This article was downloaded by: [University of Waterloo]On: 11 November 2014, At: 06:08Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registeredoffice: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

Hydrological Sciences JournalPublication details, including instructions for authors andsubscription information:http://www.tandfonline.com/loi/thsj20

Simulation numérique ducomportement d'une nappe aquifèrecaptive: estimation directe desprocessus transitoiresMICHEL DANIS a & MICHEL QUINTARD ba Centre de Recherches Pétrographiques et Géochimiques , BP20, 54501 , Vandoeuvre-les-Nancy Cedex , Franceb Laboratoire Energétique et Phénomènes de Transfert UA 873 ,ENSAM , 33405 , Talence Cedex , FrancePublished online: 24 Dec 2009.

To cite this article: MICHEL DANIS & MICHEL QUINTARD (1987) Simulation numérique ducomportement d'une nappe aquifère captive: estimation directe des processus transitoires,Hydrological Sciences Journal, 32:1, 105-111, DOI: 10.1080/02626668709491165

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Hydrological Sciences — Journal - des Sciences Hydrologiques, 32, 1, 3/1987

Simulation numérique du comportement d'une nappe aquifère captive: estimation directe des processus transitoires

MICHEL DANIS Centre de Recherches Petrographiques et Gêochimiques, BP 20, 54501 Vandoeuvre-les-Nancy Cedex, France MICHEL QUINTARD Laboratoire Energétique et Phénomènes de Transfert UA 873, ENSAM, 33405 Talence Cedex, France

RESUME La méthode classique de simulation d'une nappe captive consiste à résoudre le problème en régime transitoire à partir de la situation originelle. Dans cet article est présentée une méthode qui permet de déterminer directement l'état de la nappe à un instant donné si l'on peut connaître la chute piézométrique à cet instant.

Numerical simulation of confined aquifers: direct calculation of transient parameters ABSTRACT The classical method for the simulation of a confined aquifer consists in solving the transient problem from initial conditions. In this paper a method is described which calculates directly the parameters of the aquifer at a given time if the evolution of the groundwater level is known.

INTRODUCTION

L'historique d'une nappe captive connaît généralement plusieurs épisodes distincts. Tout d'abord un épisode que l'on peut qualifier de permanent ou pseudo-permanent au cours duquel les seules alimentations et les seuls prélèvements sont naturels et donc relativement constants dans le temps à l'échelle d'une année ou de quelques années: c'est la situation originelle. Intervient ensuite la période d'exploitation avec des épisodes correspondant aux différents régimes de pompage (ouverture de nouveaux forages d'exploi­tation, fermeture de certains autres, variations des débits pompés).

La méthode classique (Castany, 1984) pour simuler le comportement d'une telle nappe consiste à calculer l'état de la nappe à chaque instant à partir de la situation originelle (conditions initiales), jusqu'à nos jours, ou même au-delà, en faisant varier dans le temps les conditions aux limites (par exemple Peraudin, 1983).

Une simulation numérique transitoire de ce type se heurte donc à certains problèmes: les uns concernent la connaissance des paramètres hydrogéologiques relativement constants dans le temps,

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tels que les champs de la transmissivité et du coefficient d'emmagasinement; les autres concernent les conditions initiales et aux limites a imposer au modèle, conditions qui dépendent du temps. L'inconvénient principal de cette méthode réside dans le fait qu'une erreur au temps t se répercute au temps t + At; et les sources d'erreur sont extrêmement nombreuses puisqu'à chaque pas de temps il faut estimer des conditions aux limites, et que parfois l'historique des pompages n'est pas connu avec précision depuis l'origine. En outre, le pas de temps doit être suffisamment petit pour permettre une description satisfaisante du phénomène de transfert, ce qui impose des temps de calcul importants.

Il est évidemment très intéressant de pouvoir résoudre directe­ment à un instant donné t les équations qui régissent l'écoulement du fluide dans un milieu poreux, sans avoir à simuler ce qui a précédé: cela peut permettre d'ajuster plus rapidement un champ de transmissivité si on connaît la piézométrie, ou, au contraire, de calculer directement la piézométrie à partir de la transmissivité.

