
Fig. 6.5 Maillage utilisé en RANS.
Fig. 6.6 Maillage utilisé en RANS : zoom sur les cellules tétraédriquesEnn, les données expérimentales indiquent que le débit moyen dans la direction x est égal à
1Il est important de noter que le ranement en paroi n'est pas aussi n qu'il devrait l'être, car étant donné le fortnombre de Reynolds de l'écoulement, placer des centres des cellules de calcul dans la zone y+ ≤ 11 aurait nécessitébeaucoup plus de points.
2En réalité, ce sont des prismes à base triangulaire.
44
0.3286 m3.s−1. Cette valeur a été imposée par une méthode de correction du débit à chaque pas detemps (voir [2], page 259, pour la méthode employée).
6.3 Résultats des calculs RANSLes modèles RANS les plus couramment utilisés ont tous été testés sur la conguration de la passe
à poissons : le modèle k − ε standard [21], ainsi que les modèles k − ω − SST [14] et le RIJ-SSG [7].Ce dernier a été testé en conguration 2D (une seule cellule dans la direction z) et en 3D (30 cellulesdans la direction z). On rappelle que Code_Saturne utilise par défaut un algorithme instationnaireet une loi de paroi standard. D'autres variantes ont été testées mais ne seront pas montrées ici : lesScalable Wall Functions [15], lois de paroi rugueuses, le modèle k − ε à production linéaire [11]. Ceschangements n'ont pas sensiblement modié les résultats.
Les gures 6.7 à 6.10 montrent les champs de vecteur vitesse obtenus avec tous les calculs RANS.
Fig. 6.7 Champ du vecteur vitesse : k-ε standard.
Fig. 6.8 Champ du vecteur vitesse : k-ω − SST .On observe une morphologie de l'écoulement variant très fortement, voire radicalement, en fonc-
tion du modèle de turbulence utilisé. Le seul point commun qu'on peut observer est l'accélération àla sortie du rétrécissement due à l'incompressibilité de l'eau avec toutefois des variations dans l'anglede sortie. Ces trois calculs donnent des résultats assez peu satisfaisants dans la mesure où l'on n'ob-serve pas de "zone morte" (vitesse faible) derrière l'obstacle permettant aux poissons de se reposeravant de poursuivre leur ascension. On observe que tous les calculs montrent la présence d'un certainnombre de recirculations de l'écoulement, mais le nombre et l'emplacement de ces dernières varientconsidérablement en fonction du modèle de turbulence. Seul le calcul Rij-SSG 3D présente une re-circulation sous l'obstacle, ce qui correspond aux observations expérimentales. Ceci est conforme aux
45
Fig. 6.9 Champ du vecteur vitesse : Rij-SSG 2D.
Fig. 6.10 Champ du vecteur vitesse : Rij-SSG 3D.
observations assez générales sur le modèle SSG qui, dès qu'une instationnarité apparaît, se comportenettement mieux en 3D qu'en 2D (voir [10]).
Les gures 6.11 à 6.14 montrent les champs de la norme de la vitesse obtenus avec tous les calculsRANS.
Fig. 6.11 Champ de vitesse : k-ε standard.Il est intéressant de noter que les champs de la norme de la vitesse sont assez similaires pour
les modèles k − ε standard et k − ω − SST , avec des vitesses plus grandes en k − ω − SST . Uneétude supercielle, uniquement basée sur les champs de norme de vitesse, pourrait donc nous amener àcroire que ces deux modèles donnent des résultats comparables. Il est donc important d'observer aussiles champs des vecteurs vitesse qui mettent en évidence des diérences importantes. Dans la section
46
Fig. 6.12 Champ de vitesse : k-ω − SST .
Fig. 6.13 Champ de vitesse : Rij-SSG 2D.
6.4, nous donnerons des moyens plus précis de comparaison des diérents calculs par comparaison deprol de vitesse et d'énergie cinétique turbulente.
Les gures 6.15 à 6.18 montrent les champs de pression obtenus avec tous les calculs RANS.On voit que la pression est plus importante au niveau des parois verticales qui s'opposent au sens
de l'écoulement ce qui est tout-à-fait normal. Ces champs de pressions nous permettent égalementd'observer les centres des recirculations qui apparaissent sous la forme de dépressions localisées. Onen observe notamment une sous l'obstacle dans le calcul Rij-SSG 3D.
Les gures 6.19 à 6.21 donnent le champ de l'énergie turbulente pour les calculs 2D. On remarqueencore une fois une grande disparité dans les résultats.
47
Fig. 6.14 Champ de vitesse : Rij-SSG 3D.
Fig. 6.15 Champ de pression : k-ε standard.
Fig. 6.16 Champ de pression : k-ω − SST .
Fig. 6.17 Champ de pression : Rij-SSG 2D.
48
Fig. 6.18 Champ de pression : Rij-SSG 3D.
Fig. 6.19 Énergie turbulente : k-ε.
Fig. 6.20 Énergie turbulente : k-ω-SST.
Fig. 6.21 Énergie turbulente : Rij-SSG 2D.
