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et discipline ou spécialité Jury : le Institut Supérieur de l’Aéronautique et de l’Espace Romain ALIS mercredi 28 novembre 2018 Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes qui s'évaporent dans un écoulement laminaire ou turbulent ED MEGeP : Dynamique des fluides Équipe d'accueil ISAE-ONERA EDyF M. Frédéric RISSO Directeur de recherche IMFT - Président M. Jean-Luc ESTIVALEZES Ingénieur recherche ONERA - Directeur de thèse M. Sébastien TANGUY Maitre de conférences IMFT - Co-directeur de thèse M. Olivier ROUZAUD Ingénieur de recherche ONERA M. François-Xavier DEMOULIN Professeur Université de Rouen - Rapporteur M. Vincent STEPHANE Professeur Université Paris-Est Marne la Vallée - Rapporteur M. Christian CHAUVEAU Directeur de recherche ICARE M. Guillaume CASTANET Chargé de recherche ENSEM M. Jean-Luc ESTIVALEZES (directeur de thèse) M. Sébastien TANGUY (co-directeur de thèse)

Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

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et discipline ou spécialité

Jury :

le

Institut Supérieur de l’Aéronautique et de l’Espace

Romain ALIS

mercredi 28 novembre 2018

Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttesqui s'évaporent dans un écoulement laminaire ou turbulent

ED MEGeP : Dynamique des fluides

Équipe d'accueil ISAE-ONERA EDyF

M. Frédéric RISSO Directeur de recherche IMFT - PrésidentM. Jean-Luc ESTIVALEZES Ingénieur recherche ONERA - Directeur de thèseM. Sébastien TANGUY Maitre de conférences IMFT - Co-directeur de thèse

M. Olivier ROUZAUD Ingénieur de recherche ONERAM. François-Xavier DEMOULIN Professeur Université de Rouen - Rapporteur

M. Vincent STEPHANE Professeur Université Paris-Est Marne la Vallée - RapporteurM. Christian CHAUVEAU Directeur de recherche ICAREM. Guillaume CASTANET Chargé de recherche ENSEM

M. Jean-Luc ESTIVALEZES (directeur de thèse)M. Sébastien TANGUY (co-directeur de thèse)

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Abstract

The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon inan aeronautical motor because it determines the vapour quantity which will be burned to bringenergy to the motor. Still, this phenomenon is not well understood due to the difficulties tomeasure on experiments vaporisation rates of injected sprays. Moreover, hypothesis of theoriticalmodels are not representatives of conditions encountered in combustion furnaces.

The thesis take place in an effort to analyse the evaporation of droplet groups in a turbulentflow by mean of Direct Numerical Simulation (DNS). Indeed, during droplet group evaporation,collective effects can modify single droplet rates of vaporisation and the group global rate ofvaporisation. The DNS approach should allows to quantify precisely this effect and leads to animprovement of actual models of evaporation.

Firstly, algorithms are developped and used in a 1D spherical configuration to describe theevaporation of a single static droplet without gravity. Secondly, the vaporistion of a droplet in alaminar flow has been studied. The analysis focus on heat exchanges between the droplet and theexternal environment as well as the force exerced on the droplet by the laminar flow. In this part,it has been highlighted that the evaporation induced a decrease in thermal exchanges and drag.In some cases of strong evaporation, the drag of the droplet has been observed to be negative.It means that the evaporation can cause a propulsion phenomenon of the droplet. A theoriticalanalysis allows to link this behaviour to an asymetry of the vaporisation rate. Thirdly, a studyof the turbulence influence on the evaporation of a droplet has been carried out. A generator ofturbulent fluctuations has been implemented and parallel approaches have been introduced toreduced computational time. It allowes to analyse thermal exchanges and drag behaviour of adroplet interacting with a turbulent flow. The analysis showed that theses two variables increasewith turbulence. Lastly, the evaporation of groups of droplets has been studied. For three differentgroups of droplets, trajectories of droplets have been analysed with heat exchanges when they areput in a laminar or a turbulent flow with or without phase change. In presence of evaporation,the analysis pointed out that trajectories were different from cases whitout evaporation and sothat phase change modifies collective effects. Moreover, these collective effects have also beenobserved on thermal exchanges.

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Résumé

L’évaporation du carburant injecté dans une chambre de combustion est un phénomènecrucial dans un foyer aéronautique car elle détermine la quantité de vapeur qui sera ensuite brû-lée pour fournir de l’énergie au moteur. Cependant, ce phénomène reste mal décrit du fait desdifficultés de mesurer expérimentalement les taux d’évaporation des gouttes appartenant à unbrouillard. D’autre part, les hypothèses des modèles théoriques ne sont toujours pas représenta-tives des conditions rencontrées dans les foyers de combustion.

La thèse s’inscrit dans une démarche visant à étudier l’évaporation d’un groupe de gouttesdans un écoulement turbulent au moyen de la Simulation Numérique Directe (SND). En effet, lorsde l’évaporation de groupes de gouttes, des effets collectifs peuvent influer sur le taux d’évapora-tion de chaque goutte ou sur le taux d’évaporation global du nuage de gouttes. L’approche SNDpermet de quantifier précisément ces effets afin d’améliorer les modèles actuels d’évaporation.

Dans un premier temps, des algorithmes ont été développés et utilisés dans une configu-ration 1D sphérique pour décrire l’évaporation d’une goutte statique isolée et sans gravité. Puisdans un second temps, l’évaporation d’une goutte a été étudiée dans un écoulement laminaire.Une analyse des échanges de chaleur entre la goutte et le milieu extérieur ainsi que de la force detraînée exercée par l’écoulement laminaire sur la goutte a été effectuée. Dans cette partie, il a étémis en évidence que l’évaporation induit une diminution des échanges thermiques et de la traînée.Il a notamment été observé que dans certains cas de forte évaporation, la traînée de la gouttepeut devenir négative. Cela implique que l’évaporation peut être à l’origine d’un phénomène depropulsion de la goutte. Une analyse théorique permet de lier ce comportement à une asymétriedu débit d’évaporation. Dans un troisième temps, l’influence de la turbulence sur l’évaporationd’une goutte a été étudiée. Pour cela, un générateur de fluctuations turbulentes a été implémentéet des techniques de calculs parallèles ont été introduites pour réduire le temps des calculs. Celaa permis d’analyser les échanges thermiques et le comportement de la traînée d’une goutte eninteraction avec un écoulement turbulent. Il a été montré que ces deux grandeurs ont tendanceà être amplifiées par la turbulence. Enfin, dans un dernier temps, l’évaporation de groupes degouttes a été étudiée. Pour trois groupes de gouttes différents, les déplacements des gouttes ontété analysés avec les échanges de chaleur lorsque ceux-ci sont placés dans un écoulement lami-naire ou turbulent avec ou sans changement de phase. En présence d’évaporation, il a été mis enévidence que les déplacements sont différents des cas sans évaporation et donc que le changementde phase modifie les effets collectifs. De plus, ces effets de groupes ont aussi été observés sur leséchanges thermiques.

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Remerciements

Ce manuscrit est la conclusion de quatre années de thèse financées par l’Office Nationald’Études et de Recherches Aérospatiales de Toulouse (ONERA), l’Institut de Mécanique desFluides de Toulouse (IMFT) et la région Occitanie. Durant cette période, j’ai été inscrit à l’InstitutSupérieur d’Aéronautique et de l’Espace (ISAE) et à l’école doctorale Mécanique, Énergétique,Génie civil et Procédés (MEGEP). J’ai été accueilli au sein du Département Multi-Physiquepour l’Énergétique de l’ONERA et du groupe Interfaces de l’IMFT. Donc, pour commencer cemanuscrit, je souhaiterais remercier les personnes qui ont participé de près ou de loin à cestravaux de thèse.

Tout d’abord, je remercie mes encadrants : Jean-Luc Estivalèzes, Sébastien Tanguy etOlivier Rouzaud. Ils m’ont fait confiance pour réaliser ces travaux de thèse sur un sujet ambitieuxet ils m’ont laissé assez de liberté pour pouvoir faire les choix que je souhaite. Leur aide a aussiété précieuse lors de l’organisation des résultats pour rédiger ce manuscrit et mettre en place lesplanches de la soutenance. J’espère que ces quatre années d’encadrement ont été aussi agréablesque celles que j’ai passé.

Ensuite, je remercie les membres du jury : François-Xavier Demoulin, Stéphane Vincent,Christian Chauveau, Guillaume Castanet et Frédéric Risso. Ils ont accepté de juger ces travauxde thèse à travers des avis et des commentaires très constructifs qui seront utiles pour la suitedes recherches. J’espère que le manuscrit leur a apporté des éléments inédits et passionnants surla compréhension de l’évaporation de gouttes.

Je vais aussi remercier toutes les personnes avec lesquelles j’ai passé ces années.Celles qui m’ont accueilli dans le groupe Interfaces mais aussi à l’IMFT. Les sorties, les

repas, les discussions et les pauses ont largement participé à la formation d’une super ambiancequi a facilité (ou pas...) le travail. Je fais un petit coucou à tous ceux de la team DIVA et je leursouhaite plein de réussite pour le futur.

Celles qui m’ont accueilli à l’ONERA et au DMPE. Même si je n’ai jamais vraiment eu debureau fixe, j’ai toujours passé d’excellent moments lorsque je suis venu à l’ONERA.

Et je voudrais particulièrement remercier Marie-Hélène Manzato-Frago, Corinne Plantade,Valérie Duplessis, Maryse Herbillon et Isabelle Zanchetta pour l’aide qu’elles m’ont fourni danstoutes les démarches administratives que j’ai eu à faire. Ça a toujours été un plaisir de venir lesvoir.

En dernier, je remercie ma famille qui a participé à l’élaboration de ce manuscrit en essayantde chasser les nombreuses fautes d’orthographes qui s’étaient invitées dans les lignes.

Las ultimas palabras son en español para la nueva parte de mi familia. Les agradecenmucho para los maravillosos recuerdos que ahora tengo y espero que tendré otras ocasiones deconstruir recuerdos.

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Table des matières

I Introduction 13

II Équations pour les écoulements diphasiques 19Établissement des bases et des concepts généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Les outils mathématiques nécessaires pour établir les équations . . . . . . . . . . . . 221.1 Les définitions des objets et opérateurs utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2 Le théorème de Green-Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3 Le théorème de transport de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Le cas d’un écoulement monophasique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Le cas d’un écoulement diphasique sans changement de phase . . . . . . . . . . . . . 293.1 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Le cas d’un écoulement diphasique avec du changement de phase . . . . . . . . . . . 314.1 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Conservation de l’énergie totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.4 Description du changement d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Le cas d’un écoulement diphasique multi-composant avec du changement de phase . 375.1 Conservation de la masse totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.2 Conservation de la masse d’une espèce chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3 Conservation de la quantité de mouvement totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.4 Conservation de l’énergie totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.5 Description du changement d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

III Travail de recherche 45

1 Les méthodes numériques pour l’évaporation 47Introduction du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 Les algorithmes du code DIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.1 Les équations de conservations utilisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.2 Localisation et déplacement de l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.3 La résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles . . . . . . . . . . . . 511.4 Le modèle pour le changement de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.5 Discrétisations et méthodes numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562 La reconstruction de l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

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2.1 La structure de la routine de Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2 La division en volume élémentaire : les simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3 Convergence spatiale des reconstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.4 Le calcul des surfaces d’échanges avec la routine Frontières . . . . . . . . . . . . . 673 Les conditions limites immergées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.1 Implémentation d’une condition de Dirichlet immergée . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2 Implémentation d’une condition de Neumann immergée . . . . . . . . . . . . . . . 763.3 Implémentation d’une condition de Robin immergée . . . . . . . . . . . . . . . . . 784 Les techniques d’extrapolation d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.1 L’extrapolation d’un champ scalaire sans terme source . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2 L’extrapolation d’un champ scalaire avec un terme source . . . . . . . . . . . . . . 824.3 Les différentes extrapolations de DIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855 La goutte isolée en évaporation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.1 Théorie de la goutte isolée en évaporation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2 Simulation stationnaire de la goutte isolée statique en évaporation . . . . . . . . . 925.3 Simulation instationnaire de la goutte isolée statique en évaporation . . . . . . . . 985.4 Simulation d’une goutte isolée en mouvement s’évaporant . . . . . . . . . . . . . . 99Conclusion du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2 L’évaporation d’une goutte statique 105Introduction du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061 La construction du code monodimensionnel sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061.1 Actualisation de la position de l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061.2 Modèle pour le changement de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071.3 Calcul des propriétés thermophysiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091.4 Modèles pour le champ de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102 Validation du code monodimensionnel sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.1 La comparaison avec la théorie du d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.2 Le changement de volume d’une goutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.3 L’expérience de Duncan et Toor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163 Comparaison des résultats du code sphérique avec des expériences . . . . . . . . . . 1193.1 Expériences avec des gouttes mono-composant à température ambiante . . . . . . 1193.2 Expériences avec des gouttes mono-composant à température élevée . . . . . . . . 1203.3 Expériences avec des gouttes bi-composant à température ambiante . . . . . . . . 122Conclusion du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3 L’évaporation d’une goutte dans un écoulement laminaire 125Introduction du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1261 La mise en place de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1261.1 Le référentiel mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1261.2 La configuration des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1271.3 Les transferts de chaleur entre la goutte et le milieu extérieur . . . . . . . . . . . . 1291.4 Les efforts s’appliquant sur la goutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1302 Influences des nombres de Reynolds et de Spalding sur la goutte . . . . . . . . . . . 1312.1 Analyse du nombre de Nusselt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.2 Analyse de la force réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353 Influence du nombre de Prandtl Pr sur la goutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.1 Analyse du nombre de Nusselt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

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3.2 Analyse de la force réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474 Le modèle d’autopropulsion de la goutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.1 La chute de pression de l’écoulement de Stefan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.2 La dissymétrie du débit d’évaporation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.3 L’expression de la force de propulsion de la goutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Conclusion du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4 L’évaporation d’une goutte dans un écoulement turbulent 163Introduction du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1641 Le générateur de turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1661.1 La méthode pour générer des fluctuations turbulentes . . . . . . . . . . . . . . . . 1661.2 Tests préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1701.3 La décroissance temporelle d’une THI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1752 Optimisation des performances de DIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802.1 Une approche parallèle de la génération de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . 1802.2 Produit de convolution dans l’espace de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822.3 Amélioration des communications entre les processeurs . . . . . . . . . . . . . . . 1832.4 Un premier pas vers un code hybride MPI-OpenMP . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853 L’effet de la turbulence sur une goutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1873.1 Effet de la turbulence sur les échanges thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1893.2 Effet de la turbulence sur les forces appliquées sur la goutte . . . . . . . . . . . . . 1923.3 Quelques explications sur les problèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . 194Conclusion du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5 L’étude des groupes de gouttes 199Introduction du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2001 Les trois différents groupes et les maillages utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011.1 Le premier groupe uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2021.2 Le second groupe uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2021.3 Le groupe mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2031.4 La précision des maillages utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2052 Le déplacement relatif des gouttes dans un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2082.1 Les gouttes dans un écoulement laminaire sans évaporation . . . . . . . . . . . . . 2082.2 Les gouttes dans un écoulement laminaire avec évaporation . . . . . . . . . . . . . 2092.3 Les gouttes dans un écoulement turbulent sans évaporation . . . . . . . . . . . . . 2102.4 Les gouttes dans un écoulement turbulent avec évaporation . . . . . . . . . . . . . 2113 Les échanges thermiques dans un groupe de goutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2123.1 Le cas d’un écoulement laminaire et sans évaporation . . . . . . . . . . . . . . . . 2123.2 L’influence de l’évaporation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2163.3 L’influence de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2203.4 L’influence combiné de l’évaporation et de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . 224Conclusion du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

IV Conclusion et perspectives 229

V Références 233

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Première partie

Introduction

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Le manuscrit suivant se divise en parties distinctes permettant d’identifier les différentstravaux réalisés. L’introduction présente de manière historique les études sur le changement dephase, elle permet d’établir le contexte de l’étude ainsi que son organisation. La seconde partieest un point de départ qui permet d’établir les équations utilisées pour l’étude des gouttes. C’estun travail de synthèse des différents cours que j’ai pu avoir qui sert de base pour le travail derecherche. La troisième partie est la présentation du travail de recherche effectué pendant la thèse.Enfin, la quatrième partie est la conclusion de ce manuscrit dans laquelle les points essentiels etles perspectives sont exposés.

Les premières études sur le changement de phase commencent avec Josef Stefan à la findu 19ème siècle. Dans Stefan (1889a,b), il se penche sur la formation des glaciers en regardantl’évolution de la frontière de glace. Ensuite, il la caractérise en décrivant l’écoulement générépar le changement de phase. Les équations établies ont permis de fournir pour la première foisune analyse théorique de la modification de l’interface par du changement de phase. Au début du20ème siècle, Morse (1910) étudie expérimentalement la sublimation des perles d’iode en regardantl’évolution temporelle de leur diamètre. Ses résultats expérimentaux mettent en évidence que desperles de différentes masses ont des évolutions temporelles similaires. Cependant, il ne fournit pasde description théorique complète de l’évolution du diamètre des perles. C’est Langmuir (1918)qui théorise l’évolution de la taille des perles. Il montre que le débit massique d’évaporation desperles est bien proportionnel au rayon des sphères, une hypothèse avancée par Morse (1910). Pourcela, il s’appuie sur des expériences de convection d’un gaz autour d’un fil. En transposant lesconclusions de ces expériences au cas des perles d’iodes, il ouvre la voie à l’étude de l’évaporation.

En reprenant les études de ses prédécesseurs, Frossling (1938) est l’un des premier à s’inté-resser à l’évaporation des gouttes. Il mène une analyse pour proposer une corrélation décrivant letaux de transfert de masse entre une goutte et l’écoulement extérieur. Il appuie son raisonnementsur des résultats expérimentaux de gouttes qui s’évaporent soit en chute libre, soit suspendues àdes fibres de verre. Comme ses conclusions sont restreintes à certaines espèces chimiques et unecertaine gamme de nombres adimensionnels, de nombreux auteurs élargissent ses travaux.

Les expériences de Ranz & Marshall (1952a,b) vont notamment servir de référence enétablissant une base de données conséquente pour l’étude des gouttes. Ils confirment expérimen-talement le parallèle entre les transferts de masse et ceux de chaleur déjà énoncé par le passé.

En s’appuyant sur des expériences, Spalding (1953) et Godsave (1953) proposent simulta-nément une première théorie sur l’évaporation des gouttes isolées, la loi du d2. Cette modélisationmontre qu’une goutte isolée s’évaporant atteint un état d’équilibre. Lors de cet équilibre, le carrédu diamètre de la goutte décroît linéairement avec le temps et la température moyenne de lagoutte reste constante. Néanmoins, la configuration goutte isolée se rencontre très rarement, ellereste une configuration académique qui permet de bien comprendre les phénomènes physiques.

Par la suite, les recherches se dirigent vers la combustion de gouttes pour répondre audéveloppement des moteurs. L’évaporation est toujours présente mais elle est reléguée au secondplan d’analyse. L’objectif principal est de décrire leur combustion. Il est donc plus difficile detrouver dans cette période des études d’évaporation pure.

L’analyse de Kotake & Okazaki (1969) s’intéresse, avec un modèle numérique, à la com-bustion d’une goutte isolée. Law (1976); Law & Sirignano (1977) s’attachent à étendre la théoriede la goutte isolée à des configurations plus proches de la réalité. Souvent, l’analyse théorique deSpalding (1953) et Godsave (1953) est reprise avec des hypothèses moins fortes mais l’approcheest compliquée à mettre en place et son adaptation aux différents cas de gouttes est complexe.

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Mais, avec l’apparition des moyens de calcul numérique, les premières simulations d’éva-poration de gouttes isolées sont réalisées pour obtenir une meilleure description du phénomène.Cette démarche s’inscrit dans un période de développement des outils de calcul numériques. Lesnouveaux moyens à disposition permettent d’élargir les hypothèses initiales de la goutte isolée.Les propriétés physiques variables sont considérées avec Hubbard et al. (1975); Renksizbulut(1988); Chiang et al. (1992); Chiang & Sirignano (1993) et Shusser (2007). Cela permet de s’in-téresser aux gouttes composées de plusieurs espèces chimiques comme les études de Sirignano& Wu (2008); Cook (2008) et Ebrahimian Shiadeh (2011). Beaucoup d’intérêt est aussi portéà l’interaction d’une goutte avec un écoulement convectif dans les analyses de Spalding (1960);Abramzon & Sirignano (1989); Renksizbulut et al. (1991); Zhang (2004) et Schlottke & Weigand(2008). Mais, la plus intéressante est sûrement celle de Montlucon (1975) qui mène une analysethéorique particulièrement détaillée d’une goutte en évaporation dans un écoulement convec-tif. De nos jours, beaucoup d’études numériques se consacrent encore à la combustion avec parexemple Wu & Sirignano (2010) et Dryer (2013).

Dans le domaine expérimental, l’amélioration des moyens de mesures entraîne la publica-tion de nombreuses expériences sur la combustion de goutte. Kadota & Hiroyasu (1976) étudientl’évaporation de gouttes isolées dans des environnements à haute pression et haute température.Ce travail se poursuit en combustion avec Kadota & Hiroyasu (1981) où les auteurs étudient lacombustion de gouttes dans des environnements critiques susceptibles d’être rencontrés en condi-tions réelles. Nomura et al. (1996); Chauveau et al. (2000, 2011) étudient l’évaporation de goutteen microgravité dans un environnement à pression ambiante ou à haute pression. Chauveau et al.(2008) s’intéressent à l’effet des supports permettant de fixer la goutte lors des expériences.

Dans les années 2000, des études s’intéressant à l’évaporation et la combustion de groupesde gouttes apparaissent. Par exemple, Imaoka & Sirignano (2005) réalisent des simulations dematrices de gouttes qui s’évaporent et qui brûlent. En faisant varier la distance entre les goutteset le nombre total de gouttes, ils analysent les modifications induites sur le taux d’évaporation.Ce travail montre que les gouttes au centre du groupe s’évaporent beaucoup moins vite que cellessituées sur l’extérieur. Les expériences de Chauveau et al. (2006) qui s’intéressent à l’évaporationde matrices de gouttes fixées sur des fibres de quartz. Wu & Sirignano (2011) s’intéressent de leurcôté à la combustion de groupes de gouttes dans un écoulement convectif. À l’aide de simulationsnumériques de matrices périodiques de gouttes, ils mettent en évidence des effets de groupeslors de la combustion des gouttes en regardant notamment la position du front de flamme. Ilest aussi utile de regarder l’étude de Sirignano (2014) qui présente les dernières avancées dansle domaine de l’évaporation et la combustion de groupes de gouttes. Enfin, on peut regarderDodd & Ferrante (2016) qui analyse le comportement de plusieurs gouttes s’évaporant dans unécoulement turbulent et notamment l’interaction de la turbulence avec les gouttes.

En résumé, toutes ces études ont permis d’améliorer la compréhension des phénomènesd’évaporation et de combustion de gouttes. Par exemple, le cas de la goutte isolée est connuethéoriquement et validé dans des configurations simples par des expériences. Cependant, la goutteisolé reste un cas académique que l’on rencontre peu dans la réalité. Pour les cas les plus com-plexes, il n’existe pas de modélisation théorique claire et il faut réaliser des expériences. Pourles groupes de gouttes, il est difficile de fournir, avec l’approche expérimentale, les informationsnécessaires pour comprendre les mécanismes à l’intérieur du groupe. Il vaut mieux se tournervers les simulations numériques donnant accès à toutes les variables. Or, pour le moment, trèspeu de simulations numériques réalisées sur des cas complexes sont assez précises pour reproduirefidèlement le comportement d’un groupe de gouttes. En effet, il est très difficile d’implémenter

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correctement les méthodes numériques pour effectuer ce type de simulations et les résultats deces dernières sont longs à obtenir. De plus, sans cas expérimentaux de référence, ces simulationsne sont pas simples à valider pour s’assurer qu’elles soient prédictives.

C’est ce qui justifie cette étude. Elle consiste à établir, avec des simulations numériquesdirectes, des modèles descriptifs précis de l’évaporation d’une goutte ou d’un groupe de gouttes.

Dans le chapitre 1, les méthodes numériques nécessaires pour réaliser des simulations avecdu changement de phase sur des domaines multi-dimensionnels sont présentées. La difficultéprincipale de ces configurations est d’être capable de reconstruire la séparation gaz-liquide et d’yimposer des conditions limites. Les méthodes adaptées seront détaillées et testées avec des étudesde convergence.

Dans le chapitre 2, un algorithme permettant faire des simulations numériques directesde l’évaporation multi-composante est introduit. Il est implémenté dans un solveur sphériquemonodimensionnel décrivant spécifiquement le cas d’une goutte isolée sans gravité. L’objectif dece solveur est d’avoir une configuration simple permettant de tester différents effets physiques,comme des propriétés thermophysiques variables par exemple, susceptibles d’influencer le change-ment de phase. Après avoir validé le solveur, les résultats sont comparés à des cas expérimentauxde gouttes isolées qui s’évaporent.

Dans le chapitre 3, une étude paramétrique de l’effet de l’évaporation sur une goutte estprésentée. Le flux de chaleur reçu par la goutte, caractérisé par le nombre de Nusselt Nu, ainsi quela force exercée sur la goutte Ft, sont calculés à l’aide de simulations axisymétriques réalisées avecDIVA. Ensuite, leurs évolutions sont analysées en fonction de l’écoulement extérieur (caractérisépar le nombre de Reynolds Re), l’évaporation (caractérisé par le nombre de Spalding B) et lecouplage thermique-hydrodynamique (caractérisé par le nombre de Prandtl Pr).

Dans le chapitre 4, une étude paramétrique de l’effet de la turbulence sur une goutte quis’évapore est proposée. Un générateur d’entrées turbulentes est mis en place et, après l’avoirvalidé, des simulations 3D de gouttes s’évaporant dans un écoulement turbulent sont réalisées.Les temps de ces simulations étant longs, quelques techniques d’optimisation sont introduitespour réduire les temps de calcul de DIVA.

Pour conclure, dans le chapitre 5, une étude préliminaire des groupes de gouttes est effec-tuée. Trois configurations de groupe de gouttes sont mises en place et les effets collectifs de cesgroupes sont analysés. Ce chapitre montre que DIVA peut faire des études précises sur l’évapo-ration des groupes de gouttes.

Avant de présenter le travail de recherche de ces cinq chapitres, les équations utilisées dansce manuscrit sont établies dans la partie suivante.

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Deuxième partie

Équations pour les écoulementsdiphasiques

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Établissement des bases et des concepts généraux

Dans cette partie, les bases théoriques utilisées dans le manuscrit sont introduites. Ellessont volontairement mises à part car elles ne présentent pas quelque chose de nouveau. Cependant,les concepts présentés sont essentiels pour comprendre les travaux qui suivent. Les équationsétablies par la suite se trouvent dans la plupart des ouvrages de mécanique de fluides ou demécanique des milieux continus. Pour les établir, je me suis inspiré des cours de Diether Bothepour l’approche mathématique, et de ceux de Sébastien Tanguy ainsi que des ouvrages de Kuo(2005), Taylor & Krishna (1993) et Guyon et al. (2012) pour l’approche physique.

Dans le manuscrit, un fluide est décrit comme un milieu continu composé d’un nombrefini de particules fluides constamment en contact. Elles se déplacent avec la contrainte qu’aucunespace vide n’est permis entre ces particules. La taille de ces dernières doit être grande devant leslongueurs atomiques pour définir les grandeurs macroscopiques (température, pression, vitesse...)et assez petite pour être considérée comme un point de l’espace. On suppose que ces particulespeuvent se déplacer et se déformer au cours du temps t. L’analyse des déformations et desdéplacements permet alors de connaître l’évolution du milieu continu.

Soient, C0 la configuration initiale du milieu et C1 celle à un instant t1. Les particules sontrepérées par leur vecteur position xp dans l’espace. La position dans la configuration initiale estnotée xp

0 et celle dans la configuration déformée xp1. Pour décrire le mouvement de C0 vers C1,

il faut un état de référence et deux choix sont possibles : la description Lagrangienne ou celleEulérienne. Dans la première, la configuration C0 est l’état de référence servant à suivre l’évolutiondes propriétés de chaque particule. Dans la seconde, l’état de référence est la position spatiale x.

Pour décrire le changement des propriétés de la particule, la variation temporelle d’unepropriété P d’une particule se définit comme la dérivée temporelle totale de P . Elle est égale àla limite du taux de variation de P pendant un instant dt quand dt tend vers 0 :

dPdt

= limdt→0

P(t+ dt) − P(t)dt

. (1)

Dans la description Lagrangienne, la propriété P s’exprime comme PL (t,xp0), une fonc-

tion du temps et de la position initiale. Dans la description Eulérienne, elle s’exprime commePE (t,xp(t)), une fonction du temps et de la position de la particule l’instant t. Donc, dans cettedescription, le référentiel dépend du temps puisque la particule change de position au cours dutemps. Ce n’est pas le cas avec la description Lagrangienne, xp

0 étant l’état initial, il est indépen-dant du temps. Ainsi, avec ∂ représentant la dérivée partielle et ∇ l’opérateur nabla, le résultatde la dérivée temporelle totale sera exprimé différemment suivant la description choisie :

dPL (t,xp0)

dt=

∂PL

∂t

dt

dt+∂PL

∂xp0

dxp0

dt=

∂PL

∂t, (2)

dPE (t,xp(t))dt

=∂PE

∂t

dt

dt+∂PE

∂xp

dxp

dt=

∂PE

∂t× +∇PE · dxp

dt. (3)

Pour la description Lagrangienne, la dérivée temporelle totale est égale à la dérivée partielletemporelle. C’est un résultat attendu, car pour une particule donnée, il n’y a pas d’influencespatiale. Par contre, pour la description Eulérienne, la dérivée temporelle totale est égale à lasomme de la dérivée partielle temporelle et d’un terme convectif. Il s’exprime avec dxp

t /dt qui estla vitesse instantanée v à l’instant t de la particule. La variation totale temporelle de la grandeurPE pour un point x est donc la variation temporelle locale de PE ajoutée à la variation spatialeamenée par le passage des différentes particules en x.

21

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Section 1

Finalement, comme le résultat des dérivées totales est indépendant des points de référence,on a :

dPdt

=∂PL

∂t=∂PE

∂t+ v · ∇PE . (4)

Soit, D · /Dt l’opérateur dérivée particulaire, on définit alors :

DPE

Dt=∂PE

∂t+ v · ∇PE . (5)

À partir d’ici, les bases du modèle théorique pour décrire un milieu continu sont établies.Dans la suite, une description Eulérienne sera utilisée pour le développer dans le cadre d’unfluide monophasique, d’un fluide diphasique sans changement de phase, d’un fluide diphasiqueavec changement de phase et d’un fluide diphasique multi-composant avec changement de phase.Dans tous les cas considérés, il n’y a pas de chocs ou de discontinuités à l’intérieur d’une phasedonnée.

1 Les outils mathématiques nécessaires pour établir leséquations

1.1 Les définitions des objets et opérateurs utilisés

Soit Ω, un milieu continu décrit par des particules fluides. Sur ce domaine, le vecteurposition x sert de repère spatial et le temps t de repère temporel. Il est important de remarquerque le vecteur est écrit en fonte grasse et le scalaire en fonte normale. Dans la suite du manuscrit,ces notations seront respectées. De plus, lorsqu’un tenseur d’ordre 2 sera utilisé, il sera écrit avecune fonte à double trait comme S, T, I, D ...

Les particules sont décrites par un volume matériel V (t) délimité par une surface ∂V (t)dépendant tout deux du temps. Ces objets sont schématisés sur la figure 1a. La normale sortanteà la surface du volume est notée N∂V . Sur ce volume, soient un champ scalaire As(t,x), un champvectoriel Av(t,x) et un champ tensoriel d’ordre 2 At(t,x) dépendants du temps et de la positionspatiale x. La vitesse de déplacement des frontières du volume est notée V∂V .

V

Ω

∂V

(a) Particule fluide monophasique

Ω−Ω+

V −

V +

∂V +

∂V −

I

Γ

∂Γ

(b) Particule fluide diphasique

Ω−Ω+

N∂V +

N∂V −

Γ

N∂Γ

(c) Normales de la particule fluide

Figure 1 – Schémas des particules fluides

Pour les écoulements diphasiques, la surface I(t), représentant l’interface liquide-gaz, sé-pare Ω en deux domaines distincts Ω− et Ω+. Les variables associées à ces domaines sont repéréespar un exposant − et +. Sa normale, de direction arbitraire de Ω− vers Ω+, est NI . Sa vitesse dedéplacement est VI . Quand les particules fluides sont coupées en deux par l’interface, la surface

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contenue dans la particule fluide est alors notée Γ(t) = V (t) ∩ I(t). La normale de ce morceaude surface, identique à NI , est notée NΓ. La vitesse de ce morceau d’interface est aussi notéeavec VΓ. Les bords de cette intersection sont définis par la courbe ∂Γ(t) = ∂V (t) ∩ I(t) dontla normale se note N∂Γ. La figure 1b représente une particule fluide coupée par l’interface et lafigure 1c représente les normales de cette même particule.

Les objets définis jusqu’à présent sont des volumes, des surfaces ou des courbes. Ils sont ditsmatériels si leur vitesse de déplacement est, en tout point, identique à la vitesse de déplacementdu milieu continu. Par exemple, une interface n’est pas considérée comme matérielle lorsqu’il ya du changement de phase, elle ne se déplace pas à la même vitesse que le fluide environnant. Iln’y aura pas de notation particulière pour désigner un domaine matériel.

Enfin, les opérateurs principaux utilisés sont les suivants :

• le produit scalaire, appliqué à deux vecteurs x1 et x2, est la somme du produit des compo-santes vecteur deux à deux, il est noté x1 · x2 et le résultat est un scalaire ;

• le produit vectoriel, appliqué à deux vecteurs x1 et x2, permet de calculer une normale auplan généré par x1 et x2 , il est noté x1 × x2 et le résultat est un vecteur ;

• le produit dyadique, appliqué à deux vecteurs x1 et x2, est le résultat du produit matricielentre x1 écrit comme matrice colonne et x2 écrit comme matrice ligne, il est noté x1 ⊗ x2

et le résultat est un tenseur d’ordre 2 ;

• l’opérateur gradient, appliqué à un champ scalaire As(t,x), représente la direction de lapente de ce champ scalaire, il est notée avec le symbole nabla par ∇As(t,x) et le résultatest un champ vectoriel ;

• l’opérateur gradient, appliqué à un champ vectoriel Av(t,x), représente aussi la directionde la pente du champ vectoriel, il est notée avec le symbole nabla par ∇Av(t,x) et lerésultat est un champ tensoriel d’ordre 2 ;

• l’opérateur divergence, appliqué à un champ vectoriel Av(t,x), permet de savoir si en unpoint donné, Av(t,x) se dirige ou s’éloigne de ce point, il est noté avec le symbole nablapar ∇ · Av(t,x) et le résultat est un champ scalaire ;

• l’opérateur divergence, appliqué à un champ tensoriel At(t,x), permet aussi de savoir si enun point donné, At(t,x) se dirige ou s’éloigne de ce point, il est noté avec le symbole nablapar ∇ · At(t,x) et le résultat est un champ vectoriel ;

• l’opérateur relation de saut décrit le passage d’une grandeur à travers une surface séparantdeux domaines distincts, en supposant que As possède une limite de chaque côté de lasurface Γ, on définit pour tout point x appartenant à Γ, la relation de saut pour As par :

JAsK (x) = limh→0+

(A+

s (x + hNΓ) −A−s (x − hNΓ)

). (6)

Ces opérateurs peuvent se définir sur des surfaces, ils sont alors appelés opérateurs sur-faciques. Dans la suite, ils seront évoqués sans être utilisés, ils ne sont donc pas définis. DansCermelli et al. (2005), des précisions sont apportées sur ces opérateurs.

1.2 Le théorème de Green-Ostrogradsky

Dans cette partie, le théorème de Green-Ostrogradsky (ou théorème de flux-divergence)est introduit puis exprimé dans les différentes situations du manuscrit.

Pour une particule fluide monophasique, le théorème de Green-Ostrogradsky lie le flux d’unchamp vectoriel à la divergence de ce champ. Il énonce que l’intégrale surfacique sur les frontières

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Section 1

∂V d’un volume V du produit scalaire de Av avec N∂V est égale à l’intégrale volumique sur cemême volume de la divergence de Av :

∂V (t)

Av(x, t) · N∂V dS =∫

V (t)

∇ · (Av(x, t)) dV . (7)

Cette égalité est purement spatiale, elle est établi quel que soit l’instant t. Cette versiondu théorème est nommée le théorème de Green-Ostrogradsky monophasique.

Dans le cas d’une particule fluide diphasique, le théorème de Green-Ostrogradsky affirmeque l’intégrale surfacique sur les frontières ∂V d’un volume V du produit scalaire de Av avecN∂V est égale à la somme de la divergence de Av sur chaque volume le composant, c’est-à-direV − et V + intégrés séparément que l’on note V ±(t), et de l’intégrale surfacique sur Γ du produitscalaire du saut de Av avec NΓ :

∂V (t)

Av(x, t) · N∂V dS =∫

V ±(t)

∇ · (Av(x, t)) dV +∫

Γ(t)

JAv(x, t)K · NΓ dS . (8)

Cette version est nommée le théorème de Green-Ostrogradsky diphasique. Pour l’établir,il faut faire apparaître les surfaces ∂V −(t), ∂V +(t) et Γ(t) liées par ∂V (t) = ∂V −(t) − Γ(t) +∂V +(t) − Γ(t) :

∂V (t)

Av(x, t)·N∂V dS =∫

∂V −

Av·N∂V − dS−∫

Γ

A−v

·NΓ dS+∫

∂V +

Av·N∂V + dS−∫

Γ

A+v

·(−NΓ) dS .

(9)Deux intégrales surfaciques monophasiques apparaissent sur lesquelles le théorème de

Green-Ostrogradsky monophasique peut s’appliquer. De plus, la relation de saut pour Av seforme avec les intégrales surfaciques appliquées à l’interface :

∂V (t)

Av(x, t) · N∂V dS =∫

V −

∇ · (Av) dV +∫

V +

∇ · (Av) dV +∫

Γ

JAvK · NΓ dS . (10)

Finalement, en rassemblant les intégrales volumiques, le théorème de Green-Ostrogradskydiphasique est exprimé par l’équation 8.

Dans le cas d’une particule fluide diphasique avec changement de phase, l’interface n’estplus une surface matérielle. Toutefois, le théorème de Green-Ostrogradsky établit une égalitépurement spatiale. C’est donc au théorème de Green-Ostrogradsky diphasique qui s’applique.

1.3 Le théorème de transport de Reynolds

Dans cette partie, le théorème de transport de Reynolds est introduit. Il découle de larègle de Leibniz permettant d’intégrer une expression dont les bornes de l’intégrale dépendent dela variable à intégrer. Cela permet de commuter une dérivé temporelle et une intégrale spatialedont le domaine d’intégration dépend du temps.

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Pour une particule fluide monophasique, la dérivée temporelle de l’intégrale volumiqued’un scalaire As sur V (t), dépendant du temps t, est égale à la somme de l’intégrale volumiquede la dérivée partielle temporelle de As et de l’intégrale surfacique sur la frontière du volume d’in-tégration ∂V (t), qui dépend du temps, du produit de As avec la vitesse normale de déplacementde la frontière V∂V · N∂V :

d

dt

V (t)

As(x, t) dV

=

V (t)

∂As(x, t)∂t

dV +∫

∂V (t)

As(x, t)V∂V · N∂V dS . (11)

La particule étant un volume matériel, on a V∂V = v. Le théorème de Green-Ostrogradskypermet de réécrire le théorème de transport de Reynolds comme :

d

dt

V (t)

As(x, t) dV

=

V (t)

(∂As(x, t)

∂t+ ∇ · (As(x, t)v)

)dV . (12)

Pour une particule fluide diphasique, le théorème de transport de Reynolds s’exprimecomme le théorème de transport de Reynolds monophasique appliqué séparément aux volumesV −(t) et V +(t) :

d

dt

V (t)

As(x, t) dV

=

V ±(t)

(∂As(x, t)

∂t+ ∇ · (As(x, t)v)

)dV . (13)

Cette version est le théorème de transport de Reynolds diphasique. Pour l’établir, iden-tiquement au théorème de Green-Ostrogradsky diphasique, il faut d’abord séparer le volumeprincipal en V −(t) et V +(t) :

d

dt

V (t)

As(x, t) dV

=

d

dt

V −

As dV

+

d

dt

V +

As dV

. (14)

Ensuite le théorème de transport de Reynolds monophasique est appliqué à chacun desvolumes présents :

d

dt

V (t)

As(x, t) dV

=

V −

∂As

∂tdV +

∂V −

AsV∂V − · N∂V − dS

+∫

V +

∂As

∂tdV +

∂V +

AsV∂V + · N∂V + dS . (15)

Les intégrales volumiques temporelles sont rassemblées puis, les intégrales surfaciques sontassociées. Une intégrale surfacique sur Γ(t) apparaît sachant que ∂V (t) = ∂V −(t) − Γ(t) +∂V +(t) − Γ(t) :

25

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Section 2

d

dt

V (t)

As(x, t) dV

=

V ±

∂As

∂tdV +

∂V

AsV∂V · N∂V dS

+∫

Γ

A−s VΓ · NΓ dS +

Γ

A+s VΓ · (−NΓ) dS . (16)

La particule est un volume matériel donc V∂V = v. De plus, sans de changement dephase, l’interface est aussi une surface matérielle impliquant VΓ = v. On peut finalement faireapparaître la relation de saut :

d

dt

V (t)

As(x, t) dV

=

V ±

∂As

∂tdV +

∂V

Asv · N∂V dS −∫

Γ

JAsvK · NΓ dS . (17)

L’utilisation du théorème de Green-Ostrogradsky diphasique amène l’équation 13, le théo-rème de transport de Reynolds diphasique.

Pour une particule fluide diphasique avec changement de phase, l’interface n’est plus unesurface matérielle. Sa vitesse de déplacement, différente de celle du fluide, empêche d’écrireVΓ = v. Par contre, la particule fluide étant toujours un volume matériel, V∂V = v est va-lable. L’équation 16 devient donc :

d

dt

V (t)

As(x, t) dV

=

V ±

∂As

∂tdV +

∂V

Asv · N∂V dS −∫

Γ

JAsVΓK · NΓ dS . (18)

Le théorème de Green-Ostrogradsky diphasique sur l’intégrale surfacique de ∂V (t) permetd’obtenir :

d

dt

V (t)

As(x, t) dV

=

V ±(t)

(∂As(x, t)

∂t+ ∇ · (As(x, t)v)

)dV

−∫

Γ(t)

JAs(x, t) (v − VΓ)K · NΓ dS . (19)

Cette version du théorème de transport de Reynolds sera nommée le théorème de transportde Reynolds avec changement de phase.

2 Le cas d’un écoulement monophasique

Dans cette partie, les équations du comportement d’un fluide monophasique sont décrites.Pour cela, les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement sont établies.Elles permettront d’accéder à la vitesse et la pression du fluide.

26

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2.1 Conservation de la masse

Soit m, la masse totale d’une particule fluide. En l’absence de phénomène susceptible de lafaire varier, le principe de conservation indique que sa variation temporelle est nulle. En notantρ, la masse volumique du fluide :

m(t,x) =∫

V (t)

ρ(t,x) dV . (20)

Puis, le théorème de transport de Reynolds monophasique, l’équation 12, implique :

d

dt

V (t)

ρ(t,x) dV

=

V

(∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv)

)dV = 0 . (21)

Le principe de localisation énonce qu’une intégrale nulle pour n’importe quel volume V (t)implique que son intégrande est nul. Cela permet d’établir la relation locale de la conservationde la masse sous forme conservative :

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv) = 0 . (22)

2.2 Conservation de la quantité de mouvement

Dans cette partie, la seconde loi de Newton est appliquée à la quantité de mouvement. Elleénonce que la variation temporelle de la quantité de mouvement mv d’une particule matérielleprovient des efforts agissant sur celle-ci. Ces efforts sont divisés en forces surfaciques Fs et enforces volumiques Fv. En introduisant la densité de force volumique fv telle que Fv = ρfv et letenseur des contraintes surfaciques S, elles sont écrites sous la forme d’intégrale :

Fs =∫

∂V (t)

S · N∂V dS , Fv =∫

V (t)

ρfv dV . (23)

L’application de la seconde loi de Newton pour une particule fluide donne :

d

dt

V (t)

ρ(t,x)v(t,x) dV

=

∂V

S · N∂V dS +∫

V

ρfv dV . (24)

Ensuite, le théorème de transport de Reynolds monophasique (équation 12) est appliquéau terme de gauche et le théorème de Green-Ostrogradsky monophasique (équation 7) au termedes forces surfaciques pour obtenir :

V

(∂ (ρv)∂t

+ ∇ · (ρv ⊗ v) − ∇ · (S) − ρfv

)dV = 0 . (25)

Enfin, le principe de localisation (page 27), amène la relation locale de la conservation dela quantité de mouvement sous forme conservative :

∂ (ρv)∂t

+ ∇ · (ρv ⊗ v) = ∇ · (S) + ρfv . (26)

27

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Section 3

Le développement des contraintes surfaciques introduit de nouveaux termes permettantdescription plus fine du milieu continu. Les contraintes surfaciques S sont décomposées en unepartie sphérique (ou isotrope) appelée Ss et une partie déviatorique (ou sans trace) appelée Sd.Elles sont définies avec l’opérateur trace Tr (·) et le tenseur identité I comme :

S = Ss + Sd , Ss =13

Tr (S) I , Sd = S − Ss . (27)

Cette décomposition différencie les contraintes normales et tangentielles (cisaillement).Parmi les contraintes normales, les efforts de la pression hydrostatique (ou thermodynamique) psont séparés des efforts visqueux Π qui s’annulent à l’état d’équilibre. Ici, l’état d’équilibre est fixétel que le tenseur des déformations, noté D et défini comme la moitié de la somme du gradient devitesse et de sa transposée, soit nul. La pression mécanique P est alors définie comme la sommedes contributions normales de pression et de viscosité :

P = p+ Π = −13

Tr (S) . (28)

Le tenseur des contraintes est finalement une somme de trois termes : la pression hydro-statique, la pression visqueuse et les effets de cisaillement visqueux. Il est usuel de rassembler lescontributions visqueuses pour former le tenseur des contraintes visqueuses noté Sv = −ΠI + Sd

que l’on modélise avec une loi de comportement caractérisant le milieu continu choisi.Ici, le fluide est supposé Newtonien, ce qui signifie que les contraintes visqueuses tangen-

tielles varient linéairement avec les déformations du milieu. Toutefois, cette hypothèse modélisele comportement de Sd mais pas celui de Π. Ce dernier décrit des efforts surfaciques normauxqui s’identifient aux effets de dilatation ou de compression. Ce sont les effets visqueux de com-pressibilité qui se mesurent à travers la divergence de la vitesse ∇ · v. La relation entre Π et∇·v est aussi supposée linéaire. Finalement, deux coefficients de proportionnalité sont introduitspour décrire Sv : la viscosité dynamique µ et la viscosité volumique (ou de dilatation) µv. Ilspermettent de décrire le tenseur de viscosité tel que :

Sv = −ΠI + Sd = µv (∇ · v) I + 2µDd . (29)

Parfois, il est plus judicieux d’utiliser D directement. En sachant que D =(∇v + ∇vT

)/2,

la relation suivante est obtenue pour la trace du tenseur des déformations Tr (D) = ∇ · v. Lapartie sphérique étant le tiers de la trace, Sv s’écrit alors comme :

Sv = −ΠI + Sd =(µv − 2

)(∇ · v) I + 2µD . (30)

Finalement, S se modélise comme :

S = −pI +(µv − 2

)(∇ · v) I + 2µD . (31)

Dans le cas où ∇ · v = 0, la relation locale de la conservation de la quantité de mouvementsous forme conservative s’écrit :

∂ (ρv)∂t

+ ∇ · (ρv ⊗ v) = −∇p+ ∇ · (2µD) + ρfv . (32)

28

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3 Le cas d’un écoulement diphasique sans changement dephase

Dans cette partie, les équations régissant le comportement d’un écoulement diphasiquesans changement de phase sont proposées. La conservation de la masse et celle de la quantité demouvement permettrons d’accéder à la vitesse et la pression.

3.1 Conservation de la masse

De la même manière que pour le cas monophasique, la masse de notre particule se conservepuisqu’il n’y a pas de terme source de masse dans les volumes ni au niveau de l’interface. Lethéorème de transport de Reynolds diphasique (équation 13) implique alors que :

d

dt

V (t)

ρ(t,x) dV

=

V

(∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv)

)dV = 0 . (33)

Ensuite, le principe de localisation (page 27) donne la relation locale de la conservation dela masse sous forme conservative valable dans chaque volume pris séparément :

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv) = 0 . (34)

En l’absence de changement de phase, l’interface est déplacée de manière passive par lefluide avec une vitesse d’advection égale à celle du fluide v. Il est donc nécessaire d’imposer unecontinuité des vitesses à travers l’interface exprimée par :

JvK = 0 . (35)

3.2 Conservation de la quantité de mouvement

Dans cette partie, la seconde loi de Newton est appliquée à la quantité de mouvementmv d’une particule fluide diphasique. Comme pour le cas monophasique, les efforts affectant laparticule sont divisées en forces surfaciques Fs et volumiques Fv. Mais, un nouveau type de forcevient s’ajouter : les forces linéiques FL qui s’exerce exclusivement sur l’interface. En définissantla tension de surface σ, les trois types de forces sont :

FL =∫

∂Γ

σN∂Γ dL , Fs =∫

∂V

S · N∂V dS , Fv =∫

V

ρfv dV . (36)

Avant d’établir la loi de conservation, la force linéique est réécrite sous la forme d’uneintégrale surfacique. Pour cela, des opérateurs surfaciques, notés à l’aide d’un exposant s, sontnécessaires.

Tout d’abord, la courbe ∂Γ(t) possède un vecteur tangent T∂Γ et un vecteur normal N∂Γ.Sachant que NΓ est la normale de la portion d’interface, il est possible de construire N∂Γ commele produit vectoriel entre le vecteur tangent T∂Γ et la normale à l’interface NΓ pour obtenirN∂Γ = T∂Γ × NΓ. La figure 2 permet de visualiser dans l’espace la position de ces vecteurs.

29

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Section 3

ΓI

∂Γ

N∂ΓT∂Γ

Figure 2 – Schéma des normales pour une portion d’interface Γ

Ensuite, en appliquant le théorème de Stokes, qui est la version surfacique du théorème deGreen-Ostrogradsky, on transforme l’intégrale linéique en intégrale surfacique :

FL =∫

Γ

(NΓ × ∇) × (σNΓ) dS . (37)

Puis, les opérateurs gradient surfacique ∇s, divergence surfacique ∇s· et la définition de lacourbure de l’interface κ telle que κ = ∇s · (−NΓ), permettent d’écrire la force linéique comme :

FL =∫

Γ

∇sσ + σκNΓ dS . (38)

Cette expression fait apparaître le terme de Marangoni ∇sσ, s’exprimant en cas de varia-tions spatiales de la tension de surface, et le terme σκNΓ qui est la pression de Laplace responsablede la différence de pression entre les deux phases.

Maintenant que la force linéique est exprimée en intégrale surfacique, la seconde loi deNewton est appliquée à la particule fluide :

d

dt

V (t)

ρ(t,x)v(t,x) dV

=

∂Γ

σN∂Γ dL +∫

∂V

S · N∂V dS +∫

V

ρfv dV . (39)

Ensuite, le théorème de transport de Reynolds diphasique (équation 13) est utilisé pourle terme de gauche et le théorème de Green-Ostrogradsky diphasique (équation 8) est appliquéau terme des forces surfaciques. Puis, en utilisant l’expression surfacique des forces linéiques, onobtient :

V ±

(∂ (ρv)∂t

+ ∇ · (ρv ⊗ v) − ∇ · (S) − ρfv

)dV

+∫

Γ

(− JSK · NΓ − σκNΓ − ∇sσ) dS = 0 . (40)

30

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Le principe de localisation (page 27) permet d’établir la relation locale de la conservationde la masse sous forme conservative valable dans chaque volume pris séparément :

∂ (ρv)∂t

+ ∇ · (ρv ⊗ v) = ∇ · (S) + ρfv . (41)

En utilisant aussi le principe de localisation pour la surface Γ(t), la relation de saut auniveau de l’interface pour la conservation de la quantité de mouvement est exprimée par :

− JSK · NΓ + σκNΓ + ∇sσ = JpIK · NΓ − JSvK · NΓ + σκNΓ + ∇sσ = 0 . (42)

La conservation de la quantité de mouvement est une relation vectorielle et, selon les axesde projection utilisés, différentes expressions sont possibles. Ici, pour séparer les contributionsnormales et tangentielles, la relation de saut est projetée selon la normale à l’interface et le plantangent :

JpK − JSv · NΓK · NΓ + σκ = 0 , (43)

JSv · NΓK · TΓ + ∇sσ · TΓ = 0 . (44)

Ces relations montrent que l’effet Marangoni est purement tangentiel à l’interface. Dans lecas où la tension de surface est constante, les contraintes visqueuses tangentielles seront continues,il n’y a pas de glissement au niveau de l’interface. Par contre, le saut des contraintes visqueusesnormales est égal à la somme du saut de pression et du produit de la tension de surface parla courbure. Dans notre étude, la tension de surface sera constante, les relations de saut de laquantité de mouvement sont alors :

JpK − JSv · NΓK · NΓ + σκ = 0 , (45)

JSv · NΓK · TΓ = 0 . (46)

4 Le cas d’un écoulement diphasique avec du changementde phase

Dans cette partie, les équations pour un écoulement diphasique avec changement de phasesont énoncées. La conservation de la masse, de la quantité de mouvement et celle de l’énergietotale permettrons d’accéder à la vitesse, la pression, la température et le débit massique dechangement de phase. Une équation supplémentaire est maintenant nécessaire pour décrire latransition de phase à l’interface.

4.1 Conservation de la masse

Comme pour les cas précédents, la variation temporelle de la masse de la particule est nulle.Le théorème de transport de Reynolds diphasique avec changement de phase implique alors que :

d

dt

V (t)

ρ(t,x) dV

=

V ±

(∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv)

)dV +

Γ

Jρ (v − VΓ)K · NΓ dS = 0 . (47)

31

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Section 4

Puis, le principe de localisation (page 27) permet d’établir la relation locale de la conser-vation de la masse sous forme conservative valable dans chaque volume pris séparément :

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv) = 0 . (48)

Ensuite, le principe de localisation pour la surface Γ(t), donne la relation de saut au niveaude l’interface pour la conservation de la masse :

Jρ (v − VΓ)K · NΓ = 0 . (49)

Cette relation de saut traduit l’égalité des flux de masse de chaque côté de l’interface. Il estalors utile d’introduire une nouvelle quantité, notée m et nommée débit massique de changementde phase, qui se définit telle que :

m = ρ− (v− − VΓ

)· NΓ , m = ρ+

(v+ − VΓ

)· NΓ . (50)

4.2 Conservation de la quantité de mouvement

Dans cette partie, comme pour les deux cas précédents, on écrit que la variation temporellede la quantité de mouvement mv d’une particule fluide provient des forces agissant sur cetteparticule. Les forces affectant le fluide sont toujours divisées en forces linéiques FL qui s’exercentexclusivement sur l’interface I, en forces surfaciques Fs et en forces volumiques Fv :

FL =∫

∂Γ

σN∂Γ dL , Fs =∫

∂V

S · N∂V dS , Fv =∫

V

ρfv dV . (51)

La seconde loi de Newton est appliquée pour une particule fluide :

d

dt

V (t)

ρ(t,x)v(t,x) dV

=

∂Γ

σN∂Γ dL +∫

∂V

S · N∂V dS +∫

V

ρfv dV . (52)

Ensuite, on applique le théorème de transport de Reynolds diphasique (équation 19) auterme de gauche, on réécrit le terme de force linéique comme dans la partie diphasique sanschangement de phase et, on applique le théorème de Green-Ostrogradsky diphasique (équation 8)au terme des forces surfaciques. La conservation de la quantité de mouvement pour une particulefluide s’écrit alors :

d

dt

V (t)

ρv dV

=

V ±

(∂ (ρv)∂t

+ ∇ · (ρv ⊗ v) − ∇ · (S) − ρfv

)dV+

Γ

(Jρv ⊗ (v − VΓ)K · NΓ − JSK · NΓ − σκNΓ − ∇sσ) dS = 0 . (53)

Le principe de localisation (page 27), donne la relation locale de la conservation de laquantité de mouvement sous forme conservative valable dans chaque volume pris séparément :

32

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∂ (ρv)∂t

+ ∇ · (ρv ⊗ v) = ∇ · (S) + ρfv . (54)

Puis, la relation de saut au niveau de l’interface pour la conservation de la quantité demouvement est aussi établie en utilisant le principe de localisation pour la surface Γ(t). De plus,il est utile de faire apparaître le débit massique de changement de phase m :

m JvK + JpIK · NΓ − JSvK · NΓ + σκNΓ + ∇sσ = 0 . (55)

Les projections selon un axe normal et un axe tangent à l’interface amènent :

m JvK · NΓ + JpK − JSv · NΓK · NΓ + σκ = 0 , (56)

m JvK · TΓ + JSv · NΓK · TΓ + ∇sσ · TΓ = 0 . (57)

Un nouveau terme apparaît, c’est m JvK. Il répercute les conséquences de l’évaporation auniveau des contraintes normales et tangentielles. Dans le cas d’une tension de surface constante, saprésence induit que le saut des contraintes visqueuses tangentielles n’est plus nul. Cela signifie qu’ilest possible d’avoir du glissement à l’interface provoqué par le changement de phase. En effet, cedernier provoque une discontinuité des vitesses, il est donc logique qu’il y ait une discontinuité descontraintes visqueuses tangentielles. Dans le cadre de l’étude, la tension de surface est constante,impliquant les relations de saut suivantes :

m JvK · NΓ + JpK − JSv · NΓK · NΓ + σκ = 0 , (58)

m JvK · TΓ + JSv · NΓK · TΓ = 0 . (59)

4.3 Conservation de l’énergie totale

Dans cette partie, l’équation de conservation de l’énergie totale Et est établie. Elle estnécessaire pour calculer le champ de température et en déduire le débit de changement de phasem présent dans les lois de conservation de la masse et de la quantité de mouvement.