Dans cet article, est présentée une méthode qui permet ainsi de calculer directement l'état piézométrique de la nappe à l'instant t, en appréciant par mesure le terme transitoire: l'équation a résoudre apparaît alors d'un point de vue pratique comme une équation en régime permanent.

EQUATIONS ET PARAMETRES

Le phénomène de transfert de masse dans un aquifère captif est décrit par les équations classiques de continuité et de diffusivité que l'on peut combiner pour obtenir (de Marsily, 1981):

div(T grad h) = S — + q (D

équation dans laquelle: - 2 - 1

T = transmissivité (m s ), h = charge piézométrique (m), S = coefficient d'emmagasinement (sans dimension), et q = débit spécifique d'alimentation (>0) ou prélevé (<0) (m s - 1).

La transmissivité et le coefficient d'emmagasinement sont habituellement déterminés par essais de pompage, puis extrapolés à l'ensemble du domaine étudié. Les débits q, fonctions du temps, sont connus si l'on possède l'historique du pompage de la nappe. Par contre, il est plus difficile de se donner les conditions aux limites, qui, de plus, sont variables dans le temps; on considère habituellement que la nappe est alimentée à débit constant (calcul de l'alimentation à partir de la pluviométrie), ou on s'impose des conditions de piézométrie en se basant sur les mesures effectuées.

PRINCIPE DE LA METHODE PROPOSEE

On considère l'exemple monodimensionnel d'un aquifère captif en régime permanent avec les conditions aux limites suivantes: les débits d'entrée et de sortie sont égaux à q̂ (Fig.1(a)), et le débit est constant dans 1'aquifère. Par contre temps t, si on impose

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a) t = 0 ^ T=1<r3m2s-' S=7.10"5 h3o= 0

1 , 1 • : • : • : • : • : • : • : • : • : • : • : • : * : • : • : • : • : • : • : • : • : • • • • • • • • • • • : • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ^ ( t )

b) o - a s t , _ » - ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::X:::::::::::xix::;x h M = o ^ # -

f "B q1 x-x-x-x-x:-xx-x:::-x-x-x-x-x-x-x-x-x-: q* ( t )

c) t i < t _ » . :::X:X:::X:X:::X:X:X:X:X:X:X:X:X:X:X:X:X::: h30 = 0 —••

t i -

l 1 1 1 ^ - x (km) 0 4 9 30

0 1.S.105

1.5,10'

3,10*

ft t e)

Fig. 1 Historique du pompage de la nappe monodimensionnelle,

un prélèvement non nul (Fig.1(b)), il y a déséquilibre des débits entrant et sortant de 1'aquifère. Ce déséquilibre est compensé par la décompression du milieu poreux et du fluide (par exemple, de Marsily, 1972).

Cette constatation simple amène à transformer l'équation (1) en une autre équation, correspondant au temps t, assimilable, du point de vue pratique de la résolution, à une équation en régime permanent:

div(T grad h) = qc (2)

Dans cette équation, qc (ou débit corrigé) est égal en tous points à la valeur de [S(3h/3t) + q] à l'instant t; le terme S(3h/3t) constitue la correction spécifique de débit (m s- m~ ). Dès lors, connaissant S, coefficient d'emmagasinement, on pourra résoudre l'équation (1) directement à l'instant t, si l'on est capable de déterminer en chaque point la valeur de 3h/3t.

Cette méthode peut être mise en oeuvre, soit pour déterminer directement la piézométrie h dans une nappe dont on connaît la transmissivité, soit a l'inverse, pour ajuster le champ de transmissivité par essais numériques successifs si l'on connaît la piézométrie.

Un exemple de calcul direct de la piézométrie pour un domaine monodimensionnel, présenté comme test de la méthode, est développé aux deux instants tj et ti + At, correspondant à deux situations différentes de pompage.