49
6.4 Résultats du calcul LESUn premier calcul LES a été lancé sur le même maillage que celui qui a été utilisé pour le calcul
Rij-SSG 3D. Il s'agit d'un maillage possédant 24 600 cellules dans le plan (x, z) et 30 cellules dans ladirection y normale à l'écoulement moyen, ce qui fait au total 738 000 cellules. Ce premier calcul n'estqu'un calcul grossier et non une LES à part entière dans la mesure où le maillage utilisé n'est a prioripas assez n pour capter même les plus grandes structures. En eet, la LES doit être assez ranéepour simuler les structures turbulentes les plus énergétiques. Il existe plusieurs critères pour déter-miner une taille de maille correcte. On peut supposer que les grandes structures sont correctementsimulées si la taille caractéristique de la maille est 10 fois plus petite que l'échelle intégrale (taillecaractéristique des grands tourbillons) ou de l'ordre de l'échelle de Taylor (taille caractéristique desstructures dans la zone inertielle). On peut aussi considérer que les grandes structures sont correcte-ment simulées si la taille des mailles est de l'ordre de 100 fois l'échelle de Kolmogorov. Dans le casdu maillage utilisé ici pour la LES, un calcul simple permet de voir qu'il s'agit là d'un maillage bientrop grossier.
Les gures 6.22 à 6.25 présentent les résultats de la LES lancée sur ce maillage :
Fig. 6.22 Champ du vecteur vitesse instantanée : LES.
Fig. 6.23 Champ de vitesse (norme) instantanée : LES.On observe que la LES génère un champ de vitesse turbulent instationnaire contrairement aux cal-
culs RANS 2D (l'instationnarité est celle inhérente à la turbulence). Cela est dû au fait que malgré unranement insusant, un certain nombre de structures ont été générées par la simulation des grandeséchelles. On voit aussi que ce calcul donne un résultat plus proche des observations expérimentalesdans la mesure où l'on observe eectivement une "zone morte" derrière l'obstacle où la vitesse y esttrès faible. On observe également une recirculation très nette sous l'obstacle qui n'apparaissait que
50
Fig. 6.24 Champ de pression : LES.
Fig. 6.25 Énergie turbulente : LES.
dans le calcul Rij-SSG 3D.Fort de ces résultats satisfaisants, nous avons voulus lancé un calcul LES avec un maillage susam-
ment rané. Pour dimensionner le maillage, nous avons calculé, à l'aide de la simulation Rij-SSG 3D,trois échelles caractéristiques de longueurs de tourbillons : l'échelle intégrale, l'échelle de Kolmogorov,et l'échelle de Taylor. Puis nous avons décidé de xer la taille des mailles selon la formule :
∆ = max
(110
k32
ε,
√10νk
ε, 80.
(ν3
ε
) 14
)(6.1)
On obtient alors un maillage contenant 50 millions de cellules. Vu la taille importante du maillage,nous ne l'avons pas créé entièrement à l'aide du logiciel Simail. Seule la projection 2D du maillagesur le plan (x, z) a été créée à l'aide de ce logiciel, puis ce maillage 2D a été extrudé sur 100 cellulesdans la direction y grâce à une commande de la librairie fvm de Code_Saturne.
Un calcul a été lancé sur la Blue Gene avec le maillage ainsi obtenu. Malheureusement, le calculn'a pas encore abouti. Il est possible que la méthode utilisée pour générer le maillage soit à l'originedes problèmes rencontrés.
6.5 Comparaison plus précise des diérents calculsDans cette section, on se propose de comparer de façon plus précise, d'une part, tous les résul-
tats obtenus avec Code_Saturne et d'autre part, les résultats du modèle k − ε pour les trois codesCode_Saturne, Spartacus 2D, et Telemac 2D. Pour cela, nous allons tracer les prols de vitesse etd'énergie cinétique turbulente moyennées (au cours du temps et dans la direction transverse y) au
51
niveau des deux sections A (située en x = 0.5m) et B (située en x = 1.5m) représentées dans la gure6.4.
La gure 6.26 représente les prols de vitesse moyenne et d'énergie cinétique turbulente au niveaudes sections A et B pour tous les calculs lancés avec Code_Saturne. Globalement, le modèle LES estcelui qui donne les résultats les plus proches des observations expérimentales, ce qui n'est pas surpre-nant puisque c'est le seul modèle qui simule les plus grands tourbillons bien que le maillage ne soit pasassez n. Le modèle Rij-SSG 3D donne des résultats similaires surtout au niveau de la section B où lesprols de vitesse sont très proches de la LES. Le modèle k−ε quant à lui, donne de mauvais résultatsbien qu'il soit plus satisfaisant lorsqu'il est utilisé avec les codes Spartacus 2D ou Telemac 2D commele montre la gure 6.27. Diérents ajustements ont été testés pour améliorer les résultats du k − ε(production linéaire, paroi rugueuse, ranement du maillage) mais aucune amélioration n'a pu êtreobtenue. Enn, les modèles k− ω et Rij-SSG 2D donnent de très mauvais résultats, très éloignés desdonnés expérimentales. En ce qui concerne le Rij-SSG, il donne de bien meilleurs résultats lorsqu'ilest utilisé en 3D (bien que ce soit un modèle RANS), car il permet de prédire toutes les composantesdu tenseur de Reynolds 3D. Il permet donc de reproduire l'anisotropie de l'écoulement instantané.
Fig. 6.26 Prols de ‖ u ‖ (en haut) et k (en bas) le long des sections A et B obtenus avecCode_Saturne. En noir : k − ε, en turquoise : k − ε avec paroi rugueuse. En rouge : k − ω. En bleu :Rij-SSG 2D. En vert Rij-SSG 3D. En orange : LES.
