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uyuyyu
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Dans cette contribution, j’ai présenté deux séries d’exercices pour illustrer certains concepts théoriques concernant la phase de modélisation des systèmes asservis. Cette participation débute par un organigramme, qui indique une méthode d’étude des systèmes asservis, pour faire la mise en œuvre des connaissances acquises. Ce présent travail peut répondre également à vos besoins de révisions.
CPGE A Marrakech Les systèmes asservis Travail proposé par :LAAMIMICH
schéma avec perturbation P(p) schéma sans perturbation
Après réduction du schéma blocs pour le mettre sous sa forme canonique on peut déduire: FTBO ; FTBF et La fonction de l'écart
Utiliser le principe de superposition et les règles de réduction des schémas blocs pour trouver l'expression de la sortie
Compléter ou établir un schéma fonctionnel
Associer un modèle de comportement : Identification du système ou de certains éléments
Associer un modèle de connaissance au système
Oui
Non
Le système à étudier (connu) = Un ensemble des éléments
Un ensemble d'équations déduites des lois de la physique, pour décrire le comportement du système, est donné en fonction du temps.
Identification : - Temporelle à partir de la réponse indicielle et/ou fréquentielle à partir par exemple des diagrammes de BODE ou de BLACK
Equations linéaires
Linéarisation autour d'un point de fonctionnement précisé
Transformation des équations vers le domaine de LAPLACE
VOIR LA SUITE DE L'ORGANIGRAMME
.
SUITE DE L'ORGANIGRAMME
Non
Oui
Analyse des performances du système (Stabilité, précision, rapidité, amortissement...). Dans ce cas on peut utiliser les acquis de l'analyse temporelle, fréquentielle …..
Respect du cahier des charges
Réglage et correction pour satisfaire le cahier des charges
Fin de l'étude
CPGE A Marrakech Les systèmes asservis Travail proposé par :LAAMIMICH
Exercice n°1 : La transformée de LAPLACE I) La fonction de transfert d'un système asservi, d'entrée e(t) et de sortie s(t), est :
2)1)(2(
1)(
++=
pppH
Dans le cas ou e(t) est une entrée échelon d'amplitude 0e :
1) Déterminer l'expression de S(p) la transformée de s(t). 2) Déterminer les valeurs initiale et finale de s(t).
3) Déterminer les valeurs initiale et finale dedt
tdsts
)()( =′ .
4) – Trouver la valeur en régime permanent de )()()( tetst −=ε .
- Quelle est la performance évaluée par ce critèreε . 5) Déterminer l'expression de s(t).
II) La figure (1) représente les courbes de deux fonctions e1(t) et e2 (t). a) Donner les expressions de ces fonctions. b) Déterminer les transformées de LAPLACE de ces fonctions.
Exercice n°2 : Le schéma fonctionnel I) Déterminer les fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée du système représenté par le schéma bloc ci-dessous, puis préciser la classe, le gain et l'ordre de ces fonctions.
p
k1 Tp
K
+12
3K p
1
4K
p
k
E(p) S(p)
1
0.4s t(s) 0.4 0.8 1 1.8
)(1 te )(2 te
1
Le nombre de périodes de )(2 te tend vers l'infini
Figure 1
t(s)
CPGE A MARRAKECH Série n°1 des exercices Professeur : LAAMIMICH
II) Considérons le schéma bloc suivant:
2-1) On pose S(p)= H(p).E(p) + G(p).P(p) En utilisant le principe de superposition, trouver les expressions de H(p) et G(p).
2-2) Que peut-on dire des dénominateurs de H(p) et G(p). III) On désire trouver la fonction de transfert modélisant un système en réduisant son schéma fonctionnel. Le système à étudier est le circuit suivant:
3-1) Après avoir fait la mise en équation du circuit dans le domaine de LAPLACE, compléter le schéma bloc suivant:
3-2) En transformant le schéma fonctionnel, complété, trouver la fonction de transfert modélisant le circuit. Exercice n°3 : En utilisant la transformée de Laplace, résoudre l’équation différentielle suivante :
2)(
2)(
2
2
=+dt
tdy
dt
tyd . On suppose que toutes les conditions initiales sont nulles.