Premièrement, il faut écrire l’énergie totale sous la forme de l’intégrale volumique de l’éner-gie massique totale Et :

Et(t,x) =∫

V (t)

ρEt(t,x) dV . (60)

Ensuite, l’énergie massique totale est séparée en énergie microscopique et macroscopique.Le but est d’extraire les effets microscopiques qui sont difficiles à mesurer (agitation thermiqueet de liaisons entre les molécules) sous forme de l’énergie massique interne de la particule fluideEi. La variation de Ei est alors décrite au moyen d’un fonction mathématique. L’énergie massiquemacroscopique est l’énergie massique cinétique macroscopique notée Ec. L’énergie massique totaledevient alors :

V (t)

ρ(t,x)Et(t,x) dV =∫

V (t)

(ρ(t,x)Ei(t,x) + ρ(t,x)Ec(t,x)) dV . (61)

33

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Section 4

Maintenant, le premier principe de la thermodynamique est appliqué : la variation tem-porelle de l’énergie totale d’un système est égale à la somme des transferts thermiques Q etmécaniques W entre le système et son environnement, soit :

d

dt

V (t)

ρ(t,x)Et(t,x) dV

= Q + W . (62)

Parmi les transferts thermiques, il y a les échanges de chaleur au niveau des frontièresde la particule fluide notés Q et un terme source volumique de chaleur nommé Pe. Ensuite, lestransferts mécaniques résultent du travail des forces linéiques, surfaciques et volumiques. Sachantque les forces linéiques peuvent s’exprimer comme des forces surfaciques, le premier principe s’écritcomme :

d

dt

V

Et dV

= −

∂V

Q · N∂V dS +∫

V

Pe dV

+∫

Γ

v · σκNΓ dS +∫

∂V

v · S · N∂V dS +∫

V

ρv · fv dV . (63)

Sur le terme de gauche, on applique le théorème de transport de Reynolds diphasiqueavec changement de phase (équation 19). Après, le théorème de Green-Ostrogradsky diphasique(équation 8) est utilisé sur les termes surfaciques de droite. Enfin, étant donné qu’il n’y pas detravail, ni de production d’énergie au sein de l’interface, les intégrales sur V (t) du travail desforces volumiques et de la production d’énergie sont égales à des intégrales sur V ±(t). Le résultatfinal est :

V ±

(Et + ∇ · (ρvEt) + ∇ · Q − ∇ · (v · S) − ρv · fv − Pe) dV+

Γ

(JρEt (v − VΓ)K · NΓ + JQK · NΓ − Jv · SK · NΓ − v · σκNΓ) dS = 0 . (64)

On remplace Et par Ei +v2/2 et, avec le principe de localisation (page 27), la relation localede la conservation de l’énergie totale valable dans chaque volume pris séparément est établie sousforme conservative :

∂t

(ρEi + ρ

v2

2

)+ ∇ ·

(ρvEi + ρv

v2

2

)+ ∇ · Q − ∇ · (v · S) − ρv · fv − Pe = 0 . (65)

Cette équation est exprimée de manière à séparer les contributions mécaniques et ther-miques :

∂t(ρEi) + ∇ · (ρvEi) + ∇ · Q − Pe = − ∂

∂t

v2

2

)− ∇ ·

(ρv

v2

2

)+ ∇ · (v · S) + ρv · fv . (66)

Maintenant, il est possible simplifier les contributions mécaniques en réalisant le produitscalaire entre la vitesse et l’équation 54 de la conservation locale de la quantité de mouvement :

v · ∂ (ρv)∂t

+ v · ∇ · (ρv ⊗ v) = v · ∇ · (S) + v · ρfv . (67)

34

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L’opération fait apparaître l’énergie massique cinétique. Puis, en développant ∇ · (v · S),on obtient :

∂t

v2

2

)+ ∇ ·

(ρv

v2

2

)− ∇ · (v · S) + ∇v : S − v · ρfv = 0 , (68)

Soit :

− ∂

∂t

v2

2

)− ∇ ·

(ρv

v2

2

)+ ∇ · (v · S) + ρv · fv = ∇v : S (69)

La relation locale de la conservation de l’énergie interne sous forme conservative valabledans chaque volume pris séparément se simplifie en :

∂t(ρEi) + ∇ · (ρvEi) + ∇ · Q − ∇v : S − Pe = 0 . (70)

En séparant les contributions de la pression thermodynamique et de la viscosité dans leterme des contraintes surfaciques, S = −pI + Sv, on peut écrire :

∂t(ρEi) + ∇ · (ρvEi) + ∇ · Q + p∇ · v − ∇v : Sv − Pe = 0 . (71)

Puis, la relation locale de la conservation de la masse associée à l’enthalpie massique H,définit par ρEi = ρH + p, permet d’arriver à la relation locale de la conservation de l’enthalpiesous forme conservative valable dans chaque volume pris séparément :

∂t(ρH) + ∇ · (ρvH) − ∂p

∂t− v · ∇p+ ∇ · Q − ∇v : Sv − Pe = 0 . (72)

Dans le cas d’un fluide mono-composant, le flux thermique provient des échanges conductifsQc qui se modélise avec le loi de Fourier. En notant le coefficient de conduction thermique λ, ona Qc = −λ∇T . L’utilisation de la dérivée particulaire et de l’équation locale de la conservationde la masse donne :

ρDHDt

+Dp

Dt+ ∇ · (−λ∇T ) − ∇v : Sv − Pe = 0 . (73)

Pour établir la relation de saut, on utilise le principe de localisation sur Γ(t) faisant appa-raître le débit massique de changement de phase m :

m

sEi +

v2

2

+ JQK · NΓ − Jv · SK · NΓ + v · σκNΓ = 0 . (74)

Or, comme pour l’équation de conservation locale de l’énergie, il est possible d’utiliser larelation de saut de l’énergie mécanique. Celle-ci s’obtient en réalisant le produit scalaire entre lavitesse et l’équation 55 de la relation de saut de la quantité de mouvement :

m

sv2

2

− Jv · SK · NΓ + v · σκNΓ = 0 . (75)

En injectant la relation précédente dans la relation de saut de l’énergie totale, on obtient :

m JEiK + JQK · NΓ = 0 . (76)

35

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Section 4

En passant à la forme enthalpique, la relation de saut de l’énergie devient :

m

sH +

p

ρ

+ JQK · NΓ = 0 . (77)

Soit Lv, l’enthalpie massique de changement de phase définit par JHK. La relation de sauts’écrit alors comme :

mLv + m

sp

ρ

+ JQK · NΓ = 0 . (78)

En négligeant le saut sur la pression, cette égalité permet d’établir que le changement dephase est responsable de la différence de flux de chaleur entre les deux phases. Ce dernier étantmodélisé avec la loi de Fourier, on obtient :

mLv + J−λ∇T K · NΓ = 0 . (79)

4.4 Description du changement d’état

Dans cette partie, l’équation qui permet de décrire la transition de phase au niveau de l’in-terface est démontrée. Cette transition de phase se définit comme une modification soudaine despropriétés physiques d’un corps, c’est à dire d’une espèce chimique. Pour ce type d“écoulement,c’est la transition liquide-gaz d’un corps pur qui est décrite puisque les phases sont composéesd’une seule espèce chimique. Les paramètres contrôlant cette transition sont la température, lapression et le volume.

Premièrement, le volume ne sera pas utilisé car il y a seulement des systèmes sont ouvertsdans ce manuscrit. Suivant les valeurs de la pression et de la température, il peut donc y avoir unliquide, un gaz ou la coexistence des deux, l’état diphasique. C’est ce dernier qui est intéressantcar il permet de décrire l’état de l’interface.

Pour cela, la relation de Clapeyron, liant l’évolution de la pression à celle de la températurelors de l’état diphasique, est utilisée. La pression dans cet état se note pvs pour pression de vapeursaturante. Elle est appelée vapeur saturante car pour une température donnée, c’est la pressionlimite au-delà de laquelle le gaz (vapeur) va transiter vers la phase liquide. La températurecorrespondante, sera notée TΓ car l’état diphasique est présent localement sur l’interface. Larelation de Clapeyron exprime alors que la dérivée de la pression de vapeur saturante par rapport àla température est égale au rapport du saut d’entropie massique S avec le saut du volume molairenoté vm :

(dpvs

dT

)(TΓ) =

JSKJvmK . (80)

Or, pour une pression et une température fixées, le produit du saut d’entropie massiqueet de la température est égal à l’enthalpie massique de vaporisation tel que JSKTΓ = Lv, soit :

(dpvs

dT

)(TΓ) =

Lv

TΓ JvmK . (81)

Dans le manuscrit, il y a uniquement des phases liquides et gazeuses. Le saut de volumemolaire JvmK peut s’approximer par le volume molaire du gaz. En imposant que le gaz suive la loi

36

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des gaz parfait pvm = RT , où R est la constante des gaz parfait, l’équation de Clausius-Clapeyronest obtenue :

(dpvs

dT

)(TΓ) =

pvs(TΓ)Lv

T 2ΓR

. (82)

Pour avoir une expression explicite, cette relation est intégrée à partir d’un état de réfé-rence. Ce dernier est choisi comme l’état d’ébullition à pression atmosphérique pat. En considé-rant la température d’ébullition Tb et Lv constant avec la température, la relation de Rankineapparaît :

pvs(TΓ) = pat exp(−Lv

R

(1TΓ

− 1Tb

)). (83)

Pour avoir TΓ(pvs), il faut inverser cette relation :

TΓ(pvs) =(

1Tb

+R

Lvln(pvs

pat

))−1

. (84)

Dans la suite, la seconde relation est utilisée afin de connaître la température de l’interfacepour une pression donnée. Cela permet par exemple de calculer la température à imposer surl’interface.

Pour aller plus loin, il est aussi possible de considérer que l’enthalpie de vaporisation varieavec la température. Dans ces conditions, la formule de Dupré, donné dans Febvre et al. (2013)à la page 216, est obtenue si la variation de Lv est linéaire avec la température. Il y a aussi laformule d’Antoine (1888) si la variation est quadratique.

5 Le cas d’un écoulement diphasique multi-composant avecdu changement de phase

Dans cette partie, l’écoulement diphasique multi-composant avec changement de phase estmis en équation. La conservation de la masse totale, la quantité de mouvement totale, l’énergietotale et les masses de chacune des espèces chimiques permettrons d’accéder à la vitesse, lapression, la température, la quantité massique de chaque espèce chimique et les débits massiquesde changement de phase des espèces chimiques. Une équation supplémentaire sera aussi nécessairepour décrire la transition de phase à l’interface.

Le cas de la partie 4 est repris avec plusieurs espèces chimiques dans chaque phase et, dansce but, de nouvelles variables doivent être introduites.

Tout d’abord, le mélange chimique est supposé idéal, c’est-à-dire que les interactions entreles différentes molécules composant les phases sont toutes identiques. Le nombre d’espèces chi-miques dans la phase liquide est noté Nl. Dans la phase gazeuse, il y a les Nl vapeurs du liquideplus un gaz inerte non soluble avec le liquide. Les espèces sont numérotées de 1 à Nl et l’indiceassocié au gaz inerte est 0. Lorsque la phase utilisée n’est pas spécifiée, le nombre d’espèce estnoté N . Les grandeurs associées à une espèce chimique a, appelées grandeurs partielles, sontnotées avec un indice a. Les grandeurs globales caractérisant la phase n’ont pas d’indice.

37

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Section 5

La masse volumique globale ρ d’une phase est définie comme la somme des masses volu-miques des espèces chimiques :

ρ =N∑

a

ρa . (85)

De la même manière, la quantité de mouvement globale est la somme des quantités demouvements partielles où va est la vitesse de déplacement des molécules de l’espèce a :

ρv =N∑

a

ρava . (86)

La vitesse globale de l’écoulement est donc définie comme la moyenne massique des vitessespartielles :

v =1ρ

N∑

a

ρava . (87)

Pour une espèce chimique, la différence entre sa vitesse partielle et la vitesse globale del’écoulement est appelée la vitesse de diffusion de l’espèce chimique a :

Va = va − v . (88)

Ensuite, la fraction massique Ya de l’espèce chimique a dans le mélange est définie par :

Ya =ma

N∑b

mb

=ρa

N∑b

ρb

(89)

Enfin, en notant na la quantité molaire de l’espèce chimique a, la fraction molaire Xa del’espèce chimique a dans le mélange est aussi définie par :

Xa =na

N∑b

nb

(90)

5.1 Conservation de la masse totale

De la même manière que pour les cas précédents, la masse totale de notre particule seconserve. Le théorème de transport de Reynolds diphasique avec changement de phase (équa-tion 19) implique :

d

dt

V (t)

ρ(t,x) dV

=

V ±

(∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv)

)dV +

Γ

Jρ (v − VΓ)K · NΓ dS = 0 . (91)

Puis, on utilise le principe de localisation (page 27) pour établir la relation locale de laconservation de la masse totale sous forme conservative valable dans chaque volume pris séparé-ment :

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv) = 0 . (92)

38

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Le principe de localisation pour la surface Γ(t) donne la relation de saut au niveau del’interface pour la conservation de la masse totale :

Jρ (v − VΓ)K · NΓ = 0 . (93)

Cette relation de saut traduit toujours l’égalité des flux de masse de chaque côté de l’in-terface et, le débit massique m se définit de la même manière, soit :

m = ρ− (v− − VΓ

)· NΓ , m = ρ+

(v+ − VΓ

)· NΓ . (94)

5.2 Conservation de la masse d’une espèce chimique

Dans le cas diphasique multi-composant, la masse de l’espèce chimique a contenue dansnotre particule se conserve aussi. Sa variation est égale au taux de production ou de consommationde l’espèce a notée Pa. Ce terme source est le résultat des réactions chimiques et se nomme tauxde réaction de l’espèce a. Le théorème de transport de Reynolds diphasique avec changement dephase (équation 19) implique :

d

dt

V (t)

ρa(t,x) dV

=

V ±

(∂ρa

∂t+ ∇ · (ρava)

)dV +

Γ

Jρa (va − VΓ)K · NΓ dS = Pa . (95)

Le principe de localisation (page 27) donne la relation locale de la conservation de la massede l’espèce chimique a sous forme conservative valable dans chaque volume pris séparément :

∂ρa

∂t+ ∇ · (ρava) = Pa . (96)

Ce principe appliqué sur la surface Γ(t) amène la relation de saut au niveau de l’interfacepour la conservation de la masse de l’espèce chimique a :

Jρa (va − VΓ)K · NΓ = 0 . (97)

Cette relation de saut traduit l’égalité des flux de masse pour l’espèce a de chaque côté del’interface. Comme pour la conservation de la masse totale, une nouvelle quantité notée ma estintroduite : le débit massique de changement de phase de l’espèce a. Elle se définit telle que :

ma = ρ−a

(v−

a − VΓ

)· NΓ , ma = ρ+

a

(v+

a − VΓ

)· NΓ . (98)

La somme des équations de conservation de masse partielles donne l’équation de conserva-tion de la masse totale. Elle impose que la somme des taux de réactions doit être nulle. En effet,comme les Pa caractérisent des transformations chimiques, leur somme doit s’annuler pour qu’iln’y ait pas de création ou de consommation de la masse totale :

∂t

(N∑

a

ρa

)+ ∇ ·

(N∑

a

ρava

)=

N∑

a

Pa =∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv) = 0 . (99)

Dans la suite, la conservation de quantité de mouvement totale contenant v est résolue. Lavitesse partielle va est alors remplacée par la vitesse globale v et la vitesse de diffusion Va dans

39

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Section 5

l’équation de conservation partielle. La masse volumique partielle ρa est aussi remplacée par lamasse volumique globale ρ et la fraction massique Ya pour aboutir à :

∂ (ρYa)∂t

+ ∇ · (ρYa (v + Va)) = Pa . (100)

C’est l’équation de conservation de la fraction massique sous forme conservative. Soit,Ja = ρaYa = ρYaVa le flux diffusif de fraction massique. En utilisant la dérivée particulaire etl’équation de conservation locale de la masse, on écrit :

ρDYa

Dt+ ∇ · (Ja) = Pa . (101)

En appliquant les mêmes substitutions, la relation de saut de la fraction massique estobtenue :

JJaK · NΓ + m JYaK = 0 . (102)

La définition des débit massiques partiels peut alors s’écrire en fraction massique comme :

ma = mY −a + J−

a · NΓ , ma = mY +a + J+

a · NΓ . (103)

Pour modéliser l’expression de Ja en fonction de la fraction massique Ya, il existe troispossibilités :

• pour un mélange binaire ou une espèce a fortement diluée dans un milieu, la loi de Fickstipule que la vitesse de diffusion est proportionnelle au gradient de la fraction massique,Ja = −ρDF

a ∇Ya, où DFa est le coefficient de diffusion massique de l’espèce a dans le milieu

concerné ;

• pour un mélange de N espèces chimiques, la loi de Fick généralisée stipule que la vitessede diffusion est proportionnelle au gradient de la fraction massique, Ja = −ρDF G

a ∇Ya, oùDF G

a est le coefficient de diffusion massique de l’espèce a dans le milieu concerné sachantque celui-ci est composé de plusieurs espèces ;

• pour un mélange de N espèces chimiques, la loi de Maxwell-Stefan permet d’établir que lavitesse de diffusion est une combinaison linéaire des gradients des fractions massiques, elles’écrit Ja = −ρ∑N

b Dab∇Yb, où Dab est le coefficient de diffusion massique binaire entreles espèces a et b ;

Les deux lois de Fick induisent une diffusion qui permet toujours de tendre vers une ré-partition homogène de la masse. En effet, le gradient de fraction massique et le flux diffusif sontconstamment opposés. Par contre, la loi de Maxwell-Stefan permet théoriquement de trouver desflux diffusifs qui ont le même sens que le gradient étant donné que le flux Ja est exprimé commeune somme prenant en compte tous les gradients d’espèces. Avec cette expression, en plus de ladiffusion classique, on peut avoir pour une espèce a, un flux diffusif et un gradient qui ont lemême sens, c’est la diffusion inversée. On peut aussi avoir un flux diffusif nul pour une espècechimique avec une répartition de sa masse non homogène, c’est la barrière de diffusion. Enfin,on peut avoir un flux diffusif non-nul pour une espèce chimique avec une répartition de massehomogène, c’est la diffusion osmotique. Ces phénomènes ont été mis en évidence expérimentale-ment par Duncan & Toor (1962) et sont tous instationnaires. Dans Krishna & Wesselingh (1997),une description complète de ces phénomènes est réalisée si une personne souhaite obtenir desinformations supplémentaires.

40

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5.3 Conservation de la quantité de mouvement totale

Dans le cas diphasique multi-composant avec changement de phase, l’équation de conserva-tion de la quantité de mouvement totale est presque identique au cas diphasique avec changementde phase. L’expression de la force volumique est sous la forme d’une somme des forces volumiquespartielles fv,a car les espèces ne sont pas forcément affectées par les mêmes forces :

d

dt

V (t)

ρ(t,x)v(t,x) dV

=

∂Γ

σN∂Γ dL +∫

∂V

S · N∂V dS +N∑

a

V

ρafv,a dV . (104)

En définissant la force volumique totale comme la somme des forces volumiques partielles :

ρfv =N∑

a

ρafv,a , (105)

La relation locale de la conservation de la quantité de mouvement sous forme conservativevalable dans chaque volume pris séparément est identique au cas diphasique avec changement dephase :

∂ (ρv)∂t

+ ∇ · (ρv ⊗ v) = ∇ · (S) + ρfv . (106)

La relation de saut projetée sur un axe normal et un axe tangent à l’interface donne :

m JvK · NΓ + JpK − JSv · NΓK · NΓ + σκ = 0 , (107)

m JvK · TΓ + JSv · NΓK · TΓ = 0 . (108)

5.4 Conservation de l’énergie totale

L’équation de conservation de l’énergie totale est quasiment identique au cas diphasiqueavec changement de phase. La différence se situe dans le travail des forces volumiques. En effet,comme les espèces peuvent être soumises à des forces volumiques différentes, celui-ci s’exprimecomme la somme des travaux des forces volumiques partielles. Il se met donc sous la forme d’unesomme des produits scalaires entre les vitesses partielles va et les forces volumiques partiellesρafv,a. En développant, on obtient :

N∑

a

ρafv,a · va =

(N∑

a

ρafv,a

)· v +

N∑

a

ρafv,a · Va . (109)

On voit alors apparaître le terme de force volumique globale ρfv :

N∑

a

ρafv,a · va = ρfv · v +N∑

a

ρafv,a · Va . (110)

Ainsi, à partir de l’équation 65, en utilisant l’expression de l’énergie mécanique, il resterale terme contenant le travail des forces volumiques partielles avec la vitesse de diffusion :

∂t(ρEi) + ∇ · (ρvEi) + ∇ · Q − ∇v : S − Pe −

N∑

a

ρafv,a · Va = 0 . (111)

41

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Section 5

De fait, la relation locale de la conservation de l’enthalpie sous forme conservative valabledans chaque volume pris séparément devient :

∂t(ρH) + ∇ · (ρvH) − ∂p

∂t− v · ∇p+ ∇ · Q − ∇v : Sv − Pe −

N∑

a

ρafv,a · Va = 0 . (112)

Dans le cas d’un fluide multi-composant, le flux thermique provient de trois sources :

• le transfert de chaleur par conduction Qc, il provient de l’agitation thermique des moléculeset se calcule avec la loi de Fourier où λ est le coefficient de conduction thermique ;

• l’effet de diffusion d’enthalpie QH, qui exprime le fait que lorsqu’une espèce chimique sedéplace par diffusion massique, elle transporte aussi son enthalpie.

• l’effet Dufour, qui est le transfert de chaleur QD induit par un gradient de fraction massique.

L’effet Dufour possède un effet jumeau qui est l’effet Soret ou l’effet de thermodiffusion :c’est un transfert de fraction massique induit par un gradient de température. Au final, le fluxde chaleur s’écrit comme Q = Qc + QH + QD en sachant que :

Qc = −λ∇T , QH =N∑

a

HaJa , QD = RTN∑

a

N∑

b

Xb

Ma

λa

ρacp,aDab(Va − Vb) . (113)

Dans ce manuscrit, l’effet de Dufour est négligé. Donc, l’utilisation de la dérivée particulaireet de l’équation locale de la conservation de la masse permet d’écrire :

ρDHDt − Dp

Dt + ∇ · (−λ∇T ) +N∑

a

∇ · (HaJa) − ∇v : Sv − Pe −N∑

a

ρafv,a · Va = 0 .

(114)

Comme pour le cas mono-composant, la relation de saut de l’énergie mécanique mène àrelation de saut suivante pour l’énergie totale :

m JHK + m

sp

ρ

+ J−λ∇T K · NΓ +

N∑

a

JHaJaK · NΓ = 0 . (115)

En exprimant l’enthalpie massique totale comme la somme du produit des enthalpies mas-siques avec les fractions massiques des N espèce chimiques, on obtient :

m

N∑

a

JYaHaK + m

sp

ρ

+ J−λ∇T K · NΓ +

N∑

a

JHaJaK · NΓ = 0 . (116)

Or, le débit massique se conserve à travers un saut ce qui permet de factoriser le sautd’enthalpie avec le saut de diffusion d’enthalpie tel que :

N∑

a

J(mYa + Ja · NΓ) HaK + m

sp

ρ

+ J−λ∇T K · NΓ = 0 . (117)

42

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Cela permet d’obtenir les débits massiques des espèces a. Sachant qu’ils se conservent àtravers un saut, la relation devient :

N∑

a

ma JHaK + m

sp

ρ

+ J−λ∇T K · NΓ = 0 . (118)

Soit Lv,a, l’enthalpie massique de changement de phase de l’espèce a définit par JHK. Larelation de saut s’écrit alors comme :

N∑

a

maLv,a + m

sp

ρ

+ J−λ∇T K · NΓ = 0 . (119)

En négligeant le saut sur la pression, cette égalité permet d’établir que le changement dephase est toujours responsable de la différence de flux de chaleur entre les deux phases :

N∑

a

maLv,a + J−λ∇T K · NΓ = 0 . (120)

5.5 Description du changement d’état

Dans cette partie, l’équation permettant la transition de phase au niveau l’interface estétablie. Elle est utilisée pour savoir comment les phases échangent de la masse en présencede plusieurs espèces chimiques. Il faut alors à déterminer quelle est la composition chimiqueà l’interface en fonction de la pression et la température. Il a été vu précédemment que l’onpeut connaître la pression de vapeur saturante d’un corps pur en fonction de la température del’interface avec :

pvs(TΓ) = pat exp(−Lv

R

(1TΓ

− 1Tb

)). (121)

Cette relation, associé à la loi de Raoult et de Dalton, permet de connaître les fractionsmassiques gazeuses Y +

a,Γ et liquides Y −a,Γ à l’interface.

Premièrement, il faut écrire la définition de la fraction massique gazeuse en utilisant laquantité de mole na et la masse molaire Ma :

Y +a,Γ =

ma

Nl∑b=0

mb

=naMa

Nl∑b=0

nbMb

. (122)

Ensuite, on applique la loi des gaz parfaits paV = naRT pour faire apparaître les pressionspartielles pa à la place des quantités de mole :

Y +a,Γ =

paMa

Nl∑b=0

pbMb

=paMa

p0M0 +Nl∑b=1

pbMb

. (123)

Le gaz inerte est isolé car c’est le seul composant qui n’est pas présent dans le liquide etpour lequel il n’y a pas de relation pour la pression de vapeur saturante. Pour éviter ce problèmeet avoir plusieurs gaz inertes, il faudrait écrire l’équilibre des potentiels chimiques de chaqueespèce. Ici, une fois que le gaz inerte est isolé, la loi de Dalton est appliquée pour exprimersa pression partielle en fonction des pressions partielles des espèces chimiques présentes dans le

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Section 5

liquide. Cette dernière permet d’affirmer que la pression totale p d’un mélange de gaz parfaitsest la somme des pressions partielles :

p0 = p−Nl∑

a=1

pa . (124)

L’équation de la fraction massique devient alors :

Y +a,Γ =

paMa

pM0 +Nl∑b=1

pb (Mb −M0). (125)

Maintenant, la loi de Raoult qui représente l’égalité des potentiels chimiques, est appliquéeau niveau de l’interface. Celle-ci est valable pour une phase liquide considérée comme un mélangeidéal et, pour une phase gazeuse considérée comme un mélange idéal et se comportant commeun gaz parfait. Elle permet d’affirmer que pour chaque espèce chimique a, la pression partielleest proportionnelle à la fraction molaire dans le liquide et à la pression de vapeur saturante :

pa = X−a,Γpvs,a . (126)

Sachant qu’avec la loi des gaz parfaits, la pression partielle peut aussi s’écrire comme leproduit entre la fraction molaire gazeuse et la pression totale, on obtient la pression partielle del’espèce chimique a :

pa = X+a,Γp . (127)

Cela permet d’obtenir la relation suivante pour exprimer les fractions massiques gazeusesà l’interface en fonction de la température de l’interface et des fractions massiques liquides àl’interface :

Y +a,Γ =

X−a,ΓMapvs,a

M0p+Nl∑b=1

X−Γ,b (Mb −M0) pvs,b

. (128)

Cette relation est valable pour toutes les espèces présentes dans le liquide. Dans le cas dugaz inerte, il faut utiliser le fait que la somme des fraction massique est toujours égale à 1 :

Y +Γ,0 = 1 −

Nl∑

a=1

Y +a,Γ . (129)

Toutes les fractions massiques gazeuses à l’interface sont ainsi connues à partir de laconnaissance des fractions massiques liquides et de la température à l’interface.

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Troisième partie

Travail de recherche

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CHAPITRE 1

LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

SommaireIntroduction du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1 Les algorithmes du code DIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.1 Les équations de conservations utilisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.2 Localisation et déplacement de l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.3 La résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles . . . . . . . . . . 51

1.3.1 Le traitement des termes visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.3.2 L’algorithme de projection pour résoudre la vitesse et la pression . . . . . . 52

1.3.3 L’extension de vitesse à divergence nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.4 Le modèle pour le changement de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.4.1 Ghost Fluid Thermal Solver for Boiling (GFTSB) . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.4.2 Ghost Fluid Thermal Solver for Evaporation (GFTSE) . . . . . . . . . . . . 54

1.4.3 Ghost Fluid Thermal Solver for Boiling and Evaporation (GFTSBE) . . . . 55

1.5 Discrétisations et méthodes numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.5.1 Discrétisation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.5.2 Discrétisations spatiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.5.3 Extensions des champs de température et de fraction massique . . . . . . . 56

2 La reconstruction de l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.1 La structure de la routine de Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2 La division en volume élémentaire : les simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3 Convergence spatiale des reconstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.3.1 Périmètre et surface d’un cercle et d’une ellipse avec une géométrie 2D . . . 64

2.3.2 Surface et volume d’une sphère et d’un ellipsoïde avec une géométrie axisy-métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3.3 Surface et du volume d’une sphère et d’un ellipsoïde avec une géométrie 3D 66

2.4 Le calcul des surfaces d’échanges avec la routine Frontières . . . . . . . . . . . 67

3 Les conditions limites immergées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.1 Implémentation d’une condition de Dirichlet immergée . . . . . . . . . . . . . 71

3.2 Implémentation d’une condition de Neumann immergée . . . . . . . . . . . . . 76

3.3 Implémentation d’une condition de Robin immergée . . . . . . . . . . . . . . . 78

47

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4 Les techniques d’extrapolation d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1 L’extrapolation d’un champ scalaire sans terme source . . . . . . . . . . . . . 80

4.2 L’extrapolation d’un champ scalaire avec un terme source . . . . . . . . . . . . 82

4.3 Les différentes extrapolations de DIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5 La goutte isolée en évaporation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1 Théorie de la goutte isolée en évaporation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1.1 Écriture des équations à symétrie sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1.2 Le calcul du champ de vitesse dans le gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.1.3 Le débit massique d’évaporation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1.4 La loi du d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.1.5 Solutions théoriques des champs de température et de fraction massique . . 91

5.2 Simulation stationnaire de la goutte isolée statique en évaporation . . . . . . . 92

5.2.1 La configuration des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2.2 Les résultats des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.3 Simulation instationnaire de la goutte isolée statique en évaporation . . . . . . 98

5.4 Simulation d’une goutte isolée en mouvement s’évaporant . . . . . . . . . . . . 99

Conclusion du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

48

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

Introduction du chapitre 1

Dans ce chapitre, l’objectif est de présenter DIVA et de montrer qu’il est capable de simulerde l’évaporation d’une goutte.

Le code DIVA pour Dynamique Interfaciale pour l’Atomisation et la Vaporisation permetde simuler des écoulements diphasiques avec changement de phase en ayant une espèce chimiquedans le liquide et deux espèces dans le gaz, la vapeur du liquide et un gaz inerte. Pour l’interface,une méthode de Level-Set est utilisée pour la localiser et la déplacer. La méthode Ghost-Fluid yest associée dans le but de calculer précisément les effets physiques proches de cette frontière. Lesrésultats qui sont présentés dans ce chapitre ont été obtenus avec la première version de DIVAqui est séquentielle.

Tout d’abord, les algorithmes utilisés dans le code vont être présentés. Puis, les tech-niques nécessaires pour appliquer les algorithmes seront détaillées et testées : la reconstructionde l’interface, l’application des conditions limites sur une frontière arbitraire et l’extension mul-tidimensionnelle d’une variable et de ses dérivées. Enfin, la validité des résultats du code seraéprouvée avec le cas d’une goutte isolée qui s’évapore.

1 Les algorithmes du code DIVA

Dans cette première partie, les équations de conservation de DIVA sont exposées et lesalgorithmes permettant leurs résolutions sont expliqués. Les systèmes linéaires qui en découlentsont résolus avec le solveur Black-Box Multi-Grid (BBMG) présenté dans Dendy (1982). En effet,selon MacLachlan et al. (2008), ce dernier est très efficace pour résoudre les systèmes avec despropriétés physiques hétérogènes.

Le domaine de simulation est Ω. Il est constitué d’une phase liquide Ωl et d’une phasegazeuse Ωg séparées par une interface. Les variables du liquide sont repérées avec un indice l,celles du gaz avec un indice g et celles de l’interface avec un indice Γ. La phase liquide estconstituée d’une espèce chimique 1 et, celle gazeuse, se compose d’un gaz inerte 0 et de la vapeurde l’espèce chimique 1. Dans l’optique de l’approche Ghost Fluid, on associe à un champ A,défini sur Ω, deux champs supplémentaires Al et Ag. Ils sont aussi définis sur Ω et contiennentrespectivement les valeurs de A ∈ Ωl et A ∈ Ωg. Les valeurs de Al ∈ Ωg et Ag ∈ Ωl sont desextrapolations de A ∈ Ωl et A ∈ Ωg.

1.1 Les équations de conservations utilisées

Pour décrire des écoulements diphasiques avec changement de phase, quatre équations deconservation sont utilisées avec une équation décrivant la transition de phase. Toutes les propriétésthermodynamiques associées à ces équations sont constantes.

La première est l’équation 92 de conservation de la masse totale. Les propriétés ther-modynamiques étant constantes, il n’y a pas besoin d’équation d’état pour décrire les massesvolumiques des phases gazeuse et liquide. Elle s’exprime alors par la condition de divergencenulle du champ de vitesse :

∇ · v = 0 . (1.1)

49

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Section 1

À l’interface, le changement de phase impose l’équation 93 définissant le débit massiquepar l’équation 50. Cette dernière permet d’établir une égalité pour la vitesse de convection del’interface :

VΓ = vl − m

ρl= vg − m

ρg. (1.2)

On obtient alors la relation de saut à imposer sur le champ de vitesse :

JvK = m

s1ρ

NΓ . (1.3)

La seconde équation de conservation est l’équation 106 de conservation de la quantité demouvement. Sous forme non conservative, elle s’exprime par :

ρ

(∂v∂t

+ v · ∇v)

= −∇p+ ∇ · (2µdD) + ρfv . (1.4)

Elle est associée à la relation de saut exprimée par l’équation 107. Elle définit le sautapproprié de la pression qui prend en compte les effets capillaires, visqueux et de changement dephase :

JpK = σκ+ JSv · NΓK − m JvK = σκ+ 2sµd∂Vn

∂n

− m2

s1ρ

, (1.5)

La troisième équation de conservation est celle de l’énergie totale. Sachant que seuls desphénomènes quasi-isobares sont étudiés avec DIVA, elle est donnée dans sa formulation enthal-pique par l’équation 114. En négligeant les dissipations visqueuses et en remplaçant H par cpT ,elle devient :

ρcp

(∂T

∂t+ v∇T

)= ∇ · (λ∇T ) . (1.6)

À l’interface, le changement d’état impose l’équation 120 qui démontre une discontinuitédes flux :

Jλ∇T K · NΓ = mLv . (1.7)

La quatrième équation de conservation est la conservation de la fraction massique del’espèce chimique 1 exprimée par l’équation 101. Elle est nécessaire seulement dans la phasegazeuse puisque le liquide est mono-composant. En calculant le flux massique avec la loi de FickJ1 = −ρDF

1 ∇Y1, elle s’exprime comme :

ρ

(∂Y1

∂t+ v∇Y1

)= ∇ ·

(ρDF

1 ∇Y1

). (1.8)

Au niveau de l’interface, la relation de saut donnée par l’équation 102 se transforme encondition de Robin liant la valeur fraction massique à celle de son flux :

mY1 + ρD1∇Y1 · NΓ = m . (1.9)

Enfin, l’équation permettant de décrire la transition de phase est l’équation 128. Dans lecadre d’un liquide mono-composant, elle devient :

Y1,Γ =M1pvs,1

M0p+ (M1 −M0) pvs,1. (1.10)

50

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

La pression de vapeur saturante de l’espèce liquide pvs,1 est exprimée avec l’équation 83qui est rappelée ici :

pvs(TΓ) = pat exp(−Lv

R

(1TΓ

− 1Tb

)). (1.11)

1.2 Localisation et déplacement de l’interface

Pour localiser et déplacer l’interface, DIVA utilise la méthode Level-Set proposée dansOsher & Sethian (1988), Sussman et al. (1994) et Fedkiw et al. (1999). L’interface est repéréegrâce à un iso-contour d’une fonction Level-Set φ. Puis, cette fonction est déplacée avec unevitesse VΓ, déduite de l’écoulement, suivant l’équation de convection :

∂φ

∂t+ VΓ · ∇φ = 0 . (1.12)

La fonction φ est une fonction distance signée telle que :

φ(x(t), t) =

dist(x, I(t)) si x(t) ∈ Ωl

0 si x(t) ∈ I

−dist(x, I(t)) si x(t) ∈ Ωg

. (1.13)

Les valeurs positives de φ représentent la phase liquide et celles négatives correspondentà la phase gazeuse. Pour la vitesse de déplacement de l’interface, elle est calculée à partir de ladéfinition du débit massique de changement de phase :

VΓ = vl − m

ρl= vg − m

ρg. (1.14)

En général, les vitesses de la phase liquide sont plus faibles que celles de la phase gazeuseet ρl >> ρg. Cela implique qu’en utilisant l’expression de la phase liquide, le calcul de la vitessede l’interface est plus stable et plus précis. C’est cette expression qui est utilisée par la suite.

Dans Sussman et al. (1994), les auteurs proposent d’effectuer une étape de re-distance pourque la fonction φ conserve ses propriétés de distance signée. Soient φnew la fonction ré-initialisée,τ un temps fictif et sign la fonction signe définie dans Sussman et al. (1994). La re-distances’effectue en résolvant de manière itérative :

∂φnew

∂τ= sign(φ) (1 − |∇φnew |) . (1.15)

À chaque itération temporelle de DIVA, deux itérations de l’équation de re-distance sontréalisées.

1.3 La résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles

Dans cette partie, le solveur permettant de résoudre les équations de Navier-Stokes estdétaillé. Il permet de calculer des écoulements diphasiques incompressibles avec une conditionde saut de vitesse sur une interface déformable et mobile. Elle a été initialement utilisée parNguyen et al. (2001) pour calculer la propagation des fronts de flammes. Dans Gibou et al. (2007)et Tanguy et al. (2014), elle est utilisée pour simuler des écoulements avec de l’ébullition. Poursimuler correctement l’évaporation des gouttes, Tanguy et al. (2007) proposent d’améliorer laméthode en ayant une champ de vitesse liquide dont la condition de divergence nulle à l’interfaceest satisfaite proprement. Elle sera utilisée dans les simulations puisque les études porteront surl’évaporation des gouttes.

51

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Section 1

1.3.1 Le traitement des termes visqueux

L’un des problèmes à résoudre pour simuler des écoulements diphasiques incompressiblesavec changement d’état est le calcul des termes visqueux. En effet, dans la méthode initialementproposée par Kang et al. (2000) pour résoudre des écoulements diphasiques incompressibles, letraitement développé pour les termes visqueux est valable pour un champ de vitesse continu àl’interface. Or, ce n’est pas compatible avec le changement de phase mais, des méthodes per-mettant d’avoir une discontinuité du champ de vitesse ont été développées : la Delta FunctionMethod (DFM) de Sussman et al. (1994) et la Ghost Fluid Conservative viscous Method (GFCM)de Sussman et al. (2007). Dans Lalanne et al. (2015), les auteurs montrent que ces trois méthodessont formellement équivalentes et que la précision des méthodes Ghost Fluid est meilleure quecelle de la méthode DFM.

Dans l’algorithme de projection qui suit, la méthode GFCM est utilisée avec la formulationimplicite des termes visqueux présentée dans Lepilliez et al. (2016).

1.3.2 L’algorithme de projection pour résoudre la vitesse et la pression

L’algorithme de projection permet de calculer les champs de vitesse et de pression enrésolvant les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement. Il y a troisétapes principales : la détermination d’un champ intermédiaire de vitesse à divergence non-nulle,le calcul du champ de pression avec cette vitesse intermédiaire et le calcul du champ de vitesseà divergence nulle en corrigeant le champ intermédiaire avec le champ de pression.

Si v∗ est le champ de vitesse intermédiaire, la première étape se traduit par :

ρn+1v∗ − ∆t∇ · (2µD∗) = ρn+1 (vn − ∆t (Aconv(vn) − fv)) , (1.16)

avec :

Aconv(vn) =

vn

l · ∇vnl si φ > 0

vng · ∇vn

g si φ < 0. (1.17)

En imposant à l’interface la condition de saut sur la vitesse grâce à la méthode de Liuet al. (2000), on trouve alors le champ de vitesse intermédiaire.

Ensuite, les champs de vitesse des phases liquide et gazeuse sont étendus de chaque cotéde l’interface avec :

v∗l =

v∗ si φ > 0

v∗ − mr

zNΓ si φ < 0

. (1.18)

v∗g =

v∗ − mr

zNΓ si φ > 0

v∗ si φ < 0. (1.19)

Puis, le champ de pression est calculé avec :

∇ ·(∇pn+1

ρn+1

)=

∇·v∗l

∆t si φ > 0∇·v∗

g

∆t si φ < 0, (1.20)

52

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

tout en imposant, avec les méthodes de Kang et al. (2000) et Liu et al. (2000), la conditionde saut suivante :

JpK = σκ− m2

s1ρ

. (1.21)

Enfin, la vitesse intermédiaire est corrigée avec le champ de pression calculé :

vn+1 = v∗ − ∆t

ρn+1

(∇pn+1 −

(σκ− m2

s1ρ

)NΓδΓ

). (1.22)

Dans cette étape de correction, il faut utiliser une approximation de la distribution deDirac δΓ basée sur Liu et al. (2000) dont les détails sont donnés dans Lalanne et al. (2015).

1.3.3 L’extension de vitesse à divergence nulle

Afin de pouvoir calculer correctement l’itération temporelle suivante, il est nécessaired’étendre le champ de vitesse. Cela servira à déplacer la fonction Level-Set et à calculer lestermes convectifs Aconv(vn).

Pour l’extension du champ de vitesse de la phase liquide, les auteurs de Tanguy et al.(2007) proposent de résoudre l’équation de Poisson suivante pour un champ de pression fantômepf :

∇ ·(

∇pn+1f

ρn+1

)=

∇ · v∗l

∆t. (1.23)

La vitesse extrapolée est ensuite obtenue avec :

vn+1l =

vn+1 si φ > 0

vn+1l − ∆t

∇pn+1

f

ρn+1 si φ < 0. (1.24)

Pour l’extension du champ de vitesse de la phase gazeuse, l’équation 1.19 est appliquée àla vitesse gazeuse corrigée :

vn+1g =

vn+1 − mr

zNΓ si φ > 0

vn+1 si φ < 0. (1.25)

Selon Tanguy et al. (2007), dans le cas de gouttes en évaporation, l’extension à divergencenulle de la vitesse amène une amélioration conséquente de la conservation de la masse. Dans lecadre de l’ébullition, Tanguy et al. (2014) montrent que ces améliorations sont plus faibles.

1.4 Le modèle pour le changement de phase

Dans la partie précédente, les champs de pression et de vitesse ont été résolus en supposantque le débit massique d’évaporation était connu. Dans cette partie, les méthodes permettant decalculer ce débit massique vont être présentées.

53

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Section 1

1.4.1 Ghost Fluid Thermal Solver for Boiling (GFTSB)

La première méthode, présentée dans Gibou et al. (2007), permet de simuler des écou-lements avec de l’ébullition. C’est-à-dire des liquides purs qui s’évaporent dans leurs propresvapeurs. Il y a donc une seule et même espèce chimique dans les phases liquide et gazeuse. Laconservation de la fraction massique ne sera pas nécessaire dans cette méthode. Par la suite, ellesera appelée Ghost Fluid Thermal Solver for Boiling (GFTSB).

Les auteurs proposent de résoudre séparément les champs de température des phases li-quide et gazeuse en supposant que la température de l’interface est uniforme et constante. Leschamps sont alors résolus avec la température d’ébullition Tb imposée comme condition de Di-richlet à l’interface grâce à la méthode de Gibou et al. (2002). On résout alors pour la phaseliquide :

ρcpTn+1 − ∆t∇ ·

(λ∇T n+1

)= ρcp (T n − ∆tvn · ∇T n) sur Ωl , (1.26)

T |Γ = Tb . (1.27)

Et pour la phase gazeuse :

ρcpTn+1 − ∆t∇ ·

(λ∇T n+1

)= ρcp (T n − ∆tvn · ∇T n) sur Ωg , (1.28)

T |Γ = Tb . (1.29)

Puis, le débit massique de changement d’état est déterminé à partir de la différence desflux thermiques :

m =Jλ∇T K

Lv· NΓ . (1.30)

1.4.2 Ghost Fluid Thermal Solver for Evaporation (GFTSE)

La seconde méthode est proposée dans Tanguy et al. (2007) pour simuler des écoulementsde gouttes qui s’évaporent dans un gaz inerte. Cela implique d’avoir deux espèces chimiques dansla phase gazeuse et une seule espèce chimique dans le liquide. Comme le taux d’évaporationdépend de la composition chimique, il faut résoudre une équation de conservation de la massepartielle dans le gaz et déterminer les conditions d’équilibre à l’interface. Par la suite, elle seraappelée Ghost Fluid Thermal Solver for Evaporation (GFTSE).

En premier, le champ de fraction massique est résolu avec une condition de Dirichlet àl’interface respectant l’équilibre thermodynamique :

ρY n+11 − ∆t∇ ·

(ρDF

1 ∇Y n+11

)= ρ (Y n

1 − ∆tvn · ∇Y n1 ) sur Ωg , (1.31)

Y1|Γ =M1pvs,1

M0p+ (M1 −M0) pvs,1, (1.32)

pvs(TΓ) = pat exp(−Lv

R

(1TΓ

− 1Tb

)). (1.33)

54

Page 55: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

Ensuite, le débit massique est calculé en utilisant le flux de fraction massique dans le gazavec :

m =ρDF

1 ∇Y1|Γ · NΓ

1 − Y1|Γ(1.34)

Puis, le débit d’évaporation est utilisé pour résoudre le champ de température sur l’en-semble du domaine en imposant une condition de saut sur le flux thermique à l’interface :

ρcpTn+1 − ∆t∇ ·

(λ∇T n+1

)= ρcp (T n − ∆tvn · ∇T n) , (1.35)

Jλ∇T K · NΓ = mLv . (1.36)

1.4.3 Ghost Fluid Thermal Solver for Boiling and Evaporation (GFTSBE)

La troisième méthode est présentée dans le papier de Rueda-Villegas et al. (2016) auquelj’ai participé. Elle permet de simuler des cas de transition de phase très hétérogène dans lesquelsil peut y avoir à la fois de l’ébullition et de l’évaporation. Dans cette méthode, la phase liquide estmono-composant et la phase gazeuse se compose de la vapeur du liquide et d’un gaz inerte. Ellea été développée dans la thèse de Rueda-Villegas (2013) pour simuler des gouttes dans le régimede Leidenfrost. Elle passe implicitement d’un régime d’évaporation à un régime d’ébullition etelle sera donc appelée par la suite Ghost Fluid Thermal Solver for Boiling and Evaporation(GFTSBE).

L’idée principale est de modifier la méthode GFTSB en imposant une condition de Dirichletnon-uniforme sur l’interface. Donc, on commence par résoudre les champs de température dansles phases liquide et gazeuse de manière séparée. Soit, pour la phase liquide :

ρcpTn+1 − ∆t∇ ·

(λ∇T n+1

)= ρcp (T n − ∆tvn · ∇T n) sur Ωl , (1.37)

T |Γ =(

1Tb

− R

Lvln(

Y n1 |Γ M0

M1 − Y n1 |Γ (M1 −M0)

))−1

. (1.38)

Et pour la phase gazeuse :

ρcpTn+1 − ∆t∇ ·

(λ∇T n+1

)= ρcp (T n − ∆tvn · ∇T n) sur Ωg , (1.39)

T |Γ =(

1Tb

− R

Lvln(

Y n1 |Γ M0

M1 − Y n1 |Γ (M1 −M0)

))−1

. (1.40)

Ensuite le débit massique est calculé comme dans la méthode GFTSB :

m =Jλ∇T K · NΓ

Lv. (1.41)

Dans le cas où la fraction massique à l’interface vaut 1, la température de l’interface estTb et l’on retrouve bien l’algorithme GFTSB.

Puis, comme la fraction massique à l’interface est nécessaire pour y déterminer la tem-pérature, il faut résoudre le champ de fraction massique dans la phase gazeuse. Pour cela, onimpose une condition de Robin lors de la résolution de la conservation de la fraction massique del’espèce chimique 1 :

ρY n+11 − ∆t∇ ·

(ρDF

1 ∇Y n+11

)= ρ (Y n

1 − ∆tvn · ∇Y n1 ) sur Ωg , (1.42)

55

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Section 1

m Y1|Γ + ρD1∇Y1|Γ · NΓ = m . (1.43)

Finalement, cette troisième méthode résout les mêmes équations que le solveur GFTSEmais l’ordre est inversé. Elle permet notamment d’éviter la divergence du débit massique. Eneffet, lorsqu’il est calculé à partir du champ de fraction massique, celui diverge lorsque la fractionà l’interface tend vers 1.

1.5 Discrétisations et méthodes numériques

1.5.1 Discrétisation temporelle

Au niveau de l’intégration temporelle, un schéma de Runge-Kutta d’ordre 2 est employé.Des critères sur le pas de temps ∆t permettent d’assurer la stabilité temporelle. Il y a en un pourles termes convectif ∆tconv et visqueux ∆tvisc donnés dans Kang et al. (2000), et un pour lestermes capillaires ∆tsurf donné par Sussman et al. (1994). Ils s’expriment comme :

1∆tconv

=∆x√

max(v · v),

1∆tvisc

=∆x2

4√max(νl, νg)

,1

∆tsurf=

√ρg∆x3

4σ(1.44)

Ensuite, le critère sur le pas de temps se calcule avec :

1∆t

=1

∆tconv+

1∆tvisc

+1

∆tsurf(1.45)

Si les termes visqueux sont implicites en temps, le critère sur ∆tvisc ne sera pas présent.

1.5.2 Discrétisations spatiales

Concernant la discrétisation spatiale loin de l’interface, on utilise les schémas WeightedEssentially Non-Oscillatory (WENO) d’ordre 5 de Jiang & Shu (1996) pour les termes convectifset les schémas centrés d’ordre 2 pour les termes diffusifs.

Par contre, proche de l’interface, il faut employer des méthodes qui permettent d’imposerdes conditions limites immergées. C’est-à-dire qu’elles s’appliquent sur un ensemble de pointsqui ne correspondent pas aux points du maillage. Pour cela, la technique de Gibou et al. (2002)est employée pour imposer une condition de Dirichlet immergée nécessaire pour résoudre leschamps de température des méthodes GFTSB et GFTSBE et le champ de fraction massique dela méthode GFTSE. Pour la condition de Robin immergée du champ de fraction massique dela méthode GFTSBE, la technique de Papac et al. (2010), permettant d’imposer une conditionimmergée de Neumann ou de Robin, est employée. Ces deux méthodes permettent d’avoir desdiscrétisations précises à l’ordre 2 et elles seront présentées dans la suite de ce chapitre.

Pour les appliquer, il faut connaître les propriétés géométriques de l’interface dans chaquecellule traversée par celle-ci. Dans ce but, on met en place une reconstruction de l’interface inspiréede Min & Gibou (2007) et Min & Gibou (2008). La technique de reconstruction sera détailléedans ce chapitre.

1.5.3 Extensions des champs de température et de fraction massique

Pour le calcul du débit massique, il est nécessaire d’estimer à l’interface les dérivées detempérature et de fraction massique. Or, pour la température, sa dérivée n’est pas continue. Et,pour la fraction massique, c’est le champ de base et sa dérivée qui ne sont pas continus. Afin de

56

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

calculer correctement le débit massique, il faut donc utiliser la méthode d’Aslam (2003) pour avoirun champ continu avec une dérivée continue. Des études ont montré que ces extensions étaientbénéfiques dans le cas des problèmes de Stefan, Gibou & Fedkiw (2003), Gibou et al. (2013), etdans le cas d’écoulements avec de l’ébullition, Tanguy et al. (2014). Les différentes techniquesd’extrapolation seront présentées dans ce chapitre.

2 La reconstruction de l’interface

Le changement de phase est un phénomène localisé au niveau de l’interface et, pour larésolution des systèmes linéaires, il est nécessaire de connaître avec précision les mailles qui sonttraversées par l’interface ainsi que la taille de l’intersection entre ces cellules et l’interface.

Le domaine Ω est défini comme zone de calcul. Il est divisé par une fonction Level-Setφ(x),x ∈ Ω en deux sous-domaines Ω+ et Ω− qui correspondent respectivement à la partiepositive et négative de φ. La frontière entre les deux domaines est ainsi délimitée par le zéro dela fonction Level-Set et se nomme Γ. Une cellule ou maille est notée comme Cijk. La figure 1.1schématise le domaine et une cellule.

b b

bb

bb b

bb

b

bbbb Ω−

Ω+

Ω

Γ

Cijk

Figure 1.1 – Schéma du domaine de calcul et d’une cellule

L’objectif de l’étape de reconstruction est de connaître, pour chaque cellule de Ω, la taillede l’intersection de la cellule avec Ω+ et celle avec Γ. De plus, elle doit permettre de calculer,pour chaque cellule, les surfaces d’échanges liées à Ω+. Pour cela, on dispose des coordonnées ducentre de chaque maille et de la valeur de la fonction Level-Set φ(x) associée au centre.

Cette étape de reconstruction a été programmée dans une routine spécifique. La structurede cette routine est montrée dans une première partie. Ensuite, le calcul de la taille des intersec-tions entre l’interface et les mailles est donné. Puis, des tests de convergence sont présentés pourvalider l’implémentation de la reconstruction de l’interface. Enfin, le calcul des surfaces d’échangeentre les cellules est expliqué.

57

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Section 2

2.1 La structure de la routine de Reconstruction

C’est la routine principale qui permet de calculer les dimensions de Ω+ ainsi que les surfacesd’échanges associées. Elle a été construite en s’inspirant de Min & Gibou (2007) et la figure 1.2présente un visuel de cette routine. Les paramètres nécessaires en entrée sont les coordonnées ducentre des cellules et la valeur de la fonction Level-Set φ localisée au niveau de ces centres. Ensortie, on obtient pour chaque cellule les surfaces d’échanges (∂Cijk∩Ω+), la taille de l’intersectionassociés à Ω+ (Cijk ∩ Ω+) et celle associée à Γ (Cijk ∩ Γ+).

X, Y, Z, Φ

Reconstruction

Sech,cell, Vcell

Creation cellule

cellule Cijk

Cijk ∩ Ω+ , ∂Cijk ∩Ω+

Cijk ∩ Ω+ = Cijk

∂Cijk ∩ Ω+ = ∂Cijk

Cijk ∩ Ω+ = ∅

∂Cijk ∩Ω+ = ∅

Intersections

Frontieres

∀C

ijk∈Ω

Cijk ∈ Ω+

Cijk ∈ Ω−

Γ ∈ Cijk

Figure 1.2 – Structure de la routine de reconstruction

La routine commence par la création d’une cellule Cijk qui se compose des coordonnéesdu centre et des sommets de la cellule associées aux valeurs de φ correspondantes. Pour trouverles valeurs de φ de ces sommets, des interpolations linéaires sont réalisées avec les voisins dela cellule. En trois dimensions, les centres des faces de la cellule sont aussi calculés. Pour unegéométrie 2D, qui est schématisée sur la figure 1.3a, les sommets constituant la cellule sont :

• le point 1 qui correspond à la moyenne entre les points (i − 1, j − 1), (i − 1, j), (i, j) et(i− 1, j) ;

• le point 2 qui correspond à la moyenne entre les points (i, j − 1), (i+ 1, j − 1), (i+ 1, j) et(i, j) ;

• le point 3 qui correspond à la moyenne entre les points (i, j), (i + 1, j), (i + 1, j + 1) et(i, j + 1) ;

• le point 4 qui correspond à la moyenne entre les points (i−1, j), (i, j), (i, j+1) et (i−1, j+1) ;

• le point 5 qui correspond au centre de la cellule (i, j).

58

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

b b

bb

bb b

bb

b3

21

4

bbbb 5

(a) Cellule initiale

b b

bb

bb b

bb

b3

21

4

bbbb 5

(b) Cellule découpée

Figure 1.3 – Cellule en dimension 2

Pour la cellule en trois dimensions, schématisée sur la figure 1.4a, le découpage est lesuivant :

• le point 1 correspond à la moyenne entre les points (i − 1, j − 1, k − 1), (i − 1, j, k − 1),(i, j, k − 1), (i − 1, j, k − 1), (i− 1, j − 1, k), (i− 1, j, k), (i, j, k), (i − 1, j, k) ;

• le point 2 correspond à la moyenne entre les points (i, j − 1, k − 1), (i + 1, j − 1, k − 1),(i + 1, j, k − 1), (i, j, k − 1), (i, j − 1, k), (i+ 1, j − 1, k), (i+ 1, j, k), (i, j, k) ;

• le point 3 correspond à la moyenne entre les points (i, j, k − 1), (i + 1, j, k − 1), (i + 1, j +1, k − 1), (i, j + 1, k − 1), (i, j, k), (i+ 1, j, k), (i+ 1, j + 1, k), (i, j + 1, k) ;

• le point 4 correspond à la moyenne entre les points (i−1, j, k−1), (i, j, k−1), (i, j+1, k−1),(i − 1, j + 1, k − 1), (i− 1, j, k), (i, j, k), (i, j + 1, k), (i− 1, j + 1, k) ;

• le point 5 correspond à la moyenne entre les points (i − 1, j − 1, k), (i − 1, j, k), (i, j, k),(i − 1, j, k), (i − 1, j − 1, k + 1), (i− 1, j, k + 1), (i, j, k + 1), (i − 1, j, k + 1) ;

• le point 6 correspond à la moyenne entre les points (i, j − 1, k), (i+ 1, j− 1, k), (i+ 1, j, k),(i, j, k), (i, j − 1, k + 1), (i+ 1, j − 1, k + 1), (i+ 1, j, k + 1), (i, j, k + 1) ;

• le point 7 correspond à la moyenne entre les points (i, j, k), (i + 1, j, k), (i + 1, j + 1, k),(i, j + 1, k), (i, j, k + 1), (i+ 1, j, k + 1), (i+ 1, j + 1, k + 1), (i, j + 1, k + 1) ;

• le point 8 correspond à la moyenne entre les points (i − 1, j, k), (i, j, k), (i, j + 1, k), (i −1, j + 1, k), (i − 1, j, k + 1), (i, j, k + 1), (i, j + 1, k + 1), (i− 1, j + 1, k + 1) ;

• le point 9 correspond au centre de la cellule (i, j, k) ;

• le point 10 correspond à la moyenne entre les points (i, j − 1, k) et (i, j, k) ;

• le point 11 correspond à la moyenne entre les points (i, j, k) et (i + 1, j, k) ;

• le point 12 correspond à la moyenne entre les points (i, j, k) et (i, j + 1, k) ;

• le point 13 correspond à la moyenne entre les points (i − 1, j, k) et (i, j, k) ;

• le point 14 correspond à la moyenne entre les points (i, j, k − 1) et (i, j, k) ;

• le point 15 correspond à la moyenne entre les points (i, j, k) et (i, j, k + 1).

