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Simulations numériques de l’écoulement turbulent dans un aspirateur de turbine hydraulique Mémoire CARL-ANTHONY BEAUBIEN Maîtrise en génie mécanique Maître ès sciences (M.Sc.) Québec, Canada © CARL-ANTHONY BEAUBIEN, 2013

Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

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Simulations numériques del’écoulement turbulent dans un

aspirateur de turbine hydraulique

Mémoire

CARL-ANTHONY BEAUBIEN

Maîtrise en génie mécaniqueMaître ès sciences (M.Sc.)

Québec, Canada

© CARL-ANTHONY BEAUBIEN, 2013

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Résumé

Le présent mémoire a pour objectif d’améliorer la prédiction des phénomènes de perte dansles aspirateurs de turbines hydrauliques. Pour ce faire, l’écoulement dans un aspirateur ca-ractérisé par une diminution abrupte du coefficient de récupération près du meilleur pointde fonctionnement a été étudié. Une méthode avancée de modélisation de la turbulence, leDES, a été mise à l’essai, afin de déterminer les gains associés à une représentation plus finedes mouvements turbulents dans cette composante. Les requis méthodologiques liés à cetteapproche, notamment par rapport à la condition d’entrée, ont été explorés, dans le but dedévelopper une meilleure expertise d’utilisation du DES.

Il a été démontré que le profil de vitesse radiale imposé dans le plan d’entrée du domaine decalcul altère de façon significative l’écoulement en aval et les performances prédites. Avec leprofil de vitesse radiale mesuré expérimentalement, l’allure de la courbe de performance del’aspirateur a pu être assez bien reproduite avec l’approche de modélisation de la turbulenceURANS. Toutefois, certains aspects des simulations ne concordent pas bien avec les mesuresexpérimentales, c’est notamment le cas de l’écart de débit entre les deux canaux de sortie.

Il a été établi que les structures d’écoulement en rotation sous les aubes de la roue nécessitentune discrétisation spatiale et temporelle extrêmement fine pour éviter qu’elles se diffusentprématurément sous le plan d’entrée. Toutefois, au point d’opération considéré, leur influencesur les performances de l’aspirateur s’est avérée très faible. Les simulations DES et URANSde l’aspirateur où des conditions d’entrée axisymétriques ont été imposées ont prédit desperformances similaires. Cependant, le DES permet de simuler une dynamique tourbillonnairebeaucoup plus riche, avec un maillage et un pas de temps similaire au URANS, tout enétant largement moins dépendant des quantités turbulentes modélisées imposées dans le pland’entrée.

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Abstract

The work carried throughout this thesis has for objective to enhance losses predictions inhydraulic turbines draft tube. In order to acheive this, the flow in a draft tube charaterizedby a sharp drop in the pressure recovery coefficient near the best efficiency point was studied.Detached Eddy Simulation (DES), an advanced turbulence modeling approach, was put to thetest, in order to asses the gain attributable to a finer and more precise description of turbulentmotions in this component. The numerical methods required associated to this approach,especially regarding the inlet boundary condition, were investigated.

It was shown that the radial velocity profile specified at the inlet of the computational domainalters significantly the flow downstream and the predicted performance. With the measuredradial velocity profile specified at the inlet of the draft tube, reasonnable agreement wasfound between URANS numerical results and experimental measurements of pressure recovery.However, some aspects of the numerical simulations does not agree well with experimentaldata. It is the case for flow imbalance between the two outlet bays.

It was established that rotating flow structures underneath the runner blades require extremelyfine grid and time step resolution to avoid their premature diffusion underneath the inlet plane.Nevertheless, at the studied operating point, their influence on draft tube performance wasfound to be very limited. DES and URANS simulations of the draft tube where axisymmetricinlet boundary conditions were imposed predicted similar pressure recovery. However, DESenables to simulate much more complex and rich turbulent motions, at a computational costsimilar to the one of a URANS simulatation and with much less influence from the modeledturbulent quantities specified at the inlet plane.

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Table des matières

Résumé iii

Abstract v

Table des matières vii

Liste des tableaux ix

Liste des figures xi

Liste des symboles xix

Remerciements xxi

1 Introduction 11.1 Les turbines hydrauliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Problématique, mise en contexte et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Structure du mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 L’écoulement dans l’aspirateur de la turbine hydraulique 132.1 Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Séparation de la couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Écoulement dans un coude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Éclatement tourbillonnaire ("Vortex Breakdown") . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Méthode numérique et modélisation de la turbulence 253.1 Équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Méthode des volumes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Modélisation de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 État de l’art en simulation de l’écoulement dans l’aspirateur 414.1 Modélisation de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Conditions limites à l’entrée de l’aspirateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Conditions limites à l’entrée de l’aspirateur 515.1 Description de l’écoulement à l’entrée de l’aspirateur . . . . . . . . . . . . . . . 515.2 Méthodologie pour l’acquisition des conditions d’entrée numériques . . . . . . . 61

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5.3 Analyse des conditions d’entrée numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6 Simulations RANS et URANS de l’aspirateur 796.1 Méthodologie pour les simulations RANS et URANS de l’aspirateur . . . . . . . 796.2 Résultats des simulations RANS et URANS de l’aspirateur . . . . . . . . . . . 92

7 Simulations DES de l’aspirateur 1057.1 Adaptation des conditions limites à l’entrée de l’aspirateur . . . . . . . . . . . . 1057.2 Méthodologie pour les simulations DES de l’aspirateur . . . . . . . . . . . . . . 1247.3 Résultats des simulations DES de l’aspirateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8 Conclusion 1358.1 Sommaire des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.2 Recommandations pour les travaux futurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Bibliographie 139

A Estimation des termes diagonaux du tenseur de Reynolds liés aux fluc-tuations de vitesse sous les aubes 145

viii

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Liste des tableaux

5.1 Caractéristiques des points de fonctionnement ayant fait l’objet de mesures expé-rimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Critères de qualité des maillages de la roue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3 Critères de qualité des maillages de la double-grille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4 Résumé méthodologique des calculs numériques de la double-grille et de la roue

utilisés pour générer les conditions limites à l’entrée de l’aspirateur. . . . . . . . . . 725.5 Écarts entre les débits mesurés expérimentalement et ceux issus des simulations

numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.1 Critères de qualité des maillages d’aspirateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.2 Caractéristiques des maillages d’aspirateur testés pour l’indépendance face à la

discrétisation spatiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3 Pas de temps testés pour l’indépendance face à la discrétisation temporelle. Les

nombres de Courant ont été obtenus avec le maillage D. . . . . . . . . . . . . . . . 846.4 Résumé méthodologique des simulations RANS et URANS de l’aspirateur. . . . . . 92

7.1 Résumé méthodologique des simulations DES de l’aspirateur. . . . . . . . . . . . . 128

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Liste des figures

1.1 Cycle énergétique pour une centrale hydraulique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Coupe schématique d’une centrale hydroélectrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Coupe schématique horizontale d’une turbine Francis. . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Géométrie et loi de section de l’aspirateur de la turbine hydraulique étudiée. . . . . 61.5 Rendement divisé par le rendement maximal (η/η∗) et coefficient de récupération

divisé par le coefficient de récupération maximal (χ/χ∗) en fonction du coefficientde débit divisé par le coefficient de débit au meilleur point de fonctionnement(φ/φOpt). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Spectre typique d’un écoulement turbulent. Image adaptée de [33]. . . . . . . . . . 152.2 Profils de vitesse débitante moyens dans les pertuis d’un aspirateur de turbine

hydraulique pour a) un faible niveau de turbulence à l’entrée et b) un niveau deturbulence important à l’entrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Schéma d’un diffuseur où il y a séparation de la couche limite. Image inspirée de[70]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Schématisation des échanges de quantité de mouvement dans la couche limite . . . 182.5 Configuration des lignes de cisaillement pariétal associée à un col. . . . . . . . . . . 192.6 Phénomène de séparation de la couche limite dans l’aspirateur. La paroi est colorée

avec le module du cisaillement pariétal. L’écoulement correspond au résultat d’unesimulation RANS présentée en détail au chapitre 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7 Champs de vitesse débitante et de pression dans un coude où le moment cinétiqueest nul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.8 Champs de vitesse débitante et de pression dans un coude où le moment cinétiqueSw = 0.2. À l’entrée du coude, la vorticité associée à la rotation de l’écoulementest positive (ωz > 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.9 Illustration du phénomène d’éclatement tourbillonnaire se manifestant sous la formea) "bulle" et b) "spirale". Image tirée de [32]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1 Schéma 2-D de la discrétisation spatiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Étapes de résolution effectuées par le logiciel ANSYS CFX pour les problèmes

considérés dans le présent projet de recherche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Niveau de modélisation du spectre de la turbulence associé à différentes approches

de modélisation de la turbulence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Exemples de modèle de turbulence RANS. Le détail de ces modèles est donné dans

Wilcox [72]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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5.1 Position du plan de mesure des champs physiques présentés à la section 5.1, placéà 0.529D sous l’axe distributeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Profils de vitesse tangentielle et axiale mesurés par LDV 0.529D sous l’axe distri-buteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3 Profils de vitesse radiale mesurés par PIV 0.529D sous l’axe distributeur. . . . . . 535.4 Illustration de l’évolution des triangles de vitesse à la sortie de la roue avec l’aug-

mentation du débit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.5 Composantes du tenseur de Reynolds mesurées expérimentalement à l’aide d’un

appareil de mesure LDV 0.529D sous l’axe distributeur. . . . . . . . . . . . . . . . 565.6 Profil d’énergie cinétique turbulente adimensionnée par l’énergie cinétique associée

à la vitesse débitante moyenne 0.529D sous l’axe distributeur. . . . . . . . . . . . . 575.7 Profils de vitesse tangentielle et radiale mesurés par PIV sur un plan horizontal

0.529D sous l’axe distributeur pour quatre coefficients de débit. . . . . . . . . . . . 585.8 Champs de vitesse obtenus en soustrayant les moyennes circonférentielles aux

champs de vitesse mesurés par PIV. Les graphiques de gauche montrent la compo-sante x (amont-aval), tandis que les graphiques de droite montrent la composantey (gauche-droite). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.9 Écart de débit par rapport au débit moyen (Q/24) pour les 24 passages d’avant-directrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.10 Illustration de la stratégie utilisée pour générer les conditions d’entrée des simula-tions de l’aspirateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.11 Domaine de calcul des simulations de la double-grille et de la roue utilisé pourgénérer les conditions limites à l’entrée de l’aspirateur. . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.12 Simplification géométrique effectuée près du bord de fuite des directrices. . . . . . 655.13 Écart sur le couple (∆T ), sur la perte dans la roue (∆hRoue) et sur la perte dans

la double-grille (∆hDG) par rapport à la valeur obtenue avec le maillage le plus finen fonction du nombre de noeuds total, du nombre de noeuds dans la roue et dunombre de noeuds dans la double-grille, respectivement. . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.14 Profils de vitesse axiale et tangentielle à 0.529D sous l’axe distributeur obtenusavec différents types de conditions d’entrée. L’angle d’ouverture des directricescorrespond à γIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.15 Profils de vitesse axiale, de vitesse tangentielle et d’énergie cinétique turbulente à0.529D sous l’axe distributeur obtenus avec différentes quantités turbulentes im-posées à l’entrée de la double-grille. L’angle d’ouverture des directrices correspondà γIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.16 Définition de l’angle hydraulique α à l’entrée de la double-grille. . . . . . . . . . . . 705.17 Profils de vitesse axiale, de vitesse tangentielle et d’énergie cinétique turbulente

à 0.529D sous l’axe distributeur obtenus avec différents angles d’écoulement αimposés à l’entrée de la double-grille. L’angle d’ouverture des directrices correspondà γIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.18 Profils de vitesse axiale et de vitesse tangentielle à 0.529D sous l’axe distributeurpour les quatre angles d’ouverture des directrices mesurés expérimentalement. . . . 73

5.19 Profils de vitesse radiale à 0.529DRoue sous l’axe distributeur pour les quatre anglesd’ouverture des directrices mesurés expérimentalement. . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.20 Profils d’énergie cinétique turbulente à 0.529D sous l’axe distributeur pour lesquatre angles d’ouverture des directrices mesurés expérimentalement. . . . . . . . . 76

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6.1 Coupes transversales du maillage dans l’aspirateur. Le maillage D, comptant unpeu plus de six millions de noeuds, est présenté ici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2 Coefficient de récupération de l’aspirateur en fonction du nombre de noeuds. . . . . 836.3 Champ de vitesse débitante adimensionnée par la vitesse débitante moyenne à la

sortie de la roue pour différents maillages. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.4 Coefficients de récupération de l’aspirateur en fonction du pas temps. . . . . . . . . 856.5 Champ de vitesse débitante moyennée dans le temps et adimensionnée par la vitesse

débitante moyenne à la sortie de la roue pour différentes valeurs du pas de temps. . 866.6 Configurations géométriques testées à la sortie de l’aspirateur. . . . . . . . . . . . . 866.7 Coefficient de récupération en fonction du type d’extension placée en aval de l’as-

pirateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.8 Champ de vitesse débitante adimensionnée par la vitesse débitante moyenne à la

sortie de la roue pour différentes géométries placées en aval de l’aspirateur. . . . . 886.9 Champ de vitesse débitante adimensionnée par la vitesse débitante moyenne à la

sortie de la roue pour différents profils de vitesse radiale à l’entrée de l’aspirateur.La valeur du coefficient de récupération mesurée expérimentalement correspond àχ = 0.59. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.10 Évolution du coefficient de récupération dans l’aspirateur pour différents profils devitesse radiale à l’entrée du domaine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.11 Lignes de cisaillement pariétal sur les parois de l’aspirateur pour différents profilsde vitesse radiale imposés à l’entrée du domaine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.12 Coefficient de récupération de l’aspirateur en fonction du coefficient de débit obtenuavec les approches de modélisation de la turbulence RANS et URANS. . . . . . . . 93

6.13 Champ de vitesse débitante adimensionnée par la vitesse débitante moyenne àla sortie de la roue. Les deux simulations, effectuées avec des profils de vitesseradiale différents imposés à l’entrée du domaine, sont à un coefficient de débit deφ/φOpt = 0.87. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.14 Champ de vitesse débitante adimensionnée par la vitesse débitante moyenne à lasortie de la roue. Les deux simulations sont à un coefficient de débit de φ/φOpt = 0.97. 95

6.15 Structures tourbillonnaires (vert foncé) dans un calcul instationnaire URANS etvisualisées à l’aide du critère q. Le plan horizontal montre les zones où le modulede la vorticité est important. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.16 Champ de vitesse débitante moyennée dans le temps et adimensionnée par la vitessedébitante moyenne à la sortie de la roue. Les deux simulations sont à un coefficientde débit de φ/φOpt = 0.94 et le profil de vitesse radiale numérique a été imposé. . . 98

6.17 Coefficient de récupération de l’aspirateur en fonction du coefficient de débit. Lesrésultats numériques ont été obtenus avec l’approche de modélisation de la turbu-lence URANS et le profil de vitesse radiale expérimental en entrée. . . . . . . . . . 99

6.18 Écart de débit entre les pertuis en fonction du coefficient de débit. Les résultats nu-mériques ont été obtenus avec l’approche de modélisation de la turbulence URANSet le profil de vitesse radiale expérimental en entrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.19 Lignes de cisaillement pariétal a) avant la diminution de performance et b) après.Les parois sont colorées par l’amplitude du cisaillement pariétal. Les lignes sépa-ratrices sont mises en évidence par un trait rouge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.20 Champ de vitesse débitante moyennée dans le temps et adimensionnée par la vitessedébitante moyenne à la sortie de la roue avant et après la diminution du coefficientde récupération près du meilleur point de fonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . 102

xiii

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6.21 Évolution du coefficient de récupération dans l’aspirateur avant et après la dimi-nution du coefficient de récupération près du meilleur point de fonctionnement. . . 103

7.1 Ratio de νt/ν et d’intensité turbulente a) provenant des calculs RANS de la roueet b) après l’atténuation des quantités turbulentes dans la zone LES. . . . . . . . . 108

7.2 Fluctutations de vitesse sous la roue à 0.397D, 0.463D et 0.529D sous l’axe distri-buteur. Les vitesses ont été sondées à un rayon r/R = 0.9. Le débit correspond àφ/φOpt = 0.94. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.3 Géométrie simple utilisée pour déterminer la discrétisation spatiale et temporellenécessaire à la simulation des structures qui émergent de la roue. . . . . . . . . . . 110

7.4 Structures tourbillonnaires à la sortie de la roue mises en évidence par le critère qet colorées par la viscosité turbulente modélisée. Le pas de temps correspond à 5

de rotation de la roue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.5 Énergie cinétique associée aux fluctuations de vitesse en fonction du nombre de

noeuds dans le maillage. L’énergie cinétique est évaluée 0.529D sous l’axe distri-buteur, à un rayon de r/R = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.6 Structures tourbillonnaires à la sortie de la roue mises en évidence par le critère qet colorées par la viscosité turbulente modélisée pour différents pas de temps. Lemaillage utilisé compte environ 12 millions de noeuds. . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.7 Énergie cinétique associée aux fluctuations de vitesse en fonction du pas de temps.L’énergie cinétique est évaluée 0.529DRoue sous l’axe distributeur, à un rayon der/R = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.8 Structures tourbillonnaires dans l’aspirateur mises en évidence par le critère q etcolorées par la viscosité tourbillonnaire modélisée. Le maillage compte près de 31millions de noeuds et le débit correspond à φ/φOpt = 0.91 . . . . . . . . . . . . . . 116

7.9 Cisaillement pariétal sur les parois de l’aspirateur a) avec les structures d’écoule-ments en sortie de roue et b) sans. Les lignes de cisaillement pariétal ont aussi étéajoutées, de façon à faciliter l’identification des zones de décollement. . . . . . . . . 117

7.10 Champ de vitesse débitante moyennée dans le temps et adimensionnée par la vitessedébitante moyenne à la sortie de la roue pour a) la simulation incluant les structurestourbillonnaires en sortie de roue et pour b) la simulation où des conditions d’entréeaxisymétriques ont été imposées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.11 Évolution du coefficient de récupération dans l’aspirateur avec et sans les structuresd’écoulement en sortie de roue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.12 Domaine de calcul pour la simulation incluant la double-grille, la roue et l’aspirateur.1197.13 Profils de vitesse axiale, tangentielle et radiale, ainsi que d’énergie cinétique tur-

bulente, 0.529D sous l’axe distributeur au débit correspondant à φ/φOpt = 0.94. . . 1217.14 Profils bidimensionnels de vitesse axiale, tangentielle et radiale 0.529D sous l’axe

distributeur obtenus avec la simulation instationnaire de la double-grille, de la roueet de l’aspirateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.15 Évolution du coefficient de récupération dans l’aspirateur avec et sans couplageavec la roue. Le coefficient de récupération est évalué en moyennant la pressionstatique sur des plans transverses à l’écoulement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.16 Champ de vitesse débitante moyennée dans le temps et adimensionnée par la vitessedébitante moyenne à la sortie de la roue pour des simulations avec et sans lecouplage avec les composantes en amont. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

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7.17 Structures tourbillonnaires dans l’aspirateur mises en évidence par le critère q etcolorées par la viscosité tourbillonnaire modélisée pour différents maillages. . . . . 125

7.18 Évolution du coefficient de récupération dans l’aspirateur pour différents maillages. 1267.19 Évolution du coefficient de récupération dans l’aspirateur obtenue avec les ap-

proches de modélisation de la turbulence DES et URANS. . . . . . . . . . . . . . . 1297.20 Lignes de cisaillement pariétal obtenues avec les approches de modélisation de la

turbulence URANS et DES au point de fonctionnement φ/φOpt = 0.91. Les paroissont colorées par le module du cisaillement pariétal et les lignes de séparation dela couche limite sont mises en évidence par un trait pointillé rouge. . . . . . . . . . 130

7.21 Structures turbulentes cohérentes dans l’aspirateur visualisées à l’aide du critère qet obtenues avec les approches de modélisation de la turbulence URANS et DESau point de fonctionnement φ/φOpt = 0.91. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.22 Champ de vitesse débitante moyenné dans le temps sur un plan légèrement enamont du nez de pile de l’aspirateur au point de fonctionnement φ/φOpt = 0.91. . . 131

7.23 Énergie cinétique turbulente sur un plan légèrement en amont du nez de pile del’aspirateur au point de fonctionnement φ/φOpt = 0.91. . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.24 Ratio d’énergie cinétique turbulente simulée par rapport à l’énergie cinétique tur-bulente totale sur un plan légèrement en amont du nez de pile de l’aspirateur etobtenu avec l’approche de modélisation de la turbulence DES. Le débit correspondà φ/φOpt = 0.91. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.25 Champs de vitesse débitante moyennés dans le temps obtenus avec les approchesde modélisation de la turbulence URANS et DES au point de fonctionnementφ/φOpt = 0.91. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

xv

Page 16: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un
Page 17: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Liste des symboles

Constantes

κ Constante de Kármán

g Gravité ( ≈9.81 m/s2 )

Performance de la turbine

χ Coefficient de récupération - Équation (1.5)

χM Coefficient de récupération ; formulation de McDonald et al. [38] - Équation (1.4)

η Rendement global de la turbine - Équation (1.3)

Ω Vitesse angulaire de la roue ( rad/s )

H Chute brute ( mCE )

Hn Chute nette ( mCE )

hDG Pertes dans la double-grille ( mCE )

hRoue Pertes dans la roue ( mCE )

Pn Puissance nette ( W )

Ps Puissance à l’arbre ( W )

Q Débit volumique ( m3/s )

T Couple sur la roue ( Nm )

Géométrie

γ Angle d’ouverture des directrices ( deg )

θmur Demi-angle d’ouverture du cône de l’aspirateur ( rad )

A Aire de la section de passage ( m2 )

D Diamètre de la roue ( m )

h Hauteur du distributeur ( m )

xvii

Page 18: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

R Rayon de la section de passage ( m )

Paramètres numériques

β Blend Factor du schéma d’interpolation Specified Blend Factor de ANSYS CFX

n Vecteur normal à la surface du volume fini

∆r Vecteur allant du noeud amont au point d’intégration

N Fonction de forme

S Surface du volume fini

V Volume du volume fini

Propriétés de l’écoulement

α Angle de l’écoulement à l’entrée de la double-grille ( deg )

ω Vecteur vorticité en notation vectorielle ( s−1 )

u Vecteur vitesse en notation vectorielle ( m/s )

ε Taux de dissipation de l’énergie cinétique turbulente ( m2/s3 )

νt Viscosité turbulente ( m2/s )

ωt Fréquence des mouvements turbulents ( s−1 )

p Pression statique moyenne ( Pa )

u′iu′j Tenseur de contrainte de Reynolds ( m2/s2 )

ui Vecteur de vitesse moyenne en notation indicielle ( m/s )

τw Cisaillement pariétal ( Pa )

τ smij Tenseur de contrainte de Reynolds sous-maille ( m2/s2 )

p Pression statique filtrée ( Pa )

ui Vecteur de vitesse filtrée ( m/s )

I Intensité de la turbulence

k Énergie cinétique turbulente ( m2/s2 )

lt Longueur caractéristique des mouvements turbulents ( m )

p Pression statique ( Pa )

p′ Pression statique fluctuante ( Pa )

ptot Pression totale ( Pa )

xviii

Page 19: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

q Deuxième invariant du tenseur ∇u ( s−2 )

Rij Tenseur du taux de rotation ( s−1 )

Sij Tenseur du taux de déformation ( s−1 )

u′i Vecteur de vitesse fluctuante en notation indicielle ( m/s )

ui Vecteur vitesse en notation indicielle ( m/s )

uθ Composante circonférentielle du vecteur vitesse ( m/s )

ur Composante radiale du vecteur vitesse ( m/s )

uz Composante axiale du vecteur vitesse ( m/s )

Propriétés physiques

ν Viscosité cinématique ( m2/s )

ρ Masse volumique ( kg/m3 )

Coordonées spatiales et temporelles

x Vecteur position en notation vectorielle ( m )

θ Position angulaire ( deg )

d Distance à la paroi la plus proche ( m )

l Longueur curviligne dans l’aspirateur ( m )

r Distance à l’axe de rotation de la turbine ( m )

t Temps ( s )

xi Vecteur position en notation indicielle ( m )

y+ Distance à la paroi adimensionnelle

z Élévation ( m )

Termes adimensionnels

λ Coefficient de puissance - Équation (1.10)

φ Coefficient de débit - Équation (1.8)

ψ Coefficient d’énergie - Équation (1.9)

Re Nombre de Reynolds - Équation (1.7)

Sw Coefficient de moment cinétique - Équation (1.11)

xix

Page 20: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un
Page 21: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Remerciements

En premier lieu, je désire remercier mon directeur de recherche, le professeur Guy Dumas.J’espère sincèrement que son encadrement exceptionnel, son esprit vif et ses grandes qualitésde chercheur transparaîtront dans ce mémoire.

Je tiens aussi à exprimer ma gratitude aux membres du département d’ingénierie hydrau-lique et du Centre de Technologie Mondial en Hydroélectricité Durable d’ALSTOM Énergie& Transport Canada pour leur implication. En particulier, je veux remercier Félix-AntoinePayette, Claire Ségoufin et Guillaume Boutet-Blais pour leurs conseils et leur expérience, qu’ilsont généreusement partagés avec moi. De plus, le projet n’aurait pu être réalisé sans l’implica-tion financière de l’entreprise, rendue possible par M. Michel Sabourin. Je veux aussi remercierSylvain Tridon d’ALSTOM Hydro France, qui a mis à ma disposition ses précieuses mesuresexpérimentales.

Je ne pourrais omettre de souligner l’ambiance agréable qui règne au LMFN. Ce fut un honneurde faire parti de ce groupe de gens brillants et passionnés. Les échanges que j’ai pu avoir avecmes collègues furent toujours intéressants et fructueux. Donc, merci à Steve Julien, JulieLefrançois, Mathieu Oliver, Simon Lapointe, Frédérik Chan, Thomas Kinsey, Marc-AndréPlourde-Campagna et Rémi Gosselin. Il est aussi important pour moi de mentionner l’espritd’entraide et de collaboration qui existe entre le LMFN et le LAMH. Entre autres, je souhaiteparticulièrement remercier Sébastien Houde du LAMH pour ses conseils et l’intérêt qu’il aprêté envers mes recherches.

Le support financier du Fonds Québécois de la Recherche sur la Nature et les Technologies(FQRNT) et du Conseil de Recherches en Sciences Naturelles et en Génie du Canada (CRSNG)a grandement facilité la réalisation de ce projet. Parallèlement, les ressources informatiquesadministrées par Calcul Québec et Calcul Canada ont été essentielles dans l’accomplissementde ce travail.

Finalement, je tiens à remercier celle avec qui je partage ma vie. Ses encouragements, sonsourire et sa bonne humeur sont tout simplement inestimables.

xxi

Page 22: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un
Page 23: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Chapitre 1

Introduction

Un rapport publié en 2011 par le "International Energy Agency" [1] indique qu’en 2009, laproduction mondiale d’hydroélectricité atteignait 3 329 TWh, ce qui représente 16.5% de laproduction d’électricité totale de la planète. Au Canada, c’est 364 TWh qui est produit annuel-lement, soit 60% de l’électricité produite au pays. Manifestement, cette filière de productionjoue un rôle majeur dans l’approvisionnement énergétique de nos sociétés.

L’hydroélectricité, en plus d’émettre très peu de gaz à effet de serre, est une source d’énergierenouvelable. C’est-à-dire que l’énergie extirpée par les centrales hydrauliques est naturelle-ment renouvelée sur une période de temps inférieure à celle de la vie d’un être humain. Celaen fait donc une source d’énergie durable.

Pour mieux saisir ce concept, regardons plus précisément d’où provient l’énergie électriqueproduite par les centrales hydroélectriques. C’est d’abord le soleil qui fournit l’énergie ther-mique nécessaire à l’évaporation de l’eau dans les océans, lacs et rivières. L’eau ainsi évaporéeretombe éventuellement au sol sous forme de pluie ou de neige. Puisqu’elle rejoint générale-ment la terre à un endroit où l’élévation est supérieure à l’endroit où elle s’est évaporée, il ya un gain d’énergie potentielle. Ensuite, sous l’action de la gravité, l’eau gagne de la vitesselorsqu’elle retourne vers les rivières, lacs et océans. L’énergie potentielle est donc transforméeen énergie cinétique. C’est à ce moment que la turbine hydraulique entre en jeu. Son rôle est deconvertir l’énergie cinétique contenue dans l’eau en énergie mécanique. Son fonctionnement etses composantes seront présentés plus en détail à la section 1.1. L’énergie mécanique produitepar la turbine permet alors de mettre en mouvement l’alternateur, qui génère de l’énergie élec-trique à courant alternatif. Il a donc pour rôle de transformer l’énergie mécanique produitepar la turbine en énergie électrique. La figure 1.1 résume ce cycle énergétique.

Le présent projet de recherche s’inscrit dans une démarche visant à améliorer l’efficacité desturbines hydrauliques. C’est-à-dire de produire un maximum d’énergie mécanique pour une

1

Page 24: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Rayonnementdu soleil

ÉnergieThermique

Évaporationde l'eau Énergie

Potentielle

Action dela gravité Énergie

Cinétique

TurbineHydraulique

ÉnergieMécanique

AlternateurÉnergie

Électrique

Figure 1.1: Cycle énergétique pour une centrale hydraulique.

quantité d’énergie contenue dans l’eau des rivières. Après avoir exposé en détail le fonction-nement et les composantes de la turbine, la problématique attaquée et les objectifs du projetseront énoncés de façon plus précise.

1.1 Les turbines hydrauliques

Tel qu’énoncé préalablement, le rôle de la turbine hydraulique est de convertir l’énergie conte-nue dans l’eau des rivières en énergie mécanique. Pour évaluer l’énergie disponible, qui peutêtre convertie en énergie mécanique, réalisons un bilan d’énergie entre les sections 1 et 2 de lafigure 1.2, c’est-à-dire aux bornes de la turbine. En assumant que l’écoulement est stationnaireet que les propriétés de l’écoulement sont sensiblement uniformes sur les sections d’entrée etde sortie, on peut écrire

Hn =

(p1

ρg+

(Q/A1)2

2g+ z1

)−(p2

ρg+

(Q/A2)2

2g+ z2

)(1.1)

où ρ est la masse volumique de l’eau, g la constante gravitationnelle, Q le débit volumiquetraversant la turbine, A l’aire de la section de passage, p la pression statique et z l’élévation.La chute nette, Hn, représente donc l’énergie qui peut être turbinée et ainsi, transformée enmouvement mécanique. Pour maximiser cette quantité, l’équation (1.1) nous indique qu’il estdésirable que les termes

(p1

ρg + (Q/A1)2

2g

)soient les plus grands possible. Cela peut être fait en

réduisant les pertes de charge dans la conduite forcée. Il faut également minimiser l’énergie

2

Page 25: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Alternateur

Arbre

Conduite forcéeBâchespirale

Roue Avant-directricesDirectrices

Aspirateur

Barrage

1

2

Figure 1.2: Coupe schématique d’une centrale hydroélectrique.

cinétique résiduelle(

(Q/A2)2

2g

)à la sortie de la turbine. C’est le rôle de l’aspirateur. Le rôle de

cette composante sera décrit plus en profondeur à la section 1.1.1.

En multipliant la chute nette Hn par la constante gravitationelle g et par le débit massique ρQ,on obtient alors la puissance nette Pn. Cette quantité, décrite à l’équation (1.2), représente lapuissance qui entre dans la turbine :

Pn = ρgHnQ (1.2)

La majorité de cette puissance sera recueillie sur l’arbre qui relie la turbine à l’alternateur.Toutefois, une fraction sera perdue en raison des pertes par frottement dans les différentescomposantes. Le rendement global de la turbine η est défini comme le rapport entre la puissancemécanique à l’arbre Ps et la puissance nette disponible Pn :

η =PsPn

(1.3)

Évidemment, on désire maximiser le rendement de la turbine. Il est pertinent de mention-ner qu’il n’est pas rare pour les turbiniers de fabriquer des machines pouvant atteindre unrendement avoisinant 95%.

3

Page 26: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Maintenant, afin de mieux comprendre comment la turbine extrait la puissance disponibledans le fluide, explorons le rôle de chacun des organes qui la composent.

1.1.1 Composantes

La figure 1.2, qui montre une vue de coupe schématique d’une centrale hydroélectrique, permetde se familiariser avec les composantes principales de la turbine hydraulique.

Tout d’abord, lorsque l’eau quitte le bassin amont pour se diriger vers la turbine, elle s’engouffredans la conduite forcée. Elle est alors acheminée dans ce long conduit jusqu’à la bâche spirale.

La bâche spirale, organe en forme de colimaçon, joue deux rôles importants. Sa premièrefonction est de distribuer le débit uniformément sur toute la circonférence du distributeur.Sa deuxième fonction est de mettre l’eau en rotation autour de l’axe de la turbine. Le fluideacquiert alors une quantité de mouvement angulaire. C’est cette quantité de mouvement an-gulaire qui sera transférée à la roue par la suite.

Toutefois, avant d’atteindre la roue, l’écoulement traverse les avant-directrices et les directrices.Les avant-directrices sont placées juste en amont des directrices et elles ont une forme similaireà celles-ci. Leur rôle est principalement structurel. Les directrices, dont l’angle d’ouverturepeut-être ajusté, permettent d’abord de bien orienter l’écoulement avec les aubes de la roue,mais aussi d’ajuster le débit qui traverse la turbine. La figure 1.3, qui montre une coupeschématique horizontale de la turbine, permet de mieux visualiser ces composantes.

