© Sylvain Hanneton dossier cours ISA2 ou Biomécanique et Simulation

Simulation d'un système masse-ressort(avec Scicos ou Xcos)

ObjectifSimuler le comportement d'un système mécanique constitué d'une masse et d'un ressort avec le logiciel Scicos (ou Xcos). On étudiera notamment le rôle des forces de frottement.

Pour obtenir le logiciel (libre) Scilab dont Xcos fait partie : http://www.scilab.org

Les diagrammes ci-dessous ont été réalisés avec la version 5.3.1 de Scilab.

Équation du systèmeOn suppose une masse m suspendue à un ressort de constante

de raideur k. Cette masse est soumise à la gravité et on notera g (g=9,81 m/s²) la valeur de l'accélération de la gravité. La

masse m est soumise à deux forces :

• la force P (poids de l'objet) générée par la gravité, qui s'exerce toujours dans le même sens (vers le bas), et dont l'amplitude est égale au produit de la masse m par l'accélération de la pesanteur g.

• la force de rappel F du ressort, dont la valeur dépend de la différence entre l'allongement du ressort

L et sa longueur au repos L0 . L'orientation de cette force change selon que le ressort est compressé ou dilaté et dépend de k , la constante de raideur du ressort.

Selon la seconde loi de Newton, le produit de la masse par l'accélération de l'objet est égal à la somme de forces externes qui s'appliquent sur le système.

L'équation du mouvement de l'objet est donc :

m⋅y=PFLes relations donnant les valeurs des deux forces sont :

• le poids : P=−m⋅g

• la force de rappel du ressor : F=−k⋅ yL0

Donc l'équation du mouvement de la masse sera

m⋅y=−m⋅g−k⋅ yL0 (équation 1)

ContextePour définir les paramètres utilisés dans le diagramme et initialiser leur valeur, nous allons

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utiliser la fonction « context » de Xcos. Cliquer sur l'item « context » du menu Simulation->Modifier le contexte (ou dans Edition->context dans l'ancienne version) affiche une boîte de dialogue dans laquelle apparaît une ligne. Nous allons définir dans cette ligne les valeurs nécessaires à la simulation :

• valeur de l'accélération de la pesanteur : g=9.81

• valeur de la masse : m=1 kg

• valeur de la constante de raideur du ressort : k=1 N /m

• valeur de la longueur au repose du ressort (30 cm), c'est à dire la longueur pour laquelle il ne produit pas de force de rappel : k=0.3m

Attention à ne pas utiliser la virgule comme séparateur décimal mais le point. Cela nous donne le contexte suivant:

Illustration 1: Définition des variables g, m, L0 et k dans le contexte de la simulation.

Diagramme et simulation

Le diagramme correspondant à l'équation 1 est représenté sur l'illustration n°2. Le résultat de la simulation du diagramme est représenté sur l'illustration n°3. On observe que le système oscille autour d'une position proche de la valeur 10. Comme il n'y a pas de frottements, les oscillations ne s'amortissent pas. Elles gardent la même amplitude et durent indéfiniment.

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Illustration 2: Simulation du système masse-ressort (sans frottements).

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Illustration 3: Résultat de la simulation pour une durée de 100 secondes.

Ajout de frottements visqueuxOn suppose maintenant que la masse est soumise à une force de frottement F v de type

visqueux. Cette force agit toujours dans le sens contraire du déplacement de l'objet et est proportionnelle à la vitesse de l'objet : plus l'objet va vite, plus la force est importante. Elle est définie par la formule suivante :

F v=−c⋅y

Cette force s'ajoute aux autres forces exercées sur la masse et l'équation du mouvement devient donc :

m⋅y=−m⋅g−k⋅ yL0−c⋅y (équation 2)

La valeur de c est rajoutée dans le contexte du diagramme. Le diagramme correspondant à cette équation est dessiné dans l'illustration n°4, et le résultat de la simulation pour c=0.05 correspondant à l'illustration n°5.

Illustration 4: Simulation du système masse-ressort avec frottement visqueux.

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Illustration 5: Résultat de la simulation du système masse-ressort avec frottements visqueux (pour une durée de 150 secondes).

Le résultat de la simulation montre que le mouvement de la masse s'amortit : le frottement visqueux crée une déperdition d'énergie qui freine les mouvements.

Ajout d'un frottement secUn frottement sec, comme un frottement visqueux, est une force qui s'oppose au mouvement d'un objet. Le sens de la force est donc toujours opposé à celui de la vitesse de l'objet considéré. Le type de frottement sec que nous allons utiliser ici est un frottement qui est (presque) proportionnel au carré de la vitesse de l'objet en mouvement. L'équation qui nous donne la valeur de la force de frottement est la suivante :

F s=−c⋅y∣y∣

L'amplitude de la force de frottement est donc proportionnelle au produit de la vitesse par sa valeur absolue. Cette force s'ajoute aux autres forces dans l'équation du mouvement et l'on obtient donc :

m⋅y=−m⋅g−k⋅ yL0−c⋅y∣y∣ (équation 3)

On garde la même valeur ( c=0.05 ) pour le coefficient de frottement. Le diagramme correspondant figure sur l'illustration n°6 (ci-dessous). Le résultat de la simulation est donné dans l'illustration n°7.

Illustration 6: Diagramme du système masse-ressort avec ajout d'une force de frottement sec.

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Illustration 7: Résultat de la simulation du diagramme système masse-ressort avec forces de frottements correspondant à un frottement sec.

On peut remarquer, en comparant avec la figure n°5, que les oscillations s'amortissent plus vite, mais qu'elles restent conséquentes à la fin de la période de simulation (t=100).

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