Lorsqu’une cellule est créée, elle passe dans la routine qui calcule l’intersection entre lamaille et le domaine Ω+. Dans cette routine, trois possibilités se présentent :

59

Page 60: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

Section 2

1

2

3

4

5

6

7

8

10

11

12

13

14

15

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

9

(a) Cellule initiale

bb

bb

b

bb

b

bb

10

bb

bb

bb

bb

13 bbb

b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b

b 15

bb

bb

bb

b

bb

b

12

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b14 bb

bb

bb

bb

bb

11

bb 9

(b) Cellule découpée

Figure 1.4 – Cellule en dimension 3

• le maximum et le minimum de la fonction Level-Set dans la cellule sont positifs. L’inter-section entre la cellule et Ω+ est la cellule entière ;

• le maximum et le minimum de la fonction Level-Set dans la cellule sont négatifs. L’inter-section entre la cellule et Ω+ est un ensemble vide ;

• le maximum et le minimum de la fonction Level-Set dans la cellule sont de signes différents.L’intersection entre la cellule et Ω+ doit alors être calculée. Cette intersection peut avoirdes formes diverses et pour la décrire de manière efficiente, la cellule est divisée en partiesélémentaires nommées simplex.

Ici, il est important de remarquer que pour savoir si une cellule est traversée par l’interface,le produit entre le maximum et le minimum de la fonction Level-Set est effectué parmi les sommetsde la cellule. Si ce produit est positif, cela signifie que tous les sommets sont du même signe alorsque, dans le cas où le produit est négatif, cela signifie que les sommets sont de signes différentset que l’interface traverse la cellule. L’avantage de ce test est son universalité, il fonctionne surtoutes les formes de la cellule, depuis le segment jusqu’au cube. Il sera employé par la suite entant que test min-max.

2.2 La division en volume élémentaire : les simplex

Dans ce paragraphe, une cellule traversée par l’interface est considérée. Pour calculer demanière précise la taille de l’intersection entre cette maille et Ω+, la cellule est divisée en simplex.C’est la forme géométrique possible la plus simple pour une dimension donnée. L’avantage deces objets est qu’ils réduisent au minimum le nombre de configurations par lesquelles l’interfacetraverse la cellule. Cela facilite alors le calcul de l’intersection.

En géométrie 2D, le simplex est le triangle (figure 1.5a). Pour l’obtenir, à l’aide du centrede la cellule, le carré est découpé en 4 triangles comme dans la figure 1.3b. En effectuant le testmin-max, les simplex traversés par l’interface sont repérés puis traités pour trouver les tailles desintersections.

60

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

b

b

b

b b

b

b

b

2

c2

1 c1

3

c3

(a) Géométrie 2D1

23

4

c 1

c2

c3

c 4

c5c 6

b

bb

b

b

bb

b

(b) Géométrie 3D

Figure 1.5 – Simplex

Après ce découpage, il est maintenant facile de trouver toutes les intersections possibles.Si l’interface rentre par un côté, elle ressort forcément par un deuxième côté. Cela permet detrouver qu’il y a trois intersections différentes : c1 − c2, c2 − c3, c3 − c1. L’identification descôtés coupés par l’interface se réalise avec le test min-max opéré sur chaque côté. Lorsque le testest positif, les coordonnées de l’intersection sont calculées grâce à la fonction Level-Set par uneméthode similaire à celle présentée dans la sous-section 2.1 de ce chapitre.

Dans l’exemple de la figure 1.6, Cij ∩Γ est la distance entre les points c2, c3 et Cij ∩Ω+ estl’aire occupée par Ω+ dans le simplex. Si s3 ∈ Ω+, cette aire est la surface du triangle (s3, c2, c3)sinon c’est la différence entre la surface du simplex et celle du triangle (s3, c2, c3).

b

b

b

b b

b

b

b

bb

b

b

s2

c2

s1c1

s3

c3

Figure 1.6 – Exemple d’intersection entre l’interface et un simplex de dimension 2

En géométrie 3D, le simplex est un tetraèdre (figure 1.5b) et le découpage du cube nécessitedeux étapes. À l’aide du centre de la cellule, le cube est d’abord découpé en six pentaèdres commesur la figure 1.4b. Ensuite, on identifie les pentaèdres (figure 1.7a) qui sont traversés par l’interfaceavec le test min-max. Ces derniers sont alors redécoupés en quatre tetraèdres (figure 1.7b) avecl’appui du centre de la base du pentaèdre pour obtenir le simplex de dimension 3. Un autre testmin-max permet de séparer les tétraèdres traversés par l’interface de ceux qui ne le sont pas.

61

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Section 2

1

2

3

45

6

b

b

b

bb

b

b

b

b

bb

b

(a) Pentaèdre1

2

3

45

6

b

bb

b

b

bb

b

bb

bb

b

bb

bbb

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

bb

b

(b) Pentaèdre découpé

Figure 1.7 – Découpage d’un pentaèdre traversé par l’interface

Un fois le simplex défini, il s’agit de trouver toutes les intersections possibles entre lesimplex et l’interface. Dans le cas présent, il est impossible d’avoir des intersections avec deuxpoints mais il y a quatre possibilités d’intersections avec trois points comme sur la figure 1.8a,c1 − c3 − c4, c1 − c2 − c5, c2 − c3 − c6, c4 − c5 − c6, et trois possibilités d’intersections avec quatrepoints comme sur la figure 1.8b, c1 − c3 − c6 − c5, c1 − c2 − c6 − c4, c2 − c3 − c4 − c5.

s1

s2s3

s4

c2

c 1c3

c 4

c5c 6

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

bb

b

(a) Exemple d’intersection à 3 points

s1

s2s3

s4

c2

c 1c3

c 4

c5c 6

b

b

b

bb

b

b

b

b

bb

b

b

bb

b

(b) Exemple d’intersection à 4 points

Figure 1.8 – Les deux intersections possibles entre l’interface et un simplex de dimension 3

Lorsque l’interface Γ coupe un tetraèdre, comme dans le cas 2D, chaque segment est testéavec le test min-max afin de savoir s’il est coupé par l’interface et lorsque le test est positif,les coordonnées de l’intersection sont calculées et stockées. Le calcul de la position des pointsd’intersections est la même que pour le cas 2D, l’extension en trois dimension est simple à réaliser.

• Cas avec trois points : l’interface coupe le simplex en c4 − c5 − c6 comme sur la figure 1.8a.

Le calcul de la surface du triangle c4 − c5 − c6 est calculée grâce à la norme du produitvectoriel de deux des vecteurs qui forment le triangle :

62

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

SΓ =12

∥∥−−→c4c5 ∧ −−→c4c6

∥∥ (1.46)

=12

∥∥−−→c5c4 ∧ −−→c5c6

∥∥ (1.47)

=12

∥∥−−→c6c4 ∧ −−→c6c5

∥∥ (1.48)

Le calcul du volume occupé se fait en deux étapes. Le volume de (c4, c5, c6, s4) est d’abordcalculé grâce à la norme du produit mixte de trois des vecteurs qui forment le tétraèdre.

V =16

∥∥(−−→c4c5 ∧ −−→c4c6

)· −−→c4s4

∥∥ (1.49)

=16

∥∥(−−→c5c4 ∧ −−→c5c6

)· −−→c5s4

∥∥ (1.50)

=16

∥∥(−−→c6c5 ∧ −−→c6c4

)· −−→c6s4

∥∥ (1.51)

=16

∥∥(−−→s4c4 ∧ −−→s4c5

)· −−→s4s6

∥∥ (1.52)

Ensuite, si le point s4 appartient à Ω+, le volume de Ω+ contenu dans le simplex estV + = V , sinon le volume du simplex est calculé et la différence entre V et Vsimplex permetde trouver V + = Vsimplex − V .

• Cas avec quatre points : l’interface coupe le simplex en c2 − c3 − c4 − c5 comme sur lafigure 1.8b. Dans ce cas, le calcul est plus délicat car quatre points dans l’espace ne sontpas forcément coplanaires et le plan formé par les intersections peut alors être courbé.Toutefois, au vu du rapport entre les rayons de courbures et la taille des simplex, la surfaceest considérée comme plane.

Pour calculer la surface du quadrilatère, on le découpe en deux triangles grâce à l’unedes diagonales puis la formule du produit vectoriel est utilisée pour calculer l’aire de cestriangles. Afin de minimiser les effets de la courbure, l’opération est répétée pour la secondediagonale et une moyenne est effectuée entre les deux aires du quadrilatère, soit :

SΓ =12

(S(c5c3c2) + S(c5c3c4)

)+

12

(S(c2c4c3) + S(c2c4c5)

). (1.53)

Le calcul du volume de (s3, s4, c2, c3, c4, c5) est aussi réalisé en deux étapes. Il est découpéen trois tetraèdres élémentaires (s4, c3, c4, c5),(s3, s4, c3, c5),(s3, c2, c3, c5) car il n’existe pasde formule pour calculer directement le volume de cet objet. Le volume de chaque tetraèdreest alors calculé avec le produit mixte :

V = V (s4, c3, c4, c5) + V (s3, s4, c3, c5) + V (s3, c2, c3, c5) . (1.54)

Ensuite, si le point s4 appartient à Ω+, le volume de Ω+ contenu dans le simplex est V+ = V ,sinon le volume du simplex est calculé et la différence entre V et Vsimplex permet de trouverV+ = Vsimplex − V .

2.3 Convergence spatiale des reconstructions

Maintenant, la précision de la routine de reconstruction est mesurée. Pour cela, sur unesuccession de maillages, le périmètre et la surface d’un cercle puis ceux d’une ellipse sont calculés

63

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Section 2

avec une géométrie 2D. Ensuite, avec les géométries axisymétrique et 3D, on calculera la surfaceet le volume d’une sphère et d’un ellipsoïde sur une autre succession de maillages. Dans chaquecas, il faut vérifier que l’augmentation du nombre de points du maillage amène une améliorationde la précision du calcul. Un maillage sera désigné par un numéro n. Pour le calcul du périmètre,de la surface et du volume, la valeur obtenue avec le code vn

c sur le maillage n est comparée aveccelle obtenue théoriquement vth pour obtenir l’erreur du maillage n :

enc =

|vnc − vth|vth

× 100 . (1.55)

Ensuite, l’ordre de convergence r de la méthode de reconstruction est déduit des différenteserreurs. Pour cela, la succession de maillage a été choisie de manière à ce que le maillage n + 1contiennent toujours plus de points que le maillage n. Puis, en comparant le rapport du nombrede cellules m de deux maillages successifs avec celui des erreurs respectives, l’ordre de convergenceest calculé. Il est défini comme la puissance à laquelle il faut élever le rapport du nombre de cellulepour obtenir une égalité avec le rapport des erreurs, soit :

enc

en+1c

=(

mn

mn+1

)r

. (1.56)

On trouve la valeur de r en utilisant la fonction logarithme népérien :

r =ln (en

c ) − ln(en+1

c

)

ln (mn) − ln (mn+1). (1.57)

2.3.1 Périmètre et surface d’un cercle et d’une ellipse avec une géométrie 2D

Le test consiste à calculer le périmètre et la surface d’un cercle pour différents maillages.Le domaine de calcul est une boîte de dimension [−1, 1]2 avec un maillage uniforme. Un cerclede rayon r = 0.5 est placé au centre du domaine en (0, 0). Les résultats de la reconstruction sontcomparés à la valeur théorique du calcul du périmètre et de la surface du cercle, respectivementP c

th et Scth donnés par l’équation 1.58, dans le tableau 1.1.

P cth = 2πr , Sc

th = πr2 (1.58)

Périmetre Surface

Nb. cellules erreur (%) ordre erreur (%) ordre

82 2, 463 6, 659162 0, 571 2, 11 1, 640 2, 02322 0, 151 1, 92 0, 430 1, 93642 0, 036 2, 06 0, 106 2, 021282 0, 009 1, 97 0, 026 2, 012562 0, 003 1, 88 0, 007 1, 94

Tableau 1.1 – Calcul du périmètre et de la surface d’un cercle

Dans le tableau 1.2, l’opération est répétée avec une ellipse de centre (0.11,−0.23) et dedemi-axes a = 0.48 et b = 0.35 qui permet vérifier la robustesse de la reconstruction avec un objet

64

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

Périmetre Surface

Nb. cellules erreur (%) ordre erreur (%) ordre

82 3, 798 11, 908162 0, 824 2, 20 2, 360 2, 33322 0, 222 1, 89 0, 610 1, 95642 0, 055 2, 02 0, 147 2, 051282 0, 013 2, 03 0, 038 1, 962562 0, 004 1, 88 0, 010 1, 94

Tableau 1.2 – Calcul du périmètre et de la surface d’une ellipse

moins simple. Dans le cas de l’ellipse, le périmètre P eth est approximé par la formule de Srinivasa

Ramanujan donnée par Barnard et al. (2001), et la surface Seth est connue théoriquement, soit :

P eth ≈ π

(3(a+ b) −

√(3a+ b)(a+ 3b)

), Se

th = πab (1.59)

Le tableau 1.1 et le tableau 1.2 montrent que, dans les deux configurations, nous avonsune convergence quadratique sur les 2 valeurs. La méthode de reconstruction de l’interface dansle cas d’une géométrie 2D est donc validée.

2.3.2 Surface et volume d’une sphère et d’un ellipsoïde avec une géométrie axisy-métrique

L’étape suivante de la validation consiste à regarder la précision du calcul de la surface etdu volume pour une sphère et un ellipsoïde avec une géométrie axisymétrique. La boîte est dedimension [0, 1] × [−1, 1] avec un maillage uniforme et un cercle de rayon r = 0.5 est placé en(0, 0). La surface Ss

th et le volume V sth de la sphère sont donnés par :

Ssth = 4πr2 , V s

th =43πr2 (1.60)

Surface Volume

Nb. cellules erreur (%) ordre erreur (%) ordre

82 4, 076 6, 849162 1, 263 1, 69 1, 582 2, 11322 0, 323 1, 97 0, 460 1, 78642 0, 077 2, 07 0, 102 2, 171282 0, 019 2, 03 0, 026 1, 982562 0, 005 2, 01 0, 007 1, 97

Tableau 1.3 – Calcul de la surface et du volume d’une sphère pour une géométrie axisymétrique

L’ellipsoïde est positionné en (0, 0.11) et ses demi-axes mesurent a = 0.48, b = 0.35 etc = 0.48. Les axes a et c sont identiques à cause de la géométrie axisymétrique. Sa surface SE

th est

65

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Section 2

approximée par Klamkin (1971) avec p = 1.6 et son volume V Eth est connu de manière théorique.

Les formules respectives sont :

SEth ≈ 4π

(apap + bpcp + cpap

3

) 1p

, V Eth =

43πabc (1.61)

Surface Volume

Nb. cellules erreur (%) ordre erreur (%) ordre

82 8, 356 13, 286162 1, 410 2, 57 2, 522 2, 40322 0, 476 1, 57 0, 746 1, 76642 0, 113 2, 07 0, 169 2, 141282 0, 027 2, 05 0, 041 2, 042562 0, 008 1, 72 0, 011 1, 91

Tableau 1.4 – Calcul de la surface et du volume d’un ellipsoïde pour une géométrieaxisymétrique

Les résultats de la reconstruction sont comparés à la valeur théorique du calcul de lasurface et du volume dans le cas d’une sphère avec le tableau 1.3 et d’un ellipsoïde avec letableau 1.4. Pour ces deux formes, on observe une convergence d’ordre 2 de l’erreur ce qui validela reconstruction d’interface avec une géométrie axisymétrique.

2.3.3 Surface et du volume d’une sphère et d’un ellipsoïde avec une géométrie 3D

La dernière étape pour valider la reconstruction d’interface est de regarder la précision ducalcul de la surface et du volume d’une sphère et d’un ellipsoïde lorsqu’on utilise une géométrie3D. Le domaine de calcul est une boîte de dimension [−1, 1]3 avec un maillage uniforme. Lasphère de centre (0, 0, 0) a un rayon r = 0.5 et les valeurs théoriques de sa surface et de sonvolume sont données par l’équation 1.60.

Surface Volume

Nb. cellules erreur (%) ordre erreur (%) ordre

83 8, 567 16, 757163 2, 081 2, 04 3, 048 2, 46323 0, 518 2, 01 0, 793 1, 94643 0, 129 2, 00 0, 218 1, 861283 0, 033 1, 99 0, 059 1, 892563 0, 008 1, 97 0, 011 2, 37

Tableau 1.5 – Calcul de la surface et du volume d’une sphère pour une géométrie 3D

Le centre de l’ellipsoïde se trouve en (0.11,−0.23,−0.15) et les demi-axes mesurent a =0.48, b = 0.35 et c = 0.42. Les valeurs théoriques de sa surface et son volume sont données parl’équation 1.61.

66

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

Surface Volume

Nb. cellules erreur (%) ordre erreur (%) ordre

83 12, 122 20, 463163 2, 893 2, 07 4, 489 2, 19323 0, 723 2, 00 1, 313 1, 77643 0, 182 1, 99 0, 282 2, 221283 0, 047 1, 95 0, 068 2, 042563 0, 013 1, 81 0, 021 1, 72

Tableau 1.6 – Calcul de la surface et du volume d’un ellipsoïde pour une géométrie 3D

Le tableau 1.5 et le tableau 1.6 montrent que, pour les deux configurations, nous avons uneconvergence quadratique sur la surface et le volume. La méthode de reconstruction de l’interfacedans le cas d’une géométrie 3D est validée.

2.4 Le calcul des surfaces d’échanges avec la routine Frontières

Pour résoudre un champ physique à l’aide de la méthode des volumes finis, l’aire dessurfaces d’échanges entre les volumes de contrôle doit être connue. Dans notre configurationdiphasique, l’interface est indépendante du maillage et si l’on veut résoudre le champ sur Ω+

uniquement, il y a des mailles coupées par l’interface. Quand une cellule n’est pas coupée parl’interface, ces surfaces sont simplement les faces de la cellule. Par contre, quand l’interface coupela cellule, celles-ci sont des parties des faces de la cellule. L’aire de ces surfaces est alors pluscompliquée à calculer et change suivant les cellules concernées. L’objectif de cette routine “Fron-tières” est de calculer l’aire des surfaces d’échanges entre les mailles pour estimer correctementles flux entre les cellules.

b b

bb

b

bb

5

b b

b

bb

b 3

21

4

b b

3

b

b

2

bb

1

b

b

4

(a) Surface d’échange pour une cellule 2D (b) Surface d’échange pour une cellule 3D

Figure 1.9 – Surface d’échange pour une cellule traversée par l’interface

L’idée est de profiter du calcul de Cijk ∩ Ω+ et de ∂Cijk ∩ Ω+ pour calculer les surfaces

67

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Section 3

d’échanges. Connaissant les points d’intersection entre la cellule et l’interface, on peut en déduirel’aire des surfaces d’échanges.

Pour les géométries 2D et axisymétrique, on calcule la distance entre les points d’intersec-tion et les sommets de la cellule. Sur la figure 1.9a, ces segments sont représentés en bleu. Lesvaleurs sont stockées puis réutilisées lors de la construction de la matrice associée à la résolutiond’un système linéaire.

Sur les géométries 3D comme la figure 1.9b, les surfaces d’échanges ont des formes géomé-triques diverses. Ici, il faut voir que c’est l’aire de l’intersection entre une face de la cellule et levolume de Ω+ qui est recherchée. Le travail est identique à celui que réalise la routine permettantde calculer l’intersection entre Cij et Ω+ pour une géométrie 2D. En effet, dans les deux cas, ily a une aire à calculer dans une cellule carrée. Il est donc pertinent et économique d’utiliser laroutine calculant Cij ∩ Ω+. De la même façon que pour les géométries 2D et axisymétriques, cesvaleurs sont stockées pour être utilisées lors de la construction des systèmes linéaires.

3 Les conditions limites immergées

La simulation de l’évaporation nécessite l’imposition de certaines conditions sur l’interfacelors de la résolution d’une fonction. Parmi ces conditions, il y a :

• la condition de Dirichlet imposant la valeur de la solution ;

• la condition de Neumann imposant la valeur de la dérivée de la solution ;

• la condition de Robin imposant une relation linéaire entre la valeur de la solution et de sadérivée.

Or, un maillage cartésien est utilisé dans DIVA et il ne prend pas en compte la formede l’interface. Il faut donc des méthodes permettant d’imposer des conditions de Dirichlet, deNeumann ou de Robin sur une frontière arbitraire.

Les articles publiés par Liu et al. (2000), Gibou et al. (2002), Ng et al. (2009) et Papacet al. (2010), mettent en place les outils mathématiques recherchés et, dans les parties suivantes,ils seront décrits. L’implémentation des méthodes employées est vérifiée en regardant qu’ellespermettent d’obtenir une solution précise à l’ordre 2. Pour cela, un problème de Poisson estrésolu avec une symétrie cylindrique ou sphérique. Ensuite, les résultats sont comparés à lasolution théorique de ce problème. Pour trouver la solution théorique, il y a deux possibilités :soit on part de l’équation de Poisson et on la résout pour trouver la solution théorique, soit ondésigne une fonction quelconque comme la solution théorique et on trouve l’équation de Poissondont elle est solution.

Dans le premier cas, on cherche la fonction f qui vérifie ∆f = 0.

Pour vérifier que l’implémentation sur une géométrie 2D est correcte, le problème de Pois-son exprimé en coordonnées cylindriques est résolu sur R2 :

∆f = 0 → 1r

∂r

(r∂f

∂r

)+

1r2

∂2f

∂φ2+∂2f

∂z2= 0 . (1.62)

En appliquant l’hypothèse de symétrie cylindrique, l’équation à résoudre devient :

1r

∂r

(r∂f(r)∂r

)= 0 . (1.63)

68

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

En intégrant deux fois, on obtient f(r) = K1ln(r) +K2 . Deux conditions aux limites sontnécessaire pour déterminer la fonction. Pour la première, on dispose de la condition au niveau del’interface et pour la seconde, on choisit arbitrairement f(1) = f1. Ceci permet d’écrire :

f(r) = K1ln(r) + f1 . (1.64)

On trouve ainsi les fonctions théoriques suivantes : fD pour une condition de Dirichlet àl’interface définie par fD(rΓ) = aΓ, fN pour une condition de Neumann à l’interface définie par∇fN (rΓ) = bΓ et fR pour une condition de Robin à l’interface définie par αfR(rΓ)+∇fR(rΓ) = cΓ,soient :

fD(r) =aΓ − f1

ln(rΓ)ln(r) + f1 , (1.65)

fN(r) = bΓrΓln(r) + f1 , (1.66)

fR(r) =(cΓ − α)rΓ

1 + f1αrΓln(rΓ)ln(r) + f1 . (1.67)

Pour vérifier que l’implémentation sur les géométries axisymétrique et 3D sont correctes,on résout sur R3 le problème de Poisson suivant en coordonnées sphériques :

∆g = 0 → 1r2

∂r

(r2 ∂g

∂r

)+

1r2 sin θ

∂θ

(r2 sin θ

∂g

∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2g

∂φ2= 0 . (1.68)

En appliquant l’hypothèse de symétrie sphérique, l’équation à résoudre devient :

1r2

∂r

(r2 ∂g(r)

∂r

)= 0 . (1.69)

En intégrant deux fois, on obtient g(r) = −K1/r +K2 . Il faut donc deux conditions auxlimites pour déterminer la fonction. Pour la première, on dispose de la condition au niveau del’interface et pour la seconde, on choisit arbitrairement g(∞) = 0. Ceci permet d’écrire :

g(r) = −K1

r. (1.70)

On trouve ainsi les fonctions théoriques suivantes : gD pour une condition de Dirichlet àl’interface définie par gD(rΓ) = aΓ, gN pour une condition de Neumann à l’interface définie par∇gN (rΓ) = bΓ et gR pour une condition de Robin à l’interface définie par αgR(rΓ)+∇gR(rΓ) = cΓ,soient :

gD(r) =aΓrΓ

r, (1.71)

gN (r) = −bΓr2Γ

r, (1.72)

gR(r) = − cΓrΓ

α− 1rΓ

r. (1.73)

Dans le deuxième cas, le problème est construit dans l’autre sens. Une fonction théoriqueest choisie et l’équation de Poisson à résoudre est déduite de cette fonction. Sa forme est de∆f = s avec s un terme source.

69

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Section 3

L’hypothèse de symétrie cylindrique est appliquée pour la géométrie 2D et l’hypothèsede symétrie sphérique est appliquée sur celles axisymétrique et 3D. Dans cette optique, quatrefonctions ont été choisies :

• la fonction exponentielle :he(x, y) = e(xy) + f1 , (1.74)

he(x, y, z) = e(xyz) + f1 ; (1.75)

• la fonction sinus :hs(x, y) = sin(πx) sin(πy) + f1 , (1.76)

hs(x, y, z) = sin(πx) sin(πy) sin(πz) + f1 ; (1.77)

• la fonction sinus carré :

hs2(x, y) = sin(πx)2 sin(πy)2 + f1 , (1.78)

hs2(x, y, z) = sin(πx)2 sin(πy)2 sin(πz)2 + f1 ; (1.79)

• la fonction circulaire :

hc(x, y) =16

(1 − (x− a)2 − (y − b)2

), (1.80)

hc(x, y, z) =14

(1 − (x− a)2 − (y − b)2 − (z − c)2

). (1.81)

Ensuite, pour trouver le problème de Poisson à résoudre, il faut chercher le terme source sà imposer tel que ∆f = s. En conséquences, le laplacien de f , permettant de trouver directements, est calculé pour chaque fonction :

• la fonction exponentielle :se(x, y) =

(x2 + y2

)e(xy) , (1.82)

se(x, y, z) =(

(xy)2 + (yz)2 + (zx)2)e(xyz) ; (1.83)

• la fonction sinus :ss(x, y) = −2π2 sin(πx) sin(πy) , (1.84)

ss(x, y, z) = −3π2 sin(πx) sin(πy) sin(πz) ; (1.85)

• la fonction sinus carré :

ss2(x, y) = 2π2(cos(2πx) sin2(πy) + sin2(πx) cos(2πy)

), (1.86)

ss2(x, y, z) = 2π2(cos(2πx) sin2(πy) sin2(πz)+

sin2(πx) cos(2πy) sin2(πz) + sin2(πx) sin2(πy) cos(2πz) ; (1.87)

70

Page 71: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

• la fonction circulaire :

sc(x, y) = −1 , (1.88)

sc(x, y, z) = −1 . (1.89)

Les paragraphes suivants fournissent le détail de l’implémentation des conditions de Di-richlet, Neumann et de Robin. Pour chaque cas, les algorithmes sont testés avec les fonctionsvues précédemment sur différents maillages avec les géométries 2D, axisymétrique et 3D. Pour lagéométrie axisymétrique, seules les fonctions sphériques gD, gN et gR sont utilisées.

Les domaines respectifs des géométries 2D et 3D sont de taille [−1, 1]2 et [−1, 1]3 et maillésde manière uniforme avec 8, 16, 32, 64, 128 ou 256 mailles par côté. L’interface entre les domainesΩ− et Ω+ est un cercle de centre (0, 0) sur la géométrie 2D, ou une sphère de centre (0, 0, 0) surla géométrie 3D. Pour la géométrie axisymétrique, le domaine est défini par [0, 1] × [−1, 1] pourlequel un demi-cercle de centre (0, 0) représente l’interface. Dans les trois cas, le rayon est de 0.5et Ω+ est entouré par l’interface.

La résolution des problèmes de Poisson est réalisée à l’extérieur du cercle, c’est-à-diredans Ω−, en imposant sur la frontière extérieure du domaine la solution théorique à l’aide d’unecondition de Dirichlet. Sur l’interface, des conditions de Dirichlet, Neumann ou de Robin sontimposées. Enfin, pour connaître la précision des résultats, les écarts moyen et maximal entre lasolution calculée et la solution théorique sont analysés.

3.1 Implémentation d’une condition de Dirichlet immergée

Ω− Ω+

bb bb bb bb bbi− 2 i− 1 i i + 1 i + 2

dx

|φi−1| |φi|

Γ

Figure 1.10 – Condition de Dirichlet immergée en 1D

La méthode de Gibou et al. (2002) permet d’imposer une condition de Dirichlet sur unefrontière arbitraire. Elle consiste à modifier le calcul du gradient pour les mailles coupées parl’interface. Cette méthode est illustrée avec une géométrie 1D et, pour les géométries 2D et 3Dle raisonnement sera identique.

Dans un domaine, on suppose que l’interface Γ se situe entre les points i − 1 et i et queΩ+ se trouve à droite de l’interface. Soient, f la fonction recherchée et B un terme source, leproblème de Poisson à résoudre sur Ω+ est ∇ · (∇f) = B.

Tout d’abord, l’équation est intégrée sur le volume VCid’une cellule Ci :

Ci

∇ · (∇f) dV =∫

Ci

BdV . (1.90)

En appliquant le théorème de Green-Ostrogradsky et en supposant que, dans le volume de

71

Page 72: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

Section 3

la cellule, les variables sont constantes, on obtient :

∂Ci

∇f · N∂CidS = BiVCi

, (1.91)

(∇fS)i+ 12

− (∇fS)i− 12

= BiVCi. (1.92)

Avec une condition de Dirichlet normale, l’équation au niveau de la cellule i s’écrit enremplaçant les termes de f situés dans la phase liquide par aΓ. Soit avec un schéma centréd’ordre 1 :

fi+1 − fi

xi+1 − xiSi+ 1

2− fi − aΓ

xi − xi−1Si− 1

2= BiVCi

. (1.93)

fi+1

(Si+ 1

2

xi+1 − xi

)+ fi

(−

Si+ 12

xi+1 − xi−

Si− 12

xi − xi−1

)= BiVCi

− aΓ

Si− 12

xi − xi−1. (1.94)

Le problème de cette discrétisation est qu’elle est identique pour toutes les configurationsoù l’interface se situe entre i − 1 et i. Il y a donc une perte sur la précision du calcul. Lasolution consiste à remplacer la dérivée entre i − 1 et i par une dérivée entre l’interface Γ et lacellule i. L’équation discrétisée devient alors l’équation 1.95 et peut se mettre sous la forme del’équation 1.96 :

fi+1 − fi

xi+1 − xiSi+ 1

2− fi − aΓ

φiSi− 1

2= BiVCi

, (1.95)

fi+1

(Si+ 1

2

xi+1 − xi

)+ fi

(−

Si+ 12

xi+1 − xi−Si− 1

2

φi

)= BiVCi

− aΓ

Si− 12

φi. (1.96)

La position de l’interface entre les cellules i−1 et i est maintenant prise en compte lorsqu’onimpose une condition de Dirichlet. Cette méthode est précise à l’ordre 2 en espace.

Lors de la construction de la matrice du système linéaire à résoudre, pour chaque mailleappartenant à Ω+, l’équation 1.94 est utilisée pour calculer les coefficients des mailles qui nesont pas traversées par l’interface et, pour celles qui le sont, l’équation 1.96 est utilisée. Enfin, leproblème étant résolu seulement sur Ω+, tous les coefficients des cellules appartenant à Ω− sontnuls excepté le coefficient central qui est fixé à 1. Cela permet de laisser les cellules appartenantà Ω− inchangées.

Dans la suite, il est important de remarquer qu’une condition de Dirichlet immergée im-plique de résoudre le problème dans chaque cellule dont la fonction Level-Set au centre de lacellule est positive. Ce ne sera pas la cas avec les conditions immergées de Neumann et de Robin.

Avant de passer à la description des résultats, une remarque d’ordre pratique est nécessaire.Dans le cas 1D exposé précédemment, la distance entre les deux cellules est remplacée par φi. Parla définition de la fonction Level-Set, c’est la distance entre le centre de la cellule et l’interface.Toutefois sur les configurations de dimensions supérieures, ce remplacement n’est plus valide. Eneffet, comme la fonction Level-Set représente la distance minimale d’un point à l’interface, cettedistance est toujours calculée selon une direction normale à l’interface. C’est seulement dans lescas 1D que cette normale est colinéaire avec la droite passant par le centre des cellules. Grâce àla figure 1.11, le calcul de cette distance est détaillé pour un cas 2D entre deux cellules voisinesle long de l’axe x. Le raisonnement sera identique pour un cas 3D.

72

Page 73: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

Ω− Ω+

bb bb bb bb bbi− 2, j i− 1, j

i, ji + 1, j i + 2, j

Γdx

di−1

di|φi−1|

|φi|

Figure 1.11 – Condition de Dirichlet immergée en 2D

Si l’on reprend l’équation 1.93 en appliquant la technique de la frontière immergée, xi−xi−1

est remplacée par di qui est inconnue. Or, les coordonnées du maillage et de la valeur de lafonction Level-Set au centre des cellules sont connues. Il faut donc d’exprimer di en fonction deces variables. Pour cela, une configuration de triangles homothétiques formée par quatre segmentspermet de calculer di : la normale à l’interface s’arrêtant en (i, j), la normale à l’interface s’arrêtanten (i − 1, j), la distance de (i − 1, j) à (i, j) et la distance entre les points d’origines des deuxnormales. Pour que cette configuration soit valable, il est admis que l’interface est rectiligneentre les origines des normales. C’est généralement le cas puisque les mailles doivent être petitesdevant la courbure de l’interface si l’on veut avoir un calcul bien résolu. Dans cette configuration,le théorème de Thalès donne :

di

di−1=

|φi||φi−1| . (1.97)

Or, dx = xi − xi−1 = di + di−1 et en utilisant l’équation 1.97 pour remplacer di−1, di

s’exprime avec :

di = θ(xi − xi−1) , θ =|φi−1|

|φi−1| + |φi|. (1.98)

Finalement, avec une frontière immergée, l’équation 1.93 s’écrira comme :

fi+1 − fi

xi+1 − xiSi+ 1

2− fi − aΓ

θ(xi − xi−1)Si− 1

2= BiVCi

, (1.99)

fi+1

(Si+ 1

2

xi+1 − xi

)+ fi

(−

Si+ 12

xi+1 − xi−

Si− 12

θ(xi − xi−1)

)= BiVCi

− aΓ

Si− 12

θ(xi − xi−1). (1.100)

Par rapport au cas sans frontières immergées, le seul changement à effectuer est de multi-plier la distance entre le centre des deux cellules par un coefficient prenant en compte la positionde l’interface. Ainsi, la méthode préserve la symétrie de la matrice.

La méthode a été implémentée sur les géométries 2D, axisymétrique et 3D. Elle est testéeavec les fonctions théoriques fD,gD, he, hs, hs2 et hc. L’erreur moyenne et l’erreur maximale dela solution calculée sont relevées sur les différentes géométries et pour toutes les fonctions. Lesrésultats sont présentés sur la figure 1.12a et la figure 1.12b pour la géométrie 2D, la figure 1.12cet la figure 1.12d pour la géométrie axisymétrique, et enfin, la figure 1.12e et la figure 1.12f pourla géométrie 3D.

De manière générale, les trois géométries convergent à l’ordre 2 validant ainsi l’implé-mentation de la méthode. On peut ajouter que la fonction circulaire amène toujours une erreurnettement inférieure aux autres en terme de valeur absolue. À mon sens, la source de cette pré-cision est qu’elle est la seule à posséder un second membre constant. De plus, étant une fonctioncirculaire, ses iso-contours épousent facilement l’interface immergée qui est un cercle.

73

Page 74: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

Section 3

100 101 102 103

Mesh

10−5

10−3

10−1

101

Emax

Polar

Exponential

Sine

Cardinal sine

Circular

Slope r = −2

(a) Erreur maximale sur une géométrie 2D

100 101 102 103

Mesh

10−5

10−3

10−1

101

Emoy

Polar

Exponential

Sine

Cardinal sine

Circular

Slope r = −2

(b) Erreur moyenne sur une géométrie 2D

100 101 102 103

Mesh

10−5

10−3

10−1

101

Emax

Spherical

Slope r = −2

(c) Erreur maximale sur une géométrie axisymétrique

100 101 102 103

Mesh

10−5

10−3

10−1

101

Emoy

Spherical

Slope r = −2

(d) Erreur moyenne sur une géométrie 2axisymétrique

100 101 102 103

Mesh

10−5

10−3

10−1

101

Emax

Spherical

Exponential

Sine

Cardinal sine

Circular

Slope r = −2

(e) Erreur maximale sur une géométrie 3D

100 101 102 103

Mesh

10−8

10−5

10−2

101

Emoy

Spherical

Exponential

Sine

Cardinal sine

Circular

Slope r = −2

(f) Erreur moyenne sur une géométrie 3D

Figure 1.12 – Valeur et ordre de convergence pour l’erreur maximale et moyenne avec unecondition de Dirichlet immergée

74

Page 75: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

3.2 Implémentation d’une condition de Neumann immergée

Ω− Ω+

bb

bb bb

bb

i, ji− 1, j

i, j − 1i− 1, j − 1

Γ

i− 32 i− 1

2 i + 12

j − 32

j − 12

j + 12

Figure 1.13 – Condition de Neumann immergée 2D

La méthode de Ng et al. (2009) permet d’imposer une condition de Neumann sur unefrontière arbitraire. Comme une formulation de type volumes finis est utilisée, l’interface estconsidérée comme une surface supplémentaire de la cellule sur laquelle il y a une condition deNeumann. Cette méthode est illustrée avec une géométrie 2D et le raisonnement sera identiqueavec une géométrie 3D. Dans la configuration représentée sur la Figure 1.13, soient f la fonctionrecherchée et B un terme source. Le système à résoudre dans Ω+ est ∇ · (∇f) = B avec unecondition de Neumann ∇f |Γ · NΓ = bΓ imposée au niveau de l’interface.

Tout d’abord, l’équation est intégrée sur le volume V d’une cellule Ci :∫

Ci

∇ · (∇f) dV =∫

Ci

BdV . (1.101)

En appliquant le théorème de Green-Ostrogradsky et en supposant que sur le volume dela cellule les variables sont constantes, on obtient :

∂Ci

∇f · N∂CidS = BVCi

. (1.102)

Si l’interface ne traverse pas la cellule, comme pour Ci,j−1, l’équation 1.102 devient l’équa-tion 1.103 car on peut décomposer la frontière de la cellule en ∂Ci,j−1 = Si− 1

2,j−1 + Si,j− 3

2+

Si+ 12

,j−1 + Si,j− 12

où chaque S correspond à une face de la cellule :

(∇fS)i+ 12

,j−1 − (∇fS)i− 12

,j−1 + (∇fS)i,j− 12

− (∇fS)i,j− 32

= Bi,j−1VCi,j−1. (1.103)

Par contre, quand la cellule est traversée par l’interface, comme pour Ci,j , la frontièrese décompose alors en ∂Ci,j = Si− 1

2,j + Si,j− 1

2+ Si+ 1

2,j + Si,j+ 1

2+ SΓ. Chaque S correspond

à l’intersection entre une face de la cellule et Ω+ et SΓ est la surface de l’intersection entre lacellule et l’interface. La méthode revient donc à ajouter un terme à la somme des flux échangés.Il correspond au flux imposé par la condition de Neumann passant par la surface de l’interfaceprésente dans la cellule. Pour Ci,j , on obtient :

(∇fS)i+ 12

,j − (∇fS)i− 12

,j + (∇fS)i,j+ 12

− (∇fS)i,j− 12

+ bΓSΓnΓ = Bi,jVCi,j. (1.104)

75

Page 76: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

Section 3

100 101 102 103

Mesh

10−5

10−3

10−1

101

Emax

Polar

Exponential

Sine

Cardinal sine

Circular

Slope r = −2

(a) Erreur maximale sur une géométrie 2D

100 101 102 103

Mesh

10−5

10−3

10−1

101

Emoy

Polar

Exponential

Sine

Cardinal sine

Circular

Slope r = −2

(b) Erreur moyenne sur une géométrie 2D

100 101 102 103

Mesh

10−5

10−3

10−1

101

Emax

Spherical

Slope r = −2

(c) Erreur maximale sur une géométrie2D-axisymétrique

100 101 102 103

Mesh

10−5

10−3

10−1

101

Emoy

Spherical

Slope r = −2

(d) Erreur moyenne sur une géométrie2D-axisymétrique

100 101 102 103

Mesh

10−5

10−3

10−1

101

Emax

Spherical

Exponential

Sine

Cardinal sine

Circular

Slope r = −2

(e) Erreur maximale sur une géométrie 3D

100 101 102 103

Mesh

10−5

10−3

10−1

101

Emoy

Spherical

Exponential

Sine

Cardinal sine

Circular

Slope r = −2

(f) Erreur moyenne sur une géométrie 3D

Figure 1.14 – Valeur et ordre de convergence pour l’erreur maximale et moyenne avec unecondition de Neumann immergée

76

Page 77: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

En construisant la matrice du système linéaire à résoudre, les coefficients de chaque mailleappartenant à Ω+ sont calculés avec l’équation 1.103. Par contre, pour toutes celles qui sonttraversées par l’interface, ils sont obtenus avec l’équation 1.104 sans se soucier de savoir si lacellule appartient à Ω− ou à Ω+. Le terme bΓSΓnΓ devient un terme source à ajouter au secondmembre. Enfin, pour toutes les cellules appartenant à Ω− qui ne sont pas traversées par l’interface,les coefficients seront égaux à 0 excepté le coefficient central fixé à 1. Cette méthode permet d’avoirune convergence spatiale d’ordre 2 lorsqu’on impose une condition de Neumann.

Il y a un point essentiel à noter entre une condition de Dirichlet immergée et une conditionde Neumann immergée : les cellules sur lesquelles la solution est obtenue sont différentes. Avec lacondition de Neumann, ce sont les cellules qui possèdent une intersection non nulle avec Ω+ quisont résolues alors que pour la condition de Dirichlet, ce sont les cellules dont la fonction Level-Setest positive au centre de leur volume. Par exemple, sur la figure 1.13, les quatre cellules serontcalculées si l’on impose une condition de Neumann immergée. Par contre, avec une condition deDirichlet immergée, ce sera seulement les cellules (i− 1, j− 1),(i, j− 1) et (i, j) puisque φ[i, j] estnégatif.

La méthode a été implémentée sur des géométries 2D, axisymétrique et 3D. Les fonctionsthéoriques fN ,gN , he, hs, hs2 et hc servent à tester l’implémentation. Ensuite, les erreurs moyenneet maximale obtenues dans le domaine sont relevées sur les différentes géométries et pour toutesles fonctions. Les résultats sont présentés sur la figure 1.14a et la figure 1.14b pour la géométrie2D, la figure 1.14c et la figure 1.14d pour la géométrie axisymétrique, et enfin la figure 1.14e etla figure 1.14f pour les géométries 3D.

De manière générale, on observe sur les trois géométries une convergence à l’ordre 2 per-mettant de valider notre implémentation. Toutefois, l’erreur de la fonction circulaire n’est plusnettement inférieure aux autres comme pour la condition de Dirichlet immergée, c’est même cellequi converge de la manière la plus chaotique.

3.3 Implémentation d’une condition de Robin immergée

La méthode de Papac et al. (2010) permet d’imposer une condition de Robin immergée cΓ.Elle repose sur une réécriture de la condition de Robin en condition de Neumann. On transformealors ∇f+αf = cΓ en ∇f = cΓ−αf , ce qui revient à une condition de Neumann avec bΓ = cΓ−αf .En reprenant l’exemple utilisé pour la condition de Neumann, l’équation 1.104 devient :

(∇fS)i+ 12

,j −(∇fS)i− 12

,j +(∇fS)i,j+ 12

−(∇fS)i,j− 12

+cΓSΓnΓ−fi,jαSΓnΓ = Bi,jVCi,j. (1.105)

Finalement, la matrice du système linéaire est construite comme celle de la condition deNeumann immergée. Par contre, le terme αSΓnΓ est ajouté au coefficient central de la matriceet le terme cΓSΓnΓ au second membre.

Cette méthode permet d’avoir une convergence spatiale d’ordre 2 lorsqu’on impose unecondition de Robin. La méthode a été implémentée sur des géométries 2D, axisymétrique et 3D.Les fonctions théoriques fR ,gR, he, hs, hs2 et hc sont utilisées pour la tester avec différentes va-leurs de α. L’erreur moyenne et de l’erreur maximale obtenues par rapport à la solution théoriquesont relevées sur les différentes géométries et pour toutes les fonctions. Les résultats sont présen-tés sur la figure 1.15a et la figure 1.15b pour la géométrie 2D, la figure 1.15c et la figure 1.15dpour la géométrie axisymétrique, et enfin, la figure 1.15e et la figure 1.15f pour la géométrie 3D.

On observe sur les trois géométries une convergence à l’ordre 2 de la méthode lorsqueα = 0.01. Par contre, pour certains cas, l’ordre de convergence se dégrade mais la méthode restetoujours convergente.

77

Page 78: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

Section 3

100 101 102 103

Mesh

10−5

10−3

10−1

101

Emax

Robin avec α = 1

Polar

Exponential

Sine

Cardinal sine

Circular

Robin avec α = 0.01

Polar

Exponential

Sine

Cardinal sine

Circular

Slope r = −2Slope r = −2

(a) Erreur maximale sur une géométrie 2D

100 101 102 103

Mesh

10−5

10−3

10−1

101

Emoy

Robin avec α = 1

Polar

Exponential

Sine

Cardinal sine

Circular

Robin avec α = 0.01

Polar

Exponential

Sine

Cardinal sine

Circular

Slope r = −2Slope r = −2

(b) Erreur moyenne sur une géométrie 2D

100 101 102 103

Mesh

10−5

10−3

10−1

101

Emax

Robin avec α = 1

Spherical

Robin avec α = 0.01

Spherical

Slope r = −2Slope r = −2

(c) Erreur maximale sur une géométrie2D-axisymétrique

100 101 102 103

Mesh

10−5

10−3

10−1

101

Emoy

Robin avec α = 1

Spherical

Robin avec α = 0.01

Spherical

Slope r = −2Slope r = −2

(d) Erreur moyenne sur une géométrie2D-axisymétrique

100 101 102 103

Mesh

10−5

10−3

10−1

101

Emax

Robin avec α = 1

Spherical

Exponential

Sine

Cardinal sine

Circular

Robin avec α = 0.01

Spherical

Exponential

Sine

Cardinal sine

Circular

Slope r = −2Slope r = −2

(e) Erreur maximale sur une géométrie 3D

100 101 102 103

Mesh

10−8

10−5

10−2

101

Emoy

Robin avec α = 1

Spherical

Exponential

Sine

Cardinal sine

Circular

Robin avec α = 0.01

Spherical

Exponential

Sine

Cardinal sine

Circular

Slope r = −2Slope r = −2

(f) Erreur moyenne sur une géométrie 3D

Figure 1.15 – Valeur et ordre de convergence pour l’erreur maximale et moyenne avec unecondition de Robin immergée

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

4 Les techniques d’extrapolation d’un champ scalaire

Dans les algorithmes présentés précédemment, le débit massique est un terme central per-mettant de caractériser l’écoulement de changement de phase et de faire le lien entre l’hydrody-namique, la thermique et la fraction massique. La précision de son calcul est donc déterminantepour avoir de bons résultats. Ce calcul repose sur des dérivées de température ou de fractionmassique situées à l’interface. Le meilleur moyen de les évaluer est de prendre un point de chaquecôté de l’interface. Mais, les champs utilisés sont discontinus au passage de l’interface. Pour re-médier à ce problème, un champ continu à travers l’interface est construit sur le domaine entieren extrapolant le champ initial à l’extérieur de son domaine de continuité. Plusieurs techniquesdéveloppée par Aslam (2003) sont régulièrement utilisées, conjointement à la méthode GhostFluid, pour générer des champs extrapolés continus. Dans la suite, les principes des techniquessont exposés pour en comprendre l’intérêt et les améliorations qu’elles apportent sur les résultats.

Soit un champ scalaire As défini seulement sur la partie Ω− du domaine Ω. Un champscalaire extrapolé Ae

s, défini et continu sur le domaine Ω, va être construit avec les différentestechniques d’Aslam (2003).

4.1 L’extrapolation d’un champ scalaire sans terme source

La première technique est l’extrapolation constante : elle permet d’étendre la valeur quepossède As sur le bord de Ω− à l’ensemble du domaine. Soit le domaine monodimensionnel Ωconstitué de 11 cellules espacée de ∆x = 1 et repérées par i ∈ [−5, 5]. Les cellules −5 à 1, surlesquelles est défini As(x) = x3, composent Ω−. La valeur de As sur le bord du domaine Ω−

est donc As(1) = 1. Pour étendre cette valeur aux cellules de Ω+, il faut écrire que Aes(i∆x) =

As(i∆x) ∀i ∈ [−5, 1] et Aes(i∆x) = As(1) ∀i ∈ [2, 5]. Dans ce cas, il n’y a qu’une valeur à

étendre As(1), et il y a une seule direction possible pour l’étendre, de Ω− vers Ω+. C’est ladirection de la normale sortante de l’interface. La figure 1.16 permet de visualiser une extensionmonodimensionnelle de cette fonction cubique.

Γ

Ω−

Ω+

y = x3

As(x) = x3

Aes(x)

Figure 1.16 – Exemple monodimensionnel de l’extension terme source appliquée à la fonctioncube

Maintenant, dans un espace à plusieurs dimensions, As n’est plus uniforme sur le bord deΩ− et la normale sortante de Ω− vers Ω+ n’est plus unique. Il faut alors adapter la méthodeutilisée pour imposer As constant le long des normales. Un temps fictif τ est introduit ainsiqu’une fonction de Heaviside H valant 0 dans Ω− et 1 dans Ω+. Puis, l’équation de propagationproposée par Aslam (2003) est résolue jusqu’à un état stationnaire vis-à-vis du temps fictif :

79

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Section 4

∂Aes

∂τ= −H(x) (NI · ∇Ae

s) . (1.106)

Valeurs de i et de la fonction cubique

i −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

(i∆x)3 −125 −64 −27 −8 −1 0 1 8 27 64 125

Champ As à extrapoler et valeur de la fonction Heaviside

As(i∆x) −125 −64 −27 −8 −1 0 1 0 0 0 0

H(i∆x) 0 0 0 −0 0 0 0 1 1 1 1

Instant initial

Aes(i∆x) −125 −64 −27 −8 −1 0 1 0 0 0 0

Itération 1

Aes(i∆x) −125 −64 −27 −8 −1 0 1 1 0 0 0

Itération 2

Aes(i∆x) −125 −64 −27 −8 −1 0 1 1 1 0 0

Itération 3

Aes(i∆x) −125 −64 −27 −8 −1 0 1 1 1 1 1

Itération 4

Aes(i∆x) −125 −64 −27 −8 −1 0 1 1 1 1 1

Tableau 1.7 – Processus d’extrapolation monodimensionnelle sans terme source de la fonctioncubique

À l’instant fictif initial, les valeurs de Aes dans Ω− sont initialisées avec les valeurs de As

de Ω− et celles de Aes dans Ω+ sont initialisées à 0. En analysant cette équation, on peut détailler

les effets des différents composants :

• l’utilisation d’une fonction de Heaviside H qui vaut 0 dans Ω− et 1 dans Ω+, permet decontenir l’extension à Ω+ tout en gardant les valeurs initiales dans Ω− ;

• la vitesse de propagation associée à Aes est la normale à l’interface qui est de norme 1 ;

• les droites caractéristiques de cette équation (qui sont les iso-contour de Aes) sont les nor-

males sortantes de l’interface ;

• l’état stationnaire est atteint quand le gradient le long de la normale à l’interface est nul.

80

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

Pour comprendre l’évolution du processus d’extrapolation, l’exemple initial monodimen-sionnel de la fonction cubique a été repris et l’équation 1.107 va lui être appliqué pas à pas. Pourla cellule i, la valeur à l’instant τ + dτ de Ae

s sera donnée par :

Aes(i∆x)|τ+dτ = Ae

s(i∆x)|τ − dτH(i∆x)(Ae

s(i∆x) −Aes((i − 1)∆x)

∆x

). (1.107)

Ce processus est présenté dans le tableau 1.7 avec un pas de temps fictif de 1. On observequ’au cours des itérations successives, la valeur à étendre s’éloigne de la position de l’interface.Lorsque l’état stationnaire est atteint, il est vérifié que Ae

s(i∆x) = As(i∆x) ∀i ∈ [−5, 1] etAe

s(i∆x) = As(1) ∀i ∈ [2, 5].Donc, plus il y aura d’itérations, plus l’état stationnaire sera atteint pour des points éloignés

de l’interface. Le long de la normale, il y aura jusqu’à une certaine distance la valeur de As àl’intersection entre la normale et l’interface.

L’avantage de cette méthode est qu’elle permet d’avoir un champ continu pour Aes à partir

de As. Par contre, le problème qui peut parfois se poser, est que le gradient Aes est un champ dis-

continu au niveau de l’interface. En effet, lorsque l’état stationnaire est atteint, par constructionle gradient de Ae

s est nul, ce qui pose un problème de continuité au niveau de l’interface.

4.2 L’extrapolation d’un champ scalaire avec un terme source

La deuxième technique d’extension proposée par Aslam (2003) permet d’avoir un champscalaire extrapolé continu dont la dérivée est continue. Soient le champ de la dérivée Bs et sonchamp extrapolé Be

s . La première approche utilisée est reprise en modifiant l’état stationnaireà atteindre de manière à rendre le gradient de Ae

s continu. Pour cela, Aslam (2003) étend demanière constante le champ Bs. Ensuite, il propose d’étendre le champ As en utilisant le champde gradient étendu Be

s .Par définition, l’état stationnaire est atteint quand la dérivée temporelle est nulle, c’est-à-

dire quand le membre de droite de l’équation 1.107 devient nul. Donc, l’état stationnaire peut-êtremodifié en changeant le membre de droite. Il faut alors utiliser à droite un terme qui induise unétat stationnaire cohérent avec Be

s qui a été étendu de manière constante. Pour cela, Aslam (2003)propose d’utiliser :

∂Aes

∂τ= −H(x)NI · (∇Ae

s −Bes) . (1.108)

Γ

Ω+

Ω−

y = x3

As(x) = x3

Aes(x)

Bs(x) = 3x2

Bes(x)

Figure 1.17 – Exemple monodimensionnel de l’extension avec terme source appliquée à lafonction cube

81

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Section 4

Le membre de droite se présente maintenant sous la forme d’une différence qui s’annulequand ∇Ae

s = Bes . L’état stationnaire du champ extrapolé Ae

s est donc atteint quand son gradientest égal au champ de gradient extrapolé Be

s . L’objectif est donc atteint : Aes et son gradient sont

continus.Dans le cas de l’exemple monodimensionnel de la fonction cubique, on obtient les courbes

représentées sur la figure 1.17. La première étape est d’étendre de manière constante la fonctiondérivée 3x2. Le processus est présenté dans le tableau 1.8 et à l’instant initial, les dérivées sontcalculées de manière centrée à l’intérieur du domaine et de manière décentrée sur les bords.

Valeurs de i, de la fonction cubique et de sa dérivée

i −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

(i∆x)3 −125 −64 −27 −8 −1 0 1 8 27 64 125

3(i∆x)2 75 48 27 12 3 0 3 12 27 48 75

Champs As et Bs à extrapoler et valeur de la fonction Heaviside

As(i∆x) −125 −64 −27 −8 −1 0 1 0 0 0 0

Bs(i∆x) 61 51 28 13 4 0 1 0 0 0 0

H(i∆x) 0 0 0 −0 0 0 0 1 1 1 1

Instant initial l’extrapolation de Be

s

Bes(i∆x) 61 51 28 13 4 0 1 0 0 0 0

Itération 1

Bes(i∆x) 61 51 28 13 4 0 1 1 0 0 0

Itération 2

Bes(i∆x) 61 51 28 13 4 0 1 1 1 0 0

Itération 3

Bes(i∆x) 61 51 28 13 4 0 1 1 1 1 0

Itération 4

Bes(i∆x) 61 51 28 13 4 0 1 1 1 1 1

Tableau 1.8 – Processus d’extrapolation monodimensionnelle sans terme source de la dérivéefonction cubique

La deuxième étape, dont le processus est détaillé dans le tableau 1.9, est l’extrapolationde x3 avec :

Aes(i∆x)|τ+dτ = Ae

s(i∆x)|τ − dτH(i∆x)(Ae

s(i∆x) −Aes((i − 1)∆x)

∆x−Be

s(i∆x))

. (1.109)

82

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

Valeurs de i, de la fonction cubique et de sa dérivée

i −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

(i∆x)3 −125 −64 −27 −8 −1 0 1 8 27 64 125

3(i∆x)2 75 48 27 12 3 0 3 12 27 48 75

Champ As à extrapoler, champ extrapolé Be

set fonction Heaviside

As(i∆x) −125 −64 −27 −8 −1 0 1 0 0 0 0

Bes(i∆x) 61 51 28 13 4 0 1 1 1 1 1

H(i∆x) 0 0 0 −0 0 0 0 1 1 1 1

Instant initial

Aes(i∆x) −125 −64 −27 −8 −1 0 1 0 0 0 0

Itération 1

Aes(i∆x) −125 −64 −27 −8 −1 0 1 2 0 0 0

Itération 2

Aes(i∆x) −125 −64 −27 −8 −1 0 1 2 3 0 0

Itération 3

Aes(i∆x) −125 −64 −27 −8 −1 0 1 2 3 4 0

Itération 4

Aes(i∆x) −125 −64 −27 −8 −1 0 1 2 3 4 5

Tableau 1.9 – Processus d’extrapolation monodimensionnelle avec terme source de la fonctioncubique

La partie extrapolée de Aes est linéaire. C’est normal puisque dans l’état stationnaire, la

partie extrapolée s’écrit :

Aes(i∆x) = Ae

s((i − 1)∆x) + ∆xBes(i∆x) . (1.110)

C’est l’équation de la tangente à As au point i∆x telle que f(x) = f(x0) + (x− x0)f ′(x0).L’extrapolation avec un terme source peut être interprétée comme une généralisation de la tan-gente. Finalement, le champ scalaire a été prolongé par le champ tangent au niveau de l’interface.Pour réaliser cette extrapolation, il faut d’abord pour Be

s , résoudre jusqu’à un état stationnairefictif :

∂Bes

∂τ= −H(x) (NI · ∇Be

s) . (1.111)

83

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Section 4

Ensuite pour Aes, il faut résoudre jusqu’à un autre état stationnaire fictif :

∂Aes

∂τ= −H(x)NI · (∇Ae

s −Bes) . (1.112)

Cette méthode permet d’obtenir des champs extrapolés continus pour Aes et Be

s . Elleest appelée extrapolation avec un terme source puisque Be

s agit comme un terme source dansl’équation d’extrapolation de Ae

s.La combinaison des deux méthodes de Aslam permet d’extrapoler une variable de manière

continue en conservant la dérivée d’ordre n continue. En effet, il faut commencer par extrapolersans terme source la dérivée d’ordre n puis, remonter jusqu’à la dérivée d’ordre 0, c’est-à-dire lavariable à extrapoler, en utilisant l’extrapolation avec un terme source.