L’eau pénètre ensuite dans le coeur de la turbine : la roue. C’est à cet endroit que l’énergiecontenue dans l’eau est perdue au profit d’un mouvement mécanique. Lorsque l’eau atteintles aubes de la roue, son orientation est modifiée. En effet, la composante tangentielle de lavitesse uθ est largement réduite. Cette perte de quantité de mouvement angulaire engendre unmoment de force sur la roue. La puissance de l’eau est alors transférée à l’arbre de la turbine.

L’eau rejoint ensuite le bassin aval par l’entremise de l’aspirateur. Toutefois, ne s’arrête paslà le rôle de cette composante. En effet, l’aspirateur permet de récupérer l’énergie cinétiquerésiduelle inévitablement contenue dans l’eau à la sortie de la roue. Tel qu’illustré à la figure1.4, l’aire de la section de passage dans l’aspirateur, notée A, est grandissante. Par principe deconservation de masse, l’écoulement le traversant est ralenti. Cela provoque donc une augmen-tation de pression progressive dans l’aspirateur. Cependant, la pression à sa sortie correspondà la pression atmosphérique augmentée de la pression hydrostatique [68]. Il en résulte qu’à lasortie de la roue, la pression est inférieure à celle de l’atmosphère. Le différentiel de pressionaux bornes de la roue est donc augmenté. Conséquemment, la détente de pression à traverscette dernière est plus importante et une plus grande quantité d’énergie est transférée à laturbine. C’est pourquoi l’équation (1.1) nous indique qu’en minimisant l’énergie cinétique de

4

Page 27: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Arrivée de l'eau

Bâche Spirale

Avant-directrice

Directrice

Roue

Figure 1.3: Coupe schématique horizontale d’une turbine Francis.

l’eau à la sortie de l’aspirateur, on maximise la chute nette et par conséquent, la quantitéd’énergie que la turbine peut extraire.

Pour évaluer la performance d’un diffuseur où l’écoulement à l’entrée est en rotation, tel quel’aspirateur, McDonald et al. [38] proposent d’utiliser le coefficient de récupération, défini dela façon suivante :

χM =1As

∫ps dAs − 1

Ae

∫pe dAe

12 ρ

1Ae

∫| ue |2 dAe

(1.4)

L’indice e réfère au plan d’entrée, tandis que l’indice s réfère au plan de sortie. Le vecteuru correspond au vecteur vitesse. Cette formulation présente l’avantage d’indiquer le gain depression statique entre l’entrée (pe) et la sortie (ps), par rapport à la pression dynamiqueréellement disponible à l’entrée du diffuseur.

Toutefois, lors d’essais expérimentaux, il est laborieux de mesurer la pression statique et levecteur vitesse sur l’ensemble des plans d’entrée et de sortie. Les mesures effectuées par Tridon[65], sur l’aspirateur étudié dans le cadre de ce projet de recherche, évaluent la différence depression statique entre l’entrée et la sortie (∆p) à l’aide d’un capteur de pression différentielrelié à quatre prises de pression pariétales placées à l’entrée de l’aspirateur et à dix prises depression pariétales placées à la sortie. La pression dynamique disponible est évaluée avec lavitesse moyenne sur la section d’entrée. Le coefficient de récupération prend alors la forme

5

Page 28: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 1.4: Géométrie et loi de section de l’aspirateur de la turbine hydraulique étudiée.

suivante :

χ =∆p

12ρ(Q/Ae)2

(1.5)

Bien que cette formulation du coefficient de récupération ne soit pas un aussi bon indicateurde la performance de l’aspirateur que celle présentée à l’équation (1.4), c’est celle qui seramajoritairement utilisée dans ce mémoire, et ce, pour permettre une comparaison rigoureuseentre les résultats des simulations numériques et les mesures expérimentales.

Finalement, il est pertinent de noter que la performance de l’aspirateur peut aussi être évaluéeà l’aide de la perte CEI. Elle est définie de la façon suivante [27] :

Perte CEI =ptot , e −

(ps + ρ(Q/As)2

2

)ρgHn

(1.6)

Elle représente la fraction d’énergie perdue dans l’aspirateur par rapport à l’énergie totaledisponible. Le lecteur attentif notera qu’une bonne récupération de pression engendre unfaible différentiel de pression totale entre l’entrée et la sortie. Conséquemment, lorsqu’il ya une bonne récupération de pression, la quantité d’énergie perdue dans la composante estréduite et la perte CEI est faible.

6

Page 29: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

1.1.2 Paramètres de fonctionnement

Les variables d’intérêt pour une turbomachine peuvent être regroupées en quatre groupesadimensionnels [45]. Ces groupes, également énoncés dans la norme CEI 60193 [27], sont lessuivants :

Re =ΩD2

2ν(1.7)

φ =Q

πΩ(D/2)3(1.8)

ψ =2gHn

(ΩD/2)2(1.9)

λ =2Ps

ρπΩ3(D/2)5(1.10)

Le diamètre de la roue est décrit par D et Ω correspond à sa vitesse angulaire. On constated’abord que le nombre de Reynolds Re apparaît. Ce paramètre adimensionnel indique le ratiodes forces d’inertie par rapport aux forces visqueuses. Dans le cas de la présente étude, il estde l’ordre de 2× 107. Cet ordre de grandeur est caractéristique aux essais sur modèle réduit.En effet, la campagne de mesures expérimentales a été réalisée en laboratoire sur une turbinedont les dimensions sont largement inférieures à celle installée en centrale, où le nombre deReynolds est plutôt de l’ordre de 108. Pour permettre une comparaison rigoureuse des résultats,les simulations numériques ont toutes été effectuées au même nombre de Reynolds que les essaisexpérimentaux. Il est aussi intéressant de remarquer qu’une procédure existe pour transposerles résultats provenant des essais modèles aux turbines installées en centrale. Elle est décriteen détail dans la norme CEI 60193 [27].

Les autres nombres adimensionnels φ, ψ et λ représentent respectivement le coefficient dedébit, le coefficient d’énergie et le coefficient de puissance. Ils facilitent la comparaison demachines similaires, mais où les dimensions et les vitesses de rotation diffèrent. Il est pertinentde noter que tous les résultats présentés dans ce mémoire sont à un coefficient d’énergie ψconstant. La chute Hn et la vitesse angulaire de la roue Ω restent donc inchangées.

Finalement, il est approprié d’introduire un autre terme adimensionnel : le coefficient de mo-ment cinétique Sw. Celui-ci indique le ratio entre le flux de quantité de mouvement angulaireet le flux de quantité de mouvement axiale :

7

Page 30: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Sw =

∫ R0 r2 | uθ | uz drR∫ R

0 ru2z dr

(1.11)

Le rayon de la section de passage correspond à R, la distance à l’axe de rotation est décrite parr et la composante axiale de la vitesse par uz. Ce coefficient est particulièrement utile pourdécrire l’écoulement à l’entrée de l’aspirateur. À faible charge, il sera assez élevé, puisqu’uneassez grande quantité de mouvement angulaire subsiste dans l’écoulement après avoir traverséla roue. Toutefois, près du meilleur point de fonctionnement, presque toute la quantité demouvement angulaire est transférée en couple sur la roue. Le coefficient de moment cinétiquesera alors beaucoup plus faible.

1.2 Problématique, mise en contexte et objectifs

Lorsque les exploitants de complexes hydroélectriques désirent ériger ou réhabiliter une cen-trale, les fabricants de turbines hydrauliques cherchent à concevoir des machines présentantle meilleur rendement possible. De plus, ils doivent fournir des garanties sur les performancesde la turbine qu’ils désirent implanter. Pour ce faire, les turbiniers font appel, entre autres, àla mécanique des fluides numérique pour estimer les pertes d’énergie dans les diverses com-posantes de la turbine. Dans l’aspirateur, l’écoulement est particulièrement complexe et lesméthodes de modélisation de la turbulence RANS utilisées actuellement par l’industrie pour-raient parfois s’avérer incapables de capter certains phénomènes qui affectent l’allure de lacourbe de rendement de la machine.

D’ailleurs, le fabricant de groupes turbines-alternateurs ALSTOM Énergie & Transport Ca-nada Inc. , avec lequel le présent projet de recherche a été mené en partenariat, a déjà étéconfronté, dans le passé, à des chutes de rendement très localisées près du point nominal defonctionnement. Celles-ci n’avaient pas été prédites par les méthodes de modélisation de laturbulence traditionnelles.

Cette cassure dans la courbe de rendement de la machine, de l’ordre de 1%, est attribuableà un mauvais comportement de l’aspirateur. En effet, la chute de rendement coïncide avecune baisse d’environ 20% du coefficient de récupération de l’aspirateur. C’est ce que l’on peutconstater à la figure 1.5.

Ce mauvais comportement peut survenir lors de projets de réhabilitation de centrales vieillis-santes, où l’aspirateur existant n’est parfois pas optimal. Dans ces conditions, des phénomènesphysiques inopinés, difficiles à prédire avec les méthodes actuelles, peuvent prendre place dansle diffuseur.

8

Page 31: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 1.5: Rendement divisé par le rendement maximal (η/η∗) et coefficient de récupérationdivisé par le coefficient de récupération maximal (χ/χ∗) en fonction du coefficient de débitdivisé par le coefficient de débit au meilleur point de fonctionnement (φ/φOpt).

1.2.1 Travaux antérieurs

Ce phénomène a fait l’objet de plusieurs études dans le passé, réalisées notamment sur l’aspi-rateur étudié dans le cadre de ce projet, mais aussi sur l’aspirateur du projet FLINDT [3]. Cedernier est également placé sous une roue de turbine Francis de basse chute.

Mauri et al. [36], qui ont réalisé des simulations numériques sur l’aspirateur FLINDT, attri-buent ce phénomène à une séparation de Werlé-Legendre. Cela a pour effet d’engendrer leblocage d’un des pertuis et il en résulte alors une nette baisse du coefficient de récupérationdans l’aspirateur. Les mesures expérimentales effectuées par Arpe Alca [2] viennent appuyercette conclusion. Toutefois, des écarts significatifs étaient observés entre les données expéri-mentales et numériques, autant sur le coefficient de récupération que sur les profils de vitessedans l’aspirateur. Avellan [3] suggère que le modèle de turbulence RANS k-ε et l’approchestationnaire pourraient être en cause.

9

Page 32: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Pour ce qui est de l’aspirateur étudié dans le cadre du présent projet, Tridon [65], qui a réaliséplusieurs campagnes de mesures expérimentales, attribue aussi la chute de rendement près dumeilleur point de fonctionnement à une séparation de la couche limite. En effet, il a observé undécollement important à l’intérieur du coude qui se propage dans l’un des pertuis, engendrantainsi un écart de débit important entre les deux canaux de sortie. Sur le même aspirateur,Payette [50] a réalisé une étude numérique portant sur l’impact des paramètres de modélisationdans les aspirateurs de turbines hydrauliques. Bien que des conclusions très intéressantesont pu être tirées, notamment par rapport à l’importance de la vitesse radiale à l’entréede l’aspirateur, il n’a pas été en mesure de reproduire et expliquer la chute de rendementobservée expérimentalement. Une autre étude numérique menée plus récemment par Duprat[17] semble montrer qu’il a été en mesure de reproduire la courbe du coefficient de récupérationen fonction du débit. Cependant, il indique que pour tous les points de fonctionnement simulés,l’écoulement dans l’aspirateur semble être dans une configuration similaire à celle observéeaprès la diminution abrupte de rendement. Cela s’explique difficilement et laisse donc encorela question ouverte.

Finalement, un projet de recherche mené par Bélanger-Vincent [4] en 2010 au Laboratoirede Mécanique des Fluides Numérique (LMFN) de l’Université Laval a montré que le DES,une approche de modélisation de la turbulence plus riche, permet de beaucoup mieux prédirel’instationnarité associée au tourbillon de sortie de roue que les approches de modélisation dela turbulence actuelles. Toutefois, il n’a pas été possible de prédire adéquatement la courbede rendement de la machine. Il semble que les conditions limites peu représentatives à l’entréede l’aspirateur soient en cause.

Les détails méthodologiques des études numériques citées ci-haut sont discutées plus en pro-fondeur au chapitre 4.

1.2.2 Objectifs

Vraisemblablement, il y a des améliorations à apporter quant à la fiabilité des simulationsnumériques de l’écoulement dans les aspirateurs de turbines hydrauliques, particulièrementlorsque le phénomène de chute de rendement près du meilleur point de fonctionnement semanifeste. De plus, le DES semble présenter un potentiel intéressant pour améliorer la qualitédes prédictions de performance s’il est utilisé avec des conditions d’entrée adéquates.

Donc, pour être en mesure de concevoir des machines avec un meilleur rendement et afin deprédire avec une plus grande fiabilité leur performance, les objectifs suivants ont été mis del’avant :

1. Déterminer si l’approche DES permet de mieux prédire les performances de l’aspirateur

10

Page 33: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

de la turbine hydraulique, incluant la chute de rendement caractéristique au cas étudié.

2. Développer une meilleure expertise d’utilisation de l’approche DES et une méthodologieappropriée à son application en R&D industrielle.

1.3 Structure du mémoire

Avant d’entrer dans le vif du sujet, certaines considérations théoriques sont d’abord traitées.Cela a pour objectif de faciliter la justification des choix méthodologiques qui sont effectués,mais aussi de permettre une meilleure analyse, plus profonde, des résultats qui sont présentés.

Le chapitre 2 expose les nombreux phénomènes physiques prenant place dans l’aspirateur.Une meilleure compréhension de cet écoulement complexe permettra de mieux reconnaîtreles avantages et les risques liés à l’utilisation des différentes approches de modélisation dela turbulence qui seront explorées dans ce mémoire. De plus, une meilleure connaissance desphénomènes prenant place dans cette composante permettra de mieux évaluer l’impact qu’ilspeuvent avoir sur les performances de la machine.

Ensuite, au chapitre 3, la méthodologie numérique est présentée. Elle est accompagnée d’unedescription détaillée des stratégies de modélisation de la turbulence considérées dans le présentprojet de recherche.

Une revue de l’état de l’art en simulation numérique de l’écoulement dans l’aspirateur suitau chapitre 4. Les études antérieures traitant de la modélisation de la turbulence dans cettecomposante et de l’effet des conditions aux limites sont présentées.

Le chapitre 5 traite d’un aspect fondamental pour la simulation de l’aspirateur : les conditionslimites à l’entrée. Une analyse de l’écoulement sous la roue est d’abord faite en se basantsur les données expérimentales de Tridon [65]. La méthodologie utilisée pour l’obtention desconditions d’entrée numérique est ensuite présentée. Finalement, les conditions limites qui sontutilisées dans les chapitres subséquents sont analysées en détail.

Suivront alors, au chapitre 6, les résultats des simulations de l’aspirateur effectuées avec lesapproches de modélisation de la turbulence traditionnelles RANS et URANS. Toutefois, lesessais méthodologiques nécessaires pour mettre au point une procédure de calcul fiable sontd’abord présentés. Ensuite, autant les performances globales que les champs physiques sontmontrés et analysés. Ce chapitre a pour but de fournir des bases de comparaison solides etd’établir clairement les capacités des méthodes actuelles.

Le chapitre 7 est construit de façon similaire au chapitre 6, mais il traite des simulations DES de

11

Page 34: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

l’aspirateur. Une bonne partie du chapitre est consacrée à la question de la condition d’entrée.Par la suite, les performances prédites avec cette méthode sont comparées aux performancesobtenues avec les méthodes RANS, de façon à déterminer le gain lié à l’utilisation du DES.

Finalement, le chapitre 8 fait un retour sur les résultats importants présentés dans le mé-moire. Les pistes d’investigations futures qui pourraient permettre d’améliorer davantage lessimulations d’aspirateurs sont aussi présentées.

12

Page 35: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Chapitre 2

L’écoulement dans l’aspirateur de laturbine hydraulique

L’écoulement dans un aspirateur coudé de turbine hydraulique en est un particulièrementcomplexe. En effet, plusieurs phénomènes physiques qui peuvent altérer de façon significativeles performances de la machine prennent place dans cette composante.

Il est donc pertinent de décrire ces phénomènes, afin d’être en mesure de les identifier correc-tement et de mieux évaluer l’effet qu’ils ont sur l’efficacité de la turbine.

La turbulence, la séparation de la couche limite, l’écoulement secondaire dans le coude, ainsique l’éclatement tourbillonnaire sont les phénomènes décrits dans le présent chapitre.

2.1 Turbulence

La turbulence est un phénomène difficile à définir. En effet, il n’existe pas de définition brèveet complète du phénomène acceptée de façon universelle. Il est donc beaucoup plus communde définir la turbulence par ses caractéristiques. Les caractéristiques proposées par Cousteix[14] pour définir un écoulement turbulent sont les suivantes :

– Le nombre de Reynolds est grand– Caractère aléatoire– Le champ de vitesse est tridimensionnel et rotationnel– Non-linéarité– L’étude de la turbulence appartient à la mécanique des milieux continus– Capacité de mélange– La turbulence est un phénomène dissipatif

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– Les écoulements turbulents ne sont pas "prédictibles"

Il faut toutefois remarquer que ces caractéristiques sont étroitement liées entre elles. Parexemple, un grand nombre de Reynolds signifie que les forces d’inertie sont largement plusimportantes que les forces visqueuses. Dans les équations de Navier-Stokes, cela se traduit parla dominance du terme convectif u ·∇u sur le terme de diffusion ν∇2u, d’où la non-linéaritédu phénomène (voir section 3.1).

D’ailleurs, c’est ce caractère non-linéaire qui oblige le champ de vitesse à être tridimensionnel.Effectivement, le terme convectif u ·∇u fait apparaître le terme ω ·∇u dans l’équation devorticité [67]. C’est le terme d’étirement-rotation du vecteur vorticité. Il engendre une dyna-mique tourbillonnaire complexe qui provoque l’apparition de fluctuations de vitesse dans lestrois directions. 1 Ce mécanisme a aussi pour effet de transférer l’énergie des tourbillons ayantde grandes échelles de longueur à des structures ayant des échelles de longueur plus petites.C’est la cascade d’énergie.

Ce concept joue un rôle déterminant dans l’approche de modélisation de la turbulence employéedans ce mémoire. Il est donc essentiel de comprendre que dans un écoulement cisaillé, tel quecelui d’un aspirateur de turbine hydraulique, l’énergie associée à la turbulence est d’abordextirpée à l’écoulement moyen. En effet, les zones cisaillées dans l’écoulement moyen donnentlieu à des instabilités, qui engendrent la formation de structures tourbillonnaires ayant desdimensions du même ordre de grandeur que les couches cisaillées. Ces grandes structuresturbulentes, sous l’effet du mécanisme d’étirement et de rotation des tubes de vorticité, formentdes structures de plus en plus petites. Éventuellement, les structures turbulentes ainsi crééessont caractérisées par des échelles de vitesse et de longueur leur conférant un nombre deReynolds de l’ordre de l’unité. Elles sont alors détruitent sous l’effet important de la viscosité.L’énergie se dissipe en chaleur. Toutefois, il convient de spécifier que même ces plus petitesstructures tourbillonnaires ont des dimensions largement supérieures aux échelles moléculaires.C’est pourquoi l’étude de la turbulence appartient à la mécanique des milieux continus.

La figure 2.1 illustre le concept de cascade d’énergie. On y voit le spectre énergétique typiqued’un écoulement turbulent, c’est-à-dire l’énergie contenue dans les tourbillons en fonctionde leur nombre d’onde (inverse de la longueur). Tel que mentionné au paragraphe précédent,l’énergie est introduite dans le spectre par les structures de grande échelle (gamme énergétique)et est évacuée par les structures de plus petite échelle (gamme dissipative). Dans la gammeinertielle, l’énergie est essentiellement transférée sans perte des plus grands aux plus petitstourbillons.

1. Le lecteur intéressé à approfondir sa compréhension de ce mécanisme peut consulter Cousteix [14], Lemay[33] ou Tennekes et Lumley [61].

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Page 37: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Gamme Énergétique Gamme Inertielle

Gamme Dissipative

Isotropie des structures

Transfert d'énergie

Figure 2.1: Spectre typique d’un écoulement turbulent. Image adaptée de [33].

Il faut aussi mentionner que les plus grosses structures, de la gamme énergétique, ont uncaractère anisotropique. En effet, elles ont des orientations privilégiées dictées par l’écoulementmoyen. Toutefois, alors que le mécanisme d’étirement-rotation des tubes de vorticité agit etque l’on arrive dans la gamme inertielle, les tourbillons sont redirigés dans tous les sens et lesfluctuations sont égales dans toutes les directions. Il n’y a plus d’orientation privilégiée. Laturbulence est alors isotrope. Ce comportement est conservé jusqu’à la gamme dissipative.

Finalement, comme Wilcox [72] le mentionne, d’un point de vue d’ingénierie, la propriété laplus importante de la turbulence est sa capacité à augmenter dramatiquement les échangesdiffusifs dans l’écoulement. Les fluctuations de vitesse permettent d’accroître significativementles transferts de masse, de quantité de mouvement et d’énergie. Par exemple, dans l’aspirateur,cela aura pour effet d’uniformiser les champs physiques moyens. Afin d’illustrer ce phénomène,la figure 2.2 montre les profils de vitesse débitante moyens dans les pertuis d’un aspirateurde turbine hydraulique, obtenus par simulation numérique utilisant un modèle de turbulenceRANS, où la turbulence injectée à l’entrée est beaucoup plus importante dans un cas que dansl’autre.

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Page 38: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 2.2: Profils de vitesse débitante moyens dans les pertuis d’un aspirateur de turbinehydraulique pour a) un faible niveau de turbulence à l’entrée et b) un niveau de turbulenceimportant à l’entrée.

2.2 Séparation de la couche limite

La séparation de la couche limite est un phénomène qui affecte de façon fondamentale laperformance des diffuseurs. En effet, un décollement de la couche limite a pour effet de créerdes zones de recirculation dans le fluide, diminuant ainsi l’aire de passage effective. Il en résulteque le fluide traversant le diffuseur n’est pas beaucoup ralenti. Conséquemment, il conserveune bonne partie de son énergie cinétique. La baisse de pression en amont est alors limitée :le diffuseur ne joue pas efficacement son rôle. La figure 2.3 illustre cette situation.

Ce phénomène est complexe, particulièrement lorsque des écoulements tridimensionnels sontconsidérés. Certaines caractéristiques fondamentales d’un écoulement de couche limite peuventtoutefois être exposées en 2-D.

Cousteix [13] définit la couche limite comme la région dans laquelle la variation normale devitesse est suffisamment rapide pour que la force de cisaillement visqueuse à laquelle elle donnelieu soit de l’ordre de grandeur de la force d’inertie. Toutefois, il convient de noter que cettedéfinition s’applique particulièrement bien en aérodynamique externe, où l’écoulement loinde la paroi est potentiel. Ce n’est pas le cas pour l’écoulement dans un diffuseur de turbinehydraulique. En effet, dans l’aspirateur, on retrouve des zones où la force de cisaillementvisqueuse est importante au coeur de l’écoulement. En écoulement confiné, la notion de couchelimite devient alors un peu plus grise. Cependant, les principes physiques qui animent la couchelimite revêtent quand même une grande importance dans l’analyse des écoulements considérésdans ce mémoire.

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Page 39: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Point de séparation

Couche limite

Figure 2.3: Schéma d’un diffuseur où il y a séparation de la couche limite. Image inspirée de[70].

À la paroi, la condition de non-glissement contraint le fluide à être immobile. Il en résulte undéficit de quantité de mouvement près du mur. L’écoulement dans cette zone devient alorstrès sensible aux forces en présence.

La diffusion visqueuse aura pour effet d’extirper de la quantité de mouvement à l’écoulementextérieur pour alimenter la zone près de la paroi. Similairement, mais généralement de façonbeaucoup plus importante, les fluctuations turbulentes transporteront aussi de la quantité demouvement vers la paroi. C’est pourquoi une couche limite où les mouvements turbulents sontintenses a une plus grande résistance au décollement qu’une couche limite laminaire ou qu’unecouche limite où la turbulence est faible.

Un gradient de pression positif, ou adverse, vient créer une force nette négative sur les élémentsde fluide. Ils perdent alors la quantité de mouvement acquise de l’écoulement extérieur et ilsralentissent, jusqu’au moment où ils sont renversés. Il y a alors décollement de la couche limite.Ce mécanisme d’échange est schématisé à la figure 2.4.

L’analyse du paragraphe précédent nous permet donc de définir le point de séparation là oùla direction des éléments fluides près de la paroi est renversée, c’est-à-dire où le cisaillementpariétal est égal à zéro. À cet endroit, le gradient normal de vitesse à la paroi et la vorticitéparallèle à la paroi sont également nuls.

Malheureusement, cette définition ne tient plus lorsqu’un écoulement tridimensionnel, tel quecelui dans l’aspirateur, est considéré. En effet, un gradient de pression transverse, aussi mi-nime soit-il, aura pour effet de projeter les lignes de cisaillement pariétal sur des trajectoiresfortement courbées [48]. Donc, même s’il y a séparation de la couche limite, un écoulement

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Page 40: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 2.4: Schématisation des échanges de quantité de mouvement dans la couche limite

dans la direction transverse peut provoquer une contrainte de cisaillement à la paroi. C’estpourquoi la définition bidimensionnelle ne tient plus.

En se basant sur les travaux de Tobak et Peake [62], une définition différente, pour un écoule-ment tridimensionnel, a donc été proposée par Délery [15] : un écoulement autour d’un corpsest séparé si les lignes de cisaillement pariétal exhibent au moins un point de selle. Le pointde selle, également appelé col, est un point singulier (point sur la surface où le cisaillementpariétal est nul) traversé par seulement deux lignes de cisaillement pariétal [62]. La figure 2.5montre la configuration des lignes de cisaillement pariétal associée à un col.

Les lignes de cisaillement pariétal traversant le col portent le nom de lignes séparatrices.Lorsque les lignes de cisaillement pariétal adjacentes à la ligne séparatrice convergent verscette dernière, il y a décollement de la couche limite. Dans le cas contraire, où les lignes decisaillement pariétal semblent émerger de la ligne séparatrice, la couche limite se rattache à laparoi.

À titre d’exemple, on peut observer à la figure 2.6 un phénomène de séparation de la couchelimite dans un aspirateur. Les lignes de cisaillement pariétal montrent clairement la présenced’un col, d’où émergent les lignes séparatrices. L’une d’elles correspond à une ligne de décol-lement, tandis que l’autre correspond à une ligne de rattachement.

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Page 41: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Col

Ligneséparatrice

Ligneséparatrice

Figure 2.5: Configuration des lignes de cisaillement pariétal associée à un col.

Col

Ligne séparatrice(rattachement de la couche limite)

Ligne séparatrice(décollement de la couche limite)

Figure 2.6: Phénomène de séparation de la couche limite dans l’aspirateur. La paroi estcolorée avec le module du cisaillement pariétal. L’écoulement correspond au résultat d’unesimulation RANS présentée en détail au chapitre 6.

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Page 42: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 2.7: Champs de vitesse débitante et de pression dans un coude où le moment cinétiqueest nul.

2.3 Écoulement dans un coude

Afin de permettre au fluide de retourner à la rivière, l’aspirateur d’une turbine à axe verticalredresse l’écoulement dans la direction horizontale. Cette fonction est accomplie par le coude.Cependant, il faut réaliser que ce virage engendre nécessairement un écoulement secondairequi affecte la dynamique dans le diffuseur.

En premier lieu, il faut être conscient que la courbure des lignes de courant à travers le coudenécessite un gradient de pression dans la direction du rayon de courbure. Conséquemment,la pression est plus basse à l’intérieur du coude qu’à l’extérieur. Donc, légèrement en amontdu virage, on constate que la vitesse débitante est plus importante près de la paroi du côtéintérieur de la courbure. Ce comportement est illustré à la figure 2.7.

Toutefois, cette tendance est rapidement renversée en raison de l’écoulement secondaire quiprend naissance. En effet, la vorticité contenue dans les couches limites latérales se réoriente enraison du différentiel de vitesse entre la paroi intérieure et extérieure. Ce mécanisme, illustréà la figure 2.7 et décrit plus en détail par Shapiro [52] et Taylor [60], provoque l’apparition devorticité dans la direction de l’écoulement. Cette vorticité ainsi acquise engendre la rotationde l’écoulement suivant deux cellules contrarotatives. Le fluide à basse vitesse dans les coucheslimites est dirigé vers l’intérieur du coude, tandis que le fluide à grande vitesse au centre estpoussé vers l’extérieur. À la sortie du coude, il en résulte une zone de survitesse à l’extérieuret une zone de basse vitesse à l’intérieur.

Cependant, dans le cas de la turbine hydraulique, l’écoulement éjecté par la roue est en ro-tation et il pénètre dans l’aspirateur avec de la vorticité dans la direction axiale. Comme onpeut le constater à la figure 2.8, cette vorticité vient amplifier la formation de l’une des cel-

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Page 43: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 2.8: Champs de vitesse débitante et de pression dans un coude où le moment cinétiqueSw = 0.2. À l’entrée du coude, la vorticité associée à la rotation de l’écoulement est positive(ωz > 0).

lules contrarotative, tandis que l’autre est atténuée. Le fluide à basse vitesse est donc encoretransporté à l’intérieur du coude, mais davantage d’un côté que de l’autre.

Conséquemment, le couplage de l’écoulement secondaire dû à la présence du coude et dumoment cinétique à la sortie de la roue peut favoriser un écart de débit entre les deux canauxde sortie. De plus, la zone de basse vitesse à la sortie du coude, observée avec et sans momentcinétique dans l’écoulement, risque de faciliter la séparation de la couche limite à cet endroit.

2.4 Éclatement tourbillonnaire ("Vortex Breakdown")

Le phénomène d’éclatement tourbillonnaire est un processus de transition complexe qui nesemble pas avoir de définition faisant l’unanimité. En effet, Leibovich [32] décrit ce phénomènecomme un écoulement où se forme un point de stagnation sur l’axe du tourbillon, suivit d’unerégion de recirculation, tandis que d’autres auteurs, comme Benjamin [5] et Escudier [18],insistent plutôt sur la transition d’un état supercritique en amont à un état sous-critique enaval, analogue à un ressaut hydraulique. Hall [24] expose, analyse et critique les différentesvisions et explications du phénomène présentées dans la littérature.

Toutefois, de façon plus générale, Gyllenram et al. [22] définissent le phénomène d’éclatementtourbillonnaire comme un changement brusque dans la structure d’un écoulement tourbillon-naire, souvent associé à la décélération de la vitesse axiale au coeur du tourbillon.

Ce changement brusque dans la structure du tourbillon est bien visible à la figure 2.9, quimontre le phénomène se manifester sous deux formes différentes. La forme "spirale" est gé-

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Page 44: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 2.9: Illustration du phénomène d’éclatement tourbillonnaire se manifestant sous laforme a) "bulle" et b) "spirale". Image tirée de [32].

néralement associée à des écoulements où le moment cinétique est moins important que ceuxqui génèrent le phénomène sous la forme "bulle" [24]. Toutefois, comme le démontrent lesexpérimentations de Sarpkaya [51], la forme que prend le phénomène dépend aussi fortementdu nombre de Reynolds.

L’aspirateur est particulièrement propice à l’apparition de ce phénomène, en raison du momentcinétique parfois important à la sortie de la roue et du gradient de pression adverse lié à saforme divergente. D’ailleurs, les mesures expérimentales de Cassidy et Falvey [7], effectuéessur un écoulement d’air en rotation dans un tube droit, laissent présager que les fluctuationsde pression observées à faible charge dans l’aspirateur sont une conséquence du phénomèned’éclatement tourbillonnaire.

Plus récemment, Susan-Resiga et al. [59] ont étudié l’écoulement à l’entrée de l’aspirateur duprojet FLINDT [3], qui présente une baisse du coefficient de récupération près du meilleurpoint de fonctionnement, similaire à celle mesurée sur l’aspirateur étudié dans le présent pro-jet. Une analyse non-visqueuse, stationnaire et axisymétrique des profils de vitesse axiale ettangentielle, basée sur la théorie de Benjamin [5], leur indique que l’écoulement atteint un étatcritique à un débit assez près de celui où la chute de rendement est observée. Ils concluentdonc que la diminution abrupte du coefficient de récupération dans l’aspirateur pourrait être

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Page 45: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

attribuable à l’apparition du phénomène d’éclatement tourbillonnaire.

Cette analyse a été reprise par Tridon et al. [66], mais sur l’écoulement à l’entrée de l’aspirateurétudié dans ce mémoire. Similairement à Susan-Resiga et al. [59], leur analyse indique quel’écoulement sous la roue atteint un état critique, permettant au phénomène d’éclatementtourbillonnaire de se manifester, à un coefficient de débit relativement près de celui où lesperformances se dégradent rapidement.

Toutefois, à la connaissance de l’auteur, aucune mesure expérimentale ou simulation numé-rique ne permet de confirmer le lien qui pourrait exister entre le phénomène d’éclatementtourbillonaire et la diminution abrupte du coefficient de récupération dans l’aspirateur.

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Page 46: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un
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Chapitre 3

Méthode numérique et modélisationde la turbulence

La prédiction de l’écoulement dans l’aspirateur passe évidemment par la résolution des équa-tions qui gouvernent le mouvement des fluides. Il est donc pertinent de discuter de la méthodeutilisée pour faire cette résolution.