La gure 6.27 représente les prols de vitesse moyenne et d'énergie cinétique turbulente au niveaudes sections A et B, pour le modèle k−ε, obtenus avec les trois codes Code_Saturne, Spartacus 2D, etTelemac 2D. On voit que Spartacus 2D et Telemac 2D donnent des résultats assez proches en termes devitesse moyenne tandis que le modèle k−ε de Code_Saturne donne des prols assez diérents. Lorsqueces résultats sont comparés aux données expérimentales, Spartacus 2D et Telemac 2D donnent les
52
meilleurs résultats. Il est assez troublant de voir que des méthodes numériques diérentes (SPHpour Spartacus 2D et volumes nis pour Code_Saturne) donnent des résultats aussi éloignés pourles mêmes équations (Reynolds Averaged Navier-Stokes) alors même que Telemac 2D, qui résout leséquations de Saint-Venant avec une méthode d'éléments nis donne des résultats proches de ceux deSpartacus 2D. Ces résultats doivent amener à des investigations plus poussées en terme de conditionsaux limites, méthodes d'intégrations etc..., an de comprendre les diérences entre les diérents codesavec un modèle simple et largement utilisé comme le k − ε.
Fig. 6.27 Prols de ‖ u ‖ (en haut) et k (en bas) le long des sections A et B obtenus avec le modèlek − ε. En noir : Spartacus 2D, en rouge Code_Saturne. En bleu : Telamac 2D.
53
Chapitre 7
Diusion de la chaleur en 1D avecconditions aux limites particulières
Le travaille qui suit a été eectué en collaboration avec un doctorant de MFEE et le LEA dePoitiers. L'objet de la thèse est le calcul de l'écoulement autour d'un cylindre ni chaué avec deszones de convection mixtes. Ces calculs servent à mieux comprendre les phénomènes thermiques pourl'entreposage des déchets radioactifs. La paroi du cylindre (partie solide) est soumise à des variationsde température (voir la gure 7.1). En négligeant les eets tridimensionnels de la propagation dela chaleur dans le solide, on peut ramener le problème à une dimension. On connaît le ux de latemérature dans une couronne interne du cylindre et la température en paroi externe varie à causede l'écoulement.
Fig. 7.1 Cylindre chauée dans le cadre de l'entreposageOn se propose donc de résoudre de façon analytique le problème ci-dessous de diusion de la
chaleur en 1D :Trouver une fonction T (x, t) dénie sur [0, L]× [0,+∞[ qui satisfasse l'équation de la chaleur 1D
54
avec les conditions limites et initiales suivantes :
∂T
∂t− ∂2T
∂x2= 0
∂T
∂x
∣∣∣x=0
= −φ = Cste
T (L, t) = T0 cos(ωt)
T (x, 0) = Tini(x)
(7.1)
L'intérêt de cette étude réside dans le fait qu'à notre connaissance, aucune solution analytiquerésolvant précisément ce problème n'a été trouvée dans la littérature classique en diusion de la cha-leur, voir par exemple [8].
Nous n'avons rien précisé sur les propriétés de la fonction Tini. Nous supposerons qu'elle estsusamment régulière et possède toutes les propriétés dont nous aurons éventuellement besoin.
Dans une première partie, nous exhiberons une solution possible pour le régime établi. Puis, dansune deuxième partie, nous donnerons la solution du problème (7.1) et nous montrerons que cettesolution est unique. Enn, dans une troisième partie, nous comparerons la solution analytique de(7.1) aux résultats obtenus par un calcul numérique eectué avec Code_Saturne.
7.1 Existence d'une solution en régime permanentNous supposerons dans cette section que le régime établi que nous recherchons est indépendant
de la condition initiale Tini(x), hypothèse que nous conrmerons dans la section suivante où nousprendrons en compte cette condition initiale. Nous "oublions" donc les conditions initiales et nouscherchons à exhiber une fonction Tp(x, t) dénie sur [0, L]× [0,+∞[ telle que :
∂Tp
∂t− ∂2Tp
∂x2= 0
∂Tp
∂x
∣∣∣x=0
= −φ = Cste
Tp(L, t) = T0 cos(ωt)
(7.2)
On suppose que la température en régime établi se décompose sous la forme :Tp(x, t) =< T (x) > +Tv(x, t)
où < T (x) > représente l'état stationnaire (∂ < T >
∂t= 0) et où Tv(x, t) est l'oscillation temporelle
autour de l'état stationnaire en chaque point x. On voit alors que l'état stationnaire vérie :d2 < T >
dx2= 0 (7.3)
55
ce qui implique d < T >
dx= cste. Or, la condition de type Neumann en x = 0 sur Tp se traduit
par :d < T >
dx
∣∣∣x=0
+∂Tv
∂x
∣∣∣x=0
= −φ (7.4)
Comme d < T >
dx= cste, on choisit d'imposer d < T >
dx= −φ ce qui revient à imposer la condition
de type Neumann uniquement sur le terme stationnaire. Enn, si l'on moyenne au cours du temps lacondition de Dirichlet sur le problème (7.1) :
⟨T0 cos(ωt)
⟩= 0, on obtient < T (L) >= 0. Finalement,
on a < T (x) >= φL− φx.La partie oscillante Tv(x, t) du régime établi est quant à elle solution du problème :
∂Tv
∂t− ∂2Tv
∂x2= 0
∂Tv
∂x
∣∣∣x=0
= 0
Tv(L, t) = T0 cos(ωt)
(7.5)
On remarquera que la condition de Neumann en x = 0 est homogène pour la partie uctuanteTv(x, t). Ainsi, résoudre le problème (7.2) revient à résoudre le même problème avec φ = 0 puis àajouter la solution stationnaire.