4.3 Les différentes extrapolations de DIVA

Dans DIVA, les deux techniques d’extrapolation proposées par Aslam (2003) sont utiliséespour définir trois types d’extrapolation d’un champ physique :

• l’extrapolation constante qui est l’extrapolation d’un champ scalaire sans terme source ;

• l’extrapolation linéaire qui est l’extrapolation d’un champ scalaire avec un terme source ;

• l’extrapolation quadratique qui est l’extrapolation d’un champ scalaire avec un terme sourceappliquée à la dérivée première puis au champ scalaire.

Pour comparer les différentes méthodes d’extension implémentées dans DIVA, Rueda-Villegas (2013) a étendu une fonction arbitraire u(x, y) = cos(x) sin(y), définie sur un domainecirculaire de rayon 2 et centrée en (0, 0), dans un domaine carré de côté 2π. La figure 1.18a, lafigure 1.18b et la figure 1.18c de la thèse de Rueda-Villegas (2013) permettent respectivementde visualiser les champs extrapolés à partir du domaine circulaire avec les méthodes constante,linéaire et quadratique. La figure 1.18d permet de voir les contours de la fonction théorique surle domaine entier.

L’extrapolation constante génère des iso-contours normaux à l’interface. C’est le compor-tement attendu puisqu’elle étend les valeurs localisées sur l’interface le long des normales. Pourles méthodes linéaire et quadratique, on remarque que plus on impose la continuité des dérivées,plus l’extrapolation tend vers la valeur théorique. C’est l’effet attendu car imposer la continuitédes dérivées supérieures revient à utiliser plus d’information pour construire le champ extrapoléqui tend de plus en plus vers le champ théorique.

Dans la suite, les effets des différentes extensions de température et de fraction massiquesseront comparés à l’aide d’une goutte statique en évaporation.

84

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

(a) Extrapolation constante (b) Extrapolation linéaire

(c) Extrapolation quadratique (d) Fonction théorique

Figure 1.18 – Iso-contours de la fonction u (lignes bleus) et interface (pointillés verts) avec destechniques différentes d’extrapolation, Rueda-Villegas (2013), et les iso-contours théoriques

85

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Section 5

5 La goutte isolée en évaporation

Les méthodes numériques permettant de faire de l’évaporation sont maintenant en place.Dans la suite, le cas d’une goutte isolée en évaporation va permettre d’éprouver la précision deces méthodes. Les résultats qui sont présentés ont été publiés dans Rueda-Villegas et al. (2016).

5.1 Théorie de la goutte isolée en évaporation

Γ

droplet hot gasY1,Γ

Y1,∞

T∞

bb bb −→er0 r∞

Figure 1.19 – Schéma d’une goutte statique isolée

Dans cette partie, les lois décrivant l’évaporation d’une goutte isolée sont établies. Ellesont été proposées simultanément par Godsave (1953) et Spalding (1953). Pour cela, les équationsde conservation sont exprimées dans un repère sphérique (r, θ, φ). Puis, elles sont résolues dansle but de connaître l’évolution du diamètre de la goutte au cours du temps. Afin de modéliser cephénomène, les hypothèses suivantes sont admises :

• dans la phase liquide, une seule espèce chimique est présente et, dans celle gazeuse, il y asa vapeur et un gaz inerte ;

• la goutte est à symétrie sphérique ;

• le milieu est initialement au repos, isobare et sans gravité ;

• les propriétés thermodynamiques sont constantes ;

• l’interface est supposée être constamment à l’équilibre thermodynamique ;

• il n’y a pas de rayonnement, pas d’effet Dufour ni d’effet Soret ;

• il n’y pas de convection dans le liquide ;

• l’état est quasi-stationnaire dans la phase gazeuse ;

• le température de la goutte est uniforme et stationnaire.

Pour visualiser le problème, la figure 1.19 représente un schéma de la goutte qui s’évapore.En r = 0 se trouve le centre de la goutte de rayon rΓ. Au niveau de l’interface, repérée par rΓ,la fraction massique de vapeur est notée Y1,Γ et la température par TΓ. Dans le gaz entourant lagoutte, au bout d’un certain rayon r∞, la température et la fraction massique sont constantes.Leurs valeurs sont notées respectivement par T∞ et Y1,∞.

5.1.1 Écriture des équations à symétrie sphérique

Ces équations sont écrites dans un repère sphérique dont l’origine est le centre de la goutte.Premièrement, l’hypothèse d’isobare permet de connaître directement la pression. Ensuite,

la phase liquide étant immobile, il faut utiliser l’équation 92 de conservation de la masse totale

86

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

pour trouver la vitesse dans le gaz. En notant la composante radiale de la vitesse du gaz vr = v·er,on a :

1r2

d

dr

(r2ρgvr

)= 0 , (1.113)

La température étant stationnaire et uniforme dans le liquide, l’équation 114 de conserva-tion de l’énergie totale est donc résolue seulement dans la phase gazeuse. Le terme d’échange dechaleur comporte uniquement de la conduction thermique suivant la loi de Fourier Q = −λ∇T .Puis, avec les hypothèses, l’enthalpie massique s’écrit H = cp,gT , ce qui permet d’avoir :

1r2

d

dr

(r2ρgY1vr

)=

1r2

d

dr

(r2ρgDF

1

dY1

dr

), (1.114)

Enfin, le liquide étant mono-composant, l’équation 101 de conservation de la fraction mas-sique est résolue dans la phase gazeuse. Le flux diffusif massique suit la loi de Fick J1 = −DF

1 ∇Y1

permettant d’avoir :

1r2

d

dr

(r2ρgcp,gTvr

)=

1r2

d

dr

(r2λg

dT

dr

). (1.115)

5.1.2 Le calcul du champ de vitesse dans le gaz

Pour connaître la vitesse théorique du gaz, on intègre l’équation 1.113 pour obtenir :

ρgvr = K1 . (1.116)

Il faut maintenant déterminer la constante d’intégration K1. Pour cela, la définition dudébit massique total donnée par l’équation 94 est utilisée.

m = −ρlVΓ,rSΓ , m = ρg (vr|Γ − VΓ,r)SΓ . (1.117)

L’équation écrite dans la phase liquide permet d’écrire la vitesse radiale de l’interfaceVΓ,r = −m/ρlSΓ car le champ de vitesse dans la goutte est nul. On remplace ensuite l’expressionde VΓ,r dans l’équation du débit massique écrite dans la phase gazeuse. En prenant SΓ = 4πr2

Γ,on a :

4πr2Γρgvr|Γ = m

(1 − ρg

ρl

). (1.118)

La constante K1 est donc determinée par :

K1 =m

4πr2Γ

(1 − ρg

ρl

). (1.119)

Finalement, la vitesse dans la phase gazeuse s’exprime donc comme :

vr(r) =m

4πr2ρg

(1 − ρg

ρl

). (1.120)

87

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Section 5

5.1.3 Le débit massique d’évaporation

Pour calculer le débit massique d’évaporation, il y trois possibilités : avec l’équation deconservation de l’énergie, avec celle de l’espèce chimique 1 et avec celle de la masse de la goutte.En premier lieu, l’équation 1.114 et l’équation 1.115 sont intégrés une première fois selon r. Enremplaçant 4πr2ρgvr par m

(1 − ρg

ρl

)≈ m selon l’équation 1.120, on a :

mcp,gT = 4πr2λgdT

dr+K2 , mY1 = 4πr2ρgDF

1

dY1

dr+K3 (1.121)

Pour déterminer les constantes K2 et K3, l’équation 120 de saut sur la conservation del’énergie et l’équation 102 de saut sur la conservation de la fraction massique de l’espèce 1 sontmises à contribution :

K2 = mcp,g

(TΓ − Lv

cp,g

), K3 = m . (1.122)

Puis, on intègre une seconde fois entre l’interface et r∞, soit :

δT∫

r∞

mdr

r2=

T∞∫

4πλgdT

cp,g

(T − TΓ + Lv

cp,g

) =

Y1,∞∫

Y1,Γ

4πρgDF1

dY1

Y1 − 1. (1.123)

Le débit massique m s’écrit donc sous les formes :

m = 4πλg

cp,g

r∞rΓ

r∞ − rΓln(

1 +cp,g(T∞ − TΓ)

Lv

)= 4πρgDF

1

r∞rΓ

r∞ − rΓln(

1 +Y1,∞ − Y1,Γ

Y1,Γ − 1

).

(1.124)Dans ces expressions du débit massique, les nombres de transfert thermique BT et de

transfert massique BM,1 apparaissent. Ils ont été introduit par Spalding (1953) :

BT =cp,g(T∞ − TΓ)

Lv, BM,1 =

Y1,∞ − Y1,Γ

Y1,Γ − 1. (1.125)

Ils caractérisent la capacité de l’écoulement à changer d’état. Plus ces nombres serontgrands, plus le débit massique sera important. Ils sont parfois appelés nombres de Spaldingthermique et massique.

Il est possible d’exprimer ces relations en fonction du nombre de Nu et du nombre de Sh.Ces deux nombres comparent respectivement les échanges convectifs thermiques et massiques dela goutte par rapport aux échanges conductifs stationnaires d’une sphère. En introduisant lescoefficients d’échanges convectifs hT et hM , ces nombres sont définis par :

Nu =2rΓhT

λg, Sh =

2rΓhM

ρgDF1

. (1.126)

Les coefficients d’échanges convectifs sont définis tels que :

hT (T∞ − TΓ) = λg∂T

∂r

∣∣∣∣Γ

, hM (Y∞ − Y1,Γ) = ρgDa∂Y1

∂r

∣∣∣∣Γ

. (1.127)

Or, la température et la fraction massique dans la goutte sont uniformes. Donc, les re-lations de saut de la conservation de l’énergie, l’équation 120, et celle de la fraction massique,l’équation 102, permettent d’écrire le débit massique en fonction des gradients dans le gaz :

m = 4πr2Γ

λg

Lv

∂T

∂r

∣∣∣∣Γ

, m = 4πr2Γ

ρgDF1

Y1,Γ − 1∂Y1

∂r

∣∣∣∣Γ

. (1.128)

88

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

Dans la définition des coefficients convectifs, les expressions des dérivées sont remplacésavec l’équation 1.128. Puis, ces coefficients sont injectés dans les nombres de Nusselt et de Sher-wood :

Nu =mLv,a

2πrΓλg (T∞ − TΓ), Sh =

m (Y1,∞ − 1)2πrΓρgDF

1 (Y1,∞ − Y1,Γ). (1.129)

Ce qui permet d’écrire pour le débit massique :

m =2πrΓλg (T∞ − TΓ)

LvNu , m =

2πrΓρgDF1 (Y1,∞ − Y1,Γ)Y1,∞ − 1

Sh . (1.130)

En utilisant l’équation 1.124, on obtient :

NuBT =2r∞

r∞ − rΓln (1 +BT ) , ShBM,1 =

2r∞r∞ − rΓ

ln (1 +BM,1) . (1.131)

Finalement, le débit massique peut s’exprimer comme :

m = 2πrΓρgDTNuBT = 2πrΓρgDF1 ShBM,1 (1.132)

La troisième façon de calculer le débit massique est de faire le bilan de la masse de lagoutte, soit en utilisant ρl :

m =d

dt

(43πr3

Γρl

), (1.133)

m = 4πr2Γ

drΓ

dtρl . (1.134)

5.1.4 La loi du d2

Les trois expressions du débit massique sont établies. En les égalisant, la loi du d2 qui décritl’évolution temporelle du diamètre de la goutte, va être démontrée. Pour une goutte statiqueisolée, on a r∞ >> rd impliquant : :

rΓdrΓ

dtρl = ρgDF

g ln (1 +BM,1) = ρgDT ln (1 +BT ) . (1.135)

Ici, la relation entre les échanges de chaleur et de masse doit être vérifiée car BT et BM,1

ne sont pas indépendants. En effet, BT contient la température à l’interface TΓ et BM,1 contientla fraction massique gazeuse à l’interface Y1,Γ, deux variables liées par l’équation 128. Lorsquecette équation est exprimée pour le cas d’une goutte monocomposant, on obtient :

Y1,Γ(TΓ) =M1pvs,1(TΓ)

M0p+ (M1 −M0) pvs,1(TΓ). (1.136)

Il existe un unique couple TΓ et Y1,Γ pour lequel l’égalité sur les débits massiques estvalide : c’est l’état d’équilibre de la goutte. La température et la fraction massique gazeusecorrespondantes sont appelées respectivement température d’équilibre Te et fraction massiquegazeuse d’équilibre Y1,e. Pour les trouver, il faut résoudre l’équation implicite en TΓ :

ρgDF1 ln

(1 +

Y1,∞ − Y1,Γ(TΓ)Y1,Γ(TΓ) − 1

)= ρgDT ln

(1 +

cp,g(T∞ − TΓ)Lv

). (1.137)

89

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Section 5

On peut, par exemple, utiliser une méthode de Newton pour trouver la solution de cetteéquation. Une fois Te connue, sa valeur est injectée dans l’expression Y1,Γ(TΓ) afin de calculerY1,e. Pour simplifier les notations, on pose :

ρgDF1 ln (1 +BM,1) = ρgDT ln (1 +BT ) = A . (1.138)

Cela permet de trouver une équation décrivant l’évolution du rayon de la goutte au coursdu temps :

rΓdrΓ

dtρl = A . (1.139)

En intégrant selon le temps avec pour condition initiale rΓ(t = 0) = r0, l’expressionsuivante pour rΓ(t) est obtenue :

r2Γ(t) = r2

0 − 2Aρlt . (1.140)

Il est aussi possible d’exprimer cette évolution en fonction du diamètre :

d2Γ(t) = d2

0 − 8Aρlt . (1.141)

La conclusion est que le carré du diamètre de la goutte va décroître linéairement au coursdu temps. C’est l’origine du nom de la théorie de la goutte isolée : la loi du d2.

5.1.5 Solutions théoriques des champs de température et de fraction massique

En intégrant selon r entre la surface de la goutte et l’infini, on trouve les expressions dudébit massique. Lorsque ces mêmes équations sont intégrées entre la surface de la goutte et unpoint situé à un rayon r, on obtient l’équation 1.142 et l’équation 1.143 qui permettent d’établirles expressions théoriques des champs de température et de fraction massique :

m = 4πλg

cp,g

rrΓ

r − rΓln(

1 +cp,g(T (r) − TΓ)

Lv

). (1.142)

m = 4πρgDarrΓ

r − rΓln(

1 +Y1(r) − Y1,Γ

Y1,Γ − 1

). (1.143)

Or, le débit massique s’exprime en fonction des paramètres connus du problème selon l’??et l’??. Cela permet d’établir les égalités :

r

r − rΓln(

1 +cp,g (T (r) − TΓ)

Lv

)= ln (1 +BT ) , (1.144)

r

r − rΓln(

1 +Y1(r) − Y1,Γ

Y1,Γ − 1

)= ln (1 +BM,1) . (1.145)

Ensuite, en isolant T (r) et Y1(r) et en posant ζ = r/rΓ les expressions pour les champsthéoriques s’écrivent selon :

T (r, t) = TΓ +Lv

cp,g

(1 − (1 +BT )(1−ζ)

)(1.146)

90

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

Y1(r, t) = 1 + (Y1,∞ − 1) (1 +BM,1)(1−ζ) . (1.147)

Ces fonctions dépendent du rayon ainsi que du temps de manière implicite à travers lavariation temporelle de rΓ.

5.2 Simulation stationnaire de la goutte isolée statique en évaporation

5.2.1 La configuration des simulations

Propriétés Unité Gaz Interface Liquide

ρ (kg.m−3) 1.0 · 100∅ 7.0 · 102

µ (Pa.s−1) 1.0 · 10−7∅ 3.26 · 10−6

cp (J.K−1.kg−1) 1.0 · 103∅ 2.0 · 103

λ (W.m−1.K−1) 5.2 · 10−2∅ 1.0 · 102

DF1 (m2.s−1) 5.2 · 10−5

∅ ∅

Lv (J.kg−1) ∅ 5.18 · 105∅

σ (N.m−1) ∅ 5.0 · 10−3∅

Tb (K) ∅ 329 ∅

Tableau 1.10 – Propriétés thermodynamiques utilisées pour les simulations de lasous-section 5.2

Dans ce cas test, une goutte isolée restant sphérique est simulée sur une géométrie axi-symétrique. Comme le temps d’évaporation d’une goutte est très grand devant le pas de tempscapillaire, les simulations nécessitent un grand nombre d’itérations temporelles (plus de 100000sur les maillages les plus fins). En conséquences, certaines propriétés des fluides utilisés, donnéesdans le tableau 1.10, ont été modifiées. Elles s’approchent de l’acétone à 294.94K pour la phaseliquide et d’un mélange air-acétone à 700K pour la phase gazeuse. La valeur de DF

1 est augmentéepour accélérer l’évaporation et celle de µ et σ sont diminuées pour réduire les restrictions surle pas de temps. Pour être en accord avec la théorie et garantir une température uniforme dansle liquide, le coefficient de conduction thermique liquide a aussi été augmenté. Ces changementsn’influent pas les résultats car la solution théorique ne dépend pas de ces variables.

Une goutte de rayon r0 = 50µm est placée au centre d’un domaine de taille [0, 4r0] ×[−4r0, 4r0]. Pour la température et la fraction massique, les solutions théoriques sont imposéessur les bords ce qui évite d’avoir un grand domaine validant l’hypothèse rΓ << r∞. Elles varierontdoucement dans le temps puisque le rayon de la goutte diminuera. Pour la vitesse, des conditionsde sorties sont adoptées pour faire évacuer l’écoulement de Stefan. À l’infini, loin du domainede calcul, la température est de T∞ = 700K et la fraction massique de vapeur d’acétone deY1,∞ = 0. Les valeurs d’équilibre sont donc Te = 294, 94K et Y1,e = 0.4388 ce qui impliqueBM,1 = BT = 0.7819. C’est une évaporation faible à modérée. En effet, on parle d’évaporationmodérée pour des nombres de transfert de l’ordre de 1. En dessous, l’évaporation est considéréecomme faible, et au-dessus, elle est dite forte.

Initialement, le champ de vitesse est nul et ceux de température et de fraction massiquesont égaux aux solutions théoriques.

Le domaine est maillé uniformément avec 32×64, 64×128, 128×256 ou 256×512 mailles.Cela correspond respectivement à 8, 16, 32 et 64 mailles dans la goutte. Le calcul s’arrête quand

91

Page 92: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

Section 5

la goutte a perdu 50% de sa masse initiale, soit une réduction d’environ 20% de son diamètreinitial. Les résultats obtenus sont ensuite comparés avec la loi du d2.

ΓY1,Γ

Y1,∞ →

T∞ →

bb −→er

−→ez

r0

4r0

8r0

outflow

outflow

outflow

axis

Figure 1.20 – Goutte statique en évaporation sur une géométrie 2D-axisymétrique

5.2.2 Les résultats des simulations

Les résultats des simulations sont maintenant comparés avec la loi théorique du d2. Pourcela, les solveurs capables de simuler de l’évaporation sont utilisés : Ghost Fluid Thermal Sol-ver for Evaporation (GFTSE) et Ghost Fluid Thermal Solver for Boiling and Evaporation(GFTSBE). L’influence du solveur sur les résultats et celle du type d’extrapolation sont ana-lysées.

La figure 1.21a et la figure 1.21b représentent respectivement le champ de température etde fraction massique avec les vecteurs vitesse. Elles montrent que la goutte reste sphérique et queles champs sont bien radiaux.

Il y a deux points principaux à vérifier qui caractérisent la goutte dans son état d’équilibre.

92

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

(a) Champ de température et vecteurs vitesse (b) Champ de fraction massique et vecteurs vitesse

Figure 1.21 – Visualisations à t = 0.5 avec un maillage 256 × 512 pour le solveur GFTSE avecdes extensions quadratiques, l’interface est la ligne noire

La décroissance temporelle du carré du diamètre doit être linéaire de pente K et la températuremoyenne de la goutte doit rester à sa température d’équilibre Te. Par souci de cohérence, lesrésultats sont tracés en fonction du temps réduit t = td−2

0 ·10−6 souvent utilisé dans la littérature.Avec les propriétés présentées dans le tableau 1.10, la température d’équilibre et la pente ont lesvaleurs suivantes :

K =8Aρl

= 3.43 · 10−7m2.s−1 , Te = 294.94K . (1.148)

La figure 1.22a et la figure 1.22b présentent l’évolution de la température en fonctiondu temps réduit avec le solveur GFTSE pour les extensions d’Aslam (2003) de type linéaire etquadratique. Il est observé que la température d’équilibre de la goutte converge clairement versla température théorique et que les extensions ont un effet bénéfique sur la précision. En effet, ilsemble que le maillage 128×256 avec des extensions quadratiques soit aussi précis que le maillage256 × 512 avec des extensions linéaires.

La figure 1.22c et la figure 1.22d montrent respectivement l’évolution du carré du diamètreréduit au cours du temps réduit avec le solveur GFTSE pour les extensions d’Aslam (2003) detype linéaire et quadratique. L’ensemble des courbes présente une convergence nette des résultatsvers la courbe théorique. Dans chaque cas, le maillage 32 × 64 semble plus près de la théorie queles autres maillages. Il faut faire attention car il n’est pas réellement le plus précis. En effet, latempérature d’équilibre est trop élevée pour ce maillage amenant ainsi une fraction massiqued’équilibre trop haute. Cela conduit à une sur-estimation du débit massique permettant d’avoirune évolution temporelle qui correspond à la théorie. C’est de la compensation d’erreur.

La figure 1.23a et la figure 1.23b permettent respectivement de voir l’évolution avec lesolveur GFTSBE de la température au cours du temps pour les extensions d’Aslam (2003) de typelinéaire et quadratique. Comme pour le solveur GFTSE, la convergence est nette et les extensionsquadratiques apportent une précision accrue. Ce gain de précision semble même supérieur pourle solveur GFTSBE. De plus, on remarque que la température d’équilibre converge vers sa valeurthéorique depuis une température inférieure alors qu’elle est supérieure avec le solveur GFTSBE.

La figure 1.23c et la figure 1.23d permettent respectivement de voir l’évolution du carré

93

Page 94: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

Section 5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

t

285

290

295

300

305

310

Td

32x64 (8pts/radius)

64x128 (16pts/radius)

128x256 (32pts/radius)

256x512 (64pts/radius)

Theory

(a) Convergence spatiale de la température de la goutteavec les extrapolations linéaires d’Aslam (2003)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

t

285

290

295

300

305

310

Td

32x64 (8pts/radius)

64x128 (16pts/radius)

128x256 (32pts/radius)

256x512 (64pts/radius)

Theory

(b) Convergence spatiale de la température de la goutteavec les extrapolations quadratiques d’Aslam (2003)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

t

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

d2

32x64 (8pts/radius)

64x128 (16pts/radius)

128x256 (32pts/radius)

256x512 (64pts/radius)

Theory

(c) Convergence spatiale du diamètre réduit avec lesextrapolations linéaires d’Aslam (2003)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

t

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

d2

32x64 (8pts/radius)

64x128 (16pts/radius)

128x256 (32pts/radius)

256x512 (64pts/radius)

Theory

(d) Convergence spatiale du diamètre réduit avec lesextrapolations quadratiques d’Aslam (2003)

Figure 1.22 – Température moyenne de la goutte en fonction du temps réduit pour le solveurGFTSE

du diamètre réduit au cours du temps pour les extensions d’Aslam (2003) de type linéaire etquadratique. Le maillage 32 × 64 présente toujours des problèmes, c’est donc un maillage sous-résolu et il ne faut pas mettre moins de 8 points dans un rayon de goutte. Par contre, lestrois autres maillages montrent une convergence nette vers la solution théorique. On voit mêmel’amélioration apportée par les extensions quadratiques ce qui n’était pas le cas sur la figure 1.22cet la figure 1.22d.

Dans chaque cas, la pente et la température d’équilibre ont été relevés. La pente dessimulations Kc a été calculée à partir de la différence de d2(t) entres les points t = 0.25 ett = 0.75. La température d’équilibre Te,c des simulations a été définie comme la température Td

au point t = 0.5. De plus, l’erreur relative par rapport aux valeurs théoriques a aussi été calculée.Les résultats ont donc été obtenus avec :

Kc =d2(t = 0.75) − d2(t = 0.25)

t(t = 0.75) − t(t = 0.25), Te,c = Td(t = 0.5) , (1.149)

EK = 100 × K −Kc

K, ET = 100 × Te − Te,c

Te. (1.150)

94

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

t

285

290

295

300

305

310

Td

32x64 (8pts/radius)

64x128 (16pts/radius)

128x256 (32pts/radius)

256x512 (64pts/radius)

Theory

(a) Convergence spatiale de la température de la goutteavec les extrapolations linéaires d’Aslam (2003)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

t

285

290

295

300

305

310

Td

32x64 (8pts/radius)

64x128 (16pts/radius)

128x256 (32pts/radius)

256x512 (64pts/radius)

Theory

(b) Convergence spatiale de la température de la goutteavec les extrapolations quadratiques d’Aslam (2003)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

t

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

d2

32x64 (8pts/radius)

64x128 (16pts/radius)

128x256 (32pts/radius)

256x512 (64pts/radius)

Theory

(c) Convergence spatiale du diamètre réduit avec lesextrapolations linéaires d’Aslam (2003)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

t

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

d2

32x64 (8pts/radius)

64x128 (16pts/radius)

128x256 (32pts/radius)

256x512 (64pts/radius)

Theory

(d) Convergence spatiale du diamètre réduit avec lesextrapolations quadratiques d’Aslam (2003)

Figure 1.23 – Température moyenne de la goutte en fonction du temps réduit pour le solveurGFTSBE

Ils sont résumés dans le tableau 1.11 pour le solveur GFTSE et le tableau 1.12 pour lesolveur GFTSBE. Ils montrent que les extensions quadratiques apportent toujours de la précision.En effet, pour les deux solveurs, le maillage 128 × 256 avec des extensions quadratiques est aussiprécis que le maillage 256 × 512 avec des extensions linéaires. De plus, le solveur GFTSE préditmieux la décroissance temporelle que le solveur GFTSBE. Par contre, ce dernier est plus précissur la température d’équilibre.

Sur la figure 1.24a et la figure 1.24b sont respectivement tracés les profils selon r des solu-tions de température et de fraction massique obtenues avec les solveurs et les solution théoriquescorrespondantes. La comparaison avec la théorie est convaincante puisque les courbes se super-posent proche de l’interface. Un faible écart est observé sur les bords du domaine qui provientdes conditions de sortie de vitesse. Elles ne maintiennent pas tout à fait la symétrie sphérique dela solution théorique.

Finalement, ces tests permettent de conclure que les deux solveurs convergent vers une so-lution proche de la solution théorique du d2. Un gain de précision est observé pour la combinaisondu solveur GFTSBE avec des extensions quadratiques.

95

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Section 5

Kc (m2.s−1) Erreur (%) Te,c (K) Erreur (%)

32 × 64, lin. 3.63 · 10−7 −5.80 · 100 300.61 −1.92 · 100

64 × 128, lin. 3.21 · 10−7 6.48 · 100 297.28 −7.95 · 10−1

128 × 256, lin. 3.28 · 10−7 4.37 · 100 297.28 −3.71 · 10−1

256 × 512, lin. 3.31 · 10−7 3.23 · 100 295.50 −1.91 · 10−1

32 × 64, qua. 3.49 · 10−7 −1.79 · 100 298.89 −1.34 · 10−1

64 × 128, qua. 3.23 · 10−7 5.75 · 100 296.30 −4.62 · 10−1

128 × 256, qua. 3.30 · 10−7 3.88 · 100 295.50 −1.90 · 10−1

256 × 512, qua. 3.33 · 10−7 3.02 · 100 295.22 −9.54 · 10−2

Tableau 1.11 – Valeurs et erreurs relative de la pente et la température d’équilibre par rapportà la loi du d2 avec le solveur GFTSE

Kc (m2.s−1) Erreur (%) Te,c (K) Erreur (%)

32 × 64, lin. 3.05 · 10−7 1.12 · 101 291.02 1.33 · 100

64 × 128, lin. 2.91 · 10−7 1.50 · 101 293.05 6.41 · 10−1

128 × 256, lin. 3.13 · 10−7 8.76 · 100 293.90 3.51 · 10−1

256 × 512, lin. 3.24 · 10−7 5.47 · 100 294.42 1.62 · 10−1

32 × 64, qua. 3.42 · 10−7 2.86 · 10−1 293.84 3.72 · 10−1

64 × 128, qua. 3.09 · 10−7 9.80 · 100 294.53 1.36 · 10−1

128 × 256, qua. 3.24 · 10−7 5.58 · 100 294.68 8.86 · 10−2

256 × 512, qua. 3.30 · 10−7 3.81 · 100 294.86 2.45 · 10−2

Tableau 1.12 – Valeurs et erreurs relative de la pente et la température d’équilibre par rapportà la loi du d2 avec le solveur GFTSBE

(a) Profil de température (b) Profil de fraction massique

Figure 1.24 – Comparaison des solutions le long d’un rayon des solveurs GFTSE et GFTSBEsur un maillage 256 × 512 avec les solutions théoriques

96

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

5.3 Simulation instationnaire de la goutte isolée statique en évapora-tion

Dans cette partie, les simulations permettent de vérifier si la goutte tend vers son étatd’équilibre lorsqu’elle n’est pas initialisée à l’équilibre.

Les simulations présentées sont identiques à la partie précédente. Par contre, la températureinitiale de la goutte est de 284.94K ou 304.94K pour le solveur GFTSE et de 284.94K, 304.94Kou 339K pour le solveur GFTSBE. En effet, ce dernier est normalement capable de supporterdes températures supérieures à la température d’ébullition de 329K. Pour les deux solveurs, desextensions quadratiques sont utilisées sur les maillages 64 × 128 et 128 × 256.

(a) Solveur GFTSE (b) Solveur GFTSBE

Figure 1.25 – Évolution temporelle de la température moyenne de la goutte pour différentestempératures initiales, extensions quadratiques, maillages 64 × 128 et 128 × 256

L’évolution temporelle de la température moyenne est présentés dans la figure 1.25a pourle solveur GFTSE et la figure 1.25b pour le solveur GFTSBE. Ces résultats montrent clairementque les solveurs permettent de rétablir l’état d’équilibre de la goutte. De plus, l’accord entre lesdeux maillages démontre la convergence spatiale des deux méthodes.

Ces résultats mettent en avant la capacité du solveur GFTSBE à simuler correctementl’évaporation d’un liquide surchauffé. C’est impossible avec le solveur GFTSE. C’est un pointessentiel car la finalité du solveur GFTSBE était de simuler des gouttes dans l’état Leidenfrost.La figure 1.26 extraite de la thèse de Rueda-Villegas (2013) montre que cette objectif est atteintavec succès.

97

Page 98: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

Section 5

Figure 1.26 – Chute d’une goutte sur une paroi surchauffée, comparaison entre les expériencesde Dunand (2012) et les simulations de Rueda-Villegas (2013), extrait de Rueda-Villegas et al.

(2016)

5.4 Simulation d’une goutte isolée en mouvement s’évaporant

Dans cette dernière partie, l’évaporation d’une goutte de rayon r0 = 50µm s’évaporant dansun écoulement laminaire est étudiée. Les résultats des simulations sont comparés une corrélation.Une géométrie axisymétrique est toujours utilisée mais, pour éviter les effets de confinement, lesbords sont éloignés. Le domaine mesure maintenant [0, 8r0]×[−8r0, 8r0]. Le maillage est uniformesur [0, 2r0] × [−2r0, 2r0] et non-uniforme sur le reste du domaine. Avec des maillages de 64 × 128et 128 × 256, cela permet d’avoir assez de mailles dans la goutte (respectivement 16 et 32) et letemps de calcul requis n’est pas excessif.

En l’absence de gravité, la goutte se déplace à cause de l’écoulement incident. Pour lamaintenir au centre du domaine, un référentiel mobile est utilisé. La vitesse relative de l’écoule-ment incident par rapport à la goutte est fixée à 2m.s−1 en injectant un écoulement uniformeen z = −8r0. Sa température et sa fraction massique sont de T∞ = 700K et Y1,∞ = 0. Pourla vitesse, une condition de glissement est fixée en r = 8r0 et une condition de sortie permetd’évacuer l’écoulement en z = 8r0. Pour la température et la fraction massique, des conditionsde Neumann sont imposées en r = 8r0 et z = 8r0.

Les simulations ont été effectuées avec les propriétés du tableau 1.13 qui sont plus réalistesque celles du tableau 1.10 pour la goutte statique. En effet, comme les simulations sont comparéesavec une corrélation admettant une température non-uniforme, une valeur plus réaliste de laconduction thermique du liquide est utilisé. C’est aussi le cas pour la tension de surface et laviscosité afin d’obtenir des valeurs de 20 pour le nombre de Reynolds Re = 2r0ρgv∞/µg et de0.17 pour le nombre de We = 2r0ρgv

2∞/σ. Ces propriétés plus réalistes impliquent sue les temps

de calculs seront plus longs que ceux de la goutte statique.Dans la sous-section 5.1, le débit massique global d’évaporation d’une goutte statique a

98

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

Propriétés Unité Gaz Interface Liquide

ρ (kg.m−3) 1.0 · 100∅ 7.0 · 102

µ (Pa.s−1) 1.0 · 10−5∅ 3.26 · 10−4

cp (J.K−1.kg−1) 1.0 · 103∅ 2.0 · 103

λ (W.m−1.K−1) 5.2 · 10−2∅ 1.61 · 10−1

DF1 (m2.s−1) 5.2 · 10−5

∅ ∅

Lv (J.kg−1) ∅ 5.18 · 105∅

σ (N.m−1) ∅ 2.37 · 10−2∅

Tb (K) ∅ 329 ∅

Tableau 1.13 – Propriétés thermodynamiques utilisées pour les simulations

été écrit tel que :

m = 2πrΓρgDTNuBT = 2πrΓρgDF1 ShBM,1 (1.151)

Cette analyse est possible en supposant que r∞ >> rd qui permet de calculer NuBT etShBM,1. Or, pour une goutte en mouvement, ce n’est plus valide car il y a des couches limitesautour de celle-ci. Pour décrire l’évolution du débit, il faut modéliser ces termes.

Pour cela, il existe des corrélations avec des sphères solide, Rowe et al. (1965), ou desgouttes en convection forcée, Frossling (1938), Spalding (1953),Renksizbulut & Yuen (1983), Renk-sizbulut & Yuen (1983), Renksizbulut et al. (1991) ou encore en convection naturelle, Narashimhan& Gauvin (1967). Cette liste n’est pas exhaustive et dans la configuration choisie, les différencesentre les corrélations sont faibles. Donc, seule la corrélation de Renksizbulut et al. (1991) sur lenombre de Sh est utilisée pour décrire l’évolution temporelle du rayon de la goutte. Elle s’exprimeà partir des nombres de Reynolds Re, de Schimdt Sc et de Spalding massique BM,a :

Sh =(

2 + 0.87Re1/2Sc1/3)

(1 +BM,1)−0.7 , (1.152)

Re =2ρgrΓv∞

µg= 20 , Sc =

µg

ρgDF1

= 0.19 , BM,1 =Y1,∞ − Y1,Γ

Y1,Γ − 1= 0.7819 . (1.153)

Les champs de température et les lignes de courant sont représentées sur la figure 1.27aet la figure 1.27b pour les solveurs GFTSE et GFTSBE. Elles démontrent que les résultats desdeux méthodes sont sensiblement identiques. La figure 1.27a et la figure 1.27b, représentant leschamps de fraction massique et les lignes de courant des solveurs GFTSE et GFTSBE, appuientcette conclusion.

La figure 1.29 représente l’évolution temporelle du carré du diamètre réduit de la goutteau cours du temps réduit. Elle montre que les simulations convergent vers une solution prochede celle donnée par les corrélations. L’accord est notamment très bon avec le solveur GFTSBE.

99

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Section 5

(a) Solveur GFTSE (b) Solveur GFTSBE

Figure 1.27 – Champ de température et lignes de courant à t = 0.5 sur un maillage 128 × 256non-uniforme avec des extensions quadratiques, l’interface est la ligne noire

(a) Solveur GFTSE (b) Solveur GFTSBE

Figure 1.28 – Champ de fraction massique et lignes de courant à t = 0.5 sur un maillage128 × 256 non-uniforme avec des extensions quadratiques, l’interface est la ligne noire

100

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CHAPITRE 1. LES MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L’ÉVAPORATION

0.0 0.2 0.4 0.6

t

0.7

0.8

0.9

1.0

d2

64x128 (16pts/radius), GFTSE

128x256 (32pts/radius), GFTSE

64x128 (16pts/radius), GFTSBE

128x256 (32pts/radius), GFTSBE

Moving correlation

Static theory

Figure 1.29 – Diamètre réduit en fonction du temps réduit t pour une goutte en mouvementavec des extensions quadratiques

101

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Section 5

Conclusion du chapitre 1

Pour conclure, dans ce chapitre, les algorithmes de DIVA ont été exposés et les méthodesnumériques qu’ils emploient ont été détaillées. Ensuite, différents tests ont permis de validerl’implémentation de ces méthodes avec succès. Enfin, les simulations d’une goutte isolée s’éva-porant ont démontré que les solveurs GFTSE et GFTSBE permettaient de décrire correctementl’évaporation.

Dans le chapitre 2, le solveur GFTSE va être amélioré afin de simuler des écoulementsmulti-composants dans les deux phases. Le nouvel algorithme sera testé avec un code mono-dimensionnel sphérique simulant l’évaporation d’une goutte statique isolée. Ce code permettraaussi d’introduire des propriétés thermodynamiques variables.

102

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CHAPITRE 2

L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE STATIQUE

SommaireIntroduction du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

1 La construction du code monodimensionnel sphérique . . . . . . . . . . . . . . . 106

1.1 Actualisation de la position de l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

1.2 Modèle pour le changement de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1.2.1 Le formalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1.2.2 L’algorithme Ghost Fluid Thermal Solver for Multi-component Evaporation 108

1.3 Calcul des propriétés thermophysiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

1.4 Modèles pour le champ de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1.4.1 Masse volumique constante dans le gaz et le liquide statique . . . . . . . . . 111

1.4.2 Masse volumique variable dans le gaz et le liquide statique . . . . . . . . . . 111

1.4.3 Masse volumique variable dans le gaz et le liquide . . . . . . . . . . . . . . . 112

2 Validation du code monodimensionnel sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.1 La comparaison avec la théorie du d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.1.1 Rappel de la configuration du cas test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.1.2 Comparaison entre le code et les résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.1.3 Vérification des solveurs de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.1.4 Équivalence des lois de Fick et Maxwell-Stefan . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.2 Le changement de volume d’une goutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2.3 L’expérience de Duncan et Toor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3 Comparaison des résultats du code sphérique avec des expériences . . . . . . . . 119

3.1 Expériences avec des gouttes mono-composant à température ambiante . . . . 119

3.2 Expériences avec des gouttes mono-composant à température élevée . . . . . . 120

3.3 Expériences avec des gouttes bi-composant à température ambiante . . . . . . 122

Conclusion du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

103

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Section 1

Introduction du chapitre 2

Dans ce chapitre, l’objectif est de proposer un algorithme permettant de faire des simula-tions numériques directes avec de l’évaporation multi-composant.

Pour développer un algorithme d’évaporation multi-composant, on se place dans le casd’une goutte isolée statique en l’absence de gravité. Un code monodimensionnel sphérique desimulation numérique directe est construit alors pour décrire spécifiquement cette configuration.Il va servir à développer et tester les algorithmes simulant l’évaporation multi-composant. Parrapport à un code multi-dimensionnel, sa simplicité permet d’essayer plus facilement les effetsliés au caractère multi-composant pour jauger de leur importance. Il y a, par exemple, la va-riabilité des propriétés thermophysiques avec la température et la composition du mélange. Àterme, les algorithmes mis en place sur ce code sont destinés à être programmés dans DIVA. Deplus, en l’absence de solution théorique sur l’évaporation d’une goutte multi-composant, le codemonodimensionnel servira de référence pour DIVA.

D’abord, les algorithmes multi-composants mis en place sont présentés. Ils sont ensuitevalidés avec la théorie du d2 et d’autres cas tests. Puis, les résultats du code sont comparés avecdes expériences d’évaporation d’une goutte isolée.

1 La construction du code monodimensionnel sphérique

Dans cette partie, le solveur simulant l’évaporation d’une goutte isolée multi-composant estexposé. C’est une amélioration du solveur GFTSE qui est appelée Ghost Fluid Thermal Solver forMulti-component Evaporation GFTSME. Il inclue notamment des propriétés thermophysiquesvariables avec la composition des mélanges et la température.

Dans ce but, les équations de la partie 5 de la Partie II sont utilisées. En les exprimantdans un repère sphérique, elles permettent de calculer la vitesse v, la température T , les fractionsmassiques Ya, les débits d’évaporation ma et la vitesse de déplacement de l’interface VΓ. Commedans la théorie du d2, l’hypothèse isobare est imposée pour le code monodimensionnel, la pressionp est donc connue. Les propriétés thermophysiques seront calculées avec des lois spécifiques.L’algorithme décrit par la suite respecte les quatre étapes suivantes :

• calculer la vitesse de déplacement de l’interface VΓ pour actualiser la position de l’interface ;

• calculer la température T , les fractions massiques Ya et les débits massiques d’évaporationma couplés à travers la transition de phase à l’interface ;

• calculer les nouvelles valeurs des propriétés thermophysiques ;

• calculer les champs de vitesse v.

Pour l’approche numérique, la méthode de volumes finis est utilisée avec un schéma dediscrétisation amont explicite d’ordre 1 pour les termes convectifs, un schéma de discrétisationcentrée implicite d’ordre 2 pour les termes diffusifs et un schéma de discrétisation d’Euler pourles termes temporels.

1.1 Actualisation de la position de l’interface

La nouvelle position de l’interface se calcule avec :

φn+1 = φn + ∆t |∇φn| VΓ · NΓ . (2.1)

104

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CHAPITRE 2. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE STATIQUE

Pour que le déplacement soit cohérent avec le changement de phase, il faut calculer lavitesse de déplacement de l’interface VΓ avec l’équation 94. En isolant VΓ, une expression avecla vitesse du liquide et une expression avec la vitesse du gaz sont établies :

VΓ · NΓ = vl · NΓ − m

ρl, VΓ · NΓ = vg · NΓ − m

ρg. (2.2)

Dans la pratique, la vitesse calculée avec l’expression liquide donne des résultats plus précis.Dans la goutte, les vitesses sont plus faibles et la masse volumique est plus grande. Donc, uneerreur sur le débit massique ou la vitesse se transmettra moins sur la vitesse de l’interface dansl’expression liquide. Au final, la vitesse de l’interface est calculée avec :

VΓ · NΓ = vl · NΓ − m

ρl. (2.3)

1.2 Modèle pour le changement de phase

1.2.1 Le formalisme

Pour simuler les cas de gouttes composées de Nl espèces chimiques qui s’évaporent dansun gaz inerte, ce sont l’équation 114 de conservation de l’énergie totale, l’équation 120 de sautde l’énergie totale, l’équation 101 de conservation de fraction massique, l’équation 102 de saut defraction massique qui sont requises. Dans ces équations, les frottements visqueux sont négligés,il n’y a pas de terme source thermique ni massique et il n’y a aucune force volumique, soient :

ρDHDt = ∇ · (λ∇T ) −

Nl∑

a

∇ · (HaJa) , (2.4)

Nl∑

a

maLv,a + J−λ∇T K · NΓ = 0 , (2.5)

ρDYa

Dt= −∇ · (Ja) , a ∈ 1,Nl (2.6)

JJaK · NΓ + m JYaK = 0 , a ∈ 1,Nl (2.7)

Il est possible de remplacer l’enthalpie massique par la température. En sachant que l’en-thalpie est une fonction de la température et de la pression, il est possible d’écrire sa différentiellecomme :

dH(T, p) =∂H∂T

dT +∂H∂p

dp . (2.8)

Grâce à l’hypothèse d’écoulement isobare et en utilisant la capacité thermique à pressionconstante cp(T, p) = (∂H/∂T )p, la différentielle de l’enthalpie devient alors :

H(T, p) = cp(T, p)dT . (2.9)

L’application de la composition de l’opérateur dérivation permet d’obtenir :

∂t(ρH) = H∂ρ

∂t+ ρ

∂H∂t

= H∂ρ

∂t+ ρ

(∂H∂T

∂T

∂t+∂H∂p

∂p

∂t

), (2.10)

105

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Section 1

∇ · (ρvH) = H∇ · (ρv) + ρv · ∇ (H) = H∇ · (ρv) + ρv ·(∂H∂T

∇T +∂H∂p

∇p)

. (2.11)

En utilisant l’équation 92 de conservation de la masse totale, on peut écrire :

∂t(ρH) + ∇ · (ρvH) = ρ

∂H∂T

∂T

∂t+ ρv ·

(∂H∂T

∇T)

= ρcp(T, p)∂T

∂t+ ρcp(T, p)v · ∇T . (2.12)

Il est à remarquer que ρ et cp n’ont jamais été imposés comme constants. L’enthalpie estmaintenant exprimée en fonction de la température :

ρcpDTDt = ∇ · (λ∇T ) −

Nl∑

a

∇ · (ρacp,aTJa) , (2.13)

Nl∑

a

maLv,a + J−λ∇T K · NΓ = 0 . (2.14)

Pour les fractions massique, les équations sont rassemblées sous la forme d’une équationmatricielle. Pour exprimer le flux de fraction massique Ja, on utilise la loi de Fick généralisée oucelle de Maxwell-Stefan. Dans les deux cas, le flux est une combinaison linéaire des gradients desfractions massiques. Soient, le vecteur Y = [Y1, ..., YN l] rassemblant les fractions massiques etle tenseur des coefficient de diffusion Dm. Les équations de conservation de la fraction massiquepeuvent alors s’exprimer comme l’équation matricielle :

ρDYDt

= −∇ · (ρDm · ∇Y) , (2.15)

JρDm · ∇YK · NΓ + m JYK = 0 . (2.16)

Le choix pour Ja est important car, dans le cas la loi de Maxwell-Stefan, toutes les équationsde fraction massique sont couplées alors qu’avec la loi de Fick généralisée le tenseur de diffusionDm est diagonal.

Pour la loi de Maxwell-Stefan, toutes les équations de fraction massique doivent donc serésoudre en même temps. En les organisant, la matrice du système linéaire couplé peut se mettresous la forme d’une matrice tri-diagonale par blocs. Le système peut alors se résoudre avec unedécomposition de type LU par blocs.

1.2.2 L’algorithme Ghost Fluid Thermal Solver for Multi-component Evaporation

La première chose à faire est de trouver la valeur de la fraction massique gazeuse de chaqueespèce a au niveau de l’interface en utilisant :

Pour chaque espèce chimique a, la fraction massique dans la phase gazeuse est résolue avecl’équation 101 de conservation de la masse partielle. Une condition de Dirichlet est imposé avecl’équation 128 au niveau de l’interface :

ρYn+1g − ∆t∇ ·

(ρDm · ∇Yn+1

g

)= ρYn

g + ∆tvn∇Yng sur Ωg , (2.17)

106

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CHAPITRE 2. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE STATIQUE

Ya,g|Γ =Xa,l|ΓMapvs,a

M0p+Nl∑b=1

Xb,l|Γ (Mb −M0) pvs,b

, a ∈ 1,Nl . (2.18)

En sommant les Nl équation 103 qui définissent les débits massiques de changement dephase des espèces chimiques, on obtient la relation suivante :

Nl∑

a=1

ma = m

Nl∑

a=1

Ya,l|Γ +Nl∑

a=1

Ja,l|Γ · NΓ ,

Nl∑

a=1

ma = m

Nl∑

a=1

Ya,g|Γ +Nl∑

a=1

Ja,g|Γ · NΓ . (2.19)

Or, nous savons que dans le liquide, la somme des Nl fractions massiques vaut 1 et quecelle des flux diffusifs est nulle. En égalisant les deux définition, on peut donc calculer le débitmassique total de changement de phase avec :

m =−

Nl∑a=1

Ja,g|Γ · NΓ

1 −N∑

a=1Ya,g|Γ

. (2.20)

La connaissance du débit total permet alors de calculer les Nl débits massiques partielsavec l’équation 103 définissant les débits massiques de changement de phase exprimées dans legaz :

ma = Ja,g|Γ · NΓ + mYa,g|Γ , a ∈ 1,Nl . (2.21)

La valeur du débit massique trouvée est ensuite utilisée pour résoudre simultanément latempérature dans la phase liquide et gazeuse avec l’équation 114 de conservation de l’énergie surlaquelle on impose l’équation 120 à l’interface :

ρcpTn+1 − ∆t∇ ·

(λ∇T n+1

)= ρcpT

n + ∆tvn∇T n + ∆t∇ · (ρacp,aTnJn

a ) , (2.22)

Jλ∇T K · NΓ =Nl∑

a

maLv,a . (2.23)

Enfin, pour les Nl espèces chimiques, les fractions massiques sont résolues dans la phaseliquide avec l’équation 101 de conservation de la masse partielle. Une condition de Robin estimposée sur l’interface avec l’équation 103, soit :

ρYn+1l − ∆t∇ ·

(ρDm · ∇Yn+1

l

)= ρYn

l + ∆tvn∇Ynl sur Ωg , (2.24)

ma = mYa,l|Γ + Ja,l|Γ · NΓ , a ∈ 1,Nl . (2.25)

1.3 Calcul des propriétés thermophysiques

Dans cette étape, les propriétés thermodynamiques sont actualisées en fonction des nou-veaux champs de fraction massique et de température avec deux étapes :

• calculer les propriétés des composants purs en fonction de la température avec les lois dutableau 2.1 ;

107

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Section 1

• calculer les propriétés de la phase en utilisant des lois de mélange du tableau 2.2.

Dans le cas du coefficient de diffusion massique de la loi de Fick généralisée, il est très diffi-cile de les estimer correctement. C’est pourquoi il existe très peu de loi décrivant leurs variationsavec la température et le composition du mélange. La loi de Maxwell-Stefan n’a pas ce problèmecar elle utilise les coefficients de diffusion binaire qui sont connus.

Propriété Liquide Gaz Interface

ρKayode Coker (2007)

Lois des gaz parfait ∅corrélation exp.

cpKayode Coker (2007) Kayode Coker (2007)

∅corrélation exp. corrélation exp.

λKayode Coker (2007) Kayode Coker (2007)

∅corrélation exp. corrélation exp.

DF Ga Wilke & Pin (1955)

Poling et al. (2001)∅

loi de Fuller

Dab Wilke & Pin (1955)Poling et al. (2001)

∅loi de Chapman-Enskog

Lv ∅ ∅Kayode Coker (2007)

corrélation exp.

pvs ∅ ∅Kayode Coker (2007)

corrélation exp.

Tableau 2.1 – Références et lois utilisées pour calculer les propriétés thermophysiques d’uneespèce chimique pure

Propriété Liquide Gaz

ρ Additivité des volumes Moyenne massique

cp Moyenne massique Moyenne massique

λPoling et al. (2001) Poling et al. (2001)

loi puissance loi de Maxon-Saxena

DF Ga inconnue

Poling et al. (2001)loi de Blanc

Tableau 2.2 – Références et lois utilisées pour calculer les propriétés thermophysiques d’unephase composée de plusieurs espèce chimiques

1.4 Modèles pour le champ de vitesse

Le champ de vitesse est calculé avec l’équation 92 de conservation locale de la masse totale.Pour le calcul, trois hypothèses sont envisagées :

108

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CHAPITRE 2. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE STATIQUE

• l’écoulement est à masse volumique constante dans le gaz et statique dans le liquide ;

• l’écoulement est à masse volumique variable dans le gaz et statique dans le liquide ;

• l’écoulement est à masse volumique variable dans le gaz et dans le liquide.

La variabilité de la masse volumique permet de simuler des cas de où le volume des goutteschange à cause des variations de la température.

1.4.1 Masse volumique constante dans le gaz et le liquide statique

Les vitesses à l’intérieur de la goutte sont nulles donc vl = 0. Pour la phase gazeuse,ρ = cte, l’intégration de l’équation 92 sur une coquille sphérique de rayon r permet d’obtenirl’expression de la vitesse dans le gaz. Soit, en notant er le vecteur directeur du rayon sphérique :

vl(r)n+1 = 0 sur Ωl , (2.26)

vg(r)n+1 =m

4πr2ρg

[1 − ρg

ρl

]er sur Ωg . (2.27)

Ce solveur est nommé le solveur S-I pour liquide statique et gaz incompressible.

1.4.2 Masse volumique variable dans le gaz et le liquide statique

L’écoulement de Stefan est un écoulement radial à symétrie sphérique impliquant qu’ilest irrotationnel. La vitesse dans le gaz peut alors s’écrire comme le gradient d’une fonctionpotentielle ψ telle que v = ∇ψ. La fonction potentielle est calculée en résolvant le systèmelinéaire découlant de l’équation 92 de conservation de la masse :

vl(r)n+1 = 0 sur Ωl , (2.28)

vg(r)n+1 = ∇ψn+1g , ∇ ·

(ρn+1

g ∇ψn+1g

)= −

ρn+1g − ρn

g

∆tsur Ωg . (2.29)

À l’interface, l’équation 94 définissant le débit massique dans le gaz est utilisée pour imposerune condition de Neumann :

m = ρg vg|Γ · NΓ − ρgVΓ · NΓ = ρg ∇ψg|Γ · er − ρgVΓ · er , (2.30)

∇ψg|Γ = VΓ +m

ρn+1er . (2.31)

À l’extérieur du domaine, le bord est placé à une distance r∞ grande devant le rayonde la goutte pour supposer que la température et la composition chimique sont constantes.L’écoulement est donc incompressible et l’équation 2.27 de la vitesse dans un cas incompressiblesert alors de condition de Neumann :

vg|∞ = ∇ψg|∞ =m

4πr2∞ρg

[1 − ρg

ρl

]er . (2.32)

Pour des raisons de stabilité, une condition de Dirichlet est appliquée en intégrant lacondition de Neumann avec lim

r→∞vg = 0 :

ψg|∞ = − m

4πr∞ρg

[1 − ρg

ρl

]. (2.33)

109

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Section 2

Ce solveur est nommé le solveur S-P pour liquide statique et écoulement potentiel dans legaz.

1.4.3 Masse volumique variable dans le gaz et le liquide

Comme la méthode précédente, la vitesse s’écrit avec le gradient d’une fonction potentielleψ telle que v = ∇ψ. La fonction potentielle est calculée en résolvant un système linéaire découlantde l’équation 92 de conservation de la masse :

v(r)n+1 = ∇ψn+1 , ∇ ·(ρn+1∇ψn+1

)= −ρn+1 − ρn

∆t. (2.34)

Pour la résoudre à la fois dans le gaz et le liquide, une condition de saut pour ρ∇ψ doitêtre imposée à l’interface à l’aide l’équation 93 :

Jρ (v − VΓ)K = 0 , (2.35)

Une réécriture fait apparaître la condition de saut pour ρ∇ψ :

JρvK = VΓ JρK , Jρ∇ψK = VΓ JρK . (2.36)

La condition à l’extérieur du domaine est la même que pour le cas où ρ est variableseulement dans le gaz, soit :

∇ψg|∞ = − m

4πr∞ρg

[1 − ρg

ρl

]. (2.37)

Enfin, au centre de la goutte, la géométrie sphérique impose une vitesse nulle ce qui revientà écrire :

∇ψg|0 = 0 . (2.38)

Ce solveur est nommé le solveur P-P pour écoulements potentiels liquide et gaz.

2 Validation du code monodimensionnel sphérique

2.1 La comparaison avec la théorie du d2

2.1.1 Rappel de la configuration du cas test

Pour vérifier que les résultats convergent vers la loi théorique du d2, les évolutions tem-porelles du diamètre de la goutte et de sa température moyenne sont relevées. Ce cas test estidentique à celui de la sous-section 5.1 du chapitre 1. Les propriétés thermophysiques de lasimulation sont rappelées dans le tableau 2.3. Les propriétés gazeuses sont calculées pour unmélange air-acétone à T = 700K et les propriétés liquides sont calculées pour de l’acétone pureà T = 329K.

Pour conserver une température uniforme dans la goutte, la conductivité thermique dans leliquide est très élevée. Dans les simulations, la température du liquide étant résolue, celle-ci peutvarier au cours du temps. Pour s’assurer qu’il n’y a pas de variations spatiales mais seulementdes variations temporelles, il faut homogénéiser la température de la goutte le plus rapidementpossible afin qu’elle devienne uniforme. Sachant que, le rayon initial de la goutte est de r0 = 50µm

110

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CHAPITRE 2. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE STATIQUE

Propriété Unité Gaz Interface Liquide

ρ (kg.m−3) 1.0 · 100∅ 7.0 · 102

cp (J.K−1.kg−1) 1.0 · 103∅ 2.0 · 103

λ (W.m−1.K−1) 5.2 · 10−2∅ 1.0 · 102

DF1 (m2.s−1) 5.2 · 10−5

∅ ∅

Lv (J.kg−1) ∅ 5.18 · 105∅

Tb (K) ∅ 329 ∅

Tableau 2.3 – Propriétés thermodynamiques pour le cas test de la loi du d2

et que, le coefficient de diffusion thermique liquide est de λl/ρlcp,l, le temps caractéristique tcpour homogénéiser le volume de la goutte est de :

tc = r20

λl

ρlcp,l= 3.49 · 10−5s . (2.39)

Ce temps est très petit devant le temps de vie de la goutte qui est selon la loi du d2 avecles propriétés thermodynamiques choisies est de 2.92 · 10−2s. La température dans la goutte seradonc toujours uniforme.