Donc, après avoir exposé les équations utilisées dans le cadre de ce projet, la méthode de réso-lution numérique est présentée en détail. Finalement, puisque le phénomène de la turbulenceest fondamental dans la physique considérée, on discute des façons dont il peut être traitédans les simulations.

3.1 Équations de Navier-Stokes

Le mouvement des fluides newtoniens peut être décrit à l’aide d’équations différentielles par-tielles de deuxième ordre. Ces relations, non-linéaires, portent le nom d’équations de Navier-Stokes. Pour un fluide incompressible, où la viscosité est constante, elles prennent la formesuivante :

∂ui∂xi

= 0 (3.1)

∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

=−1

ρ

∂p

∂xi+ ν

∂2ui∂xj∂xj

(3.2)

La démarche permettant d’arriver à ces relations est décrite dans plusieurs ouvrages de réfé-rence portant sur la mécanique des fluides. Panton [48], Kundu et al. [29] et White [71] en

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Page 48: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

sont quelques exemples.

Il est pertinent de noter qu’en raison du terme non-linéaire, seulement un nombre limité desolutions analytiques sont connues. Donc, pour les problèmes complexes à haut nombre deReynolds, où le terme convectif est significatif, il est nécessaire de faire appel aux méthodes derésolution numériques. Celle employée dans le cadre de ce travail est présentée à la prochainesection.

3.2 Méthode des volumes finis

Pour résoudre les équations de Navier-Stokes, on discrétise d’abord le domaine spatial. Il estdonc décomposé en une multitude de volumes, où la conservation de masse, de quantité demouvement et d’énergie est assurée. En effet, pour chacun des volumes, on intègre le flux demasse, de quantité de mouvement et d’énergie sur toutes ses faces. Il est alors possible de bâtirun système matriciel, où chaque ligne représente un bilan sur le volume fini. Il suffit ensuite derésoudre le système pour obtenir les variables physiques au centroïde de chacun des volumes.Les étapes énoncées brièvement dans ce paragraphe seront maintenant exposées un peu plusen détail.

Cependant, il faut mentionner que chaque code de calcul traite les aspects mentionnés ci-hautdifféremment. Évidemment, la méthode décrite ici reflète celle utilisée par ANSYS CFX, soitle code utilisé dans le cadre de ce projet. On peut aussi préciser que ce logiciel utilise uneméthode des volumes finis basée sur les éléments finis. On verra pourquoi dans les prochainsparagraphes.

3.2.1 Discrétisation dans l’espace

À l’aide d’un logiciel de maillage, ICEM CFD pour le présent projet, le domaine spatial estdivisé en une multitude d’éléments. Les noeuds, situés aux sommets de chacun de ces éléments,formeront les centroïdes des volumes de contrôle.

En effet, autour de chaque noeud, un volume est construit. Les sommets de ce volume sontdéfinis par les points milieux des arêtes des éléments du maillage, ainsi que par leur centroïde.Cela est illustré, en deux dimensions (pour des raisons de simplicité), à la figure 3.1.

Une fois les volumes de contrôle bâtis, les équations (3.1) et (3.2) sont intégrées sur chacund’entre eux. Le théorème de Gauss est utilisé pour convertir les intégrales de volume en in-tégrales de surface. Pour un volume arbitraire V délimité par une surface fermée S, dont levecteur normal pointant vers l’extérieur est noté n, on obtient :

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Page 49: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 3.1: Schéma 2-D de la discrétisation spatiale.

∫Suj ·n dS = 0 (3.3)

d

dt

∫Vui dV +

∫Sui(uj ·n) dS =

−1

ρ

∫Sp n dS + ν

∫S

∂ui∂xj

·n dS (3.4)

Les intégrales de surface sont évaluées sur toutes les faces des volumes en multipliant l’airede la surface par la valeur de l’intégrande aux points d’intégration. Ces points, illustrés à lafigure 3.1, sont situés au centre des faces des volumes finis.

Toutefois, puisque les variables physiques sont stockées aux centroïdes des volumes de contrôle,il faut interpoler pour obtenir leurs valeurs aux points d’intégration. Pour ce faire, ANSYSCFX fait appel à des fonctions de forme d’éléments finis. C’est pourquoi on dit que ce logicielutilise une méthode des volumes finis basée sur les éléments finis.

3.2.2 Terme de pression

Tel que mentionné au paragraphe précédent, ANSYS CFX fait appel à des fonctions de formepour évaluer certaines quantités physiques aux points d’intégration. C’est le cas pour la pres-sion. Les fonctions de forme utilisées sont linéaires en terme de coordonnées paramétriques

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Page 50: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

[26]. On obtient donc la pression au point d’intégration en sommant les valeurs aux noeudsde l’élément de maillage et en les multipliant par la fonction de forme :

pip =∑n

Nnpn (3.5)

L’indice ip représente la valeur au point d’intégration, tandis que l’indice n indique la valeurau noeud. La variable N correspond à la fonction de forme.

Il est aussi pertinent de noter qu’une propriété des fonctions de forme est que

∑n

Nn = 1 (3.6)

3.2.3 Terme diffusif

De façon similaire, l’intégrande du terme diffusif peut être calculée aux points d’intégration,en fonction des valeurs aux noeuds de l’élément de maillage. Cependant, étant donné que l’oncherche à évaluer une dérivée spatiale, on aura plutôt

∂ui∂xj

∣∣∣∣ip

=∑n

∂Nn

∂xj

∣∣∣∣ip

(ui)n (3.7)

3.2.4 Terme convectif

Pour ce qui est de l’intégrande du terme convectif, elle n’est pas évaluée systématiquementavec les fonctions de forme, comme c’est le cas pour les termes présentés précédemment. Eneffet, plusieurs approches peuvent être sélectionnées par l’utilisateur pour évaluer la vitesse uiaux points d’intégration. Elles sont décrites dans les prochains paragraphes.

Cette vitesse est ensuite multipliée par le débit traversant la surface du volume de contrôle. Laformule utilisée par ANSYS CFX pour calculer ce débit est décrite en détail dans le manuelde l’utilisateur [26]. Toutefois, il convient de noter qu’elle fait intervenir la vitesse calculée àl’itération précédente.

"First Order Upwind" (UDS)

La première approche présentée pour évaluer la vitesse aux points d’intégration est la plussimple, mais la moins précise. Elle consiste à évaluer la variable au point d’intégration en

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Page 51: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

imposant la valeur au noeud amont, c’est-à-dire au centroïde du volume fini d’où provientl’écoulement. On obtient donc

(ui)ip = (ui)up (3.8)

L’indice up indique la valeur au noeud amont. Il faut noter que ce schéma numérique a le désa-vantage d’engendrer de la diffusion artificielle [19]. Cependant, cette approche n’engendrerajamais d’oscillations non-physiques dans la solution. Une expansion de la série de Taylor peutmontrer que ce schéma est de premier ordre [19].

"Specified Blend Factor"

Afin de réduire l’erreur de discrétisation, il est possible d’introduire une correction dans leschéma précédent. On a alors

(ui)ip = (ui)up + β ∇ui · ∆r (3.9)

où β est le "Blend Factor" imposé par l’utilisateur et ∆r le vecteur allant du noeud amontau point d’intégration. Le gradient ∇ui est calculé en effectuant la moyenne de sa valeuraux noeuds adjacents. La valeur de β varie entre 0 et 1. Dans le cas où β = 0, on aura leschéma UDS présenté précédemment, alors qu’avec β = 1, on aura un schéma formellement dedeuxième ordre [26]. Toutefois, bien que cette approche soit moins diffusive numériquement,elle peut créer des oscillations non-physiques dans la solution.

"High Resolution"

Ce schéma utilise la même approche que celui présenté au paragraphe précédent, mais lesolveur calcul automatiquement une valeur de β à chaque noeud, de façon à ce qu’elle soitle plus près de l’unité possible, mais sans qu’il n’y ait d’oscillations non-physiques dans lasolution. On s’assure donc que ui aux points d’intégration ne dépasse pas la valeur maximaleet minimale de ui aux noeuds adjacents. Puisque la valeur de β est généralement inférieure àun, ce schéma n’est pas formellement de deuxième ordre.

"Central Difference Scheme" (CDS)

Finalement, comme pour les termes de pression et de diffusion, on peut utiliser les fonctionsde forme. On obtient alors

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Page 52: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

(ui)ip =∑n

Nn (ui)n (3.10)

Puisque cette approche consiste à faire une interpolation linéaire dans l’élément, elle corres-pond au schéma des différences centrées avec l’approche des différences finies. C’est pourquoion l’appelle "Central Difference Scheme". Tout comme pour le schéma "Specified Blend Fac-tor" avec β = 1, cette approche est de deuxième ordre et peut engendrer des oscillationsnon-physiques dans la solution.

3.2.5 Terme transitoire

Le dernier terme restant dans l’équation de conservation de la quantité de mouvement estle terme transitoire. Le schéma utilisé dans le cadre de ce projet, "Second Order BackwardEuler", estime l’intégrale de volume de la façon suivante [26] :

d

dt

∫Vui dV = V

1

∆t

(3

2ui − 2uoi +

1

2uooi

)(3.11)

L’exposant o réfère à la valeur au pas de temps précédent. Ce schéma est de deuxième ordre,donc comme pour les schémas d’interpolation dans l’espace, des oscillations non-physiquespeuvent apparaître dans la solution.

3.2.6 Résolution du système d’équations

Une fois les termes des équations de conservation exprimés en fonction des valeurs au noeudcentral et aux noeuds adjacents, il est possible de bâtir un système d’équations, où chaqueligne représente un bilan sur un volume fini. ANSYS CFX utilise un solveur couplé, qui permetla résolution des trois équations de conservation de quantité de mouvement et de l’équationde continuité en un seul système. La conservation de la masse est donc traitée de la mêmefaçon que la conservation de quantité de mouvement. Cette approche a plusieurs avantages,notamment la simplicité, la robustesse et l’efficacité [26]. Toutefois, les requis en mémoire liésà cette approche sont plus élevés que pour les solveurs non-couplés.

Finalement, la figure 3.2 montre l’ordre dans laquelle sont traitées les différentes équations àrésoudre par le logiciel ANSYS CFX. Il est aussi pertinent d’introduire le résidu normalisé,directement lié au critère de convergence. Sans entrer dans le détail, il indique l’erreur associéeà chaque bilan. Le critère de convergence est satisfait lorsque la valeur moyenne ou maximaledes résidus normalisés passe sous un seuil prescrit.

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Page 53: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Départ

Calcul de la distance entre chaquenoeud et la paroi la plus proche

(modèles SST et BSL seulement)

Résolution des équations de conservationde quantité de mouvement et de masse

Résolution des équations detransport des quantités turbulentes

Arrêt

CalculStationnaire

Critère deconvergence

satisfait

Critère deconvergence non-satisfait

CalculInstationnaire

Critère deconvergence non-satisfait

Critère deconvergence

satisfait

Temps maximal atteint

Avance dansle temps

Figure 3.2: Étapes de résolution effectuées par le logiciel ANSYS CFX pour les problèmesconsidérés dans le présent projet de recherche.

3.3 Modélisation de la turbulence

Tel que soulevé précédemment, à la section 2.1, la turbulence est un phénomène qui émerge dela non-linéarité du terme convectif u ·∇u dans les équations de Navier-Stokes. Il en résulte unegamme de mouvements ayant des échelles de longueur et de temps très diversifiées. Rappelonsque les plus grandes échelles de la turbulence sont du même ordre de grandeur que celles descouches cisaillées dans l’écoulement moyen, alors que les plus petites sont caractérisées parun nombre de Reynolds local de l’ordre de l’unité. Il convient de préciser que les plus petiteséchelles portent le nom d’échelles de Kolmogorov.

Lors de la simulation numérique d’écoulements turbulents, l’approche la plus simple est desimuler toute la dynamique tourbillonnaire turbulente, de la gamme énergétique jusqu’à lagamme dissipative. Aucune modélisation ou approximation du phénomène de la turbulencen’est alors requise. Cette approche porte le nom de simulation numérique directe ou DNS pour"Direct Numerical Simulation". Cependant, étant donné la très petite taille des mouvementsturbulents aux échelles de Kolmogorov, cette approche nécessite une discrétisation spatialeet temporelle extrêmement fine, particulièrement à grand nombre de Reynolds, où le ratio

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entre les plus grandes et les plus petites structures est important (∝ Re3/4 [61]). En raisondes ressources de calcul limitées, cette approche n’est malheureusement pas accessible pourles écoulements complexes à haut nombre de Reynolds, tel que ceux étudiés dans le cadre duprésent projet de recherche.

Il est donc nécessaire de faire appel à certaines approximations et à des modèles pour prédire lesécoulements turbulents. On peut donc envisager modéliser les mouvements turbulents les plusfins, afin d’éviter une discrétisation spatiale et temporelle monstrueuse. C’est la vision derrièrela simulation des grandes échelles ou LES pour "Large Eddy Simulation". Effectivement, aveccette approche, la gamme énergétique du spectre de la turbulence, qui comprend les tourbillonsde grandes échelles anisotropiques, est résolue. Les plus petits tourbillons, moins intenseset isotropiques, sont modélisés. Conséquemment, les ressources de calcul nécessaires à unesimulation LES sont largement inférieures à celles d’une simulation DNS. Par contre, près desparois, une difficulté s’impose avec cette approche. En effet, à proximité des surfaces solides,même les structures de la gamme énergétique sont très petites. Il faut alors un niveau dediscrétisation s’approchant de celui du DNS à proximité des surfaces solides [72]. Donc, pourles écoulements confinés par des parois, le LES nécessite aussi une discrétisation très fine,ce qui vient limiter l’utilisation de cette approche à des écoulements à nombre de Reynoldsmodérés.

Par conséquent, pour la plupart des écoulements considérés pour des fins d’ingénierie, il fautmodéliser l’ensemble du spectre de la turbulence. C’est ce que permet l’approche de modélisa-tion de la turbulence RANS ("Reynolds-Averaged Navier-Stokes"). En terme de coût de calcul,cette méthode est beaucoup plus abordable que les deux précédentes. Toutefois, puisque l’effetde la turbulence sur l’écoulement moyen est entièrement modélisé, des erreurs de modélisationpeuvent venir affecter de façon significative la prédiction des écoulements considérés. Donc,pour chaque application que l’on en fait, il est judicieux de valider soigneusement les modèlesRANS employés.

Finalement, il existe des approches de modélisation de la turbulence que l’on qualifie d’hy-brides. C’est notamment le cas du DES ("Detached Eddy Simulation"), qui est au coeur de laprésente étude. Cette approche permet de combiner les avantages du LES à ceux du RANS.Effectivement, loin des parois, une approche LES est utilisée, alors qu’à proximité des surfacessolides, dans la couche limite, où les structures de la gamme énergétique sont très fines, l’en-semble du spectre de la turbulence est simulé à l’aide d’un modèle RANS. Conséquemment,on profite d’une meilleure description de la turbulence à l’extérieur des couches limites, sansavoir à payer pour la discrétisation très fine à proximité des surfaces solides.

La figure 3.3 permet de mieux visualiser le niveau de modélisation lié à chacune des approchesprésentées aux paragraphes précédents. Chacune d’entre elles, à l’exception du DNS (en raison

32

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Modélisation

Modélisation

Simulation

Simulation

Figure 3.3: Niveau de modélisation du spectre de la turbulence associé à différentes approchesde modélisation de la turbulence.

de l’inaccessibilité de cette méthode), sera présentée plus en détail dans les prochaines sections.

3.3.1 Modélisation de la turbulence RANS et URANS

Commençons par explorer l’approche de modélisation de la turbulence RANS. Tel que men-tionné précédemment, cette méthode consiste à modéliser l’ensemble du spectre de la tur-bulence. Pour ce faire, les variables physiques sont d’abord exprimées par la somme d’unemoyenne et d’une partie fluctuante. La vitesse et la pression peuvent donc être exprimées telque

ui(x, t) = ui(x) + u′i(x, t) (3.12)

p(x, t) = p(x) + p′(x, t) (3.13)

En injectant ces relations dans les équations de Navier-Stokes (équations (3.1) et (3.2)) et eneffectuant la moyenne temporelle, on obtient :

∂ui∂xi

= 0 (3.14)

∂ui∂t

+∂

∂xj(ujui + u′ju

′i) =

−1

ρ

∂p

∂xi+ ν

∂2ui∂xj∂xj

(3.15)

Pour un calcul stationnaire RANS, le terme ∂ui∂t est nul, tandis que pour une simulation insta-

tionnaire URANS, ce terme permet de simuler les mouvements instationnaires dont l’échellede temps est plus grande que celle des mouvements turbulents. Toutefois, tel qu’il sera exposé

33

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à la section 6.1.3, rien n’empêche l’apparition de mouvements turbulents de grande échelle sile pas de temps et les quantités turbulentes modélisées (νt) le permettent. L’approche URANSentre alors dans une zone grise conceptuelle. En effet, dans cette éventualité, une petite partiedu spectre de la turbulence est simulé, ce qui n’est pas en accord avec la philosophie de l’ap-proche RANS, puisque tout le spectre de la turbulence devrait être modélisé. Il n’est toutefoispas évident de déterminer si ce comportement détériore ou enrichit la solution.

On peut constater que la seule trace de la turbulence dans les équations du mouvement moyen(équations (3.14) et (3.15)) réside dans la présence du tenseur u′iu

′j . Ce terme inertiel représente

le taux de transfert moyen de quantité de mouvement engendré par la turbulence. On l’appelletenseur de contraintes de Reynolds, car mathématiquement, il peut s’exprimer similairementau tenseur de contraintes visqueuses. Il est donc d’usage d’écrire les équations RANS de lafaçon suivante :

∂ui∂xi

= 0 (3.16)

∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

=−1

ρ

∂p

∂xi+

∂xj

(ν∂ui∂xj

+ u′ju′i

)(3.17)

Puisqu’un nouveau tenseur symétrique, contenant six inconnues, s’est introduit dans le systèmed’équations, sans qu’il n’y ait de relations supplémentaires, le système est maintenant ouvert.L’approche de modélisation de la turbulence RANS consiste à fermer le système, donc àexprimer les composantes du tenseur de contraintes de Reynolds en fonction des autres termesdans les équations de Navier-Stokes. Une vaste gamme d’approches existent pour faire ce lien.Leur complexité et leur champ d’application varient énormément. Quelques exemples sontcités à la figure 3.4.

Les modèles à deux équations sont fort probablement les modèles de turbulence RANS les pluslargement utilisés. Une grande majorité des études sur l’écoulement dans les turbines hydrau-liques ont été réalisées, en partie ou en totalité, à l’aide de cette famille de modèles. D’ailleurs,dans le cadre du présent projet, c’est le seul type de modèle RANS considéré. Conséquem-ment, seulement les modèles à deux équations seront traités un peu plus en profondeur dansla présente section.

Cependant, avant d’entrer dans leur détail, il est pertinent de se familiariser avec ce qu’onappelle l’hypothèse de Boussineq. Cette hypothèse stipule que le tenseur de contraintes deReynolds peut être exprimé en fonction d’une viscosité turbulente apparente νt, tel que

− u′iu′j = νt1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)− 2

3δijk (3.18)

34

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Figure 3.4: Exemples de modèle de turbulence RANS. Le détail de ces modèles est donnédans Wilcox [72].

où δij est le delta de Kronecker et k l’énergie cinétique turbulente. Cette dernière correspondà la moitié de la trace du tenseur de contraintes de Reynolds :

k =1

2u′iu′i (3.19)

Le nombre d’inconnus est maintenant réduit de six à deux. Pour fermer le système, les modèlesà deux équations introduisent deux équations différentielles supplémentaires. La première estune équation de transport pour l’énergie cinétique turbulente k, tandis que la deuxième varieen fonction du modèle. Pour le modèle k-ε, par exemple, ce sera une équation de transportpour le taux de dissipation de l’énergie cinétique ε, alors que pour le modèle k-ω, ce sera plutôtpour la fréquence des mouvements turbulents ωt. La viscosité turbulente est alors expriméeen fonction des deux quantités transportées. Par analyse dimensionnelle, on peut montrer que[72] :

νt ∼ k2/ε , νt ∼ k/ωt (3.20)

35

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Bien que ces modèles à deux équations soient les plus populaires, il est pertinent de mentionnerqu’il existe aussi des modèles où d’autres quantités physiques turbulentes sont transportées,tels que la longueur caractéristique turbulente ou le temps de dissipation de la turbulence.

Il convient aussi d’introduire le modèle SST ("Shear-Stress Transport") de Menter [42]. Cemodèle permet de jumeler les avantages du modèle k-ε et du modèle k-ω. En effet, près desparois, le modèle k-ω est utilisé, ce qui permet de résoudre la sous-couche visqueuse. En raisonde la rigidité ("stiffness") des équations du modèle k-ε, résoudre la sous-couche visqueuses’avère beaucoup moins compliqué avec le modèle k-ω [42]. Toutefois, à l’extérieur des coucheslimites, c’est le modèle k-ε qui est plutôt utilisé, puisque le modèle k-ω est très sensible à lavaleur de ωt imposée à l’extérieur de la couche limite [39]. Le modèle SST est le modèle deturbulence RANS le plus utilisé dans le cadre du présent projet de recherche. Les détails dece modèle sont donnés dans Menter [42], tandis que les détails des modèles k-ε et k-ω sontfournis dans plusieurs ouvrages, comme Wilcox [72] par exemple.

Finalement, il est essentiel de discuter des limitations associées à l’approximation de Boussi-nesq. En observant l’équation (3.18), on constate qu’un changement brusque dans le tenseurdu taux de déformation 1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)aura un effet instantané sur le tenseur de contrainte

de Reynolds u′iu′j . Cette réaction directe et instantanée des mouvements turbulents face aux

structures de l’écoulement moyen n’est malheureusement pas réaliste. Effectivement, les struc-tures turbulentes sont sujettes à des processus de transport et d’histoire qui les obligent às’adapter graduellement aux structures cisaillées dans l’écoulement moyen. Conséquemment,les écoulements où il y a des changements brusques dans le tenseur du taux de déformationrisquent de ne pas être prédits adéquatement par les modèles faisant appel à l’hypothèse deBoussinesq [72]. De plus, cette approximation implique qu’il y a une certaine isotropie dans lesmouvements turbulents, puisque la viscosité tourbillonnaire νt est appliquée de la même façonpour toutes les composantes du tenseur de contraintes. Il en résulte que pour les écoulementsoù les composantes normales du tenseur de Reynolds sont inégales, les modèles de turbulencebasés sur l’équation (3.18) ont de la difficulté à effectuer un bon travail. C’est notamment lecas des écoulements où il y a une forte courbure des lignes de courant, comme parfois dansl’aspirateur. Il est donc légitime de se questionner sur la capacité des modèles à deux équationsà reproduire correctement l’écoulement dans le diffuseur de la turbine hydraulique.

3.3.2 Modélisation de la turbulence LES

Puisque l’approche de modélisation de la turbulence LES consiste à résoudre les structuresturbulentes de grandes échelles et à modéliser les plus petites, on viendra appliquer un filtrespatial sur les équations de Navier-Stokes, de façon à retirer les structures turbulentes dont lataille est inférieure à celles que l’on désire résoudre. Après l’application du filtre, les équations

36

Page 59: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

de Navier-Stokes prennent la forme suivante [34] :

∂ui∂xi

= 0 (3.21)

∂ui∂t

+∂

∂xj(uiuj) =

−1

ρ

∂p

∂xi+

∂xj

(ν∂ui∂xj

+ τ smij

)(3.22)

où ui est la vitesse filtrée, p la pression filtrée et τ smij le tenseur de contraintes de Reynolds sous-maille. Ce dernier représente le flux de quantité de mouvement engendré par les mouvementsturbulents de petites échelles, dont la taille est inférieure à la taille du filtre. On remarque queces équations sont très similaires à celles obtenues avec l’approche de moyennage de Reynolds(équations (3.16) et (3.17)). Tout comme en RANS, la modélisation de la turbulence en LESconsiste à exprimer les composantes du tenseur additionnel en fonction des autres termes dansles équations de Naviers-Stokes.

L’approche de fermeture la plus commune a été proposée par Smagorinsky. Tout comme plu-sieurs modèles RANS, elle repose sur un concept de viscosité tourbillonnaire. Le tenseur decontraintes de Reynolds sous-maille est donc exprimé de la façon suivante :

τ smij = νt

(∂ui∂xj

+∂ui∂xi

)+

1

3τ smkk δij (3.23)

La viscosité turbulente est ensuite exprimée en fonction de la taille du filtre ∆ et du moduledu tenseur du taux de déformation

√SijSij :

νt = (Cs∆)2√SijSij (3.24)

La constante Cs est la constante de Smagorinsky. Sa valeur doit généralement être ajustée enfonction de l’écoulement considéré, ce qui révèle une faiblesse de cette approche. Toutefois,bon nombre d’utilisateurs imposent une valeur de Cs = 0.1 [34].

Afin de pallier à cette problématique, des modèles "dynamiques" ont été proposés, de façonà ajuster la constante Cs en fonction de la solution. Même si des problèmes subsistent avecces méthodes, les résultats obtenus sont bien meilleurs que ceux produits avec le modèle deSmagorinsky [19]. Les détails de différentes procédures permettant cette approche sont décritspar Lesieur et Métais [34].

Bien que ces approches de modélisation de la turbulence sous-maille reposent sur des conceptstrès similaires à ceux utilisés avec l’approche de modélisation de la turbulence RANS, il faut

37

Page 60: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

être conscient que les paramètres décrivant la turbulence ont une signification physique dif-férente. Par exemple, en LES, νt représente le coefficient de diffusion lié uniquement auxmouvements turbulents de petites échelles, tandis qu’en RANS, il représente le coefficient dediffusion lié à l’ensemble du spectre de la turbulence. Conséquemment, ce paramètre ne seragénéralement pas du même ordre de grandeur en RANS et en LES, il sera beaucoup plusimportant avec la première approche. Ce raisonnement s’applique évidemment aux autresparamètres décrivant la turbulence modélisée, tels que la longueur caractéristique des mouve-ments turbulents lt ou le taux de dissipation de la turbulence ε.

3.3.3 Modélisation de la turbulence DES

Regardons maintenant les fondements de l’approche de modélisation de la turbulence DES.Comme il a été exposé précédemment, cette méthode est un hybride entre les approches demodélisation de la turbulence RANS et LES. En effet, elle permet de tirer avantage de laprécision qu’offre le LES loin des parois, sans nécessiter une discrétisation extrêmement fine àproximité des surfaces solides.

Le DES se base sur le concept de longueur caractéristique des mouvements turbulents. Cetteéchelle de longueur, notée lt, est du même ordre de grandeur que la dimension des plus grostourbillons turbulents.

Si les mouvements turbulents locaux ont une longueur caractéristique supérieure aux dimen-sions des cellules du maillage (∆), c’est-à-dire si lt > ∆, ils sont résolus. L’approche demodélisation de la turbulence LES est donc utilisée. Dans le cas contraire, où lt < ∆, il est im-possible de simuler le mouvement de tels tourbillons turbulents. C’est alors plutôt l’approchede modélisation RANS qui est employée dans cette région de l’écoulement.

C’est d’abord Spalart et al. [57] qui ont proposé l’idée du DES en 1997. L’approche était alorsbasée sur le modèle RANS à une équation Spalart-Allmaras. Ce modèle inclut une équationde transport pour la viscosité turbulente, tandis que la longueur caractéristique turbulenteest égale à la distance à la paroi la plus proche d. Toutefois, l’approche de modélisation dela turbulence DES vient modifier cette longueur caractéristique turbulente. Cette nouvellelongueur, d, est alors définie de la façon suivante :

d ≡ min(d,CDES∆) (3.25)

où CDES est une constante égale à 0.65. La taille du maillage est calculée de la façon suivante :

38

Page 61: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

∆ = max(∆x, ∆y, ∆z) (3.26)

Loin des surfaces solides, la longueur caractéristique des structures turbulentes modélisées estdonc limitée à la taille du maillage. Cette limitation de la longueur turbulente se répercuteen une viscosité turbulente modélisée plus faible. Par conséquent, les instabilités menant auxstructures turbulentes de grandes échelles ne sont pas amorties, ce qui permet l’émergenced’une dynamique tourbillonnaire beaucoup plus riche. On est alors en LES, la turbulence degrande échelle est simulée, tandis que les plus petites structures sont prises en charge par lemodèle. Cependant, près des parois, où d < CDES∆, le comportement du modèle RANS resteinchangé. L’ensemble du spectre local de la turbulence est modélisé.

Cette nouvelle approche de modélisation de la turbulence, qui consiste essentiellement à limi-ter la longueur caractéristique turbulente à la taille du maillage, a ensuite été appliquée aumodèle RANS SST. Toutefois, puisque la longueur caractéristique turbulente n’est pas utiliséedirectement dans les équations de transport, elle est modifiée par l’entremise du taux de dissi-pation de l’énergie cinétique turbulente [41]. On vient d’abord définir une fonction de mélangequi permet de discriminer les zones où la longueur turbulente modélisée est supérieure à lataille du maillage :

FDES = max

(lt

CDES∆, 1

), où lt =

√k

β∗ ωt(3.27)

La variable β∗ représente une constante du modèle SST et CDES = 0.61. Le taux de dissipationde l’énergie cinétique turbulente dans l’équation de transport de l’énergie cinétique turbulenteest multiplié par la fonction de mélange FDES :

ε = β∗ k ωt FDES (3.28)

Il en résulte que dans les zones où lt > CDES∆, FDES est plus grand que l’unité et le tauxde dissipation de l’énergie cinétique turbulente augmente. Puisque νt ∼ k2/ε, la viscositétourbillonnaire est réduite, ce qui se répercute en une dynamique tourbillonnaire plus riche.Cependant, tout comme avec le modèle de Spalart-Allmaras, près des parois rien n’est modifiédans le modèle RANS, puisque FDES = 1.

Malheureusement, certaines faiblesses sont associées au DES. Elles sont exposées et discutéesdans un article de Spalart [56]. La plus importante, pour la simulation de l’écoulement dans

39

Page 62: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

l’aspirateur, porte le nom de "Modeled-Stress Depletion" (MSD). Cette problématique est liéeau maillage dans la couche limite. Lorsque la longueur des mailles, dans la direction parallèleà la surface, est largement supérieure à la hauteur de la couche limite, ce qui est souvent lecas dans les simulations RANS, il n’y a pas de problème. Si le maillage est très fin et isotropedans la couche limite, il n’y aura pas de comportement indésirable non plus. La faiblesse semanifeste plutôt pour les maillages "ambigus", qui se situent entre ces deux extrêmes.

En effet, si la taille des mailles dans la direction parallèle à la paroi est légèrement inférieureà la hauteur de la couche limite, le mode LES sera activé (lt > CDES∆). Cependant, larésolution spatiale ne sera pas suffisante pour résoudre correctement les structures turbulentesdans cette zone. Conséquemment, la viscosité turbulente du modèle sera abaissée, sans queles mouvements turbulents simulés n’engendrent de transport de quantité de mouvement versles parois. Le cisaillement pariétal sera alors trop faible et il y aura risque de séparation de lacouche limite. C’est ce qui est appelé "Grid Induced Separation" (GIS).

Pour pallier au problème, Menter et Kuntz [40] ont proposé de modifier la fonction de mélangeprésentée à l’équation (3.27), de façon à ce que la couche limite soit prise en charge par lemodèle RANS, même si un maillage problématique est utilisé. Elle prend maintenant la formesuivante :

FDES = max

(lt

CDES∆(1− FSST ) , 1

), avec FSST = 0, F1, F2 (3.29)

où F1 et F2 correspondent aux fonctions de mélange du modèle SST. Sommairement, cesfonctions permettent de discriminer les zones prises en charge par le modèle de turbulence k-ε,à l’extérieur de la couche limite, et par le modèle k-ω, à proximité des surfaces solides (voirMenter [42] pour le détail de ces fonctions de mélange). Par conséquent, dans la couche limite,où FSST = 1, FDES sera toujours égal à 1, même si lt > CDES∆.

Puisque cette approche peut uniquement être utilisée avec le modèle SST, Spalart et al. [54]ont ensuite proposé une stratégie similaire, nommée DDES ("Delayed Detached-Eddy Simu-lation"). Essentiellement, en DDES, si les échelles de la turbulence modélisée sont du mêmeordre de grandeur que la distance à la paroi, on force l’utilisation de l’approche RANS, peuimporte le maillage. Cette approche a l’avantage de pouvoir être utilisée avec tous les modèlesRANS faisant usage du concept de viscosité turbulente.

Finalement, il est pertinent de spécifier que dans le cadre du présent projet de recherche,seulement la formulation DES-SST de Menter et Kuntz [40] est utilisée, tout simplementparce que c’est la seule disponible dans ANSYS CFX.

40

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Chapitre 4

État de l’art en simulation del’écoulement dans l’aspirateur

En raison de sa complexité, la modélisation de l’écoulement dans l’aspirateur présente un défiimportant. Conséquemment, cette problématique a fait l’objet de nombreuses études dans lepassé. Au cours de la dernière décennie, notamment, de nombreux travaux ont été effectuésafin d’améliorer la prédiction des performances et des phénomènes physiques prenant placedans cette composante. Les conclusions qui ont pu être tirées de ces études sont donc résuméesdans ce chapitre.

Étant donné que le présent projet de recherche est axé sur l’évaluation d’une approche demodélisation de la turbulence avancée, les études qui ont tenté d’évaluer différentes approchesde modélisation de la turbulence sont d’abord présentées. Ensuite, puisque les conditionsd’entrée jouent un rôle prépondérant dans l’étude actuelle, on discute des travaux visant àévaluer l’impact de différents paramètres les caractérisant.