Exercice n°4 : Soit le schéma fonctionnel suivant :
Déterminer ?)(
)(
pX
pY
* r et r' sont des résistances. * C1 et C2 sont des capacités. * I et I' sont des courants
I'
)(tVs )(tVe
r r'
C1 C2
I
u(t)
F B
A
C
D
G E
X
Z
Y
U
A(p) B(p) C(p)
E(p) S(p)
P(p)
Ve(p) Vs(p) I I' U(p)
CPGE A Marrakech Les systèmes asservis Travail proposé par :LAAMIMICH
Exercice n°5 : Transformer le schéma blocs suivant, pour le mettre avec un retour unitaire :
1) Déterminer la fonction de transfert )(
)()(
pC
pQpH
op
vm =
2) Une manipulation des schémas-blocs du modèle continu permet de faire apparaître une fonction de transfert H0(p) dite « en boucle ouverte », dont l’insertion dans une boucle à retour unitaire fournit un système équivalent à Hm. (voir figure 2) Dans le contexte du schéma-bloc général de la figure , exprimer H0(p) en fonction de Hm(p). Exercice n°7 : Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée du système ayant ce schéma fonctionnel
S(p) A(p) B(p)
C(p)
K E(p)
A(p) B(p)
C(p)
E(p) S(p)
Exercice n°6 : Extrait du concours des mines 2007 Soit le schéma fonctionnel suivant :
2
E(p) + + S(p) - - P(p) E(p) + + + + S - - X + + - Y - + - Les questions : Exercice n°1: Déterminer la FTBO, la FTBF et donner leurs classes, gains et ordre. Exercice n°2: Déterminer la FTBF. Exercice n°3: On pose S(p)= H(p). E(p)+ G(p).P(p),trouver H(p) et G(p). Exercice n°4: Déterminer la FTBF.
K/p
n/1+p K1 1/p
K2
X Y
EXERCICE N°1
F1 F2 F3
F4
F5
EXERCICE N°2
1/1+p K 1/p
K1
EXERCICE N°3
G1
G4
G2 G3
G5
EXERCICE N°4
Série N°2 : Manipulation des schémas blocs
CPGE à Marrakech Professeur : A. LAAMIMICH
Eléments de correction de la série n°1 : Exercice n°1 : I)
1) 2
0
)1)(2()(
++=
ppp
epS
2) 0)0( =s et 2
)( 0es =+∞
3) os =)0(' et 0)(' =+∞s
4) 2
)()()( 0ees =+∞−+∞=+∞ε et la performance évaluée est la précision
II) a) )4.0()()(1 −−= tutute ....)4.1()4.1(5)1()1(5.2)8.0()8.0(5.2)4.0()4.0(5)(5.2)(2 +−−−−−+−−+−−−= tuttuttuttutttute b)
p
epE
p4.0
1
1)(
−−=
)1(
)1(5.2)(
2
24.0
2 p
p
ep
epE −
−
−−=
Exercice n°2 :
I) )1()1(
)1)((
412232
421
pKKKKKTPp
pKpKKKFTBO
++++++
= et ordre=3 ; classe=0 ; gain=K
))(1()1()1(
)1(
421412232
421
pKpKKKpKKKKKTPp
pKKKFTBF
++++++++
= et ordre=3 ;
classe=0 ;gain=K+1
1
II)
1)ABCB
ABCpH
++=
1)(
ABCB
CpG
++=
1)(
2) ces fonctions ont le même dénominateur. III)
2
21'
212' ))((1
1
)(
)(
pcrcrpccrcrpV
pV
e
s
++++=
CPGE A Marrakech Les systèmes asservis Travail proposé par :LAAMIMICH
Exercice n°3 :
pppYpYp
2)(2)(2 =+ on a donc
)2(
2)(
2 +=
pppY et après décomposition en éléments
simples on trouve que )()2
1
2
1()( 2 tuetty t−++−=
Exercice n°4 :
)()(
)(FCDEA
pX
pY +=
Exercice n°5 : Exercice n°6 : 1)
).).(().).((1
)()..).((
)(
)()(
2
1
mmvvv
vvv
op
vm kpbpGkpbpH
pGkpbpH
pC
pQpH
+++++==
2) Remarque sur l’énoncé :La forme à retour unitaire proposée n’a pas une sortie et une entrée homogènes. La fonction H0 ne peut pas être déterminée, à moins d’introduire un bloc dans la chaîne de retour de gain K=1 N.m.rad-1.
m
m
H
HH
−=
10
Exercice n°7 :
)()()()()()(1
)().(.
)(
)()(
pCpBpKApCpBpA
pBpAK
pE
pSpH BF ++
==
C(p)A(p) B(p) 1/C(p) E(p) S(p)
CPGE A Marrakech Les systèmes asservis Travail proposé par :LAAMIMICH
Eléments de correction des exercices de la série n°2 sur la manipulation des schémas blocs:
Exercice n°1: 2
2121
21
2
)(
1
)(
11 P
nKKKP
nKKK
KKnKK
n
FTBO
−+
−+
+
−= et classe= 0 ; ordre= 2 ;
Gain= nKK
n
−2
2
121121
21
2
)(
1
)(
11 P
nKnKKKP
nKnKKK
KKnKKn
n
FTBF
+−+
+−+
+
−+=
Classe= 0 ordre= 2
Gain= nKKn
n
−+ 2
Exercice n°2:
421532
321
1 FFFFFF
FFFFTBF
++=
Exercice n°3:
211 11
1
1)(
pK
KKp
K
KKpH
++++= ;
211 111
)1(1
)(p
K
KKp
K
KK
pKpG
++
++
+=
Exercice n°4:
)1(1
)(
532
4231
GGG
GGGGFTBF
−+−
=
CPGE A Marrakech Les systèmes asservis Travail proposé par :LAAMIMICH