À l’infini, la température est fixée à T∞ = 700K et il n’y a pas d’acétone donc Y1,∞ = 0.Dans cette configuration, la goutte va se stabiliser à la température d’équilibre de Te = 294.94 Ket une fraction massique de vapeur à l’interface de Y1,e = 0.4388. On obtient alors les nombres detransfert BM = BT = 0.7819 qui correspondent à de l’évaporation modérée voire faible. D’aprèsl’équation 1.141, la loi de décroissance temporelle devient donc :

d2Γ(t) = d2

Γ(t0) − 3.43.10−7t . (2.40)

2.1.2 Comparaison entre le code et les résultats

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

t (s/mm2)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

d2

Code 1D, 25 pts/radius

Code 1D, 50 pts/radius

Code 1D, 100 pts/radius

Code 1D, 200 pts/radius

Code 1D, 400 pts/radius

Theory, d2-law

Code 1D, 25 pts/radius

Code 1D, 50 pts/radius

Code 1D, 100 pts/radius

Code 1D, 200 pts/radius

Code 1D, 400 pts/radius

Theory, d2-law

(a) Diamètre réduit au carré

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

t (s/mm2)

294.0

294.5

295.0

295.5

296.0

296.5

Td

Code 1D, 25 pts/radius

Code 1D, 50 pts/radius

Code 1D, 100 pts/radius

Code 1D, 200 pts/radius

Code 1D, 400 pts/radius

Theory, d2-law

(b) Température moyenne de la goutte

Figure 2.1 – Convergence spatiale du code 1D vers la loi du d2

La figure 2.1a et la figure 2.1b présentent respectivement le diamètre réduit d2 = (dΓ(t)/d0))2

et la température moyenne de la goutte en fonction du temps caractéristique t = td−20 · 10−6 qui

est souvent utilisé dans la littérature. Elles permettent de dire de manière sûre que les simulations

111

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Section 2

convergent vers la courbe théorique au niveau du diamètre et de la température. En effet, à partirde 50 mailles dans la goutte à l’instant initial, l’erreur commise sur la température de la gouttepar rapport à sa température d’équilibre est inférieure à 0.5K. De plus, sur le diamètre, seul lemaillage à 25 mailles dans la goutte semble s’éloigner de la théorie. Par la suite, pour réaliser lessimulations, il y aura toujours 50 mailles par défaut dans la goutte .

2.1.3 Vérification des solveurs de vitesse

Les trois solveurs de vitesse sont maintenant utilisés pour résoudre le cas test avec laloi de Fick. Les résultats de l’évolution temporelle en fonction du temps réduit du diamètreréduit au carré et de la température moyenne de la goutte sont respectivement présentés sur lafigure 2.2a et la figure 2.2b. Les comparaisons sont réalisées sur deux maillages de 200 et 800points correspondants à 50 et 200 mailles dans la goutte à l’instant initial.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

t (s/mm2)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

d2

solveur S-I (50pts/radius)

cas S-P (50pts/radius)

cas P-P (50pts/radius)

cas S-I (200pts/radius)

cas S-P (200pts/radius)

cas P-P (200pts/radius)

Theory

(a) Diamètre réduit au carré

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

t (s/mm2)

285

290

295

300

305

310

Td

solveur S-I (50pts/radius)

cas S-P (50pts/radius)

cas P-P (50pts/radius)

cas S-I (200pts/radius)

cas S-P (200pts/radius)

cas P-P (200pts/radius)

Theory

(b) Température moyenne de la goutte

Figure 2.2 – Convergence spatiale du code 1D vers la loi du d2 pour les solveurs de vitesse

Les courbes illustrent que les trois solveurs donnent des résultats identiques et convergentvers la bonne solution. Cela permet de les valider.

2.1.4 Équivalence des lois de Fick et Maxwell-Stefan

Les deux lois modélisant le flux de fraction massique sont confrontées en utilisant le solveurS-I. Comme, pour la vérification des solveurs de vitesse, les comparaisons sont réalisés sur deuxmaillages de 200 et 800 points correspondants à 50 et 200 mailles dans la goutte à l’instant initial.Les résultats de l’évolution temporelle du diamètre réduit au carré et de la température moyennede la goutte en fonction du temps réduit sont respectivement présentés sur la figure 2.3a et lafigure 2.3b.

Les résultats sont identiques pour les deux lois et ils convergent vers la solution théorique.Le calcul du flux de diffusion massique est donc correct pour les deux cas.

112

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CHAPITRE 2. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE STATIQUE

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

t (s/mm2)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

d2

Fick (50pts/radius)

Maxwell-Stefan (50pts/radius)

Fick (200pts/radius)

Maxwell-Stefan (200pts/radius)

Theory

(a) Diamètre réduit au carré

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

t (s/mm2)

285

290

295

300

305

310

Td

Fick (50pts/radius)

Maxwell-Stefan (50pts/radius)

Fick (200pts/radius)

Maxwell-Stefan (200pts/radius)

Theory

(b) Température moyenne de la goutte

Figure 2.3 – Convergence spatiale du code 1D vers la loi du d2 pour le calcul de Ja

2.2 Le changement de volume d’une goutte

Le cas test de dilatation sert à vérifier que le changement de volume de la goutte correspondau changement de température. Dans ce cas test, le chaleur latente est volontairement mise à109J.kg−1 pour considérer que la goutte ne s’évapore pas. Le solveur P-P est utilisé pour résoudreles vitesses et la loi de Fick modélise le flux de fraction massique. Le test est réalisé avec deuxespèces chimiques différentes pour lesquelles sont imposées une dilatation et une rétractation. Lapremière espèce utilisée est du chlorure d’hydrogène qui se dilate fortement et permet de bienobserver le phénomène. La deuxième espèce est de l’heptane qui est plus couramment utilisé.

À l’instant initial, la goutte, de rayon Ri, et la phase gazeuse sont à la même températureTi. Ensuite, une température Tf est imposée à la frontière et la simulation se termine lorsque latempérature du domaine (liquide et gaz) est uniforme et vaut Tf . Le diamètre final de la goutteRf est relevé puis il est comparé avec le diamètre théorique attendu Rf,th.

Le domaine mesure 5Ri et cinq maillages sont utilisés pour l’étude de convergence 100,200, 400, 800 et 1600 qui correspondent respectivement à 20, 40, 80, 160 et 320 mailles dans lagoutte à l’instant initial. Au niveau des propriétés, la masse volumique du liquide est variable ettoutes les autres restent constantes afin de ne pas avoir d’interférences avec les résultats. Leursvaleurs ne sont pas spécifiée car elles ne changent pas l’état stationnaire final.

Pour déterminer le rayon final théorique, la conservation de la masse de la goutte est écrite :

mgoutte =43πR3

i ρl(Ti) =43πR3

f,thρl(Tf ) . (2.41)

Rf,th = Ri

(ρl(Ti)ρl(Tf)

) 13

(2.42)

Les résultats, exprimés avec les diamètres, sont présentés dans le tableau 2.4 pour la gouttede chlorure d’hydrogène et dans le tableau 2.5 pour la goutte de n-heptane. Ils montrent que lesdilatations et le rétractions convergent vers les valeurs théoriques pour les deux gouttes. Lesvitesses dans le liquide sont donc calculées correctement pour modéliser les variations de volumedues aux variations de la masse volumique.

113

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Section 2

Dilatation RétractationDf,th = 113.9µm, Ti = 200K, Tf = 300K Df,th = 87.82µm, Ti = 300K, Tf = 200K

maillage Df erreur % maillage Df erreur %

100 1.1683 · 10−4 2.57 100 8.6380 · 10−5 1.64200 1.1567 · 10−4 1.55 200 8.6515 · 10−5 1.49400 1.1522 · 10−4 1.16 400 8.7200 · 10−5 0.71800 1.1477 · 10−4 0.76 800 8.7450 · 10−5 0.421600 1.1442 · 10−4 0.46 1600 8.7540 · 10−5 0.32

Tableau 2.4 – Goutte de chlorure d’hydrogène avec Di = 100µm

Dilatation RétractationDf,th = 102.3µm, Ti = 300K, Tf = 350K Df,th = 97.77µm, Ti = 350K, Tf = 300K

maillage Df erreur % maillage Df erreur %

100 1.0489 · 10−4 2.52 100 9.4740 · 10−5 3.10200 1.0329 · 10−4 0.96 200 9.7250 · 10−5 0.53400 1.0311 · 10−4 0.78 400 9.7340 · 10−5 0.44800 1.0302 · 10−4 0.69 800 9.7530 · 10−5 0.241600 1.0281 · 10−4 0.49 1600 9.7584 · 10−5 0.19

Tableau 2.5 – Goutte heptane avec Di = 100µm

2.3 L’expérience de Duncan et Toor

L’expérience de Duncan & Toor (1962) permet de mettre en évidence les régimes de diffu-sion inverse, un flux diffusif et un gradient de fraction massique ayant le même sens, de diffusionosmotique, un flux diffusif pour un gradient nul, et la barrière de diffusion, un flux diffusif nulpour un gradient différent de zéro.

Duncan & Toor (1962) connectent par un tube un ballon rempli d’un mélange gazeuxde 50% de diazote et 50% de dioxyde de carbone avec un ballon rempli de 50% de diazoteet 50% de dihydrogène. À l’instant initial, la fraction massique de diazote est donc constantedans le domaine. Pourtant, en ouvrant la valve du tube connectant les ballons, ils observent unchangement de la fraction massique de diazote : c’est de la diffusion osmotique, les molécules dedioxyde de carbone déplacent celles de diazote en se diffusant.

Pour les fluides multi-composant, la loi de Fick (même généralisée) n’est pas adaptée pourmodéliser ces flux diffusifs. En effet, la modélisation du flux ne dépend que du gradient de l’espèceconcernée. Les régimes observés dans l’expérience de Duncan & Toor (1962) ne sont donc paspossibles. En conséquences, le choix de l’espèce tampon, c’est-à-dire celle dont la fraction massiqueest calculée à partir de la somme des autres espèces massiques, change totalement les résultatsdes calculs.

Ici, le but est d’avoir un résultat qualitatif, les simulations ne sont pas comparées précisé-ment aux expériences. Une goutte d’heptane de rayon r0 = 100µm est placée dans un mélangecontenant trois espèces exclusivement gazeuses (diazote, dihydrogène, dioxyde de carbone). Afinde se mettre dans une configuration équivalente au cas de Duncan & Toor (1962), seule la phase

114

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CHAPITRE 2. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE STATIQUE

gazeuse est utilisée en augmentant artificiellement la chaleur latente du liquide pour éviter touteévaporation. Des conditions de flux nuls sont imposées pour les espèces chimiques sur le bordextérieur du domaine placé à 1mm du centre de la goutte. La température est constante danstout le domaine et les vitesses des fluides sont nulles afin d’observer seulement de la diffusionmassique dans le gaz.

C’est la composition initiale de la phase gazeuse qui va permettre d’observer les différentsrégimes de diffusion. La fraction massique diazote est fixé dans tout le domaine à 0.3. Ensuite,pour r < 600µm, le domaine est rempli avec du dioxyde de carbone, et pour 600µm < r, seuldu dihydrogène est ajouté. Avec cette configuration, il est possible d’observer les quatre régimessur le diazote. L’évolution temporelle des trois fractions massiques est tracée sur un diagrammeternaire pour les points r1 = 400µm et r2 = 800µm.

(a) N2 comme espèce tampon (b) CO2 comme espèce tampon

Figure 2.4 – Évolution temporelle des fractions massiques avec la loi de Fick

Premièrement, le test est réalisé avec la loi de Fick en prenant soit le diazote comme espècetampon, soit le dioxyde de carbone. Les évolutions temporelles respectives sont reportées sur lafigure 2.4a et la figure 2.4b. Elles illustrent le fait que le choix de l’espèce tampon lorsque l’onutilise la loi de Fick est déterminant : avec le CO2 comme tampon, la fraction massique de N2

reste constante. Par contre, lorsque N2 est l’espèce tampon, on observe de la diffusion osmotiquepour N2 comme dans l’expérience de Duncan & Toor (1962). De plus, l’état d’équilibre final, làoù les points convergent, dépend de l’espèce tampon. Ce n’est pas un comportement physique.

Cela s’explique par le fait que le flux de diffusion avec la loi de Fick ne dépend que dugradient de l’espèce. Sans gradient au départ, il n’y aura jamais de diffusion de l’espèce concernée.Le seul moyen d’avoir de la diffusion sans gradient avec la loi de Fick est d’utiliser comme tamponl’espèce dont la fraction initiale est constante. Ainsi, elle va se diffuser par défaut pour compenserle mouvement des autres espèces.

Le même test est réalisé avec la loi de Maxwell-Stefan et les évolutions temporelles sontreportées sur la figure 2.5a et la figure 2.5b. Elles démontrent que la loi de Maxwell-Stefan estindépendante du l’espèce tampon. Les évolutions temporelles sont identiques et elles convergentvers le même état d’équilibre.

Sur la figure 2.6a, le flux diffusif de chaque espèce en fonction son gradient massique esttracé au cours du temps pour le cas où CO2 est l’espèce tampon avec la loi de Maxwell-Stefan.

115

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Section 2

(a) N2 comme espèce tampon (b) CO2 comme espèce tampon

Figure 2.5 – Évolution temporelle des fractions massiques avec la loi de Maxwell-Stefan

En les examinant, on observe les différents régime de diffusion pour N2. Le passage dans lazone de diffusion inverse, les cadrants en bas à gauche et en haut à droite, est nettement mis enévidence mais il ne reste que transitoire, il est donc possible de le manquer. La diffusion osmotiqueintervient quand le flux croise l’axe des ordonnées. La barrière de diffusion s’observe quand leflux croise l’axe des abscisses.

Pour affiner cette observation de la diffusion inverse, il est possible de tracer sur la fi-gure 2.6b un diagramme espace-temps avec le signe de Ji.∇Yi pour le N2. Il ressort que ladiffusion inverse n’intervient pas dans tout le domaine en même temps. Elle commence au niveaude la séparation initiale puis s’étend vers les bords au cours du temps et disparaît lorsque lesystème tend vers son état d’équilibre.

(a) Flux de fraction massique en fonction des gradients (b) Diagramme espace-temps du signe de Ji.∇Yi pourN2, la zone orange correspond à une valeur positive

Figure 2.6 – la loi de Maxwell-Stefan avec CO2 comme espèce tampon

116

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CHAPITRE 2. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE STATIQUE

Finalement, la loi de Maxwell-Stefan est adaptée pour les phases multi-composantes carelle peut décrire tous les cas de diffusion. Cependant, ces régimes sont instationnaires et il n’estpas toujours nécessaire de les prendre en compte.

3 Comparaison des résultats du code sphérique avec desexpériences

Dans cette partie, les résultats du code monodimensionnel décrit précédemment sontconfrontés avec des cas expérimentaux de gouttes monocomposant et un cas expérimental degoutte bi-composant. Puisque le code inclue des propriétés variables, l’idée est de mesurer lacapacité du code à reproduire des cas réels.

3.1 Expériences avec des gouttes mono-composant à température am-biante

Les travaux de la thèse de Wilms (2005) s’intéressent à l’évaporation des gouttes mono-composant et multi-composants à pression atmosphérique. Il mène des expériences d’évaporationde gouttes afin de pouvoir faire des comparaisons avec les modèles numériques existants. Pourcela, il utilise deux techniques expérimentales :

• la lévitation optique, réservée aux gouttes peu volatiles, elles sont maintenues en l’air grâceà la pression radiative d’un laser, la transparence des n-alcanes à la longueur d’onde dulaser utilisé évite le chauffage des gouttes ;

• la chute libre, réservée aux gouttes très volatiles, où elles sont lâchées en haut d’une touravec les instruments de mesure suivant la chute.

Dans sa thèse, il utilise le n-pentane, n-hexane, n-heptane, n-octane, n-nonane et n-décane.Lors des simulations, pour être au plus proche des cas réels, les propriétés thermodynamiquesvariables sont activées avec le solveur P-P et la loi de Maxwell-Stefan. La température initiale dela goutte est T∞ mesurée lors des expériences. Les pentes obtenues avec le code sont présentéesdans le tableau 2.6 où elles sont comparées avec celles de la loi du d2 et celles des expériencesWilms (2005). La température du milieu mesurée lors des essais est indiquée dans la secondecolonne.

n-alcane T∞(K) loi d2 DNS 1D Expérience Incertitude exp.

n-pentane 296.2 ± 0.5 3.22 · 10−8 2.63 · 10−8 3.06 · 10−8 ±0.04 · 10−8

n-hexane 298.7 ± 0.5 2.01 · 10−8 1.82 · 10−8 2.02 · 10−8 ±0.03 · 10−8

n-heptane 297.3 ± 0.5 1.01 · 10−8 9.96 · 10−9 1.03 · 10−8 ±0.02 · 10−8

n-octane 296.7 ± 0.5 4.39 · 10−9 4.42 · 10−9 4.60 · 10−9 ±0.10 · 10−9

n-nonane 297.8 ± 0.5 1.80 · 10−9 1.86 · 10−9 1.83 · 10−9 ±0.05 · 10−9

n-décane 298.7 ± 0.5 6.83 · 10−10 7.07 · 10−10 6.97 · 10−10 ±0.24 · 10−10

Tableau 2.6 – Comparaisons des pentes pour différents n-alcanes

Les pentes qui s’éloignent le plus des valeurs réelles sont celles du n-pentane et du n-hexane, l’écart par rapport à la valeur expérimentale est respectivement de 14% et de 9.9%. Pourtoutes les autres espèces, l’écart est inférieur à 4%. Ces alcanes étant les plus légers et volatiles,

117

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Section 3

un manque de précision sur la chaleur latente ou de la pression de saturation peut expliquerces écarts. La loi du d2 donne des résultats en accord avec les données expérimentales mais, lesvaleurs calculées avec cette loi dépendent de l’estimation des propriétés. Ce n’est pas le cas avecle code sphérique puisque les propriétés sont données par des lois établies avant la simulation. Ilest donc indépendant des estimations.

Ces résultats permettent de voir que le code décrit bien l’évaporation d’une goutte isolée àtempérature ambiante puisqu’il est capable de calculer des valeurs de pentes comparables à cellesmesurées.

3.2 Expériences avec des gouttes mono-composant à température éle-vée

Des expériences d’évaporation de gouttes isolées s’évaporant dans un milieu à haute tem-pérature ont été publiées dans Chauveau et al. (2008), Chauveau et al. (2011) et dans la thèse deEbrahimian Shiadeh (2011). Ces dernières ont été réalisées en présence de gravité et en microgra-vité pour des gouttes mono-composants. Même si le code simule de l’évaporation sans gravité,les résultats obtenus sont semblables aux expériences en gravité normale. Dans cette partie, lesexpériences auxquelles les résultats du code sont comparés sont donc réalisées en gravité normale.Pour le moment, aucune explication n’a été trouvée pour expliquer cette différence.

Une goutte d’heptane, Chauveau et al. (2008) et Ebrahimian Shiadeh (2011), ou de décane,Chauveau et al. (2011), d’environ 400 micromètres est suspendue au croisement entre deux fibresde quartz mesurant 14 micromètres de diamètre dans un environnement composé exclusivementde diazote. L’influence de la taille de cette fibre est d’ailleurs étudiée dans Chauveau et al. (2008)car elle peut chauffer la goutte par conduction. Les auteurs montrent alors que le diamètre desfibres utilisées n’a pas d’influence sur la goutte. Ce n’est pas forcément le cas pour des expériencesultérieures d’évaporation de goutte : Nomura et al. (1996), Morin et al. (2000), Yang & Wong(2001) et Ghassemi et al. (2006). Ensuite, cette goutte est introduite dans un four et l’évolutionde son diamètre au cours du temps est enregistrée. Pour connaître l’influence de la températuredu milieu extérieur, différentes températures sont imposées au niveau des parois du four au coursdes expériences.

Pour les simulations, le bord est placé à environ vingt fois le rayon initial de la goutte. Unecondition de Dirichlet de T∞ pour la température et de 0 pour la fraction massique de fuel sontimposées sur ce bord. Le domaine est discrétisé en 1000 mailles ce qui implique qu’il y a 50 maillesreprésentant la phase liquide à l’instant initial. Enfin, toutes les propriétés thermodynamiquesutilisées sont variables avec le solveur de vitesse P-P et la loi de Maxwell-Stefan.

Les résultats montrent des tendances identiques aux expériences : plus la température am-biante augmente, plus la goutte s’évapore vite. Pour les gouttes d’heptane, l’écart des simulationspar rapport aux expériences sur le temps de vie de la goutte est de 25% pour T∞ = 473K, 21%pour T∞ = 523K, 8% pour T∞ = 823K et de 11% pour T∞ = 973K. Pour les gouttes de décane,ces écarts sont de 21% pour T∞ = 667K, de 18% pour T∞ = 767K, de 9% pour T∞ = 867K, de6% pour T∞ = 917K et de 6% pour T∞ = 967K.

Ces données montrent que l’évaporation des gouttes est mieux décrites pour les cas à hautetempérature avec notamment des écarts inférieurs à 10%. Ce sont des résultats corrects permet-tant de dire que le solveur monodimensionnel est capable de décrire des cas réels d’évaporationsans avoir à adapter les paramètres de la simulations. En effet, entre les simulations du n-heptaneet du n-décane, seules les lois de propriétés thermophysiques ont été changées.

Maintenant il faut parvenir à expliquer les écarts observés sur les cas à faible température.Parmi les explications possibles, l’influence de la gravité paraît être la plus plausible. En effet, les

118

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CHAPITRE 2. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE STATIQUE

0 5 10 15

t (s/mm2)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

d2

Code 1D, T∞ = 473K

Code 1D, T∞ = 623K

Code 1D, T∞ = 823K

Code 1D, T∞ = 973K

Expe, T∞ = 473K

Expe, T∞ = 623K

Expe, T∞ = 823K

Expe, T∞ = 973K

Figure 2.7 – Diamètre réduit au carré en fonction du temps caractéristique pour plusieurs T∞avec une goutte d’heptane, Chauveau et al. (2008) et Ebrahimian Shiadeh (2011)

0 2 4 6 8

t (s/mm2)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

d2

Code 1D, T∞ = 667K

Code 1D, T∞ = 767K

Code 1D, T∞ = 867K

Code 1D, T∞ = 917K

Code 1D, T∞ = 967K

Expe, T∞ = 667K

Expe, T∞ = 767K

Expe, T∞ = 867K

Expe, T∞ = 917K

Expe, T∞ = 967K

Figure 2.8 – Diamètre réduit au carré en fonction du temps caractéristique pour plusieurs T∞avec une goutte de décane, Chauveau et al. (2011)

119

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Section 3

expériences ont été réalisées en gravité normale et la convection naturelle, qui n’est pas prise encompte dans les simulations, a probablement un effet important dans la composition du milieuextérieur. Elle permet à la vapeur du liquide de s’évacuer de la zone proche de la goutte. Celainfluence alors le changement de phase en modifiant la composition chimique à l’interface. Lemilieu étant moins saturé en vapeur, le débit massique d’évaporation devrait être plus fort. Ilest aussi possible de penser que lorsque la vapeur retombe, elle va entraîner une inhomogénéitédu débit massique d’évaporation modifiant le débit massique total. De plus, sur les expériences àhaute température, Chauveau et al. (2011) expliquent que la force de l’écoulement d’évaporationempêche la convection naturelle d’agir. Ainsi, les configurations à haute température sont plusproches des cas simulés par le code monodimensionnel et cela s’observe sur les résultats.

Il est aussi possible d’avancer l’hypothèse qu’un phénomène affectant l’évaporation n’aitpas été pris en compte. Par exemple, il peut y avoir les effets radiatifs de la paroi du four sur lagoutte. En effet, en considérant les températures imposées dans le gaz, ces derniers peuvent êtreimportants.

Enfin, le calcul des propriétés peut être mis en cause car si l’une des propriétés est maldécrite, le taux d’évaporation qui en découle sera faux.

3.3 Expériences avec des gouttes bi-composant à température am-biante

Dans Birouk (1996), l’auteur étudie expérimentalement l’évaporation d’une goutte bi-composant à pression et température ambiantes.

Une goutte de 1.6 millimètres est suspendue à une fibre de quartz de diamètre 0.2 millimètredans un environnement au repos composé exclusivement de diazote à la température de 293K.Ici, l’environnement étant à température ambiante, l’effet de la fibre sur la goutte est négligeable.Celle-ci est composée d’un mélange de n-heptane et de n-décane avec des fractions volumiquesinitiales d’heptane de 0.3, 0.5 et 0.7. Les données expérimentales ne montrent que la décroissancedu carré du diamètre réduit, la température moyenne de la goutte ne peut donc pas être comparée.

Pour comparer les résultats du code sphérique avec les expériences, des simulations ontété réalisées avec les propriétés variables en utilisant le solveur P-P et la loi de Maxwell-Stefan.Le bord du domaine est placé à trente fois le rayon initial de la goutte et il est discrétisé en 1500mailles dont 50 mailles représentent la phase liquide à l’instant initial.

Les résultats des simulations, montrent une correspondance claire avec les données expé-rimentales. Les changements de pente dus au caractère bi-composant du mélange sont présentsdans les trois cas. Cependant, ces derniers sont bien décrits pour seulement le cas 70H/30D etle cas 30H/70D. La simulation 50H/50D tarde à passer sur la seconde pente par rapport au casexpérimental. Cette différence a déjà été relevée par Nje Nje (2000). Il explique ce décalage parle fait que, dans l’expérience, la composition initiale de la goutte annoncée n’est pas exactementcelle de la réalité.

En comparant les pentes mesurées sur les résultats numériques bi-composant avec les pentesmono-composant données dans le tableau 2.6, les pentes des cas bi-composants sont identiques àcelles pour les composants purs à température ambiante. Par exemple, en prenant le cas 70H/30D,la première pente vaut environ 8.1 · 10−9m2.s−1 et la seconde pente 6.43 · 10−10m2.s−1. Ellessont très proches des pentes de l’heptane pur valant 9.96 · 10−9m2.s−1 et celle du décane purvalant 7.07 · 10−10m2.s−1. Il est alors possible d’identifier la première pente à l’heptane qui estbien l’espèce la plus volatile et la seconde pente au décane. L’écart observé sur le cas 50H/50Dprovient sûrement des concentrations initiales inexactes puisque les pentes sont correctes. Lesrésultats du code 1D sphérique sont en accord avec les expériences.

120

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CHAPITRE 2. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE STATIQUE

0 50 100 150 200 250

t (s/mm2)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

d2

Code 1D, 30% H - 70% D

Code 1D, 50% H - 50% D

Code 1D, 70% H - 30% D

Expe, 30% H - 70% D

Expe, 50% H - 50% D

Expe, 70% H - 30% D

Figure 2.9 – Diamètre réduit au carré en fonction du temps caractéristique pour plusieurscompositions initiales heptane/décane, Birouk (1996)

Le code 1D sphérique permet donc de décrire l’évaporation de gouttes isolées bi-composants.

121

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Section 3

Conclusion du chapitre 2

Dans ce chapitre, un algorithme permettant de faire de l’évaporation multi-composant aété présenté. Un code monodimensionnel sphérique, spécifique au cas d’une goutte statique isoléequi s’évapore en l’absence de gravité, a été développé pour tester cet algorithme. Les cas tests ontmontré que la solution du code convergeait toujours vers la solution théorique. Par la suite, celaa permis d’obtenir de bons accords entre les résultats du code et des résultats expérimentaux.

Finalement, un nouvel outil efficace a été développé pour simuler l’évaporation d’une gouttemulti-composante isolée. Il est notamment utile pour l’étude de cas expérimentaux. En effet, celui-ci offre une large plage de possibilités au niveau des phénomènes pris en compte et ce n’est pastoujours à la porté des codes multi-dimensionnel. De plus, sa relative simplicité permet d’ajouterfacilement les phénomènes désirés tant qu’ils sont à symétrie sphérique. La sphéricité resteratoujours la limitation de ce code monodimensionnel.

122

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CHAPITRE 3

L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENTLAMINAIRE

SommaireIntroduction du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

1 La mise en place de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

1.1 Le référentiel mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

1.2 La configuration des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

1.3 Les transferts de chaleur entre la goutte et le milieu extérieur . . . . . . . . . 129

1.4 Les efforts s’appliquant sur la goutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2 Influences des nombres de Reynolds et de Spalding sur la goutte . . . . . . . . . 131

2.1 Analyse du nombre de Nusselt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

2.2 Analyse de la force réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3 Influence du nombre de Prandtl P r sur la goutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.1 Analyse du nombre de Nusselt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

3.2 Analyse de la force réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4 Le modèle d’autopropulsion de la goutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.1 La chute de pression de l’écoulement de Stefan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.2 La dissymétrie du débit d’évaporation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.3 L’expression de la force de propulsion de la goutte . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Conclusion du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

123

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Section 1

Introduction du chapitre 3

Dans ce chapitre, l’objectif est d’étudier l’effet de l’évaporation sur une goutte en mouve-ment.

En l’absence de gravité, on examine l’influence de l’évaporation sur une goutte dans unécoulement laminaire uniforme. La configuration la plus simple de changement de phase estutilisée pour cette étude : une goutte s’évaporant dans un écoulement laminaire composé de lavapeur de la goutte. Le solveur GFTSB, dont l’efficacité a été démontrée par Tanguy et al. (2014),est donc employé dans les simulations. L’étude analyse l’évolution des échanges de chaleur et desefforts à la surface de la goutte. Elle est réalisée sur un espace des paramètres composé du nombrede Reynolds Re, caractérisant l’écoulement incident, du nombre de Spalding B, caractérisantcelui d’évaporation et du nombre de Prandtl Pr, comparant la diffusion thermique et visqueuse.Ce dernier apporte une nouvelle vision puisque dans la littérature, il est admis que les effortss’exerçant sur une goutte qui s’évapore dépendent de Re et de B. Or, le changement de phasereliant la thermique à la dynamique, l’importance relative de ces grandeurs doit normalementinfluencer le comportement de la goutte.

Dans la première partie, la configuration utilisée tout au long de l’étude va être décrite. En-suite, une étude paramétrique sur le nombre de Reynolds et le nombre de Spalding est présentée.Puis cette étude est étendue au nombre de Prandtl. Comme les études mettent en évidence qu’unegoutte en évaporation peut parfois se propulser, un modèle permettant de décrire ce phénomènede propulsion est exposé dans la dernière partie.

Les études sont réalisées avec la version 2 de DIVA, c’est une version dont j’ai participéau développement.

1 La mise en place de l’étude

1.1 Le référentiel mobile

Sans gravité, l’écoulement incident va pousser la goutte à l’extérieur du domaine de simu-lation. Pour qu’elle reste au centre du domaine, la méthode de référentiel mobile introduite dansla thèse de Mougin (2002) est utilisé.

Pour expliquer cette méthode, quelques rappels sur les référentiels mobiles et la composi-tion de vitesse sont effectués. Le référentiel du laboratoire, fixe et galiléen, est Rlab. Les vitessesexprimées dans ce référentiel sont les vitesses absolues va. Le second référentiel est celui de lagoutte nommé Rdrop. Il se déplace avec le centre de la goutte à une vitesse d’entraînement ve

calculée comme étant la moyenne des vitesses absolues de la phase liquide. Les vitesses expriméesdans Rdrop sont les vitesses relatives vr. Elles s’obtiennent en calculant la différence entre lesvitesses absolues et la vitesse d’entraînement. C’est la relation de composition des vitesses quis’écrit comme :

vr = va − ve (3.1)

La figure 3.1 représente les deux référentiels et les différentes vitesses d’un point M . Pourobtenir les vitesses, il y a donc 4 possibilités :

• résoudre les vitesses absolues va dans le référentiel du laboratoire Rlab ;

• résoudre les vitesses relatives vr dans le référentiel de la goutte Rdrop ;

124

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CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

ex

eyez

Ra

e′

x

e′

ye′

z

Rm

ve

va,M

−ve

vr,M

M

vr,M = va,M − ve

Figure 3.1 – Les différents référentiels et vitesses

• résoudre les vitesses relatives vr dans le référentiel du laboratoire Rlab ;

• résoudre les vitesses absolues va dans le référentiel de la goutte Rdrop .

Dans la méthode de Mougin (2002), les vitesses absolues va sont résolues dans le référentielde la goutte Rdrop. Pour un référentiel en translation, cette méthode s’applique en utilisant lavitesse relative comme vitesse de convection dans la dérivée particulaire. Par exemple, soit unchamp scalaire As dont la dérivée particulaire est égale à un terme source B. Dans un repèrefixe, l’équation de conservation de As est :

DAs

Dt=∂As

∂t+ va · ∇As = B (3.2)

Dans le cas d’un référentiel mobile en translation à la vitesse ve, va est remplacée parvr = va − ve :

DAs

Dt=∂As

∂t+ (va − ve) · ∇As = B (3.3)

1.2 La configuration des simulations

La goutte, de rayon r0 et de diamètre d0, est placée à la position (0, 0) dans un domaineaxisymétrique de taille [0, 16r0] × [−16r0, 16r0]. Un écoulement laminaire uniforme est injecté enz = −16r0. En l’absence de gravité, la goutte est poussée par l’écoulement incident jusqu’à quesa vitesse soit identique à celle de l’injection. La méthode de référentiel mobile permet de suivrece déplacement en gardant la goutte au centre du domaine. Mais, pour étudier l’influence dunombre de Reynolds, il faut que le différentiel de vitesse entre la goutte et le gaz reste constant.Pour cela, la vitesse d’entrée est fixée de manière à avoir une vitesse relative de vr,∞ = va,∞ −ve

entre la goutte et l’écoulement. Sa valeur est de v∞ = vr,∞ · er = 1m.s−1. Comme ce sont lesvitesses absolues qui sont résolues, la vitesse d’injection en z = −16r0 est donc de va,∞ = 1+ve.Une condition de sortie évacue l’écoulement en z = 16r0 et une condition de symétrie est imposéeen r = 16r0. Pour la température, une condition de Dirichlet de 873K est fixée sur z = −16r0,

125

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Section 1

−→er

−→ez

r0

16r0

32r0

INFLOW

va,∞ = 1 + ve

OUTFLOW

AXIS

SYMETRIC

Figure 3.2 – Configuration de calcul pour les simulations

r = 16r0 et z = 16r0. En r = 0, la géométrie axisymétrique impose une condition de flux nul pourla vitesse et la température. La figure 3.2 permet de visualiser la configuration des simulations.

Les influences de trois nombres adimensionnels vont être analysées. Le premier, le nombrede Reynolds Re, caractérise l’écoulement incident en comparant les effets visqueux, quantifiéspar la viscosité cinématique ν = µ/ρ, avec les effets d’inertie quantifiés par une longueur et unevitesse caractéristique de l’écoulement v∞d0. Le second, le nombre de Spalding B, caractérisel’évaporation en comparant la quantité de chaleur que peut recevoir la goutte, quantifiée parcp(T∞ − Tb), avec celle dont elle a besoin pour s’évaporer, quantifiée par Lv. Le dernier, lenombre de Prandtl Pr, compare les effets de diffusion thermique, quantifiés par le coefficientde diffusion thermique DT = λ/(ρcp) avec les effets de diffusion de quantité de mouvement,quantifiés par la viscosité cinématique ν = µ/ρ. Ces nombres, définis en fonction des propriétésde la phase gazeuse, sont donnés par les relations suivantes :

Re =ρgv∞d0

µg, B =

cp,g(T∞ − Tb)Lv

, P r =µgcp,g

λg. (3.4)

Les paramètres utilisées pour les simulations sont détaillées dans le tableau 3.1. Le diamètrede la goutte permet de faire varier le nombre de Reynolds entre 1 et 100. Pour le nombre deSpalding, c’est l’enthalpie de vaporisation qui permet de le faire varier de 0 à 8. Et, pour lenombre de Prandtl, le coefficient de conduction thermique est utilisé pour faire varier ce dernierde 0.01 à 5. Les gammes de ces nombres adimensionnels permettent de couvrir les conditions quel’on peut rencontrer dans les moteurs.

Les paramètres permettent d’avoir un nombre de Weber We = ρlv2∞d0/σ < 0.0235 pour

tous les cas. Les gouttes restent donc toujours sphériques. En effet, il faut avoir un nombre deWeber supérieur à 0.1 pour commencer à observer une déformation de la surface d’une goutte.

À l’instant initial, la vitesse est nulle dans tout le domaine. Pour la température, dans la

126

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CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

Paramètres fixes Unité Gaz Interface Liquide

ρ (kg.m−3) 1.226 · 100∅ 1.0 · 103

µ (Pa.s−1) 1.7 · 10−5∅ 1 · 10−3

cp (J.K−1.kg−1) 1.0 · 103∅ 2.0 · 103

λl (W.m−1.K−1) ∅ ∅ 1.61 · 10−1

σ (N.m−1) ∅ 7.2 · 10−2∅

Tb (K) ∅ 373 ∅

Paramètres variables Unité Varie en fonction de

d0 (m) Re

Lv (J.kg−1) B

λg (W.m−1.K−1) Pr

Tableau 3.1 – Paramètres utilisés pour les simulations

phase liquide elle est initialisée avec Tb = 373K et dans la phase gazeuse avec l’expression :

T (r, z) =

8Tb−T∞

7 + (T∞ − Tb)√

r2+z2

7r0, ∀

√r2 + z2 < 8r0

T∞ , ∀√r2 + z2 ≥ 8r0

. (3.5)

Cette expression sert à avoir un champ initial de température qui permette à la goutte detrouver son état stationnaire rapidement.

Le dernier point important est que le diamètre de la goutte va changer au cours dessimulations à cause de l’évaporation. Donc, pour bien estimer la valeur du nombre de Nusseltet de la force pour un nombre de Reynolds donné, les simulations démarrent avec un rayon de5% supérieur à r0. Cela permet à la goutte d’atteindre un état stationnaire avant d’arriver à unrayon de r0 où le nombre de Nusselt et la force sont relevés. La simulation se termine lorsque lerayon de la goutte a diminué de 5% par rapport au rayon initial r0.

1.3 Les transferts de chaleur entre la goutte et le milieu extérieur

Pour étudier les effets de l’évaporation sur les transferts thermiques, l’évolution du nombrede Nusselt Nu est analysée. Il compare les effets de convection thermique, caractérisés par lecoefficient d’échange convectif h, par rapport aux effets de diffusion thermique, caractérisés avecune longueur représentative L par λg/L. il s’exprime donc comme :

Nu =hL

λg. (3.6)

Pour le calculer, il faut connaître la valeur du coefficient h. Celui-ci est défini, pour unsurface S, comme le coefficient de proportionnalité liant les échanges convectifs Q à la différencede température ∆T :

S

Q · NS = hS∆T . (3.7)

127

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Section 1

Or, avec le solveur GFTSB, le flux thermique arrivant sur l’interface sert uniquement auchangement de phase. En définissant le débit massique total d’évaporation de la goutte mt, celaimplique :

S

Q · NS = mtLv . (3.8)

En notant Tb la température de la goutte et T∞ celle du l’écoulement incident, le coefficientd’échange convectif s’exprime alors comme :

h =mtLv

S (T∞ − Tb). (3.9)

Cette expression est injectée dans celle du nombre de Nusselt pour avoir :

Nu =mtLvL

λgS (T∞ − Tb). (3.10)

La goutte est assimilée à une sphère de rayon r0. Sa longueur de référence est le diamètre2r0 et sa surface est S = 4πr2

0 . Le nombre de Nusselt s’écrit alors sous la forme :

Nu =mtLv

2πλgr0 (T∞ − Tb). (3.11)

1.4 Les efforts s’appliquant sur la goutte

En l’absence de forces volumiques, les efforts s’appliquant sur la goutte sont décrits par letenseur des contraintes surfaciques T. Il y a les efforts de la pression −pI et de la viscosité 2µgD.Pour les calculer, il faut intégrer le tenseur des contraintes sur la surface de la goutte S. La forcetotale Ft s’exerçant sur la goutte est donc :

Ft =∮

S

(−pI + 2µgD) · NSdS . (3.12)

Dans la pratique, le tenseur des contraintes est calculée pour chaque cellule traversée parl’interface. Puis, il est intégré sur l’interface entière à l’aide des routines de reconstruction de lapartie 1 du chapitre 2. Dans les cas de forte évaporation, les efforts de pression, très sensiblesaux courants parasites, sont bruités et difficilement exploitables.

Pour avoir accès à une force propre, la première option est de la calculer à une distanced’une maille de l’interface. Les chocs sur la pression sont beaucoup moins forts puisque les cel-lules ne sont plus traversées par l’interface. L’erreur commise devient négligeable en raffinant lemaillage. La seconde option est d’utiliser le théorème de Green-Ostrogradsky (équation 7). Aulieu de calculer directement l’intégrale sur la surface de la goutte, un volume arbitraire V conte-nant la goutte est choisi. Puis, la force s’exerçant sur la goutte est calculée à partir de l’intégralevolumique de la divergence du tenseur des contraintes et de l’intégrale surfacique du tenseur descontraintes sur la frontière de ce volume :

V

∇ · (−pI + 2µgD) dV =∮

Γ

(−pI + 2µgD) · NSdS +∮

∂V

(−pI + 2µgD) · N∂V dS , (3.13)

128

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CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

soit :

Ft =∮

Γ

(−pI + 2µgD) · NSdS =∫

V

∇ · (−pI + 2µgD) dV −∮

∂V

(−pI + 2µgD) · N∂V dS . (3.14)

Le calcul de la force totale ne dépend plus des valeurs présentes au niveau de l’interface.C’est avantageux car les erreurs sont principalement localisées à l’interface.

Pour calculer la force s’exerçant sur la goutte, il y a donc deux méthodes disponibles. Uneméthode directe qui est nommée la méthode surfacique et une méthode indirecte nommée laméthode volumique.

Il est utile d’ajouter que la force totale s’exerçant sur la goutte peut se décomposer en uneforce due à la pression Fp et une force due aux effets visqueux Fv :

Ft =∫

Γ

(−pI) · NSdS +∫

Γ

(2µgD) · NSdS = Fp + Fv . (3.15)

Les résultats présentés par la suite sont adimensionnés par la force s’exerçant sur une parti-cule solide dans le régime de Stokes. C’est le produit de la vitesse relative d’entrée v∞, la viscositédynamique du gaz µg et le diamètre de la particule d0. La force de traînée adimensionnelle estappelée force réduite Ft. Elle s’obtient à partir de Ft comme :

Ft =Ft

µgv∞d0. (3.16)

Dans la littérature, le coefficient de traînée Cd est souvent utilisé pour caractériser les forcesaérodynamiques s’exerçant sur un objet. Toutefois, pour les cas étudiés, les nombres de Reynoldssont petits et, en présence d’évaporation avec les paramètres choisis, la force réduite permetd’avoir une compréhension plus simple et plus intuitive des phénomènes physiques rencontrés. Lepassage de Cd à Ft s’effectue par :

Cd =Ft · ez

12ρgv2

(πd2

0

4

) =8

πReFt · ez . (3.17)

2 Influences des nombres de Reynolds et de Spalding surla goutte

Dans cette partie, une première étude paramétrique est effectuée en faisant varier le nombrede Reynolds et le nombre de Spalding pour un nombre de Prandtl fixé. L’objectif est d’étudierle couplage entre l’écoulement incident et celui provoqué par l’évaporation. Dans cette étude,les propriétés thermodynamiques, fixant le nombre de Prandtl à 0.33, sont données dans le ta-bleau 3.1.

L’espace des paramètre est décrit par un nombre de Reynolds décrivant la gamme 1, 5,10, 20, 40, 60, 80, 100, et un nombre de Spalding décrivant 0, 1, 2, 4, 8. Le diamètre de la goutteest utilisé pour faire varier le nombre de Reynolds. Pour le nombre de Spalding, c’est la chaleurlatente d’évaporation. Le nombre de Reynolds maximal est fixé à 100 afin que le diamètre de lagoutte assure un nombre de Weber faible, We < 0.0235, impliquant la sphéricité de la goutte. Lenombre de Reynolds minimal est de 1 pour que les effets inertiels soient toujours dominants. Cinq

129

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Section 2

nombres de Spalding sont choisis afin de décrire le plus largement les conditions d’évaporationexistantes. Le nombre de Spalding nul correspond à un écoulement sans changement de phase oùil n’y a pas de couplage entre la thermique et la dynamique. Ensuite, les nombres de Spaldingmodérés, B = 1 et B = 2 représentent des conditions de changement de phase rencontrées dansles nuages ou les applications de refroidissement. Enfin, les nombres de Spalding forts, B = 4 etB = 8, sont caractéristiques des conditions de combustion trouvées dans les moteurs.

2.1 Analyse du nombre de Nusselt

Dans cette partie, les échanges thermiques entre la goutte et le milieu extérieur sont ana-lysés.

Pour vérifier si les résultats sont spatialement convergés, une étude avec les maillages128 × 256, 256 × 512 et 512 × 1024 est réalisée sur quelques points de l’espace paramétrique.Les valeurs de cette étude sont données dans le tableau 3.2 et comparées avec celles issues descorrélations de Whitaker (1972) et Renksizbulut & Yuen (1983).

Maillage

128 × 256 256 × 512 512 × 1024 Whit. Renk.

Re = 20B = 0 2.82 · 100 3.10 · 100 3.25 · 100 3.42 · 100 3.77 · 100

B = 8 8.07 · 10−1 7.98 · 10−1 7.94 · 10−1 - 8.09 · 10−1

Re = 80B = 0 4.11 · 100 4.70 · 100 4.96 · 100 4.99 · 100 5.54 · 100

B = 1 3.15 · 100 3.19 · 100 3.19 · 100 - 3.41 · 100

B = 8 1.15 · 100 1.11 · 100 1.10 · 100 - 1.19 · 100

Tableau 3.2 – Étude de la convergence spatiale du nombre de Nusselt, les résultats sontcomparés aux corrélations de Whitaker (1972) et Renksizbulut & Yuen (1983)

En présence d’évaporation, la convergence est beaucoup plus rapide. Par exemple, pourRe = 80, les résultats des cas avec changement de phase B = 1 et B = 8 sont identiquessur les trois maillages. Ce n’est pas le cas pour B = 0 où une convergence spatiale plus lente estobservée. Ce comportement s’explique par le fait que les couches limites thermiques sont souffléespar l’écoulement provenant du changement de phase. Les couches limites étant plus épaisses, unmaillages plus grossier permet de calculer correctement les gradients.

Pour bien illustrer ce phénomène, les champ de température et les lignes de courant ontété tracés sur la figure 3.3 pour différents couples (Re,B). Les axes sont adimensionnés parle diamètre initial de la goutte r0 pour former le rayon réduit r = r/r0 et la hauteur réduitez = z/r0. Ils mettent en évidence que la zone froide est beaucoup plus étendue sur les cas oùle changement de phase est fort : la figure 3.3b, la figure 3.3d et la figure 3.3f. Il est d’ailleursà l’origine de la diminution du nombre de Nusselt lorsque l’évaporation augmente. En effet, descouches limites thermiques plus épaisses impliquent des gradients thermiques plus faibles. Cesgradients diminuent donc le transfert thermique et, par conséquent, le nombre de Nusselt.

Les résultats issus des simulations sont présentés sur la figure 3.4a. Ils sont comparés auxcorrélations classiques qui sont celles de Ranz & Marshall (1952a) notée NuRM , Whitaker (1972)notée NuW et Renksizbulut & Yuen (1983) notée NuRY :

NuRM = 2 + (0.4Re1/2 + 0.06Re2/3)Pr0.4 , (3.18)

130

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CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

373

423

473

523

573

623

673

723

773

823

873

T (K)

Re = 1

B = 1

(a) cas Re = 1 et B = 1

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

373

423

473

523

573

623

673

723

773

823

873

T (K)

Re = 1

B = 8

(b) cas Re = 1 et B = 8

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

373

423

473

523

573

623

673

723

773

823

873

T (K)

Re = 60

B = 1

(c) cas Re = 60 et B = 1

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

373

423

473

523

573

623

673

723

773

823

873

T (K)

Re = 60

B = 8

(d) cas Re = 60 et B = 8

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

373

423

473

523

573

623

673

723

773

823

873

T (K)

Re = 100

B = 1

(e) cas Re = 100 et B = 1

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

373

423

473

523

573

623

673

723

773

823

873

T (K)

Re = 100

B = 8

(f) cas Re = 100 et B = 8

Figure 3.3 – Champ de température et ligne de courant pour différents couples (Re,B),r = r/r0 et z = z/r0

131

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Section 2

0 20 40 60 80 100

Re

0

2

4

6

8

10

Nu

Present study, B=0

Present study, B=1

Present study, B=2

Present study, B=4

Present study, B=8

Ranz-Marshall

Whitaker

Renksizbulut

B=0

B=1

B=2

B=4

B=8

(a) Comparaisons avec les corrélations de Ranz &

Marshall (1952a), Whitaker (1972) et Renksizbulut &

Yuen (1983)

0 20 40 60 80 100

Re

0

2

4

6

8

10

Nu

Present study, B=0

Present study, B=1

Present study, B=2

Present study, B=4

Present study, B=8

Present study, B=0

Present study, B=1

Present study, B=2

Present study, B=4

Present study, B=8

B=0

B=1

B=2

B=4

B=8

(b) Corrélation établie avec les résultats dessimulations

Figure 3.4 – Nombre de Nusselt en fonction du nombre de Reynolds pour différents nombre detransferts

NuW = 2 + (0.4Re1/2 + 0.06Re2/3)Pr0.4

(µ∞µ0

)1/4

, (3.19)

NuRY =(

2 + 0, 57Re1/2Pr1/3)

(1 +B)−0,7. (3.20)

Tout d’abord, pour le cas sans évaporation, les résultats sont similaires à ceux de la corré-lation de Whitaker (1972) valable pour 3.5 < Re < 7.6·104 et 0.71 < Pr < 380. Elle introduit unedépendance avec le rapport entre la viscosité dynamique évaluée à la température de l’écoulementincident µ∞ et celle évaluée à la température de la surface de la goutte µ0. Dans ce manuscrit, cerapport vaut 1, les propriétés thermophysiques étant constantes. Par contre, pour la corrélationde Ranz & Marshall (1952a), il y a un écart avec les points calculés. Cela peut s’expliquer par lefait que cette corrélation a été établie avec une sphère solide. Il y a donc une différence avec unegoutte dont la surface peut varier. Pour la corrélation de Renksizbulut & Yuen (1983), établiepour 25 < Re < 2000 et 0.07 < Pr < 380, les résultats présentent un écart avec la corrélation.Cette différence a été jugée acceptable pour la suite sachant qu’il est du même ordre de grandeurque celui avec la corrélation de Ranz & Marshall (1952a) et que l’évolution avec Re est identique.

Pour les cas avec de l’évaporation, seule la comparaison avec corrélation de Renksizbulut& Yuen (1983) est possible. Les résultats obtenus sont en accord avec la corrélation proposée.Les champs thermiques sont donc correctement décrits en présence de changement de phase.

Pour conclure, une corrélation a été obtenue avec les points des simulations numériques.La fonction trouvée, valide pour 1 6 Re 6 100, 0 6 B 6 8 et Pr0.33 est :

Nu =(

2 + 0, 4Re1/2)

(1 +B)−0,641 . (3.21)

Elle est très proche de celle obtenue par Renksizbulut & Yuen (1983) puisque 0.57 ×Pr0.33 = 0.3954. Cela conforte la validité des résultats. Si des lecteurs sont intéressés par l’étudesur le nombre Nusselt, des corrélations supplémentaires sont disponibles dans Spalding (1953),Downing (1966), Narashimhan & Gauvin (1967) ou Harpole (1981).

132

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CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

2.2 Analyse de la force réduite

Maintenant, les efforts s’exerçant sur la goutte sont analysés.Premièrement, la convergence spatiale de la solution par rapport à l’effort calculé est

vérifiée. Pour les maillages 128 × 256, 256 × 512, 512 × 1024 et 1024 × 2048 la force réduiteobtenue est relevée pour différents couples (Re,B). Les résultats présentés dans le tableau 3.3, letableau 3.5, le tableau 3.4, le tableau 3.6 et le tableau 3.7 montrent la force réduite et ses deuxcomposantes en fonction de la méthode utilisée pour le calcul et du maillage.

Maillage

128 × 256 256 × 512 512 × 1024 1024 × 2048

Fvméthode S. 1.19 · 101 1.23 · 101 1.26 · 101 1.28 · 101

méthode V. 1.25 · 101 1.32 · 101 1.31 · 101 1.35 · 101

Fpméthode S. 8.38 · 100 8.06 · 100 8.00 · 100 7.89 · 100

méthode V. 8.93 · 100 8.29 · 100 8.10 · 100 7.87 · 100

Ftméthode S. 2.03 · 101 2.04 · 101 2.06 · 101 2.07 · 101

méthode V. 2.15 · 101 2.15 · 101 2.12 · 101 2.14 · 101

Tableau 3.3 – Étude de la convergence spatiale des composantes de la force pour les deuxméthodes de calcul à Re = 20, B = 0

Maillage

128 × 256 256 × 512 512 × 1024 1024 × 2048

Fvméthode S. 1.47 · 101 1.76 · 101 1.90 · 101 1.95 · 101

méthode V. 1.52 · 101 1.84 · 101 1.97 · 101 2.06 · 101

Fpméthode S. 2.19 · 101 1.88 · 101 1.78 · 101 1.71 · 101

méthode V. 2.08 · 101 1.85 · 101 1.80 · 101 1.72 · 101

Ftméthode S. 3.66 · 101 3.64 · 101 3.67 · 101 3.65 · 101

méthode V. 3.61 · 101 3.69 · 101 3.76 · 101 3.78 · 101

Tableau 3.4 – Étude de la convergence spatiale des composantes de la force pour les deuxméthodes de calcul à Re = 80, B = 0

Les deux méthodes de calcul présentent des différences sur les maillages grossiers maisles différences se réduisent en raffinant les maillages. Les méthodes surfacique et volumique sontdonc équivalentes.

La convergence spatiale de la force totale est visible mais elle n’est pas tout le tempsnette, notamment sur les cas avec évaporation. La source de ce problème est que les effortsvisqueux ne convergent pas forcément à la même vitesse que les efforts de pression. Par exemple,sur le tableau 3.5, les efforts visqueux convergent rapidement alors que la convergence de ceuxde pression est plus lente. La convergence de la force totale est donc difficile à interpréter. Laconvergence séparée des composantes est donc le meilleur indicateur pour vérifier la convergencespatiale.

133

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Section 2

Maillage

128 × 256 256 × 512 512 × 1024 1024 × 2048

Fvméthode S. 2.26 · 100 2.61 · 100 2.44 · 100 2.33 · 100

méthode V. 3.74 · 100 3.09 · 100 2.58 · 100 2.43 · 100

Fpméthode S. 5.97 · 100 5.15 · 100 4.57 · 100 4.21 · 100

méthode V. 8.31 · 100 6.34 · 100 5.16 · 100 4.16 · 100

Ftméthode S. 8.63 · 100 7.76 · 100 7.00 · 100 6.54 · 100

méthode V. 1.21 · 101 9.44 · 100 7.74 · 100 6.59 · 100

Tableau 3.5 – Étude de la convergence spatiale des composantes de la force pour les deuxméthodes de calcul à Re = 20, B = 8

Maillage

128 × 256 256 × 512 512 × 1024 1024 × 2048

Fvméthode S. 1.08 · 101 1.08 · 101 1.03 · 101 9.89 · 100

méthode V. 1.17 · 101 1.12 · 101 1.06 · 101 1.02 · 101

Fpméthode S. 2.30 · 101 2.08 · 101 2.00 · 101 1.94 · 101

méthode V. 2.27 · 101 2.07 · 101 2.05 · 101 1.97 · 101

Ftméthode S. 3.38 · 101 3.16 · 101 3.03 · 101 2.92 · 101

méthode V. 3.44 · 101 3.19 · 101 3.12 · 101 2.98 · 101

Tableau 3.6 – Étude de la convergence spatiale des composantes de la force pour les deuxméthodes de calcul à Re = 80, B = 1

Maillage

128 × 256 256 × 512 512 × 1024 1024 × 2048

Fvméthode S. 4.26 · 100 3.97 · 100 3.72 · 100 3.55 · 100

méthode V. 4.53 · 100 4.09 · 100 3.76 · 100 3.59 · 100

Fpméthode S. 2.08 · 101 2.02 · 101 1.93 · 101 1.85 · 101

méthode V. 2.02 · 101 2.01 · 101 2.09 · 101 1.93 · 101

Ftméthode S. 2.51 · 101 2.42 · 101 2.30 · 101 2.20 · 101

méthode V. 2.47 · 101 2.42 · 101 2.47 · 101 2.29 · 101

Tableau 3.7 – Étude de la convergence spatiale des composantes de la force pour les deuxméthodes de calcul à Re = 80, B = 8

134

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CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

Finalement, ces résultats montrent que les simulations sont convergées spatialement. Eneffet, lorsque le nombre de points dans le domaine augmente, l’écart entre les composantes de laforce calculées sur deux maillages successifs diminue.

0 20 40 60 80 100

Re

0

20

40

60

Ft

Present study, B=0

Present study, B=1

Present study, B=2

Present study, B=4

Present study, B=8

Schiller-Naumann

Renksizbulut, B=0

B=0

B=1

B=2

B=4

B=8

0

-2

2

4

Figure 3.5 – Force réduite totale en fonction du nombre de Reynolds pour plusieurs nombresde Spalding

La figure 3.5 montre l’influence de l’évaporation et de l’écoulement extérieur sur la forcetotale. Elle permet de noter trois choses.

Tout d’abord, les résultats pour les cas sans évaporation sont cohérents avec les corrélationsde Schiller & Naumann (1935), notée FSN

t , et de Renksizbulut & Yuen (1983), notée FRYt qui

ont été corroborées par de nombreux auteurs. Elles sont données par :

FSNt = 3π

(1 + 0.15Re0.687

), (3.22)

FRYt =

πRe

8

(24Re

+ 4.8Re−0.37

)(1 +B)−0.2

. (3.23)

Ensuite, d’après les résultats, l’évaporation tend à réduire les efforts exercés sur la sur-face de la goutte. C’est un phénomène attendu car l’écoulement de Stefan souffle les coucheslimites autour de la goutte réduisant l’influence de l’écoulement extérieur. Il est observable surla figure 3.6 où, pour différents couples (Re,B), sont tracés les champs de la composante θ de lavorticité réduite ainsi que les lignes de courant. La vorticité, liée à la dissipation visqueuse, estplus faible quand il y a de l’évaporation.

Enfin, à bas nombre de Reynolds et grand nombre de transfert, le changement de phaseconduit à un comportement très surprenant avec une inversion force s’appliquant sur la goutte.Cela signifie que la goutte remonte dans l’écoulement incident. Cet effet étant présent sur un seulpoint (zoom figure 3.5), il est légitime de se poser la question de sa validité.