4.1 Modélisation de la turbulence

La séparation de la couche limite, la rotation de l’écoulement et la courbure importante deslignes de courant sont tous des phénomènes qui peuvent prendre place dans l’aspirateur. Tou-tefois, ces caractéristiques de l’écoulement posent problème aux approches de modélisationde la turbulence faisant l’utilisation de l’approximation de Boussinesq [72]. Il n’est donc passurprenant que plusieurs chercheurs se soient penchés sur le problème.

Tout d’abord, en 2002, Mauri [37] a comparé le modèle de turbulence k-ε au modèle k-ω,

41

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ainsi qu’au modèle de transport des tensions de Reynolds RSM-LRR. 1 Ses essais, effectuéssur l’aspirateur du projet FLINDT [3], lui permettent d’arriver à la conclusion que même si lesmodèles de turbulence plus avancés présentent un potentiel intéressant, c’est le modèle k-ε quipermet d’obtenir les résultats les plus près des mesures expérimentales. Il souligne toutefoisque le code qu’il a utilisé ne permet pas d’imposer chaque composante du tenseur de Reynoldsà l’entrée du domaine de calcul lorsqu’il utilise le modèle RSM-LRR.

Quelques années plus tard, en 2005, Paik et al. [47] ont comparé l’approche de modélisationURANS à l’approche de modélisation DES dans un aspirateur de turbine hydraulique. Avec lesdeux approches, le modèle de turbulence à une équation de Spalart-Allmaras a été utilisé. Desconditions limites stationnaires et axisymétriques ont été imposées à l’entrée de l’aspirateur.Un seul point de fonctionnement a été simulé, à faible charge, où la structure tourbillonnaire aucentre de l’aspirateur est très intense. Bien qu’aucune mesure de performance ne soit présentée,ils arrivent à quelques conclusions intéressantes. Tout d’abord, ils indiquent que malgré lacondition d’entrée stationnaire, les deux approches, URANS et DES, permettent de capterune dynamique instationnaire riche et complexe. De plus, ils arrivent à reproduire assez bienles profils de vitesse expérimentaux dans les pertuis, autant en URANS qu’en DES. Finalement,ils soulignent que le DES permet de prédire davantage de mouvements instationnaires et destructures tourbillonnaires dans la trompette de l’aspirateur que le URANS.

Également en 2005, de nombreux articles sur le sujet ont paru dans le cadre de l’atelier Turbine99 [11], qui portait sur une turbine de type Kaplan à axe vertical.

Tout d’abord, Cervantes et Engström [10] ont comparé un modèle de turbulence algébriqueaux modèles k-ε et SST. Les maillages utilisés avaient environ un million de noeuds. Pourle modèle SST, les valeurs de y+ à la paroi étaient environ d’un, alors qu’ils étaient plutôtde l’ordre de 50 pour les deux autres modèles. Ils arrivent à la conclusion que le modèle deturbulence employé a peu d’impact sur la prédiction des performances de l’aspirateur. C’esttoutefois le modèle SST qui s’approche le plus de la valeur du coefficient de récupérationmesurée expérimentalement. Avec les deux modèles à deux équations, ils notent également laprésence d’une zone de séparation sur la pointe de roue de la turbine axiale. Cependant, laséparation semble prendre davantage d’ampleur avec le modèle SST.

Ensuite, Tokyay et Constantinescu [63] ont tenté de comparer les modèles RANS à deuxéquations k-ε et SST à l’approche de modélisation LES. Toutefois, il est important de spécifierque la simulation LES a été réalisée à un nombre de Reynolds plus bas que celui des simulationsRANS. Cependant, le calcul LES ne faisait pas appel à une loi de paroi ou à une autre approchede modélisation de la turbulence dans les couches limites. Le modèle sous-maille utilisé étaitun modèle dynamique de Smagorinsky. D’abord, contrairement à l’étude mentionnée dans le

1. Le lecteur intéressé à connaître les détails de ce modèle peut consulter Launder et al. [31] ou Wilcox [72].

42

Page 65: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

paragraphe précédent, ils constatent des différences significatives entre les modèles k-ε et SST.Effectivement, des structures d’écoulement différentes émergent de la pointe de roue, ce qui serépercute inévitablement sur les performances de l’aspirateur. Le modèle SST prédit une valeurdu coefficient de récupération d’environ 20% plus élevée que le modèle k-ε. Malheureusement,au moment de publier l’article, la simulation LES était en cours et peu de conclusions ontpu être tirées à ce sujet. Aucune mesure de la performance de l’aspirateur en LES n’estprésentée. Toutefois, les visualisations de l’écoulement présentent une dynamique d’écoulementinstationnnaire riche et complexe.

Toujours dans le cadre de l’atelier Turbine 99 [11], Kurosawa et Nakamura [30] ont produitune étude intéressante qui avait pour objectif de comparer plusieurs approches de modélisationde la turbulence. En effet, une simulation effectuée avec le modèle k-ε était comparée à unesimulation utilisant un modèle de transport des tensions de Reynolds, ainsi qu’à deux simu-lations LES, utilisant les modèles sous-maille de Smagorinsky et de Smagorinsky dynamique.Toutes les approches faisaient l’utilisation d’une loi de paroi et un maillage d’environ un mil-lion de noeuds a été utilisé dans tous les cas. Autant les comparaisons des champs de vitessedans l’aspirateur que les mesures du coefficient de récupération indiquaient que les résultatsles plus fidèles à la réalité étaient obtenus avec l’approche de modélisation LES et le modèlesous-maille de Smagorinsky dynamique.

Par la suite, en 2007, Stein [58] a étudié l’effet du modèle de turbulence sur la prédiction de lastructure tourbillonnaire dans un diffuseur droit ayant la même loi de section que l’aspirateurdu projet FLINDT [3]. Les maillages utilisés dans cette étude comptaient 77 000 noeuds et 750000 noeuds. Il a comparé les résultats obtenus avec le modèle à deux équations SST, un modèlede transport des tensions de Reynolds et l’approche de modélisation DES. Il observe d’abordque le modèle SST peut seulement capter la structure tourbillonnaire si elle est déjà présentedans la solution initiale. Ce n’est pas le cas du modèle de transport des tensions de Reynoldset du DES, qui permettent de bien reproduire la structure tourbillonnaire dans le diffuseur,peu importe la solution initiale. Toutefois, l’utilisation du DES engendre la formation de pluspetites structures dans le diffuseur, ce qui n’est pas le cas avec les deux autres approches. Ilconclut que l’approche de modélisation de la turbulence DES présente un grand potentiel, maisétant donné le coût élevé lié à l’utilisation de cette méthode et le manque d’études validantl’approche, il préfère utiliser le modèle de transport des tensions de Reynolds.

Gyllenram et al. [23], en 2008, ont testé dans l’aspirateur du projet FLINDT [3] l’approchede modélisation de la turbulence DES, l’approche LES, ainsi qu’une formulation filtrée dumodèle SST qu’ils ont développée. Cette approche de filtrage, décrite en détail par Gyllenramet Nilsson [21], est similaire au DES. En effet, elle permet de comparer les échelles de temps etde longueur de la turbulence modélisée aux échelles de temps et de longueur que le maillage etle pas de temps permettent de résoudre. Dans le cas où les échelles modélisées sont plus grandes

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que les échelles qui peuvent être résolues, elles sont remplacées par les échelles de longueur etde temps du maillage et du pas de temps. L’approche de modélisation DES était utilisée avecle modèle à deux équations SST, tandis que les simulations LES faisaient usage du modèlesous-maille de Smagorinsky. Dans cette étude, le maillage de l’aspirateur comptait légèrementplus de 3 millions de noeuds et des conditions d’entrée axisymétriques, correspondant à unpoint de fonctionnement à charge partielle, ont été imposées. De plus, il est pertinent de noterqu’une loi de paroi a été utilisée avec toutes les approches de modélisation de la turbulence.Malheureusement, seulement des mesures expérimentales de pression aux parois permettaientd’évaluer les différentes approches employées. Les fréquences principales qui ressortaient desessais expérimentaux ont été assez bien reproduites avec tous les modèles. Toutefois, aucund’eux ne semblait faire un meilleur travail que les autres. Ils mentionnent cependant que leurmodèle SST filtré faisait un meilleur travail dans un écoulement similaire à un nombre deReynolds plus bas.

En 2010, Duprat [17] a développé une loi de paroi permettant de prendre en compte lesgradients de pression adverses [16]. Il a ensuite utilisé cette loi de paroi avec l’approche demodélisation de la turbulence LES dans le même aspirateur que celui qui est étudié dans lecadre du présent projet de recherche. Des profils de vitesse axisymétriques ont été imposés àl’entrée de l’aspirateur. Des fluctutions aléatoires (bruit blanc) de vitesse ont aussi été impo-sées. L’intensité des fluctuations était déterminée par le profil d’énergie cinétique turbulenteexpérimental. Le maillage comptait 1.5 millions de noeuds. Malgré le fait que les simulationssoient seulement effectuées sur environ cinq tours de roue, il semble arriver à reproduire de fa-çon adéquate la courbe de coefficient de récupération. Cependant, il indique que pour tous lespoints de fonctionnement simulés, l’écoulement dans l’aspirateur semble être dans une confi-guration accidentée, c’est-à-dire dans une configuration correspondant à l’état de l’écoulementaprès la baisse marquée de rendement près du meilleur point de fonctionnement. Malheureu-sement, il ne compare pas sa méthodologie avec des résultats obtenus avec d’autres approchesde modélisation de la turbulence. Il est donc impossible de déterminer si le LES procure unavantage par rapport aux méthodes de modélisation de la turbulence moins avancées.

Ensuite, Bélanger-Vincent [4] a comparé l’approche de modélisation de la turbulence DESaux approches RANS et URANS dans un aspirateur de turbine Francis. Les simulations DESont été effectuées avec les modèles de Spalart-Allmaras et SST aux parois. Les simulationsRANS et URANS ont été effectuées avec les modèles de Spalart-Allmaras, SST et k-ε. Pourl’approche de modélisation DES, le maillage comptait plus de 6 millions d’éléments, tandis quele maillage utilisé pour les modèles RANS en comptait moins de un milllion. Les simulationsont été effectuées pendant 48 tours de roue. En terme de performance de l’aspirateur, les dif-férentes approches de modélisation de la turbulence ont toutes générées une courbe des pertessemblable. Il souligne toutefois qu’une condition d’entrée plus riche pourrait venir modifier ce

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constat. De plus, les simulations qu’il a effectuées ont révélé que le DES permettait de capterun contenu instationnaire beaucoup plus riche que le URANS et ce, pour un coût de calculsimilaire, lorsqu’une loi de paroi était utilisée.

En 2011, Mulu et al. [44] ont comparé plusieurs modèles de turbulence RANS dans un as-pirateur de turbine Kaplan. Deux formulations du modèle k-ε, le modèle SST, ainsi que lesmodèles de transport des tensions de Reynolds SSG RSM et BSL RSM ont été mis à l’essai.Le maillage comptait environ 3.7 millions de noeuds et une loi de paroi était utilisée. Lorsqueles profils de vitesse axiale et tangentielle expérimentaux étaient imposés à l’entrée de l’aspi-rateur, avec une vitesse radiale nulle, les modèles RSM semblaient mieux capter la structuretourbillonnaire sous la roue. Cependant, quand les simulations d’aspirateur étaient coupléesavec les simulations de roue et de distributeur, les résultats se sont montrés insensibles aumodèle de turbulence employé.

Finalement, en 2012, dans le même aspirateur, ils ont effectué des simulations instationnairesavec l’approche de modélisation de la turbulence URANS [43]. Dans cette étude, le domainede calcul incluait toutes les directrices, l’ensemble de la roue, ainsi que l’aspirateur. Au total,le maillage comptait près de 11 millions de noeuds, tandis que le pas de temps utilisé corres-pondait à environ 1 de rotation de la roue. La période de simulation était de 10 secondes,soit presque 140 tours de roue. Deux formulations du modèle k-ε, le modèle SST, ainsi que lemodèle SAS étaient comparés. Avec tous les modèles, l’évolution du coefficient de récupérationdans l’aspirateur semble assez bien prédite au meilleur point de fonctionnement. Les champsde vitesse moyennés dans le temps n’indiquent pas la supériorité d’un modèle par rapportaux autres non plus. Encore une fois, toutes les approches produisent des résultats similaires.Toutefois, ils notent que les résultats instationnaires représentent mieux les données expéri-mentales près du cône de roue que les résultats stationnaires obtenus en simulant uniquementun passage de directrice et un passage de roue. Ils comparent aussi les champs de vitesse enmoyenne de phase sous la roue. Ils concluent que le modèle SAS fait un travail médiocre com-parativement aux autres approches. Ils mentionnent également que le modèle SST permet demieux capter l’effet du jeu de bout d’aube que les deux formulations du modèle k-ε.

En somme, il ne semble pas avoir de modèle de turbulence RANS qui performe clairementmieux que les autres. Effectivement, alors que Cervantes et Engström [10] et Mulu et al. [44]ne perçoivent pas de différences notables entre les résultats obtenus avec les modèles à deuxéquations qu’ils ont testés, Tokyay et Constantinescu [63] observent des écarts importants entreles modèles SST et k-ε. Pour ce qui est des modèles de transport des tensions de Reynolds,Stein [58] et Mulu [43] remarquent un gain lié à leur utilisation, ce qui est en contradictionavec les conclusions de Mauri [37].

En ce qui à trait aux approches de modélisation de la turbulence plus avancées, telles le DES

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et le LES, seulement l’étude de Kurosawa et Nakamura [30] semble clairement montrer un gainengendré par leur utilisation. Toutefois, cette conclusion n’est pas corroborée par les travauxde Bélanger-Vincent [4], qui montrent qu’avec des conditions d’entrée stationnaire, le DES nepermet pas de mieux prédire la courbe de pertes que le URANS. Les autres études traitantde ce sujet sont plus nébuleuses quant au potentiel de ces méthodes pour mieux prédire lesperformances de l’aspirateur. Cependant, la grande majorité d’entre elles révèlent que cesméthodes permettent de capter une dynamique instationnaire de l’écoulement beaucoup plusriche qu’avec les approches RANS et URANS.

4.2 Conditions limites à l’entrée de l’aspirateur

L’écoulement à l’entrée de l’aspirateur est complexe ; il doit être imposé correctement à l’entréedu domaine de calcul pour que la physique en aval soit reproduite adéquatement. Les troiscomposantes du vecteur vitesse, ainsi que les quantités nécessaires au modèle de turbulencedoivent être prescrites.

Cependant, certaines incertitudes peuvent être liées à ces valeurs. Cela est particulièrementvrai pour la composante radiale de la vitesse et pour les quantités turbulentes. Les étudestraitant de ces aspects sont donc présentées ici. De plus, il a été jugé pertinent de présenterles travaux abordant la question de l’effet du moyennage circonférentiel de la vitesse et de laturbulence dans le plan d’entrée.

4.2.1 Profil de vitesse radiale

Quelques études ont révélé l’influence importante qu’a le profil de vitesse radiale à l’entrée del’aspirateur.

En premier lieu, on peut mentionner l’analyse factorielle effectuée par Cervantes et Engström[9]. Celle-ci avait pour objectif d’évaluer l’impact de différents paramètres difficiles à estimerlors de la simulation de l’écoulement dans l’aspirateur. Les paramètres inclus dans cette étudesont la longueur caractéristique turbulente, le profil de vitesse radiale, la rugosité des parois etfinalement, le maillage. C’est le profil de vitesse radiale qui s’est avéré avoir le plus d’influencesur le coefficient de récupération et sur les pertes dans l’aspirateur. Il est pertinent de men-tionner que les essais ont été menés sur l’aspirateur étudié dans le cadre de l’atelier Turbine99 [11]. Les maillages utilisés avaient un nombre de cellules variant entre 300 000 et 700 000et le modèle de turbulence employé était k-ε.

Les travaux de Payette [50] ont également révélé la grande importance du profil de vitesseradiale. Des simulations numériques dans la géométrie du diffuseur conique de l’ERCOFTAC

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ont démontré qu’une mauvaise vitesse radiale, par l’entremise de l’équation de continuité, peutaltérer drastiquement le profil de vitesse axiale. Conséquemment, les zones de séparation dela couche limite et les performances du diffuseur peuvent être mal prédites.

Donc, de toute évidence, malgré sa faible amplitude, une attention particulière doit être ac-cordée à une bonne représentation du profil de vitesse radiale.

4.2.2 Quantités turbulentes

Lorsque des modèles de turbulence à deux équations sont utilisés, deux paramètres permet-tant de décrire la turbulence doivent être imposés à l’entrée du domaine, en plus des troiscomposantes du vecteur vitesse. Certaines études montrent que les valeurs de ces quantitéspeuvent altérer significativement la topologie de l’écoulement dans l’aspirateur.

Mauri [37], sur l’aspirateur du projet FLINDT [3], a testé séparement l’effet de la longueurcaractéristique turbulente et de l’énergie cinétique turbulente imposées à l’entrée. Il est arrivéà la conclusion que la longueur caractéristique turbulente a une influence importante et que lesmeilleurs résultats étaient obtenus avec une longueur caractéristique correspondant à 0.001D.Pour ce qui est de l’énergie cinétique turbulente, il observe que le coefficient de récupérationet que la topologie de l’écoulement sont peu affectés par ce paramètre. Les essais permettantd’arriver à ces conclusions ont été réalisés avec le modèle de turbulence k-ε sur un maillaged’environ 350 000 noeuds.

Payette et al. [49] ont également remarqué l’influence des quantités turbulentes à l’entrée dudomaine. Ils soulignent qu’utiliser une longueur caractéristique turbulente de 0.1D a poureffet d’uniformiser l’écoulement de façon exagérée et d’ainsi conduire à une sous-estimationdes pertes dans l’aspirateur. Ces conlusions ont été tirées avec le modèle de turbulence SST,sur un maillage de près de deux millions de noeuds.

Finalement, Vu et al. [69], également sur l’aspirateur du projet FLINDT [3], ont fait l’essai detrois longueurs caractéristiques turbulentes, de 0.01D, 0.005D et 0.0025D. Un profil d’énergiecinétique turbulente expérimental a été imposé conjointement à ces valeurs. Ils concluentqu’une valeur de 0.005D pour la longueur caractéristique turbulente s’avère être le meilleuréquilibre entre la stabilité numérique et la capacité à capter correctement les structures del’écoulement. Les simulations ont été réalisées avec le modèle de turbulence k-ε, sur un maillagede 675 000 noeuds.

Il ressort de ces études qu’une longueur caractéristique turbulente de l’ordre de quelquesdixièmes de pourcent du diamètre de la roue semble adéquate pour reproduire l’écoulementcorrectement dans l’aspirateur. En ce qui concerne l’effet du niveau de l’intensité de l’énergiecinétique turbulente, seule l’étude de Mauri [37] fournit une conclusion claire, qui indique son

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faible impact.

4.2.3 Profils instationnaires

Lorsque des simulations stationnaires de l’aspirateur sont effectuées, il est nécessaire d’imposerdes conditions d’entrée ne variant pas dans le temps. Des profils de vitesse et de quantitésturbulentes moyennés circonférentiellement sont alors généralement prescrits à l’entrée dudomaine. Cependant, pour des simulations instationnaires, il est plus cohérent et réalisted’imposer des champs physiques en rotation, qui varient dans le temps. Certaines études ontdonc été effectuées, afin d’évaluer l’impact que peuvent avoir les structures d’écoulement enmouvement à la sortie de la roue, négligées lorsque des profils axisymétriques sont imposés.

En premier lieu, Mauri [37] a constaté un amortissement rapide et non-physique des fluctua-tions de vitesse associées aux structures d’écoulement provenant de la roue. Ses essais ontété réalisés sur un cône d’un peu moins de 2 millions de noeuds. Toutefois, il observe queles structures d’écoulement sont conservées si la fréquence de rotation est réduite d’un fac-teur 10. L’effet du modèle de turbulence n’est pas clair, puisqu’il mentionne que les quantitésturbulentes sont négligeables dans ses simulations. Étant donné cette disparition hâtive desstructures, il ne discute pas de leur effet sur l’écoulement en aval, dans l’aspirateur.

Dans le cadre de l’atelier Turbine 99 [11], Kurosawa et Nakamura [30] ont comparé les ré-sultats provenant de simulations réalisées avec des conditions d’entrée axisymétriques et 2-D.Les calculs, effectués avec l’approche de modélisation de la turbulence LES et un maillaged’un million de noeuds, ont révélé des différences sur le coefficient de récupération. Toutefois,ils attribuent ces écarts à un coefficient de moment cinétique moyen différent avec les deuxapproches et non aux structures d’écoulement qui émergent de la roue. Par contre, ils captentmieux la torche de charge partielle avec les conditions d’entrée en rotation. Ils attribuentcela aux conditions limites instationnaires et non à la différence sur le coefficient de momentcinétique moyen.

Marjavaara et al. [35] ont fait une étude similaire, sur le même aspirateur et avec les mêmesconditions d’entrée. Toutefois, ils ont utilisé une approche de modélisation de la turbulenceDES. Un maillage d’un million de noeuds, permettant de résoudre l’écoulement jusqu’à laparoi, a été utilisé. Avec les conditions d’entrée axisymétriques, un pas de temps d’environ undemi-tour de roue a été utilisé, alors qu’un pas de temps plus fin, d’environ 4 de rotation de laroue, a été employé avec les conditions d’entrée 2-D. Tout d’abord, ils concluent que les princi-pales structures d’écoulement sont les mêmes avec les deux approches. Toutefois, ils constatentdes différences sur le coefficient de récupération de l’aspirateur. En effet, les conditions d’en-trée instationnaires permettent de s’approcher un peu plus de la valeur expérimentale que lesconditions axisymétriques.

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Quelques années plus tard, toujours dans l’aspirateur de l’atelier Turbine 99 [11], Cervanteset al. [8] ont imposé des conditions d’entrée 2-D en rotation à l’entrée du domaine. Ils arrivent àbien reproduire les fluctuations de pression dans le cône, particulièrement lorsque leur maillagele plus fin, de 6 millions de noeuds, est utilisé. Toutefois, ils soulignent que même ce maillageest trop grossier, donc trop diffusif, pour reproduire les sillages correctement. Cependant, ilsconstatent que la discrétisation spatiale a peu d’influence sur les profils de vitesse moyens. Ilsconcluent que les conditions d’entrée instationnaires ne semblent pas affecter la topologie del’écoulement, mais que cela pourrait être causé par une diffusion numérique trop importante.

Bélanger-Vincent [4] a également tenté d’imposer des conditions limites instationnaire à l’en-trée de l’aspirateur. Ses simulations ont été réalisées avec l’approche de modélisation de laturbulence DES. Il constate d’abord que les sillages d’aubes se dissipent rapidement sous leplan d’entrée de l’aspirateur. Il observe aussi que la topologie de l’écoulement est très sem-blable à celle obtenue avec des conditions d’entrée axisymétrique. De plus, la prédiction de laperformance n’est pas affectée de façon significative. Il conclut donc que des conditions limitesinstationnaires à l’entrée ont peu d’influence sur la solution. Cependant, il soulève l’idée qu’unniveau de viscosité tourbillonnaire plus bas dans le plan d’entrée, mieux adapté à l’approchede modélisation de la turbulence DES, pourrait venir renverser les conclusions qu’il a tirées.

En somme, ces études semblent généralement indiquer que les conditions d’entrée instation-naires ont peu d’influence sur la solution. Toutefois, les travaux de Mauri [37], de Cervanteset al. [8] et de Bélanger-Vincent [4] laissent présager que les conclusions pourraient être diffé-rentes, si la diffusion dans le calcul était moins importante.

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Chapitre 5

Conditions limites à l’entrée del’aspirateur

Les conditions limites imposées à l’entrée de l’aspirateur jouent un rôle fondamental lors de lasimulation numérique de l’écoulement dans cette composante, et ce, peu importe l’approchede modélisation de la turbulence employée. Il est donc impératif de décrire de façon adéquatel’écoulement à la sortie de la roue pour obtenir des résultats de qualité.

Tout d’abord, afin de bien saisir la nature de l’écoulement à l’entrée de l’aspirateur, une analysede ses caractéristiques est faite, en se basant sur les données expérimentales présentées dans lathèse de Tridon [65]. Ensuite, la méthodologie utilisée pour l’acquisition de conditions d’entréenumériques est exposée. Finalement, les conditions d’entrée obtenues par simulation numériquesont analysées et comparées aux mesures expérimentales.

5.1 Description de l’écoulement à l’entrée de l’aspirateur

À la sortie de la roue, l’écoulement est particulièrement complexe. En effet, il est non-uniforme,tridimensionnel et instationnaire. Les mesures expérimentales effectuées par Tridon [65] per-mettent d’effectuer une bonne analyse des caractéristiques de l’écoulement sous la roue.

Tous les champs physiques présentés dans cette section ont été mesurés à 0.529D sous l’axedistributeur. L’emplacement de ce plan de mesure est illustré à la figure 5.1. Quatre points defonctionnement, correspondant à quatre angles d’ouverture des directrices différents, ont faitl’objet de mesures expérimentales. Les caractéristiques de ces points d’opération sont résuméesau tableau 5.1.

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Page 74: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 5.1: Position du plan de mesure des champs physiques présentés à la section 5.1, placéà 0.529D sous l’axe distributeur.

Table 5.1: Caractéristiques des points de fonctionnement ayant fait l’objet de mesures expé-rimentales.

Nom φ/φOpt ψ/ψOpt

γI 0.98 1.05γII 0.99 1.05γIII 1.01 1.05γIV 1.04 1.05

5.1.1 Profils de vitesse moyennés dans le temps et circonférentiellement

Tout d’abord, pour avoir une idée globale des caractéristiques de l’écoulement, on peut observerles champs de vitesse moyennés dans le temps et circonférentiellement. Les profils de vitesseaxiale et tangentielle présentés à la figure 5.2 ont été mesurés sur trois diamètres, c’est-à-diresur six rayons, à l’aide d’un appareil de mesure LDV ("Laser Doppler Velocimetry"), et ce,pour quatre coefficients de débit différents. Les axes de mesure sont placés à 0.529D sous l’axedistributeur, ce qui correspond à 0.131D sous la roue. Ces six rayons de mesure ont ensuiteété moyennés, de façon à obtenir des profils variant seulement en fonction du rayon. Pour plusde détail sur la méthodologie expérimentale, le lecteur doit se référer à la thèse de Tridon [65].

La vitesse radiale a seulement été mesurée avec un appareil de mesure PIV ("Partical ImageVelocimetry"). Les profils présentés à la figure 5.3 montrent la vitesse radiale en fonction durayon pour quatre coefficients de débit. Les profils de vitesse sont moyennés circonférentielle-ment, à partir d’un plan de mesure horizontal, également situé à 0.529D sous l’axe distribu-

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Page 75: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 5.2: Profils de vitesse tangentielle et axiale mesurés par LDV 0.529D sous l’axe dis-tributeur.

teur. Ce plan de mesure fournit les composantes radiales et tangentielles de la vitesse pourune phase, c’est-à-dire une position angulaire de la roue. Encore une fois, le lecteur peut seréférer à la thèse de Tridon [65] pour davantage d’information sur la méthode expérimentale.

Figure 5.3: Profils de vitesse radiale mesurés par PIV 0.529D sous l’axe distributeur.

On peut d’abord observer qu’à un coefficient d’énergie ψ constant, l’augmentation du débittraversant la machine est accompagnée d’une diminution de la vitesse tangentielle à la sortie

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Page 76: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 5.4: Illustration de l’évolution des triangles de vitesse à la sortie de la roue avecl’augmentation du débit.

de la roue. Cela n’est guère surprenant, étant donné que la roue tourne à vitesse constante etque ses aubes sont fixes. En effet, en assumant que la couche limite reste attachée sur toutel’aube, ce qui est fort probable près du meilleur point de fonctionnement, l’écoulement quitteratoujours la roue avec l’angle du bord de fuite des aubes, peu importe le débit. Donc, à plusforte charge, la vitesse axiale sera plus grande, mais la vitesse tangentielle relative à l’aube,qui elle est négative, le sera aussi. Il en résulte alors une diminution de la vitesse tangentielleabsolue. Ce raisonnement est illustré à la figure 5.4.

Plus près du centre, environ lorsque r/R < 0.2, l’écoulement n’est plus dirigé par les aubesde la roue. Il aura alors tendance à conserver sa quantité de mouvement angulaire ruθ jusqu’àce que les effets visqueux deviennent importants, à environ r/R < 0.05. Tel que soulevé parSusan-Resiga et al. [59], le profil de vitesse tangentielle dans cette zone prend la forme de celuid’un tourbillon de Burgers.

En ce qui a trait à la vitesse axiale, on note clairement que sa distribution varie aussi avecle débit. En effet, à plus forte charge, une région de grande vitesse débitante se forme aucentre du cône de l’aspirateur. Ce comportement est étroitement lié au comportement de lavitesse tangentielle. En effet, une analyse des ordres de grandeur des termes des équations deNavier-Stokes effectuée par Gyllenram et al. [22] montre que pour un écoulement turbulenten rotation dans un conduit cylindrique ou légèrement divergent, l’équation de quantité demouvement dans la direction radiale prend la forme suivante :

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ρu2θ

r=∂p

∂r(5.1)

La vitesse tangentielle importante au centre de l’écoulement a donc pour effet de créer ungradient de pression radial. Une zone de basse pression apparaît donc au centre du cônede l’aspirateur et elle est amplifiée par une plus grande vitesse tangentielle, donc par unecirculation accrue du tourbillon central. Cette zone de basse pression favorise l’apport dedébit vers le centre de l’écoulement. Ce profil jet de la vitesse axiale au coeur de l’écoulement,amplifié par l’augmentation de la vorticité du tourbillon, a également été observé par Leibovich[32]. Ce dernier étudiait le phénomène d’éclatement tourbillonaire dans un conduit cylindriquealimenté par un écoulement radial mis en rotation par des aubes mobiles.

La moyenne circonférentielle et temporelle de la vitesse radiale change très peu entre lesdifférents points d’opération. Celle-ci est principalement dictée par la forme divergente ducône d’aspirateur, qui ne change évidemment pas en fonction du coefficient de débit. Eneffet, près de la paroi, l’écoulement aura à peu près le même angle que le demi-angle ducône d’aspirateur. Cela découle des hypothèses de couche limite, qui stipulent que la vitessenormale à la paroi est négligeable devant la vitesse tangentielle à la paroi [70]. À r = 0,la moyenne circonférentielle de la vitesse radiale doit obligatoirement tendre vers 0. Le cascontraire indiquerait la présence d’une discontinuité dans le champ de vitesse, ce qui n’estévidemment pas physique. Il est pertinent de noter que cette condition s’applique égalementà la vitesse circonférentielle.

5.1.2 Caractéristiques turbulentes moyennées circonférentiellement

Maintenant, observons les caractéristiques de la turbulence mesurées expérimentalement. Toutcomme pour les profils de vitesse, les mesures des profils de turbulence ont été effectuées 0.529D

sous l’axe distributeur pour quatre coefficients de débit. Les fluctuations de vitesse axiale ettangentielle ont été mesurées à l’aide d’un appareil de mesure LDV sur trois diamètres [65].Seules les composantes < u′z

2 >, < u′θ2 > et < u′zu

′θ > sont ainsi disponibles. Les moyennes

des mesures effectuées sur ces six rayons sont présentées à la figure 5.5. Les valeurs sontnormalisées par la vitesse débitante moyenne au carré.

Dans sa thèse, Tridon [65] ne mentionne pas avoir soustrait aux mesures les fluctuations liées aupassage des aubes de la roue. On peut donc supposer qu’une partie importante des fluctuationsmesurées près de la paroi correspondent aux variations de vitesse engendrées par le passage desaubes. Cela semble d’autant plus vrai lorsque l’on observe le profil de la composante < u′zu

′θ >.

À environ 0.2 < r/R < 0.6, elle est nulle, ce qui laisse fortement supposer que la turbulence estisotrope dans cette zone. Toutefois, au-delà de r/R = 0.6, on voit qu’elle gagne en importance,

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0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Figure 5.5: Composantes du tenseur de Reynolds mesurées expérimentalement à l’aide d’unappareil de mesure LDV 0.529D sous l’axe distributeur.

ce qui indique la présence d’une certaine cohérence dans les mouvements turbulents. Il ne seraitguère surprenant que cette cohérence origine des structures d’écoulement associées au passagedes aubes, qui sont justement éjectées de la roue à 0.6 < r/R < 1.

Près de centre du cône, on aperçoit aussi des fluctuations de vitesse très importantes. Cesfluctuations découlent fort possiblement de la structure tourbillonnaire observée sur les profilsde vitesse moyenne. Cette dernière semble être particulièrement agitée à plus grand débit,après la chute de rendement (φ/φOpt > 1).