L'équation de la chaleur étant linéaire, on peut penser qu'en "forçant" le système par un termede la forme T0 cos(ωt) en x = L, la solution en régime établi pourrait être aussi de même pulsationω. Or on sait qu'un grand nombre de fonctions périodiques peuvent être décomposées sur la base deFourier :Théorème 7.1.1 (Théorème de décomposition de Fourier) 1 La famille de fonctions(√ ω
2πeinωt
)n∈Z
est une base hilbertienne de L2per(]0,
2π
ω[) où
L2per(]0,
2π
ω[) = f ∈ L2
loc(R, C), f(t +2π
ω) = f(t) p.p. en t
est l'espace de Hilbert des fonctions de R dans C, de carré intégrable sur tout compact2, et 2π
ω-
périodiques.Ainsi, toute fonction de carré intégrable sur tout compact de R et de pulsation ω peut être écrite
sous la forme :f(t) =
∑n∈Z
cneinωt (7.6)
L'égalité ci-dessus est une égalité au sens de la convergence L2 de la série. En particulier, elleest donc vraie presque partout en t. Ainsi, en remarquant que le C-espace vectoriel engendré par les
1Pour démontrer ce résultat, on raisonne d'abord sur les fonctions régulières en faisant appel au noyau de Dirichlet.On conclut ensuite par densité, voir [5] pour plus de détails.
2On rappel que les compacts de R sont les ensembles fermés et bornés dans R.
56
fonctions einωt et e−inωt est aussi engendré par cos nωt et sinnωt pour n ≥ 1 3, et en supposant quenotre solution en régime permanent est de carré intégrable sur tout compact, on peut la chercher sousla forme
Tv(x, t) =∑n≥1
an(x) cos(nωt) +∑n≥1
bn(x) sin(nωt). (7.7)
Remarque 7.1.1 L'espace de Hilbert L2per(]0,
2π
ω[) est muni du produit scalaire :
(f |g) =∫ 2π
ω
0f(t)g(t)dt
Remarque 7.1.2 Les coecients cn apparaissant dans la décomposition d'une fonction f dans labase de Fourier ont pour expression :
cn =√
ω
2π
∫ 2πω
0f(t)e−inωtdt
Remarque 7.1.3 On se contente souvent d'une convergence L2 de la série de Fourier car les fonc-tions L2 correspondent à des fonctions d'énergie nie. Mais si l'on souhaite avoir "mieux" qu'uneconvergence L2, il faut faire des hypothèses supplémentaires sur la fonction f . Ainsi, si f est continueet C1 par morceaux, alors la série de Fourier de f converge simplement 4 vers f . Si f est de classe C1
au voisinage d'un segment, alors la série de Fourier converge uniformément 5 vers f sur ce segment.Remarque 7.1.4 Comme la fonction Tv(x, t) est à valeurs dans R, alors les coecients an(x) etbn(x) sont des fonctions réelles.
On a alors :
∂Tv
∂t(x, t) = −
∑n≥1
nωan(x) sin(nωt) +∑n≥1
nωbn(x) cos(nωt)
∂2Tv
∂x2(x, t) =
∑n≥1
d2an
dx2(x) cos(nωt) +
∑n≥1
d2bn
dx2(x) sin(nωt)
Donc Tv(x, t) est solution de l'équation de la chaleur si et seulement si :
∀n ≥ 1
d2an
dx2(x) = nωbn(x)
d2bn
dx2(x) = −nωan(x)
(7.8)
3En langage mathématique on écrit : vect(einωt, e−inωt)=vect(cos nωt, sin nωt)4On dit qu'une suite de fonctions fn converge simplement vers f si ∀t fn(t) −→
n→+∞f(t)
5On dit qu'une suite de fonctions fn converge uniformément vers f sur un segment S sisupt∈S
˛fn(t)− f(t)
˛−→
n→+∞0
57
On résout ce système (à l'aide de Maple 9, voir [12]) et on trouve :
an(x) = C3n cos
(√2nω
2x)e−
√2nω2
x + C4n cos
(√2nω
2x)e√
2nω2
x
−C1n sin
(√2nω
2x)e−
√2nω2
x − C2n sin
(√2nω
2x)e√
2nω2
x
bn(x) = C1n cos
(√2nω
2x)e−
√2nω2
x − C2n cos
(√2nω
2x)e√
2nω2
x
+C3n sin
(√2nω
2x)e−
√2nω2
x − C4n sin
(√2nω
2x)e√
2nω2
x
Où C1n, C2
n, C3n et C4
n sont quatre constantes à déterminer en fonction des conditions aux limites.On souhaite que Tv(L, t) = T0 cos(ωt) ce qui implique que :
a0 = 0
a1(L) = T0
b1(L) = 0
et ∀n ≥ 2
an(L) = 0
bn(L) = 0
De plus, la condition de type Neumann homogène en x = 0 donne :
∀n ≥ 1
dan
dx
∣∣∣x=0
= 0
dbn
dx
∣∣∣x=0
= 0
Ce qui implique que ∀n ≥ 2 C1n = C2
n = C3n = C4
n = 0 car on obtient alors un système linéaire in-versible de quatre équations à quatre inconnues avec un second membre nul. Donc, ∀n ≥ 2 an(x) =bn(x) = 0.