135

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Section 2

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 1

B = 1

(a) cas Re = 1 et B = 1

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 1

B = 8

(b) cas Re = 1 et B = 8

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 60

B = 1

(c) cas Re = 60 et B = 1

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 60

B = 8

(d) cas Re = 60 et B = 8

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 100

B = 1

(e) cas Re = 100 et B = 1

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 100

B = 8

(f) cas Re = 100 et B = 8

Figure 3.6 – Champ de la composante Z de la vorticité réduite ωθ = ωθr0/vr,∞ et ligne decourant pour différents cas, r = r/r0 et z = z/r0

136

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CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

0 20 40 60 80 100

Re

0

10

20

30

Fv

Present study, B=0

Present study, B=1

Present study, B=2

Present study, B=4

Present study, B=8

Present study, B=0

Present study, B=1

Present study, B=2

Present study, B=4

Present study, B=8B=0

B=1

B=2

B=4

B=8

Figure 3.7 – Composante visqueuse de la force réduite en fonction du nombres de Reynoldspour plusieurs nombres de Spalding

0 20 40 60 80 100

Re

0

10

20

30

Fp

Present study, B=0

Present study, B=1

Present study, B=2

Present study, B=4

Present study, B=8

Present study, B=0

Present study, B=1

Present study, B=2

Present study, B=4

Present study, B=8B=0

B=1

B=2

B=4

B=8

Figure 3.8 – Composante de pression de la force réduite en fonction du nombres de Reynoldspour plusieurs nombres de Spalding

137

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Section 3

Pour s’assurer que ce n’est pas une erreur, les deux composantes de la force réduite sonttracées : la composante visqueuse sur la figure 3.7 et la composante de pression sur la figure 3.8.La figure 3.7 montre que le comportement des forces visqueuses est classique : plus l’évaporationaugmente, plus elles sont faibles. C’est la conséquence du soufflage des couches limites par lephénomène de changement de phase. Par contre, la figure 3.8 montre un comportement moinstrivial des forces de pression. Suivant le nombre de Reynolds, le changement de phase affaiblitou renforce les efforts de pression par rapport au cas sans changement de phase. La limite entreces deux comportements est définie par un nombre de Reynolds critique qui varie avec la valeurdu nombre de transfert.

Enfin, les résultats montrent que la force de pression peut être négative en plusieurs points.Le résultat sur la force totale n’est donc pas une erreur de calcul. Cela permet aussi d’affirmerque l’inversion de la traînée est une conséquence des forces de pression. C’est un résultat logiquecar, par définition, les forces visqueuses sont opposées à la direction de la vitesse. Il est impossiblequ’elles induisent une traînée négative. Par contre, les forces de pression sont un candidat idéalcar elles dépendent de la répartition des effets de pression sur la surface de la goutte. Il n’estdonc pas exclu que, dans certaines configurations, leur somme soit négative.

Grâce aux points obtenus avec les simulations numériques, des corrélation décrivant lacomposante de pression et la composante visqueuse de la force sont obtenues. Elles sont validespour 1 6 Re 6 100, 0 6 B 6 8 et Pr = 0.33, et s’écrivent comme :

Fv = 0, 126 + 0, 291Re0,41 + 4, 61 (1 +B)−0,869 + 1, 91Re0,43 (1 +B)−1,13, (3.24)

F pp = 6.69 + 0, 784Re0,787 − 2.35 (1 +B)0.466 − 0, 386Re0,744 (1 +B)−0.561. (3.25)

En additionnant les deux corrélations, nous pouvons obtenir la force totale et décrire soninversion. Sur la figure 3.7, la figure 3.8 et la figure 3.5, les traits pleins représentent les corrélationsainsi obtenues.

3 Influence du nombre de Prandtl Pr sur la goutte

Dans la section précédente, il a été montré que les effets hydrodynamiques et les effetsthermiques sont fortement liés grâce au phénomène d’évaporation. Il est alors pertinent de sedemander dans quelles configurations la thermique sera dominante par rapport à l’hydrodyna-mique et inversement. Pour cela, il faut utiliser le nombre de Prandtl Pr qui compare les effetsde diffusion thermique avec les effets de diffusion de quantité de mouvement. Cela va permettred’analyser le comportement du nombre de Nusselt et des forces exercées sur la goutte lorsquel’écoulement est dominé par les effets thermiques, Pr < 1, ou par les effets hydrodynamiques,Pr > 1.

Pour ces simulations, le nombre de Reynolds varie dans la gamme 10, 20, 40, 60, 80, lenombre de Spalding dans la gamme 1, 4, 8, et le nombre de Prandtl dans la gamme 0.01, 0.02,0.03, 0.04, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 1, 2, 3, 4, 5. Par rapport à l’étude précédente, les nombresde Reynolds faibles sont supprimés car ils n’apportent pas une compréhension accrue des effetsdu nombre de Prandtl. Le nombre de Spalding nul est aussi supprimé car sans évaporation, il n’ya pas de couplage entre le changement de phase et l’écoulement externe. La gamme du nombrePrandtl est donc la plus large car c’est le paramètre dont il faut comprendre l’influence. En

138

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CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

général, les faibles valeurs du nombre de Prandtl, Pr << 1, sont représentatives des métauxliquide pour lesquels la diffusion thermique est largement supérieure à la diffusion visqueuse. Àl’inverse, les grandes valeurs du nombre de Prandtl, Pr >> 1, sont caractéristiques des huiles. Eneffet, pour celle-ci, la diffusion visqueuse est bien plus élevée que la diffusion thermique. Enfin,les valeurs modérées du nombre de Prandtl, 0.1 < Pr < 2, sont rencontrés pour la plupart desgaz existants. C’est ce qui correspond au centre de l’ensemble. L’étude paramétrique est doncreprésentative des conditions réelles.

3.1 Analyse du nombre de Nusselt

Dans cette partie, l’évolution du nombre de Nusselt lorsque le nombre de Prandtl varie estétudiée. Pour cela, la figure 3.9, la figure 3.10 et la figure 3.11 présentent le nombre de Nusselt enfonction du nombre de Prandtl pour différents nombres de Reynolds avec un nombre de Spaldingvalant respectivement 1, 4 et 8.

10−2 10−1 100

Pr

0

2

4

6

8

Nu

Present study, Re = 10

Present study, Re = 20

Present study, Re = 40

Present study, Re = 60

Present study, Re = 80

Fit, Re = 10

Fit, Re = 20

Fit, Re = 40

Fit, Re = 60

Fit, Re = 80

Figure 3.9 – de Nusselt en fonction du nombre de Prandtl pour plusieurs nombres de Reynoldsavec un nombre de Spalding de B = 1

Si l’on considère que pour un nombre de Reynolds donné, la taille de la couche limitedynamique est fixée, cela signifie que la couche limite thermique diminue lorsque le nombre dePrandtl augmente. Si la différence de température est inchangée, le gradient à la surface de l’objetaugmente ce qui induit une augmentation du nombre de Nusselt.

Dans le cas de la goutte, ce raisonnement est confirmé par les résultats et l’évaporation nechange pas ce comportement. Il est alors possible de trouver une formule pour décrire l’ensemblede points obtenus :

Nu =(2 + 0.565Re0.502Pr0.477

)(1 +B)−0.675 . (3.26)

En regardant les coefficients, il s’avère que les puissances du nombre de Reynolds et dunombre de Prandtl sont très proches. Or, le nombre de Péclet Pe est définit comme le produit du

139

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Section 3

10−2 10−1 100

Pr

0

2

4

6

8

Nu

Present study, Re = 10

Present study, Re = 20

Present study, Re = 40

Present study, Re = 60

Present study, Re = 80

Fit, Re = 10

Fit, Re = 20

Fit, Re = 40

Fit, Re = 60

Fit, Re = 80

Figure 3.10 – Nombre de Nusselt en fonction du nombre de Prandtl pour plusieurs nombres deReynolds avec un nombre de Spalding de B = 4

10−2 10−1 100

Pr

0

2

4

6

8

Nu

Present study, Re = 10

Present study, Re = 20

Present study, Re = 40

Present study, Re = 60

Present study, Re = 80

Fit, Re = 10

Fit, Re = 20

Fit, Re = 40

Fit, Re = 60

Fit, Re = 80

Figure 3.11 – Nombre de Nusselt en fonction du nombre de Prandtl pour plusieurs nombres deReynolds avec un nombre de Spalding de B = 8

140

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CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

nombre de Reynolds et du nombre de Prandtl Pe = RePr. Il compare les transferts thermiquespar convection avec les transferts thermiques par conduction. Et, d’après les résultats, il estpossible de remplacer la dépendance en nombre de Reynolds et en nombre de Prandtl avec unedépendance en nombre de Péclet pour obtenir :

Nu =(2 + 0.602Pe0.483

)(1 +B)−0.673

. (3.27)

Cette nouvelle corrélation permet d’obtenir une courbe pour chaque nombre de transfertB qui unifie les variations du nombre de Reynolds et du nombre de Prandtl sous les variationsdu nombre de Péclet. Les courbes sont présentées respectivement pour B = 1, B = 4 et B = 8sur la figure 3.12, la figure 3.13 et la figure 3.14. C’est une dépendance qui a déjà été avancéede manière théorique pour l’évaporation de goutte en mouvement dans un gaz par Montlucon(1975) et dans un liquide par Battya et al. (1985).

10−1 100 101 102

Pe

0

2

4

6

8

Nu

Present study, Re = 10

Present study, Re = 20

Present study, Re = 40

Present study, Re = 60

Present study, Re = 80

Fit Peclet

Figure 3.12 – Nombre de Nusselt en fonction du nombre de Péclet avec un nombre de Spaldingde B = 1

C’est un résultat important qui montre qu’en présence d’évaporation, la variation dunombre de Nusselt ne dépend pas des effets visqueux du fluide.

Pour bien visualiser les effets décrit précédemment, des champs de température avec leslignes de courant sont tracés sur la figure 3.15 pour quatre cas dont les nombres de Péclet valentPe = 4 : Re = 10 et Pr = 0.4, Re = 20 et Pr = 0.2, Re = 40 et Pr = 0.1, Re = 80 et Pr = 0.05.Cela montre que, malgré les structures différentes de l’écoulement, les champs de températuresont identiques dans la zone proche de la goutte sur les quatre cas.

141

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Section 3

10−1 100 101 102

Pe

0

2

4

6

8

Nu

Present study, Re = 10

Present study, Re = 20

Present study, Re = 40

Present study, Re = 60

Present study, Re = 80

Fit Peclet

Figure 3.13 – Nombre de Nusselt en fonction du nombre de Péclet avec un nombre de Spaldingde B = 4

10−1 100 101 102

Pe

0

2

4

6

8

Nu

Present study, Re = 10

Present study, Re = 20

Present study, Re = 40

Present study, Re = 60

Present study, Re = 80

Fit Peclet

Figure 3.14 – Nombre de Nusselt en fonction du nombre de Péclet avec un nombre de Spaldingde B = 8

142

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CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

373

423

473

523

573

623

673

723

773

823

873

T (K)

Re = 10

B = 8

Pr = 0.40

(a) cas Re = 10 et P r = 0.4

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

373

423

473

523

573

623

673

723

773

823

873

T (K)

Re = 20

B = 8

Pr = 0.20

(b) cas Re = 20 et P r = 0.2

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

373

423

473

523

573

623

673

723

773

823

873

T (K)

Re = 40

B = 8

Pr = 0.10

(c) cas Re = 40 et P r = 0.1

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

373

423

473

523

573

623

673

723

773

823

873

T (K)

Re = 80

B = 8

Pr = 0.05

(d) cas Re = 80 et P r = 0.05

Figure 3.15 – Champ de température et ligne de courant pour quatre cas avec Pe = 4 etB = 8, r = r/r0 et z = z/r0

La figure 3.16 montre, pour les quatre cas précédents, les profils le long de l’axe central dela température réduite définie par :

T =T − Tb

T∞ − Tb(3.28)

Elle met en évidence que les profils température sont strictement identiques pour les quatreconfigurations. Les seuls écarts visibles se situent dans la zone de recirculation des gouttes. Cesécarts sont provoqués par les tourbillons situés à l’arrière des gouttes mais, ils ne changent pasle profil thermique dans la zone proche de la goutte. En effet, l’écoulement d’évaporation imposeun profil de température dans cette zone qui implique que seul le nombre de Péclet influence lenombre de Nusselt. Ce dernier est donc indépendant de la viscosité du gaz.

Si l’on regarde les nombres de Nusselt angulaire Nuθ(θ) à la surface des gouttes, tracéssur la figure 3.17 en fonction de l’angle θ avec l’axe r, ils sont similaires.

Finalement, on peut affirmer qu’en présence d’évaporation, le nombre de Nusselt d’unegoutte est contrôlé uniquement par les nombres de Péclet et de Spalding.

143

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Section 3

Figure 3.16 – Profil de la température réduite T le long de l’axe central r = 0

Figure 3.17 – Nombre de Nusselt angulaire Nuθ(θ) en fonction de θ pour Pe = 4 et B = 8

144

Page 145: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

3.2 Analyse de la force réduite

On considère généralement la force s’exerçant sur une goutte qui s’évapore ne dépend quedu nombre de Reynolds Re et de celui de Spalding B. Dans cette section, nous démontronsque le nombre de Prandtl Pr à également une influence significative sur cette force. Pour cela,d’après l’étude de l’influence du nombre de Reynolds et du nombre de Spalding, les contributionsvisqueuses et de pression sont étudiées séparément.

Les résultats des contributions visqueuses sont présentés sur la figure 3.18, la figure 3.19et la figure 3.20 qui représentent la force visqueuse réduite s’exerçant sur la goutte en fonctiondu nombre de Prandtl pour différents nombres de Reynolds. Les nombres de Spalding valentrespectivement 1, 4 et 8.

Ces figures montrent que les forces visqueuses se renforcent lorsque le nombre de Prandtlaugmente, ce qui est logique. À un couple (Re,B) fixé, correspond un certain rapport entrela taille des couches limites thermiques et dynamiques. Il est lié à l’équilibre entre l’écoulementincident et celui de Stefan. Le nombre de Prandtl, mesurant le rapport entre la diffusion visqueuseet la diffusion thermique, caractérise ce rapport. Quand il augmente, l’hydrodynamique devientmajoritaire par rapport à la thermique. Donc, l’écoulement incident confine l’écoulement de Stefancontre la goutte ce qui renforce les gradients de vitesse et la dissipation visqueuse. À l’inverse,lorsque le nombre de Prandtl est petit, les forces visqueuses tendent vers 0. C’est l’écoulementde Stefan qui repousse l’écoulement incident réduisant ainsi les gradients de vitesse et les forcesvisqueuses.

10−2 10−1 100

Pr

0

5

10

15

20

Fv

Present study, Re = 10

Present study, Re = 20

Present study, Re = 40

Present study, Re = 60

Present study, Re = 80

Fit, Re = 10

Fit, Re = 20

Fit, Re = 40

Fit, Re = 60

Fit, Re = 80

Figure 3.18 – Composante visqueuse de la force réduite en fonction du nombre de Prandtlpour différents nombre de Reynolds avec un nombre de Spalding de B = 1

Comme pour le nombre de Nusselt, il est possible de trouver une formule pour décrirel’ensemble des points obtenus :

145

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Section 3

10−2 10−1 100

Pr

0

5

10

15

20

Fv

Present study, Re = 10

Present study, Re = 20

Present study, Re = 40

Present study, Re = 60

Present study, Re = 80

Fit, Re = 10

Fit, Re = 20

Fit, Re = 40

Fit, Re = 60

Fit, Re = 80

Figure 3.19 – Composante visqueuse de la force réduite en fonction du nombre de Prandtlpour différents nombre de Reynolds avec un nombre de Spalding de B = 4

10−2 10−1 100

Pr

0

5

10

15

20

Fv

Present study, Re = 10

Present study, Re = 20

Present study, Re = 40

Present study, Re = 60

Present study, Re = 80

Fit, Re = 10

Fit, Re = 20

Fit, Re = 40

Fit, Re = 60

Fit, Re = 80

Figure 3.20 – Composante visqueuse de la force réduite en fonction du nombre de Prandtlpour différents nombre de Reynolds avec un nombre de Spalding de B = 8

146

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CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

Fv =Re0.274 (1 +B)−1.06

−0.01 + 0.173 (1 +B)−0.85 + 0.0237Pr−1.03. (3.29)

Cette formule permet d’avoir une force qui tend vers 0 lorsque le nombre de Prandtl tendvers 0. Toutefois, elle ne permet pas de décrire correctement le comportement sans évaporation :la tendance est respectée mais il existe un écart avec les valeurs données par l’équation 3.24. Pourcorriger ce défaut, il faut inclure des valeurs sans évaporation lors de la création de la formulemais les simulations n’ont pas été réalisées.

Dans un second temps, la contribution des efforts de pression a été analysée. Les résultatssont présentés sur la figure 3.21, la figure 3.22 et la figure 3.23 qui représentent la force de pressionréduite s’exerçant sur la goutte en fonction du nombre de Prandtl pour différents nombres deReynolds. Les nombres de Spalding valent respectivement 1, 4 et 8.

Les courbes montrent qu’en présence d’évaporation, le nombre de Prandtl change le com-portement des efforts de pression. Pour les petits nombres de Prandtl, la valeur de la force décroîtfortement et devient même négative. Le comportement décrit à petit nombre de Reynolds dansla partie 2 précédente n’est donc pas anecdotique. Il peut être mis en évidence pour des nombresde Reynolds de l’ordre de 10 dans la gamme des nombres de Prandtl choisis.

10−2 10−1 100

Pr

−50

−25

0

25

50

Fp

Present study, Re = 10

Present study, Re = 20

Present study, Re = 40

Present study, Re = 60

Present study, Re = 80

Fit, Re = 10

Fit, Re = 20

Fit, Re = 40

Fit, Re = 60

Fit, Re = 80

Figure 3.21 – Composante de pression de la force réduite en fonction du nombre de Prandtlpour différents nombre de Reynolds avec un nombre de Spalding de B = 1

De plus, pour de grands nombres de Prandtl, l’évaporation change très peu la force exer-cée sur la goutte. Ce comportement est logique car, à fort nombre de Prandtl, ce sont les effetshydrodynamiques qui sont importants. Identiquement au cas des efforts visqueux, l’effet de l’écou-lement incident devient prépondérant et il confine celui de Stefan dans une zone très proche dela goutte. La force de pression s’exerçant sur celle-ci tend vers la valeur obtenue pour une goutte

147

Page 148: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

Section 3

10−2 10−1 100

Pr

−50

−25

0

25

50

Fp

Present study, Re = 10

Present study, Re = 20

Present study, Re = 40

Present study, Re = 60

Present study, Re = 80

Fit, Re = 10

Fit, Re = 20

Fit, Re = 40

Fit, Re = 60

Fit, Re = 80

Figure 3.22 – Composante de pression de la force réduite en fonction du nombre de Prandtlpour différents nombre de Reynolds avec un nombre de Spalding de B = 4

10−2 10−1 100

Pr

−50

−25

0

25

50

Fp

Present study, Re = 10

Present study, Re = 20

Present study, Re = 40

Present study, Re = 60

Present study, Re = 80

Fit, Re = 10

Fit, Re = 20

Fit, Re = 40

Fit, Re = 60

Fit, Re = 80

Figure 3.23 – Composante de pression de la force réduite en fonction du nombre de Prandtlpour différents nombre de Reynolds avec un nombre de Spalding de B = 8

148

Page 149: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

10−2 10−1 100

Pr

−50

−25

0

25

50

Ft

Present study, Re = 10

Present study, Re = 20

Present study, Re = 40

Present study, Re = 60

Present study, Re = 80

Fit, Re = 10

Fit, Re = 20

Fit, Re = 40

Fit, Re = 60

Fit, Re = 80

Figure 3.24 – Force réduite totale en fonction du nombre de Prandtl pour différents nombre deReynolds avec un nombre de transfert de B = 1

10−2 10−1 100

Pr

−50

−25

0

25

50

Ft

Present study, Re = 10

Present study, Re = 20

Present study, Re = 40

Present study, Re = 60

Present study, Re = 80

Fit, Re = 10

Fit, Re = 20

Fit, Re = 40

Fit, Re = 60

Fit, Re = 80

Figure 3.25 – Force réduite totale en fonction du nombre de Prandtl pour différents nombre deReynolds avec un nombre de transfert de B = 4

149

Page 150: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

Section 3

10−2 10−1 100

Pr

−50

−25

0

25

50

Ft

Present study, Re = 10

Present study, Re = 20

Present study, Re = 40

Present study, Re = 60

Present study, Re = 80

Fit, Re = 10

Fit, Re = 20

Fit, Re = 40

Fit, Re = 60

Fit, Re = 80

Figure 3.26 – Force réduite totale en fonction du nombre de Prandtl pour différents nombre deReynolds avec un nombre de transfert de B = 8

sans évaporation. On peut aussi noter que le maximum de la valeur de la force de pression n’estpas toujours la valeur de la goutte sans évaporation. Par exemple, pour Re = 80, le maximum setrouve entre 0.1 < Pr < 1. L’évaporation et l’écoulement incident interagissent donc de manièreà faire augmenter la pression exercée sur la goutte par rapport au cas sans changement de phase.Il est probable que le confinement de l’écoulement de Stefan par l’écoulement extérieur vienneaugmenter la pression exercée sur la surface de la goutte.

Pour cette composante, il est aussi possible de trouver une formule pour décrire l’ensembledes points obtenus :

Fp =1.59Pr

ln(

0.000217Re2.17Pr + 1.17Re0.0268 (1 +B)−0.433)

+ 1.54Re0.552 . (3.30)

Pour la force réduite totale, l’ensemble des points est alors décrit en sommant les deuxformules trouvées. Les résultats sont présentés sur la figure 3.24, la figure 3.25 et la figure 3.26 quireprésentent la force de totale réduite s’exerçant sur la goutte en fonction du nombre de Prandtlpour différents nombres de Reynolds. Les nombres de Spalding valent respectivement 1, 4 et 8.

Pour bien visualiser les effets dynamiques de l’écoulement, de manière identique auxchamps de température, les champs de la composante Z de la vorticité réduite ont été tracées avecles lignes de courant sur la figure 3.27 pour un nombre de Reynolds Re = 10 et sur la figure 3.28pour Re = 60. Sur chaque figure, les nombres de Prandtl de 0.03, 0.3 et 3 sont présentés pour desnombres de Spalding de 1 et 8. Elles montrent que pour chaque couple (Re,B), l’augmentationdu nombre de Prandtl entraîne une compression de l’écoulement de Stefan contre la goutte. Cecomportement est ensuite observé sur les forces s’exerçant sur les gouttes.

Ces deux corrélations permettent donc de décrire la force réduite totale d’une goutte

150

Page 151: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

s’évaporant en fonction du nombre de Reynolds, du nombre de Spalding et du nombre de Prandtl.Ce sont des corrélations innovantes qui permettent de quantifier l’influence du nombre de Prandtlsur la force de traînée d’une goutte s’évaporant.

151

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Section 3

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 10

B = 1

Pr = 0.03

(a) cas Re = 10, B = 1 et P r = 0.03

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 10

B = 8

Pr = 0.03

(b) cas Re = 10, B = 8 et P r = 0.03

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 10

B = 1

Pr = 0.30

(c) cas Re = 10, B = 1 et P r = 0.30

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 10

B = 8

Pr = 0.30

(d) cas Re = 10, B = 8 et P r = 0.30

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 10

B = 1

Pr = 3.00

(e) cas Re = 10, B = 1 et P r = 3.00

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 10

B = 8

Pr = 3.00

(f) cas Re = 10, B = 8 et P r = 3.00

Figure 3.27 – Champ de la composante Z de la vorticité réduite ωz = ωzr0/vr,∞ et ligne decourant pour différents cas avec un nombre de Reynolds Re = 10, r = r/r0 et z = z/r0

152

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CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 60

B = 1

Pr = 0.03

(a) cas Re = 60, B = 1 et P r = 0.03

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 60

B = 8

Pr = 0.03

(b) cas Re = 60, B = 8 et P r = 0.03

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 60

B = 1

Pr = 0.30

(c) cas Re = 60, B = 1 et P r = 0.30

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 60

B = 8

Pr = 0.30

(d) cas Re = 60, B = 8 et P r = 0.30

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 60

B = 1

Pr = 3.00

(e) cas Re = 60, B = 1 et P r = 3.00

6 4 2 0 2 4 6

r

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωθ

Re = 60

B = 8

Pr = 3.00

(f) cas Re = 60, B = 8 et P r = 3.00

Figure 3.28 – Champ de la composante Z de la vorticité réduite ωz = ωzr0/vr,∞ et ligne decourant pour différents cas avec un nombre de Reynolds Re = 60, r = r/r0 et z = z/r0

153

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Section 4

4 Le modèle d’autopropulsion de la goutte

Dans la partie précédente, des forces négatives impliquant la propulsion de la goutte ontété observées. Ces observations sous-entendent que l’évaporation de la goutte pourrait être àl’origine d’un phénomène d’autopropulsion sous certaines conditions. D’après les simulations, cescomportements particuliers semblent être causés par la pression. Les champs de pression sontdonc analysés pour comprendre comment il est possible d’obtenir des forces propulsant la goutte.Pour cela, le cas d’une goutte avec un nombre de Reynolds de 10, un nombre de transfert deB = 8 et un nombre de Prandtl de Pr = 0.1 est choisi.

4.1 La chute de pression de l’écoulement de Stefan

Dans un premier temps, pour visualiser les champs de pression entourant la goutte, lasimulation est réalisée de manière statique, c’est-à-dire Re = 0. Comme seul le changement dephase provoque un écoulement, les résultats permettront de comprendre l’effet de l’évaporationsur le champ de pression.

(a) Profils de pression, d’énergie cinétique, de charge etde vorticité selon le rayon réduit en z = 0, Re = 0,

B = 8,P r = 0.1

(b) Profils de pression, d’énergie cinétique, de charge etde vorticité selon le rayon réduit en z = 0, Re = 10,

B = 8,P r = 0.1

Figure 3.29 – Profils de pression, d’énergie cinétique, de charge et de vorticité réduiteω = ωr0/v∞ selon le rayon réduit en z = 0

Sur la figure 3.29a, pour une hauteur réduite z = z/r0 de 0, sont tracés selon r = r/r0

les profils de pression, d’énergie cinétique, de la somme de la pression et de l’énergie cinétique,nommée charge, ainsi que celui de vorticité. Les courbes montrent que la somme de la pressionet de l’énergie cinétique est constante. Cela signifie que la charge se conserve et que le théorèmede Bernoulli s’applique. Ainsi, le changement de phase génère une vitesse qui provoque une chutede pression. La valeur de la chute est directement liée à la quantité d’énergie cinétique crééepar l’évaporation. Ce cas statique permet de mettre en évidence que le changement de phaseprovoque une chute de pression dans la zone proche de la goutte.

Pour le cas dynamique avec les paramètres Re = 10, B = 8, Pr = 0.1, sont tracés selon r =r/r0 les profils de pression, d’énergie cinétique, de la somme de la pression et de l’énergie cinétique,nommée charge, ainsi que celui de vorticité sur la figure 3.29b. Ils montrent que le raisonnement

154

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CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

réalisé pour le cas statique est toujours valable. En effet, bien que de faibles variations soientobservées dans la zone d’interaction entre l’écoulement incident et celui d’évaporation, la chargeest à peu près conservée le long de la direction radiale. Les perturbations peuvent être corréléesà la création de la vorticité dans cette zone, puisque le théorème de Bernoulli est strictementexact seulement pour un écoulement irrotationnel et sans viscosité. Cependant, cette variationde la charge est considérée assez faible pour pouvoir appliquer le théorème de Bernoulli dans lemodèle proposé par la suite.

4.2 La dissymétrie du débit d’évaporation

Pour que la propulsion soit possible, il faut un différentiel de pression. La chute de pressiondoit alors être asymétrique le long de la surface de la goutte. Pour analyser la distribution de lachute de pression sur la surface, le débit massique d’évaporation est tracé en fonction de θ, l’angleentre un point de la surface et l’axe r, pour les cas statique et dynamique sur la figure 3.30.

Figure 3.30 – Débit massique à la surface de la goutte en fonction de l’angle − π2 < θ < π

2

Le cas statique permet de voir que sans écoulement externe, le débit massique est uniformeau niveau de l’interface liquide-gaz. Ce dernier présente cependant quelques variations qui sontdes imprécisions numériques.

Le cas dynamique illustre que le débit massique est dissymétrique le long de la surface dela goutte. Il est maximal en amont de la goutte et minimal à l’arrière de celle-ci. L’écoulementexterne induit donc une dissymétrie du débit massique. En effet, le changement de phase estdirectement lié aux gradients thermiques par mLv = − JQK · NΓ. Or, ces derniers sont plus fortsdevant la goutte car l’écoulement incident confine les couches limites thermiques contre la goutte.Ainsi, l’écoulement externe amène une dissymétrie du débit massique. L’expression de ce dernieren fonction de θ peut alors être approximée par une relation sinusoïdale. En introduisant lesparamètres m0 et m1, l’expression du débit massique approximé est :

155

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Section 4

m(θ) = m0 − m1 sin(θ) . (3.31)

Le paramètre m0 représente le débit massique moyen d’évaporation. Il se calcule en fonctiondu nombre de Nusselt avec :

m0 =mt

4πr20

=λg (T∞ − Tb)

2πr0LvNu . (3.32)

Or, en utilisant la corrélation obtenue dans la sous-section 3.1, le nombre de Nusselt peuts’exprimer en fonction des nombres de Péclet et de Spalding. Et, en formant le nombre de Spal-ding, cela permet d’écrire le paramètre m0 uniquement à partir des données du problème :

m0 =λg

2πr0cp,g

(2 + 0.602Pe0.483

) B

(1 +B)0.673 . (3.33)

Enfin, comme le paramètre m1 décrit la fluctuations sinusoïdale, il est supposé qu’il s’écritcomme le produit de m0 avec un facteur d’asymétrie fm qui dépend de Pe et B, soit :

m1 = fm(Pe,B)m0 . (3.34)

Ce facteur est inférieur à 1 pour éviter d’avoir une fluctuation supérieures à m0 qui en-traînerait de la condensation. Il peut se déterminer à l’aide des simulations. Par exemple, pourPe = 4 et B = 8, il vaut environ fm = 0.3.

4.3 L’expression de la force de propulsion de la goutte

Jusqu’à présent, l’analyse a permis de mettre en évidence que l’évaporation entraînait unechute de pression liée au débit massique. En présence d’un écoulement externe, ce dernier n’estplus uniforme provoquant donc une dissymétrie de la chute de pression. C’est un mécanismequi peut générer un différentiel de pression capable de propulser la goutte. Pour le savoir, lacorrélation sur le débit massique va être utilisée pour remonter à la force de pression s’exerçantsur la goutte.

Premièrement, il faut écrire la force de pression Fp s’appliquant à la surface d’une gouttede rayon r0. Elle s’exprime comme l’intégrale surfacique de la pression pΓ à la surface de la goutte.En sachant que la normale sortante de la goutte est identique à er, on écrit :

Fp = −∫

θ

φ

pΓerr20 sin(θ)dθdφ , (θ, φ) ∈

[−π

2,π

2

]× [0, 2π] . (3.35)

Pour continuer, il faut exprimer la pression de l’interface en utilisant le théorème deBernoulli puisque précédemment, il a été montré que la charge pouvait s’approximer par uneconstante. Dans le cas d’un écoulement irrotationnel, ce théorème ne s’applique pas uniquementle long d’une ligne de courant mais en chaque point du domaine fluide. En prenant un pointéloigné de la goutte de pression p∞ et vitesse v∞, il est possible d’écrire la conservation de lacharge :

p∞ + ρv2

∞2

= pΓ + ρgv2

Γ

2. (3.36)

La pression à l’interface est donc exprimée par :

pΓ = p∞ + ρgv2

∞ − v2Γ

2. (3.37)

156

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CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

Il faut maintenant calculer l’expression de la vitesse gazeuse à l’interface vΓ. Pour cela, larelation de saut de la vitesse JvK · NΓ = m

r1ρ

zest utilisée. Dans le référentiel de la goutte, en

supposant que la vitesse dans le liquide est petite devant la vitesse dans le gaz, cette dernières’écrit comme :

vΓ = m

s1ρ

. (3.38)

Dans cette expression, le débit massique est connu ainsi que les masses volumiques. Lapression à l’interface peut donc être entièrement exprimée puis intégrée pour trouver la force depression. Pour cela, le vecteur er est exprimé dans une base cartésienne :

er = sin(θ) cos(φ)ex + sin(θ) sin(φ)ey + cos(θ)ez . (3.39)

Une intégration selon φ de la force de pression donne alors :

Fp = −2πr20

π2∫

θ=− π2

pΓ cos(θ) sin(θ)dθez . (3.40)

L’expression de la pression à l’interface est injectée dans l’intégrale et les termes indépen-dants de θ sont mis à part :

Fp = −2πr20

π2∫

θ=− π2

(p∞ +

12ρgv2

∞ − 12ρgm

20

s1ρ

2)

cos(θ) sin(θ)dθez

− 2πr20

π2∫

θ=− π2

s1ρ

2 (2m0m1 cos(θ) sin2(θ) − m2

1 cos(θ) sin3(θ))dθez . (3.41)

En intégrant selon θ, la première intégrale s’annule ainsi que le terme en m21 de la seconde

intégrale. L’expression finale de la force de pression est donc :

Fp = −43ρgπr

20m0m1

s1ρ

2

ez . (3.42)

Les paramètres de la corrélation du débit massique m0 et m1 étant positifs, la force depression est donc négative. Elle est dirigée vers l’amont de la goutte où le débit est maximal.Dans le cas où le débit serait maximal à l’aval de la goutte, le signe de m1 serait négatif. La forceserait alors dirigée selon ez, ce qui est toujours la zone où le débit est maximal.

Pour aller plus loin, il est possible d’exprimer la force réduite en fonction des nombresadimensionnels du problème. On commence par remplacer m1 par fm(Pe,B)m0. En approximantJ1/ρK par 1/ρg, puisque ρl >> ρg, on obtient :

Fp = −4πr20

3ρgm2

0fm(Pe,B)ez . (3.43)

Ensuite, l’expression de m0 est injectée dans celle de la force :

Fp = −fm(Pe,B)3πρg

λ2g

c2p,g

(2 + 0.602Pe0.483

)2 B2

(1 +B)1.346 ez . (3.44)

157

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Section 4

10−2 10−1 100

Pr

−50

−25

0

25

Fp

Present study, Re = 20

Present study, Re = 40

Present study, Re = 60

Model, Re = 20

Model, Re = 40

Model, Re = 60

Figure 3.31 – Comparaison du modèle analytique avec les composantes de pression négativesde la forces réduite en fonction du nombre de Prandtl pour différents nombre de Reynolds avec

un nombre de Spalding de B = 8

Il est alors possible de faire apparaître le carré du nombre de Prandtl :

Fp = −fm(Pe,B)3πρg

µ2g

Pr2

(2 + 0.602Pe0.483

)2 B2

(1 +B)1.346 ez . (3.45)

Enfin, en passant à la force réduite, le nombre de Reynolds apparaît :

Fp = −fm(Pe,B)3π

1RePr2

(2 + 0.602Pe0.483

)2 B2

(1 +B)1.346 ez . (3.46)

Mais, en remarquant que le nombre Reynolds est en facteur d’un nombre de Prandtl, unedépendance avec le nombre de Péclet se forme :

Fp = −fm(Pe,B)3π

1Pr

(2 + 0.602Pe0.483

)2

Pe

B2

(1 +B)1.346 ez . (3.47)

Finalement, la force réduit dépend de trois nombre adimensionnels : le nombre de PrandtlPr, le nombre de Péclet Pe et le nombre de Spalding B. Par exemple, pour B = 8, les valeursdu modèle sont tracées sur la figure 3.31 avec les valeurs négatives de la composante réduite depression qui sont le mieux estimées. La comparaison est convaincante puisque l’ordre de grandeurest bon et le modèle décrit bien l’évolution de la force.

Le point important de cette démonstration est que pour provoquer la propulsion de lagoutte, un débit massique asymétrique est suffisant. Il entraîne alors un différentiel de pressionpermettant de déplacer la goutte. Ce modèle permet donc de donner une justification théoriqueaux forces négatives reportées dans certaines simulations. Un tel mécanisme peut être à l’origine

158

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CHAPITRE 3. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT LAMINAIRE

des phénomènes d’auto-propulsion de gouttes lorsque ces dernières sont soumises à des conditionsde forte évaporation. Toutefois, il ne faut pas oublier la présence de l’écoulement incident. Pouravoir une goutte qui se propulse, il faut que le différentiel de pression soit assez grand pourinverser le différentiel déjà imposé par l’écoulement incident.

Pour les gouttes dans le régime de Leidenfrost, Linke et al. (2006), Lagubeau et al. (2011),Quéré (2013) et Singh et al. (2017) ont déjà reporté des comportements d’auto-propulsion. Pourle moment, ce phénomène n’est pas complètement compris et, la plupart du temps, il est attribuéà l’effet Marangoni. Cette nouvelle force de propulsion amène donc un mécanisme supplémentairepermettant d’expliquer le déplacement de ces gouttes.

Conclusion du chapitre 3

Dans ce chapitre, les effets de l’évaporation sur une goutte ont été analysés. Après avoirvérifié que les échanges thermiques et les efforts sur la goutte étaient calculés correctement, uneétude paramétrique a été réalisée en faisant varier les nombres de Reynolds, Spalding et Prandtl.Le comportement général qui s’est dégagé, déjà connu dans la littérature, est que l’évaporationréduit les échanges thermiques et les efforts exercés sur la goutte. Grâce aux simulations, cesdiminutions ont pu être évaluées avec précision pour mettre en évidence deux points :

• en présence d’évaporation, les échanges thermiques ne dépendent pas de la viscosité del’écoulement ;

• l’écoulement de Stefan provoque une chute de pression à la surface de la goutte et, enconséquence, si ce dernier est dissymétrique, il engendre une force sur la goutte dirigée versla zone où le débit massique est maximal. Le modèle théorique établi montre que cette forcedépend des nombres de Péclet, Spalding et Prandtl.

Les résultats des simulations ont permis d’obtenir une corrélation décrivant le nombre deNusselt en fonction du nombre de Péclet, une corrélation pour la force réduite de la goutte enfonction des nombres de Reynolds, Spalding et Prandtl. Pour cette dernière, la prise en comptedu nombre de Prandtl est nouveau.

Finalement, cette étude paramétrique sur une configuration académique simple, a per-mis d’améliorer la compréhension de l’évaporation des gouttes. Pourtant, elle n’est pas terminéepuisque d’autres paramètres comme le rapport des masses volumiques, peuvent intervenir dansl’évaporation. Il reste encore du travail pour exploiter les possibilités du code DIVA sur cetteconfiguration. Par exemple, le solveur GFTSE et la gravité n’ont pas encore été employés. Ce-pendant, dans le chapitre 4, c’est l’influence de la turbulence sur l’évaporation d’une goutte quisera étudiée.

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Section 4

160

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CHAPITRE 4

L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENTTURBULENT

SommaireIntroduction du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

1 Le générateur de turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

1.1 La méthode pour générer des fluctuations turbulentes . . . . . . . . . . . . . . 166

1.2 Tests préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

1.3 La décroissance temporelle d’une THI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

2 Optimisation des performances de DIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

2.1 Une approche parallèle de la génération de la turbulence . . . . . . . . . . . . 180

2.1.1 Le choix de l’approche parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

2.1.2 Le problème des halos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

2.1.3 Les résultats obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

2.2 Produit de convolution dans l’espace de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

2.3 Amélioration des communications entre les processeurs . . . . . . . . . . . . . 183

2.4 Un premier pas vers un code hybride MPI-OpenMP . . . . . . . . . . . . . . . 185

3 L’effet de la turbulence sur une goutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

3.1 Effet de la turbulence sur les échanges thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3.2 Effet de la turbulence sur les forces appliquées sur la goutte . . . . . . . . . . 192

3.3 Quelques explications sur les problèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . 194

Conclusion du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

161

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Section 0

Introduction du chapitre 4

Dans ce chapitre, l’objectif est d’étudier l’effet de la turbulence sur l’évaporation d’unegoutte en mouvement.

Pour commencer, les caractéristiques des écoulements turbulents sont introduites de ma-nière simple. Le but n’est pas d’étudier la turbulence mais d’utiliser un écoulement turbulentcorrect. Les bases exposées dans la suite sont tirées des ouvrages de Lumley & Panofsky (2003),Monin & Yaglom (1975) et Pope (2003).

Un écoulement turbulent, visible dans une rivière ou dans des fumées, est souvent perçupar un observateur comme une succession de tourbillons. Ces derniers, plus ou moins gros, pa-raissent se créer, se mélanger, se diviser et se détruire. Pour décrire cette impression, Richardson(1921) introduit l’idée de cascade énergétique : l’écoulement turbulent est un ensemble de struc-tures cohérentes de tailles différentes qui se transmettent de l’énergie cinétique. Chacune de cesstructures est caractérisée par une longueur Lt et une vitesse Ut de référence. On parle alors desstructures de l’échelle de longueur Lt. Dans cette superposition d’échelles, l’énergie est injectéeau niveau des grandes échelles et se transmet jusqu’aux petites échelles où elle est dissipée parla viscosité.

Afin de pouvoir analyser les phénomènes présents dans un écoulement, il faut des outilspour calculer les tailles et les vitesses de références de ces structures

En premier lieu, il faut définir la vitesse caractéristique des fluctuations turbulentes. Elleest définie à partir du moment statistique d’ordre 2 qui permet de connaître la valeur moyennede l’écart par rapport à la valeur moyenne d’un champ donné. En notant l’opérateur moyennecomme < · >, nous définissons la vitesse moyenne d’un champ de vitesse v telle que vm = 〈v〉.Le champ de fluctuations de vitesse U se définit alors comme l’écart du champ de vitesse à lavaleur moyenne :

U = v − vm . (4.1)

À partir de cette expression, la valeur moyenne des fluctuations de vitesse est calculéepour chaque composante. En notant U1, U2 et U3 les différentes composantes du champ defluctuations, on obtient la vitesse caractéristique des fluctuations de chaque composante notéerespectivement Uf,1, Uf,2 et Uf,3 :

Uf,1 =√

〈U 21 〉 , Uf,2 =

√〈U 2

2 〉 , Uf,3 =√

〈U 23 〉 . (4.2)

En second lieu, les longueurs caractéristiques de l’écoulement sont définies.La plus petite est l’échelle de Kolmogorov, notée LK , définie comme l’échelle où les struc-

tures turbulentes sont dissipées par la viscosité. Elle tire son nom de la théorie de Kolmogorov(1941) et la vitesse associée à cette échelle est UK . En utilisant la vitesse UK et la viscositécinématique ν, il est possible de construire un nombre de Reynolds turbulent correspondant àcette échelle. La valeur de ce dernier est de 1 car, pour que les structures soient dissipées par laviscosité, les effets visqueux et inertiels doivent être égaux :

ReK =LKUK

ν= 1 . (4.3)

162

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

Pour caractériser les longueurs de référence suivantes, des fonctions de corrélations spatialessont utilisées. Elles permettent de voir quelles sont les similitudes spatiales entre deux points del’espace à un instant donné et d’estimer les différentes échelles de l’écoulement. Le tenseur descorrélations spatiales doubles des fluctuations est alors défini par :

Uij(x,x′, t) =〈Ui(x, t)Uj(x′, t)〉

Uf,iUf,j(4.4)

Dans ce chapitre, des fluctuations turbulentes homogènes et isotropes (THI) sont généréespour être superposée à l’écoulement incident. Et, dans ce contexte, le tenseur de corrélationdouble des vitesses devient uniquement dépendant de la distance r = ‖x′ − x‖ entre x et x′.Il y a aussi une égalité entre Uf,1 = Uf,2 = Uf,3 qui sont maintenant notées sans distinctionUf . dans ces conditions, Robertson (1940) a montré que, le tenseur U pouvait s’écrire à l’aide dedeux fonctions : la fonction d’auto-corrélation longitudinale f(r, t) qui décrit les similitudes selonl’axe r = x′ − x, et la fonction d’auto-corrélation transversale g(r, t) celles qui sont selon les axesperpendiculaires à r :

f(r, t) =〈U1(x, t)U1(x′, t)〉

Uf,1Uf,1=

〈U2(x, t)U2(x′, t)〉Uf,2Uf,2

=〈U3(x, t)U3(x′, t)〉

Uf,3Uf,3, (4.5)

g(r, t) =〈U1(x, t)U2(x′, t)〉

Uf,1Uf,2=

〈U1(x, t)U3(x′, t)〉Uf,1Uf,3

=〈U2(x, t)U3(x′, t)〉

Uf,2Uf,3, (4.6)

Uij(r, t) = (f(r, t) − g(r, t))rirj

r2+ g(r, t)δij . (4.7)

Il faut donc connaître f et g pour trouver les tailles caractéristiques de l’écoulement.Mais, lorsque l’écoulement est incompressible, Von Karman & Howarth (1937) ont montré quela fonction transversale et la fonction longitudinale sont liées par :

g(r, t) = f(r, t) +r

2df

dr. (4.8)

Finalement, dans notre cas, la connaissance seule de f permettra de déterminer les échellesde longueurs caractéristiques du champ de fluctuations. Il y a alors quatre échelles caractéristiquesdéfinies à partir des fonctions de corrélations transversale et longitudinale. Les deux premièressont la longueur intégrale longitudinale Λf et la longueur intégrale transversale Λg qui se calculentcomme l’intégrale des fonctions de corrélations respectives :

Λf (t) =

∞∫

0

f(r, t)dr , Λg(t) =

∞∫

0

g(r, t)dr . (4.9)

Elles représentent la distance nécessaire pour que deux vecteurs de vitesse ne soient pascorrélés. Ces longueurs sont caractéristiques des grandes échelles de l’écoulement qui sont les plusénergétiques.

Les deux autres échelles de longueur se nomment la micro-échelle longitudinale de Taylorλf et la micro-échelle transversale de Taylor λg. Elles représentent une mesure de la taille desgradients de vitesse responsables de la dissipation. Ces échelles sont définies comme les parabolesosculatrices des fonctions f et g :

1λf (t)2

= −12∂2f(r, t)∂r2

∣∣∣∣r=0

,1

λg(t)2= −1

2∂2g(r, t)∂r2

∣∣∣∣r=0

. (4.10)

163

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Section 1

En résumé, cinq longueurs caractéristiques ont été définies pour l’écoulement turbulent :

• les longueurs intégrales longitudinale Λf et transversale Λg caractérisant les échelles les plusénergétiques, elles sont aussi appelés macro-échelles de Taylor longitudinale et transversale ;

• les micro-longueurs longitudinale λf et transversale λg de Taylor caractérisant la taille desgradients responsables de la dissipation ;

• la longueur de Kolmogorov LK où toute l’énergie est dissipée en chaleur.

Ces échelles permettent de construire deux nombres de Reynolds supplémentaires. Le pre-mier est le nombre de Reynolds turbulent ReΛ caractérisant les échelles les plus énergétiques. Ilest basé sur l’échelle intégrale longitudinale associée à la vitesse caractéristique des fluctuationset permet ainsi de décrire l’apport d’énergie dans l’écoulement par les fluctuations turbulentes.Le second est le nombre de Reynolds de Taylor Reλ. Il est basé sur la micro-échelle de Taylortransversale associée à la vitesse caractéristique des fluctuations et il permet de séparer les régionsénergétiques de celles dissipatives. Pour la suite, Λf est noté avec Λ et λg avec λ. On a donc :

ReΛ =ρΛUf

µ, Reλ =

ρ

µλUf . (4.11)

La relation entre ces deux nombres de Reynolds est :

Reλ =√

30ReΛ . (4.12)

Tous les outils nécessaires pour étudier un écoulement turbulent sont maintenant définis.

Dans le chapitre, la première partie est consacrée à la mise en place et à la validationd’un générateur de fluctuations turbulentes. La seconde partie expose des méthodes permettantd’obtenir les résultats des simulations plus rapidement. En effet, l’étude de l’influence de laturbulence implique une géométrie 3D. Or, d’après le critère établi dans le chapitre 2, il faut unminimum de 16 points dans le rayon d’une goutte pour avoir un calcul valable. Par exemple, pourun maillage uniforme sur un domaine cubique, cela implique 1283 points de calcul, au minimum,si les bords du domaine sont placés à 4 fois le rayon initial de la goutte. Il y a alors 2.1 millionsde points dans le domaine, ce qui est conséquent pour l’étude d’une seule goutte sur un maillagegrossier. Les temps de calculs sont donc longs et leur réduction est essentielle pour faire une étudeparamétrique. Enfin, dans la troisième partie, l’effet de la turbulence sur la goutte sera analysé.Les critères du chapitre 3 sont repris pour étudier les échanges de chaleur et les efforts exercéssur la paroi de la goutte.

1 Le générateur de turbulence

1.1 La méthode pour générer des fluctuations turbulentes

Afin d’introduire un écoulement turbulent dans le domaine, il faut construire un champde fluctuations turbulentes homogène et isotrope qui sera superposé à l’écoulement incident devitesse uniforme. Le but est donc d’injecter, selon la direction arbitraire ez, un écoulement turbu-lent par la surface d’entrée du domaine. Pour cela, la normale de la surface d’injection, orientéeselon l’axe z, est notée N. Puis, deux vecteurs T1 et T2, assimilés aux axes x et y, sont intro-duits. Ils permettent de décrire la surface d’entrée tels que T1,T2 et N soit un repère orthonormaldirect.

164

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

xy

z

computational

domain

filterrandom planes

turbulent

inflow plane

inflow

injection

convolution

product

Figure 4.1 – La méthode de Klein et al. (2003) pour générer des fluctuations turbulentes

La méthode utilisée pour générer des fluctuations turbulentes homogène et isotrope a étédécrite par Klein et al. (2003). L’idée principale est de filtrer un champ de vecteurs aléatoires R,vérifiant 〈R〉 = 0 et

⟨R2⟩

= 1, pour obtenir un plan contenant des structures corrélées autourd’une longueur caractéristique voulue. Ce plan est ensuite superposé à l’écoulement incident etl’ensemble est introduit dans le domaine. La figure 4.1 permet de représenter schématiquementle processus de génération. Il est important de noter que cette méthode génère des structurescohérentes et pas de la turbulence. C’est lorsqu’elles sont injectées dans le domaine de simula-tion qu’elles vont évoluer vers de la turbulence. Par exemple, sur un cas monodimensionnel, lafluctuation de vitesse U [p] du point d’indice p sera calculée à l’aide d’un filtre B de taille mcomme :

U [p] =m∑

i=−m

B[i]R[p+ i] (4.13)

Cette méthode génère des structures macroscopiques corrélées autour d’une longueur défi-nie. Dans le contexte de THI, la longueur choisie est alors la longueur intégrale Λ, identique pourles trois directions spatiales, caractérisant les structures les plus énergétiques. Cependant, pourbien comprendre son fonctionnement, la méthode de figure 4.1 est présentée avec une longueurcaractéristique spécifique pour chaque direction spatiale.

La première étape consiste à choisir les paramètres caractérisant le champ de fluctuations.Il faut fixer les longueurs caractéristiques dans chaque direction notées respectivement LT1

, LT2

et LN pour les directions T1, T2 et N. Puis, il faut définir le maillage du champ de fluctuations.Ce dernier, doit être identique au maillage de la simulation à réaliser. Le nombre de points dansles directions T1, T2 et N est noté n1, n2 et nN respectivement. Ensuite, les dimensions dufiltre dans chacune de ces directions sont définies. Elles sont notées comme FT1

, FT2et FN

en respectant le critère F. ≥ 2L. imposé par la méthode. Enfin, un nombre de points est fixépour chacune des dimensions du filtre qui se notent m1, m2 et mN . Ils se déduisent à partir desdonnées précédentes avec une règle de proportionnalité : F./m. = L./n. .

165

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Section 1

xy

z

random planes

one random plane

2mN + 1 planes

random number

generator

n2+ 1

n1+ 1

m1

m1

m2

m2

2mN + 1

Figure 4.2 – Tailles des plans aléatoires

La deuxième étape est la création du champ de vecteurs aléatoires R. Pour cela, il fautcréer un champ de scalaires aléatoires pour chaque composante des vecteurs. Ils sont notés RT1

,RT2

et RN . D’après les paramètres de l’étape 1, la taille de chaque champ doit être de [−m1 :n1 + 1 +m1; −m2 : n2 + 1 +m2; −mN : mN ]. Pour les directions T1 et T2, la taille s’explique parle fait que le plan de fluctuations doit être identique à l’entrée du domaine. Une maille est ajoutéeà ce plan afin de gérer proprement les vitesses délocalisées. En effet, cette méthode permet decalculer des fluctuations de vitesse localisées aux centres des mailles. Comme DIVA utilise unegrille décalée pour les vitesses, il est nécessaire d’avoir un champ de fluctuations plus grand afinde pouvoir interpoler celui-ci sur la grille décalée. À cela, s’ajoute les dimensions du filtre pourque le filtrage soit réalisé sur les bords. Quant à la direction N, sa taille correspond à celle duplan de fluctuations dans la direction N, c’est-à dire 1 puisque c’est un plan de normale N, àlaquelle les dimensions du filtre sont ajoutées puisqu’il n’y a pas besoin de décaler les vitessespour un plan. Les dimensions utilisées dans cette méthode sont visibles sur la figure 4.2.

La troisième étape est la construction du filtre B à l’aide de la fonction d’auto-corrélation.La taille caractéristique des structures étant connue, la fonction d’auto-corrélation correspon-dante est alors déduite de cette taille à imposer. Puis, elle servira à construire le filtre géné-rant les fluctuations turbulentes. Dans l’exemple monodimensionnel, il a été vu que U [p] =∑m

i=−m B[i]R[p + i]. En utilisant cette expression de U [p] et en rappelant que 〈R〉 = 0 et⟨R2⟩

= 1, la fonction d’auto-corrélation F peut alors s’écrire :

F [s] =〈U [p]U [p+ s]〉

〈U [p]U [p]〉 [s] =

m∑i=−m+s

B[i]B[i − s]

m∑i=−m

B[i]2(4.14)

Les fonctions F. choisies, préconisées dans Batchelor (1953) pour des cas de THI, sont :

FT1(r) = exp

(− πr2

4L 2T1

), FT2

(r) = exp(

− πr2

4L 2T2

), FN (r) = exp

(− πr2

4L 2N

). (4.15)

166

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

Maintenant, il faut en déduire les coefficients du filtre B. Dans Klein et al. (2003), lesauteurs conseillent une méthode de Newton multi-dimensionnelle pour calculer les différents co-efficients. Cependant, cette méthode est longue et les auteurs proposent plutôt d’approximer lescoefficients en utilisant la fonction F de la manière suivante :

BT1[i] = A−0.5

T1exp

(− πi2

2m21

), AT1

=m1∑

m=−m1

exp(

−πm2

2m21

)(4.16)

BT2[j] = A−0.5

T2exp

(− πj2

2m22

), AT2

=m2∑

m=−m2

exp(

−πm2

2m22

)(4.17)

BN [k] = A−0.5N exp

(− πk2

2m2N

), AN =

mN∑

m=−mN

exp(

− πm2

2m2N

)(4.18)

Ensuite, pour faire un filtre 3D, les auteurs préconisent de combiner trois filtres 1D pourformer B[i, j, k] = BT1

[i] ⊗BT2[j] ⊗BN [k].

La quatrième étape est l’opération de filtrage. Elle s’applique à chaque champ scalairealéatoire afin d’obtenir les trois composantes du champ vectoriel des fluctuations de vitesse U :

For j = 0 : n2+1;

For i = 0 : n1+1;

UT1[i, j] =

m1∑

i′=−m1

m2∑

j′=−m2

mN∑

k′=−mN

B[i′, j′, k′]RT1[i+ i′, j + j, k′]

UT2[i, j] =

m2∑

i′=−m2

m2∑

j′=−m2

mN∑

k′=−mN

B[i′, j′, k′]RT2[i+ i′, j + j, k′]

UN [i, j] =mN∑

i′=−mN

m2∑

j′=−m2

mN∑

k′=−mN

B[i′, j′, k′]RN [i + i′, j + j′, k′]

Le plan vectoriel ainsi obtenu, de taille [0 : n1 + 1; 0 : n2 + 1], représente les fluctuationsturbulentes. Ce plan est multiplié par la vitesse caractéristique à imposer et il est ajouté auchamp de vitesse de l’écoulement incident.

Pour la cinquième étape, il faut mettre à jour le champ aléatoire tout en assurant unecontinuité temporelle entre les fluctuations turbulentes. En effet, à chaque pas de temps, unnouveau plan turbulent est introduit dans le domaine. Les vitesses de deux plans injectés sesuivant doivent donc être cohérentes. Pour calculer ces vitesses, deux objets ont été nécessaires : lechamp aléatoire et le filtre. Comme le filtre ne peut pas changer, il faut modifier le champ aléatoire.Et, pour que les vitesses restent cohérentes entre les plans, ce dernier n’est pas entièrement changé.Il va être avancé selon la direction N pour avoir un champ quasiment identique à celui ayant servià générer le plan précédant. Ainsi, tout les points tels que k = mN sont supprimés. Puis, tous lespoints sont avancés d’une position selon k et de nouveaux points sont générés en k = −mN .

L’opération est reconduite à partir de l’étape 4 autant de fois qu’il est nécessaire.

Cette méthode fournit des structures cohérentes pour générer un écoulement incident avecdes fluctuations turbulentes. Dans la suite, les trois longueurs caractéristiques valent L .

167

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Section 1

1.2 Tests préliminaires

Pour vérifier l’implémentation de la méthode, un test simple est effectué sur les champs defluctuations turbulentes calculés. Le générateur de fluctuations fournit 16 plans équidistants detaille 16×16, 32 plans équidistants de taille 32×32 et 64 plans équidistants de taille 64×64 pourformer des cubes turbulents de côté a = 1m. Pour chaque maillage, l’opération est réalisée avecdifférentes longueurs caractéristiques. Les longueurs L choisies sont de 0.5m, 0.25m, 0.125m,0.0625m et correspondent respectivement à 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 d’un côté de la boîte. Ensuite, ilest vérifié que pour chaque cube, la taille et la vitesse caractéristique des structures cohérentessont celles requises. L’influence de la taille du filtre a aussi été étudiée.