EXEMPLE D'UN AQUIFERE MONODIMENSIONNEL

On reprend l'exemple du paragraphe ci-dessus, en se fixant la transmissivité (10-3m2s_1) et le coefficient d'emmagasinement (7 x 10~ ), avec l'historique de pompage représenté sur la Fig.l;

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t S 0: Il = °-01 m s_1 h30 = °

0 < t S t±: q1 = 0.01 m s-1 qA=-0.01 m s-1 hg0 = 0

tx < t: Qi = 0.01 m s-1 qB=-0.015 m s-1 h30 = 0

Le calcul, tout d'abord effectue en regime transitoire, montre que dans l'intervalle de temps 0 < t < 3 x 10 s, le débit de sortie q2 reste sensiblement égal à ce qu'il était à l'origine, soit 0.01 m s-1. L'évolution de la charge h est représentée sur un diagramme (h,x,t) (Fig.2), chacune des coupes du bloc diagramme correspondant au résultat du calcul à chaque pas de temps (At = 1.5 x 105 s).

On considère maintenant que cette évolution de la piézometrie représente le comportement réel d'une nappe pour laquelle un certain nombre de paramètres sont identifiables. Ainsi, aux temps tx et tx + At, on peut évaluer par mesure directe ou par interpolation, d'une part la chute piézométrique en chaque point et par conséquent la correction spécifique de débit puisque le coefficient d'emmagasinement est connu, et d'autre part la charge piézométrique au point x = 0 (Fig.3). Au temps tx, la chute piézométrique est faible et régulièrement répartie, tandis qu'au temps tj + At, il y a remontée de pression au point A, et la variation de pression est environ 10 fois plus importante qu'au temps tx •

La méthode de calcul proposée est alors testée au temps tx et au temps tx + At, c'est-à-dire à la suite d'un épisode de pompage régulier, et après un brusque changement du régime de pompage. Le volume corrigé qc en chaque point est calculé à partir des variations de la piézométrie, et les conditions aux limites sont les suivantes :

Fig. 2 Evolution dans le temps de la charge piézométrique dans la nappe monodimensionnelle (Cartographie automatique GEOL, 1984).

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Chute piézométrique (ms-'l

h0 = 293,7m

Correct ion spécifique-de débit

(m3s- ' r r r2 )

h30=0

, .Chute piézométrique (ms-') t, +At

Correct ion spécif ique M de débit

(m3s- 'm-2 ) H 7,10-

h30=0

-7x10"*

Fig. 3 Chute piézométrique et correction de débit dans la nappe monodimension-nelle aux temps t j et t t + At .

h0 = pression au point x 0, relevée au temps tj (ou tj + At)

^0

(cf. 0

Fig.3)

Le problème est traité comme un problème en régime permanent, et les résultats, obtenus par différences finies, sont pratiquement identiques aux courbes témoins résultant du calcul en régime transitoire puisqu'on constate que l'erreur relative maximum sur la piézométrie ne dépasse pas 4 x 10"' .

APPLICATION A UN CAS REEL

Une anomalie géothermique et hydrochimique très localisée a ete observée sur 1'aquifère du Trias Inférieur dans la région de Vittel (Vosges, France), et cette anomalie est attribuée à une venue d'eau chaude du socle sous couverture sédimentaire (Danis & Royer, 1985). Afin de quantifier le débit et la température de cette venue d'eau chaude, il était nécessaire d'évaluer les vitesses de Darcy dans 1'aquifère.

Un certain nombre de données étaient disponibles; ainsi, la transmissivité à distance des failles et le coefficient d'emmagasinement étaient estimés à partir d'essais de pompage. En outre, la chute piézométrique annuelle a pu être cartographiée, ce qui permet, en la multipliant par le coefficient d'emmagasinement, d'obtenir le débit d'alimentation annuel dû à la décompression du milieu poreux et du fluide pour l'année 1981 (Fig.4). Les conditions aux limites du domaine ayant été fixées, conditions d'imperméabilité ou conditions de charge piézométrique, il demeurait néammoins une incertitude concernant la perte de transmissivité^ liée à une faille majeure traversant la zone étudiée. Ce problème a été résolu grâce à la méthode présentée ici, en effectuant une série d'essais numériques pour différentes valeurs de la transmissivité a