Finalement, on cherche la uctuation de température sous la forme :
Tv(x, t) = a(x) cos(ωt) + b(x) sin(ωt)
avec
a(x) = C3cos(√2ω
2x)e−
√2ω2
x+C4cos(√2ω
2x)e√
2ω2
x−C1sin(√2ω
2x)e−
√2ω2
x−C2sin(√2ω
2x)e√
2ω2
x
58
b(x) = C1cos(√2ω
2x)e−
√2ω2
x−C2cos(√2ω
2x)e√
2ω2
x +C3sin(√2ω
2x)e−
√2ω2
x−C4sin(√2ω
2x)e√
2ω2
x
Pour déterminer les quatre constantes C1, C2, C3 et C4, on utilise les quatre équations suivantes :
a(L) = T0
b(L) = 0
da
dx
∣∣∣x=0
= 0
db
dx
∣∣∣x=0
= 0
On résout donc ce système (toujours grâce à Maple 9 ) et on trouve :
C1 = −C2 =−T0 sin
(√2ω
2L)(
− 1 + e−√
2ωL)e−
√2ω2
L
−2e−√
2ωL + 4 cos2(√2ω
2L)e−√
2ωL + e−2√
2ωL + 1
C3 = C4 =T0 cos
(√2ω
2L)(
1 + e−√
2ωL)e−
√2ω2
L
−2e−√
2ωL + 4 cos2(√2ω
2L)e−√
2ωL + e−2√
2ωL + 1
Remarque 7.1.5 Une simple vérication permet de voir que le dénominateur apparaissant dans lesexpressions des constantes C1, C2, C3 et C4, et qui n'est rien d'autre que le déterminant du systèmelinéaire résolu, n'est jamais nul. On a donc un système de Cramer.
Finalement, on obtient les expressions suivantes pour a(x) et b(x) :
a(x) = Cα sin(√2ω
2x)
sinh(√2ω
2x)− Cβ cos
(√2ω
2x)
cosh(√2ω
2x)
b(x) = Cβ sin(√2ω
2x)
sinh(√2ω
2x)
+ Cα cos(√2ω
2x)
cosh(√2ω
2x)
59
avec :
Cα =−2T0 sin
(√2ω
2L)(
− 1 + e−√
2ωL)e−
√2ω2
L
−2e−√
2ωL + 4 cos2(√2ω
2L)e−√
2ωL + e−2√
2ωL + 1
Cβ =−2T0 cos
(√2ω
2L)(
1 + e−√
2ωL)e−
√2ω2
L
−2e−√
2ωL + 4 cos2(√2ω
2L)e−√
2ωL + e−2√
2ωL + 1
Conclusion : En supposant le régime permanent indépendant de la condition initiale, nous l'avons recherché
sous la forme d'une fonction Tp(x, t),2π
ω-périodique et vériant les conditions suivantes :
∂Tp
∂t− ∂2Tp
∂x2= 0
∂Tp
∂x
∣∣∣x=0
= −φ = Cste
Tp(L, t) = T0 cos(ωt)
Une solution satisfaisant toutes ces conditions a été exhibée :
Tp(x, t) = φL− φx + a(x) cos(ωt) + b(x) sin(ωt) (7.9)
avec :
a(x) = Cα sin(√2ω
2x)
sinh(√2ω
2x)− Cβ cos
(√2ω
2x)
cosh(√2ω
2x)
b(x) = Cβ sin(√2ω
2x)
sinh(√2ω
2x)
+ Cα cos(√2ω
2x)
cosh(√2ω
2x)
où les constantes Cα et Cβ ont pour expressions :
Cα =−2T0 sin
(√2ω
2L)(
− 1 + e−√
2ωL)e−
√2ω2 L
−2e−√
2ωL + 4 cos2(√2ω
2L)e−√
2ωL + e−2√
2ωL + 1
Cβ =−2T0 cos
(√2ω
2L)(
1 + e−√
2ωL)e−
√2ω2 L
−2e−√
2ωL + 4 cos2(√2ω
2L)e−√
2ωL + e−2√
2ωL + 1
60
7.2 Existence et unicité de la solution du problème (7.1)On souhaite à présent déterminer la solution globale du problème c'est-à-dire la solution prenant
en compte la condition initiale. Soit Tt(x, t) la fonction dénie par :Tt(x, t) = T (x, t)− Tp(x, t) (7.10)
où T (x, t) est la solution du problème global (7.1). Tt(x, t) est le régime transitoire. On voit queTt(x, t) est solution de
∂Tt
∂t− ∂2Tt
∂x2= 0
∂Tt
∂x
∣∣∣x=0
= 0
Tt(L, t) = 0
Tt(x, 0) = g(x)
(7.11)
où g(x) = Tini(x)− Tp(x, 0) = Tini(x)− φL + φx− a(x).On voit que, comme les conditions limites sont absorbées par Tp, le problème (7.11) a des conditions
aux limites homogènes en x = 0 et x = L. On démontre que le problème (7.11) possède une solutionunique. Pour cela, on peut invoquer le théorème de diagonalisation du Laplacien :Théorème 7.2.1 (Diagonalisation du Laplacien) 6 Soit Ω un ouvert borné régulier de RN dontla frontière ∂Ω se décompose en deux parties disjointes régulières ∂ΩN et ∂ΩD. Alors, il existe unesuite croissante (λk)k≥0 de réels positifs ou nuls qui tend vers l'inni, et il existe une base hilbertiennede L2(Ω) (uk)k≥0, telle que chaque uk appartient à H1(Ω)7 et vérie
−∆uk = λkuk dans Ω
uk = 0 sur ∂ΩD
∂uk
∂n= 0 sur ∂ΩN
Dans notre cas, on est en dimension 1, et l'ouvert Ω est ]0, L[.On cherche ensuite la décomposition de la solution de (7.11) dans cette base. Pour cela, détermi-
nons explicitement les fonctions propres du Laplacien correspondant à nos conditions aux limites :6Pour une preuve de ce résultat, voir [1].7H1(Ω) est l'espace des fonctions de carré intégrable sur Ω, dont la dérivée faible est aussi de carré intégrable sur
Ω. On démontre qu'en dimension 1, les fonctions de H1(Ω) sont continues sur Ω.