En supposant que la turbulence est isotrope dans le plan (r, θ), c’est-à-dire que < u′θ2 >=<

u′r2 >, on peut estimer le profil d’énergie cinétique turbulente. En effet, puisque la trace du

tenseur de Reynolds correspond au double de l’énergie cinétique turbulente [14] :

k =< u′z

2 > + < u′θ2 > + < u′r

2 >

2(5.2)

le profil d’énergie cinétique peut être estimé avec la relation suivante :

k =< u′z

2 > +2 < u′θ2 >

2(5.3)

Les profils des composantes du tenseur de Reynolds présentés à la figure 5.5 laissent présa-ger une turbulence isotrope au coeur de l’écoulement, ce qui vient appuyer l’hypothèse del’équation (5.3). Cependant, plus près des parois, la composante non nulle < u′zu

′θ > indique

l’anisotropie de la turbulence dans le plan (θ, z). Il est donc probable qu’elle le soit égalementdans le plan (r, θ). La composante < u′r

2 > risque donc d’être différente des composantes< u′z

2 > et < u′θ2 >. Puisque la composante radiale de la vitesse moyenne est inférieure

aux deux autres, on peut penser que les fluctuations qui y sont associées le seront aussi.

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Figure 5.6: Profil d’énergie cinétique turbulente adimensionnée par l’énergie cinétique asso-ciée à la vitesse débitante moyenne 0.529D sous l’axe distributeur.

Par conséquent, l’énergie cinétique turbulente risque d’être légèrement surestimée au-delà der/R = 0.6.

La figure 5.6 nous montre donc le profil moyen d’énergie cinétique turbulente calculée avecl’équation (5.3) et adimensionnée par l’énergie cinétique associée à la vitesse débitante moyenne.

5.1.3 Débalancement de l’écoulement

Les mesures PIV de vitesse tangentielle et radiale effectuées par Tridon [65] sur un planhorizontal placé 0.529D sous l’axe distributeur montrent clairement que l’écoulement n’est pasaxisymétrique. En effet, sur la figure 5.7, on note des variations circonférentielles importantes,autant pour la vitesse radiale que tangentielle.

Il est important de noter que les mesures expérimentales ne couvrent pas l’ensemble de l’airede passage. Les zones dans les encadrés noirs de la figure 5.7 ont dû être extrapolées. Il estdonc nécessaire d’exercer une grande prudence avec les données provenant de ces secteurs.

Cependant, on peut facilement déceler une tendance pour tous les points d’opération quis’accentue avec l’augmentation du coefficient de débit. La vitesse tangentielle est plus élevéedu côté aval que du côté amont, tandis que la vitesse radiale est plus importante du côté dupertuis gauche que du côté du pertuis droit. Ce comportement indique clairement que de façonglobale, l’écoulement tend à se diriger du côté du pertuis gauche.

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Figure 5.7: Profils de vitesse tangentielle et radiale mesurés par PIV sur un plan horizontal0.529D sous l’axe distributeur pour quatre coefficients de débit.

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Cela peut être mis en évidence en soustrayant aux champs de vitesse de la figure 5.7 un champde vitesse axisymétrique, obtenu en effectuant la moyenne circonférentielle des composantesradiales et tangentielles de la vitesse. Le champ de vitesse résultant, lié au débalancement del’écoulement, est présenté à la figure 5.8.

On observe que la composante x (amont-aval) de ce champ de vitesse est à peu près nulle,tandis que la composante y (côté gauche-côté droit) est assez importante. En effet, elle estdu même ordre de grandeur que la vitesse radiale moyenne. On constate également que cedébalancement de l’écoulement paraît être assez uniforme au centre de la section de passage.Toutefois, plus près de la paroi, ce n’est pas le cas. On peut attribuer cela aux sillages d’aubes.En effet, on s’attend à ce que les sillages d’aubes provoquent des écarts avec la moyennecirconférentielle dans cette zone.

Puisque les mesures expérimentales fournissent les profils de vitesse pour une phase, doncpour une seule position angulaire de la roue, il est difficile de déterminer si le débalancementobservé à la figure 5.8 est un champ en rotation suivant le mouvement de la roue, ou un champde vitesse statique. Toutefois, les mesures LDV et les mesures PIV effectuées sur des plansverticaux sous la roue semblent aussi faire ressortir la non-axisymétrie de l’écoulement, ce quilaisse croire que le débalancement observé est statique.

La simulation instationnaire couplée de l’aspirateur, de la roue et de la double-grille, présentéeà la section 7.1.6, laisse croire que le débalancement de l’écoulement sous la roue n’est pasoccasionné par l’aspirateur. Conséquemment, il est fort probable que la bâche spirale soitplutôt la cause.

D’ailleurs, les simulations numériques de la bâche spirale prédisent une forte asymétrie dansla répartition de débit à l’entrée des AVD. Les écoulements secondaires engendrés par lescouches cisaillées aux parois du conduit d’amené sont en cause. La figure 5.9 montre l’écartpar rapport au débit moyen pour chaque passage d’avant-directrice. Cependant, il faut exercerune grande prudence face à ces résultats, puisque les simulations n’ont pas fait l’objet d’uneétude méthodologique rigoureuse.

Malheureusement, en raison d’un manque de temps, le lien avec le débalancement sous la rouen’a pu être clairement démontré. Toutefois, l’auteur suggère, dans le cadre de travaux futurs,d’investiguer cette piste davantage.

59

Page 82: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 5.8: Champs de vitesse obtenus en soustrayant les moyennes circonférentielles auxchamps de vitesse mesurés par PIV. Les graphiques de gauche montrent la composante x(amont-aval), tandis que les graphiques de droite montrent la composante y (gauche-droite).

60

Page 83: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

-100

Figure 5.9: Écart de débit par rapport au débit moyen (Q/24) pour les 24 passages d’avant-directrices.

5.2 Méthodologie pour l’acquisition des conditions d’entréenumériques

Bien que les mesures expérimentales présentées à la section précédente regorgent d’informa-tions sur l’écoulement à la sortie de la roue, elles ne se prêtent pas très bien à l’alimentationdes calculs numériques de l’aspirateur. En effet, quelques éléments essentiels sont manquants.

Tout d’abord, les profils de vitesse ne sont pas mesurés jusqu’à la paroi. Effectivement, Tridon[65] mentionne que le système de mesure LDV ne permet pas d’avoir des mesures de vitessepour des valeurs de y+ inférieures à 100. On doit alors estimer l’allure des profils de vitessedans cette partie de la couche limite. Puisque les profils de vitesse près de la paroi jouentun rôle important sur la robustesse de la couche limite et par conséquent, sur la position deszones de séparation, il y a un risque considérable d’engendrer des erreurs sur la prédiction desphénomènes prenant place dans l’aspirateur.

De plus, aucune information sur la turbulence n’est mesurée près de la paroi. Les caractéris-tiques de la turbulence ont également une grande influence sur le comportement de la couchelimite. Se présente alors le même problème qu’avec les profils de vitesse : les caractéristiquesturbulentes de la couche limite doivent être estimées près de la paroi et une mauvaise estima-tion peut altérer significativement le comportement de l’écoulement simulé.

Une autre problématique liée à l’utilisation des données expérimentales pour imposer la condi-tion limite à l’entrée de l’aspirateur réside dans la description de la turbulence sur l’ensemblede la section d’entrée. Tel qu’exposé à la section 5.1.2, il est possible d’estimer l’énergie ciné-

61

Page 84: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

tique turbulente sur une grande portion de l’aire du plan d’entrée. Toutefois, les modèles deturbulence à deux équations nécessitent une information supplémentaire pour correctementcaractériser la turbulence. Cette dernière n’est pas mesurée expérimentalement. Il est alorsnécessaire de l’estimer. Les travaux de Mauri [37], Payette [50] et Vu et al. [69] ont tous ré-vélé l’influence importante qu’ont les caractéristiques de la turbulence à l’entrée du domainesur l’écoulement en aval. Donc, on peut s’attendre à ce qu’une mauvaise caractérisation dela turbulence vienne miner les résultats des simulations numériques. Cependant, il est perti-nent de noter que toutes ces études ont été menées avec des modèles de turbulence RANS àdeux équations et que ces conclusions ne se transposent pas nécessairement aux approches demodélisation de la turbulence plus avancées.

Finalement, le dernier point important que l’on doit soulever concerne les variations de vitesseliées au passage des aubes. En effet, bien que des champs de vitesse axiale et tangentielle enmoyenne de phase mesurés à l’aide d’un appareil de mesure LDV pourraient fournir l’informa-tion sur les structures d’écoulement liées au passage des aubes, la vitesse radiale correspondanten’est pas disponible. Tel que discuté à la section 5.1.3, celle-ci a seulement été mesurée parPIV pour une phase. Comme il est illustré à la figure 5.7, une bonne partie de l’aire de la sec-tion de passage n’a pas été sondée. L’utilisation de la vitesse radiale mesurée par PIV commecondition d’entrée viendrait alors avec une grande dose de difficulté et d’approximation.

Donc, afin de pallier à ces problèmes et d’obtenir un champ physique complet, il est possible desimuler numériquement l’écoulement dans les composantes de la turbine en amont de l’aspira-teur. La méthodologie utilisée pour calculer l’écoulement dans la roue et dans la double-grilleest donc présentée aux prochaines sections.

5.2.1 Stratégie de simulation

Plusieurs stratégies de modélisation peuvent être adoptées pour simuler les composantes dela turbine en amont de l’aspirateur. La stratégie la plus fidèle à la réalité consiste à réaliserune simulation instationnaire de toute la roue, de toute la double-grille et de la bâche spirale.Cependant, cette méthodologie s’avère extrêmement coûteuse. En effet, les essais d’indépen-dance de maillage présentés à la section 5.2.3 révèlent qu’une telle méthodologie engendreraitun domaine de calcul contenant plus de 40 millions de noeuds. De telles simulations sortentdu cadre du présent projet de recherche. Cette approche a donc été mise de côté au profit deméthodologies requérant moins de ressources de calcul. Cependant, il est pertinent de noterque seule cette stratégie pourrait permettre d’inclure le débalancement de l’écoulement à lasortie de la roue dans la condition d’entrée des calculs d’aspirateur.

L’approche adoptée consiste plutôt à effectuer une simulation stationnaire d’un seul passage dedouble-grille et d’un seul passage de roue. Entre la double-grille et la roue, c’est-à-dire entre

62

Page 85: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Champ physique stationnaire à la sortie de la roue

Copie du champ physique sur toute

la circonférence

Imposition du champ physique à

l'entrée del'aspirateur

Figure 5.10: Illustration de la stratégie utilisée pour générer les conditions d’entrée des si-mulations de l’aspirateur.

le domaine fixe et le domaine en rotation, on place une interface de type "Stage". Celle-cipermet de moyenner circonférentiellement les quantités physiques à l’interface [25].

Le champ stationnaire ainsi obtenu à la sortie du passage de roue peut être copié sur toutela circonférence, afin d’avoir des conditions d’entrée couvrant 360. Il peut ensuite être misen rotation à la vitesse angulaire de la roue pour être imposé à l’entrée de l’aspirateur. Ceprocessus est illustré à la figure 5.10.

Cette stratégie de moyennage permet à l’angle des secteurs de part et d’autre de l’interface dedifférer. Effectivement, c’est ce qui permet de simuler un seul passage de double-grille (secteurde 15) et un seul passage de roue (secteur de 18.95). Cela n’est pas possible lorsqu’on désireeffectuer des simulations instationnaires avec une interface de type "Transient Rotor Stator".Dans ce cas, les angles des secteurs de part et d’autre de l’interface doivent être presqueidentiques. Puisque la roue a 19 aubes et que le distributeur compte 24 directrices, il estpréférable d’effectuer la simulation sur 360, ce qui est évidemment très lourd.

Cependant, il faut noter que la stratégie adoptée ne permet pas d’inclure l’effet du coudede l’aspirateur dans les champs physiques à la sortie de la roue. Par contre, une simulationinstationnaire couplée incluant l’aspirateur, toute la roue et les 24 passages de double-grille,présentée à la section 7.1.6, démontre que l’aspirateur ne modifie pas significativement l’écou-lement en amont. Pour cette raison, il n’a pas été jugé nécessaire de coupler l’aspirateur auxcalculs de la double-grille et de la roue.

5.2.2 Domaine de calcul

Le domaine de calcul utilisé pour générer les conditions d’entrée des simulations de l’aspirateurest présenté à la figure 5.11. Tel que mentionné à la section précédente, il contient un passage dedouble-grille et un passage de roue. Toutefois, afin de permettre à l’écoulement de se développer

63

Page 86: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Cône de l'aspirateur

Roue

Interface "Stage"

Extension amontAvant-Directrice

Directrice

Figure 5.11: Domaine de calcul des simulations de la double-grille et de la roue utilisé pourgénérer les conditions limites à l’entrée de l’aspirateur.

avant d’atteindre la double-grille, une extension a été placée en amont des avant-directrices.Le cône de l’aspirateur a également été inclus dans le domaine de calcul.

Cependant, il faut mentionner que l’encorbellement n’est pas modélisé. En effet, le porte-à-faux de la directrice, près du bord de fuite, n’est pas pris en compte dans les simulations.Cette simplification géométrique est illustrée à la figure 5.12. La piètre qualité des maillagesobtenus avec la géométrie réelle a motivé cette approximation. Il convient aussi de spécifierque le jeu entre la directrice et les flasques inférieur et supérieur n’est pas pris en compte.

Finalement, il est coutume de ne pas inclure dans la simulation le joint entre la ceinture dela roue et le stator. Cette approche est donc celle qui a été adoptée. Cependant, une étudefaite par Casartelli et al. [6] révèle l’effet considérable que peut avoir la modélisation de ce

64

Page 87: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Géométrie Simplifiée

Géométrie Réelle

Figure 5.12: Simplification géométrique effectuée près du bord de fuite des directrices.

joint sur l’écoulement dans l’aspirateur, particulièrement sur la zone de séparation à l’intérieurdu coude. Il pourrait donc être intéressant d’investiguer davantage cet effet, dans des travauxfuturs.

5.2.3 Maillage

Des essais ont été réalisés, afin d’assurer l’indépendance des résultats face à la discrétisationspatiale. Tout d’abord, il convient d’introduire les critères de qualité des maillages présen-tés dans la présente section. Les tableaux 5.2 et 5.3 résument donc les caractéristiques desmaillages de la roue et de la double-grille. On peut aussi mentionner que tous les maillagessont hexaédriques et ils ont tous été réalisés avec le logiciel ICEM.

Table 5.2: Critères de qualité des maillages de la roue.

Angle > 17

Déterminant > 0.5

Rapport de forme < 300

Facteur d’expansion < 3

Quatre maillages de roue et quatre maillages de double-grille ont donc été testés. Un raffine-ment progressif et égal dans toutes les directions a été réalisé. De façon à ne pas créer de sautsde résolution importants à l’interface "Stage", toutes les simulations ont été faites avec une

65

Page 88: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Table 5.3: Critères de qualité des maillages de la double-grille.

Angle > 25

Déterminant > 0.6

Rapport de forme < 100

Facteur d’expansion < 3

0.5 1 1.5

Figure 5.13: Écart sur le couple (∆T ), sur la perte dans la roue (∆hRoue) et sur la perte dansla double-grille (∆hDG) par rapport à la valeur obtenue avec le maillage le plus fin en fonctiondu nombre de noeuds total, du nombre de noeuds dans la roue et du nombre de noeuds dansla double-grille, respectivement.

résolution similaire dans le domaine tournant et dans le domaine fixe. Évidemment, toutesles simulations ont été effectuées au même point de fonctionnement avec des conditions auxlimites identiques. La figure 5.13 montre donc l’écart sur le couple (∆T ), sur la perte dans laroue (∆hRoue) et sur la perte dans la double-grille (∆hDG) par rapport à la valeur obtenueavec le maillage le plus fin.

On constate d’abord que le couple varie peu avec le maillage. En effet, les différences avec lemaillage le plus fin ne dépassent pas 1.1%. Toutefois, pour ce qui est des pertes, un maillagecomptant près de deux millions de noeuds au total a dû être utilisé pour abaisser les écarts àune valeur inférieure à 1%. C’est donc ce maillage qui a été utilisé pour générer les conditionsd’entrée de l’aspirateur. Il est également pertinent de noter qu’aucune différence notable n’aété observée sur les profils de vitesse moyens entre les solutions obtenues avec le maillage de2.0× 106 noeuds et celui de 2.8× 106 noeuds.

66

Page 89: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

5.2.4 Conditions aux limites

Puisque le domaine de calcul en est un périodique, des conditions de périodicité ont été ap-pliquées sur les faces délimitant le secteur simulé. Sur toutes les parois solides, c’est-à-diresur les flasques inférieur et supérieur, sur les avant-directrices, sur les directrices, sur la roueet sur le cône de l’aspirateur, une condition de non-glissement est imposée. La roue a unevitesse angulaire égale à celle prescrite lors des essais expérimentaux. À la sortie, on contraintla pression statique à une valeur moyenne nulle.

Type de condition d’entrée

Plusieurs types de conditions d’entrée peuvent être considérées pour les simulations de ladouble-grille et de la roue. En effet, on peut soit imposer le débit, soit la pression totale. Deplus, si la pression totale est dictée à l’entrée, elle peut être ajustée de plusieurs manières.Effectivement, elle peut être imposée de façon à reproduire la courbe de puissance en fonctionde l’angle d’ouverture du distributeur λ(γ), de façon à reproduire la courbe de puissance enfonction du débit λ(φ) ou pour coller sur la courbe de la chute en fonction de l’angle d’ouverturedes directrices Hn(γ). Dans une simulation parfaite, toutes ces approches produiraient desrésultats identiques. La figure 5.14, qui montre les profils de vitesse axiale et tangentielleobtenus avec ces différentes approches, nous indique que ce n’est clairement pas le cas. Encoreune fois, le moyennage est effectué à 0.529D sous l’axe distributeur. L’angle d’ouverture desdirectrices correspond à γIII .

La meilleure concordance semble être obtenue lorsque la pression totale est ajustée de façonà respecter la courbe de puissance en fonction du débit mesurée expérimentalement. Effecti-vement, le profil de vitesse tangentielle s’approche bien de la courbe mesurée par LDV surl’ensemble du rayon. Par contre, ce n’est pas le cas pour la vitesse axiale. Le profil issu dela simulation numérique est assez proche du profil expérimental entre entre 0 < r/R < 0.6,mais au-delà de r/R = 0.6, elle est sous-estimée. Cela engendre un écart de débit de 3.68%.Toutefois, malgré cet écart de débit, cette approche est celle qui semble être en mesure demieux reproduire les profils moyens expérimentaux. Elle sera donc utilisée pour générer lesconditions limites à l’entrée de l’aspirateur.

Effet des quantités turbulentes à l’entrée de la double-grille

De façon à quantifier l’impact que peuvent avoir les quantités turbulentes imposées à l’entrée dudomaine sur les conditions limites à l’entrée de l’aspirateur, plusieurs combinaisons d’intensitéturbulente et de longueur caractéristique turbulente ont été testées. La figure 5.15 montre donc

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Page 90: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figure 5.14: Profils de vitesse axiale et tangentielle à 0.529D sous l’axe distributeur obtenusavec différents types de conditions d’entrée. L’angle d’ouverture des directrices correspond àγIII .

les profils de vitesse axiale et tangentielle, ainsi que les profils d’énergie cinétique turbulenteobtenus avec différents agencements de quantités turbulentes à l’entrée de la double-grille.

On constate d’abord le faible effet qu’ont les quantités turbulentes à l’entrée de la double-grillesur les profils de vitesse à la sortie de la roue. C’est uniquement sur la structure tourbillon-naire située au centre de l’écoulement que l’on peut déceler des différences significatives. Enfait, une augmentation de l’intensité turbulente ou de la longueur caractéristique turbulente(augmentation de la viscosité tourbillonnaire νt) se traduit par une structure tourbillonnairecontrarotative plus intense. Tel que souligné à la section 5.1.1, une vitesse tangentielle plusforte dans cette zone est accompagnée d’une survitesse axiale plus importante.

La combinaison d’intensité turbulente et de longueur caractéristique turbulente de I = 5% etlt = 0.1h, où h est la hauteur du distributeur, s’avère être celle qui reproduit le mieux le profilde vitesse tangentielle. Toutefois, la survitesse axiale au centre du cône semble être mieuxreproduite lorsque l’intensité turbulente est de 10%, au lieu de 5%.

Aucune des combinaisons essayées paraît être en mesure de reproduire l’agitation observéeexpérimentalement à r/R < 0.2. De plus, au-delà de r/R = 0.6, tous les profils numériques,à l’exception de celui où lt = h, indiquent une énergie cinétique turbulente beaucoup plusfaible que celle mesurée sur le banc d’essai. Cependant, cela est sans grande surprise, puisquecomme il est discuté à la section 5.1.2, les fluctuations dans cette zone sont fort probablementattribuables aux passages des sillages d’aubes. Cette "turbulence" cohérente n’est évidemmentpas prise en charge par les modèles à deux équations. Finalement, autant la combinaison

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Page 91: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

0.08

0.06

0.04

0.02

0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figure 5.15: Profils de vitesse axiale, de vitesse tangentielle et d’énergie cinétique turbulenteà 0.529D sous l’axe distributeur obtenus avec différentes quantités turbulentes imposées àl’entrée de la double-grille. L’angle d’ouverture des directrices correspond à γIII .

69

Page 92: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 5.16: Définition de l’angle hydraulique α à l’entrée de la double-grille.

I = 5% ; lt = 0.1h que I = 10% ; lt = 0.1h semblent prédire adéquatement le profil d’énergiecinétique turbulente entre r/R = 0.2 et r/R = 0.6.

Donc, puisqu’aux yeux de l’auteur une intensité turbulente de I = 5% à la sortie de labâche spirale paraît plus vraisemblable physiquement qu’une intensité de I = 10%, c’estl’agencement de I = 5% ; lt = 0.1h qui est utilisé pour générer les conditions limites à l’entréede l’aspirateur.

Effet de l’angle de l’écoulement à l’entrée de la double-grille

Un dernier paramètre pertinent à tester est l’angle de l’écoulement à l’entrée de la double-grille.En effet, puisque la bâche spirale n’a pas fait l’objet d’une campagne de mesure expérimentale,l’angle de l’écoulement en amont des avant-directrices est imposé de façon arbitraire. Il s’avèredonc pertinent d’évaluer l’influence que peut avoir ce paramètre sur les conditions limites àl’entrée de l’aspirateur.

Trois angles d’écoulement α, de 25, 45 et 65 ont été testés à l’entrée de la double-grille.L’angle α est défini à la figure 5.16. La figure 5.17 montre les profils de vitesse axiale, de vitessecirconférentielle et d’énergie cinétique turbulente obtenus avec ces différentes orientations.

C’est avec un angle d’écoulement α = 65 que les profils de vitesse débitante et d’énergie ciné-tique turbulente semblent le mieux reproduits. Toutefois, la vitesse circonférentielle négativeassociée à la structure tourbillonnaire au centre du cône est largement surestimée. De plus,cette orientation de l’écoulement à l’entrée du domaine engendre un décollement importantsur les avants-directrices. Il est peu probable que ce soit le cas sur le banc d’essai.

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Page 93: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.08

0.06

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0.02

0

Figure 5.17: Profils de vitesse axiale, de vitesse tangentielle et d’énergie cinétique turbulente à0.529D sous l’axe distributeur obtenus avec différents angles d’écoulement α imposés à l’entréede la double-grille. L’angle d’ouverture des directrices correspond à γIII .

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Page 94: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Entre les résultats obtenus avec α = 25 et α = 45, les différences sont subtiles. Cepen-dant, c’est avec un angle d’écoulement α = 45 que les profils expérimentaux semblent lemieux reproduits. Effectivement, avec cette configuration, on s’approche davantage de la vi-tesse axiale mesurée expérimentalement entre 0.1 < r/R < 0.3. De surcroît, le pic de vitessecirconférentielle négative à environ r/R = 0.1 est légèrement mieux prédit. On ne note pasla présence d’écarts significatifs entre les deux orientations sur les profils d’énergie cinétiqueturbulente. Donc, l’angle α = 45, qui correspond à peu près à un écoulement aligné avec lesavant-directrices, sera l’orientation de l’écoulement prescrite à l’entrée de la double-grille pourles simulations permettant de générer les conditions limites à l’entrée de l’aspirateur.

5.2.5 Résumé méthodologique

Donc, afin de résumer les aspects traités aux sections précédentes et de fournir au lecteurquelques informations supplémentaires, le tableau 5.4 résume les éléments méthodologiquesdes simulations numériques de la double-grille et de la roue utilisés pour générer les conditionslimites à l’entrée de l’aspirateur.

Table 5.4: Résumé méthodologique des calculs numériques de la double-grille et de la roueutilisés pour générer les conditions limites à l’entrée de l’aspirateur.

Domaine de calcul 1/24 Double-Grille & 1/19 RoueNombre de noeuds dans la double-grille 804 720

Nombre de noeuds dans la roue 1 189 138Modèle de turbulence k-ε

Schéma d’interpolation du terme convectif "Specified Blend Factor" (β = 0.75)Condition d’entrée Pression totale ajustée sur λ(φ)

Intensité turbulente à l’entrée 5%Longueur caractéristique turbulente à l’entrée 0.1×Hauteur du distributeur

Angle de l’écoulement α à l’entrée 45

Condition de sortie Pression statique moyenne nulle

5.3 Analyse des conditions d’entrée numériques

Les conditions d’entrée de l’aspirateur obtenues par simulations numériques avec la méthodo-logie présentée à la section 5.2 peuvent maintenant être comparées aux mesures expérimentalesprésentées à la section 5.1.

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0.3

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2

0.4

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0.2

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0

-0.1

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figure 5.18: Profils de vitesse axiale et de vitesse tangentielle à 0.529D sous l’axe distributeurpour les quatre angles d’ouverture des directrices mesurés expérimentalement.

5.3.1 Profils de vitesse axiale et tangentielle moyennéscirconférentiellement

Tout d’abord, la figure 5.18 montre les profils de vitesse axiale et tangentielle, expérimentaux etnumériques, pour les quatre angles d’ouverture du distributeur investigués expérimentalement.

De façon générale, on note une assez bonne concordance entre les profils de vitesse mesuréset ceux obtenus par simulation numérique. Toutefois, aux angles d’ouverture γI et γIV , lavitesse tangentielle dans la structure tourbillonnaire au centre du cône n’est pas très bienreproduite. Effectivement, à γI , se présente une vitesse circonférentielle positive, tandis qu’àγIV , l’amplitude de la vitesse circonférentielle négative est surestimée. En ce qui concerne la

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Page 96: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

vitesse axiale, celle-ci a tendance à être légèrement sous-estimée, sur l’ensemble du rayon demesure, mais particulièrement au-delà de r/R = 0.7. Il en résulte alors que les simulationsnumériques prédisent un débit inférieur à celui mesuré expérimentalement. Les écarts de débitsont énoncés au tableau 5.5.

Table 5.5: Écarts entre les débits mesurés expérimentalement et ceux issus des simulationsnumériques.

Angle d’ouverture des directrices φNum−φExpφExp

γI -3.80%γII -3.81%γIII -3.68%γIV -3.48%

Donc, il faut être conscient que techniquement, étant donné les écarts de débit obtenus, lessimulations numériques présentées ici ne sont pas exactement aux mêmes points de fonction-nement que les essais expérimentaux. De plus, à priori, on ne peut pas estimer le coefficientd’énergie ψ sans connaître les pertes dans l’aspirateur et dans la bâche spirale. Il est alorsimpossible d’estimer l’erreur sur le coefficient d’énergie.

Cependant, dans le cadre de la présente étude, où on cherche à déterminer si l’approche demodélisation de la turbulence DES permet de mieux prédire les phénomènes de perte prenantplace dans l’aspirateur, l’important est d’avoir le champ de vitesse le plus fidèle à la réalitépossible à l’entrée de l’aspirateur.

Il est également intéressant de remarquer qu’une bonne prédiction de la vitesse circonférentiellen’est pas synonyme d’une bonne prédiction de la vitesse débitante. Un mauvais accord entrele comportement de la vitesse axiale et tangentielle indique que l’angle de l’écoulement à lasortie de la roue est mal prédit. Si on assume que la couche limite reste attachée sur l’aubede la roue jusqu’au bord de fuite, l’angle de l’écoulement est dicté par la géométrie de la pale.Donc, on peut soupçonner que la discordance entre les profils issus des simulations numériqueset les profils expérimentaux pourrait être due à de légères différences entre la géométrie de laroue simulée et de celle sur le banc d’essai.

5.3.2 Profils de vitesse radiale moyennés circonférentiellement

Maintenant, comparons les profils de vitesse radiale obtenus numériquement à ceux obtenusexpérimentalement à l’aide d’un appareil de mesure PIV. La figure 5.19 présente cette compa-raison. Des profils de vitesse radiale obtenus avec une approximation largement utilisée sontaussi ajoutés aux données numériques et expérimentales. Cette approximation, utilisée notam-

74

Page 97: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 5.19: Profils de vitesse radiale à 0.529DRoue sous l’axe distributeur pour les quatreangles d’ouverture des directrices mesurés expérimentalement.

ment par Mauri et al. [36] et dans le cadre de l’atelier Turbine 99 [11], permet d’estimer lavitesse radiale en fonction de la vitesse axiale et de la géométrie du cône de l’aspirateur :

ur = uz tan (θmur r/R) (5.4)

Avec cette approximation, l’écoulement est donc forcé à être parallèle à la paroi dans la couchelimite et à avoir une composante radiale de la vitesse nulle au centre du cône.

Il est frappant de constater comment les profils prédits avec les simulations numériques et avecl’équation (5.4) s’éloignent des profils expérimentaux. La cause de cette importante vitesseradiale ne s’avère pas être une évidence. En effet, tous les paramètres testés à la section 5.2n’altèrent pratiquement pas le profil de vitesse radiale sous la roue.

Cependant, cette sous-estimation de la vitesse radiale par les simulations numériques est cohé-rente avec le manque de débit au-delà de r/R = 0.6 observé sur la figure 5.18. Effectivement,une vitesse radiale positive plus importante aura pour effet de diriger davantage le débit versles parois du cône de l’aspirateur.

L’influence qu’a le profil de vitesse radiale sur l’écoulement dans l’aspirateur sera discutée àla section 6.1.

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0

0.02

0.04

0.06

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0.02

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0.08

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figure 5.20: Profils d’énergie cinétique turbulente à 0.529D sous l’axe distributeur pour lesquatre angles d’ouverture des directrices mesurés expérimentalement.

5.3.3 Profils d’énergie cinétique turbulente moyennéscirconférentiellement

Finalement, on peut comparer les profils d’énergie cinétique turbulente obtenus par simulationnumérique à ceux mesurés sur le banc d’essai aux quatre points de fonctionnement considérésexpérimentalement. La figure 5.20 illustre donc cette comparaison.

De façon générale, l’allure des profils expérimentaux et numériques change peu entre les dif-férents points de fonctionnement. Malgré qu’elle soit légèrement inférieure à la mesure expé-rimentale, l’énergie cinétique turbulente numérique est assez bien prédite entre r/R = 0.2 etr/R = 0.6.

76

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Cependant, à plus grand rayon, un écart important se creuse entre les données expérimentaleset numériques. Comme il est expliqué à la section 5.1.2, les mesures expérimentales d’énergiecinétique turbulente incluent fort probablement les fluctuations de vitesse liées au passage desaubes. Ce n’est pas le cas lorsque l’énergie cinétique turbulente modélisée est sondée dans lecalcul RANS, d’où le fossé entre les courbes numériques et expérimentales.

Toutefois, on peut estimer les fluctuations de vitesse associées aux passages des aubes dansla simulation RANS. En faisant l’hypothèse que la forme des signaux de vitesse prennent laforme d’une fonction sinusoïdale (voir section 7.1.2) et en sachant que les composantes de ladiagonale du tenseur de Reynolds sont définies par

< u′2 >=1

T

∫ T

0u′2dt (5.5)

on peut estimer les trois termes diagonaux avec l’expression suivante 1 :

< u′2 >=(umax − umin)2

8(5.6)

où umax correspond à la vitesse maximale sur un rayon, tandis que umin correspond à la vitesseminimale sur le même rayon. Ensuite, à l’aide de l’équation (5.3), il est possible d’estimerl’énergie cinétique turbulente associée aux sillages d’aubes. Celle-ci peut ensuite être ajoutéeà l’énergie cinétique turbulente modélisée. Le résultat de cette opération est représenté par lescourbes bleues à la figure 5.20.

On constate que les écarts entre les données numériques et expérimentales sont toujours assezimportants. Cependant, la forme du profil est un peu mieux reproduite. On pourrait argu-menter que la diffusion accrue engendrée par le modèle de turbulence vient atténuer de façonexagérée les fluctuations liées au passage des sillages d’aubes, sans que le terme de produc-tion d’énergie cinétique turbulente dans l’équation de transport de k ne soit stimulé de façonéquivalente.

Les simulations ne prédisent pas très bien le profil d’énergie cinétique turbulente près du centredu cône non plus, particulièrement pour les angles d’ouverture γIII et γIV , où des fluctua-tions très importantes apparaissent. Dans cette région, la courbure des lignes de courant estparticulièrement importante. Cette caractéristique de l’écoulement présente un défi importantpour les modèles à deux équations, utilisant l’hypothèse de Boussinesq. En effet, Smirnov etMenter [53] soulignent qu’une des faiblesses les plus importantes de ces modèles est qu’ils sontincapables de capturer correctement l’effet de la courbure des lignes de courant et de la rota-

1. La démarche mathématique permettant d’arriver à cette expression est présentée en détail à l’annexe A

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Page 100: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

tion du système. Il n’est donc pas surprenant de constater que l’énergie cinétique turbulentene soit pas très bien prédite dans cette zone.