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

y

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωz

(a) Longueur intégrale de L = 0.5m

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

y

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωz

(b) Longueur intégrale de L = 0.25m

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

y

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωz

(c) Longueur intégrale de L = 0.125m

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

y

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωz

(d) Longueur intégrale de L = 0.0625m

Figure 4.3 – Composante Z de la vorticité réduite ωz = ωzL /Uf dans un plan XY d’un cubeturbulent pour différentes longueurs intégrales, x = x/a et y = y/a

Pour vérifier la structure de la turbulence, le tenseur des corrélations spatiales du champde fluctuations vitesse Uij doit être calculée en fonction de la distance r entre deux points de

168

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

l’espace x et x′ telle que r = ‖x′ − x‖, soit :

Uij(x,x′, t) =〈Ui(x, t)Uj(x′, t)〉

Uf,iUf,j(4.19)

Le calcul de ce tenseur est simple mais très chronophage. Premièrement, une distancemaximale rmax est fixée, puis l’intervalle [0, rmax] est discrétisé avec un certain nombre de pointsNcorr qui a été choisi auparavant. Ensuite, pour chaque couple (x,x′) | r < rmax, les com-posantes du tenseur des corrélations sont calculées puis stockées dans l’intervalle [rn−1, rn] quicontient la distance r. De manière géométrique, cela revient à dessiner une sphère de rayon rmax

autour du point x et ensuite, calculer pour chaque x′ compris dans cette sphère, les termes deUij . Cette opération est réalisée pour chaque point x du domaine.

Dans la construction du cube turbulent, les fonctions d’auto-corrélations ont été imposéesidentiques pour les trois directions. Ici, il est important de noter que ce sont des fonctions d’auto-corrélations. Cela implique que les termes diagonaux du tenseur ont été imposés. Donc, lorsquecelui-ci est calculé à partir du champ de fluctuations généré, les termes diagonaux doivent repré-senter les fonctions imposées. Pour le vérifier, le tiers de la trace du tenseur calculé est intégré.En effet, le résultat de cette intégration doit donner exactement la longueur caractéristique L :

13

Tr(U) =13

(FT1+ FT2

+ FN ) = F (4.20)

+∞∫

0

exp(

− πr2

4L 2

)dr =

12

√4πL 2

π= L (4.21)

Ensuite, la vitesse caractéristique des fluctuations du cube turbulent est mesurée pours’assurer que c’est celle imposée.

La figure 4.3a, la figure 4.3b, la figure 4.3c et la 4.3d représentent, dans un plan de coupe denormale ez, la composante Z de la vorticité réduite ωz = ωzL /Uf pour les différentes longueursintégrales. Elles illustrent le fait que lorsque la longueur intégrale diminue, le nombre de structurescohérentes augmente. C’est le comportement qualitatif attendu.

En se reportant au tableau 4.1, qui donne les longueurs caractéristiques calculées Lc àpartir des cubes turbulents, ainsi qu’au tableau 4.2, qui donne la vitesse caractéristique calculéeUf,c des fluctuations, une analyse précise des résultats est possible. Elle permet d’extraire troispoints essentiels :

• un nombre minimal de maille est nécessaire sur une longueur caractéristique pour biendécrire les structures. Pour cela, sur les cubes de tailles 163, le calcul de la longueur ca-ractéristique est mauvais. Pour la longueur 0.125m, au vu des autres cas, le résultat estfortuit ;

• le nombre des structures dans le domaine doit être suffisamment grand pour que le calculdes propriétés soit correct. En effet, ce sont des quantités statistiques qui sont fausses sil’échantillon est trop petit. Cela explique l’amélioration des résultats quand la longueurcaractéristique diminue, il y a dans le même temps une augmentation du nombre des struc-tures ;

• la vitesse caractéristique des fluctuations converge mieux vers la valeur théorique que lalongueur caractéristique.

D’après ces essais, la méthode donne bien ce qui est attendu du moment qu’il y a unnombre minimal de points dans une longueur caractéristique et qu’il y a assez de structures pour

169

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Section 1

L imposée (m)

Maillage 5 · 10−1 2.5 · 10−1 1.25 · 10−1 6.25 · 10−2

163 Lc (m) 2.43 · 10−1 1.66 · 10−1 1.29 · 10−1 8.76 · 10−2

erreur (%) 51.4 33.6 −3.2 −40.2

323 Lc (m) 2.42 · 10−1 1.91 · 10−1 1.04 · 10−1 6.89 · 10−2

erreur (%) 51.6 23.6 16.8 10.2

643 Lc (m) 3.24 · 10−1 1.77 · 10−1 1.04 · 10−1 6.25 · 10−2

erreur (%) 35.2 29.2 16.8 0

Tableau 4.1 – Longueur caractéristique calculée et erreur relative pour plusieurs maillages avecun taille de filtre de F = 3L

L imposée (m)

Maillage 5 · 10−1 2.5 · 10−1 1.25 · 10−1 6.25 · 10−2

163 Uf,c (m/s) 8.84 · 10−1 9.38 · 10−1 9.80 · 10−1 9.93 · 10−2

erreur (%) 11.6 6.2 2 0.7

323 Uf,c (m/s) 7.98 · 10−1 9.29 · 10−1 9.72 · 10−1 9.93 · 10−2

erreur (%) 20.2 7.1 2.8 0.7

643 Uf,c (m/s) 9.16 · 10−1 9.34 · 10−1 9.82 · 10−1 9.93 · 10−2

erreur (%) 8.4 6.6 1.8 0.7

Tableau 4.2 – Vitesse caractéristique calculée et erreur relative pour plusieurs maillages avec untaille de filtre de F = 3L , la vitesse imposée est de Uf = 1m/s

que les valeurs statistiques soient convergées. Pour la suite, le minimum sera de 4 points dans lalongueur caractéristique d’une structure. Cela correspond à la précision du cas L = 0.125m surle maillage 323. De plus, il faut garder à l’esprit que la convergence de L sera un critère pluscontraignant que la convergence de Uf .

Le critère minimal de la taille de filtre est fixé comme F ≥ 2L . Cependant, pour vérifierque la taille du filtre n’a pas d’influence sur les résultats, le test précédent est repris pour comparerdifférentes tailles de filtre. Le choix s’est porté sur le cas avec une longueur caractéristique deL = 0.125m pour les maillages 323 et 643. Les visualisations sur la figure 4.4a, la figure 4.4b, lafigure 4.4c et la figure 4.4d, réalisées dans un plan de coupe de normale ez sur des maillage 643,montrent que la taille du filtre n’a pas d’influence sur la composante Z de la vorticité réduiteωz = ωzL /Uf .

On peut donc conclure que la méthode a été implémentée correctement, elle génère lesbonnes structures cohérentes.

170

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

F utilisée (m)

Maillage F = 2L F = 4L F = 8L F = 16L

323 Lc (m) 1.10 · 10−1 1.06 · 10−1 1.29 · 10−1 1.03 · 10−2

erreur (%) 12 15.2 −3.2 17.6

643 Lc (m) 1.05 · 10−1 1.03 · 10−1 1.23 · 10−1 1.06 · 10−2

erreur (%) 16 17.6 1.6 15.2

Tableau 4.3 – Longueur caractéristique calculée et erreur relative sur plusieurs maillages enfonction de la taille du filtre imposée, la longueur imposée est de L = 0.125m

F utilisée (m)

Maillage F = 2L F = 4L F = 8L F = 16L

323 Uf,c (m/s) 9.81 · 10−1 9.79 · 10−1 9.84 · 10−1 9.79 · 10−2

erreur (%) 1.9 2.1 1.6 2.1

643 Uf,c (m/s) 9.74 · 10−1 9.80 · 10−1 9.81 · 10−1 9.70 · 10−2

erreur (%) 2.6 2 1.9 3

Tableau 4.4 – Vitesse caractéristique calculée et erreur relative sur plusieurs maillages enfonction de la taille du filtre imposée, la longueur imposée est de L = 0.125m

171

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Section 1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

y

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωz

(a) cas F = 2L

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

y

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωz

(b) cas F = 4L

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

y

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωz

(c) cas F = 8L

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

y

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωz

(d) cas F = 16L

Figure 4.4 – Composante Z de la vorticité réduite ωz = ωz/Uf dans un plan XY d’un cubeturbulent pour différentes tailles de filtre, x = x/ et y = y/

172

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

1.3 La décroissance temporelle d’une THI

Pour savoir si les structures cohérentes initiales évoluent vers un écoulement turbulent,l’évolution temporelle d’un champ initial généré avec la méthode précédente est étudiée.

À terme, le but est de faire des simulations numériques directes de gouttes qui s’éva-porent dans de la turbulence. Il y a donc quelques contraintes à respecter sur les paramètres.La contrainte la plus rédhibitoire est celle du temps de calcul qui impose un nombre de maillesmaximal si l’on veut avoir des résultats dans des temps acceptables. Pour les études, les maillagesutilisés sont 1283, 2563 et 5123 ce qui correspond respectivement en nombre de points à 2.1 mil-lions, 16.7 millions et 134 millions. En effet, au-delà les temps de calculs seront trop longs. Laseconde contrainte est d’avoir des mailles dont la taille est plus petite ou égale à l’échelle deKolmogorov afin de résoudre correctement toutes les échelles de la turbulence. Enfin, la dernièrecontrainte est d’avoir un domaine de calcul qui est grand devant la taille de la goutte afin depouvoir simuler le comportement d’une goutte isolée.

Pour tester la décroissance temporelle de la turbulence, les configurations utilisées sontproches de celles employées pour simuler des gouttes de l’ordre de la centaine de microns. Ledomaine est alors une boîte, de côté a = 10mm et périodique dans les trois directions, initialiséavec un cube généré avec la méthode de Klein et al. (2003). La taille de la boite étant fixe, pourchaque maillage il y a une longueur de Kolmogorov minimale à ne pas dépasser pour résoudretoutes les échelles de la turbulence. C’est la taille de la maille ∆x = a/n où n est le nombrede mailles sur un côté de la boîte. Cela implique que le nombre de Reynolds turbulent maximaldépend du maillage utilisé.

Pour connaître le nombre de Reynolds limite, il faut utiliser la première hypothèse deKolmogorov qui énonce que pour une turbulence homogène et isotrope, les structures dissipativessont entièrement déterminées par la connaissance de la viscosité cinématique ν = ρ/µ, et laconnaissance du taux de dissipation d’énergie E . On peut alors établir que le taux d’injectiondoit être identique au taux de dissipation. Connaissant les propriétés de chaque échelle, il estpossible d’estimer le taux de dissipation en utilisant les longueurs et les vitesses caractéristiques.L’énergie d’une échelle est U 2

t et elle doit la dissiper en un temps caractéristique de Lt/Ut, cequi implique que le taux de dissipation peut s’écrire comme le rapport de ces deux termes :

E =U 3

f

Λ=

U 3K

LK. (4.22)

Or, le nombre de Reynolds de Kolmogorov doit être égal à 1, ce qui implique que la vitessecaractéristique de Kolmogorov s’exprime comme :

UK =ν

LK. (4.23)

En injectant cette expression dans le calcul du taux de dissipation, E se calcule avec :

E =U 3

f

Λ=

ν3

L 4K

. (4.24)

On fait ainsi apparaître une relation entre la longueur intégrale longitudinale et la longueurde Kolmogorov :

Λ3U 3f

ν3=

Λ4

L 4K

. (4.25)

173

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Section 1

n L minK (m) Remax

Λ (m) U maxf (m/s)

128 7.81 · 10−5 1.74 · 101 2.62 · 10−1

256 3.91 · 10−5 4.39 · 101 6.56 · 10−1

512 1.95 · 10−5 1.11 · 102 1.66 · 100

Tableau 4.5 – L minK , Remax

Λ et U maxf pour les différents maillages utilisés avec a = 1.0 · 10−2,

Λ = 6.67 · 10−4m and ν = 1.0 · 10−5(m/s2)

Soit, en utilisant le nombre de Reynolds turbulent ReΛ :

ΛLK

= Re3/4Λ . (4.26)

Pour les tests, des tourbillons dont la longueur intégrale est Λ = a/15 sont injectés. Cettelongueur a été choisie car elle permet de générer assez de tourbillons pour avoir des statistiquesconvergées et d’avoir un temps de création du champ initial acceptable. Le temps pour initialiserun maillage 5123 ne doit pas dépasser une semaine. En effet, il faut rappeler que de grandeslongueurs intégrales impliquent de grandes tailles de filtres et donc des temps de calculs pluslongs. Connaissant la taille de la boîte, il est possible de connaître la longueur de Kolmogorovminimale L min

K que l’on peut simuler avec une boîte donnée. L’équation 4.26 impose alors unnombre de Remax

Λ qu’il ne faut pas dépasser pour une boîte. Les paramètres physiques étant fixés,cela correspond à une vitesse caractéristique de fluctuations maximale U max

f à ne pas dépassersuivant la boîte utilisée. Dans le tableau 4.5, les L min

K , RemaxΛ et U max

f sont spécifiées pourchaque maillage employé. Les valeurs se calculent ainsi :

LminK =

a

n, Remax

Λ =(

ΛLK

)4/3

, Umax

f =ν

ΛRemax

Λ . (4.27)

Tous les paramètres initiaux nécessaires sont maintenant définis. Pour chaque maillage, ladécroissance temporelle d’un champ turbulent de nombre de Reynolds turbulent Remax

Λ va êtreétudiée. L’idée est de vérifier que le champ initial évolue vers un écoulement représentatif de laturbulence. Dans ce but, quatre critères vont être utilisés :

• la décroissance temporelle de l’énergie cinétique turbulente du domaine ;

• la relation entre les longueurs intégrales longitudinales et transversales ;

• le coefficient de Skewness des fluctuations turbulentes ;

• le coefficient de Flatness des fluctuations turbulentes.

Premièrement, l’évolution de l’énergie cinétique turbulente Etke dans le domaine de simu-lation est étudiée. En effet, toutes les théories sur la décroissance temporelle de la turbulencehomogène et isotrope Von Karman & Howarth (1937), Kolmogorov (1941) ou Saffman (1967)s’accordent pour dire que l’énergie cinétique turbulente décroît dans le temps en suivant unefonction puissance :

Etke (t) = Atke (t− t0)−p. (4.28)

La valeur Atke est une constante qui dépend des paramètre initiaux de la turbulenceà l’instant t0. L’exposant p représente la vitesse à laquelle va se dissiper l’énergie cinétique

174

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

turbulente et c’est ce paramètre qui est important. En effet, il permet de savoir si la simulationdissipe correctement l’énergie mais, elle ne donnera pas d’indice pour savoir si les structuresinitiales évoluent vers un écoulement turbulent.

Dans le code DIV A des schémas WENO − Z sont utilisés par défaut. Pour savoir si letaux de dissipation n’est pas surestimée par ces schémas, leurs résultats sont comparés à ceuxobtenus avec les schémas centrés classiques d’ordre 2 et 4.

L’énergie cinétique turbulente dans le domaine est relevée au cours du temps de la simu-lation. Ensuite, une régression permet de calculer la valeur de p qui correspond le mieux auxrésultats. De manière générale, cet exposant est considéré comme constant Perot (2011), Burat-tini et al. (2006) avec une valeur variant de 1.2 à 1.5 selon Huang & Leonard (1994) pour des cassimilaires à nos cas tests.

n ReΛ WENO-Z 2d ordre 4ème ordre

128 17.4 1.21 1.21 1.21256 43.9 1.33 1.33 1.32512 111 1.41 1.41 1.41

Tableau 4.6 – Exposant p pour différents ReΛ en fonction des schémas numériques

Les résultats des simulations sont présentés dans le tableau 4.6. Le premier point à remar-quer est que les exposants calculés sont dans l’intervalle proposé par Huang & Leonard (1994).Cela permet d’affirmer que la décroissance temporelle est proche de la réalité. Le second pointconcerne les schémas convectifs : le schéma de discrétisation du terme convectif ne joue pas surla décroissance de l’énergie cinétique turbulente. Dans la suite, les schémas de type WENO−Z

présents par défaut dans DIVA sont donc conservés.

Pour vérifier la structure de la turbulence, l’analyse va maintenant se porter sur l’évolutiontemporelle de la longueur intégrale longitudinale Λf(t) et transversale Λg(t). Dans le cadre d’uneturbulence homogène et isotrope, les structures turbulentes doivent vérifier la relation Λf (t) =2Λg(t). Pour cela, le temps réduit t = tUf/Λf(0) est défini et les longueurs Λf et Λg sont calculéespour t = 0, t = 5 et t = 20. Les résultats sont présentés dans le tableau 4.7.

t = 0 t = 1 t = 5 t = 20ReΛ Λf Λg Λf Λg Λf Λg Λf Λg

17.4 8.68 4.91 11.5 5.22 23.4 10.2 35.1 17.443.9 6.92 4.39 7.89 3.98 11.5 5.64 22.3 9.26111 7.15 4.68 7.78 3.71 9.10 4.69 16.5 8.50

Tableau 4.7 – Longueurs intégrales Λf

(t)

× 104 et Λg(t) × 104 en (m) pour différent ReΛ enfonction du temps réduit t

À l’instant initial, la turbulence n’a pas les caractéristiques requises car les deux fonc-tions sont assez éloignées. C’est normal, la méthode de Klein et al. (2003) génère seulement desstructures cohérentes autour d’une certaine longueur. C’est l’évolution des ces structures qui vaformer la turbulence. Il faut alors attendre quelques temps de retournement pour voir la relationΛf (t) = 2Λg(t) vérifiée. La figure 4.5a, la figure 4.5b et la figure 4.5c montrent la composante

175

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Section 1

Z de la vorticité réduite à t = 5 dans un plan XY pour les différents Reynolds turbulent. Ellesillustrent que l’augmentation de Ret entraîne un augmentation du nombre de tourbillons ce quiest a priori le comportement qualitatif attendu. De plus, les structures n’ont pas la même formeque dans la sous-section 1.2, elles sont plus allongées. C’est la preuve que le champ initial a évoluévers des structures turbulentes.

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

-6

-4

-2

0

2

4

6

y

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωz

(a) ReΛ = 17.4

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

-6

-4

-2

0

2

4

6

y

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωz

(b) ReΛ = 43.9

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

-6

-4

-2

0

2

4

6

y

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωz

(c) ReΛ = 111

Figure 4.5 – Composante Z de la vorticité réduite ωz = ωzΛ/Uf dans un plan XY d’un cubeturbulent pour différents ReΛ à t = 5, x = x/Λ et y = y/Λ

Le champ initial de structures cohérentes se transforme bien en un champ de turbulencehomogène et isotrope si l’on regarde les structures de vitesse.

Les gradients de vitesse sont maintenant analysés en calculant les moments statistiquescentrés réduits d’ordre 3 et 4 de la dérivé de la vitesse. Le moment centré réduit d’ordre 3 d’unechamp a(x) se nomme le paramètre de Skewness S et permet d’avoir une mesure de la symétrie dela distribution du champ. Par exemple, un Skewness de 0 implique une distribution symétrique.Il se définit comme le rapport entre la moyenne de a3(x) et le moment d’ordre 2 (appelé aussivariance) élevé à la puissance 3/2. Le moment centré réduit d’ordre 4, se nomme le paramètre de

176

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

Flatness F (ou Kurtosis K) et permet de mesurer l’étalement de la distribution du champ. Parexemple, une Gaussienne possède un paramètre de Flatness de 3 et un paramètre de Skewness de0. On définit le Flatness comme le rapport entre la moyenne de a4(x) et le carré de la variance.Sachant que < · > est l’opérateur de moyenne, les expressions pour les paramètres de Skewnesset de Flatness du champ scalaire a(x) sont alors définie par :

S =< (a)3

>(< (a)2 >

) 32

, F =< (a)4

>(< (a)2 >

)2 . (4.29)

Pour analyser la dérivée du vecteur de fluctuations U , les tenseurs d’ordre 2 de SkewnessSkew et de Flatness Flat sont définis :

Skew =<(

∂Ui

∂xj

)3

>

(<(

∂Ui

∂xj

)2

>

) 32

, Flat =<(

∂Ui

∂xj

)4

>(<(

∂Ui

∂xj

)2

>

)2 . (4.30)

Dans les différents cas, la turbulence est homogène et isotrope. Cela permet de calculer Set F comme le tiers de la trace Tr de leur matrices respectives Skew et Flat.

S =13

Tr (Skew) , F =13

Tr (Flat) . (4.31)

L’étude se porte alors sur l’évolution temporelle de S et F . Pour cela, leurs valeurs ont étérelevées pour les temps réduits t = 0, t = 5 et t = 20 et elles sont présentées dans le tableau 4.8.

t = 0 t = 1 t = 5 t = 20ReΛ S F S F S F S F

17.4 −1.29 · 10−2 3.45 −4.8 · 10−2 3.48 −0.41 3.41 0.33 4.0143.9 −1.28 · 10−2 3.03 −5.45 · 10−2 3.81 −0.48 3.52 −0.42 3.30111 −2.03 · 10−2 3.00 −5.36 · 10−2 4.49 −0.47 3.71 −0.48 3.75

Tableau 4.8 – Paramètre de Skewness S(t) et paramètre de Flatness F (t) pour différents ReΛ

en fonction du temps réduit t

Ces résultats montrent qu’un temps d’adaptation est nécessaire avant que les paramètresse stabilisent entre des valeurs comprises entre −0.5 et −0.4 pour le paramètre de Skewness et 3.5et 4 pour celui de Flatness. Selon Pope (2003), les valeurs représentatives de la turbulence de sont−0.5 < S < −0.4 et 3 < F < 4. On remarque que sur le cas ReΛ = 17.3, pour t = 20, la valeurde S n’est plus dans l’intervalle attendu et que celle de F est à la limite de son intervalle. Celas’explique par le fait qu’il n’y plus de turbulence dans la boîte. Les paramètres S et F mesurentalors des choses qui n’ont aucun sens. Ce phénomène devrait aussi se produire sur les deux autrescas pour un temps réduit supérieur. Le tableau 4.8 montre donc que les gradients de vitesse sontbien caractéristiques d’un écoulement turbulent.

En conclusion, les structures cohérentes générées se développent vers un écoulement quipossèdent les caractéristiques d’un écoulement turbulent.

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Section 2

2 Optimisation des performances de DIVA

Dans la partie précédente, la méthode utilisée pour générer les entrées turbulentes a étéprésentée et validée. Ces validations ont été obtenues avec une implémentation séquentielle de laméthode. Le code DIVA étant parallèle, il y a un processeur qui calcule les entrées turbulentespuis il les distribue aux processeurs concernés par la condition d’entrée.

Toutefois, l’opération de filtrage est un produit de convolution, ce qui conduit à réaliser uncalcul coûteux lorsque de la génération des entrées turbulentes. Sur des maillages conséquents, letemps passé à créer les fluctuations turbulentes va poser des problèmes puisqu’il sera supérieur àcelui passé pour calculer le reste de l’écoulement. Étant donné que les simulations concernent desécoulements diphasiques avec changement de phase, les temps de calcul sont déjà longs. Il fautdonc optimiser le code pour réduire les temps de calcul mais aussi utiliser au mieux les ressourcesfournies par les supercalculateurs.

Deux points sont ciblés : les routines coûteuses et celles qui sont utilisées fréquemment. Celapermet d’avoir un bon compromis entre le temps de calcul gagné et le temps passé à optimiser lecode. Cette réflexion a alors permis de dégager les routines de génération des entrées turbulentes,celles des communications entre les processeurs et celles de la résolution des systèmes linéaires.

2.1 Une approche parallèle de la génération de la turbulence

Pour générer les fluctuations turbulentes, un seul processeur travaille pendant que lesautres attendent. Pour la suite, ce processeur actif est identifié comme le processeur 0. Il y a doncun problème de processeurs inutilisés auquel s’ajoute un problème de mémoire : le processeur 0stocke toutes les données nécessaires à la génération de la turbulence.

2.1.1 Le choix de l’approche parallèle

Pour remédier à ces problèmes, la solution est de paralléliser le code et deux solutionsexistent : utiliser des instructions de type OpenMP ou utiliser des instructions de type MPI.Les différences entre ces deux types de parallélisation résident dans la manière de partager lestâches et le stockage des informations. Pour comprendre le fonctionnement des méthodes et leurdifférences, on suppose qu’il y a 4 processeurs disponibles pour travailler en parallèle. On supposeaussi que le domaine de simulation est divisé en 4 sous-domaines identiques et qu’il y a un certainnombre de tâches à effectuer par sous-domaine.

Avec une parallélisation de type OpenMP, les données du domaine entier sont stockéesdans une zone de mémoire partagée et les 4 processeurs ont accès à cette zone mémoire. Lorsqu’ily a des tâches en parallèle à effectuer, c’est le processeur désigné comme maître (le 0 dans cetexemple) qui distribue les tâches à effectuer aux autres processeurs. L’avantage de cette méthodeest qu’elle est très simple à mettre en place. Il faut seulement mettre des balises sur les partiesdu code que l’on souhaite réaliser en parallèle et c’est la machine qui se charge de la distributiondes tâches. L’inconvénient c’est que les processeurs doivent obligatoirement avoir accès à unezone de mémoire partagée. Or, cette contrainte n’est pas toujours satisfaite. En effet, si lesprocesseurs appartiennent à des noeuds de calcul différents, ils ne partageront pas de mémoireet cette méthode sera inutilisable. C’est pourquoi, cette méthode a été écartée pour paralléliserla génération de la turbulence.

Avec une parallélisation de type MPI, chaque processeur est indépendant et se voit at-tribuer un sous-domaine. Chaque processeur possède alors une zone de mémoire privée où lesdonnées concernant le sous-domaine sont stockées. Toutefois, pour certaines tâches en bord desous-domaine, il est nécessaire d’avoir des données des sous-domaines voisins. Donc, il faut aussi

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

stocker dans la zone de mémoire privée les données voisines dont le sous-domaine a besoin. Engénéral, on appelle cette zone le “halo” car ces données sont celles qui entourent le sous-domaine.Pour que chaque processeur puisse remplir son halo, il est nécessaire d’avoir une étape de commu-nication durant laquelle les informations sont transmises entre les processeurs. Ensuite, chacundes processeurs effectue les tâches définies pour son sous-domaine. L’avantage de cette méthodeest qu’il n’y a pas de restriction sur le placement de processeurs sur la machine. Ils sont indé-pendants et communiquent entre eux à certains moments. L’inconvénient est que, pour que lescommunications soient efficaces et correctes, il faut les gérer explicitement et les implémenter.C’est une opération délicate mais, les routines parallèles déjà existantes de DIVA étant implé-mentées avec cette méthode, il a été choisi de l’utiliser car elle ne modifie pas la structure ducode existant. De plus, elle n’est pas limitée par l’architecture des noeuds.

Une approche MPI est donc choisie pour que chaque processeur génère les entrées dont ila besoin.

2.1.2 Le problème des halos

Cependant, un nouveau problème se pose au niveau de la communication des halos. Eneffet, pour calculer la fluctuation en un point, il est nécessaire de connaître les variables aléatoiressur une distance qui dépend de la longueur intégrale choisie. Cela signifie que, plus la longueurintégrale est grande, plus la taille des halos doit être grande et le temps de communication entreces derniers augmente. Cela introduit des problèmes de mémoire, on peut se retrouver avec deshalos dont la taille dépasse celle du sous-domaine. De plus, lorsque la longueur intégrale dépassela taille d’un sous-domaine, les processeurs ont besoin d’informations localisées sur les voisinsde ses voisins et ce n’est plus efficient d’utiliser cette méthode. Le problème s’est maintenantdéplacé : il faut trouver une technique pour s’affranchir des halos et être indépendant de lalongueur intégrale.

Dans l’approche MPI, le moyen de communiquer le plus répandu est appelé TWO-SIDEDcar les deux processeurs concernés participent de manière active à la communication. Pour envoyerun message, il faut demander à l’émetteur d’envoyer son message et en même temps, il fautdemander au destinataire de recevoir ce message. Si l’un des deux participants ne réalise pas sonaction, la communication échouera. En général, cette méthode est utilisée car elle est robusteet simple à comprendre mais elle nécessite que les deux processeurs soient actifs. Or, pour lagénération de la turbulence, il est nécessaire que chaque processeur soit indépendant de sonvoisin. Un processeur doit pouvoir aller chercher ce dont il a besoin dans la mémoire de sonvoisin (ou du voisin de son voisin) sans que celui-ci ne participe à la communication. Ce moyende communication existe avec la méthode MPI et se nomme ONE-SIDED car un seul processeurest actif dans la manoeuvre. Pour le mettre en place, au début du calcul, il faut demander auxprocesseurs de rendre visible une partie de leur mémoire privée aux autres processeurs. Ensuite,lorsqu’un processeur a besoin d’une information chez un voisin, on lui demande d’aller la chercheren renseignant l’identifiant du processeur cible ainsi que l’adresse mémoire de l’information. Celanécessite de savoir où sont exactement rangées les données pour y accéder de manière sûre. Mais,cette méthode permet de s’affranchir des problèmes liés à la taille de la longueur intégrale.

L’approche ONE-SIDED est donc choisie pour générer de manière parallèle n’importequelle longueur intégrale.

2.1.3 Les résultats obtenus

Auparavant, il était impossible de mener un calcul avec une longueur intégrale de la tailled’un dixième du domaine car on passait plus de temps à générer la turbulence qu’à résoudre le

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Section 2

calcul pour n’importe quel maillage. Maintenant, le temps de génération sur des maillage inférieurà 1283 est inférieur à 25% du temps total. Par contre, ce temps n’est pas fixe et il augmente trèsvite lorsque le maillage est raffiné rendant impossible les calculs sur des maillages supérieur à1283. C’est problématique puisque ce type de maillage est le minimum requis pour l’étude desgouttes.

Il faut maintenant trouver un moyen de rendre le ratio entre le temps passé à générer laturbulence et le temps de calcul constant et faible sur les différents maillages.

2.2 Produit de convolution dans l’espace de Fourier

Les techniques de parallélisation susceptibles d’améliorer le temps de génération de laturbulence ont toutes été utilisés mais ce n’est pas encore suffisant. Comme les aspects techniquesne sont pas concluants, il faut améliorer l’algorithmique. La solution réside dans la manière deréaliser le produit de convolution. En effet, l’opération de filtrage est un produit de convolutiondans l’espace réel, mais si nous passons dans l’espace de Fourrier, cette opération devient unproduit simple qui prend beaucoup moins de temps. L’idée est donc d’utiliser la transformée deFourier pour raccourcir le temps de génération de la turbulence. Pour cela, la librairie FFTW3est employée pour réaliser la transformation de Fourier en quatre étapes :

• passer les coefficients du filtre dans l’espace de Fourier ;

• passer les vecteurs aléatoires dans l’espace de Fourier ;

• faire le produit simple dans l’espace de Fourier ;

• passer le résultat du produit simple dans l’espace réel depuis l’espace de Fourier.

Toutes ces opérations sont faites en parallèle. Toutefois, pour réaliser un passage dans l’es-pace de Fourier, les routines parallèles fournies par FFTW3 ne sont pas appelées pour conserverla topologie MPI déjà présente dans le code. Pour cette opération, des crayons sont définis : cesont les parties monodimensionnelles du domaine, c’est-à-dire une partie où par exemple i et jsont fixés et seul k varie d’un bout à l’autre du domaine. Il est important de noter que k doitvarier d’un bout à l’autre du domaine et non d’un bout à l’autre d’un sous-domaine ou d’unepartie quelconque du domaine. Il y a donc trois types de crayons, ceux avec i qui varie, ceuxavec j qui varie et ceux avec k qui varie. Ensuite, des transformées de Fourier 1D sont appliquéessur tous les crayons qui ont i variable. L’avantage de la transformée 1D est que cette opérationest parallélisable. Il faut d’abord créer le crayon en rassemblant l’information contenue sur lesprocesseurs concernés puis, un des ces processeurs réalise la transformation et renvoie le résultataux processeurs partageant le crayon. À la fin de l’opération, une transformée de Fourier 1Da été réalisée sur l’ensemble du domaine. On répète alors le calcul pour les crayons selon j etselon k pour réaliser une transformée de Fourier 3D de l’ensemble du domaine. Cela permet deparalléliser cette opération tout en gardant un contrôle sur la manière de paralléliser le calcul.Le passage de l’espace Fourier à l’espace réel est réalisé de la même manière.

En terme de temps de calcul, le temps gagné par le produit simple est largement supérieurau temps perdu par les passages entre l’espace de Fourier et l’espace réel. Pour mesurer ce gain,nous avons utilisé la méthode ONE-SIDED et la méthode FFT pour générer un plan turbulentsur un domaine cubique de côté 1m. Les résultats sont présentés dans le tableau 4.9 qui donne letemps en seconde passé pour générer un plan turbulent avec les deux méthodes. Deux longueursintégrales sont utilisées sur les différents maillages. Les tests ont été réalisés sur 8 coeurs sur unemachine locale de l’IMFT.

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

Méthode ONE SIDED FFT

integral length Λf = 0.05m Λf = 0.1m Λf = 0.05m Λf = 0.1m

643 0.27 1.34 0.23 0.381283 4.40 44 1 1.842563 132 1891 4.28 15

Tableau 4.9 – Temps en seconde pour générer un plan turbulent

Ces résultats permettent de voir que la méthode FFT met beaucoup moins de temps pourgénérer les entrées turbulentes. Ensuite, on remarque aussi que lorsque l’on raffine le maillage,le coût de calcul de la méthode FFT est toujours faible. Sur le temps de calcul total, peu detemps sera donc passé dans la génération de la turbulence. Pour vérifier cela, l’injection d’unécoulement turbulent dans un domaine cubique est étudiée pour différents maillages et différentsnombres de processeurs. Les calculs sont réalisés sur 100 itérations, ce qui permet de générerenviron une douzaine de plan turbulents. La configuration est identique à celle utilisée pourétudier l’interaction entre la turbulence et une gouttes sur le super-calculateur OCCIGEN duCINES avec ReΛ = 20.

Maillage Nombre de processeurs Temps de turbulence (s) Temps total (s) Ratio (%)

643 1 18 855 2.111283 8 29 1749 1.662563 64 52 2760 1.885123 512 71 4112 1.73

1283 1 101 7126 1.422563 8 212 13106 1.625123 64 306 18889 1.62

Tableau 4.10 – Temps passé à générer la turbulence comparé au temps total pour 100 itérations

Les résultats sont présentés dans le tableau 4.10 qui donne le temps de simulation total,le temps pour générer la turbulence et le rapport du temps de turbulence sur le temps total enpourcentage pour les différentes configurations. Ils montrent que, pour toutes les configurations,1% à 2% du temps du calcul total est consacré à générer la turbulence. Comme ces résultats sonttrès concluants, cette implémentation est adoptée pour la suite.

2.3 Amélioration des communications entre les processeurs

Les communications entres les processeurs sont très importantes dans le code car ellespermettent d’échanger les informations nécessaires entre les sous-domaines pour que le calcul sedéroule correctement. Au cours d’une itération, les routines de communications sont appeléesde nombreuses fois et une amélioration sur la rapidité de ces routines permet donc de gagnerbeaucoup de temps sur l’ensemble du calcul.

Pour communiquer une information, il y a un processeur source qui envoie le message etun processeur cible qui le reçoit. La communication se passe donc de la manière suivante :

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Section 2

• le processeur source prépare le message ;

• le processeur source envoie le message ;

• le processeur cible reçoit le message ;

• le processeur cible range le message.

Dans ce déroulement, il est impossible agir sur l’envoi et la réception des messages. Parcontre, il est possible de modifier la manière dont les processeurs préparent et rangent les mes-sages. Dans la version actuelle, le code utilise un type dérivé, construit à l’initialisation du calcul,pour préparer et recevoir les messages. Pour comprendre ce qu’est un type dérivé, il faut savoirqu’un code FORTRAN peut manipuler seulement quatre types prédéfinis de variable :

• les variables booléennes qui peuvent prendre les valeurs FAUX ou VRAI ;

• les variables entières qui peuvent prendre les valeurs de n’importe quel entier ;

• les variables réelles qui peuvent prendre les valeurs de n’importe quel réel ;

• les variables caractères qui peuvent prendre les valeurs de n’importe quel caractère ;

Pour plus de souplesse, à l’aide de ces types prédéfinis, il est possible de construire desnouveaux types qui conviennent mieux à l’utilisateur. Dans DIVA, de nouveaux types ont alorsété construits afin de correspondre aux parties des sous-domaines qu’il faut envoyer et recevoir.L’avantage de cette méthode est que le type est construit une seule fois. Lorsque l’on veut trans-mettre un message, on donne le type du message à transmettre et, lors de la communication, leprogramme se charge tout seul de construire et ranger le message. Le problème de cette méthodeest qu’elle ajoute une étape lors de la construction du message. Le code doit lire le type, en dé-duire la construction du message, le construire et l’envoyer. Or, le message étant connu, c’est uneperte de temps. Il est plus simple et lisible de juste demander au code de construire le messageselon un schéma voulu. C’est pourquoi, la construction des messages à l’aide de types dérivés aété supprimée. De manière concrète, une boucle FOR est mise en place pour construire et rangerles messages concernant les halos qui sont juste des morceaux de tableaux. Cette étape a été doncimplémentée explicitement assurant ainsi une meilleure lisibilité, un meilleur contrôle et un gainde rapidité.

Nombre de processeurs Version Total time (s) Gain de rapidité

512old 4508 réferencenew 4292 1.05

64old 17604 réferencenew 15192 1.15

Tableau 4.11 – Comparaisons du temps total de calcul pour les deux méthodes decommunication

Pour mesurer ce gain, défini par told/tnew, dans le tableau 4.11, le temps de calcul nécessairesur un maillage 5123 pour réaliser 100 itérations lorsque l’initialisation est terminé est mesuré. Laconfiguration de calcul utilisée est celle d’une goutte placée dans un écoulement turbulent avecReΛ = 20 présentée plus tard. D’après les temps mesurés, la version du code avec les nouvellescommunications est plus rapide que celle avec les communications à base de type. De plus, cegain de temps est supérieur sur les sous-domaines de 1283. En effet, il est plus difficile pour lecode de construire le message à l’aide d’un type lorsque les messages sont importants. Avec la

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

construction explicite, le code optimise mieux ses ressources ce qui lui permet de mieux gérer lesmessages volumineux. Ce changement minime qui est très rapide à implémenter a permis un gainde rapidité qui est utile pour la suite.

2.4 Un premier pas vers un code hybride MPI-OpenMP

Dans cette partie, on trouve les dernières modification apportées au code pour améliorersa rapidité. L’objectif est d’optimiser les ressources de calcul disponibles.

Un super-calculateur, se compose de noeuds de calcul contenant chacun un nombre fixede processeurs. Quand on lance un calcul, on demande un nombre de noeuds qui correspondau nombre de processeurs désirés. Lors de cette opération, chaque noeud est entièrement réservépour l’utilisateur. Or, le nombre de processeurs souhaité n’est pas toujours un multiple du nombrede processeurs par noeud. Par exemple, sur la machine OCCIGEN du CINES, il est possible deréserver des noeuds de 24 processeurs ou des noeuds de 28 processeurs. Sur DIVA, le solveurBlack-Box Multi-Grid (BBMG), employé pour résoudre les système linéaires, nécessite d’avoir unnombre de sous-domaines étant un multiple de 2 pour fonctionner efficacement. Pour fonctionnersur 512 processeurs, il est alors impossible de remplir entièrement les noeuds car ce n’est niun multiple de 24 ni un multiple de 28. Il faut donc fonctionner en configuration dépeuplée oùseule une partie des processeurs réservés sur un noeud sont utilisés. Or, comme ils sont réservéspour l’utilisateur, des processeurs inactifs sont comptabilisés et c’est une mauvaise gestion desressources disponibles. Dans ce cas, l’idéal serait donc de remplir 21 noeuds de 24 entièrement et1 noeud de 24 sur lequel on utilise 8 processeurs afin de perdre le moins d’heures possible.

Sur beaucoup de calculateur, même si cela est possible, le script pour soumettre un calculne permet pas ce genre de répartition. Il faut demander un nombre de noeuds et renseigner lenombre de processeurs utilisés par noeud. On ne peut pas faire de différence entre les noeuds.Sur OCCIGEN, pour 512 processeurs, il faut réserver 32 noeuds de 24 sur lesquels 16 processeurstravaillent. On perd donc un tiers des heures qui sont allouées. L’idée est donc d’utiliser desroutines OpenMP à certains endroits du code pour rentabiliser ces processeurs au repos. Commeces dernières sont faciles à implémenter, le travail à réaliser est faible mais le gain de temps peutêtre considérable.

Pour cela, toutes les boucles FOR indépendantes sont identifiées pour être paralléliser avecune approche OpenMP. Une boucle est indépendante quand l’ordre des opérations à réaliser n’apas d’importance. L’avantage de ces boucles est que chaque opération de la boucle peut êtrefaite à part. On peut donc demander au processeurs qui ne font rien d’utiliser leur puissance decalcul pour accélérer le passage de la boucle. Ici, on remarque que les nouvelles communicationssont très intéressantes puisque les boucles pour construire les messages sont écrites explicitement.On peut donc utiliser aussi de l’OpenMP pour construire et ranger les messages ce qui permetd’accélérer encore les communications.

Enfin, lors de la résolution avec le BBMG, un solveur itératif de Gauss-Seidel, composéde boucle dépendantes, est nécessaire sur les différentes grilles du système. Mais, il est possiblede rendre ces boucles indépendante en utilisant un solveur Color-Gauss-Seidel. Cela nous permetalors d’utiliser des instructions OpenMP pour accélérer la résolution des systèmes linéaires. Lesrésultats de toutes ces modifications sont présentés dans le tableau 4.12 qui montre le tempsde calcul total pour faire 100 itérations avec une goutte placée dans un écoulement turbulentà ReΛ = 20. Plusieurs maillages, tailles de sous-domaines et nombres de processeurs OpenMPutilisables par un processeur MPI sont utilisés.

Ces résultats montrent que le code est 2 à 4 fois plus rapide en utilisant les processeursqui ne font rien. Cependant, on remarque que l’efficacité diminue rapidement lorsqu’il y a 7

183

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Section 2

Maillage Nb. de processeurs Nb. de thread OpenMP Temps total (s) Gain de rapidité

643 11 912 référence3 412 2.217 292 3.12

1283 81 1965 référence3 988 1.987 718 2.73

2563 641 3140 référence3 1380 2.277 1174 2.67

5123 5121 4532 référence3 2467 1.837 1532 2.95

1283 11 7553 référence3 3242 2.327 2257 3.34

2563 81 14676 référence3 6599 2.227 4313 3.40

5123 641 21144 référence3 8589 2.467 5327 3.96

Tableau 4.12 – Gain de temps avec l’apport des threads OpenMP pour 100 itérations

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

processeurs OpenMP. Le code n’étant pas entièrement hybride, seules quelques parties clés sontaccélérées réduisant ainsi l’efficacité. De plus, le gain est supérieur sur des sous-domaines de 1283

puisque les boucles étant plus importantes sur ces sous-domaines, l’apport de l’OpenMP est plusefficace.

3 L’effet de la turbulence sur une goutte

Dans cette partie, l’interaction d’une goutte avec un écoulement incident turbulent estétudiée. Pour cela, les échanges thermiques et les efforts exercés sur la goutte sont analysés enregardant le nombre de Nusselt et la force réduite. Comme l’introduction de la turbulence entraînedes fluctuations sur les valeurs instantanées, ce sont leurs valeurs moyennées dans le temps quisont étudiées.

Pour l’étude qui va suivre, il y a beaucoup moins de points que celles du chapitre 3. Eneffet, les temps de calcul pour obtenir un point de l’espace paramétrique sont extrêmement longspour trois raisons :

• la géométrie est obligatoirement tridimensionnelle à cause de la turbulence. Cela impliquedes systèmes linéaires de grande taille à résoudre et c’est coûteux en temps ;

• pour obtenir des valeurs moyennées correctes, il faut des temps physiques assez longs devantles fluctuations engendrées par la turbulence. Or lorsque le nombre de ReΛ augmente,ces fluctuations augmentent et le temps physique nécessaire pour les valeurs moyenness’allonge ;

• la dernière raison concerne le pas de temps convectif. Plus le nombre de ReΛ augmente plusles fluctuations sont susceptibles d’engendrer des vitesses élevées. Le pas de temps convectifest alors réduit ce qui implique qu’il faut plus d’itérations pour atteindre le temps physiquevoulu.

En conséquence, pour l’étude paramétrique, seuls les nombre de Reynolds turbulent et deSpalding varient. Le nombre de Reynolds débitant et le nombre de Prandtl sont fixes dans lecadre de cette étude.

−→ey

−→ez

−→ex

16r0

r0

16r0

INFLOW

OUTFLOW

PERIO

DIC

PERIO

DIC

(a) Plan de normale ex

−→ex

−→ez

−→ey

16r0

r0

16r0

INFLOW

OUTFLOW

PERIO

DIC

PERIO

DIC

(b) Plan de normale ey

−→ex

−→ey

−→ex

16r0

r0

16r0

PERIO

DIC

PERIO

DIC

PERIODIC

PERIODIC

(c) Plan de normale ez

Figure 4.6 – Schéma de la configuration selon les trois directions

Le domaine utilisé est un cube de côté [−8r0 : 8r0] sur lequel l’écoulement incident estinjecté en z = −8r0. Une condition de sortie est appliquée en z = 8r0 et des conditions limitespériodiques sont appliquées sur les côtés restants. La température est imposée à 873K avec desconditions de Dirichlet sur z = −8r0 et z = 8r0. Sur les autres faces, il y a des conditions

185

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Section 3

périodiques. La goutte est placée au centre de ce domaine et la vitesse moyenne de l’écoulementincident est de vr,∞ = 1m/s. La figure 4.6a, la figure 4.6b et la figure 4.6c représentent un schémade la configuration du calcul projetée dans les trois directions spatiales.

Le domaine est maillé de manière uniforme avec 128, 256 ou 512 points par côté. En termede précision, seul le maillage 1283 ne correspond pas au critère minimal fixé dans le chapitre 2qui préconise d’avoir au minimum 16 points pour le rayon d’une goutte. Toutefois, ce dernier estutilisé car il donne des résultats rapidement et permet de s’assurer que les simulations fonctionnentavant de passer aux maillages supérieurs. Ce sont donc les maillages 256 et 512 qui permettronsd’identifier des tendances sur les résultats.

Les paramètres de l’étude sont :

ReΛ =ρgΛUf

µg, B =

cp,g(T∞ − Tb)Lv

, Re =ρgv∞d0

µg, P r =

µgcp,g

λg. (4.32)

Paramètres fixes Unité Gaz Interface Liquide

ρ (kg.m−3) 1.226 · 100∅ 1.0 · 103

µ (Pa.s−1) 1.7 · 10−5∅ 1 · 10−3

cp (J.K−1.kg−1) 1.0 · 103∅ 2.0 · 103

λ (W.m−1.K−1) 5.2 · 10−2∅ 1.61 · 10−1

σ (N.m−1) ∅ 7.2 · 10−2∅

Tb (K) ∅ 373 ∅

d0 (m) ∅ 1.38 · 10−4∅

Paramètres variables Unité Varie en fonction de

Uf (m) Re

Lv (J.kg−1) B

Tableau 4.13 – Paramètres utilisés pour les simulations

Les propriétés physiques sont identiques à l’étude du chapitre 3 et elles sont rappelées dansle tableau 4.13. Les paramètres adimensionnels varient donc dans l’intervalle [0, 20, 40, 60, 80] pourReΛ et l’intervalle [0, 2] pour B. Le nombre de Reynolds débitant et le nombre de Prandtl seronttels que Re = 100 et Pr = 0.33. Le nombre de Reynolds débitant est choisi de manière à ceux queles fluctuations turbulentes s’évacuent toujours du domaine. Ainsi pour ReΛ = 80, on a toujoursUf < vr,∞ ce qui permet d’assurer un mouvement du gaz entre l’entrée et la sortie du domaine.Sa valeur implique que le diamètre initial de la goutte est de d0 = 1.38 · 10−4m. L’échelle desstructures de l’écoulement incident a ensuite été fixée à un dixième de la taille du domaine telleque Λf = 1.6r0. Cela permet d’avoir des fluctuations de vitesse de l’ordre de grandeur de lagoutte. En effet, c’est l’influence de la turbulence sur la goutte qui est analysé, il faut donc desvariations de vitesse visibles par la goutte. Ensuite, la valeur de ReΛ est changée au moyen dela vitesse caractéristique turbulente Uf . La variation est choisie afin de décrire des écoulementsde plus en plus turbulent en sachant que ReΛ = 0 est l’écoulement laminaire. Pour le nombrede transfert, cela correspond à un écoulement sans changement d’état et un écoulement avec unévaporation modérée. Seules deux valeurs ont été étudiées à cause du temps de calcul. Quant àla valeur du nombre de Prandtl, elle correspond simplement à celle obtenue avec les propriétésdonnées.

186

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

Comme pour les cas axisymétriques, le solveur Ghost Fluid Thermal Solver for Boiling(GFTSB) est employé avec le référentiel mobile. La raison est toujours d’avoir un problèmesimplifiée afin de bien appréhender les mécanismes de couplage entre l’aérodynamique externe,les transferts thermiques et les changements de phase au niveau fondamental.

Pour le temps de simulation, il sera fixé en fonction d’un nombre de structures turbulentesque va voir la goutte. Sachant que la vitesse débitante de l’écoulement est de v∞ et la taille ca-ractéristique des tourbillons injectés est de Λ, la goutte voit donc passer une structure turbulentependant un temps Λ/v∞. C’est le temps de référence qui sera utilisé pour la goutte. Il permetde définir le temps réduit t = tv∞/Λ. La simulation sera arrêtée quand 320 structures serontpassées devant elle, c’est-à-dire t = 320. Dans les configurations simulées, cela correspond à untemps final de tf = 0.22s. En utilisant, la loi du d2, cela correspond à 7.5% du temps de vie dela goutte pour B = 2. Sans évaporation, il n’est pas pertinent de faire cette comparaison puisquela taille de la goutte ne diminue pas.

3.1 Effet de la turbulence sur les échanges thermiques

La chaleur échangée par la goutte avec le milieu extérieur est le premier point qui est ana-lysé. Pour cela, la variation du nombre de Nusselt moyenné dans le temps est tracé en fonction dunombre de Reynolds turbulent de l’écoulement incident. Les résultats sont présentés en fonctiondu nombre de ReΛ pour différents maillages dans la figure 4.7a et la figure 4.7b lorsque B = 0 etB = 2 respectivement.

0 20 40 60 80

ReΛ

4

5

6

7

Nu

Present 3D study

Re = 100, B=0, 1283

Re = 100, B=0, 2563

Re = 100, B=0, 5123

Correlation 2Daxi study

Re = 100, B=0, 2Daxi fit

(a) Cas sans évaporation

0 20 40 60 80

ReΛ

2.0

2.5

3.0

3.5

Nu

Present 3D study

Re = 100, B=2, 1283

Re = 100, B=2, 2563

Correlation 2Daxi study

Re = 100, B=2, 2Daxi fit

(b) Cas avec évaporation

Figure 4.7 – Nombre de Nusselt en fonction du nombre ReΛ pour différents maillages

Le premier point important des résultats est que le cas laminaire, ReΛ = 0, converge versla valeur donnée par les simulations axisymétrique. Pour le confirmer, il sera nécessaire d’avoirles résultats d’un maillage 5123 sur la configuration laminaire sans évaporation.

La second point important est que la turbulence augmente la valeur du nombre de Nus-selt pour un même Reynolds débitant. Ce phénomène est présent sur tous les maillages. Sur letableau 4.14, les écarts relatifs (en pourcentage) du Nusselt moyen par rapport au Nusselt lami-naire de chaque maillage sont présentés. Le phénomène d’augmentation semble indépendant del’évaporation puisqu’il est présent pour B = 0 et B = 2 avec le même ordre de grandeur.

Avec un maillage 1283, l’augmentation du nombre de Nusselt est perçue à partir de ReΛ =60 en absence d’évaporation, alors qu’en présence de celle-ci, l’augmentation apparaît dès ReΛ =

187

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Section 3

Reynolds turbulent

Maillage Spalding Référence ReΛ = 20 ReΛ = 40 ReΛ = 60 ReΛ = 80

1283 B = 0 4.60 · 100 0.22 −0.16 3.18 5.42B = 2 2.78 · 100 1.08 7.55 10.8 14.6

2563 B = 0 5.24 · 100 1.53 5.92 7.25 12.0B = 2 2.64 · 100 2.65 5.68 9.47 14.4

5123 B = 0 5.41 · 100 − − − 15.9B = 2 − − − − −

Tableau 4.14 – Écart relatif en pourcentage du nombre de Nusselt moyen des écoulementsturbulents par rapport au nombre de Nusselt de l’écoulement laminaire

20. Par contre, ce constat n’est pas présent sur les maillages 2563, il y a une augmentation avec ousans évaporation. Cette différence s’explique par la taille des couches limites. En effet, le souffledu changement de phase contribue à épaissir les couches limites thermiques. Ainsi, pour un mêmemaillage, l’ajout de l’évaporation permettra d’avoir un gradient moins fort. Il faudra donc moinsde points pour le résoudre correctement. Il est possible de visualiser l’épaississement des coucheslimites sur la figure 4.8a et la figure 4.8b qui représentent la composante Y de la vorticité et desiso-lignes de température pour respectivement les cas ReΛ = 0 sans évaporation, ReΛ = 0 avecévaporation. Les contours de températures tracées sont alors plus larges et plus espacés dans lecas avec évaporation.

La composante Y de la vorticité réduite et les iso-lignes de température ont aussi été tracéspour les cas ReΛ = 40 sans évaporation, ReΛ = 40 avec évaporation, ReΛ = 80 sans évaporationet ReΛ = 80 avec évaporation sur respectivement la figure 4.8c, la figure 4.8d, la figure 4.8e etla figure 4.8f. Elles permettent de voir que la turbulence vient rompre la traînée thermique de lagoutte. En effet, en regardant les contours 773K et 823K, on peut voir que ces derniers restentdans le domaine de calcul. Sur les écoulements laminaires de figure 4.8a et la figure 4.8b, onobserve qu’ils sont collés au bord supérieur. C’est un artefact de la visualisation signifiant que lescontours sortent du domaine. La zone froide est donc plus petite lorsqu’il y a de la turbulence.C’est ce qui contribue à faire augmenter les échanges thermiques de la goutte.

Sur la figure 4.8e il est même possible de voir le mécanisme de cassure de la zone froide.Au niveau des coordonnées réduites (−2.5, 1.5), il y a un tourbillon qui vient apporter du gazchaud derrière la goutte. Cette effet est visible grâce à la correspondance entre le champ de lacomposante Y de la vorticité et les contours de température. Ce phénomène est aussi présent surles autres figures de manière moins évidente.

Finalement, l’augmentation du nombre de Nusselt avec la turbulence peut être attribuéà l’évacuation de la traînée thermique de la goutte. Les fluctuations turbulentes permettent deremplacer le gaz froid par un gaz plus chaud augmentant ainsi les échanges de chaleur. Dansle chapitre 3, il a été vu que l’évaporation formait une coquille sphérique protégeant la gouttede l’écoulement incident. Pour le futur, il serait intéressant de voir si le souffle provoqué par lechangement de phase peut empêcher la turbulence de balayer la traînée thermique. Pour cela ilfaudra réaliser des simulations avec des nombre de transferts caractéristiques d’une évaporationforte, c’est-à-dire B > 4

188

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

623

673

723

773 823

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωy

ReΛ = 0

B = 0

(a) cas ReΛ = 0 et B = 0

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

623

673

723

773

823

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωy

ReΛ = 0

B = 2

(b) cas ReΛ = 0 et B = 2

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

623

673 723

773

823

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωy

ReΛ = 40

B = 0

(c) cas ReΛ = 40 et B = 0

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

623

673

723 77

3

823

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωy

ReΛ = 40

B = 2

(d) cas ReΛ = 40 et B = 2

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

623

673

723

773

823

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωy

ReΛ = 80

B = 0

(e) cas ReΛ = 40 et B = 0

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

623

673

723773

823

−3.0

−2.0

−1.0

0

+1.0

+2.0

+3.0

ωy

ReΛ = 80

B = 2

(f) cas ReΛ = 40 et B = 2

Figure 4.8 – Composante Y de la vorticité réduite ωy = ωy/Uf et iso-lignes de températurepour des maillages 2563, x = x/ et y = y/

189

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Section 3

3.2 Effet de la turbulence sur les forces appliquées sur la goutte

Dans cette partie, les efforts exercés sur la goutte par le milieu extérieur vont être analysés.Pour cela, la variation de la force réduite moyennée en temps est tracée en fonction du nombre deReynolds turbulent de l’écoulement incident. Les résultats sont présentés en fonction de ReΛ pourdifférents maillages dans la figure 4.9a et la figure 4.9b lorsque B = 0 et B = 2 respectivement.

0 20 40 60 80

ReΛ

30

40

50

60

Ft

Present 3D study

Re = 100, B=0, 1283

Re = 100, B=0, 2563

Re = 100, B=0, 5123

Correlation 2Daxi study

Re = 100, B=0, 2Daxi fit

(a) Force réduite totale en fonction de ReΛ pourdifférent maillages en l’absence d’évaporation

0 20 40 60 80

ReΛ

20

30

40

50

Ft

Present 3D study

Re = 100, B=2, 1283

Re = 100, B=2, 2563

Correlation 2Daxi study

Re = 100, B=2, 2Daxi fit

(b) Force réduite totale en fonction de ReΛ pourdifférent maillages en présence d’évaporation

Figure 4.9 – Total drag force versus ReΛ

Premièrement, contrairement aux échanges thermiques, ces résultats montrent qu’il n’ya pas une convergence spatiale claire lorsque le niveau de turbulence augmente. En effet, seulle cas laminaire converge spatialement vers la valeur attendue qui est celle des simulations 2D-axisymétrique. Toutefois, ce manque de convergence spatiale n’est pas surprenant. En effet, laforce réduite est directement liés à la vitesse et la pression qui sont dictées par les fluctuationsturbulentes. Or, pour que ces dernières soient résolues correctement, il faut que l’échelle de Kolmo-gorov soit supérieure à la taille de la maille. Cette contrainte implique que pour chaque maillage,il y a un nombre de Reynolds turbulent maximal. Dans cette configuration, il vaut respective-ment 29.3, 73.7 et 185.8 le 1283, le 2563 et le 5123. Donc, sur un maillage, pour tout nombre deReynolds turbulent supérieur au nombre maximal, l’écoulement ne sera pas entièrement décrit.Pour le maillage 1283, ceci explique que les résultat soient cohérents jusqu’à ReΛ = 20, c’estle dernier nombre de Reynolds turbulent pour lequel le maillage est correctement résolu. C’estidentique pour le maillage 2563, les résultats sont cohérents jusqu’à ReΛ = 60 qui est le derniernombre de Reynolds turbulent inférieur à 73.7.