61
On cherche donc une famille de couples (λk, uk) dans R+ ×H1(0, 1) tels que :
−d2uk
dx2= λkuk
duk
dx
∣∣∣x=0
= 0
uk(L) = 0
(7.12)
Comme les λk sont positifs d'après le théorème 7.2.1, uk(x) est de la forme :uk(x) = A cos(
√λkx) + B sin(
√λkx)
doncduk
dx= −A
√λk sin(
√λkx) + B
√λk cos(
√λkx)
Comme duk
dx
∣∣∣x=0
= 0, on en déduit que B = 0. Donc uk(x) est de la forme :uk(x) = A cos(
√λkx)
Et comme uk(L) = 0, alors √λk =π + 2kπ
2Lavec k ∈ N. On verie bien que λk −→
k→+∞+∞.
Finalement, les fonctions propres du Laplacien avec conditions aux limites de type Dirichlet ho-mogène en x = L et Neumann homogène en x = 0 sont données par :
uk(x) = A cos(π + 2kπ
2Lx)
On prendra A =1√L
an d'avoir (uk|ul) = δkl pour le produit scalaire :
(f |g) =∫ L
0f(x)g(x)dx
La solution de (7.11) peut donc se décomposer sur cette base de vecteurs propres :Tt(x, t) =
∑k≥0
αk(t)1√L
cos(π + 2kπ
2Lx)
En introduisant cette écriture dans l'équation de la chaleur, on voit que chaque fonction αk vériel'équation diérentielle ordinaire :
α′k(t) + λkαk(t) = 0
avec λk =(π + 2kπ
2L
)2. On a donc αk(t) = α0ke−λkt.
Finalement, la solution obtenue est :Tt(x, t) =
∑k≥0
α0ke−λkt 1√
Lcos(π + 2kπ
2Lx)
(7.13)
62
où les α0k sont les coecients de la décomposition de la condition initiale g(x) sur la base de
fonctions propres (uk)k≥0 :
α0k =
∫ L
0g(x)uk(x)dx
Cette analyse nous donne automatiquement l'unicité de la solution du problème (7.11) puisqu'ellene peut avoir d'autre expression que celle donnée par (7.13), les (uk)k≥0 formant une base de L2(0, L).
Ainsi, une solution du problème global (7.1) est T (x, t) = Tt(x, t) + Tp(x, t) soit :
T (x, t) =∑k≥0
α0ke−λkt 1√
Lcos(π + 2kπ
2Lx)
+ φL− φx + a(x) cos(ωt) + b(x) sin(ωt) (7.14)
Remarque 7.2.1 L'unicité de la solution du problème (7.11) nous donne directement l'unicité dela solution du problème global (7.1). En eet, on cherche la solution T du problème (7.1). Grâce àl'analyse eectuée dans la section 7.1, on voit que la fonction T − Tp est solution d'un problème (leproblème (7.11)) dont la solution existe et est unique et dont l'expression Tt est donnée par (7.13). Ona donc forcément T − Tp = Tt ce qui implique T = Tt + Tp, d'où l'unicité de la solution du problème(7.1). Il est important de noter que la solution ne dépend pas d'un choix, celui de Tp par exemple.En eet, Tp n'est pas connue uniquement à travers ses propriétés vis-à-vis des conditions aux limitesdu problème (ce qui aurait pu amener à plusieurs choix pour Tp), mais on dispose d'une expressionparfaitement dénie pour Tp.Remarque 7.2.2 Pour être plus rigoureux, il faudrait déterminer à quel espace appartient la fonctionT (x, t). En eet, s'il est clair que la partie permanente Tp(x, t) est une fonction de C∞
([0, L] ×
[0,+∞[), les choses sont plus compliquées pour la partie transitoire de la solution. On admettra sans
plus de précisons que si Tini est dans L2(0, 1), alors la partie transitoire de la solution est dansL2(]0,+∞[;H1(0, 1)
)∩ C0
([0,+∞[;L2(0, 1)
), voir [1] pour une démonstration de ce résultat.Remarque 7.2.3 Il faudrait aussi montrer que la condition initiale en t = 0 a bien un sens, c'est-à-dire que
limt→0+
T (., t) = Tini
et préciser en quel sens se fait cette convergence. Nous nous proposons de démontrer que si Tini
est dans L2(0, 1), alors :lim
t→0+||T (., t)− Tini||L2 = 0
En eet, comme (uk)k≥0 est une base orthonormée de L2(0, 1), alors ∀ t > 0 :
63
‖ T (., t)− Tini ‖L2 =‖∑
k≥0 α0ke−λktuk + φL− φx + a(x) cos(ωt) + b(x) sin(ωt)− Tini(x) ‖L2
=‖∑
k≥0 α0k(e
−λkt − 1)uk + a(x)(cos(ωt)− 1) + b(x) sin(ωt) ‖L2
≤‖∑
k≥0 α0k(e
−λkt − 1)uk ‖L2 +| cos(ωt)− 1| ‖ a ‖L2 +| sin(ωt)| ‖ b ‖L2
≤∑
k≥0 α0k2(e−λkt − 1)2 + | cos(ωt)− 1| ‖ a ‖L2 +| sin(ωt)| ‖ b ‖L2
Les deux derniers termes tendent vers 0 quand t tend vers 0. Le premier terme tend aussi vers 0par le théorème de convergence dominée.