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16 -

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It

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8

6

1

2

2 n' 6 a 10 12 i l l 16 18 20 22 214 26 2B 30 32 km

Fig. 4 Débit d'alimentation annuel en m3 knrf2 an~' dû à la décompression du milieu poreux et du fluide (Cartographie automatique GEOL, 1984).

travers la faille. Le champ de transmissivité donnant un écart minimum entre piézométrie calculée et piézométrie mesurée est reconnu comme satisfaisant, et le champ de pression correspondant est utilisé pour calculer les vitesses de Darcy dans l'aquifère. L'étude hydrogéologique détaillée est donnée par Danis & Royer (1986).

Il faut remarquer que dans le cas de Vittel, l'étude classique en régime transitoire était impossible, et cela pour différentes raisons: la situation piézométrique originelle n'était pas connue, et en outre l'historique des pompages et l'évolution des conditions aux limites étaient très incertains. Par contre, la piézométrie avait été enregistrée au cours de l'année 1981 sur six piézomètres, et d'autre part, des mesures piézométriques périodiques avaient été effectuées sur deux forages en production après des périodes de repos déterminées. Il était donc possible de cartographier la chute piézométrique sur la zone, et par conséquent de "mesurer" le terme transitoire de l'équation (1).

DISCUSSION

D'un point de vue numérique, la méthode présentée dans cette note consiste simplement à exprimer de façon explicite le terme S(3h/3t). L'exemple d'application a montré que cette méthode ne nécessite pas de connaître l'historique des conditions aux limites ni l'historique du pompage. Par contre, il est évident que la principale difficulté consiste à cartographier la chute piézométrique avec suffisamment de précision. En effet, sur une nappe en exploitation, il existe rarement des piézomètres en nombre suffisant pour permettre une bonne cartographie. Mais il est important de remarquer que la connaissance de 3h/3t n'implique pas obligatoirement de connaître la piézométrie: des prises de pression après des phases de repos identiques dans des puits en exploitation

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ne donneront pas la piézométrie, mais permettront d'apprécier la baisse de piézométrie. Cette technique a été pratiquée pour deux forages dans le cas de Vittel, et étant donné l'apport de la méthode proposée pour la connaissance de 1'aquifère, on pourrait imaginer des prises de pression sur tous les forages en exploitation avec conditions reproductibles, ce qui affinerait considérablement la cartographie de 3h/3t et permettrait de dresser des bilans précis de nappe.

REMERCIEMENTS Cette étude a été réalisée grâce à une participation financière de 1'INAG-CNRS (ATP Transferts, décision no.1520) et de l'INSU-CNRS (ATP Transferts, décision no.1579). Contribution CRPG no.678.

REFERENCES

Castany, G. (1984) Problèmes techniques actuels de 1'hydrogéologie. Evaluation de la ressource en eau souterraine et planification de son exploitation. Dans: Proceedings of the 27th International Geological Congress vol.16, 13-34.

Danis, M0 & Royer, J.J. (1985) Validity of geothermal heat flow-density estimations. Ann. Geophgs. 3(3), 357-364.

Danis, M. & Royer, J.J. (1986) Comportement hydrogéologique et thermique de la nappe des grès du Trias Inférieur dans le secteur de Vittel. Sci. de la Terre, série Informatique 25, 33-56.

GEOL (1984) Logiciel de traitement de données et de cartographie. ENSG-CRPG, Rue du Doyen M.Roubault, 54501 Vandoeuvre Cedex, France.

de Marsily, G. (1972) Calculs en géologie, simulations en hydro­géologie. Dans: Traité d'Informatique Géologique, 239-282. P.Laffitte-Masson, Paris.

de Marsily, G. (1981) Hydrogéologie Quantitative. Masson, Paris. Peraudin, J.J. (1983) Conception et realisation d'un modèle de

gestion de la nappe des grès inférieurs du Trias en Lorraine. Thèse Docteur-Ingénieur, INPL Nancy.

Reçu 10 octobre 1985; accepté 18 août 1986. Dow

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