Toutefois, dans les cas avec évaporation, il semble que cette explication n’est pas vérifié.En effet, les résultats restent cohérents quand la turbulence augmente, même lorsque toutes leséchelles ne sont pas résolues. Le souffle d’évaporation peut être à l’origine de ce comportement.La coquille sphérique, qu’il engendre autour de la goutte, induit que les effort exercés ne sont passeulement dépendants de l’écoulement externe. Ainsi, si l’écoulement incident n’est pas résolu surtoutes les échelles, l’erreur engendrée se répercutera moins sur la goutte.

En prenant en compte ces remarques, la tendance qui se dégage des résultats est quela turbulence augmente les efforts exercés sur la goutte. Afin de voir quelle composante estresponsable de cette augmentation, la composante de pression et la composante visqueuse ontété analysées. Les résultats sont tracés sur la figure 4.10a, la figure 4.10b, la figure 4.10c et la

190

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

figure 4.10d qui représentent respectivement la force de pression réduite en fonction de ReΛ sansévaporation, la force de pression réduite en fonction de ReΛ avec évaporation, la force visqueuseréduite en fonction de ReΛ sans évaporation et la force visqueuse réduite en fonction de ReΛ avecévaporation.

0 20 40 60 80

ReΛ

10

20

30

40

Fp

Present 3D study

Re = 100, B=0, 1283

Re = 100, B=0, 2563

Re = 100, B=0, 5123

Correlation 2Daxi study

Re = 100, B=0, 2Daxi fit

(a) Composante de pression de la force réduite totaleen fonction de ReΛ pour différent maillages en

l’absence d’évaporation

0 20 40 60 80

ReΛ

10

20

30

40

Fp

Present 3D study

Re = 100, B=2, 1283

Re = 100, B=2, 2563

Correlation 2Daxi study

Re = 100, B=2, 2Daxi fit

(b) Composante de pression de la force réduite totaleen fonction de ReΛ pour différent maillages en

présence d’évaporation

0 20 40 60 80

ReΛ

15

20

25

30

Fv

Present 3D study

Re = 100, B=0, 1283

Re = 100, B=0, 2563

Re = 100, B=0, 5123

Correlation 2Daxi study

Re = 100, B=0, 2Daxi fit

(c) Composante visqueuse de la force réduite totale enfonction de ReΛ pour différent maillages en l’absence

d’évaporation

0 20 40 60 80

ReΛ

6

8

10

12

Fv

Present 3D study

Re = 100, B=2, 1283

Re = 100, B=2, 2563

Correlation 2Daxi study

Re = 100, B=2, 2Daxi fit

(d) Composante visqueuse de la force réduite totale enfonction de ReΛ pour différent maillages en présence

d’évaporation

Figure 4.10 – Composante de pression et composante visqueuse de la force réduite totale enfonction de ReΛ

En premier lieu, ces résultats permettent de dire que la composante de pression est cellequi ne converge pas spatialement pour les cas sans évaporation. En effet, le comportement sembleplus cohérent sur la composante visqueuse même si l’on ne peut pas encore dégager une tendancequantitative nette. Ensuite, on observe que les cas avec évaporation évoluent peu avec la turbu-lence. C’est notamment mis en évidence sur la composante visqueuse, celle ci paraît constanteavec le Reynolds turbulent. Cette observation tend à penser que l’écoulement de Stefan protègela goutte des fluctuations turbulentes.

191

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Section 3

3.3 Quelques explications sur les problèmes de convergence

Dans les parties précédentes,il a été vu que les résultats sur les forces sont beaucoup plussujet à ces problèmes de covnergence que les échanges thermiques. Cette différence de sensibilités’explique par le fait que ce sont des valeurs moyennés en temps.

0 20 40 60 80

ReΛ

0

5

10

15

20

25

Sd(%)

Present 3D study

Re = 100, B=0, 1283

Re = 100, B=0, 2563

Re = 100, B=0, 5123

Re = 100, B=2, 1283

Re = 100, B=2, 2563

(a) Nombre de Nusselt

0 20 40 60 80

ReΛ

0

20

40

60

80

100

Sd(%)

Present 3D study

Re = 100, B=0, 1283

Re = 100, B=0, 2563

Re = 100, B=0, 5123

Re = 100, B=2, 1283

Re = 100, B=2, 2563

(b) Force réduite totale

Figure 4.11 – Écarts types relatifs en fonction du nombre de Reynolds turbulent pour lesdifférents cas

0 20 40 60 80

ReΛ

0

20

40

60

80

100

Sd(%)

Present 3D study

Re = 100, B=0, 1283

Re = 100, B=0, 2563

Re = 100, B=0, 5123

Re = 100, B=2, 1283

Re = 100, B=2, 2563

(a) Composante de visqueuse de la force réduite totale

0 20 40 60 80

ReΛ

0

20

40

60

80

100

Sd(%)

Present 3D study

Re = 100, B=0, 1283

Re = 100, B=0, 2563

Re = 100, B=0, 5123

Re = 100, B=2, 1283

Re = 100, B=2, 2563

(b) Composante de pression de la force réduite totale

Figure 4.12 – Écarts types relatifs des composantes de la force réduite en fonction du nombrede Reynolds turbulent pour les différents cas

Suivant leurs intervalles de variations, les valeurs moyenne n’auront pas besoin des mêmestemps d’intégrations. Ces intervalles de variations se mesurent avec l’écart type, noté Sd, qui estla racine carré du moment statistique centré d’ordre 2 appelé variance. Il représente l’écart moyenà la valeur moyenne. Si a est une fonction du temps t et <>t l’opérateur de moyenne temporelle,Sd se calcule comme :

Sd =(< (a− < (a) >t)

2>t

)1/2

(4.33)

Sur la figure 4.11b et la figure 4.11b l’écart type relatif à la valeur moyenne est tracé pour

192

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

respectivement, la force réduite totale et le nombre de Nusselt. On s’aperçoit que le nombre deNusselt présente un écart type relatif beaucoup plus faible que la force réduite. Les fluctuationsdes échanges de chaleur sont plus faibles que celles de la force. Le nombre de Nusselt a donc besoind’un temps d’intégration plus faible ce qui explique les différences de convergence. En regardantla figure 4.11b et la figure 4.11b, qui représentent l’écart relatif de la composante visqueusede la force réduite et celle de pression, on peut ajouter que ces grandes variations proviennentmajoritairement des efforts de pression. En effet, les écarts relatif de pression sont supérieurs auxécarts relatifs visqueux.

0 80 160 240 320

t

0

2

4

6

8

10

Nu

Total force

Mean total force

(a) Cas Ret = 20 sans évaporation

0 80 160 240 320

t

0

2

4

6

8

10

Nu

Total force

Mean total force

(b) Cas Ret = 20 avec évaporation

0 80 160 240 320

t

0

2

4

6

8

10

Nu

Total force

Mean total force

(c) Cas Ret = 80 sans évaporation

0 80 160 240 320

t

0

2

4

6

8

10

Nu

Total force

Mean total force

(d) Cas Ret = 80 avec évaporation

Figure 4.13 – Nombre de Nusselt en fonction du temps réduit t pour plusieurs cas

Sur la figure 4.14a, la figure 4.14b, la figure 4.14c, la figure 4.14d, l’évolution temporelle dela force réduite a été tracée pour le cas ReΛ = 20 sans évaporation, ReΛ = 20 avec évaporation,ReΛ = 80 sans évaporation, ReΛ = 80 avec évaporation. Les mêmes cas ont aussi été tracéspour le nombre de Nusselt sur la figure 4.13a, la figure 4.13b, la figure 4.13c, la figure 4.13d. Cesévolutions temporelles montrent que les valeurs moyennes des nombres de Nusselt se stabilisentbeaucoup plus vite. Étant donné que l’écart type du nombre de Nusselt est plus petit, le tempsd’intégration est plus court et inférieur au temps simulé. Par contre, pour la force, le tempsd’intégration n’est pas assez long. En effet, la valeur moyenne n’est pas bien stabilisée à la fin ducalcul.

193

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Section 3

0 80 160 240 320

t

−100

0

100

200

Ft

Total force

Mean total force

(a) Cas Ret = 20 sans évaporation

0 80 160 240 320

t

−100

0

100

200

Ft

Total force

Mean total force

(b) Cas Ret = 20 avec évaporation

0 80 160 240 320

t

−100

0

100

200

Ft

Total force

Mean total force

(c) Cas Ret = 80 sans évaporation

0 80 160 240 320

t

−100

0

100

200

Ft

Total force

Mean total force

(d) Cas Ret = 80 avec évaporation

Figure 4.14 – Force réduite totale en fonction du temps réduit t pour plusieurs cas

Par exemple, pour le cas Ret = 80 sans évaporation, si l’on mesure l’écart type de la valeurmoyenne pour t > 160, on obtient 0.006 pour le nombre de Nusselt et 2.96 pour la force réduite.Cela prouve que la valeur moyenne des efforts n’est pas stabilisée car l’écart type ne tend pasvers 0.

Finalement, les temps d’intégrations temporels trop faibles des valeurs moyennes sont unecause supplémentaire expliquant les problèmes de convergence des résultats.

Conclusion du chapitre 4

Dans ce chapitre, une étude a été réalisée sur l’interaction entre la turbulence et une gouttequi s’évapore. Elle a été réalisée à travers l’analyse des évolutions du nombre de Nusselt et de laforce réduite lorsque le nombre de Reynolds turbulent varie.

Pour la rendre possible, il a premièrement été nécessaire de mettre en place un générateurde fluctuations turbulentes. Pour le valider, Un premier test a été effectué pour vérifier la taille desstructures générées et un second pour vérifier qu’elles évoluaient vers de la turbulence. Ensuite,le code DIVA a été optimisé afin d’avoir des temps de calcul moins longs. L’optimisation des

194

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CHAPITRE 4. L’ÉVAPORATION D’UNE GOUTTE DANS UN ÉCOULEMENT TURBULENT

routines de DIVA les plus lentes et les plus appelées a permis d’avoir un code qui est jusqu’à troisfois plus rapide. En conséquence, toutes ces modifications ont participé à obtenir plus de pointssur l’étude paramétrique.

En ce qui concerne l’étude paramétrique, la turbulence semble renforcer les échanges dechaleur et les efforts appliqués sur la goutte. Cependant, des points supplémentaires sont néces-saires pour pouvoir valider ces observations, notamment sur des maillages raffinés comme 5123

voire 10243. Ces maillages contiennent respectivement 134 millions et 1 milliard de points. Cesont donc clairement des simulations qui seront coûteuses en temps. Mais les outils développésont permis de les rendre à portée de DIVA. Dans le futur, pour bien analyser cette configuration,elles viendront compléter l’étude paramétrique entamée dans ce chapitre.

Jusqu’à présent, dans ce manuscrit, le travail fourni s’est intéressé à des gouttes seules. Dansle chapitre 5, un nouvel axe d’étude concernant un problème plus global est abordé : l’interactiondes gouttes dans les groupes. Ce chapitre démontrera que les outils développés précédemmentpermettent d’extraire des informations importantes pour comprendre les effets collectifs d’ungroupe de gouttes s’évaporant dans un écoulement laminaire ou turbulent.

195

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Section 3

196

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CHAPITRE 5

L’ÉTUDE DES GROUPES DE GOUTTES

SommaireIntroduction du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

1 Les trois différents groupes et les maillages utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

1.1 Le premier groupe uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

1.2 Le second groupe uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

1.3 Le groupe mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

1.4 La précision des maillages utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

2 Le déplacement relatif des gouttes dans un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

2.1 Les gouttes dans un écoulement laminaire sans évaporation . . . . . . . . . . . 208

2.2 Les gouttes dans un écoulement laminaire avec évaporation . . . . . . . . . . . 209

2.3 Les gouttes dans un écoulement turbulent sans évaporation . . . . . . . . . . . 210

2.4 Les gouttes dans un écoulement turbulent avec évaporation . . . . . . . . . . . 211

3 Les échanges thermiques dans un groupe de goutte . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

3.1 Le cas d’un écoulement laminaire et sans évaporation . . . . . . . . . . . . . . 212

3.2 L’influence de l’évaporation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

3.3 L’influence de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

3.4 L’influence combiné de l’évaporation et de la turbulence . . . . . . . . . . . . 224

Conclusion du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

197

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Section 1

Introduction du chapitre 5

Dans ce chapitre, l’objectif est d’étudier les effets collectifs dans les groupes de gouttes.

Dans un moteur, lors de l’introduction du carburant, on distingue plusieurs régimes dansle spray sortant de l’injecteur. La fraction volumique du liquide αl permet de les différencier etelle se définie comme :

αl =Vgouttes

Vdomaine. (5.1)

Selon Simonin et al. (2002) et Vicentini (2016), on peut définir le régime dense pourαV > 10−1, le régime dilué pour 10−1 > αl > 10−4 et le régime très diluée pour 10−4 > αl. Lafigure 5.1, extraite de Jenny et al. (2012), permet de visualiser les différents régimes au sein d’unspray de carburant.

Figure 5.1 – Illustration des différents régimes dans un spray, Jenny et al. (2012)

Le but de ce dernier chapitre est de montrer, qu’en présence de changement de phase etde turbulence, DIVA permet d’étudier les effets collectifs dans ces différents régimes de groupesde gouttes. C’est un sujet crucial qui est difficile décrire.

Pour atteindre cet objectif, trois configurations de groupes de gouttes appartenant au ré-gime dilué sont définies. Puis, en utilisant le solveur Ghost Fluid Thermal Solver for Boiling(GFTSB), le comportement de ces groupes dans des écoulements incidents laminaires ou turbu-lents est analysé. On se place toujours dans un référentiel mobile en l’absence de gravité. Cetteanalyse comprend le déplacement des gouttes et les échanges thermiques entre les gouttes et legaz. Dans le cas des échanges thermiques, les données sont comparées avec celles d’une goutteisolée en mouvement.

Dans ce chapitre, une première partie présentera les trois groupes de gouttes et la confi-guration des calculs. Ensuite, les déplacements des gouttes sont analysés au cours du temps.L’évolution temporelle des échanges thermiques est étudiée à l’aide du nombre de Nusselt endernier.

198

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CHAPITRE 5. L’ÉTUDE DES GROUPES DE GOUTTES

Paramètres fixes Unité Gaz Interface Liquide

ρ (kg.m−3) 1.226 · 100∅ 1.0 · 103

µ (Pa.s−1) 1.7 · 10−5∅ 1 · 10−3

cp (J.K−1.kg−1) 1.0 · 103∅ 2.0 · 103

λ (W.m−1.K−1) 5.2 · 10−2∅ 1.61 · 10−1

σ (N.m−1) ∅ 7.2 · 10−2∅

Tb (K) ∅ 373 ∅

Lv (J.kg−1) ∅ 1.25 · 105∅

d0 (m) ∅ 1.38 · 10−4∅

Uf (m.s−1) 1.0 · 100∅ ∅

Tableau 5.1 – Paramètres utilisés pour les simulations

1 Les trois différents groupes et les maillages utilisés

La taille du domaine de simulation est calculée par rapport au rayon initial r0 des gouttes :[−6r0 : 6r0,−6r0 : 6r0,−12r0 : 12r0]. Il est maillé de manière uniforme et il y a donc toujoursdeux fois plus de mailles dans la direction Z que dans celles X et Y . Pour les conditions auxlimites, une condition d’entrée de vitesse uniforme est imposée en z = −12r0, une condition desortie en z = 12r0 et des conditions périodiques sur toutes les autres parois. La température estimposée à 873K avec des conditions de Dirichlet sur z = −12r0 et z = 12r0. Sur les autres faces,il y a des conditions périodiques. En appliquant le critère minimal de 16 mailles par rayon initialdu chapitre 1, le maillage uniforme minimum du domaine doit être de 192 × 192 × 384. Or, pourprofiter des avantages du solveur Black-Box Multi-Grid (BBMG), des maillages en puissancesde 2 sont nécessaires. Il faut donc faire des calculs sur un maillage 256 × 256 × 512 ou toutautre maillage plus raffiné que celui-ci. Pour le moment, au niveau des groupes, ce sont des effetsqualitatifs qui sont recherchés. En conséquence, la précision des maillages est volontairementfaible afin d’étudier plus de cas. Le domaine de simulation contient alors 128 × 128 × 256 maillesou 256 × 256 × 512.

Au niveau de l’écoulement incident, une vitesse débitante uniforme de v∞ = 1m.s−1 estimposée. Sachant qu’à l’instant initial, le rayon des gouttes est de r0 = 693µm, pour toutesles simulations, le nombre de Reynolds débitant Re est de 100. Lorsque l’écoulement incidentest turbulent, la vitesse caractéristique est de Uf = 1m.s−1 avec une longueur intégrale valantΛ = 1.01 ·10−3m. Cela correspond à la configuration la plus turbulente du chapitre 3, c’est-à-direun nombre de Reynolds turbulent de 80. Lorsque l’évaporation est prise en compte, le nombre deSpalding utilisé, caractérisant une évaporation forte, est de B = 4. Enfin, le nombre de Prandtlest toujours constant et sera de Pr = 0.33. On rappelle qu’ils sont définis avec les propriétésgazeuses, résumées dans le tableau 5.1, tels que :

ReΛ =ρgΛUf

µg, B =

cp,g(T∞ − Tb)Lv

, Re =ρgv∞d0

µg, P r =

µgcp,g

λg. (5.2)

À l’instant initial, la vitesse dans le domaine est nulle et la température de la phase gazeusevaut T∞. Le temps final de simulation est de tf = 0.052s ce qui correspond, selon la loi du d2,à 2.5% du temps de vie d’une goutte isolée lorsque B = 4. Le temps est volontairement courtpour pouvoir simuler tous les cas. En termes de temps de calcul, les simulations sur les maillages

199

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Section 1

256 × 256 × 512 durent environ 20 jours. Elles ont été réalisées sur le la machine OCCIGEN duCINES avec 16 processeurs (E5-2690 [email protected]) communiquant avec la norme MPI utilisantchacun 7 threads OpenMP. Le total est donc de 112 processeurs. Ces simulations sont plusfacilement accessibles grâce à l’hybridation MPI-OpenMP.

1.1 Le premier groupe uniforme

La première configuration mise en place est appelée CU4 pour Configuration Uniformeavec un espacement de quatre rayons. Pour créer cette configuration, 4 gouttes sont réparties demanière uniforme dans le plan horizontal XY afin d’obtenir un espacement de 4r0 entre toutesles gouttes. La figure 5.2a permet ainsi de visualiser le plan dans lequel sont disposées les gouttes.

Ensuite, trois niveaux de gouttes comportant ce schéma sont superposés afin de formerun groupe dans l’espace. L’espacement entre les gouttes de 4r0 a été respecté entre les différentsétages. La figure 5.2b et la figure 5.2c permettent de voir la disposition des gouttes dans les plansY Z et XZ respectivement. Les conditions étant périodiques en X et en Y , ces deux plans decoupe doivent être identiques.

−→ex

−→ey

−→ez

2r0 4r0 2r0

2r0

4r0

2r0

PERIO

DIC

PERIO

DIC

PERIODIC

PERIODIC

(a) Plan XY

−→ey

−→ez

−→ex

2r0 4r0 2r0

5r0

4r0

4r0

5r0

INFLOW

OUTFLOW

PERIO

DIC

PERIO

DIC

(b) Plan Y Z

−→ex

−→ez

−→ey

2r0 4r0 2r0

5r0

4r0

4r0

5r0

INFLOW

OUTFLOW

PERIO

DIC

PERIO

DIC

(c) Plan XZ

Figure 5.2 – Configuration CU4, les disques bleus représentent les gouttes

Dans cette configuration, il y a 12 gouttes dans le domaine de calcul. C’est la configurationla moins dense des trois groupes, la fraction volumique de liquide est de :

αl =Vgouttes

Vdomaine= 1.5 · 10−2 . (5.3)

1.2 Le second groupe uniforme

La seconde configuration mise en place est notée CU2 pour Configuration Uniforme avec unespacement de deux rayons. Pour créer cette configuration, il faut densifier de manière uniforme

200

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CHAPITRE 5. L’ÉTUDE DES GROUPES DE GOUTTES

la première configuration. L’espacement entre les gouttes est maintenant de 2r0 et la figure 5.3apermet ainsi de visualiser le plan XY dans lequel sont disposées les gouttes.

Ensuite, les trois niveaux de gouttes comportant le schéma sont assemblés afin de formerun groupe dans l’espace. L’espacement entre les gouttes de 2r0 est toujours respecté entre lesdifférents étages. La figure 5.3b et la figure 5.3c permettent alors de voir la disposition des gouttesdans les plans Y Z et XZ respectivement.

−→ex

−→ey

−→ez

r0 2r0 2r0 r0

r0

2r0

2r0

r0

PERIO

DIC

PERIO

DIC

PERIODIC

PERIODIC

(a) Plan XY

−→ey

−→ez

−→ex

r0 2r0 2r0 r0

7r0

2r0

2r0

7r0

INFLOW

OUTFLOW

PERIO

DIC

PERIO

DIC

(b) Plan Y Z

−→ex

−→ez

−→ey

r0 2r0 2r0 r0

7r0

2r0

2r0

7r0

INFLOW

OUTFLOWPERIO

DIC

PERIO

DIC

(c) Plan XZ

Figure 5.3 – Configuration CU2, les disques bleus représentent les gouttes

Dans cette configuration, il y a donc 27 gouttes dans le domaine de calcul. C’est la plusdense des trois configurations, la fraction volumique de liquide est de :

αl =Vgouttes

Vdomaine= 3.3 · 10−2 . (5.4)

1.3 Le groupe mixte

La troisième configuration mise en place est notée CM pour Configuration Mixte. Pourcréer cette configuration, les gouttes sont placées de manière décalée afin d’obtenir un schémaen paquets qui s’approche un peu plus de la réalité. Pour cela, deux plans XY différents ontété superposés. Le premier plan se trouve sur la figure 5.4a, l’espacement horizontal entre lesgouttes est de 2r0 ou 6r0. Le second plan est dessiné sur la figure 5.4b, sur celui-ci, l’espacementhorizontal entre les gouttes est constant de valeur 2r0. Au niveau de l’axe Z, ce plan se situe à2r0 du premier plan composé de quatre gouttes. On remarque aussi qu’il est identique au planhorizontal de la configuration CU2. Cette particularité vient du fait que la configuration CU2 estutilisée comme base de départ pour construire la configuration CM .

Ensuite, ce schéma est placé sur deux niveaux éloignés de 2r0 afin de former la configurationCM . Il y a finalement un étage à quatre gouttes, un étage à neuf gouttes, un étage à quatre gouttes

201

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Section 1

et un étage à neuf gouttes. L’espacement entre les gouttes de 2r0 est toujours respecté entre lesdifférents étages. La figure 5.4c et la figure 5.4d permettent alors de voir la disposition des gouttesdans les plans Y Z et XZ respectivement.

−→ex

−→ey

−→ez

3r0 2r0 3r0

3r0

2r0

3r0

PERIO

DIC

PERIO

DIC

PERIODIC

PERIODIC

(a) Premier plan XY , les pointillés représentent lesgouttes du second plan XY

−→ex

−→ey

−→ez

r0 2r0 2r0 r0

r0

2r0

2r0

r0

PERIO

DIC

PERIO

DIC

PERIODIC

PERIODIC

(b) Second plan XY , les pointillés représentent lesgouttes du premier plan XY

−→ey

−→ez

−→ex

3r0

2r0 3r0

r0 2r0 2r0 r0

9r0

6r0

5r0

5r0

6r0

9r0

INFLOW

OUTFLOW

PERIO

DIC

PERIO

DIC

(c) Plan Y Z

−→ex

−→ez

−→ey

3r0

2r0 3r0

r0 2r0 2r0 r0

9r0

6r0

5r0

5r0

6r0

9r0

INFLOW

OUTFLOW

PERIO

DIC

PERIO

DIC

(d) Plan XZ

Figure 5.4 – Configuration CM , les disques bleus représentent les gouttes

Dans cette configuration, il y a donc 26 gouttes dans le domaine de calcul. Cette configu-ration est presque aussi dense que CU2, la fraction volumique de liquide est de :

αl =Vgouttes

Vdomaine= 3.15 · 10−2 . (5.5)

La proximité des densités permet donc d’avoir deux dispositions différentes pour une mêmedensité. En comparant CU2 et CM , il est alors possible d’étudier l’influence de la position desgouttes à densité volumique égale.

202

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CHAPITRE 5. L’ÉTUDE DES GROUPES DE GOUTTES

1.4 La précision des maillages utilisés

L’étude suivante est réalisée avec des maillages 128×128×256 ou des maillages 256×256×512. Or, le critère de précision de 16 mailles dans le rayon d’une goutte n’est pas vérifié avec lesmaillages 128×128×256. Afin de déterminer la perte de précision de ce maillage, des simulationsavec des paramètres identiques ont été effectuées sur les deux maillages pour la configurationCU2. La comparaison des trajectoires et des nombres de Nusselt permet de mesurer la perte deprécision.

Les évolutions temporelles des nombres de Nusselt moyens de chaque étage sont tracées surla figure 5.5, figure 5.6 et la figure 5.7 respectivement pour un écoulement incident laminaire sansévaporation, laminaire avec évaporation et turbulent sans évaporation. Elles sont représentéespour les deux maillages en fonction du temps réduit t = tv∞/r0.

Dans chaque cas, les variations temporelles des nombres de Nusselt sont quasiment iden-tiques pour tous les étages entre les deux maillages. Cela montre que le maillage 128 × 128 × 256,qui ne respecte pas le critère de précision de 16 mailles dans un rayon de goutte, permet de fairedes études qualitatives dont les résultats sont proches du maillage 256 × 256 × 512 qui respectele critère.

0 25 50 75

t

0

2

4

6

8

Nu

Nu of an isolated drop

Mean Nu of front drops

Mean Nu of middle drops

Mean Nu of back drops

Mean Nu of front drops

Mean Nu of middle drops

Mean Nu of back drops

(a) Maillage uniforme 128 × 128 × 256

0 25 50 75

t

0

2

4

6

8

Nu

Nu of an isolated drop

Mean Nu of front drops

Mean Nu of middle drops

Mean Nu of back drops

Mean Nu of front drops

Mean Nu of middle drops

Mean Nu of back drops

(b) Maillage uniforme 256 × 256 × 512

Figure 5.5 – Nombres de Nusselt en fonction du temps réduit pour un écoulement laminairesans évaporation dans la configuration CU2

Sur la figure 5.8 et la figure 5.9, les trajets pour la configuration CU2 sont tracés respecti-vement pour des maillages de 128 × 128 × 256 et 256 × 256 × 512. Les déplacements des gouttespour les différentes configurations sont tracés par une ligne rouge. Elle relie la position initialede goutte, repérée par un point bleu, à sa position finale, repérée par une étoile jaune. Il estimportant de noter que ce déplacement à pour référence le centre de masse du groupe, c’est doncun déplacement relatif. Elles montrent que les tendances sont identiques sur les deux maillagespour les cas avec un écoulement incident laminaire sans évaporation, laminaire avec évaporationet turbulent sans évaporation. Toutefois, les déplacements sont plus importants sur le maillage128 × 128 × 256. En conséquence, ce qui est observé sur un maillage grossier sera aussi présentsur un maillage plus fin dans des proportions plus faibles.

Finalement, malgré la sous-résolution, le maillage 128 × 128 × 256 est suffisant pour com-prendre qualitativement les effets collectifs dans les groupes de gouttes. L’étude sera donc réaliséeà partir de ce maillage afin de pouvoir faire toutes les simulations. Seuls les cas avec un écoule-ment incident turbulent et de l’évaporation sont réalisés sur des maillages 256 × 256 × 512 car lacombinaison de l’évaporation et la turbulence demande une précision accrue.

203

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Section 1

0 25 50 75

t

0

1

2

3

Nu

Nu of an isolated drop

Mean Nu of front drops

Mean Nu of middle drops

Mean Nu of back drops

Mean Nu of front drops

Mean Nu of middle drops

Mean Nu of back drops

(a) Maillage uniforme 128 × 128 × 256

0 25 50 75

t

0

1

2

3

Nu

Nu of an isolated drop

Mean Nu of front drops

Mean Nu of middle drops

Mean Nu of back drops

Mean Nu of front drops

Mean Nu of middle drops

Mean Nu of back drops

(b) Maillage uniforme 256 × 256 × 512

Figure 5.6 – Nombres de Nusselt en fonction du temps réduit pour un écoulement laminaireavec évaporation dans la configuration CU2

0 25 50 75

t

0

2

4

6

8

Nu

Nu of an isolated drop

Mean Nu of front drops

Mean Nu of middle drops

Mean Nu of back drops

Mean Nu of front drops

Mean Nu of middle drops

Mean Nu of back drops

(a) Maillage uniforme 128 × 128 × 256

0 25 50 75

t

0

2

4

6

8

Nu

Nu of an isolated drop

Mean Nu of front drops

Mean Nu of middle drops

Mean Nu of back drops

Mean Nu of front drops

Mean Nu of middle drops

Mean Nu of back drops

(b) Maillage uniforme 256 × 256 × 512

Figure 5.7 – Nombres de Nusselt en fonction du temps réduit pour un écoulement turbulent,ReΛ = 80, sans évaporation dans la configuration CU2

204

Page 205: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

CHAPITRE 5. L’ÉTUDE DES GROUPES DE GOUTTES

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(a) Écoulement incident laminairesans évaporation

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(b) Écoulement incident laminaireavec évaporation

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(c) Écoulement incident turbulent,ReΛ = 80, sans évaporation

Figure 5.8 – Trajets des gouttes sur un maillage uniforme 128 × 128 × 256

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(a) Écoulement incident laminairesans évaporation

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(b) Écoulement incident laminaireavec évaporation

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(c) Écoulement incident turbulent,ReΛ = 80, sans évaporation

Figure 5.9 – Trajets des gouttes sur un maillage uniforme 256 × 256 × 512

205

Page 206: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

Section 2

2 Le déplacement relatif des gouttes dans un groupe

Dans cette partie, les déplacements des gouttes sont représentés par rapport au dépla-cement du centre de masse du groupe. Premièrement, le cas d’un écoulement laminaire sansévaporation est présenté. C’est le cas de référence pour étudier les effets de la turbulence et del’évaporation. Ensuite, l’influence de l’évaporation sur le déplacement des gouttes est analyséepuis, celle de la turbulence. Enfin, l’effet combiné de la turbulence et de l’évaporation sur ledéplacement des gouttes est examiné.

2.1 Les gouttes dans un écoulement laminaire sans évaporation

Les résultats concernant les trajets des gouttes dans un écoulement laminaire sans évapo-ration sont présentés dans cette partie. Ils servent de référence pour les cas suivants.

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(a) Configuration CU2

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(b) Configuration CU4

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(c) Configuration CM

Figure 5.10 – Trajets des gouttes dans un écoulement laminaire sans évaporation avec unmaillage uniforme 128 × 128 × 256

Sur la figure 5.10a, la figure 5.10b et la figure 5.10c sont tracés respectivement les trajetspour les configurations CU2, CU4 et CM pour des maillages de 128 × 128 × 256. En comparantles configurations uniformes de la figure 5.10a et de la figure 5.10b, on remarque que les gouttesse déplacent peu et de manière coordonnée dans les deux groupes. En effet, le premier étage eststatique alors que le second et le troisième étage se déplacent vers le bas. Il semble que les gouttesdes deux niveaux supérieurs soient aspirées par les sillages des gouttes des étages inférieurs.

Sur la configuration mixte de la figure 5.10c, le comportement est beaucoup plus riche eneffets collectifs. Pour commencer, les deux étages à quatre gouttes se déplacent vers le bas. Ilsparaissent être aspirées par le sillage global des étages à neuf gouttes. Pour les étages à neufgouttes, les comportements sont différents. L’étage supérieur se dirige vers le centre de l’étage àquatre goutte le précédant. Il semble être aspiré par son sillage global. Ce comportement est aussi

206

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CHAPITRE 5. L’ÉTUDE DES GROUPES DE GOUTTES

observé pour la goutte centrale de l’étage inférieur à neuf gouttes. Par contre, les gouttes externesde cet étage remontent vers les bords du domaine. Ce comportement est peut-être provoqué par lepassage des quatre gouttes de l’étage supérieur poussant celles de l’étage inférieur à neuf gouttes.Ainsi, les gouttes externes se déplacent vers l’extérieur puis remontent vers le haut une fois quel’étage à quatre gouttes est passé sous l’étage à neuf gouttes. Pour la goutte centrale, elle estpoussée par les quatre gouttes de manière symétrique. Elle est donc poussée vers le bas, ce quivient s’ajouter à la force d’aspiration de l’étage inférieur à quatre gouttes. Ceci explique que,pour les étages à neuf gouttes, le trajet de la goutte centrale est plus long sur l’étage inférieur.

On peut ajouter que l’interaction de déplacement induit par les gouttes voisines est peut-être aussi visible sur la configuration CU2. En effet, les gouttes de l’étage central semblent pousserles gouttes de l’étage inférieur puisque les gouttes externes de celui-ci ont un léger mouvementvers les bords du domaine. Ce n’est pas visible sur la configuration CU4 car les gouttes sont tropéloignées. C’est un effet de l’influence de la proximité des gouttes.

Ce cas laminaire sans évaporation permet de dire que les configurations uniformes CU4 etCU2 présentent des comportements similaires qui correspondent à des interactions globales entreles étages. Par contre, la configuration mixte CM permet de mettre en lumière des interactionscomplexes. Ces dernières concernent plutôt le comportement individuel des gouttes.

2.2 Les gouttes dans un écoulement laminaire avec évaporation

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(a) Configuration CU2

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(b) Configuration CU4

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(c) Configuration CM

Figure 5.11 – Trajets des gouttes dans un écoulement laminaire avec évaporation avec unmaillage uniforme 128 × 128 × 256

Dans cette partie, l’influence de l’évaporation sur les déplacements des gouttes pour lesdifférentes configurations initiales est étudiée. Sur la figure 5.11a, la figure 5.11b et la figure 5.11csont tracés respectivement les trajets pour les configurations CU2, CU4 et CM pour des maillagesde 128 × 128 × 256.

207

Page 208: Simulation numérique directe de gouttes et de groupes de gouttes … · Abstract The vaporisation of injected fuel in a combustion chamber is a crucial phenomenon in an aeronautical

Section 2

En regardant la figure 5.11a, figure 5.11b et la figure 5.11c, le premier constat est quel’évaporation a changé le comportement des gouttes.

Sur les configurations uniformes, on note que l’étage inférieur et l’étage central se rap-prochent alors que l’étage supérieur se détache du groupe. Si l’effet de rapprochement est iden-tique au cas de référence, le détachement est totalement nouveau. Comme il a été émis l’hypothèseque le rapprochement était la conséquence de la traînée globale de l’étage inférieur, on peut pen-ser que l’évaporation annule cet effet. C’est une explication plausible car dans le chapitre 3 et lechapitre 4, il a été vu que l’évaporation réduisait les effets de traînée.

Dans la configuration mixte, cet effet est aussi présent. À cela, s’ajoute deux différencesfaibles au niveau des étages centraux par rapport au cas de référence. La première, est quel’étage supérieur à quatre gouttes descend moins bas dans le domaine. Ceci peut s’expliquer parla présence de l’évaporation qui forme un écoulement sphérique autour de la goutte. Il est doncplus dur pour ces gouttes de passer à travers l’étage à neuf gouttes. La seconde différence est quela goutte centrale de l’étage inférieur à neuf gouttes a un trajet plus court que dans le cas deréférence. Dans ce dernier, ce trajet avait été attribué à l’influence de la traînée et de la présencedes gouttes supérieures. Ici, le comportement des derniers étages permettent de supposer quel’évaporation diminuait fortement les effets de la traînée. Il ne reste donc que le mécanisme depoussée provoqué par les gouttes de l’étage supérieur à quatre gouttes pour faire avancer la gouttecentrale. Son trajet est alors plus court.

Le cas laminaire avec évaporation permet donc de mettre en évidence que l’évaporationmodifie le déplacement des gouttes. Elle inhibe notamment certains effets présents sans évapora-tion.

2.3 Les gouttes dans un écoulement turbulent sans évaporation

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(a) Configuration CU2

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(b) Configuration CU4

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(c) Configuration CM

Figure 5.12 – Trajets des gouttes dans un écoulement turbulent sans évaporation avec unmaillage uniforme 128 × 128 × 256

208

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CHAPITRE 5. L’ÉTUDE DES GROUPES DE GOUTTES

Dans cette partie, l’influence de la turbulence sur les déplacements des gouttes pour lesdifférentes configurations initiales est étudiée. Sur la figure 5.12b, figure 5.12b et la figure 5.12csont tracés respectivement les trajets pour les configurations CU2, CU4 et CM pour des maillagesde 128 × 128 × 256.

Ici, l’analyse est quasiment la même que pour le cas de référence laminaire. Les compor-tements globaux n’ont pas changé mais le comportement individuel des gouttes est modifié parles fluctuations turbulentes. Les trajectoires ne sont pas rectilignes ce qui est probablement laconséquence de la turbulence.

2.4 Les gouttes dans un écoulement turbulent avec évaporation

Dans cette quatrième partie, l’influence combinée de la turbulence et de l’évaporation surles déplacements des gouttes est étudiée pour les différentes configurations initiales.

Sur la figure 5.13a, la figure 5.13b et la figure 5.13c sont tracés respectivement les trajetspour les configurations CU2, CU4 et CM pour des maillages de 256 × 256 × 512. Ce sont doncdes simulations qui ont assez de mailles pour être résolues spatialement.

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(a) Configuration CU2

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(b) Configuration CU4

Droplets paths

Droplets initial positions

Droplets final positions

(c) Configuration CM

Figure 5.13 – Trajets des gouttes dans un écoulement turbulent avec évaporation sur unmaillage uniforme 256 × 256 × 512

En regardant les trajets relatifs, l’effet de l’évaporation se distingue principalement. Eneffet, le comportement global de détachement du dernier étage est présent sur les trois groupes.L’effet de la turbulence est aussi présent puisqu’il est possible de voir des variations des trajec-toires. Par contre, il est difficile d’extraire un nouveau comportement sur ces cas combinés. Dansle cas des maillages 128 × 128 × 256, les effets étant sur-estimés, leur visibilité était accrue. Cen’est pas le cas sur les maillages 256 × 256 × 512, il faut des temps de simulations plus longs pourpouvoir mettre en évidence les phénomènes étudiés.

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Section 3

3 Les échanges thermiques dans un groupe de goutte

Dans cette dernière partie, ce sont les échanges thermiques entre les gouttes et le milieuexterne qui sont étudiés. Pour cela, le nombre de Nusselt Nu est analysé pour les configura-tions CU4, CU2 et CM afin de regarder l’influence de l’évaporation et de la turbulence sur cedernier. Pour éviter de trop complexifier le problème des positions, seul le nombre de Nusseltmoyen de chaque étage de goutte est analysé. Cela va permettre de faire des comparaisons préli-minaires entre les gouttes confrontées directement à l’écoulement incident et celles qui voient cetécoulement modifié par la présence de gouttes devant elles.

Dans la suite, les nombres de Nusselt globaux des étages, moyennés dans le temps entre lesinstants t1 = 25 et t2 = 75, seront analysés et comparés au cas de la goutte isolée en convection.En présence d’évaporation, cela correspond à 1.75% du temps de vie de la goutte selon la loi dud2 avec B = 4.

3.1 Le cas d’un écoulement laminaire et sans évaporation

Dans le cas d’un écoulement incident laminaire et en l’absence d’évaporation, la diminutiondu nombre de Nusselt par rapport au cas de la goutte isolée a été analysée. Les résultats sontprésentés dans le tableau 5.2 par plans horizontaux, le plan numéro 1 étant le plan le plus bas.Il permet de mettre en évidence plusieurs points importants.

Configuration Plan 1 (%) Plan 2 (%) Plan 3 (%) Plan 4 (%)

CU2 −47.0 −66.8 −71.0 ∅

CU4 −47.7 −64.2 −67.8 ∅

CM −47.0 −47.4 −61.4 −64.1

Tableau 5.2 – Écart relatif en pourcentage du nombre de Nusselt moyen avec le nombre deNusselt d’une goutte isolée pour un écoulement laminaire en l’absence d’évaporation

Le premier point important est que la diminution du nombre de Nusselt moyen du plan 1est identique pour toutes les configurations, elle est d’environ 47%. Le schéma des gouttes n’influedonc pas sur les échanges thermiques. Dans le cas de la configuration mixte, on observe aussique le plan 2 a un nombre de Nusselt du même ordre de grandeur que ceux des plans 1. On peutdonc en déduire que, sur la configuration mixte, le décalage des gouttes ne permet pas au plan 1d’agir sur le plan 2.

Le second point important est que les résultats montrent que les nombres de Nusseltcalculés sont beaucoup plus faibles que le nombre de Nusselt de la goutte isolée. La proximité desgouttes empêche ces dernières de s’évaporer car le gaz les entourant n’est plus à la températurede l’écoulement incident. Pour confirmer cela, des visualisations des champs de température etde la composante ex de la vorticité pour les configurations CU2, CU4 et CM sont respectivementprésentés dans la figure 5.14, la figure 5.15 et la figure 5.16.

Elles permettent de mettre en évidence que le gaz entourant les gouttes n’est plus à latempérature de l’écoulement incident. Cela est surtout le cas pour les étages supérieurs qui seretrouvent dans le sillage des gouttes précédentes. Ils ne voient pas l’écoulement incident avec satempérature initiale. Ils sont entourés d’un gaz à une température inférieure à la températureinitiale de l’écoulement ce qui contribue à faire baisser considérablement le nombre de Nusselt.

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CHAPITRE 5. L’ÉTUDE DES GROUPES DE GOUTTES

Figure 5.14 – Configuration CU2 avec un maillage 128 × 128 × 256, Température etcomposante X du champ de vorticité pour un écoulement laminaire sans évaporation

211

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Section 3

Figure 5.15 – Configuration CU4 avec un maillage 128 × 128 × 256, Température etcomposante X du champ de vorticité pour un écoulement laminaire sans évaporation

212

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CHAPITRE 5. L’ÉTUDE DES GROUPES DE GOUTTES

Figure 5.16 – Configuration CM avec un maillage 128 × 128 × 256, Température etcomposante X du champ de vorticité pour un écoulement laminaire sans évaporation

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Section 3

Ainsi, plus on monte dans les étages, plus l’écoulement est refroidi par les échanges ther-miques avec les gouttes des étages inférieurs. Ce phénomène s’accentue si la densité du groupeaugmente. En effet, le nombre de Nusselt moyen du plan 3 de la configuration CU2 subit une di-minution plus forte que celle de la configuration CU4. Toutefois, la différence due à l’espacementhorizontal des gouttes n’est pas aussi importante que celle due à l’espacement vertical.

Cela permet de conclure que les positions verticales des gouttes provoquent plus de varia-tions que leurs positions horizontales. Les gouttes périphériques semblent donc avoir peu d’in-fluence et la convection de l’écoulement principal semble prendre le dessus sur la diffusion. Ilserait alors intéressant de regarder à quel moment les gouttes périphériques viennent jouer surles échanges de chaleur. À ma connaissance, ce type d’étude n’a encore jamais était fait. Il y a doncla possibilité d’étudier un nouveau phénomène susceptible d’améliorer les modèles d’évaporation.

3.2 L’influence de l’évaporation

Dans cette partie, le cas d’un écoulement incident laminaire et en présence d’évaporation,est étudié. La diminution du nombre de Nusselt par rapport au cas de la goutte isolée est présentéedans le tableau 5.3 par plans horizontaux, le plan numéro 1 étant le plan le plus bas.

Configuration Plan 1 (%) Plan 2 (%) Plan 3 (%) Plan 4 (%)

CU2 −3.18 −5.17 −5.37 ∅

CU4 −3.73 −5.56 −5.63 ∅

CM −3.50 −3.07 −4.20 −4.17

Tableau 5.3 – Écart relatif en pourcentage du nombre de Nusselt moyen avec le nombre deNusselt d’une goutte isolée pour un écoulement laminaire en présence d’évaporation

La première chose à dire est que les nombres de Nusselt calculés sont, comme dans le caslaminaire sans évaporation, plus faibles que le nombre de Nusselt de la goutte isolée. Les causessont identiques aux causes pointées dans le cas de référence : c’est la proximité des gouttes. Enprésence d’évaporation, il est possible de comparer les ordres de grandeur avec ceux de Imaoka& Sirignano (2005) et Chauveau et al. (2006). Ils étudient l’influence de la proximité pour desmatrice de gouttes qui s’évaporent. La première étude est numérique, elle s’inspire des travaux deLabowsky (1978) et Labowsky (1980) décrivant l’évaporation des matrices de gouttes à l’aide de laformulation de Shvab-Zeldovich. La seconde étude est expérimentale, des gouttes sont placées auxcroisements d’un réseau de fibre qui est placé dans un four chauffé. Par contre, dans ces étudesil n’y a pas de convection forcée comme dans les simulations. Cependant, les auteurs reportentdes diminutions de l’ordre de 40 à 70% pour des espacements similaires aux configurations CU2,CU4 et CM . Les résultats obtenus avec le code sont donc appuyés par d’autre études.

La seconde chose à remarquer est une différence majeure par rapport au cas de référence :il y a moins d’écart entre les nombres de Nusselt des différents étages des configurations. Surles configurations CU4 et CU2, on peut noter que l’étage du milieu et le dernier étage sontconfondus, ce qui n’était pas le cas avec un écoulement laminaire sans évaporation. On note aussique sur la configuration CM , les nombres de Nusselt moyens des étages sont plus rapprochés. Cephénomène peut s’expliquer par l’écoulement de Stefan qui homogénéise mieux la températuredans l’espace entre les gouttes. Il y aura donc moins de différence sur la température perçuepar les derniers étages. Pour confirmer cela, les visualisations des champs de température et dela composante ex de la vorticité pour les configurations CU2, CU4 et CM sont respectivement

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CHAPITRE 5. L’ÉTUDE DES GROUPES DE GOUTTES

Figure 5.17 – Configuration CU2 avec un maillage 128 × 128 × 256, Température etcomposante X du champ de vorticité pour un écoulement laminaire avec évaporation

présentées sur la figure 5.17, la figure 5.18 et la figure 5.19. On peut notamment voir que leschamps de température sont plus homogènes que sur la figure 5.14, la figure 5.15 et la figure 5.16du cas de référence. Par exemple, sur la configuration mixte, les gouttes du premier plan ont uneffet plus visible en présence d’évaporation. Sur la configuration CU4, l’écoulement chaud quipasse entre les gouttes est moins large en présence d’évaporation.

Par contre, il n’y a pas l’effet de densité de goutte du cas de référence entre les configu-rations CU4 et CU2. L’homogénéisation créée par l’évaporation semble être la source de cettedisparition. En effet, l’écoulement de Stefan accroît la zone dans laquelle les gouttes ont uneinfluence. Il est alors logique de penser que deux gouttes proches qui n’interagissaient pas sansévaporation peuvent se mettre à interagir. Pour aller plus loin, il faudrait regarder comment laconvection modifie la zone d’influence de l’écoulement de Stefan.

Enfin, le tableau tableau 5.3, montre aussi que l’évaporation a tendance à réduire les effetsde groupe entre les gouttes, elle lisse les inégalités introduites par la position des gouttes parrapport à l’écoulement incident.

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Section 3

Figure 5.18 – Configuration CU4 avec un maillage 128 × 128 × 256, Température etcomposante X du champ de vorticité pour un écoulement laminaire avec évaporation

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CHAPITRE 5. L’ÉTUDE DES GROUPES DE GOUTTES

Figure 5.19 – Configuration CM avec un maillage 128 × 128 × 256, Température etcomposante X du champ de vorticité pour un écoulement laminaire avec évaporation

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Section 3

3.3 L’influence de la turbulence

Dans cette partie, le cas d’un écoulement incident turbulent sans évaporation est étudié.La diminution du nombre de Nusselt par rapport au cas de la goutte isolée est présentée dans letableau 5.4 par plans horizontaux, le plan numéro 1 étant le plan le plus bas.

Configuration Plan 1 (%) Plan 2 (%) Plan 3 (%) Plan 4 (%)

CU2 −4.37 −5.66 −6.37 ∅

CU4 −4.15 −5.06 −5.59 ∅

CM −4.40 −4.89 −5.84 −6.09

Tableau 5.4 – Écart relatif en pourcentage du nombre de Nusselt moyen avec le nombre deNusselt d’une goutte isolée pour un écoulement turbulent en l’absence d’évaporation

Les premières conclusions sur ces résultats sont identiques au cas de référence : la proximitédes gouttes donnent des nombres de Nusselt plus faibles que celui de la goutte isolée.

Par rapport au cas de référence, la diminution du nombre de Nusselt est plus faible. Cephénomène peut s’expliquer par l’effet de balayage que peut engendrer la turbulence. En effet,dans le chapitre 4, il a été vu que la turbulence réduisait la traînée thermique de la goutte. Cephénomène s’applique aussi dans le cadre des groupes de gouttes.

Les visualisations des champs de température et de la composante ex de la vorticité pourles configurations CU2, CU4 et CM respectivement présentées sur la figure 5.20, la figure 5.21 etla figure 5.22 permettent de mieux comprendre cet aspect.

On remarque que les gouttes à l’intérieur du groupe sont entourés d’un gaz plus chaud quedans le cas de référence. Les sillages de gaz plus froid émanant des gouttes de devant sont casséspar les fluctuations turbulentes qui amènent un gaz chaud. Cet effet est notamment plus flagrantsur la configuration CU4 car la densité plus faible des gouttes permet à la turbulence de mieuxmélanger le gaz.

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CHAPITRE 5. L’ÉTUDE DES GROUPES DE GOUTTES

Figure 5.20 – Configuration CU2 avec un maillage 128 × 128 × 256, Température etcomposante X du champ de vorticité pour un écoulement turbulent sans évaporation

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Section 3

Figure 5.21 – Configuration CU4 avec un maillage 128 × 128 × 256, Température etcomposante X du champ de vorticité pour un écoulement turbulent sans évaporation

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CHAPITRE 5. L’ÉTUDE DES GROUPES DE GOUTTES

Figure 5.22 – Configuration CM avec un maillage 128 × 128 × 256, Température etcomposante X du champ de vorticité pour un écoulement turbulent sans évaporation

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Section 3

3.4 L’influence combiné de l’évaporation et de la turbulence

Dans cette dernière partie, les effets combinés de l’évaporation et la turbulence sur leséchanges de chaleur sont étudiés. Les résultats de la diminution des nombres de Nusselt moyenspar rapport au cas de la goutte isolée sont présentée dans le tableau 5.4 par plans horizontaux,le plan numéro 1 étant le plan le plus bas.

Configuration Plan 1 (%) Plan 2 (%) Plan 3 (%) Plan 4 (%)

CU2 −3.14 −4.22 −4.75 ∅

CU4 −3.25 −4.23 −4.44 ∅

CM −3.16 −3.70 −4.42 −4.32

Tableau 5.5 – Écart relatif en pourcentage du nombre de Nusselt moyen avec le nombre deNusselt d’une goutte isolée pour un écoulement turbulent en présence d’évaporation

En combinant les effets de l’évaporation et de la turbulence, on se rend compte qu’ilest difficile de faire la différence entre les trois configurations. En effet, les deux effets rendentl’environnement des gouttes similaires pour les trois groupes. La turbulence homogénéise le gazprésent entre les gouttes mais comme l’évaporation augmente la zone d’influence des gouttes,c’est une zone plus grande qui est touchée par la turbulence rendant la position des gouttesmoins importante dans le processus.

Pour confirmer cela, des visualisations des champs de température pour les configurationsCU2, CU4 et CM sont respectivement présentées dans la figure 5.23, la figure 5.24 et la figure 5.25.

On remarque que la zone touchée par la turbulence est plus grande. Cet effet est notammentvisible sur la configuration CU4 pour laquelle les sillages thermiques sont moins importants quesur la figure 5.21.

Finalement, en partant des effets provoqués par l’évaporation et la turbulence de manièreindépendante, on peut dire que leur combinaison mène à une addition des effets. Il ne semble pasy avoir de nouveau phénomène émergeant de cette combinaison.

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CHAPITRE 5. L’ÉTUDE DES GROUPES DE GOUTTES

Figure 5.23 – Configuration CU2 avec un maillage 256 × 256 × 512, Température etcomposante X du champ de vorticité pour un écoulement turbulent avec évaporation

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Section 3

Figure 5.24 – Configuration CU4 avec un maillage 256 × 256 × 512, Température etcomposante X du champ de vorticité pour un écoulement turbulent avec évaporation

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CHAPITRE 5. L’ÉTUDE DES GROUPES DE GOUTTES

Figure 5.25 – Configuration CM avec un maillage 256 × 256 × 512, Température etcomposante X du champ de vorticité pour un écoulement turbulent avec évaporation

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Section 3

Conclusion du chapitre 5

Dans ce dernier chapitre, une étude préliminaire de l’évaporation des groupes de gouttes aété menée. Pour trois groupes de gouttes différents, les déplacements des gouttes et les nombresde Nusselt moyens ont été analysés.

De cette analyse, il faut retenir que l’évaporation modifie les trajectoires gouttes. Ellemodifie principalement le comportement global du groupe. Par contre, la turbulence ne modi-fie pas le comportement global, elle modifie plutôt les déplacements individuels des gouttes enintroduisant des fluctuations.

Pour les échanges thermiques, les simulations ont montré que le fait d’avoir un groupe degouttes diminuait fortement la valeur des nombres de Nusselt des gouttes par rapport à la valeurde la goutte isolée. L’ordre de grandeur obtenu sur les résultats est en accord avec les étudesmenées sur le sujet. Les simulations ont aussi permis de mettre en évidence que cette diminutionétait atténuée par l’évaporation et la turbulence.

Finalement, il a été montré qu’après tous les développements effectués sur DIVA, le codeest en mesure d’étudier des groupes de gouttes. Des post-traitements simples ont permis la miseen évidence des comportements de groupes et notamment des comportements qui diffèrent selonles effets physiques pris en compte. Cela montre que tous les outils sont présents pour étudier lescomportements collectifs des gouttes..

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Quatrième partie

Conclusion et perspectives

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Dans ce manuscrit, des algorithmes permettant de simuler des écoulements diphasiquesavec du changement de phase ont été présentés. Ils ont permis de réaliser des études numériquesprécises de l’évaporation des gouttes.

Dans le chapitre 1, on a détaillé les algorithmes Ghost Fluid Thermal Solver for Boiling(GFTSB), Ghost Fluid Thermal Solver for Evaporation (GFTSE) et Ghost Fluid Thermal Solverfor Boiling and Evaporation (GFTSBE). Ensuite, les méthodes mathématiques nécessaires pourles appliquer ont été exposées et validées. Parmi ces méthodes, il y a la reconstruction de l’interfacede Min & Gibou (2007), l’imposition des conditions immergées Gibou et al. (2002) et Papac et al.(2010) et les techniques d’extrapolations d’Aslam (2003). Enfin, il a été démontré que ces outilspermettaient de simuler avec succès l’évaporation d’une goutte isolée statique et en mouvement.Ces résultats ont été l’objet d’une publication : Rueda-Villegas et al. (2016).

Dans le chapitre 2, l’algorithme GFTSE a été amélioré pour faire de l’évaporation multi-composant. Le nouvel algorithme, nommé Ghost Fluid Thermal Solver for Multi-componentEvaporation (GFTSME), a été éprouvé sur un code monodimensionnel sphérique. Ce dernierpermet de simuler spécifiquement le cas d’une goutte statique isolée qui s’évapore en l’absence degravité. Après avoir été validé avec la théorie du d2, on a démontré que ce code était capable dedécrire correctement des cas d’évaporation réels en le comparant à des résultats expérimentaux.

Dans le chapitre 3, une étude paramétrique de l’évaporation d’une goutte dans un écoule-ment laminaire a été proposée. Pour une goutte, les évolutions des échanges thermiques avec legaz et des efforts exercés à sa surface ont été relevées en faisant varier le nombre de Reynolds,le nombre de Spalding et le nombre de Prandtl. En présence d’évaporation, cette étude a permisde mettre en évidence que les échanges thermiques dépendaient seulement du nombre de Péclet.Elle a aussi montré que l’écoulement de Stefan était à l’origine d’une force propulsant la goutte.Celle-ci est provoquée par un différentiel de pression lié à la dissymétrie du débit massique d’éva-poration et elle est dirigée dans la direction où le débit est maximal. C’est un résultat fort quipeut être contre-intuitif mais qui a été démontré grâce un modèle semi-analytique.

Dans le chapitre 4, l’effet de la turbulence sur l’évaporation d’une goutte a été étudiée. Pourcela, un générateur de turbulence a été mis en place. Après avoir été validé, des optimisationssimples ont été réalisées sur le code DIVA pour réduire le temps des simulations. Cela a permisde montrer que, pour une goutte, la turbulence renforçait les échanges thermiques avec le gaz etles efforts appliqués à sa surface.

Enfin, dans le chapitre 5, une étude préliminaire de l’évaporation des groupes de gouttesa été menée. Elle a montré que l’évaporation modifiait complètement les trajectoires des gouttesalors que la turbulence introduisait des fluctuations dans les déplacements. Pour les échangesthermiques, l’étude a montré que les valeurs obtenues étaient comparables à celles trouvées nu-mériquement par Imaoka & Sirignano (2005) et expérimentalement par Chauveau et al. (2006).Elle permet donc d’affirmer que le code est capable d’effectuer des études précises de l’évaporationdes groupes de gouttes.

En conclusion, le travail effectué dans ce manuscrit a fourni une amélioration de la com-préhension de l’évaporation. Cependant, le travail avec DIVA n’est pas terminé car, dans cemanuscrit, les transferts massiques n’ont pas encore été pris en compte dans les études paramé-triques. Il y aura donc de nouveaux nombres adimensionnels à ajouter aux analyses effectués.

Comme le code peut maintenant simuler des écoulements turbulents et des groupes degouttes, ce travail a aussi ouvert des perspectives quant à l’utilisation de DIVA. La capacité ducode à pouvoir faire des études paramétriques précises dans ces conditions est un atout. En effet,ce sont deux points essentiels pour comprendre l’évaporation des sprays dans les moteurs. De

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plus, la mise en place d’un algorithme d’évaporation multi-composant ouvre aussi la possibilitéd’étudier dans le futur les écoulements multi-composants en l’implémentant dans DIVA. Celapermettra de pouvoir s’intéresser à la combustion et ainsi compléter la description de l’injectionde carburant dans un foyer.

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Cinquième partie

Références

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