7.3 Vérication avec Code_SaturneMaintenant que nous avons une formule analytique pour la solution du problème, nous aimerions
la valider. Pour cela, nous allons comparer notre solution analytique à la solution obtenue par uncalcul numérique résolvant l'équation de la chaleur. Nous avons utilisé Code_Saturne qui, moyennantquelques adaptations, se prête très bien à ce genre de simulation8.
Nous décidons de résoudre numériquement le problème (7.1) avec les options suivantes :
L = 1φ = 1ω = 2πT0 = 1Tini(x, 0) = cos
( π
2Lx)
+ φL− φx + a(x)
La condition initiale Tini a été choisie de manière à pouvoir déterminer facilement les coecientsde la décomposition de g(x) = Tini(x) − φL + φx − a(x) dans la base des (uk)k≥0. En eet, dans cecas, seul le terme α0
0 est non nul et vaut 1.La routine covofi.F du noyau de Code_Saturne résout l'équation de convection-diusion d'un
scalaire en présence de termes sources :∂(ρa)
∂t+ div((ρu)a)︸ ︷︷ ︸
convection− div(Kgrad a)︸ ︷︷ ︸
diusion
= termes sources
Ainsi, pour simuler avec Code_Saturne notre problème de thermique solide, il sut de prendre lamasse volumique ρ = 1, et la diusivité thermique K = 1, d'annuler le terme de convection pour lescalaire température ce qui ce se fait aisément en xant ICONV(ISCALT) à 1 dans la routine utili-sateur usini1.F. Enn, il faut annuler tout les termes sources de l'équation de convection-diusion,ce qui se fait moyennant quelques modications dans covofi.F.
Nous avons utilisé un maillage 1D constitué de 50 cellules de même taille. Ce maillage peut pa-raître grossier à première vue, mais des tests de convergence en maillage ont été faits, et on montre
8La démarche peut paraître étrange, en eet, on a plutôt l'habitude de valider les codes numériques en confrontantleur résultats à des solutions analytiques lorsque celles-ci existent. Mais on sait néanmoins que Code_Saturne estconsistant pour l'équation résolue ici.
64
qu'on obtient les mêmes résultats même avec un maillage constitué de 20 cellules uniquement.La gure 7.2 représente l'évolution au cours du temps de la température en trois abscisses x dif-
férentes. On observe bien une parfaite adéquation entre le résultat obtenu avec Code_Saturne et laformule analytique (7.9). On vérie aussi que la solution est 1-périodique, ce qui est cohérent avec lavaleur choisie pour ω.
Fig. 7.2 T(x,t) pour trois données d'espace x. En trait continu : la formule analytique. En point :le résultat avec Code_Saturne.
La gure 7.3 représente, en fonction de x, la température moyennée au cours du temps obtenueavec Code_Saturne. On voit que, comme le prédit la formule analytique (7.9), le prol de températureest linéaire d'équation φL− φx avec φ = L = 1.
Enn, la gure 7.4 montre la distribution de la température à diérents instants.
65
Fig. 7.3 Température moyennée au cours du temps en fonction de x avec Code_Saturne.
Fig. 7.4 Champ de température à diérents instants.