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Page 101: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Chapitre 6

Simulations RANS et URANS del’aspirateur

En raison de son coût de calcul raisonnable, l’approche de modélisation de la turbulence RANSest largement utilisée par les turbiniers pour prédire la performance des aspirateurs. Puisqu’oncherche à déterminer si l’approche de modélisation de la turbulence DES représente un gainpar rapport aux méthodes actuelles, il est d’abord nécessaire d’évaluer de façon rigoureuse lescapacités de l’approche RANS.

Des essais méthodologiques, permettant de mettre au point une recette fiable pour les simula-tions, sont d’abord présentés. Ensuite les résultats obtenus avec cette approche sont montréset analysés.

6.1 Méthodologie pour les simulations RANS et URANS del’aspirateur

Plusieurs types d’erreur peuvent s’introduire lors de simulations numériques et il est primordialde tenter de les réduire au maximum. Pour ce faire, l’influence de plusieurs paramètres demodélisation sera observée afin d’établir une méthodologie propre et rigoureuse.

Les paramètres étudiés dans cette section sont les discrétisations spatiale et temporelle, lacondition limite à la sortie de l’aspirateur et la vitesse radiale imposée au plan d’entrée. Deplus, une discussion sur l’adaptation des conditions limites obtenues selon la méthodologie dela section 5.2 est présentée.

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6.1.1 Adaptation des conditions limites à l’entrée de l’aspirateur

Les simulations de la double-grille et de la roue fournissent des champs physiques bidimen-sionnels qui peuvent être mis en rotation à l’entrée de l’aspirateur. Toutefois, pour les calculsstationnaires, les conditions limites ne peuvent évidemment pas varier dans le temps. Il estdonc nécessaire d’imposer la moyenne temporelle des quantités physiques à l’entrée. Puisqueles champs physiques sont en rotation autour de l’axe de rotation de la turbine, leur moyennetemporelle correspond à leur moyenne circonférentielle. Donc, pour les calculs stationnairesRANS, les moyennes circonférentielles des profils de vitesse et des quantités turbulentes sontimposées en fonction du rayon à l’entrée de l’aspirateur.

Pour les calculs instationnaires URANS, il est plus cohérent d’imposer les champs physiquesbidimensionnels et de les mettre en rotation à la vitesse de la roue. Les conditions limitesà l’entrée seraient donc instationnaires. Cependant, comme cela sera exposé plus en détailà la section 7.1, une résolution spatiale et temporelle extrêmement fine est nécessaire pourconserver les structures d’écoulement en rotation à l’entrée de l’aspirateur. Effectivement,à moins d’utiliser des maillages de plusieurs dizaines de millions de noeuds, les variationscirconférentielles dans les champs physiques disparaissent dans les premières cellules sous leplan d’entrée. De surcroît, certaines difficultés numériques apparaissent lorsque les conditionsd’entrée sont instationnaires. Donc, puisqu’il semble très peu judicieux aux yeux de l’auteurd’utiliser une approche de modélisation de la turbulence RANS avec des maillages de plusieursdizaines de millions de noeuds, qui ont la capacité de résoudre une partie du spectre de laturbulence, des conditions d’entrée axisymétriques ont également été utilisées pour les calculsinstationnaires URANS.

6.1.2 Discrétisation spatiale

Toutes les simulations numériques produisent inévitablement une erreur liée à la discrétisationdes équations résolues. Cependant, en utilisant un nombre d’éléments discrets assez important,c’est-à-dire un maillage assez fin, cette erreur peut être négligeable devant les autres erreursde modélisation présentes.

Donc, afin d’assurer que les simulations d’aspirateurs effectuées dans le cadre de ce travail necomportent pas d’erreurs de discrétisation spatiale significatives et que les solutions obtenuessoient indépendantes de ce paramètre, plusieurs maillages ont été mis à l’essai.

Il convient de noter que tous les maillages présentés sont composés d’éléments hexaédriques.De plus, ils répondent tous aux critères de qualité énoncés au tableau 6.1. Afin d’offrir aulecteur une idée de la configuration du maillage dans l’aspirateur, trois coupes transversalessont présentées à la figure 6.1.

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Figure 6.1: Coupes transversales du maillage dans l’aspirateur. Le maillage D, comptant unpeu plus de six millions de noeuds, est présenté ici.

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Table 6.1: Critères de qualité des maillages d’aspirateur.

Angle > 33.5

Déterminant > 0.65

Rapport de forme < 1500

Facteur d’expansion < 2.5

Cinq maillages différents ont été essayés. Leurs caractéristiques sont présentées au tableau 6.2.Il faut noter que les valeurs moyennes et maximales de y+ sont présentées uniquement à titreindicatif, puisqu’elles varient légèrement en fonction du point de fonctionnement.

Les trois maillages les plus grossiers, c’est-à-dire les maillages A, B et C, font l’utilisation d’uneloi de paroi dans la couche limite. L’écoulement n’est donc pas résolu jusque dans la sous-couchevisqueuse. Il est donc préférable de placer le premier point dans la zone logarithmique, à desvaleurs de y+ supérieures à 30. Dans le cas des maillages D et E, l’écoulement est résolu jusqu’àla paroi. Il doit donc y avoir quelques mailles dans la sous-couche visqueuse (y+ < 5).

Table 6.2: Caractéristiques des maillages d’aspirateur testés pour l’indépendance face à ladiscrétisation spatiale.

Nom Nombre de noeuds y+ moyen y+ max.Maillage A 770 900 42 90Maillage B 1 587 201 36 80Maillage C 2 993 400 28 63Maillage D 6 123 400 1.9 5.0Maillage E 11 956 736 1.5 4.2

Les essais, effectués avec l’approche RANS, ont été réalisés avec les conditions d’entrée nu-mériques correspondant à l’angle d’ouverture des directrices γI (voir section 5.3). À la sortie,une extension droite a été ajoutée à chaque pertuis. Toutefois, l’influence de ce paramètre demodélisation sera traitée plus en détail à la section 6.1.4. Une condition de non-glissement estimposée sur les parois de l’aspirateur.

Le coefficient de récupération est présenté en fonction du nombre de noeuds dans l’aspirateurà la figure 6.2.

Jusqu’au maillage D, on note une tendance assez claire. Effectivement, le coefficient de récu-pération diminue systématiquement. Par la suite, cette tendance s’efface, ce qui laisse croirequ’avec une approche de modélisation de la turbulence RANS, un maillage d’environ six mil-lions de noeuds permet l’indépendance de la solution face à la discrétisation spatiale. C’estdonc le maillage D qui est utilisé pour les simulations RANS et URANS de l’aspirateur.

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Figure 6.2: Coefficient de récupération de l’aspirateur en fonction du nombre de noeuds.

Il faut cependant noter que même avec le maillage A, on obtient une topologie d’écoulementtrès similaire à celle obtenue avec le maillage E. C’est ce que l’on peut constater à la figure6.3.

6.1.3 Discrétisation temporelle

En plus de la discrétisation du domaine dans l’espace, les calculs instationnaires nécessitentaussi une discrétisation dans le temps. Tout comme pour le maillage spatial, il faut s’assurer queles éléments temporels soient suffisamment fins pour que l’erreur engendrée soit négligeable.

Plusieurs valeurs pour le pas de temps ont donc été testées. Elles sont présentées en terme dedegrés de rotation de la roue et en temps normalisé au tableau 6.3. Les nombres de Courantassociés à chaque pas de temps sont également inscrits à titre indicatif seulement, puisqu’ilsvarient fortement en fonction du maillage utilisé et du point de fonctionnement.

Les essais d’indépendance face à la discrétisation temporelle ont été effectués avec le maillageD. Tout comme pour les essais d’indépendance de maillage, des extensions droites ont étéplacées à la sortie de chaque pertuis. Les conditions d’entrée numériques correspondant àl’angle d’ouverture des directrices γI ont été utilisées. Les simulations ont été initialisées avecla solution stationnaire et ont une durée de 48 tours de roue.

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Figure 6.3: Champ de vitesse débitante adimensionnée par la vitesse débitante moyenne à lasortie de la roue pour différents maillages.

Table 6.3: Pas de temps testés pour l’indépendance face à la discrétisation temporelle. Lesnombres de Courant ont été obtenus avec le maillage D.

∆ ∆t∗ = 4Q∆tπD3 Nb. de Courant moyen Nb. de Courant max.

360 1.113 55 1348180 0.556 28 69245 0.139 7 1755 0.015 0.8 201 0.003 0.2 4

On peut donc observer les coefficients de récupération obtenus en fonction du pas temps à lafigure 6.4.

Il est d’abord intéressant de constater qu’avec le pas de temps le plus grossier, la valeur ducoefficient de récupération est assez près de celle obtenue avec la simulation stationnaire. Aufur et à mesure que la discrétisation temporelle est raffinée, on s’éloigne de cette valeur jusqu’àun pas de temps d’environ 5 degrés. Ensuite, en abaissant davantage le pas de temps, on nenote pas de différence significative sur le coefficient de récupération. Cela est toutefois peusurprenant, puisque lorsque le pas de temps est de 5 degrés, la valeur moyenne du nombre deCourant est légèrement inférieure à l’unité. Cela indique que les mouvements instationnairesayant une échelle temporelle de l’ordre du pas de temps ne peuvent pas être captés, puisqu’ilsont des échelles de grandeur inférieures à la taille de mailles.

Il est aussi intéressant de discuter de la tendance observée entre les pas de temps de 5 degrés

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Figure 6.4: Coefficients de récupération de l’aspirateur en fonction du pas temps.

et de 360 degrés. En effet, alors qu’une discrétisation spatiale plus fine a pour effet de diminuerla diffusion artificielle et d’ainsi réduire la valeur du coefficient de récupération, on observela tendance contraire lorsque la discrétisation temporelle est raffinée. Cela peut être expliquépar les instationnarités dans le calcul qui émergent des grandes zones de séparation dansles deux pertuis. Ces mouvements instationnaires, qui prennent naissance dans les couchescisaillées libres et qu’on pourrait qualifier de turbulence cohérente de grande échelle, ont poureffet d’augmenter la diffusion du champ de vitesse et par conséquent, de réduire l’ampleurque prennent les zones séparées. Bien qu’assez subtile, un oeil attentif pourra observer cettediffusion supplémentaire près des zones séparées à la figure 6.5. Cette dernière montre leschamps de vitesse débitante moyennés dans le temps.

En conclusion, on peut affirmer qu’un pas de temps correspondant à 5 degrés de rotation de laroue semble permettre l’indépendance de la solution face à la discrétisation temporelle. C’estdonc cette valeur qui est utilisée pour les simulations URANS de l’aspirateur.

6.1.4 Condition limite à la sortie

Puisque les équations de Navier-Stokes possèdent un caractère elliptique, l’information peutvoyager dans toutes les directions du domaine spatial. Conséquemment, la condition limite à

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Figure 6.5: Champ de vitesse débitante moyennée dans le temps et adimensionnée par lavitesse débitante moyenne à la sortie de la roue pour différentes valeurs du pas de temps.

Figure 6.6: Configurations géométriques testées à la sortie de l’aspirateur.

la sortie de l’aspirateur peut avoir une influence sur l’écoulement en amont.

Donc, afin d’évaluer l’impact qu’a ce paramètre sur les performances de l’aspirateur, plusieursconfigurations géométriques ont été mises à l’essai à la sortie des pertuis. Les différentesconfigurations testées sont présentées à la figure 6.6. À la sortie de chacun de ces domaines,une pression relative moyenne est imposée.

Comme pour les essais méthodologiques précédents, les conditions d’entrée numériques cor-respondant à l’angle d’ouverture des directrices γI ont été utilisées, avec le maillage D. Lessimulations sont stationnaires et une condition de symétrie est imposée sur les parois desextensions.

En premier lieu, on peut observer la variation du coefficient de récupération en fonction dutype d’extension placé en aval de l’aspirateur. C’est ce qui est présenté à la figure 6.7.

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Figure 6.7: Coefficient de récupération en fonction du type d’extension placée en aval del’aspirateur.

D’abord, on observe un coefficient de récupération plus important lorsqu’aucune extensionn’est placée à la sortie des pertuis. Il est aussi important de spécifier que la convergence descalculs est beaucoup plus ardue avec cette approche. D’ailleurs, le résidu moyen normalisén’a pas pu être amené sous 10−5, mais plutôt tout juste sous 10−4. De plus, les zones derecirculation dans les pertuis provoquent la formation d’un mur artificiel sur le plan de sortie,afin d’éviter que le fluide pénètre dans le domaine à cet endroit. Cet artifice numérique n’estévidemment pas physique.

Donc, en raison de l’écart significatif engendré sur le coefficient de récupération par rapportaux méthodes plus représentatives de la réalité, ainsi qu’en raison des difficultés liées à laconvergence des résultats, ne pas utiliser d’extension semble être une approche à proscrire.Mauri [37] était arrivé à la même conclusion.

L’écart sur le coefficient de récupération est moins marqué lorsque l’on compare les trois autresapproches. De plus, comme il est possible de le constater à la figure 6.8, dans tous les cas, latopologie de l’écoulement est assez semblable.

Toutefois, ce sont les deux extensions droites, placées à la sortie de chaque pertuis, qui per-mettent la meilleure convergence des calculs. De surcroît, en plus d’être moins coûteux en

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Figure 6.8: Champ de vitesse débitante adimensionnée par la vitesse débitante moyenne à lasortie de la roue pour différentes géométries placées en aval de l’aspirateur.

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Figure 6.9: Champ de vitesse débitante adimensionnée par la vitesse débitante moyenne à lasortie de la roue pour différents profils de vitesse radiale à l’entrée de l’aspirateur. La valeurdu coefficient de récupération mesurée expérimentalement correspond à χ = 0.59.

noeuds, c’est cette approche qui permet d’obtenir les maillages de meilleure qualité. Donc,pour ces raisons, les deux extensions droites sont utilisées pour les calculs subséquents.

6.1.5 Profil de vitesse radiale

Comme il a été discuté à la section 4.2.1, plusieurs études ont démontré l’importance de lavitesse radiale à l’entrée de l’aspirateur. Étant donné l’écart significatif observé entre les profilsde vitesse radiale expérimentaux et numériques (voir sections 5.3.2), il est impératif d’évaluerl’impact de ce paramètre sur les performances de l’aspirateur.

Donc, conjointement aux autres conditions d’entrée numériques obtenues à une ouverture desdirectrices γI , les profils de vitesse radiale expérimentaux et numériques ont été imposés àl’entrée de l’aspirateur.

Sans surprise, on constate l’impact crucial qu’a le profil de vitesse radiale à l’entrée sur l’écou-lement dans l’aspirateur. En effet, la figure 6.9 nous indique que la topologie de l’écoulementest largement affectée par ce paramètre.

De plus, tel qu’il est indiqué à la figure 6.9, le coefficient de récupération varie énormémenten fonction de la vitesse radiale imposée. Cela peut aussi être constaté plus clairement à lafigure 6.10, où il est possible d’observer son évolution dans l’aspirateur.

Toutefois, il est pertinent de noter qu’à la figure 6.10, le coefficient de récupération est évalué

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Figure 6.10: Évolution du coefficient de récupération dans l’aspirateur pour différents profilsde vitesse radiale à l’entrée du domaine.

en moyennant la pression statique sur des plans transverses à l’écoulement et non à l’aide demesures ponctuelles en paroi. En effet, c’est la formulation de McDonald et al. [38], donc χM ,qui est utilisé. Puisque l’évolution du coefficient de récupération dans l’aspirateur n’a pas étémesurée expérimentalement, cette définition a été préférée pour toutes les figures qui montrentl’évolution de la pression dans le diffuseur. Il est donc normal d’observer des différences avecles valeurs présentées à la figure 6.9.

On aperçoit clairement le gain de performance lié à l’absence des zones séparées importantesdans les pertuis. Les importants gradients de vitesse radiale, dans la direction radiale, observésexpérimentalement, engendrent des variations de vitesse dans la direction axiale par l’entremisede l’équation de continuité. Conséquemment, près de la paroi, où ∂vr

∂r < 0, l’écoulement gagnede la vitesse dans la direction axiale. La couche limite est alors alimentée en quantité demouvement et elle devient beaucoup plus robuste.

La figure 6.11, qui montre les lignes de cisaillement pariétal pour les deux simulations, vientcorroborer l’explication du paragraphe précédent. Effectivement, avec le profil numérique, onvoit clairement un col sur la paroi du cône, ce qui signifie qu’il y a séparation hâtive de lacouche limite. De plus, on peut noter que le cisaillement pariétal est plus grand avec le profilexpérimental, ce qui indique que la couche limite est plus robuste.

Comme il est possible de le constater à la figure 6.9, la valeur du coefficient de récupérationobtenue avec le profil de vitesse radiale expérimental s’approche davantage du coefficient de

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Figure 6.11: Lignes de cisaillement pariétal sur les parois de l’aspirateur pour différents profilsde vitesse radiale imposés à l’entrée du domaine.

récupération mesuré expérimentalement. Cependant, étant donné l’influence gigantesque dece paramètre sur les performances de l’aspirateur, plusieurs points de fonctionnement serontsimulés avec les deux approches. Les résultats sont présentés à la section 6.2.

6.1.6 Résumé méthodologique

Finalement, les éléments méthodologiques importants pour les simulations RANS et URANSde l’aspirateur sont résumés au tableau 6.4.

Toutefois, il est d’abord pertinent de discuter du modèle de turbulence employé. En effet,puisque l’approche de modélisation de la turbulence DES est uniquement disponible avec lemodèle de turbulence SST dans ANSYS CFX, l’auteur a préféré l’utiliser également pour lessimulations RANS et URANS. De cette manière, les différences observées entre les approches demodélisation de la turbulence DES et RANS ne pourront pas être attribuées à la modélisationde la turbulence en paroi.

De plus, quelques mots s’imposent concernant le schéma d’interpolation du terme convectif.Bien qu’il ne soit pas formellement de deuxième ordre, le schéma numérique "High Resolution"de ANSYS CFX s’est avéré le meilleur compromis entre stabilité numérique et précision. C’estce qui a motivé son utilisation.

Finalement, on peut spécifier que la durée des simulations instationnaires est de 60 tours deroue. Elles sont initialisées avec les solutions des simulations stationnaires et le moyennage desperformances est réalisé sur les 24 derniers tours de roue. Cette procédure s’est avérée adéquatepour obtenir une convergence statistique des résultats. Elle est cohérente avec les observationsde Bélanger-Vincent [4], qui observe un état périodique instationnaire après environ 24 toursde roue, et est plus sévère que la méthodologie proposée par Ciocan et al. [12], qui observent

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un état périodique instationnaire après seulement environ 8 tours de roue.

Table 6.4: Résumé méthodologique des simulations RANS et URANS de l’aspirateur.

Nombre de noeuds dans l’aspirateur 6 123 400Pas de temps (URANS) 5 de rotation de la roue (∆t∗ = 0.015)

Durée des simulations (URANS) 60 tours de roueModèle de turbulence SST

Schéma d’interpolation du terme convectif "High Resolution"Conditions d’entrée Profils de vitesse et quantités turbulentes

obtenus numériquement (section 5.2)et moyennés circonférentiellement*

Condition limite à la sortie Pression statique relative imposéeà la sortie de deux extensions droites

*Le profil de vitesse radiale expérimental a également été imposé, conjointement aux autresconditions limites numériques.

6.2 Résultats des simulations RANS et URANS del’aspirateur

Des simulations ont donc été effectuées, pour plusieurs points de fonctionnement, avec lesapproches de modélisation de la turbulence RANS et URANS. Les aspects méthodologiquesde ces simulations sont présentés à la section précédente.

Les profils de vitesse radiale numériques et expérimentaux ont été utilisés, autant avec lescalculs stationnaires qu’instationnaires. Il est toutefois pertinent de discuter de l’utilisationdes profils de vitesse radiale expérimentaux, conjointement aux autres conditions d’entréenumériques.

Il faut d’abord être conscient que cette méthodologie peut engendrer des comportements non-physiques près du plan d’entrée, puisque le profil de vitesse radiale peut présenter des incohé-rences avec les autres composantes du vecteur vitesse. Cependant, aucun comportement de cegenre n’est apparu dans les solutions présentées ici.

De plus, comme il est illustré à la figure 5.19, la vitesse radiale varie très peu en fonctiondu débit. Elle a donc été supposée constante pour tous les points de fonctionnement simulésnumériquement. Cela a permis de simuler une plage d’opération beaucoup plus large quecelle investiguée expérimentalement. Il faut toutefois être conscient que cette approximationpeut engendrer des erreurs, particulièrement lorsque l’on s’éloigne du sommet de la courbe deperformance.

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Figure 6.12: Coefficient de récupération de l’aspirateur en fonction du coefficient de débitobtenu avec les approches de modélisation de la turbulence RANS et URANS.

La figure 6.12 montre donc l’évolution du coefficient de récupération en fonction du coefficientde débit, pour les simulations réalisées avec les approches de modélisation de la turbulenceRANS et URANS.

Il est pertinent de mentionner que les coefficients de débit présentés à la figure 6.12 sontcalculés avec les débits imposés dans les simulations. Conséquemment, puisque les profils devitesse obtenus par simulation numérique collent avec les profils de vitesse expérimentaux àun débit légèrement plus faible (≈ 3.5%), on peut s’attendre à un léger décalage du sommetvers la gauche. Cependant, le décalage observé avec les profils de vitesse radiale numériques,de presque 10%, est beaucoup plus important que ce qui est anticipé.

De plus, on constate encore une fois l’impact gigantesque qu’a le profil de vitesse radialesur les performances de l’aspirateur. On note également l’apparition de quelques différencessignificatives entre les simulations stationnaires et instationnaires. Les phénomènes physiques

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Figure 6.13: Champ de vitesse débitante adimensionnée par la vitesse débitante moyenne à lasortie de la roue. Les deux simulations, effectuées avec des profils de vitesse radiale différentsimposés à l’entrée du domaine, sont à un coefficient de débit de φ/φOpt = 0.87.

permettant d’expliquer le développement des courbes et les disparités entre chacune d’entreelles sont explorées dans les prochains paragraphes.

6.2.1 Impact de la vitesse radiale sur les performances de l’aspirateur

Tel que mentionné à la section 6.1.5, une vitesse radiale positive permet de diriger le débit versles parois et d’ainsi alimenter la couche limite en quantité de mouvement. Cela se répercuteen une résistance accrue au phénomène de séparation de la couche limite, mais également enun frottement plus grand sur les surfaces solides.

À faible débit, l’écoulement quitte la roue avec une vitesse tangentielle résiduelle importante(voir section 5.1). Tel que démontré expérimentalement par Okhio et al. [46], l’ajout d’unecomposante circonférentielle de vitesse dans un diffuseur conique a pour effet d’augmenterla vitesse axiale dans la région près des parois. La couche limite s’en trouve énergisée etplus résistante au gradient de pression adverse. Le risque de séparation est alors plutôt faible.Conséquemment, à faible débit, la couche limite reste attachée, peu importe le profil de vitesseradiale à l’entrée. Comme il est illustré à la figure 6.13, on obtient donc, à faible débit, unetopologie d’écoulement similaire pour les deux profils de vitesse radiale.

Néanmoins, le profil de vitesse radiale expérimental dirige quand même davantage de débitvers les parois. Les vitesses sont donc plus importantes à proximité des surfaces solides, ce qui

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Figure 6.14: Champ de vitesse débitante adimensionnée par la vitesse débitante moyenne àla sortie de la roue. Les deux simulations sont à un coefficient de débit de φ/φOpt = 0.97.

se traduit en un frottement pariétal plus important et en des pertes plus grandes. Il en résultedonc un moins bon coefficient de récupération qu’avec les profils de vitesse radiale numérique.C’est ce que l’on peut constater à la figure 6.12, jusqu’à environ φ/φOpt = 0.9.

Cette tendance perdure jusqu’à ce que le coefficient de moment cinétique ne soit plus assezfort pour transférer suffisamment de quantité de mouvement aux parois. Il apparaît alors deszones de séparation dans les simulations où le profil de vitesse radiale numérique est imposé.Toutefois, ce n’est pas le cas avec la vitesse radiale expérimentale. En effet, avec la vitesseradiale plus importante, le transfert de quantité de mouvement vers les parois est suffisantpour que la couche limite reste attachée, malgré le moment cinétique plus faible.

Donc, avec les profils de vitesse radiale numériques, on observe une dégradation rapide desperformances au-delà de φ/φOpt = 0.9. Cela est dû aux zones séparées qui prennent de l’am-pleur et qui réduisent l’aire de passage effective dans le diffuseur. Au contraire, avec les profilsde vitesse radiale expérimentaux, la couche limite est assez robuste pour résister au gradientde pression adverse. On observe donc une augmentation du coefficient de récupération, jusqu’àenviron φ/φOpt = 1.

Par conséquent, dans cette plage de fonctionnement, la topologie de l’écoulement varie énor-mément en fonction du profil de vitesse radiale imposé. Cela est illustré à la figure 6.14, quimontre la vitesse débitante dans les pertuis de l’aspirateur.

Ensuite, à plus forte charge, le moment cinétique de l’écoulement devient si faible, que même

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la vitesse radiale expérimentale ne suffit plus pour alimenter la couche limite en quantité demouvement. Cela se traduit par l’apparition de zones de séparation très importantes et en unebaisse brutale du coefficient de récupération. La topologie de l’écoulement, dans cette portionde la courbe de performance, sera étudiée plus en détail à la section 6.2.3.

En somme, il a été observé que le profil de vitesse radiale a la capacité d’altérer significative-ment l’allure de la courbe de performance de l’aspirateur. En effet, une vitesse radiale positiveimportante a pour effet d’énergiser la couche limite et de retarder l’apparition des zones deséparation dans l’aspirateur. Le diffuseur peut alors mieux performer à plus grand débit, où lemoment cinétique de l’écoulement est faible. C’est pourquoi la vitesse radiale expérimentale,plus élevée que la vitesse radiale numérique, permet d’obtenir un coefficient de récupérationmaximal plus grand et une courbe de performance dont le sommet est à plus grand débit. Parcontre, cet apport de quantité de mouvement vers les parois a un effet pervers à plus faibledébit, où le moment cinétique est assez fort pour conserver une couche limite attachée. Lespertes par frottement sont alors plus importantes et le coefficient de récupération s’en trouvediminué.

6.2.2 RANS versus URANS

La figure 6.12 exhibe des différences entre les résultats obtenus avec les simulations station-naires et instationnaires. Toutefois, on peut remarquer que l’amplitude des écarts sur le coef-ficient de récupération varie en fonction du point de fonctionnement. De plus, dans plusieurscas, cet écart est nul. Regardons donc ce qui engendre et explique ces différences.

On constate d’abord que les écarts importants apparaissent dans la partie descendante descourbes de performance, c’est-à-dire à droite du sommet. Comme il a été discuté à la sectionprécédente, cette portion des courbes est caractérisée par la présence de zones de séparation.

De plus, tel qu’il a été soulevé à la section 6.1.3, la présence de régions de recirculation oc-casionne la formation de couches cisaillées libres importantes dans l’écoulement. Ces couchessont instables et favorisent l’apparition de mouvements instationnaires. Les structures d’écou-lement qui en émergent peuvent être qualifiées de turbulence cohérente de grande échelle. Cesstructures ont pour effet de favoriser le mélange de quantité de mouvement près des zones derecirculation et d’ainsi réduire leur ampleur. La réduction d’aire de passage effective est alorsatténuée, ce qui se répercute en une amélioration du coefficient de récupération.

Ces structures d’écoulement, favorisant le mélange, peuvent être visualisées à l’aide du critèreq = 1

2(||Rij ||2 − |||Sij ||2) 1. Elles sont montrées à la figure 6.15, pour la simulation à un

1. Le lecteur désirant approfondir ses connaissances sur les méthodes de visualisation des structures tour-billonnaires est invité à consulter Jeong et Hussain [28].

96

Page 119: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 6.15: Structures tourbillonnaires (vert foncé) dans un calcul instationnaire URANSet visualisées à l’aide du critère q. Le plan horizontal montre les zones où le module de lavorticité est important.

coefficient de débit φ/φOpt = 0.94 et où le profil de vitesse radiale numérique a été imposé.

La figure 6.16 permet de mieux apprécier leur effet sur les régions de recirculation dans lespertuis. La vitesse débitante provenant d’une simulation stationnaire est comparée à celleobtenue avec une simulation instationnaire.

Toutefois, on constate qu’à l’exception de la forme des zones séparées, la topologie de l’écou-lement est essentiellement la même dans les deux cas. Conséquemment, la forme de la courbedu coefficient de récupération est très similaire pour les simulations stationnaires et instation-naires.

Dans les cas où il n’y a pas de séparation de la couche limite et où il n’y a pas de couches ci-saillées importantes, les résultats RANS et URANS produisent des résultats identiques. L’écou-lement reste stationnaire dans les deux cas.

On peut aussi penser que l’utilisation de l’approche URANS vient réduire la sensibilité dela solution face au modèle de turbulence. En effet, les prédictions de performance à hautdébit (φ/φOpt > 1) laissent présager que l’ampleur des zones séparées est exagérée lors dessimulations RANS. Cela pourrait être dû à une sous-estimation de la viscosité tourbillonnaireproduite dans les couches cisaillées. Dans un calcul instationnaire, cette sous-estimation per-

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Figure 6.16: Champ de vitesse débitante moyennée dans le temps et adimensionnée par lavitesse débitante moyenne à la sortie de la roue. Les deux simulations sont à un coefficient dedébit de φ/φOpt = 0.94 et le profil de vitesse radiale numérique a été imposé.

met l’apparition de mouvements instationnaires turbulents qui viennent alors compenser laviscosité turbulente modélisée trop faible. Toutefois, dans un cas où la viscosité turbulente se-rait correcte, les mouvements instationnaires seraient amortis et il n’y aurait pas de transfertde quantité de mouvement additionnel avec l’approche URANS.

En résumé, il semble que l’approche URANS présente un avantage par rapport au RANS dansles cas où il y séparation de la couche limite. Effectivement, les mouvements instationnairessimulés en URANS semblent venir compenser pour la viscosité turbulente trop faible dans lescouches cisaillées en RANS. Il y a alors une amélioration de la prédiction des performancesde l’aspirateur. Donc, même si la simulation de mouvements turbulents cohérents de grandeséchelles va à l’encontre de la philosophie RANS, où tout le spectre de la turbulence devraitêtre modélisé, elle s’est avérée bénéfique pour la prédiction de l’écoulement dans l’aspirateur.

6.2.3 Discussion sur la baisse de rendement marquée près du meilleurpoint de fonctionnement

Comme on peut l’observer à la figure 6.17, les calculs instationnaires URANS, où la vitesseradiale expérimentale a été imposée, permettent de reproduire assez bien la courbe de perfor-mance de l’aspirateur. Il est toutefois pertinent d’investiguer davantage la physique prenantplace dans le diffuseur, afin de mieux déterminer les capacités de l’approche utilisée et d’ap-

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Page 121: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 6.17: Coefficient de récupération de l’aspirateur en fonction du coefficient de débit.Les résultats numériques ont été obtenus avec l’approche de modélisation de la turbulenceURANS et le profil de vitesse radiale expérimental en entrée.

profondir notre compréhension des phénomènes de perte dans cette composante.

On peut d’abord remarquer une différence entre la position du sommet expérimental et numé-rique. Effectivement, le sommet de la courbe numérique est situé à un débit 1.6% plus grandde que le sommet de la courbe expérimentale. Cependant, il faut savoir que des variations surla position du sommet ont aussi été observées sur le banc d’essai expérimental. En effet, dif-férents essais expérimentaux, effectués dans des conditions similaires, ont produit des courbesde performance dont la position du sommet variait d’environ 1%. Cela expose la sensibilité duphénomène à l’origine de la diminution abrupte de rendement. Il n’est donc pas surprenantd’observer une légère différence entre la position du sommet expérimental et numérique.

Ensuite, lorsque l’on compare l’amplitude de la baisse du coefficient de récupération près dumeilleur point de fonctionnement, un bon accord est observé entre les résultats numériques etexpérimentaux. Effectivement, les mesures expérimentales montrent une baisse du coefficientde récupération de 0.158, alors que les simulations numériques prédisent diminution de 0.150.

Par contre, même si la courbe de récupération de pression en fonction du coefficient de débitest assez bien reproduite numériquement, certains aspects des simulations ne concordent pasbien avec les mesures expérimentales. C’est notamment le cas pour l’écart de débit entre lespertuis. Tridon et al. [64] ont observé que la diminution du rendement près du meilleur point

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Page 122: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 6.18: Écart de débit entre les pertuis en fonction du coefficient de débit. Les résultatsnumériques ont été obtenus avec l’approche de modélisation de la turbulence URANS et leprofil de vitesse radiale expérimental en entrée.

de fonctionnement est accompagnée d’un écart de débit important entre les deux pertuis. Eneffet, ils ont mesuré que tout de suite après la baisse marquée du coefficient de récupération,près de 70% du débit passe dans le pertuis droit. Comme il est possible de le constater à lafigure 6.18, qui montre le pourcentage d’écart de débit entre les pertuis, ce n’est pas du toutle cas dans les simulations numériques.

Le pourcentage d’écart de débit est calculé à l’aide de la relation suivante :

Écart de débit =QPertuis Droit −QPertuis Gauche

Q∗ 100 (6.1)

Un écart de débit positif signifie qu’il y a plus de débit qui traverse le pertuis droit, alors qu’unécart de débit négatif indique le contraire.

Cependant, la zone de séparation dans les simulations numériques semble prendre naissanceà l’intérieur du coude et se propager sur le plafond des pertuis, ce qui est cohérent avec lesobservations expérimentales. La figure 6.19 montre la position des lignes de séparation avantet après la chute de rendement.