66
7.4 Conclusion du chapitreLe problème : trouver une fonction T (x, t) dénie sur [0, L]× [0,+∞[ telle que :
∂T
∂t− ∂2T
∂x2= 0
∂T
∂x
∣∣∣x=0
= −φ = Cste
T (L, t) = T0 cos(ωt)
T (x, 0) = Tini(x)
admet une unique solution dont l'expression analytique est :T (x, t) =
∑k≥0
α0ke−λktuk(x) + φL− φx + a(x) cos(ωt) + b(x) sin(ωt)
avec
∀k ≥ 0
λk =
(π + 2kπ
2L
)2
uk(x) =1√L
cos(√
λkx)
a(x) = Cα sin(√2ω
2x)
sinh(√2ω
2x)− Cβ cos
(√2ω
2x)
cosh(√2ω
2x)
b(x) = Cβ sin(√2ω
2x)
sinh(√2ω
2x)
+ Cα cos(√2ω
2x)
cosh(√2ω
2x)
où les constantes Cα et Cβ ont pour expressions :
Cα =−2T0 sin
(√2ω
2L)(
− 1 + e−√
2ωL)e−
√2ω2
L
−2e−√
2ωL + 4 cos2(√2ω
2L)e−√
2ωL + e−2√
2ωL + 1
Cβ =−2T0 cos
(√2ω
2L)(
1 + e−√
2ωL)e−
√2ω2
L
−2e−√
2ωL + 4 cos2(√2ω
2L)e−√
2ωL + e−2√
2ωL + 1
etα0
k =∫ L
0
(Tini(x)− φL + φx− a(x)
)uk(x)dx
67
Conclusion technique
Les résultats de la DNS d'un écoulement de canal pleinement développé à un nombre de Reynoldsturbulent, Re∗ = 180, avec Code_Saturne sont extrêmement satisfaisants. Ils montrent qu'on peutobtenir de très bons résultats avec un schéma numérique volumes nis d'ordre deux en espace sil'on rane susamment le maillage dans la direction transverse à l'écoulement principal. On peutainsi reproduire, avec de très bonnes approximations, les statistiques de l'écoulement concernant lesvitesses moyennes, les tensions de Reynolds et même les bilans de ces dernières, et ce sans aucunmodèle de turbulence. Si l'on considère les moyens de calculs importants dont s'est doté EDF ces der-niers mois, ces résultats laissent entrevoir de très belles perspectives quant à la simulation numériquedirecte d'écoulements industriels peu turbulents. Ces travaux devront cependant être complétés pardes simulations similaires sur des écoulements à des nombres de Reynolds plus élevés, à Re∗ = 395(en cours) et Re∗ = 640.
Par ailleurs, l'étude menée sur la conguration de la passe à poissons a permis de comparer dié-rentes méthodes numériques en CFD, et diérentes modélisations possibles pour la turbulence. Cetteétude a mis en évidence des diérences majeures entre les modèles de turbulence, elle a en outremontré que la méthode LES, qui permet de simuler les grands tourbillons tout en modélisation lespetits, donne sur cette conguration des résultats autrement plus satisfaisants que ceux des modèlesRANS. Parmi les modèles RANS, seul le Rij-SSG utilisé sur un maillage 3D a donné des résultatsproches de ceux de l'expérience. Des investigations supplémentaires devront cependant être menéesan de comprendre les diérences observées entre le modèle k− ε standard de Code_Saturne et ceuxde Spartacus 2D (SPH) et Telemac 2D (Éléments nis).
Enn, le travail eectué sur un problème 1D de diusion de la chaleur, avec des conditions auxlimites de type Neumann sur une paroi et de type Dirichlet oscillant en temps sur l'autre paroi,ont permis d'exhiber une expression analytique de l'unique solution du problème. Cette solutionanalytique, à notre connaissance absente dans la littérature, permettra de mieux comprendre lesphénomènes de thermique solide liés au stockage et à l'entreposage de déchets nucléaires.
68
Bilan personnel
Ce stage long de treize mois fut pour moi une expérience très enrichissante. En eet, comme je suisinscrit au département Ingénierie Mathématique et Informatique de l'Ecole Nationale des Ponts etChaussées, option calcul scientique, ce stage en mécanique des uides numérique présentait tous lesatouts pour combler mes attentes. Il m'a permis de mettre en application directe un grand nombre deconnaissances acquises à l'école dans les domaines du calcul scientique, de la mécanique des uides,de la turbulence et même de la résolution de l'équation de chaleur monodimensionnelle ! Grâce àce stage, j'ai pu découvrir les enjeux qui peuvent être conés à un département R&D d'un grandgroupe industriel. J'ai eu ainsi l'opportunité d'être immergé dans le milieu industriel du nucléaire etde cerner le rôle majeur que peuvent avoir des ingénieurs et des chercheurs en termes de prédictionsd'impact, de sûreté, etc. De plus, j'ai eu la chance durant mon stage de pouvoir travailler avec desoutils de très grande qualité, et notamment avec des outils de calcul numérique extrêmement puissants.
La durée du stage permet en outre de pleinement s'intégrer dans l'entreprise. J'ai en eet travaillésur plusieurs sujets durant cette année, avec diérents chercheurs, ingénieurs, thésards et stagiairesissus du groupe ou de diérents départements. De plus, la présence au sein d'EDF R&D de chercheursde renommée internationale m'a permis de côtoyer de plus près le monde de la recherche académique.J'ai ainsi beaucoup apprécié mon séjour à l'université de Manchester, où j'ai pu présenter une partiede mes travaux.
Enn, ce stage a été pour moi l'occasion de prendre du recul sur mon orientation et sur mesobjectifs professionnels. Il m'a permis de conrmer mon désir de poursuivre mes études et de travaillerdans le monde du calcul scientique, mais peut-être dans un contexte plus académique. J'ai doncdécidé de nir mes études à l'ENPC en intégrant le Master Recherche Analyse Numérique et Équationsaux Dérivées Partielles de l'université Pierre et Marie Curie (Paris VI).
69
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