On constate qu’avant la baisse du coefficient de récupération, une petite zone de séparation

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Page 123: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 6.19: Lignes de cisaillement pariétal a) avant la diminution de performance et b)après. Les parois sont colorées par l’amplitude du cisaillement pariétal. Les lignes séparatricessont mises en évidence par un trait rouge.

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Page 124: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 6.20: Champ de vitesse débitante moyennée dans le temps et adimensionnée par lavitesse débitante moyenne à la sortie de la roue avant et après la diminution du coefficient derécupération près du meilleur point de fonctionnement.

prend naissance en amont du nez pile, en raison de l’écoulement secondaire qui se forme àcet endroit. On note aussi la présence d’un décollement dans le pertuis gauche, égalementobservable à la figure 6.20. Cette figure montre la vitesse débitante dans les pertuis, avant etaprès le meilleur point de fonctionnement.

À débit légèrement plus élevé, après la diminution de performance, une énorme zone de sé-paration apparaît dans le pertuis droit. On observe aussi un décollement important du côtégauche, mais de moins grande ampleur qu’à droite. C’est pourquoi, numériquement, on préditun débit plus important dans le pertuis gauche que dans le pertuis droit.

Quelques hypothèses peuvent être mises de l’avant pour expliquer la mauvaise prédiction dela répartition de débit entre les pertuis. En premier lieu, il est légitime de soupçonner le déba-lancement de l’écoulement à la sortie de la roue d’avoir un effet significatif sur la position de laligne séparatrice à la sortie du coude. En effet, si la couche limite est davantage alimentée enquantité de mouvement d’un côté ou de l’autre du cône de l’aspirateur, son comportement plusbas en sera sans doute affecté. Une autre cause qui pourrait être soulevée est l’écart entre lessommets numérique et expérimental. Effectivement, puisque la baisse abrupte de performancesurvient à un coefficient de débit légèrement plus grand dans les simulations numériques, lecoefficient de moment cinétique dans l’écoulement est fort probablement différent. Étant donnéla forte interaction qu’a ce paramètre avec l’écoulement secondaire dans le coude, il ne seraitpas étonnant que la position du décollement y soit très sensible.

Toutefois, la courbe du coefficient de récupération numérique laisse croire que la répartition de

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Page 125: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 6.21: Évolution du coefficient de récupération dans l’aspirateur avant et après ladiminution du coefficient de récupération près du meilleur point de fonctionnement.

débit entre les pertuis de l’aspirateur n’a pas un impact très important sur les performances. Eneffet, il semble que pourvu qu’il y ait un décollement, il importe peu à quel endroit exactementil prend naissance et dans quel pertuis il se propage. D’ailleurs, à φ/φOpt = 1.03, les donnéesexpérimentales montrent une mauvaise récupération de pression, mais un débit assez bienéquilibré entre les pertuis. L’important est que la réduction de l’aire de passage effective soitreproduite adéquatement. L’effet de cette réduction d’aire effective est clairement visible à lafigure 6.21, qui montre l’évolution de la récupération de pression dans l’aspirateur. Sur cettefigure, on peut aussi remarquer que les deux courbes commencent à diverger juste avant le nezpile, ce qui est cohérent avec la position de la ligne séparatrice présentée à la figure 6.19.

En somme, l’approche de modélisation de la turbulence URANS semble être en mesure de faireun bon travail pour prédire les performances de l’aspirateur dans la plage de fonctionnementinvestiguée. Cependant, certains aspects des simulations numériques ne concordent pas bienavec les mesures expérimentales. C’est notamment le cas pour l’écart de débit entre les pertuis.

De plus, une bonne description axisymétrique des caractéristiques de l’écoulement à l’entrée del’aspirateur semble suffisante pour assez bien prédire la courbe de performance de l’aspirateur.Toutefois, il est primordial de bien décrire les caractéristiques de la couche limite et surtout,les éléments ayant un rôle important dans les transferts de quantité de mouvement vers laparoi, tel le profil de vitesse radiale.

103

Page 126: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un
Page 127: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Chapitre 7

Simulations DES de l’aspirateur

Maintenant que les capacités de l’approche de modélisation RANS sont mieux définies, il estpossible d’évaluer les gains associés à l’approche de modélisation DES.

Toutefois, une approche de modélisation de la turbulence différente implique que certainsparamètres doivent être traités différemment. Conséquemment, tout comme au chapitre pré-cédent, certains aspects méthodologiques sont d’abord traités. Puisque les conditions d’entréeont fait l’objet d’un travail approfondi, une section est dédiée à cette question. Finalement,les résultats obtenus avec l’approche de modélisation de la turbulence DES sont présentés etanalysés.

7.1 Adaptation des conditions limites à l’entrée de l’aspirateur

L’approche de modélisation de la turbulence DES nécessite une vision différente des conditionslimites à l’entrée de l’aspirateur. En effet, tel qu’expliqué à la section 3.3, on désire simulerles mouvements turbulents de grandes échelles au coeur de l’écoulement. Évidemment, il estsouhaitable d’inclure cette turbulence cohérente dans les conditions d’entrée.

Donc, contrairement à l’approche RANS, où seulement des profils moyens de vitesse sontimposés, conjointement aux quantités turbulentes modélisées, l’approche de modélisation DESnécessite un contenu instationnaire correspondant à la partie du spectre que l’on désire simuler.

Il faut aussi noter qu’avec l’approche DES, la turbulence modélisée doit être atténuée dans lazone LES du calcul. Effectivement, il faut que les quantités turbulentes associées au modèlereflètent le fait qu’une plus petite partie du spectre de la turbulence est modélisée.

La procédure utilisée pour atténuer les quantités turbulentes à l’entrée du domaine est d’abord

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Page 128: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

présentée. Ensuite, on traite du contenu instationnaire, qui correspond à la turbulence cohé-rente de grande échelle que l’on désire injecter à l’entrée du domaine. Finalement, l’impact dece contenu instationnaire sur les performances du diffuseur est évalué.

7.1.1 Atténuation des quantités turbulentes modélisées dans la zone LES

Tel que mentionné précédemment, l’approche de modélisation de la turbulence DES consisteà utiliser une approche de modélisation RANS près des parois et une approche LES au coeurde l’écoulement. Conséquemment, c’est seulement à l’extérieur des couches limites que l’ondésire simuler les structures turbulentes cohérentes et atténuer les quantités du modèle RANSqui proviennent des simulations de la roue.

Il faut donc d’abord identifier les couches limites, afin de déterminer où les quantités tur-bulentes doivent être modifiées. Une discussion sur le niveau d’atténuation de ces quantitésturbulentes est ensuite présentée.

Délimitation des zones LES et RANS

Pour discriminer les zones LES des zones RANS, une approche similaire à celle proposée parSpalart et al. [54] pour le DDES a été utilisée. En effet, le ratio au carré de la longueurturbulente modélisée par rapport à la distance à la paroi est d’abord calculé :

rd ≡νt + ν

√ui,jui,j κ2 d2

(7.1)

La distance à la paroi est représentée par d et κ est la constante de Kármán. Le paramètre rd estdonc égal à l’unité dans la zone logarithmique de la couche limite et il diminue graduellementvers 0 en s’éloignant de la paroi. Ce paramètre est ensuite injecté dans la relation

fd ≡ 1− tanh([8rd]3) (7.2)

afin que fd soit égal à un dans la zone LES, où le ratio de la longeur turbulente modélisée parrapport à la distance à la paroi est largement inférieur à l’unité. Partout ailleur, fd est nul.

Niveau d’atténuation des quantités turbulentes

Maintenant que les zones LES et RANS sont bien délimitées, il faut déterminer comment lesquantités modélisées RANS, provenant du calcul en amont, doivent être modifiées dans la zone

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Page 129: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

LES.

Toutefois, il faut d’abord préciser que l’approche DES aurait intrinsèquement atténué lesquantités turbulentes au coeur de l’écoulement. Effectivement, puisque fondamentalement,l’approche DES consiste à limiter la longueur turbulente modélisée lt à la taille des mailles, ltaurait été automatiquement abaissée au centre du cône, dans les zones LES.

Cependant, puisque l’on cherche à évaluer l’effet que peut avoir la gamme simulée du spectrede la turbulence sur le comportement de l’écoulement dans l’aspirateur, il a été choisi denégliger la turbulence modélisée dans la zone LES. En effet, cela aura pour effet de réduireau maximum la diffusion des structures cohérentes, peut-être même de façon exagérée. Parcontre, si leur effet est imperceptible sur l’écoulement en aval, une diffusion artificielle tropimportante ne pourra pas être mise en cause.

Donc, des quantités turbulentes très faibles, correspondant à νt/ν = 0.1 et I = 0.1% ont étéimposées dans la zone LES. Les quantités turbulentes modélisées à l’entrée de l’aspirateur ontété déterminées à l’aide des relations suivantes :

νt = (νt)RANS (1− fd) + 0.1ν fd (7.3)

I = IRANS (1− fd) + 0.001fd (7.4)

Les quantités turbulentes provenant du calcul RANS de la roue sont désignées par l’indice

RANS . La figure 7.1 montre l’effet de cette opération sur les quantités turbulentes à l’entréedu domaine.

7.1.2 Description des structures d’écoulement à la sortie de la roue

À la sortie de la roue, des variations circonférentielles importantes apparaissent dans le champsde vitesse au-delà de r/R = 0.6. Gagnon et al. [20] ont étudié expérimentalement le champ devitesse sous une roue de turbine hélice et ils concluent que ces variations de vitesse peuventêtre attribuées à deux phénomènes distincts. Tout d’abord, ils attribuent une partie de cesfluctuations à la différence de vitesse entre l’intrados et l’extrados de l’aube. En effet, la formedes aubes de la roue engendre une accélération de l’écoulement sur l’extrados. Il se forme doncun gradient de vitesse dans le canal inter-aube, qui perdure à la sortie de la roue. Le deuxièmephénomène observé correspond aux sillages derrière les aubes, engendrés par les couches limitesqui quittent le bord de fuite. Dans leur étude, le gradient de vitesse dans le canal inter-aubes’est avéré plus important que les sillages engendrés par les couches limites. Effectivement, lesvariations engendrées par les différences de vitesse entre l’intrados et l’extrados semblaient sefaire ressentir beaucoup plus loin dans le cône de l’aspirateur.

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Page 130: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 7.1: Ratio de νt/ν et d’intensité turbulente a) provenant des calculs RANS de la roueet b) après l’atténuation des quantités turbulentes dans la zone LES.

La figure 7.2 montre les fluctuations de vitesse sous la roue à trois hauteurs dans le cônede l’aspirateur. On peut y observer la vitesse axiale et tangentielle à un instant donné enfonction de la position angulaire. Les vitesses ont été sondées à un rayon r/R = 0.9. C’est àcette position que l’intensité des fluctuations est la plus élevée. Les données proviennent d’unesimulation numérique qui inclue la double-grille, la roue et l’aspirateur. Elle a été effectuée àun débit qui correspond à φ/φOpt = 0.94.

Immédiatement sous la roue, à 0.397D sous l’axe distributeur, on peut d’abord observer 19minces pointes de survitesse circonférentielles, jumelées à un déficit de vitesse axiale. Ellessont sans doute attribuables aux couches limites qui quittent le bord de fuite. En effet, prèsdu bord de fuite, la condition de non-glissement occasionne une vitesse circonférentielle quis’approche de celle des aubes de la roue et la vitesse axiale est faible étant donné le déficit dequantité de mouvement dans la couche limite.

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Page 131: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

-0.2

-0.1

0

0.1

0 50 100 150 200 250 300 350

Figure 7.2: Fluctutations de vitesse sous la roue à 0.397D, 0.463D et 0.529D sous l’axedistributeur. Les vitesses ont été sondées à un rayon r/R = 0.9. Le débit correspond à φ/φOpt =0.94.

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Page 132: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 7.3: Géométrie simple utilisée pour déterminer la discrétisation spatiale et temporellenécessaire à la simulation des structures qui émergent de la roue.

Cependant, comme il a été observé expérimentalement par Gagnon et al. [20], ces pointes devitesse se dissipent rapidement et laissent place à des signaux de vitesse ayant la forme defonctions sinusoïdales. Cela vient donc justifier l’hypothèse effectuée à la section 5.3.3, pourestimer l’énergie cinétique liée aux fluctuations de vitesse dans cette zone.

Finalement, il est pertinent de noter que dans le cas d’une turbine Francis, qui compte beau-coup plus d’aubes qu’une turbine hélice, il est plus ardu de discerner clairement si les fluctua-tions de vitesse plus basses dans le cône sont davantage attribuables aux couches limites quiquittent le bord de fuite ou au gradient de vitesse dans le canal inter-aube.

7.1.3 Discrétisation spatiale nécessaire à la simulation des structures quiémergent de la roue

En raison du grand nombre d’aubes et de la vitesse de rotation importante de la roue, lesstructures d’écoulement présentes à l’entrée de l’aspirateur sont fines et elles voyagent rapi-dement dans l’espace. De plus, comme il a été mentionné à la section 4.2.3, les travaux deMauri [37], de Cervantes et al. [8] et de Bélanger-Vincent [4] ont révélé une diffusion rapide deces structures sous le plan d’entrée. Il est possible qu’une discrétisation trop grossière soit encause. Des essais ont donc été menés, sur une géométrie simple, afin de déterminer la résolutionspatiale et temporelle requise pour capter adéquatement les structures en sortie de roue.

Cette géométrie est constituée du cône de l’aspirateur et d’une extension droite à divergencenulle. L’extension a la même longueur que le cône. Cette géométrie est présentée à la figure7.3.

En premier lieu, cinq maillages ont été essayés. Le nombre de noeuds qui les composent varieentre deux et 15 millions. Il est intéressant de mentionner que la résolution la plus grossière

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Page 133: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 7.4: Structures tourbillonnaires à la sortie de la roue mises en évidence par le critère qet colorées par la viscosité turbulente modélisée. Le pas de temps correspond à 5 de rotationde la roue.

essayée correspond à celle du maillage D de la section 6.1.2, qui compte environ six millionsde noeuds pour l’ensemble de l’aspirateur.

Pour ces essais, le pas de temps utilisé correspond à 0.5 de rotation de la roue. Toutefois,l’effet de ce paramètre est traité en détail à la prochaine section. Les champs physiques bidi-mensionnels, obtenus avec la méthodologie présentée à la section 5.2, ont été mis en rotationà l’entrée domaine, situé à environ 0.01D sous la roue.

Pour déterminer la résolution nécessaire, deux critères ont été utilisés. Tout d’abord, les struc-tures tourbillonnaires ont été observées avec le critère q. Elles sont montrées pour chacun desmaillages testés à la figure 7.4.

On peut d’abord constater l’influence prépondérante qu’a la résolution du maillage sur l’évo-lution des structures tourbillonnaires dans le cône de l’aspirateur. En effet, alors qu’avec unmaillage comptant un peu moins de trois millions de noeuds, les structures se diffusent trèsprès du plan d’entrée, elles persistent jusque dans le plan de sortie lorsque la discrétisation

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Page 134: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

0

Figure 7.5: Énergie cinétique associée aux fluctuations de vitesse en fonction du nombre denoeuds dans le maillage. L’énergie cinétique est évaluée 0.529D sous l’axe distributeur, à unrayon de r/R = 0.9.

spatiale le permet.

Jusqu’à 11.7 millions de noeuds, les différences entre les maillages sont très marquées. Toute-fois, entre les deux résolutions les plus fines, les différences, bien que présentes, sont beaucoupplus subtiles.

Ensuite, on peut comparer l’énergie cinétique associée aux fluctuations de vitesse. Les troiscomposantes du vecteur vitesse ont été sondées à un rayon de r/R = 0.9, situé sur un plan0.529D sous l’axe distributeur, donc 0.14D sous la roue. Les tensions de Reynolds engendréespar les fluctuations de vitesse ont été estimées à l’aide de l’équation (5.6), ce qui a ensuitepermis d’évaluer l’énergie cinétique avec l’équation (5.2). L’énergie ainsi évaluée est présentéeen fonction du nombre de noeuds à la figure 7.5.

Encore une fois, on observe que le maillage a un impact important sur les structures à la sortiede la roue. Effectivement, les fluctuations de vitesse sont beaucoup plus intenses avec unmaillage fin. Ce constat indique qu’un maillage trop grossier diffuse rapidement les structuresd’écoulement à l’entrée de l’aspirateur. À partir du maillage de neuf millions de noeuds, lesvariations d’énergie cinétique sont moins marquées. Particulièrement entre les maillages de11.7 millions et de 14.8 millions, l’écart est relativement mince. Cependant, il serait nécessaired’augmenter davantage la résolution pour être complètement indépendant de ce paramètre.

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Page 135: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 7.6: Structures tourbillonnaires à la sortie de la roue mises en évidence par le critèreq et colorées par la viscosité turbulente modélisée pour différents pas de temps. Le maillageutilisé compte environ 12 millions de noeuds.

La résolution du maillage d’environ 12 millions de noeuds semble être un bon compromis pourcapter adéquatement les structures tourbillonnaires à la sortie de la roue. Elle sera transposéedans le cône de l’aspirateur de la turbine, afin d’évaluer l’impact qu’ont ces structures sur laperformance du diffuseur.

7.1.4 Discrétisation temporelle nécessaire à la simulation des structuresqui émergent de la roue

Le même exercice a été réalisé pour la discrétisation temporelle en utilisant le maillage de 12millions de noeuds. On peut donc d’abord observer à la figure 7.6 les structures tourbillonnairesdans le cône, obtenues avec différents pas de temps.

113

Page 136: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Figure 7.7: Énergie cinétique associée aux fluctuations de vitesse en fonction du pas de temps.L’énergie cinétique est évaluée 0.529DRoue sous l’axe distributeur, à un rayon de r/R = 0.9.

Aucune différence significative ne semble être observable entre les deux simulations ayant lespas de temps les plus fins. Toutefois, pour les pas de temps les plus grossiers, de 0.75 et 1

de rotation de la roue, les structures se détériorent.

Pour ce qui est de l’énergie cinétique liée aux fluctuations de vitesse, la tendance est la même.En effet, la figure 7.7 nous montre une mince différence entre les pas de temps les plus fins.Encore ici, il n’est cependant pas possible de démontrer une convergence complète de la solutionpar rapport au pas de temps. Toutefois, il est clair que lorsque la discrétisation temporelle estrelâchée, on constate une diminution prononcée de l’énergie cinétique liée aux fluctuations devitesse.

Un pas temps de 0.5 de rotation de la roue semble être un compromis acceptable pour captercorrectement les structures d’écoulement présentes à l’entrée du diffuseur. Conséquemment,cette valeur est celle utilisée pour évaluer l’impact qu’ont ces structures sur les phénomènesphysiques prenant place dans l’aspirateur.

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Page 137: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

7.1.5 Influence des structures d’écoulement à la sortie de la roue sur lesperformances de l’aspirateur

La résolution spatiale nécessaire, déterminée à l’aide des essais sur la géométrie simple, a ététransposée dans l’aspirateur de la turbine hydraulique. Le maillage ainsi généré compte prèsde 31 millions de noeuds et répond aux critères de qualité énoncés au tableau 6.1.

Les résultats ont ensuite été comparés à une simulation similaire, mais où les profils de vitesse etles quantités turbulentes imposées dans le plan d’entrée ont été moyennés circonférentiellement.

Cette comparaison a été menée au point d’opération qui correspond à φ/φOpt = 0.91. Bien quece débit soit inférieur au débit optimal expérimental, ce point d’opération est sur la sectiondescendante de la courbe de performance puisque la vitesse radiale numérique est utilisée (voirfigure 6.12). L’écoulement dans l’aspirateur n’est donc pas optimal et il est caractérisé par deszones de séparation importantes.

Dans les deux cas, le pas de temps équivaut à 0.5 de rotation de la roue et les quantités tur-bulentes modélisées sont atténuées dans la zone LES. Cette résolution temporelle, déterminéeà l’aide des essais présentés à la section 7.1.4, permet d’obtenir un nombre de Courant bieninférieur à l’unité. Il est pertinent de noter qu’une discussion plus générale sur ce paramètreest présentée à la section 7.2.2.

Il est d’abord intéressant d’observer les structures tourbillonnaires injectées dans le plan d’en-trée se propager dans le cône de l’aspirateur. C’est ce que l’on peut observer à la figure 7.8,où elles sont mises en évidence à l’aide du critère q.

Afin d’évaluer l’impact qu’elles pourraient avoir sur le transfert de quantité de mouvementvers la couche limite, observons le cisaillement pariétal sur les parois de l’aspirateur. C’est cequi est présenté à la figure 7.9.

On peut constater que la couche limite se comporte de façon très similaire dans les deuxsimulations. Effectivement, l’allure des lignes de cisaillement pariétal est essentiellement lamême dans les deux cas. L’amplitude du frottement aux parois est aussi presque identique.Aucune différence notable ne semble apparaître.

De surcroît, comme on peut le constater aux figures 7.10 et 7.11, la topologie de l’écoulementet le coefficient de récupération ne semblent pas affectés de façon importante par les structuresinstationnaires additionnelles dans le plan d’entrée.

Conséquemment, on peut en conclure que pour le point d’opération considéré, les structuresd’écoulement qui émergent de la roue n’ont pas un effet significatif sur l’écoulement en aval etsur les performances de l’aspirateur. Il n’a donc pas été jugé pertinent de les inclure dans les

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Figure 7.8: Structures tourbillonnaires dans l’aspirateur mises en évidence par le critère q etcolorées par la viscosité tourbillonnaire modélisée. Le maillage compte près de 31 millions denoeuds et le débit correspond à φ/φOpt = 0.91

simulations DES subséquentes. Toutefois, il serait pertinent de vérifier si cette conclusion tienttoujours aux autres points d’opération, particulièrement à plus faible débit. En effet, dans cetteplage d’opération, la structure tourbillonnaire au centre du cône, plus intense, risque d’êtreplus sensible aux perturbations, notamment celles provenant des sillages d’aubes.

7.1.6 Interaction entre l’aspirateur et la roue

La méthodologie présentée aux sections précédentes ne permet pas de considérer les interac-tions possibles entre les phénomènes physiques qui prennent place dans l’aspirateur et l’écou-lement dans la roue. Afin d’évaluer l’impact que ce type d’interaction pourrait avoir sur lesperformances de l’aspirateur, une simulation DES comprenant la double-grille, la roue et l’as-pirateur a été menée.

De plus, cette approche permet aux structures turbulentes de grandes échelles de voyager libre-ment de la roue à l’aspirateur. Cette simulation permettra donc de confirmer les conclusionstirées à la section précédente.

Après une brève présentation des aspects méthodologiques de la simulation, les champs phy-siques sous la roue sont analysés. Ensuite, l’écoulement dans l’aspirateur est comparé à celui

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Figure 7.9: Cisaillement pariétal sur les parois de l’aspirateur a) avec les structures d’écou-lements en sortie de roue et b) sans. Les lignes de cisaillement pariétal ont aussi été ajoutées,de façon à faciliter l’identification des zones de décollement.

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Figure 7.10: Champ de vitesse débitante moyennée dans le temps et adimensionnée par lavitesse débitante moyenne à la sortie de la roue pour a) la simulation incluant les structurestourbillonnaires en sortie de roue et pour b) la simulation où des conditions d’entrée axisymé-triques ont été imposées.

Figure 7.11: Évolution du coefficient de récupération dans l’aspirateur avec et sans les struc-tures d’écoulement en sortie de roue.

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Figure 7.12: Domaine de calcul pour la simulation incluant la double-grille, la roue et l’aspi-rateur.

obtenu avec une simulation incluant uniquement l’aspirateur.

Méthodologie pour la simulation couplée

Tel que mentionné aux paragraphes précédents, la simulation inclut la double-grille, la roueet l’aspirateur. Le domaine de calcul est présenté à la figure 7.12.

Une interface de type "Transient Rotor-Stator" est placée entre les directrices et la roue (voirfigure 5.11 pour la position), ainsi qu’à la sortie du cône de l’aspirateur. Une extension estplacée en amont des avant-directrices, afin que l’écoulement puisse se développer. De plus,tout comme pour les autres simulations d’aspirateur, deux extensions droites ont été placéesà la sortie de chaque pertuis.

Une condition de pression totale, choisie de façon à respecter la chute expérimentale, estimposée au plan d’entrée. À la sortie, on dicte une pression statique moyenne relative. Il estpertinent de mentionner qu’avec ce type de conditions aux limites, pratiquement le mêmedébit a été obtenu qu’avec la méthodologie de la section 5.2.

Le maillage de la double-grille compte un peu plus de sept millions de noeuds, la roue encompte légèrement plus de 17 millions et l’aspirateur en compte environ 11 millions, pourun total supérieur à 35 millions. Les maillages répondent aux critères de qualité énoncés auxtableaux 5.2, 5.3 et 6.1. Toutefois, il est pertinent de préciser que la discrétisation spatiale dansla double-grille n’est pas suffisante pour atteindre l’indépendance de maillage par rapportaux pertes dans cette composante. Cependant, puisque l’intérêt de cette simulation réside

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dans l’observation des interactions entre la roue et l’aspirateur et non dans la prédiction durendement de la machine complète et que ce type de simulation est aux limites des ressourcesde calcul disponibles, une discrétisation spatiale plus grossière dans la double-grille a été jugéeacceptable. Le pas de temps utilisé correspond à 2 de rotation de la roue.

Il faut aussi noter que le pas de temps et le maillage dans l’aspirateur ne permettent pas decapter avec finesse les structures d’écoulement associées aux sillages d’aubes. Nonobstant cemanque de résolution, on peut penser que les phénomènes d’interaction entre l’aspirateur et laroue, ayant la capacité d’affecter significativement les performances de la machine, pourrontêtre remarqués et sentis même si leur détail aux plus petites échelles n’est pas reproduit avecprécision.

Écoulement sous la roue

Il convient d’abord de comparer les caractéristiques générales de l’écoulement sous la roue àcelles obtenues expérimentalement et avec la méthodologie présentée à la section 5.2.

En premier lieu, on peut observer à la figure 7.13 les profils de vitesse axiale, tangentielle etradiale moyennés sur la circonférence. Le profil moyen d’énergie cinétique turbulente est aussiprésenté sur cette figure. Pour la simulation instationnaire DES, l’énergie cinétique turbulentesimulée a été ajoutée à l’énergie cinétique turbulente modélisée. Dans le cas de la simulationobtenue avec la méthodologie de la section 5.2, l’énergie cinétique liée aux sillages d’aubes aété estimée avec l’approximation présentée à l’équation (5.6) et ajoutée à l’énergie cinétiqueturbulente modélisée.

Étonnamment, les profils de vitesse axiale et tangentielle sont mieux reproduits avec les simu-lations présentées à la section 5.2, qui incluent uniquement un passage de double-grille et unpassage de roue. Toutefois, on peut noter qu’il y a légèrement plus de vitesse radiale près dela paroi et que le profil d’énergie cinétique turbulente est mieux reproduit avec la simulationinstationnaire.

Il est aussi intéressant de remarquer à la figure 7.14 que l’aspirateur ne semble pas engendrer dedébalancement sous la roue similaire à celui observé expérimentalement. Effectivement, bienqu’il soit possible d’observer un très léger débalancement, ce dernier est orienté dans l’axeamont-aval et il est de beaucoup plus faible amplitude que celui observé sur le banc d’essai.Cela permet donc de penser que le débalancement de l’écoulement sous la roue provient plutôtd’une asymétrie de l’écoulement en sortie de bâche et non du gradient de pression lié au coudede l’aspirateur.

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0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.02

0.04

0.06

0.08

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Figure 7.13: Profils de vitesse axiale, tangentielle et radiale, ainsi que d’énergie cinétiqueturbulente, 0.529D sous l’axe distributeur au débit correspondant à φ/φOpt = 0.94.

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Figure 7.14: Profils bidimensionnels de vitesse axiale, tangentielle et radiale 0.529D sousl’axe distributeur obtenus avec la simulation instationnaire de la double-grille, de la roue etde l’aspirateur.

Écoulement dans l’aspirateur

Maintenant, regardons comment l’aspirateur répond à cette méthodologie différente. Il estd’abord possible d’observer à la figure 7.15 comment la récupération de pression évolue dansl’aspirateur. La solution obtenue avec la simulation couplée de la double-grille, de la roue etde l’aspirateur est comparée à une simulation DES où seulement l’aspirateur est simulé. Desconditions d’entrée axisymétriques obtenues avec la méthodologie de la section 5.2 ont étéimposées dans le plan d’entrée. Dans les deux cas, des maillages similaires ont été utilisés.

Bien qu’on note de légères différences entre les deux solutions, elles sont peu prononcées et laperformance de l’aspirateur est presque la même. D’ailleurs, lorsque l’on compare la topologiede l’écoulement dans les canaux de sortie, on constate qu’elle est pratiquement identique dansles deux cas. La figure 7.16 permet de comparer la vitesse débitante dans les pertuis.

Les faibles différences observées ne permettent pas de conclure qu’il y a une forte interactionentre les phénomènes prenant place dans le diffuseur et l’écoulement traversant la roue. Effec-tivement, pour ce qui est de la prédiction de la performance de l’aspirateur, il ne semble pasavoir de gain clair lié au couplage de l’aspirateur avec la roue et la double-grille.

De plus, les structures d’écoulement en sortie de roue ne semblent toujours pas affecter si-gnificativement le comportement de l’écoulement en aval. Cependant, ce constat n’est guèresurprenant, étant donné la résolution spatiale et temporelle utilisée.

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Figure 7.15: Évolution du coefficient de récupération dans l’aspirateur avec et sans couplageavec la roue. Le coefficient de récupération est évalué en moyennant la pression statique surdes plans transverses à l’écoulement.

Figure 7.16: Champ de vitesse débitante moyennée dans le temps et adimensionnée par lavitesse débitante moyenne à la sortie de la roue pour des simulations avec et sans le couplageavec les composantes en amont.

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7.2 Méthodologie pour les simulations DES de l’aspirateur

Outre la question de la condition d’entrée, il est pertinent de revisiter quelques aspects mé-thodologiques où les conclusions tirées en RANS ne sont pas nécessairement applicables enDES. C’est notamment le cas de la discrétisation spatiale et de la discrétisation temporelle.

7.2.1 Discrétisation spatiale

La discrétisation spatiale n’a pas exactement la même signification en RANS et en DES. Eneffet, en RANS, à partir d’un certain niveau de raffinement, aucune différence n’est perceptibledans les champs physiques. Toutefois, ce n’est pas le cas en DES. En effet, plus le maillageest fin, plus la portion simulée du spectre de la turbulence est grande. Par conséquent, unraffinement du maillage engendre l’apparition de mouvements instationnaires de plus petiteséchelles, qui viennent enrichir les champs physiques.

Cependant, il est légitime de se demander à quel point ces petites structures tourbillonnairesadditionnelles viennent affecter les quantités d’ingénierie désirées lors de simulations numé-riques de l’écoulement dans l’aspirateur.

Trois maillages ont donc été mis à l’essai, afin d’évaluer la sensibilité du coeffecient de récupé-ration à la présence de structures turbulentes plus fines simulées avec un maillage plus raffiné.Les maillages D et E de la section 6.1.2, comptant respectivement environ six et 12 millionsde noeuds, ainsi que le maillage de 31 millions de noeuds de la section 7.1.5 ont été utilisés.

Les conditions limites imposées dans le plan d’entrée sont axisymétriques et elles ont étéobtenues avec la méthodologie de la section 5.2. Dans tous les cas, les quantités turbulentesont été atténuées dans la zone LES. Les pas de temps utilisés permettaient tous d’obtenir unnombre de Courant largement inférieur à l’unité.

Tout d’abord, la figure 7.17 montre les structures tourbillonnaires additionnelles, plus fines,qu’il est possible de simuler avec une discrétisation spatiale plus raffinée.

Toutefois, comme il est possible de le constater à la figure 7.18, le coefficient de récupérationde l’aspirateur varie très peu en fonction du nombre de noeuds dans l’aspirateur. Cela suggèrequ’avec une discrétisation spatiale similaire à celle utilisée en URANS, il est possible d’obtenirune bonne simulation DES, où les performances prédites sont indépendantes du maillage.

Cependant, dans le cadre du présent projet recherche, où l’on cherche à déterminer les capacitésde l’approche de modélisation de la turbulence DES, il a été choisi d’utiliser le maillage de 12millions de noeuds, afin de minimiser l’impact de ce paramètre sur les conclusions qui seronttirées.

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Figure 7.17: Structures tourbillonnaires dans l’aspirateur mises en évidence par le critère qet colorées par la viscosité tourbillonnaire modélisée pour différents maillages.

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Figure 7.18: Évolution du coefficient de récupération dans l’aspirateur pour différentsmaillages.

7.2.2 Discrétisation temporelle

De façon similaire à la discrétisation spatiale, la discrétisation temporelle ne peut pas êtretraitée exactement de la même façon en DES et en URANS. Théoriquement, en URANS,on doit seulement s’assurer que la résolution temporelle permette de résoudre adéquatementles mouvements instationnaires non-turbulents, dont les échelles de temps sont généralementconnues à priori. Dans ces conditions, le pas de temps est indépendant du maillage. Toutefois,si une partie du spectre de la turbulence est simulé, comme c’est le cas en DES et parfois enURANS, la résolution temporelle doit permettre de capter les mouvements turbulents qui ysont associés. Les caractéristiques de ces mouvements instationnaires sont étroitement liées àla discrétisation spatiale. Conséquemment, le pas de temps qui doit être imposé est fortementdépendant du maillage.

Bien qu’ils ne soient pas captés de façon très précise, Spalart [55] estime que des tourbillonsayant une longueur d’onde d’environ cinq fois la taille des mailles ∆ peuvent être actifs dansla zone LES. En assumant qu’un schéma d’intégration temporel de deuxième ordre est utilisé,il évalue qu’environ cinq pas de temps par période est suffisant pour capter ces structures.Dans ces conditions, les particules qui voyagent dans le tourbillon traversent cinq mailles encinq pas de temps. Cela est équivalent à un nombre de Courant égal à l’unité. Bien que cettecondition soit bien approximative, elle donne une bonne idée de l’ordre de grandeur du pas

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de temps à utiliser. Cependant, dans certains cas, il peut être judicieux d’utiliser un pas detemps encore plus fin, pour pallier à des problèmes de stabilité numérique.

Donc, dans le cadre du présent travail, tous les pas de temps pour les simulations DES ontété sélectionnés de façon à obtenir un nombre de Courant moyen inférieur à l’unité.

7.2.3 Résumé Méthodologique

Il convient maintenant de résumer les éléments méthodologiques des simulations DES utiliséspour évaluer le gain lié à cette approche de modélisation de la turbulence. C’est ce qui est faitau tableau 7.1.

Toutefois, il est d’abord pertinent de discuter du schéma numérique utilisé pour le termeconvectif. Dans la zone LES, où une gamme de structures turbulentes est simulée, il est sou-haitable de réduire la diffusion artificielle au maximum. En effet, ces tourbillons, ayant parfoisune taille de quelques mailles seulement, peuvent être très sensibles à une fausse diffusiontrop importante. Donc, dans la zone LES, le schéma CDS est utilisé pour évaluer la vitesseaux points d’intégration. Cependant, dans les zones RANS, où les mouvements turbulents nesont pas simulés, le schéma "High Resolution" est utilisé. Il faut toutefois préciser que si desoscillations non-physiques sont détectées dans la zone LES, un mélange avec un schéma depremier ordre est aussi fait, afin d’assurer la stabilité numérique du calcul.

Ensuite, il est approprié de mentionner que la formulation de l’approche DES utilisée est celleproposée par Menter et Kuntz [40] (équation (3.29)), avec FSST = F1. Les couches limites sontdonc systématiquement prises en charge par le modèle RANS, indépendamment du maillage.Ce choix méthodologique a été motivé par les travaux de Bélanger-Vincent [4], qui ont montréque pour le type d’écoulement considéré, les formulations offrant une protection contre lephénomène de séparation induite par le maillage (GIS) produisent des résultats nettementsupérieurs.

Finalement, on peut noter que les simulations ont une durée de 48 tours de roue. Le moyennagedes quantités physiques a été effectué sur les 12 derniers tours. Bien qu’inférieur à la duréedes simulations URANS, cette procédure s’est avérée suffisante pour obtenir une convergencestatistique sur les performances de l’aspirateur. Cette diminution du temps de simulations’explique par le temps de calcul beaucoup plus grand, engendré par l’utilisation d’un maillageet d’un pas de temps plus raffiné.

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Table 7.1: Résumé méthodologique des simulations DES de l’aspirateur.

Nombre de noeuds dans l’aspirateur 11 996 944Pas de temps 0.5 degrés de rotation de la roue

Durée des simulations 48 tours de roueModèle de turbulence DES-SST, (FSST = F1)

Schéma d’interpolation du terme convectif CDS => LES, "High Resolution" => RANSConditions d’entrée Profils de vitesse et quantités turbulentes

obtenus numériquement (section 5.2)et moyennés circonférentiellement*

Condition limite à la sortie Pression statique relative imposéeà la sortie de deux extensions droites

*Les quantité turbulentes modélisées sont atténuées dans la zone LES.

7.3 Résultats des simulations DES de l’aspirateur

Il est maintenant temps de comparer les résultats obtenus avec l’approche de modélisation dela turbulence DES à ceux obtenus avec l’approche URANS. Cette comparaison est effectuéepour deux points de fonctionnement, à φ/φOpt = 0.91 et φ/φOpt = 0.94. Toutefois, commeil a été mentionné à la section 7.1.5, même si ces débits sont inférieurs au débit optimalexpérimental, ils correspondent à la partie descendante de la courbe de performance puisquela vitesse radiale numérique est utilisée.

Dans les deux cas, les conditions d’entrée ont été obtenues avec la méthodologie présentée à lasection 5.2. Toutefois, le plan d’entrée des simulations DES est placé légèrement plus haut quecelui des simulations URANS. De plus, en DES, les quantités turbulentes ont été atténuéesà l’extérieur des couches limites, selon la méthodologie présentée à la section 7.1.1. Cetteopération n’a évidemment pas été effectuée en URANS, puisque ce ne serait pas cohérent avecl’approche.

Observons d’abord, à la figure 7.19, l’évolution du coefficient de récupération dans l’aspirateur,obtenue avec les deux approches de modélisation de la turbulence testées.

En premier lieu, on constate que globalement, la récupération de pression prédite avec lesdeux approches est semblable. Effectivement, à la sortie de l’aspirateur, à environ l/D = 5, lecoefficient de récupération varie à peine de quelques pourcents.

Par contre, on peut aussi observer que le DES a tendance à prédire une moins bonne récu-pération de pression dans le coude. Toutefois, cette tendance est compensée par un meilleurcomportement à l’entrée des pertuis.

Il est possible de constater à la figure 7.20 que dans les deux simulations, la couche limite

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Figure 7.19: Évolution du coefficient de récupération dans l’aspirateur obtenue avec les ap-proches de modélisation de la turbulence DES et URANS.

quitte la paroi à peu près au même endroit. Cela est peu surprenant, puisque dans les deuxcas, la couche limite est prise en compte par le même modèle RANS.

Cependant, une fois que la couche de vorticité associée à la couche limite se détache du mur,les deux approches de modélisation répondent différemment. En effet, en DES, cette couche devorticité entre dans la zone LES et donne naissance à des structures cohérentes turbulentes,alors qu’en URANS, aucun mouvement instationnaire n’apparait. Cela est clairement visibleà la figure 7.21, qui montre les structures turbulentes cohérentes dans l’aspirateur.

La zone séparée prend rapidement plus d’ampleur en DES. La zone de basse vitesse associée àce décollement est donc plus importante, d’où la moins bonne récupération de pression dansle coude. Cela est observable à la figure 7.22, où on compare la vitesse débitante dans un planjuste avant le nez de pile, où l’écart sur la récupération de pression est le plus prononcé.

Par contre, la turbulence est plus intense à cet endroit dans la simulation DES. Effectivement,les structures turbulentes cohérentes qui émergent de la séparation de la couche limite sontbeaucoup plus énergétiques que ce qui est prédit par le modèle RANS. L’énergie cinétiqueturbulente produite avec les deux approches de modélisation de la turbulence est comparéeà la figure 7.23, sur le même plan qu’à la figure 7.22. Pour la simulation URANS, l’énergiecinétique turbulente correspond seulement à celle du modèle. Pour la simulation DES, l’énergiecinétique turbulente modélisée est ajoutée à la moitié de la trace du tenseur de Reynolds, dontles composantes sont obtenues des fluctuations de vitesse simulées.

Il est aussi intéressant d’observer la proportion d’énergie cinétique turbulente simulée, par

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Figure 7.20: Lignes de cisaillement pariétal obtenues avec les approches de modélisation dela turbulence URANS et DES au point de fonctionnement φ/φOpt = 0.91. Les parois sontcolorées par le module du cisaillement pariétal et les lignes de séparation de la couche limitesont mises en évidence par un trait pointillé rouge.

Figure 7.21: Structures turbulentes cohérentes dans l’aspirateur visualisées à l’aide du critèreq et obtenues avec les approches de modélisation de la turbulence URANS et DES au pointde fonctionnement φ/φOpt = 0.91.

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Figure 7.22: Champ de vitesse débitante moyenné dans le temps sur un plan légèrement enamont du nez de pile de l’aspirateur au point de fonctionnement φ/φOpt = 0.91.

Figure 7.23: Énergie cinétique turbulente sur un plan légèrement en amont du nez de pile del’aspirateur au point de fonctionnement φ/φOpt = 0.91.

rapport à l’énergie cinétique turbulente totale. C’est ce qui est présenté à la figure 7.24. Onpeut constater que dans la zone d’intérêt et sur la majorité du plan, le ratio ksim/(ksim +kmod)

avoisine l’unité.

Cette intensité turbulente accrue se répercute inévitablement sur l’écoulement en aval. Eneffet, on peut observer à la figure 7.25 que les zones de basse vitesse au plafond des pertuissont plus diffuses dans la simulation DES. Cela se répercute en une meilleure récupération depression.

Néanmoins, la topologie de l’écoulement obtenue avec les deux approches est assez similaire.Donc, bien que certaines différences peuvent être observées entre les écoulements obtenus avecles approches de modélisation de la turbulence URANS et DES, elles ne semblent pas êtreassez prononcées pour modifier significativement les performances prédites par les simulationsnumériques.

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Figure 7.24: Ratio d’énergie cinétique turbulente simulée par rapport à l’énergie cinétiqueturbulente totale sur un plan légèrement en amont du nez de pile de l’aspirateur et obtenuavec l’approche de modélisation de la turbulence DES. Le débit correspond à φ/φOpt = 0.91.

Figure 7.25: Champs de vitesse débitante moyennés dans le temps obtenus avec les approchesde modélisation de la turbulence URANS et DES au point de fonctionnement φ/φOpt = 0.91.

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De plus, les essais méthodologiques portant sur les conditions d’entrée présentés à la section7.1 ont révélé que l’ajout de structures d’écoulement instationnaires dans le plan d’entrée nepouvait pas modifier cette conclusion.

Cependant, il est intéressant de remarquer que les performances prédites par l’approche demodélisation DES sont très près de celles prédites par l’approche URANS, et ce, malgré le faitque la turbulence modélisée soit négligée au coeur de l’écoulement. Cela révèle qu’en DES, ily une certaine indépendance de la solution par rapport aux quantités turbulentes imposées enentrée, ce qui n’est clairement pas le cas avec les approches de modélisation de la turbulenceRANS [37] [69] [50]. Cela peut présenter un avantage significatif, puisque ces quantités peuventparfois être difficiles à évaluer adéquatement, autant expérimentalement que numériquement.Par contre, le besoin de décrire adéquatement les quantités turbulentes dans la couche limitesubsiste, puisque cette zone est prise en compte par le modèle RANS.

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Chapitre 8

Conclusion

Les travaux effectués dans le cadre du présent projet de recherche avaient pour objectif d’amé-liorer la prédiction des phénomènes de perte dans l’aspirateur de la turbine hydraulique. Plusprécisément, l’accent a particulièrement été mis sur l’évaluation d’une approche de modélisa-tion de la turbulence plus avancée, le DES. Bien entendu, dans le processus d’évaluation decette approche, les requis méthodologiques qui y sont liés ont également été étudiés.

Les prochains paragraphes traitent des résultats importants et des principales conclusions quiont pu être tirés dans ce mémoire. Ensuite, pour terminer, les perspectives et recommandationsde travaux futurs sont présentées.

8.1 Sommaire des résultats

En premier lieu, la revue des résultats expérimentaux recueillis par Tridon [65] ont révélé quel’écoulement à la sortie de la roue est caractérisé par un débalancement important, orienté dansl’axe gauche-droite de l’aspirateur. Une vitesse radiale moyenne très importante a aussi étéobservée. Celle-ci n’a pas pu être reproduite avec les simulations numériques des composantesen amont de l’aspirateur et son origine demeure un mystère.

Les essais méthodologiques réalisés avec l’approche de modélisation de la turbulence RANSont démontré que le profil de vitesse radiale imposé à l’entrée de l’aspirateur a un effet ma-jeur sur le comportement de l’écoulement en aval. En effet, lorsque le profil de vitesse radialemoyen, mesuré expérimentalement, était imposé à l’entrée du domaine de calcul, une assezbonne concordance entre la courbe de performance expérimentale et numérique a été obtenue.Au contraire, avec les profils de vitesse radiale issus des simulations numériques, le transfertde quantité de mouvement vers les parois s’est avéré insuffisant, ce qui s’est traduit par l’ap-

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parition hâtive de décollements dans l’aspirateur. Un bon profil de vitesse radiale en entréeest donc un élément capital pour la simulation numérique de l’écoulement dans l’aspirateur.

Des différences, de moins grande ampleur, ont également été observées entre les simulationsRANS et URANS. Ces disparités entre les simulations stationnaires et instationnaires sontseulement observées lorsqu’il y a séparation de la couche limite dans le diffuseur. Quand c’estle cas, des mouvements instationnaires, que l’on pourrait qualifier de turbulence cohérentede grande échelle, se manifestent près des couches cisaillées libres, ce qui vient augmenterla diffusion de quantité de mouvement. Conséquemment, les zones décollées prennent moinsd’ampleur et la récupération de pression s’en trouve améliorée. En comparaison au RANS,l’approche URANS vient améliorer les prédictions de performance et réduire légèrement lasensibilité des résultats face aux quantités turbulentes imposées dans le plan d’entrée. Ef-fectivement, si elles sont trop faibles, des mouvements instationnaires turbulents permettentde compenser. Il est donc avantageux d’utiliser une approche de modélisation instationnairelorsque le phénomène de séparation de la couche limite est observé dans l’aspirateur.

Avec le profil de vitesse radiale expérimental, les simulations instationnaires URANS ont per-mis d’assez bien reproduire la courbe de performance de l’aspirateur et la baisse abrupte ducoefficient de récupération près du meilleur point de fonctionnement. En effet, une séparationimportante de la couche limite prenant naissance à l’intérieur du coude et se propageant sur leplafond des pertuis a été observée numériquement. Toutefois, certains aspects des simulationsnumériques ne concordent pas bien avec les observations expérimentales. C’est notamment lecas pour l’écart de débit entre les deux canaux de sortie. Bien qu’il a été possible de prédireadéquatement le comportement global de l’aspirateur avec un modèle de turbulence à deuxéquations et des conditions d’entrée axisymétrique, il est clair qu’il manque certains ingrédientsdans les simulations pour que l’écoulement dans l’aspirateur soit reproduit avec précision.

Ensuite, l’influence que peuvent avoir les structures d’écoulement qui émergent de la roue surles performances de l’aspirateur a été étudiée. Il a d’abord été déterminé que la résolutionspatiale et temporelle nécessaire pour capter ces structures est extrêmement fine. En effet, unmaillage de plus de 30 millions de noeuds et un pas de temps correspondant à 0.5 de rotationde la roue ont dû être utilisés. Toutefois, leur influence sur l’écoulement en aval s’est avéréetrès faible pour le point d’opération considéré. Il ne semble donc pas encore justifié d’inclureces structures dans le plan d’entrée de l’aspirateur, étant donné le niveau de discrétisation trèscoûteux qu’elles demandent et l’influence minime qu’elles ont démontré jusqu’à maintenantsur l’écoulement dans le diffuseur.

Les simulations DES de ce mémoire suggèrent qu’il n’y aurait pas de gain significatif liéà cette approche de la modélisation de la turbulence par rapport au URANS pour ce quiest de la prédiction des performances. Cependant, même si les simulations DES devraient

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avoir une résolution spatiale et temporelle beaucoup plus fine que les simulations URANSpour capter adéquatement les structures turbulentes de la gamme inertielle, il s’est avéré quepour les écoulements considérés, le DES a permis de capter une dynamique tourbillonnairebeaucoup riche à un coût de calcul équivalent à celui du URANS. De plus, en DES, les quantitésturbulentes modélisées imposées à l’extérieur des couches limites dans le plan d’entrée peuventêtre négligées. Cela peut présenter un avantage significatif, puisque ces quantités sont souventdifficiles à estimer.

En somme, dans les cas où la physique dans l’aspirateur est instationnaire, notamment lors-qu’il y a séparation de la couche limite, il s’est avéré préférable d’utiliser des approches demodélisation instationnaires. Puisque le DES peut produire des résultats plus riches à un coûtde calcul équivalent au URANS, tout en étant moins dépendant des conditions d’entrée, cetteapproche devrait être privilégiée.

8.2 Recommandations pour les travaux futurs

Aux yeux de l’auteur, la faible influence des structures en sortie de roue et l’impact trèslimité du maillage dans les simulations DES indique que l’amélioration de la prédiction del’écoulement dans l’aspirateur ne passe pas par une modélisation plus fine de la turbulence,mais plutôt par une meilleure description de l’écoulement moyen à l’entrée du domaine.

L’utilisation de l’approche LES, intégralement dans tout le domaine de calcul, ou l’inclusion destructures turbulentes plus fines dans le plan d’entrée semblent être des avenues peu promet-teuses, tant que l’écoulement moyen ne pourra pas être décrit avec précision sur tout le pland’entrée. L’obtention des trois composantes du vecteur vitesse, jusqu’aux parois et sur toutela circonférence du plan d’entrée, est, à ce jour, un énorme défi expérimental. Cette descrip-tion détaillée et précise de l’écoulement moyen doit donc passer par de meilleures simulationsnumériques des composantes en amont de l’aspirateur.

Pour la machine étudiée dans le cadre du présent projet, le phénomène responsable de la vitesseradiale très importante mesurée expérimentalement doit absolument être identifié. En effet, il aété démontré que son impact sur les performances de l’aspirateur est très significatif. De plus, ledébalancement de l’écoulement sous la roue doit être bien reproduit numériquement. Lorsqueces éléments seront acquis, l’auteur estime que les phénomènes de perte dans l’aspirateur dela turbine hydraulique pourront être prédits avec beaucoup plus de précision.

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Bibliographie

[1] International Energy Agency. Key world energy statistics, 2011.

[2] Jorge Alejandro Arpe Alca. Analyse du champ de pression pariétale d’un diffuseur coudéde turbine Francis. PhD thesis, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, 2003.

[3] François Avellan. Flow investigation in a francis draft tube : The flindt project. InProceedings of the Hydraulic Machinery and Systems 20th IAHR Symposium, Charlotte,August 2000. IAHR.

[4] Philippe Bélanger-Vincent. Simulations avancées de l’écoulement turbulent dans les as-pirateurs de turbines hydrauliques. Mémoire de maîtrise, Université Laval, Laboratoirede mécanique des fluides numérique, 2010.

[5] T. Brooke Benjamin. Theory of the vortex breakdown phenomenon. J. Fluid Mech., 14 :593–629, December 1962.

[6] Ernesto Casartelli, Thomas Staubli, Daniele Cimmino, and Manfred Sallaberger. Impactof rotor side space flow on draft tube performance. In Hydrovision 2006, Portland, August2006. HCI Publications.

[7] John J. Cassidy and Henry T. Falvey. Observation of unsteady flow arising after vortexbreakdown. J. Fluid Mech., 41 :727–736, May 1970.

[8] M. J. Cervantes, U. Andersson, and H. M. Lövgren. Turbine-99 unsteady simulations -Validation. In Proceedings of the 25th IAHR Symposium on Hydraulic Machinery andSystems, Timişoara, September 2010. IAHR.

[9] Michel J. Cervantes and T. Fredrik Engström. Factorial design applied to CFD. ASMEJournal of Fluids Engineering, 126 :791–798, September 2004.

[10] M.J. Cervantes and F. Engström. Eddy viscosity turbulence models and steady drafttube simulations. In Proceedings of the third IAHR/ERCOFTAC Workshop on draft tubeFlows - Turbine-99 III, Porjus, December 2005. IAHR/ERCOFTAC.

139

Page 162: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

[11] M.J. Cervantes, T.F. Engström, and L.H. Gustavsson, editors. Proceedings of the thirdIAHR/ERCOFTAC Workshop on draft tube Flows - Turbine-99 III, Porjus, December2005. IAHR/ERCOFTAC.

[12] Gabriel Dan Ciocan, Monica Sanda Iliescu, Thi Cong Vu, Bernd Nennemann, and FrançoisAvellan. Experimental study and numerical simulation of the FLINDT draft tube rotatingvortex. ASME Journal of Fluids Engineering, 129 :146–158, February 2007.

[13] J. Cousteix. Couche limite laminaire. Cépaduès-Éditions, Toulouse, 1988.

[14] J. Cousteix. Turbulence et couche limite. Cépaduès-Éditions, Toulouse, 1989.

[15] Jean M Délery. Robert Legendre and Henri Werlé : Toward the elucidation of three-dimensional separation. Ann. Rev. Fluid Mech., 33 :129–54, 2001.

[16] C. Duprat, G. Balarac, O. Métais, P. M. Congedo, and O. Brugière. A wall-layer model forlarge-eddy simulations of turbulent flows with/out pressure gradient. Physics of Fluids,23(1), 2011.

[17] Cédric Duprat. Simulation numérique instationnaire des écoulements turbulents dansles diffuseurs des turbines hydrauliques en vue de l’amélioration des performances. PhDthesis, Institut Polytechnique de Grenoble, Laboratoire des Écoulements GéophysiquesIndustriels, June 2010.

[18] Marcel Escudier. Confined vortices in flow machinery. Ann. Rev. Fluid Mech., 19 :27–52,1987.

[19] J. H. Ferziger and M. Perić. Computational Methods for Fluid Dynamics. Springer, thirdedition, 2002.

[20] Jean-Mathieu Gagnon, Vincent Aeschlimann, Sébastien Houde, Felix Flemming, StuartCoulson, and Claire Deschenes. Experimental investigation of draft tube inlet velocityfield of a propeller turbine. ASME Journal of Fluids Engineering, 134 :10102–12, October2012.

[21] W. Gyllenram and H. Nilsson. Design and validation of a scale-adaptive filtering techniquefor LRN turbulence modeling of unsteady flow. ASME Journal of Fluids Engineering,130 :051401–10, May 2008.

[22] W. Gyllenram, H. Nilsson, and L. Davidson. On the failure of the quasicylindrical ap-proximation and the connection to vortex breakdown in turbulent swirling flow. Physicsof Fluids, 19(4), 2007.

[23] W. Gyllenram, P. Stein, and H. Nilsson. Assessment of a hybrid LES/RANS turbulencemodel in unsteady swirling and recirculating flow. 2008.

140

Page 163: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

[24] M. G. Hall. Vortex breakdown. Ann. Rev. Fluid Mech., 4 :195–218, 1972.

[25] ANSYS Inc. ANSYS CFX-Solver modeling guide, November 2010.

[26] ANSYS Inc. ANSYS CFX-Solver theory guide, November 2010.

[27] Comission Électrotechnique Internationale. CEI 60193 - Turbines hydrauliques, pompesd’accumulation et pompes-turbines - Essais de réception sur modèle. Norme internatio-nale, Genève, Suisse, 1999.

[28] Jinhee Jeong and Fazle Hussain. On the identification of a vortex. J. Fluid Mech., 285 :69–94, February 1995.

[29] Pijush K. Kundu, Ira M. Cohen, and David R. Dowling. Fluid Mechanics. AcademicPress, Waltham, Massachusetts, fifth edition, 2012.

[30] Sadao Kurosawa and Kazuyuki Nakamura. Unsteady turbulent flow simulation in T99draft tube. In Proceedings of the third IAHR/ERCOFTAC Workshop on draft tube Flows- Turbine-99 III, Porjus, December 2005. IAHR/ERCOFTAC.

[31] B. E. Launder, G. J. Reece, and W. Rodi. Progress in the development of a reynolds-stressturbulence closure. J. Fluid Mech., 68 :537–566, April 1975.

[32] Sidney Leibovich. The structure of vortex breakdown. Ann. Rev. Fluid Mech., 10 :221–246, 1978.

[33] Jean Lemay. Turbulence - Cours GMC-7020. Notes de cours, Université Laval, Québec,Canada, 2010.

[34] Marcel Lesieur and Olivier Métais. New trends in large-eddy simulations of turbulence.Ann. Rev. Fluid Mech., 28 :45–82, 1996.

[35] Daniel B. Marjavaara, Staffan T. Lunström, Jeffrey Wright, Ramji Kamakoti, SiddharthThakur, and Wei Shyy. Steady and unsteady CFD simulations of the turbine-99 draft tubeusing CFX-5 and STREAM. In Proceedings of the third IAHR/ERCOFTAC Workshopon draft tube Flows - Turbine-99 III, Porjus, December 2005. IAHR/ERCOFTAC.

[36] S. Mauri, J.L. Kueny, and F. Avellan. Werlé-legendre separation in a hydraulic machinedraft tube. ASME Journal of Fluids Engineering, 126 :976–980, November 2004.

[37] Sebastiano Mauri. Numerical Simulation and Flow Analysis of an Elbow Diffuser. PhDthesis, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, 2002.

[38] A. T. McDonald, R. W. Fox, and R. V. Van Dewoestine. Effects of swirling inlet flow onpressure recovery in conical diffusers. AIAA Journal, 9(10) :2014–2018, October 1971.

141

Page 164: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

[39] F. R. Menter. Influence of freestream values on k−ω turbulence model predictions. AIAAJournal, 30(6), 1992.

[40] F. R. Menter and M. Kuntz. Adaptation of eddy-viscosity turbulence models to unsteadyseperated flow behind vehicles. In Rose McCallen, Fred Browand, and James Ross, edi-tors, The Aerodynamics of Heavy Vehicles : Trucks, Buses, and Trains, pages 339–352.Springer, 2004.

[41] F. R. Menter, M. Kuntz, and R. Langtry. Ten years of industrial experience with theSST turbulence model. In K. Hanjalić, Y. Nagano, and M. Tummers, editors, Turbulence,Heat and Mass Transfer 4. Begell House, Inc., 2003.

[42] Florian R. Menter. Improved two-equation k − ω turbulence models for aerodynamicflows. Technical Memorandum 103975, NASA, October 1992.

[43] Berhanu Mulu. An Experimental and Numerical Investigation of a Kaplan Turbine Model.PhD thesis, Lulea University of Technology, Department of Engineering Sciences andMathematics, 2012.

[44] Berhanu Mulu, Michel Cervantes, Thi Vu, Christophe Devals, and Francois Guibault.Effects of inlet boundary conditions on Kaplan draft tube simulation accuracy. In HYDRO2011 Proceedings, Prague, October 2011.

[45] V. Dakshina Murty. Handbook of turbomachinery. In E. Logan, R. Roy, and R.P. Roy,editors, Handbook of Turbomachinery, chapter 15. M. Dekker, New York, second edition,2003.

[46] C. B. Okhio, H. P. Horton, and G. Langer. Effects of swirl on flow separation andperformance of wide angle diffusers. Int. J. Heat & Fluid Flow, 4(4) :199–206, December1983.

[47] Joongcheol Paik, Fotis Sotiropoulos, and Michael J. Sale. Numerical simulation of swirlingflow in complex hydroturbine draft tube using unsteady statistical turbulence models. J.Hydraul. Eng., 131(6) :441–456, June 2005.

[48] Ronald L. Panton. Incompressible Flow. John Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey, thirdedition, 2005.

[49] F.A. Payette, V. De Henau, G. Dumas, and M. Sabourin. Sensitivity of draft tube flowpredictions to boundary conditions. In Proceedings of the IAHR 24th Symposium onHydraulic Machinery and Systems, Foz Do Iguassu, October 2008. IAHR.

[50] Félix-Antoine Payette. Simulation de l’écoulement turbulent dans les aspirateurs de tur-bines hydrauliques : Impact des paramètres de modélisation. Mémoire de maîtrise, Uni-versité Laval, Laboratoire de mécanique des fluides numérique, 2008.

142

Page 165: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

[51] Turgut Sarpkaya. Turbulent vortex breakdown. Physics of Fluids, 7(10) :2301–2303, 1995.

[52] Ascher H. Shapiro. Film notes for vorticity. National Committee for fluid MechanicsFilms. Encyclopaedia Britannica Educational Corporation, Chicago, Illinois, 1969.

[53] Pavel E. Smirnov and Florian R. Menter. Sensitization of the SST turbulence model torotation and curvature by applying the Spalart-Shur correction term. In Proceedings ofASME Turbo Expo 2008 : Power for Land, Sea and Air, Berlin, Germany, June 2008.ASME.

[54] P. R. Spalart, S. Deck, M. L. Shur, K. D. Squires, M. Kh. Strelets, and A. Travin. Anew version of detached-eddy simulation, resistant to ambiguous grid densities. Theor.Comput. Fluid Dyn., 20 :181–195, 2006.

[55] Philippe R. Spalart. Young-person’s guide to detached-eddy simulation grids. ContractorReport CR-2001-211032, NASA, July 2001.

[56] Philippe R. Spalart. Detached-eddy simulation. Ann. Rev. Fluid Mech., 41 :181–202,2009.

[57] P.R. Spalart, W.-H. Jou, M. Strelets, and S.R. Allmaras. Comments on the feasibilityof LES for wings, and on a hybrid RANS/LES approach. In C. Liu and Z. Liu, editors,Advances in DNS/LES, pages 137–47, Colombus, OH, 1997. Greyden Press.

[58] Peter Stein. Numerical Simulation and Investigation of Draft Tube Vortex Flow. PhDthesis, Coventry University, June 2007.

[59] Romeo Susan-Resiga, Gabriel Dan Ciocan, Ioan Anton, and François Avellan. Analy-sis of the swirling flow downstream a francis turbine runner. ASME Journal of FluidsEngineering, 128 :177–189, January 2006.

[60] Edward S. Taylor. Film notes for secondary flow. National Committee for fluid MechanicsFilms. Encyclopaedia Britannica Educational Corporation, Chicago, Illinois, 1968.

[61] H. Tennekes and J.L. Lumley. A Fisrt Course in Turbulence. The MIT Press, Cambridge,Massachusetts, 1972.

[62] Murray Tobak and David J. Peake. Topology of three-dimensional separated flows. Ann.Rev. Fluid Mech., 14 :61–85, 1982.

[63] T. Tokyay and G. Constantinescu. CFD simulations of flow in a hydraulic tur-bine draft tube using near wall RANS and LES models. In Proceedings of the thirdIAHR/ERCOFTAC Workshop on draft tube Flows - Turbine-99 III, Porjus, December2005. IAHR/ERCOFTAC.

143

Page 166: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

[64] S. Tridon, S. Barre, G. Ciocan, C. Ségoufin, and P. Leroy. Discharge imbalance mitigationin francis turbine draft-tube bays. ASME Journal of Fluids Engineering, 134 :041102–8,April 2012.

[65] Sylvain Tridon. Étude expérimentale des instabilités tourbillonnaires dans les diffuseurs deturbomachines hydrauliques. PhD thesis, Institut Polytechnique de Grenoble, Laboratoiredes Écoulements Géophysiques Industriels, June 2010. (thèse confidentielle).

[66] Sylvain Tridon, Stéphane Barre, Gabriel Dan Ciocan, and Laurent Tomas. Experimentalanalysis of the swirling flow in a Francis turbine draft tube : Focus on radial velocitycomponent determination. European Journal of Mechanics - B/Fluids, 29(4) :321 – 335,2010.

[67] D.J. Tritton. Physical Fluid Dynamics. Oxford University Press, New York, secondedition, 1988.

[68] Henri Varlet. Turbines hydrauliques et groupes hydroélectriques. Éditions Eyrolles, Paris,1964.

[69] Thi C. Vu, Christophe Devals, Ying Zhang, Bernd Nennemann, and François Guibault.Steady and unsteady flow computation in an elbow draft tube with experimental valida-tion. International Journal of Fluid Machinery and Systems, 4(1) :85–96, 2011.

[70] Frank White. Fluid mechanics. McGraw-Hill, New York, sixth edition, 2008.

[71] Frank M. White. Viscous fluid flow. McGraw-Hill, second edition, 1991.

[72] David C. Wilcox. Turbulence modeling for CFD. DCW Industries, La Cãnada, thirdedition, 2006.

144

Page 167: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

Annexe A

Estimation des termes diagonaux dutenseur de Reynolds liés auxfluctuations de vitesse sous les aubes

Tout d’abord, on fait l’hypothèse que les fluctuations de vitesse prennent la forme de signauxsinusoïdales (voir section 7.1.2), c’est-à-dire que :

u′ =umax − umin

2sin(2πfaubest) (A.1)

où umax correspond à la vitesse maximale sur un rayon, tandis que umin correspond à la vitesseminimale sur le même rayon. Le paramètre faubes correspond à la fréquence de passage desaubes. En substituant faubes par 19Ω/2π, où Ω correspond à la vitesse angulaire de la roue,qui compte 19 aubes, l’équation (A.1) prend la forme suivante :

u′ =umax − umin

2sin(19Ωt) (A.2)

Ensuite, sachant que les termes diagonaux du tenseur de Reynolds sont définis par l’expressionsuivante,

< u′2 >=1

T

∫ T

0u′2dt (A.3)

on peut écrire :

145

Page 168: Simulations numériques de l'écoulement turbulent dans un

< u′2 >=1

T

∫ T

0

(umax − umin

2sin(19Ωt)

)2

dt (A.4)

Puisque le signal de vitesse est périodique, on peut faire l’analyse sur une seule période. Celaimplique que T = 2π/19Ω. On obtient alors

< u′2 >=19Ω

∫ 2π19Ω

0

(umax − umin

2sin(19Ωt)

)2

dt (A.5)

< u′2 >=19Ω(umax − umin)2

∫ 2π19Ω

0sin2(19Ωt)dt (A.6)

Finalement, il suffit d’intégrer pour obtenir :

< u′2 >=19Ω(umax − umin)2

π

19Ω(A.7)

< u′2 >=(umax − umin)2

8(A